Resolucion Guia 6 MAT023

Universidad TecnicaFederico Santa MaraDepartamento de Matematica

Matematica IIIGua No6

Coordinacion MAT-023

Gua #6 MAT023 Semestre I, 2015

Ayudantes: Dymythy Huenuhueque, Rogelio Arancibia, Edgardo Villar

1.- Considere la ecuacion xy = 2 x2 + (1 + 2x)y y2. Use el cambio de variable z = x y + 1 para encontrarla solucion general.

Solucion

Usando el cambio de variable antes propuesto, se tiene que

= y = x z + 1= y = 1 z

remplazando en la ecuacion original se tiene que

xy = 2 x2 + (1 + 2x)y y2x(1 z) = 2 x2 + (1 + 2x)(x z + 1) (x z + 1)2x xz = 2 x2 + (x z + 1)(1 + 2x x+ z 1)x xz = 2 x2 + (x z + 1)(x+ z)x xz = 2 x2 + x2 zx+ x+ zx z2 + z

= zx z2 + z = 2

que la resolveremos por variables separables

zx z2 + z = 2dz

z2 z 2 =dx

x

1

3

dz

z 2 1

3

dz

z + 2=dx

x

/1

3

(1

z 2 1

z + 1

)dz =

dx

x

1

3ln |z 2| 1

3ln |z + 1| = ln |x|+ C

1

3ln

z 2z + 1 = ln |x|+ C

ln

(z 2z + 1

)1/3 = ln |x|+ C /e( )(z 2z + 1

)1/3= Kx k R

Funcion definida implcitamente.

1 LATEX 2/ D.A.H.S




2.- (a) Muestre que la ecuacion

yF (x, y) + xG(xy)dy

dx=0

puede resolverse usando el cambio u = xy.

Solucion

Remplazando en la EDO se tiene que

u

xF (u) + xG(u)

(u

x ux2

)=0

u

xF (u) + uG(u) u

xG(u) = 0

uG(u) =1

x(uG(u) uF (u))

por variables separables

uG(u)uG(u) uF (u) =

1

xq.e.d

2 LATEX 2/ D.A.H.S




(b) Resuelva: (x2y3 + 2xy2 + y) + (x3y2 2x2y + x)dydx

= 0

Solucion

Escribiendo la ecuacion nuevamente

y(x2y2 + 2xy + 1) + x(x2y2 2xy + 1)dydx

= 0

Analogo a yF (x, y) + xG(xy)dydx

=0

usamos cambio de variable u = xy

y = ux y = u

x ux2

u

x

(u2 + 2u+ 1

)+ x(u2 2u+ 1)

(u

x ux2

)= 0

u

x(u+ 1)

2+ x (u 1)2 u

x x (u 1)2 u

x2= 0

(u 1)2 u = (u 1)2u

x (u+ 1)

2u

x

u (u 1)2(u 1)2u u(u+ 1)2 =

1

x/

(u 1)2(u 1)2u u(u+ 1)2 du =

1

xdx (u 1)2

4u2du =

1

xdx

u2 2u+ 1

4u2du = ln |x|+ C

u4

+1

2ln |u|+ 1

4u= ln |x|+ C

por el momento u quedo definido implcito...volviendo a las variables originales

xy4

+1

2ln |xy|+ 1

4xy= ln |x|+ C

3 LATEX 2/ D.A.H.S




3.- Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:

a)dy

dx=

xy + 3x y 3xy 2x+ 4y 8

Solucion

dy

dx=xy + 3x y 3xy 2x+ 4y 8

Como podemos notar si ordenamos la ecuacion no queda

dy

dx=

3x 3 + xy yxy 2x+ 4y 8

dy

dx=

3(x 1) + y(x 1)x(y 2) + 4(y 2)

dy

dx=

(x 1)(y + 3)(y 2)(x+ 4)

Para resolver esta EDO , pasaremos los terminos que dependen de X al lado derecho, al igual que losterminos que dependen de Y al lado izquierdo.

