S. Catterall et al- Baby Universes in 4d Dynamical Triangulation

8/3/2019 S. Catterall et al- Baby Universes in 4d Dynamical Triangulation

1/9

S U - 4 2 4 0 - 6 1 6

S C C S - 7 6 7

B a b y U n i v e r s e s i n 4 d

D y n a m i c a l T r i a n g u l a t i o n

S . C a t t e r a l l

P h y s i c s D e p a r t m e n t , S y r a c u s e U n i v e r s i t y ,

S y r a c u s e , N Y 1 3 2 4 4 .

J . K o g u t

L o o m i s L a b o r a t o r y , U n i v e r s i t y o f I l l i n o i s a t U r b a n a ,

1 1 1 0 W . G r e e n S t , U r b a n a , I L 6 1 8 0 1 .

R . R e n k e n

D e p a r t m e n t o f P h y s i c s , U n i v e r s i t y o f C e n t r a l F l o r i d a ,

O r l a n d o , F L 3 2 8 1 6 .

G . T h o r l e i f s s o n

P h y s i c s D e p a r t m e n t , S y r a c u s e U n i v e r s i t y ,

S y r a c u s e , N Y 1 3 2 4 4 .

A p r i l 1 0 , 1 9 9 6

A b s t r a c t

W e m e a s u r e n u m e r i c a l l y t h e d i s t r i b u t i o n o f b a b y u n i v e r s e s i n t h e c r u m p l e d

p h a s e o f t h e d y n a m i c a l t r i a n g u l a t i o n m o d e l o f 4 d q u a n t u m g r a v i t y . T h e r e l e -

v a n c e o f t h e r e s u l t s t o t h e i s s u e o f a n e x p o n e n t i a l b o u n d i s d i s c u s s e d . T h e d a t a

a r e c o n s i s t e n t w i t h t h e e x i s t e n c e o f s u c h a b o u n d .


2/9

O n e o f t h e m o r e p r o m i s i n g a p p r o a c h e s t o u n d e r s t a n d i n g t h e n a t u r e o f f o u r -

d i m e n s i o n a l q u a n t u m g r a v i t y h a s a r i s e n t h r o u g h m o d e l s b a s e d o n s u m m i n g c l a s s e s

o f s i m p l i c i a l m a n i f o l d s - t h e d y n a m i c a l t r i a n g u l a t i o n ( D T ) m o d e l s 1 , 2 ] . T h e m a n -

i f o l d i s a p p r o x i m a t e d b y a s e t o f e q u i l a t e r a l s i m p l i c e s w h o s e e d g e l e n g t h s a r e t a k e n

t o c o n s t i t u t e a n i n v a r i a n t c u t o . Q u a n t u m u c t u a t i o n s o f t h e g e o m e t r y a r e i n c o r -

p o r a t e d b y c o n s t r u c t i n g a p a r t i t i o n f u n c t i o n w h i c h s u m s o v e r a l l p o s s i b l e w a y s o f

a s s e m b l i n g t h e s e s i m p l i c e s i n t o a p i e c e w i s e l i n e a r m a n i f o l d

Z (

0

4

) =

X

T ( S

4

)

e

0

N

0

;

4

N

4

( 1 )

H e r e t h e c l a s s o f t r i a n g u l a t i o n s h a s b e e n r e s t r i c t e d t o t h a t o f s p h e r i c a l t o p o l o g y .

T h e c o u p l i n g

4

c o n s t i t u t e s a b a r e c o s m o l o g i c a l c o n s t a n t c o n j u g a t e t o t h e t o t a l

n u m b e r o f f o u r - s i m p l i c e s ( v o l u m e ) N

4

. S i m i l a r l y ,

0

p l a y s t h e r o l e o f a n i n v e r s e

N e w t o n c o n s t a n t c o u p l e d t o t h e t o t a l n u m b e r o f z e r o - s i m p l i c e s ( n o d e s ) N

0

i n t h e

t r i a n g u l a t i o n .

