Research Collection

Doctoral Thesis

Ueber den verallgemeinerten Schottkyschen Satz und seineAnwendungen

Author(s): Bossard, Lucien

Publication Date: 1936

Permanent Link: https://doi.org/10.3929/ethz-a-000091762

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ETH Library

Über den verallgemeinerten

Schottkyschen Satz und seine

Anwendungen

Von der

Eidgenössischen Technischen Hochschule

in Zürich

zur Erlangung der

Würde eines Doktors der Mathematik

genehmigte

Promotionsarbeit

vorgelegt von

LUCIEN BOSSARD

aus Zug

Referent: Herr Prof. Dr. W. Saxer

Korreferent: Herr Prof. Dr. M. Plancherei

ZÜRICH 1936

Diss.-Druckerei A.-G. Gebr. Leemann & Co.

Stockerstr. 64.

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MEINER LIEBEN MUTTER

GEWIDMET

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Inhaltsverzeichnis.

Seite

Einleitung 7

1. Kapitel.

Herleitung der numerischen Schranken für Schottkysche Funktionen.

§ 1. Schottkysche Funktionen mit keiner Nullstelle und höchstens q

verschiedenen Einsstellen 9

§ 2. Spezialfall Schottkyscher Funktionen mit einer Nullstelle und höch¬

stens q verschiedenen Einsstellen 12

§ 3. Allgemeiner Fall Schottkyscher Funktionen mit einer Nullstelle und

höchstens q verschiedenen Einsstellen 14

§ 4. Schottkysche Funktionen mit einer Nullstelle und höchstens q

verschiedenen Einsstellen für allgemeinere geometrische Konfigu¬rationen 20

§ 5. Allgemeinere Annahmen über die Quasi-Ausnahmewerte . .24

§ 6. Schottkysche Funktionen mit höchstens p Nullstellen und q ver¬

schiedenen Einsstellen 25

2. Kapitel.

Anwendungen auf die Untersuchung der Wertverteilung holomorpherFunktionen in der Umgebung wesentlich singulärer Stellen.

§ 1. Umkehrungen und Korollare zu den Sätzen 9—11...

36

§ 2. Untersuchung der Wertverteilung einer Klasse von ganzen Funk¬

tionen von der Ordnung q ^> 0 41

§ 3. Untersuchung der Wertverteilung nach einer Methode von Valiron 43

§ 4. Untersuchung der Wertverteilung in den zu verschiedenen Julia¬

folgen 3. Art gehörenden Kreisfolgen 49

Literatur 56

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Einleitung,

Von verschiedenen Forschern, insbesondere von Valiron und

Ostrowski, wurden die Ergebnisse von Milloux, die „cercles de

remplissage" betreffend, direkt mit Hilfe des klassischen Satzes

von Schottky hergeleitet und verschärft. Hingegen wurde der von

Montel und Bieberbach verallgemeinerte Schottkysche Satz bis

heute noch nicht dazu verwertet, die /W//7o«xschen Resultate in

gewissen Richtungen zu verschärfen. Die erste Schranke für den

verallgemeinerten Schottkyschen Satz stammt von Saxer. Die vor¬

liegende Arbeit verfolgt den Zweck, die betreffenden Abschätzun¬

gen nach verschiedenen Richtungen auszubauen und dann mit ihrer

Hilfe neue Aussagen über die Wertverteilung holomorpher Funk¬

tionen in der Umgebung wesentlich singulärer Stellen im Sinne

der „cercles de remplissage" zu machen.

Im ersten Teil des 1. Kapitels werden numerische Schranken

für jene Funktionen bestimmt, die im Einheitskreis höchstens eine

Nullstelle und q verschiedene Einsstellen besitzen und im Null¬

punkt sowie in einem weiteren Punkt gegeben sind. Mittelst kon¬

former Abbildung gelingt es, alle Konfigurationen im wesentlichen

auf einen Fall zurückzuführen und jenen mit Hilfe der Pfluger-schen Abschätzung für den klassischen Schottkyschen Satz zu er¬

ledigen. Die Übertragung der Resultate auf allgemeinere Kon¬

figurationen geschieht nach der Methode von Ostrowski. Der all¬

gemeine Fall mit höchstens p Nullstellen und q verschiedenen

Einsstellen wird mittelst vollständiger Induktion nach der zum

Teil abgeänderten Methode von Saxer behandelt und es werden

etwas genauere Schranken gefunden. Es wird der Satz bewiesen :

ist f(z) eine im Einheitskreise reguläre Funktion, welche dort

höchstens p Nullstellen und q verschiedene Einsstellen besitzt,

und ist f(z) im Nullpunkt und in p Punkten zv (1 ^v^p) des

Einheitskreises gegeben, j zv j = rv, 0 < rv<L rv+1 <C 1, so gilt für f(z),

jAp = Max e"+\

«o-1/^1 +S «H/M

/»-i

J. J. I ^P I ' JL JL I ^+1 Zv I ' I %v+2 %v |" " ' "

| Zp zv\

gesetzt, die AbschätzungY,P

\f(z)\<L<P(1~rpJP 9im Kreise \z\ <^ 1 — & <1,

wo ax, y„, nur von p abhängige Konstanten bedeuten.

Im 2. Kapitel werden zunächst Umkehrungen zu den Sätzen

des 1. Kapitels formuliert. Diese Umkehrungen gestatten, die

Resultate von Valiron und Ostrowski betreffend die „cercles de

remplissage" holomorpher Funktionen in der Umgebung wesent¬

lich singulärer Stellen zu verschärfen. Es werden Funktions¬

klassen angegeben, für welche diese verschärften Kriterien zu

exakteren Aussagen über ihre Wertverteilung führen, als man sie

bis heute erhalten konnte. Gleichzeitig wird damit auch der Zu¬

sammenhang mit der Theorie quasi-normaler Funktionsscharen

endlicher Ordnung beleuchtet.

Es ist mir eine angenehme Pflicht, an dieser Stelle Herrn

Prof. Dr. W. Saxer für die Anregung zu dieser Arbeit und für

manchen wertvollen Rat den herzlichsten Dank auszusprechen.

1. Kapitel.

Herleitung der numerischen Schranken für

Schottkysche Funktionen,

Die Grundlage für die im 1. Kapitel herzuleitenden Abschätzun¬

gen bildet der klassische Schottkysche. Satz mit den von Pflugerund Ostrowski herrührenden numerischen Schranken: ist f(z) sine

im Einheitskreise reguläre und von 0 und 1 verschiedene Funk¬

tion, so gelten, m = Max {e, [ f(0) | } gesetzt,

a \f(z)\<Cm20'^ im Kreise \z\<Ll~ d- </,1)

b \f(z)\<Lm im Kreise \z| <J \.2)

§ 1. Schottkysche Funktionen mit keiner Nullstelle

und höchstens q verschiedenen Einstellen.

Es sei f(z) eine im Einheitskreise reguläre Funktion, welche

dort keine Nullstelle und höchstens q verschiedene Einsstellen

besitzt.

Unter Heranziehung der im Einheitskreise regulären Funk-

?+!tion y f(z) 3) gelingt es, den vorliegenden Fall auf den klassi¬

schen Schottkyschen Satz zurückzuführen: denn an jeder Eins¬

stelle von }(z) nimmt nur einer unter den q + 1 verschiedenen

Zweigen von j/f(z) den Wert 1 an, sodaß es mindestens einen

1) A. Pfluger, Über numerische Schranken im Schottkyschen Satz

(Comment, math. helv. 7, 1934/35, 159-170).

2) A. Ostrowski, Studien über den Schottkyschen Satz (Rektoratspro-

gramm der Universität Basel, 1931, 1-111 [96—102]).

3) Man vergleiche in einem ähnlichen Zusammenhang: P. Levy, Re¬

marques sur le théorème de M. Picard (Bull. Soc. math^ t. 40, 1912, 35).

— 10 —

9+ 1

Zweig von y f (z) gibt, der im Einheitskreise weder den Wert 0

noch den Wert 1 annimmt. Unter Anwendung von 1 auf jenen

Zweig ergeben sich für /(z), ju0 = Max{ e"+1,\f(0) | } gesetzt,

l , 20.1 . .

a \f(z)\<Ct*o d im Kreise |z|<^/— #</,

b \f(z)\<^ii022 im /(reise \z\^£.

Es ist zu beachten, daß unter geeigneter Zusatzvoraussetzungüber / (0), /(z) mit /(0) vertauscht werden kann. Denn bedeutet

z0, | z0 [ = 1—#0< 1, einen beliebigen Punkt des Einheitskreises,y „ y

so wird durch die Funktion 1 = -.—r-5- der Einheitskreis der z-

\—z0z

Ebene in den Einheitskreis einer £-Ebene derart übergeführt, daß

die Punkte z = z0 und | = 0 einerseits, z = 0 und | = — z0 ander¬

seits sich entsprechen, während /(z) in eine Funktion <p(£) über¬

geht. Unter Anwendung von 2a resp. 2b auf cp{—z0) ergeben sich

für /(0), falls \f{z0)\>e«+\

|/(0)!<!/(zo)|2O'i für zol^l—*o<l, resp.

1/(0)1 <|/(20)l22 für kol^l-*o^i.

Da die Ungleichung j/(z0) ISge?*1 erfüllt ist, sobald

|/(0) ) ^ e20{q+l)i resp. )/(0) | ^ e22<?+1> bleiben, folgt

fa \f(z)\>\i(0)\û imKreise\z\<Ll-&<:i, falls \f(0)\ :>/0(?+1),¥,3. i

(b \f(z)\^\f(0)\*2 im Kreise \z\<:£, falls \f(0J\^e^C+1K

Verallgemeinert man 2 und 3 auf einen Kreis \z—z']<p, so

ergibt sich unter Betrachtung der Funktion f(ç t + z') : ist f(z)eine im Kreise \z — z' | < q reguläre Funktion, welche dort keine

Nullstelle und höchstens q verschiedene Einsstellen besitzt, so

gelten, ju0 = Max {e"+1, j f(z') |} gesetzt.

a \f(z)\<Cf*o 'û 'm Kreise \z-z'\ <^ q — & <C Q>

b \f(z)\<^u022 im Kreise |z-z'|<^-^-,

2.

— 11 —

\f(z)\ > \f(z')\20 s im Kreise \z-z'\ ^Q — ^<Q,

o. J falls \f(z')\^eioi"+1)-i,1

b \f(z)\~^i\f(z')\22 im Kreise \z-z'\ <^ -p-,

falls |/£VI^«"('+1)-

Es sei f(z) eine im Einheitskreise reguläre Funktion, welche

dort keine Nullstelle und höchstens q verschiedene Einsstellen

besitzt, und es sei f(z) in einem Punkte z1 des Einheitskreises

gegeben, \z1\ = ri<l.

Durch die Funktion f = -.— wird der Einheitskreis der

1 —zxz

2-Ebene in den Einheitskreis einer J-Ebene derart übergeführt,daß die Punkte z = zt und f=0 sich entsprechen, während f(z)in eine Funktion ç?(|) übergeht. Beachtet man, daß der Kreis der

£-Ebene, auf welchen der Kreis | z \ = 1 — ê < 1 abgebildet wird,

im Innern des Kreises \^\ = r^,—V?—ki = 9 gelegen ist4), undi + A (!-•>>)

wendet man 2a auf <p(Ç) und den Kreis | f | = q an, so ergibt sich,1 r

ju0 = Max { e"+1, j /(2j) | } gesetzt, wegen 1 — q> —^—-• #,

4. \f(z)\ < Po1~ri '' im Kreise jzj <^/--#</.

Verallgemeinert man 4 auf einen Kreis \z — z' | < o, so er¬

gibt sich unter Betrachtung der Funktion /(p • t -f z') : ist f(z) eine

im Kreise. \z — z' j < q reguläre Funktion, welche dort keine

Nullstelle und höchstens q verschiedene Einsstellen besitzt, und

ist f(z) in einem Punkte z1 des Kreises \z — z'\<Q gegeben,

\ Zi — z' | = rx < q, so gilt, ,ito = Max { e"+t, | f(zx) \ } gesetzt,

40 e q

4'. \f(z)\<.Hoe~ri * im Kreise \z-z'\ fg q— -5- < q.

t) Loc.cit. 2), (22).

— 12 —

§ 2. Spezialfall Schottkyscher Funktionen mit einer

Nullstelle und höchstens q verschiedenen Einsstellen.

Im Folgenden werde eine einfache geometrische Konfigu¬ration Schottkyscher Funktionen mit einer Nullstelle und höchstens

q verschiedenen Einsstellen zugrunde gelegt, welcher bei den im

allgemeinen Fall (§ 3) herzuleitenden Abschätzungen an entschei¬

dender Stelle eine wesentliche Rolle zukommen wird.

Es sei f(z) eine im Einheitskreise reguläre Funktion, welche

dort höchstens q verschiedene Einsstellen und im Nullpunkt eine

Nullstelle besitzt, und es sei f(z) in einem Punkte zt der Kreis-

peripherie \z\ = \ gegeben.

