ROMANIAN MATHEMATICAL MAGAZINE
Transcript of ROMANIAN MATHEMATICAL MAGAZINE
R M MROMANIAN MATHEMATICAL MAGAZINE
Founding EditorFounding EditorDANIEL SITARUDANIEL SITARU
Available onlineAvailable onlinewww.ssmrmh.rowww.ssmrmh.ro
ISSN-L 2501-0099ISSN-L 2501-0099
RMM - Calculus Marathon 1501 - RMM - Calculus Marathon 1501 - 16001600
www.ssmrmh.ro
1 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
Proposed by
Daniel Sitaru โ Romania,Vasile Mircea Popa-Romania
Asmat Qatea-Afghanistan,Kaushik Mahanta-Assam-India
Srinivasa Raghava-AIRMC-India,Sujeethan Balendran-SriLanka
Narendra Bhandari-Bajura-Nepal,Orxan Abasov-Azerbaijan
Abdul Mukhtar-Nigeria,Ty Halpen-Florida-SUA,Angad Singh-India,George
Apostolopoulos-Messolonghi-Greece,Amrit Awasthi-India,Surjeet Singhania-
India.Floricฤ Anastase-Romania,Neculai Stanciu-Romania,Mohammad
Hamed Nasery-Afghanistan,Costel Florea-Romania,Mikael Bernardo-
Mozambique,Simon Peter-Madagascar,Durmuล Ogmen-Turkiye
Ajetunmobi Abdulqoyyum-Nigeria,Syed Shahabudeen-India
Probal Chakraborty-India,Tobi Joshua-Nigeria,Ose Favour-Nigeria
Onikoyi Adeboye-Nigeria,Marin Chirciu-Romania,Marian Ursฤrescu-Romania
Ruxandra Daniela Tonilฤ-Romania
www.ssmrmh.ro
2 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
Solutions by
Daniel Sitaru โ Romania,Rana Ranino-Setif-Algerie
Jose Ferreira Queiroz-Olinda-Brazil,Ty Halpen-Florida-USA,Amrit Awasthi-
Punjab-India,Syed Shahabudeen-Kerala-India,Akerele Olofin-Nigeria
Cornel Ioan Vฤlean-Romania,Ngulmun George Baite-India,Mohammad
Rostami-Afghanistan,Yen Tung Chung-Taichung-Taiwan,Orlando Irahola
Ortega-Bolivia,Ghuiam Naseri-Afghanistan,Marian Ursฤrescu-
Romania,Ajetunmobi Abdulquyyum-Nigeria,Muhammad Afzal-Pakistan
Adrian Popa-Romania,Angad Singh-India,Ruxandra Daniela Tonilฤ-Romania
Artan Ajredini-Presheva-Serbie,Naren Bhandari-Bajura-Nepal,Soumitra
Mandal-India,Ose Favour-Nigeria,Kartick Chandra Betal-India,Asmat Qatea-
Afghanistan,Ravi Prakash-New Delhi-India,Ahmed Yackoube Chach-
Mauritania,George Florin ศerban-Romania,Serlea Kabay-Liberia,Obaidullah
Jaihon-Afghanistan,Mikael Bernardo-Mozambique,Floricฤ Anastase-Romania
Felix Marin-Romania,Kamel Gandouli Rezgui-Tunisia,Surjeet Singhania-India
Probal Chakraborty-Kolkata-India,Kaushik Mahanta-Assam-India
Hussain Reza Zadah-Afghanistan,Timson Azeez Folorunsho-Nigeria
Luca Paes Barreto-Pernambuco-Brazil,Abdul Mukhtar-Nigeria
Remus Florin Stanca-Romania,Mohammad Hamed Nasery-Afghanistan
Satyam Roy-India,Sujit Bhowmick-India,Sediqakbar Restheen-Afghanistan
Santiago Alvarez-Mexico,Almas Babirov-Azerbaijan,
Fayssal Abdelli-Bejaia-Algerie, Ajenikoko Gbolahan-Nigeria
Dawid Bialek-Poland
www.ssmrmh.ro
3 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
1501. Prove that:
๐ฟ(๐
๐) โ ๐ฟ(
๐
๐) = ๐ โ๐ โ ๐โ๐ ๐ฅ๐จ๐ (๐ + โ๐)
where ๐ฟ(๐) is the digamma function.
Proposed by Vasile Mircea Popa-Romania
Solution 1 by Rana Ranino-Setif-Algerie
We know that:
โซ๐๐
๐ + ๐๐ ๐
๐
๐
=๐
๐(๐(
๐
๐+ ๐) โ๐ (
๐
๐+๐
๐))
๐ = ๐โซ๐โ๐๐
๐ + ๐๐ ๐
๐
๐
=๐=๐๐
๐โซ๐๐
๐ + ๐๐๐ ๐
๐
๐
= ๐(โซ๐๐ + ๐
๐ + ๐๐๐ ๐
๐
๐
+โซ๐๐ โ ๐
๐ + ๐๐๐ ๐
๐
๐
) =
= ๐(โซ๐ +
๐๐๐
๐๐ +๐๐๐
๐ ๐๐
๐
+โซ๐ โ
๐๐๐
๐๐ +๐๐๐
๐ ๐๐
๐
)
๐ = ๐ โ๐
๐; ๐ = ๐ +
๐
๐โ ๐ = ๐(โซ
๐ ๐
๐๐ + ๐
๐
โโ
โโซ๐ ๐
๐๐ โ ๐
โ
๐
) =
= ๐(๐
๐โ๐โ๐
๐โ๐๐ฅ๐จ๐ (
๐ โ โ๐
๐+ โ๐)|๐
โ
= ๐ โ๐ โ โ๐ ๐ฅ๐จ๐ (๐ + โ๐
๐ โ โ๐) =
= ๐ โ๐ โ โ๐ ๐ฅ๐จ๐ [(๐ + โ๐
โ๐)
๐
]
Therefore,
๐(๐
๐) โ๐(
๐
๐) = ๐ โ๐ โ ๐โ๐ ๐ฅ๐จ๐ (๐ + โ๐)
Solution 2 by Jose Ferreira Queiroz-Olinda-Brazil
๐(๐
๐) = โ๐ธ โ ๐ฅ๐จ๐ ๐๐ โ
๐
๐โ ๐๐จ๐ญ (
๐ ๐
๐) + ๐ โ ๐๐จ๐ฌ (
๐๐ ๐๐
๐)
[๐โ๐๐]
๐=๐
๐ฅ๐จ๐ (๐ฌ๐ข๐ง (๐ ๐
๐))
For ๐ = ๐,๐ = ๐, we have:
www.ssmrmh.ro
4 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
๐(๐
๐) = โ๐ธ โ ๐ฅ๐จ๐ ๐๐ โ
๐
๐๐๐จ๐ญ (
๐๐
๐) + ๐โ๐๐จ๐ฌ (
๐๐๐
๐) ๐ฅ๐จ๐ (๐ฌ๐ข๐ง (
๐๐
๐))
๐
๐=๐
=
= โ๐ธ โ ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ +๐
๐(โ๐ + ๐) +
โ๐
๐๐ฅ๐จ๐ (๐ โ โ๐) โ
โ๐
๐๐ฅ๐จ๐ (๐ + โ๐)
For ๐ = ๐,๐ = ๐ we have:
๐(๐
๐) = โ๐ธ โ ๐ฅ๐จ๐ ๐๐ โ
๐
๐๐๐จ๐ญ (
๐๐
๐) + ๐โ๐๐จ๐ฌ (
๐๐๐
๐) ๐ฅ๐จ๐ (๐ฌ๐ข๐ง (
๐๐
๐))
๐
๐=๐
=
= โ๐ธ โ ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ โ๐
๐(โ๐ โ ๐) โ
โ๐
๐๐ฅ๐จ๐ (๐ โ โ๐) +
โ๐
๐๐ฅ๐จ๐ (๐ + โ๐)
Now, ๐(๐
๐) โ ๐(
๐
๐) = ๐ โ๐ + โ๐ ๐ฅ๐จ๐ (๐ โ โ๐) โ โ๐ ๐ฅ๐จ๐ (๐ + โ๐) =
= ๐ โ๐ + โ๐ ๐ฅ๐จ๐ (๐ โ โ๐
๐ + โ๐) = ๐ โ๐ + โ๐ ๐ฅ๐จ๐ (
๐
(๐ + โ๐)๐) =
= ๐ โ๐ + โ๐ ๐ฅ๐จ๐ (๐
๐ + ๐โ๐) = ๐ โ๐ + โ๐ ๐ฅ๐จ๐ (
๐
(๐ + โ๐)๐)
Therefore,
๐(๐
๐) โ๐(
๐
๐) = ๐ โ๐ โ ๐โ๐ ๐ฅ๐จ๐ (๐ + โ๐)
1502. Prove that:
โ๐๐+ (โ๐)
๐๐+๐๐
๐๐ + ๐๐จ๐ฌ (๐๐ ๐)
โ
๐=๐
=โ๐ โ ๐โ๐
๐
Proposed by Asmat Qatea-Afghanistan
Solution 1 by Ty Halpen-Florida-USA
โ๐๐+ (โ๐)
๐๐+๐๐
๐๐ + ๐๐จ๐ฌ (๐๐ ๐ )
โ
๐=๐
=
= (โ๐(๐๐) + (โ๐)
(๐๐)๐+๐๐๐
๐(๐๐) + ๐๐จ๐ฌ(๐๐ )
โ
๐=๐
)(โ๐(๐๐ โ ๐) + (โ๐)
(๐๐โ๐)๐+๐๐โ๐๐
๐(๐๐ โ ๐) + ๐ฌ๐ข๐ง(๐๐ )
โ
๐=๐
)
www.ssmrmh.ro
5 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
= (โ๐๐ + (โ๐)๐
๐๐ + (โ๐)๐
โ
๐=๐
)(โ๐๐โ ๐ + (โ๐)๐
๐๐ โ ๐
โ
๐=๐
) =โ(๐ +(โ๐)๐
๐๐ โ ๐)
โ
๐=๐
Now, use the result:
โ(๐+(โ๐)๐๐
๐๐ + ๐)
โ
๐=๐
=๐โ๐๐โ๐ ๐ช(
๐ + ๐๐ )
๐ช (๐ + ๐ โ ๐๐๐ )๐ช (
๐๐+ ๐ + ๐๐๐ )
Fro ๐ = ๐, ๐ = โ๐, ๐ = ๐:
โ(๐+(โ๐)๐
๐๐ โ ๐)
โ
๐=๐
=โ๐๐ ๐ช (
๐๐)
๐ช(๐๐) ๐ช(
๐๐)= โ๐๐ฌ๐ข๐ง (
๐
๐) =
โ๐ โ ๐โ๐
๐
Solution 2 by Amrit Awasthi-Punjab-India
Consider the following cases:
I) ๐ = ๐๐ + ๐: (โ๐)๐๐+๐
๐ = โ๐, ๐๐จ๐ฌ (๐๐
๐) = ๐
II) ๐ = ๐๐ + ๐: (โ๐)๐๐+๐
๐ = โ๐, ๐๐จ๐ฌ (๐๐
๐) = โ๐
III) ๐ = ๐๐ + ๐: (โ๐)๐๐+๐
๐ = ๐, ๐๐จ๐ฌ (๐๐
๐) = ๐
IV) ๐ = ๐๐: (โ๐)๐๐+๐
๐ = ๐, ๐๐จ๐ฌ (๐๐
๐) = ๐
Hence, rewriting the product, we have:
๐ =โ๐(๐๐ + ๐) โ ๐
๐(๐๐ + ๐) + ๐โ ๐(๐๐ + ๐) โ ๐
๐(๐๐ + ๐) โ ๐โ ๐(๐๐ + ๐) + ๐
๐(๐๐ + ๐) + ๐โ ๐(๐(๐ + ๐)) + ๐
๐(๐(๐ + ๐)) + ๐
โ
๐=๐
=
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
โ๐๐+ ๐
๐๐ + ๐โ ๐๐ + ๐
๐๐ + ๐
๐
๐=๐
=๐
๐โ ๐
๐๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
โ๐+
๐๐
๐+๐๐
โ ๐ +
๐๐
๐ +๐๐
๐
๐=๐
=
=๐
๐โ ๐
๐๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐ช(๐ +๐๐ + ๐)
๐ช(๐๐ + ๐)
๐ช(๐ +๐๐ + ๐)
๐ช(๐๐+ ๐)
โ
๐ช (๐ +๐๐ + ๐)
๐ช (๐๐ + ๐)
๐ช (๐ +๐๐ + ๐)
๐ช (๐๐+ ๐)
=
www.ssmrmh.ro
6 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
=๐
๐โ ๐
๐๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐๐๐+๐โ
๐๐+๐๐+๐โ
๐๐โ๐ โ
๐ช (๐๐ + ๐)๐ช (
๐๐ + ๐)
๐ช (๐๐ + ๐)๐ช (
๐๐ + ๐)
=
=๐
๐โ ๐
๐โ
๐๐๐๐ช (
๐๐)๐ช (๐ โ
๐๐)
๐๐๐๐ช (
๐๐)๐ช (๐ โ
๐๐)=๐
๐โ ๐
๐โ ๐
๐๐โ ๐๐
๐โ
๐
๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐
๐
๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐
=๐
๐โ ๐
๐โ ๐๐ ๐ฌ๐ข๐ง
๐ ๐
๐ ๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐
= โ๐ ๐ฌ๐ข๐ง๐
๐
=โ๐ โ ๐โ๐
๐
1503. Prove that:
โซ โซ โซ โฆโซ๐ ๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐โฆ๐ ๐๐
โ๐๐๐๐๐๐โฆ๐๐(๐ โ ๐๐)(๐ โ ๐๐)(๐ โ ๐๐)โฆ (๐ โ ๐๐)(๐ + ๐๐๐๐๐๐โฆ๐๐)
๐
๐
๐
๐
๐
๐
๐
๐
=
= ๐ ๐โ๐ ๐+๐ ๐ญ๐๐+๐ (
๐
๐,๐
๐,โฆ ,
๐
๐โ (๐+๐)โ๐๐๐๐๐
; ๐, ๐, . . . , ๐โ ๐โ๐๐๐๐๐
; โ๐)
Proposed by Kaushik Mahanta-Assam-India
Solution 1 by Syed Shahabudeen-Kerala-India
โซ โซ โซ โฆโซ๐ ๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐โฆ๐ ๐๐
โ๐๐๐๐๐๐โฆ๐๐(๐ โ ๐๐)(๐ โ ๐๐)(๐ โ ๐๐)โฆ (๐ โ ๐๐)(๐ + ๐๐๐๐๐๐โฆ๐๐)
๐
๐
๐
๐
๐
๐
๐
๐
=
=โ(โ๐)๐
๐๐(๐๐
๐)
โ
๐=๐
โซ โซ โซ โฆโซ(๐๐๐๐๐๐โฆ๐๐)
๐โ๐๐ ๐ ๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐โฆ๐ ๐๐
โ(๐ โ ๐๐)(๐ โ ๐๐)(๐ โ ๐๐)โฆ (๐ โ ๐๐)
๐
๐
๐
๐
๐
๐
๐
๐
=
= โ(โ๐)๐
๐๐(๐๐
๐)๐ช๐ (๐ +
๐๐) ๐ช
๐ (๐๐)
๐ช๐(๐ + ๐)
โ
๐=๐
=
(๐๐)!
๐๐๐!=(๐๐)๐
=โ(โ๐)๐ (๐
๐)๐
๐ช๐ (๐ +๐๐) ๐ช
๐ (๐๐)
๐ช๐(๐ + ๐)๐!
โ
๐=๐
=โ(โ๐)๐
๐!(๐
๐)๐
๐ช๐ (๐ +๐๐) ๐ช
๐ (๐๐)
๐ช๐(๐ + ๐)
โ
๐=๐
=
= ๐ช๐๐ (๐
๐)โ(โ๐)๐ (
๐
๐)๐
(๐๐)๐
๐
(๐)๐๐๐!
โ
๐=๐
= ๐ ๐โ(๐๐)๐
๐+๐
(โ๐)๐
(๐)๐๐๐!
โ
๐=๐
=
= ๐ ๐โ๐ ๐+๐ ๐ญ๐๐+๐ (๐
๐,๐
๐,โฆ ,
๐
๐โ (๐+๐)โ๐๐๐๐๐
; ๐, ๐, . . . , ๐โ ๐โ๐๐๐๐๐
; โ๐)
www.ssmrmh.ro
7 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
Solution 2 by Akerele Olofin-Nigeria
โซ โซ โซ โฆโซ๐ ๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐โฆ๐ ๐๐
โ๐๐๐๐๐๐โฆ๐๐(๐ โ ๐๐)(๐ โ ๐๐)(๐ โ ๐๐)โฆ (๐ โ ๐๐)(๐ + ๐๐๐๐๐๐โฆ๐๐)
๐
๐
๐
๐
๐
๐
๐
๐
=
= โซ โซ โซ โฆโซ๐ ๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐โฆ๐ ๐๐
โ๐๐๐๐๐๐โฆ๐๐(๐ โ ๐๐)(๐ โ ๐๐)(๐ โ ๐๐)โฆ (๐ โ ๐๐)
๐
๐
๐
๐
๐
๐
๐
๐
๐
๐ + ๐๐๐๐๐๐โฆ๐๐=
= โซ โซ โซ โฆโซ๐ ๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐โฆ๐ ๐๐
โ๐๐๐๐๐๐โฆ๐๐(๐ โ ๐๐)(๐ โ ๐๐)(๐ โ ๐๐)โฆ (๐ โ ๐๐)
๐
๐
๐
๐
๐
๐
๐
๐
โ(
๐๐+ ๐ โ ๐
๐) (โ๐)๐ (โ๐๐
๐
๐=๐
)
๐โ
๐=๐
=โ(โ๐)๐ (๐ โ
๐๐
๐)
โ
๐=๐
โซ โซ โซ โฆโซ(โ ๐๐
๐๐=๐ )๐โ
๐๐
โโ (๐ โ ๐๐)๐๐=๐
๐ ๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐โฆ๐ ๐๐
๐
๐
๐
๐
๐
๐
๐
๐
โ ๐ฑ๐ =โ(โ๐)๐(๐ โ
๐๐
๐)โโซ ๐
๐
๐โ๐๐(๐ โ ๐๐)
โ๐๐๐ ๐๐
๐
๐
๐
๐=๐
โ
๐=๐
โต โซ ๐๐
๐โ๐๐(๐ โ ๐๐)
โ๐๐
๐
๐
๐ ๐๐ = ๐ท(๐ +๐
๐,๐
๐) =
๐ช (๐ +๐๐)๐ช (
๐๐)
๐ช(๐ + ๐)
Therefore,
๐ฑ๐ =โ๐ช(๐ +
๐๐)
๐ช (๐๐)๐ช
(๐ + ๐)(๐ช (๐ +
๐๐)๐ช (
๐๐)
๐ช(๐ + ๐))
๐โ
๐=๐
= ๐ ๐โ๐ช๐+๐ (๐ +
๐๐)
๐ช๐+๐ (๐๐)๐ช
๐(๐ + ๐)
(โ๐)๐
๐ช(๐ + ๐)
โ
๐=๐
=
= ๐ ๐โ๐ ๐+๐ ๐ญ๐๐+๐ (
๐
๐,๐
๐,โฆ ,
๐
๐โ (๐+๐)โ๐๐๐๐๐
; ๐, ๐, . . . , ๐โ ๐โ๐๐๐๐๐
; โ๐)
1504. If we have:
โซ (๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐
๐๐โ๐๐จ๐ฌ๐ ๐
๐๐โ๐ฌ๐ข๐ง๐ก ๐ ๐
๐๐+๐๐จ๐ฌ๐ก๐ ๐
๐๐)๐โ๐ ๐
โ๐
โ
๐
๐ ๐ = ๐ ๐๐ถ + ๐ ๐๐ท
then find the values of ๐ถ and ๐ท.
Proposed by Srinivasa Raghava-AIRMC-India
Solution by Syed Shahabudeen-Kerala-India
๐ = โซ (๐ฌ๐ข๐ง ๐ ๐
๐๐โ๐๐จ๐ฌ ๐ ๐
๐๐โ๐ฌ๐ข๐ง๐ก๐ ๐
๐๐+๐๐จ๐ฌ๐ก๐ ๐
๐๐)๐โ๐ ๐
โ๐
โ
๐
๐ ๐ =
www.ssmrmh.ro
8 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
= โซ๐โ๐ ๐ ๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐
๐๐๐
โ
๐
๐ ๐ +โซ๐โ๐ ๐ ๐๐จ๐ฌ๐ ๐
๐๐๐
โ
๐
๐ ๐ โโซ๐โ๐ ๐ ๐ฌ๐ข๐ง๐ก๐ ๐
๐๐๐
โ
๐
๐ ๐ +โซ๐โ๐ ๐ ๐๐จ๐ฌ๐ก๐ ๐
๐๐๐
โ
๐
๐ ๐
= ๐จ โ๐ฉโ ๐ช+ ๐ซ.
๐จ = โซ๐โ๐ ๐ ๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐
๐๐๐
โ
๐
๐ ๐ = ๐ฐ๐โซ๐๐๐ ๐๐โ๐๐ ๐
๐๐๐
โ
๐
๐ ๐ = ๐ฐ๐(๐ {๐๐๐ ๐๐โ๐๐}) = ๐ฐ๐(
๐ช (โ๐๐)
(๐ โ ๐๐ )โ๐๐
)
= โ๐๐ ๐
๐๐๐ฐ๐(
๐
(๐ โ ๐)โ๐๐
) = โ๐๐ ๐
๐๐๐ฐ๐(
(๐ + ๐)โ๐๐
๐โ๐๐
) = โ๐๐ ๐
๐๐๐ฐ๐
(
(โ๐๐
๐๐ ๐ )โ๐๐
๐โ๐๐
)
=
=๐๐ ๐๐
๐๐
๐๐๐ฌ๐ข๐ง๐๐
๐
๐ฉ = โซ๐โ๐ ๐ ๐๐จ๐ฌ ๐ ๐
๐๐๐
โ
๐
๐ ๐ = ๐น๐โซ๐๐๐ ๐๐โ๐๐ ๐
๐๐๐
โ
๐
๐ ๐ = ๐น๐ (๐ {๐๐๐ ๐๐โ๐๐}) = ๐น๐(
๐ช (โ๐๐)
(๐ โ ๐๐ )โ๐๐
)
=๐๐ ๐
๐๐น๐
(
(โ๐๐
๐๐ ๐ )
โ๐๐
๐โ๐๐
)
=๐๐ ๐๐
๐๐
๐๐๐จ๐ฌ
๐๐
๐
๐ช = โซ๐โ๐ ๐ ๐ฌ๐ข๐ง๐ก๐ ๐
๐๐๐
โ
๐
๐ ๐ =๐
๐(๐ {๐๐ ๐๐โ
๐๐} โ ๐ {๐โ๐ ๐๐โ
๐๐}) =
=๐
๐๐ฅ๐ข๐ฆ๐โ๐
(๐ช (โ
๐๐)
(๐ โ ๐ )โ๐๐
โ๐ช(โ
๐๐)
(๐ + ๐ )โ๐๐
) =โ๐ช(โ
๐๐)
๐(๐๐ )โ๐๐
=๐๐๐ ๐โ๐
๐๐
๐ซ = โซ๐โ๐ ๐ ๐๐จ๐ฌ๐ก๐ ๐
๐๐๐
โ
๐
๐ ๐ =๐
๐(๐{๐๐ ๐๐โ
๐๐} + ๐ {๐โ๐ ๐๐โ
๐๐}) =
=๐
๐๐ฅ๐ข๐ฆ๐โ๐
(๐ช (โ
๐๐)
(๐ โ ๐ )โ๐๐
+๐ช (โ
๐๐)
(๐ + ๐ )โ๐๐
) =๐ช(โ
๐๐)
๐(๐๐ )โ๐๐
=๐๐ ๐โ๐
๐
๐ =๐๐ ๐๐
๐๐
๐๐๐ฌ๐ข๐ง๐๐
๐โ๐๐ ๐๐
๐๐
๐๐๐จ๐ฌ
๐๐
๐โ๐๐๐ ๐โ๐
๐๐+๐๐ ๐โ๐
๐=
www.ssmrmh.ro
9 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
= ๐ ๐ (๐โ๐
๐โ๐๐๐๐
๐๐๐จ๐ฌ
๐๐
๐) + ๐ ๐ (
๐๐๐๐
๐๐๐ฌ๐ข๐ง๐๐
๐โ๐๐โ๐
๐๐)
Therefore, ๐ถ =๐โ๐
๐โ๐๐๐๐
๐๐๐จ๐ฌ
๐๐
๐, ๐ท =
๐๐๐๐
๐๐๐ฌ๐ข๐ง
๐๐
๐โ๐๐โ๐
๐๐
1505. Evaluate the integral in a closed-form
๐ = โซ (๐ญ๐๐ง๐ ๐
๐๐จ๐ฌ๐๐๐
+๐โ๐ ๐๐จ๐ฌ
๐๐๐
๐ ๐ฌ๐ข๐ง๐๐๐+ ๐
+๐๐ ๐ฌ๐ข๐ง ๐
๐ ๐๐จ๐ฌ ๐ + ๐)
๐ ๐
๐
๐ ๐
Proposed by Srinivasa Raghava-AIRMC-India
Solution by Rana Ranino-Setif-Algerie
๐ = โซ (๐ญ๐๐ง๐ ๐
๐๐จ๐ฌ๐๐๐
+๐โ๐๐๐จ๐ฌ
๐๐๐
๐ ๐ฌ๐ข๐ง๐๐๐ + ๐
+๐๐๐ฌ๐ข๐ง๐
๐ ๐๐จ๐ฌ ๐ + ๐)
๐ ๐
๐
๐ ๐ =
= โซ๐ญ๐๐ง๐ ๐
๐๐จ๐ฌ๐๐๐
๐ ๐
๐
๐ ๐ + โซ๐โ๐๐๐จ๐ฌ
๐๐๐
๐ ๐ฌ๐ข๐ง๐๐๐ + ๐
๐ ๐
๐
๐ ๐ +โซ๐๐๐ฌ๐ข๐ง ๐
๐ ๐๐จ๐ฌ ๐ + ๐
๐ ๐
๐
๐ ๐ = ๐จ +๐ฉ + ๐ช
๐จ = โซ๐ญ๐๐ง๐ ๐
๐๐จ๐ฌ๐๐๐
๐ ๐
๐
๐ ๐ = ๐โซ๐ญ๐๐ง๐ ๐๐
๐๐จ๐ฌ๐ ๐
๐ ๐
๐
๐ ๐ = ๐โซ๐ญ๐๐ง๐ ๐๐ฌ๐๐๐ ๐
(๐ โ ๐ญ๐๐ง๐ ๐)๐๐๐จ๐ญ๐ ๐
๐๐จ๐ญ๐ ๐
๐ ๐
๐
๐ ๐ =
= ๐โซ๐๐ฌ๐๐ ๐ ๐ฌ๐๐๐
(๐๐จ๐ญ๐ ๐ โ ๐)๐
๐ ๐
๐
๐ ๐ =๐=๐๐ฌ๐ ๐
๐โซ๐๐
(๐๐ โ ๐)(๐๐ โ ๐)
โ
๐
๐ ๐ =
= โซ (๐โ๐
๐ + โ๐โ๐โ๐
๐ โ โ๐+
๐
๐ โ ๐โ
๐
๐ + ๐+
๐
(๐ + โ๐)๐ +
๐
(๐ โ โ๐)๐)
โ
๐
๐ ๐
๐จ = [๐โ๐ ๐ฅ๐จ๐ (๐ + โ๐
๐ โ โ๐) + ๐ ๐ฅ๐จ๐ (
๐ โ ๐
๐ + ๐) โ
๐๐
๐๐ โ ๐]๐
โ
=
= ๐ + ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ โ ๐โ๐ ๐ฅ๐จ๐ (๐ + โ๐)
๐ฉ = โซ๐โ๐๐๐จ๐ฌ
๐๐๐
๐ ๐ฌ๐ข๐ง๐๐๐ + ๐
๐ ๐
๐
๐ ๐ =๐=๐ ๐ฌ๐ข๐ง
๐๐๐๐โ๐โซ
๐ ๐
๐
๐+โ๐
๐
= ๐โ๐ ๐ฅ๐จ๐ (๐ + โ๐)
www.ssmrmh.ro
10 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
๐ช = โซ๐๐๐ฌ๐ข๐ง๐
๐ ๐๐จ๐ฌ ๐ + ๐
๐ ๐
๐
๐ ๐ =๐=๐ ๐๐จ๐ฌ ๐+๐
๐โซ๐ ๐
๐
๐
๐
= ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ โ ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
Therefore,
๐ = โซ (๐ญ๐๐ง๐ ๐
๐๐จ๐ฌ๐๐๐
+๐โ๐๐๐จ๐ฌ
๐๐๐
๐ ๐ฌ๐ข๐ง๐๐๐ + ๐
+๐๐๐ฌ๐ข๐ง ๐
๐ ๐๐จ๐ฌ ๐ + ๐)
๐ ๐
๐
๐ ๐ = ๐(๐ + ๐ฅ๐จ๐ ๐)
1506. Find:
๐ = โซ๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐ ๐ฅ๐จ๐ (
(๐ + ๐)๐
๐๐)
๐ โ ๐
๐
๐
๐ ๐ โ ๐ ๐ฅ๐จ๐ (๐)โซ๐ฅ๐จ๐ ๐(๐)
๐ + ๐
๐
๐
๐ ๐ =๐ ๐
๐๐
without using harmonic series, beta function.
Proposed by Sujeethan Balendran-SriLanka
Solution by Cornel Ioan Vฤlean-Romania
It is known that:
(๐): (โ๐)๐
(๐ โ ๐)!โซ๐ฅ๐จ๐ ๐โ๐(๐) ๐ฅ๐จ๐ (
๐ + ๐๐ )
๐ โ ๐
๐
๐
๐ ๐ =
=๐
๐(๐๐ป(๐+ ๐) โ ๐ ๐ฅ๐จ๐ (๐) (๐ โ ๐๐โ๐)๐ป(๐)โ โ(๐โ ๐โ๐)(๐โ ๐๐+๐โ๐)๐ป(๐ + ๐)๐ป(๐โ ๐))
๐โ๐
๐=๐
Based on (๐), we get that:
โซ๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐ ๐ฅ๐จ๐ (
๐ + ๐๐ )
๐ โ ๐
๐
๐
๐ ๐ =๐
๐๐ฅ๐จ๐ (๐) ๐ป(๐) โ
๐๐
๐๐๐๐ ๐,
which we need in our calculations below.
We also need that:
โซ๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐
๐ + ๐
๐
๐
๐ ๐ = โ(โ๐)๐โ๐โซ ๐๐โ๐๐
๐
๐ฅ๐จ๐ ๐(๐)
โ
๐=๐
๐ ๐ = ๐โ(โ๐)๐โ๐๐
๐๐
โ
๐=๐
=๐
๐๐ป(๐) ๐๐ง๐
โซ๐ฅ๐จ๐ ๐(๐)
๐ โ ๐
๐
๐
๐ ๐ = โโซ ๐๐โ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐(๐)๐ ๐๐
๐
โ
๐=๐
= โ๐โ๐
๐๐
โ
๐=๐
= โ๐๐ป(๐).
www.ssmrmh.ro
11 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
Returning to the main result, cleverly splitting and using the auxiliary results above, we
get:
๐ = ๐โซ๐ฅ๐จ๐ ๐(๐) ๐ฅ๐จ๐ (
๐ + ๐๐ )
๐ โ ๐
๐
๐
๐ ๐ โโซ๐ฅ๐จ๐ ๐(๐)
๐ โ ๐
๐
๐
๐ ๐ โ ๐ ๐ฅ๐จ๐ (๐)โซ๐ฅ๐จ๐ ๐(๐)
๐ + ๐
๐
๐
๐ ๐ =๐ ๐
๐๐
1507. Prove that:
โซ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ + ๐๐
๐
๐
(โ๐ +๐๐
๐๐โ๐๐
๐๐+โฏ)๐ ๐ =
๐ฎ๐ป(๐)
๐
where ๐ฎ โ is Catalanโs constant.
Proposed by Narendra Bhandari-Bajura-Nepal
Solution 1 by Ngulmun George Baite-India
๐ฐ = โซ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ + ๐๐
๐
๐
(โ๐ +๐๐
๐๐โ๐๐
๐๐+โฏ)๐ ๐
๐๐๐ญ ๐ = โ๐ +๐๐
๐๐โ๐๐
๐๐+โฏ =โ(โ๐)๐
๐๐
๐๐
โ
๐=๐
= โ(โ๐)๐
๐๐
โ
๐=๐
โ ๐ป = ๐ณ๐๐(โ๐)
๐ฐ = โซ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ + ๐๐๐ณ๐๐(โ๐)
๐
๐
๐ ๐
โต ๐ณ๐๐(โ๐) = โซ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ + ๐๐
๐
๐
๐ ๐
๐ฐ = โซ โซ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
(๐ + ๐๐)(๐ + ๐๐)๐ ๐
๐
๐
๐ ๐๐
๐
=
=๐
๐[โซ (โซ
๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
(๐ + ๐๐)(๐ + ๐๐)๐ ๐
๐
๐
)๐ ๐๐
๐
+โซ (โซ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
(๐ + ๐๐)(๐ + ๐๐)๐ ๐
๐
๐
)๐ ๐๐
๐
] =
=๐
๐โซ โซ (
๐
(๐ + ๐๐)(๐ + ๐๐)+
๐
(๐ + ๐๐)(๐ + ๐๐)) ๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐๐ ๐
๐
๐
๐ ๐๐
๐
=
=๐
๐โซ โซ
๐ + ๐ + ๐๐๐ + ๐๐๐
(๐ + ๐๐)(๐ + ๐๐)(๐ + ๐๐)๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐๐ ๐
๐
๐
๐
๐
๐ ๐
=๐
๐โซ โซ
(๐ + ๐)(๐ + ๐๐)
(๐ + ๐๐)(๐ + ๐๐)(๐ + ๐๐)
๐
๐
๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐ ๐๐
๐
๐ ๐ =
www.ssmrmh.ro
12 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
=๐
๐โซ โซ
(๐ + ๐)
(๐ + ๐๐)(๐ + ๐๐)๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐
๐
๐ ๐๐
๐
๐ ๐ = โซ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ + ๐๐๐ ๐
๐
๐
โซ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ + ๐๐๐ ๐
๐
๐
=
= (โซ โ(โ๐)๐โ๐๐๐๐โ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐๐ ๐
โ
๐=๐
๐
๐
)(โซ โ(โ๐)๐โ๐๐๐๐โ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐๐ ๐
โ
๐=๐
=๐
๐
)
= (โ(โ๐)๐โ๐โซ ๐๐๐โ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐๐ ๐๐
๐
โ
๐=๐
)(โ(โ๐)๐โ๐โซ ๐๐๐โ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐๐ ๐๐
๐
โ
๐=๐
) =
= (โ(โ๐)๐โ๐ [๐๐๐
๐๐]๐
๐
โ โซ๐๐๐
๐๐
๐
๐๐ ๐
๐
๐
โ
๐=๐
)(โ(โ๐)๐โ๐ [๐๐๐โ๐
๐๐ โ ๐]๐
๐
โโซ๐๐๐โ๐
๐๐ โ ๐
๐
๐๐ ๐
๐
๐
โ
๐=๐
) =
= (โ(โ๐)๐โ๐ โ โ๐
(๐๐)๐
โ
๐=๐
)(โ(โ๐)๐โ๐ โ โ๐
(๐๐ โ ๐)๐
โ
๐=๐
) =
= (๐
๐๐ผ(๐))๐ฎ =
๐
๐๐ผ(๐)๐ฎ =
๐
๐โ ๐ป(๐)
๐โ ๐ฎ =
๐
๐๐ป(๐)๐ฎ
Therefore,
โซ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ + ๐๐
๐
๐
(โ๐ +๐๐
๐๐โ๐๐
๐๐+โฏ)๐ ๐ =
๐ฎ๐ป(๐)
๐
Solution 2 by Mohammad Rostami-Afghanistan
๐ = โซ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ + ๐๐โ(โ๐)๐
๐๐
โ
๐=๐
๐ ๐๐
๐
= โซ(โ๐)๐๐๐
๐๐โ(โ๐๐)๐
๐
๐๐|๐=๐
โ
๐=๐
๐
๐
๐๐๐ ๐ =
= โ(โ๐)๐
๐๐
โ
๐=๐
โ(โ๐)๐ ๐
๐๐|๐=๐
โ
๐=๐
โซ ๐๐+๐๐+๐๐
๐
๐ ๐ =
= โ(โ๐)๐
๐๐โ(โ๐)๐ [
๐
๐ + ๐๐ + ๐ + ๐]๐=๐
โฒโ
๐=๐
=
โ
๐=๐
= โ(โ๐)๐
๐๐โ(โ๐)๐ โ
โ๐
(๐๐ + ๐ + ๐)๐
โ
๐=๐
โ
๐=๐
; {๐ โ ๐ โ๐
๐}
๐ = โ(โ๐)๐
๐๐โ
(โ๐)๐โ๐๐
(โ๐) [๐ (๐ โ๐๐) + ๐ + ๐
]๐
โ+๐๐
๐=๐๐
โ
๐=๐
=
www.ssmrmh.ro
13 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
= โ(โ๐)
๐๐โ๐
๐๐
โ
๐=๐
โ(โ๐)๐
(๐๐ + ๐)๐
โ
๐=๐๐
{๐ =๐
๐= ๐ โ ๐ท = {๐, ๐, ๐, ๐, ๐โฆ } โ ๐ = ๐๐}
๐ =โ(โ๐)๐โ๐
๐๐๐
โ๐
๐=๐๐
โ(โ๐)๐
(๐๐ + ๐)๐
โ
๐=๐
๐โ๐ท,๐โฅ๐โ ๐ =
๐
๐โ(โ๐)๐โ๐
๐๐โ ๐ฎ
โ
๐=๐
โ
๐ =๐
๐โ ๐ผ(๐) โ ๐ฎ =
๐
๐(๐ โ ๐๐โ๐)๐ป(๐)๐ฎ
Therefore,
โซ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ + ๐๐
๐
๐
(โ๐ +๐๐
๐๐โ๐๐
๐๐+โฏ)๐ ๐ =
๐ฎ๐ป(๐)
๐
1508.
๐ฐ๐ = โซ ๐ฌ๐ข๐ง๐(๐ ๐) ๐ฅ๐จ๐ (๐ช(๐))๐
๐
๐ ๐, ๐ท๐ = โซ๐๐
๐ + ๐๐ ๐
๐
๐
Prove:
๐โ๐ โ ๐ฐ๐ โ ๐ช (๐ + ๐
๐) = ๐ช (
๐ + ๐
๐) (๐ฅ๐จ๐ ๐ + ๐ท๐)
Proposed by Asmat Qatea-Afghanistan
Solution by Rana Ranino-Setif-Algerie
๐ฐ๐ = โซ ๐ฌ๐ข๐ง๐(๐ ๐) ๐ฅ๐จ๐ (๐ช(๐))๐
๐
๐ ๐ =๐โ๐โ๐
โซ ๐ฌ๐ข๐ง๐(๐ ๐) ๐ฅ๐จ๐ ๐ช(๐ โ ๐)๐
๐
๐ ๐ =
=๐
๐โซ ๐ฌ๐ข๐ง๐(๐ ๐) ๐ฅ๐จ๐ (๐ช(๐)๐ช(๐ โ ๐))๐
๐
๐ ๐ =
=๐
๐๐ฅ๐จ๐ ๐ โซ ๐ฌ๐ข๐ง๐(๐ ๐)๐ ๐
๐
๐
โ๐
๐โซ ๐ฌ๐ข๐ง๐(๐ ๐) ๐ฅ๐จ๐ (๐ฌ๐ข๐ง(๐ ๐))๐
๐
๐ ๐ =๐=๐ ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐๐ โซ ๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐ ๐ ๐๐
๐
โ
โ๐
๐๐ โซ ๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐ ๐ฅ๐จ๐ (๐ฌ๐ข๐ง ๐)๐
๐
=๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ โซ ๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐ ๐ ๐
๐ ๐
๐
โ๐
๐ โซ ๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐
๐ ๐
๐
๐ฅ๐จ๐ (๐ฌ๐ข๐ง ๐) ๐ ๐ =
www.ssmrmh.ro
14 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
=๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ โซ ๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐ ๐ ๐
๐ ๐
๐
โ๐
๐
๐
๐๐|๐=๐
โซ ๐ฌ๐ข๐ง๐+๐ ๐ ๐ ๐
๐ ๐
๐
โซ ๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐ ๐ ๐
๐ ๐
๐
=๐
๐๐ท (๐ + ๐
๐,๐
๐) =
๐ช(๐ + ๐๐ ) ๐ช(
๐๐)
๐ช(๐ + ๐๐ )
= โ๐ ๐ช(๐ + ๐๐ )
๐ช(๐ + ๐๐ )
๐ฐ๐ =๐ฅ๐จ๐ ๐
๐โ๐
๐ช(๐ + ๐๐ )
๐ช(๐ + ๐๐)โ
๐
๐โ๐
๐
๐๐|๐=๐
๐ช(๐ + ๐ + ๐
๐ )
๐ช(๐ + ๐ + ๐
๐)=
=๐ฅ๐จ๐ ๐
๐โ๐
๐ช (๐ + ๐๐ )
๐ช (๐ + ๐๐ )
โ๐
๐โ๐
๐ฅ๐จ๐ ๐
๐โ๐
๐ช (๐ + ๐๐ )
๐ช (๐ + ๐๐ )
{๐(๐ + ๐
๐) โ๐(
๐ + ๐
๐)}
๐โ๐ ๐ช(๐ + ๐
๐) ๐ฐ๐ = ๐ช(
๐ + ๐
๐) {๐ฅ๐จ๐ ๐ +
๐
๐(๐(
๐ + ๐
๐) โ ๐(
๐ + ๐
๐))
Therefore,
๐โ๐ โ ๐ฐ๐ โ ๐ช (๐ + ๐
๐) = ๐ช (
๐ + ๐
๐) (๐ฅ๐จ๐ ๐ + ๐ท๐)
1509. Find:
๐ = โซ ๐ ๐๐จ๐ญ ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐(๐๐จ๐ฌ ๐)
๐ ๐
๐
๐ ๐
Proposed by Sujeethan Balendran-SriLanka
Solution by Cornel Ioan Vฤlean-Romania
โต โ(โซ ๐๐๐โ๐๐ โ ๐
๐ + ๐๐ ๐
๐
๐
)๐ฌ๐ข๐ง๐(๐๐๐)
๐
โ
๐=๐
= ๐ฅ๐จ๐ (๐ฌ๐ข๐ง๐) ๐ฅ๐จ๐ (๐๐จ๐ฌ ๐) , ๐ < ๐ฅ <๐
๐
We also have the trivial results,
๐๐ = โซ ๐ ๐ญ๐๐ง๐ ๐ฌ๐ข๐ง๐(๐๐๐)๐ ๐
๐ ๐
๐
=๐
๐๐ฏ๐๐ โ
๐
๐๐โ ๐
๐ ๐๐ง๐
๐๐ = โซ ๐ฅ๐จ๐ (๐๐จ๐ฌ ๐) ๐ฌ๐ข๐ง๐(๐๐๐)๐ ๐
๐ ๐
๐
=๐
๐๐โ ๐
๐โ๐
๐๐ฅ๐จ๐ ๐
where both results are easily derived by exploiting the differences ๐๐+๐ โ ๐๐ and
www.ssmrmh.ro
15 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
๐๐+๐ โ ๐๐ or using Fourrier series.
