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Doctoral Thesis

Sur les déterminants récurrents et les singularités d'unefonction donnée par son développement de Taylor

Author(s): Edrei, Albert

Publication Date: 1939

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SUR LES

DÉTERMINANTS RÉCURRENTS

ET LES SINGULARITÉS DUNE

FONCTION DONNÉE PAR SON

DÉVELOPPEMENT DE TAYLOR

THÈSE PRÉSENTÉE À L'ÉCOLE POLY*

TECHNIQUE FÉDÉRALE, ZURICH, POUR

L'OBTENTION DU GRADE DE DOCTEUR

ES SCIENCES MATHÉMATIQUES

PAR

ALBERT EDREI

RAPPORTEUR: M. LE PROF. G. POLYA

CORAPPORTEUR : M. LE PROF. M. PLANCHEREL

F. NOORDHOFF N.V. - GRONINGEN*BATAVIA

COMPOSITIO MATHEMATICA 7 (1939)

Sur les déterminants récurrents et les singularitésd'une fonction donnée par son développement

de Taylor

par

Albert Edrei

Zurich

TABLE DES MATIÈRES.

Introduction 1

Chap. I: Propriétés générales des déterminants récurrents; l'invariance-

limite 11

Chap. II: Sur les fonctions uniformes qui n'ont que des pôles et un

nombre fini de singularités essentielles 17

Chap. III: Les fractions continues du type de Grommer 31

rP q>{x)Chap. IV: Sur les fonctions du type /(z) = I — dx 44

J 2 — X

a

Chap. V: Les séries de la forme S 57

INTRODUCTION.

1. Nature des problèmes traités. Soit

une série entière, convergente pour quelque valeur finie de la

variable z. Considérons la fonction analytique /(z), définie par

le prolongement de l'élément (1). Supposons tout d'abord cette

fonction uniforme dans tout son domaine d'existence; dans ce

cas, l'ensemble E de ses points singuliers est parfaitement défini

et l'on sait que E est fermé et borné et que son complémentaireCE est connexe. Ces propriétés sont les seules dont E jouisse,en général.

Sur les déterminants récurrents d'une fonction. 2

Posons

(2) AP =

ak+n~l ak+n • • • ak+2n~2

et désignons par r(E), le diamètre transfini*) de l'ensemble E;M. Pôlya 2) a démontré l'inégalité

(3) ïïm" |^|,m)|"2 ^r(E).m—> ot>

On peut se proposer, connaissant certaines propriétés de la

suite

(4) a0, a1,..., aH, . . .,

de déduire certaines propriétés de l'ensemble E; c'est là un

aspect très général du célèbre problème de M. Hadamard. Le

résultat de M. Pôlya en fixe un aspect plus particulier: celui

auquel ce travail est consacré. Voici comment j'énoncerai ce

problème partiel: l'ensemble E étant caractérisé par un nombre,retrouver ce nombre dans les propriétés-limites de certaines

suites de déterminants formés avec les termes de (4).Nous n'avons envisagé, jusqu'à maintenant, que le cas où f(z)

est uniforme dans tout son domaine d'existence; l'inégalité (3)est d'une portée plus vaste et embrasse le cas des fonctions

multiformes. Pour présenter le résultat général de M. Pôlya,introduisons d'abord une

Définition. Nous dirons qu'un ensemble E*, de points du plande la variable complexe, jouit de la propriété (ty), par rapport

àf(z): s'il est fermé et borné, si son complémentaire CE* est connexe

et si la branche de f(z), coïncidant avec (1), pour des \z\ suffisam¬ment grands, est uniforme et holomorphe dans CE*.

Considérons la borne inférieure t des diamètres transfinis de tous

les ensembles jouissant de la propriété ($), par rapport à f(z);M. Pôlya a démontré l'inégalité

(5) ÏÏm \A{«> |»2 ^t.

J) La notion de diamètre transfini a été introduite par M. Fekete; elle est en

relation étroite avec d'autres notions importantes, par exemple, la notion de

capacité de la théorie des potentiels. Pour les définitions, voir: M. Fekete, tJber

die Verteilung der Wurzeln bei gewissen algebraischen Gleichungen mit ganz-

zahligen Koeffizienten [Math. Zeitschr. 17 (1923), 228—249].

a) G. Pôlya, t)ber gewisse notwendige Determinantenkriterien fur die Fort-

setzbarkeit einer Potenzreihe [Math. Annalen 99 (1928), 687—706].

3 Albert Edrei.

Si f(z) est uniforme dans tout son domaine d'existence, les

inégalités (3) et (5) sont équivalentes [il suffit d'observer que

r(E) est une fonction monotone de l'ensemble E, c'est à dire

que l'inclusion ECE* entraîne l'inégalité t(E) ^x(E*j\.M. Polya a tiré de (5) un grand nombre de conséquences

remarquables; en particulier, par application de cette inégalité,il a établi son théorème, aujourd'hui classique, sur les séries de

Taylor à coefficients entiers. Grâce à (5), il est également parvenu

à certaines conditions, nécessaires pour qu'une série soit pro-

longeable au delà de son cercle de convergence.

La -richesse du domaine d'application de (5) montre la portéede cette relation et me semble justifier l'étude de certaines des

questions qu'elle soulève. La plus importante, à mon sens, se

rattache à la possibilité de remplacer l'inégalité (5) par l'égalité 3)

(6) ïïm | ^ |"2 = r.

n—>co

Voici les circonstances qui incitent à supposer la validité

générale de cette relation:

Pour certaines fonctions, M. Polya est parvenu à calculer les

deux membres de (5). Ses exemples, très différents les uns des

autres, satisfont cependant tous à la relation (6). M. Pôlya a en

outre démontré que les deux membres de (5) varient de la même

manière 4) quand, dans f(z), on pratique la substitution

z | czm + b (c =£ 0; m 2g 1, entier);

on peut ainsi multiplier à l'infini les cas où l'égalité (6) est satis¬

faite.

M. Wilson, pour une classe particulière de fonctions, a préciséd'une façon intéressante l'inégalité de M. Pôlya: il a démontré 5) quesi/(z) est uniforme dans tout son domaine d'existence, et n'admet

pour singularités que des pôles et une seule singularité essentielle

3) M. Pôlya, à la page 689 du travail précédemment cité, pose non pas cette

question, mais une autre, de nature très voisine. Il demande si les conditions

qu'il a établies, nécessaires à la prolongeabilité de (1), sont également des condi¬

tions suffisantes. A la fin du § 32, nous répondrons à sa question.

*) Dans cet ordre d'idées, j'ai également obtenu un résultat; on le trouvera

dans une Note des Comptes rendus 203 (1936), 1488—1491. Les propositionsénoncées dans cette Note, et que je reprendrai dans le chapitre I de ce travail,

semblent fortifier l'hypothèse de la validité générale de (6).

*) R. Wilson, An extension of the Hadamard-Pôlya determinantal criteria

for uniform functions [Proceedings London Math. Soc. (2) 39 (1935), 363—371].


(qui peut être un point d'accumulation de pôles), d'ordre fini q,

on a

(7) Im \A^\nHoSn^e e.

Dans tous les exemples traités par M. Wilson, le cas d'égalité

1

(8) ïm | 4"> rlog m= e S

n—ï-x

s'est trouvé réalisé; aussi cet auteur a-t-il été naturellement

conduit à se demander si la relation (8) n'est pas générale.Mon cher maître, M. Pôlya, me suggéra l'idée de m'occuper

des problèmes posés par (6) et (8); c'est à son amicale instigation,à ses précieux conseils et à l'intérêt constant qu'il m'a témoigné,

que je dois d'avoir quelque peu élucidé ces questions. J'ajouterai

que, dans les deux derniers chapitres de ce travail, la contri¬

bution de M. Polya est plus importante que la mienne propre.

Qu'il me soit permis de lui présenter ici l'expression de ma pro¬

fonde gratitude.

2. Enoncé des principaux résultats. 6) Considérons l'élé¬

ment (1) et les deux suites de déterminants

(9) ,4<l>, A$\ . . .,4W

. . .,

(10) A, Af, . . ., A, . . ..

Supposons les termes de ces deux suites tous différents de zéro ')et observons que, dans ce cas, la connaissance de (9) et (10)est équivalente à la connaissance de (1) [§16, Proposition 3].Toutes les propriétés de f(z) doivent alors se manifester aussi

bien dans ces deux suites que dans la suite (4). Les résultats

de MM. Pôlya et Wilson suggèrent même une idée précise concer¬

nant la comparaison des indications données par (4) et (9):

Désignons par 0(n) une fonction positive, assujettie aux deux

conditions

(11) &(n)^n\

(12) lim&(n)

6) Quelques-uns des théorèmes suivants ont déjà été énoncés, sans démonstra

tion, dans une Note des Comptes rendus 207 (1938), 560—562.

') Nous ne ferons cette hypothèse restrictive dans aucun des énoncés suivants.

5 Albert Edrei.

et comparons1 n

A0 = ÏÏE | AP \0{n) et l0 = lïiH | aw I*'"'.«—> oo ti—> oo

Ce travail fera ressortir un certain parallélisme entre les

indications données par A$ et X$. On sait que, pour les 1$, les

choix les plus intéressants 8) de 0(n) sont: &(n) = n2 (Théorèmede Cauchy-Hadamard) et 0(n) — n2logn (Théorème sur la

détermination de l'ordre d'une fonction entière par les coeffi¬

cients de son développement de Taylor); An* et An*\0gn sont

également les plus intéressants des Aq,.On sait, que les modules des termes de la suite (4), et par

conséquent les A<p, sont dominés par l'influence des singularitéssituées sur le cercle de convergence de (1); nous verrons par

contre que les A{0n) et par conséquent les Aq,, échappent certaine¬

ment à cette influence particulière [§ 4, Propriété I]. Cette pro¬

priété, essentielle à mon sens, et qui à elle seule me semble jus¬tifier une étude approfondie des A&, se manifeste dans les énon¬

cés par une symétrie dans la contribution de chaque singularitéde f(z) [inégalité de M. Polya; Théorème III].Dans le premier chapitre de ce travail, nous établirons certaines

propriétés d'invariance des A$. Observons les deux membres de

(5) et de (7), il est aisé de voir que le second membre de chacune

de ces inégalités exprime des propriétés-limites de la suite des

coefficients de (1), c'est-à-dire qu'on ne saurait, en ajoutant un

polynôme en — à la série (1), ni altérer t, ni modifier l'ordre

d'une singularité essentielle de/(z). En est-il bien ainsi du premiermembre de (5) ou (7)? Pour In 2: v + 2, le coefficient av apparaîtdans un grand nombre de termes du développement de A{0n\ la

8) La classification des fonctions entières d'ordre nul, conduit à la considération

n2log nde fonctions 0(n) telles que lim = 0. Dans une étude de ce genre, le choix

m^oo <P(»)de la fonction <P est délimité par la remarque générale suivante: Soient

1° als a2, . . ., a„, . . . une suite à termes positifs ou nuls,

0{n)2° 0(n) et W(n), deux fonctions positives de n telles que: lim = 0.

1 1 1

Si 0 < lïîn a*(m) < + oo on conclut: îîm a.^n) = 1. Si lim a^'' = 0, on peutn n n

c

»—>-<» n—>-oo m—> oo

1

seulement affirmer que: lim a' ES 1. Ce n'est que dans ce dernier cas qu'il

n—>x

y a intérêt à introduire ï'(n).


chose n'est donc nullement évidente. Nous démontrerons

d'abord le

Théorème I. Considérons la série

+ <*>

(13) S an z-"-1 — g(z) (ap # 0; p entier positif, négatif ou nul)

convergente pour quelque valeur finie de la variable z. Posons

0 = av-\ = ap-2 =' ' • = av-n = • •

•,

et

î

Si la fonction positive &(n) est assujettie aux conditions (11)et (12), tous les rk sont égaux (k = 0, ± 1, ± 2, ...).De ce théorème résulte immédiatement, non seulement l'in¬

variance des A@ „vis-à-vis des transformations qui consistent à

ajouter à la série un polynôme quelconque 9)", mais une invariance

plus générale que nous formulons sous forme de

Théorème II. Considérons la série (13) et la série

X(z) + Y(z)g(z) n=qnLes fonctions V(z), W(z), X(z) et Y(z) désignent quatre poly¬

nômes tels que

(14) VY - XW # 0

et

(15) X + Yg =É 0.

Si la fonction positive 0(n) est assujettie aux conditions (11)et (12), et si par C^ nous désignons le déterminant obtenu en

substituant, dans A^\ les cv aux av, on a

_JL_ i

ïïïn" | C<"> f{n) = ïmT | A fM .

Le deuxième chapitre de ce travail constitue une contribution à

l'éclaircissement du problème suivant: On sait, d'une fonction f(z),qu'elle est uniforme et qu'elle n'admet pour singularités que des

') Ce sont les propres termes de M. Hadamard, qui avait jugé souhaitable que

l'on trouvât des expressions présentant ce caractère d'invariance. Voir: J. Hada¬

mard, La série de Taylor et son prolongement analytique [Paris, 1901], p. 100.

7 Albert Edrei.

pôles (en nombre fini ou infini) et un nombre fini de singularitésessentielles (isolées ou points d'accumulation de pôles) d'ordres

finis. Quelles affirmations peut-on faire alors sur les coefficientsde son développement de TaylorlNous énonçons notre résultat sous forme de

Théorème III. Soit (1) un élément de fonction uniforme dans

tout son domaine d'existence. Nous supposerons f(z) uniquement

pourvue de pôles et d'un nombre fini s de singularités essentielles

d'ordres finis (s 2: 1). Soient <xv a2, . . ., ag les affiœes des singu¬larités essentielles, et soient qv q2, . . ., qs leurs ordres respectifs.Sous ces hypothèses, on a

(16) lïm I 4n) \nHoën ^ eGi+e>+-+e»

n-

Pour s = 1, l'inégalité (16) se réduit à l'inégalité (7), de

M. Wilson. Toutefois les difficultés nouvelles, résultant de la

présence simultanée de plusieurs singularités essentielles de f(z),me paraissent interdire l'emploi des méthodes de démonstration

de M. Wilson. Nous verrons plus loin [Exemples relatifs au

Théorème III], que l'inégalité (16) est, dans un sens que nous

préciserons, „la meilleure possible".Dans le chapitre III, nous cherchons à tirer parti, pour l'éclair¬

cissement de notre sujet, de la théorie si riche des fractions con¬

tinues. On sait que l'on peut, d'une manière purement algébrique,faire correspondre à toute fraction continue 10) du type

(17) LJ LJ_ . . .

IL_l_ . . .

\z — h \z~h \z—h

une série entière du type (1). Il est naturel, pour nous, d'analyserde près cette correspondance car les déterminants A^ et A^

10 ) Dans tout ce travail, nous nous servirons, pour les fractions continues, de

la notation commode introduite par M. Pringsheim: nous écrirons

au lieu de

a, «., a„\

M>1 *2 \f>n

«1

a

b2+-

K-> + 4=


y jouent un rôle essentiel11). Nous parviendrons, en recherchant

la nature analytique des fonctions représentées par certaines

fractions continues du type (17), non seulement à mettre les

égalités (6) et (8) en défaut, mais encore à prouver que même

la connaissance complète de la suite (9) ne permet pas d'affirma¬

tions ayant la forme d'égalités relatives aux singularités de f(z)Nous énonçons notre résultat sous forme de

Théorème IV. Il existe des suites

a(D a(2) (n)

de nombres tous différents de zéro, telles que

x

lTm |aW|re21ogTC=0,

jouissant en outre de la propriété suivante:

Si par ©, nous désignons Vensemble de toutes les séries

z^

z*^ ^

a-+i+

telles que

A^ = ^ (n= l, 2, . . ., y, . . .),

il y a dans ©

1°. des séries partout divergentes,2°. des éléments de fonctions uniformes ayant un domaine de

méromorphie arbitraire,

3°. des éléments de fonctions ayant une seule singularité essen¬

tielle, d'affixe et d'ordre arbitraires.