Die Herleitung der Abschätzungen im vorliegenden Spezial¬fall (wie auch teilweise im § 3) geschieht unter Zuhilfenahme der

Zi«ufe/ö/-Transformation, auf deren Bedeutung Ostrowski wieder¬

holt nachdrücklich hingewiesen hat5). Mittelst der Funktion

w = log z-\-i(n — Arg zx) bilde man das Innere des Einheits¬

kreises der z-Ebene auf die linke w-Halbebene ab und ziehe um

einen Punkt M der Geraden I{w)-=n als Zentrum einen durch

den Punkt ni gehenden Kreis vom Radius P, wobei P so groß

gewählt werde, daß die Strecke R(w) = — log 2, 0</(w)<;2^,im Kreisinneren gelegen sei. Die im Kreise ] w — M\<iP regu¬

läre Funktion g(w) =f(z) besitzt in seinem Inneren keine Null¬

stelle und höchstens k q verschiedene Einsstellen, wo k die An¬

zahl der Periodenstreifen der Breite 2n bedeutet, in welchen der

Kreis \w — M\ = P eingebettet ist, während g(—log 2-\-ni) =

f{z1) ist. Bezeichnet man den Abstand des Punktes — log 2 -f- 2 n i

von der Kreisperipherie \w — M \ = P mit @, so folgt aus 4',

fix = Max{y*-?+1, \g(-\og2 + jii)\} gesetzt, wegen

^2 +(log 2)2-02~

2 (log 2-©)'

10-(jr' + (log2)a— W)*

0) \g(w)\<Cfiilos2-6-Q°e2-ä)° für \w-M\<LP— Q,

5) Man vergleiche: loc. cit. 2), (12 [Fußnote]).

— 13 —

sodaß diese Schranke insbesondere für die Strecke R(w) = — log 2,0 <c l(w) <; 2TT, und in der z-Ebene für die Kreisperipheriejz| = f ihre Gültigkeit beibehält. Betrachtet man in (1) den

Exponenten als Funktion von (9, so besitzt er im Intervall

0 < 0 < log 2 ein Minimum, welches für © = 0,234294 angenom¬

men wird und unter der Schranke 3,875 • 203 liegt. Da alsdann

k = 4 gesetzt werden kann, ergibt sich

(2) [/(zJK^3.878-203^15.8-203 für \z\ = b,

wenn fi = Max { e"+1, \ /(zj) | } gesetzt wird. Faßt man jeden Punkt

der Kreisperipherie [ z'

= § als Zentrum eines Kreises vom Ra¬

dius \ auf, so folgt aus 2'a, (i2 = Max {e"+1, ,1t16'6-203} gesetzt,

[/(z)[<o(210-i<V'75-204-i für i^\z\ = l-»<l,

und da nach dem Maximumprinzip aus (2)

[/(zJKft16.5-203^15'5-203-! für \z\<\— $<h

folgt, ergibt sich

i

5. \f(z)\ < i""'* im Kreise jz|f^/ — #<;/,

iw ft =jWojc{^+1, [/fzijj} «ßcf a öfe ZaA/ 7,75-20* bedeuten.

Verallgemeinert man 5 auf einen Kreis \z — z' [ <q, so ergibtsich unter Betrachtung der Funktion f(g-t-\-z'): ist f(z) eine im

Kreise \z — z' | < q reguläre Funktion, welche dort höchstens q

verschiedene Einsstellen und im Kreiszentrum eine Nullstelle

besitzt, und ist f(z) in einem Punkte zx der Kreisperipherie

\z — z'\ = --- gegeben, so gilt, ju = Max {e^1, | f(zj | } gesetzt,

5\ \f(z)\<ua'i im Kreise \z - z'\ <L o — $ <Cq, a = 7,75-20*.

— 14 —

§ 3. Allgemeiner Fall Schottkysdier Funktionen mit

einer Nullstelle und höchstens q verschiedenen

Einsstellen.

Es sei f(z) eine im Einheitskreise reguläre Funktion, welche

dort eine Nullstelle und höchstens q verschiedene Einsstellen be¬

sitzt, und es sei f(z) im Nullpunkt und in einem Punkte z^ des

Einheitskreises gegeben, 0<| zv j = r1 </. Die Nullstelle werde

mit N und ihr Abstand von der Einheitskreisperipherie mit s

bezeichnet.

1. Fall. Man betrachte vorerst diejenigen Funktionen, für

welche die Ungleichung ^ <, 1 — e < 0,7 erfüllt ist, und führe

diesen Fall auf den im § 2 behandelten unter Zuhilfenahme der

z — N

Kreisabbildung | = — zurück. Analog der Herleitung von 4

folgt aus 5, /u' = M.&\ {e*+l,k } gesetzt,

(3) \f{z)\ </*''*'* für \z\ <: 1 — #<1, a = 7,75-20*,

wo k eine obere Schranke für | <js(|) (= j f(z) | in einem Punkte der

Kreisperipherie jfj=| bedeutet. Um diese Schranke zu bestim¬

men, ziehe man durch den Punkt | = — N, in welchem <p (—N) =

/(0) ist, einen Radius des Einheitskreises, der die Kreisperipherie

| f | = | in einem Punkte |' treffe. Konstruiert man um f als Zen¬

trum einen Kreis vom Radius \, und wendet man 4' auf diesen

Kreis an, so liegt j cp (f) |, ,a0= Max {^+1, | f(0) | } gesetzt, unter20 20

der Schranke /j^ oder i^\~e, je nachdem s der Ungleichung

| < 1 — « < 0,7 oder „-<1 — £ < \ genügt. Somit folgt aus (3)

(4) ;/(:)K^M0"? für !Z|^1-*<1,

woft = Max{e<?+1, ,/(0)} und a die Zahl 7/75-204 bedeuten.

2. Fall (Figur). Man gehe nunmehr zur Betrachtung der¬

jenigen Funktionen über, welche durch die Ungleichung

— 15 —

0,7 < 1 — £ < 1 charakterisiert sind. Dabei werde angenommen,

daß die Nullstelle N auf der positiv reellen Achse liege, was durch

eine eventuelle vorherige Rotation der z-Ebene stets zu erreichen

ist. Die beiden auf der Kreisperipherie [ z | = 1 — e im Abstände

£ von der Nullstelle N gelegenen Punkte seien mit M, M, ihre

Argumente mit ± <a und der Schnittpunkt der Kreise \z — N\ = {e,

\z — M | = f £ vom größten absoluten Betrag mit 5 bezeichnet.

Vorerst beachte man, daß der Kreisbogen | z j = 1 — \ e,

— m <; Arg z<.^-u), stets ganz zur Vereinigungsmenge der Kreise

\z — Nj<f£, \z — M|<|e und z — M\<%e

gehört, was aus der Tatsache folgt, daß

im Intervall 0,7<1—-f<l positiv bleibt.

Um nun /(z) abzuschätzen, wende man 2'a auf den Kreis

| z |< 1 — £ an. Es ergeben sich, (*„ = Max {e"+1, | /(0) | } gesetzt,

— 16 —

(5) j/(z)| < ^o60-0 für kj^ 1 —&<C 1 —e, und insbesondere

40 o

(6) | /(z) | < ,h0£ für j z | = 1 =- e. Unter Anwendung von 5'

auf den Kreis \z — N\ O ergeben sich, da \f(z)\ in einem Punkte

der Kreisperipherie jz— N| = Je der Ungleichung (6) genügt,

I -1f«! = Max \ei+1, /n0sl gesetzt,

(7) t/(z)j<rt4«<,«0160T für \z — N\<^%e, a = 7/75-204,

und analog unter Anwendung von 4' auf den Kreis \z — /W|<«,da | /(z) | in einem Punkte der Kreisperipherie [ z — M\ = \e un¬

ter der Schranke (6) liegt,

20_2

(8) |/(z)|<jtils-i0<|Wo""~s für \z — M\<,%i.

Dieselbe Abschätzung gilt aus Gründen der Symmetrie für

\z—M\<§e, sodaß sich aus (7) und (8)

(9) |/(z)|<iu0160^ für den Kreisbogen |«| = 1 —Je,— tu <J Arg z <C 4- »,

ergibt. Da auf dem Komplementärbogen | /(z) | unter der Schranke

(8) liegt, besteht die Ungleichung (9) auf der ganzen Kreisperi¬

pherie \z}= 1 — \e. Faßt man jeden Punkt der Kreisperipherie

[ z | = 1 — | e als Zentrum eines Kreises vom Radius | e auf, so

na

folgt aus 2'a, ^2 = Max {e"+1, /(Je) gesetzt,

(10) |/(z)|Oä10£4<^01600a-} für \-$B^\z\ = \-»<:\,

und da nach dem Maximumprinzip aus (9)

(11) \f(z)\<^^^^2i0a-J fürl--|e^|z[ = l-*^l-le

folgt, ergibt sich aus (5), (10) und (11)

(12) i/(*)|<<"o160°a'^ für z|^l — 9<l,

wo ^0 = Max{^+1, |/(0)|} und « die Zahl 7,75-204 bedeuten.

— 17 —

3. Fall. Man betrachte endlich diejenigen Funktionen, für

welche die Ungleichung 0 < 1 — f < -Srjbesteht.

Vorerst werde gezeigt, daß auf der Kreisperipherie ] zV30

mindestens ein Punkt z* existiert, in welchem

(13) |/(z») | < fi^i bleibt, wo u = Max le"+\ 2AtQli±iß*A

bedeutet.

a) r, <; -7=. Dann existiert auf der Kreisperipherie | z I = -^=

mindestens ein Punkt, in welchem

'

04) l/(z)l <L2^°^ + !/f(Zl^

bleibt, wie sich unter Betrachtungri

des Polynoms /(0) + I- 1'~'^ \- z nach einer für einen all¬

gemeineren Fall entwickelten Methode zeigen läßt6).

b) r, > -==. Durch z, ziehe man einen Radius des Einheits-V30 ! 31

kreises, der die Kreisperipherien \z I= -r= resp. z I =

^in den

1

y30 60

Punkten z* resp. 2' treffe. Konstruiert man um 2' als Zentrum einen

29Kreis vom Radius ^, und wendet man 4' auf diesen Kreis an,

60

so liegt

,/(2*)|, f.i = Max(«*+1, 2JÄi±J/l2i)i) gesetzt, unter der

Schranke

63

(15) ,«420 oder i«1~'s je nachdem /-j der Ungleichung

1,

.31,

31^.

^ '1 ^ fir.oder Sri < ^ < ] g^gt

V3Ö= 60 60

Aus (14) und (15) folgt (13).

6) Man vergleiche im § 6 die Herleitung der Ungleichung (23).

— 18 —

Nun bilde man mittelst der Funktion w = log z -j- i(jt — Arg z*)

den Kreisring ^ < j z | < 1 auf den Parallelstreifen

—log 30 <R(w)< 0 ab,

und konstruiere um die Punkte

— log 30 n i — log 30 3 n i

2+ y

"

2+t-'

als Zentren Kreise mit den Radien ——. Die in diesen Kreisen

reguläre Funktion g{w) = f(z) besitzt in ihrem Inneren keine Null¬

stelle und höchstens q verschiedene Einsstellen, während im Punkte

y? [-ni die Schranke (13) besteht. Aus 4' folgt für die

TT

zu jenen Kreisen konzentrischen Kreise vom Radius ,

I -4^-\u* = Max\^+1, fi1-^! gesetzt,

40-(log30)2 20°

\g(w) J < t(*(log30-^ <- ^"1 -rt ;

sodaß diese Schranke insbesondere für die ganz im Inneren jenerKreise gelegene Strecke

R(w) = JlM.30., 0 rg I(w) ^2n,

und in der z-Ebene für die Kreisperipherie | ar [ = —r=- ihre Gül¬

tigkeit beibehält. Faßt man jeden Punkt der Kreisperipherie31 29

j z j = als Zentrum eines Kreises vom Radius^r auf, so folgt

aus 4',^;' = Max{^+1, fi]

205 l

gesetzt,

l/(*)lo

299

'3(^30-

1 4•20» 1

')"

<iu1-',i'* für31^

= 1 --#<1,

und da nach dem Maximumprinzip

l/(*)l4. 20» 60 10.20« 1

für z|^l --#^31

60

gilt, ergibt sich

— 19 —

10- 20" 1_

<16) jlzJK«1-'.'" für \z\<^l — &<\,

wo fi = Max{^+1, IfflWl^illj bedeutet.

Somit folgt aus (4), (12) und (16), wegen > 1,

^ = Af«Us2'/(0)' + '/M) ^fe,,

'6. /fz)[ < n*-ni> im Kreise \z\<^1 — #<1, ß = 2,325-20\

Anmerkung 1. Daß der Abstand der beiden Punkte, in

welchen f(z) gegeben ist, eine untere Schranke besitzen muß,

zeigt das Beispiel der Funktionsschar fn(z) = — mit lim e„ = 0,

wo fn(z) für e„ ->0 gegen oo konvergiert.

Anmerkung 2. Die Abschätzung 6 könnte nach einer von

Saxer stammenden Methode7) hergeleitet werden. Es zeigt sich

jedoch, daß man nach jener Methode für die im Exponenten auf¬

tretende absolute Konstante ß den wesentlich höheren Wert 2243

erhält.

