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Risk Management e Metodi di Risk AssessmentModelli di equazioni strutturali

Ing. Natalia Distefanoa.a 2019/2020

I modelli di equazioni strutturali (Structural Equation Modeling, SEM)sono una recente tecnica di analisi statistica dei dati, che consente divalutare l’effetto diretto o indiretto di fattori causali sull’evoluzione diuno scenario incidentale e valutarne le relazioni.

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I modelli di equazioni strutturali (Structural Equation Modeling, SEM) so-no una tecnica di analisi statistica multivariata che permette di verificareipotesi circa l’influenza di un insieme di variabili su altre.I SEM corrispondo ad una famiglia di procedure correlate rivolte adesaminare le relazioni lineari tra una o piu variabili indipendenti e una opiu variabili dipendenti, che possono essere, sia nell’uno che nell’altrocaso, misurate (ossia direttamente osservabili) o latenti (non direttamenteosservabili e, quindi, misurate indirettamente tramite due o piu indicatoririlevabili).

Modellidiequazionistrutturali

Il modello di equazioni strutturali (SEM) coniuga all’interno di un unicoframework due strumenti: l’analisi fattoriale confermatoria e l’analisi diregressionemultivariata.La CFA (confirmatory factor analysis) ha lo scopo di costruire un modelloidoneo a studiare le relazioni tra le variabili osservate e le variabili latenti,cioè quei costrutti non osservati, ma derivati dalla combinazione dellevariabili osservate.L’analisi di regressione ha invece l’obiettivo di spiegare le relazione casualitracostrutti.Dalla fusione di questi due obiettivi nasce appunto il SEM.

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Uno dei principali obiettivi del SEM è quello di comprendere se, dato unmodello teorico, è possibile verificare la sua attendibilità ed esattezza sudati reali.

Per fare ciò il SEM utilizza degli indici di bontà fissando rigorosamente deivalori di riferimento. Quando questi indici sono confermati, allora il SEM èben strutturato ed idoneo a spiegare empiricamente quanto sostenuto nelmodello teorico. Se, al contrario, gli indici non sono rispettati, allora ènecessario o modificare il modello teorico o usare delle precauzionistatistiche per verificare il modello, magari creando delle strutture dicovarianze.

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Gli step di un SEMIl primo passo è costruire il modello teorico definendo i costrutti dautilizzare, le rispettive misure ed i dati.La seconda fase è quella di specificare nel dettaglio come è composto ilmodello e di identificare correttamente le relazioni causali tracostrutti.Da qui si passa dunque alla fase di elaborazione dati e di valutazione delmodello con gli indici. Se gli indici confermano la validità del modello,allora si passa all’ultima fase, ossia quella di interpretare i risultati.Altrimenti si deve provvedere o a cambiare le specificazioni del modello o astrutturare l’analisi inserendodelle correzioni.

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I SEM possono essere rappresentati attraverso:Øun diagramma grafico in cui sono specificate le relazioni tra le variabili;Øuna serie di equazioni matematiche che consentono la verifica empiricadel modello di relazioni ipotizzato;

Ødelle linee di comando ("sintassi") nel linguaggio di programmazioneusato dai software statistici

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EsempiodirappresentazionegraficadiunmodelloSEM

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ModellidiequazionistrutturaliIlpuntodipartenzadeiSEMèrappresentato daunamatricedivarianze/covarianze

ModellidiequazionistrutturaliIlpuntodiarrivodeiSEMèrappresentatoda:a) un insieme di parametri che quantificano le relazioni specificate nel

modellob) una statistica, col valore di probabilita (p), associata ad ognuno dei

parametri per esaminare se il parametroè significativamente diverso da 0(es., t di Student);

c) uno o piu indici che misurano la bonta dell'adattamento del modelloipotizzato ai dati osservati, cioe la corrispondenza (adeguatezza) delmodello rispetto ai dati raccolti (chi-quadrato, CFI, RMSEA, ecc.);

d) una matrice delle varianze/covarianze riprodotta (ovvero, stimata) tramitei parametri del modello.

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AnalisiFattoriale

L’analisi fattoriale puo genericamente essere pensata come la ricerca divariabili latenti a partire da alcune variabili osservate.Una variabile osservata è una variabile che è stata effettivamente misurata,mentre una variabile latente (o nascosta o sottostante) è un tipo di variabileche nonè stata misurata, che forse nonè neppure misurabile direttamente eche percio viene ipotizzata e “analizzata” attraverso i suoi effetti.I legami, le relazioni, le influenze che una variabile latente ha su altre variabilimisurabili diventano un modo per risalire a questa variabile nascosta (laconsideriamo sottostante sia perche non è misurabile sia perche potremmonon averlamisurata).