A s s u m i n g t h a t w e w i s h t o r e m o v e t h e e d g e l e n g t h c u t o i t i s n e c e s s a r y t o

n d p o i n t s i n t h e p a r a m e t e r s p a c e o f t h e m o d e l a t w h i c h t h e m e a n v o l u m e h N

4

i

d i v e r g e s . T o s e e h o w t h i s m a y h a p p e n c o n s i d e r e x p a n d i n g t h e g r a n d c a n o n i c a l

p a r t i t i o n f u n c t i o n E q . ( 1 ) a s a p o w e r s e r i e s i n e

;

4

,

Z (

0

4

) =

X

N

4

(

0

N

4

) e

;

4

N

4

( 2 )

T h e c o e c i e n t s i n t h i s e x p a n s i o n a r e t h e m i c r o c a n o n i c a l p a r t i t i o n f u n c t i o n s f o r t h e

s y s t e m a t x e d v o l u m e N

4

. I t i s t h e s e q u a n t i t i e s w h i c h a r e e s t i m a t e d i n M o n t e

C a r l o s i m u l a t i o n s . I n t w o d i m e n s i o n s i t i s k n o w n r i g o r o u s l y t h a t t h e a n a l o g o u s

c o e c i e n t s b e h a v e a s ( N

2

) e

c

2

N

2

- t h a t i s t h e r e i s a n e x p o n e n t i a l b o u n d o n t h e

n u m b e r o f t r i a n g u l a t i o n s c o m p o s e d o f N

2

t r i a n g l e s p r o v i d e d w e r e s t r i c t t h e g l o b a l

t o p o l o g y s u c i e n t l y

1

. T h e e x i s t e n c e o f t h i s b o u n d e n s u r e s t h a t t h e e x p a n s i o n h a s

a n i t e r a d i u s o f c o n v e r g e n c e d e t e r m i n e d b y t h e c r i t i c a l c o u p l i n g

c

2

. T h e m e a n

v o l u m e c a n t h e n b e s h o w n t o d i v e r g e i n p o w e r - l i k e f a s h i o n a s t h i s c r i t i c a l c o u p l i n g

i s a p p r o a c h e d . T h i s i s t h e b a s i s f o r t a k i n g t h e c o n t i n u u m l i m i t .

I n d i m e n s i o n s g r e a t e r t h a n t w o t h e v o l u m e d e p e n d e n c e o f (

0

N

4

) e v e n

w h e n r e s t r i c t e d t o t h e f o u r s p h e r e i s , i n p r i n c i p l e , u n k n o w n . I n a p r e v i o u s p a p e r

w e p o i n t e d o u t t h a t t h e b e h a v i o u r f o r s m a l l v o l u m e i s c o n s i s t e n t w i t h a s u p e r -

e x p o n e n t i a l g r o w t h ( N

4

) e

N

4

l o g N

4

3 ] . T h i s w o u l d , a t l e a s t n a i v e l y , r e n d e r a

c o n t i n u u m l i m i t i m p o s s i b l e . S i n c e t h e n t w o o t h e r g r o u p s h a v e e x a m i n e d t h e i s s u e

o n l a r g e r l a t t i c e s a n d c l a i m s t r o n g e v i d e n c e f o r a n e x p o n e n t i a l b o u n d 4 , 5 ] . I n l i g h t

o f t h i s w e h a v e b o t h e x t e n d e d o u r c a l c u l a t i o n s t o l a r g e r v o l u m e s a n d i n a d d i t i o n

l o o k e d a t a l t e r n a t i v e q u a n t i t i e s s u c h a s t h e d i s t r i b u t i o n o f b a b y u n i v e r s e s . T h e

l a t t e r i s v e r y s e n s i t i v e t o t h e v o l u m e d e p e n d e n c e o f (

0

N

4

) a n d m i g h t t h u s b e

u s e f u l i n r e s o l v i n g t h i s i s s u e .

1

I n t w o d i m e n s i o n s t h i s r e s t r i c t i o n a m o u n t s t o x i n g t h e g e n u s o f t h e s u r f a c e .