y 2y + 3

dy =x 1x+ 4

dx

y + 3 5y + 3

dy =x+ 4 5x+ 4

dx

(y + 3

y + 3 5y + 3

)dy =

(x+ 4

x+ 4 5x+ 4

)dx /

Tras realizar la integracion obtenemos finalmente como solucion

y 5 ln(y + 3) = x 5 ln(x+ 4) + C

b) exydy

dx= ey + e2xy

Solucion

exydy

dx= ey + e2xy

exydy

dx= ey

(1 + e2x

)ydy

ey=

(1 + e2x

)ex

dx /

yeydy =

2(ex + ex)dx = 2

cosh(x)dx

yey ey = 2sinh(x) + C C RDefinida de manera implcita

4 LATEX 2/ D.A.H.S




c) y =cos(x)

ye(y)2 + 1

Solucion

y =cos(x)

ye(y)2 + 1(sea u = y)

u =cos(x)

ue(u)2 + 1

(ue(u)2

+ 1)du = cos(x)dx /

(ue(u)2

+ 1)du =

cos(x)dx

e(u)2

2+ u = sin(x) + C volviendo al cambio

e(y)2

2+ y = sin(x) + C

d) ydy

dx=

2y4 + x4

xy3

e) yy = x(y2 + 1)

Solucion

yy = x(y2 + 1)ydy

y2 + 1= xdx /

1

2ln |y2 + 1| = x

2

2+ C

y2 + 1 = Cex2/2

y2 = C2ex2 1

y = C1ex

2 1

5 LATEX 2/ D.A.H.S




4.- Considere la familia de ecuaciones diferenciales de primer orden

y =ax+ by + c

x+ y + (1)

es decir, la razon entre dos rectas.

(a) Si a/b 6= /, pruebe que si (xo, yo) es el punto de interseccion de las rectas, el cambio de variablesu = x xo , v = y yo transforma a (1) en una ecuacion diferencial del tipo

dv

du= h

( vu

)(b) Si a/b = /, pruebe que el cambio de variable z = ax+ by transforma a (1) en una ecuacion diferencial

separable.

(c) Utilice lo anterior para resolver

I.dy

dx=

2x+ y + 2

x y + 1II.

dy

dx=

2x+ y 14x+ 2y + 5

III.dy

dx=y x+ 1y + x+ 5

IV.dy

dx=

1 2y 4x1 + y + 2x

Solucion

(a) Para empezar debemos calcular los (xo, yo) , esto lo haremos interceptando las dos rectas siguientes ax+ by + c = 0x+ y + = 0

xo =c bb a yo =

c aa b

como nos piden ocupar el cambio de variables nos queda queu = x c b

b a

v = y caabcuyas derivadas son {

du = dxdv = dy

Por ende al remplazar (xo, yo) y lo demas, no queda que

y =ax+ by + c

x+ y +

dv

du=

au+ bv

u+ v

dv

du=

a+ bv

u

+ v

u

= h( vu

)que es lo que buscabamos

6 LATEX 2/ D.A.H.S




(b) Para este segundo caso debemos tener en cuenta que a/b = /, dondea b

= 0

concluimos que son combinacion lineal. Su cambio de variable mas apropiado es

z = ax+ by

dz

dx= a+ b

dy

dx

que al remplazar en (1) obtenemos lo que sigue

y =ax+ by + c

x+ y +

1

b

dz

dx ab

=z + c

az +

que es separable

(c) Para el calculo de I ocupamos lo obtenido en (a), con (a, b, c, , , ) = (2, 1, 2, 1,1, 1)

dv

du=

2 +v

u

1 vu

como es de variables separables hacemos un cambio mas, es decir

m =v

u

v = m u

udm

du+m =

dv

du

que transforma nuestra ecuacion diferencial de

dv

du=

2 +v

u

1 vu

udm

du+m =

2 +m

1m

1mm2 + 2

dm =1

udu

con solucion igual a

12arctg

(m

2

) 1

2ln(m2 + 2) = ln(u) + C1

7 LATEX 2/ D.A.H.S




Tenemos que tener claro que debemos volver a las variables originales que son (x, y)

12

arctan

(m

2

) 1

2ln(m2 + 2) = ln(u) + C1

m =u

v; u = x c b

b a ; v = y c aa b

Para el calculo de II ocupamos lo obtenido en (b), con (a, b, c, , , ) = (2, 1,1, 4, 2, 5)dz

dx 2 = z 1

2z + 5dz

dx=

5z + 9

2z + 5

2z + 5

5z + 9dz = dx /

2

5

z

z + 95dz + ln |5z + 9| = x+ C

2

5

z + 95 95z + 95

dz + ln |5z + 9| = x+ C

2

5z +

7

25ln

z + 95+ ln(5) = x+ C

volviendo a las variables originales, se tiene que (z = 2x+ y)

2

5(2x+ y) +

7

25ln

2x+ y + 95+ ln(5) = x+ C

lo cual define a y como funcion implcita de x.

