Resposta em Frequência

68
Sistemas e Sinais (LEIC) Resposta em Frequência Carlos Cardeira Diapositivos para acompanhamento da bibliografia de base (Structure and Interpretation of Signals and Systems, Edward A. Lee and Pravin Varaiya)

Transcript of Resposta em Frequência

Sistemas e Sinais (LEIC) – Resposta em Frequência

Carlos CardeiraDiapositivos para acompanhamento da bibliografia de base (Structure and Interpretation of Signals and Systems, Edward A. Lee and Pravin Varaiya)

Sumário

Definições

Sistemas sem memória

Sistemas causais

Sistemas Invariantes no Tempo

Sistemas Lineares

Resposta em Frequência

Definições

x Entradas = [tempo → Reais ou Complexos]

y Entradas = [tempo → Reais ou Complexos]

Tempo = Inteiros ou Reais

Sx y

Exemplos (contínuos)

Ganho K

Delay T

Média Móvel

)())((,, tkxtxGRtx k

)())((,, TtxtxDRtx T

dxM

txMA

RtCRRx

t

Mt

)(1

))((

,],,[

Exemplos (contínuos)

Reverse

Fast Forward

Câmara Lenta

Energia

)())((,, txtxRvtx

)5.1())((,, txtxFFtx

)5.0())((,, txtxCLtx

t

dxtxEtx )())((,, 2

Definições: Resposta Impulsiva

A saída do sistema pode-se calcular através da convolução da resposta impulsiva com a entrada

s

dssxsthtxHtx )()())((,,

Exemplos (discretos)

Ganho K

Delay T (T inteiro)

Média Móvel

)())((,, nkxnxGInteirosnx k

)())((,, TnxnxDInteirosnx T

1

0

)(1

))((

,],,[

M

k

knxM

nxMA

InteirosnCRRx

Exemplos (discretos)

Reverse

Down Sample (subamostrar)

Up Sample (sobreamostrar, introduzindo zero ou outro valor, nos pontos não definidos)

)())((,, nxnxRvnx

)2())((,, nxnxDownnx

ímparn

parnnxnxUpnx

02))((,,

Resposta Impulsiva (discretos)

A saída do sistema pode-se calcular através da convolução da resposta impulsiva com a entrada

m

mxmnhnxHnx )()())((,,

Sistema sem memória

Um sistema S não tem memória se existir uma função tal que:

Exemplos:

))(())((,, txftxSxt

)2()1())((,,

)(2))((,,

)())((,, 2

txtxtxSxt

txtxSxt

txtxSxt Sem memória

Sem memória

Com memória

Definições: Sistema causal

Um sistema S é causal se a saída não depender de entradas futuras:

Se duas entradas forem iguais até um determinado instante t, a saída, até esse instante, é igual para ambas

))(())((),()(

,,,

twStxStsswsx

xwt

Causalidade

O sistema é causal porque para entradas x e w, iguais até ao

instante t, produz a mesma saída S(x) e S(w).

Definições: Sistema Invariante no tempo

Considere-se a função Delay

Um sistema é invariante no tempo se, para qualquer delay T, tivermos:

Ou seja:

)())((,, TtxtxDtx T

TT DSSD

)))((()))(((,, txDStxSDtx TT

Exemplo: Sistema Invariante no tempo

Atrasar uma entrada produz um atraso equivalente na saída. As funções atraso e S podem ser aplicadas na ordem que quisermos.

Exemplos

S(x)(t)=x(t+3)

DT o S = x(t+3-T)

S o DT = x(t-T+3)

O sistema é invariante no tempo

Exemplos

S(x)(t)=x(-t)

DT o S = DT (S(x)(t))(t)= DT (x(-t))(t) =x(-t-T)

S o DT = S(DT(x)(t))(t)=S(x(t-T))(t)=x(-t+T)

Não é Invariante no Tempo

Exemplos

S(x)(t)=(x(t-1))2

DT o S = DT (S(x)(t))(t)= DT ((x(t-1))2)(t) =(x(t-T-1))2

S o DT = S(DT(x)(t))(t)=S(x(t-T))(t)=(x(t-T-1))2

É causal

Exemplos

É invariante no tempo

Não é invariante no tempo. Só o seria se a função x fosse nula para t<a

t

dssxtxE )())(( 2

t

a

dssxtxE )())(( 2

Exemplos - Convolução

É invariante no tempo

dssthtx )()(

Linearidade

S(x+w)=S(x)+S(w)

S(ax)=aS(x)

S(ax+bw)=aS(x)+bS(w)

