Rheologiedesuides complexes

Elisabeth Guazzelli

Octobre 2001

Ce courspresente lesnotions de basede la rheologiedesuides non-newtoniens.Jai voulu don-ner une presentation desphenomenesnouveaux rencontr esainsi que leur description quantitativ e.Je me suis neanmoinslimit ee a dessituations simplesen choisissant en particulier le cisaillementsimple commeecoulement de basepour decrire les lois constitutiv esdesmateriaux, cequi ore uncadre mathematique simpli e et facilite lin terpr etation physique. Jai donne egalement quelquesprincipes de rheometrie et quelquescalculs decoulements simples. Par contre, je nai pas voulufournir une analyse structurelle microscopique qui permettrait de deduire les lois rheologiquede certains de ces liquides, car cela me semblait bien au-dela des perspectives de ce cours quinest quintro ductif. Enn, bien quune presentation descontrain tes et deformations soit faite endebut, ce cours necessitequelquesconnaissancesprealablesen mecanique des uides et/ou enmecanique des milieux continus. Quelques bons livres de base et la referencedun lm sur larheologiesont donnes a la n du cours. Remarques,corrections et suggestionssont les bienvenuesa elisabeth.guazzelli@polytech.univ-mrs.fr.

Table des mati eres

1 In tro duction 3

2 Ph enom enologie 32.1 Comportements non lin eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Comportement dependant du temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.3 Resistancea l etirement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.4 Eets elastiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.5 Contrain tes normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 Con train te et deformation 83.1 Contrain te . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.2 Deformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.3 Decomposition du champ de gradient de vitesseau voisinagedun point . . . . . . 11

4 Lois constitutiv es 114.1 Fluides newtonienset non-newtoniens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.2 Viscoelasticite lin eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.2.1 Fonctions uage et relaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.2.2 Solide elastiqueparfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.2.3 Liquide visqueux newtonien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.2.4 Solide de Kelvin-V oigt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.2.5 Liquide de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.2.6 Comportement viscoelastique lin eaire general . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.3 Liquides nonlineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.3.1 Liquides plastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.3.2 Fluide rheouidian t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1

4.3.3 Fluide rheoepaississant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.4 Comportement dependant du temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5 Rh eom etrie 245.1 Rheometres simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5.1.1 Rheometre plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245.1.2 Rheometre de Couette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.1.3 Rheometre cone-plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.1.4 Autres typesde rheometres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5.2 Cisaillement oscillant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.3 Contrain tes normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.4 Viscosite elongationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

A Co ordonn ees cart esiennes, cylindriques et sph eriques 30

B Dimensions et unit es 31

C Exercices et probl emes 32C.1 Courseentre un uide newtonien et un uide non-newtonien . . . . . . . . . . . . 32C.2 Loi rheologiquea trouver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32C.3 Ecoulement dans un tube cylindrique dun uide en loi de puissance . . . . . . . . 32C.4 Ecoulement de bouesde forage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33C.5 Eet Weissenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2

1 In tro duction

La rheologie,mot invent e par Bingham en 1929a partir du verbe grec ! qui veut dire couler

(voir lhistorique sur la gure 1), est l etude desecoulements et desdeformations.Devant limpuis-sancede la th eoriede l elasticite et de la mecaniquedes uides (th eorieselaboreesau 19esiecle) adecrire et a expliquer lespropri etesde materiaux aux comportements mal denis et intermediairesentre celui du solideelastiqueparfait (ou lescontrain tessont proportionnelles aux deformations) etcelui du uide newtonien (ou les contrain tes sont proportionnelles aux vitessesde deformation), ilest apparu necessairedelaborer cette nouvelle discipline. Les etudesexperimentales sattachent amesurerlespropri etesde l ecoulement desmateriaux tandis que lesapprochesth eoriquescherchentles equationsconstitutiv es reliant contrain tes et deformations.

2 Ph enom enologie

2.1 Comp ortemen ts non lin eaires

Un des comportements pratiques les plus int eressants des uides non-newtoniensest leur re-lation non lin eaire entre contrain te et vitesse de deformation. La structure interne du uide estcomplexeet peut etre inuenc eepar l ecoulement.

Certains uides ne secoulent qua partir dune certaine contrainte seuil (liquide plastique deBingham, comme sur la gure 2). Cette propri ete est particuli erement utile pour le transport departicules en empechant la sedimentation (bouesde forage) et se rencontre dans la vie pratiquedans les pates dentifrices, le ketchup, la graisseet les peintures non-coulantes.

La plupart des uides sont rheouidiants : suspensionsdilu eesde particules solides,suspen-sionsde vesiculesdeformables(comme le sang), encres,peintures, solutions dilu eesde polymeres,polymeres liquides (acetate de cellulose), pate a papier (voir la gure 2). Leur viscosite eec-tiv e diminue lorsquon augmente la contrain te. Cet eet est du en general a une brisure de lastructure interne par l ecoulement. Quelquesuides sont rheoepaississantscomme les suspensionsconcentr eesou encorele sablemouill e (voir encorela gure 2).

2.2 Comp ortemen t dependan t du temps

Lesuides thixotropesont uneviscositeeectiv equi diminueavecle tempsquand unecontrain teconstante est appliquee(par exemple,le ketchup, le yoghourt, certainespeintures). Cela sexpliquepar des changements de structures intervenant dans le uide avec des temps caracteristiquescomparablesaux temps dobservation. Comme la reponsedu uide depend de son histoire, celacomplique lesmesuresrheologiquescar il existe deseets dhysteresis(eets de memoire). Il existeaussi,mais plus rarement, des uides antithixotr opes (voir un exemplesur la gure 3).

2.3 R esistance a l etiremen t

La resistancebien plus forte a un etirement du uide que celle a laquelle on sattendraitvenant dune viscosite de cisaillement est attribu ee a une viscosite elongationnelle tr es grandebien quelle soit peut-etre due, en fait, a un eet elastique. Cet eet rend lesbulles dair pointues alarri ere lorsquellesmontent dans un shampooing : la pointe convertit l ecoulement elongationnelen ecoulement de cisaillement (voir la gure 4). Ce phenomene reduit la pulverisation de nesgouttes hors desjets avec lesapplications qui en decoulent : maintenir les jets plus concentr esdansles lances a incendie et reduire la tendance a faire une brume explosive pour le fuel des avions(voir la gure 5). Cela aussi explique la reduction de la tra needans les ecoulements turbulentsresultant de laddition dune tr es faible quantit e dun polymere de tr esgrande massemoleculaireau uide en ecoulement.

3

Fig. 1 { Rheologie et nombre de Deborah, article de M. Reiner, Physics Today, janvier 1964,page62.

4

-

6

Taux de cisaillement

Contrain te

(1)

(2)

(3)

(4)

Fig. 2 { Fluide (1) newtonien, (2) de Bingham, (3) rheouidiant, (4) rheoepaississant.

Fig. 3 { Fluide antithixotr ope: (a) Au repos; (b) Apr es une forte agitation (photographies tir eesde [2]).

2.4 Eets elastiques

On trouve de nombreux uides elastiquesdans lindustrie alimentaire. Une demonstration deseets elastiquesdans les liquides est lexperiencedu siphon ouvert dans laquelle on peut siphonnerun liquide elastique dun becher a un autre sansutiliser un tuyau (voir la gure 6). Cela est dua une forte viscosite elongationnelle qui induit une contrain te tr es forte au niveau du bec dubecher qui tire le uide. Un autre experienceest celle de la detente elastique (voir la gure 7).Un materiau, que lon versedun recipient, peut etre coupe a laide de ciseauxet remonte dans lerecipient.

2.5 Con train tes normales

Sous leet dun cisaillement simple, l elasticite des liquides se manifeste par lapparition decontraintes normales : il peut y avoir une tension le long des lignesde courant et une pressionper-pendiculaire a celles-ci.Une demonstration spectaculaire de ce phenomeneest leet Weissenberg(voir les gures 8 et 9). Le uide elastique remonte le long de laxe dun batteur rotatif alors quily a creusement de la surfacelibre dans le casdun uide newtonien a causedes forcescentrifuges.Cela est du a une tension le long des lignes de courant qui augmente lorsquon se rapproche dubatteur et qui provoque la remont ee du uide le long de laxe. Une autre experience frappantede ce phenomeneest celle du gonement a lextrusion dun tube (voir les gures 10 et 11). A lasortie de lorice du tube, la tension le long des lignes de courant se relache en se contractan tdans la direction longitudinale, ce qui resulte en une expansion lat erale du liquide a causede sonincompressibilite.