1


3/9

8.5 9.0 9.5 10.0 10.5 11.0 11.5 12.0

ln(V)

1.10

1.12

1.15

1.18

4

c(

V)

F i g u r e 1 : T h e c r i t i c a l c o u p l i n g

c

4

( V ) t o g e t h e r w i t h t s a s s u m i n g p o w e r - l a w c o n -

v e r g e n c e ( c u r v e ) a n d s u p e r - e x p o n e n t i a l g r o w t h ( s t r a i g h t l i n e ) .

T h e u s u a l w a y i n w h i c h a n e x p o n e n t i a l b o u n d i s o b s e r v e d i s b y l o o k i n g

a t t h e v o l u m e d e p e n d e n c e o f t h e q u a n t i t y

c

4

(

0

V ) =

1

V

l o g ( V

0

) w h i c h i s a

n u m e r i c a l e s t i m a t e f o r t h e e e c t i v e c r i t i c a l c o s m o l o g i c a l c o u p l i n g

c

4

a t v o l u m e V

I n F i g . 1 w e p l o t i t a s a f u n c t i o n o f t h e l o g a r i t h m o f t h e v o l u m e t o e x p o s e a n y

l o g a r i t h m i c a l l y d i v e r g e n t c o m p o n e n t t o t h e c r i t i c a l c o u p l i n g . W e s h o w b o t h o u r

d a t a ( c i r c l e s ) t o g e t h e r w i t h t h e d a t a p u b l i s h e d i n 4 , 5 ] . C l e a r l y , t h e s e d i e r e n t

s i m u l a t i o n s a r e i n a g r e e m e n t w i t h i n s t a t i s t i c a l e r r o r s . W e t h e n t o u r d a t a f r o m

v o l u m e s V = 8 0 0 0 ; 1 2 8 0 0 0 u s i n g t w o d i e r e n t f u n c t i o n a l f o r m s . T h e s t r a i g h t l i n e

r e p r e s e n t s a l e a s t s q u a r e t t o a s u p e r - e x p o n e n t i a l f o r m

c

4

( V ) = + l o g V ( 3 )

2


4/9

F i t (

0

) (

0

)

2

= d : o : f

P o w e r = 0 2 5 1 . 2 4 2 ( 3 ) - 1 . 2 3 ( 4 ) 2 . 4 / 3

P o w e r = 0 1 1 . 3 8 9 ( 8 ) - 0 . 6 8 ( 2 ) 0 . 8 / 3

L o g 0 . 8 9 4 ( 8 ) 0 . 0 2 5 ( 1 ) 3 . 1 / 3

T a b l e 1 : T h e o p t i m a l t p a r a m e t e r s a s t h e d a t a f o r

c

4

( V ) i s t t e d t o e i t h e r s u p e r -

e x p o n e n t i a l b e h a v i o u r o r a w e a k p o w e r - l a w c o n v e r g e n c e .

w h i l e t h e c u r v e c o r r e s p o n d s t o a w e a k p o w e r - l a w c o n v e r g e n c e t o a n e x p o n e n t i a l

b o u n d o f t h e f o r m

c

4

( V ) =

0

+

0

V

( 4 )

T h e t p a r a m e t e r s a n d q u a l i t y o f t h e t s a r e s h o w n i n T a b l e 1 . S i n c e t h e r e

i s s o l i t t l e d a t a w e h a v e c h o s e n t o d o t h e p o w e r t w i t h t w o d i e r e n t x e d p o w e r s

= 0 2 5 a n d = 0 1 . A r g u m e n t s f o r t h e f o r m e r c h o i c e a r e m a d e i n 4 ] a n d

i t c o r r e s p o n d s t o t h e c u r v e p l o t t e d i n F i g . 1 . I t i s c l e a r t h a t b o t h t y p e s o f t

c a n e q u a l l y w e l l d e s c r i b e t h e d a t a . T h e q u a l i t y o f t h e t w i t h = 0 1 a p p e a r s

