REZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT CONTRIBU II LA TEORIA...
53
Transcript of REZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT CONTRIBU II LA TEORIA...
Universitatea din Bucure³ti
Facultatea de Matematic ³i Informatic
coala Doctoral de Matematic
REZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT
CONTRIBUII LA TEORIA SPAIILOR KÖTHE-BOCHNER.
REZULTATE TEORETICE I APLICAII
Coordonator ³tiinµic
Prof. Univ. Dr. Vasile Preda
Doctorand
R zvan-Cornel Sfetcu
Bucure³ti
2017
Cuprins
Introducere 4
1 Preliminarii 6
2 Spaµii Köthe-Bochner. Propriet µi de baz 8
2.1 Completitudinea spaµiilor Köthe-Bochner. Subspaµii nit dimensionale . . . 8
2.2 Topologia convergenµei în ρ− m sur . Relaµia cu topologia canonic . . . . . 9
2.3 Convergenµa ³irurilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 Spaµii Köthe-Bochner cu structuri speciale 15
3.1 Spaµii Köthe-Bochner care sunt algebre Banach cu unitate . . . . . . . . . . 15
3.2 Spaµii Köthe-Bochner care sunt spaµii Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.3 Spaµii Köthe-Bochner care sunt spaµii hilbertabile . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.4 Aproximarea spaµiilor Köthe-Bochner Lρ(X) în cazul în care X are baz Scha-
uder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4 Dualul unui spaµiu Köthe-Bochner 21
4.1 Preliminarii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.2 Calculul normei în Lρ′(X ′) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.3 Scufundarea lui Lρ′(X ′) în (Lρ(X))′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.4 Identicarea dualului unui spaµiu Köthe-Bochner cu spaµiul Köthe-Bochner
asociat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.5 Reexivitatea spaµiilor Köthe-Bochner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5 Operatori liniari ³i continui pe spaµii Köthe-Bochner 25
5.1 Generalizarea noµiunilor de variaµie ³i semivariaµie . . . . . . . . . . . . . . . 25
2
5.2 Propriet µi ale ρ− variaµiei ³i ale (ρ, (E,F ))− semivariaµiei . . . . . . . . . . 26
5.3 Operaµii liniare ³i continue pe Lρ(E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6 Elemente de cea mai bun aproximare în spaµii Köthe-Bochner 32
6.1 Schem general pentru mulµimi proximinale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
6.1.1 O metod pentru a g si mulµimi proximinale . . . . . . . . . . . . . . 32
6.1.2 Aplicaµii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
6.2 Mulµimi proximinale în spaµii Köthe-Bochner de ³iruri . . . . . . . . . . . . . 35
7 Aplicaµii. Direcµii de cercetare 36
7.1 Divergenµele Tsallis ³i Rényi pentru polinoamele Jacobi generalizate . . . . . 36
7.2 Spaµii Köthe-Bochner denite de o funcµie de entropie . . . . . . . . . . . . . 37
Bibliograe 42
3
Introducere
Spaµiile de funcµii apar peste tot în matematic . Ele constituie parte fundamental a
Analizei Funcµionale. Exist aplicaµii concrete ale acestora. Spaµii speciale de funcµii apar în
probleme de calcul numeric, probleme de optimizare, în rezolvarea ecuaµiilor diferenµiale ³i cu
derivate parµiale. Un exemplu foarte sugestiv în acest sens este dat de spaµiile Lebesgue cu
exponent variabil, care sunt cazuri particulare de spaµii Köthe-Bochner, ind foarte actuale,
vezi [6], [33], [34], [35], [36], [88], [100]. De altfel, unele dintre rezultatele din aceste articole
sunt generalizate în tez . În ultimul timp se manifest tendinµa de modelare a discretului
prin continuu cu ajutorul unor funcµii aparµinând unor spaµii funcµionale speciale.
Spaµiile Köthe generalizeaz spaµiile Lebesgue, spaµiile Orlicz, spaµiile Lorentz, spaµiile
Marcinkiewicz ³i alte spaµii de funcµii. Ele au fost introduse de matematicienii germani G.
Köthe ³i O. Toeplitz în articolul [69], dar nu au fost numite a³a. Köthe a generalizat acest
articol, vezi [68], dar apoi a renunµat la studiul acestui subiect. Forma actual a spaµiilor
Köthe a ap rut pentru prima dat în teza de doctorat a lui W.A.J. Luxemburg scris sub
îndrumarea lui A.C. Zaanen. Numele de spaµii Köthe a fost dat la sugestia lui J. Dieudonné,
vezi [42]. O generalizare natural a acestor spaµii este s consider m funcµii cu valori într-un
spaµiu Banach arbitrar în loc de funcµii cu valori scalare dezvoltându-se astfel teoria spaµiilor
Köthe-Bochner. Aceste spaµii de funcµii sunt intens studiate. În acest sens menµion m: [3],
[15], [16], [20], [23], [44], [46], [59], [79], [80], [81], [99], [138], [145], [146].
Spaµiile Köthe-Bochner nu sunt studiate numai pentru propriet µi ce µin de Analiza Func-
µional . În multe articole recente (vezi [19], [21], [71], [72], [73], [74], [83], [84], [97], [98],
[110], [122], [128], [140]) spaµiile Köthe-Bochner sunt legate de noµiunile de funcµie de entro-
pie, funcµie de capacitate, numere de entropie, element de cea mai bun aproximare, noµiuni
ce µin de Teoria Optimiz rii.
În aceast tez de doctorat ne ocup m de completitudinea spaµiilor Köthe-Bochner, ge-
neraliz m tipuri de convergenµe cunoscute de la Teoria M surii ³i studiem leg turile între
4
convergenµele nou-denite ³i convergenµa în topologia de spaµiu Köthe-Bochner, caracteriz m
spaµiile Köthe-Bochner care sunt algebre Banach cu unitate, spaµii Hilbert ³i spaµii hilber-
tabile, aproxim m spaµiile Köthe-Bochner Lρ(X) cu subspaµii Lρ(Y ), unde Y ⊂ X sunt
subspaµii nit dimensionale, g sim o reprezentare a dualului unui spaµiu Köthe-Bochner,
reprezent m operatorii liniari ³i continui U : Lρ(E)→ F ³i stabilim leg turi între ace³tia ³i
operatorii liniari ³i continui V : Lρ → L(E,F ), introducem o schem pentru a g si mulµimi
proximinale în spaµii Banach ³i aplic m aceast schem la spaµii Köthe-Bochner, ar t m c ,
în anumite condiµii, o mulµime convex , m rginit , închis ³i solid este proximinal într-
un spaµiu Köthe-Bochner, demonstr m propriet µi ale entropiilor Tsallis ³i Rényi, stabilim
relaµii între funcµiile de entropie ³i spaµiile Köthe-Bochner.
Mulµumiri
Mulµumesc domnilor profesori Ion Chiµescu ³i Vasile Preda pentru sprijinul acordat, pen-
tru numeroasele sfaturi ³i încuraj ri primite în perioada studiilor doctorale.
Mulµumesc tuturor domnilor profesori care m-au format în anii de ³coal ³i de facultate.
De asemenea mulµumesc familiei mele pentru suportul acordat.
5
Capitolul 1
Preliminarii
Not m N = 1, 2, ..., R+ = [0,∞), R+ = [0,∞] = R+ ∪ ∞, K = R sau C. Vom folosi
convenµia 0 · ∞ = 0.
Pentru orice mulµime nevid T not m P(T ) mulµimea tuturor submulµimilor lui T . Pen-
tru orice A ∈ P(T ) not m funcµia caracteristic a lui A via ϕA : T → R.Toate spaµiile seminormate (X, ‖ ‖) (pe scurt X) sunt considerate nenule. Dac (X, ‖ ‖)
este un spaµiu seminormat ³i (Y, |‖ |‖) este un spaµiu normat denim L(X, Y ) = T : X → Y |T liniar ³i continuu, normat cu norma operatorial ‖T‖o = sup|‖T (x)|‖ | x ∈ X, ‖x‖ ≤ 1.În particular, dac Y = K, not m L(X,K) = X ′
def= dualul lui X. Dac f : T → X denim
|f | : T → R+, |f |(t) = ‖f(t)‖.Dac A este o mulµime nevid ³i (xi)i∈I este o familie de elemente ale lui A scriem
(xi)i∈I ⊂ A (sau (xi)i ⊂ A) pentru a ilustra faptul c xi ∈ A pentru orice i ∈ I. Dac (∆,≤)
este o mulµime dirijat ³i (xδ)δ∈∆ este un ³ir generalizat astfel încât xδ ∈ A pentru orice
δ ∈ ∆ vom scrie (xδ)δ∈∆ net A. În particular, dac I = N, obµinem ³irul (xn)n∈N ⊂ A (vom
mai scrie (xn)n≥1 ⊂ A sau, cel mai adesea, (xn)n ⊂ A). Dac A este un spaµiu topologic,
(xδ)δ∈∆ net A ³i x ∈ A vom scrie xδ −→δx pentru a desemna faptul c (xδ)δ converge c tre x.
Fie (T, T , µ) un spaµiu cu m sur σ− nit ³i complet ³i (X, ‖ ‖) un spaµiu Banach.
Not m S(T,X) spaµiul vectorial al funcµiilor T − simple f : T → X ³i MX(µ) spaµiul
vectorial al funcµiilor µ− m surabile f : T → X. În cazul X = K scriem S(T ) în loc de
S(T,K) ³i M(µ) în loc de MK(µ). Not m M+(µ) = u : T → R+ | u este µ− m surabil .
O funcµie ρ : M+(µ) → R+ se nume³te µ− seminorm funcµional (pe scurt seminorm
funcµional ) dac are propriet µile (pentru orice u, v ∈M+(µ) ³i pentru orice α ∈ R+):
(i) Dac u(t) = 0 µ− a.p.t. atunci ρ(u) = 0.
6
(ii) ρ(u) ≤ ρ(v) pentru orice u, v ∈M+(µ) astfel încât u ≤ v.
(iii) ρ(u+ v) ≤ ρ(u) + ρ(v).
(iv) ρ(αu) = αρ(u).
Dac ρ are, în plus, proprietatea reciproc a lui (i), adic "Dac ρ(u) = 0 atunci u(t) = 0
µ− a.p.t.", ρ se nume³te µ− norm funcµional (pe scurt norm funcµional ).
Vom lucra cu norme funcµionale în aceast tez precizând atunci când vorbim despre
seminorme funcµionale.
Vom scrie ρ(A) în loc de ρ(ϕA) pentru orice A ∈ T . Deci ρ(T ) > 0.
Spunem c norma funcµional ρ are proprietatea Riesz-Fischer dac , pentru orice ³ir
(un)n ⊂M+(µ), avem ρ
(∑n
un
)≤∑n
ρ(un).
Spunem c norma funcµional ρ are proprietatea lui Fatou dac , pentru orice ³ir cresc tor
(un)n ⊂ M+(µ), avem ρ(u) = supnρ(un) = lim
n→∞ρ(un), unde u = sup
nun (punctual) (not m
un ↑ u). Dac ρ are proprietatea lui Fatou atunci ρ are ³i proprietatea Riesz-Fischer.
Spunem c norma funcµional ρ este saturat dac exist un ³ir (Tn)n ⊂ T (care poate
presupus cresc tor sau disjunct) cu proprietatea c ⋃n
Tn = T ³i astfel încât µ(Tn) <∞ ³i
ρ(Tn) <∞ pentru orice n.
Spunem c norma funcµional ρ este de tip absolut continuu dac , pentru orice ³ir des-
cresc tor (un)n ⊂ M+(µ) cu proprietatea c ρ(u1) < ∞ ³i infnun = 0 (punctual) (not m
un ↓ 0), avem limn→∞
ρ(un) = infnρ(un) = 0.
Fie ρ o norm funcµional . Putem construi spaµiul vectorial
Lρ(X) = f ∈MX(µ) | ρ|f | <∞
(scriem ρ|f | def= ρ(|f |)). Remarc m c Lρ(X) este seminormat cu seminorma f → ρ|f |.Acesta se nume³te spaµiu Köthe-Bochner seminormat.
Spaµiul nul al seminormei de mai sus este
NX(µ) = f ∈ Lρ(X) | ρ|f | = 0 = f : T → X | f(t) = 0 µ− a.p.t..
Spaµiul normat asociat este Lρ(X)def= Lρ(X)/NX(µ), normat via
∥∥∥f∥∥∥ = ρ|f | pentru orice
reprezentant f ∈ f . Acesta se nume³te spaµiu Köthe-Bochner normat.
Pentru X = K scriem Lρ în loc de Lρ(K) ³i Lρ în loc de Lρ(K) (acestea se numesc spaµii
Köthe).
7
Capitolul 2
Spaµii Köthe-Bochner. Propriet µi de
baz
În tot capitolul (T, T , µ) este un spaµiu cu m sur σ− nit ³i complet , X un spaµiu
Banach ³i ρ : M+(µ)→ R+ o norm funcµional .
2.1 Completitudinea spaµiilor Köthe-Bochner. Subspaµii
nit dimensionale
Fie x ∈ X. Denim spaµiile Lρ(x)def= f ∈ Lρ(X) | f(T ) ⊂ Sp(x), Lρ(x)
def= f ∈
Lρ(X)| f ∈ Lρ(x) ³i spaµiile Lρxdef= ϕx | ϕ ∈ Lρ ³i Lρx
def= f ∈ Lρ(X) | f ∈ Lρx.
Avem Lρ(x) = Lρx ³i Lρ(x) = Lρx.
Teorema 2.1. (Completitudinea spaµiului Köthe-Bochner Lρ(X)) Sunt echivalente:
1. ρ are proprietatea Riesz-Fischer.
2. Lρ este spaµiu Banach.
3. Pentru orice spaµiu Banach X, Lρ(X) este spaµiu Banach.
4. Exist un spaµiu Banach nenul X astfel încât Lρ(X) este spaµiu Banach.
5. Exist un spaµiu Banach nenul X ³i un element 0 6= x ∈ X astfel încât Lρ(x) = Lρx
este spaµiu Banach.
6. Exist un spaµiu Banach nenul X ³i un subspaµiu închis, nenul Y ⊂ X astfel încât
Lρ(Y ) este spaµiu Banach.
8
Remarca 2.2. Echivalenµa 2.⇔ 3. din Teorema 2.1 poate citit astfel: Lρ are proprietatea
(P ) dac ³i numai dac Lρ(X) are proprietatea (P ) pentru orice spaµiu Banach X. Aici,
(P ) reprezint completitudinea. Acest tip de echivalenµ nu este valabil întotdeauna. De
exemplu, dac (P ) înseamn reexivitatea, este adev rat c dac Lρ(X) este reexiv pentru
orice spaµiu Banach X atunci Lρ este reexiv (putem lua X = K). Reciproca acestei
armaµii nu este, în general, adev rat . Mai des întâlnit este echivalenµa de tipul: Lρ(X)
are proprietatea (P ) dac ³i numai dac Lρ ³i X au proprietatea (P ) (vezi Capitolul 3 ³i
sfâr³itul Capitolului 4 ale acestei teze ³i [80]).
2.2 Topologia convergenµei în ρ− m sur . Relaµia cu to-
pologia canonic
Deniµia 2.3. (vezi [27]) O funcµie ϕ : [0,∞] → [0,∞] se nume³te S− funcµie dac are
urm toarele propriet µi:
i) Exist 0 < a <∞ astfel încât ϕ([0,∞]) = [0, a] ³i ϕ este strict cresc toare.
ii) ϕ(s+ t) ≤ ϕ(s) + ϕ(t) pentru orice s, t ∈ [0,∞].