Anmerkung 3. Die Voraussetzungen, welche den in die¬

sem Paragraphen hergeleiteten Abschätzungen zugrunde liegen,daß f{z) in 2 verschiedenen Punkten des Einheitskreises (vondenen der eine hier der Nullpunkt ist) gegeben ist, können dahin

abgeändert werden, daß man diese Eigenschaft in einem beliebigenPunkte des Einheitskreises für die Funktion und ihre 1. Ablei¬

tung postuliert. Auch unter diesen abgeänderten Voraussetzungenlassen sich die Abschätzungen nach der eben entwickelten Me¬

thode herleiten. In der vorliegenden Arbeit jedoch wurde der mit

Rücksicht auf die Anwendungen interessantere Fall untersucht.

Verallgemeinert man 6 auf einen Kreis \z — z' \ < g, so er¬

gibt sich unter Betrachtung der Funktion f(g t + z') : ist f(z)

') W. Saxer, Über eine Verallgemeinerung des Satzes von Schottky

(Compos, math. 1, 1934, 207-216 [211—2141).

— 20 —

eine im Kreise \z — z' | < g reguläre Funktion, welche dort eine

Nullstelle und höchstens q verschiedene Einsstellen besitzt und

ist f(z) im Kreiszentrum und in einem Punkte z1 des Kreises

\z — z' j < q gegeben, 0 < | z1 — z' | = r1 < q, so gilt,

u = Max ei+\ — • (2\f(z')\ + \f(zj|) gesetzt,

fie s_

6'. \f(z) j < ^e-i-i' * im fräse | z-z\ <^q-»<_q, ß= 2,325- 20\

§ 4. Schottkysche Funktionen mit einer Nullstelle und

höchstens q verschiedenen Einsstellen für allgemeineregeometrische Konfigurationen.

Es sei f(z) eine im Einheitskreise reguläre Funktion, welche

dort eine Nullstelle und höchstens q verschiedene Einsstellen be¬

sitzt, und es sei f(z) in 2 Punkten zx und z2 des Einheitskreises

gegeben, ]2] ] = /-,, | z21 = r2, r^<,r2.

Durch die Funktion f = -. =^- wird der Einheitskreis der1 —zxz

z-Ebene in den Einheitskreis einer f-Ebene derart übergeführt, daß

die Punkte z = zt und £ = 0 sich entsprechen (z2 entspricht einem

Punkte |2), während /(z) in eine Funktion ç>(£) übergeht. Analogder Herleitung von 4 folgt aus 6,

\i =f Max ei+l, -, ;• (2 I f{z1) ! + I f(z2) \)\ gesetzt, wegen

l \Zi — z2\ )

ii£i^>1~'"1.

«» ,*-J2i~z*\

1 - i£i->(Izz^KkzM

1 — ! £ I -^ —s— ' ^2i-^

9 I £21 -^ 2'

7. [/^K^O-^Mi->»>'<> im Kreise \z ^jl-#<l, ß = 2,325-20\

Verallgemeinert man 7 auf einen Kreis | z — z'\<.q, so ergibtsich unter Betrachtung der Funktion f(o -t-^-z'): ist f(z) eine im

Kreise \z — z' | < q reguläre Funktion, welche dort eine Null¬

stelle und höchstens q verschiedene Einsstellen besitzt, und ist

— 21 —

f(z) in 2 Punkten zt und z2 des Kreises \z — z' | < q gegeben,

\Zi — z'\ = r1, \z2 — z'\ = r2, r1<r2, so gilt,

(i = Max\e<+1, y^—, • (2\f(z1) + f(zt)\)\ gesetzt,

4j8g3 q_

T. |/^|<iu(s-'•l^fc-'2),'» im Kreise \z-z,<^Q-d-<CQ, ß — 2,325 207.

Es seien G ein Gebiet, das den unendlich fernen Punkt nicht

im Inneren enthält und H eine zusammenhängende, abgeschlossene

Teilmenge von G. Es sei weiterhin f(z) eine in G reguläre Funk¬

tion, welche dort eine Nullstelle und höchstens q verschiedene

Einsstellen besitzt, und es sei f(z) in 2 Punkten zL und z2 von H

gegeben, \zx — z2\ = s.

Bezeichnet man mit ö0 die Minimaldistanz der Punkte von H

von den Randpunkten von G, und versteht man unter ô eine Zahl,

welche der Ungleichung 0 < ô :£ ö0 genügt, so betrachte man die

um die Punkte zu z2 als Zentren gezogenen Kreise I\, T2 resp.

yu y2 mit den Radien ô resp. -=- (welche im Inneren von G ge¬

legen sind). Um zunächst f(z) in dem einen der beiden Kreise

j'i oder y2 abzuschätzen, nehme man eine durch die gegenseitig

mögliche Lage der Punkte zt und z2 bedingte Fallunterscheidung

vor.

1. s>2(5. Alsdann besitzen ru r2 die Eigenschaft, zuein¬

ander punktfremd zu sein oder sich höchstens zu berühren, sodaß

/(z) mindestens in dem einen jener Kreise keine Nullstelle besitzt.

Unter Anwendung von 2'b auf jenen Kreis ergibt sich,

ft' — Max{é*+1, 1/(^)1 + |/(z2)'} gesetzt,

<17) 1/(2)1 ^»'22 für y1 oder y2.

2.r^j

è < 5 < 2 ô. Man ziehe die Potenzlinie der beiden sich

schneidenden Kreise I\, T2 und konstruiere die zu ihnen konzen-

Irischen Kreise vom Radius -= (welche die Potenzlinie berühren).

— 22 —

Betrachtet man denjenigen der auf diese Weise erhaltenen Kreise,,in welchem /(z) keine Nullstelle besitzt, so folgt aus 2'a,

fi' = Max{e"+\ |/(Zl)| + :/(22)|} gesetzt, wegen s<2d, s-<J>y^,

(18) |/(2), <V10-203 für yi oder n.

3. 0<s< —: (5. Die Strecke zxz2 werde halbiert, ihr Mit-101

100

telpunkt mit z', und der um z' als Zentrum durch die Schnittpunkte

von ru F2 gezogene Kreis vom Radius R = 1/d2 — s~ mit r be¬

zeichnet. Dabei gelten

ä/<*<*. *-2>2öö*> R- 2>m0' R+^T>2ÖÖa-

Der zweiten dieser Ungleichungen entnimmt man, daß zt und z;

im Inneren von r gelegen sind, sodaß sich aus 7', für

f>^R±S~, ,u* = Max *'+1, ~ (21/fr) | + |/(*.)!)} gesetzt,

wegen R <; d,

/(z)[ <C ,w*249/! in einem Punkte der Kreisperipherie z— z^ = —

ergibt. Daraus folgt nach 6', ß** = Max{e»+1, 2-(2;/fr)| + nt*"9')}gesetzt,

j/(z)| <fi**iß, und wegen 2 . (2l/fr)| + |i*3«'5) <fi*a60ß,

(19) |/(z)IO*100^2 für yi.

Setzt man D = Max{d0, Durchmesser von fi}, so folgt aus

(17), (18) und (19), wegen 1< —, d^d0<;£>,

ft = Max {e*+S ~ • (21 /fr) | + [ /fr) | )} gesetzt,

(20) |/(z)!01000^ für /C0, /Co = y, oder y2.

Anmerkung 4. An Stelle von -—- könnte jede andere Zahr

genommen werden, die hinreichend nahe an 1 und größer als 1

— 23 —

wäre. Der vorliegende Bruch jedoch ist bequem für die vorzu¬

nehmenden Abschätzungen und liefert genügend gute Resultate.

Um nunmehr für einen beliebigen Punkt z von H eine Ab¬

schätzung zu erhalten, konstruiere man nach dem Verfahren von

Ostrowski*) eine ,,z0' mit z verbindende -Kette" (z0' bedeu¬

tet das Zentrum von Ko), das heißt, man verbinde die Punkte z0'

und z durch eine Kette von Kreisen Kv (0<v<^l) von konstantem

Radius -=- derart, daß das Zentrum z/ von Kv stets im Inneren

von Kv+i (0<;V<,1 — 1) gelegen sei und daß Ki den Punkt z in

seinem Inneren enthalte. Unter Anwendung von 6' auf den Kreis

|z —z„'|<(5 (l^v^l) ergibt sich für Kv, f*v = Max {e"-l,6kv'}gesetzt,

(21) \f(z),<tiv*e, ß = 2,325- 207,

wo kv' eine obere Schranke für | f(z) | im Punkte zj und in einem

Punkte bedeutet, der sich im Abstände -=- von z,,' befindet. Da

für z/ und für einen im Abstände^

von z/ gelegenen Punkt die

Ungleichung (20) besteht, folgen aus (21),

fi! = MsLx{e"+1, 6 • p1000""} gesetzt,

\f(z)\ < n^v, und wegen 6 • t/1000'52 < ^-iooo/^

\f(z)\ <(i*fi-*-iooop für ^_

Fährt man in analoger Weise mittelst der erläuterten Kreisketten¬

konstruktion fort, so ergibt sich für Ki, und somit für den in seinem

Inneren gelegenen Punkt z,

|/(*) | < w(^y-(/+!) iooo^ uncj wegen lOOO/î2 <64 • (4/S)2,

20* /HM^

2' 2m

(22) I / (Z) J < ,»2C8 ('+ I ) < (x

208 (/+ 3).

Variiert man bei festgehaltenem z0' den Punkt z, so besitzt die hier¬

bei erzeugte Gesamtheit der Zahlen / eine größte, die mit n = n(è)

8) Loc.cit. 2), (26—28).

— 24 —

bezeichnet werde. Setzt man für n die untere Grenze «0 von n(d)ein9), so ergibt sich

8. \f(z)\ </U»8(«o+») für jeden Punkt z von H,

wo (x = Ataxie«", —^-r (2\f(zt)\ + |/(z,)|)|,D = Max{ô0, Durchmesser von Ff}, «0 öfe ««fere Grenze der Anzahl

der die Menge H überdeckenden preise vom Radius \ 8(0 <Cd <^ 80)und 80 die Minimaldistanz der Punkte von Ff von den Randpunktenvon G bedeuten.

§ 5. Allgemeinere Annahmen über die Quasi-

Ausnahmewerte.

Es sei f(z) eine im Kreise \z — z' j < p reguläre Funktion,welche dort eine a-Stelle und höchstens q verschiedene b-Stellen

besitzt, \a\^h, \b\-£zh, \a — b \^d^>0 und es sei f(z) im Kreis¬

zentrum und in einem Punkte zY des Kreises \z — z' | < p gegeben,

0<\zi—z'\ = r1<o.

Betrachtet man die Funktion —;- ,so folgt aus 6',

b — a

(.i = Max\ei+1, -^—• (2|/(z')[ + /(zj) + 3A)1 gesetzt,

'-~ l<iii'-r^"*, und wegen 3k<d-ii,b — a

' -I»

fie s 2ßß a

9. \f(z) ! < 3 h fië^'

v'< d ixe-7* 'lf im Kreise \z-z'\ <=Q-{r<Q,

ß = 2,325-20''.

Ist f(z) eine im Kreise \z — z' j < p reguläre Funktion, welche

dort eine a-Stelle und. höchstens q verschiedene b-Stellen besitzt,

\a\Sh,\b\<JlAa — b\>dy>0 und ist f(z) in 2 Punkten z, und

z2 des Kreises \z — z'\<.Q gegeben, I z1 — z' I = rx, \z2 — z' I = r2,

rx<^r2, so folgt analog der Herleitung von 9 aus 7',

9) «0 und n(<5) wurden von Ostrowski abgeschätzt: loc. cit. 2), (28—32).

— 25 —

M = Max U+1, 2g• (21 /(zj, + | / (zj , + 3 A)) #s«W,

i a • | Zj — 22 l '

5ß g3 »

10. ]/^|<rf. ute-'-O'-to-^'"* imKreise \z-z'\<^ q-&<_$,

ß — 2,325 20"1.

Es seien G ein Gebiet, das den unendlich fernen Punkt nicht

im Inneren enthält und H eine zusammenhängende, abgeschlossene

Teilmenge von G. Es sei weiterhin f(z) eine in G reguläre Euhk-

tion, welche dort eine a-Stelle und höchstens q verschiedene b-

Stellen besitzt, \a\<-h, \b\<-h, \a — b\l>d>0, und es sei f(z)in 2 Punkten z1 und z2 von H gegeben.

Analog der Herleitung von 9 folgt aus 8, da man nach (22)

an Stelle von 208(Ä»+S> den Exponenten 208v*0+4v zugrunde legenkann,

V = Maxie«", -r^—r • {2\f(z,)\ + \f(z,)\ + 3A)I,l a • | Z] —z21 '

D = Max { ôo, Durchmesser von H} gesetzt,

11. \f(z) <Cd- fi2°8(*0+ 3) für jeden Punkt z von H,

wo n0 die untere Grenze dei Anzahl dir die Menge H überdecken¬

den Kreise vom Radius — (0 < h < ô0) und ô0 die Minimaldistanz

der Punkte von H von den Randpunkten von G bedeuten.

