Dérivés actions: risques – un (rapide) aperçu

Lorenzo Bergomi

Equity Derivatives Quantitative ResearchSociété Généralelorenzo.bergomi@sgcib.com+33 1 42 13 32 95

Lorenzo Bergomi 1

Introduction - le Dow Jones 1920-2006 (1)

Dow Jones Industrial Average

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

1/5/1920 1/5/1940 1/5/1960 1/5/1980 1/5/2000

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Lin

Log

Lorenzo Bergomi 2

Introduction - le Dow Jones 1920-2006 (2)

Densité cumulée des returns

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

-20 -15 -10 -5 0

x

LOG

[ P

(ret

urn/

vol

< x)

]

DJ IA

Student mu = 3

Gaussienne( )

21

2

21

1µ

µ

xxρ +

−+

∝

Lorenzo Bergomi 3

Risques des produits dérivés (1 – le portage)

• Un petit exercice de comptabilité: P&L (profit & loss) entre t=0 et la maturité de l’option – à taux

nuls pour simplifier:

����On peut réécrire le P&L total comme une somme de petits P&Ls journaliers: on sait dire si l’on perd/gagne de l’argent sans attendre la maturité.

� Il suffit de s’intéresser au P&L élémentaire sur un intervalle [t, t+δt]

En intégrant l’effet des taux:

( )[ ] ( )

( ) ( )[ ] ( )

( ) ( ) ( )∑ ∑

∑∑

∑

−−−−=

−+−−=

−∆+−−=

+++

+++

+

iii

i i

iiii

iii ii

iiii

iii

iT

SSdS

dPStPStP

SSdS

dPStPStP

SSSLP

111

111

1

,,

,,

&

PrimePayoff

( ) ( )( )[ ] ( )tδrSSδtδrStPSδStδtPLP −∆+++++−= 1,,&

Lorenzo Bergomi 4

Risques des produits dérivés (1 – le portage)

• Un petit développement limité :

- Risque sur le sous-jacent - ordre dominant : Gamma

- Est-ce un gros risque ?

- Imaginons que le prix P est calculé avec le modèle Back-Scholes avec σP

- Stdev typique de la somme de ces P&Ls sur la durée de vie d’une option

avec un hedge en delta journalier ? Dans Black-Scholes?

Dans la réalité ?

- Exemple d’un Call 1 an, vol = 20%

( ) ( )( )[ ] ( ) L+−

∆+−−=−∆+++++−= 22

2

2

11,,& S

dS

PdtrSrP

dt

dPtrSStrStPSSttPLP δδδδδδδ

2

22

2

2 dS

PdS

dS

dPrSrP

dt

dP Pσ−=

+−

−

−= tS

SS

dS

PdLP Pδσδ 2

22

2

2

2

1&

2

22

dS

PdS=Γ

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

-6% -4% -2% 0% 2% 4% 6%

tδσ tδσ

Lorenzo Bergomi 5

Risques des produits dérivés (2 – le mark-to-market)

• La fonction de pricing fait intervenir d’autres paramètres :

• Sensibilités aux paramètres ?

• En règle générale, pour un payoff sur S

• Maturités longues : sensibilité par rapport aux paramètres de la dynamique

• Maturités courtes : sensibilité par rapport aux conditions initiales des sous-jacents

( ) ( )[ ] L+−

++−−=∆+−+++++− 2

2

2

21

,,,,,,,, SδdS

Pdδ

d

dPrδ

dr

dPδσσd

dPtδ

dt

dPSδrσStPδrδrδσσSδStδtP div

divdivdivdiv

Call K=100 Maturité = 1 an

-0.80

-0.60

-0.40

-0.20

0.00

0.20

0.40

0.60

60 70 80 90 100 110 120 130 140

Sensi vol: 1%

Sensi taux: 0.5% de variation

Gamma: variation relative de 1%

Sensi taux de dividende: 0.5% de variation

Call K=100 Maturité = 1 semaine

-0.03

-0.01

0.01

0.03

0.05

0.07

0.09

0.11

0.13

0.15

60 70 80 90 100 110 120 130 140

Sensi vol: 1%

Sensi taux: 0.5% de variation

Gamma: variation relative de 1%

Sensi taux de dividende: 0.5% de variation

Lorenzo Bergomi 6

Risques des produits dérivés (3 – le mark-to-market)

• Comment calibre-t-on les paramètres de pricing? Doit-on vraiment calibrer ?