s o m e w h a t s u p e r i o r b u t s i n c e t h e l o g t h a s

2

o f o r d e r o n e t h i s s h o u l d n o t b e t a k e n

a s s i g n i c a n t . I n 5 ] a = 0 2 5 t o v e r t h e s a m e v o l u m e r a n g e w a s c l a i m e d t o

b e s u b s t a n t i a l l y b e t t e r t h a n t h e l o g a r i t h m . O u r d a t a d o n o t s e e m t o s u p p o r t t h i s

a n d w e i n t e r p r e t t h i s a s s i m p l y p o i n t i n g t o t h e d e l i c a c y o f d e c i d i n g b e t w e e n s i m i l a r

t s w i t h r a t h e r l i m i t e d d a t a . I t i s q u i t e p o s s i b l e t h a t m a n y r u n s a t i n t e r m e d i a t e

v o l u m e s w o u l d b e u s e f u l t o r e s o l v e t h i s i s s u e .

T h u s w h i l e w e s e e t h a t a n e x p o n e n t i a l b o u n d i s c e r t a i n l y c o n s i s t e n t w i t h t h e

e x i s t i n g n u m e r i c a l d a t a a t l a r g e v o l u m e s i t i s n o t s t r o n g l y p r e f e r r e d o v e r t h e l o g a -

r i t h m i c d i v e r g e n c e . I n l i g h t o f t h i s w e h a v e t u r n e d t o a n a n a l y s i s o f o t h e r q u a n t i t i e s

t o t r y t o s e t t l e t h e i s s u e . T h e d i s t r i b u t i o n o f b a b y u n i v e r s e s i s o n e s u c h o b s e r v a b l e

6 ] . A b a b y u n i v e r s e i s d e n e d a s a s e c t i o n o f a d - d i m e n s i o n a l t r i a n g u l a t i o n c o n -

n e c t e d t o t h e b u l k o n l y t h r o u g h a s o - c a l l e d m i n i m a l n e c k w h i c h c o n s i s t s o f d + 1

( d ; 1 ) - s i m p l i c e s o r f a c e s c o n s t i t u t i n g a b o u n d a r y o f a s i m p l e x n o t a l r e a d y p r e s e n t

i n t h e t r i a n g u l a t i o n . I n f o u r d i m e n s i o n s t h i s i s a s e t o f v e t e t r a h e d r a l f a c e s w h i c h

m a k e u p t h e s u r f a c e o f a n e w s i m p l e x a n d d i v i d e t h e t r i a n g u l a t i o n i n t o t w o p i e c e s .

T h e v o l u m e o f t h e b a b y u n i v e r s e i s d e n e d t o b e t h e n u m b e r o f s i m p l i c e s i n t h e

s m a l l e r p i e c e .

T h e d i s t r i b u t i o n o f t h e s e b a b y u n i v e r s e s c a n b e c o m p u t e d b y c o n s i d e r i n g t h e

n u m b e r o f w a y s a v o l u m e V t r i a n g u l a t i o n c a n b e b u i l t f r o m a b a b y o f v o l u m e B a n d

a m o t h e r o f s i z e V ; B b y a t t a c h i n g t h e b a b y t o t h e m o t h e r a t s o m e p o i n t . T h i s

g l u i n g o p e r a t i o n i s e e c t e d b y i d e n t i f y i n g o n e s i m p l e x i n t h e b a b y w i t h a n o t h e r o n

t h e m o t h e r . T h u s t h e d i s t r i b u t i o n t a k e s t h e f o r m

3


5/9

P ( B ) =

( V ; B ) (

0

V ; B ) B (

0

B )

(

0

V )

( 5 )

S t r i c t l y s p e a k i n g t h e f a c t o r s (

0

B ) s h o u l d b e r e p l a c e d w i t h o n e p o i n t f u n c t i o n s

b u t w e s h a l l i g n o r e t h i s u n i m p o r t a n t t e c h n i c a l i t y h e r e . T h e i m p o r t a n t t h i n g t o

n o t i c e i s t h a t a n y e x p o n e n t i a l f a c t o r i n c a n c e l s o u t i n t h i s f o r m u l a a n d P ( B ) o n l y

d e p e n d s o n s u b - l e a d i n g c o r r e c t i o n s - t h a t i s i t i s m a x i m a l l y s e n s i t i v e t o t h e n i t e

v o l u m e c o r r e c t i o n s t o c o e c i e n t s (

0

V )