5

Fig. 4 { Bul lesdair ascendantesdansun tube contenant di erents uides : (a) Huile newtonienne;(b) Fluide de Boger; (c) Solution de 6% de CMC ; (d) Solution de 3% de Polyox (photographiestir eesde [2]).

Fig. 5 { Jet a nombre de Reynolds eleve (photographies tir ees de [2]) : Eau (photo du haut) ;Solution aqueusede 200 ppm doxyde de polyethylene (photo du bas).

6

Fig. 6 { Siphon ouvert realise avec une solution aqueusede 0;75% de Polyox WSR 301 (photogra-phies tir eesde [2]). La sequence montre le developpement du siphon a partir du versement initialhors du becher.

Fig. 7 { Detente elastique(photographies tir eesde [2]).

7

Fig. 8 { Eet Weissenberg (photographie tir ee de [2]).

Fig. 9 { Instabilit e de la remontee du liquide (photographie tir ee de [2]).

Fig. 10 { Gonement a lextrusion pour une solution aqueusede 2% de polyacrylamide (photo-graphie tir ee de [2]).

8

Fig. 11 { Gonement retarde a lextrusion pour une solution aqueusede 5% de polyacrylamidelorsque le nombre de Reynoldsaugmente,montrant la competition entre elasticite et inertie (pho-tographies tir ee de [2]).

3 Con train te et deformation

3.1 Con train te

Il est possible de classer les forces qui sexercent sur un element de uide de volume dV endeux categoriesselon leur port ees:

{ Les forces en volume qui sont des forces a longues port ees (gravit e, forces electriques,magnetiques). Par exemple, la gravit e sexercesur des distances tr es grandes devant lesdimensionsmoleculaireset de fait la force de gravit e sur un element de volume est propor-tionnelle a son volume.

{ Les forcesde surfacesa courtes port eesdont lorigine est dans les interactions moleculairesqui assurent la cohesion du liquide. Ces interactions a courtes port eesne vont concernerquune mince couche externe sur un element de volume donne. La force globale exerceeparces interactions est proportionnelle a laire de la surface limitan t l element de uide et estindependante de son volume.

Sur un element de surfacedS, de normale unit e n, cette force de surfaceva secrire:

dF = ndS: (1)

Le tenseur descontrain tes (ou ij ) est symetrique et donc ij = j i 1. Les termes diagonaux iisont lescontrain tesnormalestandis que lestermesnon diagonauxsont lescontrain tes tangentielles.

Dans un uide au repos, le tenseur descontrain tes est2 :

ij = p ij ; (2)

ou p est la pression.Le tenseur descontrain tes est alors isotrope3 :

11 = 22 = 33 = p: (3)

Dans un uide en mouvement, le tenseur descontrain tes secrit :

ij = p ij + dij ; (4)

ou le premier terme qui est la partie isotrope continue a sappeler la pression tandis que le secondterme, la partie anisotrope due a la viscosite du uide, est appele le deviateur.

1. Ici et par la suite, nous utilisons une notation indicielle ainsi que la convention de sommation dEinstein (unindice repete implique une sommation, par exemple u i u i = u21 + u

22 + u

23).

2. Le symbole de Kronecker ij est deni par

ij =

0 si i 6= j1 si i = j:

3. Il y a un signe negatif car le uide est en compression.

9

6

?

h

- U

-

zz

- xx

- xy

6 yy

- x6

y

z

Fig. 12 { Cisail lement simple.

-

u

u

u

u

M 0

M

M 00

M 0

-x

6

y

ez

Fig. 13 { Deformation.

Consideronsle casou lescontrain tes sont appliqueespar lin termediaire dun plan anime dunevitesseU et dun plan parallele xe distants de h comme indique sur la gure 12. Les contrain tesne dependent que de y par symetrie. De plus seulesexistent la contrain te de cisaillement = xy = yx ( xz = yz = 0) et les contrain tes normales xx , yy et zz . Cest cette congurationde cisaillement simple que nous utiliserons par la suite.

3.2 D eformation

Souslaction descontrain tes,un materiau va sedeformer.On considere l ecoulement de cisaille-ment laminaire de la gure 12. Si un element materiel est localise au point M 0 de coordonnees(x;y ;z), il sera localise au point M 00 de coordonnees(x + ;y;z) a linstan t t puisque la vitessedu uide est parallele a laxe des x (voir le schema de la gure 13). Le deplacement dependseulement de y. L element materiel situe au point M de coordonnees(x;y + dy;z), sera localiseau point M 0 de coordonnees[x + + (d =dy)dy;y + dy;z] a linstan t t. On appelle deformation, lavariation du deplacement lorsquon passedune couche a une couche innimen t voisine:

=ddy

= tan : (5)

Cest cette variation qui caracterise un mouvement de cisaillement pour lequel les di erentescouchesont desdeplacements relatifs les unespar rapport aux autres.

La vitessede deformation est denie par :

_ =ddt

=ddt

ddy

=ddy

ddt

=dvxdy

; (6)

car la composante suivant x de la vitesseest vx = d =dt. On voit que la vitessede deformation estegaleau taux de cisaillement. Dans le casparticulier du cisaillement simple, le taux de cisaillement

10

na quune seulecomposante suivant x, dvx =dy = _ . Dans le cas general, le taux de cisaillement(ou vitessede deformation) associe(e) aux directions i et j est:

@vi@x j

+@vj@x i

= 2eij ; (7)

ou le tenseur e est appele le tenseur taux de deformation.

3.3 D ecomp osition du champ de gradien t de vitesse au voisinage dunpoin t

Consideronsun element materiel de uide situe au point r avecune vitessev (r ;t) et un elementsitue au point r + dr avec une vitessev + dv , un developpement au premier ordre donne:

dv = grad v dr ; (8)

ou grad v est le tenseur desgradients de vitesse.On peut decomposercetenseur@vi =@x j enunepartie symetrique, le tenseur taux dedeformation

eij , et une partie antisymetrique, le tenseur taux de rotation ! ij :

@vi@x j

=12

(@vi@x j

+@vj@x i

) +12

(@vi@x j

@vj@x i

)

= eij + ! ij : (9)

L equation (8) peut secrire alors:

dv = e dr + ! dr ; (10)

Lorsque le uide est incompressible, la trace du tenseur symetrique eij est nulle, soit ekk =exx + eyy + ezz = 0. L ecoulement correspondant a e dr est un ecoulement de deformation pureencoreappele ecoulement elongationnel. Le tenseur antisymetrique ! ij na que trois composantesindependantes. Il est possiblede lui associer un vecteurvitessede rotation = rotv =2 ou rotv estla vorticit e. L ecoulement correspondant a ! dr = ^ dr est un ecoulement de rotation en bloc.De maniere generale,pour un uide incompressible,un ecoulement peut etre considere comme lasuperposition dun ecoulement de deformation pure et dun ecoulement de rotation pure4.

Dans le casparticulier du cisaillement simple de la gure 12, la decomposition du tenseur desgradients de vitesseen une partie symetrique et une partie antisymetrique secrit :

grad v =

0

@0 _ 00 0 00 0 0

1

A =

0

@0 _ =2 0

_ =2 0 00 0 0

1

A +

0

@0 _ =2 0

_ =2 0 00 0 0

1

A : (11)

Le terme symetrique a une trace nulle, il ny a donc pas de variation en volume des elements deuides. Le terme symetrique a des axes propres a 45 et les valeurs propres sont _ =2 et _ =2.Le terme antisymetrique donne une rotation a la vitesse angulaire _ =2. La deformation dunelement de uide carre dans un ecoulement de cisaillement simple est present eesur la gure 14.On retrouve que le taux de cisaillement ou vitesse de deformation na quune seulecomposante_ = 2exy = 2eyx .

