1. Republica Bolivariana de Venezuela Ministerio Del Poder Popular Para La Educacin Universidad Yacambu Seccion: MAO7Integrantes: Agrela, Kenedy Suarez, Maria Dos Santos, Edgar Escorcia, Stephany Oropeza, Jiselis 2. Derivadas Implcitas.. Gottfried 6 Leibniz... Ejemplos... 8 10 Ejemplo 1.. Ejemplo 11 2.... Ejemplo ..13 3.... Ejemplo ..15 4.... Ejemplo ..17 5.... Ejercicios ..19 Propuestos...... Derivadas de Orden Superior ..21 24 Definicin... .25 Ejemplos... ...272 3. Ejemplo 1.. Ejemplo 28 2.... Ejemplo ..30 3.... Ejercicios ..32 Propuestos...... Teorema del Valor ..35 Medio.37 Definicin... .38 Ejemplos... 40 Ejemplo 1.. Ejemplo 41 2.... Ejemplo ..44 3.... Ejemplo ..47 4.... ..49 3 4. Punto Critico, Intervalos de monotona, intervalos de concavidad y puntos de inflexin.. Definicin... 52 .53 Punto Critico.... Intervalo de ..54 Monotona........... ......55 Extremos Absolutos...... .......56 De Intervalos Concavidad........ Puntos ....57 de Inflexin.............. ........58 4 5. Ejemplos 59 Ejemplo 1.... Ejemplo ..60 2.... Ejemplo ..65 3.... Ejemplo ..69 4.... Ejemplos ..74 5 79 Ejercicios Propuestos. 845 6. 6 7. 7 8. 8 9. Gottfried Wilhelm naci en Leipzig, Alemania. Se gradu y fue profesor de la universidad de Altdor. Se desenvolvi con excelencia en varios campos: Matemtica, Filosofa, Diplomaci a, etc. En 1684 se publicaron sus investigaciones de lo que seria el Calculo Diferencial e Integral. El, junto con Newton, son considerados como creadores del calculo. Invento una maquina de multiplicar.Siendo embajador de Paris, conoci a cientficos, como Huygens, quienes reforzaron su inters por la matemtica. En 1712, surgi una larga e infortunada discordia entre Newton y sus seguidores, por un lado, y Leibniz y sus seguidores, en otro lado, sobre quien de los matemticos realmente invento el calculo. Se lanzaron acusaciones mutuas de plagio y9 10. 10 11. 11 12. Derivamos trmino a trmino12 13. 13 14. (Efectuando las Derivadas)14 15. 15 16. (Efectuando las derivadas)16 17. 17 18. (Efectuando los derivados indicados)(Agrupando terminos semejantes)18 19. 19 19 20. (Efectuando los derivados indicados)(Agrupando trminos semejantes) (Factor Comn)20 21. 21 22. 1234567891022 23. 23 24. 24 25. 25 26. Al derivar una funcin f obtenemos la funcin derivada f podemos volver a derivarla obteniendo otra nueva funcin (f ) , cuyo dominio es el conjunto de todos los puntos x del dominio f para los cuales f es derivable en x; o sea todos los puntos x del dominio f para los cuales existe el siguiente limite:En vista de que f es la segunda derivada de f , a f la llamaremos primera derivada de f . 26 27. 27 28. Hallar la primera y segunda derivada de cada una de las siguientes funciones:28 29. Hallar la primera y segunda derivada de cada una de las siguientes funciones:29 30. 30 31. 31 32. 32 33. 33 34. 34 35. 35 36. 1234536 37. 37 38. 38 39. Es una propiedad de las funciones derivables en un intervalo. Algunos matemticos consideran que este teorema es el ms importante de clculo. El teorema no se usa para resolver problemas matemticos; ms bien, se usa normalmente para demostrar otros teoremas. El teorema de valor medio puede usarse para demostrar el teorema de Taylor ya que es un caso especial. El teorema del valor medio es un resultado fuerte. Gracias a l podemos obtener informacin de la funcin F a partir de su funcin derivada F'. Por ejemplo, es fcil demostrar, usando este teorema, que si F'(x) es positiva en un intervalo, entonces F ha de ser creciente en ese intervalo.39 40. 