Robuuste IOL van SISO niet lineaire regelsystemen · Robuuste IOL van SISO niet lineaire...

Robuuste IOL van SISO niet lineaire regelsystemen

de Vries, A.F.

Gepubliceerd: 01/01/1994

Document VersionUitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the author's version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differencesbetween the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact theauthor for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

Citation for published version (APA):Vries, de, A. F. (1994). Robuuste IOL van SISO niet lineaire regelsystemen. (DCT rapporten; Vol. 1994.060).Eindhoven: Technische Universiteit Eindhoven.

General rightsCopyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright ownersand it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights.

• Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain • You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal ?

Take down policyIf you believe that this document breaches copyright please contact us providing details, and we will remove access to the work immediatelyand investigate your claim.

Download date: 23. Sep. 2018

https://research.tue.nl/nl/publications/robuuste-iol-van-siso-niet-lineaire-regelsystemen(16677e4d-6585-4547-b21f-36dcdffb708f).html

Robuuste IOL van SISOniet lineaire regelsystemen

A.F. de VriesW.F .W. rapport 94 .060 (tekst)

Begeleider : Ted van de Broek

Technische Universiteit EindhovenFaculteit WerktuigbouwkundeVakgroep Fundamentele Werktuigkunde

Stage verslag, Februari 1994

Samenvatting

Mijn 2e stage heb ik bij de sectie regeltechniek van de vakgroep WFW verrichtonder begeleiding van Ted van de Broek. De bedoeling was om een techniek te onder-zoeken die mbv. IOL (=Input Output linearisatie) en het schakelvlakconcept tracht regelin-gen te ontwerpen voor niet-lineaire systemen waarin het gebruikte model niet nauwkeurigis .

Om deze techniek praktisch toe te kunnen passen leidend tot robuuste regelingenmoeten 2 problemen opgelost worden . De eerste is het systematisch beheersen van demoeilijkheden die ontstaan indien de interne dynamica oftewel de zg . zerodynamics nietstabiel is. Dit laatste is het geval indien de relatieve graad van het systeem kleiner is dande systeemorde. Het 2e probleem is de nauwkeurigheid van het model dat een sterkeinvloed heeft op de performance van een regeling . In dit geval betekent het dat we temaken hebben met niet goed geschatte waarden voor bepaalde modelparameters die dan inde succesieve afgeleiden van de uitgang voorkomen .

Voorheen is het laatste probleem veel minder dan het eerste probleem, onderwerpvan onderzoek geweest maar hier lijkt verandering in te komen .

A.F. de VriesFebruari 1994

Inhoudsopgave

Inleiding1 Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Uitwerking voorbeeld artikel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

berekening parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9simulatie 1-7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 Uitwerking rotatierobot met flexibiliteit in aandrijving . . . 173.1 berekening parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2 simulaties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

simulatie 1-33.3 aangepaste simulaties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3 .1 de aangepaste satfunctie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.3 .2 berekening regelparameters . . . . . . . . . . . . . . . . 303.3 .3 simulaties aangepaste vorm . . . . . . . . . . . . . . . . 36

simulatie 1-12

Conclusie's \ Aanbevelingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Literatuurlijst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

BijlagenA: programmalistings voorbeeldB : programmalistings rotatierobotC : programmalistings rotatierobot aangepast

D: programmalistings aangepaste satfunctie

E: simulatieresultaten voorbeeldF: simulatieresultaten rotatierobot

G: simulatieresultaten rotatierobot (aangepast)

Inleiding

In dit stageverslag wordt alleen het tweede probleem beschouwd, vernoemd in hetvoorwoord, waarin men een systeem heeft met modelonzekerheden . Een andere methode,die van de 'matching conditions' verondersteld dat de parametrische onzekerheid bij dezelfde orde van differentiatie in het model verschijnt als waar de ingang u tevoorschijnkomt. Daardoor is deze methode omdat het fysische model dan in kanonieke vorm moetvoorkomen niet zo relevant . En als dit zo zou zijn dan zijn er al bestaande robuusteregeltechnieken hiervoor beschikbaar zoals het schakelvlakconcept .

Het volgend voorbeeldje illustreert dat men voorzichtig moet zijn om voorwaartseterugkoppel-linearisatie met parametrische onzekerheden toe te passen . Als je op het eersteorde systeem,

.z=aa(1-x+x2)+u

met onbekende parameter a= 9 een terugkoppelende lineariserende regelaar u

u=-&(1-x+x2)-x

met geschatte á= 10 zet krijg je het volgende instabiele systeem,met oplossing x = -tan(t) die bij t=7c/2 naar -oo gaat . Bij juiste schatting van de waarde oc

.z=-(1 +x2)

zou dit leiden tot het stabiele systeem

Terwijl dit specifiek probleem nog gemakkelijk met bijv . het schakelvlakconceptkan worden opgelost kan dit dus niet meer met hogere orde systemen in niet-kanoniekevorm waarbij ter verkrijging van de normaalvorm van het systeemmodel onzekerhedenverschijnen en doorwerken in ieder van de succesieve differentiatie's van de uitgang h(x) .Daarom is er behoefte aan een robuuste terugkoppel-linearisatie regelaar die het probleemdat ontstond in het vorige voorbeeldje niet kent . Deze regelaar wordt in hoofdstuk 1 ge-naamd theorie behandeld. Een relatief simpel voorbeeld hiervan wordt in het volgendehoofdstuk beschouwd . Vervolgens wordt in hoofdstuk 3 getracht om hiermee een regelingte ontwerpen die aan bepaalde eisen voldoet voor een rotatierobot met een flexibiliteit inde aandrijving . Tot slot volgen hierop dan nog de conclusie's en eventueel wat aanbevelin-gen .

In eerste instantie was het ook nog de bedoeling om een regeling te ontwerpenvoor een systeem waarbij de relatieve graad kleiner is dan de orde van het systeem . (in devorige 2 systemen was dit overigens gelijk aan elkaar) De stabiliteit van de 'zero dyna-mics' gaat dan ook nog een rol spelen wat het geheel dan nog complexer maakt . Hierbijwerd dan gedacht aan een rotatie-robot met flexibele arm, die men dan modelmatig in zijneenvoudigste vorm voor moet stellen als 2 aan elkaar verbonden schakels dmv . een veerwaarvan het geheel aan 1 kant wordt aangedreven door een actuator en aan de andere kanteen last heeft in de vorm van een massa . Wegens gebrek aan tijd is dit achterwege gelaten .

theorie

1 Theorie

Beschouwd wordt een single-input niet lineair systeem waarvan we aannemen datde relatieve graad r, van het systeem en van het model, gelijk is aan de orde n van hetsysteem .Exact, beschouw het volgende systeem :

1 1 x) +£.(aE)uy=h(j)

waarbij de toestandsvector x volledig beschikbaar is door meting en waarbij aangenomenwordt dat f niet helemaal exact bekend is maar wordt benaderd door f. Voor de fout geldt

nu :

Ai) =_j^ ) -ffX)Verder wordt aangenomen dat de functie h(x) bekend is . Het regelprobleem is nu om deuitgang y een bepaalde gewenste trajectorie yd te laten volgen waarbij alle systeempara-meters beperkt blijven. Door een toestandstransformatie kan men een 'berekende normaaltoestand' definieren :

µn=Ln~ -1h

Door de modelonnauwkeurigheden zijn nu niet, zoals gewoonlijk de µ,'s desuccesieve afgeleiden van de uitgang y .

pag 1

theorie

Dit is te corrigeren als volgt :

4 1=µ2+D1

µ2=µ3+D2

µn=L~ h+L&L~ -l~+Dn

met Di=-L-lh

Definieer nu een µ=µ ; z, voor i = 1, . .,n waarin z, gezien moet worden als een zogenaamde'synthetische input' die later gedefinieerd wordt op basis van een Lyapunov-stabiliteisana-lyse. Met s,=µ ; 4>,sat(µ ;/ob,) waarin (h, een postieve constante, is te zien dat indien s, naar 0gaat equivalent is met het naderen van abs(µ) binnen de grenzen van [-4>„cp,l .

s;

- PA

/ 0

Indien s; nog niet gelijk is aan 0, dus als d/dt(s,) nog niet gelijk is aan 0 dan is deze teschrijven als :

=s;+1 + 4~i+isat( ~'+1) +z ;+l -~z, +D,i +i

voor i=1, ..,n-1

,'n =L~ h+L~. -1hll-.Zn+Dn

De z, 's zullen later gekozen worden o .a. als functie van de bekende toestand x. Echter voor

pag 2

theorie

de bepaling van de tijdsafgeleiden van s ; dienen de tijdsafgeleiden van de z, genomen teworden. Deze kunnen als gevolg van de niet exacte nauwkeurigheid alleen maar geschat

(e van 'estimated'). Indien weworden . We voeren daarom de tijsafgeleide van z, in als ;k jenu definieren :

µi+l~i=Di+Z~-Zi+(~i+lsat(,~, )

`Yi+l

voor i=1,..,n-1 ;

On=Dn+~w -.Zn

zijn de afgeleiden van s, te schrijven als :

S1=S2+~L i1e+ & 1

S2=S3+.Z3-,Z2e+A2

Sn=L~ h+L~L~ -lhu-z,~+ An

Nogmaals ter verduidelijking gelden deze relatie's alleen indien s, niet in het grensgebiedligt dus niet gelijk is aan 0 . Als dit wel het geval is zijn de afgeleiden van s, in werkelijk-heid 0 .

De volgende stap is om een relatie voor de ingang u te krijgen dusdanig dat alle s,'s naar 0 gaan . Het is belangrijk om op te merken dat de afgeleide van s, naar de tijd inhet punt waarin abs(µ,) = 0„ ongedefinieerd is (hier vertoont deze een sprong van eenbepaalde waarde naar 0, zie afbeelding). Bij s,2 is dit niet zo . Bij de afgeleide hiervan :

l d 2 _

2 dtSi _ -Si(Si+l +Zi+l zie+~ i)

ziet men dat indien abs(µ,) =<b, wordt dus als s, geleidelijk aan gelijk aan 0 wordt dezeafgeleide ook 0 wordt zonder sprong .Op basis hiervan wordt de kandidaat Lyapunov-functie gedefinieerd :

nV= 1 [~ an-1

si2 ij=~1

met a een postitieve constante.

pag 3

theorie

Volgens het voorgaande is de tijsafgeleide van V :

V=an-1Sl(S2+.Z2+d 1-.Z1e) +n-2a S2(S3+.Z3+A2-t2e)+

+

sn(Lih+L,Lï-lhu+á n-z„,)

Indien we nu aannemen dat we de beschikking hebben over de maximale mogelijke foutvan de onzekere toestandsparameters kunnen we een F, bepalen dusdanig dat,

1Aij sFr voor i=1, . .,n

Laat nu: (Hiervoor zijn echter ook andere keuzen mogelijk)

z1=ya

.z,L=zie-Flsat ( 1)- xsl40,

,zr3 =.Z,-F2sat (µ22)-Xs2-asl

Z4=.T,3e-F3sat (h3) -Xs3-as2

µn-izn=z(n-1)e-Fn-lsat )- 'Sn-1-aSn-2

`Yn-1

met 1 een positieve constante . De laatste term in deze recursieve opbouw is dusdanig datde geschatte tijdsafgeleide als enige de ingang u bevat . Men kan daarom deze schrijvenals :

~ne=Znex+Zneuu

pag 4

theorie

Indien men nu deze 'synthetische ingangen' substitueert in de uitdrukking voor Vkrijgt men :

V=

an-1s1(s2+Zle-F1Sat( ~1) -XSt +O 1-zle) +

V+1

an-2s2(s3+~2e -F2sat( 2)- As2-asl+p2-z2e)+2

a n-ss3(s4 +t3e-F3sat( 3 ) - 1s3 - "2 +'A3-4e) +

s,(Ljh+L

zLj-1hu+On-z

n,,)

oftewel,

V=an-1s1( -Flsat(

91)-~sl+p1)+

4+1

a n-2s2(-F2sat( 2)- 's2-as1+ '&) +2

a"-ss3(-F3sat(113 )-

~'s3-as2+0 ) +4'3

sn(L~ h+LsLj -1hu+On t.)

pag 5

theorie

is,

V=_A(an-1S1+an-2S2+an-3S3 + . ..)+

an-1S1(Q 1-F1Sat( 111 )) +Y' 1

an-2s2(Q2-F2sat( 2))+

2

an-3S3('& 3 -F3Sat( 3 )) +

sn(L,~ h+L&L,~ -lhu+An-t,,. +asn-1)

Met

u=(L&L~-lh_zneu)-1(-L~ h+z.-F,tsat( n)- XSn-06Sn-1)n

en

21 V= X (Q6tt-1Si +an-2S2 +an-3S3+. ..+s)

levert dit

V+21 V=an-1S1(Q 1-Flsat( ~ 1)) +

1

an-2S2(Q2-F2S'at( 2))+

2

an-3S3(0 3-F3Sat( 3))+

Sn(On-F,,sat( ~n))n

pag 6

theorie

Aangezien

si>0 -' á i-Fi,Sat( µ,i)<0 - an-ist(Ot-FiSa~ 11 '»<0obi `yi

si<0 - Di-FpSat(µ`)>0 -• an-is1(O=-F~.Sat( i))<0Ok =

hebben we de relatie

V+21 VsO.

Hieruit volgt dat alle s, asymptotisch naar 0 zullen convergeren .Dus de conclusie is dat deze regelingang u garandeert dat de volgfout µ, asympto-

tisch wordt beperkt tot ~1 en dat alle systeemparameters beperkt blijven .

pag 7

voorbeeld

2 Uitwerking voorbeeld artikel

In het artikel wordt deze theorie toegelicht op een simpel 2e orde systeem :

z1=axi+bx2X2=c(t)Xlx2+u

Y=xi

Met de toestandsvector x=[x, x2]T is dit in matrixvorm te schrijven op de gebruikelijkemanier :

S _ zl - axi +bx2 + ~OJ u2 c(t~xlx2

Y=[x1]

oftewel x= f(x)+ g(x)ii en y=h(x) .

