Resume du cours d’Analyse III-IV

jean-eloi.lombard@epfl.ch

14 juin 2009

Table des matieres

1 Analyse Vectorielle 31.1 Integrales Curvilignes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Courbes dans Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2 Changement de representation parametrique . . . . . 41.1.3 Arc oriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.4 Chemins orientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.5 Chemin ferme dans R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Integrales de surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.1 Surface de R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.2 Changement de representation parametrique . . . . . 71.2.3 Nappes orientees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.4 Nappe avec un bord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Integrales par partie et theoreme de Green . . . . . . . . . . . 91.3.1 Operateurs differentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3.2 Integration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3.3 Theoreme de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4 Theoreme de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4.1 Nappes avec un bord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4.2 Integration par parties, theoreme de Stokes . . . . . . 11

1.5 Theoreme de la divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.6 Champs qui derivent d’un potentiel . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.6.1 Potentiel scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.6.2 Potentiels vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.6.3 Fonction harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Separation de variables 17

3 Analyse Complexe 193.1 Fonctions exponentielles et logarithmiques . . . . . . . . . . . 213.2 Primitives et integrales curvilignes . . . . . . . . . . . . . . . 233.3 Serie entieres et series de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . 243.4 Singularites isolees et residus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.4.1 Singularites isolees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1

3.4.2 Zeros d’une fonction holomorphe . . . . . . . . . . . . 293.4.3 Residus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.4.4 Calcul d’integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4 Transformee 344.1 Transformee de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.1.1 Notions elementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.1.2 Inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.1.3 Derivees et convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.1.4 Resolution d’equations differentielles . . . . . . . . . . 36

4.2 Transformee de Fourrier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2

Chapitre 1

Analyse Vectorielle

1.1 Integrales Curvilignes

1.1.1 Courbes dans Rn

Definition 1.1 (Homeomorphisme) SoitA ⊂ Rn,B ⊂ Rm et α : A→ B.α est un homeomorphisme entre A et B si :

1. α est continue

2. α est bijective

3. α−1 : B → A est continue

Definition 1.2 (Arc regulier, representation parametrique reguliere)Un sous-ensemble C ⊂ Rn est un arc regulier s’il existe une fonction α : J → Cverifiant :

1. J est un intervalle ouvert de R2. α : J → C est un homeomorphisme

3. α ∈ C1(J,Rn) et α′(t) 6= 0 pour tout t ∈ J .

α est une representation parametrique reguliere.

Definition 1.3 (Tangente a C) La droite tangente a C au point α(t) estdonnee par :

α(t) + λα′(t) λ ∈ R

Definition 1.4 (Integrale Curviligne) Soit C un arc regulier de Rn etf : C → R une fonction continue sur C. L’integrale curviligne de f sur Cest : ∫

Cfds =

∫Jf(α(t))‖α′(t)‖dt

ou α : J → C est une representation parametrique reguliere de C.

3

Remarque 1.1 L’integrale∫C fds existe lorsque

∫J f(α(t))‖α′(t)‖dt converge

Remarque 1.2 La longueur de C est donnee par∫C fds avec f = 1, soit∫

C ‖α′(t)‖dt.

1.1.2 Changement de representation parametrique

Theoreme 1.1 Soit C un arc regulier de Rn et α : J → C une representationparametrique reguliere de C. Alors une fonction β : K → C est une representationparametrique reguliere de C si et seulement si :

1. K est un intervalle ouvert

2. il existe un homeomorphisme φ : K → J tel que φ ∈ C1(K) et φ′ 6= 0

3. β(s) = α(φ(s)).

Corollaire 1.1 Soit α : J → C, β : K → C deux representations pa-rametriques regulieres de l’arc regulier C et f : C → R. Alors l’integralessur C de f ne depends pas de la representation parametrique choisie :∫

Cf(α(t))‖α′(t)‖dt =

∫Cf(β(s))‖β′(s)‖ds

1.1.3 Arc oriente

Definition 1.5 (Champs continu de tangentes unitaires) Soit C unarc oriente de Rn. Un champs continu de tangentes unitaires sur C est unefonction T : C → Rn verifiant :

1. T est continue

2. ‖T (P )‖ = 1 pour tout P ∈ C3. P + λT (P ) avec λ ∈ R est une equation de la tangente a C en P .

Remarque 1.3 Soit α : J → C une representation parametrique regulierede C, alors un champ continu de tangentes unitaires a C en P est definipar :

T (P ) = Tα(α(t)) =α′(t)‖α′(t)‖

∀t ∈ J

Remarque 1.4 On en deduit qu’il n’y a que deux champs continu de tan-gentes unitaires pour un arc C “dependant du sens dans lequel C est par-couru”, d’ou la definition 1.6.

Definition 1.6 (Arc regulier oriente) Un arc regulier C avec un choixde champs continu de tangentes unitaires T est un arc regulier oriente note(C, T ) ou ~C.

4

Definition 1.7 (Integrale curviligne) Soit (C, T ) un arc regulier orientede Rn et f : C → Rn un champs vectoriel continu sur C. L’integrale curvi-ligne de f sur C est : ∫

(C,T )f · ds =

∫C〈f, T 〉ds

Remarque 1.5 Si α est une representation parametrique reguliere de (C, T )alors : ∫

(C,T )f · ds =

∫J〈f(α(t)), α′(t)〉dt

1.1.4 Chemins orientes

Definition 1.8 (Chemin regulier) Soit P 6= Q ∈ Rn. D ⊂ Rn est unchemin regulier de P vers Q si il existe un intervalle compact [a, b] etα ∈ C1([a, b],Rn) representation parametrique de D verifiant les proprietessuivantes :

1. Im(α) = D

2. α|(a,b) est une representation parametrique de C = D\P,Q.3. α(a) = P et α(b) = Q

4. α′(a) 6= 0 et α′(b) 6= 0

Definition 1.9 (Chemin) D ⊂ Rn est un chemin entre P et Q lorsqu’ilpeut-etre exprime comme ∪ni=1Di avec les Di verifiant :

1. Di est un chemin regulier entre Pi et Pi+1

2. P1 = P et Pn+1 = Q

3. Di ∩Di+1 = Pi+14. Di ∩Dj = ∅ si |i− j| ≥ 2

Definition 1.10 (Chemin ferme) D ⊂ Rn est un chemin ferme lorsqu’ilpeut etre exprime comme D = D1 ∪D2 avec

1. D1 et D2 deux chemins d’extremites P et Q.

2. D1 ∩D2 = P,Q

Definition 1.11 (Chemin ferme oriente) Un chemin ferme D est orientesi le chemin oriente (D1, T1) va de P vers Q et (D2, T2) va de Q vers P .

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1.1.5 Chemin ferme dans R2

Theoreme 1.2 (de Jordan) SoitD un chemin ferme de R2. Le complementairede D, R2\D, est l’union de deux parties connexes disjointes dont l’une estbornee (l’interieur) et l’autre non (l’exterieur).

Definition 1.12 (Orientation positive/negative) Soit (D,T ) une orien-tation deD et (Ci, Ti) un arc regulier oriente tel que Ci ⊂ D et Ti(P ) = T (P ) = (p, q)pour tout P de Ci. Cette orientation est dite positive si le repere (N(P ), T (P ))est direct, negative sinon.

Remarque 1.6 Sur une representation graphique usuelle de R2 cette conven-tion correspond a :

1. l’orientation de D est positive dans les sens contraire aux aiguillesd’une montre

2. en se “promenant la tete vers le haut suivant l’orientation positive deD” l’interieur se trouve a gauche

Definition 1.13 (Champs de normales unitaires exterieurs) Soit Dun chemin ferme de R2, N : D → R2 est un champs de normales unitairesexterieurs a D si N(P ) est une normale unitaire exterieur a D en P .

Definition 1.14 (Flux) Soit D un chemin ferme de R2, N : D → R2 unchamps de normales unitaires exterieurs sur D. Le flux d’un champs vectorielcontinu f : D → R2 a travers D vers l’exterieur est :

φf =∫D〈f,N〉ds

1.2 Integrales de surface

1.2.1 Surface de R3

Definition 1.15 (Nappe reguliere) S ⊂ R3 est une nappe reguliere lors-qu’il existe une fonction α : Ω→ S verifiant :

1. Ω est ouvert et connexe 1 dans R2

2. α : Ω→ S est un homeomorphisme

3. α ∈ C1(Ω,R3) et ∂1α(s, t), ∂2α(s, t) sont lineairement independants2

pour tout (s, t) ∈ Ω.