Nota: No olvidar la solucion trivial y = 2x 95

Para el calculo de III ocupamos lo obtenido en (a), con (a, b, c, , , ) = (1, 1, 1, 1, 1, 5), por tantodv

du=1 + vu1 + vu

dv

du=u+ vu+ v

como es de variables separables hacemos un cambio mas, es decir

m =v

u

v = m u

udm

du+m =

dv

du

que transforma nuestra ecuacion diferencial de

dv

du=u+ vu+ v

udm

du+m =

m 1m+ 1

dm

du=

1m2(m+ 1)u

m+ 1

m2 + 1dm = 1

udu /

ln |m2 + 1|

2+ arctan(m) = ln |u|+ C

8 LATEX 2/ D.A.H.S




volviendo a las variables originales con m =v

u; v = y + 3 ; u = x+ 2

ln

(y + 3

x+ 2

)2+ 1

2

+ arctan

(y + 3

x+ 2

)= ln |x+ 2|+ C

Nota: No olvidar las soluciones triviales y = x 1 y = x 5.

Para el calculo de IV ocupamos lo obtenido en (b), con (a, b, c, , , ) = (4,2, 1, 2, 1, 1), por tanto

12

dz

dx 2 = z + 11

2 z + 1

12

dz

dx=

2z + 2

2 z + 2

12

dz

dx=

6

2 z(z 2)dz = 12dx /

z2

2 2z = 12x+ C

volviendo a las variables originales, se tiene que (z = 2y 4x)(2y + 4x)2

2 2(2y 4x) = 12x+ C

2(y + 2x)2 + 4y = 4x+ C

Lo cual define a y(x) implcitamente.

9 LATEX 2/ D.A.H.S




5.- Una curva pasa por el origen del primer cuadrante en el plano XY . El area bajo la curva desde el origenhasta un punto (a, b), con a, b > 0, es un tercio del area del rectangulo que tiene a estos puntos como verticesopuestos. Encuentre la curva.

Solucion

Pasa por el origen y(0) = 0 x0

y(x)dx area bajo la curva

=1

3xy

1/3 del area del rectangulo

Usando TFC

y(x) =1

3y +

1

3yx

1

3yx 2

3y = 0 / 3

x

y 2xy = 0

y

y=

2

x

dy

y=

2

xdx /

ln |y| = 2 ln |x|+ C

y = Cx2 y(0) = 0 c R curva solicitada y = Cx2.

Observacion: seguramente hay un error en el enunciado y la curva debio pasar por otro punto distinto delorigen, para encontrar un valor concreto de la constante de integracion.

6.- Determine la curva que se encuentra por encima del eje x y que tiene la propiedad de que la longitud del arcoque une dos puntos cualquiera de ella es proporcional a dicho arco.

Solucion

Recordando que la longitud de un arco es

L =

x2x1

(y(x))2 + 1 dx

desde un x1 hasta un x2.

o bien para una curva definida parametricamente

L =

t2t1

(y(t))2 + (x(t))2 dt

ahora bien como nos hablan de arco... en coordenadas rectangulares no tiene mucho sentido... pero en polaresSI! con x = r cos() ; y = r sin() ; r() > 0

L =

21

(y())2 + (x())2 d

10 LATEX 2/ D.A.H.S




implica que

L =

21

r2() + (r())2 d

arco proporcional a la longitud de arco (para cualquier par de puntos) 21

r2() + (r())2 d

2 1 = K

con K = constante de proporcionalidad.