Deniµia 2.4. Fie 0 < a <∞, f ∈MX(µ) ³i ϕ o S− funcµie. Denim
(|f | > a)def= t ∈ T | |f |(t) > a ³i ρ(|f | > a)
def= ρ((|f | > a)),
(|f | ≥ a)def= t ∈ T | |f |(t) ≥ a ³i ρ(|f | ≥ a)
def= ρ((|f | ≥ a)),
(a, f)def= a+ ρ(|f | > a) ³i ϕ(a, f)
def= ϕ((a, f)),
|‖f |‖ϕdef= infϕ(a, f) | a > 0 <∞.
Remarca 2.5. Orice S− funcµie ϕ genereaz semimetrica invariant la translaµii dϕ :
MX(µ) × MX(µ) → R+, dϕ(f, g) = ‖|f − g‖|ϕ, semimetric ce dene³te topologia τϕ pe
MX(µ).
Teorema 2.6. I. Fie (fδ)δ∈∆ net MX(µ), f ∈MX(µ) ³i ϕ o S− funcµie. Sunt echivalente:
1. fδ −→δf în τϕ.
2. ρ(|f − fδ| > a) −→δ
0 pentru orice 0 < a <∞.
3. ρ(|f − fδ| ≥ a) −→δ
0 pentru orice 0 < a <∞.
II. Avem τϕ1 = τϕ2(def= τm(ρ)) pentru orice S− funcµii ϕ1 ³i ϕ2.
9
Deniµia 2.7. 1. Numim τm(ρ) topologia convergenµei în ρ− m sur .
2. Dac fδ −→δf în (MX(µ), τm(ρ)) spunem c (fδ)δ converge la f în ρ− m sur ³i scriem
fδρ−→δf (în particular fn
ρ−→nf pentru ³iruri).
Teorema 2.8 arat c grupul topologic semimetrizabil (MX(µ), τm(ρ)) nu este separat.
Teorema 2.8. Închiderea mulµimii 0 în (MX(µ), τm(ρ)) este spaµiul vectorial NX(µ).
Exemplul urm tor arat c (MX(µ), τm(ρ)) nu este un spaµiu vectorial topologic.
Exemplul 2.9. Fie (T, T , µ) = (N,P(N), card) (spaµiul cu m sur discret ). Fie X = K.
Denim norma funcµional ρ : M+(card) → R+, ρ(u) = supu(n) | n ∈ N. Consider m
funcµia f ∈M(µ), f(n) = n pentru orice n ∈ N. Rezult c (∣∣∣∣ 1nf
∣∣∣∣ > 1
)= n+1, n+2, ...,
deci ³irul(
1
nf
)n
nu converge în ρ− m sur la 0.
Pentru a studia posibila structur de spaµiu vectorial topologic a lui (MX(µ), τm(ρ))
introducem spaµiul vectorial Mmax = f ∈MX(µ) | ρ(|f | > n) −→n
0, unde n ∈ N.Observ m c Mmax = f ∈MX(µ) | ρ(|f | > a) −−−→
a→∞0, unde a ∈ (0,∞).
Teorema 2.10. 1. Grupul aditiv topologic (MX(µ), τm(ρ)) are proprietatea c , pentru orice
a ∈ K ³i pentru orice subspaµiu vectorial M ⊂ MX(µ), aplicaµia Ta : M → M , Ta(f) = af
este continu .
2. Considerând pe Mmax topologia indus de τm(ρ) acesta devine un subspaµiu vectorial
topologic. Dac M ⊂MX(µ) este un subspaµiu vectorial atunci el este un subspaµiu vectorial
topologic dac ³i numai dac M ⊂Mmax (consider m pe M topologia indus de τm(ρ)).
Remarca 2.11. 1. În Exemplul 2.9, f /∈Mmax.
2. Dac µ(T ) <∞ ³i ρ = ‖ ‖1 atunci Mmax = MX(µ).
Exemplul 2.12 arat c grupul topologic semimetrizabil (MX(µ), τm(ρ)) nu este complet.
Exemplul 2.12. Fie (T, T , µ) = (N,P(N), card), X = K ³i ρ : M+(card)→ R+,
ρ(u) =
∞∑n=1
u(n)
n2dac n ∈ N | u(n) 6= 0 este nit
∞ dac n ∈ N | u(n) 6= 0 este innit .
10
Fie ϕ o S− funcµie. Pentru orice n ∈ N not m An = 1, 2, 3, ..., n ³i consider m ³irul
(fn)n ⊂ M(µ), fn = ϕAn . Dac m > n avem |‖fm − fn|‖ϕ ≤ ϕ
(m∑
i=n+1
1
i2
). De aici rezult
c (fn)n este un ³ir Cauchy. Îns nu exist f ∈M(µ) astfel încât fnρ−→nf .
În cele ce urmeaz studiem leg tura dintre topologia τ(ρ) a spaµiului Köthe-Bochner
Lρ(X) ³i topologia τ im(ρ) indus pe Lρ(X) de topologia convergenµei în ρ− m sur τm(ρ).
Teorema 2.13. Avem incluziunea Lρ(X) ⊂ Mmax. Deci Lρ(X) cu topologia τ im(ρ) este un
spaµiu vectorial topologic.
Teorema 2.14. Avem τ im(ρ) ⊂ τ(ρ), i.e. topologia convergenµei în ρ− m sur este mai
slab decât topologia de spaµiu Köthe-Bochner.
Exemplul 2.15. Consider m ipotezele din Exemplul 2.12. irul (fn)n de acolo este Cauchy
în τ(ρ), dar nu exist f ∈ Lρ astfel încât fn −→nf în τ(ρ). Prin urmare Lρ ³i Lρ nu sunt
complete (deoarece ρ nu are proprietatea Riesz-Fischer, vezi Teorema 2.1).
Închiderile spaµiilor nule ale spaµiilor vectoriale topologice (Lρ(X), τ(ρ)) ³i (Lρ(X), τ im(ρ))
sunt egale, i.e. 0 = NX(µ) (închiderea în ambele topologii). A³adar putem considera
Lρ(X) = Lρ(X)/NX(µ) în raport cu cele dou topologii. Consider m qτ im(ρ) = topologia
factor a lui τ im(ρ). Atunci (Lρ(X), qτ im(ρ)) este un spaµiu vectorial topologic, metrizabil,
topologia sa ind mai slab decât topologia de spaµiu Köthe-Bochner (dat de norm ).
2.3 Convergenµa ³irurilor
Deniµia 2.16. Spunem c ³irul (fn)n ⊂ MX(µ) este Cauchy în ρ− m sur dac , pentru
orice ε > 0 exist n(ε) ∈ N cu proprietatea c pentru orice m ≥ n(ε), n ≥ n(ε) ³i pentru
orice 0 < a <∞, avem ρ(|fm − fn| > a) < ε.
Propoziµia 2.17. Dac (fn)n este convergent în ρ− m sur atunci (fn)n este Cauchy în ρ−m sur .
Propoziµia 2.18. 1. Presupunem c fnρ−→nf ³i f = g µ− a.p.t. Atunci fn
ρ−→ng.
2. Dac fnρ−→nf ³i fn
ρ−→ng atunci f = g µ− a.p.t.
Propoziµia 2.19. Dac fn −→nf ³i fn −→
ng în topologia de spaµiu Köthe-Bochner a lui Lρ(X)
atunci f = g µ− a.p.t.
11
Deniµia 2.20. Fie (fn)n ⊂MX(µ) un ³ir ³i e f ∈MX(µ).
1. Spunem c ³irul (fn)n converge ρ− aproape uniform la f (scriem fnρu−→nf) dac , pentru
orice ε > 0 exist Aε ∈ T astfel încât ρ(Aε) < ε ³i (fn)n converge uniform la f pe T \ Aε.2. Spunem c (fn)n este ρ− aproape uniform Cauchy dac , pentru orice ε > 0 exist
Aε ∈ T astfel încât ρ(Aε) < ε ³i (fn)n este uniform Cauchy pe T \ Aε.
Propoziµia 2.21. (Completitudinea convergenµei ρ− aproape uniforme) irul (fn)n este ρ−aproape uniform convergent dac ³i numai dac este ρ− aproape uniform Cauchy.
Propoziµia 2.22. Dac (fn)n ⊂ MX(µ) ³i f ∈ MX(µ) sunt astfel încât fnρu−→n
f atunci
fn −→nf µ− a.p.t. ³i fn
ρ−→nf .
Remarca 2.23. Reciprocele implicaµiilor care apar în Propoziµia 2.22 nu sunt, în general,
adev rate. Pentru implicaµia (fn −→nf µ − a.p.t.)⇒(fn
ρu−→n
f) putem argumenta astfel: în
Exemplele 2.12 ³i 2.15 ³irul (fn)n converge peste tot la funcµia constant egal cu 1, dar nu
converge ρ− aproape uniform. De asemenea, implicaµia (fnρ−→nf)⇒(fn
ρu−→n
f) nu este, în
general, adev rat , dup cum vom vedea la Remarca 2.37.
Corolarul 2.24. Fie (fn)n ⊂MX(µ) ³i e f ∈MX(µ).
1. Dac fnρu−→nf ³i f = g µ− a.p.t. atunci fn
ρu−→ng.
2. Dac fnρu−→nf ³i fn
ρu−→ng atunci f = g µ− a.p.t.
Corolarul 2.25. Fie (fn)n ⊂MX(µ) ³i e f ∈MX(µ). Sunt echivalente:
1. fnρu−→nf .
2. (fn)n este ρ− aproape uniform Cauchy ³i fn −→nf µ− a.p.t.
Teorema 2.26. Presupunem c ρ are proprietatea Riesz-Fischer. Pentru orice ³ir (fn)n ⊂MX(µ) care este Cauchy în ρ− m sur exist un sub³ir (fnk)k ⊂ (fn)n ³i o funcµie f ∈MX(µ)
astfel încât fnkρu−→kf (deci fnk −→
kf µ− a.p.t. ³i fnk
ρ−→kf).
Teorema 2.27. (Analog al Teoremei Slutsky) Presupunem c ρ are proprietatea Riesz-
Fischer. Atunci spaµiul semimetrizabil (MX(µ), τm(ρ)) este complet.
Putem construi norma funcµional ρT care are proprietatea Riesz-Fischer ³i este cea mai
mare norm funcµional mai mic decât ρ cu aceast proprietate.
Deniµia 2.28. (vezi [27], [139]) Denim norma funcµional ρT : M+(µ)→ R+ via
12
ρT (u) = inf
∞∑n=1
ρ(un)
∣∣∣∣ un ∈M+(µ), u =∞∑n=1
un
.
Folosind ρT obµinem anumite rezultate din Teorema 2.26 pentru orice norm funcµional
ρ.
Corolarul 2.29. Pentru orice ³ir (fn)n ⊂ MX(µ) care este Cauchy în ρ− m sur exist
f ∈MX(µ) ³i un sub³ir (fnk)k ⊂ (fn)n cu proprietatea c fnk −→kf µ− a.p.t.
Propoziµia 2.30. Presupunem c ρ are proprietatea Riesz-Fischer. Fie (fn)n ⊂ MX(µ) ³i
e f ∈MX(µ).
1. Dac fnρ−→nf atunci exist un sub³ir (fnk)k ⊂ (fn)n cu proprietatea c fnk
ρu−→kf (deci
fnk −→kf µ− a.p.t.).
2. Presupunem c (fn)n ⊂ Lρ(X), f ∈ Lρ(X) ³i fn −→nf în topologia de spaµiu Köthe-
Bochner a lui Lρ(X). Atunci exist un sub³ir (fnk)k ⊂ (fn)n astfel încât fnkρu−→k
f (deci
fnk −→kf µ− a.p.t. ³i fnk
ρ−→kf).
Corolarul 2.31. Fie (fn)n ⊂MX(µ) ³i e f ∈MX(µ).
1. Dac fnρ−→nf atunci exist un sub³ir (fnk)k ⊂ (fn)n astfel încât fnk −→
kf µ− a.p.t.
2. Presupunem c (fn)n ⊂ Lρ(X), f ∈ Lρ(X) ³i fn −→nf în topologia de spaµiu Köthe-
Bochner a lui Lρ(X). Atunci exist un sub³ir (fnk)k ⊂ (fn)n astfel încât fnk −→kf µ− a.p.t.
3. Pentru orice subspaµiu închis, nenul Y ⊂ X, Lρ(Y ) este închis în Lρ(X) ³i Lρ(Y ) este
închis în Lρ(X).
Teorema 2.32. (Analog al Teoremei lui Egorov) Presupunem c µ(T ) < ∞, ρ este de tip
absolut continuu ³i ρ(T ) <∞. Atunci, pentru orice ³ir (fn)n ⊂MX(µ), avem echivalenµa:
fn −→nf µ− a.p.t.⇔ fn
ρu−→nf .
Remarca 2.33. În general convergenµa ρ− aproape uniform nu este topologic .
Exemplul 2.34. Fie (T, T , µ) = (N,P(N), µ), unde µ(φ) = 0 ³i, pentru orice φ 6= A ⊂ N,
µ(A) =∞∑n=1
2−ncard(A ∩ n). Fie X = K ³i e ρ : M+(µ)→ R+, ρ(u) =∞∑n=1
u(n). Evident
ρ este de tip absolut continuu ³i ρ(N) = ∞. Consider m ³irul (fn)n ⊂ M(µ), fn = ϕAn ,
unde An = 1, 2, 3, ..., n pentru orice n. Evident fn −→nf = ϕN, dar (fn)n nu converge în
ρ− m sur c tre f .
13
Remarca 2.35. Din exemplul precedent putem extrage urm toarele:
1. Convergenµa µ− a.p.t. nu o implic pe cea în ρ− m sur .
2. Teorema 2.32 nu este adev rat dac ρ(T ) =∞.
Exemplul 2.36. Fie T = [0, 1], T = σ− algebra mulµimilor m surabile Lebesgue ale inter-
valului [0, 1], µ = m sura Lebesgue pe [0, 1], X = K ³i e ρ : M+(µ)→ R+, ρ(u) =
ˆudµ.
a) Convergenµa în Lρ nu o implic pe cea ρ− aproape uniform .
Denim, pentru orice n ∈ N ³i pentru orice i ∈ N, 1 ≤ i ≤ n, mulµimea Ein =
[i− 1
n,i
n
]³i funcµia f in = ϕEin . Consider m ³irul de funcµii (ϕn)n ⊂ Lρ denit astfel: ϕ1 = f 1
1 , ϕ2 = f 12 ,
ϕ3 = f 22 , ϕ4 = f 1
3 , ϕ5 = f 23 , ϕ6 = f 3
3 , ... . Avem ϕm −→m
0 în Lρ, dar, pentru orice t ∈ [0, 1],
³irul (ϕm(t))m este divergent. Aceasta arat c armaµia "ϕm −→m
0 µ − a.p.t." este fals ,
deci la fel este ³i armaµia "ϕmρu−→m
0".
b) Convergenµa ρ− aproape uniform nu o implic pe cea în Lρ.Fie (fn)n ⊂ Lρ construit în cele ce urmeaz : fn(t) = n dac 0 ≤ t <
1
n³i fn(t) = 0 dac
1
n≤ t ≤ 1.
Observ m c limn→∞
fn(t) = 0 pentru orice t ∈ (0, 1], deci fn −→n
0 µ − a.p.t. Conform
Teoremei lui Egorov (cea clasic ) fnρu−→n
0. Pe de alt parte fn 6−→n
0 în Lρ.