α est une representation parametrique reguliere de S.1Un ensemble Ω est dit connexe par arc si pour tout deux elements a et b de Ω il

peuvent etre joint par un chemin de Ω d’extremite a et b.2dans R3 ∂1α(s, t), ∂2α(s, t) sont lineairement independants si et seulement si

∂1α(s, t) ∧ ∂2α(s, t) 6= 0

6

Definition 1.16 (Plan tangent et normale) Clairement ∂1α(s, t)∧∂2α(s, t)est normal au plan et ∂1α(s, t), ∂2α(s, t) sont tangents au plan.

Definition 1.17 (Champs de normales unitaires a une surface) SoitS une nappe reguliere de R3. Un champs continu de normales unitaires surS est une fonction N : S → R3 verifiant :

1. N continue

2. ‖N(P )‖ = 1 pour tout P ∈ S3. P +N(P )⊥ est le plan tangent a S en P pour tout P ∈ S.

Si α : Ω → S est une representation parametrique reguliere de S alors lechamps continu de normales unitaires engendre par α est :

Nα(P ) =∂1α(s, t) ∧ ∂2α(s, t)‖∂1α(s, t) ∧ ∂2α(s, t)‖

P = α(s, t)

Definition 1.18 (Integrale de surface) Soit S une nappe reguliere deR3 et f : S → R une fonction continue. L’integrale de f sur S est :∫

Sfdσ =

∫Ωf(α(s, t))‖∂1α(s, t) ∧ ∂2α(s, t)‖dsdt (1.1)

Remarque 1.7 (Aire de S) L’aire de S est donnee par l’Eq. 1.1 lorsquef = 1

1.2.2 Changement de representation parametrique

Theoreme 1.3 Soit S ⊂ R3 une nappe et α : Ω → S une representationparametrique reguliere de S. ALors β : ∆ → S est une representation pa-rametrique reguliere de S si et seulement si

1. ∆ est un sous-ensemble ouvert et connexe de R2

2. il existe un homeomorphisme φ : ∆→ Ω tel que :

(a) φ ∈ C1(∆)

(b) det∇φ(u, v) 6= 0 pour tout (u, v) ∈ ∆

(c) β(u, v) = α(φ(u, v)) pour tout (u, v) ∈ ∆

Corollaire 1.2 “L’integrale de surface ne depend pas de la representationparametrique choisie”. Soit α : Ω → S et β : ∆ → S deux representationparametriques regulieres. Alors pour toute fonction continue f : S → R∫

Ωf(α(s, t))‖∂1α(s, t)∧∂2α(s, t)‖dsdt =

∫∆f(β(u, v))‖∂1β(u, v)∧∂2β(u, v)‖dudv

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1.2.3 Nappes orientees

Definition 1.19 (Nappe orientee) Une nappe reguliere S avec un champscontinu de normales unitaires N est appele nappe orientee, notee (S,N). Unerepresentation parametrique de (S,N) est une representation parametriquereguliere de S telle que Nα = N .

Definition 1.20 (Flux a travers une surface) Soit (S,N) et f : S → R3

un champ vectoriel continu sur S. Le flux de f a travers S dans le sens deN est : ∫

(S,N)f · dσ =

∫S〈f,N〉dσ

Si α(s, t) : Ω → S est une representation parametrique reguliere avecNα = ∂1α∧∂2α

‖∂1α∧∂2α‖ oriente positivement alors :∫(S,N)

f · dσ =∫S〈f,N〉dσ

=∫

Ω〈f(α), Nα〉‖∂1α ∧ ∂2α‖dsdt

=∫

Ω〈f(α), ∂1α ∧ ∂2α〉dsdt

1.2.4 Nappe avec un bord

Definition 1.21 (Nappe avec un bord et bord geometrique) A ⊂ R3

est appele nappe avec bord lorsqu’il existe un ouvert Ω borne et connexe deR2 tel que son bord ∂Ω3 est un chemin ferme et α ∈ C1(Ω,R3) verifie :

1. α|Ω est une representation parametrique reguliere d’une nappe S.

2. α : Ω→ A un homeomorphisme 4.

3. ∂1α(s, t) ∧ ∂2α(s, t) 6= 0 pour tout (s, t) ∈ ∂Ω.

L’ensemble A\S = α(∂Ω) est appele bord geometrique de A, note ∂A.

Lemme 1.1 Soit Ω ⊂ Rn ouvert et borne. Considerons une fonction g : Ω→ RN

verifiant :

1. g ∈ C(Ω,Rn)

2. g|Ω est injectif

3. g(Ω) ∩ g(∂Ω) = ∅Alors α = g|Ω : Ω→ S est un homeomorphisme avec S = α(Ω) = g(Ω).

3x est un point frontiere de Ω si pour tout δ > 0 B(x, δ) ∩ Ω 6= Ø et B(x, δ) ∩Ωc 6= Ø.On note ∂Ω l’ensemble des points frontiere de Ω et on dit que ∂Ω est la frontiere ou lebord de Ω.

4Ω = Ω ∪ ∂Ω est l’adherence de Ω. L’adherence Ω est l’ensemble des points de Rn quin’appartiennent pas a l’interieur du complementaire de Ω

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1.3 Integrales par partie et theoreme de Green

1.3.1 Operateurs differentiels

Definition 1.22 (Gradient) Soit V ⊂ Rn ouvert. Le gradient de u ∈C1(V,Rn) est :

∇(u) = grad(u) =

∂1u...

∂nu

∇(u) : V → Rn est un champs vectoriel.

Definition 1.23 (Matrice Jacobienne) Soit V ⊂ Rn ouvert et f ∈ C1(V,Rn)un champ vectoriel. La matrice jacobienne de f est la matrice :

∇f =

∂1f1 . . . ∂nf1...

...∂1fn . . . ∂nfn

Definition 1.24 (Divergence) Soit V ⊂ Rn ouvert et f ∈ C1(V,Rn) unchamp vectoriel. La divergence de f est la fonction ∇ · f : V → R :

∇ · f = div(f) =n∑i

∂ifi

Definition 1.25 (Rotationnel) Soit V ⊂ R3 et f ∈ C1(V,R3) un champvectoriel. Le rotationnel de f est le champs vectoriel ∇∧ f : V → R3 :

∇∧ f = rot(f) =

∂2f3 − ∂3f2

∂3f1 − ∂1f3

∂1f2 − ∂2f1

Definition 1.26 (Matrice hessienne) Soit V ⊂ Rn ouvert et u ∈ C2(V → R)une fonction. La matrice hessienne de la fonction u est donnee par la matricejacobienne de son gradient, soit H(u) = ∇(∇u) :

H(u) = ∇(∇u) =

∂1∂1u1 . . . ∂n∂1un...

...∂1∂nu1 . . . ∂n∂nun

Remarque 1.8 Le theoreme de Schwarz5 implique que la matrice hessienneest symetrique.

5Soit f : V → R tel que ∂2f∂xi∂xj

, ∂2f∂xj∂xi

existent et sont continues en a ∈ R, alors :

∂2f(a)∂xi∂xj

= ∂2f(a)∂xj∂xi

pour tout a.

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Definition 1.27 (Laplacien) Soit V ⊂ Rn ouvert et une fonction u ∈ C2(V,R).Le laplacien de u est la fonction ∆u : V → R :

∆u = ∇ · (∇u) =∑i

∂2i u

1.3.2 Integration par parties

Lemme 1.2 Soit a < b ∈ R, φ < ψ ∈ C1([a, b],R),

Ω = (x, y) ∈ R2 : a < x < b, φ(x) < y < ψ(x)

et f ∈ C1(Ω) alors pour i = 1, 2 :∫Ω∂if(x, y)dxdy =

∫∂ΩfNids

avec N : ∂Ω → R2 le champ de normales unitaires exterieurs sur le cheminferme ∂Ω.

Definition 1.28 (Domaine regulier) Ω ⊂ R2 est un domaine regulierlorsqu’il y a un nombre fini de chemins fermes C1, . . . , Ck dans R2 verifiant :Ω = intC1 si k = 1, sinon Ω = (intC1)\ ∪ki=1 (intCi ∪ Ci).

