SVEUILITE U ZAGREBUPRIRODOSLOVNO-MATEMATIKI FAKULTET

MATEMATIKI ODSJEK

Marijan Poli

Reprezentacije nekih podalgebri verteks-algebre W1+

Disertacija

Voditelji rada: prof. dr. sc. Draen Adamovi, prof. dr. sc. Ozren Pere

Zagreb, 2015.

UNIVERSITY OF ZAGREBFACULTY OF SCIENCE

DEPARTMENT OF MATHEMATICS

Marijan Poli

Representations of certain subalgebras of the vertex

algebra W1+

PhD thesis

Thesis advisors: prof. dr. sc. Draen Adamovi, prof. dr. sc. Ozren Pere

Zagreb, 2015.

Ova disertacija je predana na ocjenu Matematikom odjelu Prirodoslovno-matematikogfakulteta Sveuilista u Zagrebu u svrhu stjecanja znanstvenog stupnja doktora prirodnihznanosti iz podruja matematike.

Zahvaljujem svojim mentorima, prof. dr. sc. Draenu Adamoviu i prof. dr. sc.Ozrenu Pereu, na savjetima i strpljenju.

Takoer zahvaljujem majci Anelini, ocu ivku i zarunici Jeleni na stalnoj podrci.

4

Sadraj

Sadraj ii

1 Uvod 1

2 Verteks algebre i algebre verteks operatora 82.1 Formalni raun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2 Moduli za verteks-algebre i operatori ispreplitanja . . . . . . . . . . . . . . 122.3 Konstrukcija verteks-algebri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4 Zhuova algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3 Verteks algebra W1+ 193.1 Liejeva algebra D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2 Liejeva algebra gl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.3 Konstrukcija nekih singularnih vektora za gl . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.4 Konstrukcija verteks algebre W1+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.5 Primjer c=1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4 Verteks algebra W 344.1 Liejeva algebra D(1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.2 Liejeva algebra glo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.3 Konstrukcija verteks algebre W . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5 Singularni vektori u MW2 38

6 Verteks algebra W sa centralnim nabojem -2 i W2,3algebra 43

7 Singularni vektori za W do nivoa 10 za openit centralni naboj 48

8 Primarni vektori u W 52

9 Eksplicitna realizacija i simplektiki fermioni 559.1 Teoremi o dekompoziciji pomou dualnih parova . . . . . . . . . . . . . . . 559.2 Konanodimenzionalne ireducibilne

reprezentacije od gl(l) i GL(l,C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569.3 Eksplicitna fermionska realizacija verteks algebre W1+ . . . . . . . . . . . 589.4 Simplektika grupa Sp(2l,C) i opa linearna grupa GL(l,C) . . . . . . . . 619.5 Eksplicitna realizacija verteks algebre W na simplektikim fermionima . . 63

10 Parafermionska konstrukcija za W za centralni naboj c = 4 73

i

Bibliograja 75

Saetak 78

Summary 79

ivotopis 80

ii

Poglavlje 1

Uvod

U ovoj disertaciji prouavat emo verteks-algebre koje su pridruene nekim vanimbeskonanodimenzionalnim Liejevim algebrama. Posebno emo gledati verteks-algebruW1+ i njenu podalgebru W.

Verteks-algebra W1+ je vana verteks algebra koju su intenzivno prouavali mnogiistraivai iz podruja teorije reprezentacija Liejevih algebri, verteks-algebri i matematikezike.

Ova verteks-algebra prirodno je pridruena teoriji dvije vane beskonano dimenzi-onalne Liejeve algebre. Prva je Liejeva algebra D dobivena kao centralno proirenjeLiejeve algebre diferencijalnih operatora na krunici. Druga je Liejeva algebra gl kojaje centralno proirenje Liejeve algebre beskonanih matrica s konano mnogo ne-nul di-jagonala. Sa stanovita Liejevih algebri, vaan napredak nainjen je u lanku V. Kacai A. Radula ([25]), dok je teorija reprezentacija pridruenih verteks-algebri i fermionskerealizacije inicirana u lanku E. Frenkela, V. Kaca, A. Radula i W. Wanga. Bozonskerealizacije prouavane su u lancima V. Kaca, A. Radula ([26]); W. Wanga ([35]), D.Adamovia ([3]). Klasikacija ireducibilnih reprezentacija u sluaju modula pozitivnogcjelobrojnog centralnog naboja dobivena je u lanku E. Frenkela, V. Kaca, A. Radula iW. Wanga, ([19]); dok je u sluaju negativnog centralnog naboja poznata samo u sluajuc = 1 i to na temelju lanka W. Wanga ([36]).

