REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA UNIVERSIDAD...
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REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE GUAYANA COORDINACIÓN GENERAL DE INVESTIGACIÓN Y POSTGRADO MAESTRÍA EN CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN MENCIÓN ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS ESTUDIO DEL PENSAMIENTO MATEMÁTICO VINCULADO A LA DEFINICIÓN DE LÍMITE, MEDIANTE LOS DIAGRAMAS V DE GOWIN Trabajo presentado como requisito parcial para optar al grado de Magíster Scientiarum en el programa de Postgrado en Ciencias de la Educación Mención Enseñanza de las Matemáticas Autora: María Elena Bejarano Tutor: Cipriano A. Cruz G. Ciudad Guayana, Mayo de 2009.
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REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE GUAYANA
COORDINACIÓN GENERAL DE INVESTIGACIÓN Y POSTGRADO
MAESTRÍA EN CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN
MENCIÓN ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS
ESTUDIO DEL PENSAMIENTO MATEMÁTICO VINCULADO A LA
DEFINICIÓN DE LÍMITE, MEDIANTE LOS DIAGRAMAS V DE GOWIN
Trabajo presentado como requisito parcial para optar al grado de Magíster
Scientiarum en el programa de Postgrado en Ciencias de la Educación
Mención Enseñanza de las Matemáticas
Autora: María Elena Bejarano
Tutor: Cipriano A. Cruz G.
Ciudad Guayana, Mayo de 2009.
ii
iii
RECONOCIMIENTOS
A Dios padre todopoderoso, porque sin ti nada es posible.
Al profesor Cipriano Cruz, por su valioso e incondicional asesoramiento en
este trabajo de investigación.
A la profesora Juana Ordaz, por sus significativos aportes, en la revisión del
manuscrito del anteproyecto y mucho más allá, durante todo el proceso de evaluación
y supervisión realizado a lo largo del desarrollo de este trabajo.
A la profesora Esther Morales, por sus oportunas y sabias orientaciones
durante la ejecución de la primera y tercera etapa de la investigación.
A la profesora Delisa Bencomo, por sus consecuentes aportes en todo lo
concerniente a la implementación del software atlas/ti.
Al profesor Miguel Amaya, por su colaboración en la revisión y corrección de
los instrumentos aplicados, para la validación de los mismos.
Al profesor Daniel Ruiz, por su participación en la revisión y corrección de
los análisis de resultados de este trabajo.
Al profesor Héctor Martínez, por sus valiosas observaciones consideradas
para el anteproyecto del trabajo de grado de esta investigación.
Al profesor Armando García, mi esposo, por su valiosa e infinita
colaboración durante todo el desarrollo de la investigación.
A la profesora Cecilia Tirapegui, por el impulso que siempre le imprimió al
programa de postgrado y consecuentemente a sus estudiantes, por el éxito del
mismo.
A mis compañeros de Postgrado, por sus constantes llamados de alerta para no
desmayar y seguir investigando en pro de una Educación Matemática de calidad.
Al Departamento de Ciencia y Tecnología, representado por los profesores
Wilfredo Guaita e Irvin González, por el apoyo moral y financiero prestado.
iv
Al la Coordinación de Ingeniería Industrial, representada por el profesor Alí
Matos, por considerar y respaldar en todo momento iniciativas orientadas en la
búsqueda de contribuir a mejorar la calidad de la Educación Universitaria y el
profesionalismo de sus egresados.
A la Dirección de Recursos Audiovisuales en la Unidad de Nuevas
Tecnologías, por brindar todo el apoyo técnico y el recurso humano necesario para
filmar las videograbaciones realizadas de las clases sobre límites, a lo largo de tres
semestres consecutivos.
Al Área de Matemática, en especial al Profesor Domingo Quijada, por su
calidad humana y su apoyo irrestricto en los trámites administrativos llevados a feliz
término, siempre a favor de la formación de su personal académico.
La fe en Jesucristo, la benevolencia de la virgen de Betania, el trabajo
constante y la confianza en mi misma y en mi tutor, el profesor Cipriano Cruz, han
permitido el logro de esta investigación.
v
DEDICATORIA
Al ser más maravilloso que Dios me ha dado, mí madre, Emma.
A mi gran amor y compañero de vida, Armando.
A mis estimados hermanos: Rossana, José y María Isabel.
A mis adorados sobrinos: Cristian, José Eduardo y Francelis.
A la memoria de mi padre y de, mi siempre amigo y hermano, Horacio.
vi
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE GUAYANA
MAESTRÍA EN CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN
MENCIÓN ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA
ESTUDIO DEL PENSAMIENTO MATEMÁTICO VINCULADO
A LA DEFINICIÓN DE LÍMITE, MEDIANTE LOS DIAGRAMAS V DE GOWIN
Autora: María Elena Bejarano
Tutor: Cipriano Cruz
RESUMEN
El trabajo consistió en la descripción del pensamiento matemático
desarrollado por los alumnos, cuando usaban la estrategia metacognitiva V de Gowin,
en la búsqueda de la adquisición y apropiación del concepto de límite, mientras estos
resolvían problemas que abordaban esta definición. El estudio estuvo enmarcado
dentro del paradigma interpretativo de investigación y para su ejecución se utilizó el
diseño etnográfico, de tipo estudio de caso. La muestra aleatoria e intencional estuvo
conformada por 8 alumnos, de la asignatura Matemática I, correspondiente al
proyecto de carrera de ingeniería industrial de la UNEG, durante los semestres 2005-
II, 2006-I y 2006-II. La metodología seguida estuvo sujeta a la aplicación de los
diagramas V de Gowin para diagnosticar los procesos matemáticos, dimensiones del
pensamiento matemático (algebraica, numérica, geométrica y topológica) y
dificultades existentes cuando los alumnos resolvían problemas de límites. Los
resultados surgieron como producto de los análisis de datos y técnicas realizados y
en base a las transformaciones sufridas desde las construcciones e interpretaciones
que se hicieron de la información obtenida a través de los cuestionarios realizados a
los docentes e informantes claves, en contraste con la información suministrada por
las transcripciones generadas desde las audio y videograbaciones realizadas de las
clases y de las V de Gowin entregadas por los alumnos. La recolección de los datos y
su análisis se realizó de manera simultánea en la medida en que fueron ocurriendo los
hechos. El proceso de análisis (cualitativo y cuantitativo) de los instrumentos
aplicados se estructuró en tres fases: descripción, triangulación y categorización. Los
datos para iniciar el contraste de resultados se introdujeron en un archivo en el
software Atlas/ti. El hecho de que se dieron una serie de procesos típicos del
pensamiento matemático en algunas dimensiones del pensamiento matemático,
involucró la existencia a su vez, de una serie de procesos cognitivos y
metacognitivos, los cuales estuvieron plasmados en la V. Simultáneamente, la V de
Gowin vista como un instrumento de reporte para los alumnos, fue útil en el
procesamiento de información matemática y garantizó la asociación, elaboración y la
organización en la resolución de los problemas planteados sobre límites. Los procesos
matemáticos y dimensiones del pensamiento matemático asociados a la idea de límite
pudieron desarrollarse gracias al uso de la V.
vii
ÍNDICE GENERAL
pp.
LISTA DE CUADROS…………………………………………………………... ix
LISTA DE GRÁFICOS………………………………………………………….. x
RESUMEN……………………………………………………………………..... xii
CAPÍTULO
I EL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN………………………………. 1
Contexto del Problema Investigado……………………………………. 1
El Problema de Investigación…………………………………………. 8
Objetivos del Estudio…………………………………………………... 18
Limitaciones……………………………………………………………. 18
Alcances del Estudio……..…………………………………………….. 21
II MARCO TEÓRICO…………………………………………………….. 23
Educación Matemática y Formación Matemática del Ingeniero……...... 23
El Pensamiento Matemático…………………………………………… 26
El Pensamiento Estratégico…………………………………………...... 29
Procesos Matemáticos………………………………………………….. 30
Estrategia Heurística V de Gowin……………………………………… 33
Historia del Límite de Funciones e Importancia de esta Definición en
la Demostración…………………………………………………………
36
Concepción de Evaluación Educativa………………………………...... 40
El Aprendizaje Significativo…………………………………………… 43
Investigaciones Asociadas como Antecedentes………………………... 45
III MARCO METODOLÓGICO………………………………………….. 51
Diseño General del Estudio…………………………………………...... 51
Sujetos de Estudio……………………………………………………… 54
Procedimiento General…………………………………………………. 56
Modelo Didáctico de Instrucción………………………………………. 66
El Uso del Software Atlas/ti……………………………………………. 69
IV ANÁLISIS Y RESULTADOS…………………………………………
73
Análisis de los Resultados del Cuestionario Aplicado a los Docentes… 74
Análisis de los Resultados del Cuestionario Aplicado a los Alumnos…. 79
viii
Secuencias en Cuanto al Nivel de Logro de los Pensamientos
Matemáticos…………………………………………………………….
87
Procesos Matemáticos Desarrollados en el Estudio de la Definición de
Límite de Funciones.……………………………………………………
101
Análisis Cualitativo del Programa de Matemática I sobre Límite de
Funciones………………………………………………………………..
103
Análisis Cualitativo de Textos que Abordan la Definición de Límite de
Funciones………………………………………………………………..
105
Interpretación y Análisis de las V de Gowin desde el Atlas/ti………… 119
Triangulación…………………………………………………………… 148
Validación de los Resultados y Confiabilidad en el Estudio…………… 148
V CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES………………………… 153
REFERENCIAS………………………………………………………………….. 166
ANEXOS
A V de Gowin de la Investigación………………………………………... 172
B Cuadro de Factores y Dimensiones……………………………………. 173
C Entrevista ……………………………………………………………… 179
D Cuestionario Aplicado a los Docentes ………………...……………….. 180
E Cuestionario Aplicado a los Sujetos del Estudio………………………. 183
F Interpretación y Análisis de los Pensamientos Matemáticos, Procesos y
Dificultades en Atlas/Ti de los Discursos Orales Emitidos…………
186
G Ejemplos de Códigos con Comentarios Creados en Atlas/ti…………… 190
H Ejemplo de Familias de Dimensiones Creadas en Atlas/ti con sus
Respectivas Frecuencias………………………………………………
193
I Ejemplos de Memos Construidos en Atlas/ti…………………………… 194
J Interpretación y Análisis de los Procesos Matemáticos en los Diseños
V De Gowin en Atlas/ti…………………………………………….
195
K Interpretación y Análisis de los Pensamientos Matemáticos en los
Diseños V De Gowin en Atlas/ti……………………………………
197
L Interpretación y Análisis de las Dificultades Encontradas en los
ix
Diseños V De Gowin en Atlas/ti……………………………………... 199
M Ejercicios Propuestos por el Docente Investigador…………………… 200
N Guía de Instrucción……………………………………………………. 201
Ñ Diagramas V de Gowin Entregados por el Docente Investigador……… 204
O Interpretación y Análisis del Discurso de los Pensamientos
Matemáticos en Atlas/ti.........................................................................
222
P Interpretación y Análisis del Discurso de los Procesos Matemáticos en
Atlas/ti………………………………………………………………...
223
Q Interpretación y Análisis del Discurso de las Dificultades en Atlas/ti…. 224
R Algunas Transcripciones de las Audio y Videograbaciones de los
Alumnos al Disertar sus V de Gowin…………………………………
225
S Matriz Teórica de Entrada……………………………………………….. 226
x
LISTAS DE CUADROS
pp.
CUADRO
1 Resultados de los ítemes relativos al pensamiento topológico en los
docentes…………………………………………………………………...
74
2 Resultados de los ítemes relativos al pensamiento geométrico en los
docentes…………………………………………………………………...
75
3 Resultados de los ítemes relativos al pensamiento algebraico en los
docentes…………………………………………………………………..
77
4 Resultados de los ítemes relativos al pensamiento numérico en los
docentes…………………………………………………………………...
78
5 Resultados de los ítemes relativos al pensamiento topológico en los
alumnos………………………………………………………………...
80
6 Resultados de los ítemes relativos al pensamiento geométrico en los
alumnos………………………………………………………………...
81
7 Resultados de los ítemes relativos al pensamiento algebraico en los
alumnos………………………………………………………………...
84
8 Resultados de los ítemes relativos al pensamiento numérico en los
alumnos………………………………………………………………..
86
9 Comparación entre el nivel de logro de las dimensiones (ubicados en las
filas ver las dimensiones ubicadas en las columnas), de acuerdo
inicialmente a la opinión de los docentes, seguido por la de los
estudiantes………………………………………………………………...
95
10 Frecuencias de no aplicabilidad mostradas en el cuestionario……………
100
11 Relación entre los procesos matemáticos y las categorías donde se ubicó
la moda en las acciones asociadas a estos procesos………………………
103
12 Programa de Matemática I con su respectivo análisis, en cuanto a las
dimensiones del pensamiento matemático………………………………..
105
xi
LISTAS DE GRÁFICOS
pp.
GRÁFICO
5 Mapa conceptual del aprendizaje significativo...........................................
44
6 Procedimiento general de la investigación...............……………………...
57
7 Cuadro que muestra las frecuencias que emitieron los docentes de
Matemática I, agrupadas por pensamiento matemático predominante en
cada ítems del cuestionario……………………………………………….
89
8 Secuencia de los tipos de pensamiento matemático en orden decreciente,
de acuerdo a la visión de los docentes consultados……………………….
90
9 Cuadro que muestra las frecuencias que emitieron los alumnos de
Matemática I, agrupadas por pensamiento matemático predominante en
cada ítems del cuestionario aplicado en la UNEG, en el proyecto de
carrera de Ingeniería Industrial, durante los semestres II-2005, I-2006 y
II-2006……………………………………………………………………
92
10 Secuencia de los tipos de pensamiento matemático en orden decreciente,
de acuerdo a la óptica de los estudiantes consultados…………………….
93
11 Fragmento del Thomas y Finney (1998), donde se trabaja un ejercicio
de límite de funciones…………………………………………………….
107
12 Fragmento del Smith y Minton (2000), donde se trabaja un ejercicio de
límite de funciones………………………………………………………..
109
9 Fragmento del Larson y cols. (2006), donde se trabajan ejemplos sobre
estimaciones, cálculos de límites y aplicación de esta definición………..
111
10 Fragmento del Kitchen (1986), donde se trabajan ejercicios sobre límite
de funciones……………………………………………………………….
114
11 Fragmento del Apostol (1985), donde se aborda la definición de límite
de funciones………………………………………………………………
116
12 Fragmento del Barte, R. y Sherbert, D. (1996), (1985), donde se aborda
la definición de límite de funciones…………………………………….
117
xii
13 Fragmento del Haaser y cols. (1990), donde se aborda la definición de
límite de funciones………………………………………………………..
118
14 Documento jpg que refleja un diagrama V de Gowin realizado por un
sujeto de estudio…………………………………………………………..
122
15 Documento txt. del discurso emitido al presentar un diagrama V de
Gowin……………………………………………………………………..
126
16 Diagrama, elaborado desde el Atlas/ti, de las dificultades matemáticas
presentadas al estudiar el límite de funciones…………………………….
134
17 Diagrama, elaborado desde el Atlas/ti, que incluye los procesos
matemáticos evidenciados en las V de Gowin expuestas por los alumnos,
al estudiar el límite de funciones………………………………………….
139
18 Diagrama, elaborado desde el Atlas/ti, que incluye los procesos
metacognitivos evidenciados en las V de Gowin expuestas por los
alumnos, al estudiar el límite de funciones……………………………….
142
19 Diagrama, elaborado desde el Atlas/ti, que incluye los tipos de
pensamiento matemático asociados en las V de Gowin expuestas por los
alumnos, al estudiar el límite de funciones……………………………….
143
20 Diagrama, elaborado desde el Atlas/ti, que incluye los aportes de los
diagramas V de Gowin a la investigación………………………………...
147
CAPÍTULO I
EL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN
Este capítulo tiene como propósito describir: (a) el contexto del problema
investigado, (b) el problema de investigación (c) los objetivos del estudio, (d) las
limitaciones contempladas, y (e) el alcance del mismo.
Contexto del Problema Investigado
La Universidad Nacional Experimental de Guayana (UNEG), nace en el Estado
Bolívar, Venezuela, el 9 de marzo de 1982 mediante el decreto presidencial N° 1.432.
Actualmente, se extiende a través de seis sedes ubicadas en las ciudades de Puerto
Ordaz (Sede principal), Ciudad Bolívar, Upata, El Callao, Guasipati y Santa Elena de
Uairen.
La misión de la Universidad Nacional Experimental de Guayana, es
formar ciudadanos, intelectuales y líderes para la transformación
sociocultural y técnico-científica que aseguren el desarrollo social y
económico sustentable, con respeto y protección al ambiente y a la
diversidad biológica y cultural de la región Guayana para las generaciones
futuras. (UNEG, 2003, p. 3)
Para cumplir esta misión en la formación estudiantil, es imprescindible la
consideración de la enseñanza de estrategias que ameriten en el alumno el alcance de
una autonomía y participación activa en situaciones diversas en el ámbito educativo,
para lo cual se requiere a diario, que ellos se enfrenten a procesos tales como: toma de
2
decisiones, toma de conciencia de cómo se han ido apropiando de una actitud crítica y
reflexiva a través de sus prácticas escolares y, sobre todo, como se usan los
conocimientos adquiridos en situaciones contextuales.
Ahora bien, para lograr las transformaciones socio-cultural y técnico-científica, es
vital fomentar el desarrollo de los valores y principios que integran el referente ético
y moral, representados en los medios y en el fin último de la universidad: desarrollar
el conocimiento y formar cuadros profesionales dedicados al desarrollo de la nación.
Dentro de estos valores y principios, se asumen como relevantes los siguientes:
tolerancia, respeto a la diversidad y la pluralidad, justicia y cultura de paz,
honestidad, libertad académica, solidaridad, equidad, responsabilidad social,
responsabilidad ambiental, auto-reflexión crítica, integralidad, intelectualidad y
universalidad.
Estos principios y valores buscan formar un ciudadano honesto y sobre todo
responsable en asumir el rol que desempeñará en función de su profesión. Aquí el
trabajo universitario continuo y conciente basado en la lógica y centrado en el diseño,
constituye la fuente principal para promover el desarrollo del pensamiento y de las
potencialidades, de tal manera que el futuro egresado pueda lograr aportar al
desarrollo de los avances técnicos, científicos y humanísticos que requiere la
sociedad.
La carrera de Ingeniería Industrial está diseñada en dos niveles académicos
consecutivos: el nivel técnico y el nivel superior. El primero dirigido a la formación
de tecnólogos industriales y el segundo para la formación de ingenieros industriales.
El nivel técnico se desarrolla en un lapso de seis (6) semestres académicos, al
término de los cuales se confiere el grado de tecnólogo. El nivel profesional se
cumple en un lapso adicional de cuatro semestres académicos, al final de los cuales se
recibe el grado de ingeniero.
En cuanto a las características generales del Proyecto de Carrera de Ingeniería
Industrial, se afirma que los criterios de diseño y administración curricular,
enmarcados dentro de la concepción global de Ingeniería Industrial, guardan armonía
3
con el contexto industrial de la Región Guayana y las políticas académicas propias de
esta Universidad, las cuales se fundamentan en el Reglamento General de la UNEG.
Estas políticas son las siguientes:
a)Organización de los estudios profesionales en dos niveles. Tanto el
Tecnólogo como el Ingeniero Industrial reciben una preparación para el
trabajo desde el inicio de sus estudios a través de la adquisición de
conocimientos en procesos industriales, informática y organizaciones
(UNEG, 1988, p. 11).
b)El Ingeniero Industrial adquiere su fisonomía definitiva a partir del
nivel de Tecnólogo, que posteriormente se complementa con áreas
específicas de la Ingeniería Industrial, principalmente las siguientes:
Investigación de Operaciones, Control de Calidad, Ingeniería de Métodos,
Mercados, Control de Producción y Seguridad (UNEG, 1988, p. 11).
c)Empleo de la metodología de proyectos: Esta metodología es un
recurso educacional que tiene por finalidad formar en el alumno hábitos y
destrezas para el trabajo, tanto en su medio exclusivamente profesional
como en el interdisciplinario. Se concibe como una actividad continua,
que se efectúa por grupos de alumnos en cada uno de los semestres del
plan de estudios (UNEG, 1988, p. 12)
d)Proceso de autoformación: Este proceso consiste en la realización
de un conjunto indeterminado de actividades de tipo cultural, deportivo y
social; además, del aprendizaje de destrezas y conocimientos
complementarios no incluidos en las asignaturas que configuran el plan de
estudios ordinario. Este recurso educacional tiene por finalidad fomentar
el desarrollo personal en todos sus aspectos (UNEG, 1988, p. 12).
e)Planificación matricular limitada: Por medio de esta política la
UNEG establece de antemano la duración óptima de los proyectos de
carreras, de modo que estos se mantengan en funcionamiento solamente
por el tiempo requerido para proporcionar al mercado ocupacional un
número de egresados compatible con las previsiones del desarrollo del
sector de trabajo correspondiente (UNEG, 1988, p. 13).
f)Política de introducción temprana: De acuerdo con este principio,
en el diseño del plan de estudios se procura que el aprendizaje de los
procesos tecnológicos se inicie en los primeros semestres, de modo que el
alumno se ambiente desde un comienzo en el ejercicio de las técnicas que
conforman el “arte operativo” de su profesión (UNEG, 1988, p. 13).
Estas regularidades permiten al investigador, para los efectos de su estudio, contar
con una panorámica más amplia y flexible, en cuanto a las posibilidades de acción y a
su vez autorizan la concepción del trabajo en su totalidad, el cual está enmarcado
4
dentro de toda esta metodología de diseño asumida desde estas políticas UNEG, lo
cual facilita la aceptación de la investigación en la comunidad universitaria.
Aunado a lo anterior, la universidad tiene como objetivo institucional asegurar
procesos de investigación y desarrollo orientados a la búsqueda de respuestas
innovadoras a los requerimientos del desarrollo sostenible de la Región Guayana, por
lo cual está institución debe:
Formar profesionales de máxima idoneidad en el ejercicio de su profesión,
con alto sentido de la ética y responsabilidad cívica y social, con espíritu
creativo, crítico y racional; concientes de las necesidades y de la
permanente actualización de sus conocimientos, capaces de identificar y
proponer soluciones a los problemas de su contexto inmediato nacional y
de participar activamente en el proceso de desarrollo autónomo del país
(UNEG, 1988, p. 6)
Todo esto está en correspondencia directa con lo establecido en la Ley de
Universidades (1970), en su artículo 3:
Las universidades deben realizar una función rectora en la educación, la
cultura y la ciencia. Para cumplir esta misión, sus actividades se dirigirán a
crear, asimilar y difundir el saber mediante la investigación y la enseñanza...y
a formar los equipos profesionales y técnicos que necesita la Nación para su
desarrollo y progreso (p. 3).
Los programas de estudios de pregrado, postgrado y cursos de educación
permanente desarrollados en la UNEG ofrecen parte del recurso profesional requerido
en la zona y en atención a las necesidades específicas, las funciones establecidas en la
institución, están orientadas al desarrollo de proyectos en cuatro áreas estratégicas,
que se consideran prioritarias en la región: Ciencia y Tecnología; Educación,
Humanidades y Arte; Hombre Ambiente y Organización y Gerencia.
Al lograr hombres y mujeres concientes de las necesidades regionales en
permanente actualización de sus conocimientos, deben generarse respuestas
innovadoras, producto de todo un trabajo arduo de diseño con rigor científico, ya que
según Cruz (2000) el diseño es una metodología que se apoya en el conocimiento, la
inventiva, la creatividad y la conciencia del tiempo, para formular un problema y
proponer soluciones factibles. Precisamente, la idea de diseño constituye un eje
transversal para este estudio y representa uno de los pilares fundamentales para la
5
carrera de Ingeniería Industrial, donde el futuro profesional en su campo laboral día a
día debe enfrentarse a las siguientes tareas (Ferrara, 2002):
En este mismo orden de ideas la definición elaborada por el Institute of Industrial
Engineers, según Maynard (1996), citado por Ferrara (2002), establece lo siguiente:
La ingeniería industrial trata sobre el diseño, mejoramiento e instalación
de sistemas integrados de hombres, materiales y equipos. Requiere de
conocimientos especializado y habilidades en las ciencias matemáticas,
físicas y sociales, junto con los principios y métodos de análisis y diseño
de ingeniería, para especificar, predecir y evaluar el resultado que se
obtenga de dichos sistemas (p. 7)
Según Cruz (2004b), las dos características esenciales del quehacer profesional de
un ingeniero pueden asumirse en: la diversidad de tareas y obras específicas en las
que le corresponde participar en el diseño, planificación, supervisión y evaluación y
el contenido esencialmente intelectual de los procesos y productos que requieren de
su intervención.
Este autor afirma que:
El diseño en ingeniería no es un producto acabado sino una metodología
que se apoya en el conocimiento, la inventiva, la creatividad y la toma de
conciencia del concepto de urgencia para visualizar un problema real,
formulado en términos técnicos, explorar posibles soluciones, evaluar
Diseñar
- El plan de acciones dirigido al logro de los objetivos de la
calidad de la unidad.
- Sistema de calidad bajo normas ISO
- Sistema de mantenimiento preventivo.
- Esquemas de control de gestión operativa.
- Instalaciones industriales.
- Sistemas de divulgación de los procedimientos de normalización
y el contenido e importancia.
- Procesos industriales y de servicio.
- Sistemas de almacenamiento y distribución.
- Planes de entrenamiento del personal.
- La documentación del sistema de calidad de gestión y adiestrar
el personal para su manejo.
- Hojas de cálculo para determinar estándares y solución de
problemas.
- Propuestas de control de procesos para su implantación por
computadoras.
6
alternativas, proponer una o más formas o vías de solución, evaluar los
procesos posibles y sus correspondientes resultados, seleccionar una de las
mejores soluciones con base en un conjunto de criterios, ejecutar las
acciones necesarias para llevar a cabo una propuesta particular y evaluar
el proceso y los resultados de todas y cada una de las acciones, realizando
permanentemente ajustes y correctivos y emitiendo juicios y
recomendaciones que se apoyan en hechos, preferentemente cuantificables
(Cruz, 2004b, p. 3).
Las funciones planteadas anteriormente para los Ingenieros Industriales, requieren
de cierto desarrollo del pensamiento matemático, lo cual es de suma importancia para
que los egresados de la UNEG, logren una de sus principales exigencias en el medio
laboral, “...Planificar, estudiar, dirigir y controlar los diferentes métodos, procesos y
sistemas de producción de bienes y servicios útiles a la comunidad, con el fin de
optimizar el uso de recursos humanos y materiales” (UNEG 1998, p. 14).
Así pues, para optimizar un proceso, partiendo de la concepción de sus bases
filosóficas institucionales, los ingenieros de la UNEG, deben resolver problemas
dentro de su contexto, para lo cual se requiere de una buena lógica matemática
(razonamiento matemático), de excelentes habilidades algebraicas, topológicas,
numéricas y geométricas, de una aceptable producción de ideas intuitivas y de un
buen nivel de análisis matemático, a través de lo cual se llegará a alcanzar una
verdadera racionalización de los recursos empleados en un determinado proyecto.
Sumado a lo antes expuesto, los ingenieros egresados de la UNEG, en su ejercicio
profesional deben manejar una de las ideas fundamentales del cálculo: la idea de
límite; razón por la cual, como estudiantes, deben apropiarse de ella para la
comprensión de todos los cálculos que forman parte del pénsum de estudios de su
carrera y en consecuencia para el desarrollo de su pensamiento matemático.
Por otro lado, esta idea es básica para las tareas que cumplen los ingenieros
industriales en su campo laboral, relativas al área de mejoramiento de la calidad, en
cuanto a la idea de diseño. Por ejemplo: en la ejecución de gráficos de control, planes
de calidad, planes de inspección, planes de muestreo, estándares y atributos de
calidad, establecimiento de costos de producción y en la operación y supervisión de
procesos de producción.
7
En base a todo lo anterior, se afirma que la idea de diseño es significativa en el
perfil profesional y ocupacional del ingeniero industrial, por lo cual debe promoverse
desde los semestres iniciales de formación del futuro egresado. Esto último, dió
sentido a la propuesta de describir el pensamiento matemático, mediante el proceso
de diseño desarrollado por los alumnos a través de los diagramas V de Gowin, los
cuales se describirán más adelante. Los resultados obtenidos en este estudio pudieron
conllevar al investigador, consecuentemente, a profundizar cómo los alumnos pueden
adquirir y apropiarse del concepto formal de límite, lo cual se traduce en el proceso
de convenir sobre una proposición, donde basado en una hipótesis se debe demostrar
una tesis, para lo cual hay que diseñar un número positivo que satisfaga las
condiciones iniciales dadas.
En definitiva, el concepto de límite en matemáticas es ideal para abordar la tarea
de diseño, ya que se debe construir un que cumpla con ciertas condiciones
(parámetros). De allí, precisamente, surge la importancia de este contenido en el
pensum de estudios de los ingenieros. Además, según Maragno y col. (2004), el tema
de límite de funciones está inmerso dentro del conjunto de contenidos básicos
indispensables para los planes de estudio de ingeniería en Venezuela en el Cálculo I o
Matemática I.
La capacitación de los futuros ingenieros en el manejo de la Matemática está
asociada a la promoción del desarrollo de proyectos como una metodología de trabajo
más acorde con la idea de diseño en ingeniería y el abordaje (desde los inicios en la
educación superior y en forma permanente), de la solución de problemas reales para
los cuales la Matemática es un instrumento de modelación.
En base a estas ideas, se realizó este estudio en la Universidad Nacional
Experimental de Guayana, sede Puerto Ordaz, en el proyecto de carrera de Ingeniería
Industrial; de tal manera que la investigación matemática de la región contribuya,
consecuentemente, a robustecer los cuadros profesionales futuros, ya que el éxito del
ingeniero en todos los ámbitos, depende del uso del pensamiento para alcanzar un
diseño requerido (Krick, 1995, p. 18; Grech, 2001, p. 3; Krick, 2002, p. 4).
8
El Problema de Investigación
El valor formativo que posee la matemática, y su estudio, como forjadora de un
pensamiento racional, sistemático, lógico y a la vez, indagador, problematizador y
creativo se debe recalcar siempre; además de su valor cultural, como disciplina clave
en la aventura del desarrollo del conocimiento de la humanidad a lo largo de su
historia. Andonegui (2003), sugiere que se debe estudiar matemática para mantener
permanentemente abierta la puerta de la formación en esta área del conocimiento, en
esta forma de pensamiento. Lo anterior, representa una de las reflexiones importantes
para inducir a los científicos en ciencias de la educación a investigar en Educación
Matemática.
Pero una de las razones fundamentales que debe impulsar al aprendizaje de las
matemáticas es la percepción de su carácter esencial para construir ciudadanos
críticos y participativos en la transformación de nuestro entorno, por las razones
esgrimidas anteriormente.
La matemática es fruto de un proceso de construcción humana como respuesta a la
tarea de resolver problemas y, como tal, fruto de un proceso cultural, imposible de ser
separado del contexto histórico y social en que se elabora.
Normalmente, la historia proporciona una magnifica guía para enmarcar los
diferentes temas, los problemas de los que han surgido los conceptos importantes de
la materia dan luces para entender la razón que ha conducido al hombre para ocuparse
de ellos con interés.
En este sentido, para dar un panorama del problema que se trató, se afirma que el
desarrollo histórico de la idea del infinito y su influencia en la formalización de la
definición de límite, fue un proceso complicado, y por lo tanto, requirió de mucho
tiempo para llegar a las fuertes convenciones actuales.
Es así que, indudablemente, esta situación influye en la dificultad por parte del
alumno para la adquisición de esta definición.
9
Aunado a lo anterior, la complejidad que encierra la definición de límite se ve
reflejada en algunos de los resultados de investigaciones en Matemática Educativa.
Por ejemplo, en 1981 un trabajo de Cornu (citado por Páez, 2001) nos expresa que
los alumnos en el lenguaje común utilizan la idea de límite desde el punto de vista
geográfico, límite a no sobrepasarse, y de manera intuitiva desarrollan varios
modelos, entre los cuales el que predomina es el de carácter inalcanzable del límite.
Páez (2001) comparte lo asumido desde el estudio realizado por Hitt y Lara (1999),
quienes reportan que: algunas de las dificultades de aprendizaje del concepto de
límite se debe a la manera como se enseña. Por ejemplo, las ideas primitivas que
tienen los alumnos en el sentido de Cornu según Páez (2001), son reforzadas por la
manera como los profesores introducen el tema de límite, la cual está restringida a
situaciones geográficas.
Otro de los problemas, señala Blázquez y Ortega (2001) se debe a que en la
enseñanza matemática sólo se le da prioridad al registro algebraico. En consecuencia,
se le exige al alumno aprenderse algoritmos para resolver los ejercicios rutinarios de
límites. De esta forma, los profesores inducen a los estudiantes a desarrollar la idea de
límite como una simple sustitución.
Podríamos seguir mencionando otros resultados de investigaciones, pero ese no es
el objetivo. En esta primera parte, el objetivo que se persiguió fue el de contextualizar
la problemática que hay alrededor del aprendizaje y la enseñanza del concepto de
límite y sobre la comprensión de su definición formal.
La problemática anteriormente planteada representa un tema de estudio para los
investigadores en Educación Matemática, donde se deben estudiar fenómenos ligados
al aprendizaje y la enseñanza de la definición de límite para entender los procesos de
aprendizaje y los posibles obstáculos que se presentan en tales procesos. En este
sentido, el estudio de la construcción del pensamiento matemático sobre la definición
de límite resulta de interés para profesores, alumnos e investigadores en la Educación
Matemática.
En este orden de ideas, se tuvo presente en este estudio que la búsqueda de
explicaciones a los fenómenos ligados al aprendizaje y la enseñanza de un concepto
10
no es tarea simple; por ende, esta investigación se restringió al estudio de los procesos
matemáticos y tipos de conocimiento matemático asociados a la definición de límite
de funciones reales de una variable real; precisamente porque entre todas las
definiciones que se presentan en el cálculo ligado a procesos infinitos, la de límite, es
sin duda la más importante y quizás también la más difícil por la gran aplicabilidad
que tiene en el cálculo diferencial e integral, además de representar el fundamento
esencial de toda esta teoría infinitesimal.
Así pues se enfocó la problemática del aprendizaje de la definición de límite, en
base a una de las tendencias generales más difundidas e investigadas en la actualidad.
Esta tendencia hace hincapié en los estudios de los procesos de pensamiento propios
de la matemática y en cómo desarrollarlos más que a la mera transferencia de
contenidos. De manera que, se concedió en esta investigación gran importancia al
estudio de las cuestiones, en buena parte colindantes con la sicología cognitiva, que
se refieren a los procesos mentales de resolución de ejercicios; donde se usó los
diagramas V, creados por Gowin (1977), como recurso cognitivo y metacognitivo,
para ayudar a los estudiantes a mejorar la construcción del conocimiento matemático
y en este caso particular, a la definición de límite de funciones.
En este orden de ideas, en el estudio de la definición de límite se entendió que los
procesos de pensamiento propios, ligados al desarrollo de esta definición, son lo más
valioso que se pudo proporcionar a los estudiantes en la situación de transformación
vertiginosa de la civilización en la que nos encontramos, ya que éstos son los
procesos verdaderamente eficaces de pensamiento, que no se vuelven obsoletos con
tanta rapidez. En esta dirección se encauzaron los intensos esfuerzos de esta
investigación, en el sentido de la aplicación de una estrategia para la resolución de
ejercicios en general, que centró su atención en los procesos y dimensiones del
pensamiento matemático que desarrollarían los alumnos, para estimular la resolución
autónoma de verdaderos ejercicios, más bien que la mera transmisión de recetas
adecuadas.
Por otro lado, no se pudo ignorar que para acceder al objeto matemático de esta
investigación (el pensamiento matemático), se enfatizó en las distintas
11
representaciones y cómo cada sistema es parcial con respecto a lo que representa, es
decir, fue absolutamente necesario la interacción entre las diferentes representaciones
para la formación de la definición. En este sentido, Duval (1998) afirma que una
definición se va construyendo mediante tareas que impliquen la utilización de
diferentes sistemas de representación y promuevan la articulación coherente entre
representaciones. Por tal motivo la investigación se centró en describir el desarrollo
del pensamiento matemático asociado a la definición de límite, introduciendo
diferentes representaciones del mismo y tareas de conversión, de tal forma de abrir el
abanico a varios lenguajes técnicos que permitieron una mayor comprensión de esta
definición.
En la búsqueda de este objetivo, fue necesario propiciar la activación en los
estudiantes de los tipos de conocimiento matemático y de los procesos propios del
pensamiento matemático en torno a la definición de límite, a fin de que ellos pudieran
construir, desarrollar y profundizar su propio conocimiento matemático. De este
modo, resultó posible hacer matemática, es decir, “resolver problemas, abstraer,
inventar, probar y encontrar el sentido a las ideas matemáticas” (Santos, 1996, p. 2);
esto es, poner en práctica procesos propios del accionar matemático, tales como la
inferencia, la transformación, la representación, la generalización, la abstracción,
entre otros (Serrano, 1995).