W i t h t h i s i n m i n d w e h a v e m e a s u r e d t h e d i s t r i b u t i o n P ( B ) n u m e r i c a l l y i n t h e

c r u m p l e d p h a s e o f t h e m o d e l w h e n

0

= 0 . T h e t r u e v o l u m e o f t h e t r i a n g u l a t i o n

s p a c e i s m o s t e a s i l y e s t i m a t e d h e r e s i n c e a l l t r i a n g u l a t i o n s c o n t r i b u t e w i t h e q u a l

w e i g h t t o t h e p a r t i t i o n s u m . I n d e e d w e d o n o t b e l i e v e i t i s s a f e t o t r y t o e s t i m a t e

t h e b e h a v i o u r o f (

0

V ) f r o m s i m u l a t i o n s a t l a r g e

0

. A t s u c h n o d e c o u p l i n g s

t h e d o m i n a n t t r i a n g u l a t i o n s c o r r e s p o n d t o b r a n c h e d p o l y m e r s w h o s e m e a n n o d e

n u m b e r v a r i e s l i n e a r l y w i t h v o l u m e . S u c h c o n g u r a t i o n s a r e k n o w n t o p o s s e s s a n

e x p o n e n t i a l b o u n d . T h e c r u m p l e d c o n g u r a t i o n s w h i c h p r e d o m i n a t e a t s m a l l

0

i n

c o n t r a s t h a v e m e a n n o d e n u m b e r s s c a l i n g a s s o m e f r a c t i o n a l p o w e r o f t h e v o l u m e .

A t l a r g e

0

t h e s e l a t t e r c o n g u r a t i o n s w i l l r e c e i v e l a r g e ( a s V ! 1 ) e x p o n e n t i a l

s u p p r e s s i o n r e l a t i v e t o t h e b r a n c h e d p o l y m e r s f r o m t h e n o d e t e r m i n t h e a c t i o n .

W e h a v e s i m u l a t e d t h e m o d e l a t f o u r d i e r e n t v o l u m e s 5 0 0 , 1 0 0 0 , 4 0 0 0 a n d

8 0 0 0 s i m p l i c e s , u s i n g r u n s o f l e n g t h 1 0 m i l l i o n s w e e p s

2

. W e w i l l s e e t h a t t h e m e a -

s u r e d d i s t r i b u t i o n f a l l s o e x p o n e n t i a l l y f a s t w h i c h n e c e s s i t a t e d s u c h h i g h s t a t i s t i c s

r u n s . T h i s p r e c l u d e d t h e u s e o f s i g n i c a n t l y l a r g e r l a t t i c e v o l u m e s i n t h i s s t u d y . U s -

i n g o u r p r e v i o u s p a r a m e t e r i z a t i o n s o f t h e n i t e v o l u m e c o r r e c t i o n s t o ( V ) w e h a v e

a t t e m p t e d t o t t h e d a t a w i t h f u n c t i o n a l f o r m s c o r r e s p o n d i n g t o e i t h e r l o g a r i t h m i c

d i v e r g e n c e o r w e a k p o w e r l a w c o n v e r g e n c e

l o g P ( B ) = a + ( ( B + ) l o g ( B + ) + ( V ; B + ) l o g ( V ; B + ) ) ( 6 )

l o g P ( B ) = a

0

+

0

( B + )

1 ;

+ ( V ; B + )

1 ;

( 7 )

T h e c o n s t a n t i s i n s e r t e d a s a p h e n o m e n o l o g i c a l p a r a m e t e r t o r e e c t s u b - l e a d i n g

n i t e s i z e c o r r e c t i o n s a n d a a n d a

0

r e e c t a n a m b i g u i t y i n o v e r a l l n o r m a l i z a t i o n .