Klasikacija ireducibilih modula nije poznata za ostale negativne centralne naboje. Novaan korak u strukturnoj teoriji ovih verteks-algebri napravljen je u lanku A. Linshawa([33]), gdje je odreen minimalan skup generatora te algebre. Vano je napomenuti daLinshaw koristi beskononodimenzionalne analogone Weylovih teorema iz teorije inva-rijanti. Daljnja generalizacija tih rezultata prezentirana je u lancima T. Creutziga i A.Linshawa ([13], [14]).

Treba spomenuti da je Wangov lanak ([36]) vaan i za verteks-algebre pridruenelogaritamskim konformnim teorijama polja i generaliziran je u nekim smjerovima u lan-cima D. Adamovia ([4]) i D. Adamovi, A. Milas ([5], [6]). Verteks-podalgebre od W1+su takoer vani primjeri verteks-algebri. Prouavane su lancima V. G. Kac; W. Wang,C. H. Yan ([27]) ; V. Kac i A. Liberati ([28]).

U disertaciji prouavamo univerzalne verteks-algebre W1+ i W koje su realiziranena reprezentacijama najvee teine Liejeve algebre D. Primjenjujemo teoriju modulanajvee teine i teoriju kvazi-konanih reprezentacija koje su razvijene u lanku V. Kacai A. Radula ([25]). Taj lanak takoer sadri objanjenje veze izmeu modula Liejevealgebre gl i D. U lanku je konstruiran vaan homomorzam Liejevih algebri pomoukojeg singularne vektore u kvazikonanim modulima najvee teine za gl moemo tretirati

1

kao singularne vektore u modulima najvee teine za D. Navedeni su neki primjeri zakonstrukciju singularnih vektora na pozitivnim cjelobrojnim nabojima.

Stukturu verteks-algebre konstruirat emo koristei teoriju lokalnih polja za verteks-algebre. Navedimo da je ova teorija precizno opisana u monograjama V. G. Kaca ([23]),E. Frenkela i D. Ben Zvia ([20]) te J. Lepowskog i H. Lia ([29]). Poseban naglasak bit e nauniverzalnim verteks-algebrama za W1+ i W, koje nisu proste, te sadre netrivijalneideale. Ideale u ovim verteks-algebrama konstruirat emo pomou singularnih vektoraza Liejeve algebre D i gl. U sluaju verteks-algebre W za centralne naboje c Z,male po apsolutnoj vrijednosti, singularne vektore konstruiramo eksplicitno u PoincarBirkhoWittovoj (PBW) bazi. Ovi rauni koriste sustave algebarskih jednadbi i nekaprogramska rjeenja. Zatim prouavamo kvocijente univerzalne verteks-algebre zaW poidealima generiranim singularnim vektorima. Odredit emo minimalan skup generatoratih kvocijenata. Za razliku od pristupa A. Linshawa, nai dokazi u potpunosti koristeteoriju singularnih vektora i relacije koje slijede iz tih singularnih vektora.

U nekim sluajevima, pokazujemo da se ti kvocijenti mogu identicirati s podalge-brama anih verteks algebri realiziranim kao koset podalgebre (vidi Poglavlje 10). Prematome neke nae verteks-algebre su zapravo parafermionske verteks-algebre ija teorijareprezentacija je vrlo zanimljiva. Strukturna teorija tih verteks-algebri pridruenih inte-grabilnim reprezentacijama anih verteks-algebri prouavana je u lancima T. Arakawa,C. Donga, C. H. Lam, Q. Wang, H. Yamade ([17], [10]). Rezultati ove disertacije po-kazuju da su te koset verteks-algebre pridruene neintegrabilnim reprezentacijama vrlozanimljive i povezane s algebrom W.

Treba napomenuti da se slina realizacija nekih koset podalgebri pridruenih animverteksalgebrama negativnog nivoa javila u lanku D. Adamovi, O. Pere ([8]). Miplaniramo proiriti ove rezultate u nekim smjerovima u lanku ([1]).