Returning to the main integrals where we use integration by parts and then exploit the
auxiliary results above, we have:
๐ฐ = ๐โซ ๐ ๐ฅ๐จ๐ (๐ฌ๐ข๐ง ๐) ๐ฅ๐จ๐ (๐๐จ๐ฌ ๐) ๐ญ๐๐ง ๐๐ ๐
๐ ๐
๐
โโซ ๐ฅ๐จ๐ (๐ฌ๐ข๐ง ๐) ๐ฅ๐จ๐ ๐(๐๐จ๐ฌ ๐)
๐ ๐
๐
๐ ๐ =
= ๐โ๐
๐(โซ ๐๐๐โ๐
๐ โ ๐
๐ + ๐๐ ๐
๐
๐
)๐๐
โ
๐=๐
โโ๐
๐(โซ ๐๐๐โ๐
๐ โ ๐
๐ + ๐๐ ๐
๐
๐
)๐๐
โ
๐=๐
=
= โ๐ ๐
๐๐๐ฅ๐จ๐ ๐ โ
๐
๐๐ฅ๐จ๐ ๐โซ
๐ฅ๐จ๐ (๐ โ ๐๐)
๐๐ ๐
๐
๐โ โ๐ ๐/๐๐
+๐
๐โซ๐ฅ๐จ๐ ๐(๐ โ ๐)
๐๐ ๐
๐
๐โ ๐๐ป(๐)
+๐
๐๐โซ๐ณ๐๐(๐
๐)
๐๐ ๐
๐
๐โ ๐ป(๐)/๐
+
+๐
๐๐ฅ๐จ๐ ๐โซ
๐ฅ๐จ๐ (๐ โ ๐๐)
๐ + ๐๐ ๐
๐
๐โ
๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐โ๐ ๐
๐๐
โ๐
๐โซ๐ฅ๐จ๐ ๐(๐ + ๐)
๐ + ๐๐ ๐
๐
๐โ ๐
๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐
โ๐
๐โซ๐ฅ๐จ๐ ๐(๐ โ ๐)
๐ + ๐๐ ๐
๐
๐โ
๐๐ณ๐๐(๐๐)
โ
โ๐
๐โซ๐ฅ๐จ๐ (๐ โ ๐) ๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐)
๐๐ ๐
๐
๐โ โ๐/๐๐ป(๐)
=๐ ๐
๐๐๐ฅ๐จ๐ ๐ +
๐
๐๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐ โ
๐
๐๐๐ ๐ป(๐)
1510. For ๐ > 1, we have:
โซ โซ๐ ๐ฌ๐ข๐ง ๐๐
๐๐จ๐ฌ๐ก๐ ๐๐
โ
๐
๐ ๐โ
๐
๐ ๐ =๐
๐
Proposed by Srinivasa Raghava-AIRMC-India
Solution by Ngulmun George Baite-India
๐ฐ = โซ โซ๐๐ฌ๐ข๐ง ๐๐
๐๐จ๐ฌ๐ก๐ ๐๐
โ
๐
๐ ๐โ
๐
๐ ๐ =๐๐จ๐ฌ๐ก ๐=
๐๐(๐๐+๐โ๐)
โซ โซ๐ ๐ฌ๐ข๐ง ๐๐
๐๐ (๐
๐ ๐๐ + ๐โ
๐ ๐๐ )
โ
๐
๐ ๐โ
๐
๐ ๐ =
= ๐โซ โซ๐๐ฌ๐ข๐ง ๐๐
๐๐ ๐๐ + ๐โ
๐ ๐๐
โ
๐
โ
๐
๐ ๐๐ ๐ = ๐โซ โซ๐๐ฌ๐ข๐ง ๐๐
๐๐ ๐๐ (๐ + ๐โ
๐๐ ๐๐ )
โ
๐
๐ ๐โ
๐
๐ ๐ =
= ๐โซ โซ๐โ๐ ๐๐ ๐ ๐ฌ๐ข๐ง ๐๐
๐ + ๐โ๐๐ ๐๐
โ
๐
๐ ๐โ
๐
๐ ๐ = ๐โ(โ๐)๐โซ [โซ ๐๐โ๐ ๐(๐๐+๐)๐ ๐ฌ๐ข๐ง ๐๐๐ ๐
โ
๐
] ๐ ๐โ
๐
โ
๐=๐
=
www.ssmrmh.ro
16 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
๐๐จ๐ฐ, ๐{๐ฌ๐ข๐ง๐๐} = โซ ๐โ๐๐ ๐ฌ๐ข๐ง๐๐โ
๐
๐ ๐ =๐
๐๐ + ๐๐
Differentiating respect to ๐, we have:
โโซ ๐๐โ๐๐ ๐ฌ๐ข๐ง๐๐โ
๐
๐ ๐ =โ๐๐๐
(๐๐ + ๐๐)๐โ โซ ๐๐โ๐๐ ๐ฌ๐ข๐ง๐๐
โ
๐
๐ ๐ =๐๐๐
(๐๐ +๐๐)๐
Put ๐ =๐
๐(๐๐ + ๐) and ๐ = ๐ โ
โซ ๐๐โ๐ ๐(๐๐+๐)๐
โ
๐
๐ฌ๐ข๐ง ๐๐๐ ๐ =
๐๐ ๐(๐๐ + ๐)๐
(๐ ๐
๐๐(๐๐ + ๐)๐ + ๐๐)
๐
๐ฐ = ๐โ(โ๐)๐โซ
๐๐ ๐(๐๐ + ๐)๐
(๐ ๐
๐๐(๐๐ + ๐)๐ + ๐๐)
๐
โ
๐
๐ ๐
โ
๐=๐
=
=๐๐
๐โ(โ๐)๐(๐๐ + ๐)
โ
๐=๐
โซ๐
(๐ ๐
๐๐(๐๐ + ๐)๐+ ๐๐)
๐
โ
๐
๐ ๐ =๐=๐ ๐๐
=๐๐
๐โ(โ๐)๐(๐๐ + ๐)
โ
๐=๐
โซ
๐ ๐๐
๐ ๐
๐๐((๐๐ + ๐)๐ + ๐๐)๐
โ
๐
โ ๐
๐๐ ๐ =
=๐๐
๐โ ๐๐
๐ ๐โ(โ๐)๐(๐๐ + ๐)โซ
๐
((๐๐ + ๐)๐ + ๐๐)๐
โ
๐
๐ ๐
โ
๐=๐
=
=๐๐
๐ โซ โ(โ๐)๐ โ
๐(๐๐ + ๐)
((๐๐ + ๐) + ๐๐)๐ ๐ ๐
โ
๐=๐
โ
๐
; (๐)
โต ๐ฌ๐๐๐ก๐ = ๐ โ(โ๐)๐ โ ๐๐ + ๐
(๐๐ + ๐)
๐
๐ ๐ + ๐๐
โ
๐=๐
๐ฉ๐ฎ๐ญ (๐ โ๐ ๐
๐) โ
๐ฌ๐๐๐ก (๐ ๐
๐) = ๐ โ(โ๐)๐ โ
๐๐ + ๐
(๐๐ + ๐)๐๐ ๐
๐ + (๐ ๐๐ )
๐
โ
๐=๐
=๐
๐ โ(โ๐)๐
๐๐ + ๐
(๐๐ + ๐)๐ + ๐๐
โ
๐=๐
Differentiating respect to ๐, we have:
www.ssmrmh.ro
17 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
๐
๐ ๐๐ฌ๐๐๐ก (
๐ ๐
๐) =
๐
๐ โ(โ๐)๐
โ๐๐(๐๐ + ๐)
((๐๐ + ๐)๐ + ๐๐)๐
โ
๐=๐
= โ๐
๐ โ(โ๐)๐
๐(๐๐ + ๐)
((๐๐ + ๐)๐ + ๐๐)๐
โ
๐=๐
โ(โ๐)๐๐(๐๐ + ๐)
((๐๐ + ๐)๐ + ๐๐)๐
โ
๐=๐
= โ๐
๐
๐
๐ ๐๐ฌ๐๐๐ก (
๐ ๐
๐)
From (๐) we have:
๐ฐ =๐๐
๐ โซ โ
๐
๐
๐
๐ ๐๐ฌ๐๐๐ก (
๐ ๐
๐)
โ
๐
๐ ๐ = โ๐
๐โซ
๐
๐ ๐๐ฌ๐๐๐ก
๐ ๐
๐
โ
๐
๐ ๐ =
= โ๐
๐|๐ฌ๐๐๐ก (
๐ ๐
๐)|๐
โ
= โ๐
๐[๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐ฌ๐๐๐ก (๐ ๐
๐) โ ๐ฅ๐ข๐ฆ
๐โ๐๐ฌ๐๐๐ก (
๐ ๐
๐)] =
๐
๐
Therefore,
โซ โซ๐ ๐ฌ๐ข๐ง ๐๐
๐๐จ๐ฌ๐ก๐ ๐๐
โ
๐
๐ ๐โ
๐
๐ ๐ =๐
๐
1511. Find:
๐ = โซ โซ โซ๐๐ โ ๐๐
๐๐ + ๐๐ + ๐๐ โ ๐๐๐๐
๐
๐
๐ ๐๐
๐
๐ ๐๐
๐
๐ ๐
Proposed by Asmat Qatea-Afghanistan
Solution 1 by Yen Tung Chung-Taichung-Taiwan
๐ = โซ โซ โซ๐๐ โ ๐๐
๐๐ + ๐๐ + ๐๐ โ ๐๐๐๐
๐
๐
๐ ๐๐
๐
๐ ๐๐
๐
๐ ๐
๐๐ = โซ โซ โซ๐๐ โ ๐๐
๐๐ + ๐๐ + ๐๐ โ ๐๐๐๐
๐
๐
๐ ๐๐
๐
๐ ๐๐
๐
๐ ๐ +
+โซ โซ โซ๐๐ โ ๐๐
๐๐ + ๐๐ + ๐๐ โ ๐๐๐๐
๐
๐
๐ ๐๐
๐
๐ ๐๐
๐
๐ ๐ +
+โซ โซ โซ๐๐ โ ๐๐
๐๐ + ๐๐ + ๐๐ โ ๐๐๐๐
๐
๐
๐ ๐๐
๐
๐ ๐๐
๐
๐ ๐ =
= โซ โซ โซ๐๐ + ๐๐ + ๐๐ โ ๐๐ โ ๐๐ โ ๐๐
๐๐ + ๐๐ + ๐๐ โ ๐๐๐๐
๐
๐
๐ ๐๐
๐
๐ ๐๐
๐
๐ ๐ = โซ โซ โซ๐
๐ + ๐ + ๐
๐
๐
๐ ๐๐
๐
๐ ๐๐
๐
๐ ๐ =
www.ssmrmh.ro
18 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
= โซ โซ ๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐ + ๐)|๐๐
๐
๐
๐ ๐๐ ๐๐
๐
=
= โซ โซ (๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐ + ๐)๐
๐
โ ๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐ + ๐)) ๐ ๐๐
๐
๐ ๐ =
= โซ [(๐ + ๐ + ๐)(๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐ + ๐) โ ๐) โ (๐ + ๐ + ๐)(๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐ + ๐) โ ๐)]๐๐๐ ๐
๐
๐
=
= โซ ((๐ + ๐)(๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐) โ ๐) โ (๐ + ๐)(๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐) โ ๐) โ (๐ + ๐)(๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐) โ ๐)๐
๐
+ (๐ + ๐)(๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐) โ ๐))๐ ๐ =
= โซ (๐ + ๐) ๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐)๐ ๐ โ๐
๐
๐โซ (๐ + ๐) ๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐)๐ ๐๐
๐
+โซ (๐ + ๐) ๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐)๐ ๐๐
๐
=
= โซ ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐๐ ๐๐
๐
โ ๐โซ ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐๐ ๐๐
๐
+โซ ๐๐ฅ๐จ๐ ๐๐ ๐๐
๐
=
= (๐
๐๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ โ
๐
๐๐๐)|
๐
๐
โ ๐(๐
๐๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ โ
๐
๐๐๐)|
๐
๐
+ (๐
๐๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ โ
๐
๐๐๐)|
๐
๐
=
= (๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ โ๐๐
๐๐ฅ๐จ๐ ๐ โ
๐๐
๐) โ ๐(
๐๐
๐๐ฅ๐จ๐ ๐ โ ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ โ
๐
๐) + (๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ โ
๐
๐๐ฅ๐จ๐ ๐ โ
๐
๐)
= ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ +๐๐
๐๐ฅ๐จ๐ ๐ โ
๐๐
๐๐ฅ๐จ๐ ๐
Therefore,
๐ = โซ โซ โซ๐๐ โ ๐๐
๐๐ + ๐๐ + ๐๐ โ ๐๐๐๐
๐
๐
๐ ๐๐
๐
๐ ๐๐
๐
๐ ๐ = ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ +๐
๐๐ฅ๐จ๐ ๐ โ
๐๐
๐๐ฅ๐จ๐ ๐
Solution 2 by Syed Shahabudeen-Kerala-india
๐ = โซ โซ โซ๐๐ โ ๐๐
๐๐ + ๐๐ + ๐๐ โ ๐๐๐๐
๐
๐
๐ ๐๐
๐
๐ ๐๐
๐
๐ ๐
๐๐ = โซ โซ โซ โ๐๐ โ ๐๐
๐๐ + ๐๐ + ๐๐ โ ๐๐๐๐๐๐๐
๐
๐
๐ ๐๐
๐
๐ ๐๐
๐
๐ ๐ = โซ โซ โซ๐
๐ + ๐ + ๐
๐
๐
๐ ๐๐
๐
๐ ๐๐
๐
๐ ๐ =
= โซ โซ โซ โซ ๐๐+๐+๐โ๐๐
๐
๐ ๐๐
๐
๐ ๐๐
๐
๐ ๐๐
๐
๐ ๐ = โซ ๐โ๐๐
๐
โซ ๐๐๐
๐
๐ ๐โซ ๐๐๐ ๐๐
๐
โซ ๐๐๐
๐
๐ ๐๐ ๐ =
= โซ ๐โ๐ (๐๐ โ ๐
๐ฅ๐จ๐ ๐)
๐๐
๐
๐ ๐ = โซ๐๐(๐ โ ๐)๐
๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐
๐
๐
๐ ๐
www.ssmrmh.ro
19 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
๐ = โ๐
๐โซ๐๐(๐ โ ๐)๐
๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐
๐
๐
๐ ๐
๐๐๐ญ: ๐(๐) = โ๐
๐โซ๐๐(๐ โ ๐)๐
๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐
๐
๐
๐ ๐ โ๐๐๐
๐๐๐= โ
๐
๐โซ ๐๐(๐ โ ๐)๐๐
๐
๐ ๐ =
= โ๐
๐(๐ช(๐ + ๐)๐ช(๐)
๐ช(๐ + ๐)) = โ๐ โ
๐
(๐ + ๐)(๐ + ๐)(๐ + ๐)(๐ + ๐)
๐(๐) = โ๐โซ๐
(๐ + ๐)(๐ + ๐)(๐ + ๐)(๐ + ๐)๐ ๐๐ =
= โ๐โซ(๐
๐(๐ + ๐)โ
๐
๐(๐ + ๐)+
๐
๐(๐ + ๐)โ
๐
๐(๐ + ๐))๐ ๐๐
โซ๐
๐ + ๐๐ ๐๐ =
๐
๐(๐ + ๐)๐ ๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐) โ
๐๐
๐(๐ + ๐)
๐จ(๐) =๐
๐โซ(
๐
๐ + ๐โ
๐
๐ + ๐)๐ ๐๐ =
๐
๐๐((๐ + ๐)๐ ๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐) โ (๐ + ๐)๐ ๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐)
๐ฉ(๐) =๐
๐โซ(
๐
๐ + ๐โ
๐
๐ + ๐)๐ ๐๐ =
๐
๐((๐ + ๐)๐ ๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐) โ (๐ + ๐)๐ ๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐))
๐จ(๐) =๐
๐๐(๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ โ ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐),๐ฉ(๐) =
๐
๐(๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ โ ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐)
๐(๐) = โ๐(๐จ(๐) + ๐ฉ(๐)) =
= โ๐(๐
๐๐(๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ โ ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐) +
๐
๐(๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ โ ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐)
Therefore,
๐(๐) = ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ +๐
๐๐ฅ๐จ๐ ๐ +
๐๐
๐๐ฅ๐จ๐ ๐
1512. Find:
๐ = โซ๐ โ ๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐
(๐ + ๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐)โ๐ + ๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐๐ ๐
๐ ๐
๐
Proposed by Sujeethan Balendran-SriLanka
Solution 1 by Cornel Ioan Vฤlean-Romania
All we need is a clever variable change and a well-known established integral result,
www.ssmrmh.ro
20 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
โซโ๐ญ๐๐ง๐๐ ๐ =๐
โ๐(๐ฌ๐ข๐งโ๐(๐ฌ๐ข๐ง ๐ โ ๐๐จ๐ฌ ๐) โ ๐๐จ๐ฌ๐กโ๐(๐ฌ๐ข๐ง ๐ + ๐๐จ๐ฌ ๐) + ๐ช
-one way to evaluate it is by calculating โซ(โ๐ญ๐๐ง ๐ + โ๐๐จ๐ญ ๐)๐ ๐ and โซ(โ๐ญ๐๐ง ๐ โ
โ๐๐จ๐ญ ๐)๐ ๐
By letting the variable change ๐โ๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐
๐+๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐โ ๐ฌ๐ข๐ง ๐, we get
๐ =๐
๐โ๐โซ โ๐ญ๐๐ง๐
๐ ๐
๐ฌ๐ข๐งโ๐(๐๐๐๐)
๐ ๐ =๐
๐โ๐
๐๐ฌ๐ข๐งโ๐ (
๐
๐๐) +
๐
๐๐๐จ๐ฌ๐กโ๐ (
๐๐
๐๐) =
=๐
๐๐ฅ๐จ๐ (
๐๐ + ๐โ๐๐
๐๐) +
๐
๐๐๐จ๐ญโ๐ (๐โ
๐
๐)
Solution 2 by Cornel Ioan Vฤlean-Romania
๐ = โซ๐ โ ๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐
(๐ + ๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐)โ๐ + ๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐๐ ๐
๐ ๐
๐
= โซ
๐๐๐โ ๐
(๐๐ +๐๐๐)โ๐๐๐โ ๐๐
๐๐
๐
๐ ๐ =โ๐
๐๐โ๐๐โ๐
= โซ๐๐
๐ + ๐๐
โ
โ๐๐๐
๐ ๐ =๐
๐๐ฅ๐จ๐ (
๐๐ + ๐โ๐๐
๐๐) +
๐
๐๐๐จ๐ญโ๐ (๐โ
๐
๐)
1513. Find without any software:
๐ = โซโ๐ฌ๐ข๐ง ๐ โ ๐ญ๐๐ง ๐ ๐ ๐
Proposed by Orxan Abasov-Azerbaijan
Solution 1 by Yen Tung Chung-Taichung-Taiwan
๐ = โซโ๐ฌ๐ข๐ง๐ โ ๐ญ๐๐ง ๐๐ ๐ = โซ(โ๐ฌ๐ข๐ง๐)
๐
๐ โ ๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐โ ๐๐จ๐ฌ ๐ ๐ ๐ =
๐=โ๐ฌ๐ข๐ง๐,๐๐๐ ๐=๐๐จ๐ฌ ๐๐ ๐
= โซ๐๐
๐ โ ๐๐โ ๐๐๐ ๐ = ๐โซ
๐๐
๐ โ ๐๐๐ ๐ = ๐โซ(โ๐ +
๐
๐ โ ๐๐)๐ ๐ =
= โ๐๐ +โซ(๐
๐โ ๐๐+
๐
๐ + ๐๐)๐ ๐ = โ๐๐ + ๐ญ๐๐ง๐กโ๐ ๐ + ๐ญ๐๐งโ๐ ๐ + ๐ช =
= โ๐โ๐ฌ๐ข๐ง๐ + ๐ญ๐๐ง๐กโ๐(โ๐ฌ๐ข๐ง๐) + ๐ญ๐๐งโ๐(โ๐ฌ๐ข๐ง ๐) + ๐ช =
www.ssmrmh.ro
21 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
= โ๐โ๐ฌ๐ข๐ง๐ +๐
๐๐ฅ๐จ๐ (
๐ + โ๐ฌ๐ข๐ง๐
๐ โ โ๐ฌ๐ข๐ง๐) + ๐ญ๐๐งโ๐(โ๐ฌ๐ข๐ง ๐) + ๐ช
Solution 2 by Orlando Irahola Ortega-Bolivia
๐ = โซโ๐ฌ๐ข๐ง ๐ โ ๐ญ๐๐ง๐ ๐ ๐ = โซ(โ๐ฌ๐ข๐ง๐)
๐
๐ โ ๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐โ ๐๐จ๐ฌ ๐๐ ๐ =
๐๐=๐ฌ๐ข๐ง๐ ,๐๐๐ ๐=๐๐จ๐ฌ ๐๐ ๐
= โซ๐๐๐
๐ โ ๐๐๐ ๐ = โ๐โซ
(๐๐ โ ๐) + ๐
๐๐ โ ๐๐ ๐ โ
โ๐
๐๐ = ๐ โโซ
๐ ๐
๐๐ โ ๐= ๐ โ ๐ฐ,
๐ฐ = โซ๐ ๐
๐๐ โ ๐=๐=๐๐โ โซ
๐๐
๐ โ ๐๐๐ ๐ = โ
๐
๐โซ๐๐๐
๐ โ ๐๐๐ ๐
=๐
๐โซ(๐๐ โ ๐) + (๐๐ + ๐)
(๐๐ โ ๐)(๐๐ + ๐)๐ ๐ =
๐
๐โซ
๐ ๐
๐๐ + ๐+๐
๐โซ
๐ ๐
๐๐ โ ๐=
=๐
๐๐ญ๐๐งโ๐ ๐ +
๐
๐๐ฅ๐จ๐ (
๐ โ ๐
๐+ ๐) =
๐
๐๐ญ๐๐งโ๐ (
๐
๐) +
๐
๐๐ฅ๐จ๐ (
๐ โ ๐
๐ + ๐) =
=๐
๐๐ญ๐๐งโ๐ ๐ +
๐
๐๐ฅ๐จ๐ (
๐ โ ๐
๐ + ๐) โ
โ๐
๐๐ = ๐ โโซ
๐ ๐
๐๐ โ ๐= ๐ โ ๐ฐ = ๐ โ
๐
๐๐ญ๐๐งโ๐ ๐ โ
๐
๐๐ฅ๐จ๐ (
๐ โ ๐
๐ + ๐)
Therefore,
๐ = โ๐โ๐ฌ๐ข๐ง๐ +๐
๐๐ฅ๐จ๐ (
๐ + โ๐ฌ๐ข๐ง ๐
๐ โ โ๐ฌ๐ข๐ง ๐) + ๐ญ๐๐งโ๐(โ๐ฌ๐ข๐ง๐) + ๐ช
Solution 3 by Ghuiam Naseri-Afghanistan
๐ = โซโ๐ฌ๐ข๐ง๐ โ ๐ญ๐๐ง ๐๐ ๐ = โซ๐ฌ๐ข๐ง๐
๐๐จ๐ฌ ๐โ๐ฌ๐ข๐ง๐๐ ๐ = โซ
(๐ฌ๐ข๐ง๐)๐๐
๐๐จ๐ฌ ๐๐ ๐ =
= โซ๐๐จ๐ฌ๐ โ (๐ฌ๐ข๐ง ๐)
๐๐
๐๐จ๐ฌ๐ ๐๐ ๐ = โซ
๐๐จ๐ฌ๐ โ (๐ฌ๐ข๐ง ๐)๐๐
๐ โ ๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐๐ ๐ =
๐=โ๐ฌ๐ข๐ง๐โซ
๐๐๐
โ๐๐ + ๐๐ ๐ = ๐โซ
๐๐
โ๐๐ + ๐๐ ๐
= ๐โซ(โ๐
๐โ
๐
๐๐ + ๐โ๐
๐โ ๐
๐ + ๐+๐
๐โ ๐
๐ โ ๐+ ๐)๐ ๐ =
= โโซ๐
๐๐ + ๐๐ ๐ โ
๐
๐โซ
๐
๐ + ๐๐ ๐ +
๐
๐โซ
๐
๐ โ ๐๐ ๐ + ๐๐ =
www.ssmrmh.ro
22 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
= โ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐ โ๐
๐๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐) +
๐
๐๐ฅ๐จ๐ (๐ โ ๐) + ๐๐ + ๐ช
Therefore,
๐ = โ๐โ๐ฌ๐ข๐ง๐ +๐
๐๐ฅ๐จ๐ (
๐ + โ๐ฌ๐ข๐ง ๐
๐ โ โ๐ฌ๐ข๐ง ๐) + ๐ญ๐๐งโ๐(โ๐ฌ๐ข๐ง๐) + ๐ช
1514. Find without any software:
๐ = โซ๐ฅ๐จ๐ (๐๐ โ ๐)
๐๐๐ + ๐
๐
๐
๐ ๐
Proposed by Daniel Sitaru-Romania
Solution by Marian Ursฤrescu-Romania
Put ๐๐ โ ๐ = ๐ โ ๐ =๐+๐
๐, ๐ ๐ =
๐
๐๐ ๐
๐ = โซ๐ฅ๐จ๐ (๐๐ โ ๐)
๐๐๐ + ๐
๐
๐
๐ ๐ =๐
๐โซ
๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ (๐ + ๐๐ )
๐
+ ๐
๐๐
๐
๐ ๐ =๐
๐โซ
๐ฅ๐จ๐ ๐
๐(๐๐ + ๐๐ + ๐๐)๐๐ + ๐
๐๐
๐
๐ ๐ =
= ๐โซ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐๐ + ๐๐ + ๐๐
๐๐
๐
๐ ๐; (๐)
๐๐๐ญ: ๐ฐ = โซ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐๐ + ๐๐ + ๐๐
๐๐
๐
๐ ๐ =๐=๐๐๐โ ๐๐โซ
๐ฅ๐จ๐ (๐๐๐ )
๐๐๐
๐๐+ ๐ โ
๐๐๐ + ๐๐
๐
๐๐
๐ ๐ =
= โซ๐ฅ๐จ๐ ๐๐ โ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐๐ + ๐๐ + ๐๐
๐
๐
๐ ๐ = ๐ฅ๐จ๐ ๐๐โซ๐
๐๐ + ๐๐ + ๐๐๐ ๐
๐๐
๐
โ โซ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐๐ + ๐๐ + ๐๐
๐๐
๐
๐ ๐ =
=๐
๐๐ฅ๐จ๐ ๐๐โซ
๐
(๐ + ๐)๐ + (โ๐๐)๐ ๐ ๐
๐๐
๐
=๐
๐โ๐๐๐ฅ๐จ๐ ๐๐ ๐ญ๐๐งโ๐ (
๐ + ๐
โ๐๐)|๐
๐๐
=
=๐
๐โ๐๐๐ฅ๐จ๐ ๐๐ (๐ญ๐๐งโ๐ (
๐๐
โ๐๐) โ ๐ญ๐๐งโ๐ (
๐
โ๐๐)) =
=๐
๐โ๐๐๐ฅ๐จ๐ ๐๐ (๐ญ๐๐งโ๐ โ๐ โ ๐ญ๐๐งโ๐ (
๐
โ๐)) ; (๐)
From (1),(2) it follows that:
๐ = โซ๐ฅ๐จ๐ (๐๐ โ ๐)
๐๐๐ + ๐
๐
๐
๐ ๐ =๐
๐โ๐๐ฅ๐จ๐ ๐๐ (๐ญ๐๐งโ๐ โ๐ โ ๐ญ๐๐งโ๐ (
๐
โ๐))
www.ssmrmh.ro
23 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
1515. Find a closed form:
๐ = โซ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ โ ๐ + ๐๐ โ ๐๐
๐
๐
๐ ๐
Proposed by Abdul Mukhtar-Nigeria
Solution 1 by Mohammad Rostami-Afghanistan
๐ = โซ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ โ ๐ + ๐๐ โ ๐๐
๐
๐
๐ ๐ = โซ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
(๐ โ ๐)(๐ + ๐๐)
๐
๐
๐ ๐ = โโซ(๐ โ ๐ โ ๐) ๐ฅ๐จ๐ ๐
(๐ โ ๐)(๐ + ๐๐)๐ ๐
๐
๐
=
= โโซ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ + ๐๐
๐
๐
๐ ๐ +โซ๐ฅ๐จ๐ ๐
(๐ โ ๐)(๐ + ๐๐)๐ ๐
๐
๐
=
= โโซ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ + ๐๐๐ ๐
๐
๐
+๐
๐โซ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ โ ๐๐ ๐
๐
๐
+๐
๐โซ
๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ + ๐๐๐ ๐
๐
๐
+๐
๐โซ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ + ๐๐
๐
๐
๐ ๐ =
= โ๐
๐โซ
๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ + ๐๐
๐
๐
๐ ๐ +๐
๐โซ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ โ ๐๐ ๐
๐
๐
+๐
๐โซ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ + ๐๐๐ ๐
๐
๐
=
= โ๐
๐โซ โ(โ๐๐)
๐
๐๐|๐=๐๐๐๐ ๐
โ
๐=๐
๐
๐
+๐
๐โซ โ๐๐
๐
๐๐|๐=๐๐๐๐ ๐
โ
๐=๐
๐
๐
+๐
๐โซ ๐ โ(โ๐๐)๐
๐
๐๐|๐=๐๐๐
โ
๐=๐
๐ ๐๐
๐
=
= โ๐
๐โ(โ๐)๐
๐
๐๐|๐=๐
โ
๐=๐
โซ ๐๐๐+๐๐ ๐๐
๐
+๐
๐โ
๐
๐๐|๐=๐
โซ ๐๐+๐๐ ๐๐
๐
โ
๐=๐
+
+๐
๐โ(โ๐)๐
๐
๐๐|๐=๐
โซ ๐๐๐+๐+๐๐
๐
๐ ๐
โ
๐=๐
=
= โ๐
๐โ(โ๐)๐ [
๐
๐๐ + ๐ + ๐]๐=๐
โฒโ
๐=๐
+๐
๐โ[
๐
๐ + ๐ + ๐]๐=๐
โฒโ
๐=๐
+๐
๐โ(โ๐)๐ [
๐
๐๐+ ๐ + ๐]๐=๐
โฒโ
๐=๐
=๐
๐โ
(โ๐)๐
(๐๐ + ๐)๐
โ
๐=๐
โ๐
๐โ
๐
(๐ + ๐)๐
โ
๐=๐
โ๐
๐โ
(โ๐)๐
(๐ + ๐)๐
โ
๐=๐
=
=๐
๐๐ฎ โ
๐
๐โ
๐
๐๐
โ
๐=๐
โ๐
๐โ
(โ๐)๐โ๐
๐๐
โ
๐=๐
=๐
๐๐ฎ โ
๐
๐๐ป(๐) โ
๐
๐๐ผ(๐) =
www.ssmrmh.ro
24 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
=๐
๐๐ฎ โ
๐
๐๐ป(๐) โ
๐
๐๐๐ป(๐) =
๐
๐๐ฎ โ
๐
๐๐โ ๐ ๐
๐=๐
๐๐ฎ โ
๐๐ ๐
๐๐
Therefore,
๐ =๐
๐๐ฎ โ
๐๐ ๐
๐๐
Solution 2 by Rana Ranino-Setif-Algerie
๐ = โซ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ โ ๐ + ๐๐ โ ๐๐
๐
๐
๐ ๐ = โซ๐(๐ + ๐) ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ โ ๐๐
๐
๐
๐ ๐ = โโซ (๐๐๐+๐ + ๐๐๐+๐) ๐ฅ๐จ๐ ๐๐ ๐๐
๐
โ
๐=๐
=
= โ๐
๐๐โ[
๐
(๐ +๐๐)๐ +
๐
(๐ +๐๐)๐]
โ
๐=๐
= โ๐
๐๐{๐(๐) (
๐
๐) + ๐(๐) (
๐
๐)} = โ
๐
๐๐(๐๐ ๐
๐โ ๐๐ฎ)
Therefore,
๐ =๐
๐๐ฎ โ
๐๐ ๐
๐๐
Solution 3 by Ajetunmobi Abdulquyyum-Nigeria
๐ = โซ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ โ ๐ + ๐๐ โ ๐๐
๐
๐
๐ ๐ = โซ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
(๐ + ๐๐)(๐ โ ๐)๐ ๐
๐
๐
=
= โซ (๐ โ ๐
๐(๐๐ + ๐)โ
๐
๐(๐ โ ๐)) ๐ฅ๐จ๐ ๐๐ ๐
๐
๐
=๐
๐{โซ
๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐๐ + ๐๐ ๐
๐
๐
โโซ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ + ๐๐๐ ๐
๐
๐
+โซ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ โ ๐
๐
๐
๐ ๐}
=๐
๐{๐จ โ ๐ฉ + ๐ช}
๐จ = โซ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐๐ + ๐๐ ๐
๐
๐
=; |๐ฅ๐จ๐ ๐ = โ๐ โ ๐ ๐ = ๐โ๐(โ๐ ๐)
๐๐ = ๐โ๐๐| ; = โโซ
๐โ๐๐
๐โ๐โ๐๐
โ
๐
๐ ๐ =
= โโ(โ๐)๐โซ ๐๐โ(๐๐+๐)๐๐ ๐โ
๐๐โฅ๐
= โโ(โ๐)๐ โ ๐
๐(๐ + ๐)๐๐โฅ๐
= โ๐
๐โ
(โ๐)๐
(๐ + ๐)๐๐โฅ๐
=
= โ๐
๐โ(โ๐)๐โ๐
๐๐๐โฅ๐
= โ๐
๐๐ผ(๐) = โ
๐ ๐
๐๐
Also,
www.ssmrmh.ro
25 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
๐ฉ = โซ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ + ๐๐๐ ๐
๐
๐
=๐=๐ญ๐๐ง ๐
โซ ๐ฅ๐จ๐ (๐ญ๐๐ง๐)
๐ ๐
๐
๐ ๐ = โ๐ฎ
๐ช = โซ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ โ ๐
๐
๐
๐ ๐ =โโซ ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐๐ ๐๐
๐๐โฅ๐
=โ๐
(๐ + ๐)๐๐โฅ๐
= โ๐ ๐
๐
Hence,
๐ =๐
๐(๐จ โ ๐ฉ + ๐ช) =
๐
๐(โ๐ ๐
๐๐+ ๐ฎ โ
๐ ๐
๐)
Therefore,
๐ =๐
๐๐ฎ โ
๐๐ ๐
๐๐
1516. Find a closed form:
๐(๐) = โซ๐๐
โ๐ โ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐
๐
๐ ๐,๐ > ๐
Proposed by Abdul Mukhtar-Nigeria
Solution 1 by Ajentunmobi Abdulqoyuum-Nigeria
๐(๐) = โซ๐๐
โ๐ โ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐
๐
๐ ๐ =; |๐ = โ๐ โ ๐ฅ๐จ๐ ๐ ;๐ ๐ =
๐
๐๐โ๐ โ ๐ฅ๐จ๐ ๐๐ ๐
๐ ๐ = โ๐๐๐๐โ๐๐, ๐ = ๐๐โ๐
๐| ;
= โซ๐๐๐๐โ๐
๐๐๐โ๐
๐
๐๐ ๐
โ
๐
= ๐โซ ๐(๐+๐)โ(๐+๐)๐๐๐ ๐
โ
๐
=
= ๐๐๐+๐โซ ๐โ(๐+๐)๐๐
โ
๐
๐ ๐;|
|
(๐ + ๐)๐๐ = ๐; ๐ ๐ =๐ ๐
๐(๐ + ๐)โ๐
๐ + ๐
๐ = โ๐
๐ + ๐
|
|
๐ = ๐๐๐+๐โซ ๐โ๐ โ ๐ ๐
๐(๐ + ๐)โ๐
๐+ ๐
โ
๐
=๐๐+๐
โ๐ + ๐โซ ๐
๐๐โ๐๐โ๐
โ
๐
๐ ๐ =โ๐ ๐๐+๐
โ๐ + ๐
๐ต๐๐๐: โซ ๐๐๐โ๐๐โ๐๐ ๐
โ
๐
= ๐ช (๐
๐) = โ๐
www.ssmrmh.ro
26 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
Solution 2 by Akerele Olofin-Nigeria
๐(๐) = โซ๐๐
โ๐ โ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐
๐
๐ ๐ =
๐=๐โ๐ฅ๐จ๐ ๐;
๐ ๐=โ๐๐โ๐๐ ๐๐๐+๐โซ
๐โ๐(๐+๐)
โ๐๐ ๐
โ
๐
๐{๐๐} = โซ ๐โ๐๐๐๐๐ ๐โ
๐
=๐ช(๐ + ๐)
๐๐+๐, ๐ฐ๐ก๐๐ง ๐ = โ
๐
๐; ๐ = ๐ + ๐ โ
โซ๐โ๐(๐+๐)
โ๐
โ
๐
๐ ๐ =๐ช(๐๐)
๐๐๐
=โ๐
โ๐ + ๐โ ๐(๐) =
โ๐ ๐๐+๐
โ๐ + ๐
Therefore,
๐(๐) = โซ๐๐
โ๐ โ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐
๐
๐ ๐ =โ๐ ๐๐+๐
โ๐ + ๐
Solution 3 by Muhammad Afzal-Pakistan
๐(๐) = โซ๐๐
โ๐ โ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐
๐
๐ ๐ =๐=๐โ๐ฅ๐จ๐ ๐
โซ๐(๐โ๐)(๐+๐)
โ๐
โ
๐
๐ ๐ = ๐๐+๐โซ๐โ๐(๐+๐)
โ๐๐ ๐
โ
๐
=
=๐๐+๐
๐ + ๐โซ ๐โ
๐๐๐โ๐(๐+๐)๐ ๐
โ
๐
=๐=๐(๐+๐) ๐๐+๐
๐ + ๐โซ
๐โ๐๐
(๐ + ๐)โ๐๐
โ ๐โ๐โ
๐
๐ ๐ =
=๐๐+๐
โ๐ + ๐โซ ๐
๐๐โ๐๐โ๐๐ ๐
โ
๐
=๐๐+๐
โ๐ + ๐๐ช(๐
๐)
Therefore,
๐(๐) = โซ๐๐
โ๐ โ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐
๐
๐ ๐ =โ๐ ๐๐+๐
โ๐ + ๐
Solution 4 by Adrian Popa-Romania
๐(๐) = โซ๐๐
โ๐ โ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐
๐
๐ ๐ =โ๐โ๐ฅ๐จ๐ ๐=๐
๐โซ ๐๐+๐ โ ๐โ๐๐(๐+๐)๐ ๐
โ
๐
= ๐๐๐+๐โซ ๐โ๐๐(๐+๐)๐ ๐
โ
๐
=
=(๐+๐)๐๐=๐
๐๐๐+๐โซ ๐โ๐ โ ๐
๐โ๐ + ๐๐โ
๐๐
โ
๐
๐ ๐ =๐๐+๐
โ๐ + ๐โซ ๐โ
๐๐๐โ๐
โ
๐
๐ ๐ =
=๐๐+๐
โ๐ + ๐๐ช(๐
๐) =
๐๐+๐โ๐
โ๐ + ๐
www.ssmrmh.ro
27 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
1517. Find a closed form:
๐(๐) = โซ๐๐
โ๐ โ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐
๐
๐ ๐,๐ > ๐
Proposed by Abdul Mukhtar-Nigeria
Solution 1 by Ajentunmobi Abdulqoyuum-Nigeria
๐(๐) = โซ๐๐
โ๐ โ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐
๐
๐ ๐ =; |๐ = โ๐ โ ๐ฅ๐จ๐ ๐ ;๐ ๐ =
๐
๐๐โ๐ โ ๐ฅ๐จ๐ ๐๐ ๐
๐ ๐ = โ๐๐๐๐โ๐๐, ๐ = ๐๐โ๐
๐| ;
= โซ๐๐๐๐โ๐
๐๐๐โ๐
๐
๐๐ ๐
โ
๐
= ๐โซ ๐(๐+๐)โ(๐+๐)๐๐๐ ๐
โ
๐
=
= ๐๐๐+๐โซ ๐โ(๐+๐)๐๐
โ
๐
๐ ๐;|
|
(๐ + ๐)๐๐ = ๐; ๐ ๐ =๐ ๐
๐(๐ + ๐)โ๐
๐ + ๐
๐ = โ๐
๐ + ๐
|
|
๐ = ๐๐๐+๐โซ ๐โ๐ โ ๐ ๐
๐(๐ + ๐)โ๐
๐+ ๐
โ
๐
=๐๐+๐
โ๐ + ๐โซ ๐
๐๐โ๐๐โ๐
โ
๐
๐ ๐ =โ๐ ๐๐+๐
โ๐ + ๐
๐ต๐๐๐: โซ ๐๐๐โ๐๐โ๐๐ ๐
โ
๐
= ๐ช (๐
๐) = โ๐
Solution 2 by Akerele Olofin-Nigeria
๐(๐) = โซ๐๐
โ๐ โ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐
๐
๐ ๐ =
๐=๐โ๐ฅ๐จ๐ ๐;
๐ ๐=โ๐๐โ๐๐ ๐๐๐+๐โซ
๐โ๐(๐+๐)
โ๐๐ ๐
โ
๐
๐{๐๐} = โซ ๐โ๐๐๐๐๐ ๐โ
๐
=๐ช(๐ + ๐)
๐๐+๐, ๐ฐ๐ก๐๐ง ๐ = โ
๐
๐; ๐ = ๐ + ๐ โ
โซ๐โ๐(๐+๐)
โ๐
โ
๐
๐ ๐ =๐ช(๐๐)
๐๐๐
=โ๐
โ๐ + ๐โ ๐(๐) =
โ๐ ๐๐+๐
โ๐ + ๐
Therefore,
www.ssmrmh.ro
28 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
๐(๐) = โซ๐๐
โ๐ โ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐
๐
๐ ๐ =โ๐ ๐๐+๐
โ๐ + ๐
Solution 3 by Muhammad Afzal-Pakistan
๐(๐) = โซ๐๐
โ๐ โ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐
๐
๐ ๐ =๐=๐โ๐ฅ๐จ๐ ๐
โซ๐(๐โ๐)(๐+๐)
โ๐
โ
๐
๐ ๐ = ๐๐+๐โซ๐โ๐(๐+๐)
โ๐๐ ๐
โ
๐
=
=๐๐+๐
๐ + ๐โซ ๐โ
๐๐๐โ๐(๐+๐)๐ ๐
โ
๐
=๐=๐(๐+๐) ๐๐+๐
๐ + ๐โซ
๐โ๐๐
(๐ + ๐)โ๐๐
โ ๐โ๐โ
๐
๐ ๐ =
=๐๐+๐
โ๐ + ๐โซ ๐
๐๐โ๐๐โ๐๐ ๐
โ
๐
=๐๐+๐
โ๐ + ๐๐ช(๐
๐)
Therefore,
๐(๐) = โซ๐๐
โ๐ โ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐
๐
๐ ๐ =โ๐ ๐๐+๐
โ๐ + ๐
Solution 4 by Adrian Popa-Romania
๐(๐) = โซ๐๐
โ๐ โ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐
๐
๐ ๐ =โ๐โ๐ฅ๐จ๐ ๐=๐
๐โซ ๐๐+๐ โ ๐โ๐๐(๐+๐)๐ ๐
โ
๐
= ๐๐๐+๐โซ ๐โ๐๐(๐+๐)๐ ๐
โ
๐
=
=(๐+๐)๐๐=๐
๐๐๐+๐โซ ๐โ๐ โ ๐
๐โ๐ + ๐๐โ
๐๐
โ
๐
๐ ๐ =๐๐+๐
โ๐ + ๐โซ ๐โ
๐๐๐โ๐
โ
๐
๐ ๐ =
=๐๐+๐
โ๐ + ๐๐ช(๐
๐) =
๐๐+๐โ๐
โ๐ + ๐
1518. Prove that:
โซ๐ ๐
(๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐ + ๐ ๐)๐(๐๐ + ๐)
โ
๐
=๐ฅ๐จ๐ ๐
๐๐ ๐+
๐
๐๐๐
Proposed by Ty Halpen-Florida-SUA
Solution by Rana Ranino-Setif-Algerie
๐ = โซ๐ ๐
(๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐ + ๐ ๐)๐(๐๐ + ๐)
โ
๐
=๐=๐
โ(๐ ๐๐) ๐
๐๐ ๐โซ
๐โ๐ ๐๐
(๐๐ + ๐)๐(๐ + ๐โ๐ ๐)๐ ๐
โ
โ
=
www.ssmrmh.ro
29 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
=๐
๐๐ ๐โซ
๐ฌ๐๐๐ก (๐ ๐๐ )
(๐๐ + ๐)๐๐ ๐
โ
โ
=๐
๐๐ ๐โซ
๐ฌ๐๐๐ก (๐ ๐๐ )
(๐๐ + ๐)๐
โ
๐
๐ ๐
๐๐ฌ๐ข๐ง๐ : ๐ฌ๐๐๐ก (๐ ๐
๐) =
๐
๐ โ(โ๐)๐(๐๐ + ๐)
๐๐ + (๐๐ + ๐)๐
โ
๐=๐
๐ =๐
๐ ๐โ(โ๐)๐(๐๐ + ๐)
โ
๐=๐
โซ๐ ๐
(๐๐ + ๐)๐(๐๐ + (๐๐ + ๐)๐)
โ
๐
๐ฐ(๐) = โซ๐ ๐
(๐๐ + ๐)๐(๐๐ + ๐๐)
โ
๐
=
=๐
๐๐ โ ๐โซ
๐ ๐
(๐ + ๐๐)๐
โ
๐
โ๐
(๐๐ โ ๐)๐โซ (
๐
๐ + ๐๐โ
๐
๐๐ + ๐๐)
โ
๐
๐ ๐ =
=๐
๐(๐๐ โ ๐)โ
๐ (๐โ ๐)
๐๐(๐๐ โ ๐)๐
๐ฐ(๐) =๐ (๐๐ โ ๐๐ + ๐)
๐๐(๐๐ โ ๐)๐=๐ (๐โ ๐)๐(๐ + ๐)
๐๐(๐ โ ๐)๐(๐ + ๐)๐=๐ (๐ + ๐)
๐๐(๐ + ๐)๐
๐ =๐
๐๐ ๐โ(โ๐)๐
๐๐ + ๐
(๐๐ + ๐)๐
โ
๐=๐
=๐
๐๐ ๐โ[
(โ๐)๐
๐๐ + ๐+
(โ๐)๐
(๐๐ + ๐)๐]
โ
๐=๐
=
=๐
๐๐ ๐โ(โ๐)๐โ๐
๐
โ
๐=๐
+๐
๐๐ ๐โ(โ๐)๐โ๐
๐๐
โ
๐=๐
=๐ฅ๐จ๐ ๐
๐๐ ๐+
๐
๐๐๐
Therefore,
โซ๐ ๐
(๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐ + ๐ ๐)๐(๐๐ + ๐)
โ
๐
=๐ฅ๐จ๐ ๐
๐๐ ๐+
๐
๐๐๐
1519. Prove that:
๐
๐< |โซ ๐ฅ๐จ๐ (๐ โ ๐โ๐) ๐ฑ๐(๐โ๐)
โ
๐
๐ ๐| <๐ ๐
๐
where ๐ฑ๐(๐) is the Bessel function of order ๐.
Proposed by Angad Singh-India
Solution 1 by proposer
We know from the definition of Bessel function, that
www.ssmrmh.ro
30 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
๐ฑ๐(๐) = โ(โ๐)๐
๐!๐
โ
๐=๐
(๐
๐)๐๐ ๐>๐โ โซ ๐โ๐๐๐ฑ๐(๐โ๐)
โ
๐
๐ ๐ =๐โ๐๐
๐โ
โซ โ๐โ๐๐
๐๐ฑ๐(๐โ๐)
โ
๐=๐
๐ ๐โ
๐
= โ๐โ๐๐
๐๐
โ
๐=๐
Observe that:
โ๐โ๐๐
๐๐
โ
๐=๐
>๐
๐; โ
๐โ๐๐
๐๐
โ
๐=๐
<โ๐
๐๐
โ
๐=๐
=๐ ๐
๐ ๐๐ง๐ โ
๐โ๐
๐
โ
๐=๐
= โ ๐ฅ๐จ๐ (๐ โ ๐โ๐)
Solution 2 by Akerele Olofin-Nigeria
๐ฑ๐(๐) = (๐
๐)๐
โ(โ๐)๐๐๐๐
๐๐๐! ๐ช(๐ + ๐ + ๐)
โ
๐=๐
โ ๐ฑ๐(๐โ๐) =โ(โ๐)๐(๐โ๐)
๐๐
๐๐๐! ๐ช(๐ + ๐)
โ
๐=๐
=โ(โ๐)๐
๐!๐๐๐
โ
๐=๐
โ |โซ ๐ฅ๐จ๐ (๐ โ ๐โ๐) ๐ฑ๐(๐โ๐)โ
๐
๐ ๐| = |โ(โ๐)๐
๐!๐
โ
๐=๐
โซ ๐๐ โ ๐ฅ๐จ๐ (๐ โ ๐โ๐)โ
๐
๐ ๐| =
= |โ(โ๐)๐+๐
๐!๐
โ
๐=๐
๐ณ๐๐+๐(๐)(๐!)| = |โ(โ๐)๐๐ณ๐๐+๐(๐)
๐!
โ
๐=๐
| = |โ(โ๐)๐+๐
๐!๐ป(๐ + ๐)
โ
๐=๐
| =
= |โ๐
๐๐
โ
๐=๐
โ(โ๐)๐+๐
๐๐(๐!)
โ
๐=๐
| = |โโ๐
๐๐๐โ๐๐
โ
๐=๐
| = โ |โ๐โ
๐๐
๐๐|
๐
๐=๐
= โ๐โ๐๐
๐๐
โ
๐=๐
โ ๐.๐๐๐๐๐
๐
๐โ ๐. ๐๐๐๐๐;
๐ ๐
๐โ ๐. ๐๐๐๐ โ โ
๐โ๐๐
๐๐
โ
๐=๐
>๐
๐; โ
๐โ๐๐
๐๐
โ
๐=๐
<๐ ๐
๐
Therefore,
๐
๐< |โซ ๐ฅ๐จ๐ (๐ โ ๐โ๐) ๐ฑ๐(๐โ๐)
โ
๐
๐ ๐| <๐ ๐
๐
1520. Let ๐ > ๐ > ๐ and ๐ be a positive integer. Prove that:
โซโ๐๐๐
๐๐๐ + ๐(๐โ๐)๐ +โฏ+ ๐๐๐ + ๐๐ + ๐
๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ ๐ โค ๐ฅ๐จ๐ ( โ๐
๐
๐+๐
) , ๐ โ โ
Proposed by George Apostolopoulos-Messolonghi-Greece
www.ssmrmh.ro
31 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
Solution 1 by Adrian Popa-Romania
๐๐๐ + ๐(๐โ๐)๐ +โฏ+ ๐๐๐ + ๐๐ + ๐ โฅ (๐ + ๐) โ๐๐๐+(๐โ๐)๐+โฏ+๐+๐๐+๐
=
= (๐ + ๐) โ๐๐๐(๐+๐)
๐
๐+๐
= (๐ + ๐)๐๐๐๐ = (๐ + ๐)โ๐๐๐ โ
โซโ๐๐๐
๐๐๐ + ๐(๐โ๐)๐ +โฏ+ ๐๐๐ + ๐๐ + ๐
๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ ๐ โค๐
๐ + ๐โซ
โ๐๐๐
โ๐๐๐
๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ ๐ =
=๐
๐ + ๐๐|๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ฅ๐จ๐ ๐
=๐
๐ + ๐(๐ฅ๐จ๐ ๐ โ ๐ฅ๐จ๐ ๐) =
๐
๐ + ๐๐ฅ๐จ๐ (
๐
๐) = ๐ฅ๐จ๐ ( โ
๐
๐
๐+๐
)
Therefore,
โซโ๐๐๐
๐๐๐ + ๐(๐โ๐)๐ +โฏ+ ๐๐๐ + ๐๐ + ๐
๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ ๐ โค ๐ฅ๐จ๐ ( โ๐
๐
๐+๐
) , ๐ โ โ
Solution 2 by Ruxandra Daniela Tonilฤ-Romania
โซโ๐๐๐
๐๐๐ + ๐(๐โ๐)๐ +โฏ+ ๐๐๐ + ๐๐ + ๐
๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ ๐ = โซโ๐๐๐
๐(๐+๐)๐ โ ๐๐๐ โ ๐
๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ ๐ =
= โซ๐๐๐(๐๐ โ ๐)
๐(๐+๐)๐ โ ๐โ ๐
โ๐๐๐
๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ ๐ = โซ๐(๐+๐)๐ โ ๐๐๐
๐(๐+๐)๐ โ ๐โ ๐
โ๐๐๐
๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ ๐ =
= โซ๐(๐+๐)๐ (๐ โ (
๐๐)๐
)
๐(๐+๐)๐(๐ โ [(๐๐)๐
]๐+๐ โ
๐
โ๐๐๐
๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ ๐ =
= โซ๐ โ (
๐๐)๐
(๐ โ (๐๐)๐
) (๐ + (๐๐)๐
+ (๐๐)๐๐
+โฏ+ (๐๐)๐๐
)
โ ๐
โ๐๐๐
๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ ๐ =
=๐
๐ + ๐โซ
๐ + ๐
๐ + (๐๐)๐
+ (๐๐)๐๐
+โฏ+ (๐๐)๐๐ โ
๐
โ๐๐๐๐ ๐
๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ฅ๐จ๐ ๐
โค๐ฏ๐ฎ๐ด
โค๐
๐ + ๐โซ
๐
โ๐๐๐โ๐ โ ๐๐ โ ๐๐๐ โ โฆ โ ๐๐๐
๐+๐๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ ๐ =๐
๐ + ๐โซ
๐
โ๐๐๐โ โ๐
๐(๐+๐)๐๐
๐+๐
๐ ๐๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ฅ๐จ๐ ๐
=
www.ssmrmh.ro
32 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
=๐
๐ + ๐(๐ฅ๐จ๐ ๐ โ ๐ฅ๐จ๐ ๐) = ๐ฅ๐จ๐ ( โ
๐
๐
๐+๐
)
Therefore,
โซโ๐๐๐
๐๐๐ + ๐(๐โ๐)๐ +โฏ+ ๐๐๐ + ๐๐ + ๐
๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ ๐ โค ๐ฅ๐จ๐ ( โ๐
๐
๐+๐
) , ๐ โ โ
1521. If for ๐ โฅ ๐ and ๐, ๐, ๐ > ๐; ๐, ๐ โ โ;
๐๐(๐, ๐) =โโ๐๐
๐
๐=๐
= โ๐๐ + โ๐
๐+๐+โฏ+ โ๐
๐ ๐๐ง๐ ๐ป๐(๐) = โ๐
๐๐
๐
๐=๐
=๐
๐๐+๐
๐๐+โฏ+
๐
๐๐
then prove:
๐(โ๐ + ๐ โ ๐) + ๐๐(๐, ๐ + ๐) < ๐ป๐(๐) + ๐ป๐ (๐
๐) + ๐ป๐(๐) < ๐๐(๐, ๐) + ๐โ๐
๐ฐ๐ก๐๐ซ๐, ๐ = โ๐
๐!
โ
๐=๐
Proposed by Amrit Awasthi-India
Solution by proposer
We can write ๐ฅ๐จ๐ ๐ as ๐ฅ๐จ๐ ๐ = โซ๐
๐๐ ๐
๐
๐ and ๐ฅ๐จ๐ (๐ +
๐
๐) = โซ
๐
๐๐ ๐
๐+๐
๐๐
.
Now, as ๐ โ [๐, ๐ +๐
๐] : ๐ โค ๐ โค ๐ +
๐
๐โ
๐
๐+๐
๐
โค๐
๐โค ๐
Integrating under the same interval we have:
โซ๐
๐ + ๐
๐+๐๐
๐
๐ ๐ โค โซ๐
๐
๐+๐๐
๐
๐ ๐ โค โซ ๐ ๐๐+๐๐
๐
โ
๐
๐ + ๐(๐ +
๐
๐โ ๐) โค ๐ฅ๐จ๐ (๐ +
๐
๐) โค (๐ +
๐
๐โ ๐) โ
๐
๐ + ๐โค ๐ฅ๐จ๐ (๐ +
๐
๐) โค
๐
๐
Now, summing up from ๐ = ๐ to ๐ = ๐ we have:
www.ssmrmh.ro
33 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
โ๐๐๐+๐
๐
๐=๐
โคโ(๐ +๐
๐)
๐
๐=๐
โคโ๐๐๐
๐
๐=๐
โโ โ๐๐
๐+๐
๐=๐
โคโ๐
๐๐
๐
๐=๐
+โ๐
๐
๐
๐=๐
โคโ โ๐๐
๐
๐=๐
๐๐(๐, ๐ + ๐) โค ๐ป๐(๐) + ๐ป๐(๐) + ๐๐(๐, ๐); (โ)
Now, consider the following
๐(โ๐+ ๐ โ โ๐) = ๐(โ๐ + ๐ โ โ๐)(โ๐+ ๐ + โ๐)
โ๐+ ๐ + โ๐=
๐
โ๐+ ๐ + โ๐<
<๐
โ๐+ โ๐=๐
โ๐
Thus, ๐(โ๐+ ๐ โ โ๐) <๐
โ๐
Proceeding in a similar manner we can prove that:
๐(โ๐ โ โ๐โ ๐) >๐
โ๐
Combining both results, we have
๐(โ๐+ ๐ โ โ๐) <๐
โ๐< ๐(โ๐โ โ๐ โ ๐)
Summing from ๐ = ๐ to ๐ = ๐ we have
โ ๐(โ๐+ ๐ โ โ๐)
๐
๐=๐
< โ๐
โ๐
๐
๐=๐
< โ ๐(โ๐โ โ๐โ ๐)
๐
๐=๐
Now, both the upper and lower bounds are telescopic sums, hence after canceling the terms we are left with
๐(โ๐ + ๐ โ ๐) < ๐ป๐ (๐
๐) < ๐โ๐; (โโ)
Adding (โ), (โโ) the final inequality becomes strict as the second inequality is strict. Hence,
๐(โ๐ + ๐ โ ๐) + ๐๐(๐, ๐ + ๐) < ๐ป๐(๐) + ๐ป๐ (๐
๐) + ๐ป๐(๐) < ๐๐(๐, ๐) + ๐โ๐
1522. For ๐ โฅ ๐ prove or disprove:
๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
โ(๐+โซ (๐ โ ๐ญ๐๐ง ๐
๐ + ๐ญ๐๐ง ๐)๐๐
๐
๐
๐ ๐)
๐๐๐
๐=๐
๐
โ๐= ๐
๐ธ๐
where ๐ธ is Euler-Mascheroni constant.
Proposed by Naren Bhandari-Bajura-Nepal
www.ssmrmh.ro
34 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
Solution by Artan Ajredini-Presheva-Serbie
Let ๐๐(๐) = (๐โ๐ญ๐๐ง ๐
๐+๐ญ๐๐ง ๐)๐
. For ๐ โ [๐,๐
๐] we have |๐๐(๐)| โค ๐ = ๐(๐), and
โซ ๐(๐)
๐ ๐
๐
๐ ๐ =๐
๐. ๐๐จ๐ฐ,
๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐๐(๐) = {๐, ๐ โ (๐,
๐
๐]
๐, ๐ = ๐
By Lebesgue Dominated Convergence Theorem, we have that:
๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
โซ ๐๐(๐)
๐ ๐
๐
๐ ๐ = ๐ โ ๐(๐,๐ ๐]+ ๐ โ ๐{๐} = ๐; (๐)
On the other hand, substituting ๐ =๐โ๐ญ๐๐ง ๐
๐+๐ญ๐๐ง ๐ in the integral ๐ฐ = โซ ๐ (
๐โ๐ญ๐๐ง ๐
๐+๐ญ๐๐ง ๐)๐๐
๐๐
๐ ๐ and
integrating by parts, we get
๐ฐ =๐
๐โโซ
๐๐(๐ โ ๐๐)
๐ + ๐๐
๐
๐
๐ ๐
Again, let ๐๐(๐) =๐๐(๐โ๐๐)
๐+๐๐. For ๐ โ [๐, ๐] we have that ๐๐(๐) โค
๐โ๐๐
๐+๐๐= ๐(๐), and
โซ ๐(๐)๐
๐
๐ ๐ =๐ โ ๐
๐.๐๐จ๐ฐ, ๐ฅ๐ข๐ฆ
๐โโ๐๐(๐) = ๐, โ๐ โ [๐, ๐], ๐๐ง๐
using Lebesgue Dominated Convergence Theorem, we obtain
๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
โซ ๐๐(๐)๐
๐
๐ ๐ = ๐. ๐๐ก๐๐ซ๐๐๐จ๐ซ๐,
๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
โซ ๐(๐ โ ๐ญ๐๐ง ๐
๐ + ๐ญ๐๐ง ๐)๐
๐ ๐
๐
๐ ๐ =๐
๐; (๐)
By using (๐), (๐), we get
๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
โ(๐+โซ (๐ โ ๐ญ๐๐ง ๐
๐ + ๐ญ๐๐ง ๐)๐
๐ ๐
๐
๐ ๐)
๐๐๐
๐=๐
๐
โ๐=
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
โ(๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
(๐ + โซ (๐โ ๐ญ๐๐ง ๐
๐ + ๐ญ๐๐ง ๐)๐
๐ ๐
๐ ๐
๐
)
๐๐๐
๐=๐
๐
โ๐=
www.ssmrmh.ro
35 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
โ(๐๐ฑ๐ฉ {๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐
๐โซ ๐(
๐โ ๐ญ๐๐ง ๐
๐ + ๐ญ๐๐ง ๐)๐
๐ ๐
๐ ๐
๐
})
๐
๐=๐
๐
โ๐= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
โ๐
โ๐๐๐๐๐
๐
๐=๐
=
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
โ๐๐๐(๐๐โ๐ฅ๐จ๐ ๐)
๐
๐=๐
= ๐๐ธ๐
1523.
๐๐ =๐
๐ โซ
๐๐จ๐ญ๐ก(๐๐โ๐) โ ๐๐โ๐
๐(๐ + ๐๐)๐๐ ๐
โ
๐
, ๐ฝ๐ =๐๐จ๐ฌ(๐๐ )
๐; โ๐ โ โ
Prove that:
๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
โโ(๐ +๐๐)๐๐โ๐๐ฝ๐
๐
๐=๐
โ
๐=๐
= ๐๐ธ
where ๐ธ is Euler-Mascheroni constant.
Proposed by Surjeet Singhania-India
Solution by Naren Bhandari-Bajura-Nepal
Since we have two convergent integrals so we have validity for the linearity of integrals for
๐๐ that is
๐
๐๐๐ = โซ
๐๐จ๐ญ๐ก (๐๐)
๐(๐ + ๐๐)๐
โ
๐
๐ ๐โ
๐ฐ๐
โ โซ๐๐ ๐
๐๐(๐ + ๐๐)๐
โ
๐โ ๐ฐ๐
Now, let ๐๐(๐) =๐๐จ๐ญ๐ก(
๐
๐)
๐(๐+๐๐)๐ โค |
๐
๐(๐+๐๐)๐| โค |
๐
๐๐(๐+๐๐)| = ๐ฝ๐(๐) and hence
โซ ๐ฝ๐(๐)โ
๐
๐ ๐ =๐
๐๐ ๐๐ง๐ ๐ฅ๐ข๐ฆ
๐โโ๐ฝ๐(๐) = ๐.
By Lebesgue Dominating convergence theorem, we have:
๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
โซ ๐๐(๐)โ
๐
๐ ๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
โซ ๐ฝ๐(๐)โ
๐
๐ ๐ = ๐; (๐)
The integral ๐ฐ๐ has primitive which is
โซ๐๐ ๐
๐๐(๐ + ๐๐)
โ
๐
= โซ๐๐๐ ๐
๐๐๐(๐ + ๐๐)๐
โ
๐
= โ๐
๐๐๐(๐ + ๐๐)๐|๐
โ
=๐
๐๐๐
www.ssmrmh.ro
36 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
Giving us ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐ฐ๐ = ๐ (which we can even perform to show that
๐ฐ๐ = ๐ as ๐ โ โ even by LTCD) ;(2)
So, from (1),(2)we have:
๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
(๐ + ๐๐)๐ โค ๐ฅ๐ข๐ฆ
๐โโ(๐ + ๐ฐ๐ โ ๐ฐ๐)
๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
(๐ +๐
๐โ๐
๐๐ ๐)๐
= ๐
Now, we have just to evaluate
๐๐ฑ๐ฉ ( ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
โโ๐๐จ๐ฌ(๐ ๐)
๐๐๐
๐
๐=๐
โ
๐=๐
) = ๐๐ฑ๐ฉ (๐ โโ๐ป(๐) โ ๐
๐
โ
๐=๐
)
= ๐๐ฑ๐ฉ (๐ โโ๐๐
๐!โ
๐ ๐
๐๐๐(๐๐ โ ๐)
โ
๐=๐
)
Interchanging sum and integral signs we have
โซ๐๐ โ ๐ โ ๐
๐๐๐(๐๐ โ ๐)
โ
๐
๐ ๐ = โซ ๐โ๐๐ ๐โ
๐
โโซ (๐
๐๐ โ ๐โ๐
๐๐๐)
โ
๐
๐ ๐ = ๐ โ ๐ธ
Since it is well known that โซ (๐
๐๐โ๐โ
๐
๐๐๐)
โ
๐๐ ๐ = ๐ธ and hence we have desired result ๐๐ธ.
In other way we calculate
โ๐ป(๐) โ ๐
๐
โ
๐=๐
= โโ๐
๐๐๐
๐โฅ๐๐โฅ๐
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐ตโโ
โ (๐
๐โ ๐ฅ๐จ๐ ๐ + ๐ฅ๐จ๐ (๐+ ๐))
๐ต
๐=๐
=
= โ ๐ฅ๐ข๐ฆ๐ตโโ
(๐ฏ๐ต โ ๐ โ ๐ฅ๐จ๐ ๐ต) =๐ โ ๐ธ.
1524. Find:
๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โ๐๐>0
โซ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐๐ + ๐๐ + ๐
โ
๐บ
๐ ๐
Proposed by Vasile Mircea Popa-Romania
Solution 1 by Soumitra Mandal-India
๐ = โซ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐๐ + ๐๐ + ๐
โ
๐
๐ ๐ = โซ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐๐ + ๐๐ + ๐
๐
๐
๐ ๐ +โซ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐๐ + ๐๐ + ๐
โ
๐
๐ ๐ =๐=๐๐
= โซ๐๐(๐ โ ๐๐) ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ โ ๐๐
๐
๐
๐ ๐ โโซ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐๐ + ๐๐ + ๐๐ ๐
๐
๐
=
www.ssmrmh.ro
37 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
= โซ๐๐(๐ โ ๐๐) ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ โ ๐๐
๐
๐
๐ ๐ โ โซ(๐ โ ๐๐) ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ โ ๐๐
๐
๐
=
= ๐โซ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ โ ๐๐
๐
๐
๐ ๐ โโซ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ โ ๐๐
๐
๐
๐ ๐ โ โซ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ โ ๐๐
๐
๐
๐ ๐ =
๐โโซ ๐๐๐+๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐๐ ๐๐
๐
โ
๐=๐
โโโซ ๐๐๐+๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐๐ ๐๐
๐
โ
๐=๐
โโโซ ๐๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐๐
๐
๐ ๐
โ
๐=๐
=
= โ๐โ๐
(๐๐ + ๐)๐
โ
๐=๐
+โ๐
(๐๐ + ๐)๐
โ
๐=๐
+โ๐
(๐๐ + ๐)๐
โ
๐=๐
=
= โ๐(๐) (
๐๐)
๐๐+๐(๐) (
๐๐)
๐๐+๐(๐) (
๐๐)
๐๐= โ
๐ ๐
๐๐+๐(๐) (๐ โ
๐๐) + ๐
(๐) (๐๐)
๐๐=๐ ๐
๐โ๐ ๐
๐๐=๐ ๐
๐๐
Solution 2 by Ajetunmobi Abdulquyyum-Nigeria
๐ = โซ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐๐ + ๐๐ + ๐
โ
๐
๐ ๐ = โซ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐๐ + ๐๐ + ๐
๐
๐
๐ ๐ + โซ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐๐ + ๐๐ + ๐
โ
๐
๐ ๐โ
๐จ
๐จ = โซ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐๐ + ๐๐ + ๐
โ
๐
๐ ๐ =๐=๐๐โโซ
๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ + ๐๐ + ๐๐
๐
๐
๐ ๐ โ
๐ = โซ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐๐ + ๐๐ + ๐
๐
๐
๐ ๐ โ โซ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ + ๐๐ + ๐๐
๐
๐
๐ ๐ =
= โซ๐๐(๐ โ ๐๐) ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ โ ๐๐๐ ๐
๐
๐
โโซ(๐ โ ๐๐) ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ + ๐๐ + ๐๐๐ ๐
๐
๐
=
= โซ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ โ ๐๐
๐
๐
๐ ๐ โ โซ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ โ ๐๐๐ ๐
๐
๐
โโซ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ โ ๐๐๐ ๐
๐
๐
+ โซ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ โ ๐๐๐ ๐
๐
๐
=
= ๐โซ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ โ ๐๐๐ ๐
๐
๐
โโซ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ โ ๐๐๐ ๐
๐
๐
โ โซ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ โ ๐๐๐ ๐
๐
๐
= ๐ฉโ ๐ช โ๐ซ
๐ฉ = ๐โซ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ โ ๐๐๐ ๐
๐
๐
=๐๐=๐ ๐
๐๐โซ๐๐๐โ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ โ ๐
๐
๐
๐ ๐ = โ๐
๐๐๐(๐) (
๐
๐)
๐ช = โซ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ โ ๐๐๐ ๐
๐
๐
= โซ๐๐๐ ๐ฅ๐จ๐ (๐
๐๐)
๐ โ ๐โ ๐
๐๐โ๐๐
๐
๐
๐ ๐ =๐
๐๐โซ๐๐๐โ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ โ ๐๐ ๐
๐
๐
= โ๐
๐๐๐(๐) (
๐
๐)
๐ซ = โซ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ โ ๐๐๐ ๐
๐
๐
=๐
๐๐โซ๐โ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ โ ๐๐ ๐
๐
๐
=๐
๐๐โซ๐๐๐โ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ โ ๐
๐
๐
๐ ๐ = โ๐
๐๐๐(๐) (
๐
๐)
Thus,
๐ = ๐ฉ โ ๐ช โ๐ซ = โ๐
๐๐๐(๐) +
๐
๐๐๐(๐) (
๐
๐) +
๐
๐๐๐(๐) (
๐
๐) =
www.ssmrmh.ro
38 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
๐ ๐
๐โ๐ ๐
๐๐=๐ ๐
๐๐
Therefore,
๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โ๐๐>0
โซ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐๐ + ๐๐ + ๐
โ
๐บ
๐ ๐ =๐ ๐
๐๐
Solution 3 by Ose Favour-Nigeria
๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โ๐๐>0
โซ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐๐ + ๐๐ + ๐
โ
๐บ
๐ ๐ = โซ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐๐ + ๐๐ + ๐
๐
๐
๐ ๐ +โซ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐๐ + ๐๐ + ๐
โ
๐
๐ ๐ = ๐ฝ +๐ฟ
๐ฟ = โซ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐๐ + ๐๐ + ๐๐ ๐
โ
๐
=๐=๐๐โ โซ
๐ฅ๐จ๐ ๐
๐๐ + ๐๐ + ๐๐ ๐
๐
๐
๐ = โซ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ โ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐๐ + ๐๐ + ๐๐ ๐
๐
๐
= โซ(๐ โ ๐๐)(๐๐ โ ๐) ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ โ ๐๐๐ ๐
๐
๐
= โโซ(๐๐ โ ๐)๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ โ ๐๐๐ ๐
๐
๐
=๐=๐๐
โ๐
๐๐โซ(๐๐๐โ๐๐ โ ๐๐
๐๐โ๐๐ + ๐โ
๐๐) ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ โ ๐๐ ๐
๐
๐
๐๐๐ญ: ๐(๐) = โซ๐โ๐๐+๐ โ ๐๐โ
๐๐+๐ + ๐โ
๐๐+๐
๐ โ ๐๐ ๐
๐
๐
๐ = โ๐
๐๐๐โฒ(๐)
๐(๐) = โซ๐โ๐๐+๐ โ ๐๐โ
๐๐+๐ + ๐โ
๐๐+๐
๐ โ ๐๐ ๐
๐
๐
= โ๐(๐) (๐ +๐
๐) โ๐(๐) (๐ +
๐
๐) + ๐๐(๐) (๐ +
๐
๐)
๐โฒ(๐) = โ๐(๐)โฒ(๐ +
๐
๐) โ๐(๐)
โฒ(๐ +
๐
๐) + ๐๐(๐)
โฒ(๐ +
๐
๐)
๐โฒ(๐) = โ๐(๐)โฒ(๐
๐) โ ๐(๐)
โฒ(๐
๐) + ๐๐(๐)
โฒ(๐
๐) = โ(๐ ๐ ๐๐ฌ๐๐ (
๐
๐)) + ๐
๐ ๐
๐= โ๐๐ ๐
๐ = โ๐
๐๐๐โฒ(๐) =
๐
๐๐โ ๐๐ ๐ =
๐ ๐
๐๐
Solution 4 by Mohammad Rostami-Afghanistan
๐ = โซ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐๐ + ๐๐ + ๐
โ
๐
๐ ๐ =๐=๐๐โซ
โ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐๐ + ๐๐ + ๐๐ ๐
โ
๐
= โซโ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐๐ + ๐๐ + ๐๐ ๐
๐
๐
+โซโ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐๐ + ๐๐ + ๐
โ
๐
= ๐ฐ๐ + ๐ฐ๐
www.ssmrmh.ro
39 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
๐ฐ๐ = โซโ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐๐ + ๐๐ + ๐๐ ๐
๐
๐
= โซโ(๐ โ ๐๐) ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ โ ๐๐
๐
๐
๐ ๐ = โโซ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ โ ๐๐๐ ๐
๐
๐
+โซ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ โ ๐๐๐ ๐
๐
๐
=
= โโซ โ๐๐๐ ๐
๐๐|๐=๐๐๐๐ ๐
โ
๐=๐
๐
๐
+โซ ๐๐โ๐๐๐๐
๐๐|๐=๐๐๐
โ
๐=๐
๐ ๐๐
๐
= โโ๐
๐๐|๐=๐
โ
๐=๐
โซ ๐๐๐+๐๐ ๐๐
๐
+
+โ๐
๐๐|๐=๐
โ
๐=๐
โซ ๐๐๐+๐+๐๐ ๐๐
๐
= โโ [๐
๐๐ + ๐ + ๐]๐=๐
โฒโ
๐=๐
+โ[๐
๐๐ + ๐ + ๐]๐=๐
โฒโ
๐=๐
=
= โ๐
(๐๐ + ๐)๐
โ
๐=๐
โโ๐
(๐๐ + ๐)๐
โ
๐=๐
=๐
๐๐[โ
๐
(๐ +๐๐)๐
โ
๐=๐
โโ๐
(๐ +๐๐)๐
โ
๐=๐
] =
=๐
๐๐[๐(๐) (
๐
๐) โ ๐(๐) (
๐
๐)]
๐ฐ๐ = โโซ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐๐ + ๐๐ + ๐๐ ๐
โ
๐
=๐=๐๐โซ
๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐๐ + ๐๐ + ๐๐ ๐
๐
๐
= โซ๐๐(๐ โ ๐๐) ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ โ ๐๐๐ ๐
๐
๐
=
= โซ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ โ ๐๐๐ ๐
๐
๐
โโซ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ โ ๐๐๐ ๐
๐
๐
=
= โซ ๐๐โ๐๐๐๐
๐๐|๐=๐๐๐๐ ๐
โ
๐=๐
๐
๐
โโซ ๐๐โ๐๐๐๐
๐๐|๐=๐๐๐
โ
๐=๐
๐ ๐๐
๐
=
= โ๐
๐๐|๐=๐
โซ ๐๐๐+๐+๐๐ ๐๐
๐
โ
๐=๐
โโ๐
๐๐|๐=๐
โ
๐=๐
โซ ๐๐๐+๐+๐๐
๐
๐ ๐ =
= โ[๐
๐๐ + ๐ + ๐]๐=๐
โฒโ
๐=๐
โโ[๐
๐๐ + ๐ + ๐]๐=๐
โฒโ
๐=๐
= โโ๐
(๐๐ + ๐)๐
โ
๐=๐
+โ๐
(๐๐ + ๐)๐
โ
๐=๐
=
=๐
๐๐[โ
๐
(๐ +๐๐)๐
โ
๐=๐
โโ๐
(๐ +๐๐)๐
โ
๐=๐
] =๐
๐๐[๐(๐) (
๐
๐) โ ๐(๐) (
๐
๐)]
Therefore,
๐ = ๐ฐ๐ + ๐ฐ๐ =๐
๐๐[๐(๐) (
๐
๐) โ ๐(๐) (
๐
๐) โ ๐๐(๐) (
๐
๐)]
Solution 5 by Kartick Chandra Betal-India
๐ = โซ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐๐ + ๐๐ + ๐
โ
๐
๐ ๐ = โโซ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ + ๐๐ + ๐๐๐ ๐
โ
๐
๐๐ = ๐โซ(๐๐ โ ๐) ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ + ๐๐ + ๐๐๐ ๐
๐
๐
= ๐โซ(๐ โ
๐๐๐) ๐ฅ๐จ๐ ๐
(๐ +๐๐)๐
โ ๐
๐
๐
๐ ๐
www.ssmrmh.ro
40 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
๐ =๐
๐๐ฅ๐จ๐ (
๐๐ โ ๐ + ๐
๐๐ + ๐ + ๐) ๐ฅ๐จ๐ ๐|
๐
๐
โ๐
๐โซ ๐ฅ๐จ๐ (
๐๐ โ ๐ + ๐
๐๐ + ๐ + ๐)๐ ๐
๐
๐
๐
=
= โ๐
๐โซ {๐ฅ๐จ๐ (
๐ + ๐๐
๐ โ ๐๐) + ๐ฅ๐จ๐ (
๐ โ ๐
๐+ ๐)}๐ ๐
๐
๐
=
=๐
๐โซ ๐ฅ๐จ๐ (
๐ โ ๐
๐+ ๐)๐ ๐
๐
๐
๐
โ๐
๐โซ๐ฅ๐จ๐ (
๐ โ ๐๐ + ๐)
๐๐ ๐
๐
๐
=
=๐
๐โซ๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐)
๐๐ ๐
๐
๐
โ๐
๐โซ๐ฅ๐จ๐ (๐ โ ๐)
๐๐ ๐
๐
๐
=
=๐
๐๐ผ(๐) +
๐
๐๐ป(๐) =
๐
๐๐ป(๐) =
๐ ๐
๐๐
1525. Find a closed form:
๐ = โ ๐ญ๐๐งโ๐ ((๐๐ + ๐๐๐ + ๐๐๐ + ๐) โ ๐!