§ 6. Schottkysche Funktionen mit höchstens p Null-

steilen und q verschiedenen Einsstellen.

Im vorliegenden Paragraphen wird gezeigt, daß die Struktur

der Ungleichung 6, insbesondere die in ihr auftretende Größen¬

ordnung in §, für im Einheitskreise reguläre Funktionen er¬

halten bleibt, welche dort höchstens p Nullstellen und q verschie¬

dene Einsstellen besitzen. Dabei werden die im Laufe der Un-

— 26 —

tersuchung auftretenden, nur von p abhängigen Konstanten j^-u

yp ax, AÄ, nicht numerisch dargestellt. Der einzuschlagende Wegschließt sich, unter sinngemäßer Anpassung an die vorliegendenVerhältnisse, an eine von Saxer10) stammende, auf dem Prinzipder vollständigen Induktion aufgebaute Methode an.

Für die Fälle p = 0 und p = 1 gelten die Ungleichungen 2a

und 6. Es werde nunmehr angenommen, daß für den Fall von p—1

N^illstellen der Satz richtig sei: ist f(z) eine im. Einheitskreise

reguläre Funktion, welche dort höchstens p—/ Nullstellen und q

verschiedene Einsstellen besitzt, und ist f(z) im Nullpunkt und

in p—/ Punkten zv (1 <^ v <; p — 1) des Einheitskreises gegeben,

| z„ | = rv, 0<rv<: rv+i < /, so gilt,

l-ip-i = Max ei*

l/WI+'SßH/M

gesetzt,

i

12. l/fzJKiiP-W"1 *im Kreise Izl </ — #</.

Daraus soll für den Fall von p Nullstellen bewiesen werden : ist

f(z) eine im Einheitskreise reguläre Funktion, welche dort höch¬

stens p Nullstellen und q verschiedene Einsstellen besitzt, und ist

f(z) im Nullpunkt und in p Punkten zv (1 <,v<,p) des Einheits¬

kreises gegeben, \zv\ = rv, 0 < rv < rv+i < /, so gilt,

Max

ßo'l/(0;! + S«;i-|/Mei+1,

p-i

1_ J. i ^ß I ' J. J. I ^"+1 Zv\'\Zv + 2—Zv\''''\Zp — Zv

gesetzt,

1

15. \f(z)\<Hpx~rp>p '9 im Kreise \z\<^l — »<l.

«) Loc.cit. 7), (211-216).

— 27 —

Vorerst werde 12 für andere geometrische Konfigurationenformuliert. Es sei f(z) eine im Einheitskreise reguläre Funktion,welche dort höchstens p—/ Nullstellen und q verschiedene Eins¬

stellen besitzt, und es liege \ f(z) j in p Punkten 2,, (1 ^v<?p) einer

Halbgeraden durch den Nullpunkt unter einer festen Schranke S,

= rv, rv<rv+l<\.

Durch die Funktion | =

2 — 2,wird der Einheitskreis der

1 —zxz

2-Ebene in den Einheitskreis einer £-Ebene derart übergeführt,daß die Punkte z = zL und f = 0 sich entsprechen (die Punkte zv

{2<;V^p) entsprechen gewissen Punkten fj, während f{z) in

eine Funktion ç>(|) übergeht. Aus 12 folgt analog der Herleitungvon 4, da für /u<Cv (2^1/x <p — 1, 3<v <:/?) die Ungleichungen

0 < | £„ I < | £v I, Sv — ^ I > rv — /> gelten, und da wegen

r1<rp, /<!, (l_||JB')^-i.(i_|fi)>(-1JZ^---d bleibt,

/V-i

13.

Max eqAA1 • S

]7I (Vv+1 — rv> • (Vv+2 — rj fa, — r„/v = l

2;

gesetzt,

tp-\ 1

/(^|<ft(1-'V)/'"1 ^im Kreise \z\<Ll—i><.l-

p—i

Verallgemeinert man 12 und 13 auf einen Kreis \z — z'|<p,so ergeben sich unter Betrachtung der Funktion ffg t -f- 2') : /s£

/^2^ £/«£ i/rc Kreise \z — z'\<Cq reguläre Funktion, welche dort

höchstens p — / Nullstellen und q verschiedene Einsstellen besitzt,

und ist ffz) im Kreiszentrum und in p—/ Punkten zv(l <v<p —1)des Kreises | 2 — 2' ] < q gegeben, \zv — 2' | = rv, 0 < rv <: rv+1 < g,

so gilt

q2 [a0-\ffz')l+^ax.\f(zx)l\

Hp-i Max eq-ip-\ p-2

X \'Zß—z i• |_ J_i^k+i z\i '|2v+2 zu¬

gesetzt,

jv-i-e"-1'p-i

12'. j f(z), < ^fej^-i)"* *

/m /Cmse | z-z'| ^ q - & < p;

ist f(z) eine im /{reise \z — z' | < q reguläre Funktion, welche

dort höchstens p — / Nullstellen und q verschiedene Einsstellen

besitzt, und liegt \ f(z) j in p Punkten zv (1 ^v<Lp) einer Halb¬

geraden durch das Kreiszentrum unter einer jesten Schranke S,

\zv — z'\ = rv, rv < rVTl < q, so gilt,

/.ip^x = Max eqi

Pip-V

q2 A1-S

gesetzt,' P-i

YJ (r.+i — rv) (rv+2 — rv) (rp — rjc=l

13'. \f(z)\ O (?-rp)"~1 *imKreise \z~z'\<o-» <Cq.

p — \

Insbesondere folgt aus 12' : ist f(z) eine im Kreise \z — z' j < q

reguläre Funktion, welche dort höchstens p —/ Nullstellen und q

verschiedene Einsstellen besitzt, und, liegt \ f(z) \ in p äquidistantenPunkten zv(0^v<,p — 1) einer Halbgeraden durch das Kreis-

QZentrum unter einer festen Schranke S, \zv — z'\=v — -,

q2(P—1)

so gilt wegen q — r„_1 = —,

,«/,_! = Max{ei+l, A2 S} gesetzt,

14. \f (z)\ <C uz 'P'1 ö imKreise \z- z'|<jç- i> <Q-

Nun werde gezeigt, daß auf dem Rande eines jeden einfach

zusammenhängenden, die Punkte 2 = 0, zx{\^l<p) enthalten¬

den, im Inneren des Einheitskreises gelegenen Bereiches B min¬

destens ein Punkt existiert, in welchem

«o-1/(0), + S «*!/&)!(23) \f{z)\S -p jr=i

— = */>

M— 1 V — 1

— 29 —

bleibt, wobei die ax geeignete, nur von p abhängige Konstanten

bedeuten. Man konstruiere ein Polynom Pp(z) vom Grade p der¬

art, daß Pp(z) in den p ~\ Punkten z = 0, zx mit den Funktions¬

werten von /(z) übereinstimmt. Die Koeffizienten von Pp(z) er¬

geben sich eindeutig als die p + 1 Unbekannten eines inhomo¬

genen Systems von p -j- 1 linearen Gleichungen, dessen Deter¬

minante

A =

0 0 0

1

nicht verschwindet, da die Punkte z = 0, zk als verschieden voraus¬

gesetzt sind11). Bezeichnet man mit An+i (Org #<;/;) diejenige

Determinante, welche aus der Determinante A dadurch hervor¬

geht, daß man die (n -\- l)-te Kolonne durch die Werte ffO), f(zx)

ersetzt, so gilt/3,, (z) = 2 ^f1 -z". Bedeutet Am„+) (0 <m<p) das«=o A

algebraische Komplement von f{zm) in An+U so ergibt sich für

A„+ip

Im= 0

2/(zm)-<îî,

sodaß man für \P„(z)\ im Inneren des Einheitskreises

l*M*)l\A\

t Êf(Zm)-AmnXl-Znn= 0 m= 0

<

< rVS Sl/WI-l^+îi erhält.

Da die letzte Doppelsumme nichts anderes als eine lineare Kom¬

bination der absoluten Beträge der Funktionswerte /(0), /(zm)

u) Man vergleiche: P. Montel, Leçons sur les familles normales de

fonctions analytiques et leurs applications (72).

— 30 —

bedeutet, wobei die Koeffizienten nur von p abhängen, und da

die Vandermondesche Determinante A den Wert

p p—i

a=nz« o (z"+i ~~z") ' (z»+* ~zù—fa ~ z*>/u— 1 V = 1

besitzt12), gilt für PP(z) im Inneren des Einheitskreises

\Pp(z)\<ixp, wo hp dieselbe Bedeutung wie in (23) besitzt. Wäre

nun längs des Randes von B dauernd | f(z) \ > x„ > j Pp(z)\, so be¬

säßen nach dem Satz von Rouché f{z) und f(z)—PP{z) die¬

selbe Anzahl von Nullstellen in B; da diese Anzahl für /(z)—PP(z)mindestens p -j-1 beträgt, besäße auch /(z), im Widerspruch zur

Voraussetzung, mindestens p-\-\ Nullstellen in B, womit (23) be¬

wiesen ist.

Um nunmehr f(z) abzuschätzen, zerlege man die zu unter¬

suchenden Funktionen mittelst einer zweckmäßig gewählten festen

3Zahl ß,-g-<Ig<l, in 2 Klassen, je nachdem f(z) mindestens eine

Nullstelle besitzt, deren absoluter Betrag <,q ist, oder je nachdem

die absoluten Beträge der Nullstellen von /(z)>ß sind. Geht

man zunächst zur Betrachtung der 1. Klasse über, so besitzt /(z)im Kreisring £<jzj<l höchstens p—1 Nullstellen und q ver¬

schiedene Einsstellen.

Vorerst werde gezeigt, daß auf der Kreisperipherie [ z | ——=-

ein Punkt z' existiert mit der Eigenschaft, daß im Kreise

(24) J / (z) |< (i(] - rpV bleibt, wo (i„ = Max {<*+1, xp} bedeutet.

1. >>5ä—y-^. Dann existiert auf jeder Kreisperipherie

i±i<w<.mindestens ein Punkt, in welchem die Schranke (23) gilt, was

12) E. Cesäro, Lehrbuch der algebraischen Analysis und der Infinitesi¬

malrechnung (13—14).

— 31 —

insbesondere für die p Kreisperipherien \z\ = —~ + v

2'

2(p + l)

(\<:V<^p) richtig bleibt. Konstruiert man um die betreffenden

p Punkte als Zentren Kreise mit den Radien -r-.^—, so gibt es'

4(p + l)'&

unter diesen p punktfremden Kreisen mindestens einen um einen

Punkt 2* als Zentrum gelegenen Kreis, in welchem /(z) keine

Nullstelle und höchstens q verschiedene Einsstellen besitzt. Aus

2'b folgt, fip =- Max {e«+\ x„} gesetzt,

(25) l/Wi^V für Sz-z*|^g|^.Zieht man durch z* einen Radius des Einheitskreises, der die Kreis¬

peripherie | z \ = —~ in einem Punkte z treffe, so gilt die Schranke

(25) insbesondere in p, im Inneren des Kreises \z — z*\ ^^~, %.°(P+ i)

gelegenen Punkten der Geraden z*z, derenÄquidistanz ~— /8(p+l)(p-l)

beträgt. Konstruiert man um z als Zentrum einen Kreis vom

Radius —=—^, so folgt aus 13', wegen

4^ +W+T) ^ I z* I ^] -

W+T) 'und daher we^en

l — q -^ 3^ l — e_

l — q . s

2/> = 4(/7 + l)' 2

' r" ^ "

8(yt7 +1 )(^- 1 )*(" ">'

fip-t = Max{^+1, Aa i*p} gesetzt,

(26) l/WK^GC+'f^^und wegen Aa ^ ^ ^gÄ3 + 22,

(27) \f(z)\<^-(loeA° + 22)=^ für |z_z'|^izii.

— 32 —

2. rp > -—-. In diesem Fall lassen sich dieselben Überlegun-1 I

gen anstellen wie im 1. Fall, falls man ——- durch rp ersetzt. An

3Stelle von (26) ergibt sich, wegen pS^i

VP_X = MaxL*+\—^£-^1 gesetzt,

(28)

4,.P-\-\-f)

0-/>)

l-o\P-l

l/(*)l<f

3 (I-/»'4(p + l)

,,-1

<f(o-V-

für

p-i

log

<

+ 22

Aus (27) und (28) folgt, wegen > 1, die Ungleichung (24).l rp

Um den einen der Schnittpunkte zt der Kreisperipherieni + e

und [ 2 — z'\1—0

1 —- als Zentrum konstruiere man einen

Kreis vom Radius —=^-. Da |/(z)| in p äquidistanten Punkten der

Geraden z'zx unter der Schranke (24) liegt, folgt aus 14,

7+S^2 •1»?_^)") gesetzt,

i/wk^</<;w')' für1

Konstruiert man in analoger Weise nach dem Verfahren der ana¬

lytischen Fortsetzung eine Kette von Kreisen mit den Radien

—^—,deren Zentren auf der Kreisperipherie \z\ = —^— im Ab-

stände —-— liegen, so ergibt sich unter wiederholter Anwendung

— 33 —

von 14 in einem Kreisring mit der Kreisperipherie \z\= —

als Mittellinie

(29) \f(z)\ < i"^ r^P

'worjei A(ç) eine nur von q ab¬

hängige Konstante bedeutet. Faßt man jeden Punkt der Kreisperi¬

pherie | z | = —^— als Zentrum eines Kreises vom Radius —=—-

auf, so folgt infolge der gleichmäßigen Beschränktheit von /(z)

in einem Kreisring mit der Kreisperipherie \z\ = —^—-als Mittel¬

linie aus 14,

ju,_! = Max |^+S i4, «(1 '"^ gesetzt,

2p-l _2_ ^l(g)'^18 1

Da nach dem Maximumprinzip aus (29)

^(g)M„ ;.(?Mu j_t

|/(z)l<A*0-'>)'' <^i0-'>)""* für \Zl<\-»^L±l

folgt, ergibt sich, da q eine feste Zahl ist,

(30) !/(*)i<|uJ1-''X* für \z\^\-9<\,

wo ^ = Max{^+1, -Ap} bedeutet.