Jedan od najvanijih rezultata u ovoj disertaciji predstavlja prouavanje eksplicitnefermionske realizacije verteks-algebre W. Ova realizacija daje smjetenje proste verteksalgebre W kao podalgebre verteks-superalgebre pridruene simplektikim fermionima.Simplektiki fermioni e se promatrati pomou teorije dualnih parova. Konstruiramo eks-plicitno singularne vektore iz ije egzistencije slijedi eksplicitna dekompoziciju Fockovogprostora. Ovi rezultati iz disertacije predstavljaju generalizaciju rezultata i metoda izlanka V. Kac, W. Wang, C. Yan, ([27]).

Slijedi kratak sadraj rada s prikazom osnovnih rezultata.U drugom poglavlju navodimo standardne denicije i konstrukcije iz teorije verteks

algebri. Ponavljamo denicije verteks algebre i algebre verteks operatora te standardnealgebarske koncepte pridruene tim dvjema strukturama: homomorzam, izomorzam,podalgebru, podalgebru generiranu podskupom, ideal i sline. U toki 2.2 navodimodeniciju modula za verteks algebru (odnosno za algebru verteks operatora). Takoernavodimo deniciju operatora ispreplitanja i pravila fuzije, konstrukcije koja generalizirapojam tenzorskog produkta modula.

U toki 2.4 navodimo Teorem o generirajuim poljima, standardan alat za konstrukcijuprimjera verteks algebri. Nama e trebati za konstrukciju verteks algebri W1+ i Wte verteks superalgebre Fl. Ideja je odrediti kada se skup slabih verteks operatora,formalnih redova potencija oblika

a(x) =nZ

anxn1

moe interpretirati kao slika operatora Y ( . , x) za neku verteks algebru. Pokazuje se da je(uz neke dodatne zahtjeve) dovoljan uvjet meusobna lokalnost slabih verteks operatora,

2

tj. da za svaka dva (dana) slaba verteks operatora a(x) i b(x) postoji k Z+ takav da

(x1 x2)k[a(x1), b(x2)] = 0.

U toki 2.4 navodimo konstrukciju i osnovne rezultate o Zhuovoj algebri A(V ), asoci-jativnoj algebri pridruenoj verteks algebri V . Njen znaaj proizlazi iz Zhuovog teorema(Teorem 2.32) koji uspostavlja bijektivnu vezu klasa ekvivalencije ireducibilnih modulaza (asocijativnu algebru) A(V ) i klasa ekvivalencije ireducibilnih modula za (verteksalgebru) V .

U Poglavlju 3 ponavljamo deniciju Liejeve algebre diferencijalnih operatora na kru-nici D slijedei rezultate iz [25].

Promatramo graduirani vektorski prostor

D = SpanC{Jkm : m Z, k Z0},

pri emu su Jkm = tk+mkt (diferencijalni operatori na krunici u varijabli t), a teinezadane relacijama wt Jkm = m.

Uz komutator deniran formulom

[Jkm, Jln] =

max(k,l)i=1

((l

i

)[k +m]i

(k

i

)[l + n]i

)Jk+lim+n ,

pri emu je [x]i = x (x 1) ... (x i+ 1) (silazni produkt ili silazna potencija), D imastrukturu graduirane Liejeve algebre, gdje je wt Jkm = m.

Navodimo alternativnu bazu za D, {Lkm = tm(tt)k = tmDk} u kojoj su elementipoetne baze zapisani Jkm = tm[D]k a komutator zadovoljava relaciju

[tmf(D), tng(D)] = tm+n(f(D + n)g(D) f(D)g(D +m)).

Jedinstveno centralno proirenje D = D CC Liejeve algebre Ddenirano je pomou 2-kociklusa

(trf(D), tsg(D)) =

1j=r

f(j)g(j + r), r = s 0

(tsg(D), trf(D)), r = s < 00, inae

Konstrukciju pratimo po lanku [25], no valja rei da je ovaj 2-kociklus prvi putdeniran u [24] a dokaz jedinstvenosti centralnog proirenja se moe nai u [18] ili [31].

Zatim navodimo deniciju Vermaovog modula i u Propoziciji 3.6 konstruiramo para-boliku podalgebru od D:

P = SpanC{Jkm : m+ k 0},

P = P CC,koja ce nam biti vana za teoriju verteks algebri.

