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Sociedad Mexicana de Ingeniería EstructuralSociedad Mexicana de Ingeniería Estructural

DESARROLLO DE UN MODELO EQUIVALENTE DE AGRIETAMIENTO EN ELEMENTOS PRISMÁTICOS COMO ARTICULACIONES EN VIGAS

Aldo Mendoza Díaz1 y Gelacio

Juárez Luna

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RESUMEN

Se desarrolla un modelo equivalente de agrietamiento en elementos prismáticos sólidos para modelarse como

articulaciones en elementos viga. El modelo equivalente se formuló con base en la energía de fractura necesaria para

generar la discontinuidad completa de una sección transversal del elemento prismático, equivalente al área debajo de

la curva carga contra desplazamiento, calculada del modelado numérico de elementos prismáticos sujetos al colapso.

Esta energía es igual a la que se disipa en una articulación, correspondiente al área debajo de la curva momento

contra salto de la rotación. Se presentan ejemplos para validar el modelo momento-salto rotación propuesto.

ABSTRACT

An equivalent model of cracking in prismatic solid elements for modeling as hinges in beam elements is developed.

The equivalent model was formulated based on the fracture energy necessary to generate a complete discontinuity of

a prismatic element cross-section, equivalent to the area under the load-displacement curve, computed from the

numerical modeling of prismatic elements under collapse. This energy is equal to the dissipated energy into a hinge,

corresponding to the area under a moment- jump rotation curve. Some examples are presented to validate the

proposed moment-jump rotation model.

INTRODUCCIÓN

Las estructuras son capaces de disipar aquella energía que producen acciones que superan su resistencia; parte de esa

energía de deformación se libera en forma de discontinuidades como grietas, fracturas o líneas de deslizamiento en

los elementos estructurales, dependiendo del tipo del material. El nivel de daño en los elementos estructurales

después de alcanzar la carga última depende del comportamiento constitutivo del material con el cual están

fabricados. Los materiales más empleados en ingeniería de la construcción son el acero y el concreto, el primero de

ellos, después de alcanzar el esfuerzo de fluencia presenta un fenómeno llamado “endurecimiento por deformación”

en el que ocurre un incremento en los esfuerzos que no es proporcional a los incrementos de deformación; mientras

que, el concreto, después de alcanzar su carga última, presenta el fenómeno de “ablandamiento por deformación”, el

cual se caracteriza por la disminución de los esfuerzos en el material con un incremento en las deformaciones debido

a la propagación del agrietamiento.

En elementos marco de concreto reforzado y de acero, el daño se modela como la formación de articulaciones

plásticas (Baker y Heyman 1969, Jirásek y Bazant 2002), como la que se muestra en la Figura 1, esta suposición se

hace considerando que el eje neutro de la viga aproximadamente se mantiene en el centro geométrico del peralte de

la sección, debido a que se tiene la misma resistencia a tensión y compresión del acero. Esta suposición deja de ser

válida cuando se tienen elementos de concreto simple y presforzados, puesto que al iniciar el daño, el concreto tiene

diferente resistencia a tensión y a compresión, por lo que la posición del eje neutro se mueve hacia la zona en

compresión. Esta zona se idealiza como una articulación para vigas de Bernoulli, dislocación o una combinación de

ambas para vigas de Timoshenko.

1 Alumno del Posgrado en Ingeniería Estructural. Universidad Autónoma Metropolitana, Unidad Azcapotzalco, Av. San Pablo

180, México D.F. 02200. Teléfono: (55) 5318-9455; Fax: (55) 5318-9458; [email protected] 2 Profesor del Departamento de Materiales. Universidad Autónoma Metropolitana, Unidad Azcapotzalco,Av. San Pablo 180,

México D.F. 02200. Teléfono: (55) 5318-9085; Fax: (55) 5318-9085; [email protected]

mailto:[email protected]

mailto:[email protected]

XIX Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Puerto Vallarta, Jalisco, 2014

Figura 1 Saltos en una articulación: a) rotación, b) dislocación y c) ambas (adaptado de Juárez y Ayala 2012).

Uno de los primeros trabajos experimentales fue el de Korneling y Reindhart (1983) quienes probaron una viga

simplemente apoyada de concreto simple de sección constante y con ranura en la mitad de su longitud, la cual

sometieron a una carga en el centro del claro, que se inducía mediante desplazamientos aplicados gradualmente en la

dirección negativa del eje vertical. Carpinteri (1988) determinó cargas de colapso en vigas de concreto simple,

utilizando un modelo de grieta cohesiva para analizar la propagación del agrietamiento; observó que la forma de la

curva carga contra desplazamiento cambia por la variación del tamaño de escala de la sección transversal, pero

manteniendo la relación de aspecto de la viga, de este modo la rama de ablandamiento es más inclinada cuando se

incrementa el tamaño, y para escalas iguales o mayores a dos, la rama de ablandamiento tiende a ser positiva, lo cual

se conoce como snapback. Jirásek (1997) desarrolló elementos viga con articulaciones inelásticas capaces de

modelar el ablandamiento debido a los daños en marcos de edificios bajo cargas críticas. Comparó el

comportamiento del modelo con soluciones analíticas de estructuras simples, también presentó una aplicación para

análisis inelástico de marcos de varias crujías, dependiendo de la relación de rigidez viga-columna sobre un

parámetro real de ductilidad. Concluyó que pueden ocurrir varios modos de falla, desde distribuidos en un área o

volumen hasta altamente localizados en una línea o área, esto conduce a un tipo especial de efecto de tamaño en la

carga umbral, la cual se evalúa numéricamente y se relaciona con soluciones analíticas en situaciones extremas

(límite elástico y límite plástico).