Man gehe nunmehr zur Betrachtung der 2. Klasse über,deren Funktionen Nullstellen besitzen, welche alle im Kreisring

£<[zj<l gelegen sind. Man bezeichne mit N die Nullstelle

vom kleinsten absoluten Betrag, mit e ihren Abstand von der Ein¬

heitskreisperipherie, und nehme an, daß die Nullstelle N auf der

positiv reellen Achse gelegen sei. Der Methode von Saxer ent¬

sprechend13) betrachte man die beiden symmetrisch zur reellen

13) Loc.cit. 7), (212—216).

— 34 —

Achse gelegenen Kreise % und Äfmit den Radien 2 s, welche durch

die Nullstelle N gehen, den Einheitskreis berühren, und deren

Zentren M und M auf der Kreisperipherie |z| = l — 2e liegen;ferner bezeichne man mit f y die Argumente der Punkte M, M

und mit A, Ä die Punkte (1 — Je) • e±iv. Wendet man 2'a auf den

Kreis |z|<l— s an, so ergeben sich, fi0 = Max {e«+1, |/(0)j}gesetzt,

(31) \f(z)\<Cßf'#~ für \z\ 5^1~-#5^ 1-2 e, und insbesondere

20

(32) |/(z)| <j«o für |zj = 1-2«.

3Da |/(z)| wegen --<^< 1 — e, also e<2 (1 — 2e), in p äqui-

distanten, im Inneren des Kreises \z — M\<e gelegenen Punkten

der Geraden MO unter der Schranke (32) liegt, ergibt sich unter

Anwendung von 14 auf K,

f^-i = Max \ei+1, A% j<0£ J gesetzt,

2P+ i-.. ?° log ^2+ 20

|/(z)|<^_! '"~1, und wegen A2 • ,u0£ < n0e

An o

(33) \f(z)\<n0e für |z — M\<Ye.

Analog ergibt sich, da ]/(z)| in /? äquidistanten, im Inneren des

Kreises \z — A \ <^ l s gelegenen Punkten der Geraden AM unter

der Schranke (33) liegt, unter Anwendung von 14 auf den Kreis

\z — A\<%e, ixp_x = N[ax\e"+1,A2 • fA0e J gesetzt,

|/(z)| <^-ip 1

O/ für |z-^|^i£.

Konstruiert man analog dem bei der 1. Klasse angewandten Ver¬

fahren eine Kette von Kreisen mit den Radien |«, deren Zentren

auf der Kreisperipherie j z \ = 1 — \ s im Abstände | s liegen, so

ergibt sich, da man von A nach Ä mittelst einer beschränkten An¬

zahl von Kreisen gelangt14), unter wiederholter Anwendung von 14,

u) Loc.cit. 7), (213).

— 35 —

j / (z) j <C ,»0£ für den Kreisbogen zj = l-Je, -y<^ Arg z 5j + y>.

Da auf dem Komplementärbogen |/(z) j unter der Schranke (33)

liegt, besteht

Ar,

<(34) |/(^)| <iuoE auf der Kreisperipherie |z| = l-Je.

Faßt man jeden Punkt der Kreisperipherie |z|= 1 —|t als Zen¬

trum eines Kreises vom Radius \e auf, so hegt |/(z)| in p äqui-distanten Punkten einer Halbgeraden durch das Kreiszentrum (unddurch z=^0) unter der Schranke (34), sodaß sich aus 14 ergibt,

^„j = Max \ev+1, A2 n0s J gesetzt,

<35) \f(z)\<n2p-l 'r"'1'T"'Oo"'* fürl-ie^|2| = l-*<l.

Da nach dem Maximumprinzip aus (34)

An 1

<36) |/(z)j<^0" ^/iA""* für l-2e^|z| = l-# = l-Je

folgt, ergibt sich aus (31), (35) und (36)

<37) [/(z)|0^8'tf für [z|^l —#<1,

wo f.i0 = Max{^+1, |/(0)|} bedeutet.

Aus (30) und (37) folgt, wegen _L_> l, |/(0)|<x„

Satz 15.

2. Kapitel.

Anwendungen auf die Untersuchung der

Wertverteilung holomorpher Funktionen in

der Umgebung wesentlich singulärer Stellen*

§ 1. Umkehrungen und Korollare zu den Sätzen 9-11.

Aus 9 folgt für # = -| » ri ^ T >die

Umkehrung zu 9. Ist f(z) eine im Kreise \z — z'\<g regu¬

läre Funktion und gibt es für h^>0, d^>0 und ein ganzzahliges

q^-0 im Kreise \z — z' | < — 2 Punkte zt und z2 derart, daß die

Ungleichung

\f(zt)\^ d (**+i + - f .(2\f(z')\ + \f(zj\ + 3h)Y°8\ Ci * Z|

— z /

besteht, so nimmt j(z) im Kreise \z — z' j < q sämtliche Werte w

mit \w\^Lh entweder an wenigstens 2 verschiedenen Stellen oder

an wenigstens q -\- 1 verschiedenen Stellen an, letzteres mit even¬

tueller Ausnahme gewisser Werte, welche alle im Inneren einer

festen Kreisscheibe vom Radius d gelegen sind.

Für ein allgemeines #={=^- folgt aus 10, für rt^g— &,

r2<,Q — &, die

Umkehrung zu 10, Ist f(z) eine im Kreise \z — z' | < q regu¬

läre Funktion und gibt es für h^>0, d^>0 und ein ganzzahliges

q^rO im Kreise \z — z' \<,q — ê<_g3 Punkte zu z2 und zs derart,

daß die Ungleichung

(38) \f(zj ^d.(e"^ + J-^—.(2lf(zJ\ + 2>f(z,J\+3h)){20*-i)*

— 37 —

besteht, so nimmt f(z) im Kreise \z — z' \ < ^ sämtliche Werte w

mit \w\<:h entweder an wenigstens 2 verschiedenen Stellen oder

an wenigstens q -\- 1 verschiedenen Stellen an, letzteres mit even¬

tueller Ausnahme gewisser Werte, welche alle im Inneren einer

festen Kreisscheibe vom Radius d gelegen sind.

Korollar zu 10. Ist f(z) eine im Kreise \z — z' | <_q reguläreFunktion und bleibt Max |/(z) \ = M(q— d) > er, wo für 0 <C & <C Q

\z-z'\^Le-i) <q

y = 6 l202 —-I bedeutet, so besteht die eine der 3 Alternativen :

1. entweder gilt im Kreise \z — z']<<5 — #<ß durchwegs

\f(z)\~> My, mit eventueller Ausnahme gewisser Punkte, die

_

j_alle im Inneren einer Kreisscheibe vom Radius q- M y gele¬

gen sind;

2. oder f(z) nimmt im Kreise \z — z' j < g sämtliche Werte w

1

mit \w\<_Mv an wenigstens 2 verschiedenen Stellen an;

3. oder f(z) nimmt im Kreise \z — z'\<Cq sämtliche Werte w

1 1mit \w\<M~/ an wenigstens —• log M verschiedenen Stellen

y

an, dies mit eventueller Ausnahme gewisser Werte, welche alle

1

im Inneren einer festen Kreisscheibe vom Radius M y gele¬

gen sind.

Beweis. Ist die 1. Alternative nicht erfüllt, so gilt, da als¬

dann im Kreise [ z — 2' | = £ — # mindestens 2 in einem Ab-

_j_ 1

stände ~^2q-M y gelegene Punkte z1 und z2 mit | f(z1)\ <^My,-

1 - I 1 1\f(z2)\<:My existieren, h=--=My, q = —-logTW+1,

I 2g 1

]/(z3)| = M gesetzt, wegen e<Mr ,- — <,My

,die Unglei-

chung (38), woraus die eine der Alternativen 2 oder 3 folgt.

— 38 —

Indem man in der Herleitung von 11 bezüglich eines geeig¬neten Kreises die betreffenden Aussagen umkehrt, folgt die

Umkehrung ZU 11. Ist f(z) eine im Gebiete G reguläre Funk¬

tion und gibt es für h^>0, d^>0 und ein ganzzahliges q^O in

H 3 Punkte zL, z2 und z3 mit \zt — z21 s£ <5 derart, daß die Unglei¬

chungl 2D \9n8("» + 3>

(39) \f(zs)\>d.(e^ + 7n--—^r(2\f(z1)\ + \f(zi) + 3h))20\ a-\zx—z2\ I

besteht, so existiert mindestens eine in G gelegene Kreisscheibe

vom Radius ô, in welcher f(z) sämtliche Werte w mit \w\<^h ent¬

weder an wenigstens 2 verschiedenen Stellen oder an wenigstens

q + / verschiedenen Stellen annimmt, letzteres mit eventueller

Ausnahme gewisser Werte, welche alle im Inneren einer festenKreisscheibe vom Radius d gelegen sind.

Korollar zu 11. Ist f(z) eine im Gebiete G reguläre Funktion

und bleibt Max j f(z)\ = M > e7, wo y =6 20B(no+3) bedeutet, so be-

z in H

steht die eine der 3 Alternativen:

}_1. entweder gilt in H durchwegs j f(z) | > My

,mit eventueller

Ausnahme gewisser Punkte zß, zv, welche alle der einen der beiden

_]_Ungleichungen \z/l — zv | < D M v

, \z — zv | > ô, zu genügen

haben;

2. oder es existiert mindestens eine in G gelegene Kreis¬

scheibe vom Radius ô, in welcher f(z) sämtliche Werte w mit

\w\<,My an wenigstens 2 verschiedenen Stellen annimmt;

3. oder es existiert mindestens eine in G gelegene Kreis¬

scheibe vom Radius ö, in welcher f(z) sämtliche Werte w mit

1 1| w ] <; M y an wenigstens — • log M verschiedenen Stellen an-

7

nimmt, dies mit eventueller Ausnahme gewisser Werte, welche

alle im Inneren einer festen Kreisscheibe vom Radius M y gelegensind.

— 39 —

Beweis. Ist die 1. Alternative nicht erfüllt, so gilt analog der

Herleitung des Korollars zu 10, da alsdann in H mindestens 2

_

i i

Punkte Zi und z2 mit D M 7 <| zL — z2| <<5 und l/(2i)( ^MJ,- i i

• r i l\f(z2)\<My existieren, h=

, =My, q = \— log M + 1,

|/(z3)] = yW gesetzt, die Ungleichung (39), woraus die eine der

Alternativen 2 oder 3 folgt.

Wendet man die Umkehrung zu 11 auf einen Kreisring

G:r(\—Ä)<\z\S.r(\+A),r->Q,Q<A<\, und seine Mittel-

4 ji

Unie H : \ z \ = r an, so gilt, da na -\- 1 ^ —— gesetzt werden kann16),

die

Umkehrung für den Kreisring, Ist f(z) eine im Kreisring

r(l—A)?iL\z\<Lr(l-\rA), r>0, 0<A<1, reguläre Funktion,ist Max j f(z) |

--=- M(r), und gibt es für h>0, rf > 0 und ein ganz-

\z\ = r

zahliges q^O auf der Mittellinie \z\ = r 2 Punkte z± und z2 mit

\z1 — z2\<r A derart, daß die Ungleichung

I 4r \208VT + 2)(40) M(r)^d.(e^ + IJ7-z-v(2<f(zJ\ + \f(z2)\+3h)]J

besteht, so existiert mindestens eine um einen Punkt der Mittel¬

linie \z\ = r als Zentrum gelegene Kreisscheibe vom Radius r A,in welcher f(z) sämtliche Werte w mit \w\<h entweder an we¬

nigstens 2 verschiedenen Stellen oder an wenigstens q -\-1 ver¬

schiedenen Stellen annimmt, letzteres mit eventueller Ausnahme

gewisser Werte, welche alle im Inneren einer festen Kreisscheibe

vom Radius d gelegen sind.

350Setzt man A = —=—,——-., 0 < /. < 1,

/. • loglogVW(/-)'

1oglogvW(r)>Max{|4p-^n> Ä= ^ = ßi-(logM(r))1-K)

w) Loc. cit. 2), (28).