Navodimo rezultate Kaca i Radula o klasikaciji kvazikonacnih modula iz [25]. Navo-dimo deniciju algebre gl i ponavljamo neke rezultate iz njene teorije reprezentacija. UTeoremu 3.11 diskutiramo vezu izmedju D i gl.

3

Preslikavanje 0 : D gl denirano formulom

0(tmf(D)) =

jZ

f(j)Ejm,j, f C[x]

je homomorzam Liejevih algebri. 0 se prirodno proiruje na homomorzam

: DO gl,

pri emu jeDO = SpanC{tmf(D)|f(x) O},

gdje je O skup holomorfnih funkcija. je izomorzam.

Homomorzam Liejevih algebri D i gl inducira strukturu Dmodula na glmodulima,pa su ireducibilni gl-moduli ujedno i ireducibilni D-moduli. Pomou Propozicije 3.15imamo eksplicitan rezultat za singularne vektore u odreenom gl modulu, pa koristeihomomorzam i Propoziciju 3.14 na primjeru rekonstrukcije singularnih vektora zaD iz singularnih vektora za gl ilustriramo vezu ireducibilnih modula za te dvije Liejevealgebre.

U Toki 3.4 koritenjem Teorema o generirajuim poljima (navedenog u drugom po-glavlju) diskutiramo verteks-algebru MW1+c .

Teorem 3.17 [19] (MW1+c , Y,1, ()), pri emu je 1 = 1v0, () = (J12 +J02)1,je algebra verteks operatora. Pri tome je jako generirana poljima Jk(x), k Z0 uz

Y (, x) : MW1+c (EndMW1+c )[[x, x1]]

Y (Jkk11, x) =mZ

Jkmxkm1 = Jk(x).

Potom eksplicitno odreujemo Zhuovu algebru A(MW1+1 ):Teorem 3.19 A(MW1+c ) je polinomijalna algebra u beskonano varijabli, tj izomorfna

sa C[x0, x1, ..., xn, ...].

Za c = 1 nalazimo parametrizaciju od A(LW1+c ).U Poglavlju 4 deniramo Liejevu algebru D(1) i pokazujemo da je potprostor

D(1) = SpanC{Jkm : m Z, k Z1} CC

od D Liejeva podalgebra od D(vidi Propoziciju 4.1).

Potom konstruiramo generalizirani Vermaov modul

MW2c = U(D(1))U(D(1)0 P(1)) Cv0,

za koji ponovo pomou Teorema o generirajuim poljima vidimo da ima strukturu algebreverteks operatora.

4

Teorem 4.5 (MW2c , Y,1, J121) je algebra verteks operatora jako generirana poljima

Jk(x), k Z1 gdje je 1 = 1 v0 i

Y (, x) : MW2c (EndMW2c )[[x, x1]]

jedinstveno proirenje od

Y (Jkk11, x) =mZ

Jkmxkm1 = Jk(x).

Ako izostavimo uvjet jakogeneriranosti, vidimo da je ova verteksalgebra zapravogenerirana samo s dva polja.

Propozicija 4.6 Verteks algebra MW2c je generirana poljima J1(x) i J2(x), odnosno

MW2c = J121, J231.

U Poglavlju 5 raunamo singularni vektor na nivou 4,Teorem 5.1 MW2c na nivou 4 ima singularan vektor

vs = (J34 J24 + J14 (J12)2)1

i to samo za c = 1. Na nivoima 2 i 3 nema singularnih vektora.

Denicijski uvjet D(1)+ vs = 0 u sebi sadri beskonano mnogo jednadbi koje vs moraispunjavati, ali nam oita injenica D(1)(m)vs = 0, za m 3 i Lema 5.2 reduciraju tajbeskonaan sustav na konaan sustav linearnih jednadbi.

Lema 5.2 Neka je v MD(1) takav da J20v = v i Jkmv = 0 za neki C, m Z {0},k Z0. Tada je i Jk+1m v = 0.