Theoreme 1.4 (formule d’integration par parties) Soient Ω un domaineregulier de R2 et u, v ∈ C1(Ω). Alors pour i = 1, 2∫

Ωu∂ivdxdy =

∫∂ΩuvNids−

∫Ωv∂iudxdy

avec N le champ de normales unitaires exterieurs sur ∂Ω. En particulier :∫Ω∂iudxdy =

∫∂ΩuNids

1.3.3 Theoreme de Green

Le theoreme de Green relie l’integrale de surface d’une fonction sur undomaine regulier a une integrale curviligne du bords de cette surface.

Theoreme 1.5 (de Green) Soit Ω un domaine regulier de R2 et u, v ∈ C1(Ω),alors :∫

Ω

(∂v

∂x− ∂u

∂y

)dxdy =

∫∂Ω

(vN1 − uN2)ds =∫~∂Ωudx+ vdy

=∑i

∫∂Ωf(αi(t))∂tαi1(t) + g(αi(t))∂tαi2(t)

avec N le champ de normales unitaires sur ∂Ω et ~∂Ω dans sens positif.

10

Corollaire 1.3 Soit f : Ω ⊂ R2 → R2 un champ vectoriel avec f1, f2 ∈ C1(Ω).Alors : ∫

Ω(∂1f2 − ∂2f1)dxdy =

∫~∂Ωf · dl =

∫∂Ω〈f,N〉ds

avec N le champ de normales unitaires sur ∂Ω et ~∂Ω dans sens positif.

1.4 Theoreme de Stokes

1.4.1 Nappes avec un bord

Definition 1.29 A ⊂ R3 est une nappe avec un bord lorsqu’il existe unefonction α : Ω→ A verifiant :

1. Ω = intC avec C un chemin ferme de R2

2. α : Ω→ A est un homeomorphisme.

3. α ∈ C1(Ω,R3) et ∂1α(s, t)∧∂2α(s, t) 6= 0 pour tout (s, t) ∈ Ω = Ω∪C.

Definition 1.30 (Bord geometrique) En posant S = α(Ω) on a S unenappe reguliere. L’ensemble A\S = α(C) est le bord geometrique de A, note∂A.

Remarque 1.9 Le bord geometrique A\S est un chemin ferme de R3 alorsque le bord topologique est un sous-ensemble de R3.

Remarque 1.10 Intuitivement la notion d’orientation sur le bord de A est :“lorsqu’on se deplace sur le bord de A dans le sens positif avec la tete dansla direction de N la nappe se trouve sur la gauche”.

1.4.2 Integration par parties, theoreme de Stokes

Theoreme 1.6 Soit V ⊂ R3 ouvert, u ∈ C1(V ), (S,N) une nappe orienteeavec bord tel que S ⊂ V . Soit T : ∂S → R3 le champs de tangentes unitairessur le chemin ferme ∂S dans le sens de l’orientation positive de S par rapporta N . Alors : ∫

S〈A ∧N,∇u〉dσ =

∫∂Su〈A, T 〉ds ∀A ∈ R3

Remarque 1.11 Donc pour i = 1, 2, 3 :∫S

(N ∧∇u)idσ =∫∂SuTids

11

Theoreme 1.7 (de Stokes) Soit V ⊂ R3 ouvert et f ∈ C1(V,R3). Soit(S,N) une nappe reguliere orientee avec bord, tel que S ⊂ V . Soit T : ∂S → R3

le champ de tangentes unitaires sur le chemin ferme ∂S dans le sens del’orientation positive de (S,N), alors :∫

S〈∇ ∧ f, ∂1α ∧ ∂2α〉dσ =

∫∂S〈f(β(t)), β′(t)〉dt

avec α la representation parametrique reguliere de la nappe et β celle de sonbord. On peut aussi reecrire le theoreme comme :∫

(S,N)∇∧ f · dσ =

∫(∂S,T )

f · dl

Physiquement, le theoreme de Stokes stipule “le flux du rotationnel de f atravers S dans le sens de N est egal a la circulation de f sur le bord de Sdans le sens positif par rapport a N”.

Remarque 1.12 La surface sur laquelle est appliquee le theoreme de Stokesdoit etre orien’ee ! Les surface fermees (sphere ou cylindre) ne sont pasorientee donc il faut les subdiviser (en separant la sphere en deux he-mispheres et en separant le cylindre en deux parrallelement a son axe).

Corollaire 1.4 Soit V ⊂ R3 un ouvert. Soit (S,N) une nappe orientee avecbord tel que S ⊂ V . Soit T : ∂S → R3 le champ de tangentes unitaires surle chemin ferme ∂S dans le sens de l’orientation positive par rapport a N .Alors :

1. pour u, v ∈ C1(V,R3) et A ∈ R3 :∫S〈A ∧N,∇u〉dσ =

∫∂Suv〈A, T 〉ds−

∫Su〈A ∧N,∇v〉dσ

2. pour u ∈ C1(V ) et f ∈ C1(V,R3)∫S〈f ∧N, u〉dσ =

∫∂Su〈f, T 〉ds−

∫Su〈∇ ∧ f,N〉dσ

1.5 Theoreme de la divergence

Definition 1.31 (Domaine regulier) V ⊂ R3 est un domaine regulierlorsqu’il est ouvert, borne connexe et que ∂V verifie :

1. il existe un nombre fini de nappes S1, . . . , Sn tels que :

∂V = ∪ni=1∂Si Si ∩ Sj ⊂ ∂Si ∩ ∂Sj ∀i 6= j = 1, . . . , n

12

2. “la nappe se trouve toujours du meme cote du bord” soit : pour chaquei = 1, . . . , n il y a une orientation (Si, N i) tel que pour tout x ∈ Si\∂Siil existe ε > 0 tel que :

x− tN i(x) ∈ V et x+ tN i(x) /∈ V ∀t ∈ (0, ε(x))

Definition 1.32 (Champs de normales unitaires exterieurs) Soit Vun domaine regulier de R3. Un champs vectoriel N : ∂V → R3 tel queN(x) = N i(x) pour tout x ∈ ∪ni=1(Si\∂Si) est un champs de normales uni-taires exterieurs sur ∂V .

Theoreme 1.8 (de la divergence (Gauss-Ostrogradsky)) Intuitivementle theoreme de la divergence stipule que “la somme des sources moins lasommes des puits a l’interieur d’une surface est le flux a travers cette sur-face.”

Soit V un domaine regulier de R3, N : ∂V → R3 le champs de normalesunitaires exterieurs a V alors :∫

Vdiv(f)dxdydz =

∫∂Vf ·Ndσ

=∫

Ω〈f(α), ∂1α ∧ ∂2α〉dsdt

avec f ∈ C1(V ,R3) et α(s, t) : Ω → S une representation parametriquereguliere.

1.6 Champs qui derivent d’un potentiel

1.6.1 Potentiel scalaire

Lemme 1.3 Soit Ω ⊂ R3 un ouvert connexe et f : Ω → Rn un champvectoriel qui decoule d’un potentiel φ sur Ω.

1. pour un chemin oriente ~C allant de P vers Q tel que C ∈ Ω∫~Cfdl = φ(Q)− φ(P )

2. si f ∈ C1(Ω,Rn) alors ∇f est symetrique pour tout x ∈ Ω. C’est-a-dire :

∂ifj(x) = ∂jfi(x) ∀1 ≤ i, j ≤ n

Definition 1.33 (Irrotationnel) Pour n = 3 la matrice de∇f est symetriquesi et seulement si ∇∧ f = 0. Un champ vectoriel dont le rotationnel est nulen tout point est dit irrotationnel.

Theoreme 1.9 Soit Ω ⊂ Rn un ouvert connexe et f ∈ C1(Ω,Rn) alors :

13

1. f derive d’un potentiel sur Ω si et seulement si :∫~Cf · dl =

∫~Df · dl (1.2)

avec ~C et ~D deux chemin de Ω allant de P vers Q tel que C ∪D ⊂ Ωet ceci quels que soient P 6= Q de Ω.

2. Soit a un point de Ω. Si f derive d’un potentiel sur Ω alors un potentielest donne par :

φ(x) =∫~Cf · dl x 6= a φ(a) = 0

avec ~C(x) un chemin de a vers x tel que C(x) ∈ Ω.

3. si φ et ψ deux potentiels sur Ω, alors il existe une constante K ∈ R :

φ(x) = ψ(x) +K ∀x ∈ Ω

Remarque 1.13 Un champ vectoriel verifiant l’Eq. 1.2 est dit conservatif.

