Resposta em Frequência
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Sistemas e Sinais (LEIC) – Resposta em Frequência
Carlos CardeiraDiapositivos para acompanhamento da bibliografia de base (Structure and Interpretation of Signals and Systems, Edward A. Lee and Pravin Varaiya)
Sumário
Definições
Sistemas sem memória
Sistemas causais
Sistemas Invariantes no Tempo
Sistemas Lineares
Resposta em Frequência
Definições
x Entradas = [tempo → Reais ou Complexos]
y Entradas = [tempo → Reais ou Complexos]
Tempo = Inteiros ou Reais
Sx y
Exemplos (contínuos)
Ganho K
Delay T
Média Móvel
)())((,, tkxtxGRtx k
)())((,, TtxtxDRtx T
dxM
txMA
RtCRRx
t
Mt
)(1
))((
,],,[
Exemplos (contínuos)
Reverse
Fast Forward
Câmara Lenta
Energia
)())((,, txtxRvtx
)5.1())((,, txtxFFtx
)5.0())((,, txtxCLtx
t
dxtxEtx )())((,, 2
Definições: Resposta Impulsiva
A saída do sistema pode-se calcular através da convolução da resposta impulsiva com a entrada
s
dssxsthtxHtx )()())((,,
Exemplos (discretos)
Ganho K
Delay T (T inteiro)
Média Móvel
)())((,, nkxnxGInteirosnx k
)())((,, TnxnxDInteirosnx T
1
0
)(1
))((
,],,[
M
k
knxM
nxMA
InteirosnCRRx
Exemplos (discretos)
Reverse
Down Sample (subamostrar)
Up Sample (sobreamostrar, introduzindo zero ou outro valor, nos pontos não definidos)
)())((,, nxnxRvnx
)2())((,, nxnxDownnx
ímparn
parnnxnxUpnx
02))((,,
Resposta Impulsiva (discretos)
A saída do sistema pode-se calcular através da convolução da resposta impulsiva com a entrada
m
mxmnhnxHnx )()())((,,
Sistema sem memória
Um sistema S não tem memória se existir uma função tal que:
Exemplos:
))(())((,, txftxSxt
)2()1())((,,
)(2))((,,
)())((,, 2
txtxtxSxt
txtxSxt
txtxSxt Sem memória
Sem memória
Com memória
Definições: Sistema causal
Um sistema S é causal se a saída não depender de entradas futuras:
Se duas entradas forem iguais até um determinado instante t, a saída, até esse instante, é igual para ambas
))(())((),()(
,,,
twStxStsswsx
xwt
Causalidade
O sistema é causal porque para entradas x e w, iguais até ao
instante t, produz a mesma saída S(x) e S(w).
Definições: Sistema Invariante no tempo
Considere-se a função Delay
Um sistema é invariante no tempo se, para qualquer delay T, tivermos:
Ou seja:
)())((,, TtxtxDtx T
TT DSSD
)))((()))(((,, txDStxSDtx TT
Exemplo: Sistema Invariante no tempo
Atrasar uma entrada produz um atraso equivalente na saída. As funções atraso e S podem ser aplicadas na ordem que quisermos.