Remarca 2.37. 1. Punctul b) din Exemplul 2.36 arat c topologia convergenµei în ρ−m sur τ im(ρ) pe Lρ(X) este strict mai slab decât topologia de spaµiu Köthe-Bochner τ(ρ)
a lui Lρ(X) ³i implicaµia "(fn −→nf µ− a.p.t.)⇒(fn −→
nf în Lρ(X))" este, în general, fals .
2. irul (fn)n de la punctul a) din ultimul exemplu converge în topologia de spaµiu Köthe-
Bochner a lui Lρ ³i nu converge µ− a.p.t. A³adar:i) (fn)n converge în ρ− m sur (conform Teoremei 2.14) ³i nu converge ρ− aproape
uniform. Deci implicaµia "(fnρ−→nf)⇒(fn
ρu−→nf)" este, în general, fals .
ii) Implicaµiile "(fn −→nf în Lρ)⇒ (fn −→
nf µ−a.p.t.)" ³i "(fn
ρ−→nf)⇒(fn −→
nf µ−a.p.t.)"
sunt, în general, false.
Exemplul 2.38. Consider m scenariul din Exemplul 2.36. Un punct de acumulare al mul-
µimii Lρ în (M(µ), τm(ρ)) este f : [0, 1]→ K, f(0) = 0 ³i f(t) =1
tdac 0 < t ≤ 1. Mai exact
fnρ−→nf , unde, pentru orice n ∈ N, fn(t) = 0 dac 0 ≤ t <
1
n³i fn(t) =
1
tdac
1
n≤ t ≤ 1.
Cum ρ(f) =∞ rezult c f /∈ Lρ, deci Lρ nu este închis în (M(µ), τm(ρ)).
14
Capitolul 3
Spaµii Köthe-Bochner cu structuri
speciale
Fie (T, T , µ) un spaµiu cu m sur σ− nit ³i complet , X un spaµiu Banach ³i ρ :
M+(µ)→ R+ o norm funcµional .
3.1 Spaµii Köthe-Bochner care sunt algebre Banach cu
unitate
Deniµia 3.1. (vezi [51]) Spunem c X este o algebr Banach cu unitate dac X este o
algebr nenul cu unitatea e ³i operaµia de înmulµire de pe X, (x, y)→ xy este continu .
Remarca 3.2. (vezi [5], [51]) Aceast deniµie este puµin mai general decât cea clasic
deoarece nu impunem condiµiile ‖xy‖ ≤ ‖x‖ ‖y‖ ³i ‖e‖ = 1.
Pentru orice f , g : T → X ³i pentru orice α ∈ K denim punctual f + g : T → X ³i
αf : T → X. Dac X este o algebr Banach denim în mod similar fg : T → X. Pentru
orice element x ∈ X denim funcµia constant x : T → X, x(t) = x pentru orice t ∈ T .
Deniµia 3.3. (vezi [25], [27]) Fie (T, T , µ) un spaµiu cu m sur complet (m sura µ poate
s nu e σ− nit ). Spunem c spaµiul Lρ este spaµiu Köthe care este ³i algebr Banach cu
unitate dac sunt îndeplinite urm toarele condiµii:
1. Lρ este spaµiu Banach.
2. 1 ∈ Lρ.
15
3. Pentru orice f, g ∈ Lρ avem fg ∈ Lρ.4. Exist o constant A > 0 cu proprietatea c ρ|fg| ≤ Aρ|f |ρ|g| pentru orice f , g ∈ Lρ.
Presupunem c (X, ‖ ‖) este o algebr Banach cu unitatea e astfel încât ‖xy‖ ≤ A ‖x‖ ‖y‖pentru orice x, y ∈ X. Not m cu |‖ |‖ norma de pe Lρ ³i cu |‖ |‖X norma de pe Lρ(X).
Deniµia 3.4. Spunem c Lρ(X) este spaµiu Köthe-Bochner care este ³i algebr Banach cu
unitate dac :
1. (Lρ(X), |‖ |‖X) este un spaµiu Banach.
2. e ∈ Lρ(X).
3. Pentru orice f, g ∈ Lρ(X) avem fg ∈ Lρ(X).
4. Exist o constant B > 0 astfel încât ρ|fg| ≤ Bρ|f |ρ|g| pentru orice f, g ∈ Lρ(X).
Teorema 3.5. Sunt echivalente:
1. (Lρ(X), |‖ |‖X) este un spaµiu Köthe-Bochner care este ³i algebr Banach cu unitate.
2. (Lρ, |‖ |‖) este un spaµiu Köthe care este ³i algebr Banach cu unitate.
3. Lρ(X) ³i L∞(X,µ) sunt spaµii Banach echivalente.
4. Lρ ³i L∞(µ) sunt spaµii Banach echivalente.
Exemplul 3.6. (Forma spaµiilor Köthe-Bochner de ³iruri lρ(lr) care sunt algebre Banach cu
unitate) Consider m spaµiul cu m sur discret (N,P(N), card) ³i spaµiul Köthe
l∞ = x = (xn)n | xn ∈ K, supn|xn| <∞
(pe l∞ avem norma ‖x‖∞ = supn|xn|).
Fie ρ, r : M+(card) → R+ dou norme funcµionale. Orice f ∈ lρ(lr) poate identicat
cu o matrice scalar innit f ≡ (xmn)m,n.
Pentru a putea vorbi despre algebre Banach cu unitate în cazul spaµiilor Köthe-Bochner
lρ(lr) este necesar ca spaµiul Köthe lr s e echivalent cu l∞, i.e. lr = l∞ cu norme echivalente.
Conform Teoremei 3.5, în cazul în care lr este echivalent cu l∞, un spaµiu Köthe-Bochner
lρ(lr) este algebr Banach cu unitate dac ³i numai dac lρ ³i l∞ sunt spaµii Banach echiva-
lente.
A³adar lρ(lr) ≡ (xmn)m,n ⊂ K | supm,n|xmn| <∞.
Pe lρ(lr) avem o norm ‖ ‖ cu proprietatea c exist 0 < L ≤M astfel încât
L supm,n|xmn| ≤ ‖(xmn)m,n‖ ≤M sup
m,n|xmn|.
16
3.2 Spaµii Köthe-Bochner care sunt spaµii Hilbert
Acest paragraf se bazeaz pe articolul [30].
În acest paragraf presupunem, în plus, c ρ este saturat .
Deniµia 3.7. Spunem c Lρ(X) este spaµiu Köthe-Bochner care este ³i spaµiu Hilbert dac :
1. Lρ(X) este spaµiu Banach.
2. Exist un produs scalar (·|·) pe Lρ(X) cu proprietatea c , pentru orice f ∈ Lρ(X),
avem ρ|f | =∥∥∥f∥∥∥ =
√(f |f).
Deniµia 3.8. (vezi [27]) Numim funcµie pondere, o funcµie w ∈ M+(µ) cu proprietatea c
µ(t ∈ T | w(t) = 0) = µ(t ∈ T | w(t) =∞) = 0.
Teorema 3.9. Sunt echivalente:
1. Lρ(X) este spaµiu Hilbert.
2. Lρ ³i X sunt spaµii Hilbert.
Exemplul 3.10. (Forma spaµiilor Köthe-Bochner de ³iruri lρ(lr) care sunt spaµii Hilbert)
Consider m dou norme funcµionale ρ, r : M+(card) → R+ astfel încât lρ(lr) este spaµiu
Hilbert. Prin urmare exist funcµiile pondere u, v : N→ (0,∞) (deci u ≡ (an)n ³i v ≡ (bn)n,
unde 0 < an <∞, 0 < bn <∞ pentru orice n) cu proprietatea c lρ(lr) ≡ (xmn)m,n ⊂ K
∣∣∣∣∑m,n
ambn|xmn|2 <∞.
Pe lρ(lr) avem norma ‖(xmn)m,n‖ =
(∑m,n
ambn|xmn|2) 1
2
³i produsul scalar
((xmn)m,n, (ymn)m,n) =∑m,n
ambnxmnymn.
În continuare vom da dou exemple de spaµii Köthe-Bochner lρ(lr), unde ρ ³i r sunt
norme funcµionale ρ, r : M+(card)→ R+ astfel încât, sau lρ, sau lr nu este spaµiu Hilbert ³i
identitatea paralelogramului nu este satisf cut .
Exemplul 3.11. Consider m ρ(u) = supnu(n) ³i r(u) =
(∞∑n=1
u(n)2
) 12
pentru orice u ∈
M+(card). Deci lρ = l∞, lr = l2 ³i l∞ nu este spaµiu Hilbert. Fie f, g : N→ l2,
f(m) = (11, 1
2, ..., 1
m, 0, 0, ...) (i.e. f ≡ (xmn)m,n, unde xmn =
1
ndac n ≤ m ³i xmn = 0
dac n > m),
17
g(m) = (0, 0, ..., 0, 1m+1
, 1m+2
, ...) (i.e. g ≡ (ymn)m,n, unde ymn = 0 dac n ≤ m ³i ymn =1
ndac n > m).
Avem 2(‖f‖2 + ‖g‖2) = 2π2
3− 2 6= π2
3= ‖f + g‖2 + ‖f − g‖2.
Exemplul 3.12. Fie ρ(u) =
(∞∑n=1
u(n)2
) 12
³i r(u) = supnu(n) pentru orice u ∈ M+(card).
Deci lρ = l2 ³i lr = l∞. Consider m f, g : N→ l∞,
f(m) = ( 1m+1
, 1m+2
, ..., 12m, 0, 0, ...) (i.e. f ≡ (xmn)m,n, unde xmn =
1
m+ ndac n ≤ m ³i
xmn = 0 dac n > m),
g(m) = (0, 0, ..., 0, 12m+1
, 12m+2
, ...) (i.e. g ≡ (ymn)m,n, unde ymn = 0 dac n ≤ m ³i
ymn =1
m+ ndac n > m).
Avem 2(‖f‖2 + ‖g‖2) =7π2
12− 4 6= π2
3− 2 = ‖f + g‖2 + ‖f − g‖2.
3.3 Spaµii Köthe-Bochner care sunt spaµii hilbertabile
Rezultatele din acest paragraf sunt publicate în articolul [30].
Presupunem din nou c ρ este saturat .
Deniµia 3.13. Spunem c (X, ‖ ‖) este hilbertabil dac exist o norm |‖ |‖ pe X care
este echivalent cu ‖ ‖ ³i (X, |‖ |‖) este spaµiu Hilbert.
Teorema 3.14. Consider m urm toarele armaµii:
1. Lρ(X) este hilbertabil.
2. Lρ ³i X sunt hilbertabile.
Atunci 1.⇒ 2. Implicaµia 2.⇒ 1. este adev rat în cazul în care Lρ este tare hilbertabil
(i.e. exist o norm funcµional ρ1 : M+(µ) → R+ astfel încât ρ1 este echivalent cu ρ ³i
Lρ1 este spaµiu Hilbert).
3.4 Aproximarea spaµiilor Köthe-Bochner Lρ(X) în cazul
în care X are baz Schauder
Acest paragraf este bazat pe articolul [29].
18
Presupunem c X are baza Schauder (en)n≥1. Pentru orice n denim proiecµia canonic
Pn : X → X, Pn
(∞∑i=1
αiei
)=
n∑i=1
αiei. Este cunoscut faptul c (Pn)n≥1 este un ³ir m rginit,
i.e. supn‖Pn‖o = M < ∞ (M se nume³te constanta bazei Schauder (en)n). Pentru orice
funcµie f : T → X denim fn : T → X, fn(t) = (Pn f)(t).
Remarca 3.15. Dac X este un spaµiu Banach de ³iruri, în multe cazuri avem:
a) en ∈ X pentru orice n, unde en = (0, 0, ..., 0, 1, 0, ...), cu 1 pe poziµia a n−a.b) (en)n≥1 este baz Schauder pentru X.
În acest caz vom spune c (en)n este baza Schauder canonic a lui X.
Teorema 3.16. Fie f ∈ Lρ(X). Avem scrierea unic f =∞∑i=1
aiei (convergenµ punctual ),
unde ai ∈ Lρ pentru orice i.
Lema 3.17. (vezi [80]) Dac ρ este de tip absolut continuu, f ∈ Lρ(X), (fn)n ⊂ MX(µ)
astfel încât fn −→nf µ − a.p.t. ³i exist o constant c > 0 cu proprietatea c |fn| ≤ c|f |
µ − a.p.t. pentru orice n atunci fn −→nf în Lρ(X) (în particular dac ρ este de tip absolut
continuu atunci S(T,X) ∩ Lρ(X) este dens în Lρ(X)).
Teorema 3.18. (Teorema de Aproximare) Dac ρ este de tip absolut continuu atunci fn −→nf
în Lρ(X) pentru orice f ∈ Lρ(X).
Remarca 3.19. Condiµia "ρ de tip absolut continuu" nu poate eliminat din teorema
precedent dup cum arat urm torul contraexemplu.
Contraexemplul 3.20. Consider m (T, T , µ) = (N,P(N), card). Fie ρ : M+(card)→ R+,
ρ(u) = supnu(n), care nu este de tip absolut continuu. Fie X = l2 cu baza Schauder canonic .
Fie f ∈ lρ(X), f(m) = em. Atunci f =∞∑i=1
aiei, ai = ϕi, fn =n∑i=1
aiei, deci ρ|f − fn| = 1
pentru orice n.
Exemplul 3.21. (Exemplu concret) Consider m spaµiul cu m sur discret (N,P(N), card).
Fie norma funcµional ρ : M+(card) → R+, ρ(u) = ‖u‖1, care este de tip absolut continuu.
Fie X un spaµiu Lorentz de ³iruri denit dup cum urmeaz
Consider m un ³ir w = (wn)n ⊂ R+ astfel încât wn ↓ 0 ³i∞∑n=1
wn =∞.
19
Fie 1 ≤ p < ∞. Denim norma funcµional ρ1 : M+(card) → R+, ρ1(u) =
sup
(∞∑n=1
u(π(n))pwn
) 1p
, supremumul ind considerat dup toate bijecµiile π : N→ N. Este
cunoscut faptul c ρ1 are proprietatea Riesz-Fischer (vezi [27]).
Fie spaµiul Köthe lρ1def= d(w, p) = u : N→ K | ρ1|u| <∞. Deoarece ρ1 are proprietatea
Riesz-Fischer rezult c d(w, p) este spaµiu Banach. Numim d(w, p) spaµiu Lorentz de ³iruri
(vezi [27]). Pentru acest spaµiu (en)n este baz Schauder. În plus ‖en‖ = w1p
1 pentru orice n.
Cum d(w, p) ⊂ c0 putem calcula norma în d(w, p) dup urm toarea formul : ‖u‖ =
ρ1|u| =
(∞∑n=1
(|u(n)|∗)pwn
) 1p
, unde (|u(n)|∗)n este rearanjarea descresc toare a ³irului
(|u(n)|)n.Fie X = d(w, p) cu 1 ≤ p <∞ arbitrar xat ³i w = (wn)n, wn =
1
n.
Consider m spaµiul Köthe-Bochner de ³iruri lρ(d(w, p)).
Fie t ∈ K cu |t| < 1.
Denim funcµia f : N → d(w, p), f(m) = am = (am,n)n≥1, unde, pentru orice m ∈ N,am,n = 0 dac 1 ≤ n ≤ m ³i am,n = tn dac n > m.
Avem ρ|f − fn| ≤ n|t|n+1 1
(1− |t|p)1p (1− |t|)
−→n
0.
