Risikomanagement und Statistik

Raimund Kovacevic

Risiko

“hazard, a chance of bad consequences, loss or exposure to mischance”

“any event or action that may adversely affect an organization’s ability to achieve its objectives and execute its strategies”

“the quantifiable likelihood of loss or less-than-expected returns”

Unsicherheit, Zufall!

Riskomanagement

Risikoidentifikation Risikomessung Risikosteuerung

Finanzrisiken

Marktrisiko Zinsrisiko Kreditrisiko Währungsrisiko Liquiditätsrisiko Operationales Risiko Versicherungsrisiko ......

Basel II

1988. First Basel Accord takes first steps toward international minimum capital standard. Approach fairly crude and insufficiently differentiated.

1993. The birth of VaR. Seminal G-30 report addressing for first time off-balance-sheet products (derivatives) in systematic way. At same time JPMorgan introduces the Weatherstone 4.15 daily market risk report, leading to emergence of RiskMetrics.

1996. Amendment to Basel I allowing internal VaR models for market risk in larger banks.

2001 onwards. Second Basel Accord, focussing on credit risk but also putting operational risk on agenda. Banks may opt for a more advanced, so-called internal-ratings-based approach to credit.

Marktrisiko

1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001

2040

6080

100

120

DJ 30

Marktrisiko: Returns

1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001

-0.1

0-0

.08

-0.0

6-0

.04

-0.0

20.

000.

020.

040.

06

GM: log-returns

1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001

-0.1

5-0

.10

-0.0

50.

000.

050.

10

IBM: log-returns

GM vs IBM

0 20 40 60 80GM

0

40

80

120

IBM

Value at Risk

Betrachte eine Zufallsvariable L, die den möglichen Verlust einer Position am Ende einer Zeitperiode repräsentiert.

Der Value at risk zum Level ist dann durch das -Quantil der Verlustverteilung gegeben.

Was kann in einem ungünstigen Fall verloren werden? Deiche Abweichung vom Erwartungswert

Value at Risk – Methoden

Verteilung Risikofaktoren -> Verlustverteilung (Simulation)

3 prinzipielle Herangehensweisen– Historische Simulation

Problem: seltene Ereignisse?– Normalverteilung

Problem: Normalverteilung?– Allgemeine Verteilungen, insbesondere

Extremwertverteilungen

Extremwertverteilung

Typisch für Finanzdaten: schwere Enden auf der ungünstigen Seite, leichte Enden auf der günstigen Seite

Value at Risk soll weit auf der ungünstigen Seite berechnet werden (0.995, 0.997, 0.999)

Extremwertverteilungen– GEV-Verteilung (Frechet, Gumbel, Weibull)

Verteilung von Maxima, block maxima– Generalized Pareto

Verteilung oberhalb einer (hohen) Schranke, POT Vorgehensweise (POT): Schranke -> POT -> Verteilung der

Enden -> Value at Risk

Value at Risk: Portfolio

Portfolio besteht aus mehreren Positionen -> Portfoliogewichte Value at Risk des Gesamtportfolios ist nicht die Summe der Value

at Risk der Positionen sein. Wertschwankungen diverser Positionen können auf komplizierte

Weise von Wertschwankungen der Risikofaktoren abhängen. Gemeinsame Verteilung der Positionsreturns

– Korrelation: lineare Abhängigkeit– Nichtlineare Abhängigkeiten– Tail dependency

Zeitliche Abhängigkeit: i.i.d.?

1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001

-0.1

0-0

.08

-0.0

6-0

.04

-0.0

20.

000.

020.

040.

06

GM: log-returns

1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001

-0.1

5-0

.10

-0.0

50.

000.

050.

10

IBM: log-returns

Zeitliche Abhängigkeit

Lag

AC

F

0 10 20 30

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Series : IBMRet[, "1"]

Lag

AC

F

0 10 20 30

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Series : IBMabs[, "1"]

ARCH/GARCH-Modelle

Kreditrisiko

Kredit an privat, Firma, Staat Anleihen Was passiert im Fall der Zahlungsunfähigkeit? Verbriefung des Kreditrisikos, Tranchen Modelle

– Kapitalstruktur und Wertentwicklung einer Firma– Übergänge zwischen Bonitätsstufen (Ratings)– Zufällige, aber abhängige Ausfälle innerhalb eines Portfolios

Ratingstufen - Ausfallswahrscheinlichkeiten

AAA AA A BBB BB B CCC DefaultAAA 90,81 8,33 0,68 0,06 0,12 0,00 0,00 0,00AA 0,70 90,65 7,79 0,64 0,06 0,14 0,02 0,00A 0,09 2,27 91,05 5,52 0,74 0,26 0,01 0,06BBB 0,02 0,33 5,95 86,93 5,30 1,17 1,12 0,18BB 0,03 0,14 0,67 7,73 80,53 8,84 1,00 1,06B 0,00 0,11 0,24 0,43 6,48 83,46 4,07 5,20CCC 0,22 0,00 0,22 1,30 2,38 11,24 64,86 19,79Default 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 100,00

Homogene Markovketten?

Bernoulli-Mixture Modelle

Betrachte ein Portfolio von n Krediten Yi =1, falls der i-te Kredit ausfällt und =0 falls der

i-te Kredit bedient werden kann. Exposure: Die Höhe des Kredites LGD: Loss given default, selbst eine

Zufallsvariable

Bernoulli-Mixture Models

Faktorvariable: Fi Bernoulli-Mixture Model: Die Wahrscheinlich-

keit für einen Ausfall des i-ten Kredites hängt von den Faktoren über eine Funktion pi(F) ab.

Statistik: GLM Schaden für einen Kredit:

– Exposurei x LGDi x Yi

Schaden für das Gesamtportfolio