4 Lois constitutiv es

4.1 Fluides newtoniens et non-newtoniens

Lesequationsqui gouvernent l ecoulement ou la deformation dun materiau sont de deux types:{ Les equations de conservation (conservation de la masseet de la quantit e de mouvement)

qui sont les memespour tous les materiaux.

4. Lorsque le uide est compressible, le terme symetrique isotrop e ek k 6= 0 va donner un accroissement relatifde volume dun element de uide, alors que le terme symetrique anisotrop e, eij avec i 6= j , correspond a unedeformation pure sans changement de volume.

11

-

Fig. 14 { Deformation dun element de uide carr e dans un ecoulement de cisaillement simple:deformation sanschangementde volume avec desaxespropres a 45 puis rotation.

{ Les relations constitutiv esqui dependent despropri eteset de la nature du materiau.Le materiau est trait e comme un milieu continu et est caracterise par une massevolumique

(r ;t) et un champ de vitessev (r ;t), qui sont (en general) des fonctions continues de la positionr = (x;y ;z) et du temps t. Dans la plupart desecoulements, on peut negliger la compressibilite dumateriau et la condition dincompressibilite secrit :

div v = 0: (12)

On ecrit la conservation de la quantit e de mouvement sousla forme de Cauchy :

DvD t

= [@v@t

+ (v grad )v ] = div + g; (13)

ou g est lacceleration de la gravit e.Pour l equation constitutiv e, on a besoin dune relation entre la contrain te et l ecoulement

v (r ;t).Pour un uide newtonien, comme leau dans des conditions ordinaires de temperature et de

pressionpar exemple, la relation entre contrain te et taux de cisaillement est lin eaire:

ij = p ij + 2e ij ; (14)

cest-a-dire que le deviateur (partie non isotrope du tenseurdescontrain tes) ou encoretenseur descontraintes de viscosite secrit :

dij = 2e ij ; (15)

ou la constante est la viscosite du uide qui ne depend pas des contrain tes ou du taux decisaillement. Pour le cisaillement simple de la gure 12, cette relation secrit :

= _ : (16)

Pour les uides newtoniens, l equation de conservation de la quantit e de mouvement (13) devientl equation de Navier-Stokes:

DvD t

= [@v@t

+ (v grad )v ] = grad pd + v ; (17)

ou la pressiondynamique pd est en fait un champ de pressionmodi e de facon a int egrer les forcesexterieuresconservatives(cest a dire qui derivent dun potentiel comme la gravit e).

De nombreux uides ne sont pas newtoniens. Par exemple, pour les cristaux liquides, il y aune relation tensorielle entre ij et eij . Pour dautres uides isotropes, le rapport descontrain tesaux vitessesde deformation depend descontrain tes, desvitessesde deformation et eventuellementdu temps. Le but de la rheologieest de determiner la relation entre contrain te et deformation ouvitessede deformation qui determine toutes les propri etes rheologiquesdu materiau. On chercheune relation ij = f (eij ).

Dans la suite on note la contrain te et _ la vitessede deformation car nous consideronsqueles caracterisationsdu materiau ont ete faites en utilisan t un cisaillement simple. Nous cherchonsla relation = f ( _ ).

12

4.2 Visco elasticit e lin eaire

Un comportement non-newtonien important est la viscoelasticite. La reponsedu uide a unedeformation presente a la fois un aspect visqueux (ou les contrain tes sont proportionnelles auxvitesses de deformation) et un aspect elastique (ou les contrain tes sont proportionnelles auxdeformations). Un exemple de uide viscoelastique est la pate de silicone connue sous le nomde \silly-putt y". Une boule de \silly-putt y" rebondit sur le sol comme une balle elastique (auxtemps courts) mais setale comme un uide visqueux (aux temps longs) si on la pose sur unesurfacehorizontale.

4.2.1 Fonctions uage et relaxation

Les fonctions uage et relaxation sont les fonctions essentielles en viscoelasticite lin eaire.Ellessont denies de la facon suivante :

{ La fonction uage, f (t), est la deformation subiepar le materiau lorsquon imposea cedernierune contrain te damplitude unit e au temps t = 0, contrain te qui est maintenue constante(voir la gure 15).

{ La fonction relaxation, g(t), est la contrain te resultant de lapplication dune deformationdamplitude unit e a linstan t initial t = 0, deformation qui est maintenue constante au coursdu temps (voir la gure 16).

-

6

1

t-

6f (t)

t

Fig. 15 { Fonction uage.

La connaissancede la fonction uage ou relaxation dun materiau permet de determinertoutes les propri etes viscoelastiques du materiau. Lorsquon dispose dun rheometre imposantune contrain te constante, 0, on mesureune deformation (t) = 0f (t). Lorsquon disposedunrheometre imposant une deformation constante, 0, on mesureune deformation (t) = 0g(t).

-

6

1

t-

6g(t)

t

Fig. 16 { Fonction relaxation.

13

4.2.2 Solide elastique parfait

L equation rheologiquedun solide elastiqueparfait (loi de Hooke) secrit :

(t) = J (t); (18)

ou J sappelle la complaisance elastique. On utilise egalement le module de rigidit e ou module decisaillement G = 1=J. La relation (18) sapplique au cisaillement simple de la gure 12. Pour unsolide elastique parfait, la deformation et la contrain te sont relieespar une relation lin eaire maisle coecien t de proportionnalit e depend du type de deformation imposee(cest-a-dire, depend dumodule dYoung, du coecien t de Poissonou du module de compressionuniforme).

-

6

J

f (t)

t

Fig. 17 { Fonction uage dun solide elastiqueparfait.

?

6

J

Fig. 18 { Ressort de complaisance elastiqueJ .

De la loi de Hooke, on deduit les propri etessuivantes:{ Desquune contrain te est appliquee, instantanement une deformation prend naissance,pro-

portionnelle a la contrain te. Inversement, si la contrain te est rameneea zero, immediatementla deformation sannule. La deformation elastiqueest instantanee et recuperable.

{ Le comportement est bien solide. Soumis a une contrain te constante, le materiau atteintinstantanement un etat dequilibre.

{ La fonction uage est f (t) = J pour t 0 (voir la gure 17).Un solide elastique parfait est symbolise par un ressort de complaisanceelastique J (voir la

gure 18).

4.2.3 Liquide visqueux newtonien

L equation rheologiquedun liquide visqueuxnewtonien secrit :

d (t)dt

=1

(t): (19)

14

En tenant compte desconditions initiales, a t < 0, (t) = 0 et (t) = 0, l equation (19) sint egre:

(t) =1

Z t

0 (t0)dt0: (20)

-

6

pente 1

f (t)

t

Fig. 19 { Fonction uage dun liquide visqueuxnewtonien.

?

6

Fig. 20 { Amortisseur de viscosite .

On en deduit les propri etessuivantes:{ Le liquide visqueux newtonien se souvient de toutes les contrain tes qui lui ont ete im-

poseesdans le passe. En eet, lexpressionde (t) depend de toutes les valeurs prisespar lacontrain te de 0 a t.

{ Si la contrain te est ramenee a 0 a un instant donne, la deformation demeureconstante etegalea la valeur a cet instant. La deformation est irr ecuperable.

{ Le comportement est bien celui dun liquide. Soumise a une contrain te constante, 0, ladeformation, (t) = 0t= crot lin eairement avecle temps.Le materiau secoule indeniment .

{ La fonction uage est f (t) = t= pour t 0 (voir la gure 19).Un liquide visqueux newtonien est symbolise par un amortisseur de viscosite (voir la gure

20).Nousavonspresent e lesdeux comportements viscoelastiqueslin eaireselementaires. Le compor-

tement viscoelastique lin eaire general sedenit en construisant un modele constitue dun assem-blage analogiqueet symbolique de ressorts(solides elastiquesparfaits) et damortisseurs (liquidesvisqueux newtoniens) en serie ou en parallele.

4.2.4 Solide de Kelvin-V oigt

Le solide de Kelvin-Voigt est constitue par lassociation en parallele dun ressort de complai-sanceelastique J et dun amortisseur de viscosite (voir la gure 21). La contrain te imposee a

15

lensemble est la sommedescontrain tes de chaquebranche:

= e + v ; (21)

ou e = e=J dans la branche du ressort et v = d v =dt dans la branche de lamortisseur. Ladeformation subie est identique dans chaque branche et egale a la deformation totale subie parlensemble :

= e = v : (22)

L equation rheologiquedu solide de Kelvin-Voigt est:

= d vdt

+1J

e: (23)

J

?

