Rezistenta Materialelor - Solicitari Simple Si Teoria Elasticitatii - Pavel Tripa

8/3/2019 Rezistenta Materialelor - Solicitari Simple Si Teoria Elasticitatii - Pavel Tripa

1/259

PAVEL TRIPA

R E Z I S T E N A

M A T E R I A L E L O R

SOLICITRI SIMPLE I TEORIA ELASTICITII

E

Editura MIRTON

Timioara 1999

R Z

MONO

GRAFIIREZMAT 22

M TA

x x

yy

x

z y


2/259

Refereni tiinifici:

Prof. Dr. Ing. Eur. Ing. Tiberiu BABEU

Membru al Academiei de tiine Tehnice din Romnia

Prof. Dr. Ing. Nicolae FAUR

Tehnoredactare computerizat:Conf. dr. ing. Pavel TRIPA

TRIPA, PAVEL

Rezistena materialelor / Pavel Tripa. Timioara:

Editura Mirton, 1999

258 p,; 24 cm

Bibliogr.

ISBN 973-578-915-9

539.4


3/259

C U P R I N S

Prefa................................................................................................................. 4

1. NOIUNI INTRODUCTIVE . 6

1.1 Solid rigid: solid deformabil .............................................................................. 61.2 Obiectul i problemele Rezistenei Materialelor ................................................ 61.3 Clasificarea corpurilor n Rezistena Materialelor ............................................. 81.4 Fore exterioare .................................................................................................. 91.5 Reazeme i reaciuni (fore de legtur) ............................................................ 111.6 Noiuni fundamentale n Rezistena Materialelor: tensiuni, deplasri,

deformaii, deformaii specifice ......................................................................... 141.7 Contracia transversal ....................................................................................... 171.8 Ipoteze de baz n Rezistena Materialelor ........................................................ 191.9 Coeficieni de siguran. Tensiuni admisibile .................................................... 21

2. FORE INTERIOARE (EFORTURI). DIAGRAME DE EFORTURI ..... 23

2.1 Definirea eforturilor n seciunea transversal a unei bare drepte ..................... 232.2 Relaii difereniale ntre eforturi i tensiuni ....................................................... 262.3 Relaii difereniale ntre eforturi i sarcini ......................................................... 272.4 Trasarea diagramelor de eforturi ........................................................................ 30

2.4.1 Diagrame de eforturi la bare drepte ................................................... 312.4.2 Diagrame de eforturi la bare cotite n plan (cadre plane) ................... 442.4.3 Diagrame de eforturi la bare curbe plane ........................................... 512.4.4 Diagrame de eforturi la bare cotite n spaiu (cadre spaiale) ............ 542.4.5 Bare solicitate prin fore concentrate mobile. Moment maxim

maximorum ........................................................................................................ 57

3. CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SUPRAFEELOR PLANE 62

3.1 Aria suprafeei plane .......................................................................................... 63

3.2 Momentul static ................................................................................................. 633.3 Momente de inerie ............................................................................................. 643.4 Raza de inerie (giraie) ...................................................................................... 663.5 Modulul de rezisten ......................................................................................... 663.6 Momente de inerie i module de rezisten pentru cteva suprafee simple ..... 673.7 Variaia momentelor de inerie fa de axe paralele ........................................... 703.8 Variaia momentelor de inerie fa de axe rotite. Direcii i momente de

inerie principale ................................................................................................. 713.9 Aplicaii .............................................................................................................. 76

4. CARACTERISTICI MECANICE ALE METALELOR . NCERCAREA

LA TRACIUNE I COMPRESIUNE A OELULUI ............................... 80

1


4/259

4.1 ncercarea la traciune a oelului de uz general .................................................. 804.2 ncercarea la compresiune a oelului .................................................................. 844.3 ncercarea la traciune a oelului aliat ................................................................ 854.4 Clasificarea materialelor n funcie de caracteristicile mecanice ....................... 87

5. TRACIUNEA I COMPRESIUNEA BARELOR DREPTE .APLICAII ....................................................................................................... 90

5.1 Tensiuni i deformaii la solicitarea axial ......................................................... 905.2 Concentrarea tensiunilor .................................................................................... 965.3 Bara de seciune constant solicitat axial cnd se ine seama i de greutatea

proprie ................................................................................................................ 985.4 Bara de egal rezisten ...................................................................................... 1015.5 Tensiuni pe o seciune nclinat la bara solicitat la traciune ........................... 1045.6 Energia de deformaie la solicitarea axial ........................................................ 1065.7 Sisteme static nedeterminate la solicitarea axial .............................................. 108

5.7.1 Sisteme de bare articulate concurente static nedeterminate ............... 1085.7.2 Sisteme de bare articulate neconcurente static nedeterminate ........... 1105.7.3 Sisteme cu inexactiti de execuie ...................................................... 1125.7.4 Bare cu seciune neomogen solicitate axial ...................................... 1165.7.5 Bare supuse variaiilor de temperatur ................................................ 119

6. FORFECAREA PIESELOR DE GROSIME MIC .................................... 126

6.1 Tensiuni i deformaii la forfecare ..................................................................... 1266.2 Calculul mbinrilor de piese ............................................................................. 128

6.2.1 Calculul mbinrilor nituite ................................................................ 1296.2.2 Calculul mbinrilor sudate ................................................................ 136

6.3 Calculul mbinrilor de piese din lemn .............................................................. 1406.4 Aplicaii la calculul mbinrilor de piese ........................................................... 143

7. NCOVOIEREA BARELOR PLANE ........................................................... 148

7.1 Tensiuni n bare drepte solicitate la ncovoiere pur .......................................... 1487.2 Forme raionale de seciune pentru solicitarea de ncovoiere ............................ 1547.3 ncovoierea cu for tietoare ............................................................................. 155

7.3.1 Tensiuni tangeniale la ncovoierea cu for tietoare ........................ 155

7.3.2 Variaia tensiunii tangeniale la suprafee simple .............................. 1597.4 Neglijarea tensiunii tangeniale la unele calcule la ncovoiere simpl ............... 1657.5 Energia de deformaie la ncovoiere pur .......................................................... 1667.6 Grinzi de egal rezisten ................................................................................... 1687.7 ncovoierea oblic a barelor drepte .................................................................... 1757.8 Tensiuni n bare curbe plane solicitate la ncovoiere pur ................................ 1787.9 Aplicaii la solicitarea de ncovoiere pur ......................................................... 186

8. TORSIUNEA BARELOR DREPTE .............................................................. 194

8.1 Momentul de torsiune (rsucire) ........................................................................ 194

8.2 Torsiunea barelor de seciune circular ............................................................. 1958.3 Torsiunea barelor de seciune dreptunghiular .................................................. 199

2


5/259

8.4 Torsiunea barelor tubulare cu perei subiri ........................................................ 2038.5 Energia de deformaie la rsucire ....................................................................... 2088.6 Dualitatea tensiunilor tangeniale. Starea de forfecare pur .............................. 2088.7 Calculul arcurilor elicoidale cu pas mic ............................................................. 2118.8 Aplicaii la solicitarea de torsiune ...................................................................... 215

9. NOIUNI DE TEORIA ELESTICITII. STAREA DE TENSIUNE

I DEFORMAIE ........................................................................................... 227

9.1 Tensorul tensiune ................................................................................................ 2279.2 Starea plan de tensiune ...................................................................................... 228

9.2.1 Tensiuni pe seciuni nclinate. Direcii principale i tensiuni principale ............................................................................................................. 228

9.2.2 Cercul lui Mohr pentru starea plan de tensiune ................................. 2329.2.3 Cazuri particulare ale strii plane de tensiune ..................................... 234

9.3 Starea plan de deformaie .................................................................................. 2359.4 Starea spaial de tensiune ................................................................................... 237

9.4.1 Tensiuni pe seciuni nclinate .............................................................. 2379.4.2 Tensiuni principale .............................................................................. 2389.4.3 Tensiuni octaedrice ............................................................................. 2429.4.4 Elipsoidul tensiunilor .......................................................................... 2429.4.5 Cercul lui Mohr pentru starea spaial de tensiune ............................. 243

9.5 Starea spaial de deformaie ............................................................................... 2449.6 Legea lui Hooke generalizat .............................................................................. 2459.7 Relaia dintre constantele elastice E, G, ........................................................... 2499.8 Energia de deformaie ......................................................................................... 251

10. BIBLIOGRAFIE .............................................................................................. 256

3


6/259

Prefa

Rezistena Materialelora aprut ca urmare a cerinelor practice legate de realizarea de

construcii durabile i economice.

Orice construcie, indiferent de tipul su, trebuie s reziste ct mai bine la sarcinile la

care este supusi n acelai timp, s fie realizat cu consum minim de material i manoper.

Realizarea unor astfel de construcii necesit o proiectare raional a tuturor elementelor

componente i asigurarea unei sigurane ridicate n funcionare.

Reducerea consumurilor specifice, constituie o cerin care st permanent n faa

proiectanilor de maini i utilaje, n vederea optimizrii acestora, att din punct de vedere al

economiei de material ct i al bunei funcionri.

Rezistena Materialelor, care face parte din disciplinele care studiaz mecanica

corpului solid, este prima chemat s pun la dispoziia inginerilor, cunotinele necesare

stabilirii formei i dimensiunilor optime ale pieselor, cu asigurarea siguranei n funcionare a

acestora.

Rezistena Materialelor, ca i alte discipline de cultur tehnic general, mbin

cunotinele teoretice cu rezolvarea unui numr ct mai mare de probleme pe ct posibil reale

i cu lucrrile de laborator. Rezolvarea problemelor de rezistena materialelor, nu poate fi

fcut fr acumularea unor cunotine teoretice temeinice. Rezult de aici importana pe care

o are disciplina de Rezistena Materialelor n pregtirea inginerului, mai ales al celui din

domeniul mecanic.Prezenta lucrare deRezistena Materialelor, se adreseaz n primul rnd studenilor de

la nvmntul tehnic i n special celor din domeniul mecanic. De altfel, lucrarea urmrete

programa analitic prevzut pentru profilul Inginerie Managerial i Tehnologic, unde

autorul pred de civa ani cursul de Rezistena Materialelor, Mecanica Plasticitii i a

Ruperii. n aceast lucrare se prezint numai acea parte a materiei care se pred pe parcursul

unui singur semestru.