Nous recherchons également, au chapitre III, dans quellesconditions une fraction continue du type (17) représente une

fonction uniforme, n'ayant que des pôles (en nombre fini ou

infini) et une seule singularité essentielle d'ordre donné. Voici

notre résultat

Théorème V. Soit <x un nombre complexe quelconque; si

—

1 ^— _I

ÏÏnT |Z„-a|Iogw5S ïïm" | A»*»"1 • • •&sB_1^r'logB = finT \knf°Sn = e <>

OÙ 0 ^ Q < + 00,

la fraction continue (17), représente une fonction uniforme, n'ad¬

mettant pour singularités que des pôles (en nombre fini ou infini)

") Voir, au § 15, les formules (3,7) et (3,13).

9 Albert Edrei.

et une seule singularité essentielle, dont Vaffixe est «. et Vordre

exactement égal à q.

Si (1) désigne le développement en série de cette fonction, on a

1

_i_

L'égalité (8) n'est pas vraie, en général; le Théorème V montre

cependant qu'elle est satisfaite pour une classe étendue de

fonctions.

En tenant compte des formules (3,7) et (3,13), on peut énoncer

le Théorème V sans l'aide des fractions continues; on obtiendra

ainsi un premier exemple de proposition qui, supposant certaines

propriétés de (9) et (10), permet une affirmation ayant la forme

d'une égalité relative aux singularités de f(z).Les résultats du chapitre IV sont résumés par le

Théorème VI. Considérons la fonction

(P cp(x)

z-<i8,

Mrfg-.*a

Nous supposerons la fonction réelle <p{x):1°. continue dans Vintervalle (a, /?);2°. pouvant changer de signe, un nombre fini de fois, dans cet

intervalle;3°. pouvant s'annuler sur un nombre fini d'intervalles et, en

outre, en un nombre fini de points isolés.

De Vintervalle fermé (a, /?), supprimons les points intérieurs

aux intervalles sur lesquels <p(x) = 0; désignons par E l'ensemble

fermé ainsi obtenu et par r son diamètre transfini.Dans ces conditions on a

j_

Ce théorème fournit l'exemple d'une classe étendue de fonctions

satisfaisant à l'égalité (6).Dans le cinquième et dernier chapitre de ce travail, nous

étudions les déterminants récurrents des fonctions représentablessous forme de séries de fractions simples:

(19) /(*) = Sv=

Cette étude nous conduira au

Tv


Théorème VII. Soit E, un ensemble fermé et borné de pointsdu plan de la variable complexe. Soit r son diamètre transfini,CE son complémentaire,que nous supposerons connexe.

Soit 6 un nombre réel, tel que

0 ^ d ^ 1.

Sous ces hypothèses, il existe une série (1), représentant une

fonction uniforme, holomorphe dans CE, admettant exactement CE

pour domaine d'existence et telle que

(20) lim | A[n) \n = 0t.n—>=o

L'inégalité (5) est donc, dans un sens qui ressort clairement

de notre énoncé, la „meilleure possible". On peut obtenir un résultat

analogue, relatif à l'inégalité (16); pour plus de simplicité, nous

nous contenterons de prouver par des exemples de caractère

général, que, quels que soient les ordres qv q2, . . ., qs apparais¬sant dans l'énoncé du Théorème III, l'inégalité (16) ne peut être

améliorée:

00

Exemples relatifs au Théorème III. Soit S cn une

série convergente, à termes tous positifs; posons

n=l

/(*; e) - S^n

iK= l

z -— n Q

f(«;;0)00

- s«n

71=1 S — n~

(21) f(z;e)=î—^— (Q>0),

(22)

Soient Qlt g2, . . ., qs, s nombres non négatifs, et soit (1) le dévelop¬

pement de la fonction

(23) £ f(z-2j; Qi).3=1

Cette fonction ne possède que des pôles et les s singularités essen¬

tielles d'affixes 2, 4, . . .,2s et d'ordres respectivement égaux à

Qv Qv • • • Qs-

1Pour cn = — (w=l> 2, . . ., v, . . .), on a

(24) lim [A^]n*l0Sn = eei+e.+ -+e..

11 Albert Edrei.

Pour cn = —- (n=\, 2,. . ., v, . . .), on a

1

(25) lim [A^]n'logn = 0.

3. Résumé des résultats de notre analyse. Tous les

théorèmes que nous venons d'énoncer peuvent se grouper autour

de la question générale suivante: connaissant les deux suites de

déterminants (9) et (10), que peut-on dire des singularités de la

fonction définie par Vélément (1)?

Voici, très brièvement formulées, les réponses que ce travail

apporte:1°. Si les termes des suites (9) et (10) sont tous différents

de zéro, la connaissance complète de ces deux suites est équiva¬lente à la connaissance de l'élément (1) [§ 16, Proposition 3].

2°. La connaissance de certaines propriétés-limites de la suite

(9) permet des affirmations ayant la forme d'inégalités relatives

aux singularités de f(z) [Inégalité (5); Théorème III].3°. Les propriétés-limites correspondantes, formées avec les

termes de (10), n'ajoutent aucun nouvel élément d'information

[Théorème I],4°. Même la connaissance complète de (9) ne permet pas

d'affirmations ayant la forme d'égalités relatives aux singularitésde f{z) [Théorème IV].

5°. Si l'on veut obtenir des affirmations ayant la forme

légalités relatives aux singularités de f(z), on doit

a) ou bien joindre à la connaissance de propriétés-limites,relativement simples, de (9), la connaissance de propriétés plus

complexes de (10), en particulier celle des rapports entre (9) et

(10) [Théorème V et annotation n)].

b) ou bien, supposant connues des propriétés-limites simplesde (9), restreindre suffisamment la classe des fonctions con¬

sidérées [Théorème VI].6°. Les inégalités énoncées précédemment sont, en général,

les meilleures possibles [Théorème VII; Exemples relatifs au

Théorème III].

CHAPITRE I

Propriétés générales des déterminants récurrents;

l'invariance-limite.

4. Propriétés algébriques des déterminants récurrents.

Considérons quelques transformations simples de la série (1) et


indiquons les transformations correspondantes subies par lesA^KDans nos formules, les symboles B]^\ C£\ D^\ ..., désigneront

les déterminants obtenus en remplaçant, dans A^\ les a par

des b, c, d, . . ..

I. Soit /? un nombre complexe quelconque. Si

+ ••• + :—^ + -',==/(z)

désigne le développement de centre fi, de f(z), on a

(M) BJB) = <>•

II. Si

z z2 zn+1

oit y désigne un nombre complexe, différent de zéro, on a

(1,2) C<»> = y-»M<»>.

III. tft

> ~2

'

l -,«4-1'

Z

'

Z2

'

Z-+1 Z—jî —/(z)'

où |8 désigne un nombre complexe quelconque, on a

(1,3) I>i1> = l; I>iB+1) = A[n) (n^l).

IV. Considérons la série (13) d posons

n=-(p+2)ëlz'

on a alors,

(m) £<_»£« =(-iri^2 (»^d-

V. Si

z

~

z2

~ ~

z»*1^ ^v '

où m désigne un entier, au moins égal à un, on a.

fff£B) = 0, si n#0 (modm);(1'5)

[Hp* = ± {A}"1 (v = l, 2, 3, . . .).

13 Albert Edrei.

Les propriétés I, II et V ont été démontrées par M. Polya 12);III est une conséquence immédiate de la théorie des fractions

continues du type (17); il en est d'ailleurs de même de I. Nous

démontrerons I et III au § 17. Dans l'annotation 18), nous donne¬

rons une seconde démonstration de I. Voici maintenant, comment

on peut déduire IV de III:

z z'apz + ap+1 + ^ + "-f + • • • = g(z) z»+\

g(z)z^z + -?—

— + ^ +

,6) \- • • - -\ \- • • • =.'

z z2'

Z-+1 g(z)z

En vertu de III,

(1,7) /0 = /tt) = l; jln+V = t±f.AMt (n^l),

et de (1,6)

!^zp+i + h. zp+2 _| = +f enz~n-1 = —.

a» aP n—(J.+2) ^Z)

Finalement.

(\ a\ r(n+l) _fl»+lr(ii+l) .

(1,4) s'obtient par combinaison de (1,7) et (1,8).

5. Démonstration du Théorème I. Nous établirons tout

d'abord une inégalité que nous formulons sous forme de

Lemme 1. Soit (13) une série convergente pour \ z \ > R.

Posons

0 = ap-i = aP-2 =• • • = ap_v = • • •;

M == max | g(z) | (e > 0).\z\=R+e

On a alors

(1,9) \A^\^n\Mn(R+e)kn(R+e)n\

quel que soit Ventier k (positif, négatif ou nul).Par (v1} v2, .. ,,vn) nous désignons une permutation quelconque

12 ) G. Pôlya, Beitrag zur Verallgemeinerung des Verzerrungssatzes auf mehr-

fach zusammenhângende Gebiete [Sitzungsberichte Akad. Berlin 1929, 55—62].


des nombres (1, 2, . . ., n); le terme général du développement de

Akn) est alors

i ak-i+l+V1 ak-2 +2+v2• • • ak-2 +n+ vn'

De l'inégalité

I o, i ^ M(i?+er+i,

il résulte que le module de ce terme général est au plus égal à

kn,Mn(R+e)Kn(R+e)n .

c.q.f.d.

Le Théorème I est obtenu par combinaison des deux propriétéssuivantes des rk:

(ât) II existe un nombre P, indépendant de k, tel que

rk^P (k=0, ±1, ±2, . . .).

(23) i^ViVi (k=0, ±1, ±2,. . .).

La chaîne d'inégalités (35) permet d'affirmer que les xk sont:

ou tous nuls ou tous différents de zéro. Dans le premier cas,

tout se trouve démontré. Dans le second cas, mettons (93) sous

la forme

(MO) log tk ^ .

Considérons (dans le plan de la variable complexe) la lignepolygonale de sommets k + i log rk. La propriété (91) exprime

que cette ligne est bornée supérieurement. De (1,10), il résulte

qu'elle est convexe, et que sa convexité est tournée vers le bas.

Les deux propriétés ne sont compatibles que si la ligne polygonalese réduit à une droite, parallèle à l'axe réel. Tous les rk sont

alors égaux.Démonstration de (31). Mettons l'inégalité (1,9) sous la

forme

1 n2 riog n + log M+klog (R+e) ~1 n2

| A{n) |<P(n) ^ e0^l n J e0^log{R+E>'

gardons k fixe, tenons compte de l'hypothèse (11), et passons

à la limite n-> + oo. Il vient:

rfc ^ P = max [1, R+e].

15 Albert Edrei.

Démonstration de (85). Posons

rk + ô = Tk > 0 (ô>0).

La formule connue

( Ain)\2 Ain) A M A(n+1) Ain-1)

fournit, pour n suffisamment grand, l'inégalité

(1,11) | a? i2 < t£ï t?{? + Tfir1» Tf+rx)0(n+l) 0{n-l)

t +p

fcrr :/—r

Nous poserons encore

y4>(n) T&(n) \-ij_\t ^(n> T ^(m) fJ

fc-iJfc+i L1 ~r 1/ fc-i

Jft+i J

&{n+l) 0{n-l)

(1,12) i+«. = r3ir"1r^r"1.De cette définition de sn et de l'hypothèse (12), on déduit

(1,13) limen = 0.

n—> co

Reprenons (1,11) et (1,12); il vient

Kn) |2<« 7f^[l +(l+|£n|)^>] ^ 22ft> Iftïîl+ H)*'-»,2 1

|4<,»)|*'-'^2*,->rlt.1rw(i+|e)l|).

Gardons <5 fixe et passons à la limite n —>- + oo. En tenant

compte de (11) et (1,13),

*u = -* fc-i ^fc+i-

Nous obtiendrons (93) par le passage à la limite (5->0.

6. Les corollaires du Théorème I; démonstration du

Théorème IL Posons

î

EE | A\*{n) = A0(k)n—>oo

nous venons de voir que ylçp(A;) est indépendant de k. Nous allons

maintenant effectuer certaines opération sur la série (13); ces

opérations transformeront (13) en une série

+ »

S un 2_n_1 (q entier quelconque).


Si ces opérations sont telles que

1 1

ïhn"| U^fin) = ïïrn" | AM f{n\

nous dirons simplement: qu'elles n'altèrent pas A$.On n'altère pas Aq>1°. En ajoutant à (13) une expression de la forme

—t i* ' ' H—zr-

Z Z2 Zm

En effet, cette opération ne laisse aucune trace sur A^.2°. En ajoutant à (13) une expression de la forme

(U4) ^+_A_2+...+ 0~

z-p (z-pf (z-P)m

Far une translation, nous amènerons (13) à la forme

(1,15) "S 6n(»-/î)-B-1.n = p

La présence de puissances non négatives de 2 et z — /?, dans

(13) et (1,15), n'altère visiblement pas les déterminants A^ et

Bpn); la relation (1,1) subsiste donc également pour des séries

du type (13), où p < 0: dans tous les cas, A<j> n'est pas altéré

par une translation. En vertu de 1°, on n'altère pas A$en ajoutant

(1,14) à (1,15). Grâce à (1,1), on reviendra à une série procédantsuivant les puissances de z.

3°. En ajoutant à (13) une fonction rationnelle quelconque.Toute fonction rationnelle peut se mettre sous la forme

*.(*) + Pr (é-p) +P^) + --' + P°{^j) •

où P0(t), P^t), . . ., Ps(t) sont des polynômes en t. Il suffira

d'appliquer 2°, s fois.

4°. En multipliant (13) par une constante c^O.

Cette multiplication fait passer de A^ à cnA{0n). Il suffit de

tenir compte de l'hypothèse (11).5°. En multipliant (13) par z.

Cette opération fait passer de A^n) à A^; elle ne saurait donc

altérer Aq.6°. En multipliant (13) par (z—/?).Nous franchissons, entre 5° et 6°, le même pas qu'entre 1° et 2°.

17 Albert Edrei.

7°. En multipliant (13) par un polynôme quelconque (non

identiquement nul).Il suffit d'appliquer 4° et 6°, un certain nombre de fois.

8°. En divisant (13) par un polynôme quelconque P(z) (nonidentiquement nul).

On applique 7°, à ^.9°. En multipliant (13) par une fonction rationnelle quelconque

(non identiquement nulle).On combine 7° et 8°.

10°. En passant de la fonction g(z) à la fonction —.

On met (1,4) sous la forme

I r-(«+D \®{n+l)_

!I A(n) |#(n) &(n+l)

I ^-(p+2) I—

2w+ l I /1P + 2 I

I n |<P(»+DI P I

On passe à la limite n -> oo, en tenant compte, à nouveau, de

(11) et (12). On applique ensuite le Théorème I. Toutes ces

propositions sont résumées par le Théorème II. Si Y(z) = 0, le

Théorème II est contenu dans 3° et 9°. Dans le cas Y(z) =£ 0,

V+Wgon mettra — sous la forme

X+Yg

W (VY— XW)Y~1

y x + Yg.