๐ + (๐๐ + ๐๐๐ + ๐๐๐ + ๐) โ (๐!)๐)
โ
๐=๐
Proposed by Daniel Sitaru-Romania
Solution 1 by Asmat Qatea-Afghanistan
โต ๐ญ๐๐งโ๐ ๐ โ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐ = ๐ญ๐๐งโ๐ (๐ โ ๐
๐+ ๐๐),
โต ๐๐ + ๐๐๐ + ๐๐๐ + ๐ = (๐ + ๐)(๐ + ๐)(๐ + ๐)
๐ = โ๐ญ๐๐งโ๐ ((๐๐ + ๐๐๐ + ๐๐๐ + ๐) โ ๐!
๐ + (๐๐ + ๐๐๐ + ๐๐๐ + ๐) โ (๐!)๐)
โ
๐=๐
=
= โ๐ญ๐๐งโ๐ ((๐๐ + ๐๐๐ + ๐๐๐ + ๐) โ ๐! โ ๐!
๐ + (๐๐ + ๐๐๐ + ๐๐๐ + ๐) โ (๐!)๐)
โ
๐=๐
=
= โ๐ญ๐๐งโ๐ ((๐๐ + ๐๐๐ + ๐๐๐ + ๐) โ ๐!)
โ
๐=๐
โโ๐ญ๐๐งโ๐(๐!)
โ
๐=๐
=
= โ๐ญ๐๐งโ๐((๐ + ๐)!) โ
โ
๐=๐
โ๐ญ๐๐งโ๐(๐!)
โ
๐=๐
=
= โ ๐ญ๐๐งโ๐((๐ + ๐)!)
โ
๐=๐
โ ๐ ๐ญ๐๐งโ๐(๐) โ ๐ญ๐๐งโ๐(๐) โโ๐ญ๐๐งโ๐(๐!)
โ
๐=๐
= ๐ โ ๐ญ๐๐งโ๐(๐)
www.ssmrmh.ro
41 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
Solution 2 by Naren Bhandari-Bajura-Nepal
Note the ๐ฎ(๐) = ๐๐ + ๐๐๐ + ๐๐๐ + ๐ = (๐ + ๐)(๐+ ๐)(๐ + ๐) and it is easy to see that
โ๐๐๐โ๐ ((๐ฎ(๐) โ ๐)๐!
๐ + ๐ฎ(๐)(๐!)๐)
โ
๐=๐
= โ(๐๐๐โ๐((๐ + ๐)!) โ ๐๐๐โ๐(๐!))
โ
๐=๐
We have telescoping series giving us
โ๐๐๐โ๐(๐!) โ ๐๐๐โ๐(๐!) โ ๐๐๐โ๐(๐!) + ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
(๐๐๐โ๐((๐ + ๐)!) + ๐๐๐โ๐((๐ + ๐)!) +
๐๐๐โ๐((๐ + ๐)!)) .For all ๐ > ๐ and on the further solving we have:
โ๐
๐โ ๐๐๐โ๐(๐) +
๐๐
๐= ๐ โ ๐๐๐โ๐(๐)
1526. ๐๐ = ๐, ๐๐ = ๐, ๐๐ = (๐ โ ๐)(๐๐โ๐ + ๐๐โ๐), ๐ โฅ ๐, ๐ โ โ. Find:
๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐๐๐!
Proposed by Daniel Sitaru-Romania
Solution 1 by Ravi Prakash-New Delhi-India
๐๐ = ๐, ๐๐ = ๐, ๐๐ = (๐ โ ๐)(๐๐โ๐ + ๐๐โ๐), ๐ โฅ ๐,๐ โ โ; (๐) โ
๐๐ โ ๐๐๐โ๐ = โ[๐๐โ๐ โ (๐ โ)๐๐โ๐]. Put: ๐๐ = ๐๐ โ ๐๐๐โ๐, โ๐ โฅ ๐, ๐๐ = โ๐
Also, (1) gives ๐๐ = โ๐๐โ๐, โ๐ โฅ ๐ โ (๐๐)๐โฅ๐ โgeometric progression with ratio ๐ = โ๐.
Thus, ๐๐ = (โ๐)๐โ๐๐๐, โ๐ โฅ ๐ โ ๐๐ โ ๐๐๐โ๐ = (โ๐)
๐, โ๐ โฅ ๐
โ๐๐๐!โ
๐๐โ๐(๐ โ ๐)!
=(โ๐)๐
๐!โโ(
๐๐๐!โ
๐๐โ๐(๐ โ ๐)!
)
๐
๐=๐
=โ(โ๐)๐
๐!
๐
๐=๐
, โ๐ โฅ ๐
โ๐๐๐!=โ
(โ๐)๐
๐!
๐
๐=๐
+๐๐๐!
๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐๐๐!= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
โ(โ๐)๐
๐!
๐
๐=๐
=๐
๐
Solution 2 by Naren Bhandari-Bajura-Nepal
Since ๐๐ = ๐ and ๐๐ = ๐ and given recurrence relation ๐๐ = (๐ โ ๐)(๐๐โ๐ + ๐๐โ๐) and
on expanding the recurrence relation we can observe that
www.ssmrmh.ro
42 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
๐ท = {๐๐|๐ โ โคโฅ๐} = {๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐๐, ๐๐๐, ๐๐๐๐,โฆ }
Since the sequence we have well know from Derangement so in other word we can
rewrite the recurrence in terms subfactorial, that is
! ๐ = (๐ โ ๐)(! (๐ โ ๐) + ! (๐ โ ๐)), โ๐ โฅ ๐ and hence required limit to be evaluated is
๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐๐๐!= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐งโโ
! ๐
๐!= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
โ(โ๐)๐
๐!
๐
๐=๐
=๐
๐
๐๐ฌ ! ๐ = ๐! โ(โ๐)๐
๐!
๐
๐=๐
1527. ๐ฎ(๐) โBarnes ๐ฎ-function, ๐ฒ(๐) โ ๐ฒ function. Find:
๐ =โ โ๐!
๐ฒ(๐ + ๐) โ ๐ฎ(๐ + ๐)
๐โ
๐=๐
Proposed by Daniel Sitaru-Romania
Solution 1 by Asmat Qatea-Afghanistan
๐ฎ(๐) =(๐ช(๐))
๐โ๐
๐ฒ(๐); ๐ฎ(๐ + ๐) =
((๐ + ๐)!)๐+๐
๐ฒ(๐ + ๐)
๐ฒ(๐ + ๐) = ๐๐ โ ๐๐ โ ๐๐ โ โฆ โ ๐๐ โ๐ฒ(๐ + ๐)
๐ฒ(๐ + ๐)=
๐
(๐ + ๐)๐+๐
โ๐!
๐ฒ(๐ + ๐) โ ๐ฎ(๐ + ๐)
๐
=โ
๐!
๐ฒ(๐ + ๐) โ ((๐ + ๐)!)
๐+๐
๐ฒ(๐ + ๐)
๐ =โ
๐!
((๐ + ๐)!)๐+๐
(๐ + ๐)๐+๐
๐ =
=โ
๐!
(๐ + ๐)๐+๐ โ (๐!)๐+๐
(๐ + ๐)๐+๐
๐ =๐
๐!
Therefore,
๐ = โ โ๐!
๐ฒ(๐ + ๐) โ ๐ฎ(๐ + ๐)
๐โ
๐=๐
= โ๐
๐!
โ
๐=๐
= ๐ โ ๐
www.ssmrmh.ro
43 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
Solution 2 by Amrit Awasthi-India
We know: ๐ฒ(๐ + ๐) = ๐๐ โ ๐๐ โ ๐๐ โ โฆ โ ๐๐ and ๐ฎ(๐+ ๐) = ๐! โ ๐! โ ๐! โ โฆ โ ๐!
โ ๐ฎ(๐ + ๐) = ๐๐ โ ๐๐โ๐ โ ๐๐โ๐ โ โฆ โ (๐ โ ๐)๐ โ ๐๐
๐ฒ(๐ + ๐) โ ๐ฎ(๐ + ๐) = (๐๐ โ ๐๐ โ ๐๐ โ โฆ โ ๐๐) โ (๐๐ โ ๐๐โ๐ โ ๐๐โ๐ โ โฆ โ (๐ โ ๐)๐ โ ๐๐) =
= ๐๐+๐ โ ๐๐+๐ โ โฆ โ (๐ โ ๐)๐+๐ โ ๐๐+๐ = (๐!)๐+๐
Therefore,
๐ = โ โ๐!
๐ฒ(๐ + ๐) โ ๐ฎ(๐ + ๐)
๐โ
๐=๐
= โ โ๐!
(๐!)๐+๐๐
โ
๐=๐
= โ โ๐
(๐!)๐๐
โ
๐=๐
=
= โ๐
๐!
โ
๐=๐
= ๐ โ ๐
1528. Find:
๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
โ(๐๐)! โ (๐โ๐
(๐ โ ๐)! โ (๐ + ๐)!
๐
๐=๐
โ๐๐
(๐๐)!)
๐
Proposed by Daniel Sitaru-Romania
Solution 1 by Adrian Popa-Romania
(๐๐
๐ โ ๐) =
(๐๐)!
(๐ โ ๐)! โ (๐ + ๐)!โ
๐
(๐ โ ๐)! โ (๐ + ๐)!=( ๐๐๐โ๐)
(๐๐)!
โ(๐๐
๐โ ๐)
๐
๐=๐
= (๐๐
๐) + (
๐๐
๐ โ ๐) + (
๐๐
๐ โ ๐) +โฏ+ (
๐๐
๐)
= (๐๐
๐ + ๐) + (
๐๐
๐ + ๐) +โฏ+ (
๐๐
๐๐) = ๐บ
โต (๐๐
๐) + (
๐๐
๐) + (
๐๐
๐) +โฏ+ (
๐๐
๐๐) = ๐๐๐ โ ๐๐บ + (
๐๐
๐) = ๐๐๐ โ ๐๐บ = ๐๐ โ (
๐๐
๐)
โ ๐บ =๐๐ โ (๐๐
๐)
๐โโ(
๐๐
๐ โ ๐)
๐
๐=๐
= ๐บ + (๐๐
๐) =
(๐๐ + (๐๐๐))
๐
www.ssmrmh.ro
44 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
โ(๐๐)! โ (๐โ๐
(๐ โ ๐)! โ (๐ + ๐)!
๐
๐=๐
โ๐๐
(๐๐)!)
๐
=
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
โ(๐๐)! โ (๐๐ + (๐๐
๐)
๐(๐๐)!โ ๐ โ
๐๐
(๐๐)!)
๐
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
โ(๐๐
๐)
๐
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
โ(๐๐)!
(๐!)๐๐
=๐ชโ๐ซ
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
(๐๐ + ๐)!
((๐ + ๐)!)๐ โ (๐!)๐
(๐๐)!= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
(๐๐)! (๐๐ + ๐)(๐๐+ ๐)(๐!)๐
(๐!)๐(๐ + ๐)๐(๐๐)!= ๐
Solution 2 by Ahmed Yackoube Chach-Mauritania
๐ฐ = โ๐
(๐ โ ๐)! (๐ + ๐)!
๐
๐=๐
=๐
๐! โ ๐!+
๐
(๐ โ ๐)! โ (๐ + ๐)!+ โฏ+
๐
๐! โ (๐๐ โ ๐)!+
๐
๐! โ (๐๐)!
=๐
๐! โ (๐๐)!+
๐
๐! โ (๐๐ โ ๐)!+ โฏ+
๐
๐! โ ๐!= โ
๐
(๐๐ โ ๐) โ ๐!
๐
๐=๐
โ๐
(๐๐โ ๐)! โ ๐!
๐๐
๐=๐+๐
=๐
(๐ โ ๐)! โ (๐ + ๐)!+โฏ+
๐
๐! โ (๐๐ โ ๐)!+
๐
๐! โ (๐๐)!+
๐
(๐!)๐โ
๐
(๐!)๐
= ๐ฐ โ๐
(๐!)๐
๐๐ฐ = โ๐
(๐๐ โ ๐)! โ ๐!
๐๐
๐=๐
+๐
(๐!)๐=
๐
(๐!)๐+๐๐
(๐๐)!
๐๐ง = โ(๐๐)! โ (๐โ๐
(๐ โ ๐)! โ (๐ + ๐)!
๐
๐=๐
โ๐๐
(๐๐)!)
๐
= โ(๐๐)! (๐๐ฐ โ๐๐
(๐๐)!)
๐
=
= โ(๐๐)!
(๐!)๐๐
= โ๐๐๐๐ช(๐ +
๐๐)
โ๐ ๐ช(๐ + ๐)
๐
= ๐(๐
โ๐ โ ๐ช (๐ +
๐๐)
๐ช(๐ + ๐))
๐๐
= ๐ โ ๐
๐๐โ ๐ฅ๐จ๐ (
๐
โ๐ โ ๐ช(๐+
๐๐)
๐ช(๐+๐))๐โโโ ๐ โ ๐๐
Therefore,
๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
โ(๐๐)! โ (๐โ๐
(๐ โ ๐)! โ (๐ + ๐)!
๐
๐=๐
โ๐๐
(๐๐)!)
๐
= ๐
www.ssmrmh.ro
45 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
1529. For ๐, ๐, ๐, ๐ โ โ such that ๐(๐ โ ๐) = ๐ + ๐. Find:
๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐
๐โ ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
โโ๐๐๐๐๐๐ (๐๐
๐๐)
๐
๐=๐
๐๐
๐=๐
Proposed by Floricฤ Anastase-Romania
Solution by Ruxandra Daniela Tonilฤ-Romania
๐๐ =โ๐๐๐๐๐๐ (๐๐
๐๐)
๐
๐=๐
=โ(๐๐๐(
๐๐
๐๐)
๐๐
๐๐
)
๐
๐๐+๐๐
๐๐๐
๐
๐=๐
=โ(๐๐๐(
๐๐
๐๐)
๐๐
๐๐
)
๐
๐๐+๐๐
๐๐+๐๐+๐
๐
๐=๐
โ
โ๐ โ โ, โ๐ป๐ > 0 ๐ ๐ข๐โ ๐กโ๐๐ก: 1 โ ๐ป๐ โค (๐๐๐(
๐๐
๐๐)
๐๐
๐๐
)
๐
โค ๐ + ๐ป๐
( ๐ โ ๐ป๐)โ๐๐+๐๐
๐๐+๐๐+๐โค ๐๐ โค
๐
๐=๐
( ๐ + ๐ป๐)โ๐๐+๐๐
๐๐+๐๐+๐
๐
๐=๐
๐๐๐๐โโ
โ๐๐+๐๐
๐๐+๐๐+๐= ๐๐๐๐โโ
๐
๐โ(
๐
๐)๐+๐๐
= โซ๐๐+๐๐๐ ๐ =๐
๐ + ๐๐ + ๐
๐
๐
๐
๐=๐
๐
๐=๐
Hence,
๐๐๐๐โโ
โ๐๐๐๐๐๐ (๐๐
๐๐) =
๐
๐ + ๐๐ + ๐
๐
๐=๐
โโ๐๐๐๐๐๐ (๐๐
๐๐)
๐
๐=๐
๐๐
๐=๐
= โ๐
๐+ ๐๐ + ๐
๐๐
๐=๐
๐ โค๐
๐โ โ
๐
๐ + ๐๐ + ๐
๐๐
๐=๐
โคโ๐จ๐ดโ๐ฎ๐ด ๐
๐โ
๐
๐โ๐๐๐๐
๐๐
๐=๐
=๐
๐โ๐๐๐ โ
๐
๐โ๐๐
๐๐
๐=๐
=๐
๐โ๐๐๐ โ
โ๐
โ๐๐
๐๐
๐=๐
๐
๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐
๐โ โ
๐
๐ + ๐๐ + ๐
๐๐
๐=๐
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐
๐โ๐๐๐ โ
โ๐
โ๐๐
๐๐
๐=๐
๐=โ
๐ณ.๐ชโ๐บ ๐
๐โ๐๐๐ โ ๐ฅ๐ข๐ฆ
๐โโ
๐
โ๐๐๐
(๐ + ๐) โ๐= ๐
Therefore,
www.ssmrmh.ro
46 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐
๐โ ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
โโ๐๐๐๐๐๐ (๐๐
๐๐)
๐
๐=๐
๐๐
๐=๐
= ๐
1530. If (๐๐)๐โฅ๐, (๐๐)๐โฅ๐ are given by ๐๐ = ๐๐ = ๐,๐๐+๐ = ๐๐ + ๐๐,
๐๐+๐ = (๐๐ + ๐ + ๐)๐๐ + ๐๐, ๐ โฅ ๐. Find:
๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐ โ โโ(๐๐๐๐)
๐
๐=๐
๐
Proposed by Neculai Stanciu-Romania
Solution by George Florin ศerban-Romania
๐๐+๐ = ๐๐ + ๐๐ โ ๐๐ = ๐๐+๐ โ ๐๐ and ๐๐+๐ = (๐๐ + ๐+ ๐)๐๐, then
๐๐+๐ โ ๐๐ = (๐๐ + ๐+ ๐)๐๐ โ ๐๐+๐ โ ๐๐+๐ โ ๐๐+๐ + ๐๐ = (๐
๐ + ๐)๐๐ + ๐๐
๐๐+๐ โ ๐๐๐+๐ = (๐๐ + ๐)๐๐ โ
๐๐+๐๐๐
โ ๐๐๐+๐๐๐
= ๐๐ + ๐. ๐๐๐ญ ๐๐ =๐๐+๐๐๐
โ
๐๐+๐๐๐ โ ๐๐๐ = ๐๐ + ๐. Applying mathematical induction to ๐ท(๐): ๐๐ = ๐+ ๐ from ๐ โฅ
๐, we have: ๐ท(๐): ๐๐ =๐๐
๐๐= ๐ true.
Suppose that: ๐ท(๐): ๐๐ = ๐ + ๐ โ ๐๐+๐ โ (๐ + ๐) โ ๐(๐ + ๐) = ๐๐ + ๐ โ
๐๐+๐ โ (๐ + ๐) = ๐(๐ + ๐) + ๐(๐ + ๐) โ ๐๐+๐ = ๐+ ๐. Hence,
๐๐+๐๐๐
= ๐+ ๐ โโ๐๐+๐๐๐
๐
๐=๐
= (๐ + ๐)! โ ๐๐+๐ = (๐ + ๐)! โ ๐๐ = ๐!
โ๐๐๐๐
๐
๐=๐
=โ๐ โ ๐!
๐!
๐
๐=๐
=โ๐
๐
๐=๐
= ๐!
Therefore,
๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐ โ โโ(๐๐๐๐)
๐
๐=๐
๐
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐
โ๐!๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ
๐โโโ๐๐
๐!
๐
=๐ชโ๐ซโฒ๐จ
๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
(๐ + ๐)๐+๐
(๐ + ๐)!โ ๐!
๐๐=
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
(๐ +๐
๐)๐
= ๐.
www.ssmrmh.ro
47 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
1531. Find:
๐(๐) = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โ๐
๐๐ญ๐๐ง๐๐ โ ๐๐ญ๐๐ง๐๐ โ โฆ โ (๐๐)๐ญ๐๐ง(๐๐๐) โ ๐
๐๐ญ๐๐ง๐๐ โ ๐๐ญ๐๐ง๐๐ โ โฆ โ (๐๐ + ๐)๐ญ๐๐ง((๐๐+๐)๐) โ ๐;๐ โ โ, ๐ โฅ ๐
Proposed by Mohammad Hamed Nasery-Afghanistan
Solution 1 by Amrit Awasthi-India
Rewriting we have:
๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โ๐
๐๐ญ๐๐ง ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐+๐ญ๐๐ง ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐+โฏ+๐ญ๐๐ง(๐๐๐) ๐ฅ๐จ๐ (๐๐) โ ๐
๐๐ญ๐๐ง ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐+๐ญ๐๐ง ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐+โฏ+๐ญ๐๐ง(๐๐+๐)๐ ๐ฅ๐จ๐ (๐๐+๐) โ ๐
๐(๐) = ๐๐ญ๐๐ง ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐+๐ญ๐๐ง ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐+โฏ+๐ญ๐๐ง(๐๐๐) ๐ฅ๐จ๐ (๐๐),
๐(๐) = ๐๐ญ๐๐ง ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐+๐ญ๐๐ง ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐+โฏ+๐ญ๐๐ง(๐๐+๐)๐ ๐ฅ๐จ๐ (๐๐+๐)
โ ๐โฒ(๐) = ๐๐ญ๐๐ง ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐+๐ญ๐๐ง ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐+โฏ+๐ญ๐๐ง(๐๐๐) ๐ฅ๐จ๐ (๐๐) โ
โ (๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐ฌ๐๐๐(๐๐) โ ๐ + โฏ+ ๐ฅ๐จ๐ (๐๐) ๐ฌ๐๐๐((๐๐ + ๐)๐) โ ๐๐)
๐โฒ(๐) = ๐๐ญ๐๐ง ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐+๐ญ๐๐ง ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐+โฏ+๐ญ๐๐ง(๐๐+๐)๐ ๐ฅ๐จ๐ (๐๐+๐) โ
โ (๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐ฌ๐๐๐(๐๐) โ ๐ +โฏ+ ๐ฅ๐จ๐ (๐๐ + ๐) ๐ฌ๐๐๐(๐๐ + ๐) ๐ฌ๐๐๐((๐๐ + ๐)๐) โ (๐๐ + ๐))
That implies,
๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โ๐
๐โฒ(๐)
๐โฒ(๐)=
๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ + ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ + โฏ+ ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐๐
๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ + ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ + โฏ+ (๐๐ + ๐) ๐ฅ๐จ๐ (๐๐ + ๐)=
=๐ฅ๐จ๐ ๐๐ + ๐ฅ๐จ๐ ๐๐ +โฏ+ ๐ฅ๐จ๐ (๐๐)๐๐
๐ฅ๐จ๐ ๐๐ + ๐ฅ๐จ๐ ๐๐ +โฏ+ ๐ฅ๐จ๐ (๐๐ + ๐)๐๐+๐=
๐ฅ๐จ๐ (๐๐ โ ๐๐ โ โฆ โ (๐๐)๐๐)
๐ฅ๐จ๐ (๐๐ โ ๐๐ โ โฆ โ (๐๐ + ๐)๐๐+๐)
Solution 2 by Serlea Kabay-Liberia
Recall, ๐ญ๐๐ง(๐ถ๐)~๐ถ๐ and ๐๐ถ๐ โ ๐~๐ถ๐;โ๐ถ โ โ.
๐(๐)~ ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โ๐
๐๐๐ โ ๐๐๐ โ โฆ โ (๐๐)๐๐๐ โ ๐
๐๐๐ โ ๐๐๐ โ โฆ โ (๐๐ + ๐)(๐๐+๐)๐ โ ๐=
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โ๐
๐๐ฅ๐จ๐ (๐๐๐โ ๐๐๐โ โฆโ (๐๐)๐๐๐) โ ๐
๐๐ฅ๐จ๐ (๐๐๐โ ๐๐๐โ โฆโ (๐๐+๐)(๐๐+๐)๐) โ ๐
=
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โ๐
๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐๐+๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐๐+โฏ+๐ ๐ฅ๐จ๐ (๐๐)๐๐ โ ๐
๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐๐+๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐๐+โฏ+๐ ๐ฅ๐จ๐ (๐๐+๐)๐๐+๐ โ ๐
=
www.ssmrmh.ro
48 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โ๐
๐๐ ๐ฅ๐จ๐ (โ (๐๐)๐๐๐๐=๐ ) โ ๐
๐๐ ๐ฅ๐จ๐ (โ (๐๐+๐)๐๐+๐๐๐=๐ ) โ ๐
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โ๐
๐ ๐ฅ๐จ๐ (โ (๐๐)๐๐๐๐=๐ )
๐ ๐ฅ๐จ๐ (โ (๐๐ + ๐)๐๐+๐๐๐=๐ )
=
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โ๐
๐ฅ๐จ๐ (โ (๐๐)๐๐๐๐=๐ )
๐ฅ๐จ๐ (โ (๐๐ + ๐)๐๐+๐๐๐=๐ )
=๐ฅ๐จ๐ (๐๐ โ ๐๐ โ โฆ โ (๐๐)๐๐)
๐ฅ๐จ๐ (๐๐ โ ๐๐ โ โฆ โ (๐๐ + ๐)๐๐+๐)
Solution 3 by Obaidullah Jaihon-Afghanistan
๐๐ญ๐๐ง ๐๐ โ ๐๐ญ๐๐ง ๐๐ โ โฆ โ (๐๐)๐ญ๐๐ง(๐๐๐) = ๐ โ
๐ฅ๐จ๐ ๐ = ๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐ญ๐๐ง ๐๐ + ๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐ญ๐๐ง ๐๐ +โฏ+ ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ (๐๐) ๐ญ๐๐ง(๐๐๐)
(๐ฅ๐จ๐ ๐)โฒ = ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐ฌ๐๐๐ ๐๐ + ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐ฌ๐๐๐ ๐๐ +โฏ+ ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ (๐๐) ๐ฌ๐๐๐(๐๐)
๐ฅ๐ข๐ฆ๐โ๐(๐ฅ๐จ๐ ๐)โฒ = ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ + ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ + โฏ+ ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ (๐๐) = ๐ฅ๐จ๐ (๐๐ โ ๐๐ โ โฆ โ (๐๐)๐๐)
๐ = ๐๐ญ๐๐ง ๐๐ โ ๐๐ญ๐๐ง ๐๐ โ โฆ โ (๐๐ + ๐)๐ญ๐๐ง(๐๐+๐)๐ โ ๐
๐ฅ๐จ๐ ๐ = ๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐ญ๐๐ง ๐๐ + ๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐ญ๐๐ง ๐๐ +โฏ+ ๐ฅ๐จ๐ (๐๐+ ๐) ๐ญ๐๐ง(๐๐+ ๐)
๐ฅ๐ข๐ฆ๐โ๐(๐ฅ๐จ๐ ๐)โฒ = ๐ฅ๐ข๐ฆ
๐โ๐(๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐ฌ๐๐๐ ๐๐ + ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐ฌ๐๐๐ ๐๐ +โฏ
+ (๐๐+ ๐) ๐ฅ๐จ๐ (๐๐ + ๐) ๐ฌ๐๐๐(๐๐ + ๐)๐) =
= ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ + ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ + โฏ+ (๐๐+ ๐) ๐ฅ๐จ๐ (๐๐ + ๐) = ๐ฅ๐จ๐ (๐๐ โ ๐๐ โ โฆ โ (๐๐ + ๐)๐๐+๐)
๐ =๐ฅ๐จ๐ (๐๐ โ ๐๐ โ โฆ โ (๐๐)๐๐)
๐ฅ๐จ๐ (๐๐ โ ๐๐โ โฆ โ (๐๐+ ๐)๐๐+๐)
1532. Solve for integers:
๐๐๐ + ๐
๐๐ + ๐ + ๐+๐๐๐๐ + ๐๐๐ + ๐๐
๐๐ + ๐+ ๐+๐๐๐๐ + ๐๐๐ + ๐๐๐
๐๐ + ๐ + ๐+โฏ+
๐๐ โ ๐๐ + ๐๐ โ ๐ + ๐๐๐๐ + ๐ + ๐
=๐๐๐ + ๐๐๐๐ + ๐๐๐๐ โ ๐
๐๐;๐ โ โโ ๐๐ง๐ ๐๐ข๐ง๐:
๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐งโโ
(๐๐๐๐)
๐๐๐๐
Proposed by Costel Florea-Romania
Solution by George Florin ศerban-Romania
๐๐๐ + ๐๐๐๐ + ๐๐๐๐ โ ๐ = ๐(๐ + ๐)(๐๐ + ๐)(๐๐๐ + ๐๐ โ ๐)
โ๐๐๐
๐=๐
=๐(๐ + ๐)(๐๐ + ๐)(๐๐๐ + ๐๐ โ ๐)
๐๐
www.ssmrmh.ro
49 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
๐๐ = ๐, ๐๐ = ๐๐, ๐๐ = ๐๐, โฆ , ๐๐ = ๐๐ + ๐
๐๐ = ๐, ๐๐ = ๐๐, ๐๐ = ๐๐,โฆ , ๐๐ = ๐๐
๐๐ = ๐, ๐๐ = ๐๐, ๐๐ = ๐๐๐, โฆ , ๐๐ = ๐๐ โ ๐
(๐๐๐ + ๐
๐๐ + ๐ + ๐โ ๐๐) + (
๐๐๐๐ + ๐๐๐ + ๐๐
๐๐ + ๐ + ๐โ ๐๐) + (
๐๐๐๐ + ๐๐๐ + ๐๐๐
๐๐ + ๐ + ๐โ ๐๐) +โฏ
+ ((๐๐ + ๐)๐๐ + ๐๐๐ + ๐๐ โ ๐)
๐๐ + ๐ + ๐โ ๐๐) = ๐ โ
๐๐ โ ๐
๐๐ + ๐ + ๐+๐๐๐ โ ๐
๐๐ + ๐ + ๐+๐๐๐ โ ๐
๐๐ + ๐ + ๐+โฏ+
๐๐๐ โ ๐
๐๐ + ๐ + ๐= ๐ โบ
(๐๐ โ ๐) (๐
๐๐ + ๐ + ๐+
๐
๐๐ + ๐ + ๐+โฏ+
๐
๐๐ + ๐ + ๐) = ๐
Because ๐
๐๐+๐+๐+
๐
๐๐+๐+๐+โฏ+
๐
๐๐+๐+๐โ ๐ from ๐๐ + ๐ + ๐ > 0, โ๐ โ โ
โ ๐๐ โ ๐ = ๐ โบ ๐ โ {โ๐, ๐}
๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐งโโ
(๐๐๐๐)
๐๐๐๐= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
(๐๐ + ๐
๐๐)
๐๐โ๐
๐๐
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
[(๐ +๐
๐๐)๐๐
]
๐๐โ๐
๐๐
= ๐๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐๐โ๐
๐๐ = ๐
1533. Let (๐๐)๐โฅ๐ โbe a sequence of real numbers with ๐๐ = ๐ and
[(๐๐ โ ๐๐โ๐)(๐ + ๐)! ๐ โ ๐๐๐๐โ๐](๐ + ๐) = ๐๐๐๐๐๐โ๐; ๐ โฅ ๐. Find:
๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
( โ๐๐+๐๐ + ๐
๐+๐)
๐
โ (โ๐๐๐ + ๐
๐)
๐
(โ๐๐๐ + ๐
๐)
๐โ๐
Proposed by Floricฤ Anastase-Romania
Solution by Mikael Bernardo-Mozambique
๐๐ = ๐; [(๐๐ โ ๐๐โ๐)(๐ + ๐)!๐ โ ๐๐๐๐โ๐](๐ + ๐) = ๐๐๐๐๐๐โ๐; ๐ โฅ ๐ โบ
(๐๐ โ ๐๐โ๐๐(๐ + ๐) โ (๐ + ๐)! = ๐๐๐๐โ๐(๐๐ + ๐ + ๐) โบ
๐๐ โ ๐๐โ๐๐๐๐๐โ๐
=(๐ + ๐)๐ โ ๐
๐(๐ + ๐)(๐ + ๐)!โบ
www.ssmrmh.ro
50 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
๐
๐๐โ๐โ๐
๐๐=
๐ + ๐
๐(๐ + ๐)!โ
๐
(๐ + ๐)(๐ + ๐)!
๐
๐๐โ
๐
๐๐โ๐=
๐
(๐ + ๐) โ (๐ + ๐)!โ
๐
๐ โ ๐!
๐
๐๐โ๐
๐๐=
๐
๐ โ ๐!โ
๐
๐ โ ๐!โ ๐๐ = (๐ + ๐) โ (๐ + ๐)!
Hence,
๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
( โ๐๐+๐๐ + ๐
๐+๐)
๐
โ (โ๐๐๐ + ๐
๐)
๐
(โ๐๐๐ + ๐
๐)
๐โ๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
( โ(๐ + ๐)!๐+๐
)๐
โ (โ(๐ + ๐)!๐
)๐
(โ(๐ + ๐)!๐
)๐โ๐ =
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
(โ(๐ + ๐)!๐
)๐+๐โ๐
โ ((โ(๐ + ๐)!
๐+๐
โ(๐ + ๐)!๐
)
๐
โ ๐) =
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
(โ(๐ + ๐)!๐
๐) โ ๐ โ
(โ(๐ + ๐)!
๐+๐
โ(๐ + ๐)!๐
)
๐
โ ๐
๐ฅ๐จ๐ ((โ(๐ + ๐)!
๐+๐
โ(๐ + ๐)!๐
)
๐
)
โ ๐ฅ๐จ๐ ((โ(๐ + ๐)!
๐+๐
โ(๐ + ๐)!๐
)
๐
)
๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
(โ(๐ + ๐)!๐
๐) =๐ชโ๐ซ
๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
((๐ + ๐)!
(๐ + ๐)!โ
๐๐
(๐ + ๐)๐+๐=๐
๐; (๐)
๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
โ(๐ + ๐)!๐+๐
โ(๐ + ๐)!๐
= ๐ โ ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
(โ(๐ + ๐)!
๐+๐
โ(๐ + ๐)!๐
)
๐
โ ๐
๐ฅ๐จ๐ ((โ(๐ + ๐)!
๐+๐
โ(๐ + ๐)!๐
)
๐
)
= ๐; (๐)
๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐ฅ๐จ๐ ((โ(๐ + ๐)!
๐+๐
โ(๐ + ๐)!๐
)
๐๐
) = ๐ถ โ ๐ฅ๐จ๐ (๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
(๐ + ๐)!
(๐ + ๐)!โ
๐ + ๐
โ(๐ + ๐)!๐+๐
โ ๐
๐ + ๐) = ๐ โ ๐ฅ๐จ๐ ๐
= ๐; (๐)
From (1),(2),(3) it follows that:
๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
( โ๐๐+๐๐ + ๐
๐+๐)
๐
โ (โ๐๐๐ + ๐
๐)
๐
(โ๐๐๐ + ๐
๐)
๐โ๐ =๐
๐โ ๐ โ ๐ =
๐
๐
www.ssmrmh.ro
51 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
1534.
(๐๐)๐โฅ๐, (๐๐)๐โฅ๐; ๐๐ = โซ [๐๐
๐]
๐
๐
๐ ๐, ๐๐ > 1,
๐๐+๐ = ๐ + ๐ฅ๐จ๐ (๐๐) , [โ] โ ๐ฎ๐ฐ๐ญ . Find:
๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐๐ โ ๐ฅ๐จ๐ โ๐๐๐
๐ฅ๐จ๐ ๐
Proposed by Floricฤ Anastase-Romania
Solution 1 by Ruxandra Daniela Tonilฤ-Romania
๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐๐ โ ๐ฅ๐จ๐ โ๐๐๐
๐ฅ๐จ๐ ๐= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐๐ โ ๐ฅ๐จ๐ ๐๐๐ โ ๐ฅ๐จ๐ ๐
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐๐๐๐ โ ๐ฅ๐จ๐ ๐
โ ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐๐
= ๐๐ โ ๐๐; (๐)
๐๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐๐๐๐ โ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐๐ง๐ ๐๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐ โ ๐ฅ๐จ๐ ๐๐
We have: ๐๐
๐โ ๐ < [
๐๐
๐] โค
๐๐
๐; โ๐ โ โ, ๐ โ โ โ
โซ (๐๐
๐โ ๐)
๐
๐
๐ ๐ < ๐๐ โค โซ๐๐
๐
๐
๐
๐ ๐ โบ ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ โ (๐ โ ๐) < ๐๐ โค ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ โบ
๐ โ๐ โ ๐
๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐<
๐๐๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
โค ๐
๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
(๐ โ๐ โ ๐
๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐) < ๐ฅ๐ข๐ฆ
๐โโ
๐๐๐๐ โ ๐ฅ๐จ๐ ๐
โค ๐ โ ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐๐๐๐ โ ๐ฅ๐จ๐ ๐
= ๐; (๐)
Now, ๐๐ > 1. Suppose that ๐๐ > 1;โ๐ โ โ and from ๐๐+๐ = ๐ + ๐ฅ๐จ๐ ๐๐ we get
๐๐+๐ > 1;โ๐ โ โ. Thus, ๐๐ > 1;โ๐ โ โ.
๐๐+๐ = ๐ + ๐ฅ๐จ๐ ๐๐ โ ๐๐+๐ โ ๐๐ = ๐ โ ๐๐ + ๐ฅ๐จ๐ ๐๐ ; (๐)
Let be the function ๐(๐) = ๐ฅ๐จ๐ ๐ โ ๐ โ ๐; (๐ > 1) with ๐โฒ(๐) =๐
๐โ ๐ < 0;โ๐ฅ > 1
โ ๐โdecreasing on (๐,โ) โ ๐(๐) < ๐(๐) = ๐; โ๐ > 1 โ
๐(๐๐) < 0 โ ๐๐+๐ < ๐๐.
Since (๐๐)๐โฅ๐ โis decreasing and bounded, then (๐๐)๐โฅ๐ converges.
So, โ๐ โ โ such that ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐๐ = ๐ โ ๐ = ๐ + ๐ฅ๐จ๐ ๐ โ ๐ = ๐.
www.ssmrmh.ro
52 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
๐๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐ โ ๐ฅ๐จ๐ ๐๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐ฅ๐จ๐ ๐๐๐ = ๐ฅ๐จ๐ (๐ฅ๐ข๐ฆ
๐โโ๐๐๐) =
= ๐ฅ๐จ๐ (๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
[(๐ + ๐๐ โ ๐)๐
๐๐โ๐]
๐(๐๐โ๐)
) = ๐ฅ๐จ๐ (๐๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐(๐๐โ๐)) = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐(๐๐ โ ๐) =
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐
๐๐๐ โ ๐
=๐ชโ๐บ
๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐ + ๐ โ ๐
๐๐๐+๐ โ ๐
โ๐
๐๐ โ ๐
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
(๐๐+๐ โ ๐)(๐๐ โ ๐)
๐๐ โ ๐๐+๐=
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
(๐๐ โ ๐)๐ฅ๐จ๐ ๐๐๐๐ โ ๐ฅ๐จ๐ ๐๐ โ ๐
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
(๐๐ โ ๐)๐
๐๐ โ ๐ฅ๐จ๐ ๐๐ โ ๐=
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐
๐๐ โ ๐ฅ๐จ๐ ๐๐ โ ๐(๐๐ โ ๐)๐
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐
๐๐๐ โ ๐
โ๐ฅ๐จ๐ ๐๐(๐๐ โ ๐)๐
=
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐
๐๐๐ โ ๐
โ๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐๐ โ ๐)
๐๐ โ ๐โ
๐๐๐ โ ๐
= +โ; (๐)
From (1),(2),(3),(4) it follows that:
๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐๐ โ ๐ฅ๐จ๐ โ๐๐๐
๐ฅ๐จ๐ ๐= โ
Solution 2 by proposer
๐ โ [๐, ๐] โ ๐ โค๐๐
๐โฅ ๐๐
Let [๐๐
๐] = ๐, ๐ โ {๐, ๐ + ๐,โฆ , ๐๐} โ
๐๐
๐โ ๐ < ๐ก โค
๐๐
๐โ
๐๐
๐+๐< ๐ฅ โค
๐๐
๐
๐๐ = โ โซ ๐
๐๐
๐
๐๐
๐+๐
๐ ๐
๐๐โ๐
๐=๐
= โ ๐(๐๐
๐โ๐๐
๐ + ๐)
๐๐โ๐
๐=๐
= ๐๐ (๐
๐ + ๐+
๐
๐ + ๐+โฏ+
๐
๐๐)
Now, ๐๐ > 1,๐๐+๐ = ๐ + ๐ฅ๐จ๐ (๐๐) โ ๐๐ > 1,โ๐ โ โ (induction from ๐ โ โ) and
from ๐๐+๐ โ ๐๐ = ๐ + ๐ฅ๐จ๐ ๐๐ โ ๐๐ โค ๐, because ๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐) โค ๐, โ๐ > โ1 โ
(๐๐)๐โฅ๐โdecreasing.
So, (๐๐)๐โฅ๐ โconvergent sequence, then
โ ๐ โ โ, ๐ > 0 such that ๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐๐ โ ๐ = ๐ + ๐ฅ๐จ๐ ๐ โ ๐ = ๐.
Let ๐๐ = ๐ +๐
๐+๐
๐+โฏ+
๐
๐โ ๐ฅ๐จ๐ ๐.
www.ssmrmh.ro
53 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐๐ โ ๐ฅ๐จ๐ โ๐๐๐
๐ฅ๐จ๐ ๐= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐๐ โ ๐ฅ๐จ๐ ๐๐๐ โ ๐ฅ๐จ๐ ๐
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
(๐๐
๐๐ โ ๐ฅ๐จ๐ ๐โ ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐๐) =
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
[(๐๐๐ โ ๐๐๐ฅ๐จ๐ ๐
+ ๐) โ ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐๐] = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
(๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐๐) =
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐(๐๐ โ ๐) ๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐๐ โ ๐)๐
๐๐โ๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐(๐๐ โ ๐) = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐๐โ๐ =
= โฏ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐ โ ๐๐ = +โ
1535. Find:
๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
(๐
๐(โโ
๐๐ + ๐๐
๐๐ + ๐๐
๐
๐=๐
๐
๐=๐
โโโ๐๐ โ ๐๐
๐๐ โ ๐๐
๐
๐=๐
๐
๐=๐
))
Proposed by Mikael Bernardo-Mozambique
Solution by Ty Halpen-Florida-USA
๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
(๐
๐(โโ
๐๐ + ๐๐
๐๐ + ๐๐
๐
๐=๐
๐
๐=๐
โโโ๐๐ โ ๐๐
๐๐ โ ๐๐
๐
๐=๐
๐
๐=๐
))
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
(โ๐
๐โ๐
๐โ (๐๐)
๐
+ (๐๐)
๐
(๐๐)๐
+ (๐๐)๐
๐
๐=๐
๐
๐=๐
โโ๐
๐โ๐
๐โ (๐๐)
๐
โ (๐๐)
๐
(๐๐)๐
โ (๐๐)๐
๐
๐=๐
๐
๐=๐
) =
= โซ โซ (๐๐ + ๐๐
๐๐ + ๐๐+๐๐ โ ๐๐
๐๐ โ ๐๐)
๐
๐
๐ ๐๐
๐
๐ ๐ =
= โซ โซ (๐๐
๐๐ + ๐๐โ
๐
๐(๐๐ + ๐๐)โ
๐
๐(๐ + ๐))
๐
๐
๐ ๐๐
๐
๐ ๐ +โซ โซ (๐๐
๐๐ + ๐๐โ
๐
๐(๐๐ + ๐๐))๐ ๐
๐
๐
๐ ๐๐
๐
=
=๐
๐โซ (โ ๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐) + ๐ฅ๐จ๐ ๐ โ ๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐๐) โ ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ โ ๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐๐) + ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐)๐ ๐๐
๐
=
=๐
๐โซ (โ ๐ฅ๐จ๐ ๐ โ ๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐) โ ๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐๐) + ๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐๐))๐ ๐๐
๐
=
=๐ฐ๐ฉ๐ท ๐
๐(โ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ โ ๐โซ (
๐
๐ + ๐๐โ
๐
๐ + ๐๐)
๐
๐
๐ ๐ =
www.ssmrmh.ro
54 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
=๐
๐(โ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ โ
๐
๐+๐
โ๐โซ (
๐ + โ๐
๐๐ + โ๐๐ + ๐+
๐ โ โ๐
โ๐๐ + โ๐๐ โ ๐)๐ ๐
๐
๐
=
=๐
๐(โ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ โ
๐
๐+โ๐
๐(๐ + ๐ ๐ฅ๐จ๐ (๐ + โ๐) โ ๐ฅ๐จ๐ ๐) =
=๐
๐(โ๐ โ ๐) โ
๐ + โ๐
๐โ ๐ฅ๐จ๐ ๐ +
โ๐
๐๐ฅ๐จ๐ (๐ + โ๐) โ ๐. ๐๐๐๐
1536. Find:
๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐
๐โโ(โ๐)๐ (
๐
๐) (๐ โ ๐)๐
๐โ๐
๐=๐
๐
Proposed by Daniel Sitaru-Romania
Solution 1 by Ravi Prakash-New Delhi-India
โ(โ๐)๐ (๐
๐) (๐ โ ๐)๐
๐โ๐
๐=๐
= โ(โ๐)๐(โ๐)๐ (๐
๐ โ ๐)๐๐
๐
๐=๐
=
= (โ๐)๐โ(โ๐)๐ (๐
๐)๐๐; (๐)
๐
๐=๐
We have:
โ(๐
๐) (โ๐)๐๐๐
๐
๐=๐
= (๐ โ ๐)๐
Differentiating w.r.t. ๐, we get:
โ(๐
๐) (โ๐)๐๐๐๐โ๐
๐
๐=๐
= (โ๐)(๐ โ ๐)๐โ๐(๐) โ
โ(๐
๐) (โ๐)๐๐๐๐
๐
๐=๐
= (โ๐)(๐ โ ๐)๐โ๐(๐๐)
Differentiating w.r.t. ๐, we get:
โ(๐
๐)(โ๐)๐๐๐๐๐โ๐
๐
๐=๐
= (โ๐)(๐ โ ๐)๐โ๐(๐) + ๐(๐ โ ๐)(โ๐)๐(๐ โ ๐)๐โ๐(๐)
www.ssmrmh.ro
55 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
Multiply again by ๐, we get:
โ(๐
๐) (โ๐)๐๐๐๐๐
๐
๐=๐
= (โ๐)(๐ โ ๐)๐โ๐(๐๐) + ๐(๐ โ ๐)(โ๐)๐(๐ โ ๐)๐โ๐๐๐
Differentiating again, we get:
โ(โ๐)๐ (๐
๐)๐๐๐๐โ๐
๐
๐=๐
= (โ๐)(๐ โ ๐)โ๐โ๐ + ๐(๐ โ ๐)(โ๐)๐(๐๐)(๐ โ ๐)๐โ๐ +
+๐(๐ โ ๐)(๐โ ๐)(โ๐)๐(๐ โ ๐)๐โ๐๐๐
Continuing this way, we get:
โ(โ๐)๐ (๐
๐)๐๐๐๐โ๐
๐
๐=๐
= (๐ โ ๐)๐(๐) + ๐! (โ๐)๐๐๐
Putting ๐ = ๐, we get
โ(โ๐)๐ (๐
๐)๐๐
๐
๐=๐
= ๐! (โ๐)๐; (๐)
From (1),(2) it follows
โ(โ๐)๐โ๐ (๐
๐) (๐ โ ๐)๐
๐
๐=๐
โ (โ๐)๐๐! (โ๐)๐ = ๐!
Now,
๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐
๐โโ(โ๐)๐ (
๐
๐) (๐ โ ๐)๐
๐โ๐
๐=๐
๐
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐
๐โ๐!๐
=๐ชโ๐ซ
๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
(๐ + ๐)!
(๐ + ๐)๐+๐โ ๐๐
๐!=
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐
(๐ +๐๐)
๐ =๐
๐
Solution 2 by Felix Marin-Romania
โ(โ๐)๐ (๐
๐) (๐ โ ๐)๐
๐โ๐
๐=๐
= โ(โ๐)๐โ๐ (๐
๐ โ ๐) [๐ โ (๐ โ ๐)]๐
๐
๐=๐
= (โ๐)๐โ(โ๐)๐ (๐
๐)๐๐
๐
๐=๐
= (โ๐)๐โ(โ๐)๐ (๐
๐) {๐! [๐๐]๐๐๐}
๐
๐=๐
= (โ๐)๐๐! [๐๐]โ(๐
๐) (โ๐๐)๐
๐
๐=๐
=
www.ssmrmh.ro
56 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
= (โ๐)๐๐! [๐๐](๐ โ ๐๐)๐ = ๐! [๐๐](๐๐ โ ๐)๐ = ๐! [๐๐] [๐!โ{๐
๐}๐๐
๐!
โ
๐=๐
]
{๐๐} โis the Stirling Number of the Second Kind and {๐
๐} = ๐.
โ(โ๐)๐ (๐
๐) (๐ โ ๐)๐
๐โ๐
๐=๐
= ๐!
Therefore,
๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐
๐โโ(โ๐)๐ (
๐
๐) (๐ โ ๐)๐
๐โ๐
๐=๐
๐
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐
๐โ๐!๐
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
โโ๐๐ ๐๐+๐๐๐โ๐
๐
๐=
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
(๐๐ )๐๐๐๐ โ ๐
๐๐๐๐โ๐
๐=๐
๐โ ๐. ๐๐๐๐
1537. ๐๐ = ๐, ๐๐ = โ๐, ๐๐+๐ + ๐๐โ๐ = โ๐๐๐, ๐ โ โโ. Find:
๐(๐) = โโ(๐๐๐+๐ + ๐๐๐+๐ + ๐๐๐+๐)
๐
๐=๐
๐
๐=๐
Proposed by Daniel Sitaru-Romania
Solution 1 by Kamel Gandouli Rezgui-Tunisia
๐๐+๐ = โ๐๐๐+๐ โ ๐๐; ๐ = โ๐, ๐ = โ๐
๐ฌ: ๐๐ = โ๐๐โ ๐ characteristic equationโ ๐๐ โ โ๐๐+ ๐ = ๐,๐ซ = โ๐, ๐๐,๐ =โ๐+โ๐๐
๐โ
๐๐ = ๐๐๐จ๐ฌ๐๐
๐+ ๐๐ฌ๐ข๐ง
๐๐
๐, ๐๐ = ๐ โ ๐ = ๐ and ๐๐ = โ๐ โ ๐ = ๐ โ
๐๐ = ๐๐จ๐ฌ๐๐
๐+ ๐ฌ๐ข๐ง
๐๐
๐= โ๐ ๐๐จ๐ฌ (
(๐ โ ๐)๐
๐)
๐๐๐+๐ = โ๐๐๐จ๐ฌ ((๐๐ + ๐ โ ๐)๐
๐) = โ๐๐๐จ๐ฌ (
๐๐
๐+(๐ โ ๐)๐
๐) ; (๐ = ๐, ๐ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ) โ
โ๐๐๐+๐
๐
๐=๐
= โ๐๐๐จ๐ฌ (๐๐
๐) + โ๐๐๐จ๐ฌ (
๐๐
๐+๐
๐) + โ๐๐๐จ๐ฌ (
๐๐
๐+๐
๐) + ๐โ๐๐๐จ๐ฌ (
๐๐
๐+๐๐
๐)
+
www.ssmrmh.ro
57 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
+โ๐๐๐จ๐ฌ (๐๐
๐+ ๐ ) + โ๐๐๐จ๐ฌ (
๐๐
๐+๐๐
๐) + โ๐๐๐จ๐ฌ (
๐๐
๐+๐๐
๐) + โ๐ ๐๐จ๐ฌ (
๐๐
๐+๐๐
๐) = ๐
๐๐๐+๐ = โ๐๐๐จ๐ฌ ((๐๐ + ๐ โ ๐)๐
๐) , ๐๐๐+๐ = โ๐๐๐จ๐ฌ (
(๐๐ + ๐ โ ๐)๐
๐) โ
๐๐๐+๐ + ๐๐๐+๐ = ๐โ๐๐๐จ๐ฌ ((๐๐ + ๐๐ โ ๐)๐
๐) ๐๐จ๐ฌ (
๐๐
๐)
= ๐โ๐๐๐จ๐ฌ (๐๐ +(๐ โ ๐)๐
๐) ๐๐จ๐ฌ (
๐๐
๐)
โ(๐๐๐+๐ + ๐๐๐+๐)
๐
๐=๐
= ๐โ๐โ๐๐จ๐ฌ(๐๐ +(๐ โ ๐)๐
๐)๐๐จ๐ฌ (
๐๐
๐)
๐
๐=๐
= ๐
Therefore,
๐(๐) =โโ(๐๐๐+๐ + ๐๐๐+๐ + ๐๐๐+๐)
๐
๐=๐
๐
๐=๐
= ๐
Solution 2 by Ravi Prakash-New Delhi-India
Let generating function of (๐๐)๐โฅ๐ be
๐จ(๐) = ๐๐ + ๐๐๐ + ๐๐๐๐ + ๐๐๐
๐ +โฏ
โโ๐๐๐จ(๐) = โโ๐๐๐๐ โ โ๐๐๐๐๐ โ โ๐๐๐๐
๐ โโฏ
๐๐๐จ(๐) = ๐๐๐๐ + ๐๐๐
๐ +โฏ
(๐ โ โ๐๐ + ๐๐)๐จ(๐) = ๐ โ ๐จ(๐) =๐
๐ โ โ๐๐ + ๐๐=
๐
(๐ โ ๐ถ๐)(๐ โ ๐ท๐), ๐ฐ๐ก๐๐ซ๐
๐ถ =๐
๐(โ๐ + โ๐๐) =
๐
โ๐(๐ + ๐) ๐๐ง๐ ๐ท =
๐
โ๐(๐ โ ๐).