Definition 1.34 (Ensemble etoile) Intuitivement un ensemble Ω est ditetoile par rapport a A ∈ Ω si le segment [AM ] ⊂ Ω pour tout M ∈ Ω.Formellement : Soit Ω ⊂ Rn un ouvert connexe. S’il existe a ∈ Ω tel que :

[a, x] = tx+ (1− t)a : 0 ≤ t ≤ 1 ⊂ Ω ∀x ∈ Ω

On dit alors que Ω est un ensemble etoile par rapport a a et un potentielsur Ω pour f est donne par :

φ(x) =∫ 1

0〈f(tx+ (1− t)a), x− a〉dt (1.3)

Definition 1.35 (Ensemble simplement connexe) Un sous-ensemble ou-vert Ω ⊂ Rn est dit simplement connexe lorsque :

1. Ω est connexe

2. “tout chemin ferme dans Ω peut-etre contracte en un point sans quit-ter Ω”. Formellement, si γ : [a, b] → Rn est une representation pa-rametrique reguliere d’un chemin ferme de Ω alors il existe une fonctionH : [0, 1]× [a, b]→ Rn verifiant :

(a) H(0, s) = γ(s) pour tout s ∈ [a, b]

(b) H(1, s) = H(1, a) pour tout s ∈ [a, b].

(c) H(t, s) ∈ Ω pour tout (t, s) ∈ [a, b]× [0, 1]

(d) H(t, a) = H(t, b) pour tout t ∈ [0, 1].

Remarque 1.14 Tout ouvert etoile de Rn est simplement connexe.

14

Theoreme 1.10 6 Soit Ω ⊂ Rn ouvert et simplement connexe. Soit f ∈ C1(Ω,Rn)un champ, alors f derive d’un potentiel sur Ω si et seulement si ∇f(x) estsymetrique pour tout x ∈ Ω.

Remarque 1.15 Dans R3 f derive d’un potentiel si et seulement si f estirrotationnel.

1.6.2 Potentiels vecteur

Definition 1.36 (Incompressible, Solenoıdal) Un champs vectoriel f ∈ C1(Ω,Rn)tel que pour tout x ∈ Ω ∇ · f = 0 est dit solenoidal ou incompressible.

Theoreme 1.11 Soit Ω ⊂ R3 et f ∈ C1(Ω,R3) un champ vectoriel derivantd’un potentiel vecteur φ.

1. Soit (S1, N1) et (S2, N2) deux nappes avec bord tels que S1 ∪ S2 ⊂ Ωet ∂S1 = ∂S2 = C. Si N1 et N2 engendrent la meme orientation ~Calors : ∫

S1

〈F,N1〉dσ =∫S2

〈f,N2〉dσ

2. si f ∈ C1(Ω,R3) alors ∇ · f = 0 pour tout x ∈ Ω.

3. si g,G ∈ C1(Ω,R3) sont deux potentiels vecteur sur Ω alors il existeune fonction φ ∈ C2(Ω,R3) telle que :

G(x) = g(x) +∇φ(x) ∀x ∈ Ω

Remarque 1.16 Meme si Ω est simplement connexe, ∇ · f = 0 n’est pasune condition suffisante pour que f decoule d’un potentiel vecteur.

Remarque 1.17 Si f decoule d’un potentiel vecteur g sur Ω alors d’apresle theoreme de Stokes : ∫

S〈f,N〉dσ =

∫~Cg · dl

donc le flux de f a travers le chemin oriente ~C est egal a la circulation dupotentiel g sur ~C.

Theoreme 1.12 Soit Ω ⊂ R3 un ouvert etoile par rapport a a ∈ Ω etf ∈ C1(Ω,R3). Si ∇ · f = 0 sur Ω alors g : Ω→ R3 defini par :

g(x) =∫ 1

0f(tx+ (1− t)a) ∧ t(x− a)dt

6Important : pour trouver un potentiel scalaire, on commence par verifier cette condi-tion. Si de plus Ω est etoile on utilise l’Eq. 1.3 pour trouver une expression du potentiel.Si Ω n’est pas etoile il faut integrer en utilisant la definition du potentiel scalaire : ∇φ = f

15

est un potentiel vecteur pour f sur Ω, ce qui revient a dire que :f derive d’un potentiel vecteur sur Ω etoile par rapport a a ∈ Ω si et

seulement si ∇ · f(x) = 0 pour tout x ∈ Ω.

Remarque 1.18 La condition que Ω soit etoile est restrictive. En pratiqueil est preferable d’exploiter la liberte du choix du potentiel pour considererpar exemple Ω ⊂ R3 tel que :

1. A = (x, y) ∈ R2 : ∃(x, y, z) ∈ Ω2. il existe c ∈ R tel que pour tout (x, y) ∈ A l’intervalle (x, y, z) ∈ Ω/z ∈ R

contient c.

alors on peut chercher un potentiel vecteur de la forme g = (g1, g2, 0) et lacondition7 f = ∇∧ g equivaut a :

− ∂3g2 = f1

∂3g1 = f2

∂1h− ∂2k = f3

avec h, k les fonctions “constantes” obtenues en integrant −∂3g2 = f1 et∂3g1 = f2.

1.6.3 Fonction harmonique

Definition 1.37 (Fonction harmonique) Soit f ∈ C1(Ω,R3) tel que

1. f = ∇φ sur Ω avec φ ∈ C1(Ω,R).

2. f = ∇∧ g sur Ω avec g ∈ C1(Ω,R3)

alors φ ∈ C2(Ω,R) et 0 = ∇ · f = ∇ · (∇φ) = ∆φ. Une fonction dont lelaplacien (∆f = 0) est nulle est harmonique.

7c’est la definition d’un potentiel vecteur.

16

Chapitre 2

Separation de variables

Proposition 2.1 (Eq. diff. lineaire du second ordre) Il faut savoir resoudre :

f ′′(x) + af ′(x) + bf(x) = 0

Si le polynome caracteristique λ2 +aλ+b possede deux solutions reelles λ1,2

alors :f(x) = Aeλ1x +Beλ2x A,B ∈ R

si le polynome possede une racine relle double λ0 alors :

f(x) = (A+Bx)eλ0x A,B ∈ R

et si le polynome possede une racine complexe α+ iβ alors :

f(x) = eαx[A cos(βx) +B sin(βx)] A,B ∈ R

Definition 2.1 (Conditions homogenes) Une condition au bord est ditehomogene si pour toute solutions u et v satisfaisant la condition, au + bvsatisfait aussi la condition quelque soit les constantes a et b.

Proposition 2.2 (Conditions) Pour appliquer la methode de separationde variable, le probleme doit verifier les trois conditions suivantes :

1. l’equation aux derivees partielles doit etre lineaire et homogene. Elledoit etre une somme d’operateurs differentiels agissant sur les variablesseparement.

2. le domaine dans lequel on cherche les solutions doit etre un produitd’intervalles

3. sauf pour une des variables, les conditions aux limites doivent etrelineaires et homogenes.

Remarque 2.1 Si la troisieme condition n’est pas remplie il est souventutile de chercher les solutions pour une fonction u donnee comme :

u = v + w

17

ou les conditions aux limites pour v et w verifie les proprietes de linearite etd’homogeneite.

Remarque 2.2 Si la seconde conditions n’est pas remplie, il est parfoisutile d’effectuer un changement de variables.

Proposition 2.3 (Principe de superposition) La solution de u dependssouvent d’un parametre n de la ou des solutions de l’equation differentielledu second ordre et donc generalement :∑

n

un(x)

est aussi solution du probeme. Il faut ensuite discreminer avec les conditionsinitiales.

Remarque 2.3 Par convention les operateurs, notament le laplacien n’agissentpas sur la coordonnee temporelle. Si u(x, y, t) alors ∆u = ∂2u

∂x2 + ∂2u∂y2

18

Chapitre 3

Analyse Complexe

Definition 3.1 (Argument) Soit z ∈ C\0.La determination principale de l’arguement de z est l’unique θ = arg(z) ∈ (−π, π]

tel quez

|z|= cos θ + i sin θ

Definition 3.2 (Fonction continue) Soit Ω un sous-ensemble de C. Unefonction f est en continue en z ∈ Ω si pour tout ε > 0 il existe δ > 0 telque :

|f(z)− f(w)| < ε ∀w ∈ Ω ∪B(z, δ)

Definition 3.3 (Fonction convergente) f(w) ∈ C converge vers l lorsquew tends vers z, note f(x)→ l ou limw→z f(w) = l lorsque :

1. pour tout r > 0, Ω ∪ (B(z, r)\z) 6= ∅2. pour tout ε > 0 il existe δ > 0 tel que

|f(w)− l| < ε

pour tout w ∈ Ω ∩ (B(z, δ)\z)

Definition 3.4 (Fonction C-derivable) Soit f : Ω ⊂ C → C. f est C-derivable en z ∈ int(Ω) lorsqu’il existe l ∈ C tel que :

limw→z

f(w)− f(z)w − z

= l

Dans ce cas l est unique et note f ′(z). Dans la pratique, pour calculer laderivee on utilise la (Prop. 3.3).