Fie ε > 0 arbitrar xat. C ut m un nivel critic pentru n astfel încât s avem ρ|f−fn| < ε.
Este sucient s avem n|t|n+1 1
(1− |t|p)1p (1− |t|)
< ε.
Dup câteva calcule obµinem c este sucient s avem n >2|t|2
(1− |t|p)1p (1− |t|)3
· 1
ε− 1.
Aplic m formula obµinut pe un caz numeric concret.
Fie t =1
2, p = 2 ³i ε = 0, 01 =
1
100.
Avem2|t|2
(1− |t|p)1p (1− |t|)3
· 1
ε− 1 =
800√3− 1 ≈ 460, 88021.
A³adar, dac n ≥ 461, avem ρ|f − fn| <1
100.
Remarca 3.22. Calculul nu este foarte precis ³i, de aceea, se obµine un nivel critic pentru
n prea mare. Dac lucr m direct, pentru n ≥ 70, avem ρ|f − fn| <1
100.
20
Capitolul 4
Dualul unui spaµiu Köthe-Bochner
4.1 Preliminarii
Fie (T, T , µ) un spaµiu cu m sur σ− nit ³i complet .
Deniµia 4.1. (vezi [27]) Fie ρ : M+(µ)→ R+ o seminorm funcµional . Denim seminorma
funcµional asociat lui ρ, ρ′ : M+(µ)→ R+,
ρ′(u) = sup
ˆuvdµ
∣∣∣∣ v ∈M+(µ), ρ(v) ≤ 1
.
Avem urm toarea teorem .
Teorema 4.2. (vezi [27]) Fie ρ : M+(µ)→ R+ o seminorm funcµional . Sunt echivalente:
1. ρ este norm funcµional saturat .
2. ρ′ este norm funcµional saturat .
Urm toarea teorem este prezentat într-o variant u³or diferit faµ de [41]. Vom folosi,
în cele ce urmeaz , abrevierea RNP pentru proprietatea Radon-Nikodym.
Teorema 4.3. (Teorema de Localizare) Fie (T, T , µ) un spaµiu cu m sur nit (m sura µ
poate s nu e complet ) ³i Y un spaµiu Banach. Urm toarele armaµii sunt echivalente:
1. Y are RNP în raport cu (T, T , µ).
2. Pentru orice m sur σ− aditiv m : T → Y cu variaµie m rginit astfel încât m ≺ µ
³i pentru orice A ∈ T cu µ(A) > 0 exist T 3 B ⊂ A cu proprietatea c µ(B) > 0 ³i exist
hB ∈ L1(Y, µB) astfel încât mB = hBµB.
Fie ρ : M+(µ) → R+ o norm funcµional saturat (deci ρ′ este norm funcµional
saturat ) ³i X un spaµiu Banach.
21
4.2 Calculul normei în Lρ′(X′)
Denim, pentru orice funcµii µ− m surabile f : T → X, g : T → X ′, funcµia µ−m surabil (f, g) : T → K, (f, g)(t) = g(t)(f(t)).
Teorema 4.4. Fie f : T → X, g : T → X ′ dou funcµii µ− m surabile.
1. Avemˆ|(f, g)|dµ ≤
ˆ|f ||g|dµ ≤ ρ|f |ρ′|g|.
2. Dac (f, g) este µ− integrabil avem
∣∣∣∣ˆ (f, g)dµ
∣∣∣∣ ≤ ˆ |(f, g)|dµ ≤ˆ|f ||g|dµ ≤
ρ|f |ρ′|g|.3. Dac (f, g) este µ− integrabil pentru orice f ∈ Lρ(X) (de exemplu dac g ∈ Lρ′(X ′)
armaµia este adev rat ) avem
sup
∣∣∣∣ˆ (f, g)dµ
∣∣∣∣ ∣∣∣∣ f ∈ Lρ(X), ρ|f | ≤ 1
= sup
ˆ|(f, g)|dµ
∣∣∣∣ f ∈ Lρ(X),
ρ|f | ≤ 1
≤ ρ′|g|.
4. Presupunem c g ∈ Lρ′(X ′). Denim Tg : Lρ(X) → K, Tg(f) =
ˆ(f, g)dµ pentru
orice reprezentant f ∈ f (deniµia este corect ). Atunci Tg este liniar ³i continu ³i, în
plus, avem ‖Tg‖o ≤ ρ′|g|.
Teorema urm toare ne arat c , în anumite situaµii, la punctul 3. din Teorema 4.4 avem
egalitate.
Teorema 4.5. (Calculul normei în Lρ′(X ′)) Presupunem c ρ′ este de tip absolut continuu.
Atunci, pentru orice g ∈ Lρ′(X ′), calcul m norma lui g în Lρ′(X ′) astfel:
‖g‖ = ρ′|g| = sup
∣∣∣∣ˆ (f, g)dµ
∣∣∣∣ ∣∣∣∣ f ∈ Lρ(X), ρ|f | ≤ 1
=sup
ˆ|(f, g)|dµ
∣∣∣∣ f ∈ Lρ(X),
ρ|f | ≤ 1
.
4.3 Scufundarea lui Lρ′(X′) în (Lρ(X))′
În cele ce urmeaz vom utiliza Teoremele 4.4 ³i 4.5 pentru a scufunda pe Lρ′(X ′) în
(Lρ(X))′. Avem nevoie, pentru acest lucru, de câteva preg tiri.
Pentru orice g ∈ Lρ′(X′) denim Hg : Lρ(X) → K, Hg(f) =
ˆ(f, g)dµ pentru orice
reprezentanµi g ∈ g, f ∈ f .
22
Fie acum g ∈ Lρ′(X ′) ³i e g ∈ g. Conform Teoremei 4.4, Hg(f) = Tg(f) pentru orice
f ∈ Lρ(X).
Teorema 4.6. (Scufundarea lui Lρ′(X ′) în (Lρ(X))′) 1. Pentru orice g ∈ Lρ′(X ′) funcµionalaHg : Lρ(X)→ K,
Hg(f) =
ˆ(f, g)dµ
(pentru orice reprezentanµi f ∈ f , g ∈ g) este liniar ³i continu ³i
‖Hg‖o ≤ ‖g‖.
2. Dac ρ′ este de tip absolut continuu atunci, pentru orice g ∈ Lρ′(X ′), avem
‖Hg‖o = ‖g‖.
A³adar aplicaµia liniar Ω : Lρ′(X′) → (Lρ(X))′, Ω(g) = Hg este o izometrie. Spunem
c Lρ′(X ′) este scufundat în (Lρ(X))′ (via Ω).
4.4 Identicarea dualului unui spaµiu Köthe-Bochner cu
spaµiul Köthe-Bochner asociat
Teorema 4.6 arat c , în cazul în care ρ′ este de tip absolut continuu, spaµiul Lρ′(X ′)
se scufund în Lρ(X) (via Ω). Întrebarea reasc ce se pune este dac Ω este surjecµie
(i.e. bijecµie) devenind astfel un izomorsm liniar ³i izometric (identicare între Lρ′(X ′) ³i
(Lρ(X))′).
Notaµie. Vom scrie
(Lρ(X))′ ≡ Lρ′(X′)
pentru a nota faptul c Ω este bijecµie. În acest caz spaµiile (Lρ(X))′ ³i Lρ′(X ′) sunt "iden-
tice".
Urm toarea teorem prezint un caz în care (Lρ(X))′ ≡ Lρ′(X′).
Teorema 4.7. Presupunem c X ′ are RNP ³i normele funcµionale ρ ³i ρ′ sunt de tip absolut
continuu. Atunci
(Lρ(X))′ ≡ Lρ′(X′).
23
Un caz particular când Teorema 4.7 se aplic este cel al spaµiilor Lebesgue-Bochner. Mai
exact e 1 < p <∞ ³i e q conjugatul lui p, i.e.1
p+
1
q= 1. Fie ρ = ‖ ‖p. Atunci ρ′ = ‖ ‖q
³i ρ ³i ρ′ sunt norme funcµionale saturate, de tip absolut continuu. Deci avem urm torul
corolar.
Corolarul 4.8. Presupunem c X ′ are RNP . Fie 1 < p < ∞ ³i e q conjugatul lui p,
1 < q <∞. Atunci (Lp(X,µ))′ ≡ Lq(X ′, µ).
Teorema urm toare este "un fel de reciproc " pentru Teorema 4.7, mai exact pentru
Corolarul 4.8.
Consider m spaµiul cu m sur (nit ³i complet ) ([0, 1],Σ, λ), unde Σ = σ− algebra
mulµimilor m surabile Lebesgue ale intervalului [0, 1], iar λ : Σ→ R+ este m sura Lebesgue
pe [0, 1].
Teorema 4.9. Presupunem c X are urm toarea proprietate: exist 1 ≤ p <∞ astfel încât
(Lp(X,λ))′ ≡ Lq(X ′, λ), unde1
p+
1
q= 1. Atunci X ′ are RNP .
Teorema 4.10. (Teorem de sintez ) Fie X un spaµiu Banach. Sunt echivalente:
1. X ′ are RNP .
2. Pentru orice spaµiu cu m sur σ− nit ³i complet (T, T , µ) ³i pentru orice norm
funcµional saturat ρ : M+(µ)→ R+ cu proprietatea c ρ ³i ρ′ sunt de tip absolut continuu
avem
(Lρ(X))′ ≡ Lρ′(X′).
4.5 Reexivitatea spaµiilor Köthe-Bochner
Teorema 4.11. Sunt echivalente:
1. Lρ(X) este reexiv.
2. Lρ ³i X sunt reexive.
24
Capitolul 5
Operatori liniari ³i continui pe spaµii
Köthe-Bochner
Fie (T, T , µ) un spaµiu cu m sur σ− nit ³i complet ³i ρ : M+(µ) → R+ o norm
funcµional .
Not m Tρ = A ∈ T | ρ(A) <∞. Se observ imediat c Tρ este un inel de mulµimi.
5.1 Generalizarea noµiunilor de variaµie ³i semivariaµie
Fie X, E, F spaµii Banach nenule astfel încât X → L(E,F ).
Pentru orice A ⊂ T not m EE(ρ,A) = f : T → E | f =n∑i=1
ϕAixi, Ai ∈ Tρ mulµimi
mutual disjuncte, xi ∈ E ³i Ai ⊂ A pentru orice i. Dac A = T not m EE(ρ, T )def= EE(ρ).
În cazul E = K scriem E(ρ,A) în loc de EK(ρ,A) ³i E(ρ) în loc de EK(ρ).
Fie m : Tρ → X astfel încât m(φ) = 0 ³i e A ⊂ T .
Deniµia 5.1. (Deniµie fundamental ) 1. Dac f ∈ EE(ρ,A) astfel încât ρ|f | ≤ 1 spunem
c f este (ρ, E,A)− denit .
2. Denim (ρ, (E,F ))− variaµia luim pe mulµimea A ca ind elementulmρ,(E,F )(A) ∈ R+,
unde mρ,(E,F )(A) = sup
n∑i=1
‖m(Ai)(xi)‖∣∣∣∣ f =
n∑i=1
ϕAixi este (ρ, E,A)− denit .
3. Denim (ρ, (E,F ))− semivariaµia luim pe mulµimea A ca ind elementul mρ,(E,F )(A) ∈
R+, unde mρ,(E,F )(A) = sup
∥∥∥∥∥n∑i=1
m(Ai)(xi)
∥∥∥∥∥∣∣∣∣ f =
n∑i=1
ϕAixi este (ρ, E,A)− denit .
25
Remarca 5.2. În cazul X ≡ L(K,X), i.e. E = K, F = X avem, pentru orice A ⊂ T ,
mρ,(K,X)(A) = sup
n∑i=1
|αi| ‖m(Ai)‖∣∣∣∣ f =
n∑i=1
ϕAiαi este (ρ,K,A)− denit .
Teorema 5.3. (Invarianµa variaµiei relativ la scufundare) Pentru orice scufundare X →L(E,F ) ³i pentru orice A ⊂ T avem mρ,(E,F )(A) = mρ,(K,X)(A).
Vom notamρdef= mρ,(E,F ) pentru orice scufundare X → L(E,F ) ³i vom spune ρ− variaµie
în loc de (ρ, (E,F ))− variaµie.
5.2 Propriet µi ale ρ− variaµiei ³i ale (ρ, (E,F ))− semiva-
riaµiei
Presupunem c X → L(E,F ).
1. mρ,(E,F )(φ) = mρ(φ) = 0.
2. Pentru orice A ⊂ B ⊂ T avem mρ,(E,F )(A) ≤ mρ,(E,F )(B) ³i mρ(A) ≤ mρ(B).
3. Pentru orice A ⊂ T avem mρ,(E,F )(A) = 0⇔ mρ(A) = 0⇔ ∀Tρ 3 B ⊂ A, m(B) = 0.
4. Fie A ∈ Tρ.a) Avem implicaµia (µ(A) = 0 ³i m(A) 6= 0)⇒ (µ(A) = 0 ³i mρ,(E,F )(A) =∞).
b) Se presupune c µ(A) = 0. Atunci: i) mρ,(E,F )(A) <∞⇔ mρ,(E,F )(A) = 0.
ii) mρ(A) <∞⇔ mρ(A) = 0.
Remarca 5.4. Implicaµia de la 4. a) nu admite reciproc . Fie T = a, b cu a 6= b,
E = F = X = K, T = P(T ), µ ≡ 0, ρ ≡ 0 (deci Tρ = T ) ³i e m : T → K, m(a) = 1,
m(b) = −1, m(T ) = m(φ) = 0. Fie Bdef= b. Avem µ(B) = 0 ³i m(B) = −1, deci,
conform propriet µii 4. a), avem c mρ,(E,F )(B) =∞.
Avem mρ,(E,F )(T ) =∞, µ(T ) = 0 ³i m(T ) = 0.
5. a) m(E,F ) ≤ m‖ ‖∞,(E,F ) (m(E,F ) este (E,F )− semivariaµia lui m).
b) m ≤ m‖ ‖∞ (m este variaµia lui m).
6. Fie A ∈ P(T ). Presupunem c , pentru orice T 3 B ⊂ A, avem implicaµia: (µ(B) =
0)⇒ (m(B) = 0). Atunci: a) m(E,F )(A) = m‖ ‖∞,(E,F )(A).
b) m(A) = m‖ ‖∞(A).
26
7. Fie A ⊂ T ³i e f =n∑i=1
ϕAixi ∈ EE(ρ,A). Atunci: a)
∥∥∥∥∥n∑i=1
m(Ai)(xi)
∥∥∥∥∥ ≤mρ,(E,F )(A)ρ|f |, cu excepµia cazului mρ,(E,F )(A) =∞ ³i ρ|f | = 0.
b)n∑i=1
‖m(Ai)‖o ‖xi‖ ≤ mρ(A)ρ|f |, cu excepµia cazului mρ(A) =∞ ³i ρ|f | = 0.
8. Fie A ∈ Tρ. Avem implicaµia
(µ(A) 6= 0 sau m(A) = 0)⇒(‖m(A)‖o ≤ mρ,(E,F )(A)ρ(A) ≤ mρ(A)ρ(A)).
8′. Pentru orice A ∈ Tρ avem ‖m(A)‖o ≤ mρ,(E,F )(A)ρ(A) ≤ mρ(A)ρ(A), cu excepµia
cazului µ(A) = 0 ³i mρ,(E,F )(A) =∞.
