Root-Locus Analysiseng.sut.ac.th/me/TiTle/ACS41.pdfSeven Steps to Sketching a Root-Locus Step...
Transcript of Root-Locus Analysiseng.sut.ac.th/me/TiTle/ACS41.pdfSeven Steps to Sketching a Root-Locus Step...
1
Root-Locus Analysis
Chapter IV
Root-Locus Analysis
2
Introduction
3
Introduction
video camera system
4
Introduction
video camera system
Pole location as a function of gain for the system
2
5
Introduction
video camera system
Pole plot from Table root locus
6
Introduction
การตอบสนองชวครกอนทระบบจะเขาสสภาวะคงตวของระบบปดนนมลกษณะเฉพาะซงจะเปนคณลกษณะของแตละระบบและตอบสนองกบอนพทแตละแบบกจะแตกตางกนไป อยางไรกตามเราทราบมาแลววาพฤตกรรมการตอบสนองของระบบสามารถทจะเชอมโยงกบต าแหนงของโพลของระบบในระนาบเชงซอนได
7
Introduction
ดงนนถาหากระบบม gain ทสามารถปรบเปลยนคาได จะท าใหระบบมต าแหนงของโพลของระบบเปลยนแปลงไปตามการปรบเปลยนคาของ gain ทเราเลอก จงมความจ าเปนอยางยงทผออกแบบจะตองทราบถงผลกระทบของการเปลยนแปลงการตอบสนองของระบบเมอต าแหนงของโพลในระนาบเชงซอน s-plane เปลยนแปลงคาไป อนเนองมาจากการเปลยนคา gain ของระบบ
8
Introduction
Ks
K
sR
sC
1
The closed-loop transfer function is
3
9
Introduction
ส าหรบในทนเราจะพจารณา gain ของฟงกชนถายโอนยอนกลบเปนพารามเตอรทมการเปลยนแปลงคาจากศนยไปถงอนนต ในการใชวธ Root-Locus น ผออกแบบระบบสามารถทจะคาดเดาการเปลยนแปลงต าแหนงของโพลเมอพารามเตอรเปลยนไป หรอเมอมการเพม open-loop pole หรอเมอมการเพม open-loop zeros เขาไปในระบบ ดงนนผออกแบบจ าเปนตองมความเขาใจทดในวธการทจะสรางทางเดนจดของรากน ไมวาจะเปนการท าดวยมอหรอการใชคอมพวเตอรโปรแกรมเขาชวย
10
Root-Locus Plots
Angle and Magnitude conditions
sGH
sG
sR
sC
1
The closed-loop transfer function is
11
Root-Locus Plots
Angle and Magnitude conditions
01 sGH 1sGH
,2,1,0 12180 kksGH
The characteristic equation for this closed-loop transfer function is
Angle conditions
Magnitude conditions
1sHsG
or
12
Root-Locus Plots
Angle and Magnitude conditions
0121
21
n
m
pspsps
zszszsK
The characteristic equation may be written as
The root loci for the system are the loci of the closed-loop poles as the gain K is varied from zero to infinity
4
13
Seven Steps to Sketching a Root-Locus
Step Relative Equation or Rule 1. a) Write lie characteristic equation so that the
parameter of interest ,K appears as a multiplier. b)Factor P(s) in terms of n poles and m zeros. c) Locate the open-loop poles and zeros of P(s) in the s-plane with selected symbols. d) Determine the number of separate loci, SL. e) The root loci are symmetrical with respect to the horizontal real axis.
or
01 sGH
01 sKP
01
1
1
n
j
j
m
i
i
ps
zs
K
14
Seven Steps to Sketching a Root-Locus
Step Relative Equation or Rule
2.
3.
Locate the segment of the real axis the root loci
The loci proceed to zeros at infinity along asymptotes centered at A and with angles A
Locus lies to the left of an odd number of poles and zeros
mn
zp ij
A
12,1,0
,18012
mnq
mn
kA
15
Seven Steps to Sketching a Root-Locus
Step Relative Equation or Rule
4.
Determine the points at which the locus crosses the imaginary axis (if it does so)
Use Routh-Hurwitz criterion
16
Seven Steps to Sketching a Root-Locus
Step Relative Equation or Rule
5.
Determine the breakaway point on the real axis
a) Set K=P(s)
b) Obtain c) Determine roots of 5 (b) or use graphical method to find maximum of P(s).