• A priori non: pricing avec coût de couverture. On couvre le risque sur un paramètre p en traitant un instrument O de telle sorte à annuler ce risque :

Le prix donné au client pour l’option P est ajusté pour tenir compte du prix de marché de l’instrument de couverture

• Alors quel avantage de la calibration ?

• Nous assure que le modèle price bien tous les instruments de couverture: aucun coût supplémentaire n’est encouru au moment où

l’on se couvre.

� essentiel de calibrer le modèle sur un choix pertinent d’ instruments

• Autres raisons :

Standardisation du pricing

Prix « en ligne avec la concurrence »

Bénéfice psychologique

• Quid des paramètres non couvrables ?

dp

dOλ

dp

dP =

( ) ( ) ( )( )( )Market

MarketPrix

ppP

pOpOλpP

=≈

−+= ˆˆ

Lorenzo Bergomi 7

Risques des produits dérivés (4 – le mark-to-market)

• Paramètres typiques pour les dérivés actions

• Volatilités

• Dividendes

• Taux

• Corrélations

• Volatilités des taux de change / corrélation avec les sous-jacents action

• Volatilité des taux / corrélations avec les sous-jacents action

• Volatilité/smile forward

• Volatilité de la volatilité

• …

• Indépendamment du modèle de pricing utilisé, il faut (1) caractériser et (2) mesurer les risques sur ces paramètres

• Pertinence de : risque de modèle

( )....div,,,,, rσStP⇒

( )....div,,,,, rσStP

Lorenzo Bergomi 8

Volatilités (1)

Exemple de l’Eurostoxx 50 – on a tous les jours une matrice complète (K, T) de volatilités implicites

Vols implis au 8 /1 /2008 Historique des volatilités ATM 1 mois (bleu) et 5 ans (rouge)

Historique de la différence des vols implicites 3 mois K= 95% et K = 105%

- Comment décrire de façon économique la variation journalière de la nappe de vols implicites ?

2008200720062005200420032002

60

55

50

45

40

35

30

25

20

15

10

31-Mar-14

2-Apr-12

5-Apr-10

7-Apr-0850 80 90

100

105

115

135

165

200

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Smile 3 mois K = 95 - K= 105

0

1

2

3

4

5

6

7

2/5/2001 2/5/2002 2/5/2003 2/5/2004 2/4/2005 2/4/2006 2/4/2007 2/4/2008

Volatilités (2) – mesure des risques

• Solution 1: translater uniformément les volatilités implicites

Est-ce une bonne idée? Modes propres de déformation des surfaces de volatilité implicite les plus « importants ».

Critère : fraction de la variance des variations de volatilité implicites expliquée :

Translation 90 – 95%

Torsion en maturité 2 – 5 %

Torsion en strike 1 – 2 %

• Pb: un book d’options est en général structuré de façon telle que

- exemple d’un Call Spread 90/110 3 mois

- sensibilité à une translation des vols implis: on ne voit pas de risque

- & sensibilité à un changement de pente du smile autour du strike 100%

Lorenzo Bergomi 9

Sensibilité d'un Call spread 90/110 3 mois à une translation des volatilités

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

60 70 80 90 100 110 120 130 140

Sensibilité d'un Call spread 90/110 3 mois à une pentification du smile

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

60 70 80 90 100 110 120 130 140

( )∑

∑

==

==

=

kk

tk

t

jiij

i

i

ii

i

VTωVMVP&Lδ

δσδσMσd

dPV

δσVP&Lδ

22

00 ≈VTt

90 100 110

Lorenzo Bergomi 10

Dividendes (1)

• Au moment où un dividende est versé

- l’action baisse exactement du montant du dividende

- le prix de l’option est inchangé :