Para considerar el colapso de vigas por la formación de articulaciones en materiales que presentan ablandamiento, las

formulaciones de Armero y Ehrlich (2006) y Juárez y Ayala (2012) de elementos vigas de Euler-Bernoulli con

discontinuidades requiere de una ley constitutiva momento-salto, M-[|θ|], como la que se muestra en la Figura 2a;

otras formulaciones como las de Ehrlich y Armero (2004) y Juárez y Ayala (2012), proponen vigas de Timoshenko

con discontinuidades que requieren no sólo de una ley constitutiva M-[|θ|] , sino también de una ley que represente el

cortante y el salto del desplazamiento transversal, V-[|θ|], como la que se muestra en la Figura 2b. Estos trabajos

suponen un valor del módulo de ablandamiento discreto, pendiente negativa, sólo para mostrar que la formulación de

elementos funciona, pero no tienen un sustento teórico o experimental. Por lo anterior, que en este artículo se

desarrolla teóricamente los parámetros necesarios para determinar los modelos constitutivos M-[|θ|] y V-[|θ|], los

cuales se sustentan en la densidad de energía de fractura, definida como la energía necesaria para crear una superficie

unitaria. Los modelos constitutivos se validan con ejemplos numéricos de elementos prismáticos discretizados con

elementos vigas y con elementos finitos sólidos, cuyos resultados son congruentes. Se varió la relación peralte entre

longitud de los elementos prismáticos para visualizar aquellos que fallan en flexión, por la formación de una

articulación, como se muestra en la Figura 1a, y por la formación de una dislocación o combinación de ambas, como

se muestra respectivamente en las Figuras 1b y c.

En los elementos prismáticos discretizados con elementos sólidos se utilizó un modelo constitutivo de daño, que

considera un comportamiento constitutivo del concreto con diferente resistencia en compresión y tensión (Méndez y

Juárez, 2012), el cual permite asignar la densidad de energía de fractura de manera independiente y no presenta

problemas de atoramiento de esfuerzos, El modelado de los elementos prismáticos se realizaron en el programa

FEAP, acrónimo de su nombre en inglés Finite Element Analysis Program (Taylor, 2008). Se modeló el

colapso de vigas simplemente apoyadas, vigas en voladizo y doblemente empotradas.

[ ] [ w ][ w ] [ ] y

a) b) c)

3


Figura 2 Modelo constitutivo: a) M-[|θ|] y b) V-[|θ|] (adaptado de Juárez-Luna y Ayala 2012)

DETERMINACIÓN CARGA DE INICIO AGRIETAMIENTO EN VIGAS

En secciones transversales rectangulares de concreto, el cálculo de la carga en la que inicia el agrietamiento, Pa,

puede obtenerse del análisis de distribución lineal de esfuerzos, como el mostrado en la Figura 3, donde se tiene una

sección rectangular de peralte 2d y ancho b. Cuando el material se encuentra en su intervalo elástico, la magnitud del

esfuerzo a compresión en el extremo superior es igual al de tensión en el extremo inferior, tal que el eje neutro

coincide con el eje del centro geométrico de la sección; sin embargo, cuando el concreto alcanza su esfuerzo último a

tensión en las fibras extremas, el esfuerzo a compresión puede seguir desarrollándose en el intervalo elástico lineal,

en consecuencia, el eje neutro cambia de posición desplazándose hacia la zona a compresión. Posteriormente, se

alcanza el esfuerzo último a compresión, tal que se tiene un comportamiento no lineal en la parte superior e inferior

de la viga, manteniéndose el eje neutro en la zona de esfuerzos a compresión. Esto se debe a que la resistencia a

compresión del concreto es de diez a veinte veces su resistencia a compresión.

Figura 3 Distribución lineal de esfuerzos en intervalo elástico

En el intervalo elástico lineal, la carga equivalente Pe se obtiene de los volúmenes de esfuerzo mostrados en la Figura

3, multiplicando el área del triángulo por su espesor, i.e.,

2

e

bdP

(1)

dónde σ es el esfuerzo dentro del intervalo elástico.

Las fuerzas Pe actúan a un tercio del borde superior e inferior respectivamente como se muestra en la Figura 3. La

magnitud del momento equivalente Me, se obtiene multiplicando Pe, dado en la ec. (1) , por la distancia entre ellas,

4d/3, teniéndose:

22

3e

bdM

(2)

Cuando la magnitud del esfuerzo σ alcanza el esfuerzo último en tensión σut, se tiene de la ec. (2) la magnitud del

momento en el que inicia el agrietamiento Ma, tal que:

22

3

ut

a

bdM

(3)

[ ]a)

uM

M

[ ]MS

[ w]b)

uV

V

[ w]VS

S S

d

d

b

ut

uc

E.N.