Ya que puede ser cualquier par de puntos, elijamos uno conveniente... 1 = 1fijo 2 = variable 1

r2() + (r())2 d = K( 1) / d

dr2() + (r())2 = K /( )2

r2() + (r())2 = K2

r = K2 r2 = dr

K2 r2 = ddr

K2 r2 = d

para calcular

dr

K2 r2 , ocuparemos el cambio de variable r = K sin() ; dr = K cos()d, que transformanuestra integral a

K cos()dK2 K2 sin2()

=

d = + C

r = K sin() = rk

= sin() = = Arcsin( rk

)o bien mas facil

dr

K2 r2 que es una integral notable igual a Arcsin(rk

)volviendo a la EDO

Arcsin( rk

)= + C

= r() = k sin( + C)r() = k sin( + C) ; r() = k sin( + C)

a modo de ejercicios el quiera puede volver a rectangulares.

11 LATEX 2/ D.A.H.S




7.- Se tiene una poblacion de 20000 mil individuos susceptibles a una enfermedad contagiosa en expansion. Ini-cialmente, el numero de personas que tienen la enfermedad es de 4000 y este aumenta a razon de cuatrocientaspor da. Suponga que la variacion de individuos enfermos es directamente proporcional al producto entre elnumero de las que han contrado la enfermedad y el numero de las que no la han enfermado. Cuanto ha depasar para que otras cuatro mil personas contraigan la enfermedad?

Solucion

Sea P (t) el numero de personas contagiadas para un tiempo t en das. DEFINIR VARIABLES

dP (t)

dt= KP (t)(20000 P (t)), P (0) = 4000 dP (t)

dt

t=0

= 400dP

P (20000 P ) =Kdt usando fracciones parciales

A

P+

B

2000 P =1

P (20000 P ) obtenemos B =1

20000 A = 1

20000

1

20000

(dP

P+

dP

20000 P)

=

Kdt

1

20000(ln |P | ln |20000 P |) = Kt+ C1

ln

P20000 P = Kt+ C1

P

20000 P = CeKt /e( )

P (t) =20000CeKt

1 + CeKt

ocupando las condiciones iniciales obtenemos

P (0) = 4000 = 4000 = 20000C1 + C

C =1

4

= P (t) =20000

4eKt

1 +eKt

4

y la otra condicion nos da el valor de K

dP (t)

dt

t=0

= 400 =80000KeKt

(eKt + 4)2

t=0

400 = 3200K

K =1

8

Finalmente

P (t) =5000et/8

1 +et/8

4

12 LATEX 2/ D.A.H.S




Para que otras 4000 personas contraigan la enfermedad, se tiene que P (to) = 8000

P (to) = 8000 =5000eto/8

1 +eto/8

4

8000 = eto/8(5000 2000)8

3= eto/8

= to = 8 ln(

8

3

)[das]

8.- Considere la ecuacion diferencial y + exy + ex = 0, y(0) = 1.

(a) Pruebe que el cambio de variable u = ey transforma la ecuacion dada en la ecuacion lineal.

(b) Encuentre la solucion y = y(x) de la ecuacion.

Solucion

dado u = ey tenemos que

u = ey /d

dx

u = eydy

dx u = uy y = u

uu

u+ ex

1

u+ ex = 0

u + uex + ex = 0 parte (a) demostrada

que la resolveremos mediante

u = uh + up

para ello calculamos la parte homogenea y despues la solucion particular

uh u + uex = 0

u

u= ex

u = ceex

up up = K(x)uhK(x) =

exeex

dx = eex

Finalmente up = eex eex = 1 y por tanto

u = 1 + ceex como u = ey y = ln |u|y(x) = ln

1 + ceex

13 LATEX 2/ D.A.H.S




9.- Un tanque contiene inicialmente 60 gal. de agua pura. Entra al tanque, a una tasa de 2 gal./min., salmueraque contiene 1 lb. de sal por galon, y la solucion (perfectamente mezclada) sale de el a razon de 3 gal. porminuto; el tanque se vaca despues de 1 hora exactamente.

(a) Encuentre la cantidad de sal que hay en el tanque despues de t minutos.

Solucion

Sea x(t): cantidad de sal en el tanque despues de t minutos. Se tiene que x(0) = 0, pues inicialmente solohay agua.

dx

dt= sal que entra sal que sale

dx

dt= 2

[gal

min

] 1[lb

gal

] 3

[gal

min

] xv

[lb

gal

]se sabe que v(t) = 60 + 2t 3t = 60 t, pues es la cantidad de agua que hay en el tiempo t

dx

dt= 2 3x

60 t EDO lineal

cuya solucion es x(t) = (c+ (60 t)2)(60 t)3

ocupando la condiciones iniciales, tenemos que

x(0) =

(c+

1

602

) 603 = 0

c = 1602

Finalmente se tiene que

x(t) =(t 60)3

602+ 60 t t [0, 60[

(b) Cual es la maxima cantidad de sal que llega a tener el tanque?