4


7/259

Lucrarea poate fi consultat cu rezultate bune i de ctre inginerii din producie i mai

ales cei din proiectare i cercetare, care pe parcursul anilor din diferite motive, legtura lor cu

calculele de rezisten a fost mai slab.

Pentru o eficien superioar, pe baza noiunilor tratate, n lucrare se prezint

rezolvarea unor probleme concrete.

S-a cutat ca noiunile teoretice s fie prezentate ct mai simplu, insistndu-se mai

mult asupra fenomenelor, legilor i noiunilor fundamentale ale mecanicii corpului solid

deformabil, avndu-se n acelai timp n vedere i capacitatea de asimilare de ctre studeni a

acestor cunotine.

Toate relaiile de calcul sunt deduse pe baza unor demonstraii simple i n logica lor

fireasc.

Contient fiind de faptul c lucrarea poate fi mbuntit att n coninut ct mai ales

n prezentarea grafic, autorul mulumete tuturor acelora care vor veni cu propuneri concrete

pentru mbuntirea acesteia, ntr-o ediie viitoare.

Autorul

5


8/259

PAVEL TRIPA - REZISTENA MATERIALELOR

1. NOIUNI INTRODUCTIVE

1.1 SOLID RIGID. SOLID DEFORMABILDac un corp solid nu i modific forma i dimensiunile sub aciunea unui

sistem de fore, atunci el este un solid rigid. Dac sub aciunea sistemului defore solidul i modific forma i dimensiunile, el este unsolid deformabil.

Mecanica Corpurilor Deformabile, respectiv Rezistena Materialelorare nvedere deformabilitatea corpurilor, ceea ce-i permite s rezolve o serie de

probleme imposibil de rezolvat n Mecanica Rigidului.

1.2 OBIECTUL I PROBLEMELE REZISTENEI MATERIALELORPractica dovedete c sub aciunea forelor exterioare, orice corp solid se

deformeaz. Dac dup ndeprtarea forelor exterioare corpul revine la forma idimensiunile iniiale, se spune c este realizat dintr-un material elastic sau care o comportare elastic. Dac deformaiile corpului sunt proporionale cuforele aplicate, materialul este liniar elastic.

Rezistena Materialeloreste o disciplinde cultur tehnicgeneral, careface legtura ntre disciplinele fizico-matematice i cele de specialitate, fiind nacelai timp o continuare a Mecanicii Teoretice, ns cu unele particulariti.

n Mecanica Teoretic, corpurile solide sunt considerate rigide, adic frdeformaii, indiferent de mrimea forelor exterioare care solicit corpul.

Rezistena Materialelorintroduce un model nou, modelulsolidului deformabil.Se consider un corp solid asupra cruia acioneaz dou fore F, egale,

colineare i de sens contrar ca n Fig.1.2-1

F

F

FF

F

F

a) b) c)

Fig.1.2-1 Variante de solicitare a unui corp solid

6


9/259


Din punct de vedere al Mecanicii Teoretice, cele trei variante sunt identice:corpul este n echilibru i nu sufer deformaii. Din punct de vedere alRezistenei Materialelor, cele trei cazuri prezentate sunt diferite i anume:

Cazul a) corpul este supus unei solicitri de traciune i el se lungete,

Cazul b) corpul este comprimat i se scurteaz,Cazul c) corpul nu este solicitat i nu sufer deformaii.n ambele cazuri, corpul sub aciunea celor dou fore este n echilibru.

Rezult de aici c n cazul Rezistenei Materialelor, este important s secunoasc poziia punctului de aplicaie al forelor.

n principal, scopul Rezistenei Materialelor este acela de a stabilidimensiunile unei piese, realizat dintr-un material cunoscut, astfel ca acesta sreziste n condiii bune forelor exterioare aplicate. Aceast operaie de calculeste o operaie de dimensionare. n cazul problemelor de dimensionare secunosc for

ele aplicate, modul de rezemare al piesei, se cunoa

te materialul din

care este realizat piesa i se determin anumite caracteristici geometrice aleseciunii transversale ale acesteia. Dac piesa este dat (ca formi dimensiuni)iar forele sunt cunoscute, se face un calcul de verificare pentru a se stabili dac

piesa este sigur n funcionare. n unele situaii este cunoscut forma idimensiunile piesei, condiiile pe care aceasta trebuie s le satisfac i estenecesar s se determine mrimea forelor care pot aciona asupra acesteia. nacest caz, se face un calcul al ncrcrii capabile. Astfel n RezistenaMaterialelor, se ntlnesc trei tipuri de probleme:

probleme de dimensionareprobleme de verificareprobleme de ncrcare capabil (sau efort capabil).n rezolvarea celor trei tipuri de probleme, Rezistena Materialelor, are n

vedere urmtoarele criterii: criteriul economic; orice pies trebuie realizat cu soluia cea mai

economic din punct de vedere al consumului de material i manoper, criteriul bunei funcionri; piesa realizat trebuie s-i ndeplineasc rolul

funcional pentru care a fost realizat, un timp ct mai ndelungat.O bun funcionare a piesei, impune respectarea urmtoarelor condiii:

de rezisten, adic piesa s reziste solicitrilor la care este supus de rigiditate (deformabilitate), adic sub aciunea solicitrilor s nu

sufere deformaii care pun n pericol buna funcionare a piesei, de stabilitate, adic n timpul funcionrii, piesa s-i pstreze tot timpul

starea de echilibru stabil.Rezistena Materialelor este o disciplin care se nrudete cu o serie de altediscipline, cum ar fi: Mecanica Teoretic, Teoria Elasticitii, TeoriaPlasticitii, Teoria Stabilitii Elastice, Teoria Oscilaiilor Mecanice, ncercride Materiale, Mecanica Ruperii Materialelor etc.

7


10/259


1.3 CLASIFICAREA CORPURILOR N REZISTENA MATERIALELORClasificarea corpurilor din punct de vedere al Rezistenei Materialelor, se

bazeaz n principal pe raportul care exist ntre cele trei dimensiuni (lungime,

lime, grosime) ale acestora. Din acest punct de vedere, se disting trei maricategorii de corpuri:a) corpuri care au o dimensiune (de obicei lungimea) mult mai mare dect

celelalte dou. Aceste corpuri se numesc corpuri cu fibrmedie sau bare.Caracteristic pentru aceste corpuri este seciunea transversal i axalongitudinal(Fig.1.3-1a). Seciunea transversal este seciunea normalla axa longitudinal iar axa longitudinal reprezint locul geometric alcentrelor de greutate a seciunilor transversale.

Dup forma axei longitudinale, barele pot fi: drepte, curbe n plan, curbe nspaiu (strmbe), iar dup modul n care variaz seciunea n lungul axeilongitudinale, bare pot fi: cu seciune constant (Fig.1.3-1a) sau cu seciunevariabil(Fig.1.3-1b,c).

axa longitudinal

seciunea transversal

b)

c)a

Fig.1.3-1 Tipuri de bare drepte

Dupdestinaie i modul de solicitate,barele au diferite denumiri: cele solicitate la ntindere se numesc tirani cele solicitate la compresiune se numescstlpi cele solicitate la ncovoiere se numescgrinzi cele solicitate la torsiune se numesc arbori.

Barele care pot fi solicitate numai la ntindere i care practic nu opun nici orezisten solicitrilor transversale sau celor de compresiune, se numescfire.

b)Corpurile care au dou dimensiuni mult mai mari dect cea de-a treia(grosimea) se numesc plci (Fig.1.3-2). Ele se caracterizeaz prin

mrimea grosimii i prin forma i dimensiunile suprafeei mediane, caremparte grosimea n orice loc n dou pri egale.

8


11/259


Plcile care au grosime foarte mic i nu pot prelua sarcini transversalesau de compresiune, se numesc membrane.

Dup forma suprafeei mediane, plcile pot fi plane sau curbe (capace,cupole, planee, etc.).

c) Corpurile care au dimensiunile de acelai ordin de mrime, se numescmasive sau blocuri. n categoria acestor corpuri intr: fundaiile, bilelesau rolele de rulmeni etc.

Calculele de rezisten difer de la o grup la alta de corpuri, ele fiind maisimple n cazul barelor drepte, mai complicate la barele curbe i mai dificile la

plci i blocuri.Corpurile cu care se opereaz n Rezistena Materialelor poarti denumirea

de elemente de rezisten.

grosimeasu rafa a median

Fig.1.3-2 Elementele unei plci

1.4 FORE EXTERIOARECorpurile sau elementele de rezisten, sunt supuse aciunii unor fore sau

cupluri de fore (momente). Forele sau momentele direct aplicate asupra unuielement de rezisten se numescsarcini.

Sarcinile se pot clasifica dup mai multe criterii: Astfel:a) dupmrimea suprafeei pe care ele acioneaz, sarcinile pot fi:

concentrate (Fig.1.4-1a) repartizate sau distribuite, uniform sau cu intensitate variabil n

lungul elementului sau pe o suprafa (Fig.1.4-1b)

a) b)Fig.1.4-1 Sarcini concentrate i distribuite

9


12/259


b)dupmodul de aciune n timp, se disting (Fig.1.4-2): sarcini statice, care se aplic lent i rmn constante (Fig.1.4-2a) sarcini dinamice, care se aplic cu vitez relativ mare (Fig.1.4-2b).