Proposition 3.1 f est derivable en z si et seulement si

f(w) = f(z) + l(w − z)ρ(w)

avec ρ : Ω→ C et limw→zρ(w)w−z = 0

19

Proposition 3.2 f est derivable en z si et seulement si

limη→0

f(z + η)− f(z)η

= l⇔ f(z + η) = f(z) + lη + r(η)

avec r : Ω\z → C et limη→0r(η)η = 0 et lorsque η → 0.

Proposition 3.3 Soit f = u + iv : Ω ⊂ C → C une fonction complexe etz ∈ int(Ω), alors f est C-derivable en z si et seulement si :

f =(uv

)est derivable au sens de Frechet en z = (x, y) et ∇f(x, y) ∈ P avec

P =(

a −bb a

)a, b ∈

et

f ′(z) = ∂xu(x, y) + i∂xv(x, y)= ∂yv(x, y)− i∂yu(x, y)

Remarque 3.1 (Equations de Cauchy-Riemann) La condition∇f(x, y) ∈ Previent a dire que les derivees partielles de u et de v satisfont les equationssuivantes :

∂xu = ∂yv−∂yu = ∂xv

(3.1)

Definition 3.5 (Fonction holomorphe) Soit Ω un sous-ensemble ouvertde C et f : Ω→ C une fonction complexe. On dit que f est holomorphe surΩ lorsque f est derivable en z ∈ Ω et on note f ∈ H(Ω).

Theoreme 3.1 Soit Ω un sous-ensemble ouvert de C et f = u+ iv : Ω→ Cune fonction complexe. Alors f est holomorphe sur Ω et f ′ : Ω → C estcontinue si et seulement si les derivee partielles de u et v

1. existent

2. sont continue

3. verifient les equations de Cauchy-Riemann (Eq. 3.1).

Theoreme 3.2 Soit Ω un sous-ensemble ouvert de C et f = u+ iv : Ω→ Cune fonction complexe, alors f est holomorphe sur Ω si et seulement si

1. u, v ∈ C∞(Ω,R)

2. u, v verifient les equations de Cauchy-Riemann sur Ω.

20

Ces equations s’ecrivent :(∂xv∂yv

)= Γ

(∂xu∂yu

)avec Γ =

(0 −11 0

)ou encore :

∇v = (∇u)ΓT

Remarque 3.2 Les parties reelles et imaginaires d’une fonction holomorphesont harmoniques.

Definition 3.6 (Fonction harmonique conjuguee) Soit Ω ⊂ R2 ouvertet u ∈ C2(Ω,R).Si v ∈ C2(Ω,R) est telle que u, v satisfont les equations de Cauchy-Riemannsur Ω alors on dit que v est une fonction harmonique conjuguee a u sur Ω.On dit aussi que u et v sont des fonctions harmoniques conjuguees sur Ω.

Theoreme 3.3 1. soit Ω ⊂ C ouvert connexe et f = u+ iv : Ω→ C unefonction holomorphe. Alors v (resp. u) est determinee par u (resp. v)a une constante additive pres.

2. Soit Ω ⊂ C un ouvert simplement connexe et u ∈ C2(Ω,R) une fonc-tion harmonique sur Ω, alors il existe une fonction v ∈ C2(Ω,R) telleque f = u+ iv est holomorphe sur Ω.

Remarque 3.3 Les regles de calcul des fonctions holomorphes dans C sontequivalents a celles des derivees des fonctions reelles.

3.1 Fonctions exponentielles et logarithmiques

Definition 3.7 (Fonction exponentielle) La formule d’Euler defini l’ex-ponentielle d’un nombre complexe comme :

ex+iy = ex(cos y + i sin y) ∀x, y ∈ R

Proposition 3.4 La fonction exponentielle est holomorphe sur C avec

dez

dz= ez

Proposition 3.5 Pour tout z ∈ C :

ez =∞∑n=0

zn

n!

21

Proposition 3.6 Pour α, β ∈ C et pour z, w ∈ C∗ :

zαzβ = zα+β

zαwα = (zw)αe−2πinα avec n

1 si argz + argw ≤ −π0 si argz + argw ∈ (−π, π]−1 si argz + argw ≥ π

(zα)β = zαβe2iπkβ k ∈ Z et =(α log z) + 2πk ∈ (−π, π]|zα| = |z|αe−b arg z ∀α = a+ ib

lim|z|→0

|zα| = 0 si <α > 0

lim|z|→0

|zα =∞ si <α < 0

lim|z|→0

|zα| n’existe pas si <α = 0 et =α 6= 0

Definition 3.8 (Determination principale du logarithme( !)) SoitΩp = z ∈ C : −π < Im(z) < π. La fonction inverse de la fonction exponen-tielle f−1 : C∗ → Ωp est la determination principale du logarithme notee :

ln : C∗ → Ωp

donc pour tout z ∈ C∗ :

ln z = ln |z|+ i arg(z)

Proposition 3.7 Pour tout z, w ∈ C∗ :

ln(zw) = ln(z) + ln(w) + i2πn avec n

1 si argz + argw ≤ −π0 si argz + argw ∈ (−π, π]−1 si argz + argw ≥ π

Proposition 3.8 (Serie de Taylor) La serie de Taylor de ln autour de 1est :

ln z =∞∑k=1

(−1)k−1(z − 1)k

k∀z ∈ B(1, 1)

Definition 3.9 (Fonctions trigonometriques) Les quatre fonctions tri-gonometriques suivantes sont holomorphes sur C :

cos z =eiz + e−iz

2=∑k

(−1)kz2k

2k!

sin z =eiz − e−iz

2i=∑k

(−1)kz2k+1

(2k + 1)!

cosh z =ez + e−z

2

sinh z =ez − e−z

2

22

3.2 Primitives et integrales curvilignes

Theoreme 3.4 (de Cauchy) Soit Ω ∈ C un ouvert, f une fonction holo-morphe sur Ω et C un chemin ferme oriente tel que C ∪ int(C) ∈ Ω, alors :

1. ∫Cf(z)dz = 0

2. si l’orientation de C est positive

f(w) =1

2πi

∫C

f(z)z − w

dz

pour tout w ∈ int(C)

3. si C1 et C2 sont deux chemins fermes orientes positivement tels queC2 ⊂ int(C1) et C1 ∪ int(C1)\int(C2) ∈ Ω alors :

f(w) =1

2πi

[∫C1

f(z)z − w

dz −∫C2

f(z)z − w

dz]

4. et en supposant de plus que f (k)(z) existe pour tout z ∈ Ω, k ∈ N∗ :

f (k)(z) =k!

2πi

∫C

f(w)(w − z)k+1

dw

Corollaire 3.1 Soient Ω ∈ C un ouvert et f ∈ H(Ω). Soit z0 ∈ Ω et r > 0tels que B(z0, r) ∈ Ω, alors :

1. f ∈ C∞(Ω).

2. la serie de Taylor ∑j

f (j)(z0)j!

(z − z0)j

converge absolument uniformement sur B(z0, R) pour R ∈ (0, r)

3.

f(z) =∑j

f (j)(z0)j!

(z − z0)j

Theoreme 3.5 (de Liouville) Soit f : Ω→ C holomorphe.S’il existe M ∈ C tel que f(z) ≤M pour tout z ∈ Ωalors f est constante sur Ω.

Remarque 3.4 Les fonctions f qui sont representees par leur serie de Tay-lor sont dites analytiques.

23

Theoreme 3.6 (de Morera) Soit Ω ∈ C un ouvert et f : Ω → C unefonction continue sur Ω verifiant :∫

[P,Q]f(z)dz +

∫[Q,R]

f(z)dz +∫

[R,P ]f(z)dz = 0

pour tout triplet de points P,Q,R tel que le triangle coP,Q,R ⊂ Ω.Alors f ∈ H(Ω).