Voor de fout van f(x) geldt:

Met de geschatte waarden,

á=a+á I'dI saa6=b+fi 1 b 1 sabc=c+c (c l sac

Bepaling van de normaaltoestand levert :

µ 1=Y=x1

µ2=LIi=áxi +6x2

Door de modelonnauwkeurigheden zijn de g, 's niet de succesieve afgeleiden van deuitgang y .

pag 8

voorbeeld

Daardoor :

µ1=µ2+D1µ2=L~h+L~L~iu+D2=2áx1(axi +~x2)+bcx1x2+bu+D2

met D,=-L,.t~i-lh -D1=-L

4=-(dxi +bx)

D2=-LIL-(2ux1(áxi +bx2)+ bcxlx2)

De rekenprocedure is nu als volgt,

z1~i1~Z1e~~ 1~F

~,z,z-~,z2-~,z~-~ 0 2-~F

Vervolgens bepaling ingang u :

t2, - t2„, en z,.uF2,S2,sl,z2

De eerste stap ziet er nu als volgt uit :

Z1 =yd

21 Id

21eId

~

01=D1+Zle-z1+`y2sat( µ~ ~)

2 ,~,~ Fl -adxl+ablx2l+~2

M

pag 9

voorbeeld

De tweede stap,

;;~ =~(.zle)-Flsat( µ~lzl )-Fl~(sat( µ 1 i1» -M,

z -1 ))e-l,SteZ,~=~(Zle)e-Flesat( µ~

-lzI )-Fl~(Sat( ~1

D2+z2e -.z,L=

D2+(Fl-Fle~sat( µ ~i' )-F,(~(sat( µ~lz' ))e-~(sat( µ~l 1)))

Voor de afgeleide van de satfunctie's het volgende :

GT

1

~µ-z

pag 10

voorbeeld

dsat( µ` zi ) ~ .3(µ'-z`) = 1,~dt (p~ ac{ii-Z) c7t Wi

met G,=1 als 1(µ,-z,) 1 5 'Oi

Gi=O als 1 (I1i-zs) 1 >O i

daardoor,

~~sat( ~

- zi) = Gi-(µi+1+D=-ii)i i

dts~ µ~ zi )e =i i

Voor de afgeleiden van de s wordt deze bepaald voor het geval dat deze niet gelijk is aan0. Hiervoor geldt dan,

~ Si- 4i -ti

hieruit volgt,

Si=µi+l+Di-zi

Als s wel gelijk is aan 0 is de afgeleide hiervan in werkelijkheid ook 0. In dit voorbeeldwordt daar geen rekening mee gehouden en wordt gewoon de afgeleide hiervan bepaaldzoals die buiten de grenslaag ook is bepaald. In principe is dit niet correct .

pag 11

voorbeeld

Dit alles ingevuld voor de uitdrukking van delta2,

A2=

D2+(Fl -Ple)sat((µ

gb

zt) ) +Fl 1 Dl + 1 D1=1 1

D2+{2aax1(xl-xle)+ab sign(x2)(x2- j~e)}sat((µ~zi) )+

4+i

(Fl G1 1 +~,)D1=

D2+{2aax1Dl+absign(x?)(-c(t)icix2)}sat((µi~ zl))+

(FlGi +~,)D1=

-{2ax1(axi +bx2) +b cxlx2}+í-2aax1(áxi +bx2)-ab C(t)"`i 1X21} sat((µ~ zi) )+

~

(Fl Gi +~,)D1=

- 12áx1+2aa xlsat( )+!}(áxi+bx2)

-(bcxIx2+ab e(t)Xl 1x2 ]sat((µ 1 -zl)))+ 1Fl (áxi +bx)

~~ 1

~ F2=(2 j4xi I+2aa jxi j+)L)(aaX

i+ab Ix2 1)+(ab+ jbj )a,jxix2 j + G' Fiw i

pag 12

voorbeeld

Dan is het nu de beurt voor de bepaling van d/dt(z2e) :

Yd-{2adx1xle+abx2.Slgn(x2))sat( (µ~ ~1) ) -( ~1 Gl + X)(é~ le-Zle) =1 1

~,~yd-i2a~1(~1 +Vx2J+ab

eX1IX,

IÍsat((µ~ zl) )_(FIG

~ l+X)(µ2-yd)-1 1

assign(x2)sat( µ!Czl )u

Z2ex-yd-{Zadxl(pXi +bx2

)+ab

eXllx2 l}sat( (µl-zl) )-(1G1+ 1 )(µ2-Yd)

`Y1 1

(N 1-Zl)iieu--asign(x2*( ~1 )

Wat hier nu opvalt is dat bij de geschatte differentiatie van s, deze niet 0 is in het gebiedwaar s gewoon 0 is . Dit zou men eventueel ook nog kunnen corrigeren .

Een programma voorb.m in MATLAB is geschreven die met gebruik van 2 hulp-programma's voorba .m en dataproc .m simulatie's uit kan voeren. Het programma voorba .mzorgt voor de afgeleide naar de tijd van de toestand x benodigd voor de simulatie die doorvoorb.m wordt geintegreerd in de tijd . Het programma dataproc .m zorgt ervoor dat alleparameters die men wil weten na een integratiestap binnen de tolerantie, worden opgesla-gen in een file dta* .dat met ieder 100 integratiestappen.(Dit om iedere keer het geheugenweer leeg te maken) Als de simulatie is afgelopen kan men met het programma opber-gen.m alle data verzamelen in de MATLAB omgeving . Indien gewenst wordt dit opgesla-gen op schijf. Verder wordt er nog gebruik gemaakt van sat .m die de saturation funktiewaarde berekent, sign.m voor de signum waarde en het eigenlijke integratieschema die meteen kleine aanpassing integr** .m is genoemd. De sterren staan voor 23 of 45 waarmee eenderde- of een vijfde orde Runga-Kutta methode wordt bedoeld .

pag 13

voorbeeld

Simulatie 1,

Een eerste simulatie overeenkomstig het voorbeeld uit het artikel met de gewenstetrajectorie ya l+cos(5t) en parameters

d=b=c=1

a4=ab=0.5 ac=1

a=1 1 =5 401=0.02 402=0.1

heeft alleen de parameter c als niet goed benaderd . De simulatie van 2 minuten (zieafbeelding) leert dat het grote overeenkomst heeft met die van het artikel maar dat er tochenkele verschillen zijn . Als men de afbeeldingen van die van het artikel erbij haalt zietmen dat s, geleidelijker aan naar 0 gaat. Wat ook opvalt is dat rond de 0 .7 sec. een sterkepiek en daarna klappering optreedt in de ingang u . Dit is volgens het voorbeeld ook niethet geval. Hoe deze verschillen, met exact dezelfde parameters, te verklaren zijn is meonduidelijk. Waarom de sprongen en klapperingen in de ingang optreden is wel te verkla-ren. Als men naar de uitdrukking voor de ingang u kijkt,

u = 1 [ 3,fh -FZsat2 ~,sZ -as, ~zex]LgLth L2eu

ziet men dat de sat2 funktie vermenigvuldigd met F2 in de teller voorkomt . Deze sat2funktie zoals in de afbeelding te zien is trilt nadat s2 0 geworden is om 0 met een kleineamplitude. Aangezien F2 redelijk groot is levert dit toch een storende bijdrage aan deingang u .Om dit te verhelpen kan men nu 2 dingen doen . Ten eerste kan men zorgen dat F2 zo laagmogelijk is zodat de invloed ook kleiner is . Om F2 lager te maken is moeilijk omdat mendeze alleen direkt kan beinvloeden m.b.v. F, en 4>, . Makkelijker is het om de amplitudevan de sat2 funktie te verlagen . Op het moment van de trilling is de waarde van de sat2funktie gelijk aan (µz-z2)/4)Z . Met het verhogen van ~2 kan men nu deze amplitude ver-lagen .

Simulatie 2,

Nu wordt de waarde 4>Z van 0 .1 naar 1 verhoogt en de andere parameters hetzelfdegehouden. De simulatie levert nu een ingang u zonder de vervelende klappering .

Nu zit men nog met de scherpe piek rond de 0 .7 sec. Nader onderzoek leert dat ditafkomstig is van de term 22„, en van de term F2sat2 in de ingang u . De laatste geeft echtereen sprong naar boven en de eerste een grotere sprong naar beneden . Het resultaat is eensprong naar beneden . Als men naar de uitdrukking van zZeX kijkt ziet men dat hierin de Gfunktie een rol speelt. Deze wordt op het moment dat s, 0 wordt gelijk aan 1 . Dit betekent

pag 14

voorbeeld

een plotselinge verhoging van z2eX door de term GF,/ gb, . Een mogelijkheid nu om dezeinvloed te verminderen is verhoging van 4>, dat tevens ook de sprong naar boven van deF2sat2 term verminderd .

Simulatie 3,

Nu wordt de waarde cb, verhoogd van 0.02 naar 0.2. De andere parameters wordengelijk aan de vorige simulatie gehouden. Wat ziet men nu? Het probleem van de sprong isnu opgelost want hij is verdwenen . Het enige wat nog bezwaarlijk is zijn de kleine spron-getjes in de ingang u op 0.2 en 0 .6 sec. Deze ontstaan doordat x2 van teken wisselt . Datheeft zijn invloed op de term keu in de noemer van de ingang u omdat daarin de sign(X2)funktie voorkomt. Dit zou men eventueel gladder kunnen strijken door een gladderefunktie hiervoor te nemen .

Simulatie 4,

Tot nu toe heeft men alleen de parameter c(t) niet exact geschat . Wat gebeurt er nuals men ook a en b niet exact schat? Laten we de zelfde parameters als in de vorigesimulatie nemen maar nu met á= 1 .2 en b= 0 .6 terwijl de werkelijke a en b nog altijd 1zijn. Omdat de rekentijd redelijk snel is wordt de simulatietijd nu op 3 sec. gezet .(zie

afbeelding) .Zoals men in de afbeelding ziet wordt s, nu ook net als anders gewoon 0, zoals te

verwachten, maar door de niet exacte schatting van de onzekere parameters a en b blijktnu de satl en sat2 funktie niet naar 0 te convergeren . Dit betekent dat de volgfout ook nietnaar 0 convergeert . Verder valt het op dat de ingang u grotere uitschieters heeft en de piekrond de 0.7 seconden is ook weer terug .

Simulatie 5,

Omdat men wel graag een lagere volgfout zou willen zien moet men de grenslaagvan s, verkleinen . Als men nu ook weer dezelfde parameters neemt als in de vorigesimulatie maar met het verschil dat men nu voor 4>, niet 0 .2 maar laten we aannemen demaximaal toelaatbare volgfout 0 .02 neemt levert dit zoals in de grafieken te zien is eenniet te onderscheiden volgfout . Echter zoals te verwachten was is de piek rond de 0 .7 sec .(het moment waarop G van 0 naar 1 springt) nu weer veel groter .

Hoe is dit nu op te lossen? Een "vergladding" van de sat functie doordat G gelei-delijk aan van 0 naar 1 gaat door deze satfunctie te benaderen met een arctan functielevert geen betere resultaten. Het probleem met een arctan functie is dat indien men eenkleine bandbreedte neemt dit tot een grote waarde van de afgeleide hiervan leidt in hetpunt µ,-z, = 0 . Dit leidt weer tot vele grotere pieken in de ingang u. Iets wat waarschijnlijkwel hoopvol is, is het afronden van de scherpe hoeken van de sat functie, dat heeft hetvoordeel dat de r .c. rond 0 gewoon 1 blijft . Dit afronden gebeurt met zogenaamde

pag 15

voorbeeld

"splinefunctie's" .

Simulatie 6,

Zoals in de vorige simulatie vermeldt, is misschien een mogelijkheid om de grotepiek uit de ingang u te krijgen het gebruik van een splinefunctie . De splinefunctie wordtgebruikt om de hoekvormen van de satfunctie's wat af te vlakken dusdanig dat in deafgeleide hiervan geen sprongen voorkomen . In het simulatieprogramma is ter berekeningvan de regelingang u onder meer de satl, de sat2 en de afgeleide van de satl functienodig. Omdat niet hogere orde afgeleiden nodig zijn (die in de later volgende toepassingwel nodig zijn) wordt de uitleg en de implementatie van deze splinefunctie's later in detoepassing van de rotatierobot pas gegeven .

In deze simulatie worden zowel de satl, de sat2 en de G aangepast met een spli-nefunctie die als parameters xl, x2, x3 en x4 respectievelijk heeft :-1 .6, -0 .5, 0 .5, 1 .6. De regelparameters zijn hetzelfde als in de vorige simulatie . Zoals menziet wordt de gewenste trajectorie goed gevolgd (s, wordt 0 met 4>, = 0 .02) en de piek inde ingang u is gedaald van ±-1700 naar -750. Verder valt het op dat er een kleine trillingop de ingang u is gekomen veroorzaakt doordat sat2 nu trilt . De G heeft nadat dezegeleidelijk aan is versprongen van 0 naar 1 nog een kleine dip. Waarschijnlijk is dit nieteens zo bezwaarlijk maar om dit weg te werken zou men de splinefunctie in de rechter-hoek van de satl functie wat smaller kunnen nemen . De dip in G wordt namelijk veroor-zaakt doordat nadat deze in de bandbreedte is gekomen zover doorschiet dat diein de rechtersplinefunctie terecht komt. Door deze nu smaller te nemen is het euvelopgelost. Verder zou men de linkersplinefunctie breder kunnen nemen dusdanig dat de Gfunctie nog geleidelijker verspringt dat mischien weer een verlagende invloed heeft op depiek in de ingang u .

Simulatie 7,

Op basis van hetgeen wat er aan het eind van simulatie 6 is beweerd kan men alsvoor de aanpassing van de satfunctie's als parameters xl =-2 .5, x2 =-0 .2, x3 = 0 .9 en x4= 1 .1 . Dit betekent een brede aanpassing van de linkerknik in de satfunctie en een kleineaanpassing van de rechterknik . Verder wordt de sat2 functie weer zonder aanpassinggenomen omdat deze toch niet tot verbeteringen bijdraagt .

In de afbeelding ziet men dat de piek nu verder gezakt is van -750 naar ±-450 .

pag 16

rotatierobot

3 Rotatierobot met flexibiliteit in de aandrijving

De figuur geeft een model van een rotatiearm aangedreven door een actuator metmassatraagheidsmoment J„, en demping b. Het koppel geleverd door deze actuator wordtaangeduidt met u. De flexibiliteit tussen de aandrijving en de arm wordt gemodelleerd meteen lineaire veer die een veerstijfheid k heeft . De arm heeft lengte 1 massa m metmassamiddelpunt in het centrum van de arm en massatraagheidsmoment J . Het te verplaatsenvoorwerp aan het eind van de arm wordt gegeven door een puntmassa M .