E.N.


En este artículo se estudian vigas con tres diferentes tipos de apoyo y cargas que producen distintos diagramas de

momento como se muestran en la Figura 4a una viga simplemente apoyada con carga al centro del claro, como la que

se muestran en la Figura 4a, tiene un momento máximo:

4

a

m

P LM (4)

Igualando la ec. (4) con la ec. (3) y despejando Pa, se tiene que la carga en la que inicia el agrietamiento de una viga

simplemente apoyada:

28

3

ut

a

bdP

L

(5)

Una viga en voladizo con carga en su extremo derecho, como la que se muestran en la Figura 4b, tiene un momento

máximo:

m aM P L (6)

Igualando la ec. (6) con la ec. (3) y despejando para Pa, se obtiene la carga en la que inicia el agrietamiento de una

viga en voladizo:

22

3

ut

a

bdP

L

(7)

Una viga doblemente empotrada a la que se le impone un desplazamiento Δa, como se muestran en la Figura 4c, tiene

un momento máximo:

2

6 a

m

EIM

L

(8)

Igualando la ec. (8) con la ec. (3) y despejando Δa, se obtiene el desplazamiento en la que inicia el agrietamiento de

una viga doblemente empotrada:

2 22

18

uT

a

bd L

EI

(9)

Finalmente, la carga en la que inicia el agrietamiento para una viga con doble empotramiento que es desplazada en

su extremo se calcula como:

3

12 a

a

EIP

L

(10)

Figura 4 Momentos máximos en vigas: a) simplemente apoyada, b) en voladizo y c) doblemente empotrada

L

P

[M]

Mm

a)

L

[M]

P

Mm

b)

L

[M]

a

Mm

Mm

c)

5


MODELOS SÓLIDOS

En esta sección se realizan modelado numérico de vigas simplemente apoyadas, en voladizo y doblemente

empotradas discretizadas con elementos sólidos en 2D, en las cuales se varió la relación de aspecto h/L para estudiar

el efecto de daño en vigas delgadas y vigas gruesas. Se consideran las recomendaciones de las Normas Técnicas

Complementarias de Diseño de Estructuras de Concreto (NTCC-04, 2004), de acuerdo a la sección de diseño por

cortante, donde se considera como viga gruesa si h/L>0.2 y viga delgada en cualquier otro caso. Análogamente se

considera esta misma relación para el caso de placas gruesas (CSI, 2009), siendo L la longitud del claro más corto.

EJEMPLO DE VALIDACIÓN

Este ejemplo consiste en una viga de concreto sin acero de refuerzo simplemente apoyada una ranura en la mitad de

su longitud, como se muestra en la Figura 5, la cual fue probada experimentalmente por Korneling y Reinhardt

(1983). La viga se somete a una carga en el centro del claro, la cual se induce en el modelo mediante

desplazamientos aplicados gradualmente en la dirección negativa del eje vertical. Las propiedades mecánicas del

concreto son: módulo elástico E=20,000 MPa (203,943.3 kgf/cm2), relación de Poisson υ=0.2, esfuerzo máximo a

tensión σt=2.4 MPa (24.5 kgf/cm2), esfuerzo máximo a compresión σc=24 Mpa (245 kgf/cm

2) y densidad de energía

de fractura Gf= 113 N/m (0.00115kgf/ cm2)

Figura 5 Viga simplemente apoyada con ranura a la mitad de su longitud

La malla utilizada en el modelado en 2D, mostrada en la Figura 6a, constan de elementos sólidos cuadriláteros de 4

nodos con cuatro puntos de integración de Gauss. En la Figura 6b se observa que el daño se concentra en la vecindad

de la punta de la ranura, donde inicia la falla, el cual se propaga hacia la parte superior.

Figura 6 Malla estructurada en 2D: a) no deformada, b) dañada

La curva carga desplazamiento obtenida mediante la simulación numérica y la curva de resultados experimentales

(Korneling y Reinhardt, 1983) se muestran en la Figura 7, observándose que en el intervalo elástico tienen el mismo

comportamiento y en el intervalo no lineal la curva se encuentra dentro de la envolvente de los resultados

experimentales, por lo que se valida el modelo constitutivo del concreto para simular su comportamiento a la falla.

x

y

100

450

Acot:mm

50

P

225 225100

5


Figura 7 Curvas carga contra desplazamiento

VIGAS SIMPLEMENTE APOYADAS

Se presentan ejemplos de vigas simplemente apoyadas, en los que se utiliza una malla estructurada de elementos

cuadriláteros sólidos, como se muestra en la Figura 8, con cuatro puntos de integración de Gauss. Se aplican

gradualmente desplazamientos en los dos nodos superiores del elemento que se encuentra en la parte media superior

del claro hasta que se produce la falla. La relación de aspecto h/L se mantuvo constante, variando el tamaño de escala

para h= 10, 20, 40 y 80 cm y L=4h, en los que se consideró un espesor b=10cm y b=h. Las propiedades utilizadas

para el material son: módulo elástico E= 3922660 N/cm2 (39226.6 MPa), relación de Poisson υ=0.2, esfuerzo

máximo a tensión σt=392.266 N/cm2 (3.9226 MPa), esfuerzo máximo a compresión σc=3922.66 N/cm

2 (39.226

MPa), y energía de fractura Gf= 0.980665 N/cm (10 kgf/m) Esta viga fue también analizada por Carpinteri (1988)

utilizando el modelo de agrietamiento discreto, colocando elementos de interfaz al centro de la viga, pues consideró

que la discontinuidad ocurriría en esta zona donde se concentran las deformaciones mayores.

