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© Roland Küng, 2011

Analoge Aktive Filter II

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Repetition

Bekannteste Approximationen:

1 Kritische Dämpfung (RC-Kette)2 Bessel3 Butterworth4 Chebishev 3 dB Welligkeit

Vorgaben:• Approximation• Ordnung N• DC-Gain A0• Gesamtgrenzfrequenz fg

Design für Ordnung N > 2 ASV

Tiefpassfilter

3

Repetition

Butterworth a1 = 1.4142 b1 = 1Tschebyscheff 0.5 dB a1 = 1.3614 b1 = 1.3827Tschebyscheff 1 dB a1 = 1.3022 b1 = 1.5515Tschebyscheff 2 dB a1 = 1.1813 b1 = 1.7775Tschebyscheff 3 dB a1 = 1.0650 b1 = 1.9305Bessel a1 = 1.3617 b1 = 0.6180

Tabelle für Ordnung n=2 für verschiedene Approximationen von A(P):

Für 1. Ordnung (n=1) : gilt immer a1 = 1 b1 = 0

Die Übertragungsfunktion A(P) für Tiefpass Filter 1. und 2. Ordnung lautet:

211

0

PbPa1A

)P(A++

=

A(p) erhält man durch Substitution von P durch p/ωg , wobei p = jω

ωg=2πfg ist die Grenzkreisfrequenz (3 dB) des Gesamtfilters

Quelle Tietze Schenk

4

Repetition

Eigenfrequenz ω0 und Dämpfungsmass D, bzw Polgüte Qcharakterisieren den Tiefpass verständlicher als a1 und b1

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2g

1bω

ω=

0

g1

D2a

ω

ω=

Q1

D2 =

Einzelterm 2. Ordnung

ωg=2πfg Grenzkreisfrequenz des Gesamtfilters

20

2

0

o

pp

D21

A)p(A

ω+

ω+

=

lAolQ

5

Repetition

23221

1

32321

1

2

pRRCCp)RRR

RR(C1

RR

)p(A++++

−=

ωg=2πfg Grenzkreisfrequenz des Gesamtfilters

1. A(p) Schaltung berechnen in Normalform

2. Tiefpass A(P) anschreiben für gewünschte Approximation (a1, b1)3. P durch p/ωg ersetzen und Normalform bilden4. Koeffizientenvergleich mit A(p) aus Punkt 15. Wahl und Werte berechnen z.B. für C = 1 nF und fg = 16 kHz und Gain A0 = 2

Tiefpass

211

0

PbPa1A

)P(A++

=

Pa1A

)P(A1

0

+=

6

1. A(p) Schaltung berechnen in Normalform

2. Tiefpass A(P) anschreiben für gewünschte Approximation (a1, b1) 3. Hochpass Transformation: P 1/P substituieren4. P durch p/ωg ersetzen und Normalform bilden5. Koeffizientenvergleich mit A(p) aus Punkt 16. Wahl und Werte berechnen z.B. für C = 1 nF und fg = 16 kHz und Gain A

∞= 2

Hochpass

Repetition

Für Hochpass kann bei Kenntnis auch direkt A(P) angeschrieben werden.Punkte 2 und 3 entfallen dann. Für 1.O. und 2. O. sind dies:

2

11

1

1

2

Pb1

Pba

1

bP

A)P(A

++

⋅

=

∞

1

1

aP

1

aP

A)P(A

+

⋅

=

∞

1.O. 2.O.

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Filter 2. Ordnung

Leiten sie A(p) her und die Dimensionierungsgleichungen (oder TINA)

RLC - passiv: wenig benutzt in der Praxis Reine LC Filter werden in der HF-Technik eingesetzt (s. Modul ASV)Dort verwendet man Quellenwiderstand und Lastwiderstand von je 50 Ω

RLC-Beispiel:

211

0

PbPa1A

)P(A++

=

Lösung:

8

Filterschaltungen 2. Ordnung

Klasse mit Mehrfachgegenkopplung (MLF, MFB in der Lit.)

Tiefpass

Hochpass Hochpassschaltung erhält man aus Tiefpassin dem R‘s durch C‘s und umgekehrt ersetzt werden

MLF: Multi Loop FeedbackMFB: Multiple feedBack

9

Filterschaltungen 2. Ordnung

Tiefpass

23221

1

32321

1

2

pRRCCpRRR

RRC1

RR

)p(A

+

+++

−=

Randbedingung

für positive Widerstandswerte:

f2jjp

pP

g

π=ω=

ω=

10

Filter 2. Ordnung

232213212

23221

2

1

pCCRRp)CCC(R1

pCCRR

CC

)p(A++++

⋅−=

Hochpass

Beachten: TP <> HP Schaltung durch Austausch von C gegen R und umgekehrt

f2jjp

pP

g

π=ω=

ω=

Entwickeln sie für einmal selber den Dimensionierungssatz:

3222g1

1321g1

1221 CCRb

1R

)CCC(ba

RC/CAω

=++ω

=−=∞

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Filter 2. Ordnung

Klasse mit Einfachmitkopplung (Sallen-Key, S&K in der Lit.)

In gewissen Grenzen ist es möglich damit ebenfalls stabile Schaltungen zu realisieren:Die Gegenkopplung über R1, R2 muss stärker wirken als die Mitkopplung

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Filter 2. Ordnung

P.S. für Fortgeschrittene: Schaltung stabil solange Ausdruck vor dem P-Term positiv ist ( Pole in LHE)

Tiefpass:

f2jjp

pP

g

π=ω=

ω=

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Filter 2. Ordnung

Leiten sie die Dimensionierung für den α = 1 selber her.

