UNIVERZITET U BEOGRADU

MATEMATIČKI FAKULTET

S E M I N A R S K I R A D

TEMA: Površina i zapremina geometrijskihoblih tela i njihovi presec

i

S E M I N A R S K I R A D

TEMA: Površina i zapremina geometrijskih oblih tela i njihovi preseci

P R O F E S O R

Zoran Lučić

S T U D E N T

Marija Đenić 120/95

Beograd, juni 2000. godine

3

SADRŽAJ

1. Valjak ............................................................................................. 3 1. 1. Cilindrična površ i valjak ........................................... 3 1. 2. Površina i zapremina pravog valjka ......................... 5 1. 3. Preseci valjka ............................................................... 7

2. Kupa ............................................................................................... 10

2. 1. Konusna površ i kupa ................................................. 10 2. 2. Površina i zapremina prave kupe .............................. 12 2. 3. Površina i zapremina prave zarubljene kupe ........... 15 2. 4. Preseci kupe ................................................................. 18

3. Lopta .............................................................................................. 21

3. 1. Obrtna površ, sfera i lopta ......................................... 21 3. 2. Površina i zapremina lopte i delova lopte ................. 24 3. 3. Presek lopte .................................................................. 29

Literatura ....................................................................................... 30

4

1. Valjak

1. 1. Cilindrična površ i valjak

Neka je l proizvoljna linija u ravni α i neka je p prava koja prodire tu ravan. Skup tačaka svih pravih koje seku liniju l, a paralelne su sa pravom p naziva se cilindrična površ (sl. 1.1). Linija l naziva se vodilja ili direktrisa, a prave koje seku liniju l i paralelne su sa pravom p su izvodnice ili generatrise cilindrične površi.

a) b)

sl. 1.1

Ako je vodilja l prosta linija, tj. ne seče samu sebe, i odgovarajuća cilindrična površ je prosta; inače je složena. Cilindrična površ je otvorena ako je vodilja l otvorena linija (sl. 1.1.a); inače je zatvorena (sl. 1.1.b). Ako je vodilja cilindrične površi kružna linija, tada se za cilindričnu površ kaže da je kružna (sl. 1.2). Sve ravni paralelne sa ravni vodilje kružne cilindrične površi seku tu površ po podudarnim kružnim linijama.

5

sl. 1.2

Deo prostora ograničen kružnom cilindričnom površi i dvema podudarnim kružnim površima (nastaju kada se cilindrična površ preseče sa dve paralelne ravni) naziva se valjak (sl. 1.3). Kružne površi su osnove valjka, a deo cilindrične površi između osnova je omotač valjka.

sl. 1.3

Izvodnice cilindrične površi koje pripadaju omotaču valjka zovu se izvodnice valjka. One su sve paralelne i jednake. Rastojanje između osnova valjka naziva se visina valjka, a duž koja spaja središta osnova valjka naziva se osa valjka. Ako je osa valjka normalna na ravni osnova, valjak je prav (sl. 1.4.a), inače je kos (sl. 1.4.b). U pravom valjku osa je ujedno i visina. Prav valjak kome je visina jednaka prečniku baze zove se jednakostraničan.

6

a) b)

sl. 1.4

1. 2. Površina i zapremina pravog valjka

Ako se površ valjka razvije u jednu ravan dobija se mreža valjka (sl. 1.5). Mrežu valjka čine dve osnove (dva podudarna kruga) i omotač (pravougaonik).

sl. 1.5

Površina valjka jednaka je zbiru površina osnova i površine omotača. Ako površinu osnove označimo sa B, a površinu omotača sa M, onda se površina P valjka zapisuje u obliku:

. P B M2= ⋅ +

7

Kako je osnova krug poluprečnika r , površina joj je . Omotač valjka je pravougaonik čija je jedna stranica jednaka obimu kruga koji čini osnovu valjka, tj.

π2rB =

πr2 , a druga stranica jednaka je visini H valjka. Dakle, površina omotača valjka iznosi

HrM ⋅= π2 . Ukupna površina valjka iznosi:

( )HrrHrrP +=⋅+⋅= πππ 222 2 .