Pokazujemo da ideal generiran singularnim vektorom sadri i vektor

= (22J16 + 9J12J24 2J12J14 9

2(J23)

2 9J13J23 + 8(J13)2 + 4(J12)3)1,

Koji e nam biti koristan u uspostavljanju veze sa W2,3 verteks algebrom.Takoer odreujemo minimalan skup generatora za LW2 = M

W2 /vs, inae poznat

rezultat ali ovdje pokazan direktno iz singularnog vektora.Teorem 5.6 Kvocijentna verteks algebra LW2 je jako generirana poljima J

1(x) iJ2(x).

U Poglavlju 6 ukratko ponavljamo deniciju W2,3 verteks algebre, te uspostavljamovezu izmeu W2,3 sa centralnim nabojem c = 2 i MW2 u Teoremima 6.4 i 6.6.

Pokazujemo da je preslikavanje :W2,3 LW2 denirano sa

L(n) 7 J1n, W (n) 7

2

3(J2n +

n+ 2

2J1n),

5

odnosno

L(z) 7 J1(z), W (z) 7

2

3(J2(z) 1

2DJ1(z))

je homomorzam verteks algebri.LW2,3 =W2,3/vs, vs je izomorfna sa LW2 .

U Poglavlju 7, preciznije Teoremu 7.1 opisujemo singularne vektore do nivoa 10. Zate rezultate koristimo Lemu 5.2 i neka programska rjeenja, budui da broj nepoznanicana sve veim nivoima jako brzo raste (na nivou 10 imamo 88 monoma u PBW bazi).

Zatim iz singularnih vektora na nivou 6, odnosno za centralne naboje c = 2, c = 4,analogno Teoremu 5.6, odreujemo minimalan skup generatora verteks algebre LW2c :

Teorem 7.2 LW2c = MW2c /vs je jako generirana poljima J1(z), J2(z), J3(z) i J4(z),

za c {1, 2}.

U Poglavlju 8 opisujemo primarne vektore. To poglavlje je posebno znaajno za vezus parafermionskim verteks algebrama i Poglavljem 10.

Poglavlje 9 je centralni dio disertacije. Ponavljamo rezultate iz [19], [26] o konstruk-cijama verteks algebri W1+ pomou fermionskih polja i Cliordove algebre. Cilj nam jeproiriti ove rezultate za verteks algebru W. Ideja je pomou principa dualnih parovadekomponirati pogodan ekvivarijantan modul na izotipske komponente.

U Toki 9.2. ponavljamo rezultate o konanodimenzionalnim reprezentacijama Liejevegrupe GL(l,C) i Liejeve algebre gl(l). U Toki 9.3. ponavljamo rezultate o dekompozicijiverteks superalgebre Fl iz [37]. Sama dekompozicija dobije se primjenom Teorema 9.1na dualni par (gl(l), gl) za vektorski prostor Fl. Potom se pomou homomorzma :D gl pokazuje da je ireducibilna komponenta za trivijalnu teinu upravo LW1+c .

U Toki 9.5 navodimo deniciju simplektikog fermiona kao verteks superalgebre Fli ponavljamo rezultat Abea o grupi automorzama simplektikih fermiona.

Teorem 9.8 [2] Grupa automorzama AutFl je izomorfna simplektikoj grupiSp(2l,C), koja prirodno djeluje na simplektiki prostor razapet sa {bi(1)|0, ci(1)|0},odnosno

Aut(Fl) ' Sp(2l,C).

Budui da je GL(l,C) podgrupa od grupe automorzama, to moemo promatratidjelovanje GL(l,C) na simplektikim fermionima.

Teorem 9.15

(Fl)GL(l,C) ' LW2c .

Koristei rezultat o generatorima asocijativne algebre AGL(l,C) mi dokazujemo da je(Fl)GL(l,C) ireducibilan modul za glo, to nam primjenom izomorzma daje da jeireducibilan modul za W.

U Teoremu 9.18 dajemo potpunu dekompoziciju simplektikih fermiona kao W-modula:

6

Za teinu parametriziranu cjelobrojnim l-torkama (m1, . . . ,ml) takvim da

m1 m2 . . .mi0 > mi0+1 = 0 = . . .mj01 > mj0 . . .ml

singularni vektor je dan formulom

v = +,m11 . . .

+,mi0i0

,mj0j0

. . . ,mll |0.

