S3 2 Grafos Ponderados Resized
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7/25/2019 S3 2 Grafos Ponderados Resized
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3.2 Grafos ponderados
Aplicaciones de laTeora de Grafosa la vida real
Alberto Conejero y Cristina Jordn
Depto. Matemtica Aplicada
E.T.S. Ingeniera Informtica
Universitat Politcnica de Valncia
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7/25/2019 S3 2 Grafos Ponderados Resized
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Clculo de caminos
3.2. Grafos ponderados
Aplicaciones de la Teora de Grafos a la vida real
http://maps.google.es
Consideremos un mapa con varias ciudades y las distancias entre ellas (en km o min).
Cul es la ruta ms corta entre dos ciudades?
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Grafo ponderado
3.2. Grafos ponderados
Aplicaciones de la Teora de Grafos a la vida real
Sea G un grafo G=(V,E), |V|=n
Se dice que G esponderado, si cada arista (respect. arco) (vi,vj)tiene un valorasociado, p(vi,vj), al que se llama peso o coste.
Los valores de un grafo ponderado habitualmente se presentan en forma de matriz.
Se puede definir una matriz similar a la de adyacencia donde reflejemos el valor delos pesos.
En general, asignaremos a los pesos cantidades que sean enteros no negativos.
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Matriz de pesos
Los elementos de la matriz P se suelendenotar pi.jo pij.
Con pi.jse representa el elemento de lamatriz Pque se encuentra en la fila iy enla columnaj.
P=
p1,1
p1,2
... p1,n1 p1,n
p2,1
p2,2
... p2,n1 p2,n
.
.
.
.
.
....
.
.
.
.
.
.
pn1,1 pn1,2 ... pn1,n1 pn1,n
pn,1 an2 ... pn,n1 pnn
Sea G un grafo G=(V,E), |V|=n
Llamamosmatriz de pesosomatriz de costesde G a la matriz nxn P=(pi.j)cuyoselementos vienen definidos como sigue:
3.2. Grafos ponderados
Aplicaciones de la Teora de Grafos a la vida real
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Consideremos el siguiente grafo
0 3
0 5
1 0 4
7 0 3
3 1 0
Ejemplo
v2
v3
v4
v5
v1
3
35
2
1
4
7
3
3.2. Grafos ponderados
Aplicaciones de la Teora de Grafos a la vida real
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Clculo de caminos
Vamos a modelizar un mapa con 5 ciudades: Albacete, Alicante, Crdoba, Madrid yValencia. Estas ciudades estn conectadas en tren con la siguiente duracin enminutos:
Albacete-Madrid 100Albacete-Alicante 96Albacete-Crdoba 254Albacete-Valencia 105Alicante-Valencia 110Crdoba-Madrid 102Madrid-Valencia 98
Las conexiones son enambos sentidos con igualduracin
V={Ciudades}E={Pares de ciudades
conectadas entre s}P= Matriz con lasduraciones de lasconexiones entre pares deciudades.
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Aplicaciones de la Teora de Grafos a la vida real
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Clculo de caminos
0 96 254 100 105
96 0 110
254 0 102
100 102 0 98
105 110 98 0
Vamos a modelizar un mapa con 5 ciudades: Albacete, Alicante, Crdoba, Madrid yValencia. Estas ciudades estn conectadas en tren con la siguiente duracin enminutos:
Albacete-Madrid 100Albacete-Alicante 96Albacete-Crdoba 254Albacete-Valencia 105Alicante-Valencia 110Crdoba-Madrid 102Madrid-Valencia 98
Las conexiones son enambos sentidos con igualduracin
V={Ciudades}E={Pares de ciudades
conectadas entre s}P= Matriz con lasduraciones de lasconexiones entre pares deciudades.
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Aplicaciones de la Teora de Grafos a la vida real
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Clculo de caminos
0 96 254 100 105
96 0 110
254 0 102
100 102 0 98
105 110 98 0
Crdoba
Madrid
Madrid
Crdoba
Vamos a modelizar un mapa con 5 ciudades: Albacete, Alicante, Crdoba, Madrid yValencia. Estas ciudades estn conectadas en tren con la siguiente duracin enminutos:
Albacete-Madrid 100Albacete-Alicante 96Albacete-Crdoba 254Albacete-Valencia 105Alicante-Valencia 110Crdoba-Madrid 102Madrid-Valencia 98
Las conexiones son enambos sentidos con igualduracin
V={Ciudades}E={Pares de ciudades
conectadas entre s}P= Matriz con lasduraciones de lasconexiones entre pares deciudades.
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Peso de un camino
3.2. Grafos ponderados
Aplicaciones de la Teora de Grafos a la vida real
Se puede definir una matriz similar a la de adyacencia donde reflejemos el valor delos pesos.
Sea G un grafo ponderado G=(V,E), |V|=n con P=(pi.j)como matriz de pesos.
Dado un camino en G definimos elpesoocoste del caminode
G a la matriz nxn P=(pi.j)cuyos elementos vienen definidos como sigue:
(vi1 ,vi2 ,...,vik)
(vi1 ,vi2 )+
(vi2 ,vi3 )+
(vi3 ,vi4 )+
...+
p(vik1 ,vik)
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Consideremos el camino (v3,v4,v5,v1) en el siguiente grafo:
Ejemplo
v2
v3
v4
v5
v1
3
35
2
1
4
7
3 0 3
0 5
1 0 4
7 0 3
3 1 0
p(v3,v4)+p(v4,v5)+p(v5,v1) = 4 + 3 + 3 = 10
3.2. Grafos ponderados
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Clculo del peso de un camino
0 96 254 100 105
96 0 110
254 0 102
100 102 0 98
105 110 98 0
Supongamos que realizamos el siguiente viaje: Alicante, Valencia, Madrid, Crdoba.
Cul es la duracin del
mismo?
3.2. Grafos ponderados
Aplicaciones de la Teora de Grafos a la vida real
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Clculo del peso de un camino
0 96 254 100 105
96 0 110
254 0 102
100 102 0 98
105 110 98 0
Supongamos que realizamos el siguiente viaje: Alicante, Valencia, Madrid, Crdoba.
Cul es la duracin del
mismo?
p( Alicante,Valencia) + p( Valencia, Madrid)+ p( Madrid, Crdoba) =p(2,5) + p(5,4) + p(4,3) = 110 + 98 + 102 = 310 min.
La solucin es la longitud del camino que pasa por los vrtices asociados a dichas
ciudades, es decir el camino que pasa por los vrtices 2,5,4 y 3. Por tanto, dichalongitud ser:
3.2. Grafos ponderados
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