AnalisiFattoriale

L’analisi fattoriale è uno strumento utile per esprimere un insieme di variabiliosservate in termini di un numero di variabili latenti, chiamate fattori.Il punto di partenza per tale analisi è la matrice di correlazione tra le variabiliosservate, e l’obiettivo è quello di spiegare queste correlazioni attraversol’esistenza di fattori sottostanti. Il punto di arrivo sono i coefficienti che leganofattori delle variabili osservate alla variabile latente.

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AnalisiFattoriale

L’analisi fattoriale può essere pensata in due modi: si può partire dai datiempirici senza avere un’ipotesi su un modello teorico di fattori latenti chesottostanno alle variabili (analisi esplorativa) oppure si può avere un’ipotesi suun modello teorico di fattori latenti che si vuole confermare (analisiconfermativa)

AnalisiFattoriale

Obiettivo dell’Analisi Fattoriale è quello di interpretare le covariazioni tra unnumero elevato di variabili osservate empiricamente, le variabili manifeste,come se fossero dovute all’effetto di variabili non direttamente osservabilidefinite fattori latenti comuni.

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AnalisiFattorialeEsempio di Analisi Fattoriale Esplorativa

AnalisiFattorialeEsempio di Analisi Fattoriale Esplorativa

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AnalisiFattorialeEsempio di Analisi Fattoriale Esplorativa

AnalisiFattorialeEsempio di Analisi Fattoriale Esplorativa

Output dell’ Analisi Fattoriale Esplorativa

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AnalisiFattorialeCon l’Analisi Fattoriale Confermativa il ricercatore fa delle ipotesi a priori:a) Sul numero di fattori estratti ;b) Sulle relazioni che intercorrono tra i fattori;c) Sulle relazioni tra fattori e variabili osservate.

AnalisiFattorialeCon l’Analisi Fattoriale Confermativa il ricercatore fa delle ipotesi a priori:a) Sul numero di fattori estratti ;b) Sulle relazioni che intercorrono tra i fattori;c) Sulle relazioni tra fattori e variabili osservate.

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AnalisiFattorialeEsempio di Analisi Fattoriale Confermativa

Variabili usate per descrivere le opinioni sulla sostenibilità ambientale

AnalisiFattorialeEsempio di Analisi Fattoriale Confermativa

Output dell’Analisi Fattoriale Esplorativa

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AnalisiFattorialeEsempio di Analisi Fattoriale Confermativa

Output dell’Analisi Fattoriale Confermativa

Path Analysis

La path analysis rappresenta una tecnica per stimare l’importanza dei legamitra variabili e usare poi queste stime per fornire informazioni sui processicausali sottostanti.Il path diagram è la rappresentazione grafica di un sistema di equazionisimultanee.La path analysisè strettamente legata alla regressione multipla.

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Path Analysis

Una variabile viene chiamata esogena (cioe esterna) in relazione ad unmodello di nessi causali se è una variabile latente (oppure osservata) chesvolge sempre e soltanto funzione di variabile indipendente, ovvero divariabile che causa un effetto.Si chiama variabile endogena (cioe interna) quella variabile che puo svolgeresia funzione di variabile dipendente sia di variabile indipendente. Questevariabili possono cioe essere effetto di alcune variabili e contemporaneamentecausa per altre. È endogena anche una variabile che svolge sempre il ruolo didipendente.

Path Analysis

Con il path diagram si riesce a dare una rappresentazione grafica delle relazioniesistenti tra le variabili oggetto di interesse;Con la path analysis si puo dare una valutazione numerica di tali relazioni, inmodo da rilevarne l’intensita.Il principio che regola questo metodoè quello di esprimere le covarianze o lecorrelazioni tra due variabili come somma di tutti i percorsi composti chelegano le due variabili, tramite dei coefficienti collocati sui suddetti percorsi,detti path coefficients.

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Path AnalysisEsempio di Path Analysis

Ipotesi di Path Diagram

Path AnalysisEsempio di Path Analysis

Path Diagram

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AnalisidelleCorrispondenzeMultiple

L’Analisi delle Corrispondenze è una tecnica di analisi statistica multivariata acarattere esplorativo volta a trovare le relazioni esistenti tra variabiliqualitative. La caratteristica di questo metodo è quella di tradurre in formagrafica ogni tipo di tabella di dati, il che lo rende uno strumento d’analisiestremamente efficace e in rapida diffusione.