Neka je ∑ prav valjak visine H čije osnove imaju površinu B. Ako je osnova valjka krug poluprečnika ∑ r , tada je . π2rB =

Neka je P pravougaonik u ravni α donje osnove valjka čija je površina takođe jednaka B (recimo jedna strana pravougaonika je r , a druga je πr ). Konstruišemo kvadar K sa osnovom P i visinom H (sl. 1.6).

sl. 1.6

Tada bilo koja ravan δ paralelna ravni α koja seče valjak seče i kvadar K i ti preseci imaju jednake površine. Na osnovu Kavalijerijevog principa (koji glasi: Ako dva tela postavljena na istu ravan imaju jednaku visinu i jednake preseke paralelne osnovama, tada su zapremine tih tela jednake) zaključujemo da je:

∑

( ) ( )∑=VKV .

Međutim, kao što znamo ( ) HrHrrHBKV ⋅=⋅⋅=⋅= ππ 2 ,

pa je i ( ) HrHBV ⋅=⋅=∑ π2 .

8

Zapremina valjka jednaka je proizvodu površine njegove osnove i visine.

Do formule za izračunavanje zapremine valjka možemo doći na sledeći način:

U valjak upišemo jednu pravilnu četvorostranu prizmu (sl. 1.7.a). Zapremina ove prizme je očigledno manja od zapremine valjka. Ako se broj osnovnih ivica prizme udvostruči (sl. 1.7.b), zapremina tako dobijene prizme postaje bliža zapremini valjka. Nastavljajući ovakvo udvostručavanje osnovnih ivica upisane prizme, dobijamo svaki put prizmu čija je zapremina veća od zapremine prethodne i sve bliža zapremini datog valjka. To nas navodi na zaključak da je i zapremina valjka, kao i zapremina upisane prizme, jednaka proizvodu osnove i visine:

HBV ⋅= , tj. . HrV ⋅= π2

a) b)

sl. 1.7

1. 3. Preseci valjka

Presek valjka jednom ravni koja je normalna na ravan osnove i koja sadrži osu valjka, tj. osni presek, je pravougaonik sa stranicama r2 i H (sl. 1.8).

9

sl. 1.8

Presek valjka jednom ravni koja je normalna na ravan osnove i koja je

paralelna osi valjka je pravougaonik (sl. 1.9).

sl. 1.9

Presek valjka jednom ravni, koja je kosa prema ravni osnove, u

opštem slučaju je elipsa (sl. 1.10).

sl. 1.10

10

Presek valjka jednom ravni koja je paralelna sa ravni osnove je krug (sl. 1.11).

sl. 1.11

Presek valjka jednom ravni, koja je kosa prema ravni osnove i koja

seče osnovu, ona seče kružno cilindričnu površ po elipsi, a presek valjka sa ovom ravni sastoji se iz luka elipse i tetive kruga osnove (sl. 1.12).

sl. 1.12

11

2. Kupa

2. 1. Konusna površ i kupa

Neka je proizvoljna linija ravni α i neka je S tačka koja ne pripada toj ravni. Skup tačaka svih pravih koje sadrže tačku S i seku liniju l naziva se konusna površ (sl. 2.1). Linija l je vodilja ili direktrisa, a prave koje sadrže tačku S i seku liniju l su izvodnice ili generatrise. Tačka S naziva se vrh konusne površi.

l

a) b)

sl. 2.1

Ako je vodilja l prosta linija, tj. ne seče samu sebe i odgovarajuća konusna površ je prosta; inače je složena. Konusna površ je otvorena ako je vodilja l otvorena linija (sl. 2.1.a); inače je zatvorena (sl. 2.1.b).

Ako je vodilja konusne površi kružna linija, takva konusna površ je kružna.

Krug koji je određen vodiljom kružne konusne površi i deo površi koji se nalazi između te vodilje i vrha ograničavaju deo prostora koji se naziva kružna kupa, ili kraće kupa (sl. 2.2). Taj krug je osnova kupe, a konusna površ između vrha i osnove je omotač kupe.

12

sl. 2.2

Izvodnice konusne površi koje pripadaju omotaču kupe se zovu

izvodnicama kupe. Rastojanje između vrha i ravni osnove kupe je visina kupe, a duž koja spaja vrh sa središtem osnove je osa kupe. Ako je osa kupe normalna na ravan osnove, kupa je prava (sl. 2.3.a), inače je kosa (sl. 2.3.b). Sve izvodnice prave kupe su jednake. Osa prave kupe ujedno je i visina. Ako su izvodnice prave kupe jednake prečniku baze, kupa je jednakostranična.

a) b)

sl. 2.3

Ako se kupa preseče sa ravni koja je paralelna ravni osnove, dobija se krug. Deo kupe između osnove i tog kruga naziva se zarubljena kupa (sl. 2.4). Ona je ograničena dvema kružnim površima koje se nazivaju osnove i delom konusne površi između njih.