On tiendra compte de (14) et (15) et on appliquera 3°, 9°

et 10°.

CHAPITRE II.

Sur les fonctions uniformes qui n'ont que des pôles et

un nombre fini de singularités essentielles.

7. Remarques préliminaires. Soit (1) un élément de

fonction analytique, convergent pour | z | > R. Nous supposerons

f(z), uniforme dans tout son domaine d'existence, et uniquement

pourvue des singularités suivantes:

1°. de pôles2°. de s singularités non polaires, d'affixes ax, oc2, . . ., as

Ces singularités non polaires sont donc, soit des points d'ac¬

cumulation de pôles, soit des singularités essentielles isolées. D'un


théorème de WeierstraB, on déduit la possibilité de mettre f(z)sous la forme

ou A(0» A(t)> • • •> /s(0 désignent des fonctions méromorphes.Nous allons étudier les propriétés asymptotiques des A^ dans

le cas où les fonctions f^t), f2{t), . . ., fs(t) sont d'ordres finis, 13)égaux respectivement à çlt ç>2> • • •> Qs- Remarquons que les

nombres g ne dépendent pas de la décomposition particulièrede f(z), en produit: dans toute autre décomposition

l'ordre de gj(t) sera égal à q}. Nous dirons, avec M. Maillet14),

que la fonction quasi méromorphe f(z) est d'ordres g1} g2> • • •> Qs-

Indiquons deux propriétés des fonctions quasi méromorphesdont nous ferons usage:

1°. Soient V(z), W(z), X(z) et Y(z), quatre polynômes tels

que VY-XW^èO. Les fonctions /(a) et g(z) = Ç~^j ont

alors les mêmes singularités essentielles, pourvues des mêmes

ordres 15).2°. Du théorème de M. Picard, on déduit immédiatement la

possibilité de trouver un nombre /S, tel que toutes les singularités

essentielles de la fonction quasi méromorphe -^ -a soient des

points d'accumulation de pôles. On peut même affirmer qu'il y

a au plus 2s valeurs de /S pour lesquelles ce fait ne se produit pas16).En ce qui concerne les propriétés-limites des A^\ il résulte

du Théorème II, que la fonction-est équivalente à la

fonction f(z). Nous pouvons donc, sans restreindre la généralité,

13) Pour la définition de l'ordre d'une fonction méromorphe, voir: E. Borel,

Leçons sur les fonctions méromorphes [Paris, 1903], 61 et 62; H. Nevanlinna,

Le théorème de Picard-Borel et la théorie des fonctions méromorphes [Paris,

1929], 30.

14 ) E. Maillet, Sur les fonctions entières et quasi entières [Journal de math.,

(5) 8 (1902), 329—386].16 ) On démontrerait cette proposition en suivant une méthode analogue à

celle donnée à la page 62 du livre cité de E. Borel.

") Il serait intéressant de savoir si, pour s > 1, il peut effectivement y avoir

2s „valeurs exceptionnelles".

19 Albert Edrei.

supposer que les s singularités essentielles de f(z) sont toutes des

points d'accumulation de pôles.Soit 6y un cercle de centre a3- et de rayon A. Nous prendrons

A suffisamment petit pour que les cercles (S1( ©2, . . ., (£g soient

extérieurs les uns aux autres. Désignons les pôles de f(z), situés

à l'intérieur de g}., par

ziv zj2> • • •> zjh • • •'

les pôles multiples sont répétés autant de fois que l'indique leur

degré de multiplicité.Posons

Z* = Xj + 'h;nous supposerons la suite des z^ ordonnée de manière que

\tn\<L\ti2\^...<\tjl\<L.-:

Soit IIj(t), le produit canonique admettant les zéros

tji, tj2> • • •> tft, ....

Nous pouvons mettre f(z) sous la forme

^ M^) h-L~)/M = *(*)

<-h) "^ <~)'où R(z) désigne une fonction rationnelle; h^i), h2(t), . . ., hs(t)désignent des fonctions entières d'ordres respectivement égauxà Q\, {?'2> • • -, q's; nt(t), /7a(<), . . ., IJa(t) désignent des produitscanoniques d'ordres respectivement égaux à q'Î, q'2', . . ., g's'. Par

définition de l'ordre,

Qj = max {q], q'!} (/=1, 2,. . ., s).

Nous allons maintenant démontrer le Théorème III. En vertu

des remarques précédentes et du Théorème II, il nous suffira

d'établir l'inégalité (16) pour une fonction de la forme

U_J_) hl_L\ Af(_J_)

(2,1) f(z){Z-«J [Z~J ls-J

*ty <-±j n^)où chaque produit canonique est composé d'une infinité de

facteurs. Nous obtiendrons le résultat annoncé par l'estimation

d'une certaine intégrale multiple représentant A^\


8. Expression de A^ par une intégrale multiple;structure de la démonstration. Soit Pun contour d'intégrationformé par le système des s circonférences de (5^, (£2, . . ., (£s.Considérons le déterminant

.4,w) = —I J7(C)C'-1+/C-W I ;

(2W) '

j, >i, fc = l, 2, ...,n

en ajoutant, à chaque ligne de ce déterminant, une combinaison

linéaire des lignes précédentes, on pourra le mettre sous

la forme

A^ = ^-\ f/(C)P,(0dC, J7(C)P,(C)CrfC,..., {fflPt(Ç)Ç«-idC(2m) f p p

où

Px(0 = 1; P,(Ç) s C'-1 + • • • pour Z ^ 2,

les Z — 1 racines de Pj(£) étant absolument quelconques. En

modifiant la notation de la variable d'intégration et des contours

d'intégration:

A^=-^\jf(Cl)Pl(Ci)dcJf(Cl)Pi(Ci):ldCl,...,jf(Cl)Pl(ClKr1dCl

Nous supposerons P, formé par les circonférences de s cercles

Ê1(i), (S2(J), • • •! ©s(')- Ces cercles seront respectivement intérieurs

à Ej, ©2, . . ., ©s, et tels que /(C)P,(f ) soit holomorphe en tout

point C ^ oo> situé dans le domaine extérieur aux (£(Z) ou sur

la circonférence d'un de ceux-ci; l = 1, 2, . . ., A, . . ..Sous ces

hypothèses, le terme général du développement de (2jn)n^4{,n>sera:

± j m)p1(c1)cï^1 • J7(c2)p2(c2)^ca • • • J/(ç„)p„(fn)^-dCnP, A p,

=J J... jmmb) -/(ca)p2(c2) •••/(cjpn(cj{±^c2fc—^"K1dc2- • •#„.

-rtr2 r„

En sommant tous ces termes, nous obtiendrons la formule

(2,2) ^^»=7^;JJ...J/(C1)P1(e1)-/(C2)P2(C2)-/(CJP„(C„)F(C1,C2,...,CJ^1dC2...d^

On a posé

21 Albert Edrei.

(2,3) V(tv C2, • • ., Cn)

>t, d . • C1

!£. f! • • C1

u. £2„ • - C1

Voici maintenant la marche générale de notre démonstration:

Nous concentrerons, dans un lemme (Lemme 2), tout ce dont

nous aurons besoin de la notion ,,d'ordre d'une fonction méro-

morphe". Puis, nous rangerons les pôles de f(z) dans une suite

unique; l'influence des différentes singularités essentielles sera

dosée par la fréquence d'apparition des pôles voisins d'un même

point-limite (Lemme 3). Nous choisirons les contours d'intégra¬tion (Lemme 4) et nous estimerons sur ces contours: la fonction

f(z), multipliée par une fonction rationnelle convenable (Lemme 5),et le déterminant de Vandermonde (Lemmes 6 et 7).

9. Sur l'ordre d'une fonction méromorphe. Désignons

par E(u, p) le facteur primaire de genre p et considérons le

produit canonique

(2.4) n(t) = ÛE(-^-,p),où nous supposerons

o<\h\£\h\^---^\h\<---'

Lemme 2. Soient

h(t) une fonction entière d'ordre q';

IJ(t) le produit canonique (2, 4), d'ordre q";

ç>(0), <p(l ),..., <p{l), • une suite de nombres entiers, non

bornés, tels que:

(2.5) <p(l-l) < l,

(2,6)la

iœu-i) I > 4r, = 4— dès que l~2toi et q>(l—l) ^ 1,

où a—

q + s, q = max (q', q"); A et e désignent des nombres

positifs et o) une certaine borne finie.Posons encore


¥l(f) s (1-1) (1-1)...(l-^) pour ^»d9(/-l)^l.

Sous ces hypothèses, il existe un nombre positif B, tel que

fS eBl dès que l ^.œ et <p(l—l) ïï 1.max

i'Iîïr,l>>

Nous établirons ce lemme en nous appuyant sur les estimations

classiques de la théorie des fonctions entières; on pourrait égale¬ment le déduire de la théorie des fonctions méromorphes de

M. R. Nevanlinna17). Nous supposerons constamment l ^ o>

et <p(l—l) ^ 1.

L'holomorphie de t^tt^MO, pour \t\ ^rt, résulte de l'hypo¬

thèse (2,6). Faisons \t\ —rl dans

(2,7) log*(')

27(0%{t) ^\og\h{t)\+ S 1 +1 -f

1

•+7+ 00

+ sA=ç>tf-i)+i

log 1 £ (}, P)Dans la suite de la démonstration, les majuscules C, D, G, H,

I, J, K désigneront des nombres positifs, indépendants de L

Estimons le second terme du second membre de (2,7)

<p(l-D Aâç>U-i)

2{ }=£{}+£{ },

|^|S4r, l<AlS4r,

t \v

Crf S 1^1-1.

De a — p > 0, de (2,6) et de la convergence de S —ô>A=i l'ai

tire

on

(2,8)

De l'hypothèse (2,5), il résulte

(2,9)

+ <*> i

2 { }^Crf(4rir*S—= Z)Z.

l<AlS4r, A= l I fAl

S { }^Gl.

On sait que

| log \E(u, p)\\ ^ 2 | m \p+1 dès que | u \ <-£•

17 ) Voir18) le livre cité de R. Nevanlinna.

23 Albert Edrei.

On en déduit

(2,10) +fA=<ptf-i)+i

iog\E(~ p) ^2 S

g" est l'exposant de convergence de la suite

'l> Ï2> • • •> u» • • ••

Si q" < p + 1, on choisira un nombre positif ô, inférieur à e

et tel que q" + à < p + 1.

De (2,6), on tire alors

p+i

(2,H) 2 Sl«il>4r,l'A

3> + l i e"+t

= 2rf+1^|>4r,l'il l'A

e"+iî

^ 2rf+1(4ri)e"+â"P"1 SA-i \h

,Q"+Ô

Si g" = p + 1, on sait que Sl<;.

e"+<5

ffrf"+ô

=/ l"ë+S"

converge, d'où

II.

(2,12) 2 S ^ 2rf'

S — Jls+e<Jl.

Enfin, il existe une constante K, telle que l'on ait constamment

(2,13) log | h(t) | < Kl pour \t\ =r,.

Nous obtiendrons le résultat annoncé, par combinaison des

relations (2,7), (2,13), (2,8), (2,9), (2,10) et (2,11) ou (2,12).

10. Distribution des pôles de f(z), dans une suite unique.Considérons le tableau

(Z)

ZU> Z12'

%L> ^22>

2iA>

Z2A'

(*l)

zsV 2s2> • • •» ZsA> • • • (zs>-

Ordonnons les éléments de (Z) dans une suite unique

zi> 22 » • • •' ZA' ' " ' (3 /

en imposant les deux conditions suivantes

I. La suite (z*) est formée des mêmes éléments que le tableau

(Z); chaque élément de (Z) apparaît une, et une seule, fois dans (z*).II. L'ordre des termes de chacune des suites du tableau (Z) est

conservé dans la suite (z*). En d'autres termes, si

Zjk = Zfc*, Zji = Z[* et te <C l»

on a k* < l*.


Désignons par <Pj(l), le nombre d'éléments de (z3) apparaissant

parmi les l premiers éléments de (z*). Il résulte de nos définitions

<PiV) + <P*V) + + <ps(l) = L

Posons

°i = Qj + e> e > ° (/=!> 2, . . ., s).

Nous admettrons sans démonstration le

Lemme 3. On peut choisir la suite (s*) de manière que

hm =— =——— — (7=1, 2, ..., s).;_>.oo

' ffi + ffa + • • + ffs

11. Choix des contours d'intégration; étude de /(z) sur

ces contours. Nous définirons au préalable quelques fonctions,

importantes dans la suite de notre démonstration: les polynômes

(2.14) P^z) =. 1; P,(z) =. (*_**)(*_**). . . (z-zf.J pour l ^ 2;

(2.15) &(*)=!; ÇJ(2)^(«-«1)^-1>(«_aï)^'-1> •. .(z-^1^pour J ^ 2;

(2.16) «P„(0 = 1 Pour «^(7-1) = 0;

?Py|(t) = (l--î-)(l--i) ...(l-_L_) pour ç>,(l-l)=l

(/=1, 2, . . ., s);

et les fonction rationnelles

*M-fâ. ia..

On a

2?,(2) = n?pil (-!-),et en vertu de (2,1)

(2,17) f(z)R,(z) = À ';,•' ?„ (-M'=1 ^l~)

Les * séries

S (7=1,2,...,*)

sont convergentes, à termes positifs et décroissants. On sait que,

25 Albert Edrei.

dans ces conditions,

lim A —0/

(7 = 1, 2, . . ., s).

Posons

1 . f ffj <t2-—min{

, , . . ..

2 Iffj + CTaH Ha, CTi+OaH +a,

Pour des Z suffisamment grands,

1 ^yl<Vi(l-l),

1

<7i+ff»H ha,;}= y>0.

Vj(l-1)t*

a, *Oj

^y— (7=1,2,...,*).4CT>

'i.'Pjd-l)

Il existe donc un nombre x, positif et entier, tel que

2_

(2,18) 9i(l-l)^l et |* |>4— dès quel^x

(7=1, 2, ..., s).

Soient

(2,19)

f <£*(*), <5*(Z),. . ., <£,*(*),les cercles dont les centres sont respectivement

et les rayons

4 4 4

l°2

et soit A*> le système des * circonférences de Ë*(Z), ©*(Z), • • •>®*W«

Choisissons les contours d'intégration de (2,2); nous prendrons

(2,20) r, = r* pour l= m; A = A A-i = ^

Ce choix est possible en vertu du

Lemme 4. QweZ gw sozi rentier l, la fonction f(z)Rl(z) est

holomorphe dans le domaine non borné, limité par la frontière A>ainsi que sur cette frontière.Pour le voir, il suffit de confronter les définitions (2,16), (2,17)

et (2,20) et les inégalités (2,18).Passons maintenant à l'estimation de f(z)Rt(z) sur Tv De

(2,17), nous tirons, pour l l2i x


log\f(z)Rl(z)\ = S log3=1

< S max,

3=1 18-^1= —

r>

= S max | log3=1 — l

log

*ï(—)

J\z— a,/

*ï(—)

•'\2 — a.,/

%(t)

En vertu de (2,18), nous sommes dans les conditions d'appli¬cation du Lerame 2.