Similarmente, según González (1997), a partir de la visión de la matemática como
ciencia por hacer, se deriva una concepción del aprendizaje de esta disciplina de
acuerdo con la cual aprender matemática (en este caso la definición de límite),
consiste en apropiarse de modo idiosincrásico de los procesos que le son propios a
esta disciplina en torno a este tema e incrementar la experiencia personal en el manejo
de los mismos procesos.
De este modo, cobró sentido hacer énfasis en la exploración de los procesos de
pensamiento matemático y tipos de conocimiento matemático presentes en el
aprendizaje de límite en los alumnos de Matemática I, de la carrera de Ingeniería
Industrial, para identificar cuáles son estos procesos y dimensiones del pensamiento
matemático que les son propios a esta disciplina al trabajar la definición de límite, de
12
tal forma de mejorar su enseñanza, al propiciar la activación de los mismos procesos
y dimensiones del pensamiento involucrados, para lograr la construcción de esta
definición matemática.
Reflexionando acerca de cuál es el papel que tiene el pensamiento matemático, su
construcción y desarrollo, en la sociedad y partiendo de que, actualmente, el
conocimiento y la información se instauran como fuentes de valor y de poder en la
sociedad, es precisamente, donde cobra valor el desarrollo del pensamiento
matemático del ingeniero industrial específicamente. Este profesional de acuerdo a su
rol, debe lograr un conocimiento tecnológico, en el cual descubra la matemática
presente en los sistemas que rigen la vida como personas y como grupo de ciudadanos
y así capacitarlos para discutir, críticamente, la utilización de la matemática en el
diseño tecnológico y, por esta vía, las condiciones a que se ve sometida su vida por la
aplicación de esta tecnología.
A su vez, este ingeniero de acuerdo a sus competencias establecidas debe
encargarse del diseño, mejoramiento, instalación y evaluación de sistemas integrados
de hombres, materiales y equipos; razón por la cual debe siempre estar claro en los
eventos iniciales y la meta, para lograr transformar la realidad y alcanzar una
respuesta satisfactoria. Aquí, es donde radicó la importancia de la utilización de los
diagramas V de Gowin, los cuales orientaron el proceso de diseño para alcanzar
respuestas a los ejercicios planteados, además de constituir un instrumento que sirvió
para adquirir conocimientos sobre el propio conocimiento; en este caso sobre la
definición de límite y sobre cómo ésta se construyó para alcanzar la meta deseada: la
descripción del pensamiento matemático asociado a la definición de límite.
El uso de los diagramas V de Gowin en este estudio, fue consecuencia de los
resultados arrojados en numerosos trabajos realizados dentro de una línea que
incorpora alternativas cognitivas en la Educación Matemática, donde se ha
establecido la pertinencia, utilidad, relevancia y proyección de la aplicación de esta
estrategia heurística y metacognitiva en la enseñanza y aprendizaje de la matemática
en diferentes niveles del sistema educativo. Por ejemplo: (a) el estudio de Cruz (1994)
sobre la evaluación del desempeño estudiantil en matemáticas a nivel superior
13
mediante mapas conceptuales y diagramas V de Gowin; (b) la investigación de
Amaya (2000) en torno al efecto que produce en el desempeño estudiantil el uso de
las estrategias cognoscitivas mapas conceptuales y la heurística V de Gowin en
estudiantes universitarios en la UNEG; (c) el trabajo de Arcos (s/f) que usa la
estrategia de modelación matemática, el concepto de diseño en ingeniería y algunos
organizadores avanzados para determinar el desempeño de los estudiantes de la
materia Cálculo I en la Facultad de Ingeniería de la UCV; y (d) una evaluación del
desempeño estudiantil realizada por Cáceres (2002) en Matemática, a nivel técnico
superior universitario a través del uso de los mapas conceptuales y los diagramas V
de Gowin.
En fin, en todos los trabajos citados previamente puede observarse conclusiones
que sostienen que el uso de la V de Gowin, contribuye al aprendizaje significativo de
la matemática, que debe ser en definitiva uno de los fines de toda investigación en
Educación Matemática. Sumado a lo anterior, la aplicación de la estrategia V de
Gowin facilita la disposición para resolver ejercicios matemáticos concretos; aparte
de ser de fácil adopción por los estudiantes, los compromete más en su proceso de
aprendizaje, creando ambientes colaborativos dentro del proceso de diseño que se
persiguió desarrollar dentro de la investigación, que ayudarán a transformar posibles
debilidades (baja capacidad de procesar información, falta de costumbre en trabajar
en situaciones de incertidumbre) en fortalezas. Finalmente, la incorporación de la
estrategia en el estudio se justifica ya que su implementación permite la existencia de
algunos procesos propios de pensamiento matemático (autoevaluar, coevaluar y
evaluar), los cuales se exploraron en este estudio. Por todo lo anterior, Cruz (2000)
recomienda realizar estudios profundos sobre el uso de la estrategia V de Gowin, en
la construcción del pensamiento matemático y su desarrollo. Sin embargo, antes de
estudiar el desarrollo del pensamiento matemático se hizo importante reflexionar en
torno a la situación en que se halla la construcción de este pensamiento en la
Educación Matemática venezolana. Skovsmose (2007) afirma que en el ámbito
educativo existe:
14
1. Una concepción negativa acerca de la matemática, considerada como un área
excluyente y discriminadora, accesible a unos pocos privilegiados.
2. Un aprendizaje matemático caracterizado como mecánico, repetitivo,
memorístico, alejado del desarrollo de los procesos y de la resolución de ejercicios;
carente de significado y, en buena medida, desconectado de la vida.
3. Ausencia en la planificación de la enseñanza de la matemática, de las
dimensiones relativas a las aplicaciones de la matemática y a la reflexión acerca de su
uso en la resolución de los problemas humanos.
4. Ausencia de la resolución de ejercicios, como vía primordial para desarrollar el
conocimiento matemático.
Por la ausencia de estos aspectos, sobre todo el último, cobró sentido la
investigación actual, ya que se hizo necesario describir el pensamiento matemático
asociado a la definición de límite, en base a la resolución de ejercicios mediante los
diagramas V de Gowin. Este pensamiento se estudió por cuatro consideraciones
principales: (a) la primera, porque no se encontraba definido específicamente en la
literatura, y la forma en que se construye el pensamiento matemático asociado a la
definición de límite es fuente imprescindible a la hora de desarrollar la enseñanza de
esta definición; (b) la segunda, se obtuvo una descripción que permitió a su vez
llevar a efecto un estudio profundo de los procesos matemáticos de aprendizaje y
dimensiones del pensamiento matemático, con la intención de que en un futuro
permita resolver el problema que existe en torno a la enseñanza de la definición de
límite; (c) la tercera, se consideró el uso de los diagramas V de Gowin, donde se
planteó ejercicios para que fueran resueltos desde la aplicación de varios sistemas de
representación para mejorar el proceso de construcción de la definición y avanzar
hacia una construcción del pensamiento matemático que deje satisfacción a la luz de
los planteamientos de una Educación Matemática crítica descrita por Skovsmose
(2007); y (d) finalmente, se buscó familiarizar al estudiante mediante la V de Gowin,
con el proceso de diseño, el cual es elemental en la formación del ingeniero dentro de
sus competencias laborales y profesionales.
15
Con respecto a este último punto resultó conveniente desarrollar algunas ideas en
torno al papel del diseño en la definición de límite. Específicamente, el aprendizaje de
la definición de límite de una función real de una variable real contribuye, tanto en su
construcción como en los procedimientos asociados a su uso, a la formación del
pensamiento organizado, secuencial y de anticipación (diseño) del futuro ingeniero
industrial. En este orden de ideas, cabe destacar la exigencia que se encuentra inmersa
en la definición de límite en cuanto a diseño. Precisamente en esta definición de
límite:
L)x(fxx0si,Domfx/:0)(,0L)x(flim 0xx 0
Se dispone de:
- un conjunto de recursos: una función )(xfy , un valor 0x no necesariamente
en el dominio de ella y un número L (su límite)
- un conjunto de condiciones: la función está definida en un entorno de 0x , las
cotas de aproximación en el dominio )( y el recorrido )( determinan intervalos de
trabajo.
Se requiere de:
la construcción de una cota 0 para elementos del dominio que garantice que
los valores de f están próximos al límite L con un grado de aproximación 0
arbitrario.
En definitiva, se tiene un conjunto de recursos para alcanzar una meta, es decir, se
tiene una situación típica de diseño, en la cual se debe generar un conjunto de
procedimientos estratégicos que implican: planificar, ejecutar, evaluar, pensar hacia
atrás, generar alternativas de solución y, lo más importante, tomar decisiones para
lograr una solución que efectivamente (como puede demostrarse) satisface los
requerimientos del problema.
Aunado a lo anterior, se dio la toma de conciencia de la necesidad de cambiar, de
crear nuevas ideas en torno al límite a partir de lo que ya se conoce, y de supervisar
todo el proceso de diseño, lo que pudo conllevar al estudiante a un nivel de
16
pensamiento matemático avanzado, incorporando la dimensión estratégica. En este
nivel, se habló de metacognición, la cual se especifica en el próximo capítulo.
Los procesos de pensamiento matemático generados a partir de la definición de
límite (representación, abstracción, análisis, síntesis, evaluación y creatividad)
pueden contribuir a desarrollar la capacidad de diseño del estudiante, lo cual es una
aptitud propia del perfil del egresado en ingeniería.
Todo lo antes expuesto justificó la necesidad de estudiar en profundidad la
enseñanza de la definición de límite de funciones reales. La presente investigación
surgió, por otra parte, como una muestra de tal necesidad: en la UNEG, de acuerdo a
los resultados que arrojó una entrevista informal aplicada durante el primer semestre
del año 2005 en esta institución a cinco (5) docentes que han dictado la asignatura
Matemática I, se pudo afirmar que los alumnos que han cursado esta cátedra, en su
mayoría, entienden la idea intuitiva de límite; no obstante, presentan evidencias de no
comprender su definición formal.
Por otra parte, a partir de esta entrevista se pudo corroborar que los docentes de
esta institución de estudios superiores hacen énfasis en la parte algebraica del cálculo
de límites; sin embargo, le restan importancia al uso de distintos sistemas de
representación (sobre todo el Topológico) en su enseñanza. Para los efectos de esta
investigación la representación topológica de la definición del límite de una función
real fue novedosa.
En resumen, los planteamientos que se generaron en este estudio son los
siguientes: la necesidad de incorporar en la investigación educativa, metodologías
cuya implementación mejoren el desempeño estudiantil y a su vez, centren su
atención en desarrollar la idea de diseño, lo cual conlleva al alumno a lograr avances
en el pensamiento matemático, para actuar metacognitivamente, desarrollando
habilidades tales como: la planificación, abstracción, búsqueda de soluciones, toma
de decisiones óptimas y la supervisión, de tal manera que el futuro ingeniero pueda,
permanentemente, dar respuesta a los problemas laborales y personales que se le
presenten (Cruz, 2004b, p. 10).
17
Ahora bien, esta investigación se realizó durante tres semestres consecutivos: el
segundo semestre correspondiente al año 2005, el primer y segundo semestre del
2006. En la misma se utilizó el programa de la asignatura Matemática I, el cual “...se
fundamenta en los rasgos de personalidad y competencias que deben caracterizar a los
egresados de la carrera de Ingeniería Industrial y en los contenidos necesarios para el
desarrollo de otras disciplinas del área científica y tecnológica contemplados en los
planes de estudio” (UNEG, 1997, p. 4).
Por otra parte, en base a Artigue, Douady, Moreno y Gómez (1995), las
dificultades de los estudiantes que se abordaron en este estudio en relación al
aprendizaje de la definición de límite, fueron del tipo:
1. Cognoscitivas: Por ejemplo, debilidad de conocimientos previos, escasez de
aprendizajes significativos en torno al tema, conocimientos errados, entre otros.
2. Epistemológicas: Referidas a la naturaleza del propio conocimiento matemático,
que incluyó una gran cantidad de conceptos fundamentales bastante profundos y
fuertes o difíciles de comprender. Estos son por ejemplo, el orden de los números
reales, la métrica de los números reales, la idea de proximidad, la completitud de R.
3. Didácticas: Tal es el caso de las estrategias con las cuales se enseñó el concepto
de límite, el dominio por parte del profesor del tema, la profundidad con que se
manejó este contenido programático, entre otras.
Estas debilidades existen de acuerdo a los resultados de muchos estudios
(Sacristán 1991, Espinoza y Azcárate 2000, Blázquez y Ortega 2001, Páez 2001) y
serán desglosados en el siguiente capítulo.
A continuación, se expondrán las interrogantes del estudio que surgieron sobre la
base de todo el planteamiento del problema anteriormente expuesto. Estas fueron:
¿De qué manera es posible describir el desarrollo del pensamiento de carácter
geométrico, topológico, numérico y algebraico, asociado a la definición de límite,
generado en el trabajo de aula y centrado en el proceso de diseño a través de los
diagramas V de Gowin?.
¿Cuáles son las dificultades epistemológicas, cognitivas y didácticas presentes
en la enseñanza del límite de funciones reales de variable real?.
18
¿Cuáles son los procesos del pensamiento matemático de carácter geométrico,
numérico, topológico y algebraico asociados a la idea de límite, que van a estar
presentes en el trabajo de aula?.
¿Cómo la V de Gowin, usada como estrategia heurística y metacognitiva, ayuda en
el desarrollo del pensamiento matemático, asociado al concepto de límite?.
En consecuencia, se establecieron los siguientes objetivos de investigación.
Objetivos del Estudio
Objetivo General
El objetivo general de la investigación consiste en describir el pensamiento
matemático asociado a la definición de límite de funciones reales de una variable real,
mediante el proceso de diseño elaborado desde los diagramas V de Gowin, con
estudiantes cursantes de la asignatura Matemática I de la carrera de Ingeniería
Industrial de la UNEG, durante los semestres 2005-II, 2006-I y 2006-II.
Objetivos Específicos
Para alcanzar el objetivo general se establecieron los siguientes objetivos
específicos: (a) indagar sobre los procesos de pensamiento matemático desarrollados
por los alumnos cuando usan la V de Gowin, como instrumento heurístico y
metacognitivo en el estudio de la definición de límite de funciones reales de variable
real; (b) explorar las dimensiones del pensamiento matemático presentes de acuerdo
al lenguaje matemático utilizado, en la resolución de ejercicios de límites de una
función real de variable real; (c) diagnosticar las dificultades epistemológicas,
cognitivas y didácticas que existen en la enseñanza y aprendizaje del límite; y (d)
describir cómo ayuda la estrategia metacognitiva V de Gowin, en el proceso de
diseño desarrollado en el estudio del límite de una función real en un punto.
19
Limitaciones
En la realización de este estudio se abordaron las siguientes limitaciones:
La cátedra de Matemática I, del proyecto de carrera de Ingeniería Industrial,
presenta gran cantidad de contenidos programáticos lo que influyó de manera
contundente en el estudio, ya que el investigador fue rígido en los tiempos de
ejecución para la enseñanza del límite, no contando con prórrogas en la extensión del
tiempo planificado para desarrollar este contenido previsto. Para superar esta
limitante, se planificaron todas las actividades previstas en un tiempo bastante
prudencial, previendo los posibles inconvenientes que pudieran surgir, aunque
siempre flexible a las reestructuraciones necesarias a considerar.
Por ejemplo, surgieron diversas contingencias que impidieron cumplir el
cronograma de actividades planificado en la investigación en relación a la
implementación de la estrategia utilizada, sobretodo durante la etapa de recolección
de la información, la cual estaba pautada para el semestre 05-II. Consecuentemente,
por razones obvias de tiempo, el investigador no pudo realizar el estudio concentrado
sistemáticamente sólo en este semestre. Sin embargo, el efecto producido por esta
limitante, que consistió en la prolongación del estudio durante tres semestres
consecutivos, sirvió para validar internamente el mismo, ya que a pesar de considerar
3 grupos diferentes en tiempos distintos, no hubo diferencias significativas en los
resultados obtenidos por cada grupo de trabajo.
Por otra parte, se evidenció que no existen registros de antecedentes de estudios
que aborden el tema de la enseñanza y el aprendizaje del límite de funciones reales en
el contexto específico (la Universidad Nacional Experimental de Guayana), como una
investigación en Educación Matemática; razón por la cual fue más ardua la labor, ya
que no se contó con materiales concretos que permitieran orientaciones sistemáticas
de otros investigadores en este ámbito en particular. Para obviar esta situación se
evaluó, exhaustivamente, todas las actividades que comprendieron el estudio, incluso
20
se discutieron con expertos todo el material didáctico entregado, los instrumentos
aplicados y la estrategia V de Gowin utilizada.
Por otro lado, el contenido matemático a estudiar representado por la definición
formal de límite, tiene implícito cuantificadores lógicos y leyes lógicas; no obstante,
los conocimientos previos de los estudiantes en esta materia son escasos, ya que el
pensum de estudio de la carrera de Ingeniería Industrial, no contempla una asignatura
cuyo contenido programático desarrolle las nociones básicas de la lógica. En función
a esto, el docente investigador realizó en sus sesiones de clases una presentación de la
lógica hasta dedicarse a la lógica de enunciados, llegando a la inferencia que es vital
en la construcción de una estructura formal de demostración en cuanto a la existencia
o no del límite de una función f real alrededor de un punto 0x . Así pues, se hizo
énfasis en el estudio de la inferencia lógica desarrollada por los estudiantes,
conjuntamente con el uso del lenguaje lógico formal utilizado, ya que esto es de suma
importancia en la formación del pensamiento matemático (Cardozo, Elejalde y López,
2001).
Debido a la inexperiencia de los estudiantes al trabajar con el ordenador de
conocimientos V de Gowin, pasaron inicialmente, por un proceso adaptativo y
preparatorio, en un tiempo muy limitado. Para ello, se crearon guías de orientación
para que ellos lograran apropiarse de la metodología lo más pronto posible. Además,
desde el inicio del semestre, el docente estuvo manejando la técnica.
La mayoría de los estudiantes de Matemática I de Ingeniería Industrial en la
UNEG, de acuerdo a las interpretaciones realizadas a partir de una entrevista informal
sostenida con 5 docentes que han dictado la asignatura, presentan grandes
deficiencias conceptuales básicas y poca disposición hacia el aprendizaje de la
matemática. Para esto, el investigador, motivó a sus alumnos con actividades que
promovieron su interés por el estudio. Por ejemplo, para introducir el tema a tratar en
una sesión de clases, se habló inicialmente, de temas con los que ellos se sentían
identificados, de tal forma de buscar lograr la sensibilización matemática (García,
2003, p. 22).
21
Existieron dificultades que se generaron en el paso de un pensamiento a otro
(algebraico-topológico-numérico-geométrico). Esto corrobora los resultados del
estudio previo realizado por Blázquez y Ortega (2001), lo cual se confirmó en esta
investigación. Además, de las dificultades epistemológicas que encierra la definición
de límite en sí misma, según Páez (2001), se puede afirmar que los principios del
aprendizaje socialmente construido de los conocimientos a abordar, ayudaron a
superar en la medida de lo posible estas dificultades, las cuales estarán siempre
presentes, aunque fue en menor proporción. La descripción de estas dificultades
constituye un centro de interés importante dentro de la investigación, de tal manera
que al trabajarse el límite en los distintos sistemas de representación, se logró que los
alumnos comprendieran mejor esta definición.
Alcances del Estudio
Una vez finalizada la investigación se logró: (a) aportar ideas sobre las dificultades
de tipo cognitivas, epistemológicas y didácticas que inciden en el aprendizaje del
límites de funciones reales en la Educación Matemática y así contribuir a superarlas
en base a la descripción realizada; (b) mejorar el proceso de enseñanza aprendizaje,
con el uso de la técnica metodológica V de Gowin y de esta manera, abrirse a la
posibilidad de un estudio con mayor alcance, donde las construcciones sociales
similares, sean producto de experimentaciones, trabajo colaborativo e inventiva y
permitan profundizar una vez más para que la idea de diseño, cale verdaderamente en
los futuros ingenieros de generación en generación, (c) obtener la visualización de
cuáles fueron los procesos y dimensiones del pensamiento matemático que ellos
lograron cuando comunicaban sus ideas matemáticas sobre límites, a partir de la
ejecución de las actividades de cálculo, determinación y demostración de límites
propuestas al estudiante. (e) disponer de una metodología de trabajo fundamentada en
el concepto de diseño, lo cual da cabida, a su uso en otras áreas.
22
Sin embargo, se obtuvo en este estudio nuevos alcances bilaterales, consecuencia
de la dinámica exploratoria que implicó este enfoque con elementos de la etnografía;
dada la apertura y flexibilidad de su orientación naturalista, se buscó profundizar un
poco más el objetivo general de la investigación alcanzado y se encontró:
(a) analizar cuál dimensión del pensamiento fue comprendida o no por el
estudiante y en qué orden se estableció esta comprensión, si la hubo; en este sentido,
se contribuyó en la investigación educativa en torno al desarrollo del pensamiento
matemático, asociado a la adquisición y utilización de la definición de límite. En
particular, para efectos de este estudio sólo se consideró los límites de funciones
reales, exclusivamente en una variable real; (b) destacar la importancia del proceso
matemático de demostración construido en las V de Gowin, y en general, de las ideas
matemáticas comunicadas en estos diseños, por encima del resultado obtenido en los
ejercicios propuestos. A nivel macro, el desarrollo de esta metodología de acción, la
V de Gowin, conjuntamente con la visión micro, los procesos matemáticos y
dimensiones del pensamiento matemático que se alcanzaron en el alumno,
promovieron métodos y procedimientos de trabajo para el enriquecimiento del cuerpo
teórico y pudieran ser modelos para otras situaciones problemáticas, en general.
Específicamente, se dotó al estudiante de estrategias y técnicas que pueden utilizarse
en el estudio de los límites de funciones reales en dos o más variables reales, tal y
como está contemplado en el programa de Matemáticas III de la UNEG; (c) Presentar
un análisis cualitativo de algunos textos que abordan la definición de límite,
conjuntamente con el programa de Matemática I, en relación a cuáles son las
dimensiones del pensamiento matemático que abarcan los autores, así como también
aquellas que no son desarrolladas por ellos mediante el discurso escrito y (d) Aportar
un análisis textual y de imágenes de los trabajos realizados por los estudiantes sobre
límites de funciones usando el programa Atlas/ti. De manera que todos y cada uno de
los apartados antes mencionados han contribuido como manifiesto para la densa
descripción del pensamiento matemático que se obtuvo en esta investigación.
23
CAPÍTULO II
MARCO TEÓRICO
Este capítulo comprende nueve partes: (a) la primera parte de esta estructura
conceptual, está constituida por la concepción de Educación Matemática y, en
particular, en la formación matemática del ingeniero; (b) algunas ideas existentes
sobre el pensamiento matemático en sus dimensiones: numérica, topológica,
algebraica y geométrica; (c) la definición de pensamiento estratégico: (d) la visión de
algunos procesos de aprendizaje; (e) los fundamentos del instrumento heurístico V de
Gowin, instrumento que se implementó en el estudio; (f) la definición que se asumió
de aprendizaje significativo de Ausubel; (g) la concepción de Evaluación Educativa
que se sostuvo; (h) historia del límite de funciones y su infinito e importancia de esta
definición en la demostración e (i) finalmente se presentan algunos antecedentes del
trabajo.
Educación Matemática y Formación Matemática del Ingeniero
Para los efectos de este estudio se sostiene la posición de Ausubel, Novak y
Hanesian (1991), quienes asumen la educación como un proceso en el cual están
involucrados diferentes elementos entre los que se debe considerar: el profesor, el
alumno, el conocimiento, el contexto y la evaluación. En el ámbito de la Educación
Superior, según Cruz (2002), estos elementos interactúan de tal manera que todos se
dirigen al propósito de la verdadera educación: el desarrollo del intelecto humano.
En este desarrollo del intelecto humano, Cruz (2002) afirma que la Educación
Matemática juega un papel importante; de aquí que en la presente investigación se
24
asume la siguiente postura ante lo que se pretende que debe representar la educación
matemática para los futuros ingenieros:
La educación matemática para los futuros ingenieros debe contribuir
en parte al desarrollo de ese intelecto humano, mediante el desarrollo de
un pensamiento lógico y práctico que los capacite para las tareas
complejas tales como: procesamiento eficiente de la información,
incluyendo procesos de selección, análisis, categorización, organización,
inferencia, verificación y expansión; trabajo en equipo, el cual
contempla el reconocimiento de roles, el ejercicio del liderazgo fundado
en principios, el respeto a los puntos de vista, el manejo de acuerdos,
desacuerdos e irrelevancias; la toma de decisiones, que incluye la
recopilación de información, el análisis, la comparación, la síntesis, la
evaluación, el estudio de alternativas de acción y posibles contingencias;
la planificación, que comprende desde la formulación de un problema,
pasando por la ejecución y el control de las acciones, hasta la evaluación
de las soluciones propuestas y, en síntesis el diseño concebido como la
actividad creativa esencial con sus fases de formulación del problema,
análisis, investigación, estudio de alternativas, toma de decisiones y
especificación de la solución propuesta (Cruz, 2004b, p. 7).
Así pues, la visión de Cruz (2004b) señalada anteriormente, acerca de la educación
matemática de los ingenieros, fue compartida plenamente en esta investigación.
Aunado al hecho de que el docente debe inducir, constantemente, a lograr en sus
estudiantes un grado de conciencia sobre lo que ellos planifican, ejecutan y
supervisan durante el desarrollo de una actividad matemática ejecutada y sobre todo,
de los procesos y tipos de pensamiento matemático que generan sus estudiantes
alrededor de la definición de límite.
De esta forma, según Cruz (2004b) el preparar a los futuros ingenieros supone, en
consecuencia, un enfoque de la Educación Matemática hacia una praxis intelectual e
interpretativa del individuo, de la sociedad, del deseo permanente de generar
problemas y soluciones que le faciliten su vida hacia el desarrollo de la creatividad
como actividad cognoscitiva, impulsada por ejercicios específicos y en la búsqueda
de soluciones novedosas que trasciendan su uso inmediato.
En este orden de ideas, “los futuros ingenieros deben recibir una formación
matemática de buena calidad, que los prepare para comprender las estructuras
fundamentales de las ciencias y les deje potencialmente capacitados para
25
desempeñarse como profesionales eficientes y con herramientas para abordar nuevos
aprendizajes” (Cruz, 2004b, p 5).
Precisamente, en respaldo a los planteamientos antes señalados, es necesario
impulsar la matemática crítica planteada por Skovsmose (2007), para que los futuros
ingenieros sean generadores de problemas con el objetivo de que ellos busquen
soluciones en torno a su quehacer diario. De esta manera, la resolución de ejercicios
fue considerada de suma importancia para el estudio, porque en ésta se requiso hacer
énfasis en los procesos cognitivos y metacognitivos y dimensiones del pensamiento
matemático que ejecuta el alumno a la hora de resolver un problema de límite. De tal
modo que a partir del análisis de la praxis intelectual e interpretativa del estudiante, lo
cual quedó plasmado en el diseño de las V que realizaron los alumnos durante el
estudio, el investigador pudo describir cómo es el pensamiento matemático asociado a
la definición del límite de funciones reales.
Por otro lado, Cruz (2004b) afirma que la formación matemática que se dé en
las escuelas de ingeniería debe incorporar periódicamente, nuevos temas que sirvan
para comprender las circunstancias actuales en las que se desarrolla la ingeniería;
además, este autor sostiene que la formación matemática contribuye a la formación de
la personalidad del futuro profesional, dotándolo de conocimientos estratégicos que lo
capaciten para el correcto empleo de los métodos matemáticos que habitualmente se
requieren en el ejercicio profesional, por lo que se debe proveer al estudiante de los
conocimientos disciplinares y estratégicos, con suficiente claridad, profundidad y
generalidad como para que comprenda aquellos temas científicos y técnicos que debe
abordar primero en el curso de su formación profesional y luego durante su vida
como tal.
Específicamente, para alcanzar la formación de ciudadanos intelectuales es
fundamental desarrollar el pensamiento matemático, pensamiento que se profundiza
en este estudio para lograr su descripción. Según Cruz (2000), el desarrollo del
pensamiento matemático se logra en los estudiantes, gracias a la generación de
situaciones didácticas intencionalmente diseñadas lo cual depende en gran medida de
la propia disposición que le imprime el docente al hecho educativo.
26
En base a esta última disposición, se realizó en esta investigación una descripción
del pensamiento matemático asociado a la definición del límite de funciones reales,
donde la planificación de las situaciones didácticas generadas fue pieza fundamental
para lograr una amplia descripción de ese pensamiento, el cual involucra de acuerdo
al contenido matemático, el pensamiento matemático en sus dimensiones: numérica,
geométrica, topológica y algebraica. Este pensamiento, de acuerdo a sus
dimensiones, será brevemente definido a continuación, desde la óptica inicial que
manejó el investigador al comenzar este estudio partiendo de los escritos de
Blázquez y Ortega (2001); Cantoral y cols. (2000) y Cruz (2000, 2002, 2004ª y
2007).
El Pensamiento Matemático
Al hablar del pensamiento matemático, del razonamiento, de la memoria, de la
abstracción o, más ampliamente, de los procesos mentales matemáticos, los
investigadores dirigen su mirada hacia la sicología aplicada en la Educación
Matemática y en el estudio de las funciones mentales. Para los investigadores por
ejemplo, las preguntas: ¿cómo piensan los alumnos?, ¿cómo desarrollan éstos sus
procesos de pensamiento?, o ¿en qué medida los alumnos se apropian de ciertos
conocimientos?, constituyen fuentes de reflexión y experiencia cotidiana en el ámbito
educativo.
De acuerdo a Cantoral y cols. (2000) el pensamiento matemático, se refiere a las
formas en que piensan los alumnos cuando usan un lenguaje matemático. Estos
autores sostienen tres visiones acerca del pensamiento matemático, las cuales se
asumieron por considerarse complementarias para los efectos de este estudio y no
contradictorias:
1. El desarrollo de este pensamiento es una reflexión espontánea sobre la
naturaleza del conocimiento matemático y la naturaleza del proceso de
descubrimiento e invención en matemáticas.
27
2. El desarrollo del pensamiento matemático es parte de un ambiente científico en el
cual los conceptos y las técnicas matemáticas, surgen y se desarrollan en la resolución
de ejercicios matemáticos.
3. Y finalmente, este desarrollo se produce en todos los seres humanos en el
enfrentamiento cotidiano a múltiples tareas.
De manera que, al entender el pensamiento como la razón de existencia del hombre,
bien sea para el enfrentamiento cotidiano en múltiples tareas, como reflexión
espontánea o como parte de un ambiente científico, se habla según Cantoral y cols.
(2000), que el pensamiento matemático incluye por un lado, pensamientos sobre
tópicos matemáticos y por otro abarca procesos avanzados del pensamiento.
Específicamente, el pensamiento matemático abordado en este estudio incluye
todas las formas posibles de construir ideas matemáticas en torno a la definición de
límite de funciones reales. Bajo estas perspectivas, la investigación cobra sentido al
describir el pensamiento matemático de los estudiantes, mediante la visualización y
comunicación de sus ideas y procedimientos vinculados a la resolución de ejercicios
sobre límites.
La definición anterior sobre el pensamiento matemático se fundamenta desde las
ideas concebidas por Cruz (2002), quien afirma que la caracterización específica de
este pensamiento debe producirse a partir de las situaciones didácticas en las cuales
están presentes, un importante contenido matemático procesándose y un conjunto de
interacciones de comunicación de éstos.
En cuanto al contenido que representa el límite de funciones reales de una variable
real se asume, para los efectos de este estudio, que vincula al pensamiento
matemático en sus dimensiones: numérica, geométrica, topológica y algebraica.
El Pensamiento Matemático en su Dimensión Numérica
El pensamiento matemático en su dimensión numérica en torno a la definición de
límite, comprende el uso y la comunicación de conceptos, resultados y
procedimientos numéricos asociados a la definición de límite, donde precisamente, el
límite viene a representar, según Blázquez y Ortega (2001), la aproximación óptima
de los valores de la función en un entorno reducido del punto en estudio. La
28
obtención de esta aproximación óptima, es generada a partir de un proceso infinito
que consiste en evaluar la función, en valores cercanos al verdadero valor real
estudiado. Luego, el pensamiento numérico incluye la generación del pensamiento
secuencial y el concepto de infinito.
El Pensamiento Matemático en su Dimensión Geométrica
El pensamiento matemático en su dimensión geométrica sobre el límite de una
función, viene desarrollado por el uso y la comunicación de conceptos, relaciones y
procedimientos geométricos asociados a esta definición en base a la idea de entorno
(intervalo abierto) alrededor de un punto. Aquí, la representación de una función es
vista como una curva en el plano cartesiano y el límite (cuando existe) como una
ordenada de un punto del plano. Específicamente, el pensamiento geométrico encierra
la concepción del plano, donde el límite según Blázquez y Ortega (2001) representa
un punto del eje OY, tal que, a todo segmento que le contiene le corresponde otro bajo
f, en torno al punto de interés que se proyecta dentro de él.
El Pensamiento Matemático en su Dimensión Topológica
El pensamiento matemático en su dimensión topológica, comprende el uso y la
comunicación de conceptos, resultados y procedimientos topológicos asociados a la
definición de límite, donde precisamente, el límite viene a representar un punto de
acumulación definido usando métrica euclidiana en términos de vecindad o definición
topológica de entornos, según Blázquez y Ortega (2001). Específicamente, el
pensamiento topológico abarca el concepto de límite visto como un punto de
acumulación, la métrica usual en R y la topología generada por ésta.
El Pensamiento Matemático en su Dimensión Algebraica
El pensamiento matemático en su dimensión algebraica alrededor de la definición
de límite, es producto del uso y la comunicación de los conceptos, relaciones y
procedimientos en base a las propiedades algebraicas asociadas a esta definición;
particularmente al uso de desigualdades, las cuales vienen representadas por la
simbología legitimada durante siglos atrás. Así pues, el pensamiento algebraico
comprende toda la simbología correspondiente a la definición formal de límite y
permite en base a su manejo que se planifique, supervise y evalúe el proceso de
29
diseño requerido para el establecimiento del adecuado en función del dado;
donde el y el actúan como controles de las aproximaciones que se deben trabajar
de acuerdo a la definición según Blázquez y Ortega (2001).
El Pensamiento Estratégico
Otro pensamiento importante a considerar en este estudio, fue el pensamiento
estratégico. Este pensamiento se percibe a través de una manifestación del estudiante
en relación al grado de conciencia sobre su forma de adquirir, almacenar y procesar
contenidos referidos al límite de funciones y la habilidad que desarrolla para
organizar, recuperar y transformar esta información durante el proceso de diseño,
además de usarla para progresar en su aprendizaje.
En este mismo orden de ideas, Cruz (2004a y 2007) sostiene que un estudiante usa
el pensamiento estratégico cuando tiene conciencia sobre los procesos necesarios para
apropiarse de una situación-problema, dispone de estrategias cognoscitivas
(Aprendizaje Metacognoscitivo) y muestra habilidades de regulación deliberada de
los procesos de adquisición de conocimientos y de transformación de situaciones
(Aprendizaje Declarativo o Procedimental).
En el caso específico de la matemática, se considera que el estudiante actúa
metacognitivamente cuando está en condiciones de explicar los procesos cognitivos
que activa o deja de activar cuando se encuentra frente a una tarea matemática; tales
como: el diseño, la planificación, la ejecución, la supervisión, la evaluación, la
abstracción, la argumentación, justificación o razonamiento bajo hipótesis, las cuales
fueron exploradas dentro de las tareas entregadas por los alumnos mediante la V de
Gowin, para ver si estaban o no presentes en su diseño elaborado.
30
Procesos Matemáticos
Estos procesos se definieron, a grosso modo, como se consideraron en el estudio,
en base a las ideas de Bernad (2000) y Cruz (2004b):
El diseño constituye el proceso que comprende la formulación y el análisis del
problema planteado, la planificación y búsqueda de soluciones, la toma de decisiones
en la obtención de respuestas efectivas y las especificaciones en detalles de esta
última solución en base a los ejercicios propuestos.
La ejecución abarca el proceso de práctica y supervisión del establecimiento de
restricciones y limitaciones, de la declaración y aplicación de principios y leyes
generales que regularon, argumentaron y validaron el diseño elaborado y confirmaron
los criterios de selección y la evaluación de la respuesta lograda.
La abstracción, se evalúa desde las representaciones simbólicas y la
argumentación que desarrolló el aprendiz cuando realizaba las tareas asignadas, lo
cual refleja el dominio del lenguaje alcanzado. A su vez, la abstracción lograda por el
alumno, se manifiesta a partir del dominio del lenguaje que se percibe, cuando éste
ejecuta cambios de representación de la definición de límite, bajo las distintas
modalidades de pensamiento: el algebraico, numérico, topológico y geométrico.
El nivel de abstracción constituye el referente que refleja los avances que tuvo el
alumno en cuanto a las generalizaciones y transferencias de conocimientos que
alcanzó en las tareas asignadas.
En la argumentación, justificación o razonamiento bajo hipótesis se realiza un
énfasis en el estudio del rigor de la lógica que utilizó el alumno en la actividad de
inferir unos conocimientos a partir de otros; bien sea, por deducción, inducción o
extrapolación. La justificación, está incluida en el desarrollo de los procesos de
diseño y ejecución que manifestó el dominio general del tema.