13

sl. 2.4

2. 2. Površina i zapremina prave kupe

Ako razrežemo kupu duž jedne izvodnice i po krugu osnove pa je

razvijemo u ravan dobićemo mrežu kupe (sl. 2.5). Mrežu kupe čine osnova (krug) i omotač (kružni isečak).

sl. 2.5

14

Površina kupe jednaka je zbiru površina osnove i omotača. Ako površinu osnove označimo sa B, a površinu omotača sa M, onda se površina P kupe zapisuje u obliku:

. P B M= +

Osnova kupe je krug poluprečnika r , pa joj je površina . Omotač kupe je kružni isečak čiji je poluprečnik jednak izvodnici s kupe. Dužina luka AA' tog kružnog isečka je istovremeno jednaka obimu kruga osnove kupe, to je:

π2rB =

πrOAA 2==′ .

Površina kružnog isečka čija je dužina luka l, a poluprečnik r iznosi rl ⋅

21 .

Prema formuli za površinu kružnog isečka dobijamo:

srsrM ⋅=⋅

= ππ2

2

pa površina kupe iznosi: ( )srrsrrP +=⋅+= πππ2 .

Neka je prava kupa visine H čija osnova ima površinu B. Ako je Ψ r poluprečnik kruga koji čini osnovu kupe Ψ , onda je . π2r=B

Neka je P pravougaonik koji se nalazi u ravni α osnove kupe i koji ima površinu B. Konstruišimo pravu piramidu

ΨΨ′ čija je osnova

pravougaonik P i čija je visina jednaka H (sl. 2.6).

sl. 2.6

15

Svaka ravan δ paralelna ravni α koja seče piramidu Ψ seče i kupu i ti preseci imaju jednake površine. Na osnovu Kavalijerijevog principa

zaključujemo da je:

′Ψ

( ) ( )Ψ′=Ψ VV .

Međutim, kao što znamo

( ) HrHrrHBV ⋅=⋅⋅=⋅=Ψ′ ππ 2

31

31

31 ,

pa je i

( ) HrHBV ⋅=⋅=Ψ π231

31 .

Zapremina kupe jednaka je trećini proizvoda površine osnove i visine. Do formule za izračunavanje zapremine kupe možemo doći na sledeći

način: U kupu upišemo jednu pravilnu četvorostranu piramidu (sl. 2.7.a).

Ako udvostručimo broj njenih osnovnih ivica (sl. 2.7.b), tada će se površina osnove piramide povećati i približiti površini osnove kupe, pa će se povećati i zapremina piramode. Ako nastavimo da udvostručavamo broj osnovnih ivica piramide, povećavaće se i zapremina tako dobijenih piramida i sve više će se približavati zapremini date kupe. To nas upućuje na zaključak da je i zapremina kupe, kao i zapremina piramide, jednaka trećini proizvoda površine osnove i visine:

HBV ⋅=31 , tj. HrV ⋅= π2

31 .

a) b)

sl. 2.7

16

2. 3. Površina i zapremina prave zarubljene kupe

Površina zarubljene kupe sastoji se iz površina i osnova i površine M omotača (sl. 2.8)

1B 2B

MBBP ++= 21 .

Ako su i poluprečnici osnova, onda za površinu osnova važi: 1r 2r

π211 rB =

π222 rB = .

Omotač zarubljene kupe razvijen u ravan predstavlja isečak kružnog prstena. Neka je s izvodnica zarubljene kupe, a t izvodnica kupe (kojom je zarubljena kupa Ω dovedena do pune kupe

Ω′Ψ ).

sl. 2.8

17

Na osnovu sličnosti kupa i Ψ Ω′ (sl. 2.9) zaključujemo da je:

( )

21

2

221

221

2

1

rrrst

rsrrtrsrtrt

rr

tst

−⋅

=

⋅=−⋅+⋅=⋅

=+

sl. 2.9 Međutim, površina M omotača zarubljene kupe Ω jednaka je razlici površina kupe i kupe Ω . Ψ ′