De bewegingsvergelijkingen :

(Ml2+J+ 4m12) iP = -(.!m +M)glc~(~P) -k(~P -a)J,ná=k(cp-a)-b &+u

met

A=Ml2+J+ 1 m124

B=-(2m+M)gl

AB= BA

M =kA

pag 17

rotatierobot

volgt

A ip =Bcos ( cp )-k( cp - a)

á= k«P-a)-b&+ u

Jm J~ JM

Neem voor de toestand xT=[x, xz x3 x4]=[cp a cp á] . De toestandsvergelijking wordt dan :

<Pa

á

0001Jm

+ U

AN)

y = cp = xl = h(j)

De parameters die nodig zijn en die vrij gemakkelijk te bepalen zijn, zijn de lengte 1 van dearm, de massa m en het massatraagheismoment J van de arm, en het massatraagheidsmomentJm van de actuator. Parameters die moeilijk te bepalen zijn of die afhangen van desysteemconditie's zijn de massa M van het voorwerp de stijfheid van de aandrijving en dedemping op de actuator . Deze parameters zullen dan geschat moeten worden met een bepaaldenauwkeurigheid. De toestand x is bekend door metingen mbv . positie en tacho opnemers .Zoals gezegd moeten bepaalde parameters met een bepaalde nauwkeurigheid geschat wordendie dan worden aangegeven met Mk en b .De fout die hierbij optreedt tov . M, k en b is resp. M, k en b. De toestandsfout wordt danf(x)=f(x)-f(x),

pag 18

rotatierobot

00

ÁB cos(x,)-kÁ(xl -xZ)

~x, ~z)--X am mJ

X3

X4

J

ÁB cos(x1)-kÁ(xl J xi ~z) J xa

J. m

Met de geschatte parameters,

X3

X4

AB cos(x1) -kA(xl -X2)

J xt -Xz) J xam m

,AI =AB+ÁB IÁB 1 saABkA =cAikÁ 1 kÁ 1 sakAk =k 4k 1 k 1 sak

b =bi 1 b 1 sab

De relatieve graad r van het systeem is voorLgL f h(x) -

k=0 - L$Lf h(x)=[1 0 0 O][0 0 0 1/Jm]T= 0

k=1 - Lg~Lf'h(x)=Lg[1 0 0 0]f(x)=L$x3=[0 0 1 0]g = 0

k=2 - LaLfzh(x)=Lg[0 0 1 0]f(x)=LJAB cos(x,)-kA(x,-x2) _

[-ABsin(x,)-kA kA 0 0]g = 0

k=3 - LgLfZh(x)=Lg[-ABsin(x,)-kA kA 0 0]f =

= L,(-{ABsin(x,)+kA}x3+ kA x4)

= [-ABcos(x,)x3 0 -(ABsin(x,)+kA) kA]g

= kA/J. * 0

de k = 3 gelijk k+1 = 4 . Aangezien de bewegingsvergelijkingen bestaan uit 2 niet lineaire 2eorde dv's is de orde van het systeem n = 4. Dus voor dit systeem is de relatieve graad r gelijkaan de orde n van het systeem .

pag 19

rotatierobot

De normaaltoestand wordt,

p , =Y =Ki

uz=L~h =X3

µ3 =L~h ~B cos(x1) -kA(x~ -xz)

p4 =Lrh -{,KB sin(x 1) ik~)x3 4kÁx4

De tijdsafgeleiden hiervan,

~1 1t2 *D1

µ2 ~$1 3 «0z

µ3 =94 4D 3

µ4 ~ fh tLgLfhU -FD4

=~1B x3cos(xl) -(ÁB sin(x) ,kÁ)(AB cos(x1) -kÊ1(xl -"KZ))

ikt~( J xl -X2) JX4) JA {D4m m m

met Dl,

D1 =3,fh =()

D2 =3,fL .fh =~ÁB cos(x,) -kÁ(xi -cz))D3 =-,,fL,fh =0D4 =_, fL fh =(ÁBsin(xl) -kÁ)(ÁBcos(xl) -kÁ(xl -XZ))

-1CA17(x1 ~Z) b x4)

De rekenprocedure is weer overeenkomstig met die van het voorbeeld maar nu met 4 stappenin plaats van 2,

pag 20

rotatierobot

F1

F2

F3

F4

Vervolgens bepaling van de ingang u :

Z4e - Z4ex en Z4eu

F4' S4' S3' Z4

3 .1 Berekening parameters

Stap 1,

)A l ~l ~le~l~lsatlµ

41

Stap 2,

U

.z,a =ij, -FiSat(µi-zi )-Is,0 ,

4 =~(zie)-Fisat( µ,i~ ,-zl)-(Fl G1 +')(µ2+D1`~1 <b 1

iie=~(zie)e-F'idsat( [&' -iZ')-(Fl Gi +')(I=2-zie)

pag 21

rotatierobot

'&2=D2+42e -Ze+4~gSat( µ3 ;3 )'03

=D2+403sat( µ~ ~ )

= A"Bcos(xl)+kÁ(xl-x2)+40,sat( µ~~)

Stap 3,

y F =aAR+a kA I XI -X21 +C

Z3 =j., -F2sat( µ~ ~)-ls2-asl

23=~(~)-F~~( µ2,~ ~)-(F2 2 +')(µg+D2-ti2) -a(µ2+D1-Zl)`Y2 2

4e=~(z~)e-F~Sat( µ2

C Zi)-(F2

G~2 +~,)(113-z2e)-a(1~2-zle)

03-D3 + 3e 3.z z+ sat( µ~-Z4

)~4

pag 22

rotatierobot

03=D2(Fl i +a.) +(F2 G2 +l)D2+~4sat( µ~ z4)

1 (~2 4

=(Fl 1+F2 2 +21)D2+ 4b4sat( µ~ z4)1 2 4

Stap 4,

F3=(F,

+ 2 +21)(aAB +a kA 1xi -X21) +0a4'i 2

Z4 =43e -F3sat( 113 -Zz -

3)-ís3-as2

z4=~(z~)-F3sat( µ3 Z3)-(F3 3 +')(114 +D3 z3)-a(µ3+D2-zz)403 4 3

4e=~(z~)e-F3,sat( µ~ ~ )-(F3 G ~3 +1)(µ4-z3e)-a(µ3-~)

04=D4+.z4e-.z4

Z~=Y~d-(N,3-yd)(Fl GI+ l)-F'2e sat( µ2~, ~)-(F2 G,~2 +')(µ3-~)-a(é~2-J'd)

~Y1 `Y2 `Y2

~(.z3e)e=4(Y~-(µa-Y)(FlG~, l +X)-a,~,~(z~-.z~)sign(xl-x2)sat( µ~ ~ )-`Y1 2

a~(x3 -x4)s?gn(xl -x2)G~,2 ( µ3-,z~) -F~ G~,2 (µ3 -z,~) -W2 `Y2

(F2 G,~2 + 1)(i La- ~(~)e) -a(µ3-Yd)`Y2

pag 23

rotatrerobot

a• a4 +D F Gl +l) a x .z a n x x~'sat µ2 ~~(Z3e)=4(Yd)-(é14 3-Y7( 1 oh, - ,kA('3- 4)`S'g ( 1- 2! ( ,62 )-

a,éA(x3 x>ign(xl-x2) 2(µ3+D2-ti2l-F2 ,1,2(µ3-Z2e)-2 Y~2

(F2 2 +')(é14+Dg- dt(~))-a(iLg+D2-yd)2

~(Z3e)e-~(z3e)=-a~(~x3-~x4)stgn(x1-x2)sat( µ~-z2

)+

akA(x3 -x4)Sign(xl -X2) G2

D2 +(F2 G2 +1)(D2(Fl i+l)) +a D2`Y2 02 1

04=D4-aM(~x3-~x4)sign(xl-x2)sat( µ~ ~)+

a,~(x3-x4)sign(xi -x2) G,~2D2+(F2 G,~2 +~)(D2(Fl G,~l +~)) +a D2+`~2 `Y2 `Y1

+(F3 G,~,3 + 1)(Fl G,~,l +F2 G,~2 +2l)Da+aD2W3 `Yl `Y2

= D4+D2[a,~(x3-x4)sign(xl -x2)G,~2 +(F2 2 +1)(Fl 1+1)+2a+`Y2 2 1

(F3 G,~ + I)(F1 G,~,l +F2 2 +2~.)] - a,~(~z3-~z4)sign(xi -x2)sat( µ~ ~)

`~3 `Y1 2 2

F =(a,~+a,~Ixl-x2 1 )[ IAB 1 + lál +a,r A 1x3 -x41G,~2 +(F`2 ,~2+~)(F1G,~ l+l)

- `Y2 `Y2 `Y1

2a +(Fl G, +F2G2

+21)(F3G,~3 + 1 )] +a,~(aaB+a,~ ix, -x21 +kJ jx1-x2. 1`Y 1 `Y2 `Y3 m

+~04b 1x41)+ l~ l (~k 1x1-x2i + Jb 1 x4 1 )m m ,

pag 24

rotatíerobot

Tot slot is nog de geschatte afgeleide van z4 nodig,

44=4e-F35at( µ~33)-í~s3-as2

zqe=~(z3e)e-F3~~( µ-

03z3)-(F3

G

C+1)(µ4-Z3e)-a(µ3-z~)=

,(yd)-(µ4-yd)(F1 1 +')-a,a,(.z3e-z~)sign(x1-x2)*sat( µ~ ~)-i

a~(x3-x4)sign(xl-X)G2(µ3-.z,2e)-Fje 2(µ3-z~e)-(F2 2 +')(µ4-~(zU)e)A, A

- a (µ3 -yd) -F3e Sat(

z4e=zex+i

euu ~

W2 2 2

µ3 ~3)-(F3 3 + 1)(µ4a(µg z2e)4~3 4 3

z ex =

4(yd)-(µ4-yd)(Fl`G,~ l~1

akA(ÁBcos(xl)-k~(xl-x?.)-~(xl-x2)+ jx4)sign(xl-x2)*sat( µ~ ~)M m 2

-akA(X3-•x4)Sign(xi-x2) G,~2(µ3-~)-F~ G,~2(µ3-,~)-(F2 G~,2 +~)(µ4-~(4)e)`Y2 `Y2 `Ya

-a(µ3 yd)-F3eSat(µ3~,-z3 )-(F3G~,3+1)(µ4-~)-a({-~3 42e)`Y3 `Y3

~ sign(xl -x2)sat( µ ~ ~)m

pag 25

rotatrerobot

De benodigde variabelen om de regelingang u op te stellen zijn nu bekend . De 2 constantewaarde LgLf3h en Lf4h zijn eenvoudig te bepalen en hebben de vorm,

LBL~h= -im

L4h = ABc~(x1)x3 -(ABsin(x1)+kf1)[ABcos(x 1)-

ke'i(x1-x2)] + ~ [k(x, x2) -bx4]m

3 .2 De simulatie's,

Om te achterhalen of het algorithme wel goed werkt en of het wel in staat is om ditsysteem te regelen worden eerst zo gunstig mogelijke parameters genomen . Dit betekent eengrote stijfheid voor de flexibiliteit van de aandrijving en een kleine demping op de actuator.Verder zijn de geschatte onbekende parameters exact gelijk genomen aan de echte waardenhiervan. De waarden hiervan zijn :AB = -15 .22 ; ABd = -15.22; alfaAB = 0.75 ;kA = 118 .4; kAd = 118.4; alfakA = 1 .3687 ;k = 200; kd = 200; alfak = 1 .5 ;b = 0.001 ; bd = 0.001 ; alfab = 0.00001 ;Jm = 5;

Als gewenste trajectorie van de uitgang y = x, nemen we :

yd = 1+cos(5*T)

De specifieke gebruikte programma's heten stag4.m, stag4a.m .

Al gauw blijkt dat het moeilijk is om een combinatie van parameters te vinden waarbij hetlukt om een simulatie geheel, van op zijn minst enkele seconden, geheel af te ronden . DeRunga-Kutta methode berekent na iedere integratiestap de behaalde nauwkeurigheid . Echterindien deze niet binnen een bepaalde tolerantie valt, die men kan instellen, wordt dezeintegratie slag opnieuw gedaan maar dan met een kleinere integratie stap . In deze simulatiewordt bij een niet goede keuze van de parameters op een bepaald tijdstip de stapverkleiningzo vaak gedaan dat deze op een gegeven moment tegen een minimum grens aankomt en hetprogramma wordt afgebroken.Een probleem is dus wat voor waarden je voor de parameters gb„ 1 en a kiest. Als je uitgaatvan de vergelijking

pag 26

rotatrerobot

V+21 V=an-isl(01-Flsa \ ~1)) +

Y' ian-2s2(

A2-F2,Slit( ~2))+

3 )) +an_3S3(A3_F3Sat(3

Sn(On-FnSat( n))n

dan mag je verwachten dat hoe groter je 1 kiest des te sneller V naar 0 zal gaan dus des tesneller s, nul wordt . Verder is het zo dat als je tx groter kiest de termen met de lage i in hetrechterlid sterker mee gaan tellen . Dus deze termen hebben dan een sterkere invloed op deafname van de Lyapunov-functie V. Het gevolg is dus dat de s, met de hoge i's relatieflangzamer naar nul zullen gaan .Wat voor de 4>,'s betreft is dit moeilijker na te gaan. Wat men wel kan zeggen is dat <b, dewaarde is waarbij s, 0 zal worden, dus dat 4>, de uiteindelijke maximale volgfout is . Hier kanmen een bepaalde waarde aanhechten op basis van de ontwerpeisen . Voor de anderen lijkt hetgunstig dat cb, groter gekozen wordt dan ~,_, omdat als s, inmiddels al 0 is en s,_, 0 wordt dittot gevolg heeft dat G,_, verspringt van 1 naar 0 waarbij dit dus grote invloed kan hebben ops, omdat G,_, (met een grote coefficient) bepalend is voor s, . Indien nu 0, groot genoeg gekozenis zal de plotselinge sprong van µi z, niet uit de grenslaag komen en blijft s, gewoon 0 . Alsdit niet lukt zal de s, uit zijn nul-stand springen met daarop weer consequentie's voor deingang u. Die zal dan sterke sprongen vertonen en uiteindelijk zal het integratiealgorithme nietmeer in staat zijn het verloop van de toestand te berekenen . De simulatie wordt zoals eerdergezegd afgebroken .

Na vele pogingen is het dan pas gelukt om een simulatie te berekenen die welhelemaal afgerond werd . Omdat het rekenalgorithme op tijdbasis gezien zeer langzaam gaatis er maar een simulatietijd van 1 seconde genomen .(de rekentijd bij de snelste simulatie's ligtin de orde van tientallen minuten) .Bij een gewenste hoeksnelheid van 5 rad ./sec. is dan ongeveer 80% van een hele oscillatieberekent .