De esta manera, el estudio del dominio general del tema se evaluó en base a las
estrategias que desarrolló el aprendiz, en la elaboración del diseño y la ejecución de
los ejercicios realizados, donde se manejaban relaciones, conceptos y procedimientos
típicos de la matemática, para la búsqueda de aprendizajes procedimentales. Además,
31
esta evaluación en relación al dominio general del límite de funciones, fue más allá,
con la transferencia y autorregulación de conocimientos matemáticos que realizó el
estudiante para alcanzar la metacognición, la cual significa para el investigador un
eslabón más avanzado de conocimiento.
Así pues, el aprendizaje procedimental fue aquel que se generó gracias a la
ejecución de varias acciones u operaciones, estrategias, técnicas, habilidades,
destrezas y métodos ordenados y dirigidos hacia la consecución de la meta.
El alcance del pensamiento estratégico y el aprendizaje procedimental se lograron
gracias a la propia disposición del docente-investigador y a la generación de
situaciones didácticas intencionalmente diseñadas, donde se partía desde los
principios de Cantoral y cols. (2000), citado por Cruz (2004a):
1. En base a los procesos previamente descritos la actividad de los alumnos estuvo
orientada hacia la obtención de un resultado preciso, previamente hecho explícito por
el profesor y que pudo ser identificado por los propios alumnos, quienes anticiparon y
luego verificaron los resultados en sus actividades desarrolladas.
2. Así la resolución del problema planteado implicó la toma de múltiples
decisiones por parte de los alumnos, y la posibilidad de conocer directamente las
consecuencias de sus decisiones a fin de modificarlas para adecuarlas al logro del
objetivo perseguido. Es decir, se permitió que los alumnos intentaran resolver un
ejercicio varias veces.
3. Para resolver un ejercicio varias veces los alumnos recurrieron a diferentes
estrategias de resolución, estrategias que correspondieron a diversos puntos de vista
sobre el ejercicio propuesto. Para los alumnos fue indispensable, en el momento en
que plantearon el problema, disponer de al menos de una estrategia para que pudieran
comprender la consigna y comenzar su actividad de búsqueda de la solución.
De este modo, las situaciones didácticas elaboradas previamente por el
investigador persiguieron que el alumno realizara un diseño en base a una situación
problema planteada, para alcanzar el logro de aprendizajes procedimentales y más
generales, el pensamiento estratégico que capacita al individuo para su independencia
en la vida.
32
En este sentido, al buscar una amplia descripción del pensamiento matemático;
específicamente, del pensamiento estratégico el investigador no sólo presentó al
alumno el planteamiento de un ejercicio de límite, sino las rutas óptimas y correctas
que conducían a su realización exitosa. También fue importante confrontar al alumno
con los errores típicos, las rutas erróneas y las alternativas u opciones de aplicación y
resolución de ejercicios cuando éstos se presentaban. Por consiguiente, fue relevante
revisar para los efectos de esta investigación: (a) la detección y corrección de errores
(las condiciones que limitaban o favorecían la realización del procedimiento a seguir)
y (b) la argumentación de las razones por las cuales se elegían ciertos “caminos”
usados; y (c) la validez de los “resultados” que se obtenían (discutir a profundidad las
dudas y errores habituales, las situaciones conflictivas más comunes a las cuales se
enfrentaban y el análisis de las formas de interacción con sus compañeros, antes de
plantearse cualquier diseño).
Cabe destacar que realmente, la enseñanza de la matemática vista en función de las
necesidades del ciudadano, que debe trabajar habitualmente en situaciones de
incertidumbre, por lo cual tiene que contemplar (necesariamente según Cruz, 2000) el
desarrollo de estrategias metacognitivas. Detrás de todo lo anterior estuvo inmersa la
noción de fomentar la metacognición y autorregulación de lo que se aprendió, es
decir, fue significativo inducir una reflexión y un análisis continuo sobre las
actuaciones del alumno durante esta investigación.
Teniendo en cuenta todo lo antes planteado, el investigador trabajó en todo
momento con una matriz de entrada (ver Anexo S), identificando en cada información
que se obtuvo en el estudio, la existencia de cada uno de los elementos teóricos que
en esta se presentaron.
Por otra parte, para los efectos de esta investigación se utilizó la estrategia
heurística V de Gowin, como herramienta organizadora del conocimiento
matemático, la cual según Cruz (2004a), es una estrategia generadora de avances en
la capacidad de autodeterminación ante situaciones de incertidumbre.
33
Una idea considerada en esta investigación, teniendo en cuenta lo estratégico
dentro del proceso de enseñanza y aprendizaje, fue la relacionada con el instrumento
que facilitó el aprendizaje significativo que se perseguía. Para ello se empleó la
técnica heurística V de Gowin en la resolución de ejercicios planteados. El uso de
esta estrategia en el curso de Matemática I estuvo relacionado con la posibilidad que
ofrece esta herramienta en el proceso de resolución de ejercicios, ya que no basta con
tener un conocimiento organizado, es necesario disponer del aprendizaje
procedimental y de estrategias de procesamiento de la información, por lo que el
proceso de comunicación (estudiante-docente-conocimiento, bien sea declarativo y
procedimental), con el uso de la V de Gowin se favorece (Cruz, 1994 y Cruz, 2000).
De modo que, el describir el desarrollo del pensamiento relativo a la naturaleza
del conocimiento sobre límite, lo cual representa el objetivo general de la
investigación, precisó una metodología a implementar que buscaba profundizar el
conocimiento matemático para buscar sus mejoras y simultáneamente desarrollar
habilidades cognitivas (procesos) en los aprendizajes contextualizados.
Precisamente, el uso de la estrategia heurística V de Gowin, juega su rol de
organizadora de ese conocimiento.
El uso de la V de Gowin estuvo sujeto a la implementación de esta estrategia,
como organizador avanzado, para procesar información matemática presente en la
definición de límite. Además, el uso de estos diagramas, permitió evaluar el
aprendizaje alcanzado en los alumnos, para lo cual se estudió:
1. La apropiación, como el proceso de adquisición del conocimiento usando los
cuatro elementos que constituyen la V: los eventos, el ala metodológica, el ala
conceptual y las preguntas centrales, que orientaron la consecución de la meta. La
apropiación incluye los procesos de planificación y ejecución y supervisión de estos
elementos.
2. La aplicación, como proceso de uso sistemático, validación e
institucionalización de la estrategia V de Gowin, con sus cuatro elementos
Estrategia Heurística V de Gowin
34
constitutivos. Esta comprendió el diseño y la ejecución del producto propuesto como
solución en cada diagrama presentado.
Específicamente, es relevante señalar la importancia de la aplicación de la
estrategia V de Gowin para dar respuesta al objetivo general de este estudio, ya que la
V como herramienta permite:
1. Mostrar un resumen tanto teórico como metodológico del proceso de solución
de ejercicios, permite visualizar y orientar las posibles vías de solución al problema
planteado en base a las preguntas centrales de la V. Es decir, la aplicación de la V de
Gowin orientó el desarrollo del proceso de diseño que se requería durante cada
situación problemática planteada; de modo que, para cada diseño construido, los
estudiantes desarrollaron procesos y dimensiones del pensamiento matemático
mediante los cuales se caracterizó el pensamiento matemático alcanzado.
2. Esta estrategia metacognitiva es “generadora de aprendizajes matemáticos
procedimentales y pensamiento estratégico, contribuyendo estos últimos en gran
medida en la formación de ciudadanos intelectualmente independientes”, (Cruz,
2004a). Además, este autor sostiene que el aprendiz que se entrena en el uso de esta
estrategia recibe una preparación que le permite determinar si cierta estrategia es útil
o no, así como es capaz de comparar su ejecución en diversas tareas asociadas a su
aprendizaje.
3. Por otra parte, Morales (1998) asegura que cuando se utiliza esta técnica se
ayuda a los estudiantes a reconocer la interacción existente entre lo que ellos ya
conocen y los nuevos conocimientos que están produciendo y que tratan de
comprender. En base a esto, se asume que la V de Gowin, toma en cuenta el
conocimiento previo que poseen los estudiantes y contribuye a reforzarlo.
4. El uso de la V de Gowin es importante porque su aplicación y ejecución
garantiza la existencia de varios procesos fundamentales para lograr desarrollo en el
pensamiento matemático y estratégico y estar permanentemente en la búsqueda de
aprendizajes significativos. Estos procesos matemáticos estuvieron inmersos en el
diseño planteado al realizar cada diagrama, tales como: la tarea de realizar el
35
planteamiento del problema surgió desde los eventos iniciales del problema y una vez
definidas las preguntas centrales que guiaron la problemática.
Los planteamientos anteriores que argumentan el uso de la V Gowin en este
estudio hacen que el proceso de solución de ejercicios, mediante estos diagramas V,
se convierta en el foco de atención de la clase y el docente sirva de medio que utiliza
su experiencia para facilitar el acceso al conocimiento. De este modo, los procesos de
selección, análisis, inferencia, verificación y expansión estuvieron sujetos al trabajo
que se realizó en el ala metodológica; el trabajo en equipo, el cual contempló el
reconocimiento de roles, el ejercicio del liderazgo fundado en principios, el respeto a
los puntos de vista, el manejo de acuerdos, desacuerdos e irrelevancias; la toma de
decisiones que se fomentaron en el aula, y fue precisamente la V quien plasmó un
aprendizaje socialmente construido, producto de ideas consensuadas, basado en el
respeto mutuo y en el intercambio de ideas matemáticas.
Este intercambio de ideas quedó sujeto a la recopilación de información que se
dió en el ala conceptual. La planificación, el análisis, la comparación, la síntesis, la
evaluación, el estudio de alternativas de acción y posibles contingencias y alternativas
de respuestas, formaron parte del proceso de diseño en la construcción de cada V.
En este estudio, la tarea de construir V de Gowin que abarquen la definición de
límite de funciones, desde distintos sistemas de representación, planteó la necesidad de
establecer cuáles son los procesos cognoscitivos y metacognitivos que el alumno
ejecutaba cuando analizaba y/o resolvía las tareas que se planteaban; es decir, el
investigador estableció previamente cuáles son las operaciones mentales que tendrían
lugar durante, el procesamiento de pensamiento matemático, ya que según Hiebert
(1981), citado por González (1995), se requiere de ciertas capacidades para aprender
conceptos matemáticos básicos lo cual representa el fin último de este estudio: realizar
un proceso de diseño para cada ejercicio propuesto mediante la V de Gowin, a partir del
cual se caracterice el pensamiento matemático asociado a la definición del límite de
funciones reales. Estas son las razones que cada vez hacen más necesario estudiar las
relaciones entre los procesos de enseñanza y los mecanismos del pensamiento
matemático.
36
De aquí, la necesidad de tomar en cuenta en esta investigación los procesos
cognoscitivos de entrada, de elaboración y salida, señalados en el constructo
Competencias Matemáticas, elaborado por González, (1995). Este autor señala, que si
los alumnos construyen definiciones (caso particular de nuestro estudio: la definición de
límite) como cumplimiento de tareas relacionadas con la comprensión conceptual,
entonces estos deberán alcanzar un desarrollo en el pensamiento matemático (en tal caso
en las dimensiones: pensamiento topológico, algebraico numérico y geométrico).
Esta última afirmación, es fundamental y direccionó el fin último del estudio,
describir el pensamiento matemático asociado a la definición de límite, lo cual surgió
como producto de los análisis en torno al pensamiento matemático de los alumnos en
un ambiente de aula condicionado, para alcanzar niveles aceptables de conocimientos
matemáticos en cuanto a la definición de límite, buscando su apropiación, a través de
la resolución de ejercicios desde la V de Gowin, como herramienta organizadora del
conocimiento.
Historia del Límite de Funciones y su Infinito e Importancia de esta
Definición en la Demostración
En la época de oro (siglos VI al II a.c.) según Páez (2001), los filósofos griegos se
tuvieron que enfrentar con problemas relacionados con el infinito. Para ellos, lo
infinito, ni par ni impar es lo indefinido, negación abstracta de lo finito. En este
sentido, uno de los primeros en señalar inconsistencias y contradicciones en el uso del
infinito fue Zenón de Elea desde sus paradojas: la dicotomía y la de Aquiles. Ante
este planteamiento Aristóteles manifestó, que la paradoja de la dicotomía se resolvía
haciendo ver que un intervalo de tiempo dividido indefinidamente daba lugar a
subintervalos que, aunque en número no finito, tenían como suma al intervalo dado;
es decir, tenían suma finita.
Aristóteles trató de enfrentar el problema del infinito a través de dos concepciones
complementarias: el infinito potencial y el infinito actual. Kant en un contexto
filosófico y Bolzano en un contexto matemático son unos de los primeros en hacer
37
una distinción entre estos dos tipos de infinito. Pero fue Cantor, a finales del siglo
XIX, quien hizo definitiva esta distinción.
Según Ortiz (1994), “el infinito potencial se centra en la operación reiterativa e
ilimitada, es decir, en la recursividad interminable, por muy grande que sea un
número natural siempre podemos concebir uno mayor, y uno mayor que este último y
así sucesivamente” (p. 61). En este sentido, el autor sostiene que este infinito sirvió
de base a la noción de límite del cálculo infinitesimal.
Por otra parte, el infinito actual, de acuerdo a Ortiz (1994), es considerado como
una totalidad completa, la cual “…fue ampliamente desarrollada en la geometría al
dividir un segmento de recta en un número infinito de puntos y el infinito actual de
los infinitesimales, sirvió de soporte heurístico para la posterior formalización del
cálculo infinitesimal” (p. 62).
Debido al surgimiento tardío del infinito actual, algunas definiciones de límite, se
dieron en términos verbales, intuitivos y erróneos, como por ejemplo la definición
que proporcionó Duhamel (1841, citado por Páez 2001): “...se dice límite de una
cantidad variable, una cantidad fija, a la cual (aquella) se aproxima indefinidamente”.
Definiciones más precisas y libres de contradicciones surgieron cuando se tomó en
cuenta el infinito actual, solucionando a su vez la disyuntiva de que “si el límite es o
no es alcanzado” (p. 5).
Es así, que el problema sobre el entendimiento del infinito potencial y actual no es
simple. Como dice Hitt en 1997 (citado por Páez, 2001) “...Si tardó más de veinte
siglos el surgimiento del infinito actual, es claro que estamos ante un obstáculo
epistemológico, que indudablemente se reflejará en la dificultad por parte del alumno
para la adquisición de esta definición”(p. 5).
La definición de límite quedó sin ser aclarada a todo lo largo del siglo XVIII.
Wikipedia, la biblioteca en línea, escribe que en muchas ocasiones algunas frases
conducían sólo de manera intuitiva a la definición de límite, tales como: se aproxima
a un número específico, x se aproxima hacia a, f(x) se hace arbitrariamente grande;
desde Leibnitz, Newton en el siglo XVII a través de los Bernoulli, Euler y Gauss en
38
el siglo VIII y hasta principios del siglo. Mientras que Bolzano en 1817, fue quien
introdujo las bases de la técnica epsilon-delta.
Según Camacho y Aguirre (2001), un primer intento por eliminar las ideas
intuitivas de las magnitudes infinitamente pequeñas e infinitas fue ensayado por
Lagrange a finales del siglo XVIII. De acuerdo a estos autores, entre principios del
siglo XIX y a mediados del mismo, fueron años de diversas revisiones y
formulaciones a las tres grandes líneas que prevalecieron en el ámbito científico y de
enseñanza del cálculo infinitesimal: infinitésimos, cantidades evanescentes y cálculo
algebraico.
Sin embargo, a medida que el tiempo transcurría la definición intuitiva de límite
necesitaba librarse de su origen: los objetos móviles y simples gráficas, tal y como lo
expone Wikipedia. Fue Weierstrass, alrededor de 1841 a 1856, quien desarrollo una
presentación rigurosa, un método para definir los límites sin hacer alusión a lo
anterior Desde entonces este método se ha convertido en el método estándar para
trabajar con límites. Posteriormente, en 1908 surge la notación de escritura usando la
abreviatura lim con la flecha debajo y es debido a Hardy en su libro A Course of Pure
Mathematics.
Ahora, la enseñanza de la definición moderna de límite, en términos de y con
el correr de los años, se ha percibido como un problema de tipo epistemológico, de
acuerdo a la clasificación realizada por Brousseau (1989); donde se ha tenido una
concepción equivocada del concepto de límite infinito, el cual a pesar de ofrecer
resultados inmediatos, condiciona a los estudiantes a evitar transitar hacia la
demostración formal de la definición y, en consecuencia, evadir su construcción,
según lo afirmado por Camacho y Aguirre (2001).
Este obstáculo, que expresan los autores anteriores en un artículo publicado en la
Revista Latinoamericana de Investigación, consiste en la resistencia de un saber mal
adaptado ya que los alumnos piensan que el límite es algo acabado, no lo ven como
un proceso infinito de sucesivas aproximaciones. Por ejemplo, los estudiantes usan la
notación 1/ 0 para abreviar .01
lim xx
39
En este sentido, se sostiene en la presente investigación que la definición formal de
límite, no es más que una proposición matemática, cuya proposición es difícil de
demostrar; sin embargo, se logró en este trabajo que los alumnos aplicaran la lógica
matemática para realizar demostraciones de ejercicios sobre límites, las cuales se
ajustaron al razonamiento bajo hipótesis.
Según Estévez y Arrieta (s/f), las demostraciones en el aula de clases tienen un
significativo valor educativo. Precisamente, las funciones de la demostración, de
acuerdo a Van Asch (citado por los autores anteriores) son, además de “convencer,
entender, memorizar, contener un algoritmo, finalizar un proceso de búsqueda,
exponer un método, mostrar un significado de la definición; las de: aprender,
comprender, desarrollar habilidades comunicativas, obtener los conceptos de
generalización, particularización y analogía” (p. 2). Estos cuatro últimos, son
procesos de suma importancia en este estudio.
Tomando en cuenta estas ideas, aquí se propusieron para desarrollar la definición
de límites, tres tipos de ejercicios a ser resueltos en la V de Gowin por los alumnos:
calcular límites, determinar la existencia del límite de una función en un punto y
sobretodo, enfatizar en las demostraciones de existencia o no del límite en un punto.
Estas actividades perseguían el fin único de que los alumnos, en sus diseños
presentados, lograran comunicar (mediante sus habilidades) su pensamiento
numérico, geométrico, topológico y algebraico y consecuentemente, el docente
investigador realizara la descripción del pensamiento matemático desarrollado.
De modo que, se sostiene fundamentalmente en este trabajo de investigación, las
afirmaciones de los autores antes mencionados en relación a que el trabajo con
teoremas matemáticos y sus demostraciones, constituye una poderosa influencia
sobre el desarrollo de capacidades generales para argumentar, fundamentar, inferir,
refutar y deducir, a los efectos de la formación multilateral del alumnado, del
desarrollo de su pensamiento y lenguaje, y en el caso particular, para el contenido
curricular que comprende la definición de límite de funciones .
A su vez, Estévez y Arrieta (s/f) afirman que “las demostraciones contribuyen al
desarrollo de operaciones mentales generales, tales como: abstraer, concretar,
40
analizar, sintetizar, comparar, clasificar, particularizar y generalizar” (p. 4); donde la
mayoría de estos procesos fueron alcanzados en los trabajos V entregados por los
alumnos (como se mostrará en el capítulo IV), vistos como procesos matemáticos
avanzados de acuerdo a Cantoral y cols. (2000).
En resumen, se destaca la importancia del proceso de demostración construido
en las V de Gowin, y en general, de las ideas matemáticas comunicadas en estos
diseños, por encima del resultado obtenido en los ejercicios propuestos. A nivel
macro, el desarrollo de esta metodología de acción, la V de Gowin, conjuntamente
con la visión micro, el proceso de demostración matemática, promovieron métodos
y procedimientos de trabajo para el enriquecimiento del cuerpo teórico que pudieran
ser modelos para otras situaciones problemáticas, en general.
Específicamente, a partir del desarrollo de las actividades de cálculo,
determinación y demostración de límites propuestas al estudiante, se obtuvo la
visualización de cuáles fueron los procesos y dimensiones del pensamiento
matemático que ellos lograron cuando comunicaban sus ideas matemáticas sobre
límites. Luego, se analizó cuál dimensión del pensamiento fue comprendida o no y en
qué orden se estableció esta comprensión, si la hubo.
Todo lo anterior se estudió para lograr una densa descripción del pensamiento
matemático alrededor de la definición de límite, tal y como fue planteado el objetivo
general en esta investigación.
Concepción de Evaluación Educativa
La evaluación en Venezuela de acuerdo con la Ley de Universidades (1970)
obligaba a adoptar, para el proceso de evaluación de los aprendizajes, un enfoque
predominantemente cuantitativo, sustentado en una taxonomía numérica y con un
régimen basado en promedios.
Posteriormente, la Ley Orgánica de Educación (1980) incorporó a la evaluación de
los aprendizajes algunos de los tipos de evaluación que caracterizan al enfoque
41
orientado para la toma de decisiones: evaluación diagnóstica, formativa y sumativa;
además de las modalidades de la auto y coevalución, y elementos cualitativos para
valorar rasgos de la personalidad.
Bajo esta misma filosofía, la evaluación en la UNEG se concibe como un proceso
científico, permanente, integral el cual valora los resultados logrados en relación con
la aprensión, aplicación y habilidades, desarrolladas en las situaciones de aprendizaje
y planificadas de acuerdo a los requerimientos establecidos en los planes de estudios
(Reglamento de evaluación del desempeño estudiantil, 2000).
Aunque la UNEG se encuentra en una fase de diseño-implementación en cuanto a
incorporar en el proceso evaluación el enfoque interpretativo-fenomenológico y el
constructivista, la evaluación sigue siendo de tipo diagnóstica, formativa y sumativa y
se realiza siguiendo un proceso de construcción de los resultados a través de la
interpretación y negociación entre el evaluado y el avaluador sobre la base de los
conocimientos adquiridos, habilidades y destrezas, actitudes y aptitudes, valores
éticos, morales, afectivos, que pudieran originarse de la situación de aprendizaje.
No obstante, en el estudio se considera que la validez de contenido, la cual valora
sólo los resultados logrados en base a los nuevos conocimientos adquiridos, es
insuficiente, ya que radica en la exclusión de los procesos subjetivos de pensamiento
y reflexión de los alumnos. En este sentido, las pruebas de aprovechamiento
centradas en los contenidos de la materia como resultado, no atienden ni conceden
importancia al proceso de reelaboración que cada alumno desarrolla, no valorizan el
recorrido mayor o menor, centrado o desenfocado, simplificado o articulante,
ordenado y secuencial o desordenado y disperso, con solución alterna elaborada por
cuenta propia, o alguna elaborada, personal parcial o incipiente.
La concepción de evaluación que se asumió en este estudio será la que se ajusta a
la investigación realizada por García (2003):
La evaluación es un proceso sociocultural e investigativo sustentado en un
enfoque hermenéutico (comunicativo, interpretativo y consensual) y
etnográfico, la cual se desarrolla a través de la experiencia intersubjetiva
asociada al talento matemático integral (procesos matemáticos inteligentes, de
pensamiento, conscientes, afectivos y emocionales del estudiante) y en el
marco de las interrelaciones entre el conocimiento matemático (declarativo,
42
procedimental, estratégico y metacognitivo) y el aprendizaje matemático
(sensibilización, atención, adquisición, personalización, recuperación y
transferencia) (p. 18).
Este constructo es relativamente nuevo en el campo educativo. Sin embargo, está
en plena correspondencia con el paradigma interpretativo de este estudio.
La evaluación como proceso de investigación en este estudio se realizó sobre lo
que el alumno alcanzó en cuanto a procesos y dimensiones del pensamiento
matemático en los diagramas V, sobre la dinámica de cada alumno hacia su propio
progreso en el dominio del tema y la metodología de diseño utilizada. La evaluación
se entendió como una dimensión de la enseñanza que permite que ésta se reconsidere,
se rediseñe y se reorganice de modo permanente, sobre la marcha del proceso.
Particularmente, la concepción de evaluación para los efectos de este estudio
estuvo centrada en un proceso de investigación sobre el pensamiento matemático
alcanzado alrededor de la definición de límite de funciones reales, donde se
verificaron procesos cognitivos y metacognitivos en base a los aprendizajes de tipo
procedimental y el pensamiento estratégico presentes, a través de los diagramas V
como metodología general de diseño, al alcanzar la solución de ejercicios básicos
vinculados con la definición de límite.
Para finalizar al establecer la definición anterior, se asumen las ideas de Ochoa
(1999); además, de representar éstas el ser y el hacer de este estudio, en cuanto a que:
evaluar es investigar, toda investigación es una interpretación y toda interpretación es
una valoración cualitativa de la experiencia, la cual debe ser racional y producir
nuevo conocimiento en la medida en que se sustente, se fundamente y se justifique
con razones válidas. Esto representa en definitiva, lo que se persiguió en este estudio,
generar una caracterización novedosa en cuanto al pensamiento matemático alrededor
de la definición de límite de funciones reales, en un caso particular en la UNEG.
43
El Aprendizaje Significativo
Se enmarcó en este estudio, un proceso de construcción del conocimiento
matemático, para lograr un aprendizaje matemático socialmente construido, donde se
hizo importante generar un aprendizaje significativo como proceso, alrededor de la
construcción de la definición de límite.
El autor de esta investigación comparte las ideas de Ausubel, Novak y Hanesian
(1991), quienes afirman que lo fundamental del aprendizaje significativo como
proceso, consiste en que los pensamientos, expresados simbólicamente de modo no
arbitrario y objetivo, se unen con los conocimientos ya existentes en el sujeto y en
éste debe haber la intencionalidad de relacionar los nuevos conocimientos con los ya
existentes en la estructura cognitiva. De este modo, al relacionarse los nuevos
conocimientos y los conocimientos ya existentes con la experiencia, hechos u objetos,
debe darse una implicación afectiva que se manifestará en una disposición positiva
ante el aprendizaje. En este caso, esta disposición positiva del alumno como aprendiz
se dio en esta investigación en torno a la definición formal de límite, al hacer énfasis
en el proceso de diseño.
A continuación se presenta un mapa conceptual que muestra cómo se entendió el
concepto de aprendizaje significativo en esta investigación, de acuerdo a Díaz-
Barriga y Hernández (2002).
44
45
En función a la definición anterior, el aprendizaje significativo que se busca en los
alumnos en esta investigación permitió crear estructuras de conocimiento en base a
un significado real y lógico, a partir del desarrollo del pensamiento matemático en sus
dimensiones numérica, topológica, algebraica y geométrica y mediante el uso del
organizador previo V de Gowin, con el propósito de fomentar en los estudiantes la
comprensión de la definición formal del límite de funciones reales de una variable
real y lograr, definitivamente, una profunda descripción del pensamiento matemático
asociado a este contenido curricular (límite).
Por otra parte, la adquisición de los conocimientos de tipo procedimental (García,
1990, citado por Díaz Barriga y Hernández, 2002), se dio mediante la solución de
ejercicios, o tareas de tipo experiencial. Precisamente, en esta investigación, los
conocimientos procedimentales de los estudiantes se buscaron a partir de la
resolución de ejercicios sobre límites mediante el uso de la V de Gowin.
El uso de la V de Gowin en esta investigación se justificó como organizador
avanzado de conocimiento de acuerdo a las ideas de Ausubel, Novak y Hanesian
(1991), quienes insisten en la necesidad de utilizar, materiales introductorios de
mayor nivel de abstracción, generalidad e inclusividad (por ejemplo, los
organizadores anticipados o previos) con el propósito de lograr aprendizajes
significativos.
En síntesis, la teoría de Ausubel, Novak y Hanesian (1991), Gowin (1997) y las
ideas de Cruz (2000 y 2007), guiaron lo cognitivo en este estudio, ya que centran sus
planteamientos en el concepto de aprendizaje significativo.
Investigaciones Asociadas como Antecedentes
Seguidamente se presentarán algunas investigaciones que se consideraron
antecedentes de la presente investigación:
A) Las dificultades cognitivas del alumno fueron tratadas a partir de Sacristán
(1991), quien concluye en su estudio que los alumnos (pertenecientes a su población
46
muestral) no tienen concepciones fijas o consistentes sobre la naturaleza de los
resultados de los procesos infinitos. Por lo cual, los factores externos en particular el
visual, pueden ser decisivos, tanto para la determinación por parte del alumno de si el
proceso se puede ver como completo, como también para llevarlo a encontrar un
límite.
Como resultados generales Sacristán concluyó lo siguiente, lo cual es de suma
importancia dentro de este trabajo de investigación:
- El significado que más frecuentemente se atribuye a la palabra límite se
relaciona con una situación de restricción o de barrera infranqueable, que no
necesariamente se conoce. El otro significado que se le dio a esta palabra, aunque con
mucha menos frecuencia, fue la de límite como una frontera, es decir, como algo que
“delimita” o separa dos regiones, situaciones o ideas.
- Se encontró que la infinitud es un factor central de conflicto para los alumnos, es
decir, los alumnos muestran nociones muy ambiguas de infinito. Resulta interesante
notar que los alumnos objetos de estudio, consideraban al infinito como sinónimo de
lo ilimitado, es decir, que no tiene límite.
Sacristán asume la necesidad de plantear desde varias situaciones didácticas
haciendo uso de la Teoría de las Situaciones Didácticas de Brousseau un mismo
resultado. Para ello, es pertinente a su vez, utilizar distintos sistemas de
representación para ampliar la visión de los alumnos involucrados en el estudio y a
su vez, profundizar en sus análisis. Este punto de vista, predominó en la propuesta
didáctica final en este estudio.
Por otra parte, se asume compartir la idea de infinito manejada por la autora quien
sostiene que la intuición como una parte esencial del pensamiento informal, es algo
que se construye y que se apoya en la experiencia y el conocimiento. Esta puede ser
una guía invaluable para el descubrimiento del nuevo conocimiento, además de
conducir a la búsqueda de analogías.
B) También se consideraron relevantes las contribuciones aportadas por Espinoza
y Azcárate (2000), quienes estudian en general, las técnicas didácticas que utiliza el
profesor para dirigir y gestionar el proceso de estudio de los límites de funciones en
47
la enseñanza secundaria y el tipo de reconstrucciones que realizan de la organización
matemática propuesta por los cuestionarios oficiales de una institución escolar.
En cuanto a la organización matemática escolar en torno al objeto “límite de
función”, se encontró que existen dos organizaciones matemáticas incompletas.
Además, no sólo son distintas, sino que aparecen totalmente desconectadas entre sí.
La primera la denominaron “organización matemática relativa al álgebra de
límites”, la cual responde a la única cuestión del cálculo del límite de una función,
partiendo del supuesto previo de su existencia. El modelo matemático implícito de
dicho concepto es, en este caso, el de un operador algebraico que cumple con una
determinada axiomática del álgebra de límites, por lo que el nivel práctico de esta
organización es de naturaleza esencialmente algebraica.
La segunda la han denominado “organización matemática o sabia relativa a la
definición del objeto límite de función”, la cual obedece sólo a la cuestión de la
existencia del límite. El modelo matemático más o menos explícito del límite en este
caso, es el típicamente utilizado dentro del trabajo del análisis, ya sea en términos de
y utilizados en los espacios métricos o bien de entornos, vecindades y sucesiones
de los espacios topológicos.
Según los autores, la mayor insuficiencia en este tipo de organización es que no se
manifiesta su nivel práctico, por el contrario, la misma representa el discurso
tecnológico que pretende justificar la práctica algebraica propuesta. Es importante
señalar que esta restricción, contribuye a desaparecer la “organización matemática
sabia” en los manuales oficiales de las instituciones españolas en secundaria, lo cual
no escapa de la realidad venezolana.
Se consideró que este estudio constituye un antecedente sustancial para este
trabajo de investigación, ya que permite postular algunos fenómenos didácticos
previsibles sobre la enseñanza de la definición de límite. Por ejemplo, aquí se
plantean las incoherencias de la segunda organización matemática relativa a la
definición de límite de funciones, que provocan, o bien que aparezca como un
artefacto decorativo, o bien que sea implícitamente tratada, o incluso no sea
estudiada. Este obstáculo epistemológico-cognitivo, pudiera atribuírsele a las causas
48
por las cuales el estudiante no puede pasar de la idea intuitiva de límite a la
construcción de su definición formal, lo cual representa un evento inicial en esta
investigación.
Finalmente, el artículo establece unos postulados fundamentales para el análisis
didáctico del proceso de estudio y la actividad del profesor, los cuales sirvieron de
base filosófica para orientar la investigación. Estos son:
1. No es posible abordar un problema didáctico sin tomar en cuenta el
conocimiento matemático, involucrado en el mismo.
2. Es vital un modelo para el conocimiento matemático construido por la
propia didáctica de las matemáticas.
3. Nunca se debe perder el carácter institucional de la problemática didáctica.
4. Se deben considerar los dos grandes tipos de tareas: las relativas a la
organización y gestión de los dispositivos de estudio y las relacionadas con la tarea
de dirección del estudio y la enseñanza.
C) El estudio realizado por Blázquez y Ortega (2001), es sólo un reporte de una
amplia investigación que estudia la noción de límite, en alumnos de 17 y 18 años de
edad en Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales dentro del Sistema Educativo
Español.
El análisis del artículo se basa inicialmente en el significado de la representación
de conceptos y su relación con la comprensión de éstos. Luego, se reflexiona en
torno al papel que juegan las representaciones del concepto de límite de una función
en la enseñanza actual y finalmente, se reportan resultados de la investigación sobre
las representaciones del límite funcional destacando que el aprendizaje del concepto
de límite choca con las dificultades del cambio de sistema de representación y que el
uso de distintas representaciones favorece el aprendizaje.
El estudio se realiza completando tres ciclos de acción: Uno con la idea numérica
precisa de límite, otro con su idea gráfica y finalmente el último, con su idea
algebraica. Además, se trabaja sobre una secuencia didáctica: formación de
representaciones identificables en un sistema dado, transformación dentro de un
49
sistema de representación, traducción entre sistemas de representación, cristalización
y finalmente modelización.
A su vez, los investigadores consideran el sistema verbal, numérico, gráfico y
algebraico: en el sistema verbal se expone una concepción de límite dinámica, tan
rigurosa y abstracta como la definición algebraica, pero sin el formalismo de ésta.
En el sistema numérico se muestra el aspecto de aproximación del límite, el cual
sugiere una idea dinámica y local relacionada con la realidad. El sistema gráfico
recoge el aspecto visual y ayuda a vincular las tendencias de ambas variables x y y.
La gráfica de la función actúa como una proyección de valores de x en valores de y.
En el sistema algebraico se concibe una concepción formal de límite, de aspecto
estático y abstracto, la cual muestra poca vinculación con fenómenos sociales.
Las dificultades encontradas fueron: la pérdida de la idea de función, la idea de
límite como resultado de un cálculo, la noción de que el límite no se puede alcanzar
y la confusión entre tendencia dinámica y aproximación estática.
Según Blázquez y Ortega (2001), la investigación permite enunciar dos
conclusiones generales: La utilización de distintos sistemas de representación a la
hora de trabajar el concepto de límite choca con las dificultades del cambio de
sistema de representación, que puede ser, en parte, un obstáculo didáctico, puesto
que en la enseñanza tradicional se ha abusado del registro algebraico y, además de
descuidar el resto de representaciones, no se ha incidido en los cambios entre ellos.
Esta dificultad se subsana, en gran parte, si se utiliza el computador para traducir de
unos sistemas de representación a otros.
Además,
…en la secuencia de enseñanza se puso de manifiesto cómo el uso de
distintas representaciones favorece el aprendizaje, y lo hace en dos
formas: por un lado, compensa las limitaciones de unas representaciones
con otras, y por otro, permite que los alumnos se formen una imagen
conceptual más rica, pudiendo escoger la representación más apropiada
para cada situación (p. 231).
En definitiva, el trabajo de Blázquez y Ortega (2001) sirvió como insumo para
orientar la parte epistemológica en esta investigación, ya que en él se estableció una
50
conceptualización del concepto de límite funcional y se investigó el papel que ocupa
en la enseñanza la representación de este concepto.
51
CAPÍTULO III
MARCO METODOLÓGICO
En este capítulo se exponen las bases metodológicas que sustentan la investigación
y los antecedentes que se consideraron para el logro de resultados válidos y
confiables obtenidos. En consecuencia, se compone de las siguientes partes: (a) el
diseño de la investigación; (b) sujetos de estudio; (c) el procedimiento general,
técnicas e instrumentos desarrollados en el estudio; (d) modelo didáctico de
instrucción; (e) el uso del software Atlas/ti, como instrumento para categorizar los
datos.
Diseño General del Estudio
La investigación tiene elementos de un estudio etnográfico, de tipo estudio de
caso, donde se interpretó y trató de comprender cómo es el pensamiento matemático
(de un conjunto de estudiantes de la UNEG) asociado a la definición de límites de
funciones reales de una variable real para su posterior descripción. Además, se
estudió acerca de cómo ayuda la V de Gowin en el desarrollo del pensamiento
matemático, en base a las interpretaciones y descripciones realizadas desde la
realidad natural estudiada, a partir de la óptica de los alumnos y del docente
investigador.