Teine za glo su dane relacijomEi,iv = |i|kiv,

gdje je ki broj mpova veih ili jednakih i, za i > 0, odnosno broj mpova manjih ilijednakih i, za i < 0. Tada vrijedi i dekompozicija

Fl =

L(,GL(l,C)) L(o(), glo, l),

gdje je L(,GL(l,C)) ireducibilan GL(l,C)modul najmanje teine a L(o(), glo, l)ireducibilan glo-modul najvee teine o().

Ovi nai rezultati mogu se shvatiti kao eksplicitna realizacija prostih verteks algebriW i u buduem radu planiramo prouavati kombinatorne posljedice tih rezultata.

Konano, u poglavlju 10 u Teoremu 10.3 uspostavljamo vezu s parafermionskim alge-brama. Dokazujemo egzistenciju izomorzma:

K(sl2,1) = LW4 ,

gdje K(sl2, k) oznaava parafermionsku verteksalgebru nivoa k. Ovaj rezultat pokazujeda se parafermionska verteks algebra moe u sluaju k = 1 shvatiti kao verteks algebrapridruena Liejevoj algebri D(1).

7

Poglavlje 2

Verteks algebre i algebre verteksoperatora

U ovom poglavlju deniramo osnovne strukture, verteks algebru i algebru verteks ope-ratora. Zatim deniramo standardne algebarske koncepte (homomorzam, izomorzam,podalgebru, podalgebru generiranu podskupom, ideal, kvocijentnu strukturu) u kontekstuverteks algebri i algebri verteks operatora. Uglavnom pratimo izlaganje iz [29], no korisnareferenca su i monograje [20] i [23].

2.1 Formalni raun

Neka su x, x0, x1,... meusobno komutirajue formalne varijable. Za vektorski prostorV deniramo

V {x} = {nC

vnxn| vn V }, V [[x, x1]] = {

nZ

vnxn| vn V },

V [x] = {nN

vnxn| vn V, vn = 0 za dovoljno velik n}

V [x, x1] = {nZ

vnxn| vn V, vn = 0 osim za konano mnogo n}

V [[x]] = {nN

vnxn| vn V }

V ((x)) = {nZ

vnxn| vn V, postoji N Z takav da vn = 0 za sve n N}.

Za f(x) =

nZ vnxn V [[x]], deniramo formalnu derivaciju s

d

dxf(x) =

nZ

nvnxn1,

te formalni reziduumResxf(x) = v1 End V.

Formalna funkcija je formalni red

(x) =nZ

xn C[[x, x1]].

8

Propozicija 2.1. [29], Proposition 2.3.6 Za prirodan broj n vrijedi(

x2

)nx12

(x1x2

)= (1)n

(

x1

)nx12

(x1x2

)Propozicija 2.2. [29], Proposition 2.3.7 Za prirodne brojeve m i n vrijedi

(x1 x2)m(

x1

)nx12

(x1x2

)=

{(1)mn!(nm)!

(x1

)nmx12

(x1x2

), m n

0, m > n

Denicija 2.3. Verteks algebra je ureena trojka (V, Y,1), gdje je V vektorski prostor,1 V istaknuti vektor (vakuum vektor) i linearno preslikavanje iz V u prostor Laurentovihformalnih redova

Y ( . , x) : V (End V )[[x, x1]]

a 7 Y (a, x) =nZ

anxn1

tako da su sljedei uvjeti ispunjeni

1. Za sve a, b V postoji n0 Z takav da anb = 0 za n > n0.

2. (svojstvo kreacije) Za a V vrijedi limx0 Y (a, x)1 = a. Drugim rijeima, lanoviod Y (a, x)1 pridrueni negativnim potencijama su 0 i slobodni koecijent a11 jea. Svojstvo kreacije ima za posljedicu injektivnu korespodenciju izmeu skupa stanja(vektorskog prostora V ) i ImY (End V )[[x, x1]].

3. (svojstvo vakuuma) Y (1, x) = IdV , identiteta na V .

4. (svojstvo derivacije) Postoji preslikavanje D End V takvo da vrijedi D1 = 0,[D, Y (a, x)] = d

dxxY (a, x) = Y (Da, x), za sve a V . Iz ovog uvjeta direktno slijedi

Da = a21.

5. (lokalnost ili slaba komutativnost)

Za svaka dva a, b V postoji N Z+ takav da

(x1 x2)N [Y (a, x1), Y (b, x2)] = 0.