6

Fig. 21 { Association en parallele dun ressort de complaisance elastiqueJ et dun amortisseurde viscosite .

-

6

J

f (t)

t

Fig. 22 { Fonction uage dun solide de Kelvin-Voigt.

La fonction uage de cemodelesetrouve par la resolution de l equation di erentielle suivante :

dfdt

+1J

f = 1: (24)

On obtient :f (t) = J (1 exp

t

); (25)

ou = J estappele tempsde retard. La fonction uage du solidedeKelvin-Voigt estuneexponen-tielle croissante possedant une asymptote horizontale damplitude J . On a donc un comportementelastiqueaux temps longs apresun regimetransitoire de duree (voir la gure 22). Il sagit duneelasticite retardee par la presencede l element visqueux.

16

4.2.5 Liquide de Maxw ell

Le liquide de Maxwell est constitue de lassociation en serie dun ressort de complaisanceelastiqueJ et dun amortisseurde viscosite (voir la gure 23). La contrain te imposeea lensembleest support eeen totalit e par chaque element :

= e = v ; (26)

ou e = e=J dans l element compose du ressort et v = d v =dt dans dans l element compose delamortisseur. La deformation totale est la sommedesdeformations subiespar chaque element :

= e + v : (27)

L equation rheologiquedu liquide de Maxwell est:

ddt

=1

+ Jddt

: (28)

Sa resolution est immediate en tenant compte desconditions aux limites, a t < 0, = 0 et = 0 :

(t) = J (t) +1

Z t

0 (t0)dt0: (29)

6

J

?

Fig. 23 { Association en serie dun ressort de complaisance elastique J et dun amortisseur deviscosite .

La fonction uage de ce modele est:

f (t) = J +t

: (30)

Aux temps longs, le comportement est celui dun uide visqueux newtonien car la deformationaugmente lin eairement avec le temps (voir la gure 24). La di erenceavecun uide newtonien estla presencedune elasticite instantanee donneepar la complaisanceelastiqueJ .

17

-

6

pente 1J

f (t)

t

Fig. 24 { Fonction uage dun liquide de Maxwell.

4.2.6 Comp ortemen t visco elastique lin eaire general

Toutes les di erentes associations de ressortset damortisseurs donnent lieu a un comporte-ment viscoelastiquelin eaire.A partir deslois dassociation en serieou en parallele,on peut deduirel equation rheologiqueet les fonctions uage et relaxation. On peut montrer que toutes les asso-ciations, aussicomplexessoient-elles, peuvent etre represent eespar desmodelesde structure biendenie : le modele de Kelvin-Voigt generalise et le modele de Maxwell generalise.

Le modele de Kelvin-Voigt generalise est constitue par lassociation en serie dun liquide deMaxwell de viscosite 0 et complaisanceJ0 et de N solides de Kelvin-V oigt de viscosite i etcomplaisanceJ i . Comme la fonction uage dune association en serie est la sommedes fonctionsuages desdi erents elements, on peut en deduire immediatement la fonction uage de cemodelegeneral (represent eesur la gure 25) :

f (t) = J0 +t

0+

NX

i =1

J i (1 exp t i

); (31)

ou i = J i i est le temps de retard du i e solide de Kelvin-V oigt. On a une elasticite instantaneedonneepar la complaisanceJ0, puis une variation assezrapide correspondant a l elasticite retardeedes di erents solidesde Kelvin-V oigt et enn un comportement visqueux newtonien aux tempslongs caracterise par une variation lin eaire de pente 1= 0. Ce modele permet dobtenir aussi uncomportement solide aux temps longs en posant 0 ! 1 . La fonction uage, donneepar :

f (t) = J0 +NX

i =1

J i (1 exp t i

); (32)

presente une asymptote horizontale (voir la gure 26).Le comportement general peut etre egalement decrit par dautres modelesequivalents, de struc-

tures di erentes mais conduisant a la memeequation rheologique.Une autre structure equivalenteest le modele de Maxwell generalise. Il est constitue par lassociation en parallele de N liquidesde Maxwell ayant un module de rigidit e Gi et une viscosite i . Ce modele decrit un comporte-ment liquide avec elasticite instantanee et retardee et est equivalent au modele de Kelvin-V oigtgeneralise precedent.

Selonque lune desbranchesse reduit a un amortisseur ou a un ressort libre, on peut decriredautres typesde comportement : liquide sanselasticite instantanee,solide avec elasticite instan-taneeet retardee,solide sanselasticite instantanee,par exemple.

Avecdesrheometres a uage, on privil egierale modelede Kelvin-V oigt dont la fonction uageest simple, tandis quavec des rheometres a relaxation on utilisera le modele de Maxwell.

18

-

6

J0

f (t)

t

regimenewtonien

elasticite retardee

elasticite instantanee

Fig. 25 { Fonction uage du modele de Kelvin-Voigt generalise.

-

6

J0

f (t)

t

Fig. 26 { Fonction uage du modele de Kelvin-Voigt generalise avec 0 ! 1 .

4.3 Liquides nonlin eaires

Au dela de la viscoelasticite lin eaire et plus loin dans le regimenonlineaire, on considere desmodelesad hoc qui sont desapproximations plus ou moins bonnesdu comportement de certainsmateriaux. On utilise principalement des modelespour lesquelsla viscosite depend du taux decisaillement :

= ( _ ) _ ; (33)

sanseet dependant du temps.

4.3.1 Liquides plastiques

Ce sont des liquides presentant une contrain te seuil decoulement que nousavonsevoquesdansla section 2.1.

La representation la plus simple dun uide a seuil est le modele de Bingham qui donne larelation suivante entre contrain te et taux de cisaillement :

= c + p _ ; (34)

ou c est la contrain te seuil et p la viscosite plastique. Le rheogrammedun uide de Bingham estrepresent e sur la gure 27. Le materiau ne commencea secoulerquau-dela du seuil et presenteensuite un comportement newtonien.

Certains materiaux ne presentent pas un comportement newtonien au-dela du seuil. Cest lecasdu uide de Cassonpour lequel la relation utilis eeest:

p =

p c +

p p _ : (35)

19

-

6

pente p c

_

Fig. 27 { Rheogramme dun uide de Bingham.

On rencontre dautres relations commecelle de Herchel-Buckley:

= c + k _ n ; (36)

ou le coecien t k et lexposant n sont a determiner.Desmodelesanalogiquespeuvent aussirendrecomptedesdeformationsdecoulement plastique.

On est amene a intro duire dans cesmodelesun element non lin eaire: le patin represent e sur lagure 28. Cest un limiteur de contrain te. Le patin represente le frottement solide: il glisseau deladun seuil de contrain te c, la contrain te reste alors constante et egale a la valeur seuil (voir lagure 29).

?

6

-

c

Fig. 28 { Patin ayant un seuil de contrainte c.

-

6

c

Fig. 29 { Variation de la contrainte avec la deformation aux extremites dun patin.

20

La representation symbolique dun uide de Bingham est lassociation en parallele dun patinayant un seuil de contrain te c et dun amortisseur de viscosite p represent eesur la gure 30. Lacontrain te imposee a lensemble est la sommedescontrain tes de chaquebranche:

= p + v ; (37)

ou p = c dans la branche du patin lorsquil glisseet v = p _ v dans la branche de lamortisseur.La deformation subieest identique danschaquebranche et egalea la deformation totale subieparlensemble :

= p = v : (38)

L equation rheologiquecorrespondante est donneepar l equation (34) et le rheogrammeest celuide la gure 27.

-

c p

?

6

Fig. 30 { Association en parallele dun patin ayant un seuil de contrainte c et dun amortisseurde viscosite p.

4.3.2 Fluide rh eouidian t

Ce sont des liquides qui ont une viscosite qui decrot avec le taux de cisaillement et que nousavons present esdans la section 2.1.