Il existe donc s nombres positifs Bv B2, . . ., Bs, tels que

max {log |/(*)/?,(«) |} ^ (^+52+ • • • +Bs)l dès que l ^ *.

a sur J",

Lemme 5. Il existe un nombre positif L, tel que

max \f(z)Rl(z) | <ï eu dès gue Z 2; x.

a sur T^j

12. Estimation de F(Çj, Ç2,..., Çn) sur les contours

d'intégration. Cette estimation fait l'objet du Lemme 7; nous

établirons au préalable une inégalité que nous formulons sous

forme de

Lemme 6. Soient

nx, n2, . . ., n„ fi nombres entiers,

Yi, 72) • • •> Vu, P nombres positifs,

satisfaisant aux conditions

I. nv ^ 2 (v=l, 2, . . ., (t);

IL nj_ + n2 + \-nft = n.

Sous ces hypothèses

ni log nt n2 log n2

yi 7i+ + >.

"yi+y2H i-jv(log« — log/*).

La fonction réelle r/ = «Vlog x tourne sa convexité vers le

bas, dès que x > Ve. D'une propriété connue des fonctions

convexes, il résulte, en vertu de I,

27 Sur les déterminants récurrents d'une fonction.

», + »»,+ ... +»/.l/i /"i + "»H hn^,\ n. Vog n1+n!îv'lognlH +n^VIo8n/

et de l'hypothèse II

»1 log »! »2 lOg Jlj

raVlog n — log /* < -=— V^ H -=— Vy2 +Vyi vn

En appliquant l'inégalité de Cauchy, il vient

n2(log n—log/<) <L- /l

«,. log »„~],

+ ...+^i_AjiJ(yi+y2+...+7/<).Lemme 7. Considérons une répartition des variables Ç, sur

les contours d'intégration r, telle que:

Ci sur rc (1=1, 2, . . ., n),

quelconque par ailleurs. Pour n ->- + oo, on a

n2 log n

| V(Çlt C» . . ., Cn)\ ^ e°(B,,e »<"x+«',+-+«'.).

Désignons par f^, Cjz, • -, Cjnj les n^ variables voisines de oc^

(2,2i) | v(cv t2,..., cj | = n |£A-f„|0<A<»>Sm

«(«-!)s

=g m* n| v(çn, c,2,..., c, ) |

i=i

où M = max {l, max | ^ — £„ |}.A,»>

Mettons C^ sous la forme

SjA = «* + fytf

nous pouvons supposer

d'où

(2,22) | vu» cj2,..., ttj i ^ 12^ r11 ai,,, p-2... 12Viinj \n<-n>.

On sait que

| ^ I ^ ^ Pour ^=1> 2> • • •> »—!; I % I = —r Pour A ^ *•

Albert Edrei. 28

L'inégalité (2,22) devient

/1»j-i2"r*2 • • -nnrni)a'

Pour w -> + oo,

(2.23) | V(Cn, C,-2, • • -, bn,) | ^ e°(»2'V +-*-.

W)a>

En combinant (2,21) et (2,23), nous obtenons

(2.24) | V(tlt U, -, U | ^ c0'"2» Û (1^2 • • • ny»*)ff'(»yîf "'•

3 = 1

Soient «,-,»•,..., n,- ceux des nombres «• supérieurs à 1.

On a manifestement

n,- + n,- + • • • + m,- > n — s.

Mettons (2,24) sous la forme

| V(ZV f8,..., fB) | <S e°<»2> fi (1*. 2* • • • <- )"<- (n,,!)_5£ ;

j)=i

en tenant compte des inégalités

— <— et 1*22 • • -nn <n1 + 2 + •••+»,w! n"

il vient

/*

fn,

(n-

+1)

n) ] un)

7>, <V v-i|ffy„

n

(n, (n*+1)

n? 1 » n2

\og\V(Ç1,Ç2,...,U\^0(n>)+ï \±-± Jr hog„ +s -^,

f n2 log n.-

log | V(CV C2, . . ., fJ | ^ 0(n2) - S3"

v=i 2a^

En appliquant le Lemme 6,

(n—s) [log(n—s) —log/x]log I V(Çlt Ç2, . . ., CJ| ^ 0(«2)

log | V(CVC2, . . ., f.) ^ 0(n2) -n2 log n

2{oi+o»+ \-o.)

29 Albert Edrei.

13. Démonstration du Théorème III. Mettons la formule

(2,2) sous la forme

n ç,(oLl=l

F(&, C...,£„)#id£8 •••#„.

Soit N la longueur du plus grand des contours d'intégration,de (2,25) on tire

>|^{nmax|/(C)i?,(C)|(2jr) U=lfsur.T(

n -1

n max 10,0 | max | 7(CX, C2, . . ., CJ |.2=1 £ sur r. J

Appliquons le Lemme 5 à l'estimation de max |/(C)i?j(C)|, et

£surr,

le Lemme 7 à l'estimation de max | V(ÇV C2> . . ., f„)|; il vient

m2 log n

n max 10,(01•/=* £sur.T,

(2,26) |i4jft' | ^e0(M2)e «ff1+ff,+ -+^

Pour l ^ x, C; est sur JP,*, donc sur l'un des cercles ©*(/),Ë*(?), . . ., ©*(/); soit K* (?) le cercle sur lequel le maximum

de | Qi(C) | est atteint. L'expression | Ç/(C) | contient le facteur

<pmi(i—i)

I *.iPm.C—!) j'Pm.i1—'1), aml

I C-

«m, 1' = -4 ' *

Le degré de Ç;(C) est égal à (l—1); il existe donc un nombre

positif S, indépendant de l, tel que

(2,27) max|Q,(Ç)| ^S"!fsurPj

On a posé

?v(z-i)„

"»", _ 5«-i i *ax+aï+---+a,

l

c'est-à-dire

'

°i + <y2 + \~ aspour l ^ x,

(ï-1) ï -1

Z

K+CT2+ h<7s)

Sous cette dernière forme, on voit que, en vertu du Lemme 3,

lim 0=1.


Posons encore

61 = 02 = • • • = ft^ = 0;

en combinant (2,26) et (2,27), et en prenant les logarithmes

log | 4*> | <£ 0(»«)nU°gn

2((r1+<r2+... +or.)

0! 1 log 1 + 02 2 log 2 + .. . + 0„ « log n 1 log 1 + 2 log 2 + • •. + » log n

1 log 1 + 2 log 2 + •. • + n log n d + cr2 + • • • + a,

Divisons les deux membres par n2 log n et passons à la limite

n -* + oo, il vient

lim iog\A(Qn) |w2Iog n <Oi + 02 + +Os

Un second passage à la limite, e—^0, nous donnera l'inégalité(16).

14. Sur des simplifications notables de la démonstration

dans certains cas particuliers. Notre démonstration se

simplifie considérablement dans deux cas particuliers importants.Ie. Si f(z) ne possède qu'une seule singularité essentielle. (Cas

des fonctions méromorphes.) Les Lemmes 3, 5 et 6 deviennent

sans objet. Dans le Lemme 2, on prendra <p(l) = l; énoncés et

démonstrations des Lemmes 4 et 7 se simplifient considérablement.

2°. S'il existe une valeur /?, finie ou infinie, telle que Véquationf(z) — (5 n'ait qu'un nombre limité de racines.

En vertu du Théorème II, on pourra remplacer (2,1) par

(2,28) M = h(^)h(~)---K(^).Il sera commode de remplacer la formule (2,2) par la formule 18)

(2,29) 4»)=_1-1 f J ... jf(Ç1)f(t;2)...f(Çn)VZ(Ç1,Ç2,...,Çn)d?;1dÇ2...dÇn

r* étant défini par (2,19) [4=1], Les Lemmes 2, 3 et 4 de¬

viennent sans objet. Au lieu du Lemme 5 on utilisera directement

la notion d'ordre d'une fonction entière. Les Lemmes 6 et 7 sont

à remplacer par d'autres, beaucoup plus simples à démontrer.

18 ) Observons, en passant, que l'on a

V&, f„..., o = V&-P, c2—p,..., :n-p),

quel que soit le nombre /?. La propriété I du § 4 est une simple conséquence de

cette remarque.

31 Albert Edrei.

CHAPITRE III.

Les fractions continues du type de Grommer.

15. Fraction continue et série entière associée. Con¬

sidérons la fraction continue (17), où les ln sont des nombres

complexes quelconques, et les kn des nombres complexes, tous

différents de zéro, quelconques par ailleurs. Nous appelerons ce

type de fractions continues: le type de Grommer 19). Définissons

deux suites de polynômes par les formules de récurrence

(3.1) P0(z)^0; P^z)^; P„(z)= (z-UP^^-MV^*)

(n^2);

(3.2) Q0(z)si; &(*)sz-li; Qn(z) = (z-ln)Qn^(z)-knQn_2(z)

(n^2).Ces formules nous permettent de poser

Pn(Z) = fclZ»-l + Pm2*»-2 +--- + Pnn (» ^ 1),

Qn(z) = s» + qnlz«-i + + qnn (n^l).

De (3,1) et (3,2), on tire aussi les formules

(3.3) QnPn+l - PnQn+l = K K ' ' ' K+1 (fl ^ 0),

(3.4) fïtî_

£==

kJhlll^}=d_m

+ ^±1 + . . . tn>0).

On sait que la nième réduite de (17) peut se mettre sous la forme

Considérons la série

/Q C\ V J a"+1' 2n__l_

0"+1' 2n+1 l «0,

«1. . «n

,

(3>6) ^o|-^r+ ~^s~f

=

T + "?+ h^+'"'

nous dirons avec M. Perron 20), que cette série est associée à la

fraction continue (17). Nous ne nous préoccuperons pas tout

d'abord de la convergence ou de la divergence de (3,6): quelques-uns des théorèmes que nous énoncerons sont de nature purementformelle. De (3,4) et (3,6), on tire la

Propriété fondamentale. Pour tout n ^ 1, le développement

19) On trouvera, au § 23, la justification de cette désignation.20 ) Au sujet des notions et des méthodes utilisées dans ce chapitre, on consul¬

tera: O. Perron, Die Lehre von den Kettenbriichen, 2. Aufl. [Leipzig, 1929],

Kap. VII et VIII. Voir, tout particulièrement, les p. 324—326.


(3,5), de la nième réduite de (17), coïncide avec la série associée,

jusqu'au terme en -^j, ce terme non compris.

En faisant usage de cette propriété fondamentale, en identifiant

des coefficients et en résolvant des systèmes d'équations linéaires,on obtiendra

(3,7) A;1 = 41» = a0; 4<»+« = k,k2 • • kn+1A (n^l),

d'où l'on conclut que: pour la série associée à une fraction con¬

tinue du type de Grommer, les déterminants de la suite (9) sont

tous différents de zéro. On peut alors écrire

(3,8) <?»(*) =A(n)^0

ûo ax . «n-l a„

«1 a2 . • «n an+l

a„_i an . û2ti-2 a2n-l

1 z . z"-1 Z"

De (3,2), on tire

(3.9) qn =- h; qnl = gn_ui - ln

et, en posant ç00 = 1,

(3.10) qnn = ln qn-l,n-l "V» Çn-2,n-2

En posant

(3,11) A- 7 . j(»).

a0 Oj

ai a„ -*n-l "n+1

u2n—3 "2n-l

on peut écrire (3,9) sous la forme

(3,12) hrW

fW

r(») (n-1)

,<") , (—1)

(n^2).

(ne 2);

(n^2).

Si tous les termes de la suite (10) sont différents de zéro (ce

qui, pour les séries associées aux fractions continues de Grommer,

n'est pas nécessairement le cas), on peut mettre la formule (3,10)sous la forme

(3,13)

.W7 — '

• /AU/A?

,A?/A*

w/,wA^A

+iW

(n^3).

33 Albert Edrei.

(3,14)

16. Sur les séries entières ayant des déterminants

récurrents prescrits. Soient

(n \nt(1> a(2> aSn)

K^o) ao > ao > • • •' ao ' • • •

\&q) a0 , a0 , . . ., <x0 , . . .

\ai/ *i ' î ' • • •' î > • • •

trois suites de termes complexes. Nous supposerons la suite (Ôq),absolument quelconque; les suites (ocq) et (ax) auront tous leurs

termes différents de zéro et seront quelconques par ailleurs.

Par de simples combinaisons des formules précédentes, on

obtiendra quelques propriétés des séries entières. Nous les énon¬

cerons sous forme de

Proposition 1. L'ensemble des séries, pour lesquelles

«W = A (n=l, 2, . . ., v, . . .),

est identique à Vensemble des séries associées à la fraction continue

| z—lx | z~h | z~h | 2 — h

la suite des ln étant absolument quelconque.

Proposition 2. Il existe une et une seule série telle que Von ait

simultanément

âin) = ^ J(n=l, 2, ..., v, ...)

Cette série est associée à la fraction continue (3,14) et la suite

des ln se calcule par les formules (3,12).

Proposition 3. Il existe une et une seule série telle que Von ait

simultanément

„(n) A{n) 1

*..*;«} <"=1-2 -••»•

Cette série 21) est associée à la fraction continue (3,14) et la sui¬

te des ln se calcule par les formules (3,13).Dans le paragraphe suivant, nous démontrerons les relations

(1,1) et (1,3). Le reste du chapitre est consacré à la question

21 ) En vertu du Théorème I, et en reprenant ses notations, on peut affirmer

que cette série n'est nulle part convergente, si

l 1

lim | œo I r lim «i


suivante: dans les circonstances fixées par la Proposition 1, que

peut-on affirmer de la nature analytique des fonctions représentées

par les séries associées à (3,14)?

17. Sur la substitution z\z—P; démonstration de la

relation (1,3). Ecrivons la fraction continue (17), sous la forme

"-1 "-2 | "-n I(3,15)

\t-Vi-P) | <—«*-/») \t—(lK—p)

où l'on a posé t = z — /?, fi désignant un nombre complexe

quelconque. Soit

JL + J- _|_jn+l

"T

la série associée à (3,15); on s'assure aisément que cette série

n'est autre que le développement de centre /? de la série (3,6).

Appliquons les formules (3,7) à (17) et (3,15), il vient

A" =k1 = B? Ai(-H-1)

0 ' An)k-Jt^ •h

B'o(<H-l)

re+1

B,(»)

(n^l).

Si tous les A^ sont différents de zéro, ces formules sont équi¬valentes à la relation (1,1). En observant que A^ = B1^ est

une égalité algébrique, il est facile de se débarasser de l'hypothèserestrictive A^ ^ 0 (n=l, 2, . . ., v, . . .). Notre méthode de

démonstration donne d'ailleurs un peu plus que les relations

(1,1); elle prouverait aussi bien l'identité

b„ 6„_i

^2n-2 "2n+l

(2-/J)-1 <« —#"

Passons maintenant à la démonstration de (1,3). En vertu

d'une remarque déjà faite pour (1,1), il suffit de démontrer la

relation dans le cas A^ ^ 0 (»= 1, 2, . . ., v, . . .).Considérons la série (3,6), associée à (17), puis le dévelop¬

pement formel

«0 ax . «n-l a„

Ol a2 . • an °>i+i

a«-i an . a2n-2 a2n-l

1 z .z"-1 2"

h bx ...

h 62 ...

b„-i 6. ...

1 (*-/?)••

^ L 2'

22 2"+!' J

<*! ^11

On s'assure aisément que cette dernière série est associée à

h \z—l. \z— L

35 Albert Edrei.

Des formules (3,7), on tire les relations

D = 1; &» =k1 = A?; -^ = kjc% -kn+1 = -^ (n^l),

équivalentes à (1,3).