3.3 Serie entieres et series de Laurent

Definition 3.10 (Convergence) Soit Ω ∈ C et fk : Ω → C une suite.Pour tout z ∈ Ω, la serie ∑

k

fk(z)

converge s’il existe l(z) ∈ C tel que :

limn→∞

∑k

fk(z) = l(z)

Definition 3.11 (Convergence absolue) Soit Ω ∈ C et fk : Ω → C unesuite. Pour tout z ∈ Ω, la serie ∑

k

fk(z)

converge absolument s’il existe l(z) ∈ C tel que :

limn→∞

∑k

|fk(z)| = l(z)

ou encore :La serie ∑

k

fk(z)

converge absolument sur Ω si∣∣∣∣∣l −∑k

fk(z)

∣∣∣∣∣ < ε ∀n ≥ n(ε), z ∈ Ω

Definition 3.12 (Convergence normale) Soit

αk = supz∈Ω|fk(z)|

La serie ∑k

fk(z)

converge normalement sur Ω si∑

k αk <∞

24

Definition 3.13 (Serie entiere) Une serie entiere est une expression∑k∈N

ak(z − z0)k

avec (ak) la suite de coefficients et z, z0 ∈ C

Theoreme 3.7 (du rayon de convergence) Soit∑

k ak(z−z0)k une serieentiere et le rayon de convergence

R =1

limk→∞ sup |ak|1k

La serie converge dans C pour tout z ∈ B(z0, R) et diverge ailleurs. Elleconverge normalement sur B(z0, r) pour tout r ∈ [0, R). Les memes criteresqu’en analyse reelle sont utilise1

Remarque 3.5

limk→∞

sup |ak|1k = lim

k→∞sup |kak|

1k limk→∞

sup∣∣∣∣ 1k + 1

ak

∣∣∣∣ 1k1

Critere de Convergence 3.1 (de Cauchy) La suite de sommes partielles (Sn)converge si et seulement si la suite (Sn) est une suite de Cauchy.

Critere de Convergence 3.2 (de Comparaison) Soit (xn) et (yn) deux suites et k ∈N tel que pour tout n ≥ k : 0 ≤ xn ≤ yn. Alors si la serie de terme general yn estconvergente alors la serie de terme general xn est aussi convergente.

Critere de Convergence 3.3 (des Series Alternees) Soit (xn) une suite de nombrereels verifiant les deux proprietes suivantes :

1. il existe p ∈ N tel que pour tout entier n ≥ p : |xn+1| ≤ |xn| et xnxn+1 ≥ 0 ;

2. limn→∞ xn = 0

alors la serie de terme general xn est convergente.

Critere de Convergence 3.4 (de la limite superieure) Soit (xn) une suite borneetelle que :

L = limn→∞

sup np|xn| < 1

alors la serie de terme general xn est absolument convergente.

Critere de Convergence 3.5 (de d’Alembert) Soit (xn) une suite pour laquelle ρ =

limn→∞

˛xn+1

xn

˛existe. Alors si :

1. ρ < 1 la serie de terme general xn est absolument convergente.

2. ρ > 1 la serie est divergente

3. ρ = 1 on ne peut pas conclure.

25

Theoreme 3.8 Soit∑

k ak(z − z0)k une serie entiere de rayon de conver-gence R. Si R > 0, la fonction :

f(z) =∑k

ak(z − z0)k

est holomorphe sur B(z0, R) et sa serie de Taylor autour de z0 est :∑k

ak(z − z0)k

De plus,f ′(z) =

∑k

kak(z − z0)k−1 ∀z ∈ B(z0, R)

etg(z) =

∑k

1k + 1

ak(z − z0)k+1

est une primitive de f sur B(z0, R).

Definition 3.14 (Fonction analytique) Soit Ω ⊂ C ouvert. Une fonctionf ∈ C∞ : Ω→ C est analytique sur Ω lorsque f ∈ C∞(Ω) et pour tout z0 ∈ Ωil existe δ > 0 tel que :

f(z) =∑n∈N

f (n)(z0)n!

(z − z0)n ∀z ∈ B(z0, δ)

Theoreme 3.9 f est analytique sur Ω si et seulement si f est holomorphesur Ω.

Definition 3.15 (Serie de Laurent) La notion de serie entiere est generaliseepar la serie de Laurent : ∑

n∈Zan(z − z0)n

qui peut etre interpretee comme la somme de deux series :

∑n∈Z

an(z − z0)n =∞∑n=0

an(z − z0)n +∞∑m=1

a−m

(1

z − z0

)mdont la premiere est une serie entiere et la seconde une composition desseries entieres

∞∑m=1

a−mzm et K(z) =

1z − z0

26

Theoreme 3.10 Considerons la fonction f definie comme la somme de laserie de Laurent : ∑

n∈Zan(z − z0)n

dont les coefficients verifient :

a =1

lim infm→−∞ |am|1m

< b =1

lim supn→∞ |an|1n

alors f ∈ H(C(z0, a, b)) avec

f ′(z) =∑n∈Z

nan(z − z0)n−1 ∀z ∈ C(z0, a, b)

et pour tout chemin ferme oriente positivement C verifiant C ⊂ C(z0, a, b)et B(z0, a) ∈ int(C) ∫

C

∑n∈Z

an(z − z0)ndz = i2πa−1

Corollaire 3.2 Soit les deux series de Laurent∑n∈Z

an(z − z0)n∑n∈Z

bn(z − z0)n

dont les couronnes de convergence sont C(z0, a, b) et C(z0, c, d) respective-ment. S’il existe un cercle C ⊂ C(z0, a, b) ∩ C(z0, c, d) tel que

1. [B(z0, a) ∪B(z0, c)] ⊂ int(C)2.∑

n∈Z an(z − z0)n =∑

n∈Z bn(z − z0)n pour tout z ∈ Calors

an = bn ∀n ∈ Z

Theoreme 3.11 Toute fonction holomorphe dans une couronne est egale aune unique serie de Laurent sur cette couronne. Soit z0 ∈ C et 0 ≤ a ≤ b <∞.Si f ∈ H(C(z0, a, b)) alors :

f(z) =∑n∈Z

an(z − z0)n ∀z ∈ C(z0, a, b)

avecan =

12πi

∫C

f(z)(z − z0)n+1

dz

ou C est un cercle de centre z0 et de rayon c ∈ (a, b) oriente positivement.La serie converge normalement dans partie compacte de C(z0, a, b).

Remarque 3.6 ((Importante)) Pour calculer les series de Laurent il estpratique d’utiliser :

11− w

=∑k

wk si |w| < 1

27

3.4 Singularites isolees et residus

Developper une fonction en serie de Laurent permet d’etudier son com-portement lorsque’elle converge vers un point donne. Trois cas peuvent seproduire :

1. singularite artificielle

2. pole

3. singularite essentielle

3.4.1 Singularites isolees

Definition 3.16 (Boule pointee) Soit z0 ∈ C et d ∈ R+. La boule pointeeB′(z0, d) est definie par :

B′(z0, d) = B(z0, d)\z0

Definition 3.17 (Partie reguliere et partie singuliere) Soit f une fonc-tion holomorphe admettant une serie de Laurent dans B′(z0, d)

f(z) =∞∑

n=−∞an(z − z0)n ∀z ∈ B′(z0, d)

La partie reguliere de f est definie par :

f+(z) =∞∑n=0

an(z − z0)n

et la partie singuliere par :

f−(z) =−1∑

n=−∞an(z − z0)n

Definition 3.18 (Singularites) Le comportement de f(z) lorsque z → z0

se reduit a trois cas :

1. si an = 0 pour tout n ≤ −1 on dit que z0 est une singularite artificiellede f .

2. s’il existe p ≥ 1 tel que a−p 6= 0 mais an = 0 pour tout n < −p on ditque z0 est un pole d’ordre p de f .

3. si pour tout p ∈ N il existe n < −p tel que an 6= 0 on dit que z0 estune singularite essentielle de f .