9. Reamintim c τ (Tρ)def= A ⊂ T | A ∩ B ∈ Tρ pentru orice B ∈ Tρ. Dac m este
aditiv atunci mρ ³i mρ,(E,F ) sunt subaditive pe τ (Tρ). Mai mult m‖ ‖∞ este aditiv pe T .Dac m este σ− aditiv atunci mρ ³i mρ,(E,F ) sunt σ− subaditive pe τ (Tρ) (în mod
extins). Mai mult m‖ ‖∞ este σ− aditiv pe T .10. Fie m, n : Tρ → X astfel încât m(φ) = n(φ) = 0 ³i e α ∈ K.
Atunci: a) ˜(m+ n)ρ,(E,F ) ≤ mρ,(E,F ) + nρ,(E,F ) ³i (αm)ρ,(E,F ) = |α|mρ,(E,F ).
b) (m+ n)ρ ≤ mρ + nρ ³i (αm)ρ = |α|mρ.
11. Dac F = K atunci mρ = mρ,(E,F ).
12. Presupunem c ρ este de tip absolut continuu, mρ,(E,F )(A) <∞ pentru orice A ∈ Tρ³i m este aditiv . Atunci m este σ− aditiv ³i m ≺ µ (0− 0).
5.3 Operaµii liniare ³i continue pe Lρ(E)
Fie m : Tρ → L(E,F ) o m sur aditiv .
Deniµia 5.5. 1. Fie f =n∑i=1
ϕAixi ∈ EE(ρ). Denimˆfdm
def=
n∑i=1
m(Ai)(xi) ∈ F .
2. Fie ϕ =n∑i=1
ϕAiαi ∈ E(ρ). Denimˆϕdm
def=
n∑i=1
αim(Ai) ∈ L(E,F ).
Propoziµia 5.6. Presupunem c mρ,(E,F )(T ) <∞.
1. Dac (fn)n ⊂ EE(ρ) este ³ir Cauchy în Lρ(E) atunci(ˆ
fndm
)n
este ³ir Cauchy în
F .
1′. Dac (ϕn)n ⊂ E(ρ) este ³ir Cauchy în Lρ atunci(ˆ
ϕndm
)n
este ³ir Cauchy în
L(E,F ).
27
2. Presupunem c ρ are proprietatea Riesz-Fischer. Dac (fn)n ⊂ EE(ρ) ³i (gn)n ⊂ EE(ρ)
sunt ³iruri Cauchy în Lρ(E) ³i (fn)n ³i (gn)n converg µ− a.p.t. c tre aceea³i funcµie atunci
limn→∞
ˆfndm = lim
n→∞
ˆgndm.
2′. Presupunem c ρ are proprietatea Riesz-Fischer. Dac (ϕn)n ⊂ E(ρ) ³i (ψn)n ⊂ E(ρ)
sunt ³iruri Cauchy în Lρ ³i (ϕn)n ³i (ψn)n converg µ − a.p.t. c tre aceea³i funcµie atunci
limn→∞
ˆϕndm = lim
n→∞
ˆψndm.
3. Dac (fn)n ⊂ EE(ρ) ³i (gn)n ⊂ EE(ρ) converg în Lρ(E) c tre aceea³i funcµie atunci
limn→∞
ˆfndm = lim
n→∞
ˆgndm.
3′. Dac (ϕn)n ⊂ E(ρ) ³i (ψn)n ⊂ E(ρ) converg în Lρ c tre aceea³i funcµie atunci
limn→∞
ˆϕndm = lim
n→∞
ˆψndm.
În continuare presupunem c ρ este de tip absolut continuu.
Deniµia 5.7. Presupunem c mρ,(E,F )(T ) <∞. Pentru orice f ∈ Lρ(E) (respectiv pentru
orice ϕ ∈ Lρ) denimˆfdm
def= lim
n→∞
ˆfndm (respectiv
ˆϕdm = lim
n→∞
ˆϕndm), unde
(fn)n ⊂ EE(ρ) astfel încât fn −→nf în Lρ(E) (respectiv (ϕn)n ⊂ E(ρ) astfel încât ϕn −→
nϕ în
Lρ).
Fie U : Lρ(E)→ F un operator liniar.
Denim ‖U‖ρ = sup
∥∥∥∥∥n∑i=1
U(ϕAixi)
∥∥∥∥∥∣∣∣∣ f =
n∑i=1
ϕAixi ∈ EE(ρ), ρ|f | ≤ 1
³i |‖U |‖ρ =
sup
n∑i=1
‖U(ϕAixi)‖∣∣∣∣ f =
n∑i=1
ϕAixi ∈ EE(ρ), ρ|f | ≤ 1
.
Deoarece ρ este de tip absolut continuu,
‖U‖ρ = sup
‖U(f)‖
∣∣∣∣ f ∈ Lρ(E), ρ|f | ≤ 1
.
A³adar ‖U‖ρ ≤ |‖U |‖ρ ≤ ∞.
Propoziµia 5.8. 1. Dac F = K atunci ‖U‖ρ = |‖U |‖ρ.2. Dac ρ = ‖ ‖1 atunci ‖U‖ρ = |‖U |‖ρ.
Propoziµia 5.9. 1. |‖U |‖ρ = sup
n∑i=1
‖U(ϕAif)‖∣∣∣∣ f ∈ Lρ(E), ρ|f | ≤ 1, Ai ∈ T pentru
orice i = 1, 2, ..., n, Ai ∩ Aj = φ pentru orice i 6= j
.
28
2. |‖U |‖ρ = sup
n∑i=1
‖U(ϕixi)‖∣∣∣∣ ϕi ∈ Lρ, ρ
∣∣∣∣∣n∑i=1
ϕi
∣∣∣∣∣ ≤ 1, ϕiϕj = 0 pentru orice i 6= j,
xi ∈ E, ‖xi‖ ≤ 1 pentru orice i = 1, 2, ..., n
.
3. |‖U |‖ρ = sup
n∑i=1
‖U(ϕif)‖∣∣∣∣ f ∈ Lρ(E), ρ|f | ≤ 1, ϕi sunt funcµii scalare µ−
m surabile cu |ϕi| ≤ 1 pentru orice i = 1, 2, ..., n ³i ϕiϕj = 0 pentru orice i 6= j
.
4. |‖U |‖ρ = sup
n∑i=1
‖U(fi)‖∣∣∣∣ fi ∈ Lρ(E), ρ
∣∣∣∣∣n∑i=1
fi
∣∣∣∣∣ ≤ 1, |fi||fj| = 0 pentru orice
i 6= j
.
Remarca 5.10. Rezultate similare se obµin pentru ‖U‖ρ.
Teorema 5.11. Exist un izomorsm liniar U ←→ m între spaµiul vectorial al aplicaµiilor
liniare ³i continue U : Lρ(E) → F (i.e. ‖U‖ρ < ∞) ³i spaµiul vectorial al m surilor σ−
aditive m : Tρ → L(E,F ) cu mρ,(E,F )(T ) <∞ dat de egalitatea U(f) =
ˆfdm.
Dac U ³i m sunt ca mai sus atunci ‖U‖ρ = mρ,(E,F )(T ) ³i |‖U |‖ρ = mρ(T ).
Corolarul 5.12. Exist un izomorsm liniar U ←→ m între spaµiul vectorial al aplicaµiilor
liniare U : Lρ(E) → F cu |‖U |‖ρ < ∞ ³i spaµiul vectorial al m surilor σ− aditive m :
Tρ → L(E,F ) cu mρ(T ) <∞ dat de U(f) =
ˆfdm. Dac U ³i m sunt ca mai sus atunci
‖U‖ρ = mρ,(E,F )(T ) ³i |‖U |‖ρ = mρ(T ).
Acum putem stabili o leg tur între rezultatele obµinute în acest capitol ³i rezultatele
obµinute în capitolul 4.
Teorema 5.13. Presupunem c ρ ³i ρ′ sunt de tip absolut continuu ³i c E ′ are RNP . Fie
U : Lρ(E)→ K un operator liniar ³i continuu.
a) Conform Teoremei 4.7 exist o funcµie (unic µ − a.p.t.) g ∈ Lρ′(E ′) astfel încât
U(f) =
ˆ(f, g)dµ pentru orice f ∈ Lρ(E).
b) Conform Teoremei 5.11 exist o unic m sur σ− aditiv m : Tρ → E ′ cu mρ(T ) <∞
astfel încât U(f) =
ˆfdm pentru orice f ∈ Lρ(E).
Atunci m = gµ, i.e. m(A) =
ˆA
gdµ pentru orice A ∈ Tρ.
29
Teorema 5.14. Exist o aplicaµie liniar , continu ³i injectiv Ω : L(Lρ(E), F ) →L(Lρ,L(E,F )) denit astfel: pentru orice U ∈ L(Lρ(E), F ) elementul U∗ = Ω(U) ∈L(Lρ,L(E,F )) este unic determinat de U∗(ϕ)(x) = U(ϕx) pentru orice ϕ ∈ Lρ ³i pentru
orice x ∈ E. Avem ‖U∗‖ρ ≤ ‖U‖ρ, deci ‖Ω‖o ≤ 1.
Vom studia mai precis leg tura între U ³i U∗.
Teorema 5.15. Fie U ∈ L(Lρ(E), F ) ³i e m : Tρ → L(E,F ) m sura σ− aditiv care-l
dene³te pe U , i.e. mρ,(E,F )(T ) <∞ ³i U(f) =
ˆfdm pentru orice f ∈ Lρ(E).
Atunci, dac U∗ = Ω(U), avem U∗(ϕ) =
ˆϕdm pentru orice ϕ ∈ Lρ ³i ‖U∗‖ρ ≤ ‖U‖ρ,
|‖U∗|‖ρ = |‖U |‖ρ.
În continuare not m LL(Lρ(E), F ) = U ∈ L(Lρ(E), F ) | |‖U |‖ρ < ∞ ³i
LL(Lρ,L(E,F )) = H ∈ L(Lρ,L(E,F )) | |‖H|‖ρ <∞.Conform rezultatelor precedente avem injecµia liniar ³i continu V : LL(Lρ(E), F ) →
LL(Lρ,L(E,F )), V(U) = Ω(U). Vom ar ta c V este bijecµie.
Teorema 5.16. Aplicaµia V : LL(Lρ(E), F ) → LL(Lρ,L(E,F )), V(U) = Ω(U) = U∗ este
bijecµie.
Pentru orice U ∈ LL(Lρ(E), F ) exist o unic m sur σ− aditiv m : Tρ → L(E,F ) cu
proprietatea c mρ(T ) < ∞ ³i astfel încât U(f) =
ˆfdm, U∗(ϕ) =
ˆϕdm pentru orice
f ∈ Lρ(E) ³i pentru orice ϕ ∈ Lρ.În plus mρ(T ) = |‖U |‖ρ = |‖U∗|‖ρ <∞.
Deniµia 5.17. Un operator liniar ³i continuu V : Lρ → L(E,F ) se nume³te (ρ, E, F )−natural dac exist un operator liniar ³i continuu U : Lρ(E) → F astfel încât V (ϕ)(x) =
U(ϕx) pentru orice ϕ ∈ Lρ ³i pentru orice x ∈ E (cu alte cuvinte V = U∗ sau echivalent,
V ∈ Ω(L(Lρ(E), F ))).
Teorema 5.18. Un operator liniar ³i continuu V : Lρ → E ′ este (ρ, E,K)− natural dac ³i
numai dac |‖V |‖ρ <∞.
În continuare vom studia un caz particular important. Cu aceast ocazie vom prezenta
³i dou exemple caracteristice.
Consider m (T, T , µ) = (N,P(N), card) ³i un spaµiu Banach X. Fie ρ : M+(card)→ R+
o norm funcµional cu proprietatea Riesz-Fischer. Putem deni spaµiile Köthe-Bochner de
³iruri lρ(X).
30
Presupunem c Tρ = A ⊂ N | A este nit .
Aceast condiµie este îndeplinit dac ρ = ‖ ‖p, 1 ≤ p <∞.
Teorema 5.19. Pentru orice operator liniar ³i continuu U : lρ → F avem c |‖U |‖ρ < ∞dac ³i numai dac (U(em))m ∈ lρ′(F ).
În continuare presupunem c F = K, iar E este un spaµiu Banach. Prin urmare
L(lρ(E), F ) = lρ(E)′ = LL(lρ(E), K), L (lρ,L(E,K)) = L (lρ, E′) ³i LL (lρ,L(E,K)) =
LL (lρ, E′).
Am v zut mai sus c V ∈ L(lρ, E′) este (ρ, E,K)− natural dac ³i numai dac V ∈
LL(lρ, E′), i.e. |‖V |‖ρ <∞.
Considerând Teoremele 5.18 ³i 5.19 obµinem urm toarea teorem .
Teorema 5.20. Fie V : lρ → E ′ un operator liniar ³i continuu. Atunci V este (ρ, E,K)−natural dac ³i numai dac (V (em))m ∈ lρ′(E ′).
Consider m cazul particular: E = l2 ³i ρ = ‖ ‖2, deci E′ ≡ E = l2 ³i ρ′ = ρ.
Exemplul 5.21. (Exemplu de operator V : l2 → (l2)′ ≡ l2 care nu este (‖ ‖2 , l2, K)−
natural)
Fie V dat de matricea (apn)p,n, unde apn = 0 dac p 6= n ³i app =1√p.
Atunci V (x = (xn)n) ≡(xn√n
)n
. Avem c V este liniar, continuu ³i nu este (‖ ‖2 , l2, K)−
natural.
Exemplul 5.22. (Exemplu de operator V : l2 → (l2)′ ≡ l2 care este (‖ ‖2 , l2, K)− natural
³i are proprietatea c ‖V ‖‖ ‖2 < |‖V |‖‖ ‖2 <∞)
Ideea este s consider m operatori "nit dimensionali". Anume, pentru un operator liniar
³i continuu V : l2 → (l2)′, matricea generatoare (apn)p,n are proprietatea c apn = 0 dac
p ≥ 3 sau n ≥ 3 (doar a11, a12, a21, a22 pot nenuli).
Atunci, pentru orice ϕ = (ϕ1, ϕ2, ..., ϕn, ...) ∈ l2, avem V (ϕ) ≡ (a11ϕ1 + a12ϕ2, a21ϕ1 +
a22ϕ2, 0, ..., 0, ...).
Avem ‖V ‖‖ ‖2 =1
2
(√(a11 + a22)2 + (a12 − a21)2 +
√(a11 − a22)2 + (a12 + a21)2
)³i
|‖V |‖‖ ‖2 =√a2
11 + a221 + a2
12 + a222.
Fie a11 = 1, a22 = 2, a12 = 3, a21 = 4.
Atunci ‖V ‖‖ ‖2 =1
2
(√10 +
√50)<√
30 = |‖V |‖‖ ‖2 .
31
Capitolul 6
Elemente de cea mai bun aproximare în
spaµii Köthe-Bochner
6.1 Schem general pentru mulµimi proximinale
Acest paragraf este bazat pe articolul [28].
Deniµia 6.1. (vezi [10], [134]) Fie (X, ‖ ‖) un spaµiu normat ³i e φ 6= A ⊂ X, A 6= X o
mulµime închis . Pentru orice x ∈ X \ A denim mulµimea (posibil vid )
PA(x) = a ∈ A | ‖x− a‖ = dist(x,A),
unde dist(x,A) = inf‖x− a‖ | a ∈ A este distanµa între x ³i A. Un element a ∈ PA(x) se
nume³te element de cea mai bun aproximare a lui x pe mulµimea A. Mulµimea închis A
(φ 6= A ⊂ X, A 6= X) se nume³te proximinal în X dac PA(x) 6= φ pentru orice x ∈ X \ A(dac X se subînµelege spunem c A este proximinal ).