40 —

q = [|(logAf(/-))1_K], |/(z,)| ^«HlogAfto)1-*

|/(z,)| ^ei'Oog^W)1"*, , r_T^^-Oog,ww)1-<>I 2"l " ^9

so gilt wegen 27 < *T < gHlog Af M)1"*, J<1

8(4.T + 2)-log 20< 350, die Ungleichung (40). Somit folgt für

1 der2

Satz 16. /s^ j(z) eine im Kreisring

.,700 \

^ ( 700 \^nrll — -—-——r-r S= \z\ < r / + ,—7—777-J, r^>0, reguläre

\ loglogM(r)!—'— V log log MfrJJ

Funktion, bleibt Max \f(z)\ =. M(r)^> ee, und gibt es auf der Mittel-

\z\ = r

link \z\ = r zwei im Abstände s gelegene Punkte mit

(4i) r.e-k-v^m<s^_I9^j__v

—

—log log M fr)

in welchen \f(z){ <Le^'^ °s ' bleibt, so existiert mindestens eine

um einen Punkt der Mittellinie \z\ = r als Zentrum gelegene Kreis¬

scheibe vom Radius -—; r/-p—r. in welcher f(z) sämtliche Werte w

log log M fr)

mit | w\ <^ei'V]°zMM entweder an wenigstens zwei verschiedenen Stellen

oder an wenigstens f • \log M (r) verschiedenen Stellen annimmt, letzteres

mit eventueller Ausnahme gewisser Werte, welche alle im Inneren einer

festen Kreisscheibe vom Radius e"%' °sgelegen sind.

Anmerkung 5. Daß in (41) der Abstand s eine obere

Schranke besitzen muß, zeigt das Beispiel der Funktion

00

n(<+f) (-£)v— 1

Die im vorliegenden Paragraphen formulierten Umkehrungenund Korollare liefern schärfere Aussagen als diejenigen von

Ostrowski1G), indem sie beispielsweise zu schließen gestatten, daß

16) Man vergleiche: loc. cit. 2), (18—40).

— 41 —

f(z) in einer gewissen Kreisscheibe sämtliche Werte aus dem

Inneren eines Kreises von hinreichend großem Radius nicht nur

einmal, sondern an wenigstens 2 verschiedenen Stellen annimmt.

Die Bedeutung dieser Verschärfungen liegt einerseits darin, daß

man Funktionsklassen konstruieren kann, auf welche diese Ver¬

schärfungen anwendbar sind und für welche sie zu exakteren Aus¬

sagen über die Wertverteilung führen, als man sie bisher kannte

(§ 2); anderseits darin, daß man die Resultate von Milloux1''),

Valironu) und Ostrowski) bezüglich der „cercles de remplis¬

sage" holomorpher Funktionen präzisieren und in diesem Zu¬

sammenhang neue Aussagen machen kann (§ 3 und § 4).

§ 2. Untersuchung der Wertverteilung einer Klasse

von ganzen Funktionen von der Ordnung e 2> 0.

Satz 17. Es sei f(z) eine ganze Funktion von der Ordnung

q> 0 mit unendlich vielen Nullstellen, wobei je 2 Nullstellen av,

av' stets denselben absoluten Betrag \av\—\av'\ = rv und für alle

hinreichend großen v einen Abstand besitzen, welcher der Un¬

gleichung

/„m700 rv ,

700 rv

(o + e)-logrv

i__

genügt, wo ^^[^ll^^!]^-»)-^ ist, u =Ç und e

eine beliebig kleine positive Zahl bedeuten; alsdann existiert für

alle hinreichend großen v mindestens eine um einen Punkt der

17) H. Milloux, Le théorème de M. Picard, suites de fonctions holo¬

morphes, fonctions méromorphes et fonctions entières (Journal de Math.,

9e série, t. 3, 1924, 345—401); Sur le théorème de Picard (Bull. Soc. math.,

t. 53, 1925, 181—207); Les cercles de remplissage des fonctions méro¬

morphes ou entières et le théorème de Picard-Borel (Acta math., Bd. 52,

1928, 189-255).

18) G. Valiron, Compléments au théorème de Picard-Julia (Bull. Se.

math., t. 51, 1927, 167—183 [167-175]).19) Loc. cit. 2), (41-69).

— 42 —

Kreisperipherie \z\ = rv als Zentrum gelegene Kreisscheibe vom

Radius -,—,—-^—-, in welcher }(z) sämtliche Werte w mitlog log M (rv)

" '

| w j <; e*" °g '"

entweder an wenigstens 2 verschiedenen Stel¬

len oder an wenigstens f • y logM (r„) verschiedenen Stellen an¬

nimmt, letzteres mit eventueller Ausnahme gewisser Werte, welche

alle im Inneren einer festen Kreisscheibe vom Radius e4

'

* °e r"

gelegen sind.

Beweis. Es ist nur zu zeigen, daß für alle hinreichend großenv (42) der Ungleichung (41) genügt. Da /(?) eine ganze Funk¬

tion von der Ordnung q ist, gibt es zu jedem beliebig vorgegebe¬nen positivem e ein R = R(e) derart, daß für alle /•> R(e)

M(r) < er bleibt. Daraus folgt nach Bestimmung des kleinsten

Index v0 mit rVo>R(e), für alle v^v0,

700 • rv 700 • rv

(? + «)• log rv log log M (/„)'

da ferner nach der Jensenschen Ungleichung für r= ^rv_x • rv

M(rv)>-ir{rv;1"'vY~1 -1/(0)1V'l

• r1 • • • • 'v-\)

gilt, folgt, sobald \ogM(rv) > e700, die Ungleichung

70° • rv 700 rv -I-^i^mI^)

-.-'°4,-(f--^""„-iao)il "'og-MW&L(/V2— rv_xy

"v "J

350e

n = ^-

Betrachtet man insbesondere eine dem Satze 17 genügende

ganze Funktion von der Ordnung Null, so kann die diesbezüg¬liche Aussage über ihre Wertverteilung präzisiert werden. Denn

eine ganze Funktion f(z) von der Ordnung Null wird auf gewissen

Kreisperipherien, welche zwischen den Kreisperipherien verlau¬

fen, auf denen /(z) Nullstellen besitzt, größer als jede beliebig

große vorgegebene positive Zahl k. Im Inneren eines durch 2 sol¬

cher Kreisperipherien gebildeten Kreisrings, der die Kreisperi-

— 43

pherie [ z | — rv in seinem Inneren enthält, nimmt nach dem Satz

von Rouché f(z) alle Werte w mit | w\<,k genau 2 mal an. Sind

die Differenzen rv—/„-î für alle hinreichend großen v genügend

groß, so nimmt unter Heranziehung des Satzes 17 /(z) in einer

um einen Punkt der Kreisperipherie \z\ = rv als Zentrum gele¬

genen Kreisscheibe vom Radius = ;~

-.- alle Werte w mitlog log M (/-„)

|w>|<;£ genau 2 mal an (denn die andere Alternative über die

Wertverteilung ist nach dem Satz von Rouché ausgeschlossen).Satz 17 enthält also eine gewisse Verschärfung des klassischen

Satzes von Rouché, indem jener Satz nur aussagt, daß f(z) im

Inneren eines gewissen Kreisrings alle Werte w mit ] w | < k genau

2 mal annimmt, während Satz 17 dies dahin zu präzisieren ge¬

stattet, daß alle Funktionswerte w mit | w | <; k bereits im Inne¬

ren einer ganz innerhalb des vorerwähnten Kreisrings gelegenen

Kreisscheibe vom Radius = -.,-^—T genau 2 mal angenommen

log log M (/-„)6

werden.

Anschließend möge als Beispiel einer dem Satze 17 genü¬

genden Funktion

f(z) = C n2z

y^-V(^logy)2-l 2

v • log y

y'LkV

350angeführt werden, wo C|^>1, j'>l, k = und e eine be¬

liebig kleine positive Zahl bedeuten.

§ 3. Untersuchung der Wertverteilung nach einer

Methode von Valiron.20)

Es sei f(z) eine für j z j > R reguläre Funktion mit einer iso¬

lierten wesentlichen Singularität im Unendlichen.

Man betrachte einen Kreisring r(\—A) <^ \ z | <^r(l -\-A).,0 < A < 1, wobei r so groß gewählt werde, r > r0, daß r(\ —A)}>R

2°) Loc.cit. 18).

— 44 —

und daß überdies das Maximum M(r) von |/(z)[ auf der Kreis¬

peripherie | z | = r genügend groß sei; ferner bedeute z0 ein Punkt

der Kreisperipherie \z\ = r, in welchem j f(z0)\ = M(r) ist. An¬

genommen, f(z) besäße im Kreise \z— z0\<A-r keine Null¬

stelle und höchstens q verschiedene Einsstellen, so ergäbe sich

nach 3'b

'- A-r\f(z)\^M(r)22 für \z —z0\<^~.

Bedeutet zx den einen der beiden Schnittpunkte der Kreisperi-A r

pherien | z \ = r und \z — z0\= ^>und besäße f(z) im Kreise

\z — zt j < A r wiederum keine Nullstelle und höchstens q ver¬

schiedene Einsstellen, so ergäbe sich nach 3'b

1_ A-r

\f{z)\>:M(r)22' für |z —zil^-jr.

Würde man in analoger Weise solange fortfahren, als /(z) in den

konstruierten Kreisen keine Nullstelle und höchstens q verschie-

sene Einsstellen besäße, so ergäbe sich für den m-ten Kreis

\f(z)\~i^M{r)w", wobei m = 1 + -^

gesetzt werden kann. Also: entweder gilt in einem Kreisring

r{\~A')^'z\^r(\ + A'), 0</f<zf,

\f(z)\ ^>M(r)nm;

oder es existiert auf der Kreisperipherie [ z | = r ein Punkt z' mit

der Eigenschaft, daß /(z) im Kreise \z — z'\<.A-r eine andere

Verteilung von Null- und Einsstellen besitzt als die obgenannte,wobei

l

\f{z')\^M(r)^ bleibt.

Die erstere der beiden Alternativen kann nicht für alle r > r0 ein¬

treten, da sonst -rj-. für unbeschränkt zunehmende z beschränkt

bliebe, sodaß der unendlich ferne Punkt für /(z) nicht wesentlich

— 45 —

singular wäre. Es existiert somit eine Folge von ins Unendliche

strebenden Zahlen r, für welche die 2. Alternative Geltung be¬

sitzt. Man lege im Folgenden einen solchen Kreisring zugrundeund wende 3'a auf den größten Kreis \z — z' j <t an, in welchem

/(z) keine Nullstelle und höchstens q verschiedene Einsstellen

besitzt, wobei also f{z) in einem Punkte z" der Kreisperipherie

\z — z'\ = % den einen der Werte 0 oder 1 annimmt. Es ergibt sich

|/(2)| >M(r)22' 2Ö7 für z — z'\<^x<t,

I T — X 1 T— X

falls vW(r)22m'2Ör :>g?+i, also a fortiori, falls JM»^' 2Ö7;> ^wo K^ 9 + 1 eine beliebige Konstante bedeutet. Legt man x

durch die Bedingung % — x— 20 22m • /<" •

. ^rr\ ^est> so g'1*

in einem auf der Geraden z'z" gelegenen Punkt z":

(43) \f{z'")| ~> eK, wobei 'z" — z"| wegen % << A r kleiner

^-= 20 • 21m K- ,

^'/,

xund /(z")

= 0 oder 1 sind.2 \ogM(r)

/v '

Nun werde angenommen, f{z) besitze im Kreise \z — z"\<.qhöchstens eine a-Stelle und höchstens q verschiedene 6-Stellen,

| a I < A, I b [ <T A, | a—A j > -j-,A > 2, und es nehme /(a) im Kreise

\z — z" \ < -jr einen beliebigen Wert w0 mit | iv01 ^ A 2 mal an.

1. Betrachtet man den Kreisring ~- < | z — z" I <:-^,

A > 2, so

gebe es mindestens einen in seinem Inneren gelegenen Punkt z*,in welchem |/(z*)|< 2 A bleibt (wobei z* insbesondere der eine

jener Punkte sein kann, in welchen /(z) den Wert w0 annimmt).Aus 9 und (43) folgt für z'", wegen

\f(z")\^h l/(z*)!^2A, für ç = [3-ïogh],

eK< 7(z'")| < (QA3)8^, ß = 2,325 • 207.

46 —

Somit nimmt /(z) im Kreise \z— z"\<9 sämtliche Werte w mit

i w | <,h(K) = l-Q-1 entweder an wenigstens 2 verschiedenen Stel¬

len oder an wenigstens 3-logh(K) verschiedenen Stellen an, letz¬

teres mit eventueller Ausnahme gewisser Werte, welche alle im

Inneren einer festen Kreisscheibe vom Radius gelegen sind.h{K)

Dabei bedeutet K eine Konstante mit K^q +1= [3 • logh] -\-\,

h(K)>2; diese Bedingungen sind erfüllt, sobald /C^5-20s

bleibt.