Simulatie 1

De c~, wordt vast gesteld op 0 .005, dat laten we aannemen de uiteindelijke maximalevolgfout mag zijn . Hierop kan men dan de andere variabelen aanpassen. In deze simulatie zijnde «s steeds groter genomen om de reden hierboven gegeven . Dit betekent 4>,= 0 .005, 0Z0.05, 4>3 0.1 en 04 0.5 . Verder blijkt a = 40 en 1 = 10 te werken . Alhoewel deze simulatie

pag 27

rotatierobot

nog wel werkte is deze met de hand afgebroken aangezien deze veel te lang duurde . Hetverloop van de variabelen tot dan toe, ± 0.5 sec., zijn in de afbeelding weergegeven. De redenvan deze lange rekentijd is goed te zien aan de ingang u . Deze slingert sterk op en neer, alsgevolg van de klappering in de sat4 funktie tussen -1 en +1 . Dit komt omdat de s4 niet echtstabiel is en daardoor niet 0 wordt . Hoe dit komt heeft waarschijnlijk iets te maken met hetfeit dat s3 ook nog niet 0 is en dat dat dan weer zijn invloed heeft op s4 . Om dit probleem tevermijden zou men 4>4 kunnen verhogen met de hoop opdat µ4-z4 binnen de grenslaag van c t4blijft . Dit leidt er dan toe dat de sat4 funktie niet van -1 naar +1 klappert en dat daardoor nietde grote wisselingen in de ingang u optreden .

Simulatie 2

Zoals in het vorige aangegeven wordt nu de k verhoogt van 0 .5 naar 4 . De rekentijd is nusneller, omdat de ingang u zoals in de afbeelding te zien is nu veel minder klappert. Hetverhogen van 4>4 heeft dus een positieve invloed .

Simulatie 3,

Het verder verhogen van 04 naar 10 zorgt ervoor dat de klappering praktisch verdwenen is .Een ander probleem is dat in de ingang u nogal scherpe pieken voorkomen . Dit zijn deconsequentie's van de plotselinge sprongen die de G funktie's maken indien de grenslaag vans, bereikt wordt . In de laatste simulatie is te zien dat de s, dan ook nog vaak "doorschiet" endit vervolgens niet bij 1 sprong blijft. Men ziet dat dit wel snel wordt hersteld dankzij diesterke piek in de ingang u .Wat is hier tegen te doen? Misschien help het als je de sat en G funktie's gladder neemt,dusdanig dat indien µ ; z, de bandbreedte bereikt de G, niet een plotselinge scherpe sprongmaakt van tl naar 0 maar dit geleidelijk aan inleidt.

Een voorstel kan zijn met behulp van een arctan funktie . Echter dit kan tot een grotewaarde van de afgeleide leiden in het punt 0 hiervan . Dit kan nadelig zijn als bijv . µ,-z, meteen grote stap de bandbreedte binnendringt . Daarbij springt dan de afgeleide van een waardenabij 0 tot een waarde die vele malen groter dan 1 kan zijn, afhankelijk van de grootte vande coefficient in de arctan functie .

Een ander voorstel die dit probleem niet heeft is het gebruik van spline functie's . Dezeronden alleen de scherpe hoek van de sat functie wat af. Dit wil zeggen dat de waarde vande afgeleide in het punt 0 dan gewoon 1 blijft . Het is dan wel dat je een apart programmamoet schrijven die het algorithme iedere keer 4* moet aanroepen om de waarde van dezefunktie te berekenen bij µ,-z,. Dit levert een beduidende langzamere rekentijd .

Wat men ook zou kunnen onderzoeken is of een algortihme die de afgeleide van s, alsfunktie van µ,-z; in de grenslaag 0 stelt een positievere invloed heeft op het convergeren enstabiel houden van s, in 0 .

pag 28

aangepast

3.3 Aangepaste simulatie's

Zoals in het vorige treden er problemen op met de ingang u waarin scherpe piekenvoorkomen. Die waren afkomstig van de G funktie's die daar dan abrubt veranderden .

Ook zijn bij de vorige afleiding de afgeleiden van de G functie's en die van de signfunctie's verwaarloosd omdat deze niet te bepalen zijn . (het zijn namelijk impulsfunctie's)

Wat men nu kan doen is de satfunctie's gladder maken dusdanig dat de afgeleidenhiervan bestaan en dan maar hopen dat het regelalgorithme nog stabiel is .

De signfunctieterm die in de F2 tevoorschijn komt, wordt constant genomen dus-danig dat deze constante minimaal de werkelijke waarde van deze sign term is . Bij diffe-rentiering valt dit dan gewoon weg .

Het voordeel is nu dat men geen abrubte veranderingen in het algortihme alsgevolg van de G's en de afgeleiden van de signfunctie mag verwachten .

3 .3 .1 De aangepaste satfunctie

De aangepaste sat-functie's worden bepaald met zogenaamde splinefunctie's . Hier-voor wordt een 5e orde splinefunctie genomen . Deze splinefunctie's zijn alleen nodig inhet gebied waarin de satfunctie van -1 naar het grensgebied gaat en van het grensgebiednaar de waarde 1 . Daar treedt namelijk de knik op die tot de sprong in G en vervolgenstot de impulsafgeleide hiervan leidt .

Waar de splinefunctie moet komen kan men ingeven met de volgende parameters,

xl, x2, x3, x4 de x-as coordinatenyl, y2, y3, y4 de y-as coordinaten

y3

nyl

23 1 x4 -elcN-LY*

ypl, yp2, yp3, yp4 de le afgeleiden van de satfunctie in resp . xl . . x4yppl, ypp2, ypp3, ypp4 de 2e afgeleiden van de satfunctie in resp . xl .. x4

pag 29

I

I

I

I

I

I

(mu-z)/fi

(mu-z)/fi

(mu-z)/fi

(mu-z)/fi

lig

aangepast

Indien men hier bijv . als waarden kiest,

xl =-1.2, x2 =-0.8, x3 = 0.8, x4 = 1 .2yl = -1 .0, y2 = -0.8, y3 = 0.8, y4 = 1 .0yp 1 = 0.0, yp2 = 1.0, yp3 = 1.0, yp4 = 0.0yppl = 0.0, ypp2 = 0.0, ypp3 = 0.0, ypp4 = 0.0

dan krijgt men de grafiekjes in de volgende afbeelding voor de aangepaste satfunctie, deeerste (G), de tweede (AG) en de derde afgeleide (AAG) . Zoals te zien is krijgt men in dederde afgeleide pas een sprong. Aangezien we geen vierde afgeleide nodig hebben, hebbenwe dus ook geen last van impulsen .

Voor de totale afgeleiden van de satfunctie's geldt dus :

~~µa-~t)) ~µt-~j)

a(sat(µt zt))= =(i . (µt-zt)dt µ,-z, ~c t4k ~c-) ~i

C

a G.= =AG. (µ; -zT)dt t a( µt-z`) at t `Yt

dAG = ~a~) ~; =AAG.dt t ~ µ i-zj) ~ t

3 .3 .2 Berekening regelparameters

De berekening van de parameters die van belang zijn, gaat overeenkomstig hetvorige deel .

Stap 1,

zl =ydZl =yd

Zie1d

01=D1+.Zle-tl + ~2sat(µ't2 )

A2~ FL=

pag 30

aangepast

Stap 2 :

z2=Zle-F1Sat(µi~Izi)-1Sl

T,Z =~(zle)-Flsat( µ~-lz1) -(Fl

Gi +1)(112+D1-zi)

..rI -z~=~(Z1e)e-Fl~~~ µ~ l i)-(Fl G1 +')(112-'le)

02=D2+,zr-ze+403Sat(µ3-~3 )

t3

=D2+ 403sat( µ~ ~)

= ABcos(xl)+kÁ(xl x2)+403sat( µ~3)

F2= aAB+akAC1+ 0~3 met C, z max Ixl -X21

pag 31

Stap 3 :

z3=z,.-F2sat( µ2 -Z)- 1s2-asl

z,3=~(z,~)-F2sat( µ2 ~)-{F2 2 +1)(µ3+D2-ti)-a(µ2+D1-zl)1k 2

,z,=~(z2 )e-FUsat( µ~ ~)-(F2~G

2 + 1)(1~3-z2e)-a(µ2-z1e)

OI =DA +zq, -z., + ,~dsat( µ~_4z4)

G42e=yd-4L2-yd)(Fl 1 +;L)

G F~(~)e =27d -(µ3-Yd)(Fi 1 +1H112-yd)-b, G1e

GF l01=Yd-(µ3+D2-yd)(Fl 1 +~)-(µ2-yd) ~iGi

G F~ ~(z.U)e-~(~)=D2(Fl ,~i +~)-(µ2-yd) ,L1(Gle-G1)

F2 =F'2e =0

03=D2(Fl G,~l +7l)-(µ2-yd) F,~l (Gle-Gl)+(F2 2 +a )D2+~4sat( µ~ Z4)

`YI y'1 2 4

=(FlGl

+G2

+2~)D2 -/lµ2-2 yd)

Fl(G1e-

µ4-z4)-,~ F ,~ -,~C.rl) +~4sat( í ,~

`Y1 `V2 `Yi `Y4

=(Fl G,~,l +F2 G,~, 2 +2~,)D2+~4sat( µ~ z4)

`Y1 `Y2 4

i F3=( Fj l + ~j2 +21)(aAS+akA Ixl -x2l)+

pag 32

aangepast

Stap 4 :

-z4 =Z3e-F3slll(

µ3-z3 ) lS3 - as2

0 3

z4=~(z3e)-F3SCat( µ~ ~ )-(F3 3 + ')(µ4+D3 0-a(µ3+D2-~3 3-z G

zq,e=~(z3e)e-F'3e,4Clt( µ~3 3)-(F3 3 +1)(µ4-Z3e)-a(µ3-~)

A4=D4+,ie-,Z4

.z3e=yd-(1 13-Yd)(Fl G,~I + 1)-(112-yd) F,~ Gle-(F2 2 +')(1~3-~)-a(1 12-Yd)`YI `Y1 2

~,, G~(z3e)e _ 44V'd)-(µ4-yd)(FI 1 +~,)-2( 1l3-ya)

F

-1Gle-(é'2 Yd),F

hl d(Gle)e

-(F2G,~2+ A)(é14 ~(zye)e)-(2G~)(µ3 Z2e)-a(é L3 Yd)`Y2 4 2

4 ~'' _ G F F~( Je)=~4Vd)-(µ4+D3-Yd)(FI ~i + ' )-(v3 -yd) ~1G1-(µ3+D2 Yd),~1Gle

-(µ2-Yd) F~ , i d (Gle)-(F2G,~2 + 1)(µ4-~(z2e))-( 2G)(µ3-~)-a(µ3+D2-Y)`Y1 `Y2 2

F F ~,, F~(z3e)e ~(z3e)=-2(~.t3 Yd) 1 G1e+(µ3 Yd) 1 Ul+(µ3+D2 Yd),61 Gle

-(112-~d)F,

~(Gle)e+(µ2-Y[Y ,~,1 ~(G1e)-(F2 G,~,2 +1)(~(zU)-~(,z,~)e)-W1 ~Yl `Y2

F~~ ( µ3 -Zye)(G2e-G)+ OiD2

=(µ3-y~ F~,i [-2G1e+G1-Gle)+D2 F,~ l Gle-(µ2-ya) ~1 [~(Gle)e- « (Gie)lW1 W1 1

+(F2 ,~2 +1)[D2(Fl G,~I +~)-(µ2-yd) F,~I (Gle-G1)) F,~, (µ3-~2e)(G2e-G2J+aD2~Y2 ~Y1 `Y1 `y2

pag 33

aangepast

=D2F2AG1(µ2-yd/+(E=2-3'd)F,~,Z

W 1

AGID2+(F2 ,~2 +1)D2(Fl1 W1 W2 W1

2({13-~)'jG2 D2 +aD2

42 W2

=D2[2 FzAG1(µ2-yd)+(F2G2

+~ )(Fl 1+l)+

4>1 2 1

F,~[µ3-ya+(µ2-yd)(Fl G,~l +A)JAG2+a .1`Y2 `Y1

F3=F3e

04=D4+ddt(z,3ee- jd~t (Z3e)-(F3 3 + ')(Z3-z3e)-a(z2-z.U-D)

3

=D4+D2[2FzAGI(µ2-3'd)+(F2G,~, 2 +')(FlGl +~,) +0

`Y2 ~1

F, ~ [µ3-yd+(µ2-yd)(Fl ~1 + l)lAG2+a]+`Y2 1

(F35- ,~+~)(Fl 1 +F2 2 +2 1)D2+aD2`Y3 1 2

=D4+D2[2 F?AGl(µ2-Ya)+(F2 2 + ')(Fl 1 +l)+~1 4)2 1

F~,2 [µ3-yd+(µ2-yd)(FlG,~l +~,)]AG2 +2a +(F3 G~, +1)(F,2-1 +F2 2 +21)1`Y2 `Y1 `Y3 `Y1 2

F4=(aAi +a k,4ixl-x2 1 )[ IAB i + jkA 1 +2F2 IAG1(µ2-yd)I +(F2G,~,2+X)(Fl 1 +~,)+W1 ~2 1

F~,2 I [µ3-Yd+(µ2-J'd)(F~ G~, l + X)~G2 1 +2a +(F3 G,~ +,)(Fl G~, l +F2 2+21)1+~,

`Y2 `Y1 `Y3 `Y1 `r2

iá1 (k~ 1X1 -x21 + JB Ix4 1 )m m

pag 34

aangepast

Tot slot is nog de geschatte afgeleide van z4 nodig,

z4=Z3e-F3Sat( µ3,~ ~)-í~S3-aS2`Y3

z4e =

dt(z3e)e-F3dsat( µ3-z3)-(F3 ,63 +~)(é14-Z3e)-a(µ3-z2e)=~3 W3

~4(Yd)-(µ4-y'd)(F1 1 +l)-2(µ3-y"d) FAG1(µ2-yd)1 1$12

F1[AAG

(µ2-yd 2 +AG (113-9I 2 I

-(F2 G~,2 + 1)[µ4-Yd+(µ3-Y~(Fl G,~l + ')+(µ2-yd) IAGI(µ~ yd) )

W2 `V1 1 1

- F2AG2 (µ3-~U)(113-yd+(Fl 1 +1)(µ2-Yd))-a(µ3-Yd)

`Y2 `Y2 1

-(F1 J2- +21)akA(x3-x4)sign(xl -x2)sat( (µ3-ZJ )-(F3 G~,3 +1)(µa Z3e)-a(µ3 ~)

`Y1 4Y2 W3 `Y3

4.-tje &=20

Alle benodigde variabelen om de regelingang u op te stellen zijn nu bekend .

De programma's waarin dit geimplementeerd is hebben dezelfde structuur als vande vorige simulatie's. Het verschil zit hem in de satfunctie's en de afgeleiden daarvan . Hierworden nu de aangepaste waarden voor gebruikt en extra termen die eerst niet meegeno-men werden. In een simulatiestap zijn 4 sat-functie's en de afgeleiden daarvan nodig .Omdat het integratiealgorithme 6 keer de toestandsafgeleide nodig heeft voor 1 integratie-stap betekent dit dat er in 1 simulatiestap 24 keer de satfunctie e .d wordt berekend. Daar-bij komt ook nog indien het een stap binnen de tolerantiegrenzen betrefd de dataopslag-procedure die dit dan ook nog eens 4 keer doet. Kort samengevat wordt voor 1 integratie-stap binnen de tolerantiegrenzen dus 28 keer een satfunctie berekend, en eventueel deafgeleiden daarvan .