I n p r a c t i c e w e h a v e r e m o v e d t h e l a r g e s t c o n t r i b u t i o n t o t h e l a t t e r b y d i v i d i n g t h e

m e a s u r e d n u m b e r o f b a b y u n i v e r s e s b y t h e v o l u m e V

F i g u r e 2 s h o w s t h e d i s t r i b u t i o n s t o g e t h e r w i t h a s e r i e s o f c u r v e s r e s u l t i n g

f r o m l e a s t - s q u a r e t s a s s u m i n g t h e l o g a r i t h m i c s c e n a r i o E q . ( 6 ) . T h e t t o t h e

l a r g e s t v o l u m e y i e l d s a = ; 2 9 2 ( 3 ) , = + 0 0 5 6 ( 1 ) a n d = ; 7 ( 1 ) w i t h

2

= 9 6 = 6

( p e r d . o . f . ) . F i t s t o t h e o t h e r v o l u m e s g i v e c o n s i s t e n t r e s u l t s . N o t i c e t h a t w e h a v e

t t e d b a b y u n i v e r s e s w i t h s i z e B = 4 ( n + 1 ) o n l y ( n i n t e g e r ) . B a b y u n i v e r s e s o f

s i z e B = 4 ( n ; 1 ) l i e o n a c u r v e w h i c h w h i l e y i e l d i n g c o n s i s t e n t t s f o r i s s h i f t e d

b y a c o n s t a n t w i t h r e s p e c t t o t h e r s t . T h i s e e c t h a s b e e n o b s e r v e d b e f o r e 7 ] a n d

2

O n e s w e e p c o r r e s p o n d s t o V a t t e m p t e d e l e m e n t a r y l o c a l m o v e s .

4


6/9

10.0 20.0 30.0 40.0 50.0

B

-25.0

-20.0

-15.0

-10.0

-5.0

ln(P(B))

V=0.5K

V=1K

V=4K

V=8K

Log fitLog fit

F i g u r e 2 : l o g P ( B ) v s B w i t h a l o g a r i t h m i c t .

i s p r e s u m a b l y t h e r e s u l t o f n i t e s i z e e e c t s . W e t o n l y f o r B > 1 0 a n d t r u n c a t e

d u e t o p o o r s t a t i s t i c s a t B > 5 0

F i g u r e 3 s h o w s t h e s a m e d a t a n o w t t e d a c c o r d i n g t o t h e p o w e r s c e n a r i o

E q . ( 7 ) . T h e b e s t t i n t h i s c a s e y i e l d s a

0

= ; 0 2 ( 1 5 ) ,

0

= ; 1 3 8 ( 5 ) a n d = 3 ( 2 )

w i t h

2

= 6 3 = 6 a s s u m i n g = 0 2 5 a s b e f o r e . A t f a c e v a l u e t h e n i t r e m a i n s h a r d

t o d i e r e n t i a t e b e t w e e n t h e t w o s i t u a t i o n s . H o w e v e r , n o t i c e t h a t t h e e x t r a c t e d

v a l u e o f = 0 0 5 6 ( 1 ) f r o m t h e l o g t i s m o r e t h a n t w i c e i t s e s t i m a t e d v a l u e f r o m

t h e t s f o r t h e e e c t i v e c r i t i c a l c o u p l i n g = 0 0 2 5 ( 1 ) ( T a b l e 1 ) . I n c o n t r a s t t h e

e s t i m a t e f o r

0

= ; 1 3 8 ( 5 ) f r o m t h e p o w e r t i s q u i t e c l o s e t o i t s v a l u e e s t i m a t e d

e a r l i e r

0

= ; 1 2 3 ( 4 ) . T h e r e l a t i v e p r o x i m i t y o f t h e t w o e s t i m a t e s i s p a r t i c u l a r l y

i m p r e s s i v e c o n s i d e r i n g t h a t o n e i s d e r i v e d f r o m t h e b e h a v i o u r o f b a b y u n i v e r s e s w i t h

s i z e l e s s t h a n 8 0 0 0 s i m p l i c e s w h i l e t h e o t h e r i s e x t r a c t e d f r o m t h e c r i t i c a l c o u p l i n g a t

v o l u m e s m u c h g r e a t e r t h a n 8 0 0 0 . F u r t h e r m o r e , i t i s c l e a r t h a t t h e p o w e r t w o u l d