๐จ(๐) =๐
(๐ถ โ ๐ท)๐(
๐
๐ โ ๐ถ๐โ
๐
๐ โ ๐ท๐) =
๐
(๐ถ โ ๐ท)๐[(๐ โ ๐ถ๐)โ๐ โ (๐ โ ๐ท๐)โ๐] =
=๐
๐ถโ ๐ท(๐ถ๐+๐ โ ๐ท๐+๐) =
=๐
โ๐๐[๐๐จ๐ฌ
(๐ + ๐)๐
๐+ ๐ ๐ฌ๐ข๐ง
(๐ + ๐)๐
๐โ ๐๐จ๐ฌ
(๐ + ๐)๐
๐+ ๐ ๐ฌ๐ข๐ง
(๐ + ๐)๐
๐]
Thus, ๐๐ = โ๐๐ฌ๐ข๐ง(๐+๐)๐
๐. Now,
www.ssmrmh.ro
58 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
โ๐๐๐+๐
๐
๐=๐
= โ๐โ๐ฌ๐ข๐ง ((๐๐ + ๐ + ๐)๐
๐)
๐
๐=๐
=
= โ๐ [๐ ๐ฌ๐ข๐ง ((๐๐ + ๐๐)๐
๐)(๐๐จ๐ฌ
๐๐
๐+ ๐๐จ๐ฌ
๐๐
๐+ ๐๐จ๐ฌ
๐๐
๐+ ๐๐จ๐ฌ
๐
๐)] =
= โ๐ [๐ ๐ฌ๐ข๐ง ((๐๐ + ๐๐)๐
๐)(๐๐จ๐ฌ (๐ โ
๐
๐) + ๐๐จ๐ฌ (๐ โ
๐๐
๐) + ๐๐จ๐ฌ
๐๐
๐+ ๐๐จ๐ฌ
๐
๐)] = ๐
Similarly,
โ๐๐๐+๐
๐
๐=๐
= ๐ ๐๐ง๐ โ๐๐๐+๐
๐
๐=๐
= ๐
Therefore,
๐(๐) =โโ(๐๐๐+๐ + ๐๐๐+๐ + ๐๐๐+๐)
๐
๐=๐
๐
๐=๐
= ๐
1538. For ๐, ๐ > ๐ prove that:
โซ๐๐ โ ๐
๐๐ + ๐
โ
โโ
๐ฌ๐ข๐ง (๐
โ๐๐ฅ๐จ๐ (
๐ + ๐
๐))๐ ๐
๐= ๐
Proposed by Srinivasa Raghava-AIRMC-India
Solution by Kartick Chandra Betal-India
โซ๐๐ โ ๐
๐๐ + ๐
โ
โโ
๐ฌ๐ข๐ง (๐
โ๐๐ฅ๐จ๐ (
๐ + ๐
๐))๐ ๐
๐= ๐โซ
๐๐ โ ๐
๐๐ + ๐
โ
๐
๐ฌ๐ข๐ง (๐
โ๐๐ฅ๐จ๐ (
๐ + ๐
๐))๐ ๐
๐=
= ๐โซ๐
๐โ ๐ฌ๐ข๐ง (
๐
โ๐๐ฅ๐จ๐ (
๐ + ๐
๐))
โ
๐
๐ ๐ โ ๐(๐ + ๐)โซ๐
๐(๐๐ + ๐)โ ๐
โ๐๐ฅ๐จ๐ (๐ +
๐
๐)
โ
๐
๐ ๐ =
= ๐ โ ๐
๐โ ๐(๐ + ๐)โซ
๐
๐๐ + ๐โซ ๐๐จ๐ฌ(๐๐)
๐
โ๐๐ฅ๐จ๐ (๐+
๐๐)
๐
๐ ๐โ
๐
๐ ๐ =
= ๐ โ ๐(๐ + ๐)โซ โซ๐๐จ๐ฌ(โ๐๐๐)
โ๐(๐ + ๐๐)
โ
๐
๐ ๐
๐
โ๐๐ฅ๐จ๐ (๐+
๐๐)
๐
๐ ๐ =
= ๐ โ ๐(๐ + ๐)โซ๐
๐โ๐โ ๐โโ๐๐
๐
โ๐๐ฅ๐จ๐ (๐+
๐๐)
๐
๐ ๐ =
www.ssmrmh.ro
59 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
= ๐ โ๐ (๐ + ๐)
โ๐โ ๐
โ๐[๐ โ ๐โ ๐ฅ๐จ๐ (๐+
๐๐)] = ๐ โ
๐ (๐ + ๐)
๐(๐ โ
๐
๐ + ๐) = ๐
1539. Prove that:
๐ญ๐(๐, ๐; ๐ + ๐; ๐ โ ๐)๐ =๐ช(๐ + ๐)
๐ช(๐)โซ
๐ ๐
(๐ + ๐)(๐ + ๐)๐
โ
๐
where ๐ญ๐(. , . ; . ; . ) โ๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ function, ๐ โ โ+, ๐ โ โ.
Proposed by Simon Peter-Madagascar
Solution by Syed Shahabudeen-Kerala-India
๐ญ๐(๐,๐; ๐ + ๐; ๐ โ๐)๐ =
= (๐)โ๐ ๐ญ๐ (๐, ๐; ๐ + ๐;๐ โ ๐
๐)๐ (๐๐๐๐๐ ๐ท๐๐๐๐ ๐ป๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐)
=๐ช(๐ + ๐)
๐๐๐ช(๐)โซ
(๐ โ ๐)๐โ๐
(๐ โ (๐โ ๐๐ ) ๐)
๐
๐
๐
๐ ๐; (๐๐๐๐๐ ๐ฌ๐๐๐๐ ๐ฐ๐๐๐๐๐๐๐)
=๐ช(๐ + ๐)
๐ช(๐)โซ
(๐ โ ๐)๐โ๐
(๐ โ (๐โ ๐)๐)๐
๐
๐
๐ ๐ =๐ช(๐ + ๐)
๐ช(๐)โซ
๐
(๐ โ ๐) (๐+๐
๐ โ ๐)๐๐ ๐
๐
๐
=๐=
๐๐โ๐
=๐ช(๐ + ๐)
๐ช(๐)โซ
๐ + ๐
(๐+ ๐)๐๐ ๐
(๐ + ๐)๐
โ
๐
=๐ช(๐ + ๐)
๐ช(๐)โซ
๐ ๐
(๐ + ๐)(๐+ ๐)๐
โ
๐
1540. Prove that:
โ๐+ ๐๐จ๐ฌ (
๐๐ ๐)
๐ + ๐๐จ๐ญ (๐ ๐) ๐ฌ๐ข๐ง (
๐๐ ๐)
โ
๐=๐
=๐ โ๐ โ ๐ช (
๐๐) ๐ช (
๐๐๐)
๐ช๐ (๐๐) ๐ช (
๐๐) ๐ช (
๐๐) ๐ช (
๐๐๐๐)
Proposed by Asmat Qatea-Afghanistan
Solution by Amrit Awasthi-India
๐๐จ๐ฌ (๐๐
๐) and ๐ฌ๐ข๐ง (
๐๐
๐) have same sighn, โ๐ = ๐๐ + ๐ or ๐ = ๐๐ + ๐.
Therefore, rewriting the product we get:
www.ssmrmh.ro
60 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
๐ท =โ๐๐+ ๐ โ
๐๐
๐๐ + ๐ +๐๐
โ
๐=๐
โ ๐๐ + ๐ โ ๐
๐๐ + ๐โ ๐๐ + ๐ + ๐
๐๐ + ๐=
=๐๐ โ ๐
๐ โ ๐ โ ๐๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
โ
๐ช(๐+ ๐ +๐๐)
๐ช (๐ +๐๐)
๐ช (๐ + ๐ +๐๐)
๐ช (๐ +๐๐)
๐ช(๐ + ๐ +๐๐๐๐)
๐ช(๐ +๐๐๐๐)
๐ช(๐ + ๐ +๐๐)
๐ช(๐ +๐๐)
๐ช (๐ + ๐ +๐๐๐)
๐ช (๐ +๐๐๐)
๐ช (๐ + ๐ +๐๐)
๐ช (๐ +๐๐)
๐ช(๐ + ๐ +๐๐)
๐ช(๐ +๐๐)
๐ช(๐ + ๐)๐ช(๐)
โ
๐=๐
=
=๐๐ โ ๐
๐ โ ๐ โ ๐โ
๐ช (๐ +๐๐๐)๐ช (๐ +
๐๐) ๐ช(๐ +
๐๐)
๐ช (๐ +๐๐) ๐ช(๐ +
๐๐) ๐ช (๐ +
๐๐๐)๐ช (๐ +
๐๐)=
=๐๐ โ ๐
๐ โ ๐ โ ๐โ
๐๐๐ โ
๐๐ โ ๐๐ โ ๐ช (
๐๐๐)๐ช (
๐๐)๐ช (
๐๐)
๐๐ โ ๐๐ โ ๐๐๐๐ โ
๐๐ โ ๐ช (
๐๐)๐ช (
๐๐)๐ช (
๐๐๐)๐ช (
๐๐)=
=๐ช(๐๐๐)๐ช (
๐๐)๐ช (
๐๐)
๐ช(๐๐)๐ช (
๐๐)๐ช (
๐๐๐)๐ช (
๐๐)=๐ช (๐๐๐)๐ช(
๐๐) ๐ช(๐ โ
๐๐)
๐ช(๐๐) ๐ช(
๐๐) ๐ช(
๐๐๐)๐ช (
๐๐)=
๐ โ๐ โ ๐ช (๐๐)๐ช (
๐๐๐)
๐ช๐ (๐๐)๐ช (
๐๐)๐ช (
๐๐)๐ช (
๐๐๐๐)
Therefore,
โ๐+ ๐๐จ๐ฌ (
๐๐ ๐ )
๐ + ๐๐จ๐ญ (๐ ๐) ๐ฌ๐ข๐ง (
๐๐ ๐ )
โ
๐=๐
=๐ โ๐ โ ๐ช (
๐๐)๐ช (
๐๐๐)
๐ช๐ (๐๐)๐ช (
๐๐)๐ช (
๐๐)๐ช (
๐๐๐๐)
1541. If all the derivatives of ๐(๐) are defined at ๐ = ๐, then prove that:
๐(๐โ๐) = โ(โ๐)๐
๐![๐ฉ๐(๐ซ)๐(๐)]|๐=๐
โ
๐=๐
where, ๐ซ โ๐
๐ ๐ and ๐ฉ๐(๐) is the Bell polynomial.
Proposed by Angad Singh-India
Solution by proposer
๐๐๐ญ ๐(๐) = โ๐๐๐๐
โ
๐=๐
, ๐ญ๐ก๐๐ง
www.ssmrmh.ro
61 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
๐(๐โ๐) = โ๐๐๐โ๐๐
โ
๐=๐
= โ๐๐
โ
๐=๐
โ(โ๐๐)๐
๐!
โ
๐=๐
Hence,
๐(๐โ๐) = โ(โ๐)๐
๐!
โ
๐=๐
โ๐๐๐๐
โ
๐=๐
๐๐จ๐ฐ, ๐ฅ๐๐ญ: ๐ญ๐(๐) = โ๐๐๐๐๐๐
โ
๐=๐
= โ๐(๐, ๐)๐(๐)(๐)๐๐๐
๐=๐
๐๐ญ๐โฒ (๐) = ๐ญ๐+๐(๐) โ ๐(๐,๐) = ๐(๐โ ๐, ๐ โ ๐) + ๐๐(๐โ ๐, ๐), where
๐ โค ๐ โค ๐, ๐(๐, ๐) = ๐น๐๐ and ๐(๐, ๐) = ๐, where ๐น๐๐ is the Kronecker delta. It is known from the definition of Bell polynomials that,
๐ฉ๐(๐) = โ๐บ(๐,๐)๐๐๐
๐=๐
; ๐บ(๐, ๐) โ (๐บ๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐ )
๐บ(๐, ๐) = ๐บ(๐โ ๐,๐ โ ๐) + ๐๐บ(๐โ ๐, ๐), where ๐ โค ๐ โค ๐, using this property and knowing the fact that ๐บ(๐,๐) = ๐ and ๐บ(๐, ๐) = ๐น๐๐, we can show that:
๐๐ฉ๐โฒ (๐๐ซ) = ๐ฉ๐+๐(๐๐ซ) since ๐(๐,๐) and ๐บ(๐, ๐) satisfies the same recurrence relation
with same boundary/initial conditions, we conclude that: ๐บ(๐, ๐) = ๐(๐, ๐) โ ๐ญ๐(๐) = ๐ฉ๐(๐๐ซ)๐(๐) โ ๐ญ๐(๐) = [๐ฉ๐(๐ซ)๐(๐)]|๐=๐
1542. If ๐ฝ๐ = โ โ (๐๐) (๐
๐)๐
๐=๐ ๐๐จ๐ฌ (๐๐ (๐โ๐)
๐)๐
๐=๐ โ
๐โ (๐๐) (๐
๐)๐โค๐<๐โค๐ ๐๐จ๐ฌ (
๐๐ (๐โ๐)
๐). Define ๐ด = {โ๐ฝ๐
๐๐จ๐ฌ(๐๐ )๐
๐ฌ๐ข๐ง (๐๐
๐) |๐ โ โ}.
Find ๐ดโฒ โderived set.
Proposed by Surjeet Singhania-India
Solution by proposer
๐ฝ๐ =โโ(๐
๐)(๐
๐)
๐
๐=๐
๐๐จ๐ฌ (๐๐ (๐ โ ๐)
๐)
๐
๐=๐
โ ๐ โ (๐
๐) (๐
๐)
๐โค๐<๐โค๐
๐๐จ๐ฌ (๐๐ (๐ โ ๐)
๐)
Evaluate these finite series one by one
โโ(๐
๐) (๐
๐)๐๐จ๐ฌ (
๐๐ (๐ โ ๐)
๐)
๐
๐=๐
๐
๐=๐
= ๐ก(โ(๐
๐) ๐โ
๐๐๐ ๐๐
๐ง
๐ค=๐
โ(๐
๐)
๐
๐=๐
๐๐๐ ๐๐๐ ) =
www.ssmrmh.ro
62 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
= (๐ + ๐๐ฑ๐ฉ (๐๐
๐))๐
(๐ + ๐๐ฑ๐ฉ (โ๐๐
๐))๐
= ๐๐๐ ๐๐จ๐ฌ๐๐ (๐
๐)
โ (๐
๐)(๐
๐) ๐๐จ๐ฌ (
๐๐ (๐ โ ๐)
๐)
๐โค๐<๐โค๐
= ๐๐๐โ๐ ๐๐จ๐ฌ๐๐ (๐
๐) โ
๐
๐(๐๐
๐)
Hence our ๐ฝ๐ = (๐๐๐). Denote ๐ฟ๐ = โ๐ฝ๐
๐๐จ๐ฌ(๐๐ )๐
๐ฌ๐ข๐ง (๐๐
๐).
For finding derived set we need to find possible convergent sequences
๐ฟ๐๐ = ๐,๐ฟ๐๐+๐, ๐ฟ๐๐+๐ โ ยฑโ๐
๐ and ๐ฟ๐๐+๐ โ ยฑ๐.
Hence, ๐ดโฒ = {๐, ยฑ๐, ยฑโ๐
๐}
1543. If ๐, ๐, ๐, ๐ โ โ and ๐บ(๐, ๐, ๐) = {๐|๐ โก ๐(๐๐๐ ๐), ๐|๐} then prove
that:
โ๐๐๐
๐ โ ๐๐๐
โ
๐=๐
= โ|๐บ(๐, ๐, ๐)|๐๐โ
๐=๐
Proposed by Angad Singh-India
Solution by proposer
Observe that if |๐| < 1, then
๐๐
๐ โ ๐๐= ๐๐(๐ + ๐๐ + ๐๐๐ + ๐๐๐ + ๐๐๐ +โฏ)
๐๐๐
๐ โ ๐๐๐= ๐๐๐(๐ + ๐๐๐ + ๐๐๐ + ๐๐๐ + ๐๐๐ +โฏ)
๐๐๐
๐ โ ๐๐๐= ๐๐๐(๐ + ๐๐๐ + ๐๐๐ + ๐๐๐ + ๐๐๐๐ +โฏ)
Adding them, we have:
โ๐๐๐
๐ โ ๐๐๐
โ
๐=๐
= โ๐๐๐๐
โ
๐=๐
Where ๐๐ is the number of solutions of ๐๐ + ๐๐๐ = ๐, where ๐ โ โ and ๐ โ โ + {๐} for
the some given values of ๐ and ๐, thus ๐๐ is the number of divisors of ๐ of the form ๐๐ +
๐.
www.ssmrmh.ro
63 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
Using the definition of ๐บ(๐, ๐, ๐) we can show that ๐๐ = |๐บ(๐, ๐, ๐)| and this completes
the proof.
1544. Find:
๐ = โซโ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐๐ + ๐โ๐ + ๐๐ ๐
โ
๐
Proposed by Vasile Mircea Popa-Romania
Solution 1 by Rana Ranino-Setif-Algerie
๐ = โซโ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐๐ + ๐โ๐+ ๐๐ ๐
โ
๐
=๐=๐๐
๐โซ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐๐ + ๐๐ + ๐
โ
๐
๐ ๐ =๐=๐๐โ ๐โซ
๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐๐ + ๐๐ + ๐๐ ๐
๐
๐
=
= ๐โซ๐๐(๐๐ โ ๐) ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ โ ๐๐
๐
๐
๐ ๐ = ๐โซ(๐๐ โ ๐๐) ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ โ ๐๐
๐
๐
๐ ๐ =
= ๐โโซ (๐๐๐+๐ โ ๐๐๐+๐) ๐ฅ๐จ๐ ๐๐ ๐๐
๐
=
โ
๐=๐
๐โ(๐
(๐๐ + ๐)๐โ
๐
(๐๐ + ๐)๐)
โ
๐=๐
=
=๐
๐๐โ(
๐
(๐+๐๐)๐ โ
๐
(๐ +๐๐)๐)
โ
๐=๐
Therefore,
๐ = โซโ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐๐ + ๐โ๐+ ๐๐ ๐
โ
๐
=๐
๐๐[๐(๐) (
๐
๐) โ ๐(๐) (
๐
๐)]
Solution 2 by Ajetunmobi Abdulqoyyum-Nigeria
๐ = โซโ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐๐ + ๐โ๐ + ๐๐ ๐
โ
๐
=๐=๐๐
๐โซ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐๐ + ๐๐ + ๐๐ ๐
โ
๐
๐ = โซ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐๐ + ๐๐ + ๐๐ ๐
โ
๐
=๐=๐๐โ ๐โซ
๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐๐ + ๐๐ + ๐๐ ๐
๐
๐
๐ = โ๐โซ(๐ โ ๐๐)๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ โ ๐๐๐ ๐
๐
๐
= โโซ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ โ ๐๐๐ ๐
๐
๐
+ ๐โซ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ โ ๐๐๐ ๐
๐
๐
=๐๐=๐
=๐
๐๐(โโซ
๐๐๐โ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ โ ๐๐ ๐
๐
๐
+โซ๐๐๐โ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ โ ๐๐ ๐
๐
๐
) =
Therefore,
www.ssmrmh.ro
64 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
๐ = โซโ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐๐ + ๐โ๐+ ๐๐ ๐
โ
๐
=๐
๐๐[๐(๐) (
๐
๐) โ ๐(๐) (
๐
๐)]
Solution 3 by Muhammad Afzal-Pakistan
๐(๐) = โโซ๐๐โ๐
๐ โ ๐๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐ ๐ ๐
๐
๐
๐ = โซโ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐๐ + ๐โ๐+ ๐๐ ๐
โ
๐
=๐=โ๐
๐โซ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐๐ + ๐๐ + ๐๐ ๐
โ
๐
=๐=๐๐
= โ๐โซ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐๐ + ๐๐ + ๐๐ ๐
๐
๐
= ๐{โซ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ โ ๐๐๐ ๐
๐
๐
โโซ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ โ ๐๐๐ ๐
๐
๐
}
๐จ = โซ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ โ ๐๐๐ ๐
๐
๐
=๐
๐๐โซ๐โ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ โ ๐๐ ๐
๐
๐
= โ๐
๐๐๐(๐) (
๐
๐)
๐ฉ = โซ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ โ ๐๐๐ ๐
๐
๐
=๐
๐๐โซ๐โ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ โ ๐๐ ๐
๐
๐
= โ๐
๐๐๐(๐) (
๐
๐)
Therefore,
๐ = ๐(๐จ โ ๐ฉ) =๐
๐๐[๐(๐) (
๐
๐) โ ๐(๐) (
๐
๐)]
Solution 4 by Probal Chakraborty-Kolkata-India
๐(๐) = โโซ๐๐โ๐
๐ โ ๐๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐ ๐ ๐
๐
๐
๐ = โซโ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐๐ + ๐โ๐ + ๐๐ ๐
โ
๐
= โซโ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
(๐๐๐)๐
+ ๐๐๐ + ๐
๐ ๐โ
๐
=๐๐๐=๐ ๐
๐โซ
๐ฅ๐จ๐ (๐๐๐)
๐๐ + ๐ + ๐๐ ๐
๐
๐
=
=๐
๐โซ
๐ฅ๐จ๐ ๐
๐๐ + ๐ + ๐๐ ๐
๐
๐
=๐
๐โซ
๐ โ ๐
๐ โ ๐๐๐ฅ๐จ๐ ๐๐ ๐
๐
๐
=๐
๐โซ
๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ โ ๐๐๐ ๐
๐
๐
โ๐
๐โซ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ โ ๐๐๐ ๐
๐
๐
=๐=๐
๐๐
=๐
๐๐โซ๐โ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ โ ๐๐ ๐
๐
๐
=๐
๐๐โซ๐โ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ โ ๐๐ ๐
๐
๐
=๐
๐๐[๐(๐) (
๐
๐) โ ๐(๐) (
๐
๐)]
1545. Find:
๐(๐, ๐) = โซ๐ฅ๐จ๐ ๐
(๐ + ๐ฅ๐จ๐ ๐)๐๐ ๐ ;๐(๐, ๐) = โซ
๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐
(๐ + ๐ฅ๐จ๐ ๐)๐๐ ๐
๐(๐,๐) = โซ๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐
(๐ + ๐ฅ๐จ๐ ๐)๐๐ ๐ ,๐, ๐ โ โ
Proposed by Durmuล Ogmen-Turkyie
www.ssmrmh.ro
65 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
Solution by Mikael Bernardo-Mozambique
๐(๐, ๐) = โซ๐ฅ๐จ๐ ๐
(๐ + ๐ฅ๐จ๐ ๐)๐๐ ๐ =
๐ฅ๐จ๐ ๐=๐โซ
๐๐๐
(๐ + ๐)๐๐ ๐ = โซ
๐๐
๐ + ๐๐ ๐ โโซ
๐๐
(๐ + ๐)๐๐ ๐ =
๐ฐ๐ฉ๐ท
= โซ๐๐
๐ + ๐๐ ๐ + โซ
๐๐
๐ + ๐๐ ๐ โ โซ
๐๐
๐ + ๐๐ ๐ =
๐๐
๐ + ๐+ ๐ช =
๐
๐ + ๐ฅ๐จ๐ ๐+ ๐ช
๐(๐, ๐) = โซ๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐
(๐ + ๐ฅ๐จ๐ ๐)๐๐ ๐ =
๐ฅ๐จ๐ ๐=๐โซ
๐๐๐๐
(๐ + ๐)๐๐ ๐ = โซ
๐๐๐
(๐ + ๐)๐๐ ๐ โโซ
๐๐๐
(๐ + ๐)๐๐ ๐
๐(๐, ๐) = ๐(๐, ๐) โ โซ๐๐๐
(๐ + ๐)๐๐ ๐ + โซ
๐๐๐
(๐ + ๐)๐๐ ๐ =
๐ฐ๐ฉ๐ท
=๐
๐ + ๐ฅ๐จ๐ ๐โ โซ
๐๐๐
(๐ + ๐)๐๐ ๐ โ
๐๐
(๐ + ๐)๐+โซ
๐๐
(๐ + ๐)๐๐ ๐ =
=๐
๐ + ๐ฅ๐จ๐ ๐โ
๐๐
(๐ + ๐)๐=
๐
๐ + ๐ฅ๐จ๐ ๐โ
๐
(๐ + ๐ฅ๐จ๐ ๐)๐+ ๐ช
๐(๐,๐) = โซ๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐
(๐ + ๐ฅ๐จ๐ ๐)๐๐ ๐ ,๐, ๐ โ โ
โต๐
(๐ + ๐)๐=โ(โ๐)๐โ(๐โ๐) โ
(๐ + ๐ โ (๐ โ ๐)!)!
(๐ โ (๐ โ ๐))!โ ๐๐โ(๐โ๐)
โ
๐=๐
, โ๐ โฅ ๐
๐๐ฎ๐ญ ๐ = ๐ฅ๐จ๐ ๐ โ๐
(๐ + ๐ฅ๐จ๐ ๐)๐=โ(โ๐)๐โ(๐โ๐) โ
(๐ + ๐ โ (๐ โ ๐)!)!
(๐ โ (๐ โ ๐))!โ (๐ฅ๐จ๐ ๐)๐โ(๐โ๐)
โ
๐=๐
๐(๐, ๐) = โ(โ๐)๐โ(๐โ๐) โ (๐ + ๐ โ (๐ โ ๐)!)!
(๐ โ (๐ โ ๐))!โ โซ(๐ฅ๐จ๐ ๐)๐+๐โ(๐โ๐) ๐ ๐
โ
๐=๐
=
= โ(โ๐)๐โ(๐โ๐) โ (๐ + ๐ โ (๐ โ ๐)!)!
(๐ โ (๐ โ ๐))!โ ๐๐+๐โ(๐โ๐)
๐๐๐+๐โ(๐โ๐)|๐=๐
โ
๐=๐
โซ๐๐ ๐ ๐ =
=โ(โ๐)๐โ(๐โ๐) โ (๐ + ๐ โ (๐ โ ๐)!)!
(๐ โ (๐ โ ๐))!โ ๐๐+๐โ(๐โ๐)
๐๐๐+๐โ(๐โ๐)|๐=๐
โ ๐๐+๐
๐ + ๐+ ๐ช
โ
๐=๐
1546. Find:
๐ = โซ ๐ฌ๐ข๐งโ๐ (๐
๐ + ๐๐)๐ ๐
โ
๐
Proposed by Ajetunmobi Abdulqoyyum-Nigeria
www.ssmrmh.ro
66 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
Solution 1 by Amrit Awasthi-India
๐ = โซ ๐ฌ๐ข๐งโ๐ (๐
๐ + ๐๐)๐ ๐
โ
๐
=๐ฐ๐ฉ๐ท๐ โ ๐ฌ๐ข๐งโ๐ (
๐
๐ + ๐๐) + ๐โซ
๐
(๐ + ๐๐)โ๐๐ + ๐๐ ๐
โ
๐
=๐=โ๐๐+๐
= ๐ โ ๐ฌ๐ข๐งโ๐ (๐
๐ + ๐๐) + ๐โซ
๐
๐๐ โ ๐๐ ๐
โ
๐
=
= ๐ โ ๐ฌ๐ข๐งโ๐ (๐
๐ + ๐๐) + ๐โซ (
๐
๐(๐ โ ๐)โ
๐
๐(๐ + ๐))๐ ๐
โ
๐
=
= [๐ โ ๐ฌ๐ข๐งโ๐ (๐
๐ + ๐๐) + ๐ฅ๐จ๐ (
โ๐๐ + ๐ โ ๐
โ๐๐ + ๐ + ๐)]๐
โ
= โ ๐ฅ๐จ๐ (โ๐โ ๐
โ๐+ ๐)
๐ = โซ ๐ฌ๐ข๐งโ๐ (๐
๐ + ๐๐)๐ ๐
โ
๐
= ๐ฅ๐จ๐ (โ๐ + ๐) โ ๐ฅ๐จ๐ (โ๐ โ ๐)
Solution 2 by Abdul Mukhtar-Nigeria
๐ = โซ ๐ฌ๐ข๐งโ๐ (๐
๐ + ๐๐)๐ ๐
โ
๐
= โซ ๐๐ฌ๐โ๐(๐ + ๐๐) ๐ ๐โ
๐
=๐ฐ๐ฉ๐ท
= [๐ โ ๐๐ฌ๐โ๐(๐ + ๐๐)]๐โ + ๐โซ
๐
(๐ + ๐๐)โ๐๐ + ๐๐ ๐
โ
๐
๐ = ๐โซ๐
(๐ + ๐๐)โ๐๐ + ๐๐ ๐
โ
๐
=๐=โ๐๐+๐
โซ๐๐
(๐๐ โ ๐)๐๐ ๐
โ
โ๐
=๐
๐โซ
๐(๐ + ๐) โ ๐(๐ โ ๐)
๐๐ โ ๐๐ ๐
โ
โ๐
= [๐ฅ๐จ๐ |๐ โ ๐
๐ + ๐|]โ๐
โ
= ๐ฅ๐จ๐ โ๐ + ๐
โ๐ โ ๐
1547. Prove that:
โซ ๐โ๐โ(๐ โ ๐โ๐๐๐)(๐ + ๐โ๐๐๐+๐)(๐ + ๐โ๐๐๐+๐๐)๐ ๐
โ
๐=๐
โ
๐
=๐
โ๐โ
๐ฌ๐ข๐ง๐ก (๐๐ โ๐๐ )
๐๐จ๐ฌ๐ก(๐๐ โ๐๐ ) โ ๐๐จ๐ฌ (
๐๐ ๐ )
Proposed by Syed Shahabudeen-India
www.ssmrmh.ro
67 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
Solution by Kaushik Mahanta-Assam-India
Recall definition of Jacobiโs triple product identity:
โ ๐๐๐๐๐
โ
๐=โโ
=โ(๐ โ ๐๐๐)(๐ โ ๐ โ ๐ ๐๐๐โ๐)(๐ + ๐๐๐๐โ๐)
โ
๐=๐
Comparing, we get:
๐๐๐ = ๐โ๐๐๐, ๐ = ๐โ๐๐; ๐๐๐๐โ๐ = ๐๐๐โ๐๐๐ โ๐ โ ๐โ๐๐๐
๐โ๐๐= ๐โ๐๐๐ โ ๐๐ โ ๐ = ๐โ๐๐
๐ฐ = โซ ๐โ๐ โ (๐โ๐๐)๐๐(๐โ๐๐)๐๐ ๐
โ
๐=โโ
โ
๐
= โ โซ ๐โ๐(๐+๐๐+๐๐๐)๐ ๐
โ
๐
โ
๐=โโ
=โ๐
๐๐๐ + ๐๐+ ๐
โ
๐=๐
โ๐
๐๐๐ + ๐๐ + ๐=
โ
๐=โโ
๐๐
โ๐ซโ
๐ฌ๐ข๐ง (๐ โ๐ซ๐ )
๐๐จ๐ฌ (๐ โ๐ซ๐ ) โ ๐๐๐ (
๐ ๐๐ )
For ๐ = ๐, ๐ = ๐, ๐ = ๐,๐ซ = โ๐ โ
โ๐
๐๐๐ + ๐๐ + ๐
โ
๐=๐
=๐๐
๐๐โ๐โ
๐ฌ๐ข๐ง (๐๐โ๐๐ ๐ )
๐๐จ๐ฌ (๐๐โ๐๐ ๐ ) โ ๐๐จ๐ฌ (
๐๐๐ )
=๐
โ๐โ
๐ฌ๐ข๐ง๐ก (๐๐ โ๐๐ )
๐๐จ๐ฌ๐ก(๐๐ โ๐๐ ) โ ๐๐จ๐ฌ (
๐๐ ๐ )
1548. Find without any software:
๐ = โซ โซ๐
โ๐๐ + ๐๐
โ๐โ๐๐
๐
๐ ๐๐
๐
๐ ๐
Proposed by Durmuล Ogmen-Turkiye
Solution 1 by Yen Tung Chung-Taichung-Taiwan
Let ๐ = ๐ ๐ฌ๐ข๐ง๐ฝ , ๐ = ๐ ๐ฌ๐ข๐ง๐ฝ, then ๐๐ + ๐๐ = ๐๐, ๐ ๐๐ ๐ = ๐ ๐ ๐๐ ๐ฝ and
๐น = {(๐, ๐)|๐ โค ๐ โค โ๐ โ ๐๐, ๐ โค ๐ โค ๐} = {(๐, ๐ฝ)|๐ โค ๐ โค โ๐,๐ ๐ โค ๐ฝ โค
๐ ๐}
๐ = โซ โซ๐
โ๐๐ + ๐๐
โ๐โ๐๐
๐
๐ ๐๐
๐
๐ ๐ = โซ โซ๐๐๐จ๐ฌ๐ฝ
๐โ ๐ ๐ ๐๐ ๐ฝ
โ๐
๐
๐ ๐
๐ ๐
=
www.ssmrmh.ro
68 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
= (โซ ๐๐จ๐ฌ๐ฝ๐ ๐ฝ
๐ ๐
๐ ๐
)(โซ ๐โ๐
๐
๐ ๐) = ๐ฌ๐ข๐ง๐ฝ|๐ ๐
๐ ๐ โ ๐
๐๐๐|
๐
โ๐
=๐ โ โ๐
๐
Solution 2 by Yen Tung Chung-Taichung-Taiwan
๐ = โซ โซ๐
โ๐๐ + ๐๐
โ๐โ๐๐
๐
๐ ๐๐
๐
๐ ๐
= โซ โซ๐
โ๐๐ + ๐๐๐ ๐๐ ๐
โ๐
๐
๐
๐
+โซ โซ๐
โ๐๐ + ๐๐
โ๐โ๐๐
๐
๐ ๐โ๐
๐
๐ ๐
= โซ (โ๐๐ + ๐๐)๐
๐
|๐
๐
๐ ๐ +โซ (โ๐๐ + ๐๐)โ๐
๐
|
๐
โ๐โ๐๐
๐ ๐ =
= โซ (โ๐โ ๐)๐๐
๐
๐ ๐ +โซ (โ๐ โ ๐)โ๐
๐
๐ ๐ = (โ๐ โ ๐)๐๐
๐|๐
๐
+ (โ๐๐ โ๐๐
๐)|๐
โ๐
=๐ โ โ๐
๐
Solution 3 by Katrick Chandra Betal-India
๐ = โซ โซ๐
โ๐๐ + ๐๐
โ๐โ๐๐
๐
๐ ๐๐
๐
๐ ๐ = โซ ๐ [๐ฅ๐จ๐ (๐ + โ๐๐ + ๐๐)]๐
โ๐โ๐๐๐
๐
๐ ๐ =
= โซ ๐ ๐ฅ๐จ๐ (โ๐ โ ๐๐ + โ๐
๐ + โ๐๐)๐ ๐ =
๐
๐
= โซ ๐ ๐ฅ๐จ๐ (โ๐ + โ๐ โ ๐๐)๐ ๐๐
๐
โ ๐ฅ๐จ๐ (๐ + โ๐ )โซ ๐๐
๐
๐ ๐ = โซ ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐๐ ๐๐
๐
=
=๐
๐โซ ๐ฅ๐จ๐ (โ๐ + โ๐ โ ๐)๐ ๐๐
๐
โ๐
๐๐ฅ๐จ๐ (๐ + โ๐) โ [
๐๐
๐๐ฅ๐จ๐ ๐ โ
๐๐
๐]๐
๐
=
=๐
๐โซ ๐ฅ๐จ๐ (โ๐ + โ๐ + ๐)๐ ๐๐
๐
โ๐
๐๐ฅ๐จ๐ (๐ + โ๐) +
๐
๐=
=๐
๐โ๐
๐๐ฅ๐จ๐ (๐ + โ๐) +
๐
๐[๐ ๐ฅ๐จ๐ (โ๐ + โ๐ + ๐)]
๐
๐โ๐
๐โซ
๐
โ๐+ โ๐ + ๐โ
๐ ๐
๐โ๐ + ๐
๐
๐
=
=๐
๐โ๐
๐๐ฅ๐จ๐ (๐ + โ๐) +
๐
๐๐ฅ๐จ๐ (๐โ๐) โ
๐
๐โซ(๐ โ ๐)(โ๐ โ โ๐)
(๐ โ ๐)โ๐
๐
๐
๐ ๐ =
=๐
๐โ๐
๐๐ฅ๐จ๐ (
๐ + โ๐
๐โ๐) โ
๐
๐โซ (๐ โ โ๐)๐ ๐โ๐
๐
โ๐
๐[๐ฅ๐จ๐ (๐ + โ๐)]
๐
โ๐=
www.ssmrmh.ro
69 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
=๐
๐โ๐
๐๐ฅ๐จ๐ (
๐ + โ๐
๐โ๐) โ
๐
๐[๐๐
๐โ โ๐๐]
๐
โ๐
โ ๐ฅ๐จ๐ (๐โ๐
๐+ โ๐) =
=๐
๐โ๐
๐+๐ โ โ๐
๐= ๐ โ
๐
โ๐
1549. Find without any software:
๐ = โซ๐๐๐๐ + ๐
(๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ + ๐๐๐ โ ๐)(๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐๐ + ๐๐๐๐ + ๐)๐ ๐
Proposed by Daniel Sitaru-Romania
Solution 1 by Hussain Reza Zadah-Afghanistan
๐ = โซ๐๐๐๐ + ๐
(๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ + ๐๐๐ โ ๐)(๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐๐ + ๐๐๐๐ + ๐)๐ ๐ =
= โซ(๐๐๐๐ + ๐)๐ ๐
๐(๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ + ๐๐๐ โ ๐)(๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ + ๐๐๐ + ๐)= โซ
๐๐๐ +๐๐
(๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ + ๐๐๐)๐ โ ๐๐ ๐ =
๐=๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐+๐๐๐
= โซ๐ ๐
๐๐ โ ๐=๐
๐๐ฅ๐จ๐ |
๐ โ ๐
๐ + ๐| + ๐ช =
๐
๐๐ฅ๐จ๐ |
๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ + ๐๐๐ โ ๐
๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ + ๐๐๐ + ๐| + ๐ช
Solution 2 by Ajetunmobi Abdulqoyyum-Nigeria
๐ = โซ๐๐๐๐ + ๐
(๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ + ๐๐๐ โ ๐)(๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐๐ + ๐๐๐๐ + ๐)๐ ๐ =
= โซ๐๐๐๐ + ๐
๐(๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ + ๐๐๐ โ ๐)(๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ + ๐๐๐ + ๐)๐ ๐ =
= โซ๐๐๐ +
๐๐
(๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ + ๐๐๐ โ ๐)(๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ + ๐๐๐ + ๐)๐ ๐ =
๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐+๐๐๐=๐
=๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐+๐๐๐=๐
โซ๐
(๐ โ ๐)(๐ + ๐)๐ ๐ =
๐
๐โซ๐ ๐
๐ โ ๐โ๐
๐โซ๐ ๐
๐ + ๐=
=๐
๐๐ฅ๐จ๐ |
๐ โ ๐
๐ + ๐| + ๐ช =
๐
๐๐ฅ๐จ๐ |
๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ + ๐๐๐ โ ๐
๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ + ๐๐๐ + ๐| + ๐ช
Solution 3 by Timson Azeez Folorunsho-Nigeria
๐ = โซ๐๐๐๐ + ๐
(๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ + ๐๐๐ โ ๐)(๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐๐ + ๐๐๐๐ + ๐)๐ ๐ =
www.ssmrmh.ro
70 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
= โซ๐๐๐๐ + ๐
๐(๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ + ๐๐๐ โ ๐)(๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ + ๐๐๐ + ๐)๐ ๐ =
= โซ๐๐๐ +
๐๐
(๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ + ๐๐๐ โ ๐)(๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ + ๐๐๐ + ๐)๐ ๐ =
๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐+๐๐๐=๐
=๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐+๐๐๐=๐
โซ๐
(๐ โ ๐)(๐ + ๐)๐ ๐ =
๐
๐โซ๐ ๐
๐ โ ๐โ๐
๐โซ๐ ๐
๐ + ๐=
=๐
๐๐ฅ๐จ๐ |
๐ โ ๐
๐ + ๐| + ๐ช =
๐
๐๐ฅ๐จ๐ |
๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ + ๐๐๐ โ ๐
๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ + ๐๐๐ + ๐| + ๐ช
Solution 4 by Yen Tung Chung-Taichung-Taiwan
๐ = โซ๐๐๐๐ + ๐
(๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ + ๐๐๐ โ ๐)(๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐๐ + ๐๐๐๐ + ๐)๐ ๐ =
= โซ๐๐๐๐ + ๐
๐(๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ + ๐๐๐ โ ๐)(๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ + ๐๐๐ + ๐)๐ ๐ =
= โซ๐๐๐ +
๐๐
(๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ + ๐๐๐ โ ๐)(๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ + ๐๐๐ + ๐)๐ ๐ =
๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐+๐๐๐=๐
=๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐+๐๐๐=๐
โซ๐
(๐ โ ๐)(๐ + ๐)๐ ๐ =
๐
๐โซ
๐ ๐
๐ โ ๐โ๐
๐โซ
๐ ๐
๐ + ๐=
=๐
๐๐ฅ๐จ๐ |
๐ โ ๐
๐ + ๐| + ๐ช =
๐
๐๐ฅ๐จ๐ |
๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ + ๐๐๐ โ ๐
๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ + ๐๐๐ + ๐| + ๐ช
1550. Prove that:
โซ๐ ๐
๐ + โ๐ + ๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐
๐ ๐
๐
=๐
๐โ ๐ช๐ (
๐๐) โ ๐๐ ๐
(๐๐ )๐๐๐ช๐ (
๐๐)=๐
๐(๐ฎ โ
๐
๐ ๐ฎ)
where ๐ฎ =๐ช๐(
๐
๐)
(๐๐ )๐๐
denotes Gauss Constant.
Proposed by Naren Bhandari-Bajura-Nepal
Solution by Kartick Chandra Betal-India
โซ๐ ๐
๐ + โ๐ + ๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐
๐ ๐
๐
= โซโ๐+ ๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐ โ ๐
๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐๐ ๐
๐ ๐
๐
=
www.ssmrmh.ro
71 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
= โ(โ๐ + ๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐ โ ๐) ๐๐จ๐ญ ๐|๐
๐ ๐+โซ
๐ ๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐๐จ๐ฌ ๐
๐โ๐ + ๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐๐๐จ๐ญ ๐
๐ ๐
๐
๐ ๐ =
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โ๐
[(โ๐ + ๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐ โ ๐)๐๐จ๐ญ ๐] + โซ๐๐จ๐ฌ๐ ๐
โ๐+ ๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐๐ ๐
๐ ๐
๐
=
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โ๐
๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐๐จ๐ฌ ๐
๐ + โ๐ + ๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐+ โซ
๐ โ ๐
โ(๐ + ๐๐)(๐ โ ๐๐)
๐
๐
๐ ๐ =
= โโซ๐๐
โ๐โ ๐๐
๐
๐
๐ ๐ + โซ๐ ๐
โ๐ โ ๐๐
๐
๐
= โ๐
๐โซ๐๐๐+๐๐โ๐
โ๐ โ ๐
๐
๐
๐ ๐ +๐
๐โซ
๐๐๐โ๐
โ๐ โ ๐
๐
๐
๐ ๐ =
= โ๐
๐โซ ๐
๐๐โ๐(๐ โ ๐)
๐๐โ๐
๐
๐
๐ ๐ +๐
๐โซ ๐
๐๐โ๐(๐ โ ๐)
๐๐โ๐
๐
๐
๐ ๐ =
= โ๐
๐โ ๐ช (๐๐)๐ช(
๐๐)
๐ช (๐๐)
+๐
๐โ ๐ช (๐๐)๐ช (
๐๐)
๐ช (๐๐)
=
= โโ๐
๐โ โ๐๐
๐๐๐ช๐ (
๐๐)+โ๐
๐โ ๐ช๐ (
๐๐)
๐ โ๐=๐ช๐ (
๐๐) โ ๐๐
๐
๐โ๐๐ โ ๐ช๐ (๐๐)=๐
๐โ ๐ช๐ (
๐๐) โ ๐๐
๐
(๐๐ )๐๐ โ ๐ช๐ (
๐๐)=
=๐
๐โ
{
๐ช๐ (๐๐)
(๐๐ )๐๐
โ๐
๐ช๐ (๐๐)
(๐๐ )๐๐
โ \๐๐}
=๐
๐(๐ฎ โ
๐
๐ ๐ฎ)
1551. Find:
๐ = โซ ๐๐ โ ๐ฌ๐ข๐งโ๐ ๐ โ ๐ฌ๐ข๐งโ๐(๐๐๐ โ ๐๐)๐ ๐๐
๐
Proposed by Ty Halpen-Florida-USA
Solution by Asmat Qatea-Afghanistan
๐ = โซ ๐๐ โ ๐ฌ๐ข๐งโ๐ ๐ โ ๐ฌ๐ข๐งโ๐(๐๐๐ โ ๐๐)๐ ๐๐
๐
=๐=๐ฌ๐ข๐ง๐
www.ssmrmh.ro
72 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
= โโซ ๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐ โ ๐ โ ๐ฌ๐ข๐งโ๐(๐ฌ๐ข๐ง(๐๐)) ๐๐จ๐ฌ๐๐ ๐
๐ ๐
๐
=
= โโซ ๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐ โ ๐ โ ๐ฌ๐ข๐งโ๐(๐ฌ๐ข๐ง(๐๐)) ๐๐จ๐ฌ๐๐ ๐
๐ ๐
๐
โโซ ๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐ โ ๐ โ ๐ฌ๐ข๐งโ๐(๐ฌ๐ข๐ง(๐๐)) ๐๐จ๐ฌ๐๐ ๐
๐ ๐
๐ ๐
= โโซ ๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐ โ ๐ โ (๐๐) ๐๐จ๐ฌ๐๐ ๐
๐ ๐
๐
โโซ ๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐ โ ๐ โ (โ๐๐ + ๐ ) ๐๐จ๐ฌ๐๐ ๐
๐ ๐
๐ ๐
=
= โ๐โซ ๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐ โ ๐๐ โ ๐๐จ๐ฌ๐๐ ๐
๐ ๐
๐โ ๐ฐ๐
+ ๐โซ ๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐ โ ๐๐ โ ๐๐จ๐ฌ๐๐ ๐
๐ ๐
๐ ๐โ
๐ฐ๐
โ ๐ โซ ๐ โ ๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐ โ ๐๐จ๐ฌ ๐
๐ ๐
๐ ๐
๐ ๐โ
๐ฐ๐
โต ๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐ โ ๐๐จ๐ฌ ๐ =๐
๐(๐๐จ๐ฌ๐ โ ๐๐จ๐ฌ(๐๐)) โ โซ๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐ ๐๐จ๐ฌ๐๐ ๐
=๐
๐โซ(๐๐จ๐ฌ๐ โ ๐๐จ๐ฌ(๐๐))๐ ๐
๐ฐ๐ = โ๐
๐[๐๐ (๐ฌ๐ข๐ง๐ โ
๐ฌ๐ข๐ง(๐๐)
๐) โ ๐๐(โ๐๐จ๐ฌ ๐ +
๐๐จ๐ฌ(๐๐)
๐) + ๐(โ๐ฌ๐ข๐ง ๐ +
๐ฌ๐ข๐ง(๐๐)
๐๐)]๐
๐ ๐
=
= โ๐ ๐
๐๐๐โโ๐๐
๐+๐๐
๐๐
๐ฐ๐ = โ๐
๐[๐๐ (๐ฌ๐ข๐ง๐ โ
๐ฌ๐ข๐ง(๐๐)
๐) โ ๐๐(โ๐๐จ๐ฌ ๐ +
๐๐จ๐ฌ(๐๐)
๐) + ๐(โ๐ฌ๐ข๐ง ๐ +
๐ฌ๐ข๐ง(๐๐)
๐๐)]๐ ๐
๐ ๐
=๐๐๐ ๐
๐๐๐โโ๐๐
๐โ๐๐
๐๐
๐ฐ๐ + ๐ฐ๐ =๐๐๐ ๐
๐๐๐โโ๐๐
๐โ๐
๐
๐ฐ๐ = โ๐ โซ ๐ โ ๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐ โ ๐๐จ๐ฌ๐
๐ ๐
๐ ๐
๐ ๐ = โ๐
๐โซ ๐(๐๐จ๐ฌ ๐ โ ๐๐จ๐ฌ(๐๐))
๐ ๐
๐ ๐
๐ ๐ =
= โ๐
๐[๐ (๐ฌ๐ข๐ง๐ โ
๐ฌ๐ข๐ง(๐๐)
๐)โ๐๐จ๐ฌ๐ +
๐๐จ๐ฌ(๐๐)
๐]๐ ๐
๐ ๐
= โ๐๐๐ ๐
๐๐๐+โ๐๐
๐
www.ssmrmh.ro
73 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
๐ = ๐ฐ๐ + ๐ฐ๐ + ๐ฐ๐ =๐ ๐
๐๐โโ๐๐
๐โ๐
๐
1552. Prove that:
โซ ๐ฅ๐จ๐ (๐๐ + ๐ฅ๐จ๐ ๐(๐๐จ๐ฌ ๐)) ๐ ๐
๐ ๐
๐
= ๐ ๐ฅ๐จ๐ (๐ฅ๐จ๐ ๐)
Proposed by Simon Peter-Madagascar
Solution by Luca Paes Barreto-Pernambuco-Brazil
It is well-known that:
โซ๐๐จ๐ฌ (๐ ๐ญ๐๐งโ๐ (
๐โ ๐ฅ๐จ๐ ๐๐จ๐ฌ ๐))
(๐๐ + ๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐๐จ๐ฌ ๐)๐๐
๐ ๐
๐
๐ ๐ =๐
๐โ ๐
๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐
Differentiable both sides w.r.t. ๐, we have:
๐๐(๐๐จ๐ฌ (๐ ๐ญ๐๐งโ๐ (
๐โ ๐ฅ๐จ๐ ๐๐จ๐ฌ ๐))
(๐๐ + ๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐๐จ๐ฌ ๐)๐๐
)|
๐=๐
= โ๐
๐๐ฅ๐จ๐ (๐๐ + ๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐๐จ๐ฌ ๐)
๐๐ (๐
๐โ ๐
๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐)|๐=๐
= โ๐
๐โ ๐ฅ๐จ๐ (๐ฅ๐จ๐ ๐) โ
โ๐
๐โซ ๐ฅ๐จ๐ (๐๐ + ๐ฅ๐จ๐ ๐(๐๐จ๐ฌ ๐)) ๐ ๐
๐ ๐
๐
= โ๐
๐โ ๐ฅ๐จ๐ (๐ฅ๐จ๐ ๐)
Therefore,
โซ ๐ฅ๐จ๐ (๐๐ + ๐ฅ๐จ๐ ๐(๐๐จ๐ฌ ๐)) ๐ ๐
๐ ๐
๐
= ๐ ๐ฅ๐จ๐ (๐ฅ๐จ๐ ๐)
1553. Find:
๐ = โซ๐ณ๐๐(๐)
๐ โ ๐๐ฅ๐จ๐ ๐
๐
๐
๐ ๐
Proposed by Simon Peter-Madagascar
Solution 1 by Abdul Mukhtar-Nigeria
We know that:
www.ssmrmh.ro
74 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
๐ณ๐๐(๐)
๐ โ ๐= โ๐ฏ๐
(๐)๐๐โ
๐=๐
โ ๐ = โซ๐ณ๐๐(๐)
๐ โ ๐๐ฅ๐จ๐ ๐
๐
๐
๐ ๐ = โ๐ฏ๐(๐)โซ ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ (๐)๐ ๐
๐
๐
โ
๐=๐
โต โซ ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐(๐) ๐ ๐๐
๐
=(โ๐)๐๐!
(๐ + ๐)๐+๐; ๐๐๐ ๐ = ๐ โ
โซ ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ (๐)๐ ๐๐
๐
=(โ๐)๐๐!
(๐ + ๐)๐+๐= โ
๐
(๐ + ๐)๐โโ๐ฏ๐
(๐)โซ ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ (๐)๐ ๐๐
๐
โ
๐=๐
=
= โ๐ฏ๐(๐) (โ๐)
(๐ + ๐)๐
โ
๐=๐
= โโ๐ฏ๐(๐)
(๐ + ๐)๐
โ
๐=๐
= โโ๐ฏ๐โ๐(๐)
๐๐
โ
๐=๐
We know that: ๐ฏ๐โ๐(๐) = ๐ฏ๐
(๐) โ๐
๐๐.
โโ๐ฏ๐โ๐(๐)
๐๐
โ
๐=๐
= โโ๐
๐๐(๐ฏ๐
(๐)โ๐
๐๐)
โ
๐=๐
= โโ๐ฏ๐(๐)
๐๐
โ
๐=๐
+โ๐
๐๐
โ
๐=๐
=
= โ๐๐
๐๐ป(๐) + ๐๐ป(๐)๐ป(๐) + ๐ป(๐)
Solution 2 by Syed Shahabudeen-Kerala-India
๐ = โซ๐ณ๐๐(๐)
๐ โ ๐๐ฅ๐จ๐ ๐
๐
๐
๐ ๐ =๐
๐๐โซ๐๐๐ณ๐๐(๐)
๐ โ ๐๐ ๐
๐
๐
=๐
๐๐โซ ๐ณ๐๐(๐)โ๐๐
โ
๐=๐
๐ ๐๐
๐
=
=๐
๐๐โโซ ๐๐+๐๐ณ๐๐(๐)
๐
๐
๐ ๐
โ
๐=๐
=
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โ๐
๐
๐๐โ(
๐ป(๐)
๐ + ๐ + ๐โ
๐ป(๐)
(๐ + ๐ + ๐)๐+
๐ฏ๐+๐+๐(๐ + ๐ + ๐)๐
)
โ
๐=๐
=
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โ๐
โ (โ๐ป(๐)
(๐ +๐)๐+
๐๐ป(๐)
(๐ +๐)๐+๐
๐๐
๐ฏ๐+๐(๐ +๐)๐
)
โ
๐=๐
=
= โ (โ๐ป(๐)
๐๐+๐๐ป(๐)
๐๐)
โ
๐=๐
+ โ (๐
๐๐
๐ฏ๐+๐(๐ +๐)๐
)
โ
๐=๐
=
โต๐
๐๐
๐ฏ๐+๐(๐ + ๐)๐
= โ๐๐ฏ๐+๐(๐ +๐)๐
+๐
(๐ +๐)๐(๐ป(๐) โ ๐ฏ๐+๐
๐ )
โ ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โ๐
๐
๐๐
๐ฏ๐+๐(๐ +๐)๐
= โ๐๐ฏ๐+๐(๐ +๐)๐
+๐
(๐ +๐)๐(๐ป(๐) โ ๐ฏ๐+๐
๐ )
www.ssmrmh.ro
75 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
โ ๐ = โ (โ๐ป(๐)
๐๐+๐๐ป(๐)
๐๐)
โ
๐=๐
+ โ (โ๐๐ฏ๐+๐(๐ +๐)๐
+๐
(๐ +๐)๐(๐ป(๐) โ ๐ฏ๐+๐
๐ ))
โ
๐=๐
=
= ๐ป(๐)๐ป(๐) + โ (โ๐๐ฏ๐+๐(๐ +๐)๐
+๐
(๐ +๐)๐(๐ป(๐) โ ๐ฏ๐+๐
๐ ))
โ
๐=๐
โต โ๐ฏ๐๐๐
โ
๐=๐
= ๐๐ป(๐) โ ๐ป(๐)๐ป(๐) ๐๐๐ โ๐ฏ๐๐
๐๐
โ
๐=๐
= ๐๐ป(๐)๐ป(๐) โ๐
๐๐ป(๐)
Therefore,
๐ = ๐๐ป(๐)๐ป(๐) + (โ๐๐ป(๐) + ๐๐ป(๐)๐ป(๐) โ ๐๐ป(๐)๐ป(๐) +๐
๐๐ป(๐)) = ๐๐ป(๐)๐ป(๐) โ
๐
๐๐ป(๐)
๐ = โซ๐ณ๐๐(๐)
๐ โ ๐๐ฅ๐จ๐ ๐
๐
๐
๐ ๐ = ๐๐ป(๐)๐ป(๐) โ๐
๐๐ป(๐)๐ป(๐)
1554. Find:
๐ = โซ โซ โซ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
(๐ + ๐)๐(๐ + ๐๐)(๐ + ๐๐)
โ
๐
โ
๐
๐ ๐โ
๐
๐ ๐ ๐ ๐
Proposed by Probal Chakraborty-India
Solution by Rana Ranino-Setif-Algerie
๐ = โซ โซ โซ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
(๐ + ๐)๐(๐ + ๐๐)(๐ + ๐๐)
โ
๐
โ
๐
๐ ๐โ
๐
๐ ๐ ๐ ๐ =๐
๐โซ โซ
๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
(๐ + ๐)๐(๐ + ๐๐)
โ
๐
๐ ๐โ
๐
๐ ๐
=๐
๐โซ โซ
โ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
(๐ + ๐)๐(๐ + ๐๐)
๐
๐
๐ ๐๐
๐
๐ ๐ = โ๐
๐โซ
๐
๐(๐ + ๐๐)
๐
๐
โซ๐ฅ๐จ๐ ๐
(๐ +๐๐)๐ ๐ ๐
๐
๐
๐ ๐ =๐=๐๐
= โ๐
๐โซ
๐
๐ + ๐๐โซ๐ฅ๐จ๐ ๐ + ๐ฅ๐จ๐ ๐
(๐ + ๐)๐๐ ๐
๐๐
๐
๐ ๐๐
๐
=
= โ๐
๐โซ
๐
๐ + ๐๐
๐
๐
โซ๐ฅ๐จ๐ ๐
(๐ + ๐)๐๐ ๐
๐๐
๐
๐ ๐ โ๐
๐โซ
๐ฅ๐จ๐ ๐
(๐ + ๐๐)
๐
๐
โซ๐
๐ + ๐๐
๐๐
๐
๐ ๐๐ ๐ =
=๐
๐โซ
๐
๐ + ๐๐[๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐) โ
๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ + ๐]๐
๐๐
๐ ๐๐
๐
+๐
๐โซ
๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ + ๐๐[
๐
(๐ + ๐)]๐
๐๐๐ ๐
๐
๐
=
www.ssmrmh.ro
76 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
=๐
๐โซ๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐) โ ๐ฅ๐จ๐ ๐ +
๐ฅ๐จ๐ ๐๐ + ๐
๐ + ๐๐
๐
๐
๐ ๐ โ๐
๐โซ
๐ฅ๐จ๐ ๐
(๐ + ๐)(๐ + ๐๐)๐ ๐
๐
๐
=
=๐
๐โซ๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐)
๐ + ๐๐๐ ๐
๐
๐
โ๐
๐โซ
๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ + ๐๐๐ ๐
๐
๐
=๐=๐ญ๐๐ง ๐ฝ
=๐
๐โซ ๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐ญ๐๐ง๐ฝ)๐ ๐ฝ
๐ ๐
๐
โ๐
๐โซ ๐ฅ๐จ๐ (๐ญ๐๐ง๐ฝ)๐ ๐ฝ
๐ ๐
๐โ โ๐ฎ
โซ ๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐ญ๐๐ง ๐ฝ) ๐ ๐ฝ
๐ ๐
๐
= โซ ๐ฅ๐จ๐ (โ๐๐๐จ๐ฌ (๐
๐โ ๐ฝ))๐ ๐ฝ
๐ ๐
๐
โโซ ๐ฅ๐จ๐ (๐๐จ๐ฌ ๐ฝ)๐ ๐ฝ
๐ ๐
๐
=
= โซ ๐ฅ๐จ๐ (โ๐ ๐๐จ๐ฌ ๐ฝ)๐ ๐ฝ โ
๐ ๐
๐
โซ ๐ฅ๐จ๐ (๐๐จ๐ฌ ๐ฝ)๐ ๐ฝ
๐ ๐
๐
=๐
๐๐ฅ๐จ๐ ๐
Therefore,
๐ = โซ โซ โซ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
(๐ + ๐)๐(๐ + ๐๐)(๐ + ๐๐)
โ
๐
โ
๐
๐ ๐โ
๐
๐ ๐ ๐ ๐ =๐
๐(๐ฎ +
๐
๐๐ฅ๐จ๐ ๐)
1555. If ๐ฌ๐๐๐
๐< ๐ โค ๐ then find:
๐(๐, ๐) = โซ (๐ญ๐๐งโ๐(๐
๐ฌ๐๐๐ ๐โ ๐ ๐ญ๐๐ง
๐ ๐
) โ ๐ญ๐๐งโ๐ (๐ ๐ฌ๐๐๐
๐โ ๐ญ๐๐ง
๐
๐))๐ ๐
๐
๐
Proposed by Daniel Sitaru-Romania
Solution 1 by Mohamed Rostami-Afghanistan
๐(๐, ๐) = โซ (๐ญ๐๐งโ๐ (๐
๐ฌ๐๐๐ ๐ โ ๐ ๐ญ๐๐ง
๐ ๐
) โ ๐ญ๐๐งโ๐ (๐ ๐ฌ๐๐๐
๐โ ๐ญ๐๐ง
๐
๐))๐ ๐
๐
๐
=
= โซ (๐ญ๐๐งโ๐(๐ ๐๐จ๐ฌ
๐ ๐
๐ โ ๐๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐
) โ ๐ญ๐๐งโ๐ (๐ โ ๐ฌ๐ข๐ง
๐ ๐
๐๐จ๐ฌ๐ ๐
))๐ ๐๐
๐
๐ญ๐๐งโ๐(๐ ๐๐จ๐ฌ
๐ ๐
๐ โ ๐๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐
) = ๐ถ โ ๐ญ๐๐ง๐ถ =๐ ๐๐จ๐ฌ
๐ ๐
๐ โ ๐ ๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐
www.ssmrmh.ro
77 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
๐ญ๐๐งโ๐(๐ โ ๐ฌ๐ข๐ง
๐ ๐
๐๐จ๐ฌ๐ ๐
) = ๐ท โ ๐ญ๐๐ง๐ท =๐ โ ๐ฌ๐ข๐ง
๐ ๐
๐๐จ๐ฌ๐ ๐
๐ถ โ ๐ท = ๐ธ โ๐ญ๐๐ง๐ถ โ ๐ญ๐๐ง๐ท
๐ + ๐ญ๐๐ง๐ถ ๐ญ๐๐ง๐ท= ๐ญ๐๐ง ๐ธ โ
๐ ๐๐จ๐ฌ๐ ๐
๐ โ ๐๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐
โ๐ โ ๐ฌ๐ข๐ง
๐ ๐
๐๐จ๐ฌ๐ ๐
๐ +๐ ๐๐จ๐ฌ
๐ ๐
๐ โ ๐๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐
โ ๐ โ ๐ฌ๐ข๐ง
๐ ๐
๐๐จ๐ฌ๐ ๐
= ๐ญ๐๐ง๐ธ โ
๐ญ๐๐ง ๐ธ =
๐(๐๐จ๐ฌ๐๐ ๐ โ ๐ฌ๐ข๐ง
๐๐ ๐) โ ๐ + ๐
๐ ๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐ + ๐ฌ๐ข๐ง
๐ ๐
๐๐จ๐ฌ๐ ๐ (๐ โ ๐ ๐ฌ๐ข๐ง
๐ ๐)
๐ โ ๐๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐ + ๐
๐ โ ๐๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐
๐ โ ๐๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐
=
=
๐
๐๐จ๐ฌ๐ ๐
[โ๐ (๐ โ ๐๐จ๐ฌ๐๐ ๐ ) + ๐
๐ ๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐ + ๐ฌ๐ข๐ง
๐ ๐]
๐ โ ๐๐ ๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐ + ๐
๐
๐ญ๐๐ง๐ธ =๐ญ๐๐ง
๐ ๐ (โ๐๐ ๐ฌ๐ข๐ง
๐ ๐ + ๐
๐ + ๐)
๐ โ ๐๐ ๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐ + ๐
๐= ๐ญ๐๐ง
๐
๐โ ๐ธ = ๐ถโ ๐ท =
๐
๐
Therefore,
๐(๐, ๐) = โซ (๐ถ โ ๐ท)๐
๐
๐ ๐ = โซ๐
๐
๐
๐
๐ ๐ =๐
๐(๐ โ ๐).