Dit betekent dat de rekentijd beduidend langer wordt aangezien het berekenen vande satfunctie's en de afgeleiden daarvan veel tijd vergt door de vele mathematische aktie'sdie daarvoor nodig zijn .

Om te voorkomen dat iedere keer het hele programma voor de splinefunctie uitge-voerd moet worden is dit 1 keer van te voren gedaan met een bepaalde stapgrootte . Deze

pag 35

aangepast

data die zowel de x-waarde de daarbij behorende satwaarde en de afgeleiden daarvan bevatis in een matrix gezet. Nu wordt voordat de simulatie start, deze data in het werkgeheugengeladen, en kan men met een bepaalde nauwkeurigheid daar direkt de benodigde waardenvoor de aangepaste satfunctie en de afgeleiden halen .

De eerste simulatie's worden gedaan met de zelfde constanten als in de vorige . Datwil zeggen een lage demping b en een hoge stijfheid k . Wat opvalt is dat de rekentijdenbeduidend korter zijn .

Simulatie 1

De eerste simulatie wordt gedaan met de parameters 4>1 = 0.005, c~2 = 0 .1, <K = l, k = 15, a= 4 en 1 = 1 . Uit deze simulatie volgt dat s, geleidelijk naar 0 gaat en dat er een trillingop u zit na ongeveer 3 .5 seconden wat tot een lange rekentijd leidt . Als men naar deingang u kijkt ziet men dat dit kan worden veroorzaakt door de trilling op de sat4 functie .

u= ~ 1 [-L~h+z~-F4sat( µ4_z

,~ 4 )-Ás4-as~`Y4

Jm -z4eu

Verder beschouwing van de ingang u leert dat als men de invloed van de F4sat4term uit u weghaalt dat de ruis op de ingang u praktisch verdwenen is .

Dit kan worden getracht te verminderen door de 4~4 te verhogen dusdanig dat deruis van sat4 kleiner wordt of proberen F4 te verlagen . Verder is het nodig dat 1 verhoogdwordt dusdanig dat de regelaar sneller werkt .

Simulatie 2

Nu neem ik de volgende parameters 4>, = 0.005, 4>2 = 0 .1,

03 = 1, 04= 30, oc = 15 en 1 = 5. Men ziet nu dat de regeling veel sneller werkt en dat des'n sneller en geleidelijker naar 0 gaan . In het begin van de ingang zit nu niet de hogepiek. De trilling is, alhoewel wat minder nog steeds op de sat4 functie en de ingang u .Verder zitten er nog wat piekjes op de ingang u net voor de 1 sec . Deze verschijnen als s,en sz nul worden . De eerste piek als s2 nul wordt en de tweede piek als s, nul wordt .

Omdat we een aangepaste sat4 hebben die binnen de bandbreedte bij de overgangs-gebieden niet exact gelijk aan de coefficient hoeft te zijn wordt s4 niet exact nul . Mis-schien wordt het beter als we nu de echte sat4 hiervoor gebruiken . Dit betekent dat s4 danwel exact 0 wordt en dat dit dan misschien weer zijn invloed heeft op de ruis van sat4dusdanig dat het verminderd .

pag 36

aangepast

Simulatie 3

Indien we nu de echte sat4 functie gebruiken ziet men dat de voorspelling dat detrilling in sat4 beduidend minder is uitkomt wat ook een stabielere u levert. Echter is sat4pas relatief 0 indien alle sat's pas 0 zijn. Nu zit er nog een trilling tussen de 0 .5 en 1 .3sec. Dit wordt waarschijnlijk veroorzaakt door de trilling op de sat3 (of sat4) . Misschien isdit op te lossen door verhoging van 4~3 naar 10 .

Simulatie 4

De verhoging van 4>3 leidt ertoe dat de s'en nu veel sneller naar 0 gaan maar dat dit weleen ontzettend grote ingang u in het begin oplevert . S3 ligt al direkt in de grenslaag omdat

4 3 omhoog gegaan is . Het gevolg is dat nu sz heel snel 0 wordt en vlug in de grenslaagkomt. Waarschijnlijk krijgt de 2e afgeleide van sat2, AG2 dan een bepaalde waarde zodater direkt en dus een hele grote term in F4 bijkomt. Omdat sat4 nu nog gewoon 1 is en nietal sterk naar 0 gegaan is zoals in de vorige simulatie, levert dit een grote piek in deingang u (veel groter als in de vorige simulatie waarin dit de 1e piek betrefd) . Nu is ookduidelijk dat waarschijnlijk de 2` piek veroorzaakt wordt door AG, .

De trillingen zijn niet beduidend minder doordat sat4 trilt en eventueel ook sat3 .Om dit op te lossen is er ook nog een simulatie verricht door voor sat3 de echte satfunctiete pakken en de echte afgeleide G daarvan . De verdere afgeleiden hebben we niet nodig .Nu blijkt dat het volggedrag totaal niet voorkomt en dat de s'n niet stabiliseren . Voor desat3 wordt daarom weer gewoon een splinefunctie genomen .

Simulatie 5

Nu wordt 43 verlaagd dusdanig dat s3 later 0 zal worden en daardoor ook later eenpiek in F4 zal geven die dan een kleinere invloed zal hebben op u doordat sat4 dan afge-zwakt is .Zoals men in de afbeelding ziet is de verlaging van 0b3 naar 5 onvoldoende om de grotepiek in het begin te voorkomen .

Simulatie 6

De problemen van de eerste piek worden veroorzaakt doordat F4 abrupt stijgt omdatGZ of AG2 plots een waarde krijgt. Het is daarom het proberen waard om deze waardenwat gladder te maken . Hiervoor wordt de splinefunctie voor sat2 breder genomen dusdanigdat G2 en AGZ gladder worden . De waarden voor xl, x2, x3 en x4 worden nu respectieve-lijk :-1 .6, -0.5, 0.5 en 1 .6 .Het resultaat is dat de piek in F4 minder groot is en dat dat ook een kleinere piek geeft inde ingang u . Maar vooralsnog is dit nog altijd te groot .

pag 37

aangepast

Simulatie 7

Omdat de bredere splinefunctie niet afdoende is wordt nu geprobeerd om deinvloed van AG2 te beperken door deze met een factor 0.001 te vermenigvuldigen . Zoalsmen ziet is het resultaat dat de piek aanzienlijk is geslonken .

Simulatie 8

Aangezien bij de laaste simulatie blijkt dat AG2 veel invloed heeft op de ingang uwordt nu net voor de berekening van F4 de AG2 en AG, = 0 genomen. Tevens blijktindien we voor a = 5 en 1 = 15 nemen dit ook tot verbetering leidt .

Simulatie 9

Indien we nu ook nog waar AG, en AG2 0 gesteld is ook G, en G2 0 stellen valt opte merken dat F4 nu nog sterk lager is en dat dit ertoe leidt dat de ruis praktisch verdwe-nen is op de ingang u .

Simulatie 10

Omdat we tot nu toe alleen de exacte waarden voor de geschatte groothedenhebben gebruikt wordt het nu tijd om hier eens benaderingen in te vullen . De waarden dietot nu toe gebruikt zijn kloppen echter niet. We hebben deze waarden aangepast om zoeen zo gunstig mogelijke simulatie te krijgen . Het bleek dat alfakA klein moest zijn diewe daarom klein hebben genomen . Neem nu voor kAd = 119 voor kd = 200 .75 en voor bd= 0.001005 terwijl kA = 118 .4, k = 200 en b = 0.001 .

De rekentijden zijn nu veel langer . Zoals te zien is gaat de s, gewoon netjes naar 0dus het gewenste traject wordt gevolgd . Wat opvalt is dat de satfunctie's nu niet naar 0convergeren maar rond een bepaalde waarde gaan slingeren .

Simulatie 11

Om de invloed van de verschillende ontwerp en componentparameters te bekijkenwordt nu alleen de stijfheidsfactor k verlaagd van 200 naar 100 en de geschatte kd naar100.75 . De rest blijft hetzelfde. Er veranderd praktisch niets .

Simulatie 12

Verlaging van de factor kA van 118.4 naar 48 en kAd van 119 naar 50 heeft weldrastische invloed. Het gewenste traject wordt wel gevolgd maar de piek die optreedt rond

pag 38

aangepast

de 0.1 sec. stijgt beduidend .Verhoging van akAgeeft een veel langere rekentijd veroorzaakt doordat de pieken

veel groter zijn en de ruis weer terugkomt op de ingang u nadat sat4 binnen de bandbreed-te gekomen is. Bij ockA groter dan 7 geeft het rekenalgorithme zelfs een singulariteit aanen wordt de simulatie niet afgerond .

Zoals men ziet heeft de ene parameter sterker invloed dan een ander . In eersteinstantie waren de parameters kA, AB, k en b zo gunstig mogelijk genomen om de zaakeenvoudiger en het regelprobleem werkende te maken . Hierbij is niet gelet op het verbandtussen M en k enerzijds en AB en kA anderzijds. Dit betekent dat men hier geen realisti-sche waarden voor heeft. Als men dit wel zou doen met een lage stijfheid, een redelijkedemping op de motoras, een bepaalde voorwerpsmassa en daarbij dan enigszins reeele on-nauwkeurigheden blijkt dat men gauw in de problemen komt met de regelparameters diemen voorheen gebruikt heeft . Deze regelparameters moet men dan optimaliseren doormiddel van het verrichten van simulatie's. Dit kan men doen met verschillende beginvoor-waarden en gewenste trajectories . Alhoewel deze laatste 2 regelaanpassingen naar mijnhuidige overtuiging niet erg veel invloed heeft, kan men voorstellen dat het vinden van deoptimale regelparameters een tijdrovende zaak is . Ten eerste omdat men 6 regelparameters4>„ a en 1 heeft en ten tweede de tamelijk lange simulatietijden . Daarbij kan men zich ooknog afvragen of men eventueel splinefunctie's toepast en met welke breedte's .

Deze factoren tesamen maken het moeilijk om de meest optimale regeling, zovermogelijk, te krijgen . Daarom heb ik wegens tijdgebrek niet meer de mogelijkheid gezienom een regeling te ontwerpen voor een systeem met realistische parameters voor stijfheid,demping en onnauwkeurigheden die functioneert .

pag 39

aangepast

Conclusie's

-G functie's leiden tot sterke sprongen in de ingang .

-Te reduceren door middel van splinefunctie's.

-Voor 2de orde systeem is dit nog redelijk te optimaliseren .

-Voor 4de orde systeem is dit moeilijk omdat er geen duidelijke richtlijnen op te stellenzijn .

-Moeilijker naarmate het systeem instabieler is. Dat wil zeggen lage stijfheid voor deverbinding tussen actuator en de arm .

-Vreemd is, dat zoals in het voorbeeld, de afgeleide van de si's naar de tijd in de band-breedte niet 0 worden gesteld . Echter de invloed op de regeling hiervan is naar mijngevoel nihil .

-Omdat in de toepassing van de rotatierobot de D3 term 0 was waren de uitdrukkingen dienodig zijn voor de ingang u "met de hand" nog redelijk te bepalen . Indien dit niet hetgeval is leidt dit tot gigantische uitdrukkingen die praktisch gezien niet meer te overzienzijn. Een formule-manipulator als MAPLE-V heeft in mijn geval (weinig ervaring) geenresultaten opgeleverd .

-Naar mijn inzicht is deze vorm van regeling praktisch (met realistische parameters) nogniet toepasbaar door de sterke sprongen die in de ingang u voorkomen . Deze zijn tereduceren maar inhoeverre dit mogelijk is, is me niet duidelijk .

Aanbevelingen

-Verder onderzoek naar optimalisatie van regelparameters .

-Gebruik van andere syntethische ingangen z, proberen .

pag 40

Literatuurlijst[1] J .J.E. Slotine en J.K. Hedrick, Robust input-output feedback linearization, Int . Jnl .Control, 57 (5), pp. 1133-1139, 1993 .

[2] Bram de Jager, Frans Veldpaus, Course on advanced control .

[3] F .J. Kylstra, Robotbesturing (fac. elektrotechniek) .

pag 41

Robuuste IOL van SISOniet lineaire regelsystemen

A.F. de VriesW.F .W. rapport 94 .060 (bijlagen)

Begeleider: Ted van de Broek

Technische Universiteit EindhovenFaculteit WerktuigbouwkundeVakgroep Fundamentele Werktuigkunde

Stage verslag, Februari 1994

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

Bijlage Aprogrammalistings voorbeeld

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

%HOOFDPROGRAMMA VOORB.M

clear;global i TT A B C D kk fi1 fi2 alpa labda matrix

%load data.mat%matrix = [X YYY YYYP] ;

fil = definp('fi1 :',0 .02) ;fi2 = definp('fi2 :',1) ;labda = definp('labda :',5) ;alpa = definp('alpa :',1) ;

kk=0TT=Oi=1 ;t0=0 ;te=3.0 ;x0=[0; 1] ;format long ;[T,X]=integr45('voorba',t0,te,x0,1 .0e-3,0) ;format short ;

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

%HULPPROGRAMMA BIJ VOORB.M

function yprime=voorba(t,x) ;

kk=kk+1 ;[t kk]

%CONSTANTENa=1 ;, b=1 ;adak=1 .2;, bdak=0 .6;, cdak=l ;alphaa=0.5;, alphab=0 .5;, alphac=1 ;

%VARIABELENyd=1+cos(5*t) ;, ydp=-5*sin(5*t);, ydpp=-25*cos(5*t) ;,c=(cos(t))"2 ;

mul x(1) ;mu2=adak*(x(1))^2+bdak*x(2) ;

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%Fl =al phaa*(x(1))^2+alphab*abs(x(2))+fi2;

z1 =yd ;muf1=mu1-z1 ;sat1 = sat(mufl/fil) ;%rrrl = spline((mul-zl)/fil) ;%satl = rrr1(2) ;sl=mufl-fi1*sat1 ;

if abs(muf1)<=fi1G=1 ;

else G=O ;end ;%G = rrr1(3) ;

F2=(2*abs(adak*x(1))+2*atphaa*abs(x(1))+Iabda)*(alphaa*(x(1))"2 . . .+alphab*abs(x(2)))+(alphab+abs(bdak))*alphac*abs(x(1)*x(2))+G tfi 1 *F1 "2;

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%z2=ydp-F1 *sat1-Iabda*s1 ;muf2=mu2-z2 ;%rrr2 = spline((mu2-z2)/fi2) ;%sat2 = rrr2(2) ;sat2 = sat((mu2-z2)/fi2) ;s2=muf2-fi2*sat2 ;

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%zp2ex=ydpp-(2*alphaa*mu2*x(1)+alphab*cdak*x(1)*abs(x(2)))*sat1- . . .