Une loi empirique tr esutilis eepour la variation de la viscosite avec le taux de cisaillement estla loi de puissance (proposeepour la premiere fois par Ostwald en 1925):

= k _ n ; (39)

ou le coecien t k et lexposant n < 1 sont a determiner empiriquement. La viscosite secrit donc:

= k _ n 1: (40)

Le casou n = 1 correspond au comportement newtonien. Il est judicieux de tracer le rheogrammeen coordonneeslog-log commesur la gure 31:

log = logk + n log _ ; (41)

ou la pente de la droite donne lexposant n et lordonnee a lorigine la constante k.Une extension du modele en loi de puissanceest la relation de Carreau qui fait intervenir 5

parametres: 1 0 1

= [1 + ( _ )a ]n 1

a ; (42)

ou 0 est la viscosite a cisaillement nul, 1 est la viscosite a cisaillement inni, une constantede temps et a un parametre qui decrit la transition entre le comportement a faible cisaillement etla region en loi de puissance.Cesdi erents coecien ts sont a determiner empiriquement.

Une autre approche est celle de Shandraw qui admet la relation :

= 0 + 1 _ 0 exp( b_ ): (43)

21

-

6

pente nlogk

log

log _

Fig. 31 { Rheogramme dun uide rheouidiant en loi de puissance.

-

6

pente 1

0

Q?

6

_

Fig. 32 { Rheogramme du uide de Shandraw.

6

-

c

?

Fig. 33 { Association en serie dun patin ayant un seuil de contrainte c et dun amortisseur deviscosite .

Le rheogrammecorrespondant present e sur la gure 32 a une asymptote oblique, l ecart Q = 0 exp( b_ ) avec celle-ci etant exponentiellement decroissant.

On peut utiliser le patin pour representer le comportement uidian t par un modele sym-bolique. Le schema de la gure 33 comportant en serie un patin et un amortisseur donne lerheogrammede la gure 34. Tant que la contrain te est inferieure au seuil du patin c, la reponse

22

-

6

c

_

Fig. 34 { Rheogramme correspondant a lassociation en serie dun patin et dun amortisseur.

est cellede lamortisseur seul.Quand le patin semet a glisser( = c = _ ), la contrain te demeureconstante. Cette representation est sommairemais on peut la raner en associant en paralleleunensemble de branchesde ce type.

4.3.3 Fluide rh eoepaississan t

Ce sont des liquides qui ont une viscosite qui crot avec le taux de cisaillement et que nousavons mentionn esdans la section 2.1. On utilise la loi de puissance pour les representer :

= k _ n ; (44)

avec un exposant n > 1 qui est dautant plus grand que le materiau secarte du comportementnewtonien.

4.4 Comp ortemen t dependan t du temps

Certains liquides peuvent avoir un ecoulement dont les caracteristiques dependent des traite-ments anterieurs. Dans ce cas, la viscosite apparente nest plus x ee pour une valeur donnee dela contrain te ou du taux de deformation mais depend egalement du temps.

Cest le casdesuides thixotropesquenousavonsmentionn esdansla section2.2et pour lesquelsla viscositeapparente a tendancea decrotre dans le tempsquand on lui applique unecontrain te (ouune vitessede cisaillement) constante. Ce comportement complique considerablement les mesuresrheologiquescar on voit semanifester deseets dhysteresis.

-

6

_

?

9

O

A

B

Fig. 35 { Boucle dhysteresis de reference dun gel uidiant.

23

6

?

h- y

6

z

xH Hj r

Fig. 36 { Rheometre de Couette.

On procederade preferenceen realisant des rheogrammesdans desconditions experimentalesx eeset bien reproductibles, comme la boucle de referencedun gel uidian t present ee sur lagure 35 tir eede la reference[3]. Cette boucle est eectu eede la maniere suivante :

{ Charge en contrain te (ou taux de cisaillement) pendant un temps t c court par rapport atoutes les autres dureesexperimentales.

{ Attente souscisaillement maximal pendant un temps ta .{ Decharge pendant un temps total td.

Au cours de la charge (partie OA), le gel est rheouidian t. Pendant latten te (partie AB ), laviscosite apparente diminue a causedu changement de structure (transformation de l etat gel al etat uide). Pendant la decharge (partie B O), la viscosite est constante et le retour est lin eairecar la structure est detruite.

Dans quelques cas plus rares, on trouve aussi le comportement oppose, antithixotr ope. Acontrain te (ou vitesse de cisaillement) donnee, la viscosite apparente augmente avec le temps.Le terme dantithixotr opie est a preferer a celui de rheopexie, moins bien deni, non totalementequivalent et qui designela propri ete de solidication progressive par agitation.

5 Rh eometrie

5.1 Rh eometres simples

5.1.1 Rh eom etre plan

La situation idealeest celle ou contrain te et vitessede deformation sont constantes dans toutle volume du materiau. Cest ce que lon rencontre dans un materiau homogene soumis a unecoulement de cisaillement simple commecelui de la gure 12. Les contrain tes tangentielles, = xy , sont constantes et egalesaux contrain tes sur lesplans. La vitessede deformation est la memeen tout point et vaut _ = U=h. La viscosite de cisaillement est denie comme le rapport de lacontrain te tangentielle et du taux de cisaillement = =_ . Si le materiau est inhomogene, le prolde vitessenest plus celui de l ecoulement de cisaillement simple car la viscosite varie de point enpoint. On en est reduit a mesurerune viscosite eectiv e que lon peut exploiter si lon disposedunmodele th eoriquedu milieu.

Lesautres ecoulements viscometriquessont issusde l ecoulement de cisaillement simple et sontdesgeneralisations pratiques de celui-ci.

24

5.1.2 Rh eom etre de Couette

Dans le rheometre de Couette, le uide est place dans lentrefer de deux cylindres coaxiaux derayons R1 et R2 avec R1 < R2 et de hauteur h tournant avec des vitessesangulaires respectives 1 et 2 (voir la gure 36). En pratique, un descylindres est xe et lautre tourne. Cest souventle cylindre int erieur qui tourne, bien que cela puisseconduire a une instabilit e de Taylor-Couetteau dela dune vitessede rotation critique. On peut soit imposercette vitesseangulaire et mesurerle moment M du couple a appliquer pour quelle soit maintenue, soit appliquer un couple donneet mesurer la vitesseangulaire prise par le cylindre mobile.

D etermination de la contrain te Considerons le systemede coordonneescylindriques (r , ,z)represent eessur la gure 36. Compte tenu de la symetrie et de labsencede gradient de pressionaxial, vz = 0. Par ailleurs la vitessev est independante de . La relation dincompressibilite (12)donne (voir lappendiceA) :

1r

@@r

(rvr ) = 0: (45)

La vitessevr ne peut donc etre que de la forme vr = C=r ou C est une constante. Or vr sannulesur lesparois solidesen R1 et R2 ; donc vr est nulle dans tout le uide. Compte tenu de la symetriedu champ de vitesse(0;v ;0), r est la seulecomposante non nulle du tenseur descontrain tes. Lacomposante angulaire de l equation de la quantit e de mouvement, equation (13), se reduit a (voirlappendiceA) :

1r 2

@@r

(r 2 r ) = 0: (46)

Le moment est donc conserve:

M = M 1 = M 2 = M (r ) = 2 hr 2 r ; (47)

ou M 1 et M 2 sont les moments des couples appliques aux cylindres int erieur et exterieur. Lacontrain te vaut :

= r =M

2 hr 2: (48)

D etermination du taux de cisaillemen t Le taux de cisaillement est donne par (voir lappen-dice A) :

_ = 2er =@v@r

vr

= rddr

(vr

); (49)

ou v =r est la vitesseangulaire.