• Les dividendes prochains sont connus avec une bonne précision

• Ceux versés plus tard dans le futur sont estimés Sur les indices: div swaps

- Risque sur leur montant

- Risque sur le modèle de dividendes

Div. en cash

Div. en yield

Autres …

( )( ) ( )( )SDSTPSTP

SDSSTT

−=

−=+−

−+

,,

( )( ) SµSD

DSD

==

50.00

60.00

70.00

80.00

90.00

100.00

110.00

120.00

Jan-02 Apr-02 Jun-02 Sep-02 Dec-02 Mar-03 Jun-03 Sep-03 Dec-03 Mar-04 Jun-04 Sep-04 Dec-04 Mar-05 Jun-05 Sep-05

Y2002 Y2003 Y2004 Y2005 Y2006 Y2007 Y2008 Y2009 Y2010 Y2011 Y2012 Y2013

Y2014 Y2015

Lorenzo Bergomi 11

Dividendes (2)

• Vols implis des vanilles dépendent du modèle de dividende utilisé � risque de modèle

• Un cas intéressant: le Call sur max

- Bien couvert en Vega par Calls vanille de même maturité

- Pas d’impact des divs proches de la maturité

- Faible sensibilité intrinsèque au modèle de dividende

- Forte sensibilité au modèle de dividende

Vols implis vanille

15%

20%

25%

50 100 150 200

Yield

Cash

+−= )max(Payoff KSττ

Lorenzo Bergomi 12

La saga récente des produits multi sous-jacents (1) 1997 - 2006

� Produits multi sous-jacents de distribution à capital garanti

� Everest 1997 10 ans / 12 actions �

� Altiplano 10 ans / 12 actions Si au cours des 5 dernières années, aucune action < 60% de sa valeur intiale

� 300%

sinon �

� Kilimanjaro 6 ans / 12 actions Coupon annuel de 6% tant qu’aucune action du basket < 60% de sa valeur initiale;

les actions qui traversent la barrière sont successivement éliminées du basket

A maturité � 100%

� Atlas 6 ans / 16 actions Non garanti

A maturité on enlève les actions ayant connu les 3 meilleures et les 3 pires

performances � 105% du basket equipondéré des 10 restantes

+

j

jT

S

S

0

min%100i

i

+

−+ ∑

jj

jT

S

S

N1

1%100

0

Lorenzo Bergomi 13

La saga récente des produits multi sous-jacents (2) 1997 - 2005

� Emeraude 2004 10 ans / 20 actions Chaque année, l’action dont la performance depuis t = 0 est la plus élevée est figée à son niveau, avec un minimum de 200% de son niveau initial.

A maturité � 100% + la performance maximale par rapport à t = 0 du panier

equipondéré, floorée à 0.

� Produits à sortie anticipée – à capital garanti

� Oxygène 2003 6 ans / 3 indices A la fin de la 3ème année, sortie possible si la moyenne trimestrielle de la

performance du basket depuis t = 0 dépasse 125% � 125%

Si on reste dans le produit, à maturité :

�Min( 125% , 100% + moyenne trim. de la perf. depuis t=0, sur 6 ans)

� Titanium 2003 8 ans / 16 actions Coupon annuel

Dès que la somme des coupons versés dépasse 30%, on reçoit chaque année un

coupon supplémentaire de 10%

… Et tous les produits hybrides Equity/Forex/Fixed Income/Commodity imaginables

−∑

−

0,%16,1min1

max1

jjτ

jτ

S iS

S

N

Lorenzo Bergomi 14

Corrélations (1)

• Une écrasante majorité des dérivés actions sont multi sous-jacents

- Leur prix fait intervenir des hypothèses de corrélation. Ex : cadre Black-Scholes

- Comment mesure-t-on des corrélations ?

- Les corrélations sont-elles stables dans le temps ? Exemple d’un basket mondial

- Que se passe-t-il lorsque corrélation implicite et réalisée diffèrent ?