( ) trtsrM ⋅−+= ππ 21

rtrsr

t⋅−⋅+⋅= πππ 211 ( ) trrsr ⋅−+⋅= ππ 211

( )

21r

s−

2

rr

211 rrsr⋅

⋅−+⋅= ππ

srsr

⋅+⋅= ππ 21

( ) srr

⋅+= π21

Stoga je površina zarubljene kupe jednaka: MBBP ++= 21 ( ) srr ⋅+ π21rr ++= ππ 2

22

1 ( )( )srr ⋅+ 21rr ++= 2

22

1π

18

Neka su i poluprečnici osnova i H visina zarubljene kupe 1r 2r Ω . Dopunimo kupom Ω zarubljenu kupu ′ Ω do pune kupe Ψ i označimo sa x visinu dodate kupe Ω . Iz sličnosti kupa ′ Ψ i Ω′ (sl. 2.10) sledi:

( )

21

2

221

221

2

1

rrHr

x

HrrrxxrHrxr

xxH

rr

−⋅

=

⋅=−⋅+⋅=⋅

+=

sl. 2.10 Stoga za zapreminu kupe Ω dobijamo: ( ) ( ) ( )Ω′−Ψ=Ω VVV

( ) xrxHr ⋅−+= ππ 22

21 3

131

xrxrHr ⋅−⋅+⋅= πππ 22

21

21 3

131

31

( ) xrrHr ⋅−+⋅= 22

21

21 3

131 ππ

( ) ( )21

22121

21 3

131

rrHr

rrrrHr−⋅

⋅−⋅++⋅= ππ

HrHrrHr ⋅+⋅+⋅= πππ 2212

21 3

131

31

( )2221

213

1 rrrrH ++⋅= π

19

2. 4. Preseci kupe

Presek kupe jednom ravni koja je normalna na ravan osnove i koja sadrži osu kupe, tj. osni presek, je jednakokraki trougao čije su dve stranice jednake izvodnici s kupe, a treća je jednaka prečniku osnove r2 (sl. 2.11).

sl. 2.11

Ako ravan seče sve izvodnice kupe i paralelna je ravni osnove, presek je krug (sl. 2.12).

sl. 2.12

Ako ravan seče sve izvodnice kupe i nije paralelna ravni osnove,

presek je elipsa (sl. 2.13).

20

sl. 2.13

Ako je ravan paralelna samo jednoj izvodnici kupe, a sve ostale

izvodnice seče, presek je parabola (sl. 2.14). Da bi ravan bila paralelna samo jednoj izvodnici, ona mora biti paralelna tangentnoj ravni kupe kroz ovu ivicu.

sl. 2.14

Ako je ravan paralelna dvema izvodnicama kupe, a seče sve ostale

izvodnice, presek je hiperbola (sl. 2.15). Pošto je presečna ravan paralelna dvema izvodnicama, ona je paralelna ravni određenoj ovim dvema izvodnicama. Hiperbola ima dve grane koje na konusnoj površi leže sa različitih strana vrha površi.

21

sl. 2.15

22

3. Lopta

3. 1. Obrtna površ, sfera i lopta

Neka je data prava s i tačka M koja joj ne pripada. Neka je α ravan koja sadrži tačku M i normalna je na s. U ravni α posmatrajmo kružnu liniju k sa centrom α∩= sO i poluprečnikom OM (sl. 3.1). Kružna linija k je dobijena rotacijom tačke M oko ose s za pun ugao.

sl. 3.1

Neka je s proizvoljna prava i α ravan koja je sadrži (sl. 3.2), i neka je

l proizvoljna linija ravni α . Ako se ravan α obrće oko prave s za pun ugao, tada svaka tačka opisuje kružnu liniju koja pripada ravni normalnoj na pravu s, a čiji je centar u tački

lM ∈sO∈ . Unija svih takvih kružnih linija,

dobijenih obrtanjem svih tačaka linije l, obrazuje obrtnu ili rotacionu površ (sl. 3.3).

sl. 3.2 sl. 3.3

23

Kaže se da je obrtna površ dobijena obrtanjem linije l oko ose s. Ako za liniju l uzmemo pravu koja sa pravom s nema zajedničkih tačaka (paralelna joj je), dobijena obrtna površ je prava kružna cilindrična površ ili obrtna cilindrična površ. Ako za liniju l uzmemo pravu koja seče pravu s, dobijena obrtna površ je prava kružna konusna površ ili obrtna konusna površ.