Theoreme 3.12 Soit z0 ∈ C, d ∈ (0,∞) et f ∈ H(B′(z0, z))

28

1. Caracterisation d’une singularite artificielle

z0 est une singularite artificielle de f⇔ il existe w ∈ C tel que lim

z→z0f(z) = w

⇔ il existe L ∈ R tel que limz→z0

|f(z)| = L

⇔ |f | est borne sur B′(z0, r) pour tout r ∈ (0, d)⇔ il existe un prolongement de f qui est holomorphe sur B(z0, d)

2. caracterisation d’un pole

z0 est un pole de f⇔ il existe p ≥ 1 et g ∈ H(B(z0, d)) tels que g(z0) 6= 0

et f(z) = (z − z0)−pg(z) pour tout z ∈ B′(z0, d)⇔ lim

z→z0|f(z)| =∞

3. caracterisation d’une singularite essentielle

z0 est une singularite essentielle de f⇔ pour tout w ∈ C il existe une suite (zk) ∈ B′(z0, d) tel que zk → z0

et lim f(zk) = w

⇔ limz→z0

|f(z)| n’existe pas

3.4.2 Zeros d’une fonction holomorphe

Definition 3.19 (Zero) Soit Ω ∈ C ouvert et f ∈ H(Ω). On dit que z0 ∈ Ωest un zero d’ordre q ≥ 1 de f lorsque

f (q)(z0) 6= 0 mais f (k)(z0) = 0 ∀k = 0, . . . , q − 1

Theoreme 3.13 Soit Ω ⊂ C ouvert et connexe, f ∈ H(Ω) et w ∈ Ω. Alors :

1. si w est un zero d’ordre infini de f alors f(z) = 0 pour tout z ∈ Ω

2. s’il existe une suite (zn) ⊂ Ω\w telle que limn→∞ zn = w et

f(zn) = 0 pour tout n ∈ N

alorsf(z) = 0 pour tout z ∈ Ω.

3. si g ∈ H(Ω) et la suite (zn) ⊂ Ω\w verifie limn→∞ zn = w et

g(zn) = f(zn) pour tout n ∈ N

alors g(z) = f(z) pour tout z ∈ Ω.

29

Theoreme 3.14 Soit Ω ⊂ C ouvert et f ∈ H(Ω). Si w ∈ Ω est un zero def d’ordre q ∈ N\0 alors w est un pole d’ordre q de la fonction 1

f .

Definition 3.20 (Fonction meromorphe) Soit Ω ⊂ C ouvert. La fonc-tion f : Ω → C est meromorphe sur Ω s’il existe un sous-ensemble S de Ωtel que :

1. si K ⊂ Ω est compact, alors K ∩ S est fini (ou vide).

2. f ∈ H(Ω\S)

3. f n’a aucune singularite essentielle dans Ω.

3.4.3 Residus

Definition 3.21 (Residu) Soit Ω ⊂ C ouvert et f ∈ H(Ω). S’il existez0 ∈ C et d > 0 tels que B′(z0, d) ⊂ Ω alors le residu de f en z0 est :

Res(f, z0) = a−1 =1

2πi

∫Cf(z)dz

ou f(z) =∑∞

n=−∞ an(z− z0)n est le developpement de Laurent de f autourde z0, C un chemin ferme de Ω d’orientation positive et z0 ∈ int(C)\z0.

Theoreme 3.15 (des Residus) Soit Ω ⊂ C ouvert, f ∈ H(Ω) et C unchemin ferme dans Ω d’orientation positive. Supposons qu’il existe un nombrefini de points z1, . . . , zn ∈ int(C) tel que int(C)\z1, . . . , zn ⊂ Ω, alors :∫

Cf(z)dz = 2πi

n∑k=1

Res(f, zk)

Ce theoreme est important pour le calcul d’integrales reelles.

Proposition 3.9 (Calcul (algorithmique) du residu) Supposons z0 ∈ Ωpole de f ∈ H(Ω). Le calcul de Res(f, z0) se fait suivant l’algorithme :

1. Calcul de limz→z0 |f(z)| = α

(a) si α ∈ [0,∞) alors z0 est une singularite artificielle etRes(f, z0) = 0.FIN

(b) si α n’existe pas z0 est une singularite essentielle. ABANDONNER

(c) si α =∞ alors z0 est un pole. CONTINUER2. Calcul de limz→z0(z − z0)f(z) = β

(a) si β ∈ C alors z0 est un pole d’ordre 1 et Res(f, z0) = β. FIN

(b) si β =∞ alors z0 est un pole d’ordre ≥ 2. CONTINUER3. Calcul de limz→z0 [(z − z0)pf(z)](p−1) = γ

(a) si γ ∈ C alors z0 est un pole d’ordre p et Res(f, z0) = γ(p−1)! . FIN

(b) si γ =∞ alors z0 est un pole d’ordre ≥ p+ 1. CONTINUER

30

3.4.4 Calcul d’integrales

Le theoreme des residus permet de calculer certaines integrale sans devoirexpliciter l’integrale de l’integrand.

Proposition 3.10 Calcul des integrales de fonctions rationnelles de fonc-tion circulaires. Soit R une fonction rationnelle tel que la fonction :

f(z) =R(

12(z + 1

z ), 12(z − 1

z ))

iz

n’admet aucun pole sur le cercle C(z, 1) alors :∫ 2π

0R(cosθ, sinθ)dθ = 2iπS

ou S est la somme des residus de f dans l’interieur de C.

Remarque 3.7 L’inegalite triangulaire inverse |x+ y| ≥ ||x| − |y|| est sou-vent utile pour majorer des integrales dans la methode des residus.

Remarque 3.8 Dans le calcul d’integrale reelles avec le theoreme des residusles relations suivanes sont pratiques :

cos(θ) =12

(eiθ + e−iθ)

en posant z = eiθ, dz = izdθ :

cos(θ) =12

(z +1z

)

de meme pour le sinus :

sin θ =12i

(eiθ − e−iθ) =12i

(z − 1z

)

Proposition 3.11 Considerons une fonction f ∈ H(C\z1, . . . , zn) ayantles proprietes suivantes :

1. pour tout k = 1, . . . , n, zk ∈ C\(0,∞)

2. il existe M, r et p > 0 tels que

|f(z)| ≤ M

|z|p∀z ∈ C(0, 0, r)

3. il existe N > 0, R > r et q > p tels que

|f(z)| ≤ N

|z|q∀z ∈ C(0, R,∞)

31

alors pour tout α ∈ (]p, q[\N) l’integrale generalisee∫ ∞0

xα−1f(x)dx

est absolument convergente et∫ ∞0

xα−1f(x)dx =2πiS

1− e2αiπ=πSe−απi

sin(απ)

ou S est la somme des residus de zα−1f(z) aux singularites de f saufpour z = 0 (car les singularites de zα−1f(z) sont les memes que f(z) saufeventuellement pour 0).

Proposition 3.12 Considerons une fonction f ∈ H(C\z1, . . . , zn) ayantles proprietes suivantes :

1. pour tout k = 1, . . . , n, zk ∈ C\R2. il existe N,R > 0 tels que :

|f(z)| ≤ N

|z|2∀z ∈ C(0, R,∞)

alors l’integrale generalisee∫∞−∞ f(x)dx est absolument convergente et∫ ∞

−∞f(x)dx = 2πiS = −2πiT

ou S est la somme des residus de f aux singularites dans la region z ∈ C : Im(z) > 0et T est la somme des residus de f aux singularites dans la region z ∈ C : Im(z) < 0.

Theoreme 3.16 (Integrale de Fourrier) Considerons une fonction f ∈ H(C\z0, . . . , zn)verifiant :

1. 0 est une singularite artificielle ou un pole simple de f .

2. pour tout k = 1, . . . , n, zk ∈ C\R.

3. il existe N,R > 0 tels que |f(z)| ≤ N|z| pour tout z ∈ C(0, R,∞)

alors pour tout α > 0

limr → 0+

R →∞

(∫ −r−R

+∫ R

r

)eiαxf(x)dx = 2πiS + πiT

ou S est la somme des residus de eiαzf(z) dans la region z ∈ C : Im(z) > 0et T est le residu de eiαzf(z) en 0.

Remarque 3.9 Dans le cas de l’integrale de Fourrier,

32

1. si 0 est une singularite artificielle de f et |f(z)| ≤ M|x|2 pour tout |x| ≥ R

alors T = 0 et : ∫ ∞−∞

eiαxf(x)dx = 2πiS

Si de plus la fonction f : R → R alors :∫ ∞−∞

cos(αx)f(x)dx = Re(2πiS) et∫ ∞−∞

sin(αx)f(x)dx = Im(2πiS)

2. si 0 est un pole simple de f : R → R et f(x) = −f(−x) alors :∫ ∞0

sin(αx)f(x)dx =Im(2πiS + πiT )

2

Remarque 3.10 Il est aussi utile d’utiliser le Theoreme des residus 3.15.