En trefer etroit Lorsque lentrefer utilis e est etroit, en pratique (R2 R1)=R1 < 0:15, on peutconsiderer que la contrain te et le taux de cisaillement sont constants dans tout le volume delentrefer. La valeur constante de la contrain te seraprise egalea :

(R1) =M

2 hR21: (50)

Le taux de cisaillement est egal a une constante K :

_ = rddr

(vr

) = K : (51)

En int egrant cette equation entre le cylindre int erieur et le cylindre exterieur,

Z 2

1

d(vr

) = KZ R 2

R 1

drr

; (52)

25

on trouve lexpressionde cette constante :

_ = K = 2 1

ln R 2R 1

( 2 1)R1R2 R1

: (53)

A partir de la mesuredu moment applique et de la vitesseangulaire entre les deux cylindres, onen deduit la viscosite:

=_

M

2 h( 2 1)R2 R1

R31: (54)

En trefer large Il faut sedonnera priori un modelerheologique(mat eriau newtonien,plastique,rheouidian t, ou autre), en deduire le taux de cisaillement en tout point, int egrer dans lentreferet verier a posteriori que le modele est le bon. Prenonsdeux exemples:

{ Dans le casdun modele de uide newtonien, l equation rheologique = _ secrit :

M2 hr 2

= rddr

(vr

): (55)

En int egrant cette equation entre le cylindre int erieur et le cylindre exterieur,

Z 2

1

d(vr

) =M

2 h

Z R 2

R 1

drr 3

; (56)

on en deduit :

2 1 =M

4 hR22 R

21

R21R22

: (57)

Si la di erencede vitesse angulaire des deux cylindres est une fonction lin eaire du coupleapplique, le choix dun modelenewtonien est correct. Sinon, il faut supposerun autre modelepour le uide.

{ Dans le casdun modelede uide en loi de puissance,l equation rheologique = k _ n secrit :

M2 hr 2

= k[rddr

(vr

)]n : (58)

En int egrant cette equation entre le cylindre int erieur et le cylindre exterieur,

Z 2

1

d(vr

) = (M

2 hk)

1n

Z R 2

R 1

dr

r 1+2n

; (59)

on en deduit :

2 1 =n2

(M

2 hk)

1n (R

2n1 R

2n2 ): (60)

Si ln( 2 1) est une fonction lin eaire de ln M , lhypothesedune loi de puissanceestcorrecte, sinon il faut choisir un autre modele.

La plupart desrheometresde Couette utilis esen laboratoire ont un fonctionnement automatiseet ont un entrefer etroit. La precisiondesmesuresest bonneet est amelioreeen diminuant leseetsdextr emitesqui perturb ent l ecoulement. Ce type de rheometre necessiteneanmoinsde disposerdun volume dechantillon relativement important.

5.1.3 Rh eom etre cone-plan

Dans le rheometre cone-plan, le uide est place entre un plan et un cone de rayon R commepresent esur la gure 37.Le cone fait un angle avecle plan et peut tourner a unevitesseangulaire. Ici encore,on peut travailler soit a vitesseimposeesoit a moment impose. A partir de la mesuredu moment M et de la vitesseangulaire , on en deduit la viscosite. En eet, si langle du coneest

26

6

- R

Fig. 37 { Rheometre cone-plan.

assezpetit ( < 5 ), la contrain te et la vitessede deformation sont constantes dans tout lespaceoccupe par l echantillon (toujours homogene) et sont respectivement egalesa :

=3M

2 R3; (61)

_ =

: (62)

La viscosite est donneepar :

=3M

2 R3: (63)

Ce rheometre est tr es utile lorsquon ne dispose que dune faible quantit e de uide car engeneral une goutte sut, le uide tenant entre le coneet le plan gracea la tension capillaire. Il estaussi tr es int eressant car on peut atteindre desvitessesde cisaillement elevees.Les inconvenientssont que la mesure est tr es sensible a la position du cone (qui est tronque et remplace par unpetit meplat) et que ce type dappareil ne convient pas pour desmateriaux complexeset fragilescomme les suspensionsde particules. Un grand avantage est que lon peut mesurer la pousseesurla plaque ce qui permet une mesuredescontrain tes normales.

5.1.4 Autres typ es de rh eom etres

Dautres typesde rheometrescomme le rheometre de type Poiseuilleet le viscosimetre a chutede bille sont egalement utilis es.Mais ils ne donnent desresultats satisfaisants que pour des uidesnewtoniens.

5.2 Cisaillemen t oscillan t

On peut etudier de facon dynamique un materiau en lui imposant une contrain te (deformation)qui varie sinusodalement au coursdu temps.La lin earitedesequationsentra ne que la deformation(contrain te) est egalement sinusodale et de meme frequence.On pose:

(t) = 0 cos(! t + );

(t) = 0 cos(! t); (64)

ou 0 et 0 sont les amplitudes de la contrain te et de la deformation, ! la pulsation et ledephasageentre les deux. Pour faciliter les calculs, on prend une notation complexe:

(t) = 0 exp[i (! t + )];

(t) = 0 exp(i! t): (65)

La contrain te et la deformation sont relieespar un module de rigidit e complexe:

= G = (G0+ iG 00) ; (66)

27

ou les parties reelleet imaginaire de G sont le module de conservation et le module de perte avectan = G00=G0 et

pG02 + G002 = 0= 0. On peut aussidenir une viscosite complexe:

= _ = ( 0 i 00) _ ; (67)

avec 0 = G00=! et 00= G0=! . Le module de conservation G0 est associe a la reponseelastique,en phaseavec la deformation. Le module de perte G00est associe a la reponsede type visqueux,en quadrature de phaseavec la deformation. Ce type de mesuredynamique est particuli erementadapte a l etude rheologiquede la viscoelasticite qui a ete present eedans la section 4.2.

Pendant la deformation, la contrain te exterieure appliqueemet en jeu une certaine puissancemecaniquepar unit e de volume:

P = _ ; (68)

qui secrit :

P (t) = 0 0! cos(! t + ) sin(! t);

= 0 0! cos(! t) sin(! t) cos + 0 0! sin2(! t) cos ;

= 20 !

2G0(! ) sin(2! t) + 20 ! G

00(! ) sin2(! t): (69)

La puissancemoyennefournie au coursdun quart de periode peut sedecomposeren deux parties :

< P (t) > =Z

2 !

0P (t)dt;

= Pe + Pd: (70)

Le premier terme Pe = G0(! ) 20 ! = change de signe tous les quarts de cycle. Cest l energiede deformation elastique stockeepuis restitu ee.Le secondterme Pd = G00(! ) 20 ! =2 est toujourspositif. Cest l energiedissipeepar les frottements visqueux.

10-2

10-1

100

101

102

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Frquence rduite

Modules de conservation et de perte

Module de conservation

Module de perte

Fig. 38 { Modules de conservation, G0, et de perte, G00, (normalises par G) pour un liquide deMaxwell en fonction de la fr equence reduite, ! .

Le module de rigidit e complexesecalcule facilement pour :{ Un solide elastiqueparfait, G = = = 1=J = G avec G0 = G et G00= 0.{ Un liquide visqueux newtonien, G = = = _ = = i! avec G0 = 0 et G00= ! .{ Un liquide de Maxwell, G = = = i! = (1 + i! ) ou = =G avec une dependanceen

frequenceanaloguea celledun circuit electrique resistance-capacite,G0 = G! 2 2=(1+ ! 2 2)et G00= G! =(1 + ! 2 2), present eesur la gure 38.

28

&%

$

&%

$

&%

$

&%

$

-

-

Fig. 39 { Appareil a quatre rouleaux pour produire un ecoulement purement elongationnel.

5.3 Con train tes normales

Dans un uide newtonien soumis a un ecoulement de cisaillement simple comme celui de lagure 12 pour lequel v = ( _ y;0;0), seulesles contrain tes tangentielles, xy = yx , sont modi eespar l ecoulement et lescontrain tes normalesrestent isotropeset egalesa p. Pour desuides non-newtoniens, l ecoulement de cisaillement peut induire descontrain tes normalesqui ne contribuen tpas a la dissipation et sont donc appeleescontraintes elastiques. En eliminant le terme de pressionisotrope, on peut denir les di erencesentre contrain tes normales:

N1 = xx yy ; (71)

etN2 = yy zz : (72)

Elles sont independantes de la direction de l ecoulement et, a faible taux de cisaillement, sontfonctions quadratiques de _ , N = _ 2. A plus fort taux de cisaillement, la dependanceest enloi de puissance.En general, la premiere di erenceN1 est positive et peut etre du meme ordre,et meme plus grande, que la contrain te de cisaillement. La secondedi erenceN2 est dhabitudenegative et de 10% plus petite que N1.