18. Considérations générales, introduisant les Théo¬

rèmes IV et V. Considérons la fraction continue (17) et la

suite des réduites

£L II £n01

'

<?*'"•' <?n

Si l'on se propose d'élucider les questions relatives à la conver¬

gence de cette suite, on est naturellement amené à rechercher

les points-limites des racines de la suite

(3.16) &(*), Qt{z), . . ., Qn(z), . . ..

Examinons la définition (3,2) de Qn(z). Si \kn\ est très petit,le polynôme Qn{z) différera assez peu du polynôme (z—ln)Qn-i(z)'>si tous les | kn | sont très petits, le polynôme

(z-h)(*-h) ' • • (*-*»)

constituera donc une assez bonne approximation de Qn(z). Dans

le Lemme 8, nous donnerons une forme précise à cette idée.

Nous rechercherons ensuite, dans quelles conditions les ln donnent

également des approximations des pôles de la fonction représen¬tée par la série associée à (17); la Proposition 4 résume nos

résultats dans ce sens. En choisissant convenablement les ln,nous obtiendrons l'affirmation 2° du Théorème IV; l'affirmation

1° est déjà contenue dans l'annotation 21), relative à la Propo¬sition 3. Avant de pouvoir démontrer 3°, nous devrons rechercher

des classes de fractions continues représentant des fonctions

méromorphes d'ordre fini (Proposition 6). La Proposition 6,

rapprochée du Théorème III, nous donnera le Théorème V; elle

nous permettra également de compléter la démonstration du

Théorème IV.

19. Sur les racines de Qn(z) et la convergence de (17).Considérons une suite de cercles, extérieurs les uns aux autres

(3.17) <&» ©2, ...,<£„,.. .,

dont les centres sont respectivement


(3.18) l^, l2, . . ., ln, . . .,

et les rayons

(3.19) rl5 r2, . . ., rn,

Lemme 8. Si la suite

(3.20) | kx |, | k2 |, . . ., | kn |, . . .

est assujettie aux deux conditions

(3.21) 0 < V\ kn | ^ —^- (£>0; n=l, 2, ...,v, . . .)

(3.22) l^l^l^l^-.-^l^l^...,

fe polynôme Qn{z) a une racine à Vintérieur de chacun des cercles

©!, <£„ . . ., (£B (n= l, 2, ..., r, . . .)•Considérons le domaine défini par les w inégalités

| z — ^i | ^rv | z — Z2 | ^ r2, . . ., | z — ln | ^ rB,

et évaluons, dans ce domaine, les polynômes Qv{z) (v^n). Des

relations (3,2), on tire

\QV\ ^ \z-lv\ IQ^I - \kv\ \QV_%\ ^rv\Qv_,\ - \kv\ |Ç,_2| (v^2).

De l'hypothèse (3,21), il résulte

(3.23) \z-lv\ \Q,_X\ - \kv\ |Ç,_2| > (2+e) V\k~v\ \QVJ - \kv\ \QVJ

^ [(l+e)V\K\ + ~ V\K\] \QV_X\ - \kv\ |Ç„_2|

= ^\Q^\ + ^+^N{\Qv-,\-^\Q^\}-En vertu de l'hypothèse (3,22)

l&l-r^Wil^(i+*WK\{\Q^-T~\Qv-*\} (^«)-

De ces inégalités, pour v = 2, 3, . . ., n, on tire

\Qn\ -^Wii ^ (i+«rvi*A---Awi{ifti-^}.Finalement

(3.24) \Qn\^\Qn\ -^^l^-xl è (l+8)nV|fclfc1...«!n|>0,

car, en vertu de (3,21) et (3,22), on a

37 Albert Edrei.

M>l -TT7^"ITT^ (2+£)VN-^ Xi-HOVm

Nous venons de démontrer que toutes les racines de Qn(z)sont à l'intérieur des cercles $v E2, . . ., ©»• Nous avons suivi

une méthode équivalente, quant au fond, à celle 22) par laquelleM. Pringsheim obtient des conditions suffisantes pour la conver¬

gence d'une fraction continue numérique. Nous allons mainte¬

nant, par induction complète, démontrer qu'il n'y a qu'uneracine de Qn(z) dans chacun des cercles ©x, Ë2, . . ., ©„. Observons

que Q^z) a manifestement une seule racine dans fëj et supposons

que Çm-i(z) ait juste une racine dans chacun des cercles

©p e2, . . ., ©„_!• Le polynôme (z—ln) Qn^(z) aura alors justeune racine dans chacun des cercles Kj, ©2, • • •> ®»-i> ®«> Par

application du théorème de Rouché, nous allons vérifier cette

propriété pour Qn(z).Il suffit de s'assurer que, sur les circonférences de ©x, fë2, . . ., ©n,

on a

l* — *n| I 0n-l| > |&n| l Ç«-2 |-

En tenant compte de (3,21) et (3,24), il vient

Mn[ |<?»-l| ~\K\ |Çn-.| ^(2+«) V^| (|Ç»-l|-~7 |<2n-2|)><>c.q.f.d.

Lemme 9. Dans Ze domaine S)n, défini par les inégalités

\z — lv\^rv (v—n, n+1, . . ., n+m, . . .),

et sous les hypothèses du Lemme 8, la fraction continue

Kn | "n+1 | "->i+m |

| z '« | z 'n+1 [ z 'n+m

est convergente. Sa valeur fn{z) satisfait à Vinégalité

1 + e

Il suffit évidemment de démontrer la proposition pour n = 1.

Grâce aux relations (3,4), tout revient à prouver la convergence

de la série

-fil Kf Ka K-t lia • • • /t_-

3,25) Uz) = — + -JL±- H 1- — - H

dans le domaine 2)r De (3,24) et (3,25), nous tirons

22) Cette méthode est exposée à la p. 255 du traité cité de O. Perron.


|/l(2) I < y^lhl+

^Itl}+ . . . +

Vlfc"'+ . .

., pour z dans 3^;

et de (3,22)

i ^1 *i

1 +£ !

(l + e)

Observons que la convergence de (3,25) est uniforme dans 2^;donc, dans chaque domaine connexe, intérieur à ®ls la somme

fiiz), de la série (3,25), est une fonction holomorphe de z.

20. Enoncé et démonstration de la Proposition 4. Con¬

sidérons la suite de cercles (3,17); nous supposerons tous ces

cercles contenus dans le domaine \z\ sS R. Cette hypothèse

implique, puisque les cercles sont extérieurs les uns aux autres,

la convergence de £r^, et aussi, par conséquent,

(3,26) limr„ = 0.

n —>oo

Proposition 4. Soit 3) un domaine ouvert et connexe, con¬

tenant le point oo et ne contenant aucun point-limite de la suite

(3,18). Sous les hypothèses du Lemme 8, et en supposant tous les

cercles Êm, contenus dans le cercle \z\ < R, la série associée à la

fraction continue (17) est convergente pour \z\ > R. Elle re¬

présente un élément de fonction analytique f(z), méromorphe dans

le domaine %. Si Von remplace Vhypothèse (3,21) par Vhypothèse

(3,27) V|fcn|<^ (n=l,2,...,v,...),

on peut même affirmer que f(z) possède un seul pâle simple dans

chacun des cercles ©m.En vertu du Lemme 9, la fraction continue (17) converge

pour | z | > R; soit/(z) sa valeur. La série associée à (17) converge

également dans ce domaine, et sa somme vaut/(z) (Théorème de

WeierstraC). Soit 5), un domaine fermé, intérieur à ®, et ad¬

mettant le point oo pour point intérieur. En vertu du Lemme 9

et de (3,26), il est possible de trouver un indice N, tel que pour

n^N, fn(z) soit holomorphe dans 3). Pour \z\ > R,

(3 28Ï f( ) = —^—!-

—^J-

fcn-i |^

P_i(8)—P_»(a)/.(«)

Cette expression nous donne le prolongement analytique de

39 Albert Edrei.

f(z), dans le domaine ® (à supposer que ® soit un domaine plusvaste que le domaine de convergence de la série (3,6)).

Il est bien visible que f(z) est méromorphe dans le domaine S;

la première partie de la Proposition 4 se trouve donc démontrée.

Les racines de l'équation

(3.29) &,_!(«) - ÇB_,(2)/n(a) = 0

sont les seuls pôles possibles de f(z), dans ®. Toutes ces racines

sont effectivement des pôles. En effet, dans le cas contraire, il

y aurait une racine z* de (3,29), qui serait aussi racine de l'équation

(3.30) P^z) - Pn-2(z)fn(z) = 0.

Ceci impliquerait

Pn-l(Z*) P„-2(Z*)

Ç_l(**)Ç-l(«*)o,

relation incompatible avec (3,3). La démonstration de la Propo¬sition 4 s'achève par l'application du théorème de Rouché, à

l'équation (3,29). En vertu de (3,27),

(3,31) VlkJ <2 + 1

(n=l, 2, . . ., m, . . .).

Nous poserons e = 1, dans les Lemmes 8 et 9. De (3,31) et

du Lemme 8, on déduit que Qn(z) a un zéro simple, dans chacun

T

des cercles de centre lv et de rayon —— (v=l, 2, . . ., n).

Sur les circonférences des cercles (£, on a

ji{|«-/,l —r}<ie.(*)l <jn||«-j;|+-S-Jdonc aussi

Ç-i(«)(3,32)

&»-.(*)>i

m-2 \Z K\~o

n—2

v=l 2-^vl +>V

\"—l I—- >23«-2

Du Lemme 9 et des hypothèses (3,22) et (3,27), on tire

|/„| ^4 V|/bn|^4 V|^_xi<2 r„

3 i --» — 3 i --T.-H-

g 2-3"-1

En reprenant (3,32), il vient finalement

I <?-i(s)

3"(n^2).

Ç«-t(«)

9

>v !/»(*) I^l/»(»)|


Notre Proposition 4 se trouve ainsi complètement démontrée.

L'affirmation 2° du Théorème IV en est un simple corollaire:

il suffit de choisir convenablement la suite des ln. Voici comment

on procédera:On fixera, une fois pour toutes, la suite des rn. Il sera suffisant,

et commode, de supposer la convergence de 2 rn. Puis on fixera

la suite des kn, en faisant les hypothèses (3,22) et (3,27). Nous

allons maintenant montrer qu'il est possible de choisir les centres

ln, des cercles ©, de manière que

I. les © soient tous situés dans le domaine de méromorphieprescrit pour f(z);

II. les (£ soient extérieurs les uns aux autres;

III. l'ensemble $ des points-frontière du domaine de méro¬

morphie prescrit pour f(z) soit identique à l'ensemble des pointsd'accumulation des ln.En vertu de la Proposition 4, si ces trois conditions sont

réalisées, l'ensemble % est aussi identique à l'ensemble des pointsd'accumulation des pôles que l'on trouvera dans chacun des ©.

Comme l'a montré M. Besse, ceci ne permet pas encore d'affirmer

l'impossibilité de prolonger f(z) au delà de la frontière g: il sera

encore nécessaire de prendre certaines précautions 23) dans le

choix des ln. Il semble, au premier abord, que la réalisation de la

condition II soulève l'objection suivante: la suite des rn ayantété fixée, une fois pour toutes, ne se pourrait-il pas que la décrois¬

sance de cette suite fût trop lente pour assurer une liberté suffi¬

sante dans le choix des ln"! Non, comme il est facile de s'en rendre

compte en effectuant le choix des ln en deux opérations distinctes:

on fera un premier choix, -provisoire, de tous les ln, puis on modi¬

fiera convenablement une suite partielle

(3,33) lni, ln%, . . ., ln., . . .

de termes de la suite provisoire.

Supposons d'abord, que le domaine de méromorphie imposé à

f(z) se compose de tout le plan complexe, à l'exception d'un

point d'affixe fini: a. On tracera, par exemple, une droite issue

23) M. Besse a remarqué l'insuffisance de la plupart des constructions de fonc¬

tions ayant un domaine d'existence (ou de méromorphie) prescrit. Comme il l'a

montré, les constructions considérées jusqu'à maintenant comme rigoureuses sont

faciles à corriger dès que l'on a compris l'objection qu'il leur fait. Voir: J. Besse,

Sur le domaine d'existence d'une fonction analytique [Commentarii Math. Helvet.

10 (1938), 302—305].

41 Albert Edrei.

de a et l'on disposera les ln sur cette droite, de manière que a

soit leur seul point d'accumulation. Ceci est possible en vertu de

la convergence de £rB.Dans ce cas particulier, ce choix des ln sera le choix définitif.

Si le domaine de méromorphie, imposé à f(z), est plus com¬

plexe, ou prendra pour a un point-frontière convenable de ce

domaine. La construction précédente nous livrera le choix

provisoire des ln. Le choix définitif sera obtenu en disposantconvenablement, dans le domaine de méromorphie, les termes

de la suite partielle (3,33). Ici, nous ne serons pas gênés par

une décroissance trop lente de la suite

puisque nous avons toute liberté dans le choix des indices »f.

21. Fractions continues et fonctions méromorphes. De

très légères modifications des méthodes du § 19 ou l'applicationdirecte des conditions de convergence de M. Pringsheim per¬

mettent de prouver la

Proposition 5. Soit (17) une fraction continue, telle que

I. lim | kn | = 0,n—> oo

IL \ln\^R< + co (n=l, 2, . . ., v, . . .),

III. la suite (3,18) a exactement s points d'accumulation

Sous ces hypothèses, la série (3,6), convergente pour \ z\ > R,

est un élément de fonction quasi méromorphe, admettant au pluss singularités essentielles dont les affixes ne peuvent être que

al> a2î • • •» *«•

Nous établirons maintenant des théorèmes relatifs à l'ordre;

nous nous bornerons au cas s = 1 (cas des fonctions méromorphes).Par une translation éventuelle, nous amènerons la singularitéessentielle à l'origine.

Proposition 6. Sous les deux hypothèses

(3.34) ÏÏm \kn\2logn = e e' (o^e'< + oo),n—>°o

et

î i_

(3.35) Km" | ln |10^ = e e" (0^o"< + ao),

la fraction continue (17) représente une fonction méromorphe de

z-1, d'ordre au plus égal à q = max{g', q").


Considérons le domaine ©m, défini par les inégalités

(3.36) \z\ > \lv\ +2V\kv\ +2VIV1-1I (v=n, n+1, . . .).

Sa frontière rn est une circonférence de rayon Rn. De nos

deux hypothèses (3,34) et (3,35), on tire, pour tout nombre

positif ô,

i_

(3.37) Rn < 5 n e+ô, dès que n > K{ô).

En reprenant les méthodes et les notations du § 19 (ou en

appliquant les critères de convergence de M. Pringsheim), on

verrait que/m(z) est holomorphe dans ®n, et que dans ce domaine

(3.38) \fn{z)\^A,

où A désigne une certaine borne finie, indépendante de n.

Par l'inégalité de Jensen, nous évaluerons le nombre de pôlesde la fonction

(3.39) f{z) = P^z£^,dans %n (nous effectuerons, plus loin, le détail de cette opération).En faisant, dans (3,39), n = 2, on verra que ce nombre de pôlesest aussi le nombre de racines, dans %n, de l'équation

(3.40) *-/a(z)=*i.