Figura 8 Geometría de la viga

En la Figura 9 se presenta la configuración de la malla deformada en 2D para cada tamaño de escala: h=10, 20, 40 y

80 cm respectivamente y constan de 245 elementos sólidos cuadriláteros. Se realizó un mallado más fino en la parte

central donde existe concentración de deformaciones y se propaga la falla.

Figura 9 Malla deformada a) h=10 cm, b) h=20 cm, c) h=40 cm y d) h=80 cm

00

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

500

1000

1500

2000

Resultados

experimentales

Modelo 2D

(DTC)

P (

N)

d (mm)

P

L=4h

h

7


En la Figura 10¡Error! No se encuentra el origen de la referencia. se presentan las curvas carga contra

desplazamiento obtenidas del análisis numérico, se puede observar en la Figura 10a que las curvas carga contra

desplazamiento de las vigas, todas con espesor b=10 cm, tienen la misma pendiente en el intervalo elástico. Las

vigas con peralte h=20, 40 y 80 cm presentan una recuperación en los desplazamientos o “snapback” en el intervalo

inelástico y al aumentar el tamaño de escala, la carga máxima es mayor debido a que se requiere más energía para

crear la discontinuidad del área de la sección transversal. En la Figura 10b se presentan las curvas carga contra

desplazamiento de vigas con un espesor b=h, en la cual se puede apreciar que las pendientes de las curvas son

distintas en el intervalo lineal y la carga máxima es h/10 veces mayor que para vigas con espesor b=10 cm y se

presenta en el mismo desplazamiento, también para h=20, 40 y 80 cm se obtienen curvas con snapback. En las

Figura 10c a Figura 10e se puede observar una comparación de las curvas carga contra desplazamiento de vigas con

el mismo peralte pero con distinto espesor, b=10 cm y b=h, donde se muestra que la pendiente del intervalo elástico

y la carga máxima de b=h es mayor que para b=10, ésta aumenta en proporción al incremento del área de la sección

transversal, pero se mantiene en el mismo desplazamiento.

(a) b=10 cm

(b) b=h

(c) b=10 cm y b=h=20 cm (d) b=10 cm y b=h=40 cm

(e) b=10 cm y b=h=80 cm

Figura 10 Curvas carga contra desplazamiento de vigas simplemente apoyadas

0.10 0.20 0.30 0.40 0.500.00

10

20

30

40

50

60

70

P(kN)

d(mm)

h=10

h=20

h=40

h=80

h=10

h=20

h=40

h=80

0.10 0.20 0.30 0.40 0.500.00

d(mm)

110

220

330

440

550

P(kN)

d(mm)

P(kN)

h=20, b=10

h=20, b=20

0.0 0.1 0.2 0.3

10

20

30

40

0.0 0.1 0.2 0.3

26

d(mm)

P(kN)

52

78

104

130

h=40, b=10

h=40, b=40

0.0 0.1

110

d(mm)

P(kN)

220

330

440

550

0.2 0.3 0.4 0.5

h=80, b=10

h=80, b=80


VIGAS EN VOLADIZO

En este ejemplo se estudia una viga en voladizo como la mostrada en la Figura 11, la cual tiene un espesor constante

de 20 cm. Se realizaron modelos de esta viga en voladizo, en los que se varió la razón h/L= 0.2, 0.25, 0.33, 0.5, 1.0 y

2.0, considerando constante el valor del peralte h=30 cm; se aplicó una carga en el extremo derecho mediante

desplazamientos graduales. Las propiedades del concreto utilizadas son: módulo elástico E=20,000 MPa (203,943.3

kgf/cm2), relación de poisson υ= 0.2, esfuerzo máximo a tensión σt=2.4 MPa (24.5 kgf/cm

2), esfuerzo máximo a

compresión σc=24 MPa (245 kgf/) y densidad de energía de fractura Gf= 113 N/m (0.00115kgf/ cm2).

Figura 11 Viga en voladizo

En la Figura 12 se presenta la configuración deformada de la malla en 2D para cada relación de aspecto h/L= 0.2,

0.25, 0.33, 0.5, 1.0 y 2.0, las cuales constan de 1280, 1024, 768, 512, 256 y 128 elementos sólidos cuadriláteros,

respectivamente. En las Figuras 12a-e se observa que el tipo de falla presentada es por flexión, la cual se propaga

verticalmente de arriba hacia abajo en los elementos unidos al empotramiento; mientras que en la Figura 12f presenta

una falla por cortante; sin embargo, este elemento no es considerado como viga, ya que la longitud de su eje no

predomina sobre las otras dimensiones. Las curvas carga contra desplazamiento de vigas en voladizo se muestran en

la Figura 13, donde se observa que a mayor relación h/L, la carga última es mayor, correspondiente a un

desplazamiento menor pero el área debajo de las curvas es la misma en todos los casos, ya que la energía necesaria

para generar el agrietamiento es la misma en todos los casos, puesto que el área de la sección es igual.