Sarcinile dinamice la rndul lor pot fi: sarcini aplicate n mod brusc, ocuri sau

sarcini variabile periodice ntre o valoare minim pmin i una maxim pmax(Fig.1.4-2c).Dac pmin = 0, atunci sarcina se numete pulsatoare, iar dac pmax = -pmin,alternativ simetric.

p p p

c) duplocul de aplicare, sarcinile pot fi: de suprafasau de contur, cele care sunt aplicate din exteriorul corpului masice, care provin din masa corpului, cum sunt greutatea i forele de

ineried) n construcii, dupprovenien, sarcinile se clasific astfel: sarcini fundamentale, din rndul crora fac parte:

sarcinile permanente de intensitate constant(greutatea proprie) sarcinile utile reprezint scopul pentru care s-a realizat

construcia (greutatea autovehiculelor pe un pod) i care pot fifixe sau mobile

sarcinile accesorii (forele de inerie, forele de frecare, foreletermice etc.)

sarcinile accidentale, care acioneaz intermitent i neregulat (aciuneavntului, greutatea zpezii, fora de frnare a autovehiculului etc.)

sarcini extraordinare. Aceste sarcini acioneaz ntmpltor, dar pot aveaefecte dezastruoase (exploziile, cutremurele, inundaiile etc.).

Sub aciunea sarcinilor, n reazemele elementelor de rezisten aparfore delegtur, numite reaciuni. Sarcinile mpreun cu reaciunile formeazforeleexterioare. Att sarcinile ct i reaciunile, adic forele exterioare, se considerfore aplicate corpului i sub aciunea acestor fore, corpul este n echilibru i nel ia natere o anumit stare de solicitare.

p = const. p maxpmin

tt t

a) b) c)

Fig.1.4-2 Sarcini variabile n timp

10


13/259


1.5 REAZEME I REACIUNI (FORE DE LEGTUR). ECUAII DEECHILIBRU

ntre elementele de rezisten ale unei structuri, exist o serie de legturinumite reazeme.

n calculele obinuite de rezisten, cele mai ntlnite reazeme sunt: reazemul articulat mobil(articulaia mobil sau reazemul mobil) reazemul articulat fix (articulaia fix) ncastrarea (nepenirea).

Articulaia mobil, a crei reprezentare este prezentat n Fig.1.5-1a, permitecelor dou elemente de rezisten s se roteasc unul fa de cellalt i deasemenea o deplasare liber pe o anumit direcie. n cazul prezentat n figur,este permis deplasarea liber pe direcie orizontal. Pe direcia vertical(direcie perpendicular pe cea pe care este permis deplasarea liber),

deplasarea este mpiedicat.Articulaia fix (Fig.1.5-1b) permite rotirea elementului, dar nu permite

deplasarea acestuia pe nici o direcie.ncastrarea (Fig.1.5-1c) mpiedic orice fel de deplasare a elementului de

rezisten precum i rotirile acestuia. Acest tip de reazem se poate obine dintr-oarticulaie fix, la care se blocheaz rotirile.

a) b) c)

Fig. 1.5-1 Reprezentarea celor mai uzuale reazeme

Deoarece elementele de rezisten sunt supuse aciunii diferitelor sarcini,este firesc ca n reazeme s apar fore de legtur numite reaciuni. Mrimea iorientarea reaciunilor este dat de mrimea i orientarea sarcinilor care solicitelementul, iar direcia acestora este legat de tipul rezemului.

Dup cum este bine cunoscut, reaciunile se opun aciunii (sarcinilor) i caurmare ele apar pe acele direcii pe care micrile (deplasrile i rotirile)elementului de rezisten sunt mpiedicate.

Pentru articulaia mobil, fiind mpiedicat deplasarea pe o singur direcie,reaciunea R care apare este o for (Fig.1.5-2a) care trece prin centrularticulaiei mobile i este dirijat perpendicular pe direcia deplasrii libere areazemului (n mod obinuit pe axa grinzii).

n cazul articulaiei fixe, reaciunea care ia natere n reazem este o forRacrei direcie nu este cunoscut. Se cunoate numai punctul de aplicaie al

acesteia, care este articulaia. Pentru a putea calcula reaciunea din articulaiafix, se nlocuiete reaciunea Rprin dou componente ale sale: H orientat n

11


14/259


lungul axei longitudinale a elementului i V dirijat perpendicular pe axaelementului (Fig.1.5-2b). Aadar, articulaia fix prezint dou componente

pentru reaciuni: Hi V.ncastrarea fiind o articulaie fix la care s-au blocat toate rotirile, nseamn

c fa de articulaia fix la acest tip de reazem apare n plus un moment (cuplu)M (Fig.1.5-2c). Din acest motiv, la o ncastrare, apar trei componente dereaciuni: H paralel cu axa elementului, V perpendicular pe axa elementuluide rezisteni cuplul M. n cazul unui sistem spaial, ntr-o nepenire apar treicomponente de fore i trei cupluri (dup cele trei direcii x, y i z).

Sub aciunea forelor exterioare, un sistem este n echilibru. Valoareareacinilor se determin din condiia de echilibru a sistemului solicitat.

R

V

H

R

H

VM

a) b) c)

Fig.1.5-2 Reaciuni n principalele tipuri de reazem

Este cunoscut faptul c un sistem plan este n echilibru dac: nu se deplaseaz pe o direcie (fie x aceast direcie) nu se deplaseaz pe o direcie perpendicular pe prima (fie y aceast

direcie) nu se rotete fa de un punct al planului (fie K acest punct).Cele trei condiii enunate mai nainte sunt satisfcute dac suma proieciilor

tuturor forelor pe direcia x, respectiv y este nuli suma tuturor cuplurilor fade un punct al planului, este nul. Aceste condiii pot fi scrise sub forma unorrelaii de tipul:

( ) 0Fx=

( ) 0Fy= 1.5-1

( ) 0MK=

Sistemul de mai sus, pentru a putea fi rezolvat, poate conine maxim treinecunoscute. n cazul abordat, cele trei necunoscute sunt reaciunile. Dac sunt

mai mult de trei necunoscute (reaciuni) sistemul nu poate fi rezolvat i n acest

12


15/259


caz el este un sistem static nedeterminat. Pentru rezolvarea sistemelor staticnedeterminate, sunt necesare ecuaii suplimentare.

Determinnd reaciunile unui element de rezisten cu relaiile prezentate,nu exist o posibilitate simpl pentru verificarea corectitudinii calculului

efectuat.Pentru a avea posibilitatea verificrii corectitudinii calculului reaciunilori pentru a obine ecuaii uor de rezolvat, relaiile pentru calculul reaciunilor sevor scrie sub forma:

( ) 0Fx=

( ) 0M1K= 1.5-2

( ) 0M2K=

Valorile reaciunilor determinate cu relaiile 1.5-2 se introduc n relaia 5.2-1,

( )y

F

Dac se obine:

( ) 0F y = reaciunile sunt corect calculate1.5-3

( ) 0Fy reaciunile sunt greit calculate.

n acest ultim caz, se reface calculul.n concluzie, calculul reaciunilor pentru un sistem plan se face cu ajutorul

relaiilor 1.5-2, iar verificarea corectitudinii calculului (etap obligatorie), cu

relaiile 1.5-3.n Tabelul 1.5-1, se prezint numrul ecuaiilor de echilibru care se potscrie pentru diferite tipuri de fore.

Tabelul 1.5-1Numrul ecuaiilor de echilibruFelul forelor

De proiecii De momenteColiniare 1 -Concurente n plan 2 -Concurente n spaiu 3 -

Paralele n plan 1 1Paralele n spaiu 1 2

13


16/259


Oarecare n plan 2 1Oarecare n spaiu 3 3

1.6 MRIMI FUNDAMENTALE N REZISTENA MATERIALELOR: TENSIUNI,DEPLASRI I DEFORMAII, DEFORMAII SPECIFICE

TensiuniSe consider un element de arie dA din aria A a seciunii transversale a unui

element de rezisten i pe care acioneaz fora dF, avnd o direcie oarecare(Fig.1.6-1a). Dac elementul de arie dA este suficient de mic, fora poate fi

considerat uniform distribuit pe suprafaa acestuia, iar rezultanta dF poate fiaplicat n centrul de greutate al elementului. Mrimea efortului distribuit,aplicat pe unitatea de suprafa din aria seciunii,

dA

dFp = 1.6-1

se numete tensiune. Tensiunea p are aceeai direcie cu fora elementar dF, iarmrimea ei este determinat att de mrimea forei dF ct i de orientarea

suprafeei dA fa de direcia forei.

Tensiunea p avnd o direcie oarecare, poate fi descompus ntr-o

component pe direcia normal la seciune, tensiune normal notat cu i ocomponent n planul seciunii, tensiune tangenialnotat cu (Fig.1.6-1a).

dF

dA

A

x

y

z

xxz

p

n A

a) b)Fig.1.6-1 Tensiuni n seciunea unei bare

14


17/259


Dup sensul pe care l are, tensiunea normal are un efect de traciunesau de compresiune, exercitat de ctre partea de corp nlturat asupra priirmase. La fel, tensiunea tangenial are un efect de tiere, forfecare saualunecare.

Operaiile vectoriale nu pot fi aplicate tensiunilor, dect numai dup ceacestea au fost nmulite cu ariile respective, adic au fost transformate n fore.Din Fig.1.6-1a, rezult urmtoarea relaie ntre cele trei tensiuni:

222p += 1.6-2

Deoarece tensiunea tangenial are o direcie oarecare pe seciune,aceasta se descompune pe cele dou axe de coordonate y i z ale seciunii,rezultnd componentele: pe direcia y, respectiv xy xz pe direcia z (Fig.1.6-1b).Primul indice indic axa pe care tensiunea este normal, iar cel de-al doilea, axacu care aceasta este paralel.

n literatura de specialitate, mai ales n manualele mai vechi, pentrunoiunea de tensiune se mai ntlnete i denumirea de efort specific.

Deformaii i deplasriSe consider acum un cadru solicitat de o for F (Fig.1.6-2). Sub aciunea

forei F, tronsonul AB se deformeaz, iar tronsonul BC nu se deformeaz (nueste solicitat). Se constat c unghiul format de BC cu tangenta n B la fibra

deformat AB, nu s-a modificat, a rmas tot de 900. n schimb, toate seciunilecadrului (cu excepia seciunii A) s-au deplasat n plan. n acest exemplu auaprut dou noiuni: deformaie i deplasare.