Le premier membre de (3,40) est une fonction méromorphe

de —; soient2

Zi(*i)> z2(Ji)> • • •> Zv(*i)> • • •

toutes les racines de l'équation (3,40). Nous considérons ces

racines comme des fonctions du second membre et nous démon¬

trerons la convergence de

(3.41) £ | *,(*,) r^ (>?>0).

Le nombre q ne dépend que des propriétés-limites des kn et

des ln; donc, ne dépend certainement pas de Zx: la série (3,41)est convergente, quel que soit le nombre lv Faisons prendre à

lx trois valeurs distinctes; d'un théorème de M. R. Nevanlinna 24)

il résulte que l'ordre de la fonction méromorphe fJ—j n'excède

4) Voir, par exemple, les énoncés de la p. 72 du traité cité de R. Nevanlinna.

43 Albert Edrei.

pas q. En faisant, dans (3,39), n = 2, on verra que l'ordre de

/(—) n'excède pas q.

Voici maintenant comment on appliquera l'inégalité de Jensen.

Dans la formule (3,39), divisons numérateur et dénominateur

par z71-1. Les nouveaux numérateur et dénominateur sont des

fonctions holomorphes pour

i_

(3,42) | z | ^ bn e+<5, dès que n ^K(ô);î

ceci en vertu de (3,37). Désignons par M{5n e+<5), le module

maximum de l'expression

l_

dans le domaine (3,42); et soit 9<i(l5n e+ô), le nombre de pôlesi_

de f(z) (ou de zéros de (3,43)) dans le domaine | z\ ^ 15n s+s.

Observons que la fonction (3,43) vaut 1 au point à l'infini, et

utilisons l'inégalité de Jensen sous la forme 2S)

i_ i_

(3.44) 9l(15n e+ô) ^— logM(5n e+<5).

Les zéros des polynômes de la suite (3,16) sont bornés dans

leur ensemble. Il existe donc une constante B, telle que

(3.45) | <?„(*)| <Bn pour | z \ < 1.

En estimant le second membre de (3,44), on tiendra comptede (3,38) et (3,45) et on obtiendra

i_ i_

«B(15n e+ô) ^~^ logM{5n e+ô) = 0 (nlogn).

Nous n'insisterons pas sur la façon classique dont on déduit,de ces dernières relations, la convergence de (3,41).

22. Achèvement de la démonstration du Théorème IV

et démonstration du Théorème V. Pour démontrer l'affir¬

mation 3°, du Théorème IV, on choisira convenablement les lnet les r„.

25) Pour cette forme de l'inégalité de Jensen, voir, par exemple: E. C. Titch-

marsh, The Theory of Functions [Oxford, 1932], 171.


En prenant, par exemple,log n

(3.46) ln = e e (e>0); rn = e~n\

la série associée à (17) aura une seule singularité essentielle,d'ordre q. En effet: l'exposant de convergence des pôles de la

fonction méromorphe /(—1 sera égal à q (en vertu de la Propo¬

sition 4) et en combinant cette remarque et la Proposition 6,

on verra que l'ordre de /(—) est exactement égal à o. Pour obtenir

une fonction d'ordre nul, on remplacera (3,46) par

(3.47) ln = e-nl0*n; rn = e~»\

Observons que dans (3,46), aussi bien que dans (3,47), on a

rn = e~n2 et que ce choix des rn fait converger la série S rn.

On peut donc, comme le veut l'énoncé du Théorème IV, affirmer

simultanément 2° et 3°. Remarquons enfin, que l'affirmation 1°

est toujours possible, tout à fait indépendamment du choix des

rn. Le Théorème IV se trouve ainsi complètement démontré et

nous passons à la démonstration du Théorème V. De propriétésconnues des suites on tire l'inégalité

î î

Rm | ft» k^1 • kl_, kl flog »

^ ïïïn" \kn |2log ".

Si la suite des | kn | n'est pas trop irrégulière, on a même

î i

Km" \KK-x--kl_1knfl0gn= iS \K\2loën.

Dans ce dernier cas, on peut faire des affirmations précises sur

l'ordre de la singularité essentielle de la fonction représentée

par (17): on obtiendra le Théorème V en utilisant les formules

(3,7) et en combinant l'inégalité (7) et la Proposition 6.

CHAPITRE IV

Sur les fonctions du type : f(z) =' dx.

J Z" X

a

23. Intégrales de Stieltjes et déterminants récurrents.

Dans les premiers paragraphes [§ 23, 24 et 25] de ce chapitre,nous étudierons des éléments de fonctions représentables sous la

forme

çP dif(x)(4,1) /(*) = /

45 Albert Edrei.

L'intégrale du second membre est une intégrale de Stieltjes;la fonction réelle y(x) est une fonction monotone, non décrois¬

sante et bornée; les limites d'intégration sont des nombres réels,

finis; la représentation (4,1) est valable pour tous les z non situés

sur l'intervalle réel (a, /?).Les relations, entre le développement (1) de (4,1) et les frac¬

tions continues du type (17), sont fort connues depuis que Grom-

mer a généralisé 26) les belles recherches de Stieltjes, relatives au

„problème des moments". Pour l'intelligence de chapitre, il nous

suffira de rappeler une très petite partie des résultats de Grommer;

nous nous contenterons d'énoncer la proposition suivante:

Soit (1), une série entière à coefficients réels, convergente pour

\Z\>R-Pour qu'il existe une fonction réelle ip{x), définie dans Vintervalle

réel ( — R, R), non décroissante et bornée, effectivement croissante

en une infinité de points et telle que

(4.2) an=\ xndf(x) (n = 0,l,...,v,...),-R

il faut et il suffit que

(4.3) 4"> >0 (n = l, 2, ..., v, ...)•

De l'existence d'une représentation de f(z), du type (4,1), on

déduit [en vertu de (3,7), (3,12), (4,2) et (4,3)] la possibilitéd'associer, au développement de f{z), une fraction continue du

type (17) où: tous les kn sont positifs et tous les ln réels 27).

Considérons, dans ce cas particulier de Stieltjes-Grommer, la

suite de polynômes (3,16), définis par (3,8). Remplaçons z par

x, dans cette formule; multiplions en les deux membres par

xm dip(x) (m entier, non négatif),

et intégrons entre les limites — R et + R.

En tenant compte de (4,2), il vient

, + K

(4.4) I xm Qn(x) dyj(x) = 0 {m<n);-R

+ R /«+D

(4.5) f a» Qn(x) dy>(x) = -^- (n^l).-R

u) J. Gkommeb, Ganze transzendente Funktionen mit lauter reellen Null-

stellen [Journal f. r. u. angew. Math. 144 (1914), 114—165].

") Nous appelerons le cas particulier de (17), ainsi défini: cas de Stieltjes-

Grommer.


On peut aussi exprimer (4,4) et (4,5), sous forme de relations

d'orthogonalité :

(4.6) j+ Qm(x)Qn(x)dy,(x)=0 (m#«);-R

(4,7-) j+RQl(x)df(x)=^- (n^l).-R

A«

Par des méthodes classiques, on peut déduire, de ces dernières

relations, une importante propriété des polynômes Qn(x).Soit Un(x), un polynôme réel, de la forme

UJx) = aï" + • • ..

Il existe manifestement n nombres réels cv c2, . . ., cn, uni-

voquement déterminés, et tels que

(4.8) Un{x) = Qn{x) + Cl Qn_x(x) + • • • + cn_^ Qx{x) + cn.

De (4,6) et (4,7) on tire

(4.9) J £/*»#(*) = -^ + ^-^ + ...+4 ^>,

puis, par application de (4,3),

(4.10) | [/»#(*) ^ -^ =J &(*)<W*).-R ° -tf

Nous terminerons ce paragraphe, consacré aux généralités,

par l'énoncé d'un „principe de comparaison" dont nous aurons

besoin pour établir le principal résultat de ce chapitre.Considérons, d'une part, les quantités et expressions définies,

dans ce paragraphe, par y>(x) et, d'autre part, les quantités et

expressions correspondantes, définies par une seconde fonction

y>(x). En surlignant les symboles qui représentent ces dernières

expressions et quantités, nous les distinguerons des premières.

Proposition 7. Considérons les deux fonctions y>(x) et y>{x),non décroissantes et bornées, définies dans le même intervalle

(— R, R). Soient x1 et x2, les affixes de deux points distincts, situés

sur cet intervalle.

Si l'inégalité

(4,11) :> —

CC% «•j £% "?i

est valable pour tout couple (xv x2), elle entraîne les inégalités

. (m-i) t(»+i)Mi) > T(i). 21 >1L^ (n=l 2 v )

4

47 Albert Edrei.

La démonstration de cette proposition est immédiate. En effet,

l'inégalité (4,11) entraîne

f+RQl(x)dw(x) ^ j+RQl(cc)df(œ),-R -R

et, en appliquant (4,10) au second membre de cette inégalité,il vient

j+RQl(x)dw(x) ^ f+RQl(x)dy(x),~R ~R

c.q.f.d.

Nous aurons à utiliser ce principe de comparaison dans le cas

particulier où les fonctions f(x) et y>(x) admettent respectivementles dérivées <p(x) et q>(x), continues, sauf peut-être en un nombre

fini de points. La condition (4,11) sera remplacé par la condition

(p(x) ^ y(x),

réalisée en tout point de l'intervalle ( — R, R).

24. Une précision de l'inégalité de M. Pôlya, dans le

cas de Stieltjes-Grommer. Considérons y>(x) en un point |,

intérieur à l'intervalle réel ( — R, R): ou bien il existe un intervalle

ouvert I (de l'axe réel), contenant le point £ et tel que la fonction

y>(x) soit constante sur 7; ou bien, il n'existe pas de pareil inter¬

valle. Dans le premier cas nous dirons que f est un point de

constance de f(x); dans le second cas, un point de croissance 28).L'ensemble des points de constance de y>(x) est ouvert (sur l'inter¬

valle fermé (-R, R)) et l'ensemble E, des points de croissance,

est fermé. En outre, on vérifie aisément que Vensemble E jouitde la propriété (ty) (voir § 1), par rapport à f(z).

Cette dernière remarque nous amène naturellement à l'étude

des relations entre les propriétés limites des A{0n) et le diamètre

transfini t, de l'ensemble E.

Rappelons d'abord celles des définitions de M. Fekete, dont

nous aurons besoin. Soit Tn(x), le polynôme de Tchebyscheff,de degré n, relatif à l'ensemble E

Tn(x) = *"+....

Posons

(4,12) max | Tn(x) \ = mn;x sur E

28 ) Les modifications à apporter à ces définitions, pour le cas où { désigneraitl'un des points R ou — R, sont évidentes.


M. Fekete a démontré l'existence de lim m et c'est cette"n >

limite qu'il a appelé: le diamètre transfini de E. On sait que les

polynômes Tn(x) sont univoquement déterminés (si E contient

une infinité de points). De cette unicité découle nécessairement

la symétrie des racines 29), par rapport à l'axe réel et, par con¬

séquent, la réalité des coefficients de Tn(x). Nous pouvons donc

utiliser la relation (4,10) et, en combinant cette relation avec (4,2),obtenir

(4,13) ^-^J Tl(x)dV(x)^mlj dy,(x) = m%a0,A<> -R -R

puis,

~A[ry^m^fl»-.

En passant à la limite n -> oo, et en revenant aux définitions

de M. Fekete, il vient

(4,14) lim'A{rY

<T.

De l'inégalité (4,14), et de propriétés connues des suites à

termes positifs, il résulte

JL

(4,15) ÎÎH [A[n)]ni ^ t;

par contre, de (4,15) on ne peut déduire 30) (4,14).Au chapitre V, nous verrons qu'il est possible de choisir y(x)

de manière que le cas d'égalité ne soit point atteint dans (4,14)ni, par conséquent, dans (4,15).Pour que ce cas d'égalité soit atteint, il faut restreindre suffi¬

samment le choix de y(x). Avant de fixer notre attention sur ce

29) Par application de certaines propositions établies par M. Fejér, il serait

facile de démontrer que ces racines sont toutes réelles.

30 ) C'est là la raison pour laquelle nous disons que (4,14) constitue une précisionde (4, 15) (inégalité de la forme générale de M. Pôlya). Observons encore qu'il

serait très facile, en utilisant les formules (3, 7) et les méthodes du chapitre III,

de construire des séries du type (1), convergentes pour | z \ > R, associées à des

fractions continues du type de Stieltjes-Grommer, et telles que lim \Aq |n2 n'existen—><x>

pas. On ne peut donc songer à remplacer, ni dans (4, 15) ni dans (4, 14), lim par lim.

49 Albert Edrei

choix, nous établirons un ,,principe d'addition", applicable aux

fonctions admettant la représentation (4,1). Ce principe d'addition

jouera un rôle important dans la démonstration du Théorème VI.

25. Un principe d'addition. Posons

(4.16) max | Qn(x) | = Mn,x sur E

et soit Vn(x), un polynôme réel, de degré n, quelconque par

ailleurs. Qv{x) étant exactement de degré v, on peut manifeste¬

ment déterminer n nombres réels % vx, . . ., vn, tels que

(4.17) VJx) = va + v-, h • • • + v„ •.

De cette relation, on tire

(4.18) max | VJx) | ^ | v0 \ + \ vx \ + + \ vn \.x sur -E

On peut admettre que ce maximum de | Vn(x) | est atteint

en un certain point | de E, car E est fermé. En reprenant un

calcul déjà effectué (qui se base sur (4,6) et (4,7)), et en posant

[voir (4,7)]

(4.19) A = ~^-l+RQl^)df{x),Ao

-R

il vient

. + R

puis

V P„ Pi Vn1 -R

-(* + *; + ... + q(4* + 4* + ... + *£).En appliquant l'inégalité de Cauchy, au second membre de

cette relation, on obtient

^t/2,^,./^ (kl + kl + • • • + k\2

J" Vl(x)dW(œ)^— r 9 i J i

...i 2

et en tenant compte de (4,18)


(4,20) J V2n(x) dy>(œ) ^ —vm

M' M* M*— + ~ + 1

°

2'

2' '2

L'inégalité (4,20) est particulièrement intéressante dans le cas

où l'on peut effectivement calculer les quantités M et fi. Ce calcul

est très aisé pour ip(x) = x; dans ce cas particulier, des inégalitésdu type (4,20) ont été établies par F. Lukâcs 31).

Pour les estimations asymptotiques, que nous avons en vue,

il n'est pas nécessaire de connaître exactement les rapports —;

il nous suffira de savoir quen

(4.21) lim l/^ = l.

Définition. Nous dirons qu'une fonction de la forpie (4, 1)est du type régulier, si elle possède la propriété-limite (4,21) [voir

(4,16) et (4,19)].Entre les trois quantités mn, un et Mn, nous avons les relations

générales

(4.22) A^mla0.

et

(4.23) mn ^ Mn;

l'inégalité (4,22) est équivalente à (4,13); (4,23) résulte de la

définition même des polynômes de Tchebyscheff. Pour une fonc¬

tion du type régulier, on déduit de (4,22) et (4,23) les relations

j_

[^(»+i)-|2m2l i 2.

-%- = lim tf = lim ml = lim M£ = t.

Proposition 8. La somme d'un nombre fini de fonctions du

type régulier est une fonction du type régulier.Soient f^z), f2(z), . . ., fs(z), s fonctions du type régulier et soit

(4.24) /(») = fM + /,(*) + • • • + /.(a).