Exemplos
S(x)(t)=x(-t)
DT o S = DT (S(x)(t))(t)= DT (x(-t))(t) =x(-t-T)
S o DT = S(DT(x)(t))(t)=S(x(t-T))(t)=x(-t+T)
Não é Invariante no Tempo
Exemplos
S(x)(t)=(x(t-1))2
DT o S = DT (S(x)(t))(t)= DT ((x(t-1))2)(t) =(x(t-T-1))2
S o DT = S(DT(x)(t))(t)=S(x(t-T))(t)=(x(t-T-1))2
É causal
Exemplos
É invariante no tempo
Não é invariante no tempo. Só o seria se a função x fosse nula para t<a
t
dssxtxE )())(( 2
t
a
dssxtxE )())(( 2
Linearidade
S(x+w)=S(x)+S(w)
S(ax)=aS(x)
S(ax+bw)=aS(x)+bS(w)
S(0) tem que ser 0 porque senão não seria possível garantir S(ax)=aS(x) para qualquer ‘a’
Exemplos
Média Móvel Linear
Invariante no Tempo
Delay Linear
Invariante no Tempo
Ganho Linear
Invariante no Tempo
Reverse Linear
Não Invariante no Tempo
Exemplos
Fast Forward Linear
Não Invariante no Tempo
Câmara Lenta Linear
Não Invariante no Tempo
Energia Não Linear
Invariante no Tempo
Convolução Linear
Invariante no Tempo
Resposta em Frequência
Teorema:
Se a entrada for uma exponencial complexa (eiwt) de determinada frequência, a saída também terá a mesma frequência
H(w) é a resposta em frequência do sistema
Cálculo da Resposta em Frequência
)()( txtydt
dy
O circuito RC (se normalizado de forma a R=C=1)
tem a forma:
Qual será a resposta em frequência ?
Cálculo da Resposta em Frequência do circuito R/C
jwwH
eewHewjwH
ewHty
etx
jwtjwtjwt
jwt
jwt
1
1)(
)()(
)()(
)(
Filtro passa baixo
Exemplo: Resposta em Frequência da função GanhoK
A amplitude é multiplicada por K, a fase mantém-se
)(,, tkxGtx k
kwH
keewH jwtjwt
)(
)(
Linear e Invariante no Tempo
•Linear porque as derivadas são operadores lineares
•Invariante no tempo se ai e bi não dependerem de t
Causalidade e Resposta Impulsiva
Considere-se um sistema definido pela convolução:
0,0)(
)()()()(
)()())((
)(0
tth
dssxsthdssxsth
dssxsthtxS
t
ecausalidad
t
Resposta em Frequência
A resposta em frequência de um sistema definido pela convolução da entrada com a resposta impulsiva é:
O que significa que a resposta em frequência de um sistema é a transformada de Fourier da resposta impulsiva
)(
)(
)(
)()()(
)()())((
wH
s
jwujwt
s
stjw
s
jwtjwsjwt
s
dueuhe
dsesthedsesthewH
dssxsthtxS
Exemplo: média móvel
)1(2
1)(
12
1
2
1)(
)1()(2
1))((,,
)1(
jw
jwjwnnjwjwnjwn
ewH
eeeeewH
nxnxnxMAxn
Exemplo: média móvel + autoregressão
wj
wjjw
wjjwjwnjwnwj
e
eewH
eeeeewH
nxnxnxnyny
2
3
32
1
1)(
)1()1)((
)3()1()()2()(
De uma forma geral, a componente média móvel
fica no numerador e a componente autoregressiva
no denominador. Consegue-se escrever a resposta
em frequência sem ter que fazer as contas
Peridicidade da resposta em frequência para sistemas discretos
)2()2(' )2()()(
)()()(
wjnwjn
jwnjwn
ewHnyenx
ewHnyenx
Mas como x(n)=x’(n) :
)2()( wHwHEm sistemas discretos, H(w) tem sempre período 2
E, por convenção, desenha-se apenas entre - e
ou então apenas entre 0 e porque a função é par
Resposta em frequência de dois sistemas LTI em cascata
A resposta em frequência é o produto das respostas em frequência de cada sistema
H(w) G(w)
ejwt H(w)ejwt H(w)G(W)ejwt
Resposta em Frequência de dois sistemas com feedback
H
G
+1.ejwt
E(w)ejwtY(w)ejwt
R(w)ejwt
Y(w)=E(w).H(w)
R(w)=Y(w).G(w)
E(w)=1+R(w)
Resposta em Frequência de sistemas com feedback
Y(w)=E(w).H(w)
R(w)=Y(w).G(w)
E(w)=1+R(w)
Y(w)=(1+R(w)).H(w)=
=(1+Y(w).G(w))H(w)
Y(w)=H(w)/(1-G(w)H(w))
Amplitude e fase
H(w)=|H(w)|e H(w) , H(w) representa o angulo de H(w) com o eixo real
|H(w)| é a amplitude da resposta em Freq.