Solucion

Se tiene que a partir de la solucion hallada anteriormente x(t) =(t 60)3

602+ 60 t, debemos

x(t) =(t 60)3

602+ 60 t / d

dt

x(t) =(t 60)220 60 1 = 0

donde da como solucion un t = 203 + 60, como se sabe que t [0, 60[, tenemos que nuestro candidatoa tiempo es t = 60 203. Derivando nuevamente se tiene que

x(t) =t 60600

evaluando en el candidato anterior

x(60 20

3) =

3

30

= t = 60 20

3 es maximo local

Finalmente la cantidad de sal maxima es x(60 203) = 40

3

3

14 LATEX 2/ D.A.H.S




10.- Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales lineales. Senale donde es posible resolver

a) y +n

xy =

a

xn, a R, n N

Solucion

Resolviendo la solucion particular y homogenea (y = yh + yp) se tiene que

Solucion Homogenea

y +n

xy = 0

y

y= n

xy 6= 0 x 6= 0

dy

y= n

dx

x

= yh = cxn

Solucion Particular

yp = K(x)yh = K(x) = a

xn1

xn

dx = ax

= yp = K(x)yh = ax1n

Finalmente la solucion final es

y = cxn + ax1n

Si y = 0 al remplazar en la EDO se tiene que 0 = axn a = 0 y = 0 a = 0

b) xy +y

2x+ 1+ y = tan2 x

Solucion


Solucion Homogenea

y + y(

1 +1

2x+ 1

)1

x= 0

y

y= 1

x

(1 +

12x+ 1

)y 6= 0

y

y=

1

x

(1 +

12x+ 1

)yh = c

1

x(

2x+ 1 + 1)1

2x+ 1 1= yh = c(

2x+ 1 + 1)

x(

2x+ 1 1)Solucion Particular

yp = K(x)yh = K(x) =

tan2(x)2x+ 1 + 1

x(

2x+ 1 1)

dx no calcular

15 LATEX 2/ D.A.H.S





y = yh +K(x)yp

c) y tan(x)y = esen(x)

Solucion


Solucion Homogenea

y tan(x)y = 0y

y= tan(x)

dy

y=

tan(x)dx

yh = C sec(x)

Solucion Particular

yp = K(x)yh = K(x) =esen(x)

sec(x)dx = esen(x)


y = yh +K(x)yp

y = C sec(x) + sec(x)esen(x)

16 LATEX 2/ D.A.H.S




11.- Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales. Senale donde es posible resolver

a) y + xy = x3y3

Solucion

Recordando la EDO de Bernoulli

y + p(x)y = f(x)yn

donde se utiliza el cambio de variable z = y1n z = (1 n)yny

En nuestro caso p(x) = x ; f(x) = x3 ; n = 3 teniendo as z = 2y3y , es decir

y + xy = x3y3 / 2y32y3y 2xy2 = 2x3

z 2xz = 2x3

por lo tanto como es una EDO Lineal al resolver por factor integrante se tiene que

(x) = e 2xdx = ex2


z(x) =1

(x)

{2x3(x)dx+ C

}=

1

ex2

{2x3ex2dx+ C

}= ex

2{ex

2

x2 + ex2

+ C}

= x2 + 1 + Cex2

Finalmente al volver a nuestra variable original.

z(x) = x2 + 1 + Cex2

y2 = x2 + 1 + Cex2

funcion implcita de y(x)

b) xy y xy3(1 + ln(x))Solucion

Por restriccion x > 0, ordenando la EDO nos da

y yx

= (1 + ln(x))y3

donde nuevamente tenemos una EDO tipo BernoulliEn nuestro caso p(x) = 1x ; f(x) = (1 + ln(x)) ; n = 3 teniendo as z = 2y3y , es decir

y yx

= (1 + ln(x))y3 / 2y3

2y3y + 2y2

x= 2(1 + ln(x))

z + 2z

x= 2(1 + ln(x))

17 LATEX 2/ D.A.H.S





(x) = e

2xdx = x2


z(x) =1

(x)