33

Chapitre 4

Transformee

4.1 Transformee de Laplace

4.1.1 Notions elementaires

Definition 4.1 (Ordre exponentiel) f est d’ordre exponentiel α lorsque :

1. f est continue par morceaux sur [0,∞[

2. e−αtf(t) est borne sur [0,∞[

et on definit :

E(α) = f : [0,∞[→ R d’ordre epxonentiel β > α

Definition 4.2 (Transformee de Laplace) Soit f ∈ E(α). La transformeede Laplace de f est la fonction complexe f : D(f)→ C definie par :

D(f) = R(α) = s ∈ C/Re(s) > α

f(s) =∫ ∞

0e−stf(t)dt

Remarque 4.1 Soit f, g ∈ E(α), a, b ∈ R alors af + bg ∈ E(α) et

˜af + bg(s) = af(s) + bg(s) ∀s ∈ R(α)

Cette propriete de linearite rends la transformee de Laplace attractive pourla resolution d’equations differentielles lineaires aux coefficients constants.

Proposition 4.1 Quelques transformee elementaires :

eαx =1

s− α˜cos(αx) =

s

s2 + α2

˜sin(αx) =α

s2 + α2

34

Proposition 4.2 Si f ∈ E(α) alors f ∈ H(s ∈ C : Re(s) > α) et

df(s)ds

= f ′(s) = −g(s) ∀s ∈ D(f)

avec g = tf(t)

Remarque 4.2 g ∈ E(α) donc D(g) = D(f)

Proposition 4.3 Pour β > α

lim|s|→∞

f(s) = 0 uniformement sur s ∈ C/<(s) ≥ β

et pour δ ∈ [0, π2 ]

lim|s|→∞

sf(s) = limt→0+

f(t) uniformement sur s ∈ C/| arg s| ≤ δ

4.1.2 Inversion

Theoreme 4.1 Soit F : Ω ⊂ C→ C verifiant :1. il existe α ≥ 0 tel que

R(α) = z ∈ C : <(z) > α ⊂ C

et F ∈ H(R(α)).2. il existe A ∈ C tel que pour tout β > α il existe M(β) > 0 tel que :∣∣∣∣F (z)− A

z

∣∣∣∣ ≤ M(β)|z|2

pour tout z ∈ C tel que <(z) ≥ β.alors pour tout t ∈ R et β > α l’integrale∫

Γ(β)etz[F (z)− A

z

]dz = i

∫ ∞−∞

et(β+iy)

[F (β + iy)− A

β + iy

]dy

converge absolument et ne depend pas de β. Γ(β) est la droite <(z) = βorientee positivement.

De plus en posant

g(t) =∫

Γ(β)etz[F (z)− A

z

]dz ∀t ∈ R ∀β > α

on a g ∈ C(R), g(t) = 0 pour tout t < 0.En posant

f(t) = A+1

2πig(t) ∀t ≥ 0

f ∈ E(α), f ∈ C([0,∞[) et f(s) = F (s) pour tout s ∈ R(α) = D(f).

35

Theoreme 4.2 (Transformee de Laplace inverse) Soit F : Ω ⊂ C→ Cune verifiant :

1. il existe z1, . . . , zn ∈ C tels que F ∈ H(Ω\z1, . . . , zn)2. lim|z|→∞ F (z) = 0

alors

f(t) =n∑k=1

Res(etzF (z), zk) ∀t > 0

et f ∈ E(α) avec α = max(0, zk) et f(s) = F (s) pour tout s ∈ R(α) = D(f).

4.1.3 Derivees et convolution

Proposition 4.4 Soit f ∈ C1([0,∞[)) verifiant f, f ′ ∈ E(α). Alors

f ′(s) = −f(0) + sf(s) ∀s ∈ R(α)

Si f ∈ Cn([0,∞[) est tel que f (k) ∈ E(α) pour k = 0, 1, . . . , n, alors :

f (n)(s) = −n−1∑k=0

sn−1−kf (k)(0) + snf(s)

pour tout s ∈ R(α).

Definition 4.3 (Convolution) Soit f, g deux fonctions continues par mor-ceaux sur [0,∞[. La convolution de f et g sur [0,∞[ est la fontion f ∗ g :[0,∞[→ R definie par :

(f ∗ g)(t) =∫ t

0f(t− τ)g(τ)dτ t ≥ 0

Proposition 4.5 Soit f, g ∈ E(α), alors f ∗ g ∈ E(α) et

f ∗ g(s) = f(s)g(s) ∀s ∈ R(α)

1

4.1.4 Resolution d’equations differentielles

La resolution se fait en trois etapes :

1. on applique la transformation de Laplace a la fonction recherchee

2. on resout la transformee ce qui donne les singularites

3. on applique la transformee inverse a l’aide des singularite trouvees1Cette propriete est pratique pour l’inversion : si on connait f = F et g = G alors

f ∗ g = FG

36

4.2 Transformee de Fourrier

Definition 4.4 (Lp) Pour 1 ≤ p < ∞ on ecrit f ∈ Lp = Lp(R) lorsquel’integrale

lima→−∞b→∞

∫ b

a|f(x)|pdx

converge et on pose :

‖f‖p =[∫ ∞−∞|f(x)|pdx

]Definition 4.5 (Transformee de Fourier) Soit f ∈ L1(R). La trans-formee de Fourier de f est la fonction f : R → C definie par :

f(ξ) =1√2π

∫ ∞−∞

e−iξxf(x)dx ∀ξ ∈ R

Theoreme 4.3 (Important) Soit f ∈ L1(R), alors :

1. f ∈ L∞(R) et ‖f‖∞ ≤ 1√2π‖f‖1

2. f ∈ C(R) et lim|ξ|→∞ |f(ξ)| = 0

Theoreme 4.4 Soit f ∈ L1(R)

1. si f est derivable sur R et f ′ ∈ L1(R) alors :

f ′(ξ) = iξf(ξ) et lim|ξ|→∞

ξf(ξ) = lim|x|→∞

f(x) = 0

2. soit g(x) = xf(x) avec g ∈ L1, alors f ∈ C1(R) avec :

(f)′(ξ) = −ig(ξ) et lim|ξ|→∞

(f)′(ξ) = 0

3. si h ∈ L1 alors fh, fh ∈ L1 avec :∫ ∞−∞

f(x)h(x)dx =∫ ∞∞

f(x)h(x)dx

Theoreme 4.5 Soit f ∈ L1 une fonction telle que f ∈ L1, alors :

1. f, f ∈ L∞ ∩ C et

(f)(x) = f(−x) ∀x ∈ R

2. f, f ∈ L2 et ‖f‖2 = ‖f‖2

37

3. pour g ∈ L1 telle que g ∈ L1, fg, f g ∈ L1 avec :∫ ∞−∞

g(x)g(x)dx =∫ ∞∞

f(x)¯g(x)dx

Definition 4.6 (Transformee de Fourier inverse) La transformee de Fou-rier inverse f∨ : R → C d’une fonction f ∈ L1 est definie par :

f∨(x) = f(−x) =1√2π

∫ ∞∞

eixξf(ξ)dξ

Definition 4.7 (Er(f)) La fonction d’erreur est definie par :

Er(f) =2√π

∫ x

0e−y

2du

Definition 4.8 (Convolution) Soit f, g : R → C. La convolution de f etg est2 la fonction f ∗ g : R → C definie par :

(f ∗ g)(x) =∫ ∞−∞

f(x− y)g(y)dy

lorsque cette integrale converge.

Theoreme 4.6 1. soit f ∈ L1 ∩ L∞ et g ∈ L1, alors pour tout reel x lafonction f(x− y)g(y) est de classe C1 et :

(a) f ∗ g ∈ L1 ∩ L∞ avec ‖f ∗ g‖1 ≤ ‖f‖1‖g‖1(b) ‖f ∗ g‖∞ ≤ ‖f‖∞‖g‖1(c) 3 f ∗ g(ξ) =

√2πf(ξ)g(ξ) pour tout ξ ∈ R

2. si f, g ∈ L1 verifient f , g ∈ L1 alors :

(fg)∨(x) =(

1√2πf∨ ∗ g∨

)(x) ∀x ∈ R

2dans le cadre de la transformee de Fourier3utile pour resoudre des problemes d’equations differentielles.

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