Considérons, pour chacune des fonctions fj(z), toutes les ex¬

pressions et quantités, définies, dans les paragraphes précédents,

pour f(z). Nous désignerons ces nouvelles expressions et quan-

31) F. Lukàcs, Verschârfung des ersten Mittelwertsatzes der Integralrechnung

fur rationale Polynôme [Math. Zeitschr. 2 (1918), 295—305].

51 Albert Edrei.

tités par les symboles correspondants relatifs à f(z), affectés

d'un premier indice / [par exemple: Mjn, Tin($in)].Posons

R = max (Rlt R2, . . ., R8).

Si Rj < R, nous étendrons la définition de fj(x) à tout l'inter¬

valle (—R, R), en posant

yijix) = ipj{R) pour x > R/,

et

y>j(x) = yiji — R) pour x < — Ry

Définissons ip(x) par la relation

ip(x) = ft(x) + f2(x) H h v,(«).

(4,24) peut alors se mettre sous la forme

dy>(x)

-R

Considérons maintenant

• + R s , + R,""

= ?J'

)=1 -R.3

Soit Çp le point où max | (?„(#)| est atteint. En appliquant,x sur Ej

aux termes du troisième membre de (4,25), la propriété générale

exprimée par (4,20), on obtient

(4,26) ^ S0»^

(4,25) M2n = J+*Ç»(*)dv(*) = S j+\(x)d%(œ).

2~T~

2|~T "~F

2

De nos définitions, on déduit que l'un au moins des nombres

est égal à M\. Soit

(4.27) <&(ç,h) = M«n.

De (4,16), (4,19), (4,26), et (4,27), nous tirons

m2 /Mî 0M2 ,

M! n\(4.28) ^^M^^2/^ +-^+...+-^ .


Chacune de nos fonctions fj(z) étant, par hypothèse, du type

régulier, on a

(4,29) lim (_M*=i (j = \, 2, ..., s),

et aussi, par conséquent,i_2m

En observant que, dans (4,30), l'indice / n'est susceptible de

prendre que l'une des valeurs 1, 2, . . ., s, on peut, en utilisant

(4,30), écrire

j_

(M* 0M»

1 M) n*2"

De cette relation, et de (4,28), nous tirons immédiatement

lMn\ n

lim (— = 1. c.q.f.d.m—»-<»

Nous allons maintenant appliquer notre Proposition 8 à la

fonction g(z), définie par

Considérons les polynômes de Legendre, relatifs à l'intervalle

(o^, Pj). De propriétés connues de ces polynômes, on tire

M)n_

2n + 1

d'où l'on déduit (4,29). On peut donc affirmer que

b<>I

&1! I

b"I / \

—

+ ^ + ---

+ ^r +••• = £(*)

est du type régulier. Observons que ce résultat fournit un moyen,

tout au moins théorique, de calculer le diamètre transfini d'un

ensemble formé d'un nombre fini d'intervalles fermés de l'axe

réel.

26. Propriété de continuité du diamètre transfini de

certains ensembles. Cette propriété sera utilisée dans la

démonstration du Théorème VI.

53 Albert Edrei.

Considérons s intervalles de l'axe réel, définis par les inégalités

oc, ^ x ^ p, (/=1, 2 s).

Nous supposerons

«i < & ^ «a < A ^ • • • ^ «S < as¬

soit E l'ensemble formé par les points des S intervalles que nous

venons de définir.

Outre l'ensemble E, nous considérerons deux autres ensembles

E(e) et E[ô], définis ci-dessous en I et II.

I. Soit s un nombre positif satisfaisant à l'inégalité

2e < min {(ft-oO, (/S2-<x2), . . ., (j8,—oc,)}.

Par Ij(s), nous désignerons l'ensemble des points de l'intervalle

fermé (<x.j-\-s, fo—e), et soit

E(e)=I1(e) + I2(e) + ---+I„(e).

II. Soit ô un nombre positif, inférieur à 1. Par Ij[ô]nous désignerons l'ensemble des points de l'intervalle fermé

((l-ô)a,, (l-d)ft) et soit

E[d)=I1[ô]+I,[d] + "-+I,[ô].

Les diamètres transfinis de E, E(e) et E[ô] seront désignésrespectivement par r(E), r{E(e)) et t(£[ô]). En vertu des défini¬

tions, on vérifie immédiatement

x(E[ô]) = (1-ô)t(E),

et nous nous proposons de démontrer que

(4.31) r(E(e))^(l-ô)r(E),

dès que

(4.32) 2e=

ô min {(ft-^), (&-<*,), . . ., (jS.-oc,)}.

Considérons le déterminant défini en (2,3), et soit

{x-y, x2, . . ., xn) le système de points de E[ô], tel que

| V(xlt x2, ...,xn)\= max | V(tlt £2, . . ., Cn) |.Êj.f, £„sur£[<5]

Nous voulons maintenant construire un système (£1( £2, . . ., |„)de points de is(e), tel que

(4.33) | V(gv |2, . . ., Sn) | ^ | Ffa, *„ . . ., *J|.


En vertu des définitions de M. Fekete, cette dernière inégalité,valable quel que soit n, entraîne l'inégalité (4,31).

Voici comment nous obtiendrons le système des points £,,.Nous considérerons chacun des segments Ij[ô] comme le supportde ceux des points xv qu'il contient. Nous ferons glisser ces

supports Ij[ô], le long de l'axe réel et nous supposerons que,

pendant ces translations, la position des xv, situés sur un même

segment, n'est pas altérée. Nous amènerons Ij[d] sur Ij(s)(j = l, 2, . .., s) de manière que les centres des intervalles

correspondants coïncident. Nous désignerons par f„ la nouvelle

position de œv (v=l, 2, . . ., n).Observons que, en vertu de (4,32), on a

(l-Wft-a,) £ (ft-a,) - 2e (/=1, 2, . . ., s),

d'où l'on déduit que tous les |„ sont points de E(e). Pour démon¬

trer l'inégalité (4,33), il suffira de considérer | F(|1; |2, . . ., |n)|comme le produit des valeurs absolues de toutes les différences

(£«•—£,>) et de s'assurer que l'on a constamment

I %n ~ £v I = I xp ~ xv \ •

(Le cas d'égalité n'a lieu que si f„ et Çv appartiennent à un même

intervalle Ij{e).)L'inégalité (4,31) se trouve ainsi démontrée; en la combinant

avec l'inégalité

r(E)^r(E(e)),et en passant à la limite e -> 0, il vient

lim r(E(e)) = r(E).£-»0

27. Démonstration du Théorème VI, dans un cas

particulier. Nous démontrerons d'abord le Théorème VI dans

le cas particulier où: l'hypothèse 2°, de son énoncé, est réalisée

sous la forme

2° restreinte. La fonction <p{x) n'est jamais négative dans

Vintervalle (a, /3).Notre démonstration, dans ce cas particulier sera obtenue par

combinaison du "principe de comparaison" et du „principed'addition", précédemment établis. Au § 28, nous établirons un

„principe des changements de signe" grâce auquel il nous sera

facile d'étendre la démonstration du Théorème VI, du cas par¬

ticulier au cas général.Considérons les points, de l'intervalle (a, /?), où <p{x) a un zéro

isolé et, en outre, les extrémités de tous les intervalles sur les-

55 Albert Edrei.

quels <p(x) = 0. Nous prendrons chacun de ces points pour centre

d'un intervalle ouvert de l'axe réel. Soient 0lt 02, . . ., Op ces

intervalles (en vertu de l'hypothèse 3e, p est un nombre fini);donnons à chacun d'eux la longueur positive 2e (par la suite nous

ferons s -> 0).Considérons l'ensemble

E(e) = E- (0x+02+ • • • +0P),

et désignons par y(x; e) sa fonction caractéristique, c'est-à-dire

la fonction valant 1 ou 0 suivant que x est, ou n'est pas, l'affixe

d'un point de E(e). Soit m(e) la valeur minimale prise par la

fonction continue <p(x), sur l'ensemble fermé E(s). Si nous dési¬

gnons par

les déterminants récurrents relatifs à la fonction

| m(e) —-— dx,J '

z — X

a

nous pouvons, en vertu du principe de comparaison, poser

A '"+1) J<n+1> (p\

car, en tout point de l'intervalle (a, /S), on a manifestement

<p(x) ^ m(e)y(x; e).

En utilisant le résultat obtenu, à la fin du § 25 (comme exemple

d'application de la Proposition 8), il vient

i

En appliquant, à cette relation, les résultats des § 24 et 26,

on obtient

f ,W 12»

lim Hw = T(£)'

et aussi, par conséquent,

lim {A}n' = x(E).


28. Principe des changements de signe; achèvement

de la démonstration du Théorème VI.

Proposition 9. Soit

a

où la fonction réelle x(x) est supposée à variation bornée. Soit

U(x), un polynôme réel, non identiquement nul, et soit

ia *a\b»

ibl

. _l6"

_l

f UWA t \

(4,34)—

+ -r +---

+ -^r +-- = ) — dX(ai).

a

On a alors

ïïïn" | A^ f = ÏÏ5Ï | B[n) f .

n—>ao n—>oo

Pour démontrer cette proposition, il suffit d'observer que la

série (4,34) représente une fonction de la forme

U(z)f(z)-V(z),

où V(z) est un polynôme, et que, par conséquent, on peut lui

appliquer le Théorème II. En effet,

tti wv a

fu(z)~U(x) fu(x)U(z)f(z)

= )z__x

dX{x) + ) ~dx(*)-a. a.

La première intégrale du second membre est un polynôme V(z).

c.q.f.d.

Voici comment s'achèvera la démonstration du Théorème VI.

I. On considérera une fonction q>(x) satisfaisant aux con¬

ditions, non restreintes, de l'énoncé du Théorème VI.

II. On construira un polynôme U(x), à racines toutes réelles,

telles que l'expression <p(x)U{x) ne soit jamais négative.III. Grâce à la Proposition 9, on ramènera l'évaluation de

lim | A^ \n2 à l'évaluation des limites formées avec les déter-

n—>x

minants récurrents de

Jz — x

a

Cette évaluation a déjà été effectuée au § 27.

57 Albert Edrei.

CHAPITRE V

00

r

Les séries de la forme S —-—.

29. Expression de A^n) par une somme multiple. Con¬

sidérons la série (19); nous supposerons les nombres complexes

sv bornés dans leur ensemble

\sv\^R (v = l,2, ...,p, ...)X

et les nombres complexes rv tels que 2 \rv\ converge. La série

(19) représente alors une fonction holomorphe pour | z | > R;

soit (1) son développement en série entière.

On a manifestement

00

(5.1) an = S V? (»=0, 1, . . ., m, . . .).v=l

A partir de ces expressions pour les coefficients an, on obtient

aisément la formule

(5.2) Aj^= S rvrv •••rv{sv sv ••sv)kVi(sv,sv,...,sv).o<v1<v2<...<v„

1 2 » i ^ « 12

Les résultats de ce chapitre sont des conséquences assez simplesde cette formule.

30. Esquisse de la démonstration du Théorème VII.

Soit E l'ensemble défini dans l'énoncé du Théorème VII et soit

une suite de points de E.

On sait qu'il est possible de trouver une suite

(5,4) slt s2, • • •, sn, . . .

de points de la frontière de E, telle que, si la suite (5,3) contient

tous les éléments de (5,4), la fonction représentée par une série

(19) est holomorphe dans CE et admet CE pour domaine

d'existence 32).L'ensemble E étant fixé, choisissons, à la manière de M. Besse,

la suite (5,4). Fixons en outre un nombre positif d, inférieur à 1.

3S) Cette proposition a été énoncée par M. Pringsheim, mais la démonstration

qu'il en a donnée comporte une importante lacune. M. Besse a remarqué la lacune

et a démontré la proposition en toute rigueur. Voir n).


Nous allons construire, par induction complète, une série (19)telle que les coefficients de son développement (1) satisfassent

à la relation (20).Considérons d'abord, deux suites de nombres non négatifs.1° Une suite d'entiers

(5.5) p0, p1; . . ., pn, . . .,

telle que

(5.6) 0 = p0 < px < • • • < pn < • • •.

2° Une suite de nombres positifs

(5.7) J?0> Vv • •> Vm • -,

telle que

(5.8) 1 = % > r\x > • • • > rjn >

Nous préciserons plus loin le choix de (5,5) et (5,7).Posons q = ô2; en vertu de nos hypothèses

(5.9) 0 < q < 1.

Posons encore

(5.10) rv = r)nqv pour pn < v ^ pn+1.

On peut s'assurer dès maintenant que, malgré l'arbitraire des

suites (5,3), (5,5) et (5,7) (seulement soumises aux hypothèses

(5,6) et (5,8)), on a

(5.11) ïïïn |^n)p ^ er-

En effet, posons

<5,12) Vn = max | V{Zl, z2, . . ., zn) |.zv z2,..., zn sur E

De (5,2) et de la définition de (5,3), on tire

I ALn) I < F2 Sr r - • -rI-^0 I = rn •" '

v, 'v, 'v-

0<v1<v2<- ••<»„

En vertu de (5,8), (5,9) et (5,10), on peut aussi écrire

{5,13) \A^\<,V\ 2 j'ig-,...^-.o<v1<v2<--'<vn

On calcule sans peine la somme multiple du second membre

de (5,13); il vient

59 Albert Edrei.

(5.14) S gWi • • • o*. = —? ql £_.v > / 11 i j

a\ ni i

a"

0<v1<vss<---<vn1

ï*

1x 1

En tenant compte de (5,9) et (5,14), on peut donc mettre

(5,13) sous la forme

m(m+l)

En élevant les deux membres à la puissance —, en passantn2

à la limite n -> oo, et en revenant aux définitions de M. Fekete,on obtient (5,11).Pour achever la démonstration du Théorème VII, dans le cas

0 < 6 < 1, il nous suffira de voir que les suites (5,3), (5,5) et

(5,7) peuvent être choisies de manière que

j_

(5.15) Km | A^ f" ^ 9t.n—> oo

Pour démontrer cette inégalité, nous utiliserons le Lemme 10,

énoncé et démontré au paragraphe suivant.

31. Un Lemme relatif à la définition du diamètre

transfini. Soient %, z2, . . ., zk k points distincts de E. Formons

le polynômewk(z) = (^-z1)(z~-z2) • • • (z-zk).

Considérons

max | Wk(z)\ = a>k,z sur£

ce maximum est atteint en un ou plusieurs points de E; soit

zk+1 un de ces points.Considérons ensuite

wk+i(*) = (»—%)(2—»a) • • ' («—»*)(«—2*+i).

et posons

max ] Wk+1(z) | = œk+1 = | Wk+1(zk+2) \.z sur E

Nous formerons ensuite Wk+2(z), puis Wk+3(z), . . . etc.; en

répétant indéfiniment cette opération, et en supposant E com¬

posé d'une infinité de points, nous obtiendrons une suite de

points distincts

(5.16) z±, z2, . . ., zk, zk+1, zk+i, . . ., zn, . . .


Lemme 10. Pour les éléments de la suite (5, 17), on a

(5,17) lim | F2(zl5 z2, . . ., zn) \n* = r.

n—> oo

Observons que

\V(Zl, z2, ..., zk)\ \Wk(zk+1)\ \Wk+1(zk+2)\ • '-\Wn^(zn)\ (n>k).

Soit Tj(z), le polynôme de Tchebyscheff, de degré /, relatif à

l'ensemble E, et soit

max | Tj(z) | = rrij.z sur E

Par définition même des polynômes Tj(z)

\Wi(zi+1)\=a>i^mi (j^k).