{2(1 + ln(x))(x)dx+ C

}=

1

x2

{2(1 + ln(x))x2dx+ C

}=

1

x2

{2

9x3(3 ln(x) + 2) + C

}= 2

9x(3 ln(x) + 2) +

C

x2

Finalmente al volver a nuestra variable original

z(x) = 29x(3 ln(x) + 2) +

C

x2

y2 = 29x(3 ln(x) + 2) +

C

x2

definida implcitamente.

c) 2(1 x2)y (1 x2)y = xy3

Solucion

ordenando la EDO nos da

2(1 x2)y (1 x2)y = xy3

donde nuevamente tenemos una EDO tipo Bernoulli

y y2

=xy3

1 x2

En nuestro caso p(x) = 12 ; f(x) = x1x2 ; n = 3 teniendo as z = 2y3y , es decir

y y2

=xy3

1 x2 / 2y3

2y3y + y2 = 2 x1 x2

z + z = 2 x1 x2


(x) = edx = ex


z(x) =1

(x)

{2 x

1 x2(x)dx+ C}

=1

ex

{2 x

1 x2 exdx+ C

}No se puede integrar

18 LATEX 2/ D.A.H.S




Finalmente al volver a nuestra variable original.

z(x) =1

ex

{2 x

1 x2 exdx+ C

}y2 =

1

ex

{2 x

1 x2 exdx+ C

}definida implcitamente.

12.- Pruebe que ninguna solucion de y = ex + y tiene un maximo relativo. Utilice el cambio de variable u = y ylas propiedades de maximos y mnimos.

Solucion

ocupando el cambio de variable tenemos que

u = ex + uu u = ex


(x) = edx = ex


u(x) =1

(x)

{ex(x)dx+ C

}=

1

ex

{ex exdx+ C

}=

1

ex{x+ C}

= xex + Cex

para encontrar puntos crticos tenemos que y = u = xex + Cex = 0 = x = C

que hace que y = ex + y sea maximo cuando y(C) < 0.al evaluar tenemos que y(C) = eC > 0 , por tanto las soluciones no poseen maximo, ya que no se cumplela relacion.

Otra forma es resolver y = xex + Cex

y = xex + Cex /

y = ex(C + x) + C2

y ver en su grafico que nunca encontraremos un maximo.

19 LATEX 2/ D.A.H.S




13.- Considere el problema con la condicion inicial

(1 + x2)y + 2xy = f(x), y(0) = 0

Donde

f(x) =

x si x [0, 1)x si x 1(a) Encuentre una solucion y = y(x) continua, (pero no de C1) de este problema.

(b) Evalue y(1+), y(1) y demuestre que y(1+) y(1) = 1

Solucion

(a) Debemos desarrollar la ecuacion diferencial ordinaria de primer orden, para ello como tenemos unafuncion a trozos , calcularemos la EDO por partes.

Si f(x) = x:

Primero debemos normalizar la EDO

y +2x

1 + x2y =

x

1 + x2

Luego encontrar la solucion homogenea:

y +2x

1 + x2y = 0

dy

dx= 2x

1 + x2y

1

ydy = 2x

1 + x2dx

ln(y) = ln(1 + x2)

yh = C1 11 + x2

Despues debemos encontrar la solucion particular

yp = yh

h(x)

yhdx

= yh

x1 + x2

1

1 + x2

dx

= yh

xdx

=1

1 + x2 x

2

2

Finalmente la solucion es y = yh + yp

y(x) = C11

1+x2 +x2

2+2x2

20 LATEX 2/ D.A.H.S




Si f(x) = x:Primero debemos normalizar la EDO

y +2x

1 + x2y =

x1 + x2

Luego encontrar la solucion homogenea:

y +2x

1 + x2y = 0

dy

dx= 2x

1 + x2y

1

ydy = 2x

1 + x2dx

ln(y) = ln(1 + x2)

yh = C2 11 + x2

Despues debemos encontrar la solucion particular

yp = yh

h(x)

yhdx

= yh

x1 + x2

1

1 + x2

dx

= yh

xdx

=1

1 + x2 x

2

2

Finalmente la solucion es y = yh + yp

y(x) = C21

1+x2 x2

2+2x2

En resumen la solucion de la EDO es

y(x) =

C1

11+x2 +

x2

2+2x2 si x [0, 1)