Remarca 6.2. (vezi [10], [134]) 1. Dac X este un spaµiu normat ³i A ⊂ X este un subspaµiu
(vectorial) nit dimensional atunci A este mulµime proximinal .
2. Dac X este un spaµiu reexiv atunci orice mulµime convex ³i închis φ 6= A ⊂ X,
A 6= X este proximinal .
6.1.1 O metod pentru a g si mulµimi proximinale
Schem general . Fie un ³ir descresc tor de spaµii Banach (Xn, |‖ |‖n) (Xn+1 ⊂ Xn pentru
orice n) cu proprietatea c X∞def=
∞⋂n=1
Xn 6= 0. Presupunem c , pentru orice x ∈ X∞,
32
³irul (|‖x|‖n)n este cresc tor. Denim Xdef= x ∈ X∞ | sup
n|‖x|‖n < ∞ ³i presupunem c
X 6= 0. Menµion m c incluziunea X ⊂ X∞ este, în general, strict .
Pentru orice x ∈ X ³i pentru orice n ∈ N denim ‖x‖ndef= |‖x|‖n ³i ‖x‖ def= lim
n→∞|‖x|‖n =
supn|‖x|‖n. Obµinem normele ‖ ‖ ³i ‖ ‖n pe X ³i avem ‖ ‖n ≤ ‖ ‖n+1 ≤ ‖ ‖ (deci ³irul
(‖ ‖n)n este cresc tor) cu ‖x‖ = limn→∞
‖x‖n = supn‖x‖n pentru orice x ∈ X. Presupunem c
(Xn, |‖ |‖n) sunt spaµii reexive.
Fie φ 6= A ⊂ X, A 6= X astfel încât A este convex , m rginit în (X, ‖ ‖) (deci A este
m rginit în toate (Xn, |‖ |‖n)) ³i închis (deci slab închis ) în (X, ‖ ‖) ³i în toate (Xn, |‖ |‖n).
Teorema 6.3. În condiµiile din Schema general A este proximinal în (X, ‖ ‖).
Caz particular al Schemei generale: Spaµiile Köthe. Fie (T, T , µ) un spaµiu
cu m sur σ− nit ³i complet ³i e (ρn)n un ³ir cresc tor de norme funcµionale, ρn :
M+(µ) → R+ (i.e. ρn ≤ ρn+1 pentru orice n). Presupunem c ρn are proprietatea Riesz-
Fischer pentru orice n. Obµinem ³irul descresc tor de spaµii Banach (Xn)n, unde Xn = Lρn
cu norma |‖ |‖ndef= ‖ ‖ρn pentru orice n (
∥∥∥f∥∥∥ρn
= ρn|f | pentru orice f ∈ f). Presupunem c
X∞def=
∞⋂n=1
Xn 6= 0.
Denim norma funcµional ρ : M+(µ) → R+, ρ(u) = supnρn(u). Se observ c ρ are
proprietatea Riesz-Fischer, deci (X, ‖ ‖) = (Lρ, ‖ ‖ρ) este spaµiu Banach, unde X = f ∈
X∞
∣∣∣∣ supn
∥∥∥f∥∥∥ρn<∞.
Presupunem c toate spaµiile (Lρn , ‖ ‖ρn) sunt reexive.
Fie 0 < M < ∞ ³i e A ⊂ f ∈ Lρ∣∣∣∣ ∥∥∥f∥∥∥
ρ≤ M o mulµime convex , închis în Lρ ³i
închis în toate spaµiile Lρn .
Observ m c sunt îndeplinite condiµiile din Schema general luând (Xn, |‖ |‖n), X∞,
X, ‖ ‖n, ‖ ‖ ³i A ca mai sus.
6.1.2 Aplicaµii
Modelul spaµiilor Lp(µ)
Acesta este un caz particular pentru modelul spaµiilor Köthe.
Teorema 6.4. Fie (T, T , µ) un spaµiu cu m sur nit (i.e. µ(T ) <∞) ³i e 0 < M <∞.
Atunci orice mulµime convex A ⊂ f ∈ L∞(µ)
∣∣∣∣ ∥∥∥f∥∥∥∞ ≤ M, care este închis în toate
33
Lp(µ), 1 ≤ p ≤ ∞, este proximinal în L∞(µ).
Remarca 6.5. Subliniem faptul c exist mulµimi A care posed propriet µile enumerate în
Teorema 6.4.
1. Fie A =
f ∈ L∞(µ)
∣∣∣∣ ∥∥∥f∥∥∥∞ ≤M
.
2. Fie H ∈ T cu µ(H) > 0. Consider m
A =
f ∈ L∞(µ)
∣∣∣∣ ∥∥∥f∥∥∥∞ ≤M , ϕHf = 0
.
Modelul spaµiilor Lorentz de ³iruri
Fie 1 ≤ p < ∞ ³i w = (wn)n un ³ir de numere reale astfel încât wn > 0 pentru orice
n, (wn)n este descresc tor, w ∈ c0 (i.e. wn −→n
0) ³i∞∑n=1
wn = ∞. De exemplu putem lua
wn =1
n.
Reamintim c d(w, p) = x = (xn)n
∣∣∣∣ supπ
(∞∑n=1
|xπ(n)|pwn
) 1p
< ∞, supremumul ind
considerat dup toate bijecµiile π : N→ N.Se cunoa³te c (d(w, p), ‖ ‖w,p) este un spaµiu Banach cu norma
‖x‖w,p = supπ
(∞∑n=1
|xπ(n)|pwn
) 1p
.
Norma lui d(w, p) se calculeaz de cele mai multe ori folosind rearanjarea descresc toare
a unui ³ir de numere reale, pozitive, convergent c tre 0 (vezi Capitolul 3).
De acum înainte x m w.
Teorema 6.6. Fie 0 < M < ∞. Orice mulµime convex A ⊂ x ∈ d(w, 1) | ‖x‖w,1 ≤ M,care este închis în toate spaµiile d(w, p), 1 ≤ p <∞, este proximinal în d(w, 1).
Remarca 6.7. Exist mulµimi care s îndeplineasc cerinµele din Teorema 6.6.
1. Fie A = x ∈ d(w, 1) | ‖x‖w,1 ≤M.2. Fie A = x = (xn)n ∈ d(w, 1) | ‖x‖w,1 ≤M ³i x2n = 0 pentru orice n ∈ N.
34
6.2 Mulµimi proximinale în spaµii Köthe-Bochner de ³i-
ruri
Fie (T, T , µ) un spaµiu cu m sur σ− nit ³i complet , ρ : M+(µ) → R+ o norm
funcµional ³i e X un spaµiu Banach.
Deniµia 6.8. (vezi [27]) O mulµime nevid A ⊂ Lρ(X) se nume³te solid dac , pentru
orice f ∈ A, pentru orice reprezentant f ∈ f ³i pentru orice g ∈ MX(µ) cu proprietatea c
‖g(t)‖ ≤ ‖f(t)‖ µ− a.p.t., avem g ∈ A.
Consider m φ 6= H ∈ T . Denim proiecµia PH : Lρ(X) → Lρ(X), PH(f) = ϕHf . Se
observ c , sau PH = 0, sau ‖PH‖o = 1 ³i, în cazul în care A ⊂ Lρ(X) este solid , avem c
PH(A) ⊂ A (dac f ∈ A, f ∈ f ³i g ∈ PH(f) avem |g| ≤ |f | µ− a.p.t., deci g ∈ A).
Teorema 6.9. Presupunem c exist un ³ir (Tn)n ⊂ T , (Tn)n cresc tor (i.e. Tn ⊂ Tn+1) cu⋃n
Tn = T astfel încât PTn(Lρ(X)) este reexiv pentru orice n. Presupunem, de asemenea,
c ρ este de tip absolut continuu ³i ρ are proprietatea lui Fatou.
Fie A ⊂ Lρ(X), φ 6= A 6= Lρ(X) o mulµime solid , convex , m rginit ³i închis . Atunci
A este proximinal .
Un rezultat aparent mai general este dat de teorema urm toare.
Teorema 6.10. Lucr m în ipotezele Teoremei 6.9. Fie P : Lρ(X) → Lρ(X) un proiector
cu proprietatea c P (A) ⊂ A ³i P (Lρ(X)) este solid (de exemplu putem lua P = PH , unde
H ∈ T ).Atunci P (A) este proximinal .
Aplic m Teorema 6.9 pentru spaµiile Köthe de ³iruri lρ.
Teorema 6.11. Consider m spaµiul cu m sur discret (N,P(N), card) ³i ρ : M+(card)→R+ o norm funcµional de tip absolut continuu ³i cu proprietatea lui Fatou. Dac A ⊂ lρ,
φ 6= A 6= lρ este solid , convex , m rginit ³i închis atunci A este proximinal .
Remarca 6.12. Rezultatul din Teorema 6.11 este valabil ³i pentru spaµii Köthe-Bochner de
³iruri în cazul în care X este reexiv.
35
Capitolul 7
Aplicaµii. Direcµii de cercetare
7.1 Divergenµele Tsallis ³i Rényi pentru polinoamele Ja-
cobi generalizate
Acest paragraf este bazat pe articolul [131].
Fie p = (p1, ..., pn) o distribuµie de probabilitate(pi ≥ 0 ³i
n∑i=1
pi = 1
).
Deniµia 7.1. (vezi [142], [143]) Denim entropia Tsallis discret pentru distribuµia de
probabilitate p via
ST (p) = −n∑i=1
pi logT (pi),
unde logT este logaritmul Tsallis denit prin
logT (x) =
xα−1 − 1
α− 1dac x > 0
0 dac x = 0
pentru orice α ∈ R \ 1.
Deniµia 7.2. (vezi [142]) Denim divergenµa Tsallis discret via
DT (p) = nα−1
(− logT
(1
n
)− ST (p)
).
Deniµia 7.3. (vezi [119], [124]) Denim entropia Rényi discret via
36
SR(p) =1
1− αlog
(n∑i=1
pαi
)
pentru orice α ∈ (0,∞) \ 1.
Deniµia 7.4. (vezi [119]) Denim divergenµa Rényi discret via
DR(p) = log n− SR(p).
Mergând pe ideile din articolele [75] ³i [93] vom deni un ³ir de polinoame Jacobi gene-
ralizate qn(x) = knxn + ..., kn > 0, n ∈ N ∪ 0 (i.e.
ˆ 1
−1
qm(x)qn(x)w(x)dx = δmn pentru
orice m,n ∈ N ∪ 0, unde δmn este simbolul lui Kronecker ³i w(x)def= (1− x)u(1 + x)vh(x)
pentru orice x ∈ [−1, 1]; aici u, v > −1 ³i h este o funcµie real , analitic ³i strict pozitiv pe
intervalul [−1, 1]).
Denim Kn(x, y) =n−1∑i=0
qi(x)qi(y).
Punând x = y în formula precedent g sim a n−a funcµie Christoel λn(x)def=
1
Kn(x, x).
Consider m distribuµia de probabilitate ψn(x) = (ψn,1(x), ..., ψn,n(x)), unde ψn,j(x) =
λn(x)q2j−1(x) pentru orice j = 1, 2, ..., n.
În continuare ne propunem s studiem comportamentul asimptotic al divergenµei Tsallis
DT (ψn(x)) (respectiv al divergenµei Rényi DR(ψn(x))) când n tinde la ∞ pentru orice x ∈(−1, 1).
De acum înainte în acest paragraf, dac x = cos θ ∈ (−1, 1), presupunem c θ ∈ (0, π).
Teorema 7.5. Presupunem c α ≥ 0. Limita limn→∞
DT (ψn(x)) exist pentru orice x = cos θ ∈
(−1, 1). Not m DT∞(x)def= lim
n→∞DT (ψn(x)).
Teorema 7.6. Limita limn→∞
DR(ψn(x)) exist pentru orice x = cos θ ∈ (−1, 1). Not m
DR∞(x)def= lim
n→∞DR(ψn(x)).
7.2 Spaµii Köthe-Bochner denite de o funcµie de entro-
pie
Fie (T, T , µ) un spaµiu cu m sur σ− nit ³i complet ³i e X un spaµiu Banach.
37
Deniµia 7.7. (vezi [19]) O funcµie E : T → R+ se nume³te quasi-funcµie de entropie pe
(T, T , µ) dac are urm toarele propriet µi:
1. E(A) = 0⇔ µ(A) = 0 (absolut continuitate în raport cu µ).
2. E(A) ≤ E(B) pentru orice A,B ∈ T astfel încât A ⊂ B (monotonie).
3. Exist c ≥ 1 astfel încât E(A ∪B) ≤ c (E(A) + E(B)) pentru orice A,B ∈ T .
4. E
(∞⋃i=1
Ai
)= lim
i→∞E(Ai) = sup
iE(Ai) pentru orice ³ir cresc tor (Ai)i≥1 ⊂ T .
Dac în proprietatea 3., c = 1 spunem c E este funcµie de entropie.
În cele ce urmeaz consider m o funcµie de entropie E.
Consider m o familie (At)t∈[0,∞) ⊂ T care este descresc toare: 0 ≤ s < t ⇒ At ⊂ As.
Rezult c funcµia h : [0,∞)→ R+, h(t) = E(At) este descresc toare.
Putem calcula integrala Lebesgue (not m λdef= m sura Lebesgue pe [0,∞))ˆ
hdλdef=
ˆ ∞0
h(t)dt ≤ ∞ (7.1)
(dac intervalul t ∈ [0,∞) | h(t) =∞ are lungime strict pozitiv integrala de la (7.1) este
automat egal cu ∞).
Denim ρE : M+(µ)→ R+,
ρE(u) =
ˆ ∞0
E(t ∈ T | u(t) > s)ds. (7.2)
Deniµia 7.8. Fie ρ : M+(µ) → R+ o funcµie. Spunem c ρ este quasi-norm funcµional
dac îndepline³te propriet µile (pentru orice u, v ∈M+(µ) ³i pentru orice α ∈ [0,∞)):
1. ρ(u) = 0⇔ u(t) = 0 µ− a.p.t.2. u ≤ v ⇒ ρ(u) ≤ ρ(v).
3. Exist c ≥ 1 astfel încât ρ(u+ v) ≤ c (ρ(u) + ρ(v)).
4. ρ(αu) = αρ(u) (folosim convenµia 0 · ∞ = 0).
Pentru orice quasi-norm funcµional ρ denim spaµiul Lρ(X) = f ∈ MX(µ) | ρ|f | <∞. Acesta se nume³te spaµiu quasi-Köthe-Bochner ³i este quasi-seminormat cu quasi-
seminorma f → ρ|f |. Spaµiul nul al acestei quasi-seminorme este NX(µ). Ca în cazul spa-
µiilor Köthe-Bochner denim spaµiul quasi-Köthe-Bochner Lρ(X) = Lρ(X)/NX(µ). Acesta
este quasi-normat cu quasi-norma f →∥∥∥f∥∥∥ = ρ|f | pentru orice reprezentant f ∈ f .
Deniµia 7.9. Spunem c quasi-norma funcµional ρ : M+(µ) → R+ are proprietatea lui
Fatou dac , pentru orice ³ir cresc tor (un)n ⊂ M+(µ), avem ρ(u) = supnρ(un) = lim
n→∞ρ(un),
unde u = supnun (punctual) (not m un ↑ u).
38
Teorema 7.10. Funcµia ρE este quasi-norm funcµional cu proprietatea lui Fatou.