B

A

FB C

C

Fig.1.6-2 Deplasri i deformaii

Se consider acum un corp solid raportat la un sistem de axe ortogonalxyz (Fig.1.6-3). Dup deformarea corpului, un punct oarecare M al acestuia sedeplaseaz n poziia M. Vectorul MM poart numele de vectorul deplasrii

totale.

15


18/259


Deplasarea total rezult ca o sum a deplasrilor pe trei direciiortogonale. Deplasrile pe cele trei direcii ortogonale se noteaz astfel:

z

w

yu

M

x

yM

Fig.1.6-3 Deplasrile punctelor unui corp solid

pe direcia x cu u pe direcia y cu v pe direcia z cu wDeformaii specifice

Dac se decupeaz din jurul punctului M un element de volum Fig.1.6-4a), laturile acestuia se vor lungi sau scurta, n funcie de solicitare.

Este greu de nchipuit dar mai ales de reprezentat, cum arat un astfel deelement dup deformare. Din acest motiv, se prezint deformaiile sale numai n

planul xOy, dup care este uor s se imagineze deformaiile i n celelalte plane: zOy, respectiv xOz. Proiecia acestui element n planul xOy este

prezentat n Fig.1.6-4b. Dimensiunea dx a elementului s-a modificat pe direciax cu dx. Pe direciile y respectiv z, deformaiile sunt dy, respectiv dz.

OO

dx

dy

dxdz

dy

x

z

y

x

y dx dx

a) b) c)

Fig.1.6-4 Deformaii specifice

dy

yxy

xy

xO

16


19/259


Se numete deformaie specific (lungire specificsauscurtare specific)pe direcia x, y sau z, raportul:

dx

dxx

=

dy

dyy

= 1.6-3

dz

dzz

=

De cele mai multe ori, deformaia specific se exprim n procente.Lungirea specificpoarti denumirea de alungire.

De asemenea i unghiurile drepte dintre plane se modific (Fig.1.6-4c). Senumete deformaie specific unghiular sau lunecare, mrimea cu care semodific unghiul drept dintre plane:

yxxyxy ' +=

zyyzyz ' += 1.6-4

xzzxzx ' +=

n concluzie, corpurile sufer dou feluri de deformaii specifice: liniare,respectiv unghiulare.

1.7 CONTRACIA TRANSVERSALPractica arat c odat cu lungirea unei bare, apare o micorare a mrimii

seciunii transversale, mrime numitcontracie transversal(Fig.1.7-1)

Fi .1.7-1 Contrac ia transversal

F F

17


20/259


Contracia transversal este proporional cu lungirea specific, coeficientulde proporionalitate se noteaz cu i se numete coeficient de contracietransversalsau coeficientul lui Poisson.

La o lungire specific a barei, contracia transversal este:

xytr == 1.7-1

Semnul ( - ) arat c cele dou mrimi sunt contrare, dac una crete,cealalt scade i invers.

Se consider acum o bar cilindric de lungime l i aria seciunii transversaleA, solicitat la ntindere axial. La un moment dat, lungimea barei este l(1+),diametrul d(1-), iar aria seciunii transversale A(1-)2. Dac volumul barei

nainte de solicitare a fost Al, dup solicitare el devine:

( ) ( )

( )322222

221lA

1l1AVV

+++=

=+=+1.7-2

Deoarece lungirile sunt foarte mici, ultimii trei termeni din parantez sepot neglija, obinndu-se:

( )

( ) lA21Vsau

21lAlAVV

=

+=+

1.7-3

Practica art, c o astfel de bar solicitat la ntindere, i mretevolumul, deci V > 0, de unde rezult c:

021 > 1.7-4

de unde

5,0


21/259


1.8 IPOTEZE DE BAZ N REZISTENA MATERIALELORRezistena Materialelor accept o serie de ipoteze asupra structurii

materialelor i asupra comportrii lor sub aciunea forelor exterioare. Aceste

ipoteze trebuie s fie n deplin concordan cu realitatea, iar alteori elereprezint simplificri ale fenomenelor reale, care trebuie s conduc ns larezultate verificate n practic.

Cele mai utilizate ipoteze de ctre Rezistena Materialelor, sunt:a) Ipoteza mediului continuu, omogen i izotrop. Rezistena Materialelor

consider materialele ca un mediu continuu, omogen, care ocup ntregul spaiureprezentat de volumul lor. Aceast ipotez nu corespunde ns realitii. Ea estemai apropiat de realitate la corpurile amorfe i mai deprtat la cele cristaline.D ns rezultate bune n calculele de rezisten.

De asemenea, Rezistena Materialelor consider materialele izotrope, adicele prezint n toate direciile aceleai proprieti. n caz contra, materialele suntanizotrope.

b) Ipoteza elasticitii perfecte. Aceast ipotez presupune c atta timpct solicitrile nu depesc anumite limite, materialul are o comportare elastic,adic i recapt forma i dimensiunile iniiale odat cu nlturarea sarcinilor. nrealitate, materialele nu prezint o elasticitate perfect, ele avnd deformaiiremanente mici, care ns pot fi neglijate n calculele de rezisten.

c) Ipoteza proporionalitii dintre tensiuni i deformaii specifice.Materialele solicitate n domeniul comportrii elastice, prezint relaii liniare de

proporionalitate ntre tensiuni i deformaii specifice, adic satisfac legea luiHooke ( = E ), unde E este un factor de proporionalitate, numit modul deelasticitate longitudinal al materialului.

d) Ipoteza micilor deplasri. Pentru cele mai multe corpuri, deformaiileelastice sunt de mrimi mici. Ca urmare, corpurile solide sub aciunea sarcinilori modific foarte puin forma iniial. Aceast ipotez este cunoscut i subdenumirea de ipoteza meninerii dimensiunilor iniiale. Ea permite scriereaecuaiilor de echilibru ale staticii pe starea nedeformat a elementului, cnd nuse iau n considerare deplasrile punctelor de aplicaie ale forelor care se produc

ca urmare a deformrii acestuia. Calculul efectuat pe schema nedeformat,poart numele de calcul de ordinul I.

Ipoteza micilor deplasri nu poate fi acceptat pentru studiul problemelorde stabilitate sau la problemele la care nu pot fi ndeplinite condiiile deechilibru n starea nedeformat.

Calculul de ordinul II admite ipoteza micilor deplasri, dar ecuaiile deechilibru se scriu ns pentru starea deformat a elementului de rezisten.

Calculul de ordinul III nu mai accept ipoteza micilor deplasri, elreferindu-se la cazul deformaiilor mari, cnd ecuaiile de echilibru trebuie

scrise pentru starea deformat.

19


22/259


Chiar dac materialul satisface legea lui Hooke, n urma calculelor deordinul II se obin de obicei relaii neliniare ntre sarcini i deplasri, iar pentrucalculul de ordinul III, rezult ecuaii difereniale neliniare.

e) Principiul lui Saint-Venant. Acest principiu destul de folosit n

Rezistena Materialelor, precizeaz c: dac se nlocuiesc forele careacioneaz asupra unui corp elastic cu un alt sistem de fore echivalent dinpunct de vedere static cu primul, noua distribuie a forelor produce la locul deaplicare diferene semnificative fa de prima, dar rmne fr efect sau cuefect neglijabil, la distane mari de locul de aplicare al forelor(Fig.1.8-1)

n prima variant (Fig.1.8-1a) fora F se aplic ntru-un punct (forconcentrat), iar n a doua (Fig.1.8-1b) pe o lungime mic de bar. La locul de

aplicare a sarcinii F, efectul asupra barei este cu totul diferit de la o variant lacealalt. ns, la o distan mare de punctul de aplicaie, spre exemplu nseciunea situat la distana a de captul barei sau chiar n ncastrare, ambele

bare sunt solicitate la fel.f) Ipoteza lui Bernoulli. Ipoteza lui Bernoulli sau ipoteza seciunilor

plane, precizeaz c: o seciune plan i normal pe axa barei nainte dedeformare, rmne plani normalpe axi dupdeformare (Fig.1.8-2)

F

F

a)a

b)a

Fig.1.8-1 Principiul lui Saint - Venant

F

Fig.1.8-2 Principiul lui Bernoulli

20


23/259


g) Ipoteza strii naturale a corpului, sau ipoteza absenei tensiunilor,conform creia, pentru un corp nesolicitat, starea de tensiune i deformaie estenul.

Perfecionarea mijloacelor de calcul i de investigare, pot conduce la

renunarea la unele ipoteze sau la introducerea altora noi, mai aproape de strilereale. De aici rezult caracterul de continu perfecionare a metodelorRezistenei Materialelor.

1.9 COEFICIENI DE SIGURAN. TENSIUNI ADMISIBILEO pies corespunde, dac tensiunile care iau natere n ea datorit sarcinilor

aplicate, nu depesc anumite valori limit, stabilite convenional. Aceste valorilimit ale tensiunii sunt corelate cu caracteristicile mecanice ale materialelor.

Tensiunea limit utilizat n calculele de rezisten este cunoscut subdenumirea de tensiune admisibil sau rezisten admisibil. Rezistenaadmisibilreprezintvaloarea convenionalaleasn calcul, pe baza practicii,

pentru tensiunea maxim care poate apare ntr-o pies , n condiii date demateriali solicitare.

Rezistena admisibil ( , a a) poate fi definit fa de o stare limitpericuloas, stare care trebuie evitat:

clim

a

= 1.9-1

unde:lim tensiunea corespunztoare strii limit periculoasec - coeficient de siguran fa de starea limit periculoas considerat.

Alegerea unor valori inferioare pentru rezistena admisibil fa de

tensiunea corespunztoare strii limit periculoase este necesar deoarece: cunoaterea sarcinilor este de cele mai multe ori aproximativ i odepire a acestora este foarte posibil

caracteristicile mecanice ale materialelor variaz n limite destul de mari,ele fiind influenate de muli factori

schema aleas pentru calcul (aplicarea sarcinilor, schematizareastructurii, ipotezele de calcul, etc.) deprteaz modelul fa de cel real.