5


7/9

10.0 20.0 30.0 40.0 50.0

B

-25.0

-20.0

-15.0

-10.0

-5.0

ln(P(B))

V=0.5K

V=1K

V=4K

V=8K

Power fit

F i g u r e 3 : l o g P ( B ) v s B w i t h a p o w e r t a s s u m i n g = 0 2 5

s t i l l h o l d g o o d i f w e s e t = a

0

= 0 s o t h a t s u c h a t ( w i t h a t r u l y m i n i m a l n u m b e r

o f p a r a m e t e r s ) w o u l d d o m u c h b e t t e r t h a n t h e l o g a r i t h m .

A d d i t i o n a l i n f o r m a t i o n c a n b e o b t a i n e d b y l o o k i n g a t t h e m e a n n u m b e r o f

n o d e s p e r u n i t v o l u m e . I t i s e a s y t o s e e t h a t t h i s q u a n t i t y i s r e l a t e d t o t h e c r i t i c a l

c o u p l i n g t h r o u g h ( s e e e g 8 ] )

N

0

V

=

@

c

4

( V

0

)

@

0

( 8 )

T h u s n i t e v o l u m e c o r r e c t i o n s t o t h e e e c t i v e c r i t i c a l c o u p l i n g r e s u l t i n s i m i l a r n i t e

v o l u m e c o r r e c t i o n s t o h N

0

= V i . I n F i g . 4 w e s h o w t h i s q u a n t i t y o n a l o g - l o g s c a l e

t o g e t h e r w i t h a l e a s t - s q u a r e p o w e r t . W h i l e t h e

2

o f s u c h a t i s t e r r i b l e , s h o w i n g

t h a t s u c h a s i m p l e p a r a m e t e r i z a t i o n i s i n s u c i e n t t o d e s c r i b e t h e d a t a i n d e t a i l , t h e

t s h o w s t h a t a s m a l l p o w e r - l a w c o r r e c t i o n i s a g a i n r a t h e r w e l l a b l e t o a c c o u n t f o r

6


8/9

6.0 8.0 10.0 12.0

ln(V)

-4.0

-3.5

-3.0

-2.5

-2.0

ln

0=0, D=4

F i g u r e 4 : M e a n n o d e n u m b e r p e r u n i t v o l u m e w i t h t a s s u m i n g a w e a k p o w e r

c o n v e r g e n c e .

t h e o v e r a l l s t r u c t u r e o f t h e n i t e v o l u m e c o r r e c t i o n s

3

. N o t i c e t h a t a n y c o e c i e n t o f

a l o g a r i t h m i c p i e c e i n

c

4

( V

0

) w i l l n o t c o n t r i b u t e s i n c e i t c a n n o t d e p e n d o n

0

I n c o n c l u s i o n , w e h a v e p r e s e n t e d n u m e r i c a l r e s u l t s w h i c h , a l t h o u g h n o t d e n i -

t i v e , a r e v e r y c o n s i s t e n t w i t h t h e e x i s t e n c e o f a n e x p o n e n t i a l b o u n d i n t h e d y n a m i c a l

t r i a n g u l a t i o n m o d e l o f 4 d q u a n t u m g r a v i t y . T h e e v i d e n c e f o r t h i s c o m e s b o t h f r o m

t s t o t h e v o l u m e d e p e n d e n c e o f t h e c r i t i c a l c o u p l i n g , a n a n a l y s i s o f t h e b a b y u n i -

v e r s e d i s t r i b u t i o n i n t h e c r u m p l e d p h a s e a n d t h e s c a l i n g o f t h e m e a n n o d e n u m b e r .