C21

1+x2 x2

2+2x2 si x 1

la cual debe ser continua en 1 C2 = C1 + 1 , es decir

y(x) =

C1

11+x2 +

x2

2+2x2 si x [0, 1)

(C1 + 1)1

1+x2 x2

2+2x2 si x 1

21 LATEX 2/ D.A.H.S




(b) Primero debemos derivar para que podamos ver si lo que se nos presenta es cierto

y(x) =

x 2C1x(x2 + 1)2

si x [0, 1)

2C1x 3x(1 + x2)2

si x 1

y(1+) =2C1 3

4

y(1) =1 2C1

4

y(1+) y(1) = 2C1 34

1 2C14

= 1

En base a lo anterior observamos que la igualdad se cumple.

Nota: Los valores de C1 C2 se pudieron haber calculado al principio, basta hacer continuidad.

15.- (a) Utilice un cambio de variable apropiado para resolver el problema

(x+ 1)dy

dx= y + 1 + (x+ 1)

y + 1 x > 0

Solucion

Ordenando la EDO anterior se tiene que

dy

dx=y + +

x+ 1+y + 1

haciendo el cambio de variable u = y + 1 = u = y nos quedady

dx=y + 1

x+ 1+y + 1

u ux+ 1

= u12

donde se observa que corresponde a una EDO de tipo Bernoulli, con p(x) = 1x+ 1

; f(x) = 1 ; n =1

2;

z = u12 ; z =

1

2u12 u

u ux+ 1

= u12 / 1

2u12

1

2u12 u 1

2

u1/2

x+ 1=

1

2

z 12

z

x+ 1=

1

2

como se tiene una EDO Lineal se resolvera por factor integrante

(x) = e

12

1x+1dx =

1x+ 1

22 LATEX 2/ D.A.H.S





u(x) =1

(x)

{1

2(x)dx+ C

}=

11x+ 1

{1

2x+ 1

dx+ C

}

=x+ 1{x+ 1 + C}

= x+ 1 + Cx+ 1

volviendo a la variable original, tenemos

z(x) = x+ 1 + Cx+ 1

y + 1 = x+ 1 + Cx+ 1

definida de manera implcita.

(b) Es y = 1 solucion del problema anterior?.

Solucion

Si es solucion, pues y = 1 dydx

= 0, remplazando en la EDO

(x+ 1)dy

dx= y + 1 + (x+ 1)

y + 1

(x+ 1) 0 = (1 + 1) + (x+ 1)1 + 10 = 0 q.e.d

(c) Queda de tarea para el alumno desarrollar dicho ejercicio.

23 LATEX 2/ D.A.H.S




16.- Demuestre que u1(x, y) = x es un factor de integracion de

(3xy + y2)dx+ (x2 + xy)dy = 0

pero que u2(x, y) =1

xy(2x+ y), tambien lo es. Resuelva para cada caso y comente.

Solucion

Primero debemos comprobar con u1(x, y) = x

(3xy + y2)dx+ (x2 + xy)dy = 0 / x(3x2y + xy2)dx+ (x3 + x2y)dy = 0

transforma nuestra EDO a una exacta, para ello debemos comprobar que

y(3xy + y2) =

x(x3 + x2y),

donde se observa que si se cumple, por ende debemos resolver la EDO, es decir

dF

dx= 3x2y + xy2 /

F = x3y +

x2y2

2+ C(y)

derivando la expresion anterior, y igualando se tiene

dF

dy= x3 + yx2 + C (y)

que debe ser igual a x3 + yx2 = C (y) = 0 = C(y) = C. Finalmente F (x, y) = x3y + x2y22 + C

Ahora al comprobar con u2(x, y) =1

xy(2x+ y), tenemos

(3xy + y2)dx+ (x2 + xy)dy = 0 / 1xy(2x+ y)(

3

2x+ y+

y

x(2x+ y)

)dx+

(x

y(2x+ y)+

1

2x+ y

)dy = 0

transforma nuestra EDO a una exacta, para ello debemos comprobar que

y

(3

2x+ y+

y

x(2x+ y)

)=

x

(x

y(2x+ y)+

1

2x+ y

), donde se observa que si se cumple, por ende debemos resolver la EDO.

dF

dx=

(3

2x+ y+

y

x(2x+ y)

)/

F =

(3

2x+ y+

y

x(2x+ y)

)dx

F =1

2ln |2x+ y|+ ln |x|+ C(y)

F = ln |x

2x+ y|+ C(y)Derivando y comparando se tiene

dF

dy=

1

2x(2x+ y)+ C (y) =

x

y(2x+ y)+

1

2x+ y

aca hay problema ya que C (y) queda definido en terminos de x, por lo tanto no es conveniente este factor,porque genera una EDP (Materia que no se ve en el curso de MAT023).