2. Es seien jetzt alle Punkte mit |/(z) |<2/z im Inneren des

Kreises \z — 2"l<^ gelegen, sodaß auf der Kreisperipherie

\z — z"\ = j- \f(z)\z>2h bleibt. Da längs der Kreisperipherie

\z~z"\~~jr dauernd \f(z) — w0\ => |/(z)| — | v0\ > h^> \ w0\ gilt,

besitzen /(z) und /(z) — w0 nach dem Satz von Rouché dieselbe

Anzahl von Nullstellen im Inneren des Kreises\z — z"|<-~; da

diese Anzahl für f(z) — w0 2 beträgt, besitzt auch /(z) 2 Null¬

stellen im Inneren des Kreises \z — z" | < --, woraus unter noch¬

maliger Anwendung des Satzes von Rouché folgt, daß /(z) im

Inneren des Kreises \z — z" j < j_sämtliche Werte w mit | w \ <, 2 h

2 mal annimmt. Daraus folgt

Satz 18. Es sei f(z) eine für \z\^R reguläre Funktion mit

einer isolierten wesentlichen Singularität im Unendlichen. Dann

existieren eine Folge von ins Unendliche strebenden Radien rv

und eine Folge von Punkten zv mit rv(l — àv) < | zv \ <rv (1+£,.),wobei die Zahlen Av eine beliebig wählbare Folge sein können,welche nur der Ungleichung 0<.Av<ll zu genügen hat, mit der

folgenden Eigenschaft: nimmt f(z) im Kreise

|z-z,|<-^= 20-22-./C- ,—*VK> m^fl + ^l,

1 ' ~- 2 log M{rvy L AVY

_ 47 —

K^5- 20s und konstant, einen beliebigen Wert w°v mit

Kl < h{K) = \^j] , ß = 2,325 • 2(F,

2 mal an, so nimmt f(z) im Kreise \z — zv j < qv sämtliche Werte

w mit | w | jg h(K) entweder wenigstens 2 mal oder an wenigstens3 log h(K) verschiedenen Stellen an, letzteres mit eventueller

Ausnahme gewisser Werte, welche alle im Inneren einer festen

Kreisscheibe vom Radius-rjr^, gelegen sind.h(K)

Anmerkung 6. Satz 18 vermittelt eine Beziehung zwischen

der Wertverteilung von f{z) und ihrem Wachstum im Kreise

\z — z„ [ <£»„. Ist beispielsweise /(z„) = 1 und besitzt f(z) in einem

anderen Punkte des Kreises \z — zv j <; ^ eine 1-Stelle, so nimmt

f(z) im Kreise \z — zv\<qv gewisse oberhalb jeder beliebig vor¬

gegebenen Schranke liegende Werte wenigstens 2 mal an.

Aus Satz 18 folgt eine hinreichende Bedingung dafür, daß

}(z) im Kreise \z — z,|$^ jeden Wert w mit [ w \ ^h(K) genau

einmal annimmt.

Satz 19. Nimmt f(z) im Kreise \z — zv\ 5SJ-y einen Wert w\

m^ \wl\^sn(K) genau einmal, im Kreisring ~ <^ \z — zv\ <C Qv da¬

gegen nicht an ; nimmt ferner f (z) im Kreise \z — zv\ <igv einen Wert

2wl mit \ wl | ^s h(K), j w\ — wl | >nYJ^y <*n weniger als 3-logh(K)

verschiedenen Stellen an, so nimmt f (z) im Kreise \z— zv\ <^ -y- jeden

Wert w mit \w\<^h(K) genau einmal an.

Beweis. Denn nähme f(z) im Kreise \z — zv j <; — einen Wert

w°v mit | w°v j < h(K) mindestens 2 mal an, so nähme entweder /(z)im Kreise \z — z„\<Cqv sämtliche Werte w mit \w\^h(K)

— 48

wenigstens 2 mal an, was nicht zutrifft, da der Wert w] im Kreise

\z — zv\<iQv genau einmal angenommen wird; oder aber /(z)nähme im Kreise \z — zv \ < gv sämtliche Werte w mit | w \ t^h(K)

an wenigstens 3 • log h(K) verschiedenen Stellen an, dies mit even¬

tueller Ausnahme gewisser Werte, welche alle im Inneren einer

festen Kreisscheibe vom Radius 77^ gelegen sind, was auch

h{K)

nicht möglich ist, da die Werte w\ und w\, welche wegen

2\wl — wl \ > T7t?r

mcnt im Inneren einer festen Kreisscheibe

vom Radius TrrU\ üegen können, im Kreise \z — zv | < gv an we-

n{K)

niger als 3-logh(K) verschiedenen Stellen angenommen werden.

Umgekehrt folgt aus Satz 18 der

Satz 20. Nimmt f(z) im Kreise \z — zv \ < qv einen Wert w\

mit | w\ ] <; h(K) höchstens einmal und im Kreise \z — zv \ <, ~

einen Wert w2v mit \w2v\<h(K) wenigstens zweimal an,

2\wl — wl I > t~7F"i '

so nimmt f(z) im Kreise \z — zv j < qv sdmt-11 (K)

liehe Werte w mit \ w\ g h(K) an wenigstens 3 log h(K) ver¬

schiedenen Stellen an, dies mit eventueller Ausnahme gewisser

Werte, welche alle im Inneren einer festen Kreisscheibe vom

Radius -r-p-rr. gelegen sind.

In etwas anderer Formulierung ergibt sich die folgende ,y\/ert-

verteilungskette" für f(z) im Kreise \z — z„|<£>„, wenn f(z) im

Kreise \z — zvj<g„ sämtliche Werte w mit \w\<h(K) an we¬

niger als 3-logA(A0 verschiedenen Stellen annimmt:

/. nimmt f(z) im Kreise \z — z„\<Cqv jeden Wert w mit

j w | < h(K) höchstens einmal an (keinen Wert w mit | w \ <; h(K)2 mal an), so nimmt f(z) im Kreise \z — zv \ < qv sämtliche Werte

w mit | w | <; h(K) genau einmal an;

— 49 —

2a. nimmt dagegen f(z) im Kreise \z — zv I 25 y einen be¬

liebigen Wert w°v mit | w% | <; h(K) 2 mal an, so nimmt f(z) im

Kreise \z — zv | < qv sämtliche Werte w mit j w j <; h(K) wenig¬stens 2 mal an;

2b. nimmt nunmehr f(z) im Kreise \z — zv | < ov jeden Wert

w mit | w 152 h(K) höchstens 2 mal an (keinen Wert w mit

\w\< h(K) 3 mal an), so nimmt f(z) im Kreise \z — zv | < qv sämt¬

liche Werte w mit \ w j <j h(K) genau 2 mal an;

3. nimmt hingegen f(z) im Kreise \z — zJ < o„ einen be¬

liebigen Wert w°v mit \ w°v J ^h(K) 3 mal an, so könnte analogwie bisher fortgefahren werden.

§ 4. Untersuchung der Wertverteilung in den zu ver¬

schiedenen Juliafolgen 3. Art gehörenden Kreisfolgen.

Im vorliegenden Paragraphen wird im Anschluß an Os¬

trowski21) die Untersuchung der Wertverteilung einer Funktion

f(z) in den zu verschiedenen Juliafolgen 3. Art gehörenden Kreis¬

folgen resp. die Untersuchung der Wertverteilung einer Funk¬

tionsfolge f(o„z) in der Umgebung eines Juliapunktes 3. Art von

/(z) für eine Folge (av) weitergeführt.

Es sei f(z) eine für \ z j [> R reguläre Funktion mit einer iso¬

lierten wesentlichen Singularität im Unendlichen; es sei ferner

av(v = 1,2,3,...) eine Folge von ins Unendliche wachsenden kom¬

plexen Zahlen und es existiere mindestens ein Juliapunkt £ 3. Art

von f(z) für (ar). Darunter versteht man einen Punkt (f #= 0, t»)mit der Eigenschaft, daß für beliebig kleine e>0, rf>0 und

für ein beliebig großes positives h jede der Funktionen f(ovz)für vl>v0(e,h,d) im Kreise \z —1|<« sämtliche Werte w mit

\w\<^h annimmt, höchstens mit Ausnahme gewisser Werte, welche

alle im Inneren einer (eventuell mit v variablen) Kreisscheibe vom

Radius d gelegen sind. Unter einem Juliapunkt £ 4. Art von f(z)

21) Loc.cit. 2), (41-62).

— 50 —

für (ov) versteht man einen Juliapunkt 3. Art von f(z) für av)mit der Eigenschaft, daß für ein beliebig kleines s > 0 und für

ein beliebig großes ganzes k ;> 1 jede der Funktionen f(avz)— bis auf endlich viele — für v>v0(s,k) im Kreise \z — ||<esämtliche Werte w mit \w\<?k wenigstens k mal annimmt, höch¬

stens mit Ausnahme gewisser Werte, welche alle im Inneren einer

(eventuell mit v variablen) Kreisscheibe vom Radius — gelegen

sind. Hat nun ein Juliapunkt | 3. Art von f(z) für (av) die Eigen¬

schaft, daß für ein beliebig kleines «>0 und für ein c>0 jededer Funktionen f(avz) — bis auf endlich viele — im Kreise

| z — | j < e einen Wert wv mit | wv | <; c höchstens einmal an¬

nimmt, so nenne man f einen Juliapunkt 6. Art von f(z) für (av).Die Gesamtheit der zu (av) gehörenden Juliapunkte a-ter Art

(a = 3, 4 oder 6) für f(z) nennt man die zu (ov) gehörende Julia¬

menge a-ter Art Ja(av). Eine Folge (av), deren zugehörige Julia¬

menge a-ter Art nicht leer ist, nennt man eine Juliafolge a-ter

Art für f(z).

Die herzuleitenden Sätze über Juliafolgen ergeben sich aus

entsprechenden allgemeineren Sätzen über Ausnahmefolgen regu¬

lärer Funktionen. Unter einer Ausnahmefolge fv(z) in £ versteht

man eine Teilfolge einer im Punkte £ nicht normalen Funktions¬

folge, welche in keiner Umgebung von £ eine konvergente Teil¬

folge besitzt. Unter einer M-Ausnahmefolge fv(z) in £ versteht

man eine Ausnahmefolge in £, für die zu jedem beliebig kleinen

s > 0 und jedem beliebig großen ganzen k > 0 jede der Funk¬

tionen fv(z) — bis auf endlich viele — im Kreise ] z — £ | < e alle

Werte w mit \w\<-k wenigstens k mal annimmt, höchstens mit

Ausnahme gewisser Werte aus einer Kreisscheibe vom Radius

-j-.Unter einer PrAusnahmefolge fv(z) in £ verstehe man eine

Ausnahmefolge in £, für die es ein c > 0 gibt, derart, daß für ein

«> 0 jede der Funktionen fv(z) im Kreise | z — £ | <e einen Wert

wv mit | wv J <: c höchstens einmal annimmt.

Satz 21. Enthält eine Ausnahmefolge fv(z) in £ keine Px-Aus¬

nahmefolgen in £, so nimmt für ein beliebig kleines e > 0 und

— 51 —

ein beliebig großes k > 0 jede Funktion fv(z) für v > v'(e, k) im

Kreise \z — f | < e sämtliche Werte w mit w j <; k wenigstens2 mal an.

Beweis. Es sei ein beliebig kleines s > 0 vorgegeben und

es bedeute Ev(e) das Minimum der absoluten Beträge derjenigen

Funktionswerte, welche fv(z) im Kreise ] z — C | <« höchstens ein¬

mal annimmt, und wv einer jener zugehörigen Funktionswerte,der also im Kreise \z — f|<e von /„(z) höchstens einmal ange¬

nommen wird. Würden die Zahlen Ev(e) einen endlichen Häu¬

fungspunkt c besitzen, so gäbe es eine Teilfolge frk{z) der fv{z)

derart, daß jede der Funktionen fv (z) im Kreise \z — C | <« einen

Wert wv mit \wvA<LC höchstens einmal annähme, sodaß fvk(z)im Gegensatz zur Annahme eine /VAusnahmefolge wäre. Folg¬lich gilt £„(e)->oo, was besagt, daß für ein beliebig kleines e>0

jede Funktion /„(z) im Kreise \z—-£[<e sämtliche Werte w mit

EJe)| w\ <; —^ wenigstens 2 mal annimmt. Da die Radien £,,(«) mit

v ins Unendliche wachsen, ist die Behauptung bewiesen.

Satz 22. Ist iv(z) eine Ausnahmefolge In Ç, und nimmt fürein beliebig kleines e>0 und ein beliebig großes ganzes k^>2

jede Funktion fv(z) für v > v'(e, k) im Kreise \ z - - - f | < — einen

beliebigen Wert w°v mit] wl\<k 2 mal an, so enthält entweder

fv(z) eine M-Ausnahmefolge In Ç oder aber es nimmt jede Funk¬

tion fv(z) für v > v*(e, k) ;> v'(e, k) im Kreise \z — f | < s sämt¬

liche Werte w mit \w\<.k wenigstens 2 mal an.