(mu2-ydp)*(G*F1 /fi1 +Iabda) ;

zp2eu=-aiphab*satl *sign(x(2)) ;

u=1/(bdak-zp2eu)*(-2*adak*mu1*mu2-bdak*cdak*x(1)*x(2)-F2*sat(muf2 tfi2) . . .-Iabda*s2-alpa*s1 +zp2ex) ;

yprime=[a*(x(1))^2+b*x(2) ; c*x(1)*x(2)+u] ;

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

%DATAVERZAMELPROGRAMMA BIJ VOORB.M

function dataproc(t,x) ;

TT=TT+1 ;[t TT] ;

if TT == 1A=p;,B=p;,C=p;,D=p ;end ;

%CONSTANTENa=l ;, b=1 ;adak=1 .2;, bdak=0 .6;, cdak=1 ;alphaa=0.5;, alphab=0.5;, alphac=l ;

%VARIABELENyd=1 +cos(5*t) ;, ydp=-5*sin(5*t) ;, ydpp=-25*cos(5*t) ;,c=(cos(t))"2 ;

mu1=x(1) ;mu2=adak*(x(1))^2+bdak*x(2) ;

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%Fl =alphaa*(x(1))^2+alphab*abs(x(2))+fi2 ;

z1 =yd ;mufl=mul-zl ;sat1 = sat(mufl/fil) ;%rrrl = spline((mul-zl)/fil) ;%satl = rrrl(2) ;sl=muf1-fi1*sat1 ;

if abs(mufl)<=filG=1 ;

else G=O ;end ;%G = rrr1(3) ;

F2=(2*abs(adak*x(1))+2*alphaa*abs(x(1))+Iabda)*(alphaa*(x(1))^2 . . .+alphab*abs(x(2)))+(alphab+abs(bdak))*alphac*abs(x(1)*x(2))+G /fi 1 *F1 ^2 ;%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%z2=ydp-F1 *sat1-labda*s1 ;muf2=mu2-z2 ;%rrr2 = spline((mu2-z2)/fi2) ;%sat2 = rrr2(2) ;sat2 = sat((mu2-z2)/fi2) ;s2=muf2-fi2*sat2 ;

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%zp2ex=ydpp-(2*alphaa*mu2*x(1)+alphab*cdak*x(1)*abs(x(2)))*satl- . . .

(mu2-ydp)*(G*F1 /fi 1 +labda) ;

zp2eu=-alphab*sat1 *sign(x(2)) ;

I

II

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

u=1/(bdak-zp2eu)*(-2*adak*mu1*mu2-bdak*cdak*x(1)*x(2)-F2*sat(muf2tfi2) . . .-Iabda*s2-alpa*s1 +zp2ex) ;

yprime=[a*(x(1))"2+b*x(2) ; c*x(1)*x(2)+ul ;

A=[A;mu1 mu2 muf1 muf2 satl sat(muf2/fi2)] ;B=[B;sl s2 Fl F2 G] ;C=[C;zl z2 zp2ex zp2eu] ;D=[D;u yprime(1) yprime(2) t] ;

if TT/100 == 1save dta1 .mat A B C DA=[] ;,B=[I;,C=II;,D=O ;end ;if TT/100 == 2save dta2.mat A B C DA=[];, B=o;,C=[l;,D=D ;

end ;if TT/100==3save dta3.mat A B C DA=[];,B=[] ;,C=II;,D=O ;

end ;if TT/100 == 4save dta4.mat A B C DA=[] ;,B=q ;,C=[] ;D=q ;end ;if TT/100 == 5save dta5.mat A B C DA=[] ;,B=II ;,C=Q;,D=[] ;end ;if TT/100 == 6save dta6.mat A B C DA=[] ;, B=D;,C=I1;,D=[] ;end ;if TT/100 == 7save dta7.mat A B C DA=[];,B=IJ;,C=II;,D=[] ;

end ;if TT/100 == 8save dta8.mat A B C DA=[] ;,B=[] ;,C=[];,D=II ;end ;if TT/100 == 9save dta9.mat A B C DA=[];,B=[ ];,C=II;,D=A ;

end ;if TT/100 == 10save dta10.mat A B C DA=[];,B=[ ];,C=II;,D=n;end ;etc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

1I

I

I

function [tout, yout] = integr45(FunFcn, t0, tfinal, y0, tol, trace)%ODE45 Integrate a system of ordinary differential equations using% 4th and 5th order Runge-Kutta formulas . See also ODE23 and% ODEDEMO.M.% [T,Y] = ODE45('yprime', TO, Tfinal, Y0) integrates the system% of ordinary differential equations described by the M-file% YPRIME.M over the interval TO to Tfinal and using initial% conditions Y0 .% [T, Y] = ODE45(F, TO, Tfinal, Y0, TOL, 1) uses tolerance TOL% and displays status while the integration proceeds .%% INPUT:% F - String containing name of user-supplied problem description .% Call: yprime = fun(t,y) where F='fun' .% t - Time (scalar) .% y - Solution column-vector .% yprime - Returned derivative column-vector; yprime(i) = dy(i)/dt.% t0 - Initial value of t .% tfinal- Final value of t .% y0 - Initial value column-vector.% tol - The desired accuracy . (Default: tol = 1 .e-6) .% trace - If nonzero, each step is printed . (Default: trace = 0) .%% OUTPUT :% T - Returned integration time points (row-vector) .% Y - Returned solution, one solution column-vector per tout-value .o~a% The result can be displayed by: plot(tout, yout) .

% C .B. Moler, 3-25-87 .% Copyright (c) 1987 by the MathWorks, Inc .% All rights reserved .% The Fehlberg coefficients :alpha = [1/4 3/8 12/13 1 1/2]' ;beta =[[ 1 0 0 0 0 0]/4

[ 3 9 0 0 0 0]/32[1932 -7200 7296 0 0 0]/2197[8341-32832 29440 -845 0 0]/4104[-6080 41040 -28352 9295 -5643 0]/20520]';

gamma =[[902880 0 3953664 3855735 -1371249 277020 1/7618050[ -2090 0 22528 21970 -15048 -27360]/752400

pow = 1/5 ;if nargin < 6, trace = 0; endif nargin < 5, tol = 1 .e-6; end

% Initializationt = t0 ;hmax = (tfinal - t)/5 ;hmin = (tfinal - t)/20000 ;h = (tfinal - t)/100 ;y = y0( :) ;f = y*zeros(1,6) ;tout = t ;yout = y .' ;tau = tol * max(norm(y, 'inf), 1) ;dataproc(t,y) ;

1

1I

I

I

I

1I

1I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

if trace - 0clc, t, h, y

end

% The main loopwhile (t < tfinal) & (h >= hmin)

if t + h > tfinal, h = tfinal - t ; end

% Compute the slopestemp = feval(FunFcn,t,y) ;f( :,1) = temp( :) ;for j=1 :5temp = feval(FunFcn, t+alpha(j)*h, y+h*f*beta( :,j)) ;f(:,j+1) = temp( :) ;

end

% Estimate the error and the acceptable errordelta = norm(h*f*gamma( :,2),'inf`) ;tau = toI*max(norm(y,'inf `) ,1 .0) ;

% Update the solution only if the error is acceptableif delta <= tau

t = t + h ;y = y + h*f*gamma(:,1) ;tout = [tout ; t] ;yout = [yout ; y .'] ;dataproc(t,y) ;

end

if trace - 0home, t, h, y

end

% Update the step sizeif delta - 0.0h = min(hmax, 0.8*h*(tau/de{ta)^pow) ;

endend ;

if (t < tfinal)disp('SINGULARITY LIKELY .')t

end

I

I

I

I

I

I

1I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

Bijlage Bprogrammalistings rotatierobot

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

%HOOFDPROGRAMMA

clear;global i TT A B C D E UV kk fi1 fi2 fi3 fi4 alpa labda

fi1 = definp('fil : ',0.005) ;fi2 = definp('fi2 : ',0 .1) ;fi3 = definp('fi3 :',0 .1) ;fi4 = definp('fi4 :',2) ;labda = definp('labda : ',10) ;alpa = definp('alpa : ',40) ;

kk=0 ;TT=O;i=1 ;t0=0 ;te=1 ;x0=[1 .9 ; 1 .8; 0 .1 ; 0 .2] ;t1 = clock ;format long ;[T,X]=integr45('stag4a',t0,te,x0,1 .0e-3,0) ;tijd = etime(tl,clock) ;format short ;

1

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

%HULPPROGRAMMA BIJ STAG4.M

function yprime=stag4a(t,x) ;

[t kk]kk=kk+1 ;

%CONSTANTENAB = -15.22;, ABd = -15 .22 ;, alfaAB = 0.75 ;kA = 118.4;, kAd = 118 .4 ;, alfakA = 1 .3687 ;k = 200 ;, kd = 200;, alfak = 1 .5 ;b = 0.001 ;, bd = 0.001 ;, alfab = 0 .00001 ;Jm = 5 ;

%VARIABELEN

yd=1+cos(5*t) ;, ydp=-5*sin(5*t);, ydpp=-25*cos(5*t) ;ydppp=125*sin(5*t) ;, ydpppp=625*cos(5*t) ;

mul = x(1) ;mu2 = x(3) ;mu3 = ABd*cos(x(1))-kAd*(x(1)-x(2)) ;mu4 = -(ABd*sin(x(1))+kAd)*x(3)+kAd*x(4) ;

Fl = f12 ;F2 = alfaAB+alfakA*abs(x(1)-x(2))+fi3 ;F1 ep = 0 ;F2ep = alfakA*(x(3)-x(4))*sign(x(1)-x(2)) ;

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

z1 = yd ;z1 ep = ydp ;z1 epep = ydpp;z1 epepep = ydppp ;sat1 = sat((mu1-z1)/fi1) ;s1 = mul-z1-fi1*sat1 ;

if abs(mu1-z1)<=fi1G1=1 ;

else G1=0 ;end ;

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

z2 = z1 ep-F1 *sat1-labda*s1 ;z2ep = z1 epep-F1 ep*sat1-(F1 *G1/fi1+Iabda)*(mu2-z1 ep) ;z2epep = z1 epepep-(F1 *G1/fi1+Iabda)*(mu3-ydpp) ;sat2 = sat((mu2-z2)/fi2) ;s2 = mu2-z2-fi2*sat2 ;


else G2=0 ;end ;

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

F3 = (F 1 /fi 1 +F2/fi2+Iabda*2)*(alfaAB+alfakA*abs(x(1)-x(2)))+fi4 ;F3ep = F2ep*((F2-fi3)/fi2+F1/fi1+F2tfi2+labda*2) ;%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

z3 = z2ep-F2*sat2-labda*s2-alpa*s1 ;z3ep = z2epep-F2ep*sat2-(F2*G2/fi2+labda)*(mu3-z2ep)-alpa*(mu2-zlep) ;sat3 = sat((mu3-z3)/fi3) ;s3 = mu3-z3-fi3*sat3 ;


else G3=0 ;end ;

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

z4 = z3ep-F3*sat3-labda*s3-alpa*s2 ;

sat4 = sat((mu4-z4)/fi4) ;s4 = mu4-z4-fi4*sat4 ;

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

F4 = (alfaAB+alfakA*abs(x(1)-x(2)))*(abs(ABd)+abs(kAd)+alfakA*abs(x(3)-x(4))*G2 /fl2+ . .(F2*G2/fi2+Vabda)*(F1 *G1 /f'i1 +tabda)+aipa*2+(F3*G3/Fi 3+labda)*(F1 *G1 d'ï1 . .+F2*G2/fi2+Iabda*2))+alfakA*(alfaAB+alfakA*abs(x(1)-x(2))+ . .alfak/Jm*abs(x(1)-x(2))+alfab/Jm*abs(x(4)))+abs(kAd)*(alfak/Jm*abs(x(1)-x(2))+ . .alfab/Jm*abs(x(4))) ;

Lfd4h = -ABd*cos(x(1))*(x(3))"2-(ABd*sin(x(1))+kAd)*(ABd*cos(x(1))- . .kAd*(x(1)-x(2)))+kAd/Jm*(kd*(x(1)-x(2))-bd*x(4)) ;

z4epx = ydpppp- . .(F1 *G1 /fi1 +labda)*(mu4-ydppp)- . .alfakA*(ABd*cos(x(1))-kAd*(x(1)-x(2))-kd/Jm*(x(1)-x(2))+bd/Jm* . .x(4))*sign(x(1)-x(2))*sat2- . .alfakA*(x(3)-x(4))*G2/fi2*(mu3-z2ep)*sign(x(1)-x(2))- . .F2ep*G2/fi2*(mu3-z2ep)- . .(F2*G2/fi2+labda)*(mu4-z2epep)- . .alpa*(mu3-ydpp)- . .F3ep*sat3- . .(F3*G3/fi3+Iabda)*(mu4-z3ep)- . .alpa*(mu3-z2ep) ;

z4epu = alfakA/Jm*sign(x(1)-x(2))*sat2 ;

u = (1/(kAd/Jm-z4epu))*(-Lfd4h+z4epx-F4*sat4-labda*s4-alpa*s3) ;

yprime=[x(3)x(4)AB*cos(x(1))-kA*(x(1)-x(2))k/Jm*(x(1)-x(2))-b/Jm*x(4)+u/Jm] ;

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

II

I

,

Bijlage Cprogrammalistings rotatierobot aangepast

I

I

1I

I

I

1I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

%HOOFDPROGRAMMA

clear;global i TT A B C D E UV kk fill fi2 fi3 fi4 alpa labda matrix matrix2 matrix3

load data .mat ;matrix = [X YYY YYYP YYYPP YYYPPP];%load data2 .mat ;%matrix2 = [X YYY YYYP YYYPP YYYPPP] ;%load data3.mat ;%matrix3 = [X YYY YYYP YYYPP YYYPPP] ;

fi1 = definp('fi1 : ',0.005) ;fi2 = definp('fi2 : ',0 .1) ;fi3 = definp('fi3 :',5) ;fi4 = defínp('fi4 : ',30) ;labda = definp('labda :',15) ;alpa = definp('alpa :',5) ;

kk=0 ;TT=O ;i=1 ;t0=0 ;te=1 .5 ;x0=[1 .9 ; 1 .8 ; 0 .1 ; 0 .2] ;t1 = clock ;format long ;[T,X]=integr45('stag5a',t0,te,x0,0.0005,0) ;tijd = etime(t1,clock) ;format short ;tol = 0.0005 ;

I

I

I

I

I

I

I

I

I

%HULPPROGRAMMA BIJ STAG5.M

function yprime=stag5a(t,x) ;

