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Tenseurs

Samuel Forest

Centre des Materiaux/UMR 7633Ecole des Mines de Paris/CNRS

BP 87, 91003 Evry, [email protected]

Plan

1 Pourquoi les tenseurs?

2 Introduction a lalgebre tensorielleDefinitions, notations, exemplesTenseurs euclidiens

3 Introduction a lanalyse tensorielle

4 Bilan

0bjectifs

historique de cette seance12 seances de mathematiques...prolegomene a la MMC (tenseur)

rappel des elements de votre bagage en algebre et en analyseindispensables aux cours de mecanique

pas vraiment deux seances de maths, loccasion de fixer lesnotationsdonner des noms nouveaux a des choses que vous connaissezdeja ou que vous connaissez potentiellement!pour une presentation mathematique rigoureuse, voir lesreferences dans le poly

la physique derriere ces notations arides ou elegantes (selonles gouts)

documents http://mms2.ensmp.fr/

Pourquoi les tenseurs? 4/60

les tenseurs sont omnipresents dans toute la physique!

Cosmology and gravitation, S. Weinberg


Theorie des champs, L. Landau, E. Lifchitz


Grundlagen der Physik E. Schmutzer


Mecanique P. Germain


Plan




4 Bilan

Definition

E un espace vectoriel de dimension finie n sur IR, seselements, les vecteurs sont notes u Elespace dual E : ensemble des formes lineaires sur E , seselements sont les covecteurs u

= u (v ) IR, u E ,v E

crochets de dualite

Les tenseurs sont les formes multilineaires sur E ,E tenseur pcontravariant et qcovariant :

T : (E )p Eq IR

(u 1, ...,u p,u 1, ...u q) 7 T (u 1, ...,u p,u 1, ...u q)

variance dun tenseur : le couple (p, q) ordre dun tenseur : la somme p + q

Introduction a lalgebre tensorielle 11/60

A quoi bon des formes lineaires enmecanique/physique???


A quoi bon des formes lineaires enmecanique/physique???

tenseurs dordre 0 : les scalairesexemple: la masse

tenseurs dordre 1 :? les vecteurs: variance (p, q) = (1, 0)

exemples : directions, vecteur position, vecteur vitesse? les covecteurs: variance (p, q) = (0, 1)

exemples : forces, elements de surfacela force f est la forme lineaire qui a une vitesse v associe lapuissance

p =< f , v >

lelement de surface ds est la forme lineaire qui a ladirection de lespace u associe le volume du cylindre engendre

< ds ,u >= dv

Composantes des vecteurs et covecteurs


Composantes des vecteurs et covecteurs

Soit (e i )i=1,n une base quelconque de E

u =n

i=1

ui e i

convention dEinstein sur les indices repetes u = ui e iles ui sont les composantes du vecteurs u dans la base(e i )i=1,n

base duale de (e i )i=1,n : cest lunique base (e i )i=1,n de E telle que

< e i , e j >= ij

ou ij est le symbole de Kronecker

composantes du covecteur v E :v = vi e

i

projectionsui =< e i ,u >, vj =< v

, e j >Introduction a lalgebre tensorielle 15/60

Tenseurs dordre 2

tenseur dordre 2, notes T? 2-fois contravariant (p, q) = (2, 0) : E E IR? 2-fois covariant (p, q) = (0, 2) : E E IR? 1-fois contravariant, 1-fois covariant (p, q) = (1, 1) :

E E IRou E E IR

tenseurs dordre 2 (formes bilineaires) et endomorphismes


Tenseurs dordre 2

tenseur dordre 2, notes T? 2-fois contravariant (p, q) = (2, 0) : E E IR? 2-fois covariant (p, q) = (0, 2) : E E IR? 1-fois contravariant, 1-fois covariant (p, q) = (1, 1) :

E E IRou E E IR

tenseurs dordre 2 et endomorphismesa chaque endomorphisme t de E , on associe le tenseur dordre2 T : E E

IRT(u , v

) :=< v , t(u ) >

cest en fait un isomorphisme (voir plus loin)...

exemples connus : conductivite thermique, electrique exemples nouveaux: tenseur des deformations, tenseur des

contraintes

Produit tensoriel


Produit tensorielcombiner les tenseurs entre eux pour produire des tenseurs dordreplus eleve

produit tensoriel a b de deux vecteurs a ,b Epour fabriquer le tenseur dordre 2, 2fois contravariant

(a b )(u , v ) :=< v ,b > IR

on peut fabriquer des tenseurs dordre 2 de toute variance

(a b )(u , v ) := IR

decomposition dun tenseur dordre 2, T : E E IR

T(u, v ) = T(u

i ei , v j e j) = u

i v

j T(ei , e j)