AnalisidelleCorrispondenzeMultiple

Il vantaggio che possiede l’Analisi delle corrispondenze, rispetto ad altretecniche statistiche, è quello di trattare variabili sia qualitative chequantitative. Infatti il metodo si può applicare a:• variabili qualitative che erano già tali nell’ambito della ricerca a cui ci siriferisce;• variabili quantitative trasformate in variabili qualitative con opportuneaggregazioni in classi o con una ricodifica logica in variabili binariepresenza/assenza.

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AnalisidelleCorrispondenzeMultiple

Questo metodo cerca di spiegare perché la matrice dei dati si scosta da unasituazione di omogeneità che si presenta quando le righe (o le colonne) sonoproporzionali, allo scopo di trovare le corrispondenze o legami, tra le righe, trale colonne e tra righe e colonne della matrice dei dati e quindi tra le diversecaratteristiche dell’insieme dei dati in esame.

AnalisidelleCorrispondenzeMultiple

Poiché la rappresentazione dei risultati è di tipo grafico, le righe e le colonnedella matrice, opportunamente ricodificate, sono intese come punti geometriciin uno spazio multidimensionale, nei quali è definita una distanza, dando vitaquindi a nuvole di punti.

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AnalisidelleCorrispondenzeMultiple

Dall’osservazione del grafico, ottenuto proiettando i punti delle modalitàanalizzate su un sistema di assi, si possono trarre delle conclusioni riguardol’interpretazione degli assi e sulla correlazione delle variabili. Innanzitutto leproprietà geometriche sono le seguenti:• ogni asse è costituito da una combinazione lineare delle modalità originarie;• l’origine degli assi è il baricentro della distribuzione dei punti.

AnalisidelleCorrispondenzeMultiple

Quindi utilizzando le coordinate fattoriali, proiezione dei punti-modalitàoriginali sugli assi dello spazio geometrico ridotto, possiamo risalire allaposizione delle modalità su gli assi, sia in termini di distanza dal baricentro delsistema, sia in termini di versante positivo o negativo dell’asse considerato, inbase al segno “+” (la modalità è proiettata sul semiasse positivo) o “-“ (lamodalità è proiettata sul semiasse negativo).

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AnalisidelleCorrispondenzeMultiple

L’origine degli assi è il baricentro della distribuzione di punti, quindi i punti piùlontani dall ’origine sono quelli correlati con il fattore e che concorrono adenominarlo.Se due modalità hanno coordinate con valori notevoli (sono cioè lontani dalbaricentro) e stanno dalla stessa parte, significa che tendono ad esseredirettamente associate; viceversa se due modalità hanno coordinate con valorielevatima segno opposto, tendono ad essere inversamente associate.

Esempio di MCA

Bplot

AnalisidelleCorrispondenzeMultiple

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Esempio di MCA

Bplot

AnalisidelleCorrispondenzeMultiple

Esempio di MCA

Bplot

AnalisidelleCorrispondenzeMultiple

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RegoleAssociative

Le regole associative (Association Rules) descrivono correlazioni di eventi epossono essere viste come regole probabilistiche.Due eventi sono correlati quando sono frequentemente osservati insieme.Questo metodo richiede di estrarre regole del tipo X ⇒ Y da un database, conil significato che oggetti/dati che soddisfano la condizione X probabilmentesoddisfano anche la condizione Y.

RegoleAssociative

Il Supporto di una regola associativa è la porzione dei dati del database checontengono sia A che B.

𝑆𝑢𝑝𝑝𝑜𝑟𝑡 𝐴 → 𝐵 = + ,∩./

Dove P(A⌒B) è il numero di righe del database che contengono sia A che B;N è il numero totale delle righe del database.

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RegoleAssociative

La Confidenza di una regola associativa è una misura di accuratezza dellaregola, è la percentuale delle righe del database che contengono sia A che Brispetto a quelle che contengono A

Dove P(A⌒B) è il numero di righe del database che contengono sia A che B;P(A) è il numero di righe del database che contengono A.

𝐶𝑜𝑛𝑓𝑖𝑑𝑒𝑛𝑐𝑒 𝐴 → 𝐵 = +(,∩.)+(,)

RegoleAssociative

Il Lift di una regola associativa è una correlazione che definisce se A e B sonodipendenti o meno

Dove P(AUB) è il numero di righe del database che contengono A o B;P(A) è il numero di righe del database che contengono A;P(B) è il numero di righe del database che contengono B;Se Lift (A B)> 1 esiste una correlazione positiva fra antecedente econseguente della regola.

𝑳𝒊𝒇𝒕 𝑨 → 𝑩 = 𝑷(𝑨∪𝑩)𝑷 𝑨 𝑷(𝑩)

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Esempio di Association Rules

S ≥ 5%, C ≥ 20%, and L ≥ 1

AnalisidelleCorrispondenzeMultiple