S(0) tem que ser 0 porque senão não seria possível garantir S(ax)=aS(x) para qualquer ‘a’

Linearidade

Exemplos

Média Móvel Linear

Invariante no Tempo

Delay Linear

Invariante no Tempo

Ganho Linear

Invariante no Tempo

Reverse Linear

Não Invariante no Tempo

Exemplos

Fast Forward Linear

Não Invariante no Tempo

Câmara Lenta Linear

Não Invariante no Tempo

Energia Não Linear

Invariante no Tempo

Convolução Linear

Invariante no Tempo

Resposta em Frequência

Teorema:

Se a entrada for uma exponencial complexa (eiwt) de determinada frequência, a saída também terá a mesma frequência

H(w) é a resposta em frequência do sistema

Exemplo:

1arctan

21

1)(

1

1)(

wj

ew

wH

jwwH

Exemplo:

|H(w)|21

1)(

wwH

Filtro passa baixo

Exemplo:

fase )arctan(w

Cálculo da Resposta em Frequência

)()( txtydt

dy

O circuito RC (se normalizado de forma a R=C=1)

tem a forma:

Qual será a resposta em frequência ?

Cálculo da Resposta em Frequência do circuito R/C

jwwH

eewHewjwH

ewHty

etx

jwtjwtjwt

jwt

jwt

1

1)(

)()(

)()(

)(

Filtro passa baixo

Exemplo: Resposta em Frequência da Média Móvel

Exemplo: Resposta em Frequência da função Delay

A amplitude mantém-se, apenas a fase do sinal varia

Exemplo: Resposta em Frequência da função GanhoK

A amplitude é multiplicada por K, a fase mantém-se

)(,, tkxGtx k

kwH

keewH jwtjwt

)(

)(

Resposta em Frequência

Linear e Invariante no Tempo

•Linear porque as derivadas são operadores lineares

•Invariante no tempo se ai e bi não dependerem de t

Causalidade e Resposta Impulsiva

Considere-se um sistema definido pela convolução:

0,0)(

)()()()(

)()())((

)(0

tth

dssxsthdssxsth

dssxsthtxS

t

ecausalidad

t

Resposta em Frequência

A resposta em frequência de um sistema definido pela convolução da entrada com a resposta impulsiva é:

O que significa que a resposta em frequência de um sistema é a transformada de Fourier da resposta impulsiva

)(

)(

)(

)()()(

)()())((

wH

s

jwujwt

s

stjw

s

jwtjwsjwt

s

dueuhe

dsesthedsesthewH

dssxsthtxS

Resposta em Frequência de Sistemas Discretos

jwnjwn ewHnyenxn )()()(,

Analogamente:

Exemplo: média móvel

)1(2

1)(

12

1

2

1)(

)1()(2

1))((,,

)1(

jw

jwjwnnjwjwnjwn

ewH

eeeeewH

nxnxnxMAxn

Exemplo: média móvel + autoregressão

wj

wjjw

wjjwjwnjwnwj

e

eewH

eeeeewH

nxnxnxnyny

2

3

32

1

1)(

)1()1)((

)3()1()()2()(

De uma forma geral, a componente média móvel

fica no numerador e a componente autoregressiva

no denominador. Consegue-se escrever a resposta

em frequência sem ter que fazer as contas

Exemplo: equação às diferenças genérica

Peridicidade da resposta em frequência para sistemas discretos

)2()2(' )2()()(

)()()(

wjnwjn

jwnjwn

ewHnyenx

ewHnyenx

Mas como x(n)=x’(n) :

)2()( wHwHEm sistemas discretos, H(w) tem sempre período 2

E, por convenção, desenha-se apenas entre - e

ou então apenas entre 0 e porque a função é par

Resposta em frequência de dois sistemas LTI em cascata

A resposta em frequência é o produto das respostas em frequência de cada sistema

H(w) G(w)

ejwt H(w)ejwt H(w)G(W)ejwt

Resposta em Frequência de dois sistemas com feedback

H

G

+1.ejwt

E(w)ejwtY(w)ejwt

R(w)ejwt

Y(w)=E(w).H(w)

R(w)=Y(w).G(w)

E(w)=1+R(w)

Resposta em Frequência de sistemas com feedback

Y(w)=E(w).H(w)

R(w)=Y(w).G(w)

E(w)=1+R(w)

Y(w)=(1+R(w)).H(w)=

=(1+Y(w).G(w))H(w)

Y(w)=H(w)/(1-G(w)H(w))

Amplitude e fase

H(w)=|H(w)|e H(w) , H(w) representa o angulo de H(w) com o eixo real

|H(w)| é a amplitude da resposta em Freq.