40 41. Compruebe la hiptesis del teorema del valor medio para la funcin es el. Hallar el valor de c que satisface la conclusin del teorema del valor medio.41 42. Compruebe la hiptesis del teorema del valor medio para la funcin es el. Hallar el valor de c que satisface la conclusin del teorema del valor medio.As,42 43. Ahora,Luego,43 44. Indica si la funcin f(x) = x(x-2) verifica las hiptesis del teorema del teorema de valor medio en el intervalo entre [0,1] y , en caso afirmativo encontrar el punto intermedio cuya existencia segura el teorema.44 45. Indica si la funcin f(x) = x(x-2) verifica las hiptesis del teorema del teorema de valor medio en el intervalo entre [0,1] y , en caso afirmativo encontrar el punto intermedio cuya existencia segura el teorema.Tenemos que:f(1) = -1 ,f(0) = 0y f ' (x) = 2x - 2Luego el punto pedido es: A(1/2, -3/4)45 46. Por lo tanto la grafica del Teorema del valor medio nos queda de la siguiente manera:46 47. Hallar un punto de la curva y = x2 donde la tangente es paralela a la cuerda de extremos los puntos (0, 0) y (2, 4).47 48. Hallar un punto de la curva y = x2 donde la tangente es paralela a la cuerda de extremos los puntos (0, 0) y (2, 4).Es decir, el punto es: A(1, 1).48 49. Indica si la funcin f(x) = 2x + sen x verifica las hiptesis del teorema de valor medio en el intervalo [0, ] y, en caso afirmativo, encontrar el punto intermedio cuya existencia asegura el teorema.49 50. Indica si la funcin f(x) = 2x + sen x verifica las hiptesis del teorema de valor medio en el intervalo [0, ] y, en caso afirmativo, encontrar el punto intermedio cuya existencia asegura el teorema. La funcin f(x) = 2x + sen x es continua en el intervalo [0, ] y derivable en (0, ) , por ser la suma de dos funciones continuas y derivables en R. tenemos que: f() = 2 , f(0) = 0 y f ' (x) = 2 + cosx Existe un punto c(0, ) tal que:Luego el punto pedido es: A(/2, 1+ ) 50 51. .51 52. 52 53. 53 54. Es cualquier valor en el dominio en donde la funcin no es diferenciable o cuando su derivada es 0. El valor de la funcin en el punto crtico es un valor crtico de la funcin. Estas definiciones admiten generalizaciones a funciones de varias variables, mapas diferenciables entre Rm y Rn, y mapas diferenciables entre variedades diferenciables.Es importante notar que f(c) debe estar definida para que el nmero c sea un valor crtico. Enunciamos en seguida dos importantes teoremas. Teorema: Si una funcin f(x) tiene un extremo relativo en un nmero c, entonces c es un valor crtico.Ejemplo: La funcin (x) = x2 + 2x + 3 es diferenciable en todo lugar, con la derivada (x) = 2x + 2. Esta funcin tiene un nico punto crtico 1, debido a que es el nico nmero x0 para el cual 2x0 + 2 = 0. Este punto es un mnimo global de . El correspondiente valor crtico es (1) = 2. La grfica de es una parbola cncava hacia arriba, el punto crtico es la abscisa del vrtice, donde la lnea tangente es horizontal, y el valor crtico es la ordenada del vrtice y puede ser representado por la interseccin de esta lnea tangente y el eje y. 54 55. Observemos la grfica de abajo, en ella tenemos una funcin creciente y se han trazado varias rectas tangentes en distintos puntos, los ngulos que forman todas estas tangentes son siempre ngulos cuyas medidas estn comprendidas entre 01 y 901 y por tanto su tangente siempre es positiva, tendremos entonces que siempre que la funcin sea creciente la derivada tiene signo positivo o es cero..Por otro lado sea ahora la grfica de otra funcin decreciente, se tiene entonces que todas las tangentes trazadas a dicha grfica forman siempre ngulos comprendidos entre 901 y 1801 y por tanto la derivada en esos puntos ser siempre negativa, es decir, si la funcin es decreciente la derivada tiene que tener signo negativo o ser cero.55 56. Toda funcin continua en un intervalo cerrado tiene extremos absolutos (mnimo absoluto y mximo absoluto). El estudiante puede verificar grficamente el teorema 2 intentando dibujar la grfica de una funcin que sea continua en [a, b] y que no posea extremos absolutos en [a, b]. Cada intento lo llevar a la conviccin de que la propiedad enunciada en el teorema, siempre se cumple.Extremos absolutos Sea f(x) una funcin definida en un intervalo I, los valores mximo y mnimo de f en I (si los hay) se llaman extremos de la funcin. Se distinguen dos clases: Un nmero f(c) es un mximo absoluto de f si f(x) f(c) para todo x en el intervalo I. Un nmero f(c) es un mnimo absoluto de f si f(x) f(c) para todox en el intervalo I. 56 57. Una funcin es cncava en un intervalo de su dominio cuando: Dados dos puntos cualesquiera de dicho intervalo x1 y x2, el segmento que une los puntos (x1, f(x1)) y (x2, f(x2)) siempre queda por debajo de la grfica. Una funcin es convexa en un intervalo de su dominio cuando: Dados dos puntos cualesquiera de dicho intervalo x1 y x2, el segmento que une los puntos (x1, f(x1)) y (x2, f(x2)) siempre queda por encima de la grfica. Si f y f' son derivables en a, la funcin es:Cncava Si f''(a) < 0 Convexa Si f''(a) > 0 57 58. Un punto de inflexin es un punto donde los valores de x de una funcin continua pasa de un tipo de concavidad a otra. La curva "atraviesa" la tangente. Matemticamente la derivada segunda de la funcin f en el punto de inflexin es cero, o no existe.58 59. 