Figura 12 Malla deformada en 2D para vigas en voladizo: a) h/L=0.2, b) h/L=0.25, c) h/L=0.33, d) h/L=0.5, e) h/L=1.0 y f) h/L=2.0

Figura 13 Curvas carga contra desplazamiento de vigas en voladizo

L

h

P

h

0.00

7.5

P(kN)

d(mm)0.30 1.50

15.0

22.5

30.0

37.5

45.0

0.60 0.90 1.20

h/L = 2.00

h/L = 1.00

h/L = 0.50

h/L = 0.33

h/L = 0.25

h/L = 0.20

9


VIGAS DOBLEMENTE EMPOTRADAS

Una viga doblemente empotrada de espesor 10 cm, como la mostrada en la Figura 14, se varió el tamaño de escala:

h=10, 20, 40 y 80 cm, aplicando desplazamientos gradualmente en el extremo derecho, las propiedades utilizadas

para el concreto son: módulo elástico E= 3922660 N/cm2 (39226.6 MPa), relación de Poisson υ = 0.2, esfuerzo

máximo a tensión σt=392.266 N/cm2 (3.9226 MPa), esfuerzo máximo a compresión σc=3922.66 N/cm

2 (39.226 MPa)

y densidad de energía de fractura Gf= 0.980665 N/cm (10 kgf/m).

Figura 14 Viga doblemente empotrada

En la Figura 15 se muestra la configuración deformada de las mallas en 2D para cada tamaño de escala: h=10, 20, 40

y 80 cm, respectivamente, que constan de 1120 elementos sólidos cuadriláteros. En estos casos la falla se presenta en

los bordes paralelos a los empotramientos, donde se realizó una malla más fina. Se observa que la falla es antimétrica

debido a que ésta comienza simultáneamente en el extremo superior izquierdo y el extremo inferior derecho.

Figura 15 Malla deformada de vigas doblemente empotradas: a) h=10 cm, b) h=20 cm, c) h=40 cm y d) h=80 cm

Las curvas carga contra desplazamiento de vigas doblemente empotradas se muestran en la Figura 16, donde se

observa que la magnitud de la carga última incrementa al aumentar el tamaño de escala; sin embargo, las curvas

presentan desplazamientos asociados a valores de carga negativa en su intervalo inelástico, lo cual puede explicarse

mediante la Figura 17 donde se muestra el estado de esfuerzos en el cual la viga con h=10 cm se ha desplazado hasta

0.5 mm, la esquina superior izquierda e inferior derecha están sujetas a esfuerzos de tensión, mientras que las

restantes están sometidas a esfuerzos de compresión. La zona de tensión, la cual es mayor, se muestra en color rojo,

por lo tanto la zona de compresión corresponde al resto de los colores, i.e., azul, amarillo y verde. La reacción

correspondiente a los elementos en tensión es mayor a la reacción de compresión, en consecuencia, la reacción

cambia de sentido, por lo que la curva carga contra desplazamiento exhibe tales valores de carga negativos.


Figura 16 Curvas carga contra desplazamiento de vigas doblemente empotradas

Figura 17 configuración deformada de vigas doblemente empotradas

MODELOS CONSTITUTIVOS APROXIMADOS

En esta sección se desarrolla los modelos constitutivos aproximados como el mostrado en la Figura 2a. Esta

metodología se basa en la energía de fractura necesaria para agrietar toda la sección transversal de una viga, como la

que se muestra en la Figura 18a, la cual debe ser consistente con la energía liberada cuando se forma una

articulación, como la que se muestra en la Figura 18b, que corresponde a la energía debajo del diagrama M-[|θ|]

cuando la falla es por flexión y al área debajo del diagrama cortante contra salto de desplazamiento, V-[|w|], cuando

la viga falla por cortante (Figura 2b); sin embargo solo se presentan modelos M-[|θ|], ya que sólo una “viga” mejor

considerada como placa tuvo falla por cortante. La energía , Ef, necesaria para agrietar la sección prismática, se

calcula como:

f t fE A G (11)

donde At es el área bruta de la sección transversal y Gf es la densidad de energía de fractura. Esta energía liberada

debe ser consistente con el área debajo del diagrama carga contra desplazamiento, Ec, tal que:

c fE E (12)

Figura 18 Geometría de: a) sección completamente dañada y b) modelo aproximado como articulación

MODELOS EQUIVALENTES CON ABLANDAMIENTO LINEAL

En la Figura 19a se muestra la curva M-[|θ|] con ablandamiento lineal, cuya área debajo de la recta debe ser

consistente con la energía liberada Ef. En la Figura 19b se muestra una línea secante a la curva M-[|θ|], la cual

0.00

4

P(kN)d(mm)

h=10

h=20

h=40

h=80

1.00 2.00 3.00 4.00

8

12

16

20

-4

-8

-12

AArticulación

a) b)

Ath

b

h

k

t

11


representa la rigidez rotacional, kθ, de un resorte equivalente en la zona de daño (articulación), como la que se

muestra en la Figura 18b, la rigidez kθ no está acotada cuando no existe daño, pero cuando el salto aumenta [|θ|] la

rigidez kθ decrece. Tomando como referencia la Figura 19a, se determina el valor del salto de rotación último, que se

calcula como:

2 f

uu

E

m (13)

donde mu es el momento máximo se determina con las ecs. (4), (6) o (8) según sea el caso.