Esto último garantiza que la investigación posea elementos de la etnografía, ya que
respondiendo a la naturaleza del objeto de estudio (el pensamiento matemático
asociado a la idea de límite), el estudio describió e interpretó realidades observadas
en base a la percepción, atribución de significados y opinión de los protagonistas: los
52
sujetos de estudio (estudiantes) y los casos informantes (los docentes que dictan la
asignatura Matemática I en la UNEG, incluyendo el docente investigador).
Específicamente, la etnografía desarrollada en este estudio fue educativa. Según
Sandín (2003), la etnografía educativa contribuye a descubrir la complejidad de
fenómenos educativos, en este caso el pensamiento matemático, posibilitando a los
profesionales de la educación superior un conocimiento real y profundo del objeto de
estudio, lo cual orientó la toma de decisiones en el logro de los objetivos.
A su vez, en esta investigación se aplicó un enfoque naturalista ya que estuvo
implícito un conjunto de normas del ambiente estudiado, el aula de clases como
unidad social, las cuales fueron internalizadas por los alumnos y generaron
regularidades que permitieron describir el pensamiento matemático de los sujetos de
estudio. Tomando las ideas de Martínez (1999), aquí se estudió una realidad natural,
analizada a fondo en su compleja realidad estructural.
Bajo estas perspectivas, la estrategia de diseño en esta investigación está
concebida como un estudio de caso, ya que su objetivo inmediato consistió en crear
una descripción profunda y lo más cercana posible a la realidad estudiada sobre el
pensamiento matemático asociado a la definición de límite; aunque hubo una
profunda intención de contribuir a mejorar la comprensión de este pensamiento
matemático en ambientes similares al que fue estudiado.
Específicamente, la investigación fue un estudio de caso descriptivo, heurístico e
inductivo (Pérez, citado por Sandín 2003): se considera descriptivo, precisamente,
porque su producto final fue una rica y densa descripción de tipo cualitativo del
fenómeno objeto de estudio; fue heurístico porque estuvo abierto a la posibilidad de
que el investigador pudiera ampliar la comprensión y su experiencia en cuanto al
objeto de estudio, donde se encontraron nuevas relaciones, dimensiones y conceptos
no concebidos inicialmente. Finalmente, se consideró inductivo ya que las
definiciones, proposiciones o argumentaciones que surgieron fueron producto de un
estudio de los datos fundados en el contexto mismo; en este sentido y hasta cierta
medida se hizo uso de la teoría fundamentada, ya que el investigador estuvo en la
búsqueda de la existencia de los procesos matemáticos y pensamientos matemáticos
53
desarrollados por Cantoral, aunque desde del contexto natural estudiado, a partir de
las interpretaciones de la información recolectada.
Además, desde el punto de vista metodológico, la estructura básica de la
investigación es un estudio de caso cualitativo (Parra de Chópite, 1995; Ary, Cheser y
Razavieh, 1992), de naturaleza: (a) descriptiva, (b) interpretativa, y (c) evaluativa
(Pérez, 1994), completando con técnicas cuantitativas; todo esto atendiendo a la
naturaleza de las interrogantes iniciales que dieron lugar al estudio.
El estudio es descriptivo porque trabajó con el pensamiento matemático y para ello
fue necesario realizar aportes de cómo es y cómo se manifestaba este hecho. Fue
preciso delinear los códigos de la investigación, a partir de los indicadores estudiados,
definir las categorías y subcategorías que constituyen las dimensiones, y además
establecer los conceptos que surgieron de las interpretaciones de las relaciones
encontradas desde el ambiente natural estudiado. El análisis de esta
operacionalización de constructos sirvió para describir el pensamiento matemático
asociado a la definición de límite, adaptándolo a la realidad del contexto y de esta
manera fue caracterizado.
El estudio es interpretativo, ya que se obtuvo posibles explicaciones a partir de los
datos, los cuales fueron utilizados para reconstruir categorías conceptuales y así
lograr los objetivos de la investigación, desde una óptica real, observada y analizada
por el docente investigador, sus estudiantes y sus pares.
El estudio es evaluativo, porque viene a representar el resultado de todo un
proceso de investigación sociocultural educativo, donde se analizaron
comunicaciones e interpretaciones que se daban vía negociación de conceptos en una
realidad natural. Además, es evaluativo porque el investigador respondió a cada una
de las categorías conceptuales que consideró importantes dentro del estudio, en el
marco de las interrelaciones entre el conocimiento matemático procedimental
desarrollado y el aprendizaje matemático alcanzado. Por último, el estudio se
considera evaluativo, porque el alumno autorreguló y autoevaluó su propio diseño
(elaborado ante situaciones problemas adversas, durante cada sesión de trabajo) y
consecuentemente su aprendizaje y posible transferencia.
54
Cabe destacar que se hizo uso de una metodología activa de resolución de
problemas, mediante el uso de la V de Gowin, como estrategia metacognitiva. Para lo
cual, se realizó un proceso adaptativo y preparatorio de esta metodología seguida, la
cual consistió en presentar ejercicios a los estudiantes y pedirles que fueran resueltos
a través de estos diagramas.
Para finalizar se presenta en este diseño metodológico de estudio de caso, el
cuadro que refleja los factores y las dimensiones consideradas en este estudio (ver
Anexo B), el cual sirvió como primera orientación de búsqueda de los principales
elementos que se tuvieron previstos para su observación durante la investigación. En
base a esta última afirmación, es importante aclarar que el investigador sostuvo la
postura de Sandín (2003), en cuanto a que en este tipo de estudio de caso inductivo,
ocasionalmente, cabe la posibilidad de contar con elementos y/o proposiciones de
trabajo tentativas al inicio del estudio; sin embargo, prevaleció el descubrimiento y
análisis de nuevas relaciones, conceptos y situaciones más que una verificación de
proposiciones iniciales predeterminadas, motivo que vino principalmente a impulsar
y caracterizar este estudio de caso cualitativo.
Sujetos de Estudio
La población del estudio estuvo representada por 6 secciones de Matemática I que
estuvieron a cargo del docente investigador durante los semestres 2005-II, 2006-I y
2006-II. Estas secciones fueron asignadas al azar, al docente investigador, durante la
distribución de carga horaria por parte del coordinador del proyecto de carrera de
Ingeniería Industrial, antes de dar inicio a cada uno de estos períodos académicos, en
la sede UNEG, Puerto Ordaz.
Los sujetos de estudios fueron 8 estudiantes: 4 cursaron la asignatura Matemática I
durante el semestre 2005- II, 2 en el período 2006-I y los otros 2 alumnos, en el
semestre 2006-II. Estos sujetos fueron escogidos de manera intencional al final de
cada semestre, no fueron alumnos repitientes de la asignatura, sin embargo fueron
escogidos de acuerdo al índice académico estudiantil de su primer semestre cursado
55
en la carrera y en base a los estudiantes regulares que entregaron todos los
instrumentos aplicados por el investigador, donde de alguna manera fluía la
información que se requería de manera inmediata, ya que ellos estaban ganados con
el proyecto de investigación. Específicamente, los sujetos de estudio, los
constituyeron dos alumnos considerados de bajo rendimiento, 2 de alto y 4 de
mediano rendimiento que garantizaron, inicialmente, una distribución normal de los
datos en cuanto al rendimiento de la muestra. En lo adelante se consideraron cifras
exactas para el rendimiento al redondear el índice académico, transformando esta
variable continua en una variable discreta: los alumnos de bajo rendimiento tenían 6
en el índice académico, los alumnos de rendimiento medio tenían entre 7 y 8 en sus
índices académicos y los alumnos considerados de alto rendimiento tenían 9 de
promedio en su primer semestre cursado.
Según Martínez (1999), en la escogencia intencional de los sujetos de estudio se
eligen una serie de criterios que se consideran necesarios o muy convenientes para
que los seleccionados no generen sesgos en la investigación. Precisamente en base a
lo que señala el autor, tal y como se mencionó antes se seleccionaron 8 alumnos: 2 de
bajo rendimiento, 4 de mediano rendimiento y 2 de alto rendimiento.
A su vez el investigador tuvo cuidado en comunicar a los alumnos seleccionados
su participación en el estudio, de tal manera que ellos asumieron el reto de enfrentarse
a una metodología expositiva, basada en la resolución de ejercicios a través de los
diagramas V y estar concientes de que esta actividad sería de manera voluntaria y
espontánea.
Por otra parte, se consideraron como informantes claves del estudio, a la totalidad
de docentes que habían dictado la asignatura Matemática I, en el proyecto de carrera
de Ingeniería Industrial, durante los semestres 2005-II, 2006-I y 2006-II, incluyendo
el docente investigador.
Con la idea de describir este grupo de docentes, se especificarán a continuación
sus años de servicios prestados en la UNEG y sus títulos de 3er.
y 4
to. nivel obtenidos:
56
Procedimiento General
El procedimiento en esta investigación se dividió en tres etapas: (a) documental y
de preparación, (b) de recolección de la información, y (c) de análisis de la
información. Estas etapas se corresponden con las señaladas por Martínez Bonafé
(citada en Pérez Serrano, 1994), quien las denomina “preactiva, “interactiva” y
“posactiva”.
El desarrollo del procedimiento general seguido en esta investigación, se resume
en estas tres etapas, las cuales se esquematizan seguidamente:
Informantes
Claves
Estudios de 3er.
y 4to.
Nivel
Años de Servicio en la
UNEG
Docente 1 Licenciado en Matemática 8
Docente 2 Ingeniero Químico y Msc.
en Ingeniería Industrial
20
Docente 3 Licenciado en Educación
Mención Matemática
16
Docente 4 Licenciado en Matemática 15
Docente 5 Licenciado en Educación
Mención Matemática
10
Docente 6 Ingeniero Metalúrgico 11
Docente 7 Licenciado en Educación
Mención Matemática
9
Docente 8 Ingeniero en Metalúrgico 1
57
Gráfico 2. Procedimiento General de la Investigación
Procedimiento
General
Tercera Fase: De análisis de la información 8) Interpretaciones de las opiniones de los estudiantes y
docentes a partir de los cuestionarios. 9) Análisis cualitativo y cuantitativo de los cuestionarios y los
diseños V de Gowin. 10) Análisis cualitativo de textos de cálculo y del programa de
Matemática I. 11) Triangulación de técnicas, de datos y de resultados. 12) Formación de categorías de análisis con ayuda del Atlas/ti 13) Diagramas de árbol desde el Atlas/ti. 14) Análisis y conclusiones. 15) Validación de los resultados y confiabilidad.
Segunda Fase: De recolección de la información 5) Aplicación de cuestionarios, tanto a docentes como a
estudiantes. 6) Audio y videograbaciones de las presentaciones de los
diseños V elaborados por los estudiantes. 7) Recolección de los diagramas V diseñados por los alumnos.
Primera Fase: Documental y de preparación 1) Diseño de la V de Gowin de la investigación. 2) Elaboración del cuadro de factores y dimensiones. 3) Diseño de instrumentos y materiales instruccionales. 4) Entrenamiento a los estudiantes de la estrategia V de
Gowin. 5)
58
Primera etapa: documental y de preparación:
1. Inicialmente en este estudio el investigador se valió de las bondades del
instrumento V de Gowin para plasmar una panorámica de todo lo que fue la ejecución
de la presente investigación. De esta manera, el uso del instrumento metacognitivo V
de Gowin guió todo el diseño de la investigación (ver Anexo A). Es decir, a través de
la V, se plasmaron los eventos que dieron origen al estudio, las preguntas centrales
que orientaron al investigador y los soportes teórico y metodológicos a desarrollados.
2. Seguidamente el investigador diseñó un cuadro de factores y dimensiones (ver
Anexo B), el cual sirvió para focalizar los puntos considerados neurálgicos por el
investigador para el logro de los objetivos planteados. Estos puntos representaron las
dimensiones (o constructos) estudiados exhaustivamente, aunque finalmente, sus
definiciones sufrieron transformaciones de acuerdo a la realidad estudiada. Para
garantizar la validez de constructo, el investigador sometió a consideración de
expertos los indicadores referidos en cada dimensión, con el propósito de que se
conocieran sus apreciaciones acerca de los elementos que se tomaron en cuenta en el
estudio.
3. Luego, el investigador a objeto de explorar la idea intuitiva que poseen los
alumnos sobre el límite de funciones, así como también del significado de este
concepto en el lenguaje usual dentro de su contexto, realizó un diagnóstico mediante
preguntas abiertas realizadas en las sesiones de clases.
Por otra parte, en esta primera etapa de preparación de la investigación se diseñó
un cuestionario (ver Anexo D y E), para el mismo se realizaron dos versiones: Un
primer cuestionario para los ocho (8) docentes que habían dictado la asignatura
Matemática I en la UNEG durante los semestres que comprendió el estudio y un
segundo cuestionario para los 8 estudiantes sujetos del estudio. Cada instrumento
incluía las mismas 13 proposiciones o ítemes reflexionados, para marcar una (1)
opción de respuesta por ítems con una x, de seis (6) opciones en total: Muy Bajo,
bajo, medio, medianamente alto y alto; clasificados en tres (3) grupos de medición:
categorías bajas, categoría media y categorías altas y una última categoría no
medible, que estuvo representada por la opción “no aplica”.
59
A su vez, los cuestionarios mostraban un intervalo (establecido por el investigador
y expresado en porcentajes) para cada una de las cinco categorías presentadas, de
manera que el docente o estudiante consultado, se situara sólo en un intervalo que
determinaba la categoría de respuesta seleccionada por ítems: De 0-19% definía la
categoría “muy bajo”, de 20-35% correspondía a la categoría “bajo”, de 36-59% era
la categoría “medio”, de 60-75% caracterizaba la categoría “medianamente alto” y de
76-100% representaba la categoría “alto”.
Ambos cuestionarios constaron de dos partes, relacionadas con los siguientes
aspectos: procesos del pensamiento matemático que desarrolla el alumno cuando
realiza ejercicios sobre límites y actividades que ejecuta el docente para: (a)
desarrollar los tipos de pensamiento matemático asociados a la definición de límite; y
(b) lograr conocimiento matemático procedimental y pensamiento estratégico.
4. Posteriormente, se entregó a los alumnos un material sobre los diagramas: guía
teórica sobre la V de Gowin, instructivo para generarla, guía de instrucción y
ejercicios propuestos y resueltos por el docente investigador (ver Anexos N y Ñ). Lo
anterior se realizó con el objeto de familiarizar al estudiante en esta etapa documental
con la metodología V de Gowin que se implementó durante la investigación. Una vez
que los estudiantes manejaron la técnica, ellos entregaron al investigador algunos
ejercicios de límites resueltos mediante la V, bajo distintos sistemas de
representación, lo cual permitió al investigador visualizar las dificultades que
obstaculizan el aprendizaje en torno al límite de funciones. A su vez, la elaboración
de estos diagramas sirvieron como ejercicio para estimular y alcanzar un pensamiento
estratégico y un aprendizaje procedimental en los alumnos, lo cual se reflejó desde
los procesos que éstos desarrollaron, visto como sinónimo de alcanzaron.
Todo lo anterior permitió una comprensión y descripción del escenario de la
investigación, además de que sirvió para instruir a los estudiantes en el uso y
construcción de la V de Gowin, como metodología de acción desarrollada en este
estudio.
60
Segunda etapa: de recolección de la información
En esta etapa se presenta una breve exposición que contempla a partir de cuáles
instrumentos se obtuvo la información en el estudio para lograr los objetivos
planteados:
5. Inicialmente la información que se obtuvo provino de las respuestas que
emitieron los sujetos de estudio y los docentes involucrados que dictaron la
asignatura Matemática I durante los semestres que abarcó la investigación, a partir de
los dos cuestionarios que se implementaron, los cuales constituyeron los instrumentos
que permitieron visualizar, tanto las secuencias del nivel de logro estudiantil de las
dimensiones del pensamiento matemático, como los pensamientos que predominaron
y los que estuvieron ausentes en la enseñanza del límite de funciones (desde el punto
de vista del estudiante y del docente). De manera que se obtuvieron dos secuencias
por cada cuestionario aplicado, mediante el uso de dos técnicas de análisis de datos,
las cuales se explicarán en el capítulo siguiente, lo que contribuyó a la descripción del
objeto de estudio.
A su vez, de la información suministrada por los cuestionarios se exploraron
algunas dificultades de tipo epistemológicas, cognitivas y didácticas presentes en la
enseñanza del límite y una visión en cuanto a la frecuencia de los procesos
matemáticos que se desarrollaron al impartir este contenido.
Por otra parte, se estableció desde las opiniones de los docentes consultados una
proporción referida a la no aplicabilidad de cada pensamiento matemático estudiado,
a objeto de explorar, a grosso modo, las inquietudes del investigador etnográfico que
iban surgiendo en el día a día, lo cual generó nuevas fuentes de estudios, las cuales
serán planteadas más adelante como interrogantes abiertas para futuras
investigaciones, utilizando la óptica de descubrimiento planteada por Sandín (2003).
6. A continuación, las transcripciones de las audio y videograbaciones de las clases
(ver Anexo R) permitieron estudiar con mayor detenimiento al investigador, cómo
fue la implementación de la metodología de acción V de Gowin, donde las
61
interpretaciones de estos discursos, sirvieron para describir el desarrollo del
pensamiento matemático y estratégico.
7. A su vez, la recolección de los diagramas V permitió a través de su estudio una
información sobre el alcance logrado por cada unidad de análisis, desde la calidad de
sus respuestas, en cuanto al desarrollo del pensamiento matemático en los ejercicios
propuestos por el docente investigador (ver Anexos O, P y Q).
En resumen, se utilizaron como técnica de recolección y análisis de datos: (a) la
observación de contenido del discurso oral presentado en las exposiciones realizadas,
conjuntamente con el discurso escrito reflejado en los diagramas V, y (b) los
cuestionarios realizados a los docentes y estudiantes seleccionados en el estudio.
Tercera etapa: de análisis de la información
Esta etapa constituye la fase de organización e interpretación de los datos:
8. Al iniciar esta fase de interpretación se hizo de suma importancia dar a conocer
a los estudiantes los avances semanales en el estudio. Esto consistía específicamente,
en compartir e intercambiar las experiencias, interpretaciones de la información
recogida, sentimientos y motivaciones de todos los involucrados. Esto último
considerando las observaciones, según Lincoln y Guba (1985, citados por Vivas,
1994) quienes afirman que los informantes claves o casos informantes (en este caso,
sujetos de estudio) tienen interés en relacionarse con los especialistas en el logro de
sus objetivos. Para verificar que las interpretaciones que se habían obtenido eran las
más próximas a la realidad, el investigador volvía a interactuar con los alumnos para
discutir si lo que se había interpretado era lo que ellos efectivamente quisieron
informar. Esto se realizó durante los tres (3) semestres consecutivos que duró la
investigación y en varias oportunidades hasta estar seguros de que se había reflejado,
de manera asertiva, las interpretaciones en el estudio. En este mismo orden de ideas,
el investigador consultó con sus pares o especialistas en Educación Matemática
superior, a objeto de cuidar siempre la fiabilidad del estudio (Evertson y Green, 1989,
citados por Páez, 2001).
9. A partir de las interpretaciones y el análisis cualitativo de la información
proporcionada desde los cuestionarios y los discursos emitidos desde los diagramas V
62
se generaron las categorías, los conceptos y las caracterizaciones de la realidad social
en estudio (ver Cuadros 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10 y 11 y Anexos F, J, K, L). Para ello,
el investigador formuló interrogantes que permitieron problematizar la evidencia
mediante las diferentes fuentes de datos. El análisis cuantitativo, el cual complementó
el cualitativo, se desarrolló en base a los registros que se realizaron de las frecuencias
acumuladas de los procesos, dimensiones del pensamiento matemático y dificultades
que existieron en los diferentes instrumentos que se aplicaron (ver Anexo H).
Como muestra del análisis realizado a los diagramas V y a las disertaciones sobre
estos diagramas presentados por los alumnos, se mostrarán dos ejemplos, uno gráfico
y otro textual, donde se visualizan las categorías de análisis o códigos creados, con
las respectivas argumentaciones (ver Anexos G e I) que sostuvo el docente
investigador para el establecimiento de estas categorizaciones.
10. Por otra parte, se realizó un análisis del programa de Matemática I del
proyecto de carrera de Ingeniería Industrial de la UNEG, en relación al contenido de
límite de funciones y de los textos que, habitualmente, usa el alumno en la biblioteca
universitaria para estudiar esta asignatura; donde el investigador expuso una serie de
consideraciones en cuanto a la existencia de las dimensiones del pensamiento
matemático que se abordan en ambas fuentes de información, con el fin de
profundizar un poco más el objetivo general del estudio.
11. A su vez, se utilizó la triangulación como técnica de análisis de los datos, la
cual consistió en recoger y analizar datos desde distintos ángulos para compararlos y
contrastarlos entre sí (Bisquerra, 1989). Específicamente, se implementó una
triangulación de técnica, dos triangulaciones de datos y 3 de resultados (según
Martínez (s/f), citado por Sánchez y Nube (2003)). La primera surge cuando se
comparó y se analizó en base a los dos procedimientos seguidos, las secuencias del
nivel de logro estudiantil en relación a las dimensiones del pensamiento matemático;
estos procedimientos se harán explícitos en el capítulo IV. Posteriormente, se
realizaron dos triangulaciones de datos siguiendo al autor antes citado: (a) Una se
logró gracias al contraste de los datos obtenidos, provenientes de los diagramas V y
los cuestionarios aplicados. Es decir, se comparó la información de lo que dicen los
63
estudiantes que logran (desde el cuestionario), con lo que realmente lograron (en sus
presentaciones de la V), con respecto al nivel alcanzado en cada pensamiento
matemático; (b) La otra triangulación de datos se desarrolló a partir los cuestionarios
aplicados, que constituyeron el mismo instrumento de recolección de datos con
fuentes de información diferentes: los estudiantes y los docentes. La triangulación de
resultados se logró al contrastar las afirmaciones obtenidas desde el análisis de todos
los instrumentos aplicados.
Además, se reflexionó sobre la validez y la confiabilidad de los resultados
proporcionados desde los diversos instrumentos analizados al aplicar éstas tres
técnicas de triangulación: de datos, de técnicas y de resultados.
12. A su vez, el investigador hizo uso del software Atlas/ti para la interpretación,
análisis y organización de los datos. La información en este análisis, fue
proporcionada por los discursos orales y escritos generados a partir de las V
elaboradas por los estudiantes, donde cada uno representó un documento de la unidad
hermenéutica originada. Cada documento se estudió creando citas y códigos (ver
Anexos F, J, K y L); estos últimos referidos a los procesos matemáticos existentes,
dificultades encontradas, dimensiones del pensamiento matemático e identificación
de las partes constitutivas de la V de Gowin. Los códigos constituyeron las
dimensiones de la investigación, las cuales representaron las definiciones que se
construyeron desde la situación particular del estudio.
Específicamente, el proceso de análisis cualitativo de los datos textuales y gráficos
realizados en Atlas/ti consistió en lo siguiente: el docente investigador analizó cada
documento, inicialmente fragmentando todo el discurso, por párrafos para el textual y
por recuadros para el gráfico que representaron las imágenes constituidas por las V de
Gowin. Esta segmentación se realizó, de acuerdo a las pautas gramaticales
consideradas por el investigador en los documentos analizados. Dentro de cada
párrafo o recuadro se constituyeron las citas, lo cual es su disposición en Atlas/ti, para
los fragmentos del discurso considerados significativos para el analista. Luego, del
proceso de asignación de etiquetas a las citas, relacionadas con el tema de estudio,
surgieron los códigos, los cuales consecuentemente, a través de un proceso de
64
síntesis, agrupamiento de códigos y relación entre ellos se generaron las familias,
donde su posterior disposición y transformación en Atlas/ti, dieron origen a las
networks o diagramas de árbol. En base al análisis de las networks, surgieron
finalmente algunas descripciones generales concebidas en la investigación.
13. A su vez, en el Atlas/ti se llevó un control de la frecuencia de los procesos
procedimentales y metacognitivos desarrollados por los alumnos en las tareas
entregadas, de las dimensiones del pensamiento matemático abordadas
consecutivamente en el discurso y las dificultades matemáticas reflejadas (ver Anexo
H).
Específicamente, se presentan dos diagramas de árbol que reflejan la frecuencia de
los procesos matemáticos alcanzados por los alumnos (ver Gráficos 17 y 18), otro
diagrama de árbol referido a las dificultades, sus dimensiones y subdimensiones
originadas (ver Gráfico 16), y un último diagrama de árbol que aborda las
dimensiones del pensamiento matemático vinculadas a la definición de límites
observadas (ver Gráfico 19).
Todos los diagramas de árbol anteriores surgen sólo a partir de los diagramas V
entregados por los estudiantes y los discursos emitidos a la hora de la disertación de
las mismas V presentadas, los cuales representan el producto de las reflexiones
realizadas por el investigador y sus pares y la triangulación de datos que se realizó.
Cabe destacar que la información fue validada de acuerdo a los contrastes que se
realizaron de los resultados anteriores, con los suministrados por las cuestionarios
respondidos por los alumnos y docentes involucrados durante el estudio. Esto último
aseguró la validez interna y confiabilidad interna de la información, según Martínez,
(1999).
14. Para finalizar, las conclusiones en este estudio surgieron de los conceptos y
definiciones que se formaron desde los análisis que se desarrollaron y de las
descripciones que se pudieron construir y validar.
15. De este modo se consideró, además de la validez interna y de constructo, la
validez externa. Esta última se observa en la medida en que al realizarse otro estudio,
éste constituya una réplica, es decir, deben obtenerse resultados similares. En este
65
sentido, se describió cuidadosamente, la metodología seguida a fin de orientar a otros
investigadores que deseen replicar el estudio, bajo esta misma línea de acción.
Por otra parte, el procedimiento seguido para determinar la congruencia entre las
especificaciones de los ítemes del cuestionario y los diagramas V con las dimensiones
del estudio fue el denominado Juicio de Expertos, el cual se desarrolló de la siguiente
manera:
A) Con el objeto de validar los instrumentos, se eligió un conjunto de tres
profesores de Matemática, de tres instituciones diferentes, quienes fueron los
evaluadores de cada instrumento aplicado en este estudio.
Estos profesores fueron los siguientes:
Prof. Cipriano Cruz, de la Universidad Central de Venezuela.
Profa. Esther Morales, de la Universidad Nacional Experimental
Politécnica Antonio José De Sucre (UNEXPO)
Prof Miguel Amaya, de la Universidad Nacional Experimental de
Guayana.
Posteriormente, se entregó a cada experto los siguientes materiales:
1. El cuadro de factores, con sus dimensiones e indicadores.
2. Los cuestionarios.
3. Un guión donde se especificaban todo lo concerniente de los aspectos que
se debían considerar en la evaluación de los instrumentos a validar.
4. Un formato donde asentaron sus resultados, producto de la evaluación que
realizaron.
Después de cierto tiempo, se recolectaron las evidencias emitidas por los expertos,
las cuales se utilizaron para hacer las correcciones que dieron lugar.
Finalmente, se dejó asentado en unos instrumentos elaborados para tal fin, el
resultado final emitido por cada experto.
B) Con el fin de validar los resultados, se siguió el mismo procedimiento, a
diferencia que se entregó la siguiente información:
1. Algunas V´s de Gowin reportadas por los estudiantes, con su respectivo
análisis emitido por el investigador.
66
2. Los diagramas de árbol realizados desde el Atlas/ti, posibles proposiciones
establecidas y conclusiones construidas.
3. Algunos cuestionarios resueltos, anexando el análisis realizado por el
investigador.
Los resultados fueron validados por los siguientes profesores (a quienes se les
entregaron alguna de las informaciones antes mencionadas): profesor Cipriano Cruz,
de la Universidad Central de Venezuela y la Universidad Metropolitana, profesora
Delisa Bencomo, profesor Daniel Ruiz y profesor Armando García, de la Universidad
Nacional Experimental de Guayana.
Por otro lado, para alcanzar en este estudio la confiabilidad interna que refiere
Martínez (1999), se buscó que las categorías construidas fueran lo más concretas y
precisas posible. A su vez, esta validez fue legitimada a través de las grabaciones de
audio que se realizaron en el aula, de tal manera que las situaciones vividas pueden
ser compartidas, revisadas y analizadas por otros pares o docentes especialistas en
Educación Matemática superior.
En resumen, para establecer la descripción del pensamiento matemático asociado
al límite de funciones, se realizaron las conclusiones de la investigación. Estas
conclusiones se plantearon desde las relaciones que se encontraron entre los
conceptos formados desde la información recolectada y a partir del contraste: de los
datos obtenidos de los cuestionarios con los diagramas V, conjuntamente con las
transcripciones realizadas de las grabaciones de audio y video de que se dispuso.
Modelo Didáctico de Instrucción
Se utilizó como modelo descriptivo de instrucción el MECA. Según Orantes
(1980), los elementos esenciales en este medio son:
Los Medios que se utilizaron en el ámbito universitario.
Las Estrategias de instrucción o recursos metodológicos que se emplearon.
El Contenido que se trató.
67
Los Aprendices o estudiantes a quienes se instruyeron.
Simultáneamente, se desarrolló la estrategia PRADOS, dentro de las estrategias de
instrucción ejecutadas, la cual hizo referencia a su vez, a seis tipos de estrategias de
instrucción a lo largo de las secciones de clases vividas:
1. La Presentación, la cual se realizó con el uso de la pizarra acrílica y el video
beam, durante las clases expositivas desarrolladas por el docente investigador.
2. La Representación, se logró por medio de la entrega y explicación de
ejercicios resueltos por el docente en los diagramas V de Gowin dados, aparte del
esquema teórico de representación entregado de esta estrategia heurística de acción y
el material didáctico consignado, mediante una guía de instrucción a seguir por los
estudiantes.
3. La Activación se inició cuando el docente generó las actividades a ser
realizadas por los estudiantes, las cuales estuvieron sujetas a: construir,
individualmente, las partes constitutivas de la V de Gowin en ejercicios propuestos en
la pizarra, luego discutirlo en grupos para socializar llegando a un consenso. Una vez
culminado esto, se completaba la guía de instrucción entregada y se diseñaban cuatro
V de Gowin por cada ejercicio propuesto, haciendo énfasis en un pensamiento en
particular. Inicialmente se trabajó individual y luego en colectivo.
4. El Diseño se obtuvo una vez construidas las V de Gowin.
5. La Organización se observó cuando los mismos estudiantes estructuraron su
propio equipo de trabajo, de acuerdo a sus intereses personales y/o convivencia
diaria; donde se determinó, simultáneamente, el rol que debía jugar cada integrante
del grupo: el heurístico, el observador, el que sintetizaba, el que transfería lo
discutido, el transcriptor, entre otras funciones que pudieron desempeñar.
6. La Socialización se reflejó con el establecimiento de las relaciones de
convivencia alumno-alumno, alumno-grupo, alumno-docente, docente-grupo, las
cuales se pudieron visualizar desde las grabaciones de video que se dieron de las
clases filmadas.
La secuencia de las estrategias antes descritas, define y determina cómo fue la
dinámica de las clases desarrolladas durante la ejecución de este estudio.
68
Particularmente, con el enfoque global de la Teoría de las Situaciones Didácticas de
Brousseau, se usó el modelo de Van Hiele (citado en Cantoral, 2002) referido a las
fases del proceso de aprendizaje que conducen a un nivel más alto del pensamiento:
Fase 1: Información. En este estado inicial el docente estableció un diálogo con
sus estudiantes, de tal manera que ellos manifestaron algunas ideas intuitivas de la
noción de límites de funciones que manejaban. El propósito de este intercambio
estuvo dirigido a orientar los intereses de los alumnos hacia el tema específico a
desarrollar y, por supuesto, a recabar información acerca de los conocimientos
previos que los alumnos tenían.
Fase 2: Orientación Guiada. El docente entregó un material didáctico: una guía
teórica con ejercicios propuestos, una guía de instrucción y diagramas V incompletos
para que fueran desarrollados por los estudiantes (ver Anexos N y Ñ). Primeramente,
se trabajaron las actividades en forma individual y luego en forma colectiva, para lo
cual se conformaron parejas de estudio.
Fase 3: Explicitación. Los estudiantes construyeron sus respuestas. Luego
intercambiaron ideas con sus compañeros de grupo y, finalmente, se compartió en
plenaria la experiencia de todos y los argumentos presentados para aseverar y asumir
tal o cual planteamiento de solución. El docente aportó la ayuda necesaria para que se
lograra el momento de institucionalizar la idea formal en cada situación y colaboró
para que, en su mayoría, los estudiantes lograran apropiarse de la conceptualización
adecuada de los objetos propios del tema abordado y sus relaciones con otros objetos
de estudio.
Fase 4: Orientación Libre. El estudiante construyó una V de Gowin para cada
uno de los ejercicios propuestos desde los enunciados dados (ver Anexo M), a objeto
de cerrar la idea matemática central. El docente entregó unos diagramas, para que
éstos fueran completados en parejas, de acuerdo a los establecidos al inicio. Se realizó
nuevamente el intercambio general de experiencias y respuestas asumidas
particularmente.
Fase 5: Integración. Todos los estudiantes participaron en la construcción en
conjunto de una V de Gowin diseñada en el pizarrón para cada uno de los ejercicios
69
propuestos desde los enunciados dados. Estas V constituyeron un compendio de los
argumentos válidos institucionalizados a lo largo del proceso de enseñanza seguido,
las cuales fueron finalmente expuestas por los alumnos sujetos de estudio.
El docente condujo y retroalimentó los aportes, de tal manera que quedara
plasmado en el diagrama indicado, el número máximo posible de conclusiones
extraídas durante las actividades desarrolladas. A su vez, durante algunas sesiones de
clases, el profesor realizó grabaciones de audio y/o video para su análisis posterior.
En síntesis, durante cada actividad existieron tres momentos didácticos, estos
asumidos desde Cantoral y cols. (2002): la resolución de la actividad, la presentación
y discusión de las soluciones y anexos y retroalimentación.
A medida que se iban dando las fases de Van Hiele, se desarrollaba la estrategia de
instrucción PRADOS: la fase de información representó a la de presentación, la
fase de orientación guiada correspondió a la de representación, en la fase de
explicitación se dio la activación, en la orientación libre se garantizó el diseño y en
la de integración se observó la organización, finalmente la socialización se generó
en todas las fases anteriores.
El Uso del Software Atlas/ti
Para efectos de este estudio, el análisis de la información recolectada se hizo con
la utilización del Atlas/ti, como software o instrumento para analizar datos en la
investigación cualitativa.
Bermejo (1998), afirma que este software creado por Tomas Muhr, profesor de la
Universidad de Berlín, tiene su fundamentación teórica en la Grounded Theory de
Glaser y Strauss en 1967. Dentro de los elementos de construcción de este programa,
se pueden mencionar los siguientes objetos:
Los documentos primarios, son documentos en texto (o bien
documentos gráficos o sonoros) situados en cualquier parte del disco
duro. Permanecen como ficheros independientes. Los documentos
primarios son la base del análisis, es decir, los “datos brutos”.
70
Las citas, constituyen fragmentos de los documentos primarios que
han sido marcados como tales desde Atlas/ti. Se supone que marcados
con alguna finalidad relacionada con su significación. Las citas van a ser
una cadena de texto (desde una palabra hasta muchos párrafos) o un área
de un gráfico. Las citas permitieron hilar muy fino; si para determinado
fin lo que nos interesa es esa frase de ese documento, vamos a poder
apuntar precisamente a esa frase, sin necesidad de crear un nuevo
documento o texto independiente. Las citas perfectamente se solaparán,
o se interceptarán entre ellas, etc. Suponen una primera selección del
material de base, una primera reducción de los datos brutos.
Los códigos, son palabras-clave (keywords), indicadores de
conceptos o de expresiones que interesan al investigador, por una
determinada razón. Los códigos son la unidad básica de análisis, han de
utilizarse para marcar (codificar) determinadas citas. Se pueden entender
como conceptualizaciones, resúmenes o agrupaciones de citas, lo que
equivale a un segundo nivel de reducción de datos. Un código podrá
marcar multitud de citas distintas en un número ilimitado de
documentos. Y una misma cita podrá estar marcada por distintos
códigos.
Las notas (llamadas memos en Atlas/ti), normalmente son textos
breves que contienen ideas y que se asociarán a alguno de los otros tipos
de objetos (aunque también puedan o no estar asociados). Los memos
constituyen las anotaciones que realiza el investigador durante el
proceso de análisis y que puede abarcar desde notas recordatorias,
hipótesis de trabajo, que pueden ser utilizadas como punto de partida
para la redacción de un informe.
Las familias, conforman un conjunto de objetos que comparten una
cualidad, pueden ser vistos como agrupaciones de citas. Puede haber
familias de códigos, de documentos primarios y anotaciones. Por
supuesto, un mismo elemento puede pertenecer a distintas familias.
Estas agrupaciones suponen un primer paso en el análisis conceptual.
Las vistas de redes, compuestas de nodos y relaciones, permiten
representar información compleja de una forma intuitiva mediante
representaciones gráficas de los diferentes componentes y de las
relaciones que se hayan establecido entre ellos. Los nodos pueden ser
cualquiera de los objetos antes descritos: desde una cita hasta un código.
Las relaciones son los nexos establecidos entre esos nodos y se
representarán por flechas de distinto tipo, pero ocurre que de hecho hay
distintos tipos de relaciones. Pueden ser del tipo "forma parte de",
"apoya a", "contradice a" o como se definan. Hay que diferenciar entre
una red y una vista de red. La red es el conjunto de todas las relaciones
entre los elementos de un proyecto o unidad hermenéutica; la vista de
red se centra en sólo una parte de esas relaciones o de esos elementos
(Bermejo, 1998, p. 1).