Pentru calculele de verificare, tensiunea efectiv maxim din elementul derezisten trebuie s fie mai mic sau cel mult egal cu cea admisibil:

amaxef 1.9-2

21


24/259


Valoarea rezistenei admisibile este influenat de foarte muli factori:natura materialului, tratamentele termice aplicate piesei, durata de funcionarea piesei, modul de acionare n timp a sarcinilor, felul solicitrii, temperatura,

gradul de periculozitate n cazul cedrii piesei etc.

De asemenea, valoarea coeficientului de siguran se alege n principalinnd seama de aceiai factori care influeneazi rezistena admisibil.Rezistenele admisibile pentru cteva materiale sunt urmtoarele:

pentru OL37, solicitare de ntindere, compresiune sau ncovoiere: a =150 MPa

pentru lemn de brad solicitare de compresiune n lungul fibrelori ncovoiere: a =

10 MPa= 7 MPa traciune n lungul fibrelor: a

= 1,5 MPa compresiune perpendicular pe fibre: a forfecare n lungul fibrelor: a = 2 MPa= 4,5 MPa forfecare perpendicular pe fibre: a

= 0,2 ... 0,25 MPa. terenuri de fundaie din pmnt uscat sau umed: a

22


25/259

PAVEL TRIPA REZISTENA MATERIALELOR -_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. FORE INTERIOARE ( EFORTURI ). DIAGRAME DEEFORTURI

2.1 DEFINIREA EFORTURILOR N SECIUNEA TRANSVERSAL AUNEI BARE DREPTE

Se consider cazul general al unei bare ncrcat cu un sistem oarecare defore exterioare F1 ... F5, care sunt n echilibru (Fig.2.1-1a).

Secionnd bara cu un plan perpendicular pe axa longitudinal, aceasta sesepar

n dou

pri (PS-partea din stnga

i PD-partea din dreapta), ca n

Fig.2.1-1b,c). Sub aciunea forelor, cele dou poriuni nu mai sunt n echilibru.Considernd partea din dreapta (PD), pentru restabilirea echilibrului este necesars se introduc n planul seciunii (FD-faa din dreapta), o for rezultant Riun moment (cuplu) rezultant M, care s formeze un sistem echivalent cu foreleF1 ... F3 care acioneaz pe partea din stnga (PS) i care au fost nlturate.

Mrimile Ri M din seciunea transversal a barei poart numele de foreinterioare sau fore n seciune sau eforturi. Calculul sistemului R, M esteechivalent cu forele exterioare aplicate prii din corp care a fost nlturat. Lafel sistemul R, M ce acioneaz pe faa din stnga FS (Fig.2.1-1b) este

echivalent cu forele exterioare F4, F5 care acioneaz pe partea din dreapta PD

F1

F1F2

F3

F3

F2 F4

F4

F5

F5

PD

PS

FDFS

R

R

M

M

c)

a)

b)

Fig.2.1-1 Evidenierea eforturilor ntr-o bar

23


26/259


care a fost nlturat. Sistemul R, M de pe cele dou fee sunt egale i de senscontrar, ceea ce asigur echilibru ntregului corp.

Dac se consider PD (Fig.2.1-1c) asupra ei acioneaz R, M, F4i F5, carei fac echilibru. Rezult atunci c R i M se pot calcula i din condiiile de

echilibru ale prii de corp asupra creia ele acioneaz, n cazul nostru PD.Componentele Ri M se consider aplicate n centrul de greutate al seciuniibarei.

n concluzie, se poate preciza: eforturile R, M acioneaz n centrul de greutate al seciunii i sunt

analoage oricror fore exterioare aplicate barei. Acestora li se pot aplicaecuaiile de echivaleni de echilibru cunoscute din mecanica teoretic.

eforturile Ri M formeaz un sistem echivalent cu torsorul de reduceren centrul de greutate al seciunii, a tuturor forelor exterioare aplicate

prii de corp care a fost nl

turat

sau un sistem egal

i direct opus cu

torsorul forelor exterioare aplicate prii de corp care se cerceteaz.n cazul cel mai general, eforturile R i M au direcii oarecare fa de

seciune. Ele se descompun n componente pe normala la planul seciunii (peaxa barei) i n planul seciunii, rezultnd:

a) rezultanta R are o component orientat pe normala la seciune, numitfornormal sauforaxiali notat cu N, respectiv o component Tconinut n planul seciunii i numitfortietoare (Fig.2.1-2)

b)momentul (cuplul) M se descompune n momentul de torsiune Mt saumoment de rsucire, orientat dup normala la seciune i n momentulncovoietorMi coninut n planul seciunii (Fig.2.1-2)

Mrimile N, T, Mi, Mt se numesc de asemenea eforturi. Fiecare astfel de

efort, luat separat, produce n bar o anumit solicitare:

x

y

z

N

Tz

TyMt

Miz

Miy

Fig.2.1-2 Eforturile din seciunea unei bare

24


27/259


fora axial N cnd este orientat fa de seciune ca n Fig.2.1-2 produceo solicitare de traciune sau ntindere, iar dac are sens contrar, osolicitare de compresiune

fora tietoare T produce osolicitare de tiere sau de forfecare momentul de torsiune Mt producesolicitarea de torsiune sau de rsucire momentul ncovoietor Mi producesolicitarea de ncovoiere.Dac n seciunea transversal a barei se ntlnesc simultan mai multe

solicitri simple, atunci n acea seciune exist o solicitare compus. Foratietoare T avnd o orientare oarecare i fiind coninut n planul seciunii, sedescompune pe direciile y respectiv z, obinndu-se componentele Tyi Tz. Lafel i pentru momentul ncovoietor Mi se obin componentele Miy, respectiv Miz.(Fig.2.1-2). Aadar, n seciunea transversal a unui element de rezisten existurmtoarele componente de eforturi: N (efort axial), Ty, Tz

(efort tietor), Mt(moment de torsiune sau r

sucire), M

iy, M

iz(moment ncovoietor).

n realitate eforturile nu sunt concentrate n centrul de greutate al seciunii,ci sunt distribuite pe ntreaga suprafa a acesteia, eforturile reprezentndrezultantele lor.

n Rezistena Materialelor este de mare importan determinarea legii dedistribuie a eforturilor n lungul elementuluii valoarea acestora. Eforturile ngeneral difer de la o seciune la alta.

Cu cine este egal atunci valoarea unui efort dintr-o seciune transversal aunui element de rezisten ?

Fora axial n seciunea unei bare este egal cu suma algebric aproieciilor pe axa barei a tuturor forelor exterioare (inclusiv reaciunile) careacioneazasupra prii considerate ndeprtatsau de pe aceeai parte dar, cu

semn schimbat.Fora tietoare ntr-o seciune este egal cu suma algebric a proieciilor

pe normala la axa barei a tuturor forelor exterioare care acioneaz asupraprii considerate ndeprtat, sau de pe aceeai parte dar, cu semn schimbat.

Momentul ncovoietorntr-o seciune este egal cu suma algebric amomentelor ncovoietoare ale tuturor forelor exterioare, plus cuplurilencovoietoare exterioare (inclusiv ale reaciunilor) care acioneaz pe partea

consideratndeprtat, sau pe aceeai parte dar, cu semn schimbat. Momentul de torsiune (rsucire) ntr-o seciune este egal cu suma

algebric a momentelor de torsiune ale tuturor forelor exterioare, pluscuplurile de torsiune exterioare (inclusiv ale reaciunilor) care acioneaz pe

partea consideratndeprtat, sau pe aceeai parte, dar cu semn schimbat.Pentru a se face suma algebric, acestor eforturi trebuie s li se asocieze o

convenie de semn. Pentru cazul unui sistem plan, convenia de semn pozitivpentru eforturi este prezentat n Fig.2.1-3.

25


28/259


2.2 RELAII DIFERENIALE NTRE EFORTURI I TENSIUNIEforturile dezvolt ntr-o seciune a unui element de rezisten tensiuni

normale i tangeniale , a cror reprezentare este prezentat n Fig.2.2.-1a(vezi i Fig.1.6-1b). n Fig.2.2-1b sunt reprezentate eforturile din seciunea barei(vezi i Fig.2.1-2).

Componentele eforturilor se pot exprima n funcie de tensiunile de pesuprafaa seciunii transversale, rezultnd un sistem de ecuaii de echivalenntre eforturi i tensiuni, sau relaiile difereniale ntre eforturi i tensiuni:

N NT T

Mi Mi fa a din stn a

x x

fa a din drea ta

Fig.2.1-3 Convenia de semne pozitive aleeforturilor la o bar dreapt

dAz

y z xz

z

y

x

N

Tz

Ty

Mt

Miz

Miy

x

z

y

xy

a) b)Fig.2.2-1 Echivalena ntre tensiuni i eforturi

A

A

26


29/259


=A

dAN

=A

xyy dAT

=A

xzz dAT 2.2-1

=A

iz dAyM

=A

iy dAzM

( ) dAyzM xzxyt =

Relaiile 2.2-1 reprezint cele ase relaii de echivalen ntre eforturi i

tensiuni, sau relaiile difereniale ntre eforturi i tensiuni.

2.3 RELAII DIFERENIALE NTRE EFORTURI I SARCINI

Fie o bar dreapt ncrcat cu o sarcin distribuit dup o lege oarecare(Fig.2.3-1a). Pe un element de lungime infinit mic dx, se poate considera csarcina p este uniform distribuit (Fig.2.3-1a). Se detaeaz elementul delungime dx i pe feele sale se aplic eforturile, considerate pozitive (Fig.2.3-1b). Cum aceste eforturi variaz n lungul barei, pe seciunea din stngaacioneaz eforturile T i Mi, iar pe cea din dreapta T+dT i M+dMi.

x

p=const.

M+dMi

T

dx

p(x)

dx

Mi

T+dT

a) b)Fig.2.3-1 Echivalen a ntre eforturi i sarcini

27


30/259


Ecuaiile de echilibru scrise pentru elementul din Fig.2.3-1b, conduc lastabilirea unor relaii foarte importante:

( )

( ) 0dTTdxpT

0Fx

=+

=

de unde rezult:

pdx

dT= 2.3-1

Relaia 2.3-1 arat c derivata funciei forei tietoare n raport cu

abscisa seciunii, este egal cu sarcina distribuit normal la axa barei dinacea seciune, luatcu semn schimbat.