Obrtanjem kružne linije l oko ose koja sadrži njegov prečnik dobija se obrtna površ koja se naziva sfera (sl. 3.4).

sl. 3.4

Kako su sve tačke kružne linije jednako udaljene od njenog središta,

to su i sve tačke sfere jednako udaljene od te tačke. Pa se sfera može definisati i kao skup svih tačaka u prostoru koje se nalaze na jednakom rastojanju od jedne utvrđene tačke. Ta utvrđena tačka je centar sfere.

Rastojanje ma koje tačke sfere od centra naziva se poluprečnik sfere. Duž koja spaja dve tačke sfere je njena tetiva. Tetiva koja prolazi kroz centar sfere naziva se prečnik sfere, i njena dužina je jednaka dvostrukoj dužini poluprečnika.

Sfera deli prostor na dva dela: na svoju unutrašnju oblast koju sačinjavaju sve one tačke čija su rastojanja manja od poluprečnika sfere, i na svoju spoljašnost koju sačinjavaju sve one tačke čija su rastojanja od centra veća od poluprečnika sfere.

24

Sfera, zajedno sa svojom unutrašnjom oblasti, sačinjava loptu. Centar, poluprečnik, prečnik, tetiva lopte su centar, poluprečnik, prečnik, tetiva odgovarajuće sfere (kojom je lopta ograničena).

Ravan koja sadrži jednu unutrašnju tačku sfere seče tu sferu po kružnoj liniji i deli je na dve kalote, a odgovarajuću loptu na dva loptina odsečka kojima je presečeni krug zajednička osnova (sl. 3.5). Rastojanje najudaljenije tačke kalote od ravni njene osnove naziva se visina kalote.

sl. 3.5

Ako sferu presečemo sa ravni koja sadrži njen centar dobijamo dve

polusfere, a presek je velika kružna linija čiji je poluprečnik jednak poluprečniku sfere. Slično važi i za loptu, s tim što je sada presek veliki krug ograničen velikom kružnom linijom.

Deo lopte između dva paralelna kruga naziva se loptin sloj, pojas ili zona. (sl. 3.6).

sl. 3.6

25

3. 2. Površina i zapremina lopte i delova lopte

Površina lopte jednaka je četvorostrukoj površini njenog velikog kruga. Ako poluprečnik lopte označimo sa r, površina velikog kruga lopte iznosi , pa je površina lopte π2r Λ

( ) π24rP =Λ .

Neka je Λ lopta poluprečnika r. Izračunajmo zapreminu odgovarajuće polulopte čija je osnova krug K poluprečnika r. U ravni kruga K konstruišemo krug podudaran sa krugom K i valjak

Λ′

1K ∑ čija je osnova , a visina r. Ako iz valjka 1K ∑ izvadimo kupu Ψ dobijamo telo T čija je

zapremina jednaka zapremini polulopte Λ′ .

sl. 3.7

Zaista, bilo koja ravan δ paralelna ravni u kojoj su krugovi K i i

na rastojanju od nje (1K

hr − rh ≤≤0 ) seče poluloptu Λ′ po krugu , a telo T po kružnoj prstenastoj površi (sl. 3.7). Dokažimo da su površine ovih preseka jednake, tj. da je:

hK

hP

( ) ( )hh PSKS = .

Prvo, uz pomoć Pitagorine teoreme vidimo da za poluprečnik x kruga važi: hK

( )222 hrrx −−=22 2rr +−=

22 hrh −=

,

2hrh −

pa je

26

( ) ( )π22 hrhKS h −= .

Površina prstenaste površi jednaka je razlici površina

odgovarajućih krugova. Veći krug ima površinu . S druge strane, poluprečnik manjeg kruga je

hPπ2r

hr − , pa je:

( ) ( ) ππ 22 hrrPS h −−=

ππ 22 2rhrr +−=

ππ 2h−( )π22 hrh −= .

Prema tome na osnovu Kavalijerijevog principa zaključujemo da je

( ) ( )TVV =Λ′ .

Međutim, ( ) ( ) ( )Ψ−∑= VVTV

rrrr ⋅−⋅= ππ 22

31

π332 r= ,

i to je zapremina polulopte Λ′ . Pa, za loptu Λ poluprečnika r važi:

( ) π334 rV =Λ .