71
En resumen el proceso de uso del programa implicó tres etapas: (a) la
categorización de la información (de los “datos”), (b) la estructuración o creación de
una o más redes de relaciones o diagramas de árbol entre las categorías o códigos
establecidos, y (c) la teorización propiamente dicha, en la cual las relaciones entre las
categorías o códigos fueron respaldadas por medio del uso de los operadores
booleanos, los operadores semánticos y los operadores de proximidad.
Así pues, para el uso del Atlas/ti se tuvo presente una lista numerada de las tareas
a realizar, teniendo en cuenta que eran acciones que se intercalaban y repetían una y
otra vez en el tiempo. El proceso típico desarrollado fue el siguiente:
Se creó una “unidad hermenéutica” llamada Práctica I y se utilizó como
"contenedor" de documentos o archivos. Se reunieron estos “documentos primarios”,
los cuales se asignaron a la “unidad hermenéutica” creada. Para efectos de esta
investigación, los “documentos primarios” estuvieron representados por el discurso
escrito plasmado en las V de Gowin que entregó cada sujeto de estudio,
conjuntamente con cada uno de los respectivos discursos orales que emitieron a la
hora de realizar la presentación de su V de Gowin.
En el proceso de análisis y codificación, se estudiaron los documentos asignados a
la unidad hermenéutica creando las citas, a las cuales se les asignó distintos códigos.
Por supuesto, un código estuvo referido a una multitud de citas y cada cita a muchos
códigos. Luego se establecieron relaciones entre citas y códigos creados, a fin de
desarrollar el análisis de la información. Bermejo (1998), afirma que entre los
códigos, la asignación de citas a códigos y las relaciones directas entre citas, es
posible crear una auténtica malla hipertextual, en la que convivan varios hilos
argumentales que pueden estar en constante actualización, a medida que se
profundiza en el análisis o se incorpora nuevos datos. En efecto, el proceso antes
descrito por el autor mencionado fue el desarrollado a profundidad en este estudio al
utilizar el Atlas/ti.
En el caso de este software, la localización y recuperación de los datos tuvo lugar
sin problemas. Para lo cual se dispuso de una ventaja añadida que facilitaba toda una
serie de herramientas para tejer relaciones entre los más variados elementos de los
72
datos, para hacer explícitas las interpretaciones y para poder, en determinado
momento "llamar", a todos los elementos que pudieron apoyar tal o cual argumento o
conclusión. Esto último fue de especial valor cuando llegó el momento de redactar y
de comunicar la descripción del pensamiento matemático en este informe escrito.
Según Martínez (1996), el programa Atlas/ti está estructurado de acuerdo con el
gran potencial multimedia de Windows, lo cual permitió con gran facilidad tanto la
fundamentación o validez de las categorías creadas (el hecho de que representa “algo
real” externo constatado en muchas citas) como la densidad teorética para una
categoría (o sea, la multiplicidad de relaciones o enlaces que tienen con otras
categorías: nodos), que fue construida en el proceso de categorización, estructuración
y teorización, información que permitió ir afinando y perfeccionando el análisis, para
finalmente construir la descripción del pensamiento matemático, que según Martínez
(1996), no es otra cosa que crear una construcción mental, simbólica, verbal o icónica
de naturaleza conjetural o hipotética, que obliga a pensar de modo nuevo, al
completar, unificar, sistematizarlo interpretar un cuerpo de conocimientos que hasta
el momento se consideraba incompleto, impreciso, inconexo o intuitivo.
La descripción surgió del contraste entre los dos constructos fundamentales en los
cuales se apoyaba la investigación y las categorías obtenidas de la práctica.
Precisamente, en esta investigación se buscó una descripción que permitirá orientar
cómo los estudiantes universitarios se apropian del concepto de límite cuando usan la
estrategia V de Gowin, lo cual no es otra cosa que lograr avances sobre el
conocimiento acerca del pensamiento matemático y estratégico alcanzado al utilizar
los diagramas V´s, en relación al límite de funciones reales de una variable real.
Lo anterior alcanzó realizar la descripción del pensamiento matemático asociado a
la definición de límite de funciones, a partir del desarrollo de todo un proceso de
descubrimiento (codificación deductiva) y manipulación de categorías y relaciones
entre éstas desde el Atlas/ti (codificación inductiva), en base al análisis de los
registros de acontecimientos obtenidos.
73
CAPÍTULO IV
ANÁLISIS Y RESULTADOS
En este capítulo se desarrolla la tercera etapa de la investigación, de acuerdo al
procedimento general establecido y tiene como origen fundamental: (a) analizar e
interpretar la información recolectada en: i) un cuestionario aplicado a los profesores
de Matemática I en la UNEG (ver Anexo D), ii) un cuestionario aplicado a los
estudiantes (ver Anexo E), iii) el programa de Matemática I, iv) algunos textos que
abordan la definición de límite de funciones, iv) las V de Gowin elaboradas por los
estudiantes (ver Anexos J, K y L); (b) presentar resultados globales y conclusiones a
partir de cada uno de los instrumentos analizados; y (c) confirmar la validez y
confiabilidad alcanzada en el estudio.
El objetivo del cuestionario fue realizar un diagnóstico sobre la apropiación y
aplicación de la definición de límite de funciones reales de variable real, por parte de
los alumnos de Matemática I, en el proyecto de carrera de Ingeniería Industrial de la
UNEG. Específicamente, con este instrumento se exploraron las dimensiones del
pensamiento matemático y procesos matemáticos, asociados a la definición de límite,
que abarcan los docentes de Matemática I y desarrollan sus alumnos; además de
diagnosticar posibles dificultades que existen en la enseñanza y aprendizaje de esta
definición.
Con la implementación de las V de Gowin se perseguía que los alumnos
trabajaran el pensamiento estratégico para mejorar su desempeño estudiantil,
teniendo como eje fundamental el proceso de diseño alcanzado en las V y evidenciar
en su producto: el pensamiento matemático desarrollado por los alumnos en sus
dimensiones, los procesos matemáticos que realizaron y las dificultades de tipo
cognitivo, epistemológico y didáctico que se presentaron.
74
Para el análisis e interpretación de la información se siguieron las
recomendaciones metodológicas propias de una investigación que combina métodos
cualitativos y cuantitativos.
Análisis de los Resultados del Cuestionario Aplicado a los Docentes
Seguidamente, se presenta un conjunto de cuadros con los resultados de los
ítemes, clasificados por tipo de pensamiento predominante y de acuerdo a las
frecuencias de las respuestas de los ocho (8) docentes consultados.
Cuadro 1. Resultados de los ítemes relativos al pensamiento topológico en los
docentes
N Ítems
Categorías
Muy
Bajo
Bajo Medio Medianamente
Alto
Alto No
Aplica
5
3 1 1 2 0 1
6
3 0 1 1 0 3
7
2 2 2 0 0 2
12
1 4 1 0 0 2
75
En los ítemes 5, 6, 7 y 12, donde el logro de la demanda de tarea exigida
requería, esencialmente, del desarrollo de un pensamiento topológico básico (ver
Cuadro 1), los docentes en general optaron por situar a los estudiantes en las
categorías consideradas como bajas (muy bajo, bajo) o en la categoría “no aplica”.
Para los cuatro ítemes señalados anteriormente, como se visualiza en el Cuadro
1, siempre existió por lo menos un docente que reflejara el hecho de que sus alumnos
no lograban la actividad propuesta o si la lograban sería en un rango de categoría
“muy bajo”. En base a esto, se conjetura la posición del docente de Matemática I en
la UNEG, con respecto a que el desarrollo del pensamiento topológico en el
estudiante no se alcanza, en buena medida, con el estudio de la definición de límite de
funciones.
Cuadro 2. Resultados de los ítemes relativos al pensamiento geométrico en los
docentes
N Ítems Categorías
Muy
Bajo
Bajo Medio Medianamente
Alto
Alto No
Aplica
3
1 1 4 1 1 0
4
1 1 3 1 1 1
(Sigue…)
76
Nota. Datos obtenidos a partir del cuestionario aplicado a los 8 docentes, quienes fueron los profesores que dictaron la
asignatura Matemática I del proyecto de carrera de Ingeniería Industrial, durante los semestres 2005-II, 2006-I y 2006-II, en la
UNEG, Estado Bolívar.
Para el caso del pensamiento geométrico (ver Cuadro 2), se constata que los
profesores ubicaron a los estudiantes, generalmente, en el rango de categoría medio;
lo cual hace inferir que, para ellos, el hecho de que los alumnos visualicen el límite
de una función en un punto a partir de una representación gráfica, era una práctica
normal o de rutina, cuyo nivel de alcance fue medio.
N Ítems Categorías
Muy
Bajo
Bajo Medio Mediana-
mente
Alto
Alto No
Aplica
5
3 1 1 2 0 1
9
1 0 5 1 0 1
10
1 0 3 3 0 1
11
0 1 4 2 1 0
Cuadro 2. Continuación
77
Cuadro 3. Resultados de los ítemes relativos al pensamiento algebraico en los
docentes
Nota. Datos obtenidos a partir del cuestionario aplicado a los 8 docentes, quienes fueron los profesores que dictaron la asignatura
Matemática I del proyecto de carrera de Ingeniería Industrial, durante los semestres 2005-II, 2006-I y 2006-II en la UNEG, Estado Bolívar.
Con respecto a los ítemes donde predominaba el pensamiento algebraico (ver
Cuadro 3), se evidenció un comportamiento similar al anterior, existió una tendencia
marcada en las respuestas emitidas por los docentes hacia el rango de categoría
“medio”. Lo que permitió concluir que los docentes opinan, que los estudiantes están
claros en qué medida dominan el lenguaje algebraico al realizar ejercicios sobre
límites de funciones reales de una variable real. Esto mueve a pensar que el
pensamiento algebraico es uno de los pensamientos predominantes en la enseñanza
del límite de funciones.
N
Ítems Categorías
Muy
Bajo
Bajo Medio Medianamente
Alto
Alto No Aplica
1
1 2 4 0 0 1
2
1 1 4 1 1 0
4
1 1 3 1 1 1
8
1 1 4 1 1 0
13
2 2 2 0 0 2
78
Cuadro 4. Resultados de los ítemes relativos al pensamiento numérico en los
docentes
N Ítems
Categorías
Muy
Bajo
Bajo Medio Med.
Alto
Alto No
Aplica
2
2 2 2 0 0 2
7
2 2 2 0 0 2
8
1 1 4 1 1 0
12
1 4 1 0 0 2
Nota. Datos obtenidos a partir del cuestionario aplicado a los 8 docentes, quienes fueron los profesores que dictaron la asignatura Matemática I del proyecto de carrera de Ingeniería Industrial, durante los semestres 2005-II, 2006-I y 2006-II en la UNEG,
Estado Bolívar.
Al observar las opiniones emitidas por los docentes en los ítemes donde
predominaba el pensamiento numérico (ver Cuadro 4), se pudo constatar que el
visualizar el límite de una función es una tarea que ellos dominan medianamente.
En resumen, las conclusiones arrojadas, de acuerdo a las opiniones emitidas por
los docentes consultados en el cuestionario, son:
1. El pensamiento matemático en sus dimensiones algebraica, geométrica y
numérica, en el estudio de límites de funciones, predomina en la enseñanza y
aprendizaje del Cálculo.
2. El desarrollo del pensamiento topológico, sin embargo, está ausente, tal como
era esperado por el docente investigador, puesto que esta dimensión no aparece en los
textos que comunmente usan los alumnos de Matemática I en la UNEG, ni en el
programa de esta asignatura, tal y como se tratará a profundidad más adelante.
3. Esto último corrobora lo señalado por Cantoral y cols. (2000), quienes señalan
que este comportamiento del docente se apoya en una creencia ampliamente
difundida, que coloca a las estrategias algebraicas en el terreno de lo fácilmente
79
enseñable y por lo tanto ellos predominan en el procesamiento de contenidos de este
tema.
Análisis de los Resultados del Cuestionario Aplicado a los Alumnos
El instrumento analizado fue el mismo aplicado a los docentes (ver Anexo E). En
este sentido se aclara que los profesores no fueron sujetos de estudio; sin embargo, se
aplicó el cuestionario a ellos para triangular la información a través de diferentes
fuentes de información, previendo que los alumnos podían mentir, omitir datos o
tener una visión distorsionada de los hechos, como en efecto ocurrió para algunos
datos obtenidos. Otra de las razones por las cuales se aplicó este instrumento a los
docentes, fue con la idea de buscar la credibilidad de las posibles dificultades
didácticas que se encontrarían, ya que el investigador al inicio del estudio no sabía a
ciencias ciertas qué datos serían importantes y cuáles no.
De manera similar al cuestionario aplicado a los docentes, se muestran los
resultados de los estudiantes en un conjunto de cuadros clasificados por tipo de
pensamiento predominante y de acuerdo a las frecuencias de las respuestas de los
ocho (8) estudiantes consultados. Este instrumento se aplicó una vez terminado el
tema sobre límites en cada uno de los semestres que comprendió el estudio.
80
Cuadro 5. Resultados de los ítemes relativos al pensamiento topológico en los
alumnos
Nota. Datos obtenidos a partir del cuestionario aplicado a los 8 alumnos, considerados los sujetos de estudio, quienes eran estudiantes regulares de la asignatura Matemática I del proyecto de carrera de Ingeniería Industrial, durante los semestres 2005-
II, 2006-I y 2006-II, en la UNEG, Estado Bolívar.
En estos ítemes los estudiantes, a diferencia de los docentes consultados, se
posicionaron en las categorías consideradas como altas (medianamente alto y alto).
No obstante, los docentes tendían a seleccionar las categorías bajas (muy bajo y bajo),
como nivel de logro de sus estudiantes en las actividades propuestas para estos
ítemes.
En este sentido, para los estudiantes el lenguaje topológico, como les fue
explicado por el docente investigador, lo visualizaron de fácil logro; mientras que de
la tendencia de las respuestas de los docentes se pudo inferir que ellos estimaron que,
el logro de un desarrollo en el pensamiento topológico estaba ausente en sus
estudiantes.
N Ítems
Categorías
Muy
Bajo
Bajo Medio Med
Alto
Alto No Aplica
5
0 1 0 2 5 0
6
0 1 2 4 1 0
7
1 0 3 3 1 0
12
0 2 2 2 2 0
81
Las diferentes posiciones asumidas por ambos grupos consultados llevan a
reflexionar sobre el papel significativo o trascendental de los posibles prejuicios del
docente, en cuanto al alto nivel de dificultad del pensamiento topológico en la
enseñanza.
Cabe destacar que ninguno de los estudiantes consultados seleccionó como
opción de respuesta, en alguno de los ítemes, la opción “no aplica”. Por el contrario, a
las respuestas asumidas por los docentes, donde existió siempre, por lo menos un
profesor ubicado en la categoría “no aplica”, para cada uno de los ítemes donde
predominó el pensamiento topológico.
Cuadro 6. Resultados de los ítemes relativos al pensamiento geométrico en los
alumnos
N Ítems
Categorías
Muy
Bajo
Bajo Medio Med.
Alto
Alto No
Aplica
3
1 1 4 1 1 0
Sigue…
82
Cuadro 6. (Continuación)
N Ítems Categorías
Muy
Bajo
Bajo Medio Med.
Alto
Alto No
Aplica
4
1 1 3 1 1 1
5
0 1 0 2 5 0
9
0 1 0 2 5 0
10
1 0 0 4 3 0
(Sigue…)
83
Cuadro 6. (Continuación)
Nota. Datos obtenidos a partir del cuestionario aplicado a los 8 alumnos, considerados los sujetos de estudio, quienes eran
estudiantes regulares de la asignatura Matemática I del proyecto de carrera de Ingeniería Industrial, durante los semestres 2005-
II, 2006-I y 2006-II, en la UNEG, Estado Bolívar.
En la categoría pensamiento geométrico, los alumnos se ubicaron en general en el
rango alto, tal y como lo muestra el cuadro 6. Esta tendencia, asumida por los
estudiantes, hace inferir que para ellos el visualizar la situación problemática a partir
de un gráfico facilita el logro de la demanda de tarea. A su modo de ver, pareciera
que el pensamiento geométrico es el más fácil de manejar, de modo que el desarrollo
de este pensamiento pudiera ser factible, desde su óptica de aprendiz, para abordar la
definición de límite.
Sin embargo, para el pensamiento geométrico, los docentes consultados
prefirieron ubicarse en la categoría medio, en cuanto al nivel de logro de respuesta de
los estudiantes. De esta manera, al igual que el caso del pensamiento topológico, las
tendencias de los docentes estuvieron ubicadas por debajo de las tendencias emitidas
por parte de los estudiantes, en cuanto al nivel de logro del pensamiento geométrico.
Cabe formularse las siguientes interrogantes para investigaciones futuras: ¿Cómo
deben interpretarse, en profundidad, estas diferencias de percepción entre los
estudiantes y los profesores, en cuanto al nivel de logro de los tipos de pensamiento
matemático?. ¿Estas diferencias obedecerán a las diversas concepciones que podrían
existir de rendimiento académico, de aprendizaje o de comprensión?. O tal vez, ¿estas
N Ítems
Categorías
Muy
Bajo
Bajo Medio Med
.Alt
o
Alto No
Aplica
11
0 1 0 2 5 0
84
diferencias podrían ser producto de una sobreestimación de resultados, por parte de
los estudiantes, en el proceso de autoevaluación y supervisión de su aprendizaje?
Cuadro 7. Resultados de los ítemes relativos al pensamiento algebraico en los
alumnos
(Sigue…)
N Ítems
Categorías Muy
Bajo
Bajo Medio Medi.
Alto
Alto No
Aplica
1
0 1 2 4 1 0
2
2 0 3 2 1 0
4
0 1 2 2 3 0
8
0 0 3 3 2 0
85
(Cuadro 7. Continuación.)
Nota. Datos obtenidos a partir del cuestionario aplicado a los 8 alumnos, considerados los sujetos de estudio, quienes eran estudiantes regulares de la asignatura Matemática I del proyecto de carrera de Ingeniería Industrial, durante los semestres 2005-
II, 2006-I y 2006-II, en la UNEG, Estado Bolívar.
En estos ítemes, donde el logro de la actividad propuesta fue intencionalmente
para alcanzar un desarrollo algebraico, los estudiantes ubicaron sus respuestas, en
general, en la categoría “medianamente alto”. Se puede inferir en base a estos
resultados, que los alumnos pensaron, que ellos dominan, muy bien, el manejo
algebraico para calcular límites.
Sin embargo, para el pensamiento algebraico, los docentes consultados prefirieron
ubicarse en la categoría medio, en cuanto al nivel de logro de respuesta por parte de
los estudiantes.
De manera que, continúan presentándose los desacuerdos de percepción entre
alumnos y docentes consultados, en cuanto al nivel de logro que alcanzan los
alumnos en el proceso de aprendizaje.
N Ítems
Categorías Muy
Bajo
Bajo Medio Medi.
Alto
Alto No
Aplica
13
0 0 3 4 1 0
86
Cuadro 8. Resultados de los ítemes relativos al pensamiento numérico en los
alumnos
N Ítems
Categorías
Muy
Bajo
Bajo Medio Med
Alto
Alto No
Aplica
2
2 0 3 2 1 0
7
1 0 3 3 1 0
8
0 0 3 3 2 0
12
0 2 2 2 2 0
Nota. Datos obtenidos a partir del cuestionario aplicado a los 8 alumnos, considerados los sujetos de estudio, quienes eran estudiantes regulares de la asignatura Matemática I del proyecto de carrera de Ingeniería Industrial, durante los semestres 2005-
II, 2006-I y 2006-II, en la UNEG, Estado Bolívar.
Finalmente, al observar las respuestas emitidas por los estudiantes en los ítemes
donde predominaba el pensamiento numérico, se pudo constatar que las respuestas se
ubicaron entre los rangos de medio a medianamente alto. Lo que conlleva a pensar
que los estudiantes consideraron que el visualizar el límite de una función, desde el
punto de vista numérico, es una tarea que ellos dominan de medio a medianamente
alto.
Sin embargo, para el pensamiento numérico, los docentes consultados prefirieron
ubicarse en las categorías de bajo a medio. De manera que, las tendencias de los
docentes continúan estando ubicadas por debajo de las tendencias emitidas por parte
de los estudiantes, en cuanto al nivel de logro de lo aprendido.
En general, se concluye que:
1. Las respuestas de los estudiantes, al igual que en el caso de los docentes,
estuvieron en correspondencia con el pensamiento predominante en cada ítems.
2. Desde las interpretaciones de los resultados emitidos por los estudiantes, ellos
mantienen la tendencia de posicionarse en categorías consideradas como altas,
incluso en los ítemes donde se buscaba el desarrollo de un pensamiento topológico. A
87
diferencia de los docentes, cuya tendencia a ubicarlos fue en el rango medio, a
excepción de los ítemes donde se buscaba el desarrollo de un pensamiento
topológico, que fue en las categorías de respuestas bajas. Desde esta óptica, el
desarrollo del pensamiento matemático en sus dimensiones topológica, algebraica,
geométrica y numérica, para los estudiantes encuestados, pareciera ser menos
complejo que desde la visión de los docentes; esta postura sirvió para profundizar en
la descripción de las ideas matemáticas de los alumnos en torno al límite de
funciones.
3. Específicamente, para los ítems del cuestionario donde predominó el
desarrollo de un lenguaje geométrico para el logro de la actividad propuesta, los
estudiantes se ubicaron, fehacientemente, en la categoría alta; mientras que para los
restantes pensamientos tendieron a situarse en las categorías de medianamente alto a
medio. Consecuentemente, para los alumnos la tarea de estudiar el límite de una
función a partir de un lenguaje geométrico es más fácil que al aplicar un lenguaje
topológico, algebraico o numérico. Esta visión se justifica en cierta medida con lo
planteado por Blázquez y Ortega (2000), quienes asumen que el sistema gráfico es
menos formal que el algebraico. Esto corrobora la propuesta de Alson (s/f), quien, a
través de un material didáctico, plantea que la enseñanza de funciones debe
abordarse, casi exclusivamente, desde la visualización geométrica.
4. Las respuestas de los estudiantes en general, son apreciaciones situadas por
encima de la valoración emitida por los docentes.
5. La ausencia del pensamiento topológico en la enseñanza del límite de
funciones por parte de los docentes, tiene su origen en el diseño curricular, en los
textos que se usan habitualmente y, posiblemente, en un prejuicio que podría derivase
del nivel de dificultad; sin embargo, los estudiantes en este estudio no perciben el
pensamiento topológico como de alto grado de dificultad.
88
Secuencias en Cuanto al Nivel de Logro de los Pensamientos Matemáticos
Con la idea de profundizar un poco más en la descripción del pensamiento
matemático asociado a la definición de límite (ver Gráfico 3), se construyeron dos
secuencias en orden decreciente, considerando sólo las categorías altas, en cuanto al
nivel de logro de las actividades (de las más a las menos logradas) propuestas en el
cuestionario y clasificadas por el pensamiento matemático abordado: una secuencia
representa la visión de los docentes y otra para reflejar la de los estudiantes.
89
Gráfico 3. Cuadro que muestra las frecuencias que emitieron los docentes de Matemática I,
agrupadas por pensamiento matemático predominante en cada ítems del cuestionario.
A partir de un estudio realizado a los resultados presentados en el Gráfico 3, surgió la
secuencia del nivel de logro de las actividades (que consideran los profesores que
realizan sus alumnos). Esta secuencia se estableció desde el pensamiento más logrado
al menos alcanzado, tomando como patrón de referencia sólo las frecuencias emitidas
en las categorías consideradas como altas (medianamente alto y alto).
Específicamente, la tarea consistió inicialmente, en calcular el porcentaje de las
frecuencias acumuladas en las categorías altas, sobre las frecuencias acumuladas que
vinculó cada pensamiento matemático.
Por ejemplo, para el caso del pensamiento topológico, se tuvo que: 32 representó el
total de respuestas posibles en base a las 8 respuestas emitidas por los docentes en los
90
4 ítemes donde predominó este pensamiento; mientras que 3 fueron las frecuencias
acumuladas en las categorías altas en estos 4 ítems. Ahora se aproximó esta
proporción en porcentajes:
Porcentaje de logro obtenido para el pensamiento topológico= 100*(3/32) 9, 38 %.
Agrupando los resultados anteriores en categorías descendientes, resultó el
Gráfico 4 que a continuación se muestra:
GEOMÉTRICO
ALGEBRAICO
NUMÉRICO
TOPOLÓGICO
Gráfico 4. Secuencia de los tipos de pensamiento matemático en orden decreciente, de acuerdo a
la visión de los docentes consultados. Al estudiar las opiniones del docente, en cuanto a la secuencia del nivel de logro
de las actividades que ejecuta el alumno en el desarrollo de los pensamientos
matemáticos, se visualiza que ciertas aristas coinciden con lo que es la realidad
planteada desde algunos artículos de investigación científica. Por ejemplo, Blázquez
y Ortega (2001), comparten de la misma forma que, el dominio algebraico es muy
trabajado por los libros de textos, es práctico de manejar y consecuentemente, esto
facilita la tarea del docente de aula, quien hace muchísimo énfasis en este dominio;
inclusive, en la enseñanza tradicional se ha abusado del registro algebraico,
Pensamiento Matemático
91
descuidándose el resto de las representaciones. En este orden de ideas, la
investigación reafirma que, los docentes asumen que el pensamiento numérico se
alcanza en menor grado por parte de los alumnos que el algebraico.
Por otra parte, Espinoza y Azcárate (2000) señalan que la organización
matemática referida al álgebra de límites es trabajada, mientras que la organización
relativa a la definición formal del límite de una función no. De manera que, esta
última organización que es desarrollada dentro del trabajo del análisis, en términos de
y , utilizadas en espacios métricos, vecindades y que caracteriza al pensamiento
topológico en este estudio, tiende a desaparecer en los manuales oficiales de las
instituciones españolas, situación que es similar en Venezuela. Sin embargo, en esta
investigación ambas organizaciones pueden conjugarse abarcando la dimensión
algebraica que es tan trabajada en clases (ver ítems 1 en los cuestionarios y cuadros 3
y 7).
Otro de los tipos de pensamiento cuya representación del objeto límite es
comparada, según Blázquez y Ortega (2001), es el geométrico, quienes establecen
que la representación geométrica del objeto límite es menos formal que el algebraico.
Es decir, el sistema algebraico muestra una concepción formal de límite, un aspecto
más abstracto que el geométrico. De manera que, el pensamiento geométrico en la
investigación actual, es el pensamiento que pudiera desarrollarse más en los espacios
de enseñanza y aprendizaje de la definición de límites, mediante su lenguaje de
comunicación, ya que según las opiniones emitidas, por ambas partes consultadas, fue
el más logrado de acuerdo al análisis previo tal y como ya se dijo, aparece en la
propuesta de Alson (2000).
A continuación, se pasa a estudiar la secuencia descrita por los estudiantes, a
partir del Gráfico 5 que a continuación se presenta:
92
Gráfico 5. Cuadro que muestra las frecuencias que emitieron los alumnos de Matemática I,
agrupadas por pensamiento matemático predominante, en cada ítems del cuestionario aplicado
en la UNEG, en el proyecto de carrera de Ingeniería industrial, durante los semestres 2005-II,
2006-I y 2006-II.
A partir de un estudio realizado, similar al caso de los docentes, surgió el Gráfico
6 que contiene la secuencia del nivel de logro de las actividades que consideraron los
alumnos, en función al predominio de un pensamiento matemático específico. El
procedimiento utilizado para obtener la secuencia, fue igual al realizado con los datos
de los docentes.
93
Gráfico 6. Secuencia de los pensamientos matemáticos, de acuerdo a la óptica de los estudiantes
consultados.
Al visualizar ambas secuencias obtenidas, se observa que los grupos consultados
no comparten la misma óptica. Sin embargo, coinciden en que el pensamiento
geométrico es el de mayor logro alcanzado por parte de los alumnos. La diferencia
fundamental es una sola, los estudiantes insertan el pensamiento topológico entre el
geométrico y el algebraico.
A continuación, las dos secuencias anteriores se contrastarán con las obtenidas
desde las mismas fuentes de información, pero siguiendo otra técnica, a objeto de ver
si se ratifican o no estas tendencias de comportamientos. Este nuevo procedimiento se
aplicó, con el propósito de analizar con mayor profundidad las diferencias de opinión
entre docentes y estudiantes, en cuanto al grado de desarrollo o nivel de logro de cada
una de las cuatro dimensiones del pensamiento matemático estudiadas; así como
también, para validar la información desde distintas técnicas de análisis.
Las opiniones de ambos grupos consultados se ordenaron tomando como
referencia la moda en seis (6) cuadros. De esta manera, se presentan las
GEOMÉTRICO
ALGEBRAICO
NUMÉRICO
Pensamiento Matemático
TOPOLÓGICO
94
comparaciones realizadas en el análisis, a partir de estas seis combinaciones posibles,
de cuatro dos, que se establecieron desde las cuatro dimensiones del pensamiento
matemático estudiadas y asociadas por pares. Los resultados de estas comparaciones
permiten visualizar cuál dimensión predominó sobre la otra, ordenando inicialmente
las opiniones de los docentes y continuando con las de los alumnos. De aquí, se pudo
vislumbrar la secuencia que describieron ambas partes, de acuerdo a la relación de
orden mayor que, que se estableció al analizar la información generada a partir de los
datos.
El Cuadro 9, de doble entrada, que se muestra a continuación contiene en las filas
el número de los ítemes donde estuvo planteado el desarrollo de una dimensión del
pensamiento, mientras que en las columnas se muestra el número de los ítemes donde
fue propuesto el desarrollo de otra dimensión, de manera de establecer la
comparación entre la ubicación de la moda en ambas dimensiones. Es decir, se
estudió, si la moda de la dimensión situada en la fila estuvo por encima, por debajo o
igual a la moda de la dimensión ubicada en la columna.
Se seleccionó esta forma de presentación porque permitirá distinguir con claridad
y precisión las semejanzas y diferencias entre la ubicación de los rangos de
categorías, donde se situó la moda para cada par de ítems, de manera de establecer
todas las comparaciones posibles entre cada par de dimensiones, inicialmente para los
docentes y luego para los alumnos.
Es importante señalar en este análisis que, los resultados que arrojaron el mismo
rango de categoría para la ubicación de la moda en ambos ítems comparados, no
fueron considerados a la hora de emitir los juicios, ya que no aportaron información
alguna sobre el predominio de una dimensión sobre otra, en la relación de orden que
se estableció en función a la secuencia del nivel de logro de cada dimensión.
Asimismo, fueron omitidos aquellos resultados donde la moda, para alguno de los
ítemes comparados, no fue unimodal, ya que no permitía establecer comparación
alguna. Toda vez, realizadas las comparaciones en el Cuadro 9, la relación de orden
que prevaleció en el cuadro de doble entrada en los ítemes propuestos por cada dos
dimensiones comparadas, fue la que más se repitió.
95
Cuadro 9. Comparación entre el nivel de logro de las dimensiones (ubicados en las
filas ver las dimensiones ubicadas en las columnas), de acuerdo inicialmente a la
opinión de los docentes, seguido por la de los estudiantes:
Algebraico
Geométrico
3 4 5 9 10 11
1 =, < =, < >, < =, < , = , <
2 =, < =, < >, < =, < , < , <
4 =, = =, = >, = =, = ,> , =
8 =, =, >, =, , ,
13 , < , < , < , < , = , <
Geométrico
Numérico
2 7 8 12
3 =, > , =, >,
4 =, > , =, >,
5 <, > , =, >,
9 =, > , =, >,
10 , > , , ,
11 , > , , ,
Numérico
Topológico
5 6 7 12
2 >, < >, < , >,
7 , , , ,
8 >, >, , >,
12 >, >, , =,
Algebraico
Topológico
5
6
7
12
1 >, < >, = , >,
2 >, < >, < , >,
4 >, = >, > , >,
8 >, >, , >,
13 , < , = , ,
Topológico Geométrico
3 4 5 9 10 11
5 <, = <, = =, = <, = , > , =
6 <, < <, < =, < <, < , = , <
7 , , , , , ,
12 <, <, <, <, , ,
(Sigue…)
96
Algebraico
Numérico
2 7 8 12
1 =, > , =, >,
2 =, = , =, >,
4 =, > , =, >,
8 =, , =, >,
13 , > , , ,
Leyenda: =: La moda de ambos ítems comparados se ubicó en la misma categoría de respuesta; : La moda no era unimodal
en cualquiera de dos ítemes a comparar; >: la moda para el ítems correspondiente a la fila, se situó en una categoría ubicada por
encima a la moda del ítems correspondiente a la columna. Consecuentemente, el nivel de logro del pensamiento situado en la fila
estuvo por encima del nivel de logro del pensamiento ubicado en la columna; <: viceversa al caso anterior.
Al analizar los datos se obtuvo que:
Se presentaron 4 tipos de respuestas de las 30, donde los docentes ubicaron el
rango de respuesta donde predominaba el pensamiento algebraico, por encima del
rango de respuesta de los ítemes donde predominaba el pensamiento geométrico.
Luego, se concluye que, el pensamiento algebraico predominó ante el pensamiento
geométrico, de acuerdo a la opinión de los docentes.
Por otra parte, se presentaron 3 tipos de respuestas de las 24, donde los docentes
ubicaron el rango de respuesta donde predominaba el pensamiento numérico, por
encima del rango de respuesta de los ítemes donde predominaba el pensamiento
geométrico. Similarmente, se presentaron 3 tipos de respuestas de las 24, contrarias a
lo anterior. En base a lo antes expuesto, no se pudo definir cuál pensamiento
prevaleció sobre el otro, ya que se dio la misma proporción 3/24, para las dos
alternativas de respuesta posible.
En la mayoría de las respuestas (8 de 16), los docentes ubicaron el rango de
respuesta donde predominaba el pensamiento numérico, por encima del rango de
respuesta de los ítemes donde predominaba el pensamiento topológico. Así, el
pensamiento numérico predominó ante el pensamiento topológico, de acuerdo a la
opinión emitida por los docentes.
Cuadro 9. Continuación
97
En la mayoría de las respuestas (12 de 20), los docentes ubicaron el rango de
respuesta donde predominaba el pensamiento algebraico, por encima del rango de
respuesta de los ítemes donde predominaba el pensamiento topológico. Luego, se
concluyó que el pensamiento algebraico predominó ante el pensamiento topológico.
Por otra parte, se presentaron 10 de las 30 respuestas, donde los docentes ubicaron
el rango de respuesta donde predominaba el pensamiento topológico, por debajo del
rango de respuesta de los ítemes donde predominaba el pensamiento geométrico.
Luego, se concluyó que el pensamiento geométrico predominó ante el pensamiento
topológico.
Sin embargo, se dieron 4 tipos de respuestas de las 20, donde los docentes
ubicaron el rango de respuesta donde predominaba el pensamiento numérico, por
debajo del rango de respuesta de los ítemes donde predominaba el pensamiento
algebraico. Es decir, el pensamiento algebraico predominó ante el pensamiento
numérico.
En base a todos los resultados de las comparaciones realizadas anteriormente, se
establece la siguiente relación de orden que define el “predominio en el nivel de logro
de una dimensión del pensamiento matemático con respecto a otra”, de acuerdo a la
opinión de los docentes:
Algebraica>Geométrica>Numérica>Topológica
Para el caso de los estudiantes, se realizó el mismo procedimiento de análisis para
establecer la relación de orden, la cual arrojó el siguiente resultado:
Geométrica> Topológica>Algebraica>Numérica
Al comparar las secuencias arrojadas por los estudiantes en ambas técnicas de
análisis de datos utilizadas (con parámetros diferentes), se observó que es la misma;
lo cual reafirma su postura. A diferencia de los docentes quienes variaron un poco el
orden, en relación a las dimensiones geométrica y algebraica. Sin embargo, la última
secuencia obtenida para el caso de los docentes: algebraica, geométrica, numérica y
topológica, se considera la secuencia que más se ajusta (de las dos encontradas) a la
realidad que se vive en el aula, tomando en cuenta la experiencia acumulada de los
98
docentes consultados en sus años de servicio en el campo educativo desde la
información obtenida de las entrevistas.
De modo que, la secuencia referida anteriormente por los docentes refuerza el
énfasis en relación con el tiempo que utiliza el docente para cada una de las
dimensiones del pensamiento matemático en el proceso de la enseñanza del límite de
funciones, cuya secuencia, además, está en correspondencia directa con lo que es el
abordaje de estos contenidos en los libros de textos que se usan habitualmente.
Cabe destacar dentro de las contradicciones encontradas, en base a los datos
arrojados por los cuestionarios aplicados a docentes y estudiantes UNEG, lo
siguiente: a partir del estudio realizado al instrumento aplicado a los estudiantes, se
pudo diagnosticar que los estudiantes nunca se ubicaron en la categoría “No Aplica”;
esta situación obedeció al hecho de que la muestra de alumnos fue seleccionada en
secciones que se encontraban bajo la tutela del investigador, quien hacía énfasis en
cada una de las dimensiones del pensamiento matemático trabajadas en el estudio;
por lo cual para los alumnos, no fue motivo de sorpresa los diferentes lenguajes
utilizados para desarrollar la definición de límite. Estos resultados son válidos
tomando en cuenta las ideas de Martínez (1999), quien afirma que el investigador
etnográfico, en este caso el docente investigador, “…no tiene miedo de ser parte de
la situación que estudia, de que su presencia parezca contaminar los datos, ya que
considera imposible recabar los datos incontaminados; pero trata de tenerlo todo en
cuenta, de evaluarlo todo” (p. 52).