Teorema 7.11. Funcµia ρE este norm funcµional dac ³i numai dac E este tare subaditiv
(i.e. pentru orice A, B ∈ T avem E(A ∪B) + E(A ∩B) ≤ E(A) + E(B)).
Putem deni spaµiul quasi-Köthe-Bochner quasi-seminormat
LρE(X) = f : T → X | f este µ− m surabil ³i ρE|f | <∞.
Teorema 7.12. Spaµiul quasi-seminormat LρE(X) este spaµiu vectorial topologic. Un sistem
fundamental de vecin t µi ale originii pentru topologia de spaµiu vectorial topologic a lui
LρE(X) este format din toate mulµimile V (ε) când ε parcurge (0,∞), unde V (ε) = f ∈LρE(X) | ρE|f | < ε.
Se pune problema dac spaµiul LρE(X) este trivial. Vom vedea c , atunci când E(T ) <
∞, spaµiul LρE(X) nu este trivial. Mai precis avem urm toarea teorem .
Teorema 7.13. Dac E(T ) <∞ avem incluziunea
BX(µ) ⊂ LρE(X),
unde BX(µ) este spaµiul vectorial al tuturor funcµiilor f : T → X care sunt µ− m surabile
³i m rginite.
În general spaµiul vectorial topologic LρE(X) nu este separat. Avem 0 =⋂V ∈V
V = f ∈
LρE(X) | ρE|f | = 0 = f : T → X | f(t) = 0 µ− a.p.t..Spaµiul separat asociat este LρE(X) = LρE(X)/0. Acesta este quasi-normat cu quasi-
norma f →∥∥∥f∥∥∥ def
= ρE|f | pentru orice reprezentant f ∈ f ³i se nume³te spaµiu quasi-Köthe-
Bochner quasi-normat.
Exemple
Fie ϕ : [0,∞)→ [0,∞) o funcµie cu urm toarele propriet µi:
1. ϕ(0) = 0.
2. ϕ(t) > 0 pentru orice t > 0.
3. ϕ este cresc toare.
Consider m n ∈ N arbitrar xat.
39
Fie T = [0, 1]n. Pe T consider m norma euclidian notat ‖ ‖.Pentru orice δ > 0 denim µδ,∗ : P(T )→ R+,
µδ,∗(A) =
inf
∞∑k=1
ϕ (diam(Ik))
∣∣∣∣ A ⊂ ∞⋃k=1
Ik,
Ik intervale diadice, diam(Ik) < δ
dac exist astfel de intervale
∞ altfel.
Denim m sura exterioar Hausdor generalizat relativ la ϕ, µ∗ : P(T )→ R+, µ∗(A) =
limδ→0
µδ,∗(A).
Fie T = A ⊂ T | A este µ∗− m surabil . Not m µ = µ∗|T .Am obµinut a³adar spaµiul cu m sur nit ³i complet (T, T , µ).
Exemplul 7.14. Fie Eϕ : T → R+,
Eϕ(A) =
inf
∞∑k=1
ϕ (diam(Ik))
∣∣∣∣ A ⊂ ∞⋃k=1
Ik,
Ik intervale diadice
dac exist astfel de intervale
∞ altfel.
Se observ c Eϕ este funcµie de entropie.
În plus, pentru orice mulµimi A, B ∈ T , avem Eϕ(A∪B) +Eϕ(A∩B) ≤ Eϕ(A) +Eϕ(B)
(vezi [19]). A³adar ρEϕ este norm funcµional , deci obµinem spaµiile Köthe-Bochner LρEϕ (X)
³i LρEϕ (X).
În continuare vom considera cazuri particulare de funcµii ϕ cu propriet µile de mai sus.
Exemplul 7.15. (Spaµii Köthe-Bochner de tip Shannon-Feerman) Fie ϕ : [0,∞)→ [0,∞),
ϕ(0) = 0, ϕ(x) = −x log x dac x ∈(
0,1
e
)³i ϕ(x) =
1
edac x ≥ 1
e.
Ca mai sus denim funcµia de entropie Eϕ ³i spaµiile Köthe-Bochner LρEϕ (X) ³i LρEϕ (X).
Spunem c acestea sunt spaµii Köthe-Bochner de tip Shannon-Feerman.
Exemplul 7.16. (Spaµii Köthe-Bochner de tip Tsallis) Fie ϕ : [0,∞) → [0,∞), ϕ(x) =
−x logT (x) dac x ∈[0,
(1
α
) 1α−1)
³i ϕ(x) =
(1
α
) αα−1
dac x ≥(
1
α
) 1α−1
(reamintim c
logT (0) = 0, deci ϕ(0) = 0).
Ca mai sus denim funcµia de entropie Eϕ ³i spaµiile Köthe-Bochner LρEϕ (X) ³i LρEϕ (X).
Spunem c acestea sunt spaµii Köthe-Bochner de tip Tsallis.
40
Exemplul 7.17. (Funcµia de entropie denit de o norm funcµional ) Fie r : M+(µ)→ R+
o norm funcµional cu proprietatea lui Fatou. Aceasta dene³te o funcµie de entropie
Er : T → R+ denit via Er(A) = r(A).
Ca mai sus denim quasi-norma funcµional ρEr ³i spaµiile quasi-Köthe-Bochner LρEr (X)
³i LρEr (X).
Întreb rile naturale care se pot pune sunt:
1. Ce condiµii trebuie impuse lui r astfel încât ρEr s e norm funcµional ?
2. Exist vreo leg tur între spaµiul quasi-Köthe-Bochner LρEr (X) ³i spaµiul Köthe-
Bochner Lr(X)?
Remarc nal . Am reu³it s leg m între ele teorii diferite: spaµii funcµionale, optimizare,
entropie. Avem în vedere ³i o leg tur cu teoria fractalilor pe care am început-o în [45].
41
Bibliograe
[1] S. Abe, Axioms and uniqueness theorem for Tsallis entropy, Phys. Lett. A 271 (2000),
7479.
[2] A.Y. Abul-Magd, Nonextensive random-matrix theory based on Kaniadakis entropy,
Physics Letters A 361 (2007), 450454.
[3] M.D. Acosta, A. Kami«ska, M. Mastylo, The Daugavet property in rearrangement in-
variant spaces, Trans. Amer. Math. Soc. 367 (2015), 40614078.
[4] D.R. Adams, L.I. Hedberg, Function Spaces and Potential Theory, Springer, Berlin,
1996.
[5] G.R. Allan, Introduction to Banach Spaces and Algebras, Oxford University Press, 2011
(preg tit pentru publicare de H.G. Dales).
[6] A. Almeida, Inversion of the Riesz potential operator on Lebesgue spaces with variable
exponent, Fract. Calc. Appl. Anal. 6 (2003), 311327.
[7] A.I. Aptekarev, J.S. Dehesa, A. Martínez-Finkelshtein, Asymptotics of orthogonal poly-
nomial's entropy, J. Comput. Appl. Math. 233 (2010), 13551365.
[8] A.I. Aptekarev, J.S. Dehesa, A. Martínez-Finkelshtein, R. Yañez, Discrete entropies of
orthogonal polynomials, Constr. Approx. 30 (2009), 93119.
[9] A.I. Aptekarev, J.S. Dehesa, P. Sánchez-Moreno, D.N. Tulyakov, Rényi entropy of the
innite well potential in momentum space and Dirichlet-like trigonometric functionals,
J. Math. Chem. 50 (2012), 10791090.
[10] V. Barbu, T. Precupanu, Convexity and Optimization in Banach Spaces (fourth edition),
Springer, 2010.
42
[11] R. Beattie, H.-P. Butzmann, Convergence Structures and Applications to Functional
Analysis, Springer-Science+Bussines Media, B.V., 2002.
[12] M. Beenamol, S. Prabavathy, J. Mohanalin, Wavelet based seismic signal de-noising
using Shannon and Tsallis entropy, Computers and Mathematics with Applications 64
(2012), 35803593.
[13] G.M. Bosyk, S. Zozor, F. Holik, M. Portesi, P.W. Lamberti, Comment on "Quantum
Kaniadakis entropy under projective measurement", Phys. Rev. E 94 (2016), 026103.
[14] V. Buyarov, J.S. Dehesa, A. Martínez-Finkelshtein, J. Sánchez-Lara, Computation of
the entropy of polynomials orthogonal on an interval, SIAM J. Sci. Comput. 26 (2004),
488509.
[15] J.M. Calabuig, E. Jiménez Férnandez, M.A. Juan, E.A. Sánchez Pérez, Tensor product
representation of Köthe-Bochner spaces and their dual spaces, Positivity 20 (2016), 155
169.
[16] J.M. Calabuig, J. Rodríguez, E.A. Sánchez Pérez, Multiplication operators in Köthe-
Bochner spaces, J. Math. Anal. Appl. 373 (2011), 316321.
[17] P. Cembranos, J. Mendoza, Banach Spaces of Vector-Valued Functions, Springer-Verlag,
Berlin-Heidelberg, 1997.
[18] J. Cerda, Lorentz capacity spaces, AMS Contemp. Math. 445 (2007), 4955.
[19] J. Cerda, H. Coll, J. Martín, Entropy function spaces and interpolation, J. Math. Anal.
Appl. 304 (2005), 269295.
[20] J. Cerda, H. Hudzik, M. Mastylo, Geometric properties in Köthe-Bochner spaces, Math.
Proc. Camb. Phil. Soc. 120 (1996), 521533.
[21] J. Cerda, J. Martín, P. Silvestre, Capacitary function spaces, Collect. Math. 62 (2011),
95118.
[22] F. Chapeau-Blondeau, A. Delahaies, D. Rousseau, Tsallis entropy measure of noise-
aided information transmission in a binary channel, Physics Letters A 375 (2011), 2211
2219.
43
[23] S. Chen, R. Pluciennik, A note on H-points in Köthe-Bochner spaces, Acta Math. Hun-
gar. 94 (2002), 5966.
[24] I. Chiµescu, Finitely Purely Atomic Measures: Coincidence and Rigidity Properties,
Rend. Cont. Circ. Mat. Palermo 50 (2001), 455476.
[25] I. Chiµescu, Köthe spaces that are Banach algebras whith unit, Bull. Math. Soc. Sci.
Math. R.S.R. 18 (66) (1976), 269271.
[26] I. Chiµescu, Köthe spaces that are Hilbert spaces, Bull. Math. Soc. Sci. Math. R.S.R. 18
(66) (1976), 2529.
[27] I. Chiµescu, Spaµii de Funcµii, Ed. t. Encicl., Bucure³ti, 1983.
[28] I. Chiµescu, V. Preda, R.-C. Sfetcu, Polya-type best approximation of convex sets,
acceptat pentru publicare la J. Nonlinear Conv. Anal.
[29] I. Chiµescu,R.-C. Sfetcu, O. Cojocaru, Approximation of Köthe-Bochner spaces Lρ(X)
in case X has a Schauder basis, Romanian Journal of Information Science and Techno-
logy 18 (2015), 6978.
[30] I. Chiµescu, R.-C. Sfetcu, O. Cojocaru, Köthe-Bochner spaces that are Hilbert spaces,
Carpathian J. Math. 33 (2017), 153160.
[31] B. Collins, I. Nechita, Random quantum channels II: Entanglement of random subspaces,
Rényi entropy estimates and additivity problems, Adv. Math. 226 (2011), 11811201.
[32] R. Cristescu, Analiz Funcµional , Ed. III, Ed. Did. Ped., Bucure³ti, 1979.
[33] D. Cruz-Uribe, A. Fiorenza, Approximate identities in variable Lp spaces, Math. Nachr.
280 (2007), 256270.
[34] D. Cruz-Uribe, A. Fiorenza, Convergence in measure of approximate identities in vari-
able Lebesgue spaces, Anal. Appl. 13 (2015), 413418.
[35] D. Cruz-Uribe, A. Fiorenza, Convergence in variable Lebesgue spaces, Publ. Mat. 54
(2010), 441459.
[36] D. Cruz-Uribe, A. Fiorenza, J.M. Martell, C. Pérez, The boundedness of classical ope-
rators on variable Lp spaces, Ann. Acad. Sci. Fenn. Math. 31 (2006), 239264.
44
[37] E.M.F. Curado, P. Tempesta, C. Tsallis, A new entropy based on a group-theoretical
structure, Ann. Phys. 366 (2016), 2231.
[38] S. Curilef, A.R. Plastino, A. Plastino, Tsallis'maximum entropy ansatz leading to exact
analytical time dependent wave packet solutions of a nonlinear Schrödinger equation,
Physica A 392 (2013), 26312642.
[39] J. Déscloux, Approximations in Lp and Chebyshev Approximations, J. Soc. Indust. Appl.
Math. 11 (1963), 10171026.
[40] J.C. Díaz, P. Doma«ski, Reexive operators with domain in Köthe spaces, manuscripta
math. 97 (1998), 189204.
[41] J. Diestel, J.J. Uhl Jr., Vector Measures. Survey 15, Amer. Math. Soc. Providence, RI,
1977.
[42] J. Dieudonné, Sur les espaces de Köthe, J. d'Analyse Math. 1 (1951), 81115.
[43] N. Dinculeanu, Vector Measures, Pergamon Press, New York, 1967.
[44] P.G. Dodds, B. de Pagter, Normed Köthe spaces: A non-commutative viewpoint, Indag.
Math. 25 (2014), 206249.
[45] D. Dumitru, L. Ioana, R.-C. Sfetcu, F. Strobin, Topological version of generalized
(innite) iterated function systems, Chaos, Solitons & Fractals 71 (2015), 7890.
[46] H. Duru, A. Kitover, M. Orhon, Multiplication operators on vector-valued function spa-
ces, Proc. Amer. Math. Soc. 141 (2013), 35013513.
[47] H. Dutta, B. Surrender Reddy, Computation of the Köthe-Toeplitz dual of some sets
of sequences of fuzzy numbers, New Mathematics and Natural Computation 7 (2011),
6370.
[48] R.A. Feerman, A theory of entropy in Fourier analysis, Adv. Math. 30 (1978), 171201.
[49] S. Furuichi, Information theoretical properties of Tsallis entropies, J. Math. Phys. 47
(2006), 023302.
[50] S. Furuichi, F.-C. Mitroi, Mathematical inequalities for some divergences, Physica A 391
(2012), 388400.
45
[51] A. Ghika, Analiz Funcµional , Editura Academiei Republicii Socialiste România, Bu-
cure³ti, 1967.
[52] J.L. Gonzalez, E.L. de Faria, M.P. Albuquerque, M.P. Albuquerque, Nonadditive Tsallis
entropy applied to the Earth's climate, Physica A 390 (2011), 587594.
[53] A. Göpfert, H. Riahi, C. Tammer, C. Z linescu, Variational Methods in Partially Orde-
red Spaces, Springer-Verlag, New York, Inc. 2003.
[54] L. Grafakos, Classical Fourier Analysis, Springer Science+Business Media, LLC, 2008.
[55] K.A. Grasse, Mapping properties that preserve convergence in measure on nite measure
spaces, J. Math. Anal. Appl. 326 (2007), 11161123.
[56] N.E. Gretsky, J.J. Uhl Jr., Bounded linear operators into vector-valued Banach function
spaces, Indag. Math. (Proceedings) 77 (1974), 457462.
[57] N.E. Gretsky, J.J. Uhl Jr., Bounded linear operators on Banach function spaces of
vector-valued functions, Trans. Amer. Math. Soc. 167 (1972), 263277.