Površina kalote K lopte Λ , gde je h visina kalote, a r poluprečnik sfere (sl. 3.8) iznosi:

( ) rhKP ⋅= π2 .

Loptin odsečak visine h (hΛ rh ≤≤0

h

) ima istu zapreminu kao telo koje se dobija kada se iz valjka hT ∑ visine h i poluprečnika osnove r

izvadi zarubljena kupa iste visine h čiji su poluprečnici osnova r i . Kako je:

hΩ

hr −

27

( ) hrV h ⋅=∑ π2 i ( ) ( ) ( )( )22

3hrhrrrhV h −+−+=Ω

π

to je

( ) ( ) ( )hhh VVV Ω−∑=Λ

( ) ( )( )222

3hrhrrrhhr −+−+−=

ππ

( )22222 23

hrhrrhrrhhr +−+−+−=ππ

3

3222 hhrhrhr ππππ −+−=

( )hrh−⋅= 3

3

2π .

sl. 3.8

Ako je , loptin odsečak rh = hΛ postaje polulopta Λ′ .

rh = , ( ) ( )rrrV h −⋅=Λ 33

2π

π332 r=

( ) π332 rV =Λ′ .

Površina loptinog sloja sΛ , gde je h visina sloja, a r poluprečnik sfere (sl. 3.9) iznosi

( ) rhP s ⋅=Λ π2 .

28

Zapremina sloja lopte sΛ , gde su i poluprečnici krugova koji čine sloj, a h visina sloja iznosi

1r 2r

( ) ( )222

21 33

6hrrhV s ++=Λ

π .

sl. 3.9

Loptin isečak je telo koje se dobija iz loptinog odsečka i kupe. Ako je loptin odsečak manji od polulopte, tada se loptin odsečak dopunjuje kupom čiji je vrh u centru lopte, a osnova joj se poklapa sa osnovom odsečka (sl. 3.10). Ako je odsečak veći od polulopte, tada se opisana kupa oduzima od odsečka. Neka je r poluprečnik lopte, a h visina odsečka koji odgovara posmatranom isečku i neka je h<r (sl. 3.11). U tom slučaju zapremina isečka F jednaka je:

( ) 21 VVFV += ,

gde je zapremina odsečka visine h, a zapremina kupe. Dakle, imamo:

1V 2V

( )hrhV −⋅⋅= 331 2

1 π

( )hraV −⋅= 22 3

1π .

29

sl. 3.10 sl. 3.11

Iz pravouglog trougla nalazimo: OASΔ

( )222 hrra −−=22 hrh −=

,

pa je

( ) ( )hrhrhV −⋅−= 22 2

31π

( ) ( hrhrh −⋅−= 231π ) .

Stoga za zapreminu loptinog isečka F dobijamo:

( ) 21 VVFV +=

( ) ( ) ( hrhrhhrh −⋅−+−⋅⋅= 2313

31 2 ππ )

( )222 22331 hrhrhrhrhh +−−+−= π

hr π232

= .

Isti rezultat se dobija i u slučaju kada je h>r, a primenjuje se formula:

( ) 21 VVFV . = −

30

3. 3. Presek lopte

Presek bilo koje ravni i lopte je uvek krug (sl. 3. 12).

sl. 3.12

31

Literatura

1. Matematika za osmi razred osnovne škole, Dušan Adnađević, Dragoslav Milić, 1993. Zavod za udžbenike i nastavna sredstva – Beograd i Zavod za udžbenike – Novi Sad

2. Matematika za treći razred gimnazije, Đuro Kurepa, Stjepan Škreblin, Josip Bračević, 1969. Školska knjiga – Zagreb

3. Matematika sa zbirkom zadataka za treći razred srednje škole, Jovan D. Kečkić, 1992. Naučna knjiga – Beograd i Zavod za udžbenike – Novi Sad

4. Nacrtna geometrija za četvrti razred gimnazije prirodno-matematičkog smera, Zagorka Šnajder i Vesna Tomašić, 1968. Zavod za izdavanje udžbenika SRS

5. Metodička zbirka zadataka iz matematike, Marcel Šnajder, Stjepan Tomić, 1970. Zavod za izdavanje udžbenika – Sarajevo

6. Zbirka zadataka iz stereometrije, Nikola Čepinac, 1953. Preduzeće za udžbenike - Beograd

32