Asemntor se deduce c derivata funciei forei axiale n raport cuabscisa seciunii este egalcu sarcina distribuitaxialdin acea seciune, luatcu semn schimbat.

Suma de momente fa de centrul de greutate al seciunii din dreapta,conduce la:

( )( )

02

dxpdxTdMMM

2

iii =++

de unde dup neglijarea infinitului mic de ordinul doi (dx)2/2, se obine:

Tdx

dM i = 2.3-2

Relaia 2.3-2 arat cderivata funciei momentului ncovoietor n raportcu abscisa seciunii, este egalcu fora tietoare din acea seciune.

Dac relaia 2.3-2 se mai deriveaz nc o dat n raport cu dx, se obineurmtoarea relaie diferenial ntre eforturi i sarcini:

pdx

dT

dx

Md2

i2

== 2.3-3

Relaiile difereniale stabilite ntre eforturi i sarcini permit obinerea unorinformaii deosebit de importante cu privire la traseul diagramelor de eforturi.

28


31/259


Se prezint n continuare cteva astfel de informaii rezultate din relaiiledifereniale dintre eforturi i sarcini i de care trebuie inut seama pentruobinerea unor diagrame de eforturi corecte:

Valoarea efortului tietor ntr-o seciune reprezint tangentatrigonometric a unghiului pe care l face cu axa barei, tangenta ladiagrama Mi n seciunea respectiv.

Dacpe o poriune (interval) oarecare: efortul tietor T > 0 (pozitiv), momentul ncovoietor Mi este

cresctor efortul tietor T < 0 (negativ), momentul ncovoietor Mi este

descresctor efortul tietor T trece prin valoaarea zero schimbnd semnul

din + (plus) n (minus), atunci n acea seciune, momentul

ncovoietor Mi are un maxim, iar cnd semnul se schimbdin n +, momentul ncovoietor Mi are un minim efortul tietor T este nul (T = 0), momentul ncovoietor Mi este

constant.Dac sarcina distribuit este nul (p = 0) pe un interval (interval

nencrcat), pe acel interval efortul tietor T este constant (T =const.). Pe acest interval, diagrama momentul ncovoietor Mi estereprezentatprin drepte oblice, numai dacT nu este nul. Dacp < 0,efortul tietor T, scade.

Pe intervale ncrcate cu sarcin uniform distribuit (p = const.),diagrama Mi este o parabol , iat diagrama T o dreapt nclinat. ncazul unei distribuii neuniforme a sarcinii distribuite p, ambelediagrame (Ti Mi) sunt curbe a cror formdepinde de tipul sarcinii.

n seciunile din dreptul forelor transversale concentrate, diagrama Tprezint o discontinuitate de valoare (salt), egal cu valoarea aceleifore i produs n sensul acesteia, iar diagrama Mi prezint odiscontinuitate de tangent (o frngere, schimbare de pant) a

poriunilor vecine ale diagramei.Dac sarcina distribuit este orientat n jos (p < 0), diagrama Mi

este o curba crei convexitate este orientat n jos (Fig.2.3-3a), iardac sarcina distribuit este orientat n sus (p > 0), diagrama Mi peacea poriune are convexitatea n sus (Fig.2.3-3b).

Pe intervale ncrcate cu sarcini distribuite liniar, efortul tietor Tvariazdupo curbde gradul doi, iar momentul ncovoietor Mi dupo curb de gradul trei. Convexitatea diagramei Mi se stabilete la felca n cazul p = const. (Fig.2.3-3). Convexitatea efortului tietor T, se

stabilete uor pe baza celor cunoscute din Analiza Matematic.Pe reazemul articulat de la captul grinzii, momentul ncovoietor Mi

este egal cu zero dac pe acest reazem nu se gsete un cuplu(moment) concentrat. Dac n seciunea de la captul consolei nu este

29


32/259


aplicat o for concentrat, efortul tietor T pe consol este egal cuzero.

La captul ncastrat al barei, eforturile T i Mi sunt egale cureaciunea, respectiv momentul din ncastrare.

n os

n sus

a) b)Fig.2.3-3 Convexitatea diagramei momentului ncovoietor

n seciunile n care se aplicun cuplu concentrat (moment concentratexterior), diagrama Mi prezint o discontinuitate n valoare (salt)egal cu valoarea acelui cuplu exterior concentrat i produs n

sensul de aciune al cuplului. Asupra diagramei T, acest cuplu exterior

concentrat, nu are nici o influen.

2.4TRASAREA DIAGRAMELOR DE EFORTURIDiagramele de eforturi nu sunt altceva dect reprezentarea grafic a

funciilor eforturilor n lungul unui element de rezisten. Ca urmare, pentru a putea obine diagramele de eforturi pentru un element de rezisten, mai ntitrebuie scrise funciile eforturilor n lungul elementului. Scrierea funciilor

eforturilor se face pe cte un interval caracteristic, care este acea poriune aelementului pe care funciile de eforturi prezint o funcie unic.nainte de scrierea funciilor de eforturi i reprezentarea lor grafic, trebuie

calculate i verificate reaciunile (vezi calculul i verificarea reaciunilor,paragraful 1.5). La scrierea funciilor eforturilor pe fiecare interval caracteristic,se ine seama de convenia de semne pozitive ale acestora (vezi convenia,Fig.2.1-3)

30


33/259


2.4.1 Diagrame de eforturi la bare drepte

Pentru barele drepte din exemplele urmtoare, s se traseze diagramele deeforturi.

Exemplul nr.1 Bara simplu rezemat ncrcat cu o for concentrat(Fig.2.4.1-1)

Bara A-B este solicitat de o for concentrat F nclinat cu unghiul fa de axa longitudinal a barei

Calculul reaciunilor. Reaciunile sunt poziionate n reazeme i prezentate nFig.2.4.1-1a.

( ) 0Fx=

0cosFH A=

de unde rezult:

1xx

FF

HA A B

VA VBa

a)

bl

b)NF cos

(F b sin)/ l

T c)

(F a sin)/ l

d)Mi

(F a b sin) / l

Fig.2.4.1-1

31


34/259


H = F cosA

Pentru calculul reaciunilor VAi VB se scriu ecuaiile de momente fa de

reazemele A, respectiv B.

B

( ) 0bsinFlVM AB ==

de unde se obine

VA = (F b sin) / l

( )0asinFlVM

BA

==

de unde se obine

VB = (F a sin) / lB

Se trece acum la verificarea reaciunilor:

( )

( ) 0sinFsinbalFsin

lbFsinFsin

laF

VsinFVF BAy

=+=+=

=+=

Se poate constata c reaciunile verific ecuaia de echilibrucorespunztoare, putndu-se trece acum la trasarea diagramelor de eforturi.

Funciile de eforturi i trasarea acestora. Funciile de eforturi se vor scrie pefiecare interval caracteristic i apoi se reprezint grafic.

Pe intervalul A-1. n Fig.2.4.1-1a se prezint seciunea realizat n acest

interval i poziionat prin coordonata x. Se ine seama de convenia de semn aeforturilori n acest caz funciile eforturilor se scriu pe faa din dreapta a barei.

Efortul axial n seciunea x, este:

N = HA = F cos

rezult un efort axial constant, nu depinde de poziia seciunii x i pozitiv.Valorile pozitive pentru efortul axial se reprezint deasupra axei de valoare zero(deasupra axei longitudinale a barei). Reprezentarea grafic a efortului axial N

este prezentat n Fig.2.4.1-1b.Efortul tietor T n seciunea x, este:

32


35/259


T = VA = (F b sin) / l

de asemenea constant, pozitiv, iar reprezentarea grafic este artat n Fig.2.4.1-

1c. Valorile pozitive ale efortului tietor T se reprezint deasupra axei devaloare zero (deasupra axei longitudinale a barei).Momentul ncovoietor M din seciunea x, este:i

= V x = [(F b sin) / l ] x = (F x b sin) / lMi A

i prezint o variaie liniar (depinde liniar de poziia seciunii x). Se calculeazacum valorile momentului la capetele intervalului A-1, adic n seciunile A,respectiv 1. Se obin valorile:

pentru x = 0 , MiA = 0= (F a b sin) / l pentru x = a, Mi1

Diagrama rezultat este prezentat n Fig.2.4.1-1d. La momentul ncovoietorMi, valorile pozitive se reprezint sub axa de valoare zero (sub axa longitudinala barei), tocmai pentru ca diagrama Mi s apar totdeauna de parteafibrei ntinsea barei. Aceast observaie trebuie reinut, ea fiind de un real folos lareprezentarea diagramelor de eforturi pentru sistemele spaiale.

Se scriu acum funciile de eforturipe intervalul B-1. Se parcurge intervalulde la B spre 1 (de la dreapta spre stnga), iar funciile eforturilor se scriu pe faadin stnga (atenie la convenia de semne pozitive ale eforturilor pentru aceastfa). Se obin funciile:

pentru efortul axialN = 0

Nu exist efort axial pe acest interval. pentru efortul tietor:

T = - VB = - (F a sin) / lBefort constant, negativ. Valorile negative la efortul tietor se reprezint sub axade valoare zero (sub axa barei). Variaia efortului tietor T pe acest interval este

prezentat n Fig.2.4.1-1c.

pentru momentul ncovoietor:

33


36/259


M = VB x = [(F a sin) / l ] x = (F a x sin) / li Bvariaie liniar, valori pozitive.La capetele intervalului, valorile momentului ncovoietor, sunt:

pentru x = 0,MiB = 0

pentru x = b,Mi1 = (F a b sin) / l

Cu aceasta s-a ncheiat trasarea diagramelor de eforturi pentru exemplul

prezentat. Se poate constata c informaiile date de relaiile difereniale dintreeforturi i sarcini (legi de variaie, salturi, maxime etc) sunt satisfcute. Rezultde aici c diagramele de eforturi prezentate n Fig.2.4.1-1 sunt corecte.