( ) ( )K,ˆ,ˆ,ˆˆˆ21 2

ijiijiij

jijiiji i

iii SPrPdSdS

PdSS

dS

dPSqr

dt

dP ρσσσρ =+−+ ∑∑

∑

−−=

ijjiij

ji

ji

ji

ji tδσσρSS

SδSδ

dSdS

PdSSLP ˆˆˆ

2

1&

2

Lorenzo Bergomi 15

Corrélations (2)

• Comment se couvrir sur la corrélation réalisée ?

- le correlation swap

- Stabilité de la couverture en corrélation?

• Comment mesurer le risque de corrélation ?

- Comment « déformer » une matrice de corrélation ? Ex.

• Risque de modèle sur la corrélation ?

( )

−−

= ∑≠

ρρNN ji

ij ˆ1

1Payoff ( ) ( )

== −

∑∑

∑122

lnτ

i

τ

iτ

i

τ

τ

jτ

τ

i

τ

τ

jτ

i

ij S

Sx

xx

xxρ

Sensibilité à la corrélation - pour 1pt de correl

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

20% 30% 40% 50% 60% 70% 80%

Call K = 100

Call K = 150

Everest

ijρd

dP

( ) ( )Histo 1Histo ij

ijρ

λd

ρdλρλρ −−=−+= 1

ˆ1ˆ

Lorenzo Bergomi 16

Risque de modèle (1)

• Un modèle rustique de pricing d’option

- Modèle simple de « dynamique » du sous-jacent : sous-jacent gelé

Equivalent à pricer en BS à vol nulle

• Un modèle un peu moins rustique : Black Scholes

( ) ( )[ ]

( ) 2

2

2

2

2

2

2

2

12

1

2

1,,&

SδKSδ

SδdS

Pd

SδdS

Pdtδ

dt

dPSδStPSδStδtPLP

−−=

−=

−−=∆+−++−=

( )+−== KSPdt

dP0

K

60

70

80

90

100

110

120

0 50 100 150 200 250

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25S

P&L

2

22

2

2

ˆ

dS

PdS

σ

dt

dP −=

−−= t

S

S

dS

PdSLP δσδ 2

2

2

2

22 ˆ

2

1&

60

70

80

90

100

110

120

0 50 100 150 200 250

-5

0

5S

P&L

Lorenzo Bergomi 17

Risque de modèle (2)

• A nouveau de la comptabilité - avec quelques paramètres supplémentaires – pas de taux pour simplifier

En utilisant une fonction de pricing P issue du modèle Black-Scholes :

le P&L se réécrit comme :

( ) ( )[ ]

K+

−+−

−−−

+−−=∆+−++++−=

σδpδσdpd

PdσδSδ

σdSd

PdpδSδ

dSdp

Pd

σδσd

Pdpδ

dp

PdSδ

dS

Pdpδ

dp

dPσδ

σd

dPtδ

dt

dPSδpσStPpδpσδσSδStδtPLP

ˆˆ

ˆˆ

ˆˆ2

1ˆ

ˆ,ˆ,,,ˆˆ,,&

222

2

2

22

2

22

2

2

2

22

2

2

ˆ

dS

PdS

σ

dt

dP −=

K+

−+−

−−

−−

+= σδpδ

σdpd

PdσδSδ

σdSd

PdpδSδ

dSdp

Pdσδ

σd

Pdpδ

dp

Pdtδσ

S

Sδ

dS

PdSpδ

dp

dPσδ

σd

dPLP ˆ

ˆˆ

ˆˆ

ˆ2

1ˆ

2ˆ

ˆ&

2222

2

22

2

22

2

2

2

22

Termes d’ordre 1: couvrables en delta

Gamma / ThetaGammas

Theta ??

Lorenzo Bergomi 18

Risque de modèle (3) – le modèle de volatilité locale

• A une nappe de volatilités implicites donnée correspond une surface de volatilité locale qui redonne les prix de marché des options vanille.

• En quoi ce modèle diffère-t-il de Black Scholes ?

• Quelle dynamique jointe du spot / des vols implis implique-t-il ?

Est-elle plus/moins raisonnable ?