A diferencia de los alumnos, los docentes reflejaron, a partir de sus respuestas en
el cuestionario, desacuerdos en sus opciones; bien sea porque a ellos no les parecía
cónsono la visión o el lenguaje bajo el cual se proponía cierta actividad con la forma
que, usualmente, la trabajan en su aula de clases; o porque ciertamente, en el
contenido programático no exigen, rigurosamente, la comprensión de la definición de
límite para que sea dominado bajo diferentes ópticas de representación;
específicamente, la topológica; o sencillamente, pudiera obedecer a la existencia de
prejuicios en relación a que toda la terminología topológica que se despliega desde la
definición formal de límite de funciones es difícil en la enseñanza.
99
Para explicitar aún más la postura que asumió el docente en el cuestionario, se
presenta la siguiente tabla que contiene las dimensiones del pensamiento trabajadas y
el número de respuestas situadas en el “No Aplica” que ellos emitieron en cada ítems.
Cuadro 10. Frecuencias de no aplicabilidad mostradas en el cuestionario
VARIABLE
PENSAMIENTO
MATEMÁTICO
TIPOS DE
PENSAMIENTO
MATEMÁTICO
NIPP FVP NIPNA FSNA PROP
TOPOLÓGICO 5,6,7,12 4 5,6,7,12 4 4/4 GEOMÉTRICO 3,4,5,9,
10,11
6 4,5,9,10 4 4/6
ALGEBRAICO 1,2,4,8,
13
5 1,4,13 3 3/5
NUMÉRICO 2,7,8,12 4 7,12 2 2/4
Nota. Datos obtenidos a partir del cuestionario aplicado a los 8 docentes de Matemática I, quienes
trabajaron en el proyecto de carrera de ingeniería industrial, durante los semestres 2005-II, 2006-I y
2006-II, en la UNEG, Estado Bolívar; NIPP= Número del ítem donde estuvo presente el
pensamiento matemático; bien sea, el topológico, geométrico, algebraico o numérico; FVP=
Frecuencia acumulada de la variable pensamiento matemático presente en los ítems del cuestionario
aplicado a los docentes, en sus diferentes dimensiones: topológico, geométrico, algebraico o
numérico; NIPNA= Número del ítems donde aparece la categoría “No Aplica” en cada pensamiento;
FSN= Frecuencia acumulada del NIPNA. Al analizar las proporciones que presenta la tabla se pudo concluir lo siguiente:
Los docentes consultados hicieron énfasis en el “No Aplica”, inicialmente, en los
ítemes donde predomina el pensamiento topológico, luego en el geométrico,
seguidamente, en el algebraico y finalmente en el numérico. Esta secuencia nos
induce a establecer el orden de “no aplicabilidad” de las dimensiones del pensamiento
matemático que creen desarrollar los docentes consultados en su aula de clases.
En base a esto, sería interesante responder a la siguiente interrogante: ¿Este
porcentaje establecido por los docentes, en cada dimensión del pensamiento
matemático, estará en correspondencia directa con el nivel de logro alcanzado por los
estudiantes en las actividades propuestas sobre límites, y/o con el nivel de dificultad
en la enseñanza del límite?.
En este orden de ideas, se interpreta que el estudiante desconoce el lenguaje
topológico porque no se le transmite debido a su ausencia en el currículo, por lo tanto,
ellos no logran en categorías altas realizar actividades que propicien el abordaje de
este pensamiento y consecuentemente, les es difícil desarrollar un lenguaje topológico
asociado a esta definición que garantice el desarrollo de esta dimensión del
100
pensamiento. El mismo análisis se presta para las restantes dimensiones, pero en
menor proporción en función de la secuencia descrita de “no aplicabilidad”.
Al comparar las secuencias seguidas por los docentes en cuanto a la “no
aplicabilidad” de las dimensiones del pensamiento matemático y al grado de logro de
cada una de las actividades que incluyen estas dimensiones se tienen consideraciones
finales como las siguientes:
El pensamiento topológico es el menos aplicado, en consecuencia el menos
explicado y es el más difícil de alcanzar en cuanto a logro de actividades se refiere en
los alumnos, tal y como se interpreta desde las opiniones de los docentes en el
cuestionario y desde el trabajo de los estudiantes en las V, el cual será presentado más
adelante.
Sin embargo, el pensamiento geométrico no es tan explicado en el aula de clases,
pero los docentes consideran que es muy fácil de alcanzar su desarrollo en los
estudiantes.
En el pensamiento algebraico coincide su nivel de no aplicabilidad con su nivel de
alcance en los estudiantes, tanto en sus trabajos V como en las opiniones que ellos
emitieron en los cuestionarios. El pensamiento algebraico constituye la dimensión
que más enfatizan en clases, no obstante, es considerado por los docentes de alto
grado de “no aplicabilidad”.
Sin embargo, las creencias de los estudiantes, de acuerdo a sus opiniones emitidas
en el cuestionario, son contrarias a lo planteado por los docentes de la UNEG. Los
estudiantes consultados aseguraron que le es más fácil visualizar situaciones
problemáticas a partir del desarrollo de un pensamiento geométrico, e inclusive del
topológico, en lugar del común algebraico o numérico.
De todo lo antes expuesto, resulta de interés formular la siguiente interrogante:
¿será didácticamente recomendable abordar el estudio del límite de funciones desde
el enfoque del pensamiento geométrico como centro de interés?.
Efectivamente, se puede considerar estos elementos de respuestas a la
interrogante anterior: los estudiantes y docentes ponen de manifiesto a través de sus
consideraciones recogidas en el cuestionario aplicado, que a ellos se les hace más
101
fácil el desarrollo del pensamiento geométrico, lo que se corresponde directamente
con lo que fue el trabajo de los alumnos en las V; entonces, se hace interesante
plantear la propuesta que es necesario, tomando en cuenta los puntos de vista de ellos
en el proceso de enseñanza y aprendizaje, incorporar el pensamiento geométrico,
como pensamiento clave dentro del proceso de enseñanza de la definición de límite
de funciones en Matemática I.
Procesos Matemáticos Desarrollados en el Estudio de la Definición de Límite de
Funciones
Los procesos matemáticos que se han analizado en este estudio, son los
planteados por Cantoral y cols. (2000): la argumentación, la visualización, el
razonamiento bajo hipótesis y la abstracción.
A cada proceso se le asoció, como se muestra en el Cuadro 11, ciertas acciones
que surgieron de las actividades propuestas en el cuestionario. Seguidamente, se
estudiaron todas estas acciones, para así determinar si existía una tendencia marcada
en dichas acciones para una determinada categoría de respuesta en el cuestionario,
tomando en cuenta la moda en cada ítems y así establecer posibles relaciones entre
los procesos matemáticos y un rango de logro específico de éstos, en función de las
respuestas emitidas por los docentes.
Solamente se realiza este estudio para el cuestionario aplicado a los docentes, ya
que los estudiantes sobreestimaron sus respuestas, por lo que la relación a establecer
podría no ser válida.
102
Cuadro 11. Relación entre los procesos matemáticos y las categorías donde se
ubicó la moda en las acciones asociadas a estos procesos.
Proceso
Matemático
Acciones
Asociadas
Categoría (s) donde se ubicó la moda
Argumentación Reproducir Medio
Visualización
Identificar Medio
Ilustrar Muy Bajo
Visualizar Medio
Razonamiento Bajo
Hipótesis
Presuponer Muy bajo, Bajo, Medio, No aplica (*)
Inferir Muy bajo, Bajo, Medio, No aplica (*)
Deducir Bajo, Medio (*)
Construir Muy bajo, Bajo, Medio, No aplica (*)
Abstracción Formalizar Medio
Analizar Muy bajo Nota. Datos obtenidos a partir del cuestionario aplicado a los 8 docentes de Matemática I, quienes trabajaron en el proyecto de carrera de Ingeniería Industrial, durante los semestres 2005-II, 2006-I y 2006-II, en la UNEG, Estado Bolívar.
(*) no hubo distribución unimodal, ya que no existió la mayor frecuencia en una categoría específica.
En las acciones que involucraron los procesos de argumentación y visualización,
las respuestas seleccionadas por los docentes se ubicaron, en su mayoría, en la
categoría medio. Mientras que en los ítemes donde se consideraron las acciones
asociadas al proceso de razonamiento bajo hipótesis, no resultó unimodal, por lo que
no se pudo ubicar tendencia alguna al respecto, por lo tanto no hay conclusión.
Similarmente, para la ubicación de las acciones, en el caso del proceso de
abstracción, no hay conclusión, en relación a las preferencias del docente con
respecto a una determinada categoría. Específicamente, estuvieron dos acciones
asociadas: una se ubicó en la categoría muy bajo y otra en la medio.
Finalmente, se concluye que las respuestas de logro de las acciones, emitidas por
los docentes, dependen de los procesos sólo para los casos de la argumentación y la
visualización. Mientras que para los procesos matemáticos más avanzados, como lo
son: el razonamiento bajo hipótesis y la abstracción, no hubo una tendencia definida
en las respuestas consideradas por el docente, por lo cual no se pudo establecer
relación alguna.
103
Análisis Cualitativo del Programa de Matemática I sobre Límite de
Funciones
Se presenta a continuación una tabla que contiene los objetivos y contenidos que
actualmente presenta el programa de Matemática I, del proyecto de carrera de
Ingeniería Industrial, en la unidad 3, referida a límite de funciones en una variable. A
su vez, se incluyen algunas consideraciones elaboradas por el docente investigador,
cuyas afirmaciones son producto del análisis realizado a dicho programa, en cuanto a
las dimensiones del pensamiento matemático que abarca el programa, con la idea de
profundizar un poco más en la descripción del pensamiento matemático, al propiciar
la búsqueda de las posibles causas de algunas dificultades que presentaron los
estudiantes en el proceso de enseñanza y aprendizaje de la definición de límites.
104
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105
Se concluye, en base a las consideraciones del docente investigador que, existe un
predominio del pensamiento algebraico en el programa de Matemática I. Además, los
pensamientos topológico y numérico están ausentes. Se aborda, someramente, un
contenido para introducir actividades donde se trabajen algunas ideas o formas de
pensar que abarquen la dimensión geométrica.
Análisis Cualitativo de Textos que Abordan la Definición de Límite
Con el objetivo de seguir profundizando, para presentar la descripción de las ideas
matemáticas que comunicaron los estudiantes en cuanto al límite de funciones, se
realizó un background de los textos que a grosso modo abordan la definición de
límites de funciones en una variable real y en base a esta actividad, el docente
investigador presenta ejemplos de textos que pueden usarse, regularmente, en los
cursos de Matemática I del proyecto de Ingeniería Industrial de la UNEG. Se trata,
inicialmente, del Thomas y Finney, (1998), Cálculo en una variable.
A continuación, se incorpora un fragmento del libro donde los autores utilizan la
definición de límite para resolver ejercicios, seguido de un análisis crítico del
investigador, en cuanto a las dimensiones del pensamiento matemático que son
abordados en este texto.
106
Gráfico 7. Fragmento del Thomas y Finney (1998), donde se trabaja un ejercicio de límite de
funciones.
107
Los autores hacen énfasis en el pensamiento algebraico, ya que presentan la
definición formal de límite en términos de y , donde sólo manejan las relaciones
de orden “menor que”, las expresiones y operaciones algebraicas que incluye la
proposición lógica formal establecida en esta definición. Es decir, los autores,
escriben para que el lector tenga garantía de que se están cumpliendo las relaciones
de orden que están presentes en la definición de límite, tal es el caso de:
00 xx entonces, Lxf
Aunado a lo anterior, el pensamiento geométrico sólo lo abordan para graficar la
función dada; no obstante, el hecho de representar gráficamente la función no va más
allá de buscar interpretar la relación de dependencia que existe entre y . A su
vez, representan las bandas que se forman con los radios y alrededor de L y 0x ,
pero nunca comentan en términos de estas vecindades creadas, qué representa la
intersección de estas bandas, ni mucho menos si x pertenece a la vecindad 0xV ,
entonces f(x) debe estar contenida en esta otra vecindad LV .
Para las actividades finales que proponen como ejercicios, los autores se centran
en la determinación gráfica y algebraica de deltas, en demostraciones de límites,
usando la definición formal y en el cálculo algebraico de límites. De manera que,
todo lo antes expuesto son actividades, netamente, para trabajar el pensamiento
algebraico, dejando a un lado el pensamiento numérico, topológico y si se quiere el
geométrico.
Siguiendo la estructura, se presenta a continuación un fragmento del texto de
cálculo escrito por Smith, R. y Minton, R. (2000), que corresponde al Gráfico 8:
108
Gráfico 8. Fragmento del Smith y Minton (2000), donde se trabaja un ejercicio de límite de
funciones.
109
Continuación. Gráfico 8. Fragmento del Smith y Minton (2000), donde se trabaja un ejercicio de
límite de funciones
A diferencia de los autores anteriores, Smith y Minton abordan el pensamiento
numérico en función de actividades donde evalúan la función dada en valores
cercanos al punto en estudio y observan el comportamiento de los f(x) en la cercanía
de ese punto en estudio, tanto a su derecha como a la izquierda de éste.
110
Seguidamente, tratan el pensamiento algebraico, el cual predomina ante los restantes
pensamientos, porque calculan gran cantidad de ejercicios sobre límites usando el
álgebra de límites. El abordaje somero de la dimensión geométrica es similar al
comportamiento de los autores antes descritos y el pensamiento topológico no lo
trabajan. De manera que, la presencia del pensamiento algebraico y numérico y la
ausencia del pensamiento topológico y geométrico se repiten en las secciones de
ejercicios propuestos en este texto (ver Gráfico 8), para escribir y explorar las
respuestas del estudiante.
A continuación, se incorpora y se estudian copias de fragmentos sobre límite de
funciones del libro de Larson y cols. (2006), que corresponde al Gráfico 9:
Gráfico 9. Fragmento del Larson y cols. (2006), donde se trabajan ejemplos sobre estimaciones,
cálculos de límites y aplicación de esta definición
111
Continuación. Gráfico 9. Fragmento del Larson y cols. (2006), donde se trabajan ejemplos sobre
estimaciones, cálculos de límites y aplicación de esta definición
112
Aquí, se trataron métodos para estudiar el límite de funciones, tales como: el
método numérico, el método gráfico y el método analítico. En base a esto, se orientan
y se profundizan las ideas expresadas al abordar el método numérico y analítico en la
dimensión numérica y algebraica respectivamente. Sin embargo, cuando los autores
abordaron el método geométrico, sólo se limitaron a presentar la gráfica de f
sombreando sobre ella un rectángulo alrededor del punto en estudio; sin realizar
ningún tipo de análisis en función a qué representa geométricamente el límite de f,
cuando existe en un punto.
Sin embargo, Kitchen, J. (1986), Apostol, T (1985) , Barte, R. y Sherbert, D
(1996), y Haaser y cols. (1990) son autores de textos de cálculo o análisis
matemático, cuyos libros no se utilizan usualmente, ni como textos de consultas, ni
mucho menos como textos guías dentro de la bibliografía revisada por los estudiantes
de Matemática I en la biblioteca universitaria; sin embargo, estos escritores abordan
la definición de límite de funciones desde un punto de vista topológico.
El primer texto citado de cálculo por Kitchen, utiliza una terminología que
incluye conceptos, definiciones y proposiciones, tales como: entornos punteados o
agujeros de a, acotamiento de la función f, la idea de cercanía o proximidad de f(x) a
L, tanto como x se acerque a a. Esta óptica puede apreciarse desde el fragmento
siguiente, que corresponde al Gráfico 10, el cual se extrajo del texto analizado:
113
Gráfico 10. Fragmento del Kitchen (1986), donde se trabajan ejercicios sobre límite de funciones
Por otra parte, el texto de Apostol, T. (1985), llamado “Calculus”, ilustra y
explica, haciendo uso de la dimensión topológica inicialmente, al hablar de vecindad
y proximidad de números reales en la recta real y luego geométrica, que cuando el
límite de f existe en un punto, el gráfico de f puede verse a través de un rectángulo
abierto, alrededor del ese punto en estudio. Como muestra de esta afirmación, citemos
la definición que utiliza este autor:
“ Axfpx
lim
Significa que para todo entorno AN1 existe un cierto entorno pN2
tal que
ANxf 1 siempre que pNx 2 y .px ” (1)
114
Lo primero que el autor dice observar en esta definición es que en ella intervienen
dos entornos, AN1 y pN2 . El entorno AN1 se cita en primer lugar e indica
cuán próximo se quiere que sea xf a su límite A. El segundo entorno, pN2 ,
indica lo próximo que debe estar x de p para que xf sea interior al primer entorno
AN1 . Lo esencial de la definición es que, para cada AN1 , por pequeño que sea,
existe un cierto entorno pN2 que satisface la proposición planteada.
A su vez, en este texto la definición de límite se representa geométricamente en
términos de entornos (ver gráfico 11):
115
Gráfico 11. Fragmento del Apostol (1985), donde se aborda la definición de límite de
funciones
Tal y como lo expresa el autor, en el eje y está dibujado un entorno AN1 . El
entorno correspondiente pN2 está representado en el eje x. El rectángulo sombreado
consta de todos los puntos yx, para los cuales pNx 2 e ANy 1 . La
definición asegura que toda la gráfica de f correspondiente al intervalo pN2 está
situada en ese rectángulo, salvo para el mismo punto p. A su vez este autor, utiliza el
pensamiento algebraico y numérico al referirse a la definición de límite, en términos
de los radios y de los entornos AN1 y pN2 respectivamente.
116
Seguidamente, se adiciona el de Barte, R. y Sherbert, D. (1996), dentro del
conjunto de textos analizados (ver Gráfico 12). Aquí se trata la definición de límite de
funciones en la dimensión del pensamiento topológico, al considerar el límite como
de punto de acumulación. En efecto:
Gráfico 12. Fragmento del Barte, R. y Sherbert, D. (1996), donde se aborda la
definición de límite de funciones
117
Finalmente, desde el fragmento que a continuación se presenta extraído del texto
de Haaser y cols. (1990) que corresponde al Gráfico 12, se observa en función de las
interpretaciones realizadas por el docente investigador, las dimensiones del
pensamiento algebraico, topológico, geométrico y numérico, respectivamente. Estas
se visualizan de acuerdo al lenguaje que los autores utilizaron, conjuntamente con las
ideas que ellos presentaron al desarrollar el contenido sobre límite de funciones reales
de una variable real; tal y como se señala:
Gráfico 13. Fragmento del Haaser y cols. (1990), donde se aborda la definición de límite de
funciones
118
Continuación. Gráfico 13. Fragmento del Haaser y cols. (1990), donde se aborda la definición
de límite de funciones
Para concluir, se puede asumir que los autores de los textos que consultan, en la
biblioteca, los alumnos de Ingeniería Industrial de la UNEG en la asignatura
Matemática I, no abordan el pensamiento topológico y hacen hincapié en la
dimensión algebraica. Mientras que, el pensamiento numérico y geométrico, cuando
es tratado por estos autores, lo enfocan en muy pocas actividades y de manera
intuitiva, bien sea en las tareas desarrolladas o propuestas por ellos.
Por otra parte, para estos autores consultados, los tipos de pensamientos que son
objeto de su consideración, los desarrollan de manera aislada, sin ninguna
interconexión entre los mismos.
119
Interpretación y Análisis de las V de Gowin desde el Atlas/ti
Los diagramas V de Gowin, se usaron con dos (2) objetivos: a) Servir a cada
estudiante como una orientación metacognitiva para resolver problemas sobre límites
y b) Dejar un registro escrito de los procesos, tipos de pensamientos matemáticos y
dificultades que desarrollaron los estudiantes al resolver ejercicios de límte de
funciones. De modo que, a partir de dichos registros se puedan hacer inferencias para
describir el pensamiento matemático vinculado a la definición de límite de funciones.
El análisis e interpretación de la información proporcionada a partir por los
diagramas V, fue soportado y ordenado en este estudio por el uso del software
Atlas/ti, versión 5.0; donde se establecieron relaciones entre códigos y códigos
creados en este software desde el análisis de contenido del discurso expresado, tanto
en las exposiciones o defensas como en las imágenes constituidas por cada una de las
diapositivas que formaron parte de la presentación de los alumnos. El producto de
estos análisis, lo constituyen las familias de códigos, dimensiones y subdimensiones
generadas desde las relaciones establecidas, de las cuales surguieron las conclusiones
obtenidas a partir de la aplicación de este sotfware.
Particularmente, para efectos de uso del Atlas/ti (ver Anexos F, J, K y L): Path:
Constituye el directorio donde se encuentra el archivo; Media: texto (txt), es la
extensión del archivo; HU: es la unidad hermenéutica, llamada por el investigador en
los casos a presentar: Exposición de Estudiantes 1; Quotations: son las citas o
agrupación de líneas, creadas por el investigador a partir de las transcripciones
textuales recabadas del discurso de los estudiantes a la hora de su exposición, o de
algunos sectores de sus diapositivas; Code: son los códigos, los cuales vinieron a ser
las dificultades de tipo cognitiva, epistemológicas y didácticas, las subdimensiones
creadas para cada dificultad, los procesos matemáticos encontrados y los tipos de
pensamiento matemático observados. Cada código surgió de la interpretación de
alguna cita en particular (ver Anexo G), mediante dos procedimientos a seguir: uno
deductivo y otro inductivo. La codificación de manera inductiva, se usó para indagar
120
las dificultades matemáticas existentes y la codificación deductiva, para identificar
los procesos y dimensiones desarrollados por los estudiantes.
A su vez, los códigos de las citas textuales se encuentran asociados a los números
de las líneas donde aparecen en el documento (ver Anexo F). Para cada código, se
realizó un comentario (Comment), identificado por el símbolo ~ (ver Anexo G) .
Estos comentarios son producto de las definiciones que se establecieron o de las
interpretaciones que realizó el investigador de cada código construido entre las citas.
El programa refleja, además, un contador de frecuencias cada vez que se repite algún
código y a su vez, si para ese código se ha establecido alguna relación; bien sea entre
código y código situados en el mismo documento u otro documento de la unidad
hermenéutica trabajada (ver Anexo H). Los “grounded” reflejan el total de
frecuencias de cada código creado. Las relaciones conformadas vinieron a constituir
algunas “networks” o familias de códigos creadas (ver Anexo H), las cuales se
expondrán en los diagramas que se presentarán a continuación, de donde se han
extraído algunas de las conclusiones en este estudio, cuyos resultados iniciales
constituyeron las anotaciones o “memos” en el software (ver Anexo I).
Continuando con la descripción del procedimiento seguido para analizar las V en
esta investigación, se hicieron inicialmente, grabaciones de audio y video de lo que
expusieron los estudiantes, cuyas 8 transcripciones fueron asentadas textualmente y
“asignadas” cada una, como parte de los documentos del software utilizado. La otra
parte de los documentos “asignados” a este programa, estuvo conformada por las
diapositivas que constituyeron los diagramas V utilizados en cada una de las 8
exposiciones presentadas, de manera que se analizaron 32 ejercicios de diagramas V
de Gowin, 4 por cada uno de los 8 alumnos que conformaron la muestra. A partir de
estos (2) dos tipos de documentos incorporados al Atlas/ti, de extensiones jpeg y txt
respectivamente, se comenzó el análisis e interpretación de la información en las V de
Gowin.
121
Ejemplo de una de las interpretaciones y análisis de los diagramas V:
Para mostrarle al lector, un ejemplo de las interpretaciones y análisis realizados
por el docente investigador de las V de Gowin, se presenta el Gráfico 14, en cual
constituye un diagrama entregado por uno de los sujetos del estudio.
Gráfico14. Documento jpg que refleja un diagrama V de Gowin realizado por un sujeto de
estudio.
122
En cuanto a las dimensiones del pensamiento matemático que aborda el alumno en
este diseño V de Gowin se tiene:
Se consideró que el alumno trató el pensamiento geométrico porque presenta su
idea geométrica: él visualizó que no se puede encerrar el gráfico de f (siendo
xfy ), en un rectángulo abierto o ventana de espionaje alrededor del punto en
estudio. Es decir, el gráfico de f se sale de la ventana de espionaje de dimensiones
*2 y .*2
A su vez, el alumno utilizó en su diseño, un lenguaje geométrico como por ejemplo:
gráfica de f, ventana de espionaje, punto en estudio, franja de visualización
horizontal, vertical, vértices.
Luego, abordó el pensamiento numérico, ya que habló de valores en x cercanos al
punto en estudio y al referirse al término valores, se trató netamente de un lenguaje
numérico.
Finalmente, se afirma que regresó al pensamiento geométrico, ya que señaló a partir
del gráfico construido, que las imágenes de los x cerca del punto en estudio (en su
mayoría), sobresalían de la ventana creada.
En relación a las dificultades que presentó se sostiene que:
El docente investigador plantea la confusión que existió en el estudiante con
respecto a la ley de asignación de f y la función f. Para él pareciera lo mismo. No
obstante, la función viene definida por el conjunto de puntos yx, tal que xfy
y la ley de asignación generan las imágenes correspondientes para cada elemento x,
perteneciente al dominio de la función.
Sumado a la dificultad anterior, existió un manejo inapropiado del lenguaje por
parte del alumno, al considerar los segmentos 21VV y 43VV como las rectas
Ly y Ly respectivamente.
A su vez, en los límites laterales no utilizó la simbología adecuada para referirse al
comportamiento de la función por la derecha o por la izquierda de cero, lo se tradujo
en un mal manejo del lenguaje.
123
Por otra parte, existió un manejo inapropiado del lenguaje, ya que es errado decir
que la ventana de espionaje está construida por cuatro puntos: ,1V ,2V 3V y 4V y
además, estableció las coordenadas de estos puntos y señaló que eran los vértices de
la ventana de visualización; en este sentido, no hubo claridad en el estudiante, en lo
que respecta al significado de los puntos ,1V ,2V 3V y .4V
Se asume en este estudio que al hablar de una confusión de objetos matemáticos,
esta conlleva a la utilización de un manejo inadecuado del lenguaje.
A su vez, se refleja una dificultad didáctica, ya que el alumno debía en todo
momento correlacionar las partes constitutivas de la V. Por ejemplo, en el ala
metodológica utilizó la definición de límite y límites laterales, (aunque para esta
última definición no usó la notación correcta); sin embargo, ambas definiciones
estuvieron ausentes en el ala conceptual. Al contrario, el alumno escribió en el ala
conceptual el teorema de la existencia del límite, el cual no lo usó en su desarrollo del
ala metodológica.
En base a esto último, se considera que el docente debió trabajar con mayor
hincapié en la interrelación que debe existir entre las alas de la V, aunado a la
supervisión constante del diseño elaborado.
En cuanto a los procesos desarrollados estuvieron:
La argumentación, cuando explicó lo que haría para alcanzar las metas que se
propuso en las preguntas centrales, las cuales orientaron todo el proceso
metodológico seguido.
La visualización ya que, valga la redundancia, visualizó, representó y comunicó la
inexistencia del límite de f en un punto, a través de un gráfico.
La abstracción la alcanzó cuando formalizó las representaciones simbólicas sobre
las coordenadas de los vértices de la ventana de espionaje creada, los intervalos en el
eje x e y, las franjas de visualización y la definición de límites laterales.
Ejemplo de una de las interpretaciones y análisis del discurso oral al presentar
las V:
124
Se presenta al lector un ejemplo de una de las interpretaciones y análisis realizados
por el docente investigador al discurso oral emitido por uno de los casos informantes,
al disertar su diagrama V de Gowin.
El Gráfico 15 que a continuación se muestra, proviene de un documento txt,
asignado al Atlas/ti, el cual fue el software utilizado como instrumento para
categorizar, organizar, analizar y presentar conclusiones del discurso emitido por los
alumnos al disertar sus V de Gowin.
125
Gráfico 15. Documento txt. del discurso emitido al presentar un diagrama V de Gowin.
El discurso fue asignado al software como un documento textual, de extensión txt.,
donde inicialmente, se condicionó el documento según las exigencias de manejo de
126
uso del Atlas/ti, dividiendo en fragmentos o citas el texto a conveniencia del
investigador, de acuerdo a lo observado.
Se presenta a continuación una solución del ejercicio que consistió en determinar el
,2x
10x5x2xlim
23
2x
mediante el uso de los diagramas V de Gowin. Se muestra
por citas creadas una parte del discurso oral emitido por un alumno, al disertar su V
diseñada, acompañado con la respectiva interpretación que realizó el docente
investigador haciendo uso del Atlas/ti:
Cita 1.- “Efe de equis es la función racional es igual al límite, cuando equis tiende a
equis subcero. ¿Quién es equis subcero?. Menos dos:”.
Una vez realizado el análisis se obtuvo que, existe una dificultad cognitiva, porque
el alumno confundió objetos matemáticos diferentes, tal es el caso de: la función f con
el límite de ésta. A su vez, se presenta en este fragmento una dificultad
epistemológica, ya que existió por parte del alumno una incomprensión de la
definición de límite de una función en un punto y la definición de función, que es
previa a la anterior. El estudiante asumió la siguiente igualdad: xfxfx 2lim
, la
cual es incorrecta.
De esta cita construida en Atlas/ti, en cuanto a procesos cognitivos desarrollados, se
pudo interpretar que el alumno logró una abstracción, ya que transformó la
información relacionando los conocimientos previos y consecuentemente,
transfiriendo que f es una función racional; él realizó una inducción haciendo un
análisis de la función particular dada e identificando características generales de la
función racional.
A su vez, se pudo afirmar que las ideas desarrolladas por el estudiante en esta cita
pueden encasillarse dentro de un pensamiento algebraico, que obedece al lenguaje
utilizado por éste, ya que él visualizó a la función racional desde la estructura
algebraica que define la ley de asignación dada.
Cita 2: “Si valor absoluto de efe de equis, que es la función racional; menos el límite
es menor que epsilon, implica que valor absoluto de equis menos el menos dos, es
menor que delta”.
127
Aquí, se presenta una dificultad de tipo epistemológica, porque el alumno invirtió el
sentido de la proposición que define el límite de una función, cuando equis tiende al
valor en estudio; además, el estudiante omitió que epsilon es un número dado, mayor
que cero, y que delta es también un número positivo, pero se obtiene una vez fijado el
epsilon arbitrario. Esta dificultad es de tipo epistemológica, ya que para el aprendiz
qp es equivalente a ,pq es decir, no existió un buen manejo del conector
lógico implica, el cual está inmerso en la definición de límite.
A su vez, existió ausencia del manejo del cuantificador universal , y el
cuantificador existencial , lo cual debe ser un conocimiento previo a la hora de
abordar esta definición, ya que para la nueva asimilación-acomodación en el
aprendizaje de la definición de límite como una proposición, el alumno trabajó con
estructuras cognitivas erradas en cuanto a los operadores y conectores lógicos se
refieren.
En base a todo lo anterior, se sostiene que el alumno realizó una argumentación
incorrecta, ya que desarrolló un mal uso del lenguaje icónico, al cambiar la relación
entre la hipótesis y la tesis de la proposición de límite, además de, olvidar alguna de
las condiciones iniciales de esta definición formal.
En cuanto al pensamiento desarrollado, continúa el pensamiento algebraico, ya que
su argumentación se refirió al planteamiento de la proposición de la definición de
límite, incluyendo las relaciones de menor que que se establecen en ésta.
Cita 3: “Si equis subcero es igual a menos dos, entonces, menos por menos da más,
por medio de esto es que está acotada por definición. Por medio de esto acotamos a
equis menos dos para encontrar a epsilon”.
El alumno presentó un proceso de argumentación errado, ya que existió un manejo
inadecuado de objetos matemáticos, es decir, del lenguaje matemático utilizado.
Específicamente, para el alumno ,22 xx en general, lo cual es incorrecto. A su
vez, se visualizó una confusión de los roles de los cuantificadores en la definición, lo
cual generó una dificultad epistemológica. Es decir, en lugar de tener el epsilon como
dato del problema y el delta como número a conseguir, sucede en este caso que, para
128
el alumno: el delta es el dato del problema, mientras que el epsilon es su meta a
obtener.
Por otra parte, se pudo afirmar que el pensamiento que prevaleció fue el topológico,
al referirse al acotamiento de conjuntos.
Cita 4: “¿Cómo lo acotamos?. De la siguiente forma: Le damos a delta un valor, en
este caso yo le di el valor de uno. Entonces, tomamos a la función que está acotada
por definición que: el módulo de equis más dos es menor que uno”.
No existió claridad en la expresión a acotar, la cual debió ser:
9
2x
10x5x2x 23
. Esto representa un obstáculo epistemológico porque está
intrínseco en la compleja definición de límite.
Por otra parte, el estudiante continúa presentando la dificultad epistemológica
referida anteriormente de confundir, la expresión 2x con una función. En relación
al proceso cognitivo que desarrolló en este aprendizaje estuvo la argumentación, para
dar a conocer sus decisiones tomadas.
Similar que en la cita anterior, en este fragmento: „tomamos a la función que está
acotada por definición que: el módulo de equis más dos es menor que uno”. Aquí,
existió una dificultad epistemológica, ya que se visualiza una confusión de objetos
matemáticos diferentes, entre función y expresión algebraica. Para el alumno, ,2x
que se encuentra presente en la desigualdad, pareciera igual que .12 x
Cita 5: “Aplicando la definición de valor absoluto, nos queda que equis más dos está
variando entre menos uno y uno, ¿por qué yo hago esto?. Porque la intención que yo
tengo es que mi equis quede sola, para poder acotar a equis menos dos”.
En esta cita se presenta una dificultad cognitiva, ya que hubo falta de claridad en el
objetivo deseado: se necesitaba acotar a la expresión 2x y no a .2x
Por otra parte, el alumno logró la metacognición, porque se hizo conciente de dónde
quería llegar y cómo lo iba a alcanzar. Aunque estuvo errado el planteamiento
desarrolló un pensamiento estratégico. A su vez, el estudiante, reflejó un proceso de
129
abstracción, al aplicar las propiedades de las inecuaciones con valor absoluto,
obteniendo así el desarrollo de un pensamiento algebraico.
Cita 6: “ Entonces, ¿cómo lo hago?. Le doy un valor si equis está positivo a la
expresión de menos dos. ¿Cómo lo hago?. Menos uno, menos dos, da menos tres;
menor que equis sola, porque este más dos, menos dos, da cero y me queda equis
sola, menor que uno menos dos es igual a menos uno”.
El alumno planteó toda una ejecución algebraica, argumentando sus operaciones
algebraicas realizadas; sin embargo, se interpretó este desarrollo del pensamiento
algebraico como una dificultad cognitiva, por utilizar un lenguaje desprovisto de
significado matemático, ya que no describió una secuencia coherente del discurso
oral en el procedimiento seguido.
Cita 7: “Ya obtenida mi equis sola, que es esto, puedo acotar fácilmente mi menos
dos, que es lo que yo quiero. ¿Cómo lo hago?. Le resto menos dos a toda la expresión
quedándome así: Menos dos, menos tres, es igual a menos cinco, que es menor que
equis menos dos, donde esto no se puede restar porque son distintos. Equis menos dos
es menor que menos uno menos dos, que es igual a menos tres, pero menos tres es
menor que cinco”
Aquí, existe una dificultad epistemológica, ya que el alumno pareciera no tener
claro que se acota a un conjunto y no a un número. Las cotas se obtienen sobre
conjuntos dado una relación de orden. En este sentido, el estudiante pareciera que no
domina el conocimiento previo de cota de un conjunto. Sin embargo, él argumentó y
evaluó lo que iba a realizar. De manera que, se interpretó que el alumno tenía
planificado y bien definido el procedimiento algebraico que realizaría, lo que lo
conllevó a una supervisión de lo planificado, al calificarlo como fácil.
Cita 8: “Yo quiero un número mayor para que se me vea mejor la expresión. Nos
queda que: menos cinco es menor que equis, menos dos menor que cinco. Lo cual
implica que, valor absoluto de equis menos dos es menor que cinco”.
Se interpretó que existe una dificultad cognitiva, que consistió en el uso de un
lenguaje desprovisto de significado matemático. Decir que se quiere un número
mayor para que se vea mejor, estuvo fuera de orden, al hacer uso de un lenguaje
130
matemático. Sin embargo, con esta frase, el alumno evaluó al utilizar el calificativo
“mejor” en la expresión algebraica a obtener.
En este sentido, el estudiante debió argumentar esta situación algo parecido a buscar
un número menor que menos tres e igual en valor absoluto a cinco, es decir, este
número es menos cinco. Así, ,5235 x de tal modo que al usar la
transitividad de la relación menor que, concluyera que: .52 x
Realmente, el estudiante aparte de tener algunas fallas en argumentar su
procedimiento, alcanzó una abstracción, al utilizar la propiedad de transitividad en la
desigualdad con valor absoluto construida.