Figura 19 Variación del momento contra salto de rotación: a) energía y b) rigidez del resorte rotacional

La recta que describe el momento en función del salto de rotaciones en la Figura 19a es una ecuación, la cual se

puede expresar como:

uM m HEI (14)

donde H es el módulo de ablandamiento discreto que controla la caída de la recta y se obtiene como:

u

u

mH

EI

(15)

La rigidez k , es la pendiente de la línea secante que inicia en el origen y que intersecta la curva M([|θ|]), como se

muestra en la Figura 19b, cuya función es:

uM m

k HEI

(16)

Curva equivalente carga contra desplazamiento

Se puede idealizar una curva equivalente carga contra desplazamiento con ablandamiento lineal como se muestra en

la Figura 20, obtenido con elementos viga. La curva, se puede obtener por geometría, ya que consta de dos líneas

rectas: la primera de ellas denota la zona elástica, la cual se calcula con la unión del origen (0, 0) y el punto (δa, Pa),

donde δa es el desplazamiento al cual inicia el agrietamiento, el cual depende de las condiciones de apoyo y la

ubicación de la carga. Para una viga simplemente apoyada con carga al centro del claro, el desplazamiento δa es:

3

48

a

a

P L

EI (17)

El desplazamiento δa para una viga en voladizo con carga en el extremo libre es:

3

3

a

a

P L

EI (18)

El desplazamiento δa para una viga doblemente empotrada que es desplazada en alguno de sus empotramientos, se

expresa como:

3

12

a

a

P L

EI (19)

M

00

[ ][ ]

u

Ef

M

00

[ ][ ]

u

k

M ([ ])

a) b)

mu mu

M ([ ])


La carga de agrietamiento, Pa, se obtiene con las ecuaciones (4), (6) o (8) según sea el caso. La segunda recta denota

la zona inelástica y basta con trazar una línea del punto (δa, Pa) al punto (0, δT), donde δT es el desplazamiento total y

se calcula como:

T a u (20)

δu es el desplazamiento último y se obtiene geométricamente como:

2 f

u

a

E

P (21)

Figura 20 Diagrama idealizado carga contra desplazamiento con ablandamiento lineal

MODELOS EQUIVALENTES CON ABLANDAMIENTO EXPONENCIAL

De la misma forma que en ablandamiento lineal, la energía disipada en la articulación se puede aproximar mediante

una función exponencial que describe el momento en función del salto, como se muestra en la Figura 21, tal que:

( )H

uM m e

(22)

El módulo de ablandamiento discreto H se obtiene integrando la curva M([|θ|]), la cual debe ser igual a la energía de

fractura de la sección, i.e.,

0

H

u fm e d E

(23)

Desarrollando la ec. (23) y despejando el parámetro H:

( ) (0)

0

H

H Hu u

f

m e me e E

H H

(24)

1

1u

fH

mE

H e

(25)

u

f

mH

E (26)

La rigidez k , es la pendiente de la línea secante que inicia en el origen y que intersecta la curva M([|θ|]) como se

muestra en la Figura 21b, tiene como función:

H

uM m e

k

(27)

P

a

Pa

T

13


Figura 21 Variación del momento contra salto: a) energía y b) rigidez del resorte rotacional

Curva equivalente carga contra desplazamiento

La curva equivalente carga contra desplazamiento con ablandamiento exponencial se muestra en la Figura 22, en la

cual la recta de la zona elástica se calcula de manera similar que para ablandamiento lineal. Puesto que la zona

inelástica inicia en el punto (δa, Pa) y que es una ecuación exponencial en la que su caída está controlada por un

módulo de ablandamiento discreto H, se plantea la siguiente expresión:

( ) H

aP P e a (28)

Para obtener el parámetro de ablandamiento H se integra de ec. (28) de cero a infinito y se iguala a la energía Ef:

0

H

a fP e d E

(29)

desarrollando la integral de la ec. (29) y despejando H:

( ) (0)

0

HH Ha a

f

P e Pe e E

H H

(30)

1

1a

fH

PE

H e

(31)

a

f

PH

E (32)

Figura 22 Diagrama idealizado carga contra desplazamiento con ablandamiento exponencial

M0

0[ ]

[ ]u

Ef

M

00

[ ][ ]

u

k

M ([ ])

a) b)

mu mu

M ([ ])