21g

21122

2121

2/1

0

CCf4

CCb4CaCaR

1A

⋅π

−±=

=

Tiefpass:

211

0

PbPa1A

)P(A++

=

1. Spezialfall : Präzise Gegenkopplung mit α = 1 (Draht), garantierte Stabilität.

f2jjp

pP

g

π=ω=

ω=

14

Filter 2. Ordnung

2. Spezialfall: Komponentengleichheit:

C1=C2 = CR1 = R2 = R

Tiefpass:

* * d.h. schwingt

f2jjp

pP

g

π=ω=

ω=

15

Filter 2. Ordnung

Zeichnen sie den Hochpass für Einfachmitkopplung

f2jjp

pP

g

π=ω=

ω=

Für den Spezialfall: C1=C2 = C, α = 1 leiten sie die Dimensionierungsgleichungen her

16

Filter 2. Ordnung

Hochpass für Einfachmitkopplung

Spezialfall:C1=C2 = Cα = 1

f2jjp

pP

g

π=ω=

ω=

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Ausblick höhere Ordnung

Filter zusammensetzen aus Glieder 2. OrdnungPro Stufe jeweils andere Koeffizienten aus Ordnungs-Tabellen

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TP + HP = BP

Ansatz gut für: Bandbreite B > 2 * Mittenfrequenz

minmax fffr

⋅=

minmax ffB −=

Dimensioniere:Tiefpass auf fmaxHochpass auf fmin

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Bandpass direkt

Die Güte eines Bandpasses 2. Ordnung ist analog zu der eines Schwingkreises definiert

Die auf ωr = 2πfr normierte Normalform lautet (ohne Beweis):

Ansatz gut für: Bandbreite B < 4 * Mittenfrequenz fr

Ar: Bandmittenverstärkung

Q: Güte der Stufe

B: Bandbreite Hz

fr: Mittenfrequenz Hz

minmax

minmax

minmax ff

ff

ff

f

B

fQ rr

−=

−==minmax fff

r⋅=

minmax ffB −=

20

Bandpass 2.O.

Schaltung Mehrfachgegenkopplung

+π

=π

=π

−=

2r

r

3r

2rr

1

Q2A

1CQf4

1R

CfQ

RCfA2

QR

Ar ist immer negativ !

ωr = Resonanzkreisfrequenz(Bandmitte)

f2jjp

pP

r

π=ω=

ω=

21

Bandsperre 2.O.

22

Bandsperre 2.O.

Qk

21

2 −=

RCfr

π21

=

Welches Q erhält man für k = 1 ?Ab welchem k instabil ?

Dimensionierung:

Q = 0.5 (wenig selektiv)k ≥ 2

Familie S&K

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OpAmp Auswahl

Sichere Wahl für GBP Reserve 40 dB, Praxis: 20 dB reichen meist auch

Bsp.:

fp = 10 kHzÜberhöhungsfaktor APEAK/A0 = 5Gain A0= 2

100 · 2 · 5 · 10k = 10 MHz

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Komponenten Auswahl

Wenn man Komponenten wählen darf (mehr Komponenten als Gleichungen):

• C wählen, ev. C-Werte gleich gross wählen

• Wertabschätzung mit Hilfe RC = 1/ωg bzw. 1/ωr so dass R Є 1k …1 M

• Für präzise Filter: C = 2% R = 1% Toleranz wählen

• Für fg , fr < 100 kHz Metallfolie oder Keramik, darüber nur Keramik Kondensatoren

• Stabilität wählen auf Kosten freier Verstärkungswahl, Verstärker nachschalten

• Widerstände sollten i.A. im Bereich 1kΩ bis 1 MΩ liegen

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Zusammenfassung

Filter 2. Ordnung werden als Mehrfachrückführung oder Einfachmitkopplungausgebildet

Einfachmitkopplungsschaltungen können instabil sein, deshalb werden oft robuste Spezialfälle realisiert, z.B. α = 1

Hochpassschaltungen erhält man aus Tiefpässen durch Tausch C-R, R-Cdie Dimensionierungsformeln sind aber nicht identisch

Bandpassstufen 2. Ordnung werden oft durch ihre Mittenfrequenz und Güte Q beschrieben, dem Verhältnis Mittenfrequenz zu 3 dB Bandbreite

Bandpässe mit grosser Bandbreite setzt man vorteilhaft aus TP und HP zusammen

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Praktikum

Design und Abgleich Bandpass 2. Ordnung mit Güte 10, fr = 1 kHz, Ar = -2

Erzeugen eines Sinussignal mit 3-facher Frequenz aus einem Rechtecksignals

• Dimensionieren und Simulation oder Aufbau• Abgleich-Prozedur auf Mittenfrequenz und Bandbreite (Phase) überlegen• Pegel und Form Ausgangssignal überprüfen

Test mit ±1V Rechtecksignal, 333 Hz:

R2

R1

R3

This is a circuit that can be tuned to only allow input signals within a certain range of frequencies to pass to the output, hence the name 'tunable band-pass filter'. All signals with frequencies lower orhigher than this range are attenuated .

The circuit is an active filter that uses a TL081 operational amplifier configured to pass a narrow band of frequencies ranging from a few hundred hertz to about 3 kHz. This circuit may be used to detectthe presence of a tone in this frequency range.Variable resistor R3 is used to 'tune' the center frequency of this filter.

Application:Tunable Band-Pass Filter

Wie gross ist für R3 = 1 kΩ:

• Bandmittenvst. ?• Güte ?• Bandbreite ?

Simulieren oder Bestücken und nachmessen bei 200 Hz, 1 kHz und 2 KHz