0
ds
sdP
5
17
Seven Steps to Sketching a Root-Locus
Step Relative Equation or Rule
6.
7.
Determine the angle of locus departure from complex poles and the angle of locus arrival at
complex zeros, using the phase criterion. Complete the root locus sketch
ij zorps
ksP
at
360180
18
Pole at Real-axis
02
11
sK
19
Pole and Zero at Real-axis
03
11
s
sK
20
Pole and Zero at Real-axis
01
31
s
sK
6
21
Poles and Zero at Real-axis
0
41
21
ss
sK
22
Poles and Zeros at Real-axis
021
5.031
ss
ssK
23
Poles at Real-axis
0
21
11
ssK
24
Poles at Real-axis Asymptote lines
0
21
11
ssK 0;2 mn
12,1,0,180
12
mnk
mn
kA Asymptote lines
From
0for ,90180
2
1021
kA
1for ,270180
2
1122
kA
For this system
7
25
Poles at Real-axis
Asymptote lines
mn
zp ij
A
0
21
11
ssK 2;1 21 ppFrom
5.1
2
21
AFor this system
Asymptote center
26
Poles at Real-axis
0
21
11
ssK
27
Poles at Real-axis
0
321
11
sssK
28
Poles at Real-axis Asymptote lines
0
321
11
sssK 0;3 mn
12,1,0,180
12
mnk
mn
kA Asymptote lines
From
0for ,60180
3
1021
kA
1for ,180180
3
1122
kA
For this system
2for ,300180
3
1223
kA
8
29
Poles at Real-axis
Asymptote lines
mn
zp ij
A
0
321
11
sssK 3;2;1 321 pppFrom
2
3
321
AFor this system
Asymptote center
30
Poles at Real-axis Determine the points at which the locus crosses the imaginary axis
0321 Ksss
321 sssK
11123 2 ssds
dK
0
321
11
sssKFrom
422.1;557.2 21 ss
31
Poles at Real-axis Determine the points at which the locus crosses the imaginary axis
0321 Ksss
06116 23 Ksss
06
06
6066
111
0
1
2
3
Ks
Ks
Ks
s
0
321
11
sssKFrom
The characteristic equation is
Using Routh-Hurwitz Criterion
6006
60
K
K
Eq.1
32
Poles at Real-axis Determine the points at which the locus crosses the imaginary axis
Instead K to eq.1
iss 3166.30;6 3,21
9
33
Poles at Real-axis
0
321
11
sssK
34
Poles and Zero at Real-axis
0
25.0
31
ss
sK
35
Poles and Zero at Real-axis
0
25.0
31
ss
sK
36
Poles and Zeros at Real-axis
021
5.031
ss
ssK
10
37
Poles and Zeros at Real-axis
021
5.031
ss
ssK
38
Complex Poles
033
11
2
ssK
39
Complex Poles
033
11
2
ssK
40
Complex Poles and Zero at Real-axis
053
11
2
ss
sK
11
41
Complex Poles and Zero at Real-axis
053
11
2
ss
sK
42
Complex Poles and Zero at Real-axis
Asymptote lines
053
11
2
ss
sK 1;2 mn
12,1,0,180
12
mnk
mn
kA Asymptote lines
From
0for ,180180
1
1021
kA
For this system
43
Complex Poles and Zero at Real-axis
Asymptote lines
mn
zp ij
A
053
11
2
ss
sK 1;658.15.1 12,1 zjpFrom
Asymptote center
4
1
1658.15.1658.15.1
jjA
For this system
44
Complex Poles and Zero at Real-axis Determine the points at which the locus crosses the imaginary axis
01532 sKss
1
532
s
ssK
053
11
2
ss
sKFrom
1
32
1
53
1
532
22
s
s
s
ss
s
ss
ds
dK
2
2
2
2
1
22
1
13253
s
ss
s
ssss
ds
dK
12
45
Complex Poles and Zero at Real-axis Determine the points at which the locus crosses the imaginary axis
0ds
dK0222 ss
732.0;732.2 21 ss
From
46
Complex Poles and Zero at Real-axis Determine the angle of departure (angle of arrival) of the root-
locus from complex pole (at a complex zero)
Angle of departure
Angle of departure from a complex pole = 180o –
(sum of the angles of vectors to a complex pole in question
from other pole)+ (sum of the angles of vector to a complex pole
in question from zeros)
Angle of arrival
Angle of arrival at a complex zero = 180o –
(sum of the angles of vectors to a complex zero in question