Beweis. Bedeuten e eine beliebig kleine positive Zahl und k

eine beliebig große ganze Zahl > 2, so nimmt jede Funktion /„(z)

für v^>v0(e,k) hn Kreise \z — £|:£-q- in einem Punkte z\ einen

Wert w\ mit | w\ \ <. 1 und in einem Punkte z\ einen Wert w\mit | w;j>(e>*+1 + 12£3)2<>8 an22).

22) Loc.cit. 2), (59, Fußnote).

— 52 —

1. Betrachtet man den Kreisring ~-<^\z — z\\ <^e0, «0 = — s,k y

k > 2, so gebe es mindestens einen in seinem Inneren gelegenenPunkt z„*, in welchem \fv(zv*)\ ^ 2k bleibt (wobei z„* insbeson¬

dere der eine jener Punkte sein kann, in welchen fv(z) den Wert

w°v annimmt). Wendet man die Umkehrung zu 9 auf den Kreis

1 z — z\ | = 2 e0 an, so folgt für d — — <C y, q = A = £, wegen

/" 2 F \208rf • r+1+d-rrp-Ljn •(21 >* w) i + ! 'v (O i +3 h)) <

\ V V

<(«*+1+12*s)*°'<|/v(^)|.

Somit nimmt jede Funktion /„(z) für v>v*(s, k) im Kreise

\z — f [ < e sämtliche Werte w mit | w [ < £ entweder an wenig¬stens 2 verschiedenen Stellen oder an wenigstens k -\-1 verschie¬

denen Stellen an, letzteres mit eventueller Ausnahme gewisser

Werte, welche alle im Inneren einer festen Kreisscheibe vom Ra¬

dius -r- gelegen sind.

2. Es seien jetzt alle Punkte mit |/(z)|<;2£ im Inneren des

Kreises F:\z~- z^i<y gelegen, sodaß auf der Kreisperipherie

von r |/i,(z)|>2& bleibt. Da längs der Kreisperipherie von

r dauernd | fv{z) — w°v | ^> [ fv(z) \ — \ w°v | > k ;> \w°v | gilt, be¬

sitzen fv(z) — wl und fv{z) nach dem Satz von Rouchê dieselbe

Anzahl von Nullstellen im Inneren von T; da diese Anzahl für

fv{z)—w°v 2 beträgt, besitzt auch fv{z) {2 Nullstellen im Inneren

von r, woraus unter nochmaliger Anwendung des Satzes von

Rouché folgt, daß fv(z) für v>v'(e, k) im Inneren von jT sämt¬

liche Werte w mit \w\<2k 2 mal annimmt. Aus 1. und 2. folgtdie Behauptung.

Enthält also eine Ausnahmefolge fv(z) in £ keine M-Kus-

nahmefolgen in £, und nimmt für ein beliebig kleines e > 0 und

ein beliebig großes ganzes k~>2 jede Funktion /„(z) für

— 53 —

v}>v'(e,k) im Kreise \z — ti^-„ einen beliebigen Wert w°v mit

| w°\ <:k 2 mal an, so nimmt jede Funktion /F(z) für v^v*(s,k)im Kreise \z — £ | < e sämtliche Werte w mit j w | <; k wenigstens2 mal an.

Aus Satz 22 folgt eine notwendige und hinreichende Bedin¬

gung dafür, daß die Funktionen einer Ausnahmefolge fv(z) in f

von einem gewissen Index an in der Umgebung von f jeden Wert

w mit | w j <: k genau einmal annehmen.

Satz 23. Enthält eine Ausnahmefolge fv(z) in f eine P^-Aus-

nahmefolge in f und keine M-Ausnahmefolge in t,, so nimmt fürein beliebig kleines e > 0 und ein beliebig großes ganzes k > 2

jede Funktion fv(z) für v^v' (e, k) im Kreise \z — Ç | < e jedenWert w mit \w\<Lk genau einmal an.

Beweis. Denn nähme für ein beliebig kleines s > 0 und ein

beliebig großes ganzes &>2 jede Funktion /„(z) für v^>v'(e,k)im Kreise [z — £|<e einen Wert w% mit \wüv\<k mindestens

2 mal an, so enthielte nach Satz 22 entweder fv(z) eine Af-Aus-

nahmefolge in £, was ja nicht zutrifft; oder aber es nähme jedeFunktion fv(z) für v^v*(e,k) > v'(e,k) im Kreise jz —Cj<3esämtliche Werte w mit | w j < k wenigstens 2 mal an, was auch

nicht möglich ist, da bei beliebig kleinem vorgegebenem e > 0 ein

c > 0 existiert, derart, daß jede der Funktionen fv(z) im Kreise

| z — f | < 3 f einen Wert n/p mit \wv\<,c<ik höchstens einmal

annimmt.

Umgekehrt folgt aus Satz 23 der

Satz 24. Enthält eine Ausnahmefolge fv(z) in £ eine P^Aus-

nahmefolge in Ç, und nimmt für ein beliebig kleines e > 0

und ein beliebig großes ganzes k > 2 jede Funktion fv(z) fürv ;> v'(e, k) im Kreise \ z — C | < « einen beliebigen Wert w°v mit

| w°v | <; k wenigstens 2 mal an, so enthält fv(z) eine M-Ausnahme¬

folge in £.

In etwas anderer Formulierung ergibt sich folgende „Wert-

verteilungskette" für die Funktionen einer Ausnahmefolge fv{z)in £ in der Umgebung von Ç:

— 54 —

es sei fv(z) eine Ausnahmefolge in £, welche keine M-Aus-

nahmefolgen in £ enthält, und es seien « eine beliebig kleine po¬

sitive und &>2 eine beliebig große ganze Zahl;

/. Nimmt jede Funktion fv(z) für v^v'(e,k) im Kreise

\z — £ | < s jeden Wert w mit j w \ <, k höchstens einmal an

(keinen Wert w mit \w\<Lk 2 mal an), so nimmt jede Funktion

fv(z) für v ;> v'(e, k) im Kreise \z — £ j < e sämtliche Werte w mit

\w\<.k genau einmal an;

2a. nimmt dagegen jede Funktion fv(z) für v ^ v'(e, k) im

Kreise \z — £ \ < -=- einen beliebigen Wert u>" mit \w0v\<^k 2

mal an, so nimmt jede Funktion fv(z) für v^v*(e,k) im Kreise

\z — £ | < e sämtliche Werte w mit \w\<,k wenigstens 2 mal an;

2b. nimmt nunmehr jede Funktion fv(z) für v |> v*(e, k) im

Kreise \z — £ | < f jeden Wert w mit \w\<k höchstens 2 mal an

(keinen Wert w mit \w\<k 3 mal an), so nimmt jede Funktion

fv(z) für v > v*(e, k) im Kreise \z — £ | < e sämtliche Werte w mit

I w \ S k genau 2 mal an;

3. nimmt hingegen jede Funktion fv(z) für v^>v*(e,k) im

Kreise \z — £ | < e einen beliebigen Wert w°v mit \w°\<?k 3 mal

an, so könnte analog wie bisher fortgefahren werden.

Die hergeleiteten Resultate mögen auf Juliafolgen angewandtwerden. Ist (av) eine Juliafolge 3. resp. 4. oder 6. Art für f(z)mit dem Juliapunkt |, so ist die Funktionsfolge f(ovz) eine Aus¬

nahmefolge resp. eine TW-Ausnahmefolge oder eine TVAusnahme-

folge in |. Daher folgen aus den Sätzen 21, 22, 23, 24;

Satz 25. Enthält eine Juliafolge 3. Art für f(z) mit dem Julia¬

punkt | keine Juliafolge 6. Art mit dem Juliapunkt £, so nimmt

für ein beliebig kleines e > 0 und ein beliebig großes k^>0 jedeFunktion f(ovz) für v > v'(e, k) im Kreise \z — 11 < s sämtliche

Werte w mit j w | <; k wenigstens 2 mal an.

Satz 26. 1st (av) eine Juliafolge 3. Art für f(z) mit dem Julia¬

punkt |, und nimmt für ein beliebig kleines e > 0 und ein beliebig

großes ganzes k > 2 jede Funktion f(ovz) für v j> v'(e, k) im Kreise

— 55 —

j z — 11 ^ -~- einen beliebigen Wert w°v mit j w° \ <: k 2 mal an,

so enthält entweder die Jullafolge (av) sine Juliafolge 4. Art für

f(z) mit dem Juliapunkt £ oder aber es nimmt jede Funktion f(ovz)

für v ^ v*(e, k) ;> v'(e, k) im Kreise \z — £ | < s sämtliche Werte w

mit | w ] rg k wenigstens 2 mal an.

Satz 27. Enthält eine Jullafolge 3. Art für f(z) mit dem Julia¬

punkt | eine Juliafolge 6. Art mit dem Juliapunkt £ und keine

Juliafolge 4. Art mit dem Juliapunkt tj, so nimmt für ein beliebigkleines e > 0 und ein beliebig großes ganzes k > 2 jede Funktion

f(ovz) für v > v'(e, k) im Kreise \z — ! | '< e jeden Wert w mit

j w | < k genau einmal an.

Satz 28. Enthält eine Jullafolge 3. Art für f(z) mit dem Julia¬

punkt | eine Jullafolge 6. Art mit dem Jullapunkt ij, und nimmt

für ein beliebig kleines e>0 und ein beliebig großes ganzes & > 2

jede Funktion f(ovz) für v 2: v'(s, k) Im Kreise \z — f | < s einen

beliebigen Wert w°v mit \w1\<,k wenigstens 2 mal an, so ent¬

hält die Juliafolge 3. Art eine Juliafolge 4. Art mit dem Julla¬

punkt |.

Anschließend möge noch ohne Beweis ein Satz angeführt wer¬

den, in welchem der Zusammenhang der Ausnahmefolgen mit der

Theorie der quasl-normalen Funktionsscharen endlicher Ordnungzum Ausdruck kommt2S) :

Satz 29. Ist fv(z) eine Folge In einem Kreise \z — Ç\ <r re¬

gulärer Funktionen und. existieren zu jedem endlichen Wert a

eine Zahl ea und ein Index N = N(a, e) derart, daß für s < ea f^'z)

für v ;> N(a, e) im Kreise \z — £ | < s den Wert a genau einmal

annimmt, so ist der Punkt f ein irregulärer Punkt von der Ord¬

nung 1.

23) Ein prinzipiell identischer, wenn auch in mehrfacher Hinsicht von

der vorliegenden Fassung abweichender Satz wurde von P. Montel auf¬

gestellt: Leçons sur les fonctions univalentes ou multivalentes (33).

Literatur.

E. Cesàro, Lehrbuch der algebraischen Analysis und der Infinitesimalrech¬

nung (Leipzig, Teubner, 1904).

P. Levy, Remarques sur le théorème de M. Picard (Bull. Soc. math., t. 40,

1912, 35).H. Milloux, Le théorème de M. Picard, suites de fonctions holomorphes,

fonctions méromorphes et fonctions entières (Journal de Math.,9e série, t. 3, 1924, 345—401).

— Sur le théorème de Picard (Bull. Soc. math., t. 53, 1925, 181—207).— Les cercles de remplissage des fonctions méromorphes ou entières

et le théorème de Picard-Borel (Acta math., Bd. 52, 1928, 189—255).

P. Montel, Leçons sur les familles normales de fonctions analytiques et

leurs applications (Paris, Oauthier-Villars, 1927).— Leçons sur les fonctions univalentes ou multivalentes (Paris, Oau¬

thier-Villars, 1933).

A. Ostrowski, Studien über den Schotlkyschen Satz (Rektoratsprogramm der

Universität Basel, 1931, 1—111).

A. Pfluger, Ober numerische Schranken im Schottkyschen Satz (Comment.math. helv. 7, 1934/35, 159—170).

W. Saxer, Über eine Verallgemeinerung des Satzes von Schottky (Compos.math. 1, 1934, 207—216).

G. Valiron, Compléments au théorème de Picard-Julia (Bull. Se. math., t. 51,

1927, 167—183).

Curriculum vitae.

Ich wurde am 11. Juli 1908 zu Monthey (Wallis) geboren,besuchte 6 Jahre Privat- und Primarschule und trat im April 1921

in die humanistische Abteilung der Kantonsschule Luzern ein, um

nach Absolvierung des Normalstudienplanes (Gymnasium und Ly¬

zeum) am 7. Juli 1928 mit der Maturität abzuschließen. Darauf

studierte ich an der Abteilung für Mathematik und Physik an der

Eidgenössischen Technischen Hochschule, wo mir am 27. Februar

1933 das Diplom als Mathematiker erteilt wurde. Während dieser

Zeit besuchte ich Vorlesungen bei den Herren Amberg, Curti,

Franel, Qonseth, Gut, Hirsch, Hopf, Kienast, Kollros, Kuhn, Mar¬

chand, Medicus, Meissner, Niggli, Pauli, Plancherel, Pölya, Saxer,P. Scherrer, W. Scherrer, Treadwell.

Vom Wintersemester 1933/34 bis zum Sommersemester 1936

betätigte ich mich als Assistent für darstellende Geometrie und

höhere Mathematik an der Eidgenössischen Technischen Hoch¬

schule.

Im Militär bekleide ich den Grad eines Oberleutnants der

Artillerie.