59 60. Dada la funcin, hallar:a.) Numero critico ; b.) Intervalos de Monotona (ascendientes c.) Los Extremos ; y decrecientes). e.) Puntos de Inflexin.d.) Intervalo de Concavidad60 61. Dada la funcin, hallar:a.) Numero critico ; b.) Intervalos de Monotona (ascendientes c.) Los Extremos ; y decrecientes). e.) Puntos de Inflexin.d.) Intervalo de Concavidada.) Nmeros Crticos (Derivando)(Igualamos a con la derivada y despejamos a ; x )Luego, los numero crticos son Y 61 62. b.) Intervalos de MonotonaDecrecienteCrecienteDecrecientec.) Extremos Absolutos Si observamos el cuadro anterior podemos observar que segn el criterio de la funcin derivada es:62 63. d.) Intervalo de la Concavidad63 64. Los nmeros crticos de segundo orden son: 0, 6, 2DecrecienteCrecienteDecrecientee.) Puntos de Inflexin64 65. Dada la funcin, hallar:a.) Numero critico ; b.) Intervalos de Monotona (ascendientes c.) Los Extremos ; y decrecientes). e.) Puntos de Inflexin.d.) Intervalo de Concavidad65 66. Dada la funcin, hallar:a.) Numero critico ; b.) Intervalos de Monotona (ascendientes c.) Los Extremos ; y decrecientes). e.) Puntos de Inflexin.d.) Intervalo de Concavidada.) Nmeros Crticos66 67. b.) Intervalos de MonotonaCrecienteDecrecientec.) Extremos Relativos Observando el cuadro anterior por el criterio de la funcin derivada podemos ver que:67 68. d.) Intervalos de Concavidade.) Puntos de Inflexin68 69. Dada la funcin, hallar:a.) Numero critico ; b.) Intervalos de Monotona (ascendientes c.) Los Extremos ; y decrecientes). e.) Puntos de Inflexin.d.) Intervalo de Concavidad69 70. Dada la funcin, hallar:a.) Numero critico ; b.) Intervalos de Monotona (ascendientes c.) Los Extremos ; y decrecientes). e.) Puntos de Inflexin.d.) Intervalo de Concavidada.) Nmeros Crticos70 71. b.) Intervalos de MonotonaCrecienteDecrecienteCrecientec.) Extremos Relativos Observando el cuadro anterior, segn el criterio de la funcin derivada, tenemos que:71 72. d.) Intervalos de ConcavidadDecrecienteCreciente 72 73. e.) Puntos de Inflexin73 74. Dada la funcin, hallar:a.) Numero critico ; b.) Intervalos de Monotona (ascendientes c.) Los Extremos ; y decrecientes). e.) Puntos de Inflexin.d.) Intervalo de Concavidad74 75. Dada la funcin, hallar:a.) Numero critico ; b.) Intervalos de Monotona (ascendientes c.) Los Extremos ; y decrecientes). e.) Puntos de Inflexin.d.) Intervalo de Concavidada.) Nmeros Crticos75 76. b.) Intervalos de MonotonaDecrecienteCrecientec.) Extremos Relativos Observando el cuadro anterior por el criterio de la funcin derivada podemos ver que:76 77. d.) Intervalos de Concavidad77 78. DecrecienteCrecientee.) Puntos de Inflexin78 79. Dada la funcin, hallar:a.) Numero critico ; b.) Intervalos de Monotona (ascendientes c.) Los Extremos ; y decrecientes). e.) Puntos de Inflexin.d.) Intervalo de Concavidad79 80. Dada la funcin, hallar:a.) Numero critico ; b.) Intervalos de Monotona (ascendientes c.) Los Extremos ; y decrecientes). e.) Puntos de Inflexin.d.) Intervalo de Concavidada.) Nmeros Crticos80 81. b.) Intervalos de MonotonaDecrecienteCrecienteDecrecienteCrecientec.) Extremos Relativos Observando el cuadro anterior por el criterio de la funcin derivada podemos ver que:Mnimos LocalesMximo local 81 82. d.) Intervalos de ConcavidadNmeros crticos de segundo ordeny 82 83. CrecienteDecrecienteCrecientee.) Puntos de Inflexin83 84. 84 85. Dada las siguientes funciones, hallar: a.) Numero critico ;b.) Intervalos de Monotona (ascendientes y decrecientes).c.) Los Extremos ; e.) Puntos de Inflexin.d.) Intervalo de Concavidad1234585