[t kk]kk=kk+1 ;

%CONSTANTENAB=-l5.22 ;, ABd = -15.22;, alfaAB = 0.75;kA = 118.4;, kAd = 119;, alfakA = 5 ;k = 10;, kd = 10.75;, alfak = 1 .5 ;b = 0.001 ;, bd = 0.001005;, alfab = 0 .00001 ;Jm = 5 ;, Cl = 2 ;

%VARIABELEN

yd=1 +cos(5*t) ;, ydp=-5*sin(5*t) ;, ydpp=-25*cos(5*t) ;ydppp=125*sin(5*t) ;, ydpppp=625*cos(5*t) ;

%yd = 1 ;, ydp = 0 ;, ydpp = 0 ;, ydppp = 0;, ydpppp = 0 ;%yd = t ;, ydp = 1 ;, ydpp = 0;, ydppp = 0 ;, ydpppp = 0 ;

mul = x(1) ;mu2 = x(3) ;mu3 = ABd*cos(x(1))-kAd*(x(1)-x(2)) ;mu4 = -(ABd*sin(x(1))+kAd)*x(3)+kAd*x(4) ;

Fl = fi2 ;F2 = alfaAB+alfakA*C1+fi3 ;F1 ep = 0 ;F2ep = 0 ;

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

z1 = yd ;z1 ep = ydp ;z1 epep = ydpp ;z1 epepep = ydppp ;

rrrl = spline((mul-zl)/fil) ;sari = rrr1(2) ;s1 = mul-z1-fi1*sat1 ;

G1 = rrr1(3) ;AG1 = rrr1(4) ;AAG1 = rrr1(5) ;G 1 ep = AG 1*(mu2-ydp)/fi 1 ;

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

z2 = z1 ep-F1*satl-Iabda*s1 ;z2ep = z1epep-F1ep*sat1-(F1*G1tfi1+Iabda)*(mu2-zlep) ;z2epep = z1epepep-(F1*G1/fi1+Iabda)*(mu3-ydpp)-(mu2-ydp)*F1tfi1*G1ep;

rrr2 = spline((mu2-z2)/fi2) ;

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

iI

I

I

I

I

I

%sat2 = sat((mu2-z2)/fi2) ;sat2 = rrr2(2) ;s2 = mu2-z2-fi2*sat2 ;

G2 = rrr2(3) ;AG2 = rrr2(4) ;

F3 = (F1/fi1+F2/f2+labda*2)*(a1faAB+alfakA*abs(x(1)-x(2)))+fi4 ;F3ep = (F1/fi1+F2/fi2+Iabda*2)*alfakA*(x(3)-x(4))*sign(x(1)-x(2)) ;%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

z3 = z2ep-F2*sat2-Iabda*s2-alpa*s1 ;z3ep = z2epep-F2ep*sat2-(F2*G2/fi2+labda)*(mu3-z2ep)-alpa*(mu2-zlep) ;

rrr3 = spline((mu3-z3)/fi3) ;sat3 = rrr3(2) ;%sat3 = sat((mu4-z3)/fi3) ;s3 = mu3-z3-fi3*sat3 ;

G3 = rrr3(3) ;%if abs(mu3-z3)<=fi3% G3=1 ;% else G3=0;%end ;

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

z4 = z3ep-F3*sat3-Iabda*s3-alpa*s2 ;

%rrr4 = spline((mu4-z4)/fi4) ;%sat4 = rrr4(2) ;sat4 = sat((mu4-z4)/fi4) ;s4 = mu4-z4-fi4*sat4 ;

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

F4 = (alfaAB+alfakA*abs(x(1)-x(2)))*(abs(ABd)+abs(kAd)+2*F1/fi1^2*abs(AG1*(mu2-ydp)) . .+ (F2*G2/fi2+labda)*(F1*G1/fi1+Iabda)+F2/fi2^2*abs((mu3-ydpp+(mu2-ydp)* . .(F 1*G 1/fi 1+I abda))*AG2)+2*alpa+(F3*G3/fi3+Iabda)*(F1 *G 1/fi 1+F2*G2/f2+2*labda))+ . .abs(kAd)*(alfak/Jm*abs(x(1)-x(2))+alfab/Jm*abs(x(4))) ;

Lfd4h = -ABd*cos(x(1))*(x(3))^2-(ABd*sin(x(1))+kAd)*(ABd*cos(x(1))- . .kAd*(x(1)-x(2)))+kAd/Jm*(kd*(x(1)-x(2))-bd*x(4)) ;

z4epx = ydpppp-(mu4-ydppp)*(F1*G1/fi1+Iabda)-2*(mu3-ydpp)*F1/fi1"2*AG1*(mu2-ydp) . .-(mu2-ydp)*F1/fi1 *(AAG1 *((mu2-ydp)/fi1)^2+AG1*(mu3-ydpp)/fi1) . .-(F2*G2/fi2+iabda)*(mu4-ydppp+(mu3-ydpp)*(F1 *G1/fi1+labda)+ . .(mu2-ydp)*F1 /fi1 *AG1 *(mu2-ydp)/fi1) . .-F2/fi2*AG2*(mu3-z2ep)/f2*(mu3-ydpp+(F1 *G1d•ï1+Iabda)*(mu2-ydp))- . .alpa*(mu3-ydpp)-(F1 /fi 1 +F2/fi2+2*Iabda)*alfakA*(x(3)-x(4))*sign(x(1)-x(2))*sat3- . .(F3*G3/fi3+labda)*(mu4-z3ep)-alpa*(mu3-z2ep) ;

z4epu = 0 ;

u = (1/(kAd/Jm-z4epu))*(-Lfd4h+z4epx-F4*sat4-Iabda*s4alpa*s3) ;

I

I

I

I

I

I

1I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

yprime=[x(3)x(4)AB*cos(x(1))-kA*(x(1)-x(2))k/Jm*(x(1)-x(2))-b/Jm*x(4)+u/Jm] ;

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

Bijlage Dprogrammalistings splinefunctie's

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

%PROGRAMMA TER BEPALING DATAMATRICES VAN AANGEPASTE%SATFUNCTIE'S EN DE 1 e, DE 2e, EN DE 3e AFGELEIDE DAARVAN .

X=[] ; YYY =[]; YYYP = 0; YYYPP = 0; YYYPPP = g ;x=-1 .5 ;

while x <= 1 .5

x1 = -1 .2; x2 = -0 .8 ; x3 = 0 .8 ; x4 = 1 .2;y1 =-1 ; y2 = -0 .8; y3 = 0.8; y4 = 1 ;ypl = 0; yp2 = 1 ; yp3 = 1 ; yp4 = 0 ;YPP1 = 0; ypp2 = 0; YPP3 = 0; YPP4 = 0 ;

x2a = (x-x1)/(x2-x1) ;ysp1 = (x2-x1)*yp1 ; ysppl = (x2-x1)^2*ypp1 ;ysp2 = (x2-x1)*yp2 ; yspp2 = (x2-x1)"2*YpP2 ;

term1 = y1+(3*y1+ysp1)*x2a+(yspp1+6*ysp1+12*y1)*0 .5*x2a^2 ;term2 = y2+(3*y2-ysp2)*(1-x2a)+(YsPP2-6*ysp2+12*y2)*0.5*(1-x2a)"2 ;term3 = 3*y1 +ysp1 +(yspp1 +6*ysp1 +12*y1)*x2a ;term4 = -(3*Y2-YsP2)-(YspP2-6*ysp2+12*y2)*(1-x2a) ;term9 = ysppl + 6*yspl + 12*yl ;terml0 = yspp2 - 6*ysp2 + 12*y2;

YY2 = (1-x2a)"3*terml + x2a^3*term2 ;YY2dx2a = -3*(1-x2a)"2*term1 + (1-x2a)^3*term3 + 3*x2a^2*term2 + x2a^3*term4 ;YY22dx2a2 = 6*(1-x2a)*terml - 6*(1-x2a)^2*term3 + (1-x2a)"3*(ysppl+ . .

6*ysp1+12*y1) + 6*x2a*term2 + 6*x2a"2*term4 + x2a^3*(yspp2- . .6*ysp2+12*y2) ;

YY23dx2a3 = -6*term1 + 18*(1-x2a)*term3 - 9*(1-x2a)"2*term9 . .+6*term2 + 18*x2a*term4 + 9*x2a"2*terml0 ;

YY2dX = YY2dx2a / (x2-x1) ;YY2dXdX = YY22dx2a2 / (x2-x1)"2 ;YY2dXdXdX = YY23dx2a3 / (x2-x1)"3 +YY22dx2a2*2 / (x2-x1)"2 ;

x4a = (x-x3)/(x4-x3) ;ysp3 = (x4-x3)*yp3 ; yspp3 = (x4-x3)^2*ypp3 ;ysp4 = (x4-x3)*yp4 ; yspp4 = (x4-x3)^2*ypp4 ;

term5 = y3+(3*y3+ysp3)*x4a+(yspp3+6*ysp3+12*y3)*0 .5*x4a"2;term6 = y4+(3*y4-ysp4)*(1-x4a)+(yspp4-6*ysp4+12*y4)*0 .5*(1-x4a)"2;term7 = 3*y3+ysp3+(yspp3+6*ysp3+12*y3)*x4a ;temt8 = -(3*y4-ysp4)-(yspp46*ysp4+12*y4)*(1-x4a) ;term11 = yspp3 + 6*ysp3 + 12*y3;terml2 = yspp4 - 6*ysp4 + 12*y4 ;

YY4 = (1-x4a)^3*term5 + x4a^3*term6 ;YY4dx4a = -3*(1-x4a)^2*term5 + (1-x4a)^3*term7 + 3*x4a"2*term6 + x4a"3*term8 ;YY42dx4a2 = 6*(1-x4a)*term5 - 6*(1-x4a)"2*term7 + (1-x4a)"3*(yspp3+ . .

6*ysp3+12*y3) + 6*x4a*term6 + 6*x4a^2*term8 + x4a^3*(yspp4- . .6*ysp4+12*Y4) ;

YY43dx4a3 = -6*term5 + 18*(1-x4a)*term7 - 9*(1-x4a)^2*terml1 . .+6*term6 + 18*x4a*term8 + 9*x4a^2*term12 ;

YY4dX = YY4dx4a / (x4-x3) ;

I

I

I

I

I

I

I

I

11I

I

I

I

I

iI

I

YY4dXdX = YY42dx4a2 / (x4-x3)^2 ;YY4dXdXdX = YY43dx4a3 / (x4-x3)"3 +YY42dx4a2*2 / (x2-x1)"2;

ifx<x1YY =-l ;YYP = 0;YYPP = 0 ;YYPPP = 0end ;ifx>=x1 &x<x2YY = YY2 ;YYP = YY2dX ;YYPP = YY2dXdX ;YYPPP = YY2dXdXdX;end ;if x>=x2&x<x3YY =x;YYP=1 ;YYPP = 0 ;YYPPP = 0 ;end ;ifx>=x3&x<x4YY = YY4 ;YYP = YY4dX;YYPP = YY4dXdX;YYPPP = YY4dXdXdX;end ;if x >= x4YY =l ;YYP = 0 ;YYPP = 0 ;YYPPP = 0 ;end ;X = [X;x] ;YYY = [YYY;YYJ ;YYYP = [YYYP ;YYP] ;YYYPP = [YYYPP ;YYPP];YYYPPP= [YYYPPP;YYPPP] ;

x=x+0.01

end ;

cig ;subplot(221) ;plot(X,YYY) ;, plot(X,YYYP); , plot(X,YYYPP) ; , plot(X,YYYPPP) ;

I

%PROGRAMMA DAT DE WAARDE VAN DE AANGEPASTE SATFUNCTIE EN DE 1e TOT DE%3e AFGELEIDE DAARVAN GEEFT BIJ EEN BEPAALD PUNTfunction dat= spline(x) ;

lengte = Iength(matrix( :,1)) ;

if x < matrix(1,1)dat = [x ; -1 ; 0 ; 0 ; 0] ;

elseif x > matrix(lengte,l)dat = [x ; 1 ; 0; 0 ; 0] ;

elseXX = x*ones(lengte,1) ;[r s] = sort(abs(XX-matrix(:, 1))) ;dat = matrix(s(1), :);

end

Bijlage ESimulatie resultaten voorbeeld

1tI

I

I

0.5

I

I

2 -. 5

SIMULATIE 1: G, satl en sat2 origineel, a = 1 b = 1, adak = 1 bdak = 1

-200

NCA

0

-5

0.5

-0.5

0.5

1tijd [sec.]

1 1.5 2

I -400 1 I -1I I i0 0.5 1 1.5 2 0 0.5 1 1.5 2

i tijd [sec.] tijd [sec.]

I

I

1

C7 0.5

0.5

I 00 0.5 1 1.5 2

L

a.s

-10 0.5 1 1.5 2

Iparameters: fil=0.02 fi2=0.1 alpha=1 labda=5 tol=0.001

1I

I

I

I

I

I

I

SIMULATIE 2: G, satl en sat2 origineel, a= 1 b = 1, adak = 1 bdak = 1

0.5

0 0.5 1 1.5 2 0

0.5

I

I

I

I

I

I

I

1

0 0.5

1

tijd [sec.]

I - I

5

0

-5

-10

-,

0 0.5 1 1.5tijd [sec.]

0

-5

-0.5

0.5

2

,0.5 1 1.5 2

0.5 1 1.5 2

tijd [sec.]

0.5,1 1.5 2

Iparameters: fi1=0.02 fi2=1 alpha=1 labda=5 tol=0.001

I

I

I

I

I

I

0.5

-0.5

~ 1

0.5 1 1.5 2tijd [sec.]

I

I

I

1

0 0.5

°a

SIMULATIE 3: G, satl en sat2 origineel, a = 1 b = 1, adak = 1 bdak = 1

,

, ,0.5 1 1.5 2

0.5

-0.5

10 0.5 1 1.5 2

Iparameters : fil=0.2 fi2=1 alpha=1 labda=5 tol=0.001

I

I

I

I

SIMULATIE 4: G, satl en sat2 origineel, a = 1 b = 1, adak = 1.2 bdak - Q6

2r,. ,-. ,~. 10

3

r l

0 1 2

tijd [sec-]

NrA

00 1 2

I

I

I

I

I

I

I

0

200

-200

-400L0

1

0 0.5

00

, -1 L

1 2 3 0

tijd [sec.]

I

1 2 3

1

-0.5

0.5

0

-1 L0

I I

1

1 2 3tijd [sec.]

1

Iparameters : fil=0.2 fi2=1 alpha=l labda=5 tol=0.001

I

I

I

I

SIMULATIE 5 : G, satl en sat2 origineel, a = 1 b = 1, adak = 1.2 bdak = 0.6

3

Ny

1 2tijd [sec.]