Exemplul nr.2. Bara simplu rezemat ncrcat cu sarcin uniformdistribuit(Fig.2.4.1-2a)

pl / 2

pl / 2

A

p

VA

B a)x

l

T

VB

b)

l / 2

Mi

pl2 / 8

c)

Fig.2.4.1-2

34


37/259


Calculul reaciunilor. Se poate constata uor c cele dou reaciuni sunt egalei au valorile:

VA = VB = p l / 2B

Nu exist reaciune pe orizontal, deoarece pe aceast direcie nu exist niciaciune (componente orientate dup direcia axei longitudinale a barei).

Funciile i diagramele de eforturi. Pentru acest exemplu, nu exist efort axial.Bara prezint un singur interval caracteristic, intervalul A-B.

Efortul tietor T n seciunea x, se scrie pentru faa din dreapta (parteaparcurs de la A la x se consider nlturat) i are expresia:

T = VA

p x = p l / 2 p x

variaie liniar, semn pozitiv. La capetele de interval, valorile efortului tietor Tsunt:

pentru x = o,TA = VA = p l / 2

pentru x = l,TB = VA p l = p l / 2 p l = - p l / 2B

Diagrama de variaie a efortului tietor T este prezentat n Fig.2.4.1-2b.

Se observ c efortul tietor se anuleaz (este zero), iar n aceast seciunemomentul ncovoietor prezint extrem. Poziia seciunii n care T = 0, trebuiedeterminat. Ea rezult din condiia:

T = p l / 2 p x = 0

de unde rezult poziia seciunii n care efortul tietor T este nul:

x = l / 2

Aceast poziie este prezentat n Fig.2.4.1-2b.n aceeai seciune x, se scrie funcia momentului ncovoietor M :i

2M = V x p x x / 2 = (p l / 2) x p x / 2i A

Rezult o ecuaie de gradul doi, care prezint un extrem la x = l / 2. Valorilemomentului ncovoietor la capetele intervalului i valoarea extrem, sunt:

35


38/259


pentru x = 0,MiA = 0

pentru x = l / 2,2Mi extr. = Mi max = p l / 8

pentru x = l,MiB = 0

Diagrama momentului ncovoietor Mi pentru acest exemplu esteprezentat

n Fig.2.4.1-2c.

i pentru acest exemplu se verific

toate condi

iile

rezultate din relaiile difereniale dintre eforturi i sarcini.

Exemplul nr.3. Bara simplu rezemat ncrcat cu sarcin triunghiular(Fig.2.4.1-3a)

p l / 3

p l / 6

BA

ppx

x

2 l / 3

a)

FVBVA l

b)T

31/2 l / 3

31/2 pl2 / 27

Mi c)

Fig.2.4.1-3

36


39/259


ncrcarea total a barei este F = p l / 2, care are punctul de aplicaie la2l/3 de reazemul A. Cu aceast ncrcare se calculeaz reaciunile cumetodologia cunoscut, iar dup efectuarea calculelor se obin valorile:

3

lpF

3

2V

6lpF

31V

B

A

==

==

ntr-o seciune oarecare x (Fig.2.4.1-3a), sarcina distribuit areintensitatea (din asemnare):

plxpx =

Funciile i diagramele de eforturi.Efort axial nu exist.Funcia efortului tietor este:

2xA xl2

p

6

lp

2

xp

l

x

6

lp

2

xpVT

=

=

=

Rezult o variaie parabolic. La capetele intervalului A-B, valorile efortuluitietor T sunt:

pentru x = 0,TA = p l / 6

pentru x = l,T

B= - p l / 3B

Se constat c efortul tietor se anuleaz, poziia acestei seciuni rezultnd dinrelaia:

0xl2

p

6

lpT 2 =

=

de unde se obine pentru x valoarea:

37


40/259


l33

3

lx ==

Diagrama efortului tietor T este prezentat n Fig.2.4.1-3b.Funcia momentului ncovoietor M este:i

3xAi xl6

px

6

lp

3

x

2

xpxVM

=

=

La capetele intervalului i n seciunea unde efortul tietor se anuleaz,momentul ncovoietor M are valorile:i


1/2 pentru x = l / 3 = 0,577 l,

1/2 2Mi max = 3 p l / 27

pentru x = l,MiB = 0.

Diagrama momentului ncovoietor M este prezentat n Fig.2.4.1-3c.iExemplul nr. 4. Bara simplu rezemat ncrcat cu un moment (cuplu)concentrat (Fig.2.4.1-4a)

xx1

M

A B a)

a b VBVAl

T b)

-M / l

-M a / lMi c)

M b / l Fig.2.4.1-4

38


41/259


Valorile reaciunilor sunt:

VA = -VB = M / lB

Reaciunile sunt egale dar de semn contrar.Funciile i diagramele de eforturi. Pentru aceast bar exist dou intervalecaracteristice: A-1 i 1-B.

Intervalul A-1 Se parcurge bara de la stnga la dreapta, deci funciile deeforturi se scriu pe faa din dreapta.

Efortul tietor T are expresia:

T = -V = -M / lAEste constant, negativ

i nu depinde de pozi

ia sec

iunii x. Diagrama este

prezentat n Fig.2.4.1-4b.Momentul ncovoietor are expresia:

M = -Vi A x = (-M / l) x,

variaie liniar i negativ. La capetele intervalului, valorile momentuluincovoietor, sunt:


pentru x = a,Mi1 = -M a / l

Diagrama momentului ncovoietor pe acest interval este prezentat n Fig.2.4.1-4c.

Intervalul B-1 Acest interval se rezolv de la dreapta la stnga, eforturile

se scriu pentru faa din stnga (Fig.2.4.1-4a).Efortul tietor T, are expresia:

T = -VB = -M / lBEste constant i negativ. Diagrama T este prezentat n Fig.2.4.1-4b.

Momentul ncovoietor are expresia:

M = VB x = (M / l) xi B

Variaia este liniar, iar la capetele intervalului are valorile:

39


42/259


pentru x = 0,MiB = 0

pentru x = b,Mi1 = M b / l.

Diagrama momentului ncovoietor pentru acest interval este prezentat nFig.2.4.1-4c. Se verific toate condiiile rezultate din relaiile difereniale careexist ntre eforturi i sarcini.

Exemplul nr. 5. Bara ncastrat ncrcat cu o sarcin concentrat(Fig.2.4.1-5a)

Pentru aceast bar exist un singur interval caracteristic. Pentru scriereafunciilor de eforturi nu este necesar s se calculeze reaciunile, cu condiia caintervalul s fie parcurs de la stnga la dreapta (Fig.2.4.1-5a), adic scriereafunciilor de eforturi s se fac pe faa din dreapta.

Fx

l

T

Efortul tietor T, n seciunea x, are expresia:

T = - F

Este constant i negativ. Diagrama este prezentat n Fig.2.4.1-5b.Momentul ncovoietor din seciunea x, are expresia:

a)

b)

Mi

-F -F

-F l

Fig.2.4.1-5

AB

c)

40


43/259


M = - F xi

Momentul ncovoietor este negativ i are variaie liniar. La capeteleintervalului A-B, valorile momentului ncovoietor sunt:


pentru x = l,MiB = - F l.

Diagrama momentului ncovoietor M este prezentat n Fig.2.4.1-5c.i

Exemplul nr. 6. Bara simplu rezemat multiplu ncrcat(Fig.2.4.1-6a)

Scriind sum de momente fa de reazemele A i B, rezult urmtoarelevalori pentru reaciuni:

VBVA

A 21 B

2pa2 20pa

p

2a 2a 2a

10pa

x x

a)

T

-10pa

2pa

VA = 10 p a

b)

-2pa2 -2pa2

18pa2

Mi

Fig.2.4.1-6

x

c)

41


44/259


VB = 12 p aBFunciile i diagramele de eforturi.

Se ncepe spre exemplu cu intervalul A-1, care se rezolv parcurgnd bara

de la stnga la dreapta. Eforturile se scriu n acest caz pa faa din dreapta.Efortul tietor are urmtoarea funcie:

T = VA = 10 p a

i este constant i pozitiv. Diagrama este prezentat n Fig.2.4.1-6b.Efortul moment ncovoietor Mi, este:

Mi = VA x 2 p a2 = 10 p a x 2 p a2

i prezint o variaie liniar. La capetele intervalului A-1, valorile sunt:

pentru x = 0,MiA = - 2 p a

2

pentru x = 2a,

Mi1 = 18 p a2

Diagrama momentului ncovoietor M este prezentat n Fig.2.4.1-6c.i Pe intervalul 1-B. i acest interval se parcurge tot de la stnga spredreapta.

Efortul tietor prezint urmtoarea lege de variaie:

T = VA 20 p a = 10 pa 20 p a = - 10 p a

Efortul tietor este constant i negativ. Diagrama lui T este prezentat nFig.2.4.1-6b.

Momentul ncovoietor este:2 2M = V (2a + x) 2pa 20pa x = 18 pa 10 pa xi A

i prezint o variaie liniar. La capetele intervalului 1-B, valorile momentuluincovoietor, sunt:

pentru x = 0Mi1 = 18 pa

2

pentru x = 2a,42


45/259


MiB = - 2 pa2

Diagrama momentului ncovoietor pe acest interval este prezentat n

Fig.2.4.1-6c.Intervalul 2-B. Acest interval se rezolv parcurgnd bara de la dreapta lastnga (este mai uor deoarece aceast parte este mai puin ncrcat), deciscriind funciile de eforturi pe faa din stnga.

Efortul tietor T, are expresia:

T = p x

i prezint o variaie liniar.La capetele intervalului 2-B, valorile efortului t

ietor T, sunt:

pentru x = 0,T2 = 0

pentru x = 2a,TB = 2 p aB

Diagrama efortului tietor T este prezentat n Fig.2.4.1-6b.