Solution 2 by Kamel Gandouli Rezgui-Tunisia
โต ๐ญ๐๐งโ๐ ๐ ยฑ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐ = ๐ญ๐๐งโ๐ (๐ ยฑ ๐
๐ โ ๐๐) โ
๐ญ๐๐งโ๐ (๐
๐ฌ๐๐๐ ๐ โ ๐ ๐ญ๐๐ง
๐ ๐
) โ ๐ญ๐๐งโ๐ (๐๐ฌ๐๐๐
๐โ ๐ญ๐๐ง
๐
๐) = ๐ญ๐๐งโ๐ (
๐
๐ฌ๐๐๐ ๐ โ ๐ ๐ญ๐๐ง
๐ ๐
) =
=๐
๐โ ๐ญ๐๐งโ๐ (
๐ฌ๐๐๐ ๐ โ ๐ ๐ญ๐๐ง
๐ ๐
๐)
www.ssmrmh.ro
78 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
๐ญ๐๐งโ๐ (๐ ๐ฌ๐๐๐
๐โ ๐ญ๐๐ง
๐
๐) + ๐ญ๐๐งโ๐ (
๐ฌ๐๐๐ ๐ โ ๐ ๐ญ๐๐ง
๐ ๐
๐) =
= ๐ญ๐๐งโ๐
(
๐ฌ๐๐๐ ๐ โ ๐ ๐ญ๐๐ง
๐ ๐
๐ + ๐๐ฌ๐๐๐ ๐ โ ๐ญ๐๐ง
๐ ๐
๐ โ (๐ ๐ฌ๐๐๐ ๐ โ ๐ญ๐๐ง
๐ ๐) โ
๐ฌ๐๐๐ ๐ โ ๐ ๐ญ๐๐ง
๐ ๐
๐ )
=
= ๐ญ๐๐งโ๐ (๐ฌ๐๐
๐ ๐ โ ๐ ๐ญ๐๐ง
๐ ๐ + ๐
๐ ๐ฌ๐๐๐ ๐ โ ๐ ๐ญ๐๐ง
๐ ๐
๐ โ ๐๐ฌ๐๐๐๐ ๐ + ๐ฌ๐๐
๐ ๐ ๐ญ๐๐ง
๐ ๐ + ๐
๐ ๐ฌ๐๐๐ ๐ ๐ญ๐๐ง
๐ ๐ โ ๐ ๐ญ๐๐ง
๐ ๐ ๐
) =
= ๐ญ๐๐งโ๐ (๐ฌ๐๐
๐ ๐ โ ๐๐ ๐ญ๐๐ง
๐ ๐ + ๐
๐ ๐ฌ๐๐๐ ๐
๐ฌ๐๐๐ ๐ ๐ญ๐๐ง
๐ ๐ + ๐
๐ ๐ฌ๐๐๐ ๐ ๐ญ๐๐ง
๐ ๐ โ ๐๐ ๐ญ๐๐ง
๐ ๐ ๐
) =(โ)
๐ฌ๐๐๐
๐๐ญ๐๐ง
๐
๐+ ๐๐ ๐ฌ๐๐
๐
๐๐ญ๐๐ง
๐
๐โ ๐๐ ๐ญ๐๐ง๐
๐
๐= ๐ญ๐๐ง
๐
๐(๐ฌ๐๐
๐
๐โ ๐๐ ๐ญ๐๐ง
๐
๐+ ๐๐ ๐ฌ๐๐
๐
๐)
=(โ)๐ญ๐๐งโ๐(
๐
๐ญ๐๐ง๐ ๐
) =๐
๐โ๐
๐
Therefore,
๐(๐, ๐) =๐
๐(๐ โ ๐).
1556. If ๐ < ๐ โค ๐ then find:
๐(๐, ๐) = โซ โซ โซ ๐ญ๐๐งโ๐ (๐ + ๐ + ๐ โ ๐๐๐
๐ โ ๐๐ โ ๐๐ โ ๐๐)๐ ๐๐ ๐๐ ๐
๐
๐
๐
๐
๐
๐
Proposed by Daniel Sitaru-Romania
Solution 1 by Serlea Kabay-Liberia
๐(๐, ๐) = โซ โซ โซ ๐ญ๐๐งโ๐ (๐ + ๐ + ๐ โ ๐๐๐
๐ โ ๐๐ โ ๐๐ โ ๐๐)๐ ๐๐ ๐๐ ๐
๐
๐
๐
๐
๐
๐
=
= โซ โซ โซ (๐ญ๐๐งโ๐ ๐ + ๐ญ๐๐งโ๐ ๐ + ๐ญ๐๐งโ๐ ๐ โ ๐ )๐
๐
๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐
๐
๐
๐
=(โ)
(โต โซ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐๐ ๐ = ๐ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐ โ ๐ฅ๐จ๐ (โ๐ + ๐๐) )
www.ssmrmh.ro
79 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
=(โ)โซ โซ โซ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐
๐
๐
๐
๐
๐
๐
+โซ โซ โซ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐
๐
๐
๐
๐
๐
+ โซ โซ โซ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐
๐
๐
๐
๐
๐
โ๐ (๐ โ ๐)๐ =
= (๐ โ ๐)๐ (โซ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐๐ ๐๐
๐
+โซ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐๐ ๐๐
๐
+โซ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐๐
๐
๐ ๐) โ ๐ (๐ โ ๐)๐ =
= ๐(๐ โ ๐)๐ (๐ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐ โ ๐ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐ +๐
๐(๐๐ + ๐
๐๐ + ๐)) โ ๐ (๐ โ ๐)๐
Solution 2 by Remus Florin Stanca-Romania
๐ญ๐๐งโ๐ (๐ + ๐ + ๐ โ ๐๐๐
๐ โ ๐๐ โ ๐๐ โ ๐๐) = ๐ญ๐๐งโ๐ (
๐ + ๐ โ ๐(๐ โ ๐๐)
๐ โ ๐(๐ + ๐) โ ๐๐) =
= ๐ญ๐๐งโ๐ (
๐ + ๐๐ โ ๐๐ + ๐
๐ + ๐๐ + ๐๐ โ ๐๐
) = ๐ญ๐๐งโ๐ (๐ + ๐
๐ โ ๐๐) + ๐ญ๐๐งโ๐ ๐ โ ๐ =
= ๐ญ๐๐งโ๐ (๐ญ๐๐ง(๐ญ๐๐งโ๐ ๐) + ๐ญ๐๐ง(๐ญ๐๐งโ๐ ๐)
๐ โ ๐ญ๐๐ง(๐ญ๐๐งโ๐ ๐) โ ๐ญ๐๐ง(๐ญ๐๐งโ๐ ๐)) + ๐ญ๐๐งโ๐ ๐ โ ๐ =
= ๐ญ๐๐งโ๐(๐ญ๐๐ง(๐ญ๐๐งโ๐ ๐) + ๐ญ๐๐งโ๐ ๐) + ๐ญ๐๐งโ๐ ๐ โ ๐ =
= ๐ญ๐๐งโ๐ ๐ + ๐ญ๐๐งโ๐ ๐ + ๐ญ๐๐งโ๐ ๐ โ ๐
โซ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐๐
๐
๐ ๐ = [๐ โ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐ โ๐
๐๐ฅ๐จ๐ (๐๐ + ๐)]
๐
๐
=
= ๐๐ญ๐๐งโ๐ ๐ โ ๐ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐ โ๐
๐๐ฅ๐จ๐ (๐๐ + ๐) +
๐
๐๐ฅ๐จ๐ (๐๐ + ๐)
๐(๐, ๐) = โซ โซ โซ ๐ญ๐๐งโ๐ (๐ + ๐ + ๐ โ ๐๐๐
๐ โ ๐๐ โ ๐๐ โ ๐๐)๐ ๐๐ ๐๐ ๐
๐
๐
๐
๐
๐
๐
=
= โซ โซ (๐ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐ โ๐
๐๐ฅ๐จ๐ (๐๐ + ๐) โ ๐ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐ +
๐
๐๐ฅ๐จ๐ (๐๐ + ๐) + (๐ โ ๐) ๐ญ๐๐งโ๐ ๐
๐
๐
๐
๐
+ (๐ โ ๐) ๐ญ๐๐งโ๐ ๐)๐ ๐๐ ๐ โ ๐ (๐ โ ๐)๐ =
www.ssmrmh.ro
80 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
= โซ (๐(๐ โ ๐) ๐ญ๐๐งโ๐ ๐ โ๐
๐(๐ โ ๐) ๐ฅ๐จ๐ (๐๐ + ๐) โ ๐ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐(๐ โ ๐)
๐
๐
+๐
๐๐ฅ๐จ๐ (๐๐ + ๐)(๐ โ ๐)
+ (๐ โ ๐) (๐ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐ โ๐
๐๐ฅ๐จ๐ (๐๐ + ๐) โ ๐ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐ +
๐
๐๐ฅ๐จ๐ (๐๐ + ๐))
+ (๐ โ ๐)๐ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐)๐ ๐ โ ๐ (๐ โ ๐)๐ =
= ๐๐(๐ โ ๐)๐ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐ โ๐
๐(๐ โ ๐)๐ ๐ฅ๐จ๐ (๐๐ + ๐) โ ๐๐(๐ โ ๐)๐ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐
+๐
๐(๐ โ ๐)๐ ๐ฅ๐จ๐ (๐๐ + ๐) โ ๐ (๐ โ ๐)๐
Therefore,
๐(๐, ๐) = โซ โซ โซ ๐ญ๐๐งโ๐ (๐ + ๐ + ๐ โ ๐๐๐
๐ โ ๐๐ โ ๐๐ โ ๐๐)๐ ๐๐ ๐๐ ๐
๐
๐
๐
๐
๐
๐
=
= ๐๐(๐ โ ๐)๐ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐ โ๐
๐(๐ โ ๐)๐ ๐ฅ๐จ๐ (๐๐ + ๐) โ ๐๐(๐ โ ๐)๐ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐
+๐
๐(๐ โ ๐)๐ ๐ฅ๐จ๐ (๐๐ + ๐) โ ๐ (๐ โ ๐)๐
Solution 3 by Asmat Qatea-Afghanistan
๐ญ๐๐งโ๐ ๐ + ๐ญ๐๐งโ๐ ๐ =
{
๐ญ๐๐งโ๐ (
๐ + ๐
๐ โ ๐๐) , ๐๐ < 1
๐ + ๐ญ๐๐งโ๐ (๐ + ๐
๐ โ ๐๐) , ๐ > 0, ๐ฆ > 0(๐๐ > 1)
โ๐ + ๐ญ๐๐งโ๐ (๐ + ๐
๐โ ๐๐) , ๐ < 0, ๐ฆ < 0(๐ฅ๐ฆ > 1)
๐ญ๐๐งโ๐ ๐ + ๐ญ๐๐งโ๐ ๐ = ๐ญ๐๐งโ๐ (๐ + ๐
๐โ ๐๐) โ ๐ โ (๐,โ), ๐ โ (๐,โ)
๐ญ๐๐งโ๐ ๐ + ๐ญ๐๐งโ๐ ๐ + ๐ญ๐๐งโ๐ ๐ = ๐ญ๐๐งโ๐ (๐ + ๐
๐ โ ๐๐) + ๐ญ๐๐งโ๐ ๐
{๐๐ > 1 โ
๐ + ๐
๐ โ ๐๐< 0
๐ โ (๐,โ)
๐ญ๐๐งโ๐ ๐ + ๐ญ๐๐งโ๐ ๐ + ๐ญ๐๐งโ๐ ๐ = ๐ญ๐๐งโ๐ (๐ + ๐ + ๐ โ ๐๐๐
๐ โ ๐๐ โ ๐๐ โ ๐๐)
www.ssmrmh.ro
81 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
โซ โซ โซ (๐ญ๐๐งโ๐ ๐ + ๐ญ๐๐งโ๐ ๐ + ๐ญ๐๐งโ๐ ๐)๐
๐
๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐
๐
๐
๐
=
= ๐ (๐ โ ๐)๐ +โซ โซ โซ ๐ญ๐๐งโ๐ (๐ + ๐ + ๐ โ ๐๐๐
๐ โ ๐๐ โ ๐๐ โ ๐๐)๐ ๐๐ ๐๐ ๐
๐
๐
๐
๐
๐
๐
๐โซ โซ โซ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐๐
๐
๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐
๐
๐
๐
= ๐ (๐ โ ๐)๐ +โซ โซ โซ ๐ญ๐๐งโ๐ (๐ + ๐ + ๐ โ ๐๐๐
๐ โ ๐๐ โ ๐๐ โ ๐๐)๐ ๐๐ ๐๐ ๐
๐
๐
๐
๐
๐
๐
๐(๐ โ ๐)๐ [๐ โ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐ โ๐
๐๐ฅ๐จ๐ (๐๐ + ๐)]
๐
๐
=
= ๐ (๐ โ ๐)๐ +โซ โซ โซ ๐ญ๐๐งโ๐ (๐ + ๐ + ๐ โ ๐๐๐
๐ โ ๐๐ โ ๐๐ โ ๐๐)๐ ๐๐ ๐๐ ๐
๐
๐
๐
๐
๐
๐
Therefore,
๐(๐, ๐) = โซ โซ โซ ๐ญ๐๐งโ๐ (๐ + ๐ + ๐ โ ๐๐๐
๐ โ ๐๐ โ ๐๐ โ ๐๐)๐ ๐๐ ๐๐ ๐
๐
๐
๐
๐
๐
๐
=
= ๐(๐ โ ๐)๐ (๐ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐ โ ๐ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐ +๐
๐(๐๐ + ๐
๐๐ + ๐)) โ ๐ (๐ โ ๐)๐
1557. Prove that:
โซ ๐โ๐๐๐ฏ๐๐(๐ถ๐)
โ
โโ
๐ ๐ = โ๐ (๐๐)!
๐!(๐ถ๐ โ ๐)๐, ๐ > 0
where, ๐ฏ๐๐ โHermite polynomials.
Proposed by Tobi Joshua-Nigeria
Solution by Serlea Kabay-Liberia
Using Hermite polynomial as a special case of the Laguerre polynomial,
๐ฏ๐๐(๐ถ๐) = (โ๐)๐๐! ๐ณ๐
โ๐๐(๐๐๐๐) โ โซ ๐โ๐
๐๐ฏ๐๐(๐ถ๐)
โ
โโ
๐ ๐
= (โ๐)๐๐!โซ ๐โ๐๐๐ณ๐โ๐๐(๐๐๐๐)
โ
โโ
๐ ๐
www.ssmrmh.ro
82 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
๐ฐ = โซ ๐โ๐๐๐ฏ๐๐(๐ถ๐)
โ
โโ
๐ ๐ = (โ๐)๐๐! โซ ๐โ๐๐๐ณ๐โ๐๐(๐๐๐๐)
โ
โโ
๐ ๐
๐ณ๐(๐)(๐) = โ(โ๐)๐ (
๐ + ๐
๐ โ ๐)๐๐๐
๐!
๐
๐=๐
โ ๐ณ๐(โ๐๐)(๐๐๐๐) = โ(โ๐)๐(
๐ โ๐๐
๐ โ ๐)๐๐๐๐๐๐
๐!
๐
๐=๐
โต ๐ฐ = (โ๐)๐๐!โซ ๐โ๐๐โ(โ๐)๐(
๐ โ๐๐
๐ โ ๐)๐๐๐๐๐๐
๐!
๐
๐=๐
๐ ๐ =โ
โโ
= ๐(โ๐)๐๐!โซ ๐โ๐๐โ(โ๐)๐ (
๐ โ๐๐
๐ โ ๐)๐๐๐๐๐๐
๐!
๐
๐=๐
๐ ๐โ
๐
Using Dominated convergence theorem:
๐ฐ = ๐๐๐+๐(โ๐)๐โ(โ๐)๐(๐ โ
๐๐
๐ โ ๐)๐๐๐
๐!
๐
๐=๐
โซ ๐โ๐๐๐๐๐
โ
๐
๐ ๐ =
= ๐๐๐(โ๐)๐โ(โ๐)๐(๐ โ
๐๐
๐ โ ๐)๐๐๐๐ช (๐ +
๐๐)
๐!
๐
๐=๐
(๐ โ
๐๐
๐ โ ๐) =
๐ช (๐ +๐๐)
๐ช(๐ + ๐ โ ๐)๐ช(๐ +๐๐)=
(๐๐)!โ๐
๐๐๐! ๐ช(๐ + ๐ โ ๐)๐ช(๐ +๐๐)
๐ฐ = (๐๐)! โ๐ (โ๐)๐โ(โ๐)๐๐
๐=๐
๐๐๐๐ช(๐ +๐๐)
๐! ๐ช(๐ + ๐ โ ๐)๐ช(๐ +๐๐)=
= (๐๐)!โ๐ (โ๐)๐โ(โ๐)๐๐๐๐
๐! (๐ โ ๐)!
๐
๐=๐
โ ๐ฐ =(๐๐)! โ๐ (โ๐)๐
๐!โ(โ๐)๐
๐! ๐๐๐
๐! (๐ โ ๐)!๐๐๐
๐
๐=๐
=
=(๐๐)! โ๐ (โ๐)๐
๐!โ(
๐
๐) (โ๐๐)๐
๐
๐=๐
๐ฐ =(๐๐)! โ๐ (โ๐)๐
๐!(๐ โ ๐๐)๐ =
โ๐ โ (๐๐)! โ (๐๐ โ ๐)๐
๐!
www.ssmrmh.ro
83 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
Therefore,
โซ ๐โ๐๐๐ฏ๐๐(๐ถ๐)
โ
โโ
๐ ๐ = โ๐ (๐๐)!
๐!(๐ถ๐ โ ๐)๐, ๐ > 0
๐ณ๐๐(โ ) โLaguerre polynomial.
1558. Prove that:
๐ = โซ๐ญ๐๐งโ๐(๐๐)
๐ฌ๐ข๐ง๐ก(๐๐)
โ
๐
๐ ๐ =๐
๐(๐ฅ๐จ๐ (
๐ช (๐๐๐ ๐
)
๐ช (๐๐+
๐๐๐ ๐
)) +
๐
๐๐ฅ๐จ๐ (
๐
๐๐ ๐))
Proposed by Ose Favour-Nigeria
Solution 1 by Felix Marin-Romania
โซ๐ญ๐๐งโ๐(๐๐)
๐ฌ๐ข๐ง๐ก(๐๐)๐ ๐
โ
๐
= โซ๐๐
๐ฌ๐ข๐ง๐ก(๐๐)
โ
๐
โซ๐ ๐
๐๐ + (๐๐)๐
โ
๐
๐ ๐ =
๐๐๐ (๐)โซ๐๐
๐๐ + (๐๐)๐๐
๐ฌ๐ข๐ง(|๐|๐)
โ
๐
๐ ๐๐ ๐ =
|๐|๐โ๐ ๐
๐=๐ ๐|๐| ๐
๐โซ โซ
๐๐
๐๐ + (๐๐)๐๐
๐ฌ๐ข๐ง๐ก(๐ ๐)๐ ๐๐ ๐
โ
๐
โ
๐
=
=๐
๐โซ [๐โซ
(๐ + ๐๐๐)โ๐ โ (๐ โ ๐๐๐)โ๐
๐ ๐ฌ๐ข๐ง๐ก(๐ ๐)๐ ๐
โ
๐
] ๐ ๐โ
๐
=
=๐
๐โซ [โ(โ๐)๐(๐ + ๐๐๐)โ๐ โ
๐
๐(๐ + ๐๐)โ๐|๐=๐
โ
๐=๐
] ๐ ๐โ
๐
=
=๐
๐โซ {โ[
๐
๐ + ๐๐๐โ
๐
๐ + (๐๐ + ๐)๐] โ
๐
๐๐
โ
๐=๐
}โ
๐
๐ ๐ =
=๐
๐โซ {
๐
๐๐โ[
๐
๐ +๐๐๐
โ๐
๐ +๐๐ +
๐๐๐
]
โ
๐=๐
โ๐
๐๐}๐ ๐
โ
๐
=
=๐
๐โซ {
๐
๐๐[๐ฟ(
๐
๐+๐
๐๐) โ๐ฟ(
๐
๐๐)] โ
๐
๐๐} ๐ ๐
โ
๐
=
=๐
๐[๐ฅ๐จ๐ (
๐ช(๐๐+
๐[๐๐]
)
๐ช (๐[๐๐]
)) โ
๐
๐๐ฅ๐จ๐ ๐]
๐
โ
=๐
๐[๐
๐๐ฅ๐จ๐ (
๐
๐๐) โ ๐ฅ๐จ๐ (
๐ช ([๐ + ๐][๐๐]
)
๐ช (๐[๐๐]
))]
www.ssmrmh.ro
84 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
Therefore,
๐ = โซ๐ญ๐๐งโ๐(๐๐)
๐ฌ๐ข๐ง๐ก(๐๐)
โ
๐
๐ ๐ =๐
๐(๐ฅ๐จ๐ (
๐ช (๐๐๐ ๐)
๐ช (๐๐ +
๐๐๐ ๐)
) +๐
๐๐ฅ๐จ๐ (
๐
๐๐ ๐))
Solution 2 by Abdul Mukhtar-Nigeria
๐๐๐ญ ๐ฐ(๐, ๐) = โซ๐
๐ฌ๐ข๐ง๐ก(๐๐)๐ญ๐๐งโ๐ (
๐
๐)๐ ๐
โ
๐
Using Feynmann parametrization technique for integrating ๐ฌ๐ข๐ง๐
๐ , we have:
๐ฐ(๐, ๐) = โซ๐
๐ฌ๐ข๐ง๐ก(๐๐)
โ
๐
โซ๐ฌ๐ข๐ง ๐๐
๐
โ
๐
๐โ๐๐๐ ๐๐ ๐ =
= โซ๐โ๐๐
๐
โ
๐
โซ๐ฌ๐ข๐ง ๐๐
๐ฌ๐ข๐ง๐ก(๐๐)
โ
๐
๐ ๐๐ ๐ = โซ ๐โ๐๐ ๐ฌ๐ข๐ง ๐๐๐ ๐โ
๐
=๐
๐๐ + ๐๐; (โต
๐
๐ฌ๐ข๐ง๐ก ๐=
๐๐โ๐
๐ โ ๐โ๐๐)
โซ๐ฌ๐ข๐ง ๐๐
๐ฌ๐ข๐ง๐ก(๐๐)๐ ๐
โ
๐
= ๐โโซ ๐โ๐(๐๐๐+๐) ๐ฌ๐ข๐ง ๐๐๐ ๐โ
๐
โ
๐=๐
= ๐๐โ๐
๐๐ + (๐๐๐ + ๐)๐
โ
๐=๐
Again, using Weierstrass product of ๐๐จ๐ฌ๐ก ๐:
๐๐จ๐ฌ๐ก (๐ ๐
๐) =โ(๐+
๐๐
(๐๐๐+ ๐)๐)
๐โฅ๐
Taking logarithmic differention w.r.t. ๐, we get:
๐
๐๐๐ญ๐๐ง๐ก (
๐ ๐
๐๐) = ๐๐โ
๐
๐๐ + (๐๐๐ + ๐)๐โฅ๐
๐ฐ(๐, ๐) =๐
๐๐โซ
๐โ๐๐
๐โซ
๐ฌ๐ข๐ง ๐๐
๐ฌ๐ข๐ง๐ก(๐๐)๐ ๐๐ ๐
โ
๐
โ
๐
=๐
๐๐โซ
๐โ๐๐
๐๐ญ๐๐ง๐ก (
๐ ๐
๐๐)
โ
๐
๐ ๐
Now, using Leibniz rule w.r.t. ๐, we get
๐ฐ(๐โฒ, ๐) = โ๐
๐๐โซ ๐โ๐๐ ๐ญ๐๐ง๐ก (
๐ ๐
๐๐)
โ
๐
๐ ๐ = โ๐
๐๐โซ
๐ โ ๐๐ ๐๐
๐ + ๐๐ ๐๐
๐โ๐๐โ
๐
๐ ๐ =
= โ๐
๐๐โซ [โ๐ + ๐โ(โ๐)๐๐
๐ ๐๐๐
๐โฅ๐
] ๐โ๐๐โ
๐
๐ ๐ =
=๐
๐๐โ ๐ โ(โ๐)๐
๐
๐๐ + ๐๐โฅ๐
=๐
๐๐๐โ๐
๐ [๐(
๐ + ๐
๐๐ ) โ ๐(
๐
๐๐ )]
www.ssmrmh.ro
85 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
Therefore,
๐ = โซ๐ญ๐๐งโ๐(๐๐)
๐ฌ๐ข๐ง๐ก(๐๐)
โ
๐
๐ ๐ =๐
๐(๐ฅ๐จ๐ (
๐ช (๐๐๐ ๐)
๐ช (๐๐ +
๐๐๐ ๐)
) +๐
๐๐ฅ๐จ๐ (
๐
๐๐ ๐))
Solution 3 by Syed Shahabudeen-India
๐ = โซ๐ญ๐๐งโ๐(๐๐)
๐ฌ๐ข๐ง๐ก(๐๐)
โ
๐
๐ ๐ = โซ๐
๐ฌ๐ข๐ง๐ก(๐๐)๐ณ {๐ฌ๐ข๐ง(๐๐)
๐}๐=๐๐
โ
๐
๐ ๐ =
= โซ๐โ๐๐
๐
โ
๐
โซ๐ฌ๐ข๐ง(๐๐)๐๐๐
๐๐๐๐ โ ๐
โ
๐
๐ ๐๐ ๐ = โซ๐โ๐๐
๐
โ
๐
โซ ๐ฌ๐ข๐ง(๐๐)๐โ๐๐โ
๐
โ๐โ๐๐๐๐โ
๐=๐
๐ ๐๐ ๐ =
= โซ๐โ๐๐
๐โโซ ๐(โ๐๐๐+๐)๐ ๐ฌ๐ข๐ง(๐๐)
โ
๐
โ
๐=๐
๐ ๐๐ ๐โ
๐
= โซ๐โ๐๐
๐โ๐ณ{๐ฌ๐ข๐ง(๐๐)}๐=(๐๐๐+๐)
โ
๐=๐
โ
๐
๐ ๐ =
= โซ๐โ๐๐
๐โ
๐
(๐๐๐ + ๐)๐ + ๐๐
โ
๐=๐
๐ ๐โ
๐
= โซ ๐โ๐๐โ
๐
(๐๐๐ + ๐)๐ + ๐๐
โ
๐=๐
๐ ๐โ
๐
โ๐
(๐๐๐ + ๐)๐ + ๐๐
โ
๐=๐
=๐
๐๐โ
๐
(๐๐ + ๐)๐ +๐๐
๐๐
โ
๐=๐
=๐
๐๐๐๐ญ๐๐ง๐ก (
๐ ๐
๐๐)
๐ =๐
๐๐โซ ๐โ
๐๐๐ญ๐๐ง๐ก (
๐ ๐๐๐)
๐
โ
๐
๐ ๐ = (๐
๐๐)๐
โซ ๐โ๐๐๐ญ๐๐ง๐ก (
๐ ๐๐๐)
๐ ๐๐๐
๐ ๐โ
๐
=๐=๐ ๐๐๐
=๐
๐๐โซ ๐โ
๐๐๐ ๐๐
โ
๐
๐ญ๐๐ง๐ก๐
๐๐ ๐ =
๐
๐๐๐ณ {๐ญ๐๐ง๐ก๐
๐}๐=๐๐๐ ๐
It is well-know that:
๐ณ {๐ญ๐๐ง๐ก ๐
๐}๐=๐๐๐ ๐
= ๐ ๐ฅ๐จ๐ (โ๐๐ช (
๐๐)
๐๐ช(๐ + ๐๐ )
) โ
๐ =๐
๐๐ฅ๐จ๐
(
โ๐๐๐ ๐๐ช (
๐๐๐ ๐)
๐๐ช(
๐๐ ๐ + ๐
๐)
)
=๐
๐(๐ฅ๐จ๐ (
๐ช (๐๐๐ ๐
)
๐ช(๐๐ +
๐๐๐ ๐)
) +๐
๐๐ฅ๐จ๐ (
๐
๐๐ ๐)
www.ssmrmh.ro
86 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
Therefore,
๐ = โซ๐ญ๐๐งโ๐(๐๐)
๐ฌ๐ข๐ง๐ก(๐๐)
โ
๐
๐ ๐ =๐
๐(๐ฅ๐จ๐ (
๐ช (๐๐๐ ๐)
๐ช (๐๐ +
๐๐๐ ๐)
) +๐
๐๐ฅ๐จ๐ (
๐
๐๐ ๐))
1559. If ๐
โ๐๐< ๐ โค ๐ then find:
๐(๐, ๐) = โซ ๐ญ๐๐งโ๐ (๐๐๐๐ โ ๐๐๐
๐๐๐๐ โ ๐)
๐
๐
๐ ๐
Proposed by Daniel Sitaru-Romania
Solution by Rana Ranino-Setif-Algerie
๐(๐, ๐) = โซ ๐ญ๐๐งโ๐ (๐๐๐๐ โ ๐๐๐
๐๐๐๐ โ ๐)
๐
๐
๐ ๐ = โซ ๐ญ๐๐งโ๐ (๐๐๐ โ ๐๐๐๐
๐ โ ๐๐๐๐)
๐
๐
๐ ๐
๐ญ๐๐งโ๐ (๐๐๐ โ ๐๐๐๐
๐ โ ๐๐๐๐) = ๐ญ๐๐งโ๐ (
๐๐ + ๐๐(๐ โ ๐๐๐)
๐ โ ๐๐๐๐) = ๐ญ๐๐งโ๐ (
๐๐๐โ ๐๐๐
+ ๐๐
๐ โ๐๐๐๐
๐ โ ๐๐๐
)
๐ญ๐๐ ๐ โฅ๐
โ๐๐โ
๐๐๐๐
๐ โ ๐๐๐โฅ ๐ โ ๐ญ๐๐งโ๐ (
๐๐๐ โ ๐๐๐๐
๐ โ ๐๐๐๐) =
= ๐ญ๐๐งโ๐ (๐๐
๐ โ ๐๐๐) + ๐ญ๐๐งโ๐(๐๐) โ ๐
๐ญ๐๐งโ๐ (๐๐
๐ โ ๐๐๐) = ๐ญ๐๐งโ๐ (
๐๐ + ๐๐
๐ โ ๐๐๐) = ๐ญ๐๐งโ๐(๐) + ๐ญ๐๐งโ๐(๐๐)
๐ญ๐๐งโ๐ (๐๐๐ โ ๐๐๐๐
๐ โ ๐๐๐๐) = ๐ญ๐๐งโ๐(๐๐) + ๐ญ๐๐งโ๐(๐๐) + ๐ญ๐๐งโ๐(๐๐) โ ๐
๐(๐, ๐) = โซ (โ๐ + ๐ญ๐๐งโ(๐๐) + ๐ญ๐๐งโ๐(๐๐) + ๐ญ๐๐งโ๐(๐๐))๐
๐
๐ ๐ =
= [โ๐ ๐ + ๐ ๐ญ๐๐งโ๐(๐๐) + ๐ ๐ญ๐๐งโ๐(๐๐) + ๐ ๐ญ๐๐งโ๐(๐๐) โ๐
๐๐ฅ๐จ๐ (๐๐๐ + ๐) โ
๐
๐(๐๐๐ + ๐)
โ๐
๐๐(๐๐๐๐ + ๐)]
๐
๐
=
= [๐ ๐ญ๐๐งโ๐ (๐๐๐๐ โ ๐๐๐
๐๐๐๐ โ ๐) โ
๐
๐๐ฅ๐จ๐ (๐๐๐ + ๐) โ
๐
๐(๐๐๐ + ๐) โ
๐
๐๐(๐๐๐๐ + ๐)]
๐
๐
www.ssmrmh.ro
87 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
Therefore,
๐(๐, ๐) = ๐ ๐ญ๐๐งโ๐ (๐๐๐๐ โ ๐๐๐
๐๐๐๐ โ ๐) โ ๐ ๐ญ๐๐งโ๐ (
๐๐๐๐ โ ๐๐๐
๐๐๐๐ โ ๐) โ
๐
๐๐ฅ๐จ๐ (
๐๐๐ + ๐
๐๐๐ + ๐) โ
โ๐
๐๐ฅ๐จ๐ (
๐๐๐ + ๐
๐๐๐ + ๐) โ
๐
๐๐๐ฅ๐จ๐ (
๐๐๐๐ + ๐
๐๐๐๐ + ๐)
1560. If ๐ < ๐ โค ๐ <๐
๐ then find:
๐(๐, ๐) = โซ(๐ + ๐ญ๐๐ง๐ ๐)๐
๐๐จ๐ฌ๐ ๐ โ ๐ ๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐
๐
๐
๐ ๐
Proposed by Daniel Sitaru-Romania
Solution 1 by Asmat Qatea-Afghanistan
๐(๐, ๐) = โซ(๐ + ๐ญ๐๐ง๐ ๐)๐
๐๐จ๐ฌ๐ ๐ โ ๐๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐
๐
๐
๐ ๐ = โซ(๐ + ๐ญ๐๐ง๐ ๐)๐
๐๐จ๐ฌ๐ ๐ (๐ + ๐ ๐ญ๐๐ง๐ ๐)
๐
๐
๐ ๐ โ๐ญ๐๐ง ๐=๐
๐ = โซ(๐ + ๐๐)๐
๐ โ ๐๐๐๐ ๐ = โซ
๐ + ๐๐๐ + ๐๐
๐ โ ๐๐๐๐ ๐ = โซ(โ
๐
๐๐๐ โ
๐
๐+
๐๐๐
๐ โ ๐๐๐)๐ ๐ =
= โ๐
๐๐๐ โ
๐
๐๐ +๐๐
๐๐โซ
๐
๐๐โ ๐๐
๐ ๐ = โ๐
๐๐๐ โ
๐
๐๐ +
๐๐
๐๐โ โ๐
๐๐ฅ๐จ๐ (
๐
โ๐+ ๐
๐
โ๐โ ๐)+ ๐ช =
= โ๐
๐๐๐ โ
๐
๐๐ +
๐๐โ๐
๐๐โ ๐
๐๐ฅ๐จ๐ (
๐ + โ๐๐
๐ โ โ๐๐) + ๐ช =
= โ๐
๐๐๐ โ
๐
๐๐ +
๐๐โ๐
๐๐๐ญ๐๐ง๐กโ๐(โ๐๐) + ๐ช
๐(๐, ๐) = [โ๐
๐๐ญ๐๐ง๐ ๐ โ
๐
๐๐ญ๐๐ง๐ +
๐๐โ๐
๐๐๐ญ๐๐ง๐กโ๐(โ๐ ๐ญ๐๐ง ๐)]
๐
๐
๐(๐, ๐) = โ๐
๐๐ญ๐๐ง๐ ๐ โ
๐
๐๐ญ๐๐ง ๐ +
๐๐โ๐
๐๐๐ญ๐๐ง๐กโ๐(โ๐ ๐ญ๐๐ง ๐) +
๐
๐๐ญ๐๐ง๐ ๐ +
๐
๐๐ญ๐๐ง๐ โ
โ๐๐โ๐
๐๐๐ญ๐๐ง๐กโ๐(โ๐ ๐ญ๐๐ง ๐)
www.ssmrmh.ro
88 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
Solution 2 by Remus Florin Stanca-Romania
๐(๐, ๐) = โซ(๐ + ๐ญ๐๐ง๐ ๐)๐
๐๐จ๐ฌ๐ ๐ โ ๐๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐
๐
๐
๐ ๐ = โซ๐
๐๐จ๐ฌ๐ ๐โ (๐ + ๐ญ๐๐ง๐ ๐)๐
๐ โ ๐ ๐ญ๐๐ง๐ ๐
๐
๐
๐ ๐ =๐ญ๐๐ง ๐=๐
= โซ(๐ + ๐๐)๐
๐ โ ๐๐๐
๐ญ๐๐ง ๐
๐ญ๐๐ง ๐
๐ ๐ = โซ๐ + ๐๐ + ๐๐๐
๐ โ ๐๐๐
๐ญ๐๐ง ๐
๐ญ๐๐ง ๐
๐ ๐ =๐
๐โซ
๐๐๐ + ๐๐๐ + ๐
๐ โ ๐๐๐
๐ญ๐๐ง ๐
๐ญ๐๐ง ๐
๐ ๐ =
=๐
๐โซ
๐๐๐ โ ๐๐ + ๐๐๐ + ๐
๐ โ ๐๐๐
๐ญ๐๐ง ๐
๐ญ๐๐ง ๐
๐ ๐ =๐
๐โซ (โ๐๐ +
๐๐๐ + ๐
๐ โ ๐๐๐)๐ ๐
๐ญ๐๐ง ๐
๐ญ๐๐ง ๐
=
=๐
๐โซ (โ๐๐ +
๐
๐(โ๐ +
๐๐
๐ โ ๐๐๐))
๐ญ๐๐ง ๐
๐ญ๐๐ง ๐
๐ ๐ = [โ๐๐
๐โ๐๐
๐โ๐๐
๐๐โ โ๐
๐๐ฅ๐จ๐ |
๐ โ๐
โ๐
๐ +๐
โ๐
|]
๐ญ๐๐ง ๐
๐ญ๐๐ง ๐
๐(๐, ๐) = โ๐ญ๐๐ง๐ ๐
๐โ๐ ๐ญ๐๐ง ๐
๐โ๐โ๐
๐๐๐ฅ๐จ๐ |
โ๐ ๐ญ๐๐ง ๐ โ ๐
โ๐ ๐ญ๐๐ง ๐ + ๐| +๐ญ๐๐ง๐ ๐
๐
+๐ ๐ญ๐๐ง๐
๐๐ฅ๐จ๐ |
โ๐ ๐ญ๐๐ง ๐ โ ๐
โ๐ ๐ญ๐๐ง ๐ + ๐|
Solution 3 by Ghuiam Shah Naseri-Afghanistan
๐(๐, ๐) = โซ(๐ + ๐ญ๐๐ง๐ ๐)๐
๐๐จ๐ฌ๐ ๐ โ ๐๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐
๐
๐
๐ ๐ = โซ๐
๐๐จ๐ฌ๐ ๐โ (๐ + ๐ญ๐๐ง๐ ๐)๐
๐ โ ๐ ๐ญ๐๐ง๐ ๐
๐
๐
๐ ๐ โ๐ญ๐๐ง ๐=๐
๐ = โซ(๐ + ๐๐)๐
๐ โ ๐๐๐๐ ๐ = โซ
๐๐ + ๐๐๐ + ๐
โ๐๐๐ + ๐๐ ๐
= โซ(๐โ๐
๐๐โ
๐
๐ +โ๐๐
โ๐โ๐
๐๐โ
๐
๐ โโ๐๐
โ๐
๐๐๐ โ
๐
๐)๐ ๐ =
= โซ๐โ๐
๐๐โ
๐
๐ +โ๐๐
๐ ๐ โโซ๐โ๐
๐๐โ
๐
๐ โโ๐๐
๐ ๐ โโซ๐
๐๐๐๐ ๐ โ โซ
๐
๐๐ ๐ =
=๐โ๐
๐๐๐ฅ๐จ๐ (๐ +
โ๐
๐) โ
๐โ๐
๐๐ฅ๐จ๐ (๐ โ
โ๐
๐) โ
๐
๐๐๐ โ
๐
๐๐
๐(๐, ๐) = [๐โ๐
๐๐๐ฅ๐จ๐ (๐ญ๐๐ง ๐ +
โ๐
๐) โ
๐โ๐
๐๐ฅ๐จ๐ (๐ญ๐๐ง๐ โ
โ๐
๐) โ
๐
๐๐ญ๐๐ง๐ ๐ โ
๐
๐๐ญ๐๐ง๐]
๐
๐
=
www.ssmrmh.ro
89 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
=๐โ๐
๐๐๐ฅ๐จ๐ (๐ญ๐๐ง๐ +
โ๐
๐) โ
๐โ๐
๐๐ฅ๐จ๐ (๐ญ๐๐ง๐ โ
โ๐
๐) โ
๐
๐๐ญ๐๐ง๐ ๐ โ
๐
๐๐ญ๐๐ง ๐ โ
โ(๐โ๐
๐๐๐ฅ๐จ๐ (๐ญ๐๐ง ๐ +
โ๐
๐) โ
๐โ๐
๐๐ฅ๐จ๐ (๐ญ๐๐ง๐ โ
โ๐
๐) โ
๐
๐๐ญ๐๐ง๐ ๐ โ
๐
๐๐ญ๐๐ง ๐) =
=๐โ๐
๐๐๐ฅ๐จ๐ (
๐ญ๐๐ง๐ +โ๐๐
๐ญ๐๐ง๐ โโ๐๐
) โ๐
๐๐ญ๐๐ง๐ ๐ โ
๐
๐๐ญ๐๐ง ๐ โ
๐โ๐
๐๐๐ฅ๐จ๐ (
๐ญ๐๐ง๐ +โ๐๐
๐ญ๐๐ง๐ โโ๐๐
)+๐
๐๐ญ๐๐ง๐ ๐
+๐
๐๐ญ๐๐ง๐
1561. Find a closed form:
๐ = โซ ๐โ๐ โ ๐โ๐๐ โ ๐ฌ๐ข๐ง๐(๐๐)โ
๐
๐ ๐
Proposed by Abdul Mukhtar-Nigeria
Solution 1 by Ty Halpen-Florida-USA
We will parametrize the integral:
๐ฐ(๐) = โซ ๐โ๐ โ ๐โ๐๐ โ ๐ฌ๐ข๐ง๐(๐๐)โ
๐
๐ ๐
๐๐๐ฐ(๐)
๐๐๐= โซ ๐โ๐๐ ๐ฌ๐ข๐ง๐(๐๐)๐ ๐
โ
๐
=
= [๐โ๐๐(๐๐ ๐๐จ๐ฌ(๐๐) โ ๐๐ โ ๐๐ ๐ฌ๐ข๐ง(๐๐) โ ๐๐)
๐๐(๐๐ + ๐๐)]๐=๐
๐=โ
=๐
๐(๐๐ + ๐๐)
๐๐ฐ(๐)
๐๐= โซ
๐
๐(๐๐ + ๐๐)๐ ๐ =
๐
๐๐ฅ๐จ๐ ๐ โ
๐
๐๐ฅ๐จ๐ (๐๐ + ๐๐) + ๐ช๐
๐ฐ(๐) = โซ(๐
๐๐ฅ๐จ๐ ๐ โ
๐
๐๐ฅ๐จ๐ (๐๐ + ๐๐) + ๐ช๐)๐ ๐ =
๐ฐ๐ฉ๐ท
= โ๐
๐๐ฅ๐จ๐ (๐๐ + ๐๐) +
๐
๐๐ฅ๐จ๐ ๐ โ ๐ ๐ญ๐๐งโ๐ (
๐
๐) + ๐๐ช๐ + ๐ช๐
Now, notice that ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐ฐ(๐) = ๐ and ๐ฐ(๐) = ๐ from the famous Dirichlet integral:
๐ฐ(๐) = ๐ = ๐ช๐
๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐ฐ(๐) = ๐ = โ๐ (๐
๐) + ๐๐ช๐ + ๐ โ ๐ช๐ = ๐
www.ssmrmh.ro
90 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
Then,
๐ฐ(๐) =๐
๐โ ๐ฅ๐จ๐ ๐
Solution 2 by Rana Ranino-Setif-Algerie
๐ = โซ ๐โ๐ โ ๐โ๐๐ โ ๐ฌ๐ข๐ง๐(๐๐)โ
๐
๐ ๐ = โซ๐โ๐๐ ๐ฌ๐ข๐ง๐(๐๐)
๐๐๐ ๐
โ
๐
=
= โซ ๐โ๐๐ ๐ฌ๐ข๐ง๐(๐๐)(โซ ๐๐โ๐๐๐ ๐โ
๐
)๐ ๐โ
๐
= โซ โซ ๐ ๐ฌ๐ข๐ง๐(๐๐)๐โ(๐+๐)๐โ
๐
๐ ๐๐ ๐โ
๐
=
=๐
๐โซ โซ ๐(๐ โ ๐๐จ๐ฌ(๐๐))๐โ(๐+๐)๐
โ
๐
โ
๐
๐ ๐๐ ๐ =๐
๐โซ (
๐
๐ + ๐โ
๐(๐ + ๐)
(๐ + ๐)๐ + ๐๐)
โ
๐
๐ ๐ =
= โซ (๐๐ + ๐
๐๐ + ๐๐ + ๐๐โ
๐
๐ + ๐+
๐
(๐ + ๐)๐ + ๐๐)
โ
๐
๐ ๐ =
= [๐ฅ๐จ๐ (๐๐ + ๐๐ + ๐๐
๐๐ + ๐๐ + ๐๐) + ๐ ๐ญ๐๐งโ๐ (
๐ + ๐
๐)]๐
โ
=๐
๐โ ๐ฅ๐จ๐ ๐
Solution 3 by Yen Tung Chung-Taichung-Taiwan
๐ = โซ ๐โ๐ โ ๐โ๐๐ โ ๐ฌ๐ข๐ง๐(๐๐)โ
๐
๐ ๐ = โซ ๐โ๐ โ ๐โ๐๐ โ ๐ โ ๐๐จ๐ฌ(๐๐)
๐
โ
๐
๐ ๐ =
=๐
๐โซ ๐โ๐๐ โ
๐ โ ๐๐จ๐ฌ(๐๐)
๐๐
โ
๐
๐ ๐ =๐
๐๐ณ(๐ โ ๐๐จ๐ฌ(๐๐)
๐๐)|๐=๐
=
=๐
๐(โซ โซ ๐ณ(๐ โ ๐๐จ๐ฌ(๐๐))๐ ๐๐ ๐
โ
๐
โ
๐
)|๐=๐
=๐
๐(โซ โซ (
๐
๐โ
๐
๐๐ + ๐๐)๐ ๐๐ ๐
โ
๐
โ
๐
)|๐=๐
=
=๐
๐(โซ (๐ฅ๐จ๐ ๐ โ
๐
๐๐ฅ๐จ๐ (๐๐ + ๐๐))
๐
โโ
๐
)|๐=๐
=๐
๐(โซ (
๐
๐๐ฅ๐จ๐ (๐๐ + ๐๐) โ ๐ฅ๐จ๐ ๐)๐ ๐
โ
๐
)|๐=๐
=
=๐
๐((๐
๐๐ ๐ฅ๐จ๐ (๐๐ + ๐๐) + ๐ ๐ญ๐๐งโ๐ (
๐
๐) โ ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐)|
๐
โ
)|๐=๐
=
=๐
๐(๐๐ โ (
๐
๐๐ ๐ฅ๐จ๐ (๐๐ + ๐๐) + ๐ ๐ญ๐๐งโ๐ (
๐
๐) โ ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐)|
๐=๐=
=๐
๐(๐๐ โ (๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ + ๐ โ ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐)) =
๐
๐(๐ โ ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐) =
๐
๐โ ๐ฅ๐จ๐ ๐.
Where,
www.ssmrmh.ro
91 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
๐) โซ ๐ฅ๐จ๐ (๐๐ + ๐๐)๐ ๐ = ๐ ๐ฅ๐จ๐ (๐๐ + ๐๐) โ ๐โซ๐๐
๐๐ + ๐๐๐ ๐ =
๐=๐ฅ๐จ๐ (๐๐+๐๐)
= ๐ ๐ฅ๐จ๐ (๐๐ + ๐๐) โ ๐โซ(๐ โ๐๐
๐๐ + ๐๐)๐ ๐ = ๐ ๐ฅ๐จ๐ (๐๐ + ๐๐) โ ๐๐ + ๐ ๐ญ๐๐งโ๐ (
๐
๐) + ๐ช
๐๐) โซ ๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐ ๐ = ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ โ ๐ + ๐ช.
1562. Find a closed form:
๐(๐) = โซ๐โ๐
(๐๐ + ๐)(๐ + ๐๐๐๐)
โ
๐
๐ ๐, ๐ > ๐
Proposed by Vasile Mircea Popa-Romania
Solution by Rana Ranino-Setif-Algerie
๐(๐) = โซ๐โ๐
(๐๐ + ๐)(๐ + ๐๐๐๐)
โ
๐
๐ ๐ = โซโ๐
(๐ + ๐๐)(๐๐ + ๐๐)๐ ๐
โ
๐
=
=๐
๐๐ โ ๐(โซ
โ๐
๐ + ๐๐
โ
๐
๐ ๐โ
๐จ
โ โซโ๐
๐๐ + ๐๐
โ
๐
๐ ๐โ
๐ฉ
)
๐จ = โซโ๐
๐ + ๐๐
โ
๐
๐ ๐ =๐
๐๐ฌ๐ข๐ง (๐๐ ๐ )
=๐
โ๐
๐ฉ =๐=๐๐ ๐
โ๐โซ
โ๐
๐ + ๐๐
โ
๐
๐ ๐ =๐
โ๐๐
๐ =๐
(๐๐ โ ๐)โ๐(๐ โ
๐
โ๐) =
๐
(โ๐ + ๐)(๐ + ๐)โ๐๐
Therefore,
๐(๐) = โซ๐โ๐
(๐๐ + ๐)(๐ + ๐๐๐๐)
โ
๐
๐ ๐ =๐
(โ๐ + ๐)(๐ + ๐)โ๐๐
1563. If ๐ < ๐ โค ๐ <๐
๐ then find:
๐(๐, ๐) = โซ โซ(๐ + ๐ญ๐๐ง ๐)(๐ + ๐ญ๐๐ง ๐) (๐ + ๐ญ๐๐ง (
๐ ๐โ ๐ โ ๐))
๐ + ๐ญ๐๐ง ๐ โ ๐ญ๐๐ง ๐ โ ๐ญ๐๐ง (๐ ๐โ ๐ โ ๐)
๐ ๐๐
๐
๐ ๐๐
๐
Proposed by Daniel Sitaru-Romania
www.ssmrmh.ro
92 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
Solution 1 by Kamel Gandouli Rezgui-Tunisia
๐ญ๐๐ง (๐
๐โ ๐ โ ๐) =
๐ โ ๐ญ๐๐ง(๐ + ๐)
๐ + ๐ญ๐๐ง(๐ + ๐)โ ๐ + ๐ญ๐๐ง (
๐
๐โ ๐ โ ๐) =
๐
๐ + ๐ญ๐๐ง(๐ + ๐)
(๐ + ๐ญ๐๐ง(๐ + ๐)) (๐ญ๐๐ง(๐
๐โ (๐ + ๐)) = ๐ โ ๐ญ๐๐ง(๐ + ๐)
= [๐ + ๐ญ๐๐ง(๐ + ๐)] [๐ + ๐ญ๐๐ง ๐ ๐ญ๐๐ง ๐ ๐ญ๐๐ง (๐
๐โ (๐ + ๐))] =
= ๐ + ๐ญ๐๐ง๐ ๐ญ๐๐ง๐ + ๐ญ๐๐ง(๐ + ๐) โ ๐ญ๐๐ง๐ ๐ญ๐๐ง ๐ ๐ญ๐๐ง(๐ + ๐) =
= ๐ + ๐ญ๐๐ง ๐ ๐ญ๐๐ง๐ + ๐ญ๐๐ง ๐ + ๐ญ๐๐ง ๐
Hence,
(๐ + ๐ญ๐๐ง ๐)(๐ + ๐ญ๐๐ง ๐) (๐ + ๐ญ๐๐ง (๐ ๐ โ ๐ โ ๐))
๐ + ๐ญ๐๐ง๐ โ ๐ญ๐๐ง ๐ โ ๐ญ๐๐ง (๐ ๐ โ ๐ โ ๐)
=๐(๐ + ๐ญ๐๐ง ๐)(๐ + ๐ญ๐๐ง ๐)
๐ + ๐ญ๐๐ง ๐ ๐ญ๐๐ง ๐ ๐ญ๐๐ง (๐ ๐ โ
(๐ + ๐))=
=๐(๐ + ๐ญ๐๐ง ๐)(๐ + ๐ญ๐๐ง๐)
๐ + ๐ญ๐๐ง ๐ ๐ญ๐๐ง ๐ + ๐ญ๐๐ง ๐ ๐ญ๐๐ง ๐=๐(๐ + ๐ญ๐๐ง ๐)(๐ + ๐ญ๐๐ง๐)
(๐ + ๐ญ๐๐ง ๐)(๐ + ๐ญ๐๐ง ๐)= ๐
Therefore,
๐(๐, ๐) = โซ โซ(๐ + ๐ญ๐๐ง ๐)(๐ + ๐ญ๐๐ง ๐) (๐ + ๐ญ๐๐ง (
๐ ๐ โ ๐ โ ๐))
๐ + ๐ญ๐๐ง ๐ โ ๐ญ๐๐ง๐ โ ๐ญ๐๐ง (๐ ๐ โ ๐ โ ๐)
๐ ๐๐
๐
๐ ๐๐
๐
= ๐(๐ โ ๐)๐
Solution 2 by Remus Florin Stanca-Romania
(๐ + ๐ญ๐๐ง ๐)(๐ + ๐ญ๐๐ง๐) (๐ + ๐ญ๐๐ง (๐ ๐ โ ๐ โ ๐))
๐ + ๐ญ๐๐ง๐ โ ๐ญ๐๐ง๐ โ ๐ญ๐๐ง (๐ ๐ โ ๐ โ ๐)
=
=(๐ + ๐ญ๐๐ง๐)(๐ + ๐ญ๐๐ง ๐) โ
๐ โ ๐ ๐ญ๐๐ง ๐ ๐ญ๐๐ง ๐๐ โ ๐ญ๐๐ง ๐ ๐ญ๐๐ง ๐ + ๐ญ๐๐ง๐ + ๐ญ๐๐ง๐
๐ + ๐ญ๐๐ง ๐ ๐ญ๐๐ง ๐ โ ๐ โ ๐ญ๐๐ง(๐ + ๐)๐ + ๐ญ๐๐ง(๐ + ๐)
=
= ๐ โ (๐ + ๐ญ๐๐ง ๐)(๐ + ๐ญ๐๐ง ๐) โ
๐ โ ๐ญ๐๐ง ๐ ๐ญ๐๐ง ๐๐ โ ๐ญ๐๐ง๐ ๐ญ๐๐ง ๐ + ๐ญ๐๐ง๐ + ๐ญ๐๐ง ๐
๐ + ๐ญ๐๐ง ๐ ๐ญ๐๐ง ๐ โ ๐ โ
๐ญ๐๐ง๐ + ๐ญ๐๐ง๐๐ โ ๐ญ๐๐ง ๐ ๐ญ๐๐ง ๐
๐ +๐ญ๐๐ง๐ + ๐ญ๐๐ง๐๐ โ ๐ญ๐๐ง ๐ ๐ญ๐๐ง ๐
=
www.ssmrmh.ro
93 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
= ๐ โ (๐ + ๐ญ๐๐ง ๐)(๐ + ๐ญ๐๐ง ๐)(๐ โ ๐ญ๐๐ง ๐ ๐ญ๐๐ง ๐)
๐ โ ๐ญ๐๐ง ๐ ๐ญ๐๐ง ๐ + ๐ญ๐๐ง ๐ ๐ญ๐๐ง ๐ โ ๐ญ๐๐ง๐ ๐ ๐ญ๐๐ง๐ ๐ โ ๐ญ๐๐ง๐ ๐ ๐ญ๐๐ง ๐ โ ๐ญ๐๐ง ๐ ๐ญ๐๐ง๐ ๐=
= ๐ โ ๐ โ ๐ญ๐๐ง ๐ ๐ญ๐๐ง๐ + ๐ญ๐๐ง ๐ ๐ญ๐๐ง๐ ๐ + ๐ญ๐๐ง ๐ โ ๐ญ๐๐ง๐ ๐ ๐ญ๐๐ง๐ โ ๐ญ๐๐ง๐ ๐ ๐ญ๐๐ง๐ ๐
๐ โ ๐ญ๐๐ง ๐ ๐ญ๐๐ง๐ + ๐ญ๐๐ง ๐ ๐ญ๐๐ง๐ ๐ + ๐ญ๐๐ง ๐ โ ๐ญ๐๐ง๐ ๐ ๐ญ๐๐ง๐ โ ๐ญ๐๐ง๐ ๐ ๐ญ๐๐ง๐ ๐= ๐
Therefore,
๐(๐, ๐) = โซ โซ(๐ + ๐ญ๐๐ง ๐)(๐ + ๐ญ๐๐ง ๐) (๐ + ๐ญ๐๐ง (
๐ ๐ โ ๐ โ ๐))
๐ + ๐ญ๐๐ง ๐ โ ๐ญ๐๐ง๐ โ ๐ญ๐๐ง (๐ ๐ โ ๐ โ ๐)
๐ ๐๐
๐
๐ ๐๐
๐
= ๐(๐ โ ๐)๐
1564.