from other zeros)+ (sum of the angles of vectors to a complex zero
in question from poles)
47
Poles at Real-axis Determine the angle of departure
053
11
2
ss
sK
78.10678.1690180180 121
2
1
1
48
Complex Poles and Zero at Real-axis Determine the angle of departure
053
11
2
ss
sK
22.16322.253270180180 112
2
1
1
13
49
Complex Poles and Complex Zeros
053
421
2
2
ss
ssK
50
Complex Poles and Complex Zeros
Asymptote lines
053
421
2
2
ss
ssK 2;2 mnFrom
732.11
658.15.1
2,1
2,1
jz
jp
Poles and zeros
51
Complex Poles and Complex Zeros Determine the angle of departure (angle of arrival) of the root-
locus from complex pole (at a complex zero)
Angle of departure
Angle of departure from a complex pole = 180o –
(sum of the angles of vectors to a complex pole in question
from other pole)+ (sum of the angles of vector to a complex pole
in question from zeros)
Angle of arrival
Angle of arrival at a complex zero = 180o –
(sum of the angles of vectors to a complex zero in question
from other zeros)+ (sum of the angles of vectors to a complex zero
in question from poles)
52
Complex Poles and Zero at Real-axis Determine the angle of departure
8.168.37639.9841.18890180180 2121
053
421
2
2
ss
ssK
2
11
2
14
53
Complex Poles and Zero at Real-axis Determine the angle of departure
19.34359.1716.261270180180 2112
053
421
2
2
ss
ssK
2
11
2
54
Complex Poles and Zero at Real-axis Determine the angle of arrival
01.180906.8141.8180180 2211
053
421
2
2
ss
ssK
2
1
1
2
55
Complex Poles and Zero at Real-axis Determine the angle of arrival
97.17997.53927058.35139.278180180 1212
053
421
2
2
ss
ssK
2
1
1
2
56
Poles at Real-axis and Complex Zeros
0
23
421
2
ss
ssK
15
57
Complex Poles and Complex Zeros
0
53
421
2
2
sss
ssK
58
Complex Poles and Complex Zeros
0
532
421
2
2
ssss
ssK
59
Typical pole-zero configurations and
corresponding root loci
60
Typical pole-zero configurations and
corresponding root loci
16
61
Typical pole-zero configurations and
corresponding root loci
62
Typical pole-zero configurations and
corresponding root loci
63
Complex poles and
line of constant damping ratio
cos64
Example
Kss
K
sG
sG
sR
sC
21 2
0
0
17
65
Example
7.0 428.17.0
1122
nn
03.22 nK
015.112,1 jp
34.33.0
1122
nn
11.112 nK
179.312,1 jp
3.0
If
03.22
03.22
sssR
sC
If
11.112
11.112
sssR
sC66
Example
0
2
11
ssK
67 68
The Root-Locus Procedure
0121
21
n
m
pspsps
zszszsK
1. จากสมการขางบน ท าการเขยนต าแหนง poles และzeroes ลงบน s-plane 2. จ านวนเสนของ root-locus เจาเทากบจ านวน poles 3. เสน root-locus จะวงออกจาก polesไปหา zeroes หรอ เสมอ
18
69
The Root-Locus Procedure
กรณท 1. ม poles อยบน real axis •สมมตวา test point อยดานขวาสดของ real axis และอยบน real axis •จากนนท าการเลอน test point มาทางซายสด ในระหวางนนใหนบ จ านวน pole และ zero ทปรากฏอยทางขวามอของ test point •ถาจ านวน pole และ zero ทนบรวมกนเปนเลขค แสดงวา test point นนอยบนเสน root locus
70
Root-Locus Plots
4321
1
pspspsps
zsKsHsG
71
Root-Locus Plots
43211 sGH
4321
1
AAAA
KBsHsG
Angle conditions
Magnitude conditions
72
Root-Locus Plots
19
73
The Root-Locus Procedure
Step1: Begin by writing the characteristic equation as
01 sGH
We are usually interest in determining the locus of roots as K varies as
K0
74
Root-Locus Plots with MATLAB conv(a,b)
conv([….],[….])
rlocus(num,den)
rlocus(A,B,C,D,K)
sgrid( )
sgrid([…..],[…..])
[K,r]=rlocfind(num,den)
n ,