Lanisotropie descontrain tes normalesa deux eets spectaculairesque nous avonsmentionn esdans la section 2.5:

{ Lascensionle long de laxe dun batteur rotatif (eet Weissenberg). Dans l ecoulement en-gendre par le cylindre tournant, la vitesse est essentiellement azimutale avec un gradientradial. Lanisotropie descontrain tes normales conduit a > r r , dans un systemede co-ordonneescylindriques (r , ,z), z etant laxe du cylindre. Il y a une tension le long des lignesde courant qui tend a pousserle uide vers laxe et a le faire remonter.

{ Le gonement a lextrusion dun tube. Cet eet est du a la relaxation des contrain tesnormales xx (x etant la direction de laxe du tube) accumuleespendant l ecoulement alin t erieur du tube.

5.4 Viscosit e elongationnelle

Un ecoulement elongationnelpeut etre realisepar un appareil a quatre rouleaux rotatifs ou parun systemede jets opposes(voir les gures 39 et 40). Nous consideronsl ecoulement elongationnel

29

-

Fig. 40 { Systeme de jets opposes pour produire un ecoulement purement elongationnel.

axisymetrique pour lequel v = _ (x; y=2; z=2) ou _ est le taux de deformation elongationnel.Dans cette conguration decoulement, on a :

xy = xz = yz = 0; (73)

et, en eliminant le terme de pressionisotrope, on denit la viscosite elongationnelle, E :

xx yy = xx zz = E _ : (74)

Pour un liquide newtonien le rapport de Trouton, Tr = E = = 3, ne depend pas du taux decisaillement ou du taux delongation. Ce nest pas le cas pour des uides non-newtonienspourlesquels E ( _ ) et pour lesquelsle rapport de Trouton peut etre tr esgrand Tr 103 104.

A Coordonn ees cart esiennes, cylindriques et spheriques

En coordonneescartesiennes(x, y, z), l equation de continuit e secrit :

@vi@x i

=@vx@x

+@vy@y

+@vz@z

= 0; (75)

et les equationsde conservation de la quantit e de mouvement sont :

(@@t

+@vj@x j

)vi = F i +@ ij@x j

; (76)

ou Fi est une force en volume comme la gravit e. Sur chaquecoordonnee,ellessecrivent :

(@@t

+@vx@x

+@vy@y

+@vz@z

)vx = F x +@ xx@x

+@ xy@y

+@ xz@z

; (77)

(@@t

+@vx@x

+@vy@y

+@vz@z

)vy = F y +@ xy@x

+@ yy@y

+@ yz@z

;

(@@t

+@vx@x

+@vy@y

+@vz@z

)vz = F z +@ xz@x

+@ yz@y

+@ zz@z

:

Le tenseur taux de deformation est:

eij =12

(@vi@x j

+@vj@x i

): (78)

30

En coordonneescylindriques (r , , z), l equation de continuit e secrit :

1r

@@r

(rvr ) +1r

@v@

+@vz@z

= 0; (79)

et les equationsde conservation de la quantit e de mouvement :

[(@@t

+ vr@@r

+vr

@@

+ vz@@z

)vr v2r

] = F r +@ r r@r

+1r

@ r @

+@ r z@z

+ r r

r; (80)

[(@@t

+ vr@@r

+vr

@@

+ vz@@z

)v +vr v

r] = F +

@ r@r

+1r

@ @

+@ z@z

+ 2 r r

;

(@@t

+ vr@@r

+vr

@@

+ vz@@z

)vz = F z +@ zr@r

+1r

@ z @

+@ zz@z

+ zrr

:

Le tenseur taux de deformation est:

er r =@vrr

;e =1r

@v@

+vrr

;ezz =@vz@z

; (81)

e z =12

(1r

@vz@

+@v@z

);ezr =12

(@vr@z

+@vz@r

);er =12

[r@@r

(vr

) +1r

@vr@

]:

En coordonneesspheriques(r , , ), l equation de continuit e secrit :

1r 2

@@r

(r 2vr ) +1

r sin @(sin v )

@+

1r sin

@v@

= 0; (82)

et les equationsde conservation de la quantit e de mouvement :

[(@@t

+ vr@@r

+vr

@@

+v

r sin @

@)vr

v2 + v2

r] = F r +

@ r r@r

+1r

@ r @

(83)

+1

r sin @ r @

+1r

(2 r r + r cot );

[(@@t

+ vr@@r

+vr

@@

+v

r sin @

@)v +

vr vr

cot v2r

] = F +@ r@r

+1r

@ @

+1

r sin @ @

+1r

[( ) cot + 3 r ];

[(@@t

+ vr@@r

+vr

@@

+v

r sin @

@)v + cot

v vr

+vr v

r] = F +

@ r@r

+1r

@ @

+1

r sin @ @

+1r

(3 r + 2 cot ):

Le tenseur des taux de deformation est:

er r =@vrr

;e =1r

@v@

+vrr

;e =1

r sin @v@

+vr

cot +vrr

; (84)

e =12

[sin

r@@

(v

sin ) +

1r sin

@v@

];

er =12

[1

r sin @vr@

+ r@@r

(vr

)];er =12

[r@@r

(vr

) +1r

@vr@

]:

B Dimensions et unit es

Les dimensions et unit es du cisaillement, de la contrain te et des viscosites dynamique etcinematique sont donneesdans le systemedunit esCGS (centim etre, gramme et seconde)et dans

31

Fig. 41 { Viscosite dune solution a 1% de polyethylene oxyde dans un melange 50%=50%eau/glycerine pour diversesfractions massiquesde billes de verre, a une temperature de 25 .

le systemeinternational dunit esSI. Notons que1 Poise= 0;1 Pa.set que1 Stokes= 10 4m2.s 1.

CGS SI

_ s 1 s 1

g.cm 1.s 2 Pascal= kg.m 1.s 2

Poise= g.cm 1.s 1 Pa.s = kg.m 1.s 1

= = Stokes= cm2.s 1 m2.s 1

C Exercices et probl emes

C.1 Course entre un uide newtonien et un uide non-newtonien

On consideredeux tubesverticaux identiques ouverts sur le haut et comportant deux robinetsidentiques en bas. Ces deux tubes sont remplis a la meme hauteur dun liquide newtonien pourle tube de gauche et dun liquide non-newtonien pour le tube de droite. Les robinets sont ouvertssimultan ement. Au debut le uide non-newtonien secoule plus vite mais quand la hauteur deliquide devient plus faible, il ralentit par rapport au uide newtonien et a la n cest le uidenewtonien qui gagneen secoulant plus vite. Quel est le type de uide non-newtonien? Expliquerlexperience.Donner un exemplede uide ayant un comportement rheologiquesemblable.

C.2 Loi rh eologique a trouv er

On considere les variations de viscosite avec le gradient de vitesse represent eessur la gure41. Dans la partie decroissante des courbes,quelle est la loi rheologiquedu uide ? Donner en lacaracteristique a partir descourbesde la gure 41.

C.3 Ecoulemen t dans un tub e cylindrique dun uide en loi de puissance

On considereun ecoulement de Poiseuille dans un tube cylindrique de rayon R induit par unedi erencede pression p sur une longueur L (voir la gure 42).

1. En considerant que l ecoulement est axisymetrique et que zz = p, montrer que la compo-sante axiale de l equation de conservation de la quantit e de mouvement secrit :

0 = dpdz

+1r

@(r zr )@r

: (85)

32

6

R

-L

- z

6r

Fig. 42 { Coupe du tube cylindrique.

2. Montrer que la variation de la contrain te de cisaillement zr avec la position radiale r dansle tube est donneepar :

zr = p2L

r : (86)

3. Montrer que pour un uide en loi de puissance( zr = _ n avec un taux de cisaillement_ = dvz =dr) la variation de la vitessedu uide est donneepar :

vz =

p2L

1n R1+

1n r 1+

1n

1 + 1n: (87)

4. Quel est le prol devitessepour un uide newtonien (n = 1)? et pour un uide rheouidian t(n < 1)?

5. Montrer que le debit volumique de uide Q est donne par :

Q =

pR2L

1n R3

3 + 1n: (88)

Montrer que lon retrouve bien la loi de Poiseuille pour un uide newtonien.