๐จ = โซ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ + ๐๐ + ๐๐๐ + ๐๐๐๐ ๐
โ
๐
, ๐ฉ = โซ๐ ๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐)
๐ + ๐๐๐ ๐
๐
๐
Prove that:
๐ = ๐จ+ ๐ฉ =๐ ๐
๐๐โ๐
๐๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐ โ
๐
๐๐ฅ๐จ๐ ๐น and hence find the value of ๐น.
Proposed by Ajetunmobi Abdulqoyyum-Nigeria
Solution by Rana Ranino-Setif-Algerie
๐จ = โซ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ + ๐๐ + ๐๐๐ + ๐๐๐๐ ๐
โ
๐
=๐
๐(โซ
๐ฅ๐จ๐ ๐
๐๐ + ๐๐ ๐
โ
๐โ ๐จ๐
+โซ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐๐๐ + ๐๐ ๐
โ
๐โ ๐จ๐
โโซ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐๐๐ + ๐๐ ๐
โ
๐โ ๐จ๐
)
๐จ๐ = โซ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐๐ + ๐๐ ๐
โ
๐
=๐
๐๐{โซ
๐๐โ๐
๐๐ + ๐๐ ๐
โ
๐
}๐=๐
=๐
๐๐{๐ผ(๐)๐ช(๐)}๐=๐ =
= ๐ผโฒ(๐) + ๐ผ(๐)๐ช(๐)๐(๐) = โ๐
๐๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐
๐จ๐ =๐
๐โซ
๐ฅ๐จ๐ ๐ โ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐๐ + ๐๐ ๐
โ
๐
=๐
๐โซ
๐ฅ๐จ๐ ๐
๐๐ + ๐๐ ๐
โ
๐โ ๐จ๐
โ๐
๐๐ฅ๐จ๐ ๐โซ
๐ ๐
๐๐ + ๐
โ
๐โ ๐ผ(๐)=๐ฅ๐จ๐ ๐
= โ๐
๐๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐
๐จ๐ = โซ๐โ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ + ๐โ๐๐๐ ๐
โ
๐
=๐=๐โ๐
โซ๐ฅ๐จ๐ (๐ฅ๐จ๐ (
๐๐))
๐ + ๐๐๐ ๐
๐
๐
Using Malmstenโs integral:
www.ssmrmh.ro
94 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
๐ฐ(๐) = โซ๐ฅ๐จ๐ (๐ฅ๐จ๐
๐๐)
๐ + ๐๐ ๐๐จ๐ฌ๐ + ๐๐๐ ๐
๐
๐
=๐
๐๐ฌ๐ข๐ง๐๐ฅ๐จ๐ {
(๐๐ )๐๐ (๐๐ +
๐๐๐ )
๐ช (๐๐ โ
๐๐๐ )
}
๐จ๐ = ๐ฐ (๐
๐) =
๐
๐๐ฅ๐จ๐ {
โ๐๐ ๐ช (๐๐)
๐ช (๐๐)
} =๐
๐๐ฅ๐จ๐ {
๐๐ ๐๐
๐ช๐ (๐๐)} =
๐
๐๐ฅ๐จ๐ {
๐๐ ๐
๐ช๐ (๐๐)}
๐จ = โ๐
๐๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐ โ
๐
๐๐ฅ๐จ๐ (
๐๐ ๐
๐ช (๐๐))
๐ฉ = โซ๐ ๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐)
๐ + ๐๐๐ ๐
๐
๐
=โฌ๐๐
(๐ + ๐๐)(๐ + ๐๐)๐ ๐๐ ๐
๐
๐
=
= โซ๐
๐ + ๐๐
๐
๐
โซ (๐๐ โ ๐
๐ + ๐๐+
๐
๐ + ๐๐)
๐
๐
๐ ๐๐ ๐ =
= โซ๐
๐ + ๐๐{๐
๐๐ ๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐๐) โ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐ +
๐
๐๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐๐)}
๐
๐
๐ ๐๐
๐
=
= โซ๐
๐ + ๐๐(๐
๐๐ฅ๐จ๐ ๐ โ
๐
๐+๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐)
๐)๐ ๐
๐
๐
=
=๐
๐๐ฅ๐จ๐ ๐โซ
๐
๐ + ๐๐๐ ๐
๐
๐
โ๐
๐โซ
๐ ๐
๐ + ๐๐
๐
๐
+โซ๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐)
๐๐ ๐
๐
๐
โ ๐ฉ =
=๐
๐๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐ โ
๐ ๐
๐๐โ ๐ณ๐๐(โ๐) โ ๐ฉ =
๐
๐๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐ โ
๐ ๐
๐๐+๐ ๐
๐๐=๐
๐๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐ +
๐ ๐
๐๐
๐จ + ๐ฉ =๐
๐๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐ โ
๐
๐๐ฅ๐จ๐ (
๐๐ ๐
๐ช (๐๐)) +
๐
๐๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐ +
๐ ๐
๐๐=
=๐ ๐
๐๐โ๐
๐๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐ โ
๐
๐๐ฅ๐จ๐ (
๐๐ ๐
๐ช๐ (๐๐)) โ ๐น =
๐๐ ๐
๐ช๐ (๐๐)
1565. If ๐ < ๐ โค ๐ then find:
๐(๐, ๐) = โซ ๐ญ๐๐งโ๐ (๐๐ โ ๐๐๐
๐๐ โ ๐๐๐ + ๐)๐ ๐
๐
๐
Proposed by Daniel Sitaru-Romania
www.ssmrmh.ro
95 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
Solution 1 by Amrit Awasthi-India
๐(๐, ๐) = โซ ๐ญ๐๐งโ๐ (๐๐ โ ๐๐๐
๐๐ โ ๐๐๐ + ๐)๐ ๐
๐
๐
=๐=๐ญ๐๐ง ๐
= โซ ๐ฌ๐๐๐ ๐ โ ๐ญ๐๐งโ๐ (๐ ๐ญ๐๐ง ๐ โ ๐ ๐ญ๐๐ง๐ ๐
๐ญ๐๐ง๐ ๐ โ ๐ ๐ญ๐๐ง๐ ๐ + ๐)
๐ญ๐๐งโ๐ ๐
๐ญ๐๐งโ๐ ๐
๐ ๐ =
= โซ ๐ฌ๐๐๐ ๐ โ ๐ญ๐๐งโ๐(๐ญ๐๐ง๐๐) ๐ ๐๐ญ๐๐งโ๐ ๐
๐ญ๐๐งโ๐ ๐
= ๐โซ ๐ โ ๐ฌ๐๐๐ ๐๐ญ๐๐งโ๐ ๐
๐ญ๐๐งโ๐ ๐
๐ ๐ =
= [๐๐ โ ๐ญ๐๐ง ๐ + ๐ ๐ฅ๐จ๐ |๐๐จ๐ฌ ๐|]๐ญ๐๐งโ๐ ๐๐ญ๐๐งโ๐ ๐ โ ๐๐ (๐ โ ๐) =
= ๐๐ โ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐ โ ๐๐ โ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐ + ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐๐จ๐ฌ(๐ญ๐๐งโ๐ ๐)
๐๐จ๐ฌ(๐ญ๐๐งโ๐ ๐)โ ๐๐ (๐ โ ๐) =
= ๐ [๐ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐ โ ๐ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐ +๐
๐๐ฅ๐จ๐ (
๐๐ + ๐
๐๐ + ๐)] โ ๐๐ (๐ โ ๐)
Solution 2 by Asmat Qatea-Afghanistan
โต ๐ญ๐๐งโ๐ ๐ + ๐ญ๐๐งโ๐ ๐ = ๐ + ๐ญ๐๐งโ๐ (๐๐
๐ โ ๐๐) , ๐ โ (๐,โ)
๐ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐ = ๐๐ + ๐ญ๐๐งโ๐ (๐๐
๐ โ ๐๐) + ๐ญ๐๐งโ๐ (
๐๐
๐ โ ๐๐)
๐ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐ = ๐๐ + ๐ญ๐๐งโ๐ (
๐๐๐โ ๐๐
๐ โ๐๐๐
(๐ โ ๐๐)๐
)
๐ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐ = ๐๐ + ๐ญ๐๐งโ๐ (๐๐ โ ๐๐๐
๐๐ โ ๐๐๐ + ๐) , โ๐ โ (๐,โ)
โซ ๐ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐๐ ๐๐
๐
= โซ ๐๐ ๐ ๐๐
๐
+๐
๐ = ๐ [๐ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐ โ๐
๐๐ฅ๐จ๐ (๐๐ + ๐)]
๐
๐
โ ๐๐ (๐ โ ๐)
Therefore,
๐(๐, ๐) = ๐ [๐ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐ โ ๐ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐ +๐
๐๐ฅ๐จ๐ (
๐๐ + ๐
๐๐ + ๐)] โ ๐๐ (๐ โ ๐)
www.ssmrmh.ro
96 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
Solution 3 by Ajetunmobi Abdulquoyyum-Nigeria
๐(๐, ๐) = โซ ๐ญ๐๐งโ๐ (๐๐ โ ๐๐๐
๐๐ โ ๐๐๐ + ๐)๐ ๐
๐
๐
โ ๐๐ โซ ๐ ๐๐
๐
๐จ = โซ ๐ญ๐๐งโ๐ (๐๐ โ ๐๐๐
๐๐ โ ๐๐๐ + ๐)๐ ๐ = โซ
๐๐(๐ โ ๐๐)
(๐๐ โ ๐๐ โ ๐)(๐๐ + ๐๐ โ ๐)๐ ๐ =
= โซ๐ญ๐๐งโ๐(๐ โ ๐๐) (๐๐
(๐๐ โ ๐๐ โ ๐)(๐๐ + ๐๐ โ ๐))๐ ๐ =
= โซ๐ญ๐๐งโ๐(๐ โ ๐๐) (๐
๐๐ + ๐๐ โ ๐โ
๐
๐๐ + ๐๐ โ ๐)๐ ๐ =
= โซ๐ญ๐๐งโ๐ (๐ โ ๐๐
๐ โ ๐๐ โ ๐๐โ
๐ โ ๐๐
๐ + ๐๐ โ ๐๐)๐ ๐ =
= โซ๐ญ๐๐งโ๐(๐
๐ โ๐๐
๐ โ ๐๐
โ๐
๐ +๐๐
๐ โ ๐๐
)๐ ๐ =๐ญ๐๐ง ๐=๐
= โซ๐ฌ๐๐๐ ๐ ๐ญ๐๐งโ๐ (๐
๐ โ๐ ๐ญ๐๐ง ๐๐ โ ๐ญ๐๐ง๐ ๐
โ๐
๐ +๐ ๐ญ๐๐ง ๐๐ โ ๐ญ๐๐ง๐ ๐
)๐ ๐ =
= โซ๐ฌ๐๐๐ ๐ ๐ญ๐๐งโ๐ (๐
๐ โ ๐ญ๐๐ง ๐๐โ
๐
๐ + ๐ญ๐๐ง๐๐)๐ ๐ =
= โซ๐ฌ๐๐๐ ๐ ๐ญ๐๐งโ๐๐ + ๐ญ๐๐ง ๐๐ โ ๐ + ๐ญ๐๐ง๐๐
(๐ โ ๐ญ๐๐ง ๐๐)(๐ + ๐ญ๐๐ง๐๐)๐ ๐ =
= โซ๐ฌ๐๐๐ ๐ ๐ญ๐๐งโ๐(๐ญ๐๐ง๐๐) ๐ ๐ = ๐โซ๐ โ ๐ฌ๐๐๐ ๐ ๐ ๐ =๐ฐ๐ฉ๐ท
= ๐(๐ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐ โ๐
๐๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐๐)) + ๐ช
๐(๐, ๐) = ๐ [๐ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐ โ ๐ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐ +๐
๐๐ฅ๐จ๐ (
๐๐ + ๐
๐๐ + ๐)] โ ๐๐ (๐ โ ๐)
1566. If ๐ < ๐ โค ๐ <๐
๐ then find:
๐(๐, ๐) = โซ๐ + ๐๐จ๐ฌ ๐๐
๐ โ ๐๐จ๐ฌ ๐๐
๐
๐
๐ ๐
Proposed by Daniel Sitaru-Romania
www.ssmrmh.ro
97 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
Solution 1 by Amrit Awasthi-India
๐(๐, ๐) = โซ๐ + ๐๐จ๐ฌ๐๐
๐ โ ๐๐จ๐ฌ๐๐
๐
๐
๐ ๐ = ๐โซ๐ ๐
๐๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐๐
๐
๐
โโซ ๐ ๐๐
๐
=
= ๐โซ ๐๐ฌ๐๐ ๐๐๐
๐
๐ ๐ โ (๐ โ ๐) = โ๐๐จ๐ญ๐๐|๐๐ โ (๐ โ ๐) = ๐๐จ๐ญ ๐๐ โ ๐๐จ๐ญ ๐๐ โ (๐ โ ๐)
Solution 2 by Adrian Popa-Romania
๐(๐, ๐) = โซ๐ + ๐๐จ๐ฌ ๐๐
๐ โ ๐๐จ๐ฌ ๐๐
๐
๐
๐ ๐ = โโซโ๐ โ ๐๐จ๐ฌ ๐๐
๐ โ ๐๐จ๐ฌ๐๐
๐
๐
๐ ๐ = โโซ๐ โ ๐๐จ๐ฌ ๐๐ โ ๐
๐ โ ๐๐จ๐ฌ ๐๐๐ ๐
๐
๐
=
= โโซ ๐ ๐๐
๐
+ โซ๐
๐ โ ๐๐จ๐ฌ ๐๐๐ ๐
๐
๐
= (๐ โ ๐) +โซ๐
๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐๐๐ ๐
๐
๐
=
= ๐ โ ๐ โ ๐๐จ๐ญ๐๐|๐๐ = ๐ โ ๐ + ๐๐จ๐ญ๐๐ โ ๐๐จ๐ญ ๐๐
Solution 3 by Mohammad Hamed Nasery-Afghanistan
๐(๐, ๐) = โซ๐ + ๐๐จ๐ฌ๐๐
๐ โ ๐๐จ๐ฌ๐๐
๐
๐
๐ ๐ = โโซโ๐ โ ๐๐จ๐ฌ ๐๐
๐ โ ๐๐จ๐ฌ๐๐๐ ๐
๐
๐
=
= โโซ๐ โ ๐๐จ๐ฌ๐๐ โ ๐ โ ๐
๐ โ ๐๐จ๐ฌ๐๐๐ ๐
๐
๐
= โโซ๐ โ ๐๐จ๐ฌ๐๐ โ ๐
๐ โ ๐๐จ๐ฌ๐๐๐ ๐
๐
๐
=
= ๐โซ๐
๐ โ ๐๐จ๐ฌ ๐๐๐ ๐
๐
๐
โโซ ๐ ๐๐
๐
= ๐โซ๐
๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐
๐
๐
๐ ๐ โ (๐ โ ๐) =
= ๐ โ ๐ + ๐๐จ๐ญ ๐๐ โ ๐๐จ๐ญ ๐๐
Solution 4 by Hussain Reza Zadah-Afghanistan
๐(๐, ๐) = โซ๐ + ๐๐จ๐ฌ ๐๐
๐ โ ๐๐จ๐ฌ ๐๐
๐
๐
๐ ๐ =๐=๐๐ ๐
๐โซ
๐ + ๐๐จ๐ฌ ๐
๐ โ ๐๐จ๐ฌ ๐
๐๐
๐๐
๐ ๐ =๐ญ๐๐ง
๐๐=๐
=๐
๐โซ
๐ +๐ โ ๐๐
๐ + ๐๐
๐ โ๐ โ ๐๐
๐ + ๐๐
โ ๐๐ ๐
๐ + ๐๐
๐ญ๐๐ง ๐๐
๐ญ๐๐ง ๐๐
=
=๐
๐โซ
๐๐ + ๐
๐๐(๐ + ๐๐)
๐ญ๐๐ง ๐๐
๐ญ๐๐ง ๐๐
๐ ๐ =๐
๐โซ
๐
๐๐
๐ญ๐๐ง ๐๐
๐ญ๐๐ง ๐๐
๐ ๐ โ โซ๐
๐๐ + ๐๐ ๐
๐ญ๐๐ง ๐๐
๐ญ๐๐ง ๐๐
=
= [โ๐
๐โ๐
๐๐ญ๐๐งโ๐ ๐]
๐ญ๐๐ง ๐๐
๐ญ๐๐ง ๐๐
= ๐ โ ๐ + ๐๐จ๐ญ ๐๐ โ ๐๐จ๐ญ ๐๐
www.ssmrmh.ro
98 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
Solution 5 by Ajetunmobi Abdulqoyyum-Nigeria
๐ = โซ๐ + ๐๐จ๐ฌ๐๐
๐ โ ๐๐จ๐ฌ๐๐๐ ๐ =
๐
๐โซ๐ + ๐๐จ๐ฌ๐
๐ โ ๐๐จ๐ฌ ๐๐ ๐ =
๐ญ๐๐ง๐๐=๐
=๐
๐โซ๐ +
๐ โ ๐๐
๐ + ๐๐
๐ โ๐ โ ๐๐
๐ + ๐๐
โ ๐๐ ๐
๐ + ๐๐=๐
๐โซ
๐๐๐ + ๐
๐๐๐(๐ + ๐๐)๐ ๐ =
๐
๐โซ
๐๐ + ๐
๐๐(๐ + ๐๐)๐ ๐ =
=๐
๐โซ๐
๐๐๐ ๐ +โซ
๐
๐๐(๐๐ + ๐)๐ ๐ = โซ
๐
๐๐๐ ๐ โ โซ
๐
๐๐ + ๐๐ ๐ =
= โ๐
๐โ๐
๐๐ญ๐๐งโ๐ ๐ = โ
๐
๐ญ๐๐ง ๐๐โ๐
๐๐ญ๐๐งโ๐(๐ญ๐๐ง๐๐) = โ๐๐จ๐ญ๐๐ โ ๐
Therefore,
๐(๐, ๐) = ๐ โ ๐ + ๐๐จ๐ญ ๐๐ โ ๐๐จ๐ญ๐๐
Solution 6 by Satyam Roy-India
By generalization:
๐ = โซ๐+ ๐๐จ๐ฌ ๐๐
๐ โ ๐๐จ๐ฌ ๐๐๐ ๐ = โซ
๐
๐ โ ๐๐จ๐ฌ๐๐
๐
๐
๐ ๐ + ๐ โ ๐
If ๐,๐ โ โ,๐ = ๐ + ๐. Here ๐ = ๐,๐ = ๐,๐ = ๐
โซ๐
๐ + ๐๐จ๐ฌ๐๐
๐
๐
๐ ๐ = โซ๐
๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐๐
๐
๐
๐ ๐ = ๐๐จ๐ญ ๐๐ โ ๐๐จ๐ญ๐๐
Therefore,
๐(๐, ๐) = ๐ โ ๐ + ๐๐จ๐ญ ๐๐ โ ๐๐จ๐ญ๐๐
Solution 7 by Sujit Bhowmick-India
๐(๐, ๐) = โซ๐ + ๐๐จ๐ฌ๐๐
๐ โ ๐๐จ๐ฌ๐๐
๐
๐
๐ ๐ = โซ๐(๐ + ๐ญ๐๐ง๐ ๐๐) + ๐ โ ๐ญ๐๐ง๐ ๐๐
๐ + ๐ญ๐๐ง๐ ๐๐ โ (๐ โ ๐ญ๐๐ง๐ ๐๐)๐ ๐
๐
๐
=
= โซ๐ + ๐ ๐ญ๐๐ง๐ ๐๐
๐ ๐ญ๐๐ง๐ ๐๐
๐
๐
๐ ๐ = โซ๐ + ๐ฌ๐๐๐ ๐๐
๐ญ๐๐ง๐ ๐๐๐ ๐
๐
๐
= ๐โซ ๐๐ฌ๐๐ ๐๐๐ ๐๐
๐
โโซ ๐ ๐๐
๐
=
= ๐ โ ๐ + ๐๐จ๐ญ ๐๐ โ ๐๐จ๐ญ ๐๐
www.ssmrmh.ro
99 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
1567. If ๐ < ๐ โค ๐ find a closed form:
๐(๐, ๐) = โซ
(
๐
๐ +๐๐
๐ +๐๐
๐ +๐๐
๐ +โฏ)
๐
๐
๐ ๐
Proposed by Daniel Sitaru-Romania
Solution by Naren Bhandari-Bajura-Nepal
Due to Lambert continued fraction (particular case of Gauss continued fraction)
๐ญ๐๐ง๐ =๐
๐ + ๐๐=๐โ โ๐๐
๐๐ + ๐
Now we replace ๐ by ๐๐ giving us
๐ญ๐๐ง๐ก ๐ =๐
๐ +๐๐=๐โ ๐๐
๐๐ + ๐
So, we need to integrate ๐ฐ + โซ ๐ญ๐๐ง๐ก ๐๐ ๐๐
๐ which is easy to see
๐ฐ = โซ๐
๐ ๐๐ฅ๐จ๐ (๐๐จ๐ฌ๐ก๐)
๐
๐
๐ ๐ = ๐ฅ๐จ๐ (๐๐จ๐ฌ๐ก๐
๐๐จ๐ฌ๐ก๐)
1568. Prove that:
โซ ๐ฌ๐ข๐ง (๐
๐) ๐ญ๐๐ง๐กโ๐(๐ฌ๐ข๐ง ๐๐)
๐ ๐
๐
๐ ๐ =
= ๐ฅ๐จ๐ ((๐โ๐ โ โ๐ + ๐โ๐ โ ๐)
โ๐+โ๐
(๐ + ๐โ๐ โ ๐โ๐ โ โ๐)
โ๐โโ๐
)
Proposed by Naren Bhandari-Bajura-Nepal
Solution by proposer
www.ssmrmh.ro
100 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
๐ฐ = โซ ๐ฌ๐ข๐ง (๐
๐) ๐ญ๐๐ง๐กโ๐(๐ฌ๐ข๐ง๐๐)
๐ ๐
๐
๐ ๐ =๐ฐ๐ฉ๐ท๐โซ
๐๐จ๐ฌ (๐๐)
๐๐จ๐ฌ๐๐
๐ ๐
๐
๐ ๐ = ๐โซ๐๐จ๐ฌ (
๐๐)
๐ โ ๐๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐
๐ ๐
๐
๐ ๐
By the use of compound angle formula and subbing ๐ฌ๐ข๐ง (๐
๐) = ๐ leads us to
โซ๐๐ ๐
๐ โ ๐๐๐(๐ โ ๐๐)
๐
โ๐
๐
= โซ๐๐ ๐
๐๐๐ โ ๐๐๐ + ๐
๐
โ๐
๐
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โ
๐
โ๐
โซ๐๐ ๐
๐ท(๐)
๐
๐
Note that the polynomial ๐ท(๐) is reducible over โ or
๐๐ท(๐) = (๐๐๐ โ โ๐ โ ๐)(๐๐๐ + โ๐ โ ๐), with positive factors (โ๐ + โ๐โ ๐๐
, โ๐ โ โ๐โ ๐๐
).
Therefore,
๐ฐ = ๐โ๐โซ (๐ ๐
๐๐๐ โ โ๐โ ๐โ
๐ ๐
๐๐๐ + โ๐)
๐
โ๐
๐
= โ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ (๐๐ + ๐
๐ โ ๐๐) + ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ (
๐๐ + ๐
๐๐ โ ๐)
By putting the roots we have the result however, to get the desired result as presented in final form we observe that:
(๐๐ + ๐
๐๐ โ ๐,๐๐ + ๐
๐ โ ๐๐) =๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
(๐โ๐โ ๐ + ๐โ๐ + โ๐,๐
๐ + ๐โ๐ โ ๐โ๐ โ โ๐)
Hence,
โซ ๐ฌ๐ข๐ง (๐
๐) ๐ญ๐๐ง๐กโ๐(๐ฌ๐ข๐ง๐๐)
๐ ๐
๐
๐ ๐ =
= ๐ฅ๐จ๐ ((๐โ๐โ โ๐ + ๐โ๐โ ๐)
โ๐+โ๐
(๐ + ๐โ๐โ ๐โ๐โ โ๐)
โ๐โโ๐
)
1569. Prove that:
๐ฐ๐(๐) = โซ๐ ๐ฌ๐ข๐ง ๐ ๐๐จ๐ฌ ๐
โ๐ โ ๐๐ ๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐
๐ ๐
๐
๐ ๐ = โ๐
๐โ ๐โฒ
๐๐+๐ฌ(๐)
๐๐
Proposed by Onikoyi Adeboye-Nigeria
Solution 1 by Kamel Gandouli Rezgui-Tunisia
๐ฐ๐(๐) = โซ๐ ๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐๐จ๐ฌ ๐
โ๐ โ ๐๐ ๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐
๐ ๐
๐
๐ ๐ =
๐๐ ๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐=๐
๐=๐ฌ๐ข๐งโ๐โ๐
๐๐ ๐
๐๐๐โซ ๐ฌ๐ข๐งโ๐โ
๐
๐๐๐ ๐
โ๐ โ ๐๐
๐๐
๐
www.ssmrmh.ro
101 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
โซ ๐ฌ๐ข๐งโ๐โ๐
๐๐๐ ๐
โ๐ โ ๐๐
๐๐
๐
= ๐ฑ(๐) โ
๐ฑโฒ(๐) = (โซ ๐ฌ๐ข๐งโ๐โ๐
๐๐๐ ๐
โ๐ โ ๐๐
๐๐
๐
)
โฒ
=๐ฌ๐ข๐งโ๐ ๐
โ๐ โ ๐๐โ ๐๐ =
๐๐
โ๐ โ ๐๐
โ ๐ฑ(๐) = โ๐ โ๐ โ ๐๐ + ๐๐ฌ(๐) โ
๐ฐ๐(๐) =๐
๐๐๐(โ๐ โ๐ โ ๐๐ + ๐๐ฌ(๐)) = โ
๐
๐โ ๐โฒ
๐๐+๐ฌ(๐)
๐๐โ ๐โฒ = โ๐ โ ๐๐
For ๐ = ๐ โ ๐ฌ(๐) = โซ ๐ ๐ฌ๐ข๐ง๐๐ ๐๐
๐๐
= ๐
Solution 2 by Sediqakbar Restheen-Afghanistan
๐ฐ๐(๐) = โซ๐๐ฌ๐ข๐ง ๐ ๐๐จ๐ฌ ๐
โ๐ โ ๐๐ ๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐
๐ ๐
๐
๐ ๐ = โ๐
๐๐โซโ๐๐๐ ๐ฌ๐ข๐ง ๐ ๐๐จ๐ฌ ๐
๐โ๐ โ ๐๐ ๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐
๐ ๐
๐
๐ ๐ =
= โ๐
๐๐[๐โ๐ โ ๐๐ ๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐]
๐
๐ ๐+๐
๐๐โซ โ๐ โ ๐๐ ๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐๐ ๐
๐ ๐
๐
= โ๐ โ๐ โ ๐๐
๐๐๐+๐ฌ(๐)
๐๐
Let ๐โฒ = โ๐ โ ๐๐ โ ๐ฐ๐(๐) = โ๐
๐โ ๐โฒ
๐๐+๐ฌ(๐)
๐๐
1570. Find:
๐ = โซ โซ โซ๐๐๐
(๐ + ๐)(๐ + ๐)(๐ + ๐)
๐
๐
๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐
๐
๐
๐
Proposed by Asmat Qatea-Afghanistan
Solution by proposer
โต (๐ + ๐)(๐ + ๐)(๐ + ๐) = โ(๐๐๐ + ๐๐๐)
๐๐๐
+ ๐๐๐๐
๐ฐ = โซ โซ โซ๐๐๐ + ๐๐๐ +
๐๐๐๐๐
(๐ + ๐)(๐ + ๐)(๐ + ๐)
๐
๐
๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐
๐
๐
๐
=๐
๐
โซ โซ โซ๐๐
(๐ + ๐)(๐ + ๐)
๐
๐
๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐
๐
๐
๐
+๐
๐โซ โซ โซ
๐๐๐
(๐ + ๐)(๐ + ๐)(๐ + ๐)
๐
๐
๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐
๐
๐
๐
=๐
๐
โซ โซ๐๐
๐ + ๐๐ฅ๐จ๐ (
๐ + ๐
๐)๐ ๐๐ ๐
๐
๐
๐
๐
+๐
๐๐ =
๐
๐
www.ssmrmh.ro
102 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
โซ ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ (๐ + ๐
๐)๐ ๐
๐
๐
+๐
๐๐ =
๐
๐
โซ ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐(๐ + ๐)๐ ๐๐
๐
+โซ ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐๐
๐
๐ ๐ โ ๐โซ ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐) ๐ฅ๐จ๐ ๐๐ ๐๐
๐
+๐
๐๐ =
๐
๐
๐ฐ๐ + ๐ฐ๐ โ ๐๐ฐ๐ +๐
๐๐ =
๐
๐; (๐ฐ), where
๐ฐ๐ = โซ ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐(๐ + ๐)๐ ๐๐
๐
=๐+๐=๐๐
โซ (๐๐๐ โ ๐๐๐ + ๐)๐๐๐๐๐ฅ๐จ๐ ๐
๐
๐ ๐ =
= โซ (๐๐๐ โ ๐๐๐๐ + ๐๐)๐๐๐ฅ๐จ๐ ๐
๐
๐ ๐ =๐
๐๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐ โ
๐๐
๐๐ฅ๐จ๐ ๐ +
๐๐
๐๐
๐ฐ๐ = โซ ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐๐
๐
๐ ๐ =๐=๐๐
โซ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐
โโ
=๐
๐๐
๐ฐ๐ = โซ ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐) ๐ฅ๐จ๐ ๐๐ ๐๐
๐
= โโซ ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐โ(โ๐)๐๐๐
๐
โ
๐=๐
๐ ๐๐
๐
=
= โโ(โ๐)๐
๐โซ ๐๐+๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐๐ ๐๐
๐
โ
๐=๐
=โ(โ๐)๐
๐(๐ + ๐)๐
โ
๐=๐
= โ(โ๐)๐ (๐จ๐๐+
๐จ๐๐ + ๐
+๐จ๐
(๐ + ๐)๐)
โ
๐=๐
๐จ๐ =๐
๐, ๐จ๐ = โ
๐
๐, ๐จ๐ = โ
๐
๐
Hence,
๐ฐ๐ =๐
๐(โ ๐ฅ๐จ๐ ๐ โ (๐ โ
๐
๐+๐
๐+โ
(โ๐)๐โ๐
๐
โ
๐=๐
) โ๐
๐(๐
๐๐โ๐
๐๐+๐
๐๐+โ
(โ๐)๐
(๐ + ๐)๐
โ
๐=๐
) +๐๐
๐๐๐
= โ๐
๐๐ฅ๐จ๐ ๐ โ
๐ ๐
๐๐+๐๐
๐๐๐
From (๐ฐ): ๐ฐ๐ + ๐ฐ๐ โ ๐๐ฐ๐ +๐
๐๐ =
๐
๐ it follows:
๐
๐๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐ โ
๐๐
๐๐ฅ๐จ๐ ๐ +
๐๐
๐๐+๐
๐๐โ ๐ (โ
๐
๐๐ฅ๐จ๐ ๐ โ
๐ ๐
๐๐+๐๐
๐๐๐) +
๐
๐๐ =
๐
๐
๐
๐๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐ โ
๐๐
๐๐ฅ๐จ๐ ๐ +
๐ ๐
๐๐+๐
๐๐ = ๐ โ
๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐ โ๐๐
๐๐ฅ๐จ๐ ๐ +
๐ ๐
๐+ ๐๐ = ๐ โ
www.ssmrmh.ro
103 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
๐ = ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ โ ๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐ โ๐ ๐
๐๐
Therefore,
๐ = โซ โซ โซ๐๐๐
(๐ + ๐)(๐ + ๐)(๐ + ๐)
๐
๐
๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐
๐
๐
๐
= ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ โ ๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐ โ๐ ๐
๐๐
1571. Find a closed form:
๐ = โซ๐ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐
๐๐ โ ๐๐ + ๐๐ ๐
โ
๐
Proposed by Vasile Mircea Popa-Romania
Solution 1 by Asmat Qatea-Afghanistan
๐ = โซ๐ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐
๐๐ โ ๐๐ + ๐๐ ๐
โ
๐
=๐=๐๐= โซ
๐ ๐ญ๐๐งโ๐ (๐๐)
๐ โ ๐๐ + ๐๐
โ
๐
๐ ๐
โต ๐ญ๐๐งโ๐ ๐ + ๐ญ๐๐งโ๐ (๐
๐) =
๐
๐
๐๐ =๐
๐โซ
๐
๐ โ ๐๐ + ๐๐
โ
๐
๐ ๐ =๐๐=๐ ๐
๐โซ
๐
๐ โ ๐ + ๐๐
โ
๐
๐ ๐
๐ =๐
๐โซ
๐
(๐ โ๐๐)๐
+ (โ๐๐)
๐
โ
๐
๐ ๐ =๐
๐โ๐[๐ญ๐๐งโ๐(
๐ โ๐๐
โ๐๐
)]
๐
โ
=๐
๐โ๐(๐
๐+๐
๐)
๐ = โซ๐ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐
๐๐ โ ๐๐ + ๐๐ ๐
โ
๐
=๐ ๐
๐โ๐
Solution 2 by Sesiqakbar Restheen-Afghanistan
โต ๐ญ๐๐งโ๐ ๐ + ๐ญ๐๐งโ๐ (๐
๐) =
๐
๐,โ๐ โ โ
๐ = โซ๐ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐
๐๐ โ ๐๐ + ๐๐ ๐
โ
๐
=๐=๐๐โซ
๐๐ ๐ญ๐๐ง
โ๐ (๐๐)
๐๐๐โ๐๐๐+ ๐
โ
๐
(โ๐ ๐
๐๐) =
= โซ๐(๐ ๐ โ ๐ญ๐๐ง
โ๐ ๐)
๐๐ โ ๐๐ + ๐๐ ๐
โ
๐
=๐
๐โซ
๐
๐๐ โ ๐๐ + ๐
โ
๐
๐ ๐
www.ssmrmh.ro
104 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
โซ๐
๐๐ โ ๐๐ + ๐๐ ๐ =
๐
โ๐๐ญ๐๐งโ๐ [
๐
โ๐(๐๐๐ โ ๐)] + ๐ช
โซ๐
๐๐ โ ๐๐ + ๐
โ
๐
๐ ๐ =๐
โ๐[๐
๐โ ๐ญ๐๐งโ๐ (โ
๐
โ๐)] =
๐
โ๐[๐
๐โ๐
๐) =
๐๐
๐โ๐
Therefore,
๐ = โซ๐ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐
๐๐ โ ๐๐ + ๐๐ ๐
โ
๐
=๐ ๐
๐โ๐
Solution 3 by Ghuiam Naseri-Afghanistan
โต ๐ญ๐๐งโ๐ ๐ + ๐ญ๐๐งโ๐ (๐
๐) =
๐
๐,โ๐ โ โ
๐ = โซ๐ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐
๐๐ โ ๐๐ + ๐๐ ๐
โ
๐
=๐=๐๐โซ
๐๐ ๐ญ๐๐งโ๐ (๐๐)
๐๐ โ ๐๐ + ๐
โ
๐
๐ ๐
๐
๐โซ
๐
๐๐ โ ๐๐ + ๐
โ
๐
๐ ๐ =๐๐=๐ ๐
๐โซ
๐
๐๐ โ ๐ + ๐๐ ๐
โ
๐
=
=๐
๐โ ๐
โ๐๐ญ๐๐งโ๐ (
๐๐ โ ๐
โ๐) =๐=๐๐ ๐
๐โ ๐
โ๐[๐ญ๐๐งโ๐ (
๐๐๐ โ ๐
โ๐)]๐
โ
=๐ ๐
๐โ๐
1572.
๐(๐) = โซ๐๐โ๐(๐ โ ๐) ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐๐๐ ๐
โ
๐
, ๐ โฅ ๐
Find:
๐ =โ๐
๐(๐)
โ
๐=๐
Proposed by Daniel Sitaru-Romania
Solution 1 by Ajetunmobi Abdulqoyyum-Nigeria
๐(๐) = โซ ๐โ๐๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐โ
๐
๐ ๐ โ ๐โซ ๐๐โ๐๐โ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐โ
๐
๐ ๐ =
=๐
๐๐|๐=๐(โซ ๐โ๐๐(๐+๐+๐)โ๐
โ
๐
๐ ๐ โ ๐โซ ๐๐+๐โ๐๐โ๐โ
๐
๐ ๐) =
www.ssmrmh.ro
105 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
=๐
๐๐|๐=๐
(๐ช(๐ + ๐ + ๐) โ ๐๐ช(๐ + ๐)) = ๐ชโฒ(๐ + ๐) โ ๐๐ชโฒ(๐) =
= โ๐
๐ช(๐ + ๐)๐(๐+ ๐) โ ๐๐ช(๐)๐(๐)
โ
๐=๐
= โ๐
๐ช(๐ + ๐)๐(๐+ ๐) โ ๐ช(๐ + ๐)๐(๐)
โ
๐=๐
=
= โ๐
๐ช(๐ + ๐)(๐(๐ + ๐) โ ๐(๐))
โ
๐=๐
= โ๐
๐ช(๐ + ๐) (๐๐)
โ
๐=๐
= โ๐
๐ช(๐ + ๐)
โ
๐=๐
= โ๐
๐ช(๐)
โ
๐=๐
= ๐
Therefore,
๐ = โ๐
๐(๐)
โ
๐=๐
= ๐
Solution 2 by Amrit Awasthi-India
๐(๐) =๐
๐ช(๐)โซ ๐๐โ๐๐โ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐๐ ๐โ
๐
๐(๐) = โซ ๐๐+๐๐โ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐ ๐โ
๐
โ ๐โซ ๐๐โ๐๐โ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐๐ ๐โ
๐
=
= ๐ช(๐ + ๐)๐(๐ + ๐) โ ๐๐ช(๐)๐(๐) = ๐! [๐(๐+ !) โ ๐(๐)] =
= ๐! (๐
๐) = (๐ โ ๐)!
Therefore,
๐ = โ๐
๐(๐)
โ
๐=๐
= โ๐
(๐ โ ๐)!
โ
๐โ๐
= ๐
Solution 3 by Santiago Alvarez-Mexico
๐(๐) = โซ๐๐โ๐(๐ โ ๐) ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐๐๐ ๐
โ
๐
= (๐
๐๐โซ ๐๐โ๐+๐(๐ โ ๐)๐โ๐๐ ๐โ
๐
)๐=๐
=
= (๐
๐๐โซ ๐๐+๐๐โ๐๐ ๐โ
๐
โ ๐๐
๐๐โซ ๐๐+๐โ๐๐โ๐๐ ๐โ
๐
)๐=๐
=
= (๐
๐๐๐ช(๐ + ๐ + ๐) โ ๐
๐
๐๐๐ช(๐ + ๐))
๐=๐
=
= (๐ช(๐ + ๐ + ๐)๐(๐ + ๐ + ๐) โ ๐๐ช(๐ + ๐)๐(๐ + ๐))๐=๐
=
www.ssmrmh.ro
106 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
= ๐ช(๐ + ๐)๐(๐+ ๐) โ ๐๐ช(๐)๐(๐)
๐ = โ๐
๐ช(๐ + ๐)๐(๐ + ๐) โ ๐๐ช(๐)๐(๐)
โ
๐=๐
= โ๐
๐๐ช(๐)๐(๐ + ๐) โ ๐๐ช(๐)๐(๐)
โ
๐=๐
=
= โ๐
๐๐ช(๐) (๐๐)
โ
๐=๐
= โ๐
(๐ โ ๐)!
โ
๐=๐
= โ๐
๐!
โ
๐=๐
= ๐
1573. Find:
๐ = โซ๐๐
๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐ + ๐(๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐ + ๐๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐ + ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ + ๐ + ๐ โ ๐๐)๐ ๐
Proposed by Daniel Sitaru-Romania
Solution by Almas Babirov-Azerbaijan
๐ = โซ๐๐
๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐ + ๐(๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐ + ๐๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐ + ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ + ๐ + ๐ โ ๐๐)๐ ๐ =
= โซ๐๐
๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐ + ๐๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐ + ๐๐๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐ + ๐๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ + ๐๐ + ๐๐ โ ๐๐๐ ๐ = (โ)
โต ๐ฅ๐จ๐ ๐๐ = ๐ โ ๐๐ = ๐๐ โ ๐ = ๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐๐ = ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐
(โ) = โซ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ ๐
๐๐ + ๐๐๐ + ๐๐๐๐ + ๐๐๐ + ๐๐ + ๐๐๐๐๐ (๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐) =
= ๐ฅ๐จ๐ ๐๐ ๐ โ โซ(
๐๐ โ (๐๐ + ๐๐๐ + ๐๐๐๐ + ๐๐๐ + ๐๐ + ๐๐๐๐)
๐๐ + ๐๐๐ + ๐๐๐๐ + ๐๐๐ + ๐๐ + ๐๐๐๐+ ๐)๐ ๐ =
= ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐๐ ๐ โ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ ๐ โ โซ๐๐๐ + ๐๐๐๐ + ๐๐๐ + ๐๐ + ๐๐๐๐
๐๐ + ๐๐๐ + ๐๐๐๐ + ๐๐๐ + ๐๐ + ๐๐๐๐๐ ๐ =
=๐
๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐โ
๐
๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐โ โซ๐ (๐๐ + ๐๐๐ + ๐๐๐๐ + ๐๐๐ + ๐๐ + ๐๐๐๐)
๐๐ + ๐๐๐ + ๐๐๐๐ + ๐๐๐ + ๐๐ + ๐๐๐๐=
=๐
๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐โ
๐
๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐โ ๐ฅ๐จ๐ (๐๐ + ๐๐๐ + ๐๐๐๐ + ๐๐๐ + ๐๐ + ๐๐๐๐) + ๐ช =
=๐
๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐โ
๐
๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐โ ๐ฅ๐จ๐ (๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐ + ๐๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐ + ๐๐๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐ + ๐๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ + ๐๐ + ๐๐ โ ๐๐) + ๐ช
www.ssmrmh.ro
107 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
1574. If ๐ < ๐ < 4๐ then find:
๐ = โซ๐ฌ๐ข๐งโ๐(โ๐)
๐๐๐ โ ๐๐ + ๐
๐
๐
๐ ๐
Proposed by Marin Chirciu-Romania
Solution by Marian Ursฤrescu-Romania
๐ = โซ๐ฌ๐ข๐งโ๐(โ๐)
๐๐๐ โ ๐๐ + ๐
๐
๐
๐ ๐ =๐=๐โ๐
โซ๐ฌ๐ข๐งโ๐(โ๐ โ ๐)
๐(๐ โ ๐)๐ โ ๐(๐ โ ๐) + ๐
๐
๐
(โ๐ ๐) =
= โซ๐ฌ๐ข๐งโ๐(โ๐ โ ๐)
๐ โ ๐๐๐ + ๐๐๐ โ ๐ + ๐๐ + ๐๐ ๐
๐
๐
= โซ๐ฌ๐ข๐งโ๐(โ๐ โ ๐)
๐๐๐ โ ๐๐ + ๐๐ ๐
๐
๐
๐ช = โซ๐ฌ๐ข๐งโ๐(โ๐ โ ๐)
๐๐๐ โ ๐๐ + ๐๐ ๐
๐
๐
โ ๐ = ๐ช.
But ๐ฌ๐ข๐งโ๐(โ๐) + ๐ฌ๐ข๐งโ๐(โ๐ โ ๐) =๐
๐; โ๐ โ [๐, ๐], because
๐(๐) = ๐ฌ๐ข๐งโ๐(โ๐) + ๐ฌ๐ข๐งโ๐(โ๐ โ ๐) ; ๐โฒ(๐) = ๐ โ ๐(๐) = ๐ =๐
๐โ
๐ + ๐ช = โซ๐ฌ๐ข๐งโ๐(โ๐) + ๐ฌ๐ข๐งโ๐(โ๐ โ ๐)
๐๐๐ โ ๐๐ + ๐๐ ๐
๐
๐
=๐
๐โซ
๐ ๐
๐๐๐ โ ๐๐ + ๐
๐
๐
=
=๐
๐๐โซ
๐ ๐
๐๐ โ ๐ +๐๐
๐
๐
=๐
๐๐โซ
๐ ๐
(๐ โ๐๐)๐
+๐๐ โ ๐๐๐
๐
๐
=๐
๐๐โซ
๐ ๐
(๐ โ๐๐)๐
+ (โ๐๐โ ๐๐๐ )
๐
๐
๐
๐
๐๐โ ๐โ
๐
๐๐ โ ๐โ ๐ญ๐๐งโ๐
๐ โ๐๐
โ๐๐ โ ๐๐
||
๐
๐
=๐
โ๐(๐๐ โ ๐)โ ๐ ๐ญ๐๐งโ๐โ
๐
๐๐ โ ๐; (๐)
From (1),(2) it follows that:
๐ =๐
โ๐(๐๐ โ ๐)โ ๐ ๐ญ๐๐งโ๐โ
๐
๐๐ โ ๐
1575.
๐ โ ๐ช๐([๐, ๐]), ๐(๐) = ๐, ๐(๐) = ๐, ๐โฒ(๐) = ๐ญ๐๐งโ๐ ๐
Find:
๐(๐) = โซ ๐๐๐(๐)๐
๐
๐ ๐
Proposed by Abdul Mukhtar-Nigeria
www.ssmrmh.ro
108 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
Solution 1 by Adrian Popa-Romania
๐(๐) = โซ ๐๐๐(๐)๐
๐
๐ ๐ =๐๐
๐๐(๐)|
๐
๐
โ๐
๐โซ ๐๐ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐๐
๐
๐ ๐ = ๐๐(๐) โ๐
๐โซ ๐๐ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐๐
๐
๐ ๐ =
= ๐๐ โ๐
๐โซ ๐๐ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐๐
๐
๐ ๐
๐(๐) = ๐๐ โ๐๐ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐
๐๐|๐
๐
+๐
๐๐โซ
๐๐
๐ + ๐๐๐ ๐
๐
๐
=
= ๐๐ โ๐๐
๐๐ญ๐๐งโ๐ ๐ +
๐
๐๐โซ (๐๐ โ ๐ +
๐
๐๐ + ๐)๐ ๐
๐
๐
=
= ๐๐โ๐๐
๐๐ญ๐๐งโ๐ ๐ +
๐
๐๐โ ๐๐
๐|๐
๐
โ๐
๐๐โ ๐|
๐
๐
+๐
๐๐๐ญ๐๐งโ๐ ๐|
๐
๐
=
= ๐๐ โ๐๐
๐๐ญ๐๐งโ๐ ๐ +
๐
๐โ๐
๐+๐
๐๐๐ญ๐๐งโ๐ ๐ = ๐๐ โ
๐๐
๐๐ญ๐๐งโ๐ ๐ +
๐
๐
Solution 2 by Fayssal Abdelli-Bejaia-Algerie
๐(๐) = โซ ๐๐๐(๐)๐
๐
๐ ๐ =๐๐
๐๐(๐)|
๐
๐
โ๐
๐โซ ๐๐ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐๐
๐
๐ ๐ =
๐๐๐ โ๐
๐๐ช;
๐ช = โซ ๐๐ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐๐
๐
๐ ๐ =๐๐
๐๐ญ๐๐งโ๐ ๐|
๐
๐
โ๐
๐โซ
๐๐
๐ + ๐๐๐ ๐
๐
๐
=
=๐๐
๐๐ญ๐๐งโ๐ ๐ โ
๐
๐โซ(๐๐ โ ๐)(๐๐ + ๐)
๐๐ + ๐๐ ๐
๐
๐
โโซ๐ ๐
๐ + ๐๐
๐
๐
=
=๐๐
๐๐ญ๐๐งโ๐ ๐ โ
๐
๐๐ญ๐๐งโ๐ ๐|
๐
๐
โ๐
๐โ (๐๐
๐โ ๐)|
๐
๐
= ๐๐ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐ โ๐
๐
Therefore,
๐(๐) = ๐๐ โ๐๐
๐๐ญ๐๐งโ๐ ๐ +
๐
๐
Solution 3 by Soumitra Mandal-Chandar Nagore-India
๐โฒ(๐) = ๐ญ๐๐งโ๐ ๐ โ โซ ๐โฒ(๐)๐
๐
๐ ๐ = โซ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐๐
๐
๐ ๐ โ
๐(๐) โ ๐(๐) = ๐ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐|๐
๐โโซ
๐
๐ + ๐๐๐ ๐
๐
๐
= ๐ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐ โ๐
๐๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐๐)|
๐
๐
=
www.ssmrmh.ro
109 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
= ๐ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐ โ๐
๐โ ๐ โ ๐ = ๐ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐ โ
๐
๐โ ๐ =
๐
๐+ ๐ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐
๐(๐) = โซ ๐๐๐(๐)๐
๐
๐ ๐ = ๐๐(๐) โ๐
๐โซ ๐๐ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐๐ ๐๐
๐
=
= ๐๐(๐) โ๐
๐๐๐๐ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐|
๐
๐
+๐
๐๐โซ
๐๐
๐ + ๐๐๐ ๐
๐
๐
=
= ๐๐ โ๐๐
๐๐ญ๐๐งโ๐ ๐ +
๐
๐๐โซ ๐๐ (๐ โ
๐
๐ + ๐๐)
๐
๐
๐ ๐ =
= ๐๐โ๐๐
๐๐ญ๐๐งโ๐ ๐ +
๐
๐๐(๐๐ โ ๐) โ
๐
๐๐โซ
๐๐
๐ + ๐๐๐ ๐
๐
๐
=
= ๐(๐
๐+ ๐ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐) โ
๐๐
๐๐ญ๐๐งโ๐ ๐ +
๐
๐โ๐
๐๐โซ (๐ โ
๐
๐ + ๐๐)
๐
๐
๐ ๐ =
=๐๐
๐+๐๐
๐๐ญ๐๐งโ๐ ๐ +
๐
๐โ๐
๐+๐
๐๐๐ญ๐๐งโ๐ ๐|
๐
๐
=
= ๐๐ +๐๐๐
๐๐ญ๐๐งโ๐ ๐
1576. If ๐ < ๐ โค ๐ <๐
๐ then:
โซ๐ญ๐๐ง (
๐ โ ๐๐๐
) (๐ + ๐ฌ๐ข๐ง ๐)
๐ฌ๐ข๐ง ๐๐ ๐
๐
๐
โค๐ฌ๐ข๐ง ๐ โ ๐ฌ๐ข๐ง ๐
๐ฌ๐ข๐ง ๐
Proposed by Daniel Sitaru-Romania
Solution by Ravi Prakash-New Delhi-India
๐ญ๐๐ง (๐ โ ๐๐๐
)(๐ + ๐ฌ๐ข๐ง๐)
๐ฌ๐ข๐ง ๐=
๐ โ ๐ญ๐๐ง๐๐
๐ + ๐ญ๐๐ง๐๐
(๐๐จ๐ฌ๐๐ + ๐ฌ๐ข๐ง
๐๐)๐
๐ฌ๐ข๐ง๐=
=
๐๐จ๐ฌ๐๐ โ ๐ฌ๐ข๐ง
๐๐
๐๐จ๐ฌ๐๐ + ๐ฌ๐ข๐ง
๐๐
(๐๐จ๐ฌ๐๐ + ๐ฌ๐ข๐ง
๐๐)๐
๐ฌ๐ข๐ง ๐=(๐๐จ๐ฌ
๐๐ โ ๐ฌ๐ข๐ง
๐๐) (๐๐จ๐ฌ
๐๐ + ๐ฌ๐ข๐ง
๐๐)
๐ฌ๐ข๐ง ๐=
=๐๐จ๐ฌ๐
๐๐ โ ๐ฌ๐ข๐ง
๐ ๐๐
๐ฌ๐ข๐ง ๐=๐๐จ๐ฌ ๐
๐ฌ๐ข๐ง๐
www.ssmrmh.ro
110 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
Hence,
โซ๐ญ๐๐ง (
๐ โ ๐๐๐ )(๐ + ๐ฌ๐ข๐ง๐)
๐ฌ๐ข๐ง ๐๐ ๐
๐
๐
= ๐ฅ๐จ๐ (๐ฌ๐ข๐ง ๐)|๐๐ = ๐ฅ๐จ๐ (
๐ฌ๐ข๐ง๐
๐ฌ๐ข๐ง๐) = ๐ฅ๐จ๐ (๐ โ
๐ฌ๐ข๐ง๐ โ ๐ฌ๐ข๐ง๐
๐ฌ๐ข๐ง๐)
โค
โค๐ฌ๐ข๐ง ๐ โ ๐ฌ๐ข๐ง ๐
๐ฌ๐ข๐ง๐; (โต ๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐) โค ๐, โ๐ โฅ ๐)
1577.
๐(๐) = โซ ๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐) โ ๐ญ๐๐งโ๐(โ๐)๐ ๐๐
๐
, ๐ > ๐
Prove that:
๐(๐) + ๐(๐) + ๐(๐) < (๐ + ๐ + ๐) (๐ + ๐ + ๐ +๐
๐) , โ๐, ๐, ๐ > ๐
Proposed by Floricฤ Anastase-Romania
Solution 1 by Ruxandra Daniela Tonilฤ-Romania
We have: ๐๐ โฅ ๐ + ๐,โ๐ > ๐ โ ๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐) โค ๐, โ๐ > ๐ and ๐ญ๐๐งโ๐(โ๐) โค๐
๐, โ๐ > ๐.
Therefore, ๐(๐) โค๐
๐โซ ๐๐
๐๐ ๐ โ ๐(๐) โค
๐
๐๐๐. Hence,
๐(๐) + ๐(๐) + ๐(๐) โค๐
๐(๐๐ + ๐๐ + ๐๐) < ๐๐ + ๐๐ + ๐๐ <
< (๐+ ๐ + ๐)๐ < (๐ + ๐ + ๐)๐ +๐
๐(๐ + ๐ + ๐) = (๐ + ๐ + ๐) (๐ + ๐ + ๐ +
๐
๐)
Solution 2 by Adrian Popa-Romania
First, we prove that: ๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐) ๐ญ๐๐งโ๐(โ๐) < ๐๐ +๐
๐.
If ๐(๐) = ๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐) ๐ญ๐๐งโ๐(โ๐) โ ๐๐ โ๐
๐, then ๐โฒ(๐) =
๐ญ๐๐งโ๐(โ๐)
๐+๐+๐ฅ๐จ๐ (๐+๐)
๐(๐+๐)โ๐โ ๐
๐ญ๐๐งโ๐(โ๐) < โ๐ < ๐โ๐ < ๐ + ๐ โ๐ญ๐๐งโ๐(โ๐)
๐ + ๐< ๐; (๐)
๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐) < ๐ <(โ)
๐(๐ + ๐)โ๐ โ โ๐ < ๐(๐ + ๐)
โ๐ โค๐+๐
๐< ๐(๐ + ๐) โ (โ) true. Thus,
www.ssmrmh.ro
111 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐)
๐(๐ + ๐)โ๐< ๐; (๐)
From (1),(2) we have ๐โฒ(๐) < ๐ โ ๐(๐) < ๐(๐) = โ๐
๐< ๐.
Now, integrating the inequality: ๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐) ๐ญ๐๐งโ๐(โ๐) < ๐๐ +๐
๐, we get:
๐(๐) < โซ (๐๐ +๐
๐)๐ ๐
๐
๐
= ๐๐ +๐
๐๐
Therefore,
๐(๐) + ๐(๐) + ๐(๐) < ๐๐ + ๐๐ + ๐๐ +๐
๐(๐ + ๐ + ๐) <
< (๐ + ๐ + ๐)๐ +๐
๐(๐ + ๐ + ๐) = (๐ + ๐ + ๐) (๐ + ๐ + ๐ +
๐
๐)
Solution 3 by proposer
๐(๐) = โซ ๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐) โ ๐
๐
๐ญ๐๐งโ๐(โ๐)๐ ๐ = โซ๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐)
โ๐
๐
๐
โ โ๐ ๐ญ๐๐งโ๐(โ๐)๐ ๐
Let be the function ๐: โ โ โ, ๐(๐) = ๐ญ๐๐งโ๐ ๐ โ๐
๐๐+๐โ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐
๐โฒ(๐) =๐๐โ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐+๐๐
(๐๐+๐)๐ โฅ ๐ โ ๐ โincreasing on [๐,โ) โ ๐(๐) โฅ ๐(๐) = ๐
๐ <๐๐
๐๐ + ๐โ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐ < ๐ โ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐ < ๐;โ๐ โฅ ๐ โ
๐ โ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐
๐๐ + ๐< ๐ โบ
๐ โ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐ < ๐๐ + ๐ โบ โ๐ โ ๐ญ๐๐งโ๐ โ๐ < ๐ + ๐;โ๐ > ๐; (๐)
It is well-known: ๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐) โค๐
โ๐+๐; โ๐ โฅ ๐ โ
๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐)
โ๐โค
โ๐
โ๐ + ๐;โ๐ โฅ ๐; (๐)
From (1),(2) it follows that:
๐(๐) = โซ๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐)
โ๐
๐
๐
โ โ๐ ๐ญ๐๐งโ๐(โ๐)๐ ๐ < โซโ๐
โ๐ + ๐โ (๐ + ๐)
๐
๐
๐ ๐ =
= โซ โ๐(๐ + ๐)๐
๐
๐ ๐ โค๐จ๐ดโ๐ฎ๐ด
โซ (๐ +๐
๐)๐ ๐
๐
๐
=๐
๐(๐๐ + ๐)
Therefore,
www.ssmrmh.ro
112 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
๐(๐) + ๐(๐) + ๐(๐) <๐
๐(๐๐ + ๐๐ + ๐๐) +
๐
๐(๐ + ๐ + ๐) < (๐ + ๐ + ๐)๐ +
๐
๐(๐ + ๐ + ๐)
= (๐ + ๐ + ๐) (๐ + ๐ + ๐ +๐
๐)
1578. If ๐ < ๐ โค ๐ then:
โซ๐
โ๐[๐] + ๐โ โ๐ฌ๐ข๐ง (
๐๐
๐๐ + ๐)
[๐]
๐=๐
๐ ๐๐
๐
โฅ๐
๐๐โ๐
๐๐, [โ] โ ๐ฎ๐ฐ๐ญ.