= < ej , v > T(e

i , e j)

= T(ei , e j) (e i e j)(u , v )

Produit tensoriel

composantes dun tenseur dordre 2

T = T(ei , e j) e ie j = T i j e ie j , avec T i j = T(e

i , e j)

matrice des composantes du tenseur [T i j ](premier indice : numero de ligne, second indice : numero de

colonne)

interet de la notation indicielle : reconnatre du premier coupdil la variance des tenseurs= lespace des tenseurs dordre 2 1-fois contravariants et1-fois covariants est de dimension n2, les (e i e j)i ,j=1,n enconstituent une base


Transposition et contraction

transpose TT de T

TT (u , v ) = T(v

,u ), u E ,v E

le tenseur TT admet comme matrice de composantes la

transposee de la matrice des composantes de T dans la base(e i )i=1,n

la contraction dun tenseur reduit de 2 son ordre. On necontracte que les indices de variance differente.Pour un tenseur dordre 2, 1-fois contravariant, 1-foiscovariant :

Tc = T (ei , e i )

Tc = Tii =: traceT

il ne depend pas de la base (a verifier).



produit contracte : combiner les tenseurs entre eux pourproduire des tenseurs dordre moins eleve

a .b

(a b ).u

plus generalementT .u


a .b :=< a ,b >

(a b ).u := aplus generalement

T .u = (Tije i e j).u = T i j(e i e j).u

= T i j < ej ,u > e i = T

iju

j e i

cest le vecteur de composantes T i juj

a .b :=< a ,b >

(a b ).u := aplus generalement

T .u = (Tije i e j).u = T i j(e i e j).u

= T i j < ej ,u > e i = T

iju

j e i

cest le vecteur de composantes T i juj

endomorphisme sur E associe a un tenseur dordre 2

T : E E IR

t(u ) = T .u

Changement de bases

e i = Pji e j , e i = (P

1)ji ej

e i = , e i =

matrice de passage:[P jligneicolonne], avec P

ji =< e

j , e i >

[x i ] = [P] [x i ]

Changement de bases


1)ji ej

e i = (P1)ij ej , e i = P ij e

j


ji =< e

j , e i >

[x i ] = [P] [x i ]

formule de passage pour un tenseur dordre 2:T = T

ij e i e j = T k l e k e l

Changement de bases


1)ji ej

e i = (P1)ij ej , e i = P ij e

j


ji =< e

j , e i >

[x i ] = [P] [x i ]

formule de passage pour un tenseur dordre 2:T = T

ij e i e j = T k l e k e l

T k l = (P1)ki P

jl T

ij

forme matricielle (chgt de base pour les endomorphismes)

[T k l ] = [P]1 [T i j ] [P]

Changement de bases pour les tenseurs dordre 2

notation tensorielle

T kl = (P1)ki (P1)ljT

ij

T kl = PikP

jl Tij

T kl = P ik(P

1)ljTij

T k l = (P1)ki P

jl T

ij

notation matricielle

[T kl ] = [P1] [T ij ] [P1]T

[T kl ] = [P]T [T ij ] [P]

[T kl ] = [P]T [Ti

j ] [P1]T

[T k l ] = [P1] [T i j ] [P]

superiorite de la notation tensorielle : ne rien apprendre parcur!!!


Plan




4 Bilan

Le tenseur metrique

Lespace physique E est euclidien. Il est muni dun produitscalaire, i.e. une forme bilineaire symetrique definie positive.Il sagit donc dun tenseur dordre 2 particulier noteG : E E IR, que lon appelle aussi tenseur metrique :

u .v := G(u , v ) = G(v ,u ) IR, G(u ,u ) 0G(u ,u ) = 0 = u = 0

on note gij les composantes du tenseur metriqueG = gij e

i e j , gij = G(e i , e j) contraction / produit scalaire

G(u , v ) =


Le tenseur metrique

Lespace physique E est euclidien. Il est muni dun produitscalaire, i.e. une forme bilineaire symetrique definie positive.Il sagit donc dun tenseur dordre 2 particulier noteG : E E IR, que lon appelle aussi tenseur metrique :

u .v := G(u , v ) = G(v ,u ) IR, G(u ,u ) 0G(u ,u ) = 0 = u = 0

on note gij les composantes du tenseur metriqueG = gij e

i e j , gij = G(e i , e j) contraction / produit scalaire

G(u , v ) = uiv jG(e i , e j) = u

iv jgij = u .G .v = u .v

point de contraction / point de produit scalaire!