Para finalizar, en este análisis de texto, los casos donde aparecen las acciones de
explicar y soportar en inglés, estuvieron dispuestas desde el atlas/ti por el
investigador para referirse a las citas donde se estableció una correspondencia
biunívoca entre los dos documentos analizados para la resolución de cada ejercicio
planteado: uno constituido por el discurso oral de texto emitido por el estudiante y el
otro por discurso escrito, representado por las imágenes de la V de Gowin diseñadas
por él mismo. A su vez, a los efectos del programa Atlas/ti se aclara que, los códigos
creados vienen acompañados de unos números que se refieren a las líneas donde se
están desarrollando tales códigos.
De manera que, de todas las observaciones realizadas a los 32 trabajos V
entregados por los alumnos, se afirma en general que:
En el primer nivel de interpretación se ha verificado que los estudiantes hicieron
uso sistemático de la V como estrategia, además de internalizar su esquema de trabajo
o estructura. A su vez, se pudo observar a través de las V entregadas por ellos que se
apropiaron de esta metodología empleada, ya que desarrollaron según lo solicitado las
partes constitutivas de la V de Gowin. En sus trabajos, hicieron uso sistemático de los
elementos constitutivos de la V: el evento, el ala conceptual, el ala metodológica y las
preguntas centrales (ver Anexos J, K y L).
Además, en cuanto al orden de abordar las alas de los diagramas V, se puede
informar que los estudiantes que conformaron la muestra, una vez leído el ejercicio
131
propuesto, alternaron en general la secuencia seguida para desarrollar las partes
constitutivas de la V. No obstante, lo coincidente estuvo para el desarrollo del ala
metodológica, que siempre fue la última trabajada por todos los estudiantes.
Sumado a lo anterior, se pudo observar que los estudiantes explicaban y corregían
algunos errores que cometían, e interactuaban con los elementos que sugerían en cada
parte de la V.
Todas las acciones mencionadas anteriormente, fueron garantías de que los
estudiantes lograron un desarrollo en el pensamiento metacognitivo o estratégico, a
partir de los procesos de planificación, ejecución y supervisión que se ejecutaron, de
los cuales se puede ver evidencia de su existencia en los documentos analizados
desde el Atlas/ti (ver Anexos F, J, K y L).
El segundo nivel de interpretación considerado en este estudio consistió en
realizar un diagnóstico que abarcó los primeros juicios de valor del investigador en
las V, acerca de las debilidades y dificultades que manifestó el estudiante, alguna de
ellas ya detectadas desde los resultados del cuestionario; por ejemplo, las
epistemológicas. Las debilidades fueron detectadas y analizadas inicialmente,
utilizando “codificación abierta” y luego una “codificación axial”, según Corbin y
Strauss (2002), desde los documentos asignados al Atlas/ti. Es decir, se estudió cita
por cita, una vez creadas éstas, todos los obstáculos que se pudieron encontrar
aplicando codificación abierta (ver Anexo L), para luego categorizar cada dificultad
utilizando codificación axial, tal y como se muestran a continuación en el Gráfico 16
desde una familia posteriormente creada.
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133
El proceso de codificación para las dificultades se realizó de manera inductiva; es
decir, los códigos emergieron de la lectura y análisis del discurso presentado por los
alumnos. De manera que, se clasificaron como dificultades de origen epistemológico,
constituyendo la categoría dificultades epistemológicas, las siguientes acciones de los
estudiantes que formaron las siguientes subcategorías (ver Anexos F y L):
1. Manejo inapropiado del lenguaje utilizado, se evidenciaron cuando los
estudiantes no usaron correctamente los conceptos formalizados de acuerdo a
la teoría establecida.
2. Falsas Creencias: los estudiantes presentaron concepciones erradas acerca de
una definición, un concepto, una proposición, entre otras.
3. Debilidad en las argumentaciones, conceptos, proposiciones o preguntas
realizadas: ocurrieron cuando las explicaciones eran insuficientes, o no
estaban soportadas por el conocimiento formalmente estructurado.
4. Predominio inadecuado de un pensamiento distinto al que se estaba
desarrollando: Correspondieron a una debilidad que poseían los estudiantes
en relación al dominio del pensamiento, lenguaje o modalidad de
representación particular, en la cual se centraba, en ese momento, el ejercicio
propuesto. Se hizo énfasis, para la resolución de un ejercicio, en que los
estudiantes desarrollaran la actividad utilizando un lenguaje o modalidad de
representación cónsono con una dimensión particular del pensamiento
matemático, vinculado a la definición de límite de funciones: la numérica, la
geométrica, la topológica o la algebraica.
5. Incomprensión de la definición o teoremas utilizados: Se presentaron
cuando los estudiantes mostraban incongruencias o inconsistencias en relación
al contenido matemático que encerraba la definición o los teoremas que
utilizaron.
La categoría dificultades cognitivas, se evidenció cuando el estudiante (ver
Anexos F y L):
1. Hacía uso de ideas desprovistas de significado matemático: Estas
dificultades se manifestaban cuando las relaciones entre conceptos no estaban
134
claras, o simplemente, cuando las relaciones establecidas en el discurso
utilizado no eran adecuadas ya que carecían de sentido. Es decir, los alumnos
utilizaron una terminología inexistente en matemática, evocando un lenguaje
descontextualizado no formalizado en las relaciones entre conceptos
establecidas, en lugar de desarrollar un lenguaje técnico o formal.
2. Confundía objetos matemáticos: Ésta era evidente cuando el alumno no
diferenciaba objetos matemáticos distintos, ya que alternaba incorrectamente
en su discurso conceptos matemáticos diferentes.
3. Hacía uso indiscriminado de las acciones que involucraban los procesos
matemáticos: Éstas se presentaron cuando los alumnos hacían caso omiso en
diferenciar las acciones o verbos, en relación a los procesos matemáticos en
uso para la ejecución de una actividad propuesta.
Para finalizar, las dificultades didácticas detectadas y conformadas en
subcategorías fueron las siguientes (ver Anexos F y L):
1. Las insuficiencias de recursos: En éstas el investigador consideró que faltó
material bibliográfico disponible para los alumnos sobre el límite de funciones
reales de una variable real. Sobre todo esta carencia se dio para el abordaje del
lenguaje topológico en el proceso de búsqueda para el alcance de un
desarrollo en el pensamiento topológico. Este descuido por parte del docente
investigador “pesó”, ya que se hizo a partir de esta investigación una genuina
introducción del pensamiento topológico que, usualmente, no se trabaja.
2. La falta de explicación exhaustiva: Pudo generar una posible debilidad,
acerca de la funcionalidad y la relación que debió existir entre las partes
constitutivas de los diagramas V trabajados, de tal manera que los alumnos le
sacaran mayor provecho a la estrategia metacognitiva utilizada.
3. La falta de tiempo: Se estimó como la necesidad de un mayor tiempo de
ejecución para lograr una mejor apropiación en los alumnos, tanto de la
estrategia utilizada como del contenido matemático desarrollado.
A continuación, se describen, explícitamente, en qué consistieron algunas
dificultades:
135
Dentro de las dificultades cognitivas, cabe destacar aquellas manifestadas por los
estudiantes que estuvieron vinculadas con el uso de las relaciones entre conceptos.
Tal es el caso, por ejemplo, de las generalizaciones desmesuradas que se dieron
cuando los estudiantes tenían poco conocimiento de una realidad particular válida y
suponían que había una realidad general válida a partir de ese caso particular.
Específicamente, se presentó el caso, donde los estudiantes consideraron que si en
una función racional se factoriza el denominador y el numerador y éste se simplifica,
entonces la indeterminación desaparece y el límite existe por la evaluación de la
nueva expresión.
A partir de aquí, se genera una dificultad epistemológica, donde se establece que
los estudiantes poseen una concepción errada del concepto de funciones equivalentes,
ya que los estudiantes al trabajar con función racional y realizar factorizaciones y
simplificaciones, es decir, operar algebraicamente, en estricto rigor matemático,
entonces, se está modificando es la regla de correspondencia que define a la función,
la cual queda definida dentro de su mismo dominio y rango, de manera que no se
cambia la función, ni su límite en un punto tal y como es visto por los estudiantes.
Sumado a lo anterior, otra de las dificultades cognitivas relevantes en este estudio se
trató de que los estudiantes no tienen conocimientos previos sobre el uso de los
cuantificadores, el del condicional y el álgebra de desigualdades, razón por la cual se
les hace difícil la definición de límite.
En cuanto a las dificultades de tipo epistemológico, fueron las que se dieron con
mayor frecuencia (ver Anexos F y H). Esto corrobora que la enseñanza de la
definición de límite no puede sustraerse del análisis epistemológico, y en
consecuencia, la didáctica debe estudiar los obstáculos subyacentes a la naturaleza de
las definiciones que se abordan y debe proponer estrategias para superar dichos
obstáculos.
Particularmente, un obstáculo presentado por los alumnos, que tuvo que ver con
las dificultades de carácter epistemológico, es el caso, por ejemplo de la definición de
límite, la cual es una definición lógicamente establecida en términos de un
condicional: “p implica q”. Entonces, un error común en los estudiantes, consistió en
136
que ellos consideraron que “q implica p” es equivalente a “p implica q”. Es decir,
ambas proposiciones son lógicamente equivalentes, lo cual es incorrecto.
El error lógico más grave de los estudiantes, cuando necesitaron probar que una
función no tenía límite en un punto fue la utilización inadecuada de la negación del
condicional: qpqp como qp .
Otra dificultad epistemológica, inherente al concepto de límite es la cantidad y
secuencia de los cuantificadores que aparecen en la definición formal: 0 ,
0 , tal que Domfx si: Lxfxx 0 . Esta secuencia no
puede ser eliminada o cambiada de orden, lo cual fue un error en que incurrieron los
estudiantes. Alguno de ellos, cambiaron arbitrariamente, el por un y/o
viceversa. Esta situación condujo a reflexionar sobre dos posibles causas: Una
representada por el hecho de que los estudiantes no estaban conscientes del verdadero
significado de cada cuantificador: el cuantificador universal, tal es el caso del x ,
en el dominio de f y el caso del cuantificador existencial, , el cual es el que
realmente se debe construir. Y la otra causa pudiera estar representada por la
confusión de los roles que le corresponden en la definición a (dato del problema) y
(meta a conseguir).
A su vez, dentro de las debilidades observadas en Matemática I, del proyecto de
carrera de Ingeniería Industrial en la UNEG, se conjetura que hay un mundo no
aplicado y explotado: el topológico. La ausencia del pensamiento topológico en la
enseñanza del límite de funciones por parte de los docentes, tiene su origen en que no
se trabaja este pensamiento en el diseño curricular o programa de Matemática I, ni en
los textos que se usan habitualmente en la biblioteca de la UNEG y, eventualmente,
podría obedecer a un prejuicio que, posiblemente, se deriva del nivel de dificultad del
lenguaje a desarrollar.
137
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138
A continuación se presentarán los códigos que se establecieron desde los procesos
matemáticos que se evidenciaron e interpretaron (ver Anexo J), tomando en cuenta
las ideas de Cantoral y cols. (2000); de esta manera se sostiene que se dio un proceso
deductivo, una codificación axial, ya que estos códigos fueron generados de acuerdo
al trabajo conceptual previo realizado al abordar el cuadro de factores y dimensiones
(ver Anexo B):
1. La Visualización: ésta se percibió cuando los alumnos reflejaron,
representaron, transformaron, generaron y en definitiva, comunicaron información
visual en las V. Particularmente, se dio cuando los estudiantes ilustraban,
identificaban y caracterizaban situaciones sobre límites desde la dimensión
geométrica. La visualización fue concebida en esta investigación, como el proceso
más general que abarcó los restantes procesos.
2. La Argumentación: se evidenció cuando los estudiantes daban un conjunto de
razonamientos y explicaciones que sustentaban su trabajo dentro de los diseños V,
bien fuese, para apoyar o negar una proposición abordada por ellos, de tal modo de
reproducir un conocimiento adquirido. En este proceso, el alumno debía aplicar el
rigor de la lógica para inferir unos conocimientos a partir de otros, bien sea por
deducción, inducción o extrapolación.
3. El Razonamiento Bajo Hipótesis: se obtuvo cuando los alumnos reflejaban en
sus diseños, que utilizaban cierto teorema o proposición en base a los principios
lógicos, para presuponer, inferir, deducir, construir y adquirir sus conceptos y/o
definiciones en torno al límite de funciones. En este sentido, las eventuales
implicaciones realizadas por los alumnos en sus diagramas V, les proporcionaron los
elementos técnicos del diseño y los condujeron al razonamiento deductivo e
inductivo. En la búsqueda del alcance de estos razonamientos, el investigador siempre
trató de que sus alumnos se movieran en el marco axiomático riguroso y formal de la
matemática. Para ello, propuso ejercicios sobre límite de funciones, para ser resueltos
mediante demostraciones por reducción al absurdo de manera inductiva y deductiva.
139
4. La Abstracción: se alcanzó desde el análisis, formalización y argumentación
de las representaciones simbólicas, las cuales desarrolló el aprendiz cuando realizaba
los ejercicios sobre límites en sus diagramas V. Estas argumentaciones reflejaron el
dominio del lenguaje alcanzado y la generación de diseños realizados. A su vez, la
abstracción lograda por los alumnos, se manifestó a partir del dominio del lenguaje
que se percibió, cuando éstos ejecutaban cambios de representación de la definición
de límite, bajo las distintas dimensiones del pensamiento matemático.
Los procesos y tipos de pensamiento matemático antes descritos, se
interrelacionan e incluso se contienen unos a otros en ocasiones; es decir, en la
medida en que el alumno iba alcanzando procesos y desarrollando tipos de
pensamiento matemático, esta red de procesos y dimensiones del pensamiento,
interactuaban durante la construcción de los diseños elaborados (ver Anexos F, J y
K).
En base a la consideración anterior, se invita a la comunidad docente a
reflexionar sobre la estructura del pensamiento matemático, sus dimensiones y
procesos asociados al desarrollar conocimientos matemáticos.
Por otra parte, se afirma que los diseños que se ejercitan desde el desarrollo
del pensamiento estratégico o metacognitivo, no son un proceso aislado, ni para los
tipos de pensamiento desarrollado, ni para los procesos matemáticos estudiados, ni
mucho menos para los procesos generales de: planificación, ejecución, supervisión,
apropiación de la V de Gowin y aplicación de la misma, considerados en esta
investigación. En este orden de ideas, se presentan los Gráficos 18 y 19 elaborados
desde el Atlas/ti:
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142
Particularmente, para los efectos de este estudio el enfoque en didáctica de las
matemáticas que se asumió es el que aborda el pensamiento matemático avanzado,
según Dreyfus (1990, 1991) y Tall, (1994),citado por Espinoza y Azcárate (2000), y
Cantoral y cols. (2000):
El pensamiento matemático, se entendió como las formas posibles que
manifestaron los alumnos para expresar o comunicar ideas matemáticas en torno a la
definición del límite de una función real de una variable real. El pensamiento
matemático que se vinculó al tema de límite de funciones, involucró los
pensamientos de tipo: numérico, geométrico, topológico y algebraico, entendido cada
uno de la manera siguiente:
1. El Pensamiento Numérico, comprendió como actividad central, el estudio de
tablas creadas de valores, donde se tomó valores de 0x cercanos al punto en estudio,
tanto por defecto como por exceso de 0x y se evaluó la función en estos valores.
El análisis para determinar si el límite de f existía o no en 0x , consistió en
visualizar el comportamiento de la función alrededor del punto en estudio. Es decir,
se comparó si las imágenes obtenidas al evaluar f para las x muy próximas al punto
en estudio, tendían a un valor específico. Si este comportamiento de las )(xf se
mantenía, tanto por defecto como por exceso con respecto a 0x , esto permitía
conjeturar que el límite de f en 0x existía. En caso contrario, eso hacía suponer la
no existencia del límite de f en 0x (ver Anexo K).
2. El desarrollo del Pensamiento Algebraico, comprendió como actividad
central, el utilizar y transformar el lenguaje algebraico que incluía los teoremas del
álgebra de límites y la definición formal de límite de funciones reales de variable real
(ver Gráfico 15 y Anexos F y K).
3. El desarrollo del Pensamiento Geométrico (ver Gráfico 14 y Anexos F y K),
comprendió como actividad central, la graficación de la función f y a partir de allí
estudiar si se podía encerrar o encapsular la gráfica de f alrededor de 0x en un
rectángulo abierto, que se llamó ventana de visualización o de espionaje 4321 VVVV ,
143
cuyos vértices fueron de coordenadas LxV ,01 , LxV ,02 ,
LxV ,03 y LxV ,04 .
Inicialmente, se supuso que el límite L de f en 0x existía. Así se tomó un
0 , para construir el intervalo LL , sobre el eje ,y para todo y , el cual
generó la franja de visualización horizontal, que constituyó el alto de la ventana de
espionaje. En este enfoque, el problema consistió en diseñar una franja vertical de
centro 0x y ancho *2 que al interceptarse con la franja horizontal generará una
ventana de espionaje, según la cual se observó una zona de la gráfica de f cercana a
L,x0 , donde la gráfica de f no pudiera escaparse por los bordes de dicha ventana.
De manera que, si Lxflim0xx
existía, entonces esta nueva franja vertical, vista
desde el eje x , con 00 x,xx tenía que encerrar todos los puntos de la
gráfica de f cercanos a L,x0 , dentro de la ventana de espionaje 4321 VVVV .
Así mismo, la negación de esta proposición fue igualmente válida. Es decir,
cuando no se podía encerrar la gráfica de f en una ventana de visualización 4321 VVVV
alrededor de L,x0 , el xflim0xx
no existía. Específicamente, cuando el xflim0xx
no existía, para una cierta altura *2 , existía un ancho *2 , para el cual no se
podía encapsular f en la ventana creada de centro 00 xf,x .
4. A partir del desarrollo del Pensamiento Topológico en esta investigación, se
pudo visualizar que si el Lxflim0xx
existe, entonces f iba a estar acotada en
alguna vecindad alrededor de 0x : 0xV . Aquí, se determinó, además, que el
recíproco de este teorema no necesariamente es cierto.
Aunado a lo anterior, al abordar el pensamiento topológico, se estudió el concepto
de límite de una función en un punto de acumulación de su dominio 0x , si el
Lxflim0xx
existe, con 0xVx y LVy , entonces L es un punto adherente
144
o de clausura del rango de la función ,f llamado también el conjunto I formado por
las imágenes de f de acuerdo a la relación dada (ver Gráfico 15 y Anexo K).
A continuación se presenta el Gráfico 20 que incluye afirmaciones sobre algunos
aportes en cuanto a procesos avanzados y pensamientos matemáticos alcanzados,
consecuencia inmediata de la implementación de los diagramas V:
145
Gráfico 20 . Diagrama elaborado desde el Atlas/ti, que incluye los aportes de los diagramas V de
Gowin a la investigación
146
El uso de los Diagramas V de Gowin permitió en esta investigación que los
alumnos alcanzaran los procesos de apropiación de la estrategia y aplicación de la
misma. Como garantía de logro de estos procesos los alumnos:
1. Planificaron ya que buscaron, identificaron, seleccionaron y escribieron la
teoría que requerían para desarrollar el problema planteado.
2. Nuevamente planificaron y ejecutaron al analizar las preguntas previas que
orientaron el proceso de búsqueda de la solución al ejercicio planteado.
3. Ejecutaron y supervisaron el proceso de obtención de la meta.
4. Obtuvieron, mediante la supervisión, precisión en los eventos del enunciado
inicial del problema.
5. Obtuvieron, mediante la ejecución del diseño que realizaron, evidencias de las
dificultades matemáticas presentadas por ellos y de los procesos que desarrollaron
éstos.
6. Se orientaron con las preguntas centrales, reiteradamente, en todo el proceso de
diseño elaborado para conseguir la resolución de los ejercicios planteados.
7. Lograron la supervisión de lo desarrollado en cada parte constitutiva de la V:
Al desarrollar el ala metodológica verificaban, en ciertas ocasiones, los conceptos y
relaciones incluidas en ésta; para construir las preguntas consideraban la información
que les proporcionaba el evento. Además, los alumnos verificaban si en el ala
metodológica se lograban las metas y submetas que se proponían en las preguntas
centrales.
8. Y por supuesto, alcanzaron el proceso de metacognición desde las evaluaciones
y supervisiones que realizaron antes de obtener su diseño final en los diagramas V de
Gowin que expusieron.
En definitiva, la implementación de la estrategia V de Gowin permitió que los
estudiantes manejaran la técnica, entregando al investigador problemas de límites
resueltos mediante la V, bajo distintas modalidades de representación, lo que abrió
paso al proceso de explorar la estructura del pensamiento matemático desarrollado
por los estudiantes: sus procesos matemáticos, dimensiones del pensamiento y
dificultades que obstaculizan el aprendizaje del límite (ver Anexos J, K y L). Además
147
el uso de la V, sirvió como ejercicio para estimular el pensamiento estratégico y el
aprendizaje procedimental, del docente investigador y de sus alumnos.
Al contrastar los resultados del cuestionario con los desarrollos de los diseños
presentados y expuestos en las V de Gowin por cada estudiante de la muestra, se
pudo verificar que ellos, habían sobreestimado el nivel de logro de las actividades
propuestas en el cuestionario en cada uno de los pensamientos abordados: el
topológico, el algebraico, el geométrico y el numérico. Sin embargo, las opiniones
emitidas por los docentes en el cuestionario, en cuanto al nivel de logro del
pensamiento matemático en sus dimensiones, se ven ratificadas de acuerdo a los
resultados de las V de Gowin que realizaron los estudiantes.
Por otra parte, dentro de las interrogantes que surgen en este estudio y quedan
abiertas para futuras investigaciones, están:
1. ¿Habrá conciencia en el estudiante, cuando se mueven de un pensamiento a
otro en el mundo de referencia determinado por el evento inicial en el diseño de una
V de Gowin?
2. ¿La V de Gowin es aplicable en otras asignaturas del pénsum de estudio de este
proyecto de carrera?
3. ¿Cuáles son las concepciones de los docentes de Matemáticas en relación a la
utilidad de la estrategia metacognoscitiva V de Gowin, en pro del desarrollo de los
diversos pensamientos matemáticos?
4. ¿Cómo podría ser el uso de V de Gowin, como instrumento de evaluación?.
5. ¿Cómo podría abordarse el diseño de materiales, usando la V de Gowin como
estrategia didáctica y/o de investigación?.
148
Triangulación
En todas las fases de la investigación se dio especial importancia a la
triangulación de datos y de técnicas, como procedimientos para analizar, comparar y
complementar resultados, contribuyendo a garantizar la validez del estudio.
Las técnicas en las cuales se apoyó la triangulación fueron: las entrevistas
informales que se realizaron, inicialmente, a algunos de los docentes de Matemática I
(ver Anexo C); los cuestionarios aplicados, tanto a los estudiantes sujetos de estudio
como a los informantes claves que fueron los docentes de Matemática I de la UNEG
durante el período de aplicación de la investigación; los registros grabados de audio y
video y el análisis en Atlas/ti de los diagramas V de Gowin entregados por los
estudiantes, conjuntamente con el análisis de sus respectivos discursos orales
emitidos al exponer estos diagramas (ver Gráficos 14 y 15, conjuntamente con
Anexos F, J, K y L).
Finalmente se pudo observar, al comparar los resultados obtenidos desde las
distintas fuentes de información y técnicas aplicadas, que ellos son altamente
coherentes.
Validación de los Resultados y Confiabilidad en el Estudio
Como ya se mencionó en el Capítulo III, la validez y la confiabilidad son factores
importantes en cualquier estudio, particularmente en una investigación cualitativa en
la cual las unidades de análisis son personas cuyas acciones influyen y se ven
afectadas por el contexto natural de los acontecimientos.
En este sentido, es posible afirmar que esta investigación tiene validez interna,
basándose en lo que sostiene Martínez (1999); además de poseer fiabilidad
considerando las ideas de Evertson y Green 1989, citado por Páez (2001), por las
siguientes razones: (a) cada uno de los instrumentos que se usaron en el estudio
fueron definidos con precisión y con mucha antelación a su implementación; (b) los
resultados obtenidos de la realidad del contexto son congruentes con la descripción e
interpretación de la realidad observada, en base a la percepción y opinión de los
149
sujetos de estudio y los docentes consultados; (c) las conclusiones se apoyaron en
información obtenida por triangulación a partir de las interpretaciones de la
información recolectada, desde las transcripciones de las audio y video grabaciones,
los análisis realizados desde el Atlas/ti de los distintos diagramas V reportados, en
contraste con los cuestionarios aplicados a los docentes y estudiantes protagonistas;
(d) las comparaciones fueron sistemáticas, usando cuando correspondía la estadística
descriptiva para el análisis de la información recolectada desde los instrumentos
aplicados; (e) se confirmaron algunos resultados obtenidos en la investigación desde
la opinión de: los docentes y estudiantes, el docente investigador y los docentes
consultados; (f) la muestra fue seleccionada intencionalmente; (g) los datos fueron
obtenidos durante varios semestres consecutivos; (h) los instrumentos fueron
validados por diferentes expertos; e (i) los diagramas V, o materiales didácticos
elaborados por el docente investigador fueron revisados y analizados por otros pares
o docentes especialistas al igual que los registros de audio y video tomados.
En cuanto a la validez interna y la de constructo, también se tomaron las
precauciones necesarias para garantizarlas en grado considerable, y en particular, se
tuvo especial cuidado en: (a) seleccionar la población al azar; (b) buscar y escuchar
las opiniones de otros investigadores sobre la enseñanza y el aprendizaje de la
definición de límite, en cuanto al material didáctico entregado, al cuestionario
aplicado y finalmente en la implementación, desarrollo y uso de la estrategia V de
Gowin utilizada; (c) no se introdujeron elementos excepcionales en el escenario
natural del aula de clases; y (d) el uso de constructos que son aplicables en cualquier
contexto académico de condiciones similares y a la luz de los cuales no se reportaron
disparidades.
Para lograr la confiabilidad interna se tomaron en cuenta: el uso de registros
concretos (las V de Gowin elaboradas por los estudiantes, y las exposiciones de las
mismas en grabaciones de audio y video); (b) las opiniones de otros expertos en
cuanto al uso de los diagramas V.
Finalmente, se estima haber alcanzado la confiabilidad externa, apoyándose en los
siguientes factores: (a) los datos utilizados fueron recogidos cuidadosamente ya que,
150
entre otras razones, se cuidó entre expertos de la rigurosidad en la observación e
interpretación de las grabaciones de video de que se disponían y en las
transcripciones de las audio grabaciones recolectadas, (b) las dimensiones y factores
de la investigación fueron definidos con precisión y usando el juicio de expertos, lo
cual puede ser de utilidad a otros investigadores para realizar trabajos similares, y (c)
se hizo un esfuerzo por asegurar que los métodos de recolección de datos y técnicas
de análisis para la triangulación fueran precisos y exhaustivos.
En resumen, se utilizaron las siguientes técnicas:
151
CAPÍTULO V
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
En este capítulo se desarrolla la última etapa de la investigación, de acuerdo al
procedimento gereral establecido, y tiene como propósito: (a) presentar resultados
globales y conclusiones, y (b) sugerir algunas recomendaciones.
El pensamiento matemático asociado a la definición de límite de funciones reales de
una variable real, se estudió bajo las dimensiones numérica, geométrica, topológica y
algebraica.
A) Con respecto al pensamiento numérico, los alumnos observaron el
comportamiento de la función ,f a través de los valores de “ y ” de acuerdo a la relación
dada, cuando se asignaban valores de x cercanos al punto en estudio, bien sea por
exceso o defecto, para calcular sus xf correspondientes. Así se construyeron dos
tablas de valores, de tal modo de estudiar si los valores de “ y ” tendían a un valor
específico, e inferir la existencia del límite con su respectivo valor óptimo, o su posible
inexistencia analizando su causa de origen.
Adicionalmente, los estudiantes aplicaron los teoremas de límites unilaterales y
límites en el infinito. A su vez, ellos planificaron, ejecutaron y supervisaron todo el
proceso de diseño que desarrollaron en las V de Gowin, al considerar en el logro de la
tarea propuesta o meta sus posibles fallas y/o aciertos, haciéndose conscientes críticos de
su trabajo realizado. De esta forma, se afirma que los estudiantes aplicaron y se
apropiaron de la V como estrategia metacognitiva utilizada.
Del trabajo realizado es posible concluir que:
152
1. Los estudiantes alcanzaron un buen nivel de desarrollo del pensamiento numérico,
obteniendo ideas concretas y correctas, expresadas en un lenguaje coherente como puede
leerse en sus diseños V de Gowin a pesar de que en el cuestionario aplicado, ellos
ubicaron el pensamiento numérico en el nivel más bajo de logro alcanzado.
2. Los docentes manifestaron que este tipo de pensamiento se explica habitualmente
en clases y no es tan fácil de alcanzar por los estudiantes.
Tomando en cuenta estos resultados, se sugiere a los docentes de Matemática I
profundizar en el desarrollo del pensamiento numérico en la enseñanza del límite de
funciones, ya que este pensamiento incluye operaciones aritméticas que los alumnos
dominan desde los inicios de su escolaridad, lo que conlleva a mejorar la comprensión de
la idea de aproximación, inmersa en la definición de límite.
B) En la dimensión pensamiento geométrico los estudiantes realizaron, inicialmente,
la representación gráfica de la función f dada, visualizando si f se podía encerrar en
una ventana alrededor del punto L,x0 , la cual variaba dependiendo de la altura 2 .
Aquí llegaron a concluir, que si el límite de f existe en el punto en estudio, entonces
dado cualquiera altura 2 , siempre es posible encontrar un ancho ,2 donde el
gráfico de f puede encerrarse en la “ventana de espionaje” con estas dimensiones. En
el caso de la no existencia del límite, ellos se dieron cuenta que existía un alto fijo, para
el cual no se podía encontrar un ancho de la ventana, donde se encerrara el gráfico de la
función f alrededor del punto en estudio. Cabe destacar que los alumnos en general,
visualizaron y comprendieron que aunque la función f dada no estaba definida en el
punto en estudio, el límite de f , cuando los valores de x tendían a ese punto, podía
existir.
Con respecto al pensamiento geométrico se concluye que:
1. Los alumnos usaron de manera eficiente y con alta frecuencia las ideas del
pensamiento geométrico en la solución de los ejercicios propuestos sobre límites, tal y
como puede observarse en las V.
2. El resultado anterior obtenido en base a la aplicación de las V confirma las
creencias que sostienen los estudiantes desde el cuestionario, en cuanto a su alto nivel de
153
logro sobre este pensamiento y ratifica las ideas de Alson (2000), quien sostiene que los
estudiantes, independientemente del hecho de que ellos dominen o no conceptos
geométricos, este tipo de pensamiento les resulta más fácil de evocar por estar más
cercano al mundo de las percepciones, de la realidad.
3. Los docentes consultados consideraron que el pensamiento geométrico,
habitualmente, no se explica en el aula de clases, por su nivel de “no aplicabilidad” (ver
Cuadro 10), pero es de fácil logro por los estudiantes. La investigación confirma esta
apreciación de los docentes a partir del cuestionario. En base a estos resultados, se
recomienda, desde los inicios del estudio del límite de funciones, apoyarse en el
pensamiento geométrico.
C) Usando las ideas del pensamiento topológico, los estudiantes crearon y
visualizaron vecindades con centros, tanto en el punto en estudio como con el valor del
límite cuando existía. Luego, ellos constataron la existencia del límite de f en el punto
en estudio, demostrando la siguiente proposición: dado un positivo, siempre existía un
positivo, tal que para toda x perteneciente a la vecindad de centro 0x (el punto en
estudio en el eje x), sus xf pertenecían a la vecindad con centro en el límite. Ahora,
cuando el límite no existía en un punto indicado, ellos procedieron a demostrar que la
supuesta existencia conducía a contradicciones.
Además, durante el desarrollo del pensamiento topológico, los estudiantes
visualizaron y argumentaron la existencia del límite de f , usando el concepto de punto
de adherencia del conjunto ,I formado por todas las imágenes de f en la vecindad de
centro el límite L , vecindad que resulta del estudio de la transformación por f de una
vecindad alrededor de .0x
En relación al pensamiento topológico puede concluirse que:
1. Pese a que el pensamiento topológico está ausente en los textos usuales, los
estudiantes visualizaron (tanto en las V como en el cuestionario) la definición de límites
desde esta dimensión, lo cual constituye uno de los grandes aportes de la presente
investigación.
154
2. Los alumnos no sólo aprendieron a calcular límites, además aprendieron a pensar
en términos de optimizar asociada a una topología métrica, al manejar la idea del valor
óptimo, hecho que ha sido reportado por Blázquez y Ortega (2001).
3. El pensamiento topológico no emerge o no se presentó de manera “pura” o
“aislada” de los restantes pensamientos, ya que los estudiantes cuando desarrollaban el
pensamiento topológico en sus diseños V, éstos se apoyaban mucho en las restantes
dimensiones: algebraica, numérica y geométrica, lo cual se explica por su falta de
experiencia en esta dimensión, hecho que fue ratificado por los profesores en el
cuestionario.
4. Los estudiantes no rechazaron el pensamiento topológico como un nuevo
aprendizaje, pues lo usaron de manera recurrente, pero, como era previsible, no
alcanzaron niveles de eficiencia aceptables. Sin embargo, es posible afirmar que se dió
en los estudiantes el nacimiento de la idea topológica de límite, lo cual facilitó la
comprensión de la definición, al hacer uso de la idea de aproximación implícita en la
topología de la recta real.
5. La dimensión pensamiento topológico está ausente en la enseñanza tradicional del
concepto de límite, pero ello puede surgir de un prejuicio asociado al nivel de dificultad
del lenguaje necesario para estructurar este contenido; tal vez si se determinara que esta
fuera la causa a partir de otro estudio, debería erradicarse este prejuicio, para conseguir
un posible mejor desarrollo de la idea de aproximación, imprescindible en el concepto de
optimización.
En este sentido, se suguiere que la idea de aproximación, vinculada con el límite de
funciones, se utilice para trabajar el proceso de optimización desde los primeros niveles
de formación del estudiante de Ingeniería Industrial.
D) En la dimensión pensamiento algebraico, los alumnos calcularon límites de
funciones, usando el álgebra de límites o buscando funciones equivalentes a la función
inicial. La no existencia del límite se demostró usando el estudio de límites laterales, el
acotamiento de una función cuando ella tenía límite en un punto o el método de
demostración indirecta.
155
Con respecto a la dimensión pensamiento algebraico se concluye que:
1. Esta dimensión siempre fue enfocada de manera aislada; de manera que el
estudiante no se apoyó en las restantes dimensiones al desarrollar la algebraica, tal y
como se observa en los diseños V (ver Anexo K). Este hecho podría explicarse tal vez
por la cotidianidad de uso del lenguaje algebraico en los libros que se usan comúnmente
en la UNEG. Esto también, posiblemente, redunda en la calidad de las respuestas
desarrolladas por los estudiantes en sus diagramas V, pues ellas superan la calidad de las
respuestas en las demás dimensiones del pensamiento.
2. En este estudio se concibe el concepto de límite como epistemológicamente es, en
otras palabras, perteneciente al mundo de las aproximaciones y no al mundo de la
linealidad, visualizándolo desde la topología métrica. La investigación demuestra que
esta manera es más eficiente para visualizar el concepto de límite de funciones, como
puede apreciarse en las V de Gowin realizadas por los estudiantes.
Como conclusión general, según los reportes de los estudiantes mediante sus V de
Gowin, puede decirse que ellos visualizaron el concepto de límite de una función desde
las cuatro dimensiones del pensamiento matemático, lo que significa que el objetivo
general de la investigación fue alcanzado por el investigador, a partir de la descripción
del trabajo realizado por los alumnos.
En este sentido, se recomienda a los docentes de matemática, hacer hincapié en el
proceso de enseñanza y aprendizaje del cálculo, el álgebra y la geometría, en todas las
posibles modalidades de representación de cada definición básica, de tal forma de
ampliar en los alumnos su lenguaje matemático y posiblemente facilitar la comprensión
de muchos conceptos claves del programa de enseñanza.
Por otra parte, en este estudio se observaron los procesos que evidenciaron las
acciones que caracterizaron cada pensamiento matemático desarrollado en las V. La
secuencia de estos procesos fue la siguiente (en orden decreciente y tomando en cuenta
los resultados reflejados en el Atlas/ti): la abstracción, la argumentación, la visualización
y finalmente, el razonamiento bajo hipótesis (ver Anexo H).
Así, el proceso de mayor frecuencia alcanzado por los alumnos fue la abstracción,
esto se percibió desde la frecuencia de los códigos que contabilizó el Atlas/ti; aunque la
156
visión de los docentes en el cuestionario fue distinta, ya que ellos clasificaron este
proceso de muy bajo a medio, en relación al nivel de logro alcanzado por los alumnos.
Sin embargo, el razonamiento bajo hipótesis, visto como un proceso avanzado del
pensamiento matemático, fue concebido de difícil alcance para los alumnos (ver Cuadro
11), lo cual se reafirma con el análisis de sus diseños V (ver Anexo H).
De lo anterior puede recomendarse a los docentes que en su labor educativa cotidiana
propicien el desarrollo de procesos matemáticos avanzados, para el logro de un
pensamiento matemático en sus alumnos.