Proposed by Daniel Sitaru-Romania
Solution by Asmat Qatea-Afghanistan
โซ๐
โ๐[๐] + ๐โ โ๐ฌ๐ข๐ง (
๐๐
๐๐ + ๐)
[๐]
๐=๐
๐ ๐๐
๐
โฅ๐
๐๐โ๐
๐๐โ
โซ๐
โ๐[๐] + ๐โ โ๐ฌ๐ข๐ง (
๐๐
๐๐ + ๐)
[๐]
๐=๐
๐ ๐๐
๐
โฅ(?)
๐ฅ๐จ๐ ๐โซ ๐โ๐๐
๐
๐ ๐
๐
โ๐[๐] + ๐โ โ๐ฌ๐ข๐ง (
๐๐
๐๐ + ๐)
[๐]
๐=๐
โฅ(?)
๐โ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ โ ๐ โ [๐,โ)
Case 1. If ๐ โ [๐, ๐) then:
๐
โ๐ โ ๐ + ๐โ โ๐ฌ๐ข๐ง (
๐๐
๐๐ + ๐)
๐
๐=๐
โฅ(?)
๐โ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ โ ๐ โฅ ๐โ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ โ ๐๐ โฅ ๐ฅ๐จ๐ ๐ โ ๐ญ๐ซ๐ฎ๐.
Case 2. If ๐ โ [๐, ๐ + ๐), ๐ โ โ then:
๐
โ๐ โ ๐ + ๐โ โ๐ฌ๐ข๐ง (
๐๐
๐๐ + ๐)
๐
๐=๐
โฅ(?)
๐โ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
โตโ๐ฌ๐ข๐ง (๐๐
๐๐ + ๐)
๐
๐=๐
=โ๐๐ + ๐
๐๐
๐
๐๐โฅ(?)
๐โ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ โ ๐๐โ๐ โฅ ๐ฅ๐จ๐ ๐ โ ๐ญ๐ซ๐ฎ๐, ๐๐๐๐๐ฎ๐ฌ๐ ๐ โ ๐ โฅ ๐
Therefore,
www.ssmrmh.ro
113 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
โซ๐
โ๐[๐] + ๐โ โ๐ฌ๐ข๐ง (
๐๐
๐๐ + ๐)
[๐]
๐=๐
๐ ๐๐
๐
โฅ๐
๐๐โ๐
๐๐
1579.
๐๐ = (๐
๐)๐๐ + (
๐
๐)๐๐โ๐ + (
๐
๐)๐๐โ๐ +โฏ ;๐๐ = (
๐
๐)๐๐โ๐ + (
๐
๐)๐๐โ๐ + (
๐
๐)๐๐โ๐
๐๐ = (๐
๐)๐๐โ๐ + (
๐
๐)๐๐โ๐ + (
๐
๐)๐๐โ๐ +โฏ ;๐ โ โ, ๐ โฅ ๐. ๐ ๐ข๐ง๐:
๐(๐) = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
โ๐๐๐๐ + ๐๐๐๐ + ๐๐๐๐๐
Proposed by Marian Ursฤrescu-Romania
Solution 1 by Adrian Popa-Romania
(๐
๐) = (
๐
๐ โ ๐) โ ๐๐ = (
๐
๐)๐๐ + (
๐
๐ โ ๐)๐๐โ๐ + (
๐
๐ โ ๐)๐๐โ๐ +โฏ
๐๐ = (๐
๐ โ ๐)๐๐โ๐ + (
๐
๐ โ ๐)๐๐โ๐ + (
๐
๐ โ ๐)๐๐โ๐ +โฏ
๐๐ = (๐
๐ โ ๐)๐๐โ๐ + (
๐
๐ โ ๐)๐๐โ๐ + (
๐
๐ โ ๐)๐๐โ๐ +โฏ
Let ๐บ be root by three order of unity, hence ๐บ๐ + ๐บ+ ๐ = ๐ and ๐บ๐ = ๐.
(๐ + ๐)๐ = (๐
๐) + (
๐
๐)๐ + (
๐
๐)๐๐ + (
๐
๐)๐๐ +โฏ ; (๐)
(๐ + ๐บ๐)๐ = (๐
๐) + (
๐
๐) ๐บ๐ + (
๐
๐) (๐บ๐)๐ + (
๐
๐) (๐บ๐)๐ +โฏ ; (๐)
(๐ + ๐บ๐๐)๐ = (๐
๐) + (
๐
๐) (๐บ๐๐) + (
๐
๐) (๐บ๐๐)๐ + (
๐
๐) (๐บ๐๐)๐ +โฏ ; (๐)
Adding (1),(2),(3) it follows that:
(๐ + ๐)๐ + (๐ + ๐บ๐)๐ + (๐ + ๐บ๐๐)๐ =(๐ + ๐)๐ + (๐ + ๐บ๐)๐ + (๐ + ๐บ๐๐)๐
๐= ๐๐
(๐ + ๐)๐ + ๐บ๐(๐ + ๐บ๐)๐ + ๐บ(๐ + ๐บ๐๐)๐ =(๐ + ๐)๐ + ๐บ๐(๐ + ๐บ๐)๐ + ๐บ(๐ + ๐บ๐๐)๐
๐= ๐๐
(๐ + ๐)๐ + ๐บ(๐ + ๐บ๐)๐ + ๐บ๐(๐ + ๐บ๐๐)๐ =(๐ + ๐)๐ + ๐บ(๐ + ๐บ๐)๐ + ๐บ๐(๐ + ๐บ๐๐)๐
๐= ๐๐
Let us denote: ๐ = (๐ + ๐)๐, ๐ = (๐ + ๐บ๐)๐, ๐ = (๐ + ๐บ๐๐)๐
๐๐๐๐ =(๐ + ๐ + ๐)(๐ + ๐บ๐๐ + ๐บ๐)
๐
www.ssmrmh.ro
114 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
๐๐๐๐ =(๐+ ๐ + ๐)(๐ + ๐บ๐ + ๐บ๐๐)
๐
๐๐๐๐ =(๐ + ๐บ๐๐ + ๐บ๐)(๐ + ๐บ๐ + ๐บ๐๐)
๐
๐๐๐๐ + ๐๐๐๐ + ๐๐๐๐ =๐๐๐ + ๐๐๐(๐บ + ๐บ๐)
๐=๐๐ โ ๐๐
๐
=(๐ + ๐)๐๐ โ (๐ + ๐บ๐)๐(๐ + ๐บ๐๐)๐
๐
=(๐ + ๐)๐๐ โ (๐ + ๐บ๐๐ + ๐บ๐ + ๐๐)๐
๐=(๐๐ + ๐๐ + ๐)๐ โ (๐๐ โ ๐ + ๐)๐
๐
๐(๐) = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
โ๐๐๐๐ + ๐๐๐๐ + ๐๐๐๐๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ
๐โโโ(๐๐ + ๐๐ + ๐)๐ โ (๐๐ โ ๐ + ๐)๐
๐
๐
=๐ชโ๐ซ
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
(๐๐ + ๐๐ + ๐)๐ โ (๐๐ โ ๐ + ๐)๐
(๐๐ + ๐๐ + ๐)๐ โ (๐๐ โ ๐ + ๐)๐= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
(๐๐ + ๐๐ + ๐)๐ [๐ โ(๐๐ โ ๐ + ๐)๐
(๐๐ + ๐๐ + ๐)๐]
(๐๐ + ๐๐ + ๐)๐ [๐ โ(๐๐ โ ๐ + ๐)๐
(๐๐ + ๐๐ + ๐)๐]=
= (๐ + ๐)๐ ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐ โ ๐๐+๐
๐ โ ๐๐= (๐ + ๐)๐; (๐ =
๐๐ โ ๐ + ๐
๐๐ + ๐๐ + ๐< 1 โ ๐๐ โ ๐)
Solution 2 by Ravi Prakash-New Delhi-India
(๐
๐) = (
๐
๐ โ ๐) โ ๐๐ = (
๐
๐)๐๐ + (
๐
๐ โ ๐)๐๐โ๐ + (
๐
๐ โ ๐)๐๐โ๐ +โฏ
๐๐ = (๐
๐ โ ๐)๐๐โ๐ + (
๐
๐ โ ๐)๐๐โ๐ + (
๐
๐ โ ๐)๐๐โ๐ +โฏ
๐๐ = (๐
๐ โ ๐)๐๐โ๐ + (
๐
๐ โ ๐)๐๐โ๐ + (
๐
๐ โ ๐)๐๐โ๐ +โฏ
Let ๐บ be root by three order of unity, hence ๐บ๐ + ๐บ+ ๐ = ๐ and ๐บ๐ = ๐.
๐๐ + ๐๐ + ๐๐ = (๐ + ๐)๐
๐๐ + ๐บ๐๐ + ๐บ๐๐๐ = (๐ + ๐บ)
๐
๐๐ + ๐บ๐๐๐ + ๐บ๐๐ = (๐+ ๐บ
๐)๐
๐๐ =๐
๐[(๐ + ๐)๐ + (๐ + ๐บ)๐ + (๐ + ๐บ๐)๐]
๐๐ =๐
๐[(๐ + ๐)๐ + ๐บ๐(๐ + ๐บ)๐ + ๐บ(๐ + ๐บ๐)๐]
www.ssmrmh.ro
115 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
๐๐ =๐
๐[(๐ + ๐)๐ + ๐บ๐(๐ + ๐บ)๐ + ๐บ(๐ + ๐บ๐)๐]
Let ๐ = (๐ + ๐)๐, ๐ = (๐ + ๐บ)๐, ๐ = (๐ + ๐บ๐)๐. Hence,
(๐ + ๐ + ๐)(๐ + ๐๐บ + ๐๐บ๐) + (๐ + ๐ + ๐)(๐ + ๐๐บ๐ + ๐๐บ)
+ (๐ + ๐๐บ + ๐๐บ๐)(๐ + ๐๐บ๐ + ๐๐บ)
= (๐ + ๐ + ๐)(๐๐ โ ๐ โ ๐) + ๐๐ + ๐๐๐บ + ๐๐๐บ๐ + ๐๐๐บ๐ + ๐๐ + ๐๐๐บ + +๐๐๐บ + ๐๐ + ๐๐๐บ๐
= ๐๐๐ โ ๐๐ โ ๐๐ โ ๐๐ โ ๐๐ + ๐๐๐ + ๐๐๐ โ ๐๐ โ ๐๐ + ๐๐ โ ๐๐ โ ๐๐ + ๐๐ + ๐๐ โ ๐๐
= ๐๐๐ โ ๐๐๐ = ๐(๐ + ๐)๐ โ ๐(๐๐ + ๐๐บ + ๐๐บ๐ + ๐)๐ =
= ๐[(๐ + ๐)๐๐ โ (๐๐ โ ๐ + ๐)๐]. Thus,
๐๐๐๐ + ๐๐๐๐ + ๐๐๐๐ =๐
๐[(๐ + ๐)๐ โ (๐๐ โ ๐ + ๐)๐]
Therefore,
๐(๐) = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
โ๐๐๐๐ + ๐๐๐๐ + ๐๐๐๐๐ =
๐
๐๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
[(๐ + ๐)๐ โ (๐๐ โ ๐ + ๐)๐] =
๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
(๐๐ + ๐๐ + ๐)๐ [๐ โ(๐๐ โ ๐ + ๐)๐
(๐๐ + ๐๐ + ๐)๐]
(๐๐ + ๐๐ + ๐)๐ [๐ โ(๐๐ โ ๐ + ๐)๐
(๐๐ + ๐๐ + ๐)๐]= (๐ + ๐)๐;
(๐ฐ๐ก๐๐ซ๐ ๐๐ โ ๐ + ๐
๐๐ + ๐๐ + ๐< 1 โ
(๐๐ โ ๐ + ๐)๐
(๐๐ + ๐๐ + ๐)๐โ ๐)
1580. Find:
๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
โโ๐๐ (๐
๐ โ ๐) (๐
๐)
๐
๐=๐
๐
Proposed by Marian Ursฤrescu-Romania
Solution 1 by Ravi Prakash-New Delhi-India
๐๐ (๐
๐ โ ๐) (๐
๐) = ๐๐ (
๐
๐)(๐
๐) = ๐๐ (
๐ โ ๐
๐ โ ๐)๐
โ
www.ssmrmh.ro
116 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
โ๐๐ (๐
๐ โ ๐) (๐
๐)
๐
๐=๐
= ๐๐โ(๐โ ๐
๐โ ๐)๐๐
๐=๐
= ๐๐โ(๐โ ๐
๐)๐๐โ๐
๐=๐
= ๐๐ (๐๐ โ ๐
๐ โ ๐)
= ๐๐๐๐; (๐๐ = (๐๐ โ ๐
๐ โ ๐))
๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
โโ๐๐ (๐
๐ โ ๐) (๐
๐)
๐
๐=๐
๐
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
โ๐๐๐๐๐
=๐ชโ๐ซ
๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
(๐๐)!
๐!๐!โ (๐ โ ๐)! (๐ โ ๐)!
(๐๐ โ ๐)!=
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐๐(๐๐ โ ๐)
๐๐= ๐
Solution 2 by Adrian Popa-Romania
๐
๐(๐
๐) = (
๐ โ ๐
๐ โ ๐) โ ๐๐ (
๐
๐ โ ๐) (๐
๐) = ๐ (
๐
๐ โ ๐) โ ๐(
๐ โ ๐
๐ โ ๐) =
= (๐ โ ๐ + ๐) (๐
๐ โ ๐) โ ๐ (
๐ โ ๐
๐ โ ๐) = (๐ โ ๐) (
๐
๐ โ ๐) โ ๐ (
๐ โ ๐
๐ โ ๐) + ๐(
๐
๐ โ ๐) โ (
๐ โ ๐
๐ โ ๐)
=
= ๐(๐ โ ๐
๐ โ ๐) โ ๐(
๐ โ ๐
๐ โ ๐) + ๐ (
๐
๐ โ ๐) โ (
๐ โ ๐
๐ โ ๐)
โ๐๐ (๐
๐ โ ๐) (๐
๐)
๐
๐=๐
= ๐๐โ(๐โ ๐
๐โ ๐)
๐
๐=๐
(๐ โ ๐
๐ โ ๐) + ๐โ(
๐
๐โ ๐)(๐ โ ๐
๐ โ ๐)
๐
๐=๐
๐๐๐ญ: (๐ + ๐)๐โ๐ = (๐ โ ๐
๐) + ๐(
๐ โ ๐
๐) + ๐๐ (
๐ โ ๐
๐) +โฏ+ ๐๐โ๐ (
๐ โ ๐
๐ โ ๐)
(๐ + ๐)๐ = ๐๐โ๐ (๐ โ ๐
๐) + ๐๐โ๐ (
๐ โ ๐
๐) + โฏ+ (
๐ โ ๐
๐ โ ๐)
๐๐ก๐๐ง ๐บ๐ =โ(๐โ ๐
๐ โ ๐)
๐
๐=๐
(๐ โ ๐
๐ โ ๐) = (
๐๐ โ ๐
๐ โ ๐)
๐บ๐ = ๐โ(๐
๐โ ๐)(๐ โ ๐
๐ โ ๐)
๐
๐=๐
=โ((๐ โ ๐
๐ โ ๐) + (
๐ โ ๐
๐ โ ๐)) (
๐ โ ๐
๐ โ ๐)
๐
๐=๐
=
=โ(๐โ ๐
๐ โ ๐)๐๐
๐=๐
+โ(๐โ ๐
๐ โ ๐) (๐ โ ๐
๐ โ ๐)
๐
๐=๐
= (๐๐ โ ๐
๐ โ ๐) + (
๐๐ โ ๐
๐ โ ๐) = (
๐๐ โ ๐
๐ โ ๐)
Hence,
www.ssmrmh.ro
117 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
โ๐๐ (๐
๐ โ ๐)(๐
๐)
๐
๐=๐
= ๐๐ (๐๐ โ ๐
๐ โ ๐) + ๐ (
๐๐ โ ๐
๐ โ ๐) = ๐๐ โ
(๐๐ โ ๐)!
(๐ โ ๐)!๐!+ ๐ โ
(๐๐ โ ๐)!
(๐ โ ๐)!๐!=
=(๐๐ โ ๐)! (๐๐ + ๐๐ โ ๐)
(๐ โ ๐)! ๐!
Therefore,
๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
โโ๐๐ (๐
๐ โ ๐) (๐
๐)
๐
๐=๐
๐
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
โ(๐๐ โ ๐)! (๐๐ + ๐๐ โ ๐)
(๐ โ ๐)! ๐!
๐
=๐ชโ๐ซ
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
(๐๐)! [(๐ + ๐)๐ + (๐ + ๐)๐ โ (๐ + ๐)]
๐! (๐ + ๐)!โ
๐! (๐ โ ๐)!
(๐๐ โ ๐)! (๐๐ + ๐๐ โ ๐)=
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
(๐๐)!๐! (๐ โ ๐)!
๐! (๐ + ๐)! (๐๐ โ ๐)!= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
(๐๐ โ ๐) โ ๐๐
๐(๐ + ๐)= ๐
1581. Find:
๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
โ
(
๐ฌ๐ข๐งโ๐ (
๐๐๐๐+๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ + ๐๐)
๐ฅ๐จ๐ (๐ +๐
๐ + ๐๐โ๐!๐ )
๐๐
)
๐
๐=๐
Proposed by Ruxandra Daniela Tonilฤ-Romania
Solution by Adrian Popa-Romania
๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
โ
(
๐ฌ๐ข๐งโ๐ (
๐๐๐๐+๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ + ๐๐)
๐ฅ๐จ๐ (๐ +๐
๐ + ๐๐โ๐!๐ )
๐๐
)
๐
๐=๐
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
โ
(
๐ฌ๐ข๐งโ๐ (๐๐๐๐๐ + ๐๐
)
๐๐๐๐๐ + ๐๐
โ ๐๐๐๐๐ + ๐๐
๐๐ โ ๐ฅ๐จ๐ (๐ +
๐
๐ + ๐๐โ๐!๐ )
๐
๐ + ๐๐โ๐!๐
โ ๐
๐ + ๐๐โ๐!๐
)
๐
๐=๐
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
โ๐๐๐๐
๐ + ๐๐โ (๐ + ๐๐)โ๐!
๐
๐๐
๐
๐=๐
=
www.ssmrmh.ro
118 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐๐๐โ๐!๐
๐๐โ โ๐
๐
๐=๐
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐๐๐โ๐!๐
โ ๐(๐ + ๐)
๐๐๐= ๐๐๐ ๐ฅ๐ข๐ฆ
๐โโโ๐! (๐ + ๐)๐
๐๐๐
๐
=๐ชโ๐ซ
= ๐๐๐ ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
(๐ + ๐)! (๐ + ๐)๐+๐
(๐ + ๐)๐๐+๐โ
๐๐๐
๐! (๐ + ๐)๐= ๐๐๐ ๐ฅ๐ข๐ฆ
๐โโ
๐ + ๐
๐ + ๐โ (๐ + ๐
๐ + ๐)๐
โ (๐
๐ + ๐)๐๐
=
= ๐๐๐ ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
(๐ +๐
๐ + ๐)๐
(๐ โ๐
๐ + ๐)๐๐
= ๐๐๐ โ ๐ โ ๐โ๐ = ๐๐
1582. If ๐, ๐, ๐ > ๐ then find:
๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โ๐(๐ฅ๐จ๐ ๐(๐ฅ๐จ๐ ๐(๐ฅ๐จ๐ ๐(๐
๐ โ ๐โ๐)))) (๐ฅ๐จ๐ ๐(๐ฅ๐จ๐ ๐(๐ฅ๐จ๐ ๐(๐๐ โ ๐โ๐))))
โ๐
Proposed by Daniel Sitaru-Romania
Solution 1 by Adrian Popa-Romania
(๐ฅ๐จ๐ ๐(๐ฅ๐จ๐ ๐(๐ฅ๐จ๐ ๐(๐๐ โ ๐โ๐))))
โฒ=
๐ฅ๐จ๐ ๐(๐ฅ๐จ๐ ๐(๐๐ โ ๐โ๐))
โฒ
๐ฅ๐จ๐ ๐(๐ฅ๐จ๐ ๐(๐๐ โ ๐โ๐)) โ ๐ฅ๐จ๐ ๐=
=(๐ฅ๐จ๐ ๐(๐
๐ โ ๐โ๐))โฒ
๐ฅ๐จ๐ ๐(๐ฅ๐จ๐ ๐(๐๐ โ ๐โ๐)) โ ๐ฅ๐จ๐ ๐(๐
๐ โ ๐โ๐) โ ๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐=
=โ๐๐๐โ๐
๐ฅ๐จ๐ ๐(๐ฅ๐จ๐ ๐(๐๐ โ ๐โ๐)) โ ๐ฅ๐จ๐ ๐(๐๐ โ ๐โ๐) โ ๐๐๐โ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐=
=โ๐
๐ฅ๐จ๐ ๐(๐ฅ๐จ๐ ๐(๐๐ โ ๐โ๐)) โ ๐ฅ๐จ๐ ๐(๐๐ โ ๐โ๐) โ ๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
(๐ฅ๐จ๐ ๐(๐ฅ๐จ๐ ๐(๐ฅ๐จ๐ ๐(๐๐ โ ๐โ๐))))
โฒ=
(๐ฅ๐จ๐ ๐(๐ฅ๐จ๐ ๐(๐๐ โ ๐โ๐)))
โฒ
๐ฅ๐จ๐ ๐(๐ฅ๐จ๐ ๐(๐๐ โ ๐โ๐)) โ ๐ฅ๐จ๐ ๐=
=(๐ฅ๐จ๐ ๐(๐
๐ โ ๐โ๐))โฒ
๐ฅ๐จ๐ ๐(๐ฅ๐จ๐ ๐(๐๐ โ ๐โ๐)) โ ๐ฅ๐จ๐ ๐(๐๐ โ ๐โ๐) ๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐=
=โ๐๐๐โ๐
๐ฅ๐จ๐ ๐(๐ฅ๐จ๐ ๐(๐๐ โ ๐โ๐)) ๐ฅ๐จ๐ ๐(๐๐ โ ๐โ๐) ๐๐๐โ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐=
=โ๐
๐ฅ๐จ๐ ๐(๐ฅ๐จ๐ ๐(๐๐ โ ๐โ๐)) ๐ฅ๐จ๐ ๐(๐๐ โ ๐โ๐) ๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โ๐(๐ฅ๐จ๐ ๐(๐ฅ๐จ๐ ๐(๐ฅ๐จ๐ ๐(๐
๐ โ ๐โ๐)))) (๐ฅ๐จ๐ ๐(๐ฅ๐จ๐ ๐(๐ฅ๐จ๐ ๐(๐๐ โ ๐โ๐))))
โ๐=๐ณโฒ๐ฏ
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โ๐
๐ฅ๐จ๐ ๐(๐ฅ๐จ๐ ๐(๐๐๐โ๐)) โ ๐ฅ๐จ๐ ๐(๐
๐๐โ๐)
๐ฅ๐จ๐ ๐(๐ฅ๐จ๐ ๐(๐๐๐โ๐)) โ ๐ฅ๐จ๐ ๐(๐๐๐โ๐)=๐ฅ๐จ๐ ๐(๐ฅ๐จ๐ ๐(๐
๐)) โ ๐ฅ๐จ๐ ๐(๐๐)
๐ฅ๐จ๐ ๐(๐ฅ๐จ๐ ๐(๐๐)) โ ๐ฅ๐จ๐ ๐(๐๐)= ๐
www.ssmrmh.ro
119 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
Solution 2 by Florentin Viลescu-Romania
๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โ๐(๐ฅ๐จ๐ ๐(๐ฅ๐จ๐ ๐(๐ฅ๐จ๐ ๐(๐
๐ โ ๐โ๐)))) (๐ฅ๐จ๐ ๐(๐ฅ๐จ๐ ๐(๐ฅ๐จ๐ ๐(๐๐ โ ๐โ๐))))
โ๐=
๐=๐โ๐
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โ๐(๐ฅ๐จ๐ ๐(๐ฅ๐จ๐ ๐(๐ฅ๐จ๐ ๐(๐
๐ โ ๐)))) (๐ฅ๐จ๐ ๐(๐ฅ๐จ๐ ๐(๐ฅ๐จ๐ ๐(๐๐ โ ๐))))
โ๐
๐ฅ๐จ๐ ๐(๐ฅ๐จ๐ ๐(๐ฅ๐จ๐ ๐(๐๐ โ ๐))) = ๐ฅ๐จ๐ ๐(๐ฅ๐จ๐ ๐(๐ + ๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐)) =
= ๐ฅ๐จ๐ ๐ (๐ฅ๐จ๐ ๐ (๐ (๐ +๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐
๐))) = ๐ฅ๐จ๐ ๐ (๐ + ๐ฅ๐จ๐ ๐ (๐ +
๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐
๐))
Similarly,
๐ฅ๐จ๐ ๐(๐ฅ๐จ๐ ๐(๐ฅ๐จ๐ ๐(๐๐ โ ๐โ๐))) = ๐ฅ๐จ๐ ๐ (๐ + ๐ฅ๐จ๐ ๐ (๐ +
๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐
๐))
๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โ๐
๐ฅ๐จ๐ ๐ (๐ + ๐ฅ๐จ๐ ๐ (๐ +๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐๐ ))
๐ฅ๐จ๐ ๐ (๐ + ๐ฅ๐จ๐ ๐ (๐ +๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐๐ ))
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โ๐
๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ฅ๐จ๐ ๐โ ๐ฅ๐จ๐ ๐ (๐ +
๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐๐ )
๐ฅ๐จ๐ ๐ (๐ +๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐๐ )
=
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โ๐
๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ฅ๐จ๐ ๐โ ๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐
๐โ ๐
๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โ๐
๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ฅ๐จ๐ ๐โ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ฅ๐จ๐ ๐โ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ฅ๐จ๐ ๐= ๐
1583. ๐๐ = ๐, ๐๐ = ๐, ๐๐ = ๐๐+๐
๐๐+๐
๐๐ โ ๐๐+๐
๐๐+๐
๐๐ . Find:
๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
(โ(๐๐๐๐+๐
)๐
๐
๐=๐
)(๐
๐!โ๐ โ ๐!
๐+๐
๐=๐
)
โ๐
Proposed by Ruxandra Daniela Tonilฤ-Romania
Solution by George Florin ลerban-Romania
๐
๐!โ๐ โ ๐!
๐+๐
๐=๐
=๐
๐!โ((๐ + ๐)! โ ๐!)
๐+๐
๐=๐
=๐
๐!((๐ + ๐)! โ ๐)
๐๐๐๐ = ๐๐+๐
๐(๐+๐) โ ๐๐+๐๐(๐+๐). Let ๐๐ = ๐๐
๐ โ ๐๐๐ = ๐๐+๐
๐ โ ๐๐+๐๐ , ๐๐ = ๐๐ = ๐, ๐๐ = ๐๐
๐ = ๐.
๐๐๐ = ๐๐
๐ โ ๐๐๐
๐๐๐ = ๐๐
๐ โ ๐๐๐
โฆโฆโฆโฆ
๐๐๐ = ๐๐+๐
๐ โ ๐๐+๐๐
www.ssmrmh.ro
120 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
๐ท๐ = ๐๐๐๐โฆ๐๐ โ ๐ท๐๐ =
๐ท๐๐
๐๐๐ โ ๐๐+๐
๐ โ ๐ท๐๐
๐๐๐๐๐๐ โ ๐๐+๐
๐ ๐๐+๐๐
We prove that ๐ท(๐): ๐๐ = ๐,โ๐ โฅ ๐ (by mathematical induction).
(I): ๐ท(๐): ๐๐๐ = ๐๐๐๐๐๐ = ๐๐ โ ๐๐ = ๐๐๐ true.
(II): Suppose that: ๐ท(๐),๐ท(๐),โฆ , ๐ท(๐ + ๐) are true, then
๐๐+๐๐ =
๐๐๐
๐๐+๐๐ =
๐๐๐
๐๐= ๐๐, because ๐๐, ๐๐ > ๐ โ ๐๐+๐ = ๐ โ ๐๐
๐ = ๐ โ ๐๐ = โ๐๐.
๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
(โ(๐๐๐๐+๐
)๐
๐
๐=๐
)(๐
๐!โ๐ โ ๐!
๐+๐
๐=๐
)
โ๐
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
(โ(โ๐๐
โ๐๐+๐ )
๐๐
๐=๐
) โ ๐!
(๐ + ๐)! โ ๐=
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
(๐
๐ + ๐(โ โ๐
๐+๐
๐
๐=๐
) โ ๐! (๐ + ๐)
(๐ + ๐)! โ ๐) =๐ชโ๐บ
๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
โ๐๐+๐
๐ + ๐ โ๐
(๐ + ๐)!
= ๐
Therefore,
๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
(โ(๐๐๐๐+๐
)๐
๐
๐=๐
)(๐
๐!โ๐ โ ๐!
๐+๐
๐=๐
)
โ๐
= ๐
1584. ๐บ(๐) = {(๐, ๐)|๐๐ + ๐๐ โค ๐๐, ๐ โฅ ๐, ๐ โฅ ๐, ๐ โฅ ๐}
Find:
๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐จ๐๐๐(๐บ(๐))
๐๐
Proposed by Daniel Sitaru-Romania
Solution by Ty Halpen-Florida-USA
Rewrite the area bounded by ๐บ(๐) as ๐ โค (๐๐ โ ๐๐)๐
๐ and integrate it from ๐ โค ๐ โค ๐:
๐จ๐๐๐(๐บ(๐)) = โซ โ๐๐ โ ๐๐๐
๐
๐
๐ ๐ =
๐=๐๐
๐๐ ๐๐
๐โซ ๐โ
๐๐โ๐ โ ๐๐
๐
๐
๐ ๐ =
=๐๐
๐โ ๐ช (๐๐)๐ช(
๐๐)
๐ช (๐๐)
=๐๐
๐โ ๐ช๐ (
๐๐)
๐ช (๐๐)
=๐๐
๐โ
(โ๐๐ช(๐๐))๐ช
๐ (๐๐)
๐๐ =๐๐๐ช๐ (
๐๐)
๐๐ โ๐
www.ssmrmh.ro
121 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
Therefore,
๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐จ๐๐๐(๐บ(๐))
๐๐=๐ช๐ (
๐๐)
๐๐ โ๐
1585. Prove that:
โ๐
๐+ ๐
โ
๐=๐
๐๐จ๐ฌ (๐ ๐
๐) =
โ๐
๐๐(๐๐ + ๐ ๐ฅ๐จ๐ (๐ + โ๐) โ ๐ฅ๐จ๐ ๐)
Proposed by Asmat Qatea-Afghanistan
Solution by Mohammad Rostami-Afghanistan
First we prove that:
โต โ๐ฌ๐ข๐ง(๐๐ฝ)
๐
โ
๐=๐
=๐ โ ๐ฝ
๐, (๐ < ๐ฝ < ๐๐ )
โ๐ฌ๐ข๐ง(๐๐ฝ)
๐
โ
๐=๐
= โ
๐๐๐(๐๐๐๐ฝ โ ๐โ๐๐๐ฝ)
๐
๐
๐=๐
=
=๐
๐๐(โ๐๐๐๐ฝ โซ ๐โ๐๐
โ
๐
๐ ๐ โโ๐โ๐๐๐ฝโ
๐=๐
โซ ๐โ๐๐๐ ๐โ
๐
โ
๐=๐
) =
=๐
๐๐[๐ฅ๐จ๐ (๐ โ ๐๐๐ฝโ๐) โ ๐ฅ๐จ๐ (๐ โ ๐๐๐ฝโ๐)]
๐
โ=๐
๐๐[๐ฅ๐จ๐ (๐ โ ๐โ๐๐ฝ) โ ๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐๐๐ฝ)] =
=๐
๐๐๐ฅ๐จ๐ (
๐ โ ๐โ๐๐ฝ
๐ โ ๐๐๐ฝ) =
๐
๐๐๐ฅ๐จ๐ (
๐๐๐ฝ โ ๐
๐๐๐ฝ(๐ โ ๐๐๐ฝ)) =
๐
๐๐๐ฅ๐จ๐ (โ๐โ๐๐ฝ) =
=๐
๐๐(๐ฅ๐จ๐ (โ๐) + ๐ฅ๐จ๐ (๐โ๐๐ฝ)) =
{ ๐๐ ๐=โ๐๐ ๐=๐ฅ๐จ๐ (โ๐) ๐
๐๐(๐ ๐ โ ๐ฝ๐) =
๐(๐ โ ๐ฝ)
๐๐=๐ โ ๐ฝ
๐
Next, we prove that:
โต โ๐๐จ๐ฌ(๐๐ฝ)
๐
โ
๐=๐
= โ๐
๐๐ฅ๐จ๐ (๐ โ ๐๐๐จ๐ฌ ๐ฝ) ; (๐ฝ โ โ)
โ๐๐จ๐ฌ(๐๐ฝ)
๐
โ
๐=๐
=โ
๐๐(๐๐๐๐ฝ + ๐โ๐๐๐ฝ)
๐
๐
๐=๐
=
www.ssmrmh.ro
122 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
=๐
๐(โ๐๐๐๐ฝโซ ๐โ๐๐
โ
๐
๐ ๐ +โ๐โ๐๐๐ฝโ
๐=๐
โซ ๐โ๐๐๐ ๐โ
๐
โ
๐=๐
) =
=๐
๐(โซ โ(๐๐๐ฝโ๐)
๐โ
๐=๐
๐ ๐โ
๐
+โซ โ(๐โ๐๐ฝโ๐)๐
๐
๐=๐
๐ ๐โ
๐
) =
=๐
๐(โซ
๐๐๐ฝโ๐
๐ โ ๐๐๐ฝโ๐
โ
๐
๐ ๐ +โซ๐โ๐๐ฝโ๐
๐ โ ๐๐๐ฝโ๐๐ ๐
โ
๐
) =
=๐
๐[๐ฅ๐จ๐ (๐ โ ๐๐๐ฝโ๐) + ๐ฅ๐จ๐ (๐ โ ๐๐๐ฝโ๐)]
๐
โ=๐
๐[๐ฅ๐จ๐ (๐ โ ๐โ๐๐ฝ) โ ๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐๐๐ฝ)] =
= โ๐
๐๐ฅ๐จ๐ (
(๐ โ ๐๐๐ฝ)(๐๐๐ฝ โ ๐)
๐๐๐ฝ) = โ
๐
๐๐ฅ๐จ๐ (โ๐โ๐๐ฝ(๐ โ ๐๐๐๐ฝ + ๐๐๐๐ฝ)) =
= โ๐
๐๐ฅ๐จ๐ (โ๐โ๐๐ฝ + ๐ โ ๐๐๐ฝ) = โ
๐
๐๐ฅ๐จ๐ (๐ โ (๐๐๐ฝ + ๐โ๐๐ฝ)) = โ
๐
๐๐ฅ๐จ๐ (๐ โ ๐ ๐๐จ๐ฌ๐ฝ)
Hence, we have:
โ๐
๐ + ๐
โ
๐=๐
๐๐จ๐ฌ (๐ ๐
๐) = โ
๐
๐๐๐จ๐ฌ [
๐
๐(๐ โ ๐)] =
โ
๐=๐
โ๐
๐๐๐จ๐ฌ [(
๐
๐๐) โ
๐
๐] =
โ
๐=๐
= โ๐
๐[๐๐จ๐ฌ
๐
๐๐๐จ๐ฌ (
๐
๐๐) + ๐ฌ๐ข๐ง
๐
๐๐ฌ๐ข๐ง (
๐
๐๐)]
โ
๐=๐
=
=โ๐
๐[โ
๐๐จ๐ฌ (๐ ๐ ๐)
๐
โ
๐=๐
+โ๐ฌ๐ข๐ง (
๐ ๐ ๐)
๐
โ
๐=๐
] =โ๐
๐(โ๐
๐๐ฅ๐จ๐ (๐ โ โ๐) +
๐๐
๐) =
=โ๐
๐๐[๐๐ โ ๐ ๐ฅ๐จ๐ (๐ โ โ๐)] =
โ๐
๐๐[๐๐ + ๐ ๐ฅ๐จ๐ (
๐(๐ + โ๐)โ๐
(๐ โ โ๐)(๐ + โ๐)โ๐) =
=โ๐
๐๐[๐๐ + ๐ ๐ฅ๐จ๐ (
๐โ๐ + ๐
๐โ๐)] =
โ๐
๐๐[๐๐ + ๐ ๐ฅ๐จ๐ (
๐ + โ๐
๐)] =
=โ๐
๐๐[๐๐ + ๐ ๐ฅ๐จ๐ (๐ + โ๐) โ ๐ ๐ฅ๐จ๐ โ๐] =
โ๐
๐๐(๐๐ + ๐ ๐ฅ๐จ๐ (๐ + โ๐) โ ๐ฅ๐จ๐ ๐)
โโ๐
๐ + ๐
โ
๐=๐
๐๐จ๐ฌ (๐ ๐
๐) =
โ๐
๐๐(๐๐ + ๐ ๐ฅ๐จ๐ (๐ + โ๐) โ ๐ฅ๐จ๐ ๐)
www.ssmrmh.ro
123 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
1586.
๐๐(๐) = โซ ๐๐+๐โ๐๐โ๐๐โ๐โฆโ๐โ๐๐
โ๐๐
๐ ๐,๐๐(๐) = โซ ๐โ๐๐โ๐๐โฆโ๐๐+๐๐
๐
๐ ๐, ๐ โ โโ , ๐ โฅ ๐
Find:
๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐๐๐๐๐๐(๐)๐๐(๐)
Proposed by Costel Florea-Romania
Solution by Kamel Gandouli Rezgui-Tunisia
๐(๐) = ๐๐+๐โ๐๐โ๐๐โ๐โฆโ๐ = ๐๐+๐ โ ๐๐๐ โ โฆ โ ๐
๐โ๐
๐๐+๐ โ โฆ โ ๐๐๐๐ = ๐๐๐
๐๐ = ๐+ ๐ +๐
๐+๐ โ ๐
๐+๐ โ ๐
๐+โฏ+
๐
๐๐= ๐โ
๐
๐๐
๐
๐=๐
โโ๐โ ๐
๐๐
๐
๐=๐
=
=โ๐
๐๐(๐ + ๐)
๐
๐=๐
+ ๐ +๐
๐โโ
๐
๐๐
๐
๐=๐
โ๐
๐๐
๐
๐=๐
=๐
๐โ (๐ + ๐) (
๐
๐)๐
โ ๐๐ =๐
๐โ ๐ โ (
๐๐)๐โ๐
๐ โ๐๐
โ (๐ + ๐) +๐
๐โ (๐
๐โ (๐ + ๐) (
๐
๐)๐
) =
= (๐
๐โ (๐
๐)๐
)(๐ + ๐) + (๐ + ๐) (๐
๐)๐
= (๐
๐)๐
+๐
๐(๐ + ๐)
๐(๐) = ๐โ๐๐โ๐๐โฆโ๐๐+๐ = ๐๐ โ ๐๐๐ โ ๐
๐๐ โ ๐
๐
๐๐ โ โฆ โ ๐๐+๐๐๐ = ๐๐๐ ,
๐๐ = ๐ +๐
๐+๐
๐๐+โฏ+
๐ + ๐
๐๐=โ
๐+ ๐
๐๐
๐
๐=๐
== ๐ โ (๐ + ๐) (๐
๐)๐
+ ๐ โ (๐
๐)๐
= ๐ โ (๐
๐)๐
(๐ + ๐) โ ๐
www.ssmrmh.ro
124 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
๐๐(๐) = โซ ๐๐+๐โ๐๐โ๐๐โ๐โฆโ๐โ๐๐
โ๐๐
๐ ๐ = โซ ๐๐(๐)โ๐๐
โ๐๐
๐ ๐ = [๐๐๐+๐
๐๐ + ๐]โ๐๐
โ๐๐
=
=๐๐(
๐๐+๐๐) โ ๐
๐๐+๐๐
๐๐ + ๐
๐๐(๐) = โซ ๐โ๐๐โ๐๐โฆโ๐๐+๐๐
๐
๐ ๐ = โซ ๐๐๐๐
๐
๐ ๐ = [๐๐๐+๐
๐๐ + ๐]๐
๐
=๐๐๐+๐ โ ๐
๐๐ + ๐
Hence,
๐๐(๐)
๐๐(๐)=
๐๐(๐๐+๐๐) โ ๐
๐๐+๐๐
๐๐ + ๐
๐๐๐+๐ โ ๐๐๐ + ๐
=๐๐ + ๐
๐๐ + ๐โ โ๐
โ ๐๐(
๐๐+๐๐) โ ๐
๐๐+๐๐
๐๐+๐๐ โ ๐โ ๐โ๐/๐๐
> 0
Therefore,
๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐๐๐๐๐๐(๐)๐๐(๐) = ๐.
1587. Prove that:
โ(๐
(๐๐ โ ๐)!+
๐
(๐๐ โ ๐)!โ
๐
(๐๐ โ ๐)!โ
๐
(๐๐ โ ๐)!)
โ
๐=๐
= โ๐๐
๐๐ฌ๐ข๐ง (
๐๐ + ๐โ๐
๐)
Proposed by Asmat Qatea-Afghanistan
Solution by Felix Marin-Romania
๐ฏ โHankel Contour.
๐ถ โ {๐, ๐, ๐, ๐},โ๐
(๐๐ โ ๐ถ)!
โ
๐=๐
=โ๐
๐ช(๐๐ โ ๐ถ + ๐)!
โ
๐=๐
=โโฎ๐๐
๐๐๐โ๐ถ+๐๐ ๐
๐๐ ๐๐ฏ
โ
๐=๐
=
= โโซ๐๐
๐๐๐โ๐ถ+๐
๐++โ๐
๐+โโ๐
๐ ๐
๐๐ ๐
โ
๐=๐
= โซ ๐๐๐๐ถโ๐๐++โ๐
๐+โโ๐
โ(๐
๐๐)๐โ
๐=๐
๐ ๐
๐๐ ๐= โซ
๐๐๐๐ถโ๐
๐๐ โ ๐
๐ ๐
๐๐ ๐
๐++โ๐
๐+โโ๐
=
= โ๐๐๐๐๐
๐ถโ๐
๐๐๐๐|๐๐=๐
๐๐ ๐๐
๐
๐=๐
=๐
๐โ๐๐๐๐๐
๐ถ
๐
๐=๐
Therefore,
www.ssmrmh.ro
125 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
โ(๐
(๐๐ โ ๐)!+
๐
(๐๐ โ ๐)!โ
๐
(๐๐ โ ๐)!โ
๐
(๐๐ โ ๐)!)
โ
๐=๐
=๐
๐โ๐๐๐(๐๐
๐ + ๐๐๐ โ ๐๐
๐ โ ๐๐๐)
๐
๐=๐
=
= โ๐ [๐๐จ๐ฌ (โ๐
๐) +
โ๐
๐๐ฌ๐ข๐ง(
โ๐
๐)] โ ๐. ๐๐๐๐
1588. Find:
๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐
๐!โซ
๐๐ ๐ฌ๐ข๐ง (๐ +๐ ๐)
๐๐
โ
๐
๐ ๐
Proposed by Daniel Sitaru-Romania
Solution by Mohammad Rostami-Afghanistan
๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐
๐!โซ
๐๐ ๐ฌ๐ข๐ง (๐ +๐ ๐)
๐๐
โ
๐
๐ ๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐
๐!โซ
๐๐
๐๐โ ๐๐๐+
๐ ๐๐ โ ๐โ๐๐โ
๐ ๐๐
๐๐๐ ๐
โ
๐
=
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐
๐!(๐๐ ๐๐
๐๐โซ ๐๐๐โ(๐โ๐)๐โ
๐
๐ ๐ โ๐โ๐๐๐๐
๐๐โซ ๐๐๐โ(๐+๐)๐โ
๐
๐ ๐) =(๐ยฑ๐)๐=๐
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐
๐!(๐๐ ๐๐
๐๐โซ
๐(๐+๐)โ๐๐โ๐
(๐ โ ๐)๐+๐
โ
๐
๐ ๐ โ๐โ๐ ๐๐
๐๐โซ
๐(๐+๐)โ๐๐โ๐
(๐ + ๐)๐+๐
โ
๐
๐ ๐) =
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐
๐ช(๐ + ๐)โ ๐ช(๐ + ๐) [
๐๐ ๐๐
๐๐(๐ โ ๐)๐+๐โ
๐โ๐ ๐๐
๐๐(๐ + ๐)๐+๐] =
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
[๐๐ ๐๐
๐๐ (โ๐๐โ๐ ๐๐)๐+๐ โ
๐โ๐ ๐๐
๐๐ (โ๐๐๐ ๐๐)๐+๐] =
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐
(โ๐)๐+๐(๐๐ ๐๐+๐ ๐๐๐
๐๐โ๐โ๐ ๐๐โ๐ ๐๐๐
๐๐) =
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐
(โ๐)๐+๐
[(๐๐จ๐ฌ
๐ ๐ + ๐ ๐ฌ๐ข๐ง
๐ ๐) ๐
(๐ ๐๐)๐
๐๐โ(๐๐จ๐ฌ (โ
๐ ๐) + ๐ ๐๐๐ (โ
๐ ๐))๐
(โ๐ ๐๐)๐
๐๐] =
www.ssmrmh.ro
126 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐
(โ๐)๐+๐(๐(๐ ๐๐)๐ + ๐(โ
๐ ๐๐)๐
๐) = ๐ฅ๐ข๐ฆ
๐โโ
๐
(โ๐)๐+๐ ๐๐จ๐ฌ (
๐
๐๐) = ๐
Solution 2 by Syed Shahabudeen-India
๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐
๐!โซ
๐๐ ๐ฌ๐ข๐ง (๐ +๐ ๐)
๐๐
โ
๐
๐ ๐ =๐
โ๐๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐
๐!โซ
๐๐(๐ฌ๐ข๐ง ๐ + ๐๐จ๐ฌ ๐)
๐๐
โ
๐
๐ ๐ =
=๐
โ๐๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐
๐!(๐ฐ๐โซ ๐๐๐โ๐(๐โ๐)
โ
๐
๐ ๐ + ๐น๐โซ ๐๐๐โ๐(๐โ๐)โ
๐
๐ ๐) =
=๐
โ๐๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐
๐!(๐ฐ๐๐ด(๐โ๐(๐โ๐)) + ๐น๐๐ด(๐โ๐(๐โ๐))) ; (๐๐๐๐๐ ๐ด๐๐๐๐๐ ๐ป๐๐๐๐๐๐๐๐)
=๐
โ๐๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
(๐ฐ๐(๐ โ ๐)โ(๐+๐) +๐น๐(๐ โ ๐)โ(๐+๐)) =
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐
(โ๐)๐+๐ (๐ฐ๐(๐
๐๐ (๐+๐)๐ ) + ๐น๐ (๐๐
๐ (๐+๐)๐ )) =
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐
(โ๐)๐+๐ (๐ฌ๐ข๐ง(
๐ (๐ + ๐)
๐) + ๐๐จ๐ฌ (
๐ (๐ + ๐)
๐)) = ๐ฅ๐ข๐ฆ
๐โโ
๐๐จ๐ฌ (๐ ๐๐ )
(โ๐)๐+๐ = ๐, ๐๐๐๐๐ฎ๐ฌ๐
๐ โ โ๐
(โ๐)๐+๐ โค
๐๐จ๐ฌ (๐ ๐๐ )
(โ๐)๐+๐ โค
๐
(โ๐)๐+๐ โ ๐
Solution 3 by Muhammad Afzal-Pakistan
๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐
๐!โซ
๐๐ ๐ฌ๐ข๐ง (๐ +๐ ๐)
๐๐
โ
๐
๐ ๐ ; (๐)
๐ = โซ๐๐ ๐ฌ๐ข๐ง (๐ +
๐ ๐)
๐๐
โ
๐
๐ ๐ = ๐ฐ๐{โซ ๐๐๐๐(๐โ๐)+
๐๐ ๐
โ
๐
๐ ๐} =
= ๐ฐ๐{๐๐๐ ๐โซ ๐๐๐๐(๐โ๐)
โ
๐
๐ ๐} =๐=โ๐(๐โ๐)
๐ฐ๐{๐๐๐ ๐
(๐ โ ๐)๐โ๐โซ ๐๐๐โ๐โ
๐
๐ ๐}
= ๐ช(๐ + ๐)๐ฐ๐{๐๐๐ ๐
๐
(๐ โ ๐)๐โ๐} = ๐! ๐ฐ๐{๐๐
๐ ๐(๐ + ๐)๐โ๐
๐๐โ๐} =
www.ssmrmh.ro
127 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
=๐!
๐๐โ๐๐ฐ๐{๐๐
๐ ๐๐๐โ๐๐ ๐๐
๐ ๐(๐โ๐)} =
๐!
๐๐โ๐๐
๐ฐ๐(๐๐๐๐ ๐)
๐ =๐!
๐๐โ๐๐
๐ฌ๐ข๐ง (๐๐
๐)(๐)โ
๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐
๐!โ ๐!
๐๐โ๐๐
๐ฌ๐ข๐ง (๐๐
๐) = โ๐ ๐ฅ๐ข๐ฆ
๐โโ
๐ฌ๐ข๐ง (๐๐ ๐ )
โ๐๐= โ๐ ๐ฅ๐ข๐ฆ
๐โโ
๐๐
๐โ ๐
โ๐๐= ๐
Solution 4 by Ajenikoko Gbolahan-Nigeria
๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐
๐!โซ
๐๐ ๐ฌ๐ข๐ง (๐ +๐ ๐)
๐๐
โ
๐
๐ ๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐
๐!โ ๐
โ๐โซ
๐๐ ๐ฌ๐ข๐ง ๐ + ๐๐ ๐๐จ๐ฌ ๐
๐๐
โ
๐
๐ ๐ =
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐
๐!โ ๐
โ๐โซ [๐ฐ๐(๐๐๐๐๐โ๐) + ๐น๐(๐๐๐๐๐โ๐)]๐ ๐โ
๐
=
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐
๐!โ ๐
โ๐โซ [๐ฐ๐(๐๐๐โ(๐โ๐)๐) + ๐น๐(๐๐๐(๐โ๐)๐)]โ
๐
๐ ๐ =
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐
๐!โ ๐
โ๐[๐ฐ๐๐{๐๐}๐=๐โ๐ + ๐น๐๐{๐
๐}๐=๐โ๐] =
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐
๐!โ ๐
โ๐(๐ฐ๐(
๐!
(๐ โ ๐)๐+๐) + ๐น๐ (
๐!
(๐ โ ๐)๐+๐)) =
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐
โ๐[(๐
โ๐)๐+๐
(โ๐ฌ๐ข๐ง(๐ (โ๐ โ ๐)
๐) + ๐๐จ๐ฌ (
๐ (โ๐ โ ๐)
๐)) =
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐
โ๐๐+๐(โ ๐ฌ๐ข๐ง(
๐ (๐ โ ๐)
๐) + ๐๐จ๐ฌ (
๐ (โ๐ โ ๐)
๐)) = ๐
1589. Prove that:
โ๐ช(๐ +
๐๐)๐(๐ +
๐๐)
๐๐๐!
โ
๐=๐
= โโ๐
๐
๐
๐ช (๐
๐) {๐
๐๐ฅ๐จ๐ (
๐๐๐
๐) + ๐ธ +
๐
๐โ๐}
Proposed by Ajetunmobi Abdulqoyyum-Nigeria
Solution by Dawid Bialek-Poland
๐ = โ๐ช(๐ +
๐๐)๐(๐ +
๐๐)
๐๐๐!
โ
๐=๐
= โ๐ชโฒ (๐ +
๐๐)
๐๐๐!
โ
๐=๐
= โ๐
๐๐๐!โ ๐
๐๐(โซ ๐โ๐ โ ๐๐โ
๐๐
โ
๐
๐ ๐)
โ
๐=๐
=
= โ๐
๐๐๐!โ โซ ๐โ๐ โ ๐๐โ
๐๐ โ ๐ฅ๐จ๐ ๐
โ
๐
๐ ๐
โ
๐=๐
= โซ ๐โ๐ โ ๐ฅ๐จ๐ ๐ โ ๐โ๐๐โ
(๐๐)๐
๐!
โ
๐=๐
๐ ๐โ
๐
=
www.ssmrmh.ro
128 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
= โซ ๐โ๐ โ ๐ฅ๐จ๐ ๐ โ ๐โ๐๐ โ ๐
๐๐
โ
๐
๐ ๐ = โซ ๐โ๐๐ โ ๐ฅ๐จ๐ ๐ โ ๐โ
๐๐๐
โ
๐
๐ ๐ =
=๐
๐๐โซ ๐๐ โ ๐โ
๐๐๐๐ ๐|
๐=โ๐๐
โ
๐
=๐
๐๐(๐ช(๐ + ๐)
(๐๐)๐+๐ )
๐=โ๐๐
=
= ((๐
๐)โ๐โ๐
โ ๐ช(๐ + ๐) โ (๐๐(๐ + ๐) โ ๐ฅ๐จ๐ (๐
๐))๐=โ
๐๐
=
= (๐
๐)โ๐๐โ ๐ช (
๐
๐) (๐๐ (
๐
๐) + ๐ฅ๐จ๐ (
๐
๐))
๐๐ (๐
๐) = โ
๐
๐โ๐โ ๐ธ โ
๐
๐๐ฅ๐จ๐ ๐
๐ = โโ๐
๐
๐
๐ช(๐
๐) {๐
๐๐ฅ๐จ๐ ๐ โ ๐ฅ๐จ๐ (
๐
๐) + ๐ธ +
๐
๐โ๐} =
= โโ๐
๐
๐
๐ช(๐
๐) {๐
๐๐ฅ๐จ๐ ๐ โ ๐ฅ๐จ๐ ๐ + ๐ฅ๐จ๐ ๐ + ๐ธ +
๐
๐โ๐} =
= โโ๐
๐
๐
๐ช(๐
๐) {๐
๐๐ฅ๐จ๐ ๐ โ ๐ฅ๐จ๐ ๐ +
๐
๐๐ฅ๐จ๐ ๐ + ๐ธ +
๐
๐โ๐} =
= โโ๐
๐
๐
๐ช(๐
๐) {๐ธ +
๐
๐โ๐+๐
๐๐ฅ๐จ๐ ๐๐}
1590. Find:
๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
โ[โ(๐ + ๐)(๐ โ ๐ + ๐)
๐
๐=๐
]
โ๐๐
๐=๐
Proposed by Vasile Mircea Popa-Romania
Solution 1 by Kamel Gandouli Rezgui-Tunisia
๐๐ =โ(๐ + ๐)(๐ + ๐)
๐
๐=๐
โโ๐(๐ + ๐)
๐
๐=๐
= (๐ + ๐)โ๐
๐
๐=๐
+ ๐(๐ + ๐) โโ๐๐๐
๐=๐
โโ๐
๐
๐=๐
=
www.ssmrmh.ro
129 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
=๐(๐ + ๐)๐
๐+ ๐(๐ + ๐) โโ๐๐
๐
๐=๐
=๐๐ + ๐๐๐ + ๐๐๐
๐โ
โ๐
๐๐=
๐
๐๐ + ๐๐๐ + ๐๐๐=
๐
๐(๐ + ๐)(๐ + ๐)=
๐
๐๐(๐ + ๐)+๐
๐๐โ
๐
๐(๐ + ๐)
โโ๐
๐๐
๐
๐=๐
=โ(๐
๐๐(๐ + ๐)+๐
๐๐โ
๐
๐(๐ + ๐))
๐
๐=๐
=
=โ๐
๐๐(๐ + ๐)
๐
๐=๐
+โ๐
๐๐
๐
๐=๐
โโ๐
๐(๐ + ๐)
๐
๐=๐
+โ๐
๐๐
๐
๐=๐
โโ๐
๐(๐ + ๐)
๐
๐=๐
๐
๐๐+๐
๐โ๐
๐= ๐ โ โ
๐
๐๐(๐ + ๐)
๐
๐=๐
+โ๐
๐๐
๐
๐=๐
โโ๐
๐(๐ + ๐)
๐
๐=๐
โ โ
๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
โ[โ(๐ + ๐)(๐ โ ๐ + ๐)
๐
๐=๐
]
โ๐๐
๐=๐
= โ๐
๐๐
๐
๐=๐
โโ๐
๐(๐ + ๐)
๐
๐=๐
=
= โ๐
๐๐
๐
๐=๐
โโ๐
๐๐
๐
๐=๐
=๐
๐๐ฏ๐ โ
๐
๐๐ฏ๐ +
๐
๐+๐
๐๐= โ
๐
๐๐๐ฏ๐ +
๐
๐๐
Therefore,
๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
โ[โ(๐ + ๐)(๐ โ ๐ + ๐)
๐
๐=๐
]
โ๐๐
๐=๐
= โ๐
๐๐๐ฏ๐ +
๐
๐๐
Solution 2 by Ravi Prakash-New Delhi-India
โ(๐ + ๐)(๐ โ ๐ + ๐)
๐
๐=๐
=โ[๐(๐ + ๐) โ ๐๐ + (๐ + ๐)]
๐
๐=๐
=
=(๐ + ๐)(๐ + ๐)๐
๐โ๐
๐๐(๐ + ๐)(๐๐ + ๐) + (๐ + ๐)๐ =
=๐
๐(๐๐ + ๐๐+ ๐๐) =
๐
๐๐(๐ + ๐)(๐ + ๐)
โ[โ(๐ + ๐)(๐ โ ๐ + ๐)
๐
๐=๐
]
โ๐๐
๐=๐
=โ๐
๐(๐ + ๐)(๐ + ๐)
๐
๐=๐
= โ[๐
๐๐โ
๐
๐(๐ + ๐)+
๐
๐๐(๐ + ๐)]
๐
๐=๐
www.ssmrmh.ro
130 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
=๐๐
๐๐โ(
๐
๐โ
๐
๐ + ๐)
๐
๐=๐
โ๐
๐๐โ(
๐
๐ + ๐โ
๐
๐ + ๐)
๐
๐=๐
Therefore,
๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
โ[โ(๐ + ๐)(๐ โ ๐ + ๐)
๐
๐=๐
]
โ๐๐
๐=๐
=๐๐
๐๐(๐ +
๐
๐) โ
๐
๐๐(๐
๐+๐
๐+๐
๐+๐
๐+๐
๐) =
๐๐๐
๐๐๐๐.
Solution 3 by Amrit Awasthi-Punjab-India
๐บ๐ =โ(๐ + ๐)(๐ โ ๐ + ๐)
๐
๐=๐
= (๐ + ๐)โ๐
๐
๐=๐
โโ๐๐๐
๐=๐
+ (๐ + ๐)โ๐
๐
๐=๐
=
=๐(๐ + ๐)๐
๐โ๐(๐ + ๐)(๐๐ + !)