Momentul ncovoietor M , este:i

2M = - (p x) x/2 = - p x / 2ii prezint o variaie parabolic. La capetele intervalului 2-B, valorilemomentului ncovoietor, sunt:

pentru x = 0,Mi2 = 0

pentru x = 2aMiB = - 2 p a

2

Diagrama momentului ncovoietor pe intervalul 2-B este prezentat n

Fig.2.4.1-6c.

43


46/259


Exemplul nr. 7. Diagrame de eforturi la bare cu articulaii sau tip Gerber(Fig.2.4.1-7a)

Barele de tip Gerber sau barele cu articulaii, sunt acele bare care suntlegate ntre ele prin articulaii. O astfel de articulaie are proprietatea c nu

transmite momentul (cuplul) de la bar la cealalt. Fora axial i tietoare setransmite printr-o astfel de articulaie de la o bar la alta. Rezult de aici c pentru fiecare astfel de articulaie se poate scrie cte o ecuaie suplimentar, punnd condiia ca n articulaie momentul s fie nul. Se spune c o astfel dearticulaie micoreaz gradul de nedeterminare cu o unitate.

Se prezint n continuare modul de trasare al diagramelor de eforturipentru barele cu articulaii, bare de tip Gerber.

2p

La nceput bara pare a fi static nedeterminat, existnd 4 reaciuni (3 nncastrare i una n reazemul mobil). Cum aici exist o bar de tip Gerber, narticulaia 1 momentul este nul, ceea ce ne permite s mai scriem o ecuaiesuplimentar (pe lng cele cunoscute din static). Ca urmare, acest sistem estestatic determinat.

Din ecuaia de momente din articulaia 1, se obine reaciunea dinreazemul A:

M1 = VA 2a 2p 2a a = 0

2pa

-11pa2

a

VA

B21xxx

pa

a)A

2a a 3a

T b)

-2pa

-3pa -3pa

-2pa2

c)Mi

pa2 / 2

Fi .2.4.1-7

44


47/259


de unde:

VA = 2 pa

Diagramele de eforturi pot fi scrise i fr a se mai calcula reaciunile dinncastrare, cu condiia ca cele trei intervale caracteristice s fie rezolvateparcurgndu-le de la stnga la dreapta. Astfel, funciile de eforturi se vor scriepe faa din dreapta a fiecrei seciuni x (Fig.2.4.1-7a). Efort axial nu exist penici un interval. Articulaia a servit numai pentru scrierea ecuaiei suplimentare,care ne-a ajutat la determinarea reaciunii din reazemul mobil. Scrierea funciilorde eforturi, mai departe, se va face ca i cnd articulaia nu ar exista (seneglijeaz puri simplu).

Intervalul A-1. Efortul tietor are expresia:

T = VA 2p x = 2 pa 2p x

i o variaie liniar. La capetele intervalului A-1, are valorile: pentru x = 0,

TA = 2 pa

pentru x = 2a,T1 = - 2 pa.

Diagrama T pe acest interval este prezentat n Fig.2.4.1-7b. Se constat cefortul tietor T se anuleaz pe acest interval, poziia seciunii respectivrezultnd din condiia:

T = 2 pa 2p x = 0

de unde,

x = a

Momentul ncovoietor Mi, este:

Mi = VA x 2p x x/2 = 2 pa x p x2 / 2

La capetele intervalului A-1, valorile lui Mi, sunt: pentru x = 0,

MiA = 0

45


48/259


pentru x = a,Mimax = pa

2 / 2

pentru x = 2a,Mi1 = 0.

Diagrama Mi pentru acest interval este prezentat n Fig.2.4.1-7c. Se poateobserva c n articulaia 1, momentul ncovoietor este nul.

Intervalul 1-2. Efortul tietor T, are urmtoarea expresie:

T = VA 2p 2a = 2 pa 4 pa = - 2 pa

i este constant i negativ. Diagrama corespunztoare este prezentat nFig.2.4.1-7b.

Momentul ncovoietor, prezint urmtoarea funcie:

Mi = VA (2a + x) 2p 2a (a + x) = - 2 pa x

Momentul ncovoietor este liniar. La capetele intervalului 1-2, are valorile. pentru x = 0,

Mi1 = 0

pentru x = a,Mi2 = - 2 pa

2.

Diagrama lui Mi este prezentat n Fig.2.4.1-7c.Intervalul 2-B Efortul tietor T, este:

T = VA 2p 2a pa = 2 pa 5 pa = - 3 pa

Efortul tietor este constant i negativ. Diagrama de variaie a efortului tietorpe intervalul 2-B, este prezentat n Fig.2.4.1-7b.

Momentul ncovoietor M pe intervalul 2-B are expresia:i

2M = V (3a + x) 2p 2a (2a + x) pa x = - 2 pa 3 pa xi A

La capetele intervalului 2-B momentul ncovoietor, are valorile:

pentru x = o,

46


49/259


Mi2 = - 2 pa2

pentru x = 3a,

2

MiB = - 11 paDiagrama momentului ncovoietor rezultat este prezentat n Fig.2.4.1-7c.

2.4.2 Diagrame de eforturi la bare cotite n plan (cadre plane)

Cadrele sunt sisteme de bare a cror ax formeaz o linie frnt sauramificat, iar nodurile realizeaz legturi rigide sau articulate. Un cadru esterigiddac nu permite deplasri de tipul celor care se produc n mecanisme, ci

numai deformaii i deplasri elastice. n Fig.2.4.2-1, se prezint cteva forme decadre rigide.

Pentru scrierea funciilor de eforturi la bare cotite i cadre, este indicat sse aleag un sens de parcurs al cadrului (vezi Fig.2.4.2-1). Se precizeaz c

pentru fiecare interval caracteristic se poate alege un anumit sens de parcurgere.Conveniile de semne pozitive sunt cele cunoscute de la bara dreapt. Pentru

intervalele cadrelor care sunt pe vertical, este suficient s se roteasc schema cuconvenia de semne de la bara dreapt, pn cnd aceasta se orienteaz peverticala (Fig.2.4.2-2). Procednd astfel, nu sunt dificulti n scrierea funciilori trasarea diagramelor de eforturi.

sens deparcurs

Fig.2.4.2-1

sens de parcurs

Este necesar s se mai precizeze, c atunci cnd se face suma sarcinilorsau cuplurilor exterioare, aceasta se face pentru toat poriunea de cadru situatntr-o parte sau cealalt fa de seciunea considerat, seciune n care se scriufunciile de eforturi.

Liniile de valoare zero ale eforturilor, nu mai pot fi puse sub elementul de

rezisten ca la barele drepte orizontale. n acest caz, liniile de valoare zero aleeforturilor, urmresc conturul cadrului i se aeaz separat.

47


50/259


La cadre, pentru barele verticale, poziia observatorului (cel care rezolv

problema) este astfel nct trecerea la poriunea orizontal s fie fcut fr atrece de cealalt parte a barei. Pentru cadrele cu contururi nchise, rezult c

poziia observatorului trebuie s fie n interiorul cadrului.

ObservatorObservator

Fig.2.4.2-2

Exemplul care urmeaz, clarific suficient de bine procedura de scriere aeforturilori trasarea diagramelor de eforturi la cadrele plane.

Exemplul nr. 1. S se traseze diagramele de eforturi pentru cadrul dinFig.2.4.2-3.

n Fig.2.4.2-3 se prezint sensurile n care se parcurg intervalelecaracteristice, precum i poziia observatorului fa de aceste intervale.

Convenia de semne pentru eforturi este uor de aplicat (vezi Fig.4.2.2-3).

2

3

1

p 8 pa 2

F = 4paA

B

HA

VA

VB

2a

x

xx

x

a a

a

Fig.2.4.2-3

Calculul reaciunilor a condus la urmtoarele valori ale acestora:

48


51/259


HA = 4 paVA = 5 paVB = 3 paB

Intervalul A-1 Efortul axial are expresia:

N = - VA = - 5 pa

i este constant i negativ.Efortul tietor este:

T = - HA = - 4pa

constanti negativ.

Momentul ncovoietor este:

M = - H x = - 4 pa xi ALa capetele intervalului A-1, valorile momentului ncovoietor sunt:



2

Intervalul 1-2 Efortul axial este:

N = - HA = - 4 pa

constant i negativ.

Efortul tietor are expresia:

T = VA p x = 5 pa p x

La capetele intervalului 1-2, valorile lui T sunt: pentru x = 0,

T1 = 5 pa

pentru x = 2a,

49


52/259


T2 = 3 pa

Momentul ncovoietor este:

Mi = VA x HA a p x x/2 = 5 pa x 4 pa2 2

p x /2

La capetele intervalului 1-2, valorile momentului ncovoietor sunt: pentru x = 0,

Mi1 = - 4 pa2

Intervalul B-3 Efortul axial pe acest interval este:

N = 3 pa

constant i pozitiv.Efortul tietor T i momentul ncovoietor M pe acest interval sunt nule.i

Intervalul 3-2 Efortul axial N este:

N = 3 pa

constant i pozitiv.Efortul tietor T are expresia:

T = F = 4 pa

constant i pozitiv.Momentul ncovoietor este:

M = - F x = - 4 pa xi

iar la capetele intervalului, are valorile: pentru x = 0,

Mi3 = 0


2

Diagramele de eforturi pentru acest cadru sunt prezentate n Fig.2.4.2-4.

50


53/259


5pa -4pa23pa

2.4.3 Diagrame de eforturi la bare curbe plane

n seciunile transversale ale barelor curbe plane solicitate de foreexterioare situate n planul barei, apar eforturi axiale, tietoare i momentencovoietoare. Acestea se definesc la fel ca n cazul barelor drepte.

Pentru poriunile curbe, variabila liniar x de la barele drepte nu mai poatefi utilizat. Pentru barele curbe, variabila care poziioneaz seciunea n care se

scriu funciile de eforturi este un unghi, fie el notat cu (Fig.2.4.3-1).

Dup cum se cunoate de la barele drepte, efortu

Rezistenta Materialelor - Solicitari Simple Si Teoria Elasticitatii - Pavel Tripa

Documents

Transcript of Rezistenta Materialelor - Solicitari Simple Si Teoria Elasticitatii - Pavel Tripa