On a donc [voir (5,12)]

Vn ^ | V(zv z2, . . ., *B) | ^ | V(zx, z2, . . ., zk) | mkmk^ • • • mn_x.

On obtiendra (5,17) en élevant les deux membres de ces

2

inégalités à la puissance —, en passant à la limite n -» oo, et

en tenant compte des définitions de M. Fekete 33).

32. Achèvement de la démonstration du Théorème VIL

Nous allons préciser maintenant le choix des suites (5,5) et (5,7).

Supposons avoir déjà choisi

Po> Pu • •' Pn>

%> *?!> • • •' Vn'

de même que

Jn

Nous montrerons comment choisir pn+1, fjn+1 et sv (pn<v^=Pn+i)-En particulier, le premier pas de notre induction consistera,

connaissant p0 = 0 et rj0 = 1, à choisir pv % et sv s2, . . ., sp .

Voici le pas général:

33 ) Observons, en passant, qu'il est assez facile de démontrer que

lim w" = T.n

n—>-oo

61 Albert Edrei.

Nous prendrons pour sp +1le premier terme de (5,4) qui ne

se trouve pas parmi

s±, s2, • -, sp^.

Nous formerons le polynôme

Wp +i(*)=(*-*i)(*-*«) • • • (ssp )(s-sp +1)

et nous prendrons pour sv +2un des points de E pour lesquels

n

max | Wp +1(s) [ est atteint. Nous continuerons à appliquer cette

s sur £"

méthode (voir description exacte avant l'énoncé du Lemme 10)

pour choisir

sp +3» Sp +4> •••>*«•

En vertu du Lemme 10, et en observant que lim rf^ — 1,

nous sommes assurés de trouver un indice x, tel que

(5,18) | r?nV\Sl, s» ..., 8X) f > x (l-^j).Nous prendrons x = pn+1; il nous reste à choisir %+1.

Nous prendrons pour rjn+1 un nombre positif, inférieur à r\w

et tel que

(5 19}V»+lV*n+l

<1

P^\Vh , g )f(1—g) • • • (1 — qp-+i) 2 ' "+1

Donnons maintenant une estimation inférieure de |^4^»+i'|.Dans (5,2), faisons k=0, remplaçons n par p,l+1 et soustrayonsdu module du terme

r1r2---rPMV*(svs2,...,sPn+i)la somme des modules des autres termes du second membre.

En tenant compte de (5,10), (5,14) et de la définition de

V„ ,il vient

(5,20) | 4""«) | ^ ,£»« q 2 | 7(Sl, *a, ...,»„) |2n+1

? 2

F^

(1 — g) • • • (1— qPn+i) p»+i

En combinant (5,19) et (5,20), on obtient

Pn+l+Pn+l

| A{0P^] | ^ i-^-«?""S- | V(Sl, s2, . . .,* ) |2.


En élevant les deux membres à la puissance ,et en tenant

compte de (5,18), il vient

i _J_

\AtPnJ\*n« >ï QT(1_J_\V

\Ao I >_J_

1 \L n+1) T-

2Pn+1

Par le passage à la limite n -> oo, nous obtiendrons (5,15).La fonction que nous venons de construire n'est pas prolongeableau delà de CE, car la suite (5,3) contient la suite (5,4). Nous

avons ainsi démontré le Théorème VII, dans le cas 0 < 6 < 1.

Le cas 6 = 1 est obtenu en remplaçant (5,10) par

(5,21) rv = r]n— pour pn < v ^ pn+1.

Le cas 0 = 0 est particulièrement simple à traiter; en l'étudiant,il est facile de répondre à une question de M. Pôlya 34).

Soit R le rayon de convergence de l'élément (1). Si n-> oo, de

kmanière que le rapport — reste fini, il faut, pour que (1) soit pro¬

longeable au delà de son cercle de convergence, que

ÏÏm" \A^\lk+n~1)n <R.

Cette condition nécessaire, établie par M. Pôlya, est-elle

suffisante?

Non. En effet, posons

rn = — («=1, 2, . . ., m, . . .);2

quelle que soit la suite (5,3), de points de E, on a, en vertu de (5,2),

11 1

'- 2vl'

2*A^>\^ V\ Rkn

La somme multiple du second membre est facile à limiter

supérieurement; elle décroît tellement rapidement avec —, que,

si — reste fini, on a toujours

lim | 4»> l^-1»"^ o.

34) Voir l'annotation 1).

63 Albert Edrei.

33. Une précision du Théorème VII dans le cas de

Stieltjes-Grommer. Au lieu du Lemme 10, il sera commode

d'utiliser le

Lemme 11. Soit E un ensemble fermé, borné et infini, du

flan de la variable complexe. Soit

(5,22) Sj, s2, • • •> sn> • • •

une suite quelconque de points distincts de E.

J'affirme qu'il existe une suite (5,3) de points distincts de E,contenant tous les éléments de (5,22), jouissant en outre des pro¬

priétési_

^5,28) lim <al = t

n—><*>

et

(5,24) ïîm | V(slt s2, . . ., sn) \n" = r.

On a posé

Wn(s)= (s-s1)(s-s2) • • • (*—*„),

max | Wn(s) | = con.s sur E

La démonstration de ce Lemme est un peu longue, mais n'offre

aucune difficulté particulière; nous ne la donnerons pas ici.

Disons toutefois, qu'elle repose essentiellement sur la construc¬

tion utilisée dans le Lemme 10.

Le cas de Stieltjes-Grommer est caractérisé par la positivitédes r et la réalité des s et des points de E. Nous prendrons pour

(5,22) une suite de M. Besse, relative à l'ensemble E. Nous

déterminerons la suite (5,3), comme le veut le Lemme 11. Nous

poserons encore

rn = qn {q=d%

et nous démontrerons que, pour le développement (1) de la

série (19), on a

= 0T (O<0<1).(5,25) limn—><*>

'

..(n+l)-^0

Dans notre cas particulier, il résulte de (5,2) la double

inégalité

g q* q«qq* • ..<rV*(slt,v . . .,,*) <U<»> <£ ^~

•

j-jL-• •

'Yf-n


Par le passage à la limite habituel, et en tenant compte de

(5,24), il vient

j_

(5,26) IÎE | A{0n) |n' = 6r.

Observons l'équivalence de l'intégrale de Stieltjes (4,1) et de

(19). De cette équivalence on déduit l'existence d'une suite de

polynômes réels

&(*), Q2(s), . . ., Qn(s), . . .

tels que

oo . (n+l)

2 »V(?*(*,) = -V (n=l,2,3,...,m,...).

De même, si Un(x) désigne un polynôme réel, du type

Un(x) = xn + • •

-,

on aura constamment

S rvQl(sv)£ S rvUl(sv).v=l v=l

On aura, en particulier,

a (n+l) oo oo

-^ ^ S rvWl(sv) = S rvWl(sv).

De la définition des r et de œn

Aln+1) «»+i

-^p ^ ai [q^+qn+* + •]= <^ .

Elevons les deux membres de cette inégalité à la puissance

—, passons à la limite n—>co. En tenant compte de (5,23), il vient

lim

2jl

< Or.

Si l'égalité (5,25) n'était pas atteinte, nous serions en contra¬

diction avec (5,26).

34. Un lemme sur l'ordre de la singularité essentielle

de certaines séries du type (19). Ce paragraphe et le suivant

préparent la construction des exemples relatifs au Théorème III.

65 Albert Edrei.

Considérons les fonctions (21) et (22) et soit

g(*;e)=/(Tî<?) (e^°)-

Cette fonction méromorphe est d'ordre au moins égal à q,

puisque l'exposant de convergence de ses pôles est égal à q.

Dans ce paragraphe, nous montrerons que son ordre est effec¬

tivement q (simple conséquence du lemme suivant).Lemme 12. Soit

une suite de nombres complexes, telle que S | rn \ converge.n=l

Soit

*1» *2> • * "' *n> • • •

une suite de nombres réels, telle que

1°. lims„ = 0

71—^ 00

2°. la suite

T" » ~7~ > • • •>«

» " ' *

era'i m exposant de convergence égal à q.

Sous ces hypothèses, Vordre de la singularité essentielle de la

fonction représentée par (19) est égal à q.

Considérons la fonction méromorphe

g(») = S-j

2

Nous allons en calculer l'ordre en nous appuyant sur les défini¬

tions de M. Nevanlinna 35). Il est manifestement suffisant de

connaître la valeur moyenne

m(r, oo) = ^ J log | g(re*) \ d<p.

Pour q> ^ 0 et <p ^ n, on a

\g(re«P)\^ïv=l

g-i<P— S„

<

!6(r,ç»)*" ' ""

où l'on a posé

b(r, <p) — borne

) Voir les pages 12 et 30 du traité cité de R. Nevanlinna.

Sur les déterminants récurrents d'une fonction.

De la réalité des s, on tire

b(r, tp) ^| sin q> |

On a donc, pour | g(reiip) \, une estimation du .type

Ar

g{re*>)\ ^-sm <p |

Pour r -¥ oo, il vient

m(r, oo) ^ log r + 0(1).

Cette inégalité prouve que, dans la fonction caractéristique

T(r) = m(r, oo) + N(r, oo),

le terme N(r, oo), qui ne dépend que de la position des pôles de

g(z), est toujours prépondérant. c.q.f.d.

35. Limitation inférieure de certains déterminants de

Vandermonde. Considérons

i i

(5,27)1' 1

n (ke-je).lSj'<fcSra

(n!) e

ma a'

11 k i_i I_iQ (fce _ je) = j xe dce^k« (k-j),

Supposons d'abord 0 < — < 1 ; ona alors

ou encore

(5,28) ke -je ^_.&«?3

e k

En combinant (5,27) et (5,28), il vient

\ 1' 1'' "'

1n

— n—1 m(n—1)-g- n— l^j<kën

(ni) *q

Le second membre de cette inégalité est égal à

1 [H2«88 •••»»]<? (n!)"*1

tffl-

m (m—1)

g2 (n!)e

En tenant compte des inégalités

[l122S3---nnY

67 Albert Edrei.

et

, , ,n* log n n2

1 log 1 + 2 log 2 + f- n log n > —-

—,

il vient, après quelques calculs,

-.11 1

(5,29)A' 1

1» 26

m2log n

Le cas — 2; 1 est un peu plus simple à traiter; il suffit de

remplacer (5,28) par

(5,30)i i A

ks -je ^ (k-j)e.

Le reste du calcul est analogue à celui que nous venons d'es¬

quisser. On obtiendra à nouveau l'inégalité (5,29).Il est maintenant aisé de démontrer le

Lemme 13. Soit En, Vensemble formé par les ns points

_i _I _i _i

(5,31) 2/ + 1 <?', 2/ + 2 <\ 2/ + 3 *',..., 2/ + n <?';

g, > 0; (/=1, 2, . . ., s).Posons

(5,32) Vn = max |F(s1; s2, . . ., sn)|.«l.«î'"-8nSurEn

«Soms ce* hypothèses, on a, pour n —>• oo,

«2 log m

(5.33) F* ^ e0(re2> e ^+e2+•••+?,_

Soient %, n2, . . ., ns, s nombres entiers, positifs, tels que

(5.34) n1 + n2 + \-ns = n.

De (5,31) et (5,32), on tire

vil- -

-i

\e, $>,

et de (5,29),n^

[~nj log nt n\ log »ta n] log n,"|L

2g.+

2p,+">+

2g, J(5,35) F„^e0(n2)e L

2^i

'

*e*

*e>

On ne peut en général satisfaire, en nombres entiers positifs,à la fois à (5,34) et

(5 36)% log % «a log n2 nslogns

0i Qa


Toutefois, pour n très grand, on peut satisfaire „à peu près"ces dernières relations. Voici ce que nous entendons par là:

Quel que soit n, suffisamment grand, il est possible de trouver

un système de nombres rij entiers, positifs, tels que l'égalité(5,34) soit satisfaite, et telle que l'on ait:

n< log n. m, log n, „ „

(5,87) -î-p - -42-ï = 0 (log n) (/ =2, 8, . . ., s).

De (5,34) on tire

% log % + «2 log n2 + • • • + ns log ns < n log n.

En combinant cette inégalité avec (5,37), il vient

^——~(0i+02+ \-6s) <n\ogn + 0 (logn),Si

puis, en multipliant les deux membres par n(g1-\-Q2+ • • • +p8)-\

(«i+»«+ • • • +».) —;— <n

, . , TT + °(n loS »)•Pi Si T ft t • • • t ft

En appliquant à nouveau (5,37)

h + 1 < —r— : 1- 0(» log n).ei Pa e. Si + e> + • • • + e.

Le résultat annoncé est obtenu en combinant cette dernière

inégalité avec (5,35).

36. Exemples relatifs au Théorème III. Nous allons

maintenant démontrer la relation (24).Il est aisé de voir que, dans cette démonstration, on peut,

sans nuire à la généralité, se restreindre au cas où tous les Qjsont différents de zéro.

Représentons la fonction (23) sous la forme (19), c'est-à-dire

sous forme d'une somme unique de fractions du type ——.

Les déterminants récurrents du développement (1) de cette

fonction, sont donnés par la formule (5,2); faisons A; = 0 et

considérons le ou les termes du second membre de (5,2), conte¬

nant le facteur V\ [voir la définition (5,32)]. Tous les rv étant

positifs, on a

69 Albert Edrei.

En tenant compte de (5,33), on voit que

1 î

lim [4Wflog^e el+Qt+...+Q.m71—>as

En vertu du Lemme 12, nous pouvons appliquer le Théorème

III et obtenir

î î

ïïm" [4">fal0gn^e e,+e,+ -+e..m—><»

Les deux dernières relations écrites sont équivalentes à (24).La démonstration de (25) n'offre aucune difficulté; elle est en

tous points semblable à celle, donnée pour le cas 6 = 0, du

Théorème VII.

(Reçu le 18 janvier 1939.)

CURRICULUM VITAE.

Je naquis le 26 novembre 1914 à Alexandrie d'Egypte. Je

fis mes premières classes dans cette ville (en langue française).En 1925, je fus mis en pension à Lausanne où j'étudiai au Collège,

puis au Gymnase scientifiques. J'obtins en 1932 le grade de

bachelier es sciences. Je commençai alors des études d'ingénieurà l'Ecole Polytechnique Fédérale de Zurich. Au bout de peu de

temps, j'abandonnai ces études et m'inscrivis à la Section de

Mathématiques et de Physique de la même Ecole. J'y obtins

mon diplôme en été 1937. Pendant le semestre d'hiver 1937—1938

je fus assistant de géométrie, à l'Ecole Polytechnique Fédérale,chez M. le Prof. Kollros. Les mois d'avril, mai et juin de 1938

furent consacrés à la préparation et à la rédaction de cette thèse.

Depuis la fin de 1936, je n'ai cessé d'être en relations constantes

avec M. Pôlya. Nos contacts fréquents ont contribué, d'une

façon décisive, à ma formation mathématique. M. Polya, aprèsm'avoir suggéré l'idée de ce travail, n'a cessé, dans le cours de

mes recherches, de me témoigner de l'intérêt et de m'encouragerpar ses conseils. Qu'il me soit permis de lui présenter ici l'expres¬sion de ma profonde reconnaissance.

Zurich, le 8 juillet 1938. A. Edrei.

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