C.4 Ecoulemen t de boues de forage

Les boues de forage utilis eesdans lexploitation petroli ere sont des suspensionsconcentr eesde particules solides.Leur comportement rheologiqueest non newtonien et leur rheogramme(ca-racteristique contrain te - gradient de vitesse)met en evidencelexistencedune contrain te seuil, c,en dessousde laquelle le uide ne secoulepas. Au dela de la contrain te seuil, on peut representerle comportement du uide soit par une relation lin eaire (uide de Bingham), soit par desrelationsplus realistes(comme celle du uide de Casson).

Le problemede l ecoulement des bouesde forage dans un milieu poreux (comme cest le casdansun puit de forage)peut seramenerschematiquement a l ecoulement dansuneseriede tubesdesection circulaire. Pour simplier encore,nous considerons l ecoulement stationnaire de Poiseuilledans un tube cylindrique de rayon R induit par une di erencede pression p sur une longueur L(voir la gure 42) dun uide de Bingham. Ce problemeest tir e de la reference[5]

1. En considerant que l ecoulement est axisymetrique et que zz = p, montrer que la compo-sante axiale de l equation de conservation de la quantit e de mouvement secrit :

0 = dpdz

+1r

@(r zr )@r

: (89)

33

Fig. 43 { Rheogramme dune boue de forage.La courbe en trait plein est lajustement dun modelede Cassonsur les points experimentaux avec c = 7;19 Pa et p = 0;048 Pa.s. La courbe en traitpointil le est un modele de Bingham avec c = 8;67 Pa et p = 0;245 Pa.s.

2. En deduire que la contrain te de cisaillement varie lin eairement avec la position radiale r :

zr (r ) = r zr (R)=R; (90)

ou zr (R) = pR=2L .3. Montrer que le debit est donne par :

Q = Z vz (R )

vz (0)r 2duz : (91)

4. Avec un taux de cisaillement _ = dvz =dr, en deduire que:

Q = R3

3zr (R)

Z z r (R )

0 2zr _ ( zr )d zr : (92)

5. Montrer que pour un uide de Bingham qui presente une contrain te seuil, c, en dessousdelaquelle le uide ne secoulepas, et une viscosite plastique, p, le debit secrit :

Q = R3

p 3zr (R)

Z z r (R )

c 2zr ( zr c)d zr : (93)

6. En rapportant le debit a son expressionpour le uide newtonien Qp (loi de Poiseuille),montrer quon obtient :

Q=Qp = 1 4 c

3 zr (R)+

4c3 4zr (R)

: (94)

Representer Q=Qp en fonction de zr (R)= c.7. Montrer que pour un gradient de pressiondonne, le uide ne secouleque dans des tubesde

rayon superieur a un rayon critique que lon determinera.8. On fait coulerde la bouede forage,dont lescaracteristiquessont donneesdans le rheogramme

de la gure 43, dans un milieu poreux de 10 cm, avecune di erencede pressionentre entr eeet sortie de 7 bars (1 bar = 105 Pascal).Quel est le diametre minimal desporesdans lesquelssecoulela boue? Quelles informations sur la distribution de taille desporespeut-on obtenira partir de la relation experimentale debit-di erencede pression?

34

C.5 Eet Weissenberg

Certainessolutions de polymerede grandemassemoleculairepresentent un eet connu souslenom deet Weissenberg et qui est du a lanisotropie de contrain tesnormalessouscisaillement. Ceteet est illustr e sur la gure 44. Un barreau cylindrique de rayon R est plonge dans le liquide non-newtonien de massevolumique . Lorsquon fait tourner ce barreau a vitesseangulaire constante! , la surface libre du liquide seleve le long du barreau. Une experiencesimilaire avec un liquidenewtonien montre une depressionde la surface libre autour du barreau tournant.

Fig. 44 { Ascension dune solution de polyisobutylene le long dun barreau tournant. Le rayondu barreau est 0;32 cm. La vitesse de rotation est: (a) 0, (b) 2 tour/min, (d) 3 tour/min et(g) 7 tour/min. En labsence de rotation, lascension du liquide est due a des eets capillaires.Photographies tir eesde G. S. Beavers and D. D. Joseph,J. Fluid Mechanics, 69, 475 (1975)

Nous allons etablir une th eorie simpli eede cet eet tir eede la reference[5]. Nous supposonsque la deformation de lin terface restede petite amplitude et nousnegligeonsleseets de la tensiondesurfacedu liquide. Noussupposonsque lin terfaceest initialement plane (langle decontact entrela surfacedu liquide et le barreau tournant est90 ). Nousconsideronsdescoordonneescylindriquesou la direction suivant z est contraire a la gravit e.

1. En considerant que le mouvement est purement azimutal (vz = vr = 0) et que l ecoulementest axisymetrique, montrer que les equations de conservation de la quantit e de mouvementse reduisent a :

{ Composante z@ zz@z

= g ; (95)

{ Composante r

v2r

=@ r r@r

+ r r

r; (96)

qui peut secrire, en faisant apparatre les di erencesde contrain tes normales r ret r r zz ,

v2r

=@( r r zz )

@r+

@ zz@r

+ r r

r; (97)

{ Composante 1r 2

@r 2 r @r

= 0: (98)

2. En considerant que la contrain te de cisaillement est relieeau taux de cisaillement par lex-pressionnewtonienne:

r = _ = 2e r ; (99)

35

ou est la viscosite et ou le tenseur taux de deformation est donne en coordonneescylin-driques par :

er =12

(@v@r

vr

+1r

@vr@

); (100)

et en cherchant dessolutions de la forme v = An r n de l equation (98), montrer que le champde vitesseest donne par :

v =! R2

r; (101)

et que le taux de cisaillement est:

_ = 2er = 2! R2

r 2: (102)

3. En int egrant l equation (95) a partir de la surface libre z = h(r ) ou zz = 0, montrerque la contrain te normale suivant laxe de rotation est donnee par le champ de pressionhydrostatique :

zz = g [h(r ) z]: (103)

4. En int egrant l equation (97), montrer que la forme de la surface libre est donneepar :

h(r ) =! 2

g( 1

R4

r 4

R 4

2r 2); (104)

pour un uide presentant une anisotropie de contrain tes normalesde la forme:

r r = 1 _ 2; (105)

la secondedi erencedescontrain tes normales, r r zz , etant beaucoupplus petite et doncnegligee.Dans quellesconditions y a-t-il ascensionle long du barreau tournant ? Calculer lahauteur dascension.Que sepasserait-il si le uide etait newtonien?

5. Le uide utilis e est 15000fois plus visqueux que leau (pour un taux de cisaillement comprisentre 1 et 10 s 1). Sa massevolumique est 0;89 g cm 3. La hauteur dascensionen fonctiondu carre de la vitesse de rotation, pour des barreaux de di erents diametres est present eesur la gure 45. Comparer le modeleaux resultats experimentaux et estimer 1. Quel rayonde barreau faut-il avoir pour observer une ascensiondu liquide? Peut-on negliger les eetsdinertie dans le modele?

Fig. 45 { Hauteur dascension dune solution de polyisobutylene en fonction du carr e de la vitessede rotation ! , pour trois diametres de barreau tournant. Donnees tir ees de G. S. Beavers andD. D. Joseph,J. Fluid Mechanics, 69, 475 (1975)

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R eferences

[1] R. Byron Bird, R. C. Armstrong and Ole Hassager,Dynamics of Polymeric Liquids, Volume1, Fluid Mechanics, 2nd Edition, Wiley, New York (1987).

[2] D. V. Boger and K. Walters, Rheological phenomenain focus, Elsevier, Amsterdam (1993).[3] G. Couarrazeet J. L. Grossiord, Initiation a la rheologie, Technique et Documentation, La-

voisier, Paris (1983).[4] P. Coussotet C. Ancey, Rheophysiquedespates et suspensions, EDP Sciences(1999).[5] M. Fermigier, Hydrodynamique Physique - Problemes resolusavec rappels de cours, Dunod,

Paris (1999).[6] E. Guyon, J.-P. Hulin et L. Petit, Hydrodynamique Physique, Inter Editions / Editions du

CNRS (1991), nouvelle edition revue et augment ee,EDP Sciences/ CNRS Editions (2001).[7] H. Markovitz, Rheological behavior of uids , lm realisesousla direction du National Commit-

tee for Fluid Mechanics Films, et distribu e par Encyclopaedia Britannic a Educational Corp.(425 N. Michigan Ave., Chicago, Il 60611,USA).

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