( )( )

( ) tSdWtSrSdtdS

tTSKdK

CdK

dKdC

KqrqCdTdC

tS

,

2,

2

22

2

σ

σ

+=

==

−++=

S

KSK

dK

σd

dS

σd2≈=

10

12

14

16

18

20

3/1/2006 3/31/2006 4/30/2006

3500

3600

3700

3800

3900

4000

Vol impli ATM 3m

Vol impli ATM 5y

Eurostoxx50

Eurostoxx 50 - mat 1 an

10

15

20

25

80 90 100 110 120

Smile original

Smile S = 105%

Smile S = 95%

Lorenzo Bergomi 19

Risque de modèle (4) – l’exemple de la digitale américaine

• Digitale americaine – paye 1€ dès que le sous-jacent passe en dessous de la barrière

Maturité 1 an, limite = 80%

Dans le cadre B.S. Gamma / Vega bien couverts par la digitale Européenne double:

• A la traversée de la limite, on revend la digitale Européenne

Risques résiduels :

- valeur du skew le jour où on traverse la limite

- risque de gap

� modèles différents impliquent dynamiques du smile différentes � prix différents

Gamma

0

2

4

6

8

10

12

14

16

80 90 100 110 120

Euro double

Americaine

Vega

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

80 90 100 110 120

Euro Double

Americaine

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

80 85 90 95 100 105 110 115 120

Euro double

Americaine

Lorenzo Bergomi 20

Risque de modèle (5) – la volatilité forward – les cliquets

• Exemple: Call ATM forward paye à t= T2

• Dans le modèle B.S. la fonction de pricing s’écrit:

- fait intervenir la volatilité forward, , les taux, pas le sous-jacent

- pas de delta à t=0 – trader en vacances jusqu’à T1

- dynamique des arguments de la fonction de pricing: pas pricée par le modèle � indice d’un sérieux risque / problème de modèle

• Dans le modèle de volatilité locale la fonction de pricing fait explicitement apparaître S et produit un delta non-nul à t = 0

- est-ce une meilleure solution ?

� Le cliquet est en réalité une option sur , pas sur S: attention à ne pas se tromper de sous-jacent !!

+

−1

1

2

T

T

S

S t 1T 2T

12σ̂

12σ̂

( )L,,ˆ12 rσP

rσ ,ˆ12

( )L,,ˆ,ˆ,21

rσσSP KT

KT

12σ̂

Lorenzo Bergomi 21

Risque de modèle (5) – la volatilité forward – l’exemple du Napoléon

• Napoléon

- on observe chaque année les 12 performances mensuelles de l’Eurostoxx50

- on paye en fin d’année un coupon fonction de la plus basse de ces performances

Risk Magazine: juillet 2002

• Risque de modèle:

- dynamique des vols implis forward

- dynamique jointe vols implis forward / sous-jacent

Risk Magazine: février 2004Eurostoxx vol ATM 5y

10

15

20

25

30

35

40

01/01/02 01/01/03 01/01/04 12/31/04 12/31/05

( ) 1min%81

−=++=−i

iiii S

Srr Coupon

0ˆ 2

2

ˆˆ >=Γσd

Pdσσ 0

ˆ

2

ˆ <=ΓσdSd

PdσS

Lorenzo Bergomi 22

Conclusion

• Risques

-Mesure macroscopique au niveau d’un book

-Méthodologie de mesure d’un risque doit refléter :

- sa pertinence au regard des occurrences historiques

- sa matérialité : impact sur le book

• Risque de modèle:

- Peut – souvent – être detecté même dans un modèle fruste

-Questions de base :

- Quels sont les vrais sous-jacents sur lesquels porte l’option ? Leur dynamique est-elle pricée par le modèle ?

- Quels sont les instruments de couverture? Leur dynamique est-elle correctement pricée par le modèle ?

- Si impossibilité de se couvrir: les niveaux de portage des paramètres sont-ils raisonnables ?

- Le modèle condense-t-il des risques de nature différente en un seul paramètre ? (ex. vol-of-vol & forward skew)

- Réponses à ces questions s’apprécient produit par produit

- Ne pas « subir » le modèle – choisir