H(w)) é a fase da resposta em frequência

Exemplo:

y(n)=1/2(x(n)+x(n-1))

H(w)=1/2(1+e-jw)

|H(w)|=1/2 |1+cos(w)-jsin(w)|=

=1/2 sqrt((1+cos(w)) 2+sin2(w))

H(w)=-atan(sin(w)/(1+cos(w))

Exemplo:

>> w=-2*pi:pi/1000:2*pi;

%embora bastasse de 0 a pi

>> H=(1+exp(-i*w))/2;

>> subplot(2,1,1)

>> plot(w,abs(H))

>> subplot(2,1,2)

>> plot(w,angle(H))

Exemplo

Decibels

É vulgar medir a amplitude em dB

)(log20 10 wHdB

Propriedades (sinais reais)

Propriedades

Se a entrada for periódica de período p a saída é periodica com o mesmo período

Como cos(wt)=cos(-wt) teremos H(w)=H*(w)

|H(w)|=|H(-w)| → amplitude é par

H(w)=- H(-w) → fase é ímpar

Propriedades (Discretos)

Exemplo de feedback para aumentar a largura de banda

Exemplo de feedback para aumentar a largura de banda

Feedback para melhorar a resposta em frequência

Se se pretende que o sistema responda mais rapidamente a resposta às altas frequências tem que melhorar

À parte o problema das saturações este é um mecanismo usado em robôs.

Propriedades (Discretos)

Se a entrada for periódica de período p a saída é periodica com o mesmo período

Como cos(wn)=cos(-wn) teremos H(w)=H*(w)

|H(w)|=|H(-w)| → amplitude é par

H(w)=- H(-w) → fase é ímpar

E porque ejwn=ej(w+2 )n

Temos: H(w)=H(w+2 ) (em sistemas discretos a resposta em frequência é periódica)

Coeficientes da Série de Fourier

)cos()(

sec/2

,,:

0

1

0

0

k

k

k twkAAtx

radP

wpRRX

Série de Fourier

A0 é a componente DC (valor médio do sinal)

Permite representar qualquer sinal periódico

Se o sinal não for periódico mas for finito (no tempo), pode também ser representado por uma série se o replicarmos ao longo do tempo.

A forma exponencial é mais prática

*

)(

kk

tjkw

k

XX

eXtx o

Equivalência entre as formas exponencial e coseno

)1(2

1

)1(2

1

)0(

)(

21

21

)cos()(

0

1

)(

1

)(

0

0

1

0

0

00

keAX

keAX

kAX

eXtx

eAeAA

twkAAtx

k

k

kk

j

kk

j

kk

k

k

tjkw

k

k

tkwj

k

k

tkwj

k

k

k

k

Xk e X-k são Complexos Conjugados

Obtenção dos coeficientes Ak e partir de Xk

kk

kk

kok

tjkw

k

tjkw

k

tjkw

k

tjkw

k

tjkw

kkok

X

XA

XtwX

eXeXeX

eXeXtwA

XA

ooo

oo

2

)cos(2

Re2

)cos(

*

00

Cálculo dos coeficientes Xn

)(0

)(

)(

)(

0

2)(

0

)(

0

)(

0

)(

00

0

00

000

0

nk

nkpdtedte

dteXdteX

dteXedtetx

eXtx

pt

pnkj

p

twnkj

k

p

twnkj

k

p

k

twnkj

k

p

k

tjkw

k

tjnw

p

tjnw

k

tjkw

k

Cálculo dos Coeficientes

p

tjnw

n

n

p

tjnw

k

tjkw

k

dtetxp

X

pXdtetx

eXtx

0

0

0

0

0

)(1

)(

)(

Base

As funções que compõem a série de Fourier constituem uma base.

Qualquer função pode ser representada por uma combinação linear delas.

Cálculo dos Coeficientes (tempo discreto)

CXeXnxn

ou

nwkAAnxn

amostraradp

wIntsIntsX

l

p

l

njlw

l

k

p

k

k

,)(,

)cos()(,

/2

,:

1

0

0

2/

1

0

0

0

Cálculo de X (discreto)

1

0

1

0

1

0

)(

1

0

1

0

)(1

0

0

0

00

)(1

)(

p

n

njkw

k

k

p

l

p

n

nwklj

l

p

n

p

l

nwklj

l

p

n

njkw

enxp

X

pXeX

eXenx

Multiplicando ambos os lados por exp(-jkwon)

Cálculo dos Coeficientes (tempo discreto)

klseep

l

nwklj0

1

0

)( 0