Las dificultades epistemológicas consistieron, a grandes rasgos, en:
1. El proceso de levantar algunas indeterminaciones cuando se calculan límites de
funciones se concibe en este estudio, como el cambio que debe realizarse de la función
inicial por una función equivalente. Sin embargo, los estudiantes generalizaron este
proceso matemático a seguir, pensando sólo en aplicar un proceso algebraico, donde
siempre es posible conseguir eliminar la indeterminación y por ende encontrar el límite,
lo cual no siempre es cierto. De manera que, se confirman las ideas de Páez (2001),
quien afirma que los estudiantes piensan que el límite siempre debe existir y que sólo
necesitan encontrar el método apropiado, lo cual es una falsa creencia.
2. Los estudiantes no distinguen en el estudio lo que es “local” de lo que es “global”,
lo que representó una incomprensión de las definiciones utilizadas. Por ejemplo, para
lo “local”, no especifican en los procesos de calcular el límite y/o acotar la función que
sea en una vecindad alrededor del punto en estudio. Es decir, ellos generalizan que estos
procesos de dan, similarmente, para toda x perteneciente al conjunto de los números
reales. En cuanto a lo “global”, se ejemplifica con el hecho de que algunos alumnos
consideraron el epsilon arbitrario, en una demostración de existencia del límite de una
función en un punto, como un valor único. Específicamente, tanto en la representación
gráfica de la situación problema, como en la demostración algebraica de la misma, el
epsilon siempre valía uno.
3. Los alumnos manejan de manera inapropiada el lenguaje lógico, por ejemplo,
invierten el sentido de la definición formal de límite. Es decir, p implica q , lo
transforman en q implica p , lo cual es falso. Otro caso de manejo inapropiado del
157
lenguaje lógico utilizado, estuvo representado por el hecho de generalizar que para todas
las x cercanas al punto en estudio, sus xf se salen de la ventana de espionaje. Esto no
necesariamente es cierto para todas las x cercanas a 0x . Basta con una x que pertenezca
a la vecindad de centro 0x y radio delta y su xf correspondiente bajo f no esté en
la vecindad de centro L y radio épsilon , para que se cumpla que el límite de f en 0x
no existe.
4. Algunos estudiantes no comprendieron la definición de función, la de límite de
una función en un punto, la de funciones equivalentes, el de acotamiento de una función
en una vecindad alrededor del punto en estudio y/o teoremas que abordan la existencia
del límite de una función en un punto, y los teoremas que tratan los límites infinitos y en
el infinito. Por ejemplo, hubo dos estudiantes que cuando demostraban, algebraicamente,
el límite de una función en un punto, definían el delta a priori, lo cual supone que estos
alumnos no comprendieron la definición formal de límite.
5. El predominio de un pensamiento distinto al que se proponía, se manifestó
cuando los alumnos recurrían a otros sistemas de representación para argumentar sus
ideas matemáticas, distintos a los que se supone deberían estar utilizando de acuerdo al
evento inicial de su diagrama V.
En general, y con base a los resultados al aplicar el Atlas/ti, se puede afirmar que las
dificultades que más frecuentemente se dieron fueron las de tipo epistemológico. Esto
confirma que la enseñanza del límite de funciones es una dificultad, esencialmente, de
carácter epistemológico, ya que los obstáculos subyacentes son producto de los
conceptos que se manejan en la definición de límite de funciones. Tal es el caso, por
ejemplo, de los cuantificadores presentes en la definición, de las proposiciones lógicas
inmersas, de las propiedades que se generan de la métrica euclidiana considerada, de los
principios de contradicción que se establecen para las demostraciones de la no existencia
del límite de f en un punto, entre otros.
Ahora, este estudio se suma a otros realizados, donde se ha dado un paso a favor de
conocer cuáles son las dificultades epistemológicas vinculadas al aprendizaje y la
158
enseñanza de la definición de límite de funciones. Para futuras investigaciones se podría
considerar, en base a estas dificultades, un trabajo orientado al cómo superarlas.
Por otra parte, las dificultades cognitivas consistieron, básicamente, en:
1. El uso indiscriminado de los verbos que tipifican las acciones que caracterizan
los procesos matemáticos necesarios para resolver un problema. Por ejemplo, “se suma
y se resta equis más un número y se obtiene un Ruffini”, “se resuelve el límite”.
2. La confusión entre objetos matemáticos diferentes: f con xf , el límite de
f en 0x con el valor que toma f en 0x , a la función inicial con el límite de una función
equivalente a la dada en el punto en estudio.
3. Las dificultades que surgieron como consecuencia del uso de un lenguaje
desprovisto de significado matemático, tal es el caso de la ausencia, en muchas
ocasiones, de un procedimiento cargado de argumentaciones lógicas y que se sustituye
por un discurso incoherente para llegar a la conclusión de que el límite no existía.
Se sugiere a la comunidad de investigadores en Educación Matemática, reflexionar
sobre cómo se está enseñando ciertos conceptos previos a la definición de límite; tal es el
caso, de la definición de función, de funciones equivalentes, propiedades algebraicas al
hacer uso de la métrica euclidiana, el manejo de los cuantificadores, el establecimiento
de proposiciones y los métodos de demostración, y en este sentido realizar propuestas
didácticas que garanticen mejoras en la enseñanza y aprendizaje de conceptos
matemáticos elementales para el desarrollo del cálculo infinitesimal en Matemática I.
En cuanto a las dificultades didácticas se encontraron las siguientes:
1. La falta de explicación exhaustiva por parte del docente investigador y la falta
de tiempo. Específicamente, faltó profundizar un poco más sobre la definición de punto
de acumulación y de adherencia de un conjunto y sobre el acotamiento de una función en
una vecindad de centro xo y radio delta .
2. Otras dificultades surgieron a partir de la estrategia utilizada, sobretodo en cuanto
a la interrelaciones recíprocas que deben existir entre las alas constitutivas de la V de
Gowin, lo cual sostuvo gran parte de la evaluación y supervisión conciente de los
procesos y relaciones que se dieron y promovieron el desarrollo del pensamiento
estratégico en la implementación de los diagramas V. Por otra parte, faltó hacer hincapié
159
en las relaciones a establecer entre las definiciones incluidas en el ala conceptual, las
cuales venían dadas por los teoremas, leyes lógicas a utilizar y propiedades algebraicas
entre otras.
3. A su vez, todos los conceptos, definiciones, teoremas, leyes o principios utilizados
en el ala metodológica no estuvieron referidos en el ala conceptual, lo que
probablemente tuvo su causa en la insuficiencia de recursos existentes en cuanto al
escaso material teórico disponible y/o a la falta de explicación exhaustiva, en cuanto al
novedoso diseño del material entregado. Específicamente, las submetas para alcanzar la
meta en el material elaborado por el docente han debido explicarse con más detalle. Es
decir, debió tratarse con más detenimiento el hecho de visualizar y enunciar mejor el
procedimiento a seguir, para alcanzar la solución del ejercicio planteado; o sea, hacer
más hincapié en el desarrollo del pensamiento estratégico que subyace al aplicar los
diseños V.
Todas las dificultades didácticas anteriores se dieron, en cierta medida, por la falta
de tiempo asignado para la enseñanza de este contenido, de acuerdo a lo indicado en el
programa de la asignatura. Sin embargo, las dificultades didácticas fueron las que se
presentaron con menos frecuencia, ya que el investigador trató de eliminar, en lo posible,
los obstáculos de este tipo, aunque el factor tiempo siempre estará como un elemento
regulador o limitante, inclusive en las actividades de aula que se deseen implementar.
En función a lo anterior, sólo se sugiere al docente planificar estratégica y
meticulosamente todas las actividades a desarrollar. Como recomendación general, toda
vez obtenidas algunas dificultades específicas en torno al aprendizaje y la enseñanza de
la definición de límites y sumado a los resultados de otras investigaciones en esta
materia, sólo queda nuevamente invitar a los investigadores en Educación Matemática a
profundizar sobre esta problemática en función del cómo superar todas las dificultades
que se tienen, independientemente de su carácter.
La estrategia metacognitiva V de Gowin fue de gran ayuda en la investigación, ya
que su aplicación: 1. Permitió guiar todo el proceso de diseño elaborado para alcanzar la
meta propuesta por los mismos estudiantes, donde se evidenció que ellos no siguieron
160
una misma rutina de acción para desarrollar las partes constitutivas de las mismas: el
evento, el ala conceptual, las preguntas centrales y finalmente, el ala metodológica.
2. Se evidenció, que ellos fueron más eficientes al desarrollar el pensamiento
numérico, siguiéndole el algebraico, geométrico y topológico en orden decreciente, tal y
como fue antes planteado.
3. Permitió evidenciar los procesos matemáticos que se desarrollaron y en qué
medida se dieron.
4. Contribuyó a desarrollar la capacidad de diseño del estudiante, lo cual es una
aptitud propia del perfil del egresado en ingeniería. Además, permitió que los estudiantes
actuaron metacognitivamente cuando se enfrentaron a una situación típica de diseño, en
la cual se generó un conjunto de procedimientos estratégicos que implicaron: el
planificar, el ejecutar, el evaluar y el supervisar, generando alternativas de solución y, lo
más importante, la toma de decisiones logrando una solución que efectivamente
satisfizo, en cierta medida, los requerimientos de los ejercicios planteados.
5. Generó en el docente investigador, una toma de conciencia de la necesidad de
cambiar, de crear nuevas ideas en torno al límite a partir de lo que ya se conoce, y de
supervisar todo el proceso de diseño establecido en la V, lo que llevó a los estudiantes a
un nivel de pensamiento matemático avanzado al incorporar la dimensión estratégica,
para adentrarse en el mundo de la metacognición y desarrollar futuras investigaciones
dentro de la línea de investigación: pensamiento estratégico.
6. Finalmente, se afirma que los alumnos se apropiaron de la estrategia V de Gowin,
usada como metodología de acción desde cada modalidad de representación mostrada.
Los estudiantes visualizaron la V como un algoritmo lineal de trabajo, la cual pudo
orientar, conducir, profundizar y retroalimentar todo el proceso de análisis que
desarrollaron los estudiantes en la determinación de la existencia del límite de funciones
reales de una variable real. Así, se logró una ampliación en el lenguaje particular de cada
tipo de pensamiento matemático asociado a la definición de límites de funciones y como
consecuencia inmediata, una mejor comprensión de esta definición.
En base todo a lo anterior, se sugiere a los docentes de Matemática I adoptar la V
como metodología de trabajo; incluso se propone para futuras investigaciones estimular
161
a los estudiantes en la producción del uso creativo de la V de Gowin, en cuanto a la
secuencia de desarrollo de sus partes constitutivas o en la incorporación como
metodología de acción en otras asignaturas o proyectos de carreras.
Con respecto a los materiales utilizados en este estudio: 1. Se afirma que en la
experiencia didáctica desarrollada durante el proceso de investigación, estuvo claramente
diferenciado el pensamiento matemático en sus dimensiones: numérica, topológica,
algebraica y geométrica, lo cual se puso de manifiesto en cada clase y se evidenció en
cada V de Gowin. Sin embargo, en los libros de textos: Thomas y Finney (1998), Smith
y Minton (2000), Larson y cols. (2006), que usualmente se usan en la UNEG para
trabajar el tema de límite de funciones reales de una variable real, para los pensamientos
que abordan en general (sólo el algebraico, el numérico y el geométrico), los autores no
dan el soporte teórico de los procedimientos realizados para desarrollar en profundidad
cada pensamiento, ni mucho menos trabajan los cambios de representación que se
pueden originar entre ellos. Es decir, los tres tipos de pensamientos que son objeto de
consideración para los autores mecionados anteriormente, los desarrollan de manera
aislada, sin alguna interconexión entre los mismos; mientras que el pensamiento
topológico está ausente.
2. Otro de los aportes de esta investigación a la comunidad de educadores
matemáticos, lo constituye el material elaborado por el investigador, donde se caracteriza
al pensamiento matemático en sus dimensiones, no sólo para ilustrar la fundamentación
teórica de la definición de límite, sino con mayor profundidad y particularidad en cada
pensamiento, minimizando como centro de interés el cálculo del límite y demostrando la
existencia de éste o no, a través de las diversas dimensiones del pensamiento.
Se recomienda a los docentes de Matemática, adoptar o diseñar materiales y/o textos
que usen el enfoque multidimensional para enseñar un concepto epistemológicamente
complejo como el de límite de funciones.
Para finalizar, otro de los recursos aplicados en este estudio fue el software Atlas/ti,
el cual se utilizó para organizar, categorizar, estructurar, relacionar y obtener, a partir del
análisis generado, algunas conclusiones sobre los tipos de pensamiento matemático,
procesos avanzados alcanzados y dificultades matemáticas reflejadas por los alumnos,
162
tanto en sus discursos orales emitidos, como en las imágenes representadas por los
diagramas V de Gowin que se diseñaron; por lo que se concluye que, efectivamente, este
software fue de gran utilidad en el análisis de contenido desarrollado, desde una
codificación abierta inicialmente y luego axial, para describir el pensamiento matemático
vinculado a la definición de límite de, donde a partir del análisis de contenido de los
reportes de los estudiantes se pudieron:
1. Visualizar conductas similares en individuos diferentes, conductas que se pudieron
generalizar, no producto de la mera observación del investigador, sino generadas a partir
de los estudios realizados desde el Atlas/ti, donde se categorizaron y se relacionaron
ciertas categorías, valga la redundancia, que originaron anotaciones, cuyos análisis
permitieron algunas conclusiones, por ejemplo, de las secuencias seguidas y frecuencias
observadas en cuanto a los pensamientos y procesos matemáticos descritos
anteriormente.
2. Los procedimientos realizados en el Atlas/ti permitieron visualizar indicadores
evidentes de cuáles son las dimensiones de pensamiento matemático que los estudiantes
trabajaron en determinado momento.
3. El análisis realizado y organizado en el software permitió mostrar la secuencia
seguida por los estudiantes al desarrollar las partes constitutivas de las V de Gowin en
cada diseño elaborado.
Una de las innovaciones que se alcanzó en esta investigación, está representada por
el análisis de contenido de imágenes que se realizó en el Atlas/ti, versión 5.0.
Particularmente, lo genuino está representado por el estudio de las imágenes
conformadas por los diagramas V de Gowin. En Venezuela, en el campo de la
matemática educativa, aún no existían investigaciones que desarrollaran análisis en
Atlas/ti, sobre imágenes que reflejen el trabajo de aula realizado por los estudiantes.
Finalmente se propone, a partir de los resultados de este trabajo, reflexionar en
posibles investigaciones dentro de la línea de investigación, pensamiento matemático vs
pensamiento estratégico, abordando interrogantes tales como las siguientes:
1. ¿El uso de la heurística V de Gowin, que centra el diseño como estrategia
metacognoscitiva, logrará de acuerdo a su apropiación e implementación usual, avances
163
significativos en el currículo del estudiante de Ingeniería Industrial y consecuentemente
en su desempeño laboral en el campo profesional?
2. ¿Se obtendrán resultados similares a los aquí reportados, si se realiza un estudio
similar sobre el pensamiento matemático en todas sus dimensiones, vinculado esta vez, a
la definición de límites para funciones de varias variables?.
3. ¿Podrán superarse algunas dificultades en relación a la enseñanza y aprendizaje
del límite de funciones, desde nuevos estudios que incluyan el análisis de imágenes en
Atlas/ti, que reflejen, ahora, el trabajo de aula de los profesores de Matemática?
4. ¿Cuáles concepciones manejan los docentes de Matemáticas, en relación al
pensamiento matemático, sus múltiples dimensiones y las formas como deberían
considerarse estas dimensiones como orientadoras del diseño de actividades y materiales
didácticos que contribuyan al mejoramiento de la calidad de los aprendizajes?.
164
REFERENCIAS
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171
172
173
174
175
176
177
178
ANEXO C
Entrevista
Esta entrevista fue realizada a algunos docentes que dictan la asignatura
Matemática I, en el proyecto de carrera de Ingeniería Industrial de la UNEG, con los
objetivos de: explorar cómo es la enseñanza y el aprendizaje de la definición de
límites de funciones (funciones reales en una variable real), para evidenciar una
situación problema en torno a ésta; además de orientar al investigador en las
preguntas iniciales del estudio.
La entrevista de investigación fue de tipo estandarizada no programada, ya que no
se siguió una secuencia estricta satisfactoria para todos los entrevistados. Más bien se
buscó realizar una conversación informal, en un ambiente de cordialidad, de modo
que los informantes se expresaran con familiaridad, en base al siguiente inventario de
posibles preguntas.
1.- ¿Considera usted, que la definición de límite es una definición compleja o
simple?. Explique su respuesta.
2.- ¿Le cuesta mucho al estudiante comprender la definición formal de límites o le
es fácil?. ¿Por qué?.
3.- ¿Cuáles contenidos desarrolla usted en clases sobre límite de funciones?.
4.- ¿Dónde pone el énfasis a la hora de evaluar el contenido sobre límites?. ¿Por
qué?.
5.-Exprese un estimado del rendimiento estudiantil en este tema y argumente su
respuesta.
179
Anexo D: Cuestionario Aplicado a los Docentes El presente cuestionario forma parte de una investigación sobre evaluación del
desarrollo del pensamiento matemático vinculado a la definición de límite, que se
realiza en la Universidad Nacional Experimental de Guayana (UNEG), en la
asignatura Matemática I del proyecto de carrera de Ingeniería Industrial.
Su opinión es de suma importancia, ya que servirá de evidencia para realizar un
diagnóstico sobre la comprensión, apropiación y aplicación de la definición de límite
de funciones reales de una variable real por parte de usted, como alumno de la
asignatura Matemática I. Específicamente, este cuestionario tiene como propósito
explorar:
- Las dimensiones del pensamiento matemático (geométrica, topológica, numérica
y algebraica) asociadas a la definición de límite y formas de conocimientos
matemático (declarativo, procedimental y estratégico), que desarrolla usted en la
asignatura Matemática I en el proyecto de carrera de Ingeniería Industrial en la
UNEG.
- Los procesos del pensamiento matemático (diseño, ejecución, abstracción y
argumentación) que promueve el docente cuando usted realiza ejercicios sobre
límites.
El instrumento consta de dos partes, relacionadas con los siguientes aspectos:
1. Procesos del pensamiento matemático que desarrolla el alumno cuando
realiza ejercicios sobre límites.
2. Actividades que ejecuta el docente para: a) Desarrollar las dimensiones
del pensamiento matemático asociados a la definición de límite; y b) Lograr
conocimiento matemático, bien sea, declarativo, procedimental y/o
estratégico en los alumnos.
La información que se obtenga sólo ha de usarse para los fines de esta
investigación. El autor se compromete a garantizar el carácter confidencial, al aplicar
y ejecutar este instrumento, por lo cual no es necesario que usted se identifique a la
hora de responderlo. Gracias por su colaboración
180
( )
Instrucciones: Marque con una “X” la opción que según su criterio, se ajuste más a su realidad, como docente de la asignatura de
Matemática I, en el proyecto de Ingeniería Industrial de la UNEG. Observación: NA significa en la escala a utilizar no aplica.
AFIRMACIÓN 0-19% 20-35% 36-59% 60-75% 76-100% NA
1.-En qué medida considera usted, como docente que el
estudiante, reproduce correctamente la definición formal de
límite.
2.-En qué medida considera usted, que el estudiante identifica,
cuándo una función dada, por su regla de correspondencia, no
tiene límite en un punto.
3.-En qué medida considera que el estudiante deduce que f no
tiene límite alrededor de ,x0 al presentársele gráficos como
estos:
4.- En qué medida considera usted, como docente, que el
estudiante formaliza que el límite de f no existe en ,00 x a
partir de la siguiente ilustración:
5.-Dado que el límite de f existe en ,x0 en qué medida
considera usted que el estudiante podrá ilustrar que la
representación gráfica de f se puede encerrar en un
rectángulo abierto alrededor del punto ,x0 (ventana de
espionaje), tal como lo muestra la siguiente figura:
f
0x
f
0xV
-1
1
( )
0xV
f
LLL
000 xxx
181
2
AFIRMACIÓN 0-19% 20-35% 36-59% 60-75% 76-100% NA
6.-En qué medida considera usted, que el estudiante analiza el
límite de f cuando existe en 0x , como un punto de adherencia
en LV .
7.-En qué medida, usted, que el estudiante presupone el valor
óptimo que puede asumir una función f alrededor de un
punto 0x en estudio.
8.-En qué medida considera usted, que el estudiante puede
identificar cuándo una función, dada por su regla de
correspondencia, tiene límite L en un punto 0x .
9.-Dados gráficos como estos, en qué medida considera usted,
que el estudiante puede visualizar que f tiene límite en 0x:
10.-En qué medida considera usted, que el estudiante puede
identificar cuál es el límite de f en 0x , de acuerdo a
ilustraciones como la anterior.
11.-En qué medida considera usted, como docente, que el
estudiante puede inferir al presentársele gráficos como estos,
que 2
xflim
x
12.-En qué medida considera usted, que el estudiante puede
deducir que el valor que asume depende del valor del
arbitrario.
13.-En qué medida considera usted, que el estudiante puede
construir el a partir de la definición formal del límite, para
un ejercicio como el siguiente: 1xlim2
1x
0xf
( )
f
L
0x
f
182
Anexo E:
Cuestionario Aplicado a los Sujetos del Estudio El presente cuestionario forma parte de una investigación sobre evaluación del
desarrollo del pensamiento matemático vinculado a la definición de límite, que se
realiza en la Universidad Nacional Experimental de Guayana (UNEG), en la
asignatura Matemática I del proyecto de carrera de Ingeniería Industrial.
Su opinión es de suma importancia, ya que servirá de evidencia para realizar un
diagnóstico sobre la comprensión, apropiación y aplicación de la definición de límite
de funciones reales de una variable real por parte de usted, como alumno de la
asignatura Matemática I. Específicamente, este cuestionario tiene como propósito
explorar:
- ¿Cuáles son las dimensiones del pensamiento matemático (geométrica,
topológica, numérica y algebraica) asociados a la definición de límite y formas de
conocimientos matemático (declarativo, procedimental y estratégico), que desarrolla
usted en la asignatura Matemática I en el proyecto de carrera de Ingeniería Industrial
en la UNEG?.
- ¿Cuáles son los procesos del pensamiento matemático (diseño, ejecución,
visualización, razonamiento bajo hipótesis, abstracción y argumentación) que
promueve el docente cuando usted realiza ejercicios sobre límites?
El instrumento consta de dos partes, relacionadas con los siguientes aspectos:
a) Procesos del pensamiento matemático que desarrolla el alumno cuando realiza
ejercicios sobre límites.
b) Actividades que ejecuta el docente para: a) Desarrollar los tipos de
pensamiento matemático asociados a la definición de límite; y b) Lograr
conocimiento matemático, bien sea, declarativo, procedimental y/o estratégico en los
alumnos.
La información que se obtenga sólo ha de usarse para los fines de esta investigación.
El autor se compromete a garantizar el carácter confidencial, al aplicar y ejecutar este
instrumento, por lo cual no es necesario que usted se identifique a la hora de
responderlo. Gracias por su colaboración
183
( )
Instrucciones: Marque con una “X” la opción que según su criterio, se ajuste más a su realidad, como
estudiante de la asignatura de Matemática I, en el proyecto de Ingeniería Industrial de la UNEG.
Observación: NA significa en la escala a utilizar no aplica.
AFIRMACIÓN 0-19% 20-35% 36-59% 60-75% 75-100% NA
1.-En qué medida considera usted, que reproduce
correctamente la definición formal de límite.
2.-En qué medida identifica cuándo una función,
dada por su regla de correspondencia, no tiene
límite en un punto.
3.-En qué medida puede deducir que f no tiene
límite alrededor de ,x0 al presentársele gráficos
como estos:
4.-En qué medida formaliza usted que el límite
de f no existe en ,x 00 a partir de la siguiente
ilustración:
5.-Dado que el límite de f existe en ,x0 en qué
medida podrá ilustrar que el gráfico de f , se
puede ver a través de una ventana de espionaje, tal
como lo muestra la siguiente figura:
f
0x
f
0xV
-1
1
( )
0xV
f
000 xxx ( )
LLL
184
2
AFIRMACIÓN
0-19% 20-35% 36-59% 60-75% 76-100% NA
6.-En qué medida considera usted, como estudiante,
que analiza el límite de f cuando existe en 0x , como
un punto de adherencia en LV .
7.-En qué medida, usted como estudiante, presupone el
valor óptimo que puede asumir una función f
alrededor de un punto 0x en estudio.
8.-En qué medida, usted como estudiante, puede
identificar cuándo una función, dada por su regla de
correspondencia, tiene límite L en un punto 0x .
9.-Dados gráficos como estos, en qué medida
considera usted, que puede visualizar que f tiene
límite en 0x ,:
10.-En qué medida, usted como estudiante, puede
identificar cuál es el límite de f en 0x , de acuerdo a
ilustraciones como la anterior.
11.-En qué medida puede inferir al presentársele
gráficos como estos, que 2
xflimx
12.-En qué medida puede deducir que el valor que
asume depende del valor del arbitrario.
13.-En qué medida considera usted, como estudiante,
que puede construir el a partir de la definición
formal del límite, para un ejercicio como el siguiente:
1xlim 2
1x
f
0xf
( )
f
L
0x
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
ANEXO M
Ejercicios Propuestos por el Docente Investigador
A.- Realice mediante la V de Gowin el estudio numérico, geométrico, topológico y
algebraico de los siguientes ejercicios; para calcular el límite de la función f en el
punto 0x indicado, donde f viene dada por:
1) ,x
xxxy
2
1052 23
20 x 2) ,
3
1243 23
x
xxxy 30 x
B) Realice mediante la V de Gowin el estudio numérico, geométrico, topológico y
algebraico de los siguientes ejercicios; analizando y determinando la existencia o no
del límite de la función f en el punto 0x indicado; donde f viene dada por:
1) ,x
y3
2 00 x 2) ,
1
3xy 00 x
3) ,1
xy 00 x 4) ,
1
2223
x
xxxy 10 x
C) Realice mediante la V de Gowin el estudio numérico, geométrico, topológico y
algebraico de los siguientes ejercicios; demostrando la no existencia del límite de la
función f en el punto 0x indicado; donde f viene dada por:
1)
33
31
33
x,x
x,
x,x
y ; 30 x 2)
2,2
2,1
2,2
xx
x
xx
y ; 20 x
3)
xseny
3, 00 x 4)
xseny
2, 00 x
5)
xy
1cos , 00 x
201
Anexo N:
Desarrollo: Actividad 1: Desarrolle la actividad, haciendo uso de la V de Gowin.
Actividad 1.1: Grafique la función 11,:f , que viene dada por xseny .
¿A cuál(es) valor (es) se aproxima f , cuando x tiende a cero?. ¿Existe el límite de f , cuando x
tiende a cero?. ¿Cuál es el límite de f , cuando x tiende a cero, si es que existe?..¿A cuál(es)
valor(es) se aproxima f , cuando x tiende a ?. ¿Existe el límite de f , cuando x tiende a ?.
¿Cuál es el límite de f , cuando x tiende a , si es que existe?. ¿A cuál(es) valor(es) se aproxima
f , cuando x tiende a ?. ¿Existe el límite de f , cuando x tiende a ?. ¿Cuál es el límite de
f , cuando x tiende a , si es que existe?.
Actividad 1.2: Realice una tabla de valores para la función 11,:f , que viene dada por
xseny
1. Utilice valores para x, correspondientes al conjunto de los números reales cercanos a
cero.
¿A cuál valor se aproxima f , cuando x tiende a cero? ¿Existe el límite de f , cuando x tiende a
cero?
-1
22
32
2
2232
2
1
Guía de Instrucción
Instrucciones:
- Analice cada una de las situaciones presentadas y responda, por favor, con claridad.
- Trabaje, individualmente, cada actividad y luego en pareja comparta sus resultados.
- Se construirá una V de Gowin para cada actividad. Finalmente, el trabajo será colectivo,
a partir de la participación de todos los estudiantes.
- Los resultados arrojados en la aplicación de este instrumentos no tendrán validez alguna
sobre la evaluación del curso, ni serán utilizados con otro fin que no sea el de colaborar
en un trabajo de investigación, que se está desarrollando desde el Área de Matemática
202
¿Cuál es el límite de f , cuando x tiende a cero, si es que existe?.Actividad 1.3: Realice una tabla de
valores para la función 11,:f , que viene dada por
xseny
1. Utilice valores para x
cercanos a cero, cuya escala de medición sea de 2
en
2
. ¿A cuál valor se aproxima f , cuando x
tiende a cero?. ¿Existe el límite de f , cuando x tiende a cero?.¿Cuál es el límite de f , cuando x
tiende a cero, si es que existe?.
Actividad 1.4: A continuación se muestra la gráfica de la función 11,:f , definida por
xsenxf
1.
x
y
-1
0
1
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SEN 1/X
¿A cuál(es) valor (es) se aproxima f , cuando x tiende a cero?. ¿Existe el límite de f , cuando x
tiende a cero?.¿Cuál es el límite de f , cuando x tiende a cero, si es que existe?. ¿A cuál(es)
valor(es) se aproxima f , cuando x tiende a ?. ¿Existe el límite de f , cuando x tiende a ?.
¿Cuál es el límite de f , cuando x tiende a , si es que existe?. ¿A cuál(es) valor(es) se aproxima
f , cuando x tiende a ?.
¿Cuál es el límite de f , cuando x tiende a , si es que existe?.
Actividad 1.5: Calcule, si es que existe el
xsen
x
1lim
0
.
Actividad 1.6: Demuestre la existencia o no del
xsen
x
1lim
0.
Actividad 2: Desarrolle la siguiente actividad, haciendo uso de la V de Gowin:
Actividad 2.1: Considerando el diagrama de la figura adjunta. Observe que si 0t , entonces el
punto sent,tcosP se mueve hacia el punto 01,A .
P(cost, sent)
A(1, 0)
O(0,0)
203
Ahora, ¿cuál es el límite de la función coseno de t , cuando 0t ?. Es decir,
__________costlim0t
De la misma manera razone y responda: ¿cuál es el límite de la función seno de t , cuando 0t ?.
Es decir, __________sentlimt
0
. Ahora, para 022
t,π
tπ
, se dibuja el segmento de
recta vertical BP y el arco circular BC , como lo ilustra la siguiente figura:
Así,
Área torOBCsec Área OBP Área torOAPsec
A partir de esta doble desigualdad, ¿qué puede usted deducir del 1 t
sentlim
0t
, haciendo uso de las
fórmulas del área de un triángulo, del sector circular y el teorema del emparedado?
Actividad 2.2: Similarmente, a partir de la siguiente figura,
Se tiene que:
Pruebe que
tcossent
ttcos 2
Y finalmente, desde esta doble desigualdad, demuestre que: 10
t
sentlimt
(Ejercicio tomado de
Purcell y Varberg, (1992), p.119).
Actividad 3: Utilizando la V de Gowin argumente por qué el 01
0
t
tcoslimt
. (Ejercicio tomado de
Purcell y Varberg, (1992), p.119).
P(cost, sent) Q(1, sent)
A(1, 0)
O(0,0) B(cost,0)
Área OBP Área torOAPsec Área OBP +Área ABPQ
A(1, 0)
P(cost, sent)
O(0,0)
C
B(cost,0)
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Anexo R:
Ejemplo de una de las Transcripciones Realizadas a las Audiograbaciones de los
Alumnos al Disertar sus V de Gowin
Ejercicio: Mediante la V de Gowin, realice el estudio numérico, geométrico,
topológico y algebraico del siguiente ejercicio; demostrando la no existencia del
límite de la función f en el punto 0x indicado; donde f viene dada por:
3x,3x
3x,1
3x,3x
)x(f ; 30 x
Exposición e6: Transcripción del estudiante llamado e6, durante el semestre 2005-II:
Ah, bueno, como ya ustedes saben este y todos los ejercicios tienen que hacerlo en
cuatro pasos, en cuatro estudios.
El primero es el numérico, en el numérico ustedes saben que tienen que hacer una
tabla y darle valores. Aquí sí, pueden darse cuenta, aquí el número digamos que es
estándar es el tres, ¿ no?. Entonces hay, es donde tomamos (en el ejercicio sale)
cuando equis subcero tiende a tres.
Entonces vamos a construir una tabla que tenga valores cercanos a tres y para ello
vamos a utilizar estos valores.
Vamos a utilizar valores mayores a tres por la izquierda y por la derecha. Entonces
vamos a colocar, sabes que les puedes colocar infinidades de números tres, así ¿no?.
El primero saben que lo tienen que sustituir en esta: x+3. Entonces cuando sustituyen
allí, les va a dar 5,9; 5,99 y 5,999. ¿Qué observan?. Que el límite va tendiendo a un
valor, ¿no?.¿Esta x es menor que tres? ¿Ah?. Aja. Entonces cuando este límite tiende
a tres por izquierda, este tiende a seis.
Después hacen el otro. Toman este valor, esa gráfica, este tiene que ir también
cercano a tres. Aquí en este, van a sustituir estos valores de x en esta y estos valores
van a dar...(calculando). Yo como que lo hice mal, lo saqué malo. ¿Ustedes no tienen
calculadora?. (la ayudan a calcular los estudiantes) -0,1; -0,001.
Aquí observan que, el límite cuando x tiende a tres por la derecha tiende a cero.
Entonces ustedes tienen que relacionar, en este caso, para las dos gráficas, ustedes
observan que tienen en un caso: tienen el límite cuando x tiende a tres por la
izquierda, que le da seis y otro que le da el límite, cuando x tiende a tres positivo,
cero. Como ustedes se dan cuenta hay dos límites, como hay dos límites, entonces ya
declaro que el límite de efe cuando equis tiende a tres, no existe o es infinito, no
existe. Esto es la parte numérica.
La otra parte es el geométrico. En el geométrico, los análisis tienen que basarse en las
gráficas. Entonces vamos a buscar valores para suplir la primera gráfica. Entonces
x+3, tomando valores menores a tres. En esto, van a tomar el tres como base, aunque
dice menores que tres, para ver hasta donde llega la gráfica. Tomemos x= 2 y x=1 De
226
igual manera, tomamos como base tres y uno mayor que tres. Entonces hago el
análisis. ¿Qué no entiendes?. Ok
Primero, es abierto porque saben que tres no está aquí. (graficando). El otro, cuando
x>3 (graficando). Una vez que yo tenga hecha, la gráfica saben que tiene que
construir una ventana de espionaje, esta se realiza para determinar si hay límite o no
hay límite.
Como aquí dijimos que no existía, vamos a suponer que el límite existe, vamos a
suponer que es seis, alrededor de él vamos a construir un epsilon que vaya: seis
menos epsilón y seis más epsilón,. Cada vez que voy a construir la ventana le van a
dar valores, que estén dentro de la ventana es porque existe el límite.
Entonces ustedes saben que van a observar que a medida que yo le voy dando
valores, siempre van a reflejarse en x, pero si observan hay dos gráficas, entonces
cuando hay dos gráficas no todos los valores que yo les voy a dar, van a tomar en
cuenta esta segunda gráfica, entonces ya por ahí ustedes pueden ver que hay puntos
que no van a estar dentro de esa ventana de espionaje ya que está aquí arriba. Por eso
también el límite no existe. Esto es todo lo que hacen en el estudio geométrico.
El topológico: Primero tienen que plantear para el topológico tienen que determinar el
rango o el intervalo en el cual se encuentra la gráfica. Aquí, el rango está desde
menos infinito hasta seis abierto. Después ustedes van a volver a suponer que el
límite existe, porque ya saben que no existe.
Entonces, aquí dice que también se toma el límite que es seis, o sea se va a suponer
que existe, dice que L representa un punto de acumulación. Vamos a volver a dibujar
la gráfica, entonces aquí, lo que tienen que hacer mas que todo es el topográfico.
¡Ah!, ya establecieron que el límite es seis, entonces van a hacer el estudio del seis
positivo; o sea, van a abrir una vecindad en el seis, tomando el positivo y van a
construir una cota superior y una cota inferior en la cual tomen valores entre el límite
que es seis. El epsilón es un medio que lo van a colocar aquí 6-1/2= 5,5 y 6+1/2=6,5.
Aquí ustedes tienen que escribir al final:
La vecindad de radio epsilón, en este caso es 1/2 y centro 6 (que es el límite
supuesto) menos el conjunto del número 3 (que está en el rango), interceptado con el
conjunto del intervalo I, es un conjunto vacío.
Da un conjunto vacío porque si observan en la gráfica, este seis está aquí abierto y
entonces, ya como no tiene un punto, una imagen y toda la cuestión, este da un
conjunto vacío. Ese fue lo que resumí aquí de la parte topológica de este ejercicio a
trozos, ¿no?.
Ahora viene la parte algebraica. Esto queda hasta aquí?. Si, es así. Hacen lo mismo.
Determinamos el rango, suponemos que el límite existe para llegar a la conclusión de
que no existe, siguen colocando la definición. En las gráficas a trozos van hacer
varios estudios para demostrar que el límite existe, suponen que es seis, que es cero,
que está entre cero y seis.
En este caso, lo único que van a tomar como base para el estudio algebraico son los
límites laterales. Los límites que les dieron en el estudio pasado fueron seis y cero,
entonces como no hay un límite ya establecido y son distintos, entonces no existe.
Pregunten. En el topológico tú tienes que estudiarlo desde las vecindades con el
epsilon y el delta.
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