P

a

Pa


EJEMPLOS

Ejemplo 1

Se retoma la viga simplemente apoyada mostrada en la Figura 8, con espesor de 10 cm, h=10 cm y longitud L=4h,

sometida a la acción de una carga en el centro de su claro con momento último mu=1086.06 Nm. La energía para

agrietar la sección se determina como:

0.9866f fE G A Nm (33)

El valor del salto de rotación último se determina con la ec. (13):

2

0.0018f

uu

Erad

m (34)

La inercia de la sección transversal es:

3

4(0.1 )(0.1 )8.33 6

12

m mI E m (35)

el módulo de ablandamiento discreto H se calcula con la ec. (15) como:

11.846u

u

mH m

EI

(36)

La curva M([|θ|]) con ablandamiento lineal se obtiene con la ec. (14) y la curva de rigidez del resorte rotacional se

obtiene de la ec. (16), como se muestran respectivamente en la Figura 23.

Para obtener el modelo equivalente momento contra salto de rotación con ablandamiento exponencial se calcula el

parámetro H con la ec. (32):

1107.5u

f

mH

E (37)

De manera análoga, se obtiene la función M([|θ|]) con ablandamiento exponencial con la ec. (22) y la rigidez del

resorte rotacional se calcula con la ec. (27), como se muestran respectivamente en la Figura 23.

La curva momento contra salto con ablandamiento lineal y exponencial se muestra en la Figura 23a, la curva de

variación de la rigidez del resorte rotacional contra el salto con ablandamiento lineal, la cual es igual a la de

ablandamiento exponencial se muestra en la Figura 23b, donde se observa que cuando la rigidez tiende a infinito, no

se ha producido salto en la rotación, es decir, aún no existe agrietamiento; sin embargo, a medida que el salto

aumenta, la rigidez se degrada hasta ser nula.

Figura 23 Modelos equivalentes: a) momento contra salto y b) rigidez rotacional

Para obtener la recta de la zona elástica de la curva carga contra desplazamiento se traza una línea del origen (0,0) al

punto (δa, Pa), calculando la carga de inicio de agrietamiento con la ec.(5):

286538

3

ut

a

bdP N

L

(38)

el desplazamiento de inicio de agrietamiento se obtiene por medio de la ec. (17):

3

6

9

12

k (

MN

-m/r

ad)

15

00 0.0015

[ ] (rad)

M (k

N-m

)

1.5

00

[ ] (rad)

0.5

1.0

a) b)

0.0005 0.0010.00150.0005 0.001

Ablandamiento linealAblandamiento exponencial

15


3

0.02748

a

a

P Lmm

EI (39)

Para definir la zona inelástica del diagrama con ablandamiento lineal basta con trazar una línea del punto (δe, Pa) a la

coordenada (0, δT). El desplazamiento δu, se obtiene con la ec.(21):

2

0.3f

u

a

Emm

P (40)

Por lo que el desplazamiento total, se calcula con la ec. (20):

0.027 0.3 0.327T mm mm mm (41)

Para obtener la zona inelástica de la curva con ablandamiento exponencial, se calcula H con la ec. (32):

16627a

f

PH m

E

(42)

aplicando la ec. (28) se tiene que:

6627( ) 6538H

aP P e e 0.027 0.327mm mm (43)

La curva carga contra desplazamiento obtenida con una aproximación con elementos sólidos, elementos viga con

ablandamiento lineal, y elementos viga con ablandamiento exponencial se muestra en la Figura 24. Se puede apreciar

que la carga máxima soportable es aproximadamente 1.6Pa.

Figura 24 Comparación de curvas carga contra desplazamiento

En la Tabla 1se presenta la comparación de las magnitudes de las cargas de vigas simplemente apoyadas con relación

h/L constante y longitud L=4h. Obteniéndose un promedio para el cálculo de la carga última como: Pu≈1.4Pa.

Tabla 1 Comparación de cargas de vigas simplemente apoyadas de longitud L=4h

h Pu (N) Pa (N) Pu/Pa

10 10875 6538 1.66

20 19264 13075 1.47

40 32277 26150 1.23

80 63222 52301 1.21

Ejemplo 2

Este ejemplo consiste de una viga en voladizo de relación h/L=0.2 con momento último mu=10458 Nm mostrada en

la Figura 11, los modelos equivalentes momento contra salto de rotación con ablandamiento lineal y exponencial se

muestran en la Figura 25a y la rigidez rotacional lineal, la cual es la misma que la exponencial en la Figura 25b.

0.100.05 0.200.15 0.25

2

4

6

8

P (

kN

)

10

0.00

12

d (mm)

0.30

Elemento SólidoElemento viga con ablandamiento linealElemento viga con ablandamiento exponencial


Figura 25 Modelos equivalentes: a) momento contra salto de rotación y b) rigidez rotacional

La comparación de curvas carga contra desplazamiento con elementos sólidos, elementos viga con ablandamiento

lineal y elementos viga con ablandamiento exponencial se muestran en la Figura 26. Se puede observar que la carga

máxima soportable es 1.45Pa.

Figura 26 Comparación de curva carga contra desplazamiento con modelos equivalentes

En la Tabla 2 Se presenta la comparación de cargas de vigas en voladizo de peralte constante. Se puede observar que

la carga última es aproximadamente 1.5 veces la carga de agrietamiento (Pu≈1.5Pa), excepto para la viga de relación

h/L=2, la cual se puede considerar como placa.