3

I1II1II

~-1000

-2000L0

1

L7 0.5

00

1 2tijd [sec.]

3

10

0.5

-0.5

1

0.5

1 2 3

parameters : fi1=0.02 fi2=1 alpha=1 labda=5 tol=0.001

1 2 3

I

I

I

I

I

I

1I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

500

0-500

SIMULATIE 6: G, satl en sat2 aangepast, a = 1 b = 1, adak = 1.2 bdak = 0.6

1

0

-1000' ' -1 `0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0

tijd [sec.]

1

0 0.5

00

0.5

-0.5

1

0.5

-0.5

0.2 0.4,

0.6,

0.8 1

10

r

0.2 0.4 0.6 0.8 1tijd [sec.] tijd [sec.]

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2 0.4 0.6 0.8

tijd [sec.]

Iparameters : fi1=0.02 fi2=1 alpha=l labda=5 tol=0.001

1I

I

I

I

I

I

I

I

I

1P

;3

SIMULATIE 7: alleen sat2 origineel, a = 1 b = 1, adak = 1.2 bdak = 0.6

500 1~ 1 I- 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

I tijd [sec .]

I

I0

0.5

I .5

10

0.2 0.4 0.6 0.8 1tijd [sec.]

NH

0.5

-0.5

0.2 0.4 0.6 0.8

tijd [sec.]

0.5

-0.5

1

10.2 0.4 0.6 0.8 1 y0 0.2 0.4 0.6 0.8

Iparameters: fi1=0.02 fi2=1 alpha=1 labda=5 tol=0 .001

Bijlage FSimulatie resulta ten rotatierobot

rIIIIIIII

IIIIII

0.05

CP 0

-0.050

a

x1

0.05

C~ 0

-0.05 .0.1 0.2

0.05

alle originele G's en sat-functie's

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0.50

-0.050

2000

0.3,

0.4

I , , ,0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

' -2000'0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0 0.1 0.2 0.3

param. : fil=0.005 fi2=0.05 fi3=0.1 fi4=0.5 alpha=40 labda=10 tol=0 .001

0.4 0.5

I

I

rI

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

My

1

0.5

' -0.5 L0

1

NQn

600

400

y 200

-2000 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

1

0.5

alle originele G's en sat-functie's

I I0.1 0.2

~0.3 0.4 0.5 0

E

:

II

I

0.1 0.2 0.3

param. : fil=0.005 fi2=0.05 fi3=0.1 fi4=0.5 alpha=40 labda=10 tol=0 .001

-0.5

-1 IIII_lYll®

0.4 0.5

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

1p

i

SIMULATIE 2: Alle sat's en G's origineel

0.2 0.4 0.6 0.8 1

tijd [sec.]

4X

3

h

2

I

0

2000

1000a

0.2 0.4 0.6 0.8 1tijd [sec.]

J u ~ -1000' 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Iparam. : fil=0.005 fi2=1 fi3=2 fi4=4 alpha=40 labda=10 to1=0.001

1I

0.5

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

0.2

150

100

~ 50

-50

0

1


H

1

0 á-0.5

-10 0.2 0.4 0.6 0.8 1

tijd [sec.]

2000

NL----~-j

0.5

-0.5

L~ 1 -2000 1 1 , I0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1 '0 0.2 0.4 0.6 0.8

tijd [sec.]

0.5

-0.5 -0.5

1 J0.2 0.4 0.6 0.8

tijd [sec .]

1 I , I ~ -1

L

I ,0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4

I

1

-0.5

0.5

0.6 0.8 1

I param.: fil=0.005 fi2=1 fi3=2 fi4=4 alpha=40 labda=10 to1=0.001

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I


9

0

Nw

4X

3

~, 2

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

2000

10000

0.2 0.4 0.6 0.8 1

tijd [sec.]

,2F, , ~ -10001 1 ,

10.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6

param.: fil=0.005 fi2=1 fi3=2 fi4=10 alpha=401abda=10 tol=0.001

0.8 1

I

0.5

I

I

I

I

1I

I

I

I

I


0.4 0.6 0.8

150

100

~ 50

0

1

0.5

-0.5

1

NW

1

0

-0.5

0.2 0.4 0.6 0.8 1

tijd [sec.] tijd [sec.]

4000

2000-

o-

10.2 0.4 0.6 0.8 1 -200 0.2 0.4 0.6 0.8 1

I

I

I

I

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-0.5

0.2 0.4 0.6 0.8 1


0.5

1 1 1

0.5

1Z 0~y

-0.5-

0.2 0.4 0.6 0.8 1 -10 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-0.5

param.: fil=0.005 fi2=1 fi3=2 fi4=10 alpha=40 labda=10 tol=0 .001

~y

1

v

0.5

1

Bijlage GSimulati e res ultaten rotatierobot (aangepast)

I

I

I

I

I

I

I

I

I

24.487

I

I

I

w

SIMULATIE 1: Alle sat's en afgeleiden aangepast

1 2 3tijd [sec .]

4 5

~~z~

2

1

1 x104

0-1

-2

1 2 3~ 4 5 -30

1

,1 2 3 4 5

I param.: fil=0.005 fi2=0.1 fi3=1 fi4=15 alpha=4 labda=l to1=0.001

I

1I

I

I

I

I

I

I

I

I

I


2 5

20

-20

~-0-10

4u

NCA

1

1000

y

M< 50010~:-ru

~y

-401 L I j -500' ,0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5

1

0.5

-0.5

W

0.5

1 2 3 4 5 -j0

I

i

1

I

I

2 3


1

0.5

-0.5

-0.5

I54

1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5

param.: fil=0.005 fi2=0.1 fi3=1 fi4=15 alpha=4 labda=1 tol=0.001

YIIIII

IIIIIII

"0eu

71

\

~!4.487

00


1

,

1 2 3tijd [sec.]

4 5

2

1.5

1

I param.: fil=0.005 fi2=0.1 fi3=1 fi4=30 alpha=15 labda=5 to1=0.001

I

I

I

I

I

10cc~~.u

0.3

0.2

0.1

1 ~.0 1 2 3 4 5

.5


3

n - 2 n-0110~~.Ny 0

I

1 2 3 4 5 -10

1 2 3

,

11

2 3,4

5

5

I param. : fil=0.005 fi2=0.1 fi3=1 fi4=30 alpha=15 labda=5 tol=0.001

SIMULATIE 3: Alle sat's en afgeleiden aangepast, behalve sat4 en G4

"04

CA

8.975

~,4.487

00

i

I I1 2

tijd [sec.]

3

2

1.5

5

\b

0u

-50

1 2

tijd [sec.]

r

I

1

param. : fil=0.005 fi2=0.1 fi3=1 fi4=30 alpha=15 labda=5 tol=0.001

2 3

3

i


0.3 3

0.2 1_ ,CA

0.1

0

.1

tijd [sec .] tijd [sec.]

30

1

0.5~01

O

y

-0.5

0-1 I

1 2 3

,1 2 3

tijd [sec.]1 2

tijd [sec.]

N~H

3

1

0.5

1

0.5

-0.5

0.5

-0.5

.5 1 2 3 -10 1 2 3

param. : fil=0.005 fi2=0.1 fi3=1 fi4=30 alpha=15 labda=5 to1=0.001

1

~~~~~


2

1.5

0.5

00

5

"̀Ci4 0

1 9

~ 0

~26.975

~i 23.487

iii

00

10 x104

w 5

1 2tijd [sec.]

- \\

1 2

,

1 2tijd [sec .]

w~~u

3

2

1.5

10

0

3

3

-3%

5x104

w 0Z~ -5

-10

1

,

,

1

0 1 2 3 0 1 2


3

3

3


16.975

2 8.487

0

I

0

r1

10

i10. 1

0.5

0 I

0.2 0.4 0.6 0.8 1tijd [sec.] tijd [sec.]

0.2 0.4 0.6 0.8tijd [sec.]

11001 1 1 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1tijd [sec.]

x104

4

-6 L , , ~00 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1


1III

I

I

I y

I

16.975

I

I

~, 8.487


I

I

I

I

d-w

xl

2

1.5

0.2

u

~ -10

5

180

160

"' 140

0.2 0.4 0.6 0.8

tijd [sec.]

1

120

I

0.2 0.4 0.6 0.8 1

D

1004--01-2----0'.-4-.0.6 0.8 1

tijd [sec .]

xl

wzu

~ -1

0.2 0.4 0.6 0.8 1 -20 0.2 0.4 0.6 0.8 1


I

I

I

0.2

rAwdu

%4, -0.2

-0.4L--- ,0 0.2 0.4 0.6 0.8 1


400

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

N<~"0Cd$.,uM~n

rA


0 0.2

4

1

0.5

0.2 0.4 0.6 0.8 1 -10 0.2 0.4 0.6 0.8 1

tijd [sec.]

0.5

-0.5

M 300-Kz 200

~y 100

0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

1 -0.5' , , ,_0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8

tijd [sec.]

1


I

I

I

I

I

I _V-1"0~

~

I

I

I

I

I

I

I

I

I

16.975

2 8.487


2

1.5

0.5 1

tijd [sec.]

0

I

L_ __

0.5 1tijd [sec .]

1.50

10000

~, 5000

u

"At

500

~' 0 ~--~ U 1 -100010 0.5 1 1.5 0 0.5 1 1.5

Iparam. : fil=0.005 fi2=0.1 fi3=5 fi4=30 alpha=15 labda=5 tol=0.001

I

IIIIIIIIIII

0

Vy

0.5

0

-0.5

-l u0

1

0.5

-0.5

0.2

0.1

.1


1.5

~~12Ny

1

0.5

0

' -0.5 ' 10.5 1 1.5 0


2000

-10110~

M< 1000

u

y

1 -1000 ' 1 10.5 1 1.5 0 0.5 1 1.5

-10

0.5 1tijd [sec.]

4

i

0.5i

1

1.5

1.5

I param. : fil=0.005 fi2=0.1 fi3=5 fi4=30 alpha=15 labda=5 to1=0.001

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

1I

I

1I

I

I

I

u

u

16.975

~, 8.487

00


2

1.5

200

180

M 160

0.5 1 1.5 2

140

0.5 1tijd [sec.]

120'0 0.5 1 1.5

tijd [sec.]tijd [sec.]

500

0 -500

2

~

0.5 1 1.5 2 1~0 0.5 1 1.5


2

1

1

1


p 0.5 --~-

0.5 1tijd [sec .]

u -0.05 -0.5

1

800

1

~

~1

~ -0.5

~1

I 0.5

-0.5

0

y 0

u

NCA

-Cyu

:~

~Fr

M 600

-1

-1.50 0.5 1 1.5 2

tijd [sec.]

400

200

1 I I U L

0.5 1 1.5 2 0

1

0.50

-0.5

~ _ 1 L

0.5 1 1.5 2 10' '

n

'0.5 1 1.5

,

i

0.5 1 1.5

2

2


1

0.5-

o-

-0.5-

0.5 1 1.5 2 0 0.5 1 1.5 2

param .: fil=0.005 fi2=0 .1 fi3=5 fi4=30 alpha=5 labda=15 tol=0.0005

~

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

16.975


2

1.5

200

180

2 8.487

000.5

2 160

140

0.5

2

1tijd [sec.]

120' '0 0.5 1 1.5

tijd [sec.]

~1

tijd [sec.]

1.5 2

2500, - ,., 1000

2000

~, 1500 z_0 -1000

0.5 1 1.5 2 0 0.5 1 1.5 2

I param. : fil=0.005 fi2=0.1 fi3=5 fi4=30 alpha=5 labda=l5 to1=0.0005

I

I

I

I


0 0

tijd [sec.]

1000,-,M< 500~bc~t~,

cz -0.5ti

0.5

I

I

I

I

I

I

I

I

0.5 1 1.5 2

0.5

u

-5M1

L~

1/0 0.5 1 1.5 2

0.5 1 1.5 2


1

0.5P

0.5

-0.5

-1

L

-0.5

-0.5

0.5 1 1.5 2 -100.5 1 1.5 2


I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

16.975

~! 8.487


00

2

1.5

0.5

0.5 1 1.5

tijd [sec.]

2

4000

2000

0

-2000

r ~ -4000 L0 0.5 1 1.5 2 0 0.5 1 1.5 2


I

I

I

I

I

I

I

0 0


I -60

I

I

I

0.5

-0.5

0.5

400

M 300~

~ 200

d'y 100

0

0.5

N

~y

0.5

I

I

I

0.5 1

1

tijd [sec.]

1.5 2

1

-0.5 [ ~ 0

_n 5

1tijd [sec.]

0.5 1 1.5 2

0.5 1 1.5 2

tijd [sec.]

r T

0 0.5 1 1.5 2 . 0 0.5 1 1.5

param . : fil=0.005 fi2=0.1 fi3=5 fi4=30 alpha=5 labda=15 tol=0.0005

I I I2

I

I

I

I

I

I

I

I

I

10d

16.975

I

I

I

I

I

I

w 8.487

2

0.5


00

X104

0.5 1 1.5 2

I

tijd [sec.]

,

2

1.5

2

-5

0

4000

2000

0 0.5I1

,1.5 2

A

0.5 1 1.5 2

-2000 k

-4000' ''0 0.5 1 1.5 2


1I

I

I

I


Q 0,1

I

I N

2

I

0

I

I

1

tijd [sec .]

0.5 1 1.5

0.5

I

I

I

0.5

-0.5

1

tijd [sec.]

2

-1

-1.50 0.5 1 1.5 2

tijd [sec.]

0.5

1

i 0.5V.rcdy

0

[

0.5 1 1.5 2

tijd [sec.]

T

0.5 1 1.5 2 0 0.5 1 1.5

param.: fil=0.005 fi2=0.1 fi3=5 fi4=30 alpha=5 labda=15 to1=0.0005

2

I

I

I

I

I

I

I

I

I

1.5

0.5

00


2x104

V,

tijd [sec.]

I0.5

,1

I1.5 2

y

u

A

Mw

2

1.5

I param.: fi1=0.005 fi2=0.1 fi3=5 fi4=30 alpha=5 labda=15 to1=0.0005

1I

I

I

I

I

I

I

0 0


tijd [sec.]

~

N

2

0

I

I

I

I

I

I

I

I

0.5

MM

Cdh

-0.5

M

~~

~i~~

y

400

300

200

100

0.5 1tijd [sec .]

0~~ ~0 0.5 1 1.5 2

1 I

0.5

0 0.5 1 1.5 2.0 0.5 1 1.5


0.5, I1 1.5 2

2

1I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

IIII

Robuuste IOL van SISO niet lineaire regelsystemen · Robuuste IOL van SISO niet lineaire...

Documents

Transcript of Robuuste IOL van SISO niet lineaire regelsystemen · Robuuste IOL van SISO niet lineaire...