๐+ ๐(๐ + ๐) =
๐
๐๐(๐ + ๐)(๐ + ๐)
๐บโฒ๐ =โ๐
๐บ๐
๐
๐=๐
=โ๐
๐(๐ + ๐)(๐ + ๐)
๐
๐=๐
=โ๐
๐๐
๐
๐=๐
โโ๐
๐(๐ + ๐)
๐
๐=๐
+โ๐
๐๐(๐ + ๐)
๐
๐=๐
=
=๐
๐๐ฏ๐ โ
๐
๐(๐ฏ๐ โ ๐ฏ๐) +
๐
๐๐(๐ฏ๐ โ ๐ฏ๐)
Therefore,
๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
โ[โ(๐ + ๐)(๐ โ ๐ + ๐)
๐
๐=๐
]
โ๐๐
๐=๐
=๐
๐๐โ๐๐๐๐
๐๐๐๐=๐๐๐
๐๐๐๐
1591. Prove that:
๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
(โ๐๐ โ ๐
๐+๐
๐๐ฌ๐ข๐ง (
๐
๐))
๐๐+๐ฌ๐ข๐ง(๐๐)
= ๐โ๐๐
Proposed by Abdul Mukhtar-Nigeria
Solution 1 by Asmat Qatea-Afghanistan
๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
(โ๐๐ โ ๐
๐+๐
๐๐ฌ๐ข๐ง (
๐
๐))
๐๐+๐ฌ๐ข๐ง(๐๐)
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
((๐ + ๐ โ ๐)๐๐โ๐)
(๐โ๐)(๐๐+๐ฌ๐ข๐ง(๐๐))
=
= ๐(๐โ๐)(๐๐+๐ฌ๐ข๐ง(๐๐)) = ๐๐บ
www.ssmrmh.ro
131 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
๐บ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
(โ๐๐ โ ๐
๐+๐
๐๐ฌ๐ข๐ง (
๐
๐) โ ๐) (๐๐ + ๐ฌ๐ข๐ง(๐๐)) =
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
(๐๐โ๐ โ๐
๐+๐๐
๐๐ฌ๐ข๐ง (
๐
๐) โ ๐๐) + ๐ฌ๐ข๐ง(๐๐)(โ๐ โ
๐
๐+๐
๐๐ฌ๐ข๐ง (
๐
๐) โ ๐)
โ ๐
=
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
(๐๐โ๐ โ๐
๐+๐
๐โ ๐๐) =
โ๐โ๐๐=๐
๐ฅ๐ข๐ฆ๐โ๐
๐ โ ๐๐
๐(๐ โ ๐๐)(โ๐๐)= โ
๐
๐
Therefore,
๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
(โ๐๐ โ ๐
๐+๐
๐๐ฌ๐ข๐ง (
๐
๐))
๐๐+๐ฌ๐ข๐ง(๐๐)
= ๐โ๐๐
Solution 2 by Kamel Gandouli Rezgui-Tunisia
(โ๐๐ โ ๐
๐+๐
๐๐ฌ๐ข๐ง (
๐
๐))
๐๐+๐ฌ๐ข๐ง(๐๐)
= (โ๐ โ๐
๐+๐
๐๐ฌ๐ข๐ง (
๐
๐))
๐๐+๐ฌ๐ข๐ง๐๐
=
= ๐๐๐+๐ฌ๐ข๐ง(๐๐) ๐ฅ๐จ๐ (โ๐โ
๐๐+๐๐๐ฌ๐ข๐ง(
๐๐))
๐ฅ๐จ๐ (โ๐ โ๐๐ +
๐๐๐ฌ๐ข๐ง (
๐๐))
โ๐ โ๐๐ +
๐๐๐ฌ๐ข๐ง (
๐๐) โ ๐
โ ๐; (๐ โ โ)
๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
(๐๐ + ๐ฌ๐ข๐ง(๐๐))(โ๐ โ๐
๐+๐
๐๐ฌ๐ข๐ง (
๐
๐) โ ๐) =
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐๐ + ๐ฌ๐ข๐ง(๐๐)
๐๐(โ๐ โ
๐
๐+๐
๐๐ฌ๐ข๐ง (
๐
๐) โ ๐) โ ๐๐
Now, we want to find:
๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
(โ๐ โ๐
๐+๐
๐๐ฌ๐ข๐ง (
๐
๐) โ ๐) โ ๐๐
www.ssmrmh.ro
132 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
โ๐ โ ๐ โ ๐ โ๐
๐โ๐๐
๐โ๐๐
๐๐
๐ฌ๐ข๐ง (๐
๐) โ (๐๐ โ
๐๐๐
๐)
๐
๐๐(๐ โ
๐
๐โ๐๐
๐โ๐๐
๐๐+๐
๐(๐๐ โ
๐๐๐
๐) โ ๐) =; (๐ โ ๐)
๐
๐๐(โ๐๐
๐โ๐๐
๐๐+ (โ
๐๐
๐)) โ ๐ = โ
๐
๐โ๐
๐๐โ๐
๐
Hence,
๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
(โ๐ โ๐
๐+๐
๐๐ฌ๐ข๐ง (
๐
๐) โ ๐) โ ๐๐ = โ
๐
๐
Therefore,
๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
(โ๐๐ โ ๐
๐+๐
๐๐ฌ๐ข๐ง (
๐
๐))
๐๐+๐ฌ๐ข๐ง(๐๐)
= ๐โ๐๐
1592. Find:
๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
โ๐๐จ๐ฌ๐๐๐
๐โ ๐๐โ๐๐ โ (
๐
๐) (๐
๐) ๐๐จ๐ฌ
๐(๐ โ ๐)๐
๐๐โค๐<๐โค๐
๐
Proposed by Daniel Sitaru-Romania
Solution 1 by Surjeet Singhania-India
๐๐๐ง๐จ๐ญ๐:๐ฟ๐ = โ (๐
๐) (๐
๐) ๐๐จ๐ฌ
๐๐ (๐ โ ๐)
๐๐โค๐<๐โค๐
Observe that ๐ โค ๐ < ๐ โค ๐ it meand ๐ can take value from ๐ to ๐ โ ๐ and ๐ take value
from ๐ + ๐ to ๐,
๐ฟ๐ = โ (๐
๐) (๐
๐) ๐๐จ๐ฌ
๐(๐ โ ๐)๐
๐๐โค๐<๐โค๐
= โ โ (๐
๐) (๐
๐) ๐๐จ๐ฌ
๐(๐ โ ๐)๐
๐
๐
๐=๐+๐
=
๐โ๐
๐=๐
= โ(๐
๐)
๐โ๐
๐=๐
โ (๐
๐) ๐๐จ๐ฌ
๐๐ (๐ โ ๐)
๐
๐
๐=๐+๐
=๐โ๐=๐
โโ(๐
๐) (
๐
๐ + ๐) ๐๐จ๐ฌ
๐๐๐
๐
๐
๐=๐
๐โ๐
๐=๐
=
www.ssmrmh.ro
133 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
= โโ(๐
๐)(
๐
๐ + ๐) ๐๐จ๐ฌ
๐๐๐
๐
๐โ๐
๐=๐
๐
๐=๐
=๐
๐๐ ๐โโฎ
(๐ + ๐)๐
๐๐+๐โ(๐๐)๐
๐๐๐ ๐
๐โ๐
๐=๐
๐๐จ๐ฌ (๐๐๐
๐)
๐
๐=๐
=
=๐
๐๐ ๐โ๐๐จ๐ฌ (
๐๐๐
๐)โฎ(
(๐ + ๐)๐๐
๐๐+๐+๐โ(๐ + ๐)๐
๐๐+๐+๐)๐ ๐
๐
๐=๐
=โ(๐๐
๐ + ๐) ๐๐จ๐ฌ (
๐๐๐
๐)
๐
๐=๐
=
=โ(๐๐
๐ โ ๐)
๐
๐=๐
๐๐จ๐ฌ (๐๐๐
๐) = โ(
๐๐
๐) ๐๐จ๐ฌ
๐๐ (๐ โ ๐)
๐
๐โ๐
๐=๐โ ๐จ
๐จ๐๐๐,๐ฟ๐ =โ(๐๐
๐ + ๐)
๐
๐=๐
๐๐จ๐ฌ๐๐๐
๐= โ (
๐๐
๐) ๐๐จ๐ฌ
๐๐ (๐ โ ๐)
๐
๐๐
๐=๐+๐
โ ๐ฟ๐ =๐
๐โ(
๐๐
๐) ๐๐จ๐ฌ
๐๐ (๐ โ ๐)
๐
๐๐
๐=๐
โ๐
๐(๐๐
๐)
๐ฟ๐ =๐
๐๐ฝโ(
๐๐
๐) ๐๐ฑ๐ฉ (
๐๐ (๐ โ ๐)
๐)
๐๐
๐=๐
โ๐
๐(๐๐
๐) =
=๐
๐๐ฝ(๐๐ฑ๐ฉ (
๐๐ ๐๐
๐)โ(
๐๐
๐)
๐๐
๐=๐
๐๐ฑ๐ฉ (โ๐๐ ๐๐
๐))โ
๐
๐(๐๐
๐) =
=๐
๐๐ฝ(๐๐ฑ๐ฉ (
๐๐ ๐
๐) (๐ + ๐๐ฑ๐ฉ (โ
๐๐
๐))๐๐
) โ๐
๐(๐๐
๐)
๐ฟ๐ = โ (๐
๐) (๐
๐) ๐๐จ๐ฌ
๐๐ (๐ โ ๐)
๐๐โค๐<๐โค๐
= ๐๐๐โ๐ ๐๐จ๐ฌ๐๐ (๐๐
๐) โ
๐
๐(๐๐
๐)
๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
โ๐๐จ๐ฌ๐๐ (๐
๐) โ ๐๐โ๐๐๐ฟ๐
๐= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
โ๐โ๐ (๐๐
๐)
๐
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
โ๐
โ๐๐
๐
= ๐
Therefore,
๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
โ๐๐จ๐ฌ๐๐๐
๐โ ๐๐โ๐๐ โ (
๐
๐) (๐
๐) ๐๐จ๐ฌ
๐(๐ โ ๐)๐
๐๐โค๐<๐โค๐
๐= ๐.
Solution 2 by Ravi Prakash-New Delhi-India
๐บ = โ (๐
๐) (๐
๐) ๐๐จ๐ฌ
๐(๐ โ ๐)๐
๐๐โค๐<๐โค๐
=
www.ssmrmh.ro
134 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
= โ (๐
๐) (๐
๐) ๐๐จ๐ฌ
๐(๐ โ ๐)๐
๐๐โค๐<๐โค๐
+ โ (๐
๐)(๐
๐) ๐๐จ๐ฌ
๐(๐ โ ๐)๐
๐๐โค๐<๐โค๐
=
= ๐น๐ [โ(๐
๐) (๐
๐) ๐
(๐โ๐)๐ ๐
๐โ ๐
] โโ(๐
๐)๐
๐
๐=๐
+ ๐บ =
= ๐น๐ {[(๐
๐)+ (
๐
๐)๐
๐๐ ๐ + (
๐
๐)๐
๐๐ ๐๐ +โฏ+ (
๐
๐)๐
๐๐ ๐๐ ]
โ [(๐
๐) + (
๐
๐)๐โ
๐๐ ๐ + (
๐
๐)๐โ
๐๐ ๐๐ +โฏ+ (
๐
๐)๐โ
๐๐ ๐๐ ]}
= ๐น๐ [(๐ + ๐๐๐ ๐ )
๐
(๐ + ๐โ๐๐ ๐ )
๐
] = ๐น๐ [(๐ + ๐๐๐จ๐ฌ๐ ๐
๐+ ๐)
๐
] =
= ๐น๐[๐๐ (๐ + ๐๐จ๐ฌ๐
๐)๐
] = ๐๐ (๐ + ๐๐จ๐ฌ๐
๐)๐
= ๐๐ (๐ ๐๐จ๐ฌ๐๐๐
๐)๐
= ๐๐๐ ๐๐จ๐ฌ๐๐ (๐๐
๐)
โ ๐บ = ๐๐๐ ๐๐จ๐ฌ๐๐ (๐๐
๐)โโ(
๐
๐)๐
๐
๐=๐
= ๐๐๐ ๐๐จ๐ฌ๐๐ (๐๐
๐) โ (
๐๐
๐)
โ ๐โ๐๐ = ๐๐จ๐ฌ๐๐ (๐๐
๐) โ
๐
๐๐๐(๐๐
๐)
โ ๐๐จ๐ฌ๐๐ (๐๐
๐) โ ๐๐โ๐๐ โ (
๐
๐)(๐
๐) ๐๐จ๐ฌ
(๐ โ ๐)๐
๐๐โค๐<๐โค๐
=๐
๐๐๐(๐๐
๐)
Therefore,
๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
โ๐๐จ๐ฌ๐๐๐
๐โ ๐๐โ๐๐ โ (
๐
๐)(๐
๐) ๐๐จ๐ฌ
๐(๐ โ ๐)๐
๐๐โค๐<๐โค๐
๐= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
โ๐
๐๐๐(๐๐
๐)
๐
=
=๐ชโ๐ซ ๐
๐๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
(๐๐ + ๐)(๐๐ + ๐)
(๐ + ๐)(๐ + ๐)= ๐
1593. Find:
๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐
๐๐โ๐ฅ๐จ๐ (๐ +
๐
๐) (๐ญ๐๐งโ๐ (
๐
โ๐))๐
๐
๐=๐
Proposed by Floricฤ Anastase-Romania
Solution 1 by Asmat Qatea-Afghanistan
๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐
๐๐โ๐ฅ๐จ๐ (๐ +
๐
๐)(๐ญ๐๐งโ๐ (
๐
โ๐))๐
๐
๐=๐
=๐ชโ๐บ
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
โ ๐ฅ๐จ๐ (๐ +๐๐) (๐ญ๐๐ง
โ๐ (๐
โ๐))๐
๐+๐๐=๐ โโ ๐ฅ๐จ๐ (๐ +
๐๐)(๐ญ๐๐ง
โ๐ (๐
โ๐))๐
๐๐=๐
(๐ + ๐)๐ โ ๐๐=
www.ssmrmh.ro
135 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐ฅ๐จ๐ (๐ +๐
๐ + ๐)(๐ญ๐๐งโ๐ (
๐
โ๐ + ๐))๐
๐๐ + ๐= ๐
Therefore,
๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐
๐๐โ๐ฅ๐จ๐ (๐ +
๐
๐) (๐ญ๐๐งโ๐ (
๐
โ๐))๐
๐
๐=๐
= ๐.
Solution 2 Ruxandra Daniela Tonilฤ-Romania
We have: |๐ญ๐๐งโ๐ ๐| โค๐
๐, โ๐ โ โ โ (๐ญ๐๐งโ๐ ๐)๐ โค
๐ ๐
๐, โ๐ โ โ and ๐ โฅ ๐. Thus,
๐ โค ๐ โค๐ ๐
๐๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐
๐๐โ๐ฅ๐จ๐ (๐ +
๐
๐)
๐
๐=๐
๐ โค ๐ โค ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐
๐๐๐ฅ๐จ๐ (โ
๐+ ๐
๐
๐
๐=๐
) โ ๐ โค ๐ โค ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐
๐๐๐ฅ๐จ๐ (
(๐ + ๐)!
๐!) โ
๐ โค ๐ โค๐ ๐
๐๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐)
๐๐= ๐
Therefore,
๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐
๐๐โ๐ฅ๐จ๐ (๐ +
๐
๐) (๐ญ๐๐งโ๐ (
๐
โ๐))๐
๐
๐=๐
= ๐.
Solution 3 by Ravi Prakash-New Delhi-India
For ๐ > ๐, we have: ๐ < ๐ญ๐๐งโ๐ ๐ < ๐ and ๐ < ๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐) < ๐. Thus,
๐ < ๐ญ๐๐งโ๐ (๐
โ๐) <
๐
โ๐, โ๐ > ๐ and ๐ < ๐ฅ๐จ๐ (๐ +
๐
๐) <
๐
๐, โ๐ > ๐.
๐ < ๐ฅ๐จ๐ (๐ +๐
๐) (๐ญ๐๐งโ๐ (
๐
โ๐))๐
โค๐
๐๐โค ๐,โ๐ โฅ ๐
Hence,
๐ โคโ๐ฅ๐จ๐ (๐ +๐
๐) (๐ญ๐๐งโ๐ (
๐
โ๐))๐
๐
๐=๐
โค ๐, โ๐ โ โ,๐ โฅ ๐
๐ โค๐
๐๐โ๐ฅ๐จ๐ (๐ +
๐
๐)(๐ญ๐๐งโ๐ (
๐
โ๐))๐
๐
๐=๐
โค๐
๐,โ๐ โ โ,๐ โฅ ๐
Therefore,
www.ssmrmh.ro
136 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐
๐๐โ๐ฅ๐จ๐ (๐ +
๐
๐) (๐ญ๐๐งโ๐ (
๐
โ๐))๐
๐
๐=๐
= ๐.
1594. Find:
๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
โ๐ฌ๐ข๐ง๐๐๐
๐โ ๐๐โ๐๐โ(โ๐)๐โ๐ (
๐๐
๐) ๐๐จ๐ฌ
(๐๐ โ ๐๐)๐
๐
๐โ๐
๐=๐
๐
Proposed by Daniel Sitaru-Romania
Solution by Kamel Gandouli Rezgui-Tunisia
๐๐ = โ(โ๐)๐โ๐ (๐๐
๐) ๐๐จ๐ฌ
(๐๐ โ ๐๐)๐
๐
๐โ๐
๐=๐
=โ(โ๐)๐ (๐๐
๐ โ ๐) ๐๐จ๐ฌ
๐๐๐
๐
๐
๐=๐
=
โ(โ๐)๐ (๐๐
๐ + ๐) ๐๐จ๐ฌ
๐๐๐
๐
๐
๐=๐
= โ (โ๐)๐โ๐ (๐๐
๐) ๐๐จ๐ฌ
๐๐ (๐ โ ๐)
๐
๐๐
๐=๐+๐
=
= โ(โ๐)๐โ๐ (๐๐
๐) ๐๐จ๐ฌ
๐๐ (๐ โ ๐)
๐=
๐๐
๐=๐
= โ(โ๐)๐โ๐ (๐๐
๐) ๐๐จ๐ฌ
๐๐ (๐ โ ๐)
๐
๐โ๐
๐=๐
+ โ (โ๐)๐โ๐ (๐๐
๐) ๐๐จ๐ฌ
๐๐ (๐ โ ๐)
๐
๐๐
๐=๐+๐
+ (๐๐
๐)
= ๐๐ + ๐๐ + (๐๐
๐)
โ ๐๐ =๐
๐(โ(โ๐)๐โ๐ (
๐๐
๐) ๐๐จ๐ฌ
๐๐ (๐ โ ๐)
๐
๐๐
๐=๐
โ (๐๐
๐))
โ(โ๐)๐โ๐ (๐๐
๐) ๐๐จ๐ฌ
๐๐ (๐ โ ๐)
๐
๐๐
๐=๐
= ๐น๐(โ(โ๐)๐โ๐ (๐๐
๐) ๐
๐๐๐ (๐โ๐)๐
๐๐
๐=๐
) =
= ๐น๐(โ(โ๐)๐โ๐๐๐๐๐ ๐๐ (
๐๐
๐) ๐๐โ (โ
๐๐ ๐๐)
๐๐
๐=๐
) = (โ๐)๐๐น(โ๐๐๐๐ ๐๐
๐๐
๐=๐
(๐๐
๐) ๐๐โ
๐๐ ๐๐ ) =
= (โ๐)๐๐น๐(๐๐๐๐ ๐๐ (๐ + ๐๐(
๐๐๐ ๐))๐๐
) = (โ๐)๐๐น๐(๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐๐จ๐ฌ๐๐
๐๐
๐๐๐๐๐ ๐๐ )
www.ssmrmh.ro
137 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
= (โ๐)๐๐น๐ (๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐๐จ๐ฌ๐๐
๐๐
๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ) = (โ๐)๐+๐๐๐๐ ๐๐จ๐ฌ๐๐
๐๐
๐
๐๐ = (โ๐)๐+๐๐๐๐โ๐ ๐๐จ๐ฌ๐๐
๐๐
๐โ๐
๐(๐๐
๐)
๐๐โ๐๐๐๐ = (โ๐)๐+๐ ๐๐จ๐ฌ๐๐
๐๐
๐โ๐
๐๐๐(๐๐
๐)
โ ๐ฌ๐ข๐ง๐๐๐
๐โ ๐๐โ๐๐๐๐ = ๐ฌ๐ข๐ง
๐๐๐
๐+ (โ๐)๐ ๐๐จ๐ฌ๐๐
๐
๐โ โ๐
+ ๐โ๐๐ (๐๐
๐)
๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
โ(๐๐)!
๐๐๐(๐!)๐๐
= ๐๐ฑ๐ฉ (๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐
๐(๐ฅ๐จ๐ (๐๐)! โ ๐ฅ๐จ๐ (๐๐๐) โ ๐ ๐ฅ๐จ๐ (๐!))) =
= ๐๐ฑ๐ฉ (๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐
๐(โ ๐ฅ๐จ๐ ๐ โโ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐
๐=๐
๐๐
๐=๐
)) = ๐๐ฑ๐ฉ(๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐
๐โ๐ฅ๐จ๐ (๐ +
๐
๐)
๐
๐=๐
) =
= ๐๐ฑ๐ฉ (โซ ๐ฅ๐จ๐ ๐๐ ๐๐
๐
) =๐
๐
1595. โ๐ < ๐ โค ๐ < ๐, ๐ โ โโ, ๐ท๐ โLegendreโs polynomials. Find:
๐(๐, ๐) = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐
๐โซ
๐ท๐โฒ (๐)
๐ท๐โ๐(๐) โ ๐๐ท๐(๐)๐ ๐
๐
๐
Proposed by Daniel Sitaru-Romania
Solution by Amrit Awasthi-Punjab-India
It is known that:
๐
๐ ๐๐ท๐(๐) =
๐
๐๐ โ ๐(๐ท๐โ๐(๐) โ ๐๐ท๐(๐))
Rearrange and integrating:
โซ๐ท๐โฒ (๐)
๐ท๐โ๐(๐) โ ๐๐ท๐(๐)๐ ๐
๐
๐
= โซ๐
๐ โ ๐๐๐ ๐
๐
๐
=๐
๐๐๐๐(
(๐ + ๐)(๐ โ ๐)
(๐ + ๐)(๐ โ ๐))
๐(๐, ๐) = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐
๐โซ
๐ท๐โฒ (๐)
๐ท๐โ๐(๐) โ ๐๐ท๐(๐)๐ ๐
๐
๐
=๐
๐๐๐๐ (
(๐ + ๐)(๐ โ ๐)
(๐ + ๐)(๐ โ ๐))
www.ssmrmh.ro
138 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
Note by editors (Daniel Sitaru, Floricฤ Anastase)
โ๐ท๐(๐)๐๐
โ
๐=๐
= (๐ โ ๐๐๐ + ๐๐)โ๐๐ = ๐ฒ(๐, ๐)
โ๐
๐โ (โ๐๐ + ๐๐)(๐ โ ๐๐๐ + ๐๐)โ
๐๐ =
๐๐ฒ
๐๐
(๐ โ ๐)(๐ โ ๐๐๐ + ๐๐)โ๐ โ ๐ฒ(๐, ๐) =๐๐ฒ
๐๐
(๐ โ ๐)๐ฒ(๐, ๐) = (๐ โ ๐๐๐ + ๐๐)๐๐ฒ
๐๐
(๐ โ ๐๐๐ + ๐๐)๐๐ฒ
๐๐+ (๐ โ ๐)๐ฒ(๐, ๐) = ๐
(๐ โ ๐๐๐ + ๐๐)โ๐๐ท๐(๐)๐๐โ๐
โ
๐=๐
+ (๐ โ ๐)โ๐ท๐(๐)๐๐
โ
๐=๐
= ๐
Coefficient of ๐๐ is:
โ๐๐ท๐(๐)๐๐โ๐
โ
๐=๐
โ ๐๐๐โ๐ท๐(๐)๐๐
โ
๐=๐
+ ๐๐๐โ๐ท๐(๐)๐๐โ๐
โ
๐=๐
+โ๐ท๐(๐)๐๐+๐
โ
๐=๐
โ ๐โ๐ท๐(๐)๐๐
โ
๐=๐
= ๐
โ๐๐๐๐ท๐(๐) โ ๐๐ท๐(๐) + ๐๐ท๐โ๐(๐) + (๐ + ๐)๐ท๐+๐(๐) = ๐
(๐ + ๐)๐ท๐+๐(๐) โ (๐๐ + ๐)๐๐ท๐(๐) + ๐๐ท๐โ๐(๐) = ๐; (๐)
(๐ โ ๐๐๐ + ๐๐)๐๐ฒ
๐๐โ ๐๐ฒ(๐, ๐) =
= (๐ โ ๐๐๐ + ๐๐) โ (โ๐
๐) โ (โ๐๐) โ (๐ โ ๐๐๐ + ๐๐)โ
๐๐ โ ๐๐ฒ(๐, ๐) =
= ๐ โ ๐ฒ(๐, ๐) โ ๐ โ ๐ฒ(๐, ๐) = ๐
(๐ โ ๐๐๐ + ๐๐) โ โ๐ท๐โฒ (๐)๐๐
โ
๐=๐
โ ๐ โ โ๐ท๐(๐)๐๐
โ
๐=๐
= ๐
Coefficient of ๐๐+๐ is:
๐ท๐+๐โฒ (๐) โ ๐๐๐ท๐
โฒ (๐) + ๐ท๐โ๐โฒ (๐) โ ๐ท๐(๐) = ๐; (๐)
Derivative of (1):
(๐ + ๐)๐ท๐+๐โฒ (๐) โ (๐๐ + ๐)๐ท๐(๐) โ (๐๐ + ๐)๐๐ท๐
โฒ (๐) + ๐๐ท๐โ๐โฒ (๐) = ๐; (๐)
By (2): ๐ท๐โ๐โฒ (๐) = ๐ท๐(๐) + ๐๐๐ท๐
โฒ (๐) โ ๐ท๐+๐โฒ (๐).
www.ssmrmh.ro
139 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
Replace in (3):
(๐ + ๐)๐ท๐+๐โฒ (๐) โ (๐๐ + ๐)๐ท๐(๐) โ (๐๐ + ๐)๐๐ท๐
โฒ (๐) + ๐๐ท๐(๐) + ๐๐๐๐ท๐โฒ (๐) โ ๐๐ท๐+๐
โฒ = ๐
๐ท๐+๐โฒ (๐) โ ๐๐ท๐
โฒ (๐) = (๐ + ๐)๐ท๐(๐)
By (2): ๐ท๐+๐โฒ (๐) = ๐ท๐(๐) + ๐๐๐ท๐
โฒ (๐) โ ๐ท๐โ๐โฒ (๐)
Replace in (3):
(๐ + ๐)(๐ท๐(๐) + ๐๐๐ท๐โฒ (๐) โ ๐ท๐โ๐
โฒ (๐)) โ (๐๐ + ๐)๐ท๐(๐) โ (๐๐ + ๐)๐๐ท๐โฒ (๐) + ๐๐ท๐โ๐
โฒ (๐) = ๐
๐๐ท๐โฒ (๐) โ ๐ท๐โ๐
โฒ (๐) = ๐๐ท๐(๐), ๐ท๐โ๐โฒ (๐) = ๐๐ท๐
โฒ (๐) + ๐๐ท๐(๐)
๐ท๐โฒ (๐) โ ๐(๐๐ท๐
โฒ (๐) โ ๐๐ท๐(๐)) = ๐๐ท๐โ๐(๐)
(๐ โ ๐๐)๐ท๐โฒ (๐) = ๐(๐ท๐โ๐(๐) โ ๐๐ท๐(๐))
1596. Find:
๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐
๐๐(๐ + ๐โ
๐
๐๐ + ๐
๐
๐=๐
)
๐
Proposed by Daniel Sitaru-Romania
Solution 1 by Asmat Qatea-Afghanistan
๐โ๐
๐๐+ ๐
๐
๐=๐
=๐
๐+๐
๐+๐
๐๐+๐
๐๐+๐
๐๐+๐
๐๐+โ
๐
๐๐ + ๐
๐
๐=๐
๐โ๐
๐๐ + ๐
๐
๐=๐
=๐๐๐๐๐๐
๐๐๐๐๐๐โ >๐
+โ๐
๐๐ + ๐
๐
๐=๐
; โ๐ โฅ ๐
Let put ๐น = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐
๐๐(๐ + ๐)๐; (๐ > ๐น)
๐น = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐๐
๐๐=๐ณโฒ๐ฏ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐๐= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐
๐= +โ
Therefore,
๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐
๐๐(๐ + ๐โ
๐
๐๐ + ๐
๐
๐=๐
)
๐
= โ
Solution 2 by Amrit Awasthi-Punjab-India
Using the definition of digamma function, we have:
www.ssmrmh.ro
140 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
๐(๐ + ๐ + ๐) = ๐(๐ + ๐) +โ๐
๐ + ๐
๐
๐=๐
;
๐(๐) = ๐ฅ๐จ๐ ๐ โ๐
๐๐โ
๐
๐๐๐๐+
๐
๐๐๐๐๐โ
๐
๐๐๐๐๐+โฏ
For ๐ =๐
๐โ
๐โ๐
๐๐ + ๐
๐
๐=๐
= ๐(๐ +๐
๐) โ๐(
๐
๐)
๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐
๐๐(๐ + ๐โ
๐
๐๐+ ๐
๐
๐=๐
)
๐
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐
๐๐(๐ + ๐(๐ +
๐
๐) โ ๐(
๐
๐))
๐
=๐ณโฒ๐ฏ
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
(๐ฅ๐จ๐ (๐ +๐๐) โ
๐
๐(๐ +๐๐)โ
๐
๐๐(๐ +๐๐)๐ +
๐
๐๐๐(๐ +๐๐)๐ โ
๐
๐๐๐(๐ +๐๐)๐+. . )
๐โ๐
๐
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
(๐ฅ๐จ๐ (๐ +๐๐))
๐โ๐
๐= โ
Solution 3 by Syed Shahabudeen-Kerala-India
๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐
๐๐(๐ + ๐โ
๐
๐๐ + ๐
๐
๐=๐
)
๐
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐
๐๐(๐ + ๐(๐ +
๐
๐) โ ๐(
๐
๐))
๐
โต ๐(๐) > ๐ฅ๐จ๐ (๐ +๐
๐) โ
๐
๐โ
๐ > ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐
๐๐(๐ + ๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐) โ
๐
๐๐ + ๐+ ๐(
๐
๐))
๐
; (๐๐๐ ๐ + ๐(๐
๐) = ๐)
> ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐
๐๐(๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐) โ
๐
๐๐ + ๐+ ๐)
๐
; (โต ๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐) >๐
๐ + ๐)
> ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐
๐๐(๐ + ๐
๐ + ๐โ
๐
๐๐ + ๐+ ๐)
๐
> ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
(
๐ + ๐๐ + ๐ โ
๐๐๐ + ๐
๐๐๐
+๐
๐๐๐
)
๐
>
> ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
(๐ + ๐)๐
Therefore,
www.ssmrmh.ro
141 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐
๐๐(๐ + ๐โ
๐
๐๐ + ๐
๐
๐=๐
)
๐
= โ
Solution 4 by Remus Florin Stanca-Romania
Let ๐๐ =๐
๐๐(๐ + ๐โ
๐
๐๐+๐
๐๐=๐ )
๐
.
๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐๐+๐๐๐
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐(๐ + ๐)๐
(๐ + ๐โ๐
๐๐ + ๐๐+๐๐=๐ )
๐
๐๐๐(๐ + ๐โ
๐๐๐ + ๐
๐๐=๐ )
๐ =
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
(๐ + ๐โ๐
๐๐ + ๐
๐+๐
๐=๐
)(๐ + ๐โ
๐๐๐ + ๐
๐+๐๐=๐
๐ + ๐โ๐
๐๐ + ๐๐๐=๐
)
๐
๐๐ + ๐ โค ๐๐ + ๐ โ๐
๐๐ + ๐>
๐
๐๐ + ๐โ โ
๐
๐๐ + ๐
๐+๐
๐=๐
โฅ โ๐
๐+ ๐
๐+๐
๐=๐
; (๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐
๐ + ๐= โ)
โ ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
โ๐
๐๐ + ๐
๐+๐
๐=๐
= โ โ ๐ + ๐โ๐
๐๐ + ๐
๐+๐
๐=๐
= โ; (๐)
๐๐๐ ๐(๐) =๐ + ๐โ
๐๐๐ + ๐
๐+๐๐=๐
๐ + ๐โ๐
๐๐ + ๐๐๐=๐
๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
(๐ + ๐โ
๐๐๐ + ๐
๐+๐๐=๐
๐ + ๐โ๐
๐๐ + ๐๐๐=๐
)
๐
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
(๐ + (๐(๐) โ ๐))๐
๐(๐)โ๐โ ๐(๐(๐)โ๐)
=
= ๐๐ฑ๐ฉ {๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐๐
๐๐ + ๐โ
๐
๐ + ๐โ๐
๐๐ + ๐๐๐=๐
} = ๐๐ = ๐; (๐)
From (1),(2) it follows that:
๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐
๐๐(๐ + ๐โ
๐
๐๐ + ๐
๐
๐=๐
)
๐
= โ
1597. Find:
๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐
๐(๐ฏ๐ โ ๐)(๐ฅ๐จ๐ (๐!) โโ
๐ชโฒ(๐)
๐ช(๐)
๐
๐=๐
)
Proposed by Daniel Sitaru-Romania
www.ssmrmh.ro
142 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
Solution 1 by Remus Florin Stanca-Romania
๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐
๐(๐ฏ๐ โ ๐)(๐ฅ๐จ๐ (๐!) โโ
๐ชโฒ(๐)
๐ช(๐)
๐
๐=๐
) = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐ฅ๐จ๐ (๐!) โ โ ๐(๐)๐๐=๐
๐(๐ฏ๐ โ ๐)=๐ชโ๐บ
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐) โ ๐(๐ + ๐)
(๐ + ๐)(๐ฏ๐ +๐
๐ + ๐) โ ๐๐ฏ๐ + ๐=
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐) โ ๐(๐ + ๐)
๐๐ฏ๐ +๐ฏ๐ + ๐ โ ๐โ ๐ โ ๐๐ฏ๐ + ๐= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐) โ ๐(๐ + ๐)
๐ฏ๐=๐ชโ๐บ
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐๐ + ๐) โ ๐
(๐ + ๐) + ๐(๐ + ๐)
๐๐ + ๐
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐๐ + ๐) โ
๐๐ + ๐
๐๐ + ๐
=
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
(๐ + ๐) ๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐
๐ + ๐) โ ๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ
๐โโ๐ฅ๐จ๐ (๐ +
๐
๐ + ๐)๐+๐
โ ๐ = ๐ฅ๐จ๐ ๐ โ ๐ = ๐
Solution 2 by Syed Shahabudeen-Kerala-India
๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐
๐(๐ฏ๐ โ ๐)(๐ฅ๐จ๐ (๐!) โโ
๐ชโฒ(๐)
๐ช(๐)
๐
๐=๐
) =
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐
๐(๐ฏ๐ โ ๐)(๐ฅ๐จ๐ (๐ช(๐ + ๐)) โ ๐(๐)(๐ โ ๐)) =
=๐ชโ๐บ
๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐ฅ๐จ๐ (๐ช(๐ + ๐)๐ช(๐ + ๐)
) โ ๐(๐ + ๐)(๐) + ๐(๐)(๐ โ ๐)
(๐ + ๐)(๐ฏ๐+๐ โ ๐) โ (๐)(๐ฏ๐ โ ๐)=
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐) โ ๐(๐) โ ๐
๐ฏ๐; (๐(๐)~ ๐ฅ๐จ๐ ๐)
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐๐ ) โ ๐
๐ฏ๐= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
โ๐
๐ฏ๐= ๐
Solution 3 by Kamel Gandouli Rezgui-Tunisia
๐ฅ๐จ๐ ๐! โโ๐ชโฒ(๐)
๐ช(๐)
๐
๐=๐
=โ๐ฅ๐จ๐ ๐ โโ๐(๐)
๐
๐=๐
๐
๐=๐
= โ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐
๐=๐
โโ(๐ฏ๐โ๐ โ ๐ธ)
๐
๐=๐
โ
๐
๐(๐ฏ๐ โ ๐)(๐ฅ๐จ๐ (๐!) โโ
๐ชโฒ(๐)
๐ช(๐)
๐
๐=๐
) =๐
๐(๐ฏ๐ โ ๐)(๐ฅ๐จ๐ ๐! โ (๐ โ ๐)(๐ฏ๐โ๐ โ ๐ธ))
www.ssmrmh.ro
143 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
=๐
๐(๐ฏ๐ โ ๐)(๐ฅ๐จ๐ ๐! โ (๐ โ ๐) ๐ฅ๐จ๐ (๐ โ ๐)); (โต ๐ฏ๐โ๐ โ ๐ธ โ ๐ฅ๐จ๐ (๐ โ ๐))
๐ฅ๐จ๐ ๐! = ๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐) โ (๐ +๐
๐) ๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐) โ ๐ โ ๐ +
๐
๐๐ฅ๐จ๐ ๐๐
(๐ฅ๐จ๐ ๐! โ (๐ โ ๐) ๐ฅ๐จ๐ (๐ โ ๐)) โ (๐ +๐
๐) ๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐) โ ๐ โ ๐ +
๐
๐๐ฅ๐จ๐ ๐๐ โ
โ(๐ โ ๐) ๐ฅ๐จ๐ (๐ โ ๐)
(๐+๐
๐) ๐ฅ๐จ๐ (๐+๐)
๐(๐ฏ๐โ๐)โ ๐ and
(๐โ๐) ๐ฅ๐จ๐ (๐โ๐)
๐(๐ฏ๐โ๐)โ ๐
๐ โ ๐ +๐๐๐ฅ๐จ๐ ๐๐
๐(๐ฏ๐ โ ๐)โ ๐
Therefore,
๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐
๐(๐ฏ๐ โ ๐)(๐ฅ๐จ๐ (๐!) โโ
๐ชโฒ(๐)
๐ช(๐)
๐
๐=๐
)
1598.
Find a closed form:
๐ = โ๐
๐โซ (๐ + ๐๐)โ๐ โ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐๐
๐
๐ ๐
โ
๐=๐
Proposed by Ajetunmobi Abdulqoyyum-Nigeria
Solution 1 by Remus Florin Stanca-Romania
๐ =โ๐
๐โซ (๐ + ๐๐)โ๐ โ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐๐
๐
๐ ๐
โ
๐=๐
= โซ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐ โ โ(
๐๐+ ๐๐
)๐
๐
โ
๐=๐
๐ ๐๐
๐
โ๐๐
๐
โ
๐=๐
= โซ(โ๐๐โ๐โ
๐=๐
)๐ ๐ = โซ๐
๐ โ ๐๐ ๐ , ๐๐๐ |๐| < ๐ โ
โ๐๐
๐
โ
๐=๐
= โ ๐ฅ๐จ๐ |๐ โ ๐| โ โ(
๐๐๐ + ๐
)๐
๐
โ
๐=๐
= โ ๐ฅ๐จ๐ |๐๐
๐๐ + ๐| = ๐ฅ๐จ๐ (
๐๐ + ๐
๐๐)
๐ = โซ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐ ๐ฅ๐จ๐ (๐๐ + ๐)๐
๐
๐ ๐ โ ๐โซ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐๐ ๐๐
๐
; (๐)
www.ssmrmh.ro
144 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
โซ๐ฅ๐จ๐ (๐๐ + ๐) โ ๐โฒ๐ ๐ = ๐ ๐ฅ๐จ๐ (๐๐ + ๐) โโซ๐๐๐ + ๐ โ ๐
๐๐ + ๐๐ ๐
= ๐ ๐ฅ๐จ๐ (๐๐ + ๐) โ ๐๐ + ๐ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐
โซ ๐ฅ๐จ๐ (๐๐ + ๐) ๐ญ๐๐งโ๐ ๐๐
๐
๐ ๐ = (๐ ๐ฅ๐จ๐ (๐๐ + ๐) โ ๐๐ + ๐ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐)|๐
๐โ
โโซ (๐ ๐ฅ๐จ๐ (๐๐ + ๐)
๐๐ + ๐โ
๐๐
๐๐ + ๐+๐ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐
๐๐ + ๐)๐ ๐
๐
๐
=
= (๐ฅ๐จ๐ ๐ โ ๐ +๐
๐) โ ๐
๐โ (๐ฅ๐จ๐ ๐(๐๐ + ๐) โ ๐ฅ๐จ๐ (๐๐ + ๐) + (๐ญ๐๐งโ๐ ๐)๐)|
๐
๐=
=๐
๐๐ฅ๐จ๐ ๐ โ
๐
๐+๐ ๐
๐โ๐
๐๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐ โ
๐ ๐
๐๐; (๐)
โซ ๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐๐
๐
๐ ๐ = (๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ โ ๐) ๐ญ๐๐งโ๐ ๐|๐
๐โโซ (
๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐๐ + ๐โ
๐
๐๐ + ๐)๐ ๐
๐
๐
=
= โ๐
๐โโซ
๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐๐ + ๐
๐
๐
๐ ๐ +๐
๐๐ฅ๐จ๐ (๐๐ + ๐)|
๐
๐
= โ๐
๐+๐
๐๐ฅ๐จ๐ ๐ โ โซ
๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐๐ + ๐๐ ๐
๐
๐
๐
๐โซ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐๐ + ๐
๐
๐
๐ ๐ =๐
๐(โโซ
๐ฅ๐จ๐ (๐๐ + ๐)
๐๐ ๐
๐
๐
)
โซ๐ฅ๐จ๐ (๐๐ + ๐)
๐๐ + ๐๐ ๐
๐
๐
=๐๐=๐
โซ๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐)
โ๐โ ๐
๐โ๐
๐
๐
๐ ๐ =๐
๐โซ๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐)
๐
๐
๐
๐ ๐ =
=๐
๐โ(โ๐)๐โ๐โ
๐=๐
โซ๐๐โ๐
๐๐ ๐
๐
๐
=๐
๐โ(โ๐)๐โ๐
๐๐
โ
๐=๐
=๐ ๐
๐๐โ
โซ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐๐ + ๐
๐
๐
๐ ๐ = โ๐ ๐
๐๐โ โซ ๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐๐ ๐
๐
๐
= โ๐
๐+๐
๐๐ฅ๐จ๐ ๐ +
๐ ๐
๐๐; (๐)
From (1),(2),(3) it follows that:
๐ =๐
๐๐(๐ ๐ + ๐๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ โ ๐๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐)
Solution 2 by Amrit Awasthi-India
๐ = โซ โ((๐ + ๐๐)โ๐)๐
๐
โ
๐=๐
๐ญ๐๐งโ๐ ๐๐ ๐๐
๐
= โซ โ ๐ฅ๐จ๐ (๐ โ๐
๐ + ๐๐) ๐ญ๐๐งโ๐ ๐
๐
๐
๐ ๐ =
= โซ ๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐๐) ๐ญ๐๐งโ๐ ๐ ๐ ๐๐
๐
โ ๐โซ ๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐๐
๐
๐ ๐ = ๐ฐ๐ โ ๐๐ฐ๐,
www.ssmrmh.ro
145 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
๐ฐ๐ = โซ ๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐๐) ๐ญ๐๐งโ๐ ๐๐ ๐๐
๐
= ๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐๐)โซ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐๐ ๐ โโซ๐๐
๐ + ๐๐โ โซ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐๐ ๐๐ ๐ =
= ๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐๐) [๐ โ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐ โ๐
๐๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐๐)] โ ๐โซ
๐๐ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐
๐ + ๐๐๐ ๐ +โซ
๐ ๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐๐)
๐ + ๐๐๐ ๐
=
= (๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐๐) โ ๐) [๐ โ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐ โ๐
๐๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐๐)] + (๐ญ๐๐งโ๐ ๐)๐ +
๐
๐๐ฅ๐จ๐ ๐(๐ + ๐๐)
Putting limits, we get:
๐ฐ๐ =๐
๐๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐ +
๐ ๐
๐๐+ (๐ฅ๐จ๐ ๐ โ ๐) (
๐
๐โ๐
๐๐ฅ๐จ๐ ๐)
Now,
๐ฐ๐ = โ(โ๐)๐+๐
๐๐ โ ๐
โ
๐=๐
โซ ๐๐๐โ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐๐ ๐๐
๐
=๐ฅ๐จ๐ ๐=โ๐
โโ(โ๐)๐+๐
๐๐ โ ๐โซ ๐๐โ๐๐๐โ
๐
๐ ๐
โ
๐=๐
=๐=๐๐
= โ๐
๐โ
(โ๐)๐+๐
๐๐(๐๐ โ ๐)
โ
๐=๐
โซ ๐๐โ๐โ
๐
๐ ๐ = โ๐
๐โ
(โ๐)๐+๐
๐๐(๐๐ โ ๐)
โ
๐=๐
Using partial fraction decomposition, we get:
๐ฐ๐ =๐
๐โ(โ๐)๐+๐
๐๐
โ
๐=๐
+๐
๐โ(โ๐)๐+๐
๐
โ
๐=๐
โโ(โ๐)๐+๐
๐๐ โ ๐
โ
๐=๐
=๐
๐โ ๐ ๐
๐๐+๐
๐โ ๐ฅ๐จ๐ ๐ โ
๐
๐
๐ = ๐ฐ๐ โ ๐๐ฐ๐ =๐
๐๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐ +
๐ ๐
๐๐+ (๐ฅ๐จ๐ ๐ โ ๐) (
๐
๐โ๐
๐๐ฅ๐จ๐ ๐) โ ๐ (
๐ ๐
๐๐+๐
๐โ ๐ฅ๐จ๐ ๐ โ
๐
๐) =
=๐
๐๐ฅ๐จ๐ ๐ โ
๐
๐๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐ +
๐ ๐
๐๐
Solution 3 by Katrick Chandra Betal-India
๐ = โ๐
๐โซ
๐ญ๐๐งโ๐ ๐
(๐ + ๐๐)๐๐ ๐
๐
๐
โ
๐=๐
= โโซ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐ ๐ฅ๐จ๐ (๐ โ๐
๐ + ๐๐)๐ ๐
๐
๐
=
= โโซ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐ ๐ฅ๐จ๐ (๐๐
๐ + ๐๐)
๐
๐
๐ ๐ = โซ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐ ๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐๐) ๐ ๐๐
๐
โ ๐โซ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐๐ ๐๐
๐
=
www.ssmrmh.ro
146 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
= [๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐๐) {๐ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐ โ๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐๐)
๐}]๐
๐
โ ๐โซ (๐๐ญ๐๐งโ๐ ๐ โ๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐๐)
๐)๐๐ ๐
๐ + ๐๐
๐
๐
โ
โ๐ [๐ฅ๐จ๐ ๐ {๐ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐ โ๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐๐)
๐}]๐
๐
+ ๐โซ (๐ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐ โ๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐๐)
๐)๐ ๐
๐
๐
๐
=
= ๐ฅ๐จ๐ ๐ (๐
๐โ๐ฅ๐จ๐ ๐
๐) โ โซ
๐๐๐ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐ โ ๐ ๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐๐)
๐ + ๐๐๐ ๐
๐
๐
+โซ (๐ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐ โ๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐๐)
๐)๐ ๐
๐
๐
=
=๐
๐๐ฅ๐จ๐ ๐ โ
๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐
๐โ ๐โซ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐๐ ๐
๐
๐
+ ๐โซ๐ญ๐๐งโ๐ ๐
๐ + ๐๐๐ ๐
๐
๐
+๐
๐โซ๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐)
๐ + ๐๐ ๐
๐
๐
+
+๐โซ ๐ญ๐๐งโ๐ ๐๐ ๐๐
๐
โ๐
๐โซ๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐)
๐๐ ๐
๐
๐
=
=๐
๐๐ฅ๐จ๐ ๐ โ
๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐
๐+ [(๐ญ๐๐งโ๐ ๐)๐]๐
๐ +๐
๐[๐ฅ๐จ๐ ๐(๐ + ๐)
๐]๐
๐
โ๐ป(๐)
๐=
=๐
๐๐ฅ๐จ๐ ๐ โ
๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐
๐+๐ ๐
๐๐+๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐
๐โ๐ ๐
๐๐=๐
๐๐ฅ๐จ๐ ๐ โ
๐ฅ๐จ๐ ๐ ๐
๐+๐ ๐
๐๐
1599. Find:
๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
(๐ โ ๐)!โ๐
(๐ + ๐)๐(๐ โ ๐ + ๐)๐โ๐
๐
๐=๐
Proposed by Daniel Sitaru-Romania
Solution 1 by Kamel Gandouli Habib Rezgui-Tunisia
๐๐ = โ๐
(๐ + ๐)๐(๐ โ ๐ + ๐)๐โ๐
๐
๐=๐
; ๐๐(๐) =๐
(๐ + ๐)๐(๐ โ ๐ + ๐)๐โ๐
๐๐๐(๐) =๐
(๐ + ๐)๐(๐๐ + ๐ โ ๐)๐๐โ๐; ๐๐(๐๐) =
๐
(๐๐ + ๐)๐๐ ๐๐๐ ๐ = ๐ ๐๐๐
๐ = ๐ฆ๐ข๐ง ๐๐๐(๐) โ ๐ฆ๐๐ฑ๐๐๐(๐) =๐
(๐ + ๐)๐(๐ + ๐)๐=
๐
(๐ + ๐)๐๐ ๐๐๐ ๐ = ๐.
๐
(๐๐ + ๐)๐๐โค ๐๐๐(๐) โค
๐
(๐ + ๐)๐๐, โ๐ โ โ
www.ssmrmh.ro
147 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
๐๐ + ๐
(๐๐ + ๐)๐๐โคโ๐๐๐(๐)
๐๐
๐=๐
โค๐๐ + ๐
(๐ + ๐)๐๐, โ๐ โ โ
(๐๐ + ๐)(๐๐ โ ๐)!
(๐๐ + ๐)๐๐โค (๐๐ โ ๐)!โ๐๐(๐๐)
๐๐
๐=๐
โค(๐๐ โ ๐)! (๐๐ + ๐)
(๐ + ๐)๐๐
(๐๐ โ ๐)!
(๐๐ + ๐)๐๐โ๐โค (๐๐ โ ๐)!โ๐๐(๐๐)
๐๐
๐=๐
โค(๐๐ โ ๐)! (๐๐ + ๐)
(๐ + ๐)๐๐
(๐๐ โ ๐)!
(๐๐ + ๐)๐๐โ๐โค ๐๐๐ โค
(๐๐ โ ๐)! (๐๐ + ๐)
(๐ + ๐)๐๐
โต ๐! = โ๐๐๐ (๐
๐)๐
(๐๐ โ ๐)! (๐๐ + ๐)
(๐ + ๐)๐๐โ โ๐๐ (๐๐ โ ๐) (
๐๐ โ ๐๐ )
๐
(๐ + ๐)๐๐(๐๐ + ๐) =
=โ๐๐ (๐๐ โ ๐)(๐๐โ ๐)๐
(๐ + ๐)๐๐๐๐(๐๐ + ๐)
(๐๐ โ ๐)๐
(๐ + ๐)๐๐= (
(๐๐โ ๐)
๐๐ + ๐๐ + ๐)
๐
โ ๐
โ๐๐ (๐๐ โ ๐)(๐๐ + ๐)
๐๐โ โ๐๐ (๐๐ โ ๐)(๐๐ + ๐)๐โ๐ โค (๐๐ + ๐)๐๐โ๐ โ ๐
Similarly for ๐๐ + ๐
๐๐๐+๐(๐) โค๐
(๐๐ โ ๐)๐๐(๐๐)๐๐,
(๐๐)! โ ๐๐๐+๐(๐)
๐๐+๐
๐=๐
โค(๐๐ + ๐)๐๐!
(๐๐ โ ๐)๐๐(๐๐)๐๐โ ๐ โ ๐๐๐+๐ โ ๐
Therefore,
๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
(๐ โ ๐)!โ๐
(๐ + ๐)๐(๐ โ ๐ + ๐)๐โ๐
๐
๐=๐
= ๐
Solution 2 by Ravi Prakash-New Delhi-India
Let ๐ โ โโ {๐}, ๐(๐) = (๐ + ๐)๐(๐ + ๐ โ ๐)๐โ๐, ๐ โค ๐ โค [๐
๐]
www.ssmrmh.ro
148 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
๐ฅ๐จ๐ ๐(๐) = ๐ ๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐) + (๐โ ๐) ๐ฅ๐จ๐ (๐+ ๐ โ ๐)
๐โฒ(๐)
๐(๐)= ๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐) โ ๐ฅ๐จ๐ (๐+ ๐ โ ๐) โ
๐ โ ๐
๐ + ๐ โ ๐=
= ๐ฅ๐จ๐ (๐ + ๐
๐+ ๐ โ ๐) โ
๐ โ ๐
๐ + ๐ โ ๐< ๐,โ๐ < ๐ < [
๐
๐]
Thus, ๐ decreases on [๐, [๐
๐]] โ ๐(๐) โฅ ๐([
๐
๐]) , โ๐ โ [๐, [
๐
๐]].
Hence,
๐
(๐ + ๐)๐(๐๐ + ๐ โ ๐)๐๐โ๐โค
๐
(๐ + ๐)๐(๐ + ๐)๐=
๐
(๐ + ๐)๐๐
and
๐
(๐ + ๐)๐(๐๐ + ๐ โ ๐)๐๐+๐โ๐โค
๐
(๐ + ๐)๐๐+๐
(๐๐ โ ๐)!โ๐
(๐ + ๐)๐(๐๐ โ ๐ + ๐)๐๐โ๐
๐๐
๐=๐
<(๐๐ โ ๐)! (๐๐ + ๐)
(๐ + ๐)๐๐=
(๐๐ + ๐)!
๐๐(๐ + ๐)๐๐
Let ๐๐ =(๐๐+๐)!
๐๐(๐+๐)๐๐ and
(๐๐ + ๐ โ ๐)! โ๐
(๐ + ๐)๐(๐๐ + ๐ โ ๐ + ๐)๐๐+๐โ๐
๐๐+๐
๐=๐
<(๐๐)! (๐๐ + ๐)
(๐ + ๐)๐๐+๐
=(๐๐ + ๐)!
(๐๐ + ๐)(๐ + ๐)๐๐+๐
Let ๐๐ =(๐๐+๐)!
(๐๐+๐)(๐+๐)๐๐+๐. We prove that: ๐๐ , ๐๐ โ โ for ๐ โ โ.
๐๐๐๐+๐
= (๐+๐
๐) โ
(๐ + ๐)๐
(๐๐ + ๐)(๐๐+ ๐)[(๐ +
๐
๐ + ๐)๐+๐
]
๐
โ๐๐
๐
As ๐๐
๐> ๐, ๐๐ โ ๐ as ๐ โ โ. Similarly, ๐๐ โ ๐ as ๐ โ โ.
Now,
๐ <โ๐
(๐ + ๐)๐(๐ โ ๐ + ๐)๐โ๐
๐
๐=๐
< ๐๐, ๐๐
As ๐๐ โ ๐, ๐๐ โ ๐ as ๐ โ โ. Therefore,
www.ssmrmh.ro
149 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
(๐ โ ๐)!โ๐
(๐ + ๐)๐(๐ โ ๐ + ๐)๐โ๐
๐
๐=๐
= ๐
1600.
๐๐(๐) = โซ๐ ๐
๐(๐ + ๐๐), ๐ โ โโ, ๐๐(๐) = ๐ฅ๐จ๐ ๐
Find:
๐(๐) = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
(๐๐๐(๐)) , ๐ > ๐
Proposed by Daniel Sitaru-Romania
Solution 1 by Ravi Prakash-New Delhi-India
๐๐(๐) = โซ๐ ๐
๐(๐ + ๐๐)= โซ
๐๐โ๐
๐๐(๐ + ๐๐)๐ ๐ = โซ(
๐
๐๐โ
๐
๐ + ๐๐)๐๐โ๐ ๐ ๐ =
=๐
๐โซ(๐
๐โ
๐
๐ + ๐)๐ ๐ =
๐
๐๐ฅ๐จ๐ (
๐
๐ + ๐) + ๐ช =
๐
๐๐ฅ๐จ๐ (
๐๐
๐ + ๐๐) + ๐ช
๐๐(๐) =๐
๐๐ฅ๐จ๐ (
๐
๐) = โ
๐
๐๐ฅ๐จ๐ ๐ + ๐ช โ ๐ช =
๐ + ๐
๐๐ฅ๐จ๐ ๐
Thus,
๐๐๐(๐) = (๐ + ๐) ๐ฅ๐จ๐ ๐ + ๐ฅ๐จ๐ (๐๐
๐ + ๐๐) = ๐ฅ๐จ๐ ๐ + ๐ฅ๐จ๐ (
๐๐๐๐
๐ + ๐๐)
If ๐ < ๐ <๐
๐, ๐ < ๐๐ < ๐ โ (๐๐)๐ โ ๐
๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐๐๐(๐) = โโ ๐๐ ๐ < ๐ <๐
๐.
For ๐ =๐
๐ we have: ๐๐๐(๐) = ๐ฅ๐จ๐ ๐ + ๐ฅ๐จ๐ (
๐
๐+(๐
๐)๐) โ ๐ฅ๐จ๐ ๐ as ๐ โ โ.
For ๐
๐< ๐ < ๐, (๐๐)๐ โ โ,๐๐ โ โ ad ๐๐๐(๐) โ โ as ๐ โ โ.
For ๐ โฅ ๐,๐๐๐(๐) = ๐ฅ๐จ๐ ๐ โ ๐ฅ๐จ๐ (๐
๐๐+
๐
๐๐๐๐) โ โ as ๐ โ โ.
Solution 3 by Kamel Gandouli Rezgui-Tunisia
For ๐ฑ > ๐:
www.ssmrmh.ro
150 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
๐๐(๐) = โซ๐
๐(๐๐ + ๐)๐ ๐ = ๐ฅ๐จ๐ ๐ โ
๐ฅ๐จ๐ (๐๐ + ๐)
๐
Hence,
๐(๐) = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
(๐๐๐(๐)) = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐(๐ฅ๐จ๐ ๐ โ๐ฅ๐จ๐ (๐๐ + ๐)
๐) = ๐ฅ๐ข๐ฆ
๐โโ[๐ ๐ฅ๐จ๐ ๐ โ ๐ฅ๐จ๐ (๐๐ + ๐)] =
= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐ฅ๐จ๐ (๐๐
๐๐ + ๐) = ๐ฅ๐ข๐ฆ
๐โโ
๐
๐๐๐ + ๐
= ๐
Solution 3 by Satyam Roy-India
For ๐ฑ > ๐:
๐๐(๐) = โซ๐ ๐
๐(๐ + ๐๐)= โซ
๐โ๐โ๐
๐๐๐ + ๐
๐ ๐ =
๐๐๐+๐=๐
โ๐
๐โซ๐
๐๐ ๐ = โ
๐
๐๐ฅ๐จ๐ |๐| + ๐ช =
= โ๐
๐๐ฅ๐จ๐ |
๐
๐๐+ ๐| + ๐ช
Hence,
๐(๐) = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
(๐๐๐(๐)) = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
(๐ โ โ๐
๐๐ฅ๐จ๐ |
๐
๐๐+ ๐|) = โ ๐ฅ๐ข๐ฆ
๐โโ๐ฅ๐จ๐ |
๐
๐๐+ ๐| = ๐
www.ssmrmh.ro
151 RMM-CALCULUS MARATHON 1501-1600
Itโs nice to be important but more important itโs to be nice.
At this paper works a TEAM.
This is RMM TEAM.
To be continued!
Daniel Sitaru