Tabla 2 Comparación de cargas de vigas en voladizo de peralte constante

h/L Pu (N) Pa (N) Pu/Pa

2.00 40074 48000 0.83

1.00 36094 24000 1.50

0.50 17618 12000 1.47

0.33 11650 8000 1.46

0.25 8714 6000 1.45

0.20 6972 4800 1.45

50

k (

MN

-m/r

ad)

M (k

N-m

)

15

00 0.0005 0.001 0.0015

[ ] (rad)

5

10

a)

100

150

200

250

00 0.00120.0004 0.008

b)


[ ] (rad)

2

P (

kN)

4

6

8

1.00 2.00 3.000.00

d(mm)

Elemento Sólido

Elemento viga con ablandamiento lineal

Elemento viga con ablandamiento exponencial

17


Ejemplo 3

Una viga doblemente empotrada de espesor b= 10cm, peralte h=40 cm y longitud L=4h, con momento último

mu=10460.26 Nm, mostrada en la Figura 14. Los modelos equivalentes momento contra salto de rotación con

ablandamiento lineal y exponencial se muestran en la Figura 27ª y la rigidez rotacional lineal que es la misma que la

exponencial se muestra en la Figura 27b.

Figura 27 Modelos equivalentes: a) momento contra salto de rotación y b) rigidez rotacional

La comparación de curvas carga contra desplazamiento con elementos sólidos, elementos viga con ablandamiento

lineal y elementos viga con ablandamiento exponencial se muestran en la Figura 28. Se puede apreciar que la carga

máxima soportable es 0.75Pa.

Figura 28 Comparación de curva carga contra desplazamiento con modelos equivalentes

La comparación de carga de agrietamiento y la carga última obtenida del análisis numérico de vigas doblemente

empotradas de relación h/L constante se presenta en la Tabla 3. Se puede observar que la carga última en todos los

casos es igual al 75 por ciento de la carga de agrietamiento Pa. Esto es: Pu≈0.75Pa.

100

k (

MN

-m/r

ad)

0

[ ] (rad)

M (k

N-m

)

15

0

[ ] (rad)

5

10

a) b)

0.00060.0002 0.0004


0.0008

200

300

400

500

0.00060.0002 0.0004 0.00080 0

Elemento Sólido

Elemento viga con ablandamiento lineal

Elemento viga con ablandamiento exponencial

4

8

12

0.50 1.00 1.500.00

d(mm)

P (k

N)


Tabla 3 Comparación de cargas de vigas doblemente empotradas de longitud L=4h

h(cm) Pu (N) Pa (N) Pu/Pa

10 2440 3268 0.75

20 4913 6538 0.75

40 9750 13075 0.75

80 19500 26150 0.75

CONCLUSIONES

En este trabajo se desarrolló un modelo equivalente del agrietamiento en elementos prismáticos sólidos para

representarse como un modelo aproximado de articulaciones en elementos viga, obteniéndose las siguientes

conclusiones:

Los resultados numéricos obtenidos con el modelo constitutivo del concreto con superficie de fluencia DTC

son consistentes con los resultados experimentales reportados en la literatura, pues se observó que

representa adecuadamente el ablandamiento que presenta el concreto.

El efecto de snapback se presenta en vigas simplemente apoyadas y en voladizo con relación de aspecto

h/L>0.6 cuando se mantiene constante el valor de la longitud, y en tamaños de escala críticos.

Se desarrollaron únicamente modelos constitutivos M-[|θ|], ya que el tipo de falla que se presentó en las

vigas analizadas numéricamente fue por flexióna excepción de una “viga” en voladizo que por sus

dimensiones puede ser mejor considerada como placa.

La carga de inicio de agrietamiento propuesta define el punto en el cual culmina la zona elástica del

diagrama carga contra desplazamiento para vigas simplemente apoyadas y en voladizo, ya que en estos

ejemplos fue menor a la obtenida de las simulaciones numéricas; sin embargo, para vigas doblemente

empotradas, la carga de inicio de agrietamiento resultó mayor que la carga obtenida del análisis numérico.

La carga de inicio de agrietamiento se utilizó en la realización de las curvas equivalentes carga contra

desplazamiento con elementos viga con ablandamiento lineal y exponencial.

Los modelos momento contra salto de rotación representan correctamente la evolución de la articulación en

elementos de concreto simple, ya que cuando no existe salto en el campo de las rotaciones el momento que

soporta es máximo y a medida que se genera el salto, la rigidez se degrada hasta que ya no se transmite

momento.

AGRADECIMIENTOS

El primer autor agradece al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACyT) por la beca otorgada para sus

estudios de Maestría; el segundo autor agradece al proyecto “MA022-13 Análisis de losas de concreto e

implantación de elementos finitos con discontinuidades embebidas” auspiciado por la Universidad Autónoma

Metropolitana (UAM); y ambos autores agradecen las facilidades proporcionadas a por la UAM para la realización

de este trabajo.

REFERENCIAS

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