Identification de E et de son dual

le tenseur metrique permet didentifier E et son dual E parlintermediaire de lisomorphisme canonique

: E E

(v ) = G .v

son inverse permet de definir un produit scalaire sur E

G = g ije i e j

dont la matrice des composantes [g ij ] est linverse de lamatrice [gij ].

1(u ) = G.u

base reciproque (e i )i=1,n de (e i )i=1,ne i .e j =

ij

e i = G .ei , e i = G

.e i

composantes contra- et co-variantes dun vecteurv = v ie i = vi e

i


Base reciproque pour n = 2

e 1

e 2

v

v1

v2


Base reciproque pour n = 2

e 1

e 2e 1

e 2

v

v1

v2

v1

v2


Tenseurs euclidiensles tenseurs euclidiens sont les tenseurs sur E ,E E ,E E E , ...ou E est euclidien. On fait leconomie des tenseurs sur E en seservant du produit scalaire:

(e i e j)(u , v ) = (e i .u ) (e j .v )

tenseur euclidien dordre 1

v = v ie i = viei , vi = gijv

j

tenseur euclidien dordre 2

T = Tije i e j = Ti je i e j = T i je i e j = Tije i e j

Tij = gikT

kj , T i j = gkjTik , Tij = gikgjlT

kl

Les T ij ,Tij ,Tij ,T i j sont les composantes du meme

tenseur T dans des bases differentes.


Cas dune base orthonormee

Lorsque la base (e i )i=1,n est orthonormee

e i .e j = ji

Les bases initiale et reciproque sont alors identiquese i = e i

Les composantes gij du produit scalaire dans une baseorthonormee sont celles de lidentite :

gij = ji = g

ij

Une consequence fondamentale est que les 4 types decomposantes dun tenseur euclidien dordre 2 concident :

T ij = T i j = Tij = Tij

En base orthonormee, on ne se preoccupe plus de laposition des indices. On les met toujours en bas et onsomme sur tous les indices repetes. Les regles de calcultensoriel se simplifient considerablement...


Changement de bases orthonormees

deux bases de E :e i = Qki e k , e i = Qik e

k

formules de passage


Changement de bases orthonormees

deux bases de E :e i = Qki e k , e i = Qik e

k

formules de passageT = Tij e i e j = T

kl ek e l

T kl = QikQjlTij

notation matricielle

[T ] = [Q]T [T ] [Q]


Plan




4 Bilan

Champs de tenseurs

champ de scalairesla masse volumique (M) notee aussi (x )

champ de vecteursLes champs de vecteursposition x (M), de deplacementsu (M), de vitesses v (x )

champ de tenseurs dordre 2 champs de conductiviteelectriquele champ des contraintes (x , t)

champ de tenseurs dordre 3champ des proprietes piezoelectriques

champ de tenseurs dordre 4champ des proprietes elastiques

Lanalyse tensorielle consiste a etudier les variations dun champ detenseurs dun point a un autre

Introduction a lanalyse tensorielle 40/60

Operateurs differentiels (1)

reperage par une base mobile (e i (x ))i=1,3 associee a unsysteme de coordonnees M(qi )

e i =M

qi

ex: coordonnees cylindriques, spheriques...coordonnees cartesiennes: les champs e i (M) sont uniformes,les coordonnees sont notees x i

derivee de T (x ) suivant un vecteur v E :

Dv T = lim0

T (x + v ) T (x )

Dv T (x ) est un tenseur du meme ordre que T (x )

T

qi= De i T



gradient dun champ de tenseurs : cest loperateur lineaireT : v 7 Dv , T .v = Dv T

cest un champ de tenseurs dun ordre plus eleve que T (x )

expression a laide des derivees partielles dans une base mobilequelconque

T .v = lien avec la differentielle dun champ de tenseurs

dT = T .dM


gradient dun champ de tenseurs : cest loperateur lineaireT : v 7 Dv , T .v = Dv T

cest un champ de tenseurs dun ordre plus eleve que T (x )

expression a laide des derivees partielles dans une base mobilequelconque

T .v = vk Tqk

=T

qk< e k , v >

T = Tqk

e k

lien avec la differentielle dun champ de tenseurs

dT = T .dM , dM = Mqi

dqi = dqi e i

dT =T

qi< e i ,dM >=

T

qidqi

ce sont les formules usuelles du calcul differentielIntroduction a lanalyse tensorielle 43/60


loperateur differentiel divergence abaisse de 1 lordre duchamp de tenseur

div T



loperateur differentiel divergence abaisse de 1 lordre duchamp de tenseur

div T := (T )c =T

qi.e i


Operateurs differentiels en coordonnees cartesiennesdans une BON

Base cartesienne OrthoNormee

f =

u =

div u =

div =


Operateurs differentiels en coordonnees cartesiennesdans une BON

Base OrthoNormee

f = fxi

e i = f,ie i

u = uxj

e j =uixj

e i e j = ui ,je i e j

div u =u

xj.e j =

uixj

e i .e j =uixi

= ui ,i

div =xj

.e j =ikxj

(e i e k).e j =ijxj

e i = ij ,j e i

ou lon a introduit la notation frequente en physique,

,i =

xi


Operateurs differentiels en coordonnees cylindriques

Base OrthoNormee: les indices restent en bas... mais base mobile...