[58] M. Hayashi, Limiting behavior of relative Rényi entropy in a non-regular location shift
family, Ann. Inst. Stat. Math. 62 (2010), 547569.
[59] H. Hudzik, R. Kaczmarek, Monotonicity characteristic of Köthe-Bochner spaces, J.
Math. Anal. Appl. 349 (2009), 459468.
[60] H. Hudzik, A. Kami«ska, M. Mastylo, On the dual of Orlicz-Lorentz space, Proc. Am.
Math. Soc. 130 (2002), 16451654.
[61] G. Isac, V. Postolic , The Best Approximation and Optimization in Locally Convex
Spaces, Peter Lang, Frankfurt am Main, Berlin, Bern, New York, Wien, 1993.
[62] M. Jauregui, C. Tsallis, New representations of π and Dirac delta using the nonextensive-
statistical-mechanics q− exponential function, J. Math. Phys. 51 (2010), 063304.
[63] A. Kami«ska, K. Le±nik, Y. Raynaud, Dual spaces to Orlicz-Lorentz spaces, Stud. Math.
222 (2014), 229261.
[64] A. Kami«ska, B. Turett, Rotundity in Köthe spaces of vector-valued functions, Can. J.
Math. 41 (1989), 659675.
46
[65] J. Kawabe, The bounded convergence in measure theorem for nonlinear integral functio-
nals, Fuzzy Sets and Systems 271 (2015), 3142.
[66] A.A. Khan, C. Tammer, C. Z linescu, Set-valued Optimization: An Introduction with
Applications, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 2015.
[67] M. Khandaqji, F. Awawdeh, Uniform convexity of Köthe-Bochner function spaces, Acta
Mathematica Academiae Paedagogicae Nyíregyháziensis 24 (2008), 385390.
[68] G. Köthe, Neubergründung der Theorie der vollkommenen Räume, Math. Nachr. 4
(1951), 7080.
[69] G. Köthe, O. Toeplitz, Lineare Räume mit unendlichvielen Koordinaten und Ringe unen-
dlicher Matrizen, Journal de Crelle 171 (1934), 193226.
[70] B. Kripke, Best Approximations with Respect to Nearby Norms, Numer. Math. 6 (1964),
103105.
[71] T. Kühn, Entropy numbers in sequence spaces with an application to weighted function
spaces, J. Approx. Theory 153 (2008), 4052.
[72] T. Kühn, H.-G. Leopold, W. Sickel, L. Skrzypczak, Entropy Numbers of Embeddings of
Weighted Besov Spaces, Constr. Approx. 23 (2006), 6177.
[73] T. Kühn, H.-G. Leopold, W. Sickel, L. Skrzypczak, Entropy Numbers of Embeddings
of Weighted Besov Spaces II, Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society 49
(2006), 331359.
[74] T. Kühn, H.-G. Leopold, W. Sickel, L. Skrzypczak, Entropy Numbers of Embeddings of
Weighted Besov Spaces III, Math. Z. 255 (2007), 115.
[75] A.B. Kuijlaars, K.T.-R. McLaughlin, W. Van Assche, M. Vanlessen, The Riemann-
Hilbert approach to strong asymptotics for orthogonal polynomials on [−1, 1], Adv. Math.
188 (2004), 337398.
[76] L. Kuipers, H. Niederreiter, Uniform distribution of sequences, John Wiley & Sons, Inc.
1974.
47
[77] E.K. Lenzi, R.S. Mendes, L.R. da Silva, Statistical mechanics based on Rényi entropy,
Physica A 280 (2000), 337345.
[78] N. Leonenkoa, O. Seleznjev, Statistical inference for the ε− entropy and the quadratic
Rényi entropy, Journal of Multivariate Analysis 101 (2010), 19811994.
[79] F. Li, P. Li, D. Han, Continuous framings for Banach spaces, J. Funct. Anal. 271 (2016),
9921021.
[80] P.-K. Lin, Köthe-Bochner Function Spaces, Springer Science+Business Media, LLC,
2004.
[81] P.-K. Lin, Stability of some properties in Köthe-Bochner function spaces, in: Function
Spaces, the fth conference, Pure and Applied Math. vol. 213, Marcel Dekker, Inc.
(2000), pp. 347357.
[82] P.-K. Lin, H. Sun, Extremity in Köthe-Bochner function spaces, J. Math. Anal. Appl.
218 (1998), 136154.
[83] P.-K. Lin, W. Zhang, B. Zheng, Corrigendum to "Stability of ball proximinality" [J.
Approx. Theory 183 (2014), 7281], J. Approx. Theory 205 (2016), 149152.
[84] P.-K. Lin, W. Zhang, B. Zheng, Stability of ball proximinality, J. Approx. Theory 183
(2014), 7281.
[85] J. Lindenstrauss, L. Tzafriri, Classical Banach Spaces I. Sequence Spaces, Springer-
Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1977.
[86] J. Lindenstrauss, L. Tzafriri, On the complemented subspaces problem, Israel J. Math.
9 (1971), 213269.
[87] D.S. Lubinsky, A new approach to universality limits involving orthogonal polynomials,
Ann. Math. 170 (2009), 915939.
[88] J. Lukes, L. Pick, D. Pokorny, On geometric properties of the spaces Lp(x), Rev. Mat.
Complut. 24 (2011), 115130.
[89] W.A.J. Luxemburg, Banach Function Spaces. Thesis, Delft Institute of Technology,
Assen, Netherlands, 1955.
48
[90] W.A.J. Luxemburg, A.C. Zaanen, Notes on Banach function spaces, Indag. Math. Note
I (1963)-Note XVI (1965).
[91] A. Macedo-Filho, D.A. Moreirac, R. Silva, L.R. da Silva, Maximum entropy principle
for Kaniadakis statistics and networks, Physics Letters A 377 (2013), 842846.
[92] M. Maldonado, J. Prada, Weighted shift operators on Köthe spaces, Math. Nachr. 279
(2006), 188197.
[93] A. Martínez-Finkelshtein, P. Nevai, A. Peña, Discrete entropy of generalized Jacobi
polynomials, J. Math. Anal. Appl. 431 (2015), 99110.
[94] A. Martínez-Finkelshtein, J.F. Sánchez-Lara, Shannon entropy of symmetric Pollaczek
polynomials, J. Approx. Theory 145 (2007), 5580.
[95] M. Mastylo, E.A. Sánchez Pérez, Köthe dual of Banach lattices generated by vector
measures, Monatsh. Math. 173 (2014), 541557.
[96] M. Mastylo, Y. Sawano, H. Tanaka, Morrey-type space and its Köthe dual space, Bull.
Malays. Math. Sci. Soc. (2016) doi:10.1007/s40840-016-0382-7.
[97] J. Mendoza, Proximinality in Lp(µ,X), J. Approx. Theory 93 (1998), 331343.
[98] J. Mendoza, T. Pakhrou, Best simultaneous approximation in L1(µ,X), J. Approx.
Theory 145 (2007), 212220.
[99] V.V. Mykhaylyuk, M.M. Popov, On sums of narrow operators on Köthe function spaces,
J. Math. Anal. Appl. 404 (2013), 554561.
[100] A. Nekvinda, Hardy-Littlewood maximal operator on Lp(x)(Rn), Mathematical Inequa-
lities & Applications 7 (2004), 255265.
[101] P. Nevai, Géza Freud, orthogonal polynomials and Christoel functions. A case study,
J. Approx. Theory 48 (1986), 3167.
[102] E.T. Ordman, Convergence almost everywhere is not topological, Amer. Math. Monthly
73 (1966), 182183.
[103] K. Ourabah, A.H. Hamici-Bendimerad, M. Tribeche, Quantum entanglement and Ka-
niadakis entropy, Phys. Scr. 90 (2015), 045101.
49
[104] K. Ourabah, A.H. Hamici-Bendimerad, M. Tribeche, Quantum Kaniadakis entropy
under projective measurement, Phys. Rev. E 92 (2015), 032114.
[105] K. Ourabah, M. Tribeche, Reply to "Comment on Quantum Kaniadakis entropy under
projective measurement", Phys. Rev. E 94 (2016), 026104.
[106] T. Pakhrou, Best simultaneous approximation in L∞(µ,X), Math. Nachr. 281 (2008),
396401.
[107] N.S. Papageorgiou, On best approximations in the Lebesgue-Bochner space L1(X),
Tamkang J. Math. 24 (1993), 303307.
[108] N. Papanastassiou, C. Papachristodoulos, p− convergence in measure of a sequence of
measurable functions and corresponding minimal elements of c0, Positivity 13 (2009),
243253.
[109] N. Phuong-Các, On Dieudonné's paper "Sur les espaces de Köthe", Proc. Cambridge
Phil. Soc. 62 (1966), 2932.
[110] G. Polya, Sur un algorithme toujours convergent pour obtenir les polynomes de me-
illeure approximation de Tchébychef pour une fonction continue quelconque, C.R. 157
(1913), 840-843.
[111] P.G. Popescu, V. Preda, E.I. Slu³anki, Bounds for Jereys-Tsallis and Jensen-
Shannon-Tsallis divergences, Physica A 413 (2014), 280283.
[112] V. Preda, The Student distribution and the principle of maximum entropy, Ann. Inst.
Stat. Math. 34 (1982), 335-338.
[113] V. Preda, C. B lc u, Entropy optimization with applications, Editura Academiei Ro-
mâne, Bucure³ti, 2011.
[114] V. Preda, C. B lc u, On maxentropic reconstruction of countable Markov chains and
matrix scaling problems, Stud. Appl. Math. 111 (2003), 85-100.
[115] V. Preda, S. Dedu, C. Gheorghe, New classes of Lorentz curves by maximizing Tsallis
entropy under mean and Gini equality and inequality constraints, Physica A 436 (2015),
925932.
50
[116] V. Preda, S. Dedu, M. Sheraz, New measure selection for Hunt-Devolder semi-Markov
regime switching interest rate models, Physica A 407 (2014), 350359.
[117] V. Preda, S. Dedu, M. Sheraz, Second order entropy approach for risk models involving
truncation and censoring, Proceedings of the Romanian Academy 17 (2016), 195202.
[118] V. Preda, M. Sheraz, Risk-neutral densities in entropy theory of stock options using
Lambert function and a new approach, Proceedings of the Romanian Academy 16 (2015),
2027.
[119] J.C. Principe, Information Theoretic Learning. Rényi's Entropy and Kernel Perspec-
tives, Springer Science+Business Media, LLC, 2010.
[120] N. Randrianantoanina, Complemented copies of l1 and Pelczynski's property (V ∗) in
Bochner function spaces, Canad. J. Math. 48 (1996), 625640.
[121] N. Randrianantoanina, E. Saab, The complete continuity property in Bochner function
spaces, Proc. Amer. Math. Soc. 117 (1993), 11091114.
[122] T.S.S.R.K. Rao, Approximation properties for spaces of Bochner integrable functions,
J. Math. Anal. Appl. 423 (2015), 15401545.
[123] Y. Raynaud, On duals of Calderon-Lozanovskij intermediate spaces, Stud. Math. 124
(1997), 936.
[124] A. Rényi, On measures of entropy and information, in: Proc. 4th Berkeley Symp.,
Mathematical and Statistical Probability, Berkeley, CA: Univ. Calif. Press, Vol. 1 (1961),
pp. 547561.
[125] R.T. Rockafellar, Convex Analysis, Princeton, New Jersey, 1970.
[126] C.A. Rogers, Hausdor Measures, Cambridge University Press, 1970.
[127] G. Rubinstein, On an Extremal Problem in a Normed Linear Space, Siberian Math. J.
6 (1965), 711714 (in Russian).
[128] F.B. Saidi, D. Hussein, R. Khalil, Best simultaneous approximation in Lp(I, E), J.
Approx. Theory 116 (2002), 369379.
51
[129] E.A. Sánchez Pérez, Asymptotic domination of operators on Köthe function spaces and
convergence of sequences, Math. Nachr. 279 (2006), 17091722.
[130] V. Schwämmle, C. Tsallis, Two-parameter generalization of the logarithm and expo-
nential functions and Boltzmann-Gibbs-Shannon entropy, J. Math. Phys. 48 (2007),
113301.
[131] R.-C. Sfetcu, Tsallis and Rényi divergences of generalized Jacobi polynomials, Phy-
sica A 460 (2016), 131138.
[132] T. Shintani, T. Ando, Best Approximants in L1− space, Z. Wahrscheinlichkeitstheor.
Verw. Geb. 33 (1975/1976), 3339.
[133] P. Silvestre, Capacitary function spaces and applications. Thesis, Barcelona, 2011.
[134] I. Singer, Best Approximation in Normed Linear Spaces by Elements of Linear Subs-
paces, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1970.
[135] G. Sinnamon, Monotonicity in Banach function spaces, Nonlinear Analysis, Function
Spaces and Applications, Praha: Institute of Mathematics of the Academy of Sciences
of the Czech Republic, (2007), 205240.
[136] M.A. Smith, Product of Banach spaces that are uniformly rotund in every direction,
Pacic J. Math. 73 (1977), 215219.
[137] H. Suyari, M. Tsukada, Tsallis dierential entropy and divergences derived from the
generalized Shannon-Khinchin axioms, in: Proceedings of the 2009 IEEE international
conference on Symposium on Information Theory (ISIT), ser. ISIT'09, vol. 1. Piscata-
way, NJ, USA: IEEE Press, 2009, pp. 149153.
[138] M. Talagrand, Weak Cauchy sequences in L1(E), Amer. J. Math. 106 (1984), 703724.
[139] D. Tomescu, Construction of a function seminorm having the Riesz-Fischer property,
Bull. Math. Soc. Sci. R.S.R. 24 (72) (1980), 209213.
[140] H. Triebel, Entropy numbers in function spaces with mixed integrability, Rev. Mat.
Complut. (2011), 169188.
52
[141] B. Trivellato, The minimal k-entropy martingale measure, Int. J. Theor. Appl. Finance
15 (2012), 1250038.
[142] C. Tsallis, Introduction to Nonextensive Statistical Mechanics, Springer
Science+Business Media, LLC, 2009.
[143] C. Tsallis, Possible generalization of Boltzmann-Gibbs statistics, J. Stat. Phys. 52
(1988), 479487.
[144] G. Wilk, Z. Wlodarczyk, Example of a possible interpretation of Tsallis entropy, Phy-
sica A 387 (2008), 48094813.
[145] X. Wu, Maximal distributional chaos of weighted shift operators on Köthe sequence
spaces, Czech. Math. J. 64 (2014), 105114.
[146] X. Wu, P. Zhu, Li-Yorke chaos of backward shift operators on Köthe sequence spaces,
Topology and its Applications 160 (2013), 924929.
[147] Lin Yu, Dual spaces of weak Orlicz-Hardy spaces for vector-valued martingales, J. Math.
Anal. Appl. 437 (2016), 7189.
[148] A.C. Zaanen, Integration, North Holland Publishing Co. Amsterdam, 1967.
[149] C. Z linescu, Convex Analysis in General Vector Spaces, World Scientic Publishing
Co. Pte. Ltd. 2002.
53
![Untitled-1 [fmi.unibuc.ro]fmi.unibuc.ro/ro/pdf/2009/diverse/brosura_fmi.pdf · Hidrologie Actuariat Biostatisticä de cercetare Programare Baze de date Programare web Dezvoltare software](https://static.fdocuments.in/doc/165x107/5b5a103e7f8b9a55388b69a5/untitled-1-fmi-fmi-hidrologie-actuariat-biostatisticae-de-cercetare-programare.jpg)