H(w)) é a fase da resposta em frequência
Exemplo:
y(n)=1/2(x(n)+x(n-1))
H(w)=1/2(1+e-jw)
|H(w)|=1/2 |1+cos(w)-jsin(w)|=
=1/2 sqrt((1+cos(w)) 2+sin2(w))
H(w)=-atan(sin(w)/(1+cos(w))
Exemplo:
>> w=-2*pi:pi/1000:2*pi;
%embora bastasse de 0 a pi
>> H=(1+exp(-i*w))/2;
>> subplot(2,1,1)
>> plot(w,abs(H))
>> subplot(2,1,2)
>> plot(w,angle(H))
Propriedades
Se a entrada for periódica de período p a saída é periodica com o mesmo período
Como cos(wt)=cos(-wt) teremos H(w)=H*(w)
|H(w)|=|H(-w)| → amplitude é par
H(w)=- H(-w) → fase é ímpar
Feedback para melhorar a resposta em frequência
Se se pretende que o sistema responda mais rapidamente a resposta às altas frequências tem que melhorar
À parte o problema das saturações este é um mecanismo usado em robôs.
Propriedades (Discretos)
Se a entrada for periódica de período p a saída é periodica com o mesmo período
Como cos(wn)=cos(-wn) teremos H(w)=H*(w)
|H(w)|=|H(-w)| → amplitude é par
H(w)=- H(-w) → fase é ímpar
E porque ejwn=ej(w+2 )n
Temos: H(w)=H(w+2 ) (em sistemas discretos a resposta em frequência é periódica)
Série de Fourier
A0 é a componente DC (valor médio do sinal)
Permite representar qualquer sinal periódico
Se o sinal não for periódico mas for finito (no tempo), pode também ser representado por uma série se o replicarmos ao longo do tempo.
Equivalência entre as formas exponencial e coseno
)1(2
1
)1(2
1
)0(
)(
21
21
)cos()(
0
1
)(
1
)(
0
0
1
0
0
00
keAX
keAX
kAX
eXtx
eAeAA
twkAAtx
k
k
kk
j
kk
j
kk
k
k
tjkw
k
k
tkwj
k
k
tkwj
k
k
k
k
Xk e X-k são Complexos Conjugados
Obtenção dos coeficientes Ak e partir de Xk
kk
kk
kok
tjkw
k
tjkw
k
tjkw
k
tjkw
k
tjkw
kkok
X
XA
XtwX
eXeXeX
eXeXtwA
XA
ooo
oo
2
)cos(2
Re2
)cos(
*
00
Cálculo dos coeficientes Xn
)(0
)(
)(
)(
0
2)(
0
)(
0
)(
0
)(
00
0
00
000
0
nk
nkpdtedte
dteXdteX
dteXedtetx
eXtx
pt
pnkj
p
twnkj
k
p
twnkj
k
p
k
twnkj
k
p
k
tjkw
k
tjnw
p
tjnw
k
tjkw
k
Base
As funções que compõem a série de Fourier constituem uma base.
Qualquer função pode ser representada por uma combinação linear delas.
Cálculo dos Coeficientes (tempo discreto)
CXeXnxn
ou
nwkAAnxn
amostraradp
wIntsIntsX
l
p
l
njlw
l
k
p
k
k
,)(,
)cos()(,
/2
,:
1
0
0
2/
1
0
0
0
Cálculo de X (discreto)
1
0
1
0
1
0
)(
1
0
1
0
)(1
0
0
0
00
)(1
)(
p
n
njkw
k
k
p
l
p
n
nwklj
l
p
n
p
l
nwklj
l
p
n
njkw
enxp
X
pXeX
eXenx
Multiplicando ambos os lados por exp(-jkwon)