A l t h o u g h i n d i v i d u a l l y t h e s e q u a n t i t i e s a r e n o t v e r y c o n c l u s i v e , i t i s r e m a r k a b l e h o w

c o n s i s t e n t r e s u l t s a r e o b t a i n e d i f w e a s s u m e a w e a k p o w e r c o n v e r g e n c e . C l e a r l y , i t

i s i m p o r t a n t t o s t r e n g t h e n t h e s e c o n c l u s i o n s b o t h b y s i m u l a t i n g i n t e r m e d i a t e l a t -

3

T h e t y i e l d s = 0 2 6

7


9/9

t i c e v o l u m e s a n d p e r h a p s v i a a h i g h s t a t i s t i c s s i m u l a t i o n a t s a y v o l u m e V = 1 6 0 0 0

d i r e c t e d a t p r o b i n g f u r t h e r i n t o t h e t a i l o f t h e b a b y u n i v e r s e d i s t r i b u t i o n .

T h e c a l c u l a t i o n s r e p o r t e d h e r e w e r e s u p p o r t e d , i n p a r t , b y g r a n t s N S F P H Y -

9 5 0 3 3 7 1 , P H Y - 9 2 0 0 1 4 8 a n d f r o m r e s e a r c h f u n d s p r o v i d e d b y S y r a c u s e U n i v e r s i t y .

R e f e r e n c e s

1 ] M . A g i s h t e i n a n d A . M i g d a l , M o d . P h y s . L e t t . A 7 ( 1 9 9 2 ) 1 0 3 9 .

J . A m b j r n a n d J . J u r k i e w i c z , P h y s . L e t t . B 2 7 8 ( 1 9 9 2 ) 4 2 .

B . B r u g m a n n a n d E . M a r i n a r i , P h y s . R e v . L e t t . 7 0 ( 1 9 9 3 ) 1 9 0 8 .

B . V . d e B a k k e r a n d J . S m i t , P h y s . L e t t . B 3 3 4 ( 1 9 9 4 ) 3 0 4 .

S . C a t t e r a l l , J . K o g u t a n d R . R e n k e n , P h y s . L e t t . B 3 2 8 ( 1 9 9 4 ) 2 7 7 .

2 ] J . A m b j r n , ` Q u a n t i z a t i o n o f G e o m e t r y ' T a l k g i v e n a t N A T O A d v a n c e d S t u d y

I n s t i t u t e : L e s H o u c h e s S u m m e r S c h o o l , S e s s i o n 6 2 : F l u c t u a t i n g G e o m e t r i e s i n

S t a t i s t i c a l M e c h a n i c s a n d F i e l d T h e o r y , h e p - t h / 9 4 1 1 1 7 9 .

3 ] S . M . C a t t e r a l l , J . B . K o g u t , a n d R . L . R e n k e n , P h y s . R e v . L e t t . 7 2 ( 1 9 9 4 )

4 0 6 2 .

4 ] J . A m b j r n a n d J . J u r k i e w i c z , P h y s . L e t t . B 3 3 5 ( 1 9 9 4 ) 3 5 5 .

5 ] B . B r u g m a n n a n d E . M a r i n a r i , P h y s . L e t t . B 3 4 9 ( 1 9 9 5 ) 3 5 .

6 ] S . J a i n a n d S . D . M a t h u r , P h y s . L e t t . B 2 8 6 ( 1 9 9 2 ) 2 3 9 .

7 ] J . A m b j r n , S . J a i n , J . J u r k i e w i c z a n d C . F . K r i s t j a n s e n , P h y s . L e t t . B 3 0 5

( 1 9 9 3 ) 2 0 8 ,

J . A m b j r n a n d J . J u r k i e w i c z , ` S c a l i n g i n 4 d q u a n t u m g r a v i t y ' , N B I - H E - 9 5 - 0 5 ,

h e p - t h / 9 5 0 3 0 0 6 .

8 ] S . M . C a t t e r a l l , J . B . K o g u t , a n d R . L . R e n k e n , P h y s . L e t t . B 3 4 2 ( 1 9 9 5 ) 5 3 .

8

S. Catterall et al- Baby Universes in 4d Dynamical Triangulation

Documents

Transcript of S. Catterall et al- Baby Universes in 4d Dynamical Triangulation