24 LATEX 2/ D.A.H.S




17.- Muestre que el siguiente diferencial

(axy2 + by)dx+ (bx2y + ax)dy = 0

es exacto solo si a = b. Si a 6= b, muestre que xmyn es un factor integrante, donde m,n depende de a, b.Determine dichos valores y resuelva la ecuacion.

Solucion

Para que la diferencial sea exacta

y(axy2 + by) =

x(bx2y + ax)

2ayx+ b = 2bxy + a

yx(2a 2b) + (b a) = 0= b = a 2a = 2b a = b q.e.d

Ahora probaremos que xmyn es un factor integrante

(axy2 + by)dx+ (bx2y + ax)dy = 0 / xmynxmyn(axy2 + by)dx+ xmyn(bx2y + ax)dy = 0

Para que sea exacta se debe cumplir

y(xmyn(axy2 + by)) =

x(xmyn(bx2y + ax))

xm+1yn+1{(n+ 2)a b(2 +m)}+ xmyn{(n+ 1)b a(m+ 1)} = 0donde debemos resolver el sistema

a(n+ 2) b(m+ 2) = 0a(m+ 1) + b(n+ 1) = 0

con solucion igual a m = a+ 2ba+ b

n = 2a+ ba+ b

Ahora la diferencial queda definida con los valores de m n conocidos.xmyn(axy2 + by)dx+ xmyn(bx2y + ax)dy = 0

como

F

x= xmyn(axy2 + by) /

dx

F = axa/(a+b)yb/(a+b)1a

a+ b

+ bxb/(a+b)ya/(a+b)1

ba+ b

+ C(y)

con C(y) una funcion monotonamente dependiente de y.Derivando F con respecto a y y comparando, se tiene

F

y= bxa/(a+b)yb/(a+b)y1 + axb/(a+b)ya/(a+b)y1 + C (y)

que tiene que ser igual a

x(a+2b)/(a+b)y(2a+b)/(a+b)(bx2y + ax)

y coinciden, dando que C (y) = 0 C(y) = C.

Finalmente se tiene que

F (x, y) = (a+ b)xa/(a+b)yb/(a+b) + (a+ b)xb/(a+b)ya/(a+b) + C; C R

25 LATEX 2/ D.A.H.S




18.- Si y = C(x) representa el costo de producir x unidades en un proceso de manufactura, la elasticidad del costose define como

E(x) =costo marginal

costo promedio=

C (x)C(x)/x

=x

y

dy

dx

Encuentre la funcion de costo si la funcion de elasticidad es

E(x) =20x y2y 10x x 500

Solucion

Si E(x) =20x y2y 10x , para encontrar la funcion de costo se debe resolver la EDO

20x y2y 10x =

x

y

dy

dx

y

x

20x y2y 10x F (x,y)

=dy

dx

Notemos que F (tx, ty) =ty

tx

20tx ty2ty 10tx = F (x, y), por tanto es una EDO de variables separables.

Sea u =y

x y = ux y = ux+ u. Remplazando en la EDO se tiene

ux+ u = u 20 u2u 10

ux =3u2 + 30u

2u 10du

dxx =

3u2 + 30u2u 10

10 2u3u2 30udu =

dx

x

13

ln |u|+ 13

ln |u 10| 23

ln |u 10| = ln |x|+ C

13

ln |u| 13

ln |u 10| = ln |x|+ C

volviendo a la variable original(u =

y

x

)1

3lnyx

13

lnyx 10

= ln |x|+ Clo cual define implcitamente la funcion de costo C(x) (si se quiere encontrar la funcion de costo explcitamentehay que darse casos)

26 LATEX 2/ D.A.H.S

Resolucion Guia 6 MAT023

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