xy

z

M

O

r

e

e r

e z OM = re r + ze z

dM = dr e r+rd e +dz e z

e r =OM

r

e =1

r

OM

e z =OM

z



e 1 = e r , e 2 = re , e 3 = e z

e 1 = e r , e2 =

1

re , e

3 = e z

gradient dun champ scalaire f (r , , z)

f = fqi

e i



e 1 = e r , e 2 = re , e 3 = e z

e 1 = e r , e2 =

1

re , e

3 = e z

gradient dun champ scalaire f (r , , z)

f = fr

e 1 +f

e 2 +

f

ze 3

=f

re r +

1

r

f

e +

f

ze z


Operateurs differentiels en coordonnees cylindriquesgradient dun champ de vecteurs u = ure r + ue + uze z

u = uqi

e i

=


Operateurs differentiels en coordonnees cylindriquesgradient dun champ de vecteurs u = ure r + ue + uze z

u = uqi

e i

=u

r e 1 + u

e 2 + u

z e 3

=u

r e r +

u

e

r+

u

z e z

=urr

e r e r +ur

e e r +uzz

e z e r

+1

r

ur

e r e +urr

e e +1

r

u

e e ur

e r e +1

r

uz

e z e

+urz

e r e z +uz

e e z +uzz

e z e z

notation matricielle [u ] =

266664urr

1

r(ur

u)urz

ur

1

r(ur +

u

)uz

uzr

1

r

uz

uzz

377775


Operateurs differentiels en coordonnees cylindriquesdivergence dun champ de tenseurs dordre 2

div = ()c =qi

.e i

=r

.e r +r

.e r

+z

.e z

= rr e r e r + e e + zz e z e z + r (e r e + e e r )+ z (e e z + e z e ) + zr (e r e z + e z e r )


Operateurs differentiels en coordonnees cylindriquesdivergence dun champ de tenseurs dordre 2

div = ()c =qi

.e i

=r

.e r +r

.e r

+z

.e z

= rr e r e r + e e + zz e z e z + r (e r e + e e r )+ z (e e z + e z e ) + zr (e r e z + e z e r )

div =(

rrr

+rr

r+

1

r

r

+rzz

)e r

=

(rr

+1

r

+zz

+2r

r

)e

=

(rzr

+1

r

z

+zzz

+rzr

)e z

vous pouvez preferer le formulaire...


Integration des champs de tenseurs

theoreme de la divergence

f dv =

f n ds

div v dv =

v .n ds

div T dv =

T .n ds


Theoreme de la divergence

en composantes cartesiennes BON,i dV =

ni ds

demonstration en 1D...

f dv =

f n ds

div v dv =

v .n ds

div T dv =

T .n ds


Theoreme de la divergence

en composantes cartesiennes BON,i dV =

ni ds

demonstration en 1D...

f dv =

f n ds,

f,i dv =

fni ds

div v dv =

v .n ds,

vi ,i dv =

vini ds

div T dv =

T .n ds,

Tij ,j dv =

Tijnj ds


Plan




4 Bilan

Bilan: calcul tensoriel dans une BONnotation intrinseque/indicielle calcul matriciel

u .v =

a b =(a b ).v =u .(a b ) =

T .v =

v .T =

u .T .v =

A .B =

A : B =

Bilan 59/60

Bilan: calcul tensoriel dans une BONnotation intrinseque/indicielle calcul matriciel

u .v = uivi [u ]T [v ]

a b = aibj e i e j [a b ] = [a ] [b ]T(a b ).v = b .v au .(a b ) = u .a b

T .v = Tijvj e i [T .v ] = [T ] [v ]

v .T = viTij e j [v .T ] = [T ]T [v ]

u .T .v = uiTijvj [u ]T [T ] [v ]

A .B = AikBkj e i e j [A .B ] = [A ] [B ]

A : B = AijBij trace ([A ] [B ]T )

Bilan 60/60

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Introduction l'analyse tensorielleBilan

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