Propozicija 2.4. ([29], Theorem 3.5.1) U verteks algebri (V, Y,1) vrijedi Jacobijevidentitet,

x10

(x1 x2x0

)Y (u, x1)Y (v, x2) x10

(x2 x1x0

)Y (v, x2)Y (u, x1)

= x12

(x1 x0x2

)Y (Y (u, x0)v, x2),

pri emu je (x) =

nZ xn delta funkcija.

Znaaj Jacobijeva identiteta je viestruk. Kao aksiom, moe zamijeniti svojstvo deri-vacije i lokalnost u deniciji verteks algebre (detaljno razmatranje o meusobno ekviva-lentnim karakterizacijama verteks algebre nalazi se u [29]).

9

S druge strane, u Jacobijevom identitetu je zapisan beskonaan skup operatorskihidentiteta u End V . Usporedba koecijenata uz monom

xl10 xm11 x

n12

daje Borcherdsovu relaciju iz [12]i0

(1)i(l

i

)(um+livn+i (1)lvn+lium+i) =

i0

(m

i

)(ul+iv)m+ni.

esto se postavljaju dodatni zahtjevi, vezani za graduaciju.

Denicija 2.5. Za graduirani vektorski prostor V =nZ V(n) kaemo da je

1. kvazikonaan ako dimV(n)

Dokaz. Iz komutacijskih relacija za Virasorovu algebru se lako vidi da algebra verteksoperatora mora zadovoljavati ove relacije. Pretpostavimo da imamo verteks algebru kojaispunjava uvjete propozicije. Uvrtavanjem u Borcherdsovu relaciju u = v = , l = 0,m m+ 1, n n+ 1 dobije se

[L(m), L(n)] = [m+1, n+1] =i0

(m+ 1

i

)(i)m+n+2i =

(0)m+n+2 + (m+ 1)(1)m+n+1 +

(m+ 1

3

)(3)m+n1 =

(D)m+n+2 + 2(m+ 1)()m+n+1 +(m3 m)cV

6(1)m+n1 =

(m+ n+ 2)m+n+1 + 2(m+ 1)m+n+1 +(m3 m)cV

6m,n =

(m n)L(m+ n) + (m3 m)cV

6m,n

Denicija 2.8. Neka su (V1, Y1,1) i (V2, Y2,1) verteks algebre. Homomorzam verteksalgebri je linearno preslikavanje f : V1 V2 takvo da

f(Y1(u, x)v) = Y2(f(u), x)f(v) u, v V1

odnosnof(unv) = f(u)nf(v), u, v V1 , n Z,

tef(1) = 1.

Homomorzam algebri verteks operatora (V1, Y1,1, 1) i (V2, Y2,1, 2) je homomorzamverteks algebri f : V1 V2 uz dodatni zahtjev na konformne vektore

f(1) = 2 odnosno fL1(n) = L2(n)f.

Zbog fL1(0) = L2(0)f vidimo da f uva graduaciju, a zbog Li(2)Li(2) = 12cV i1 za

i = 1, 2 vidimo da centralni naboji moraju biti jednaki.

Denicija 2.9. Podalgebra verteks algebre (V, Y,1) je vektorski potprostor U od V takavda 1 U i da je (U, Y,1) verteks algebra.

Drugim rijeima, U mora sadravati vakuum vektor i biti zatvoren na operaciju uverteks algebri, odnosno Y (u, x)v U((x)) za u, v U , tj. unv U za u, v U . Analogankoncept za algebre verteks operatora mora voditi rauna i o konformnom vektoru.

Denicija 2.10. Neka je (V, Y,1, ) algebra verteks operatora. Podalgebra verteks ope-ratora od V je vektorski potprostor U takav da 1, U i (U, Y,1, ) je algebra verteksoperatora.

Ekvivalentno, podalgebra verteks operatora je verteks podalgebra koja sadri (isti)konformni vektor .

Potreban nam je i koncept algebarske podstrukture generirane podskupom (kao na-primjer podgrupa, podalgebra asocijativne ili Liejeve algebre).

11

Denicija 2.11. Neka je S V . Verteks podalgebra generirana skupom S (oznaka S)je najmanja verteks podalgebra od V koja sadri V . Drugim rijeima S je presjek svihverteks podalgebri od V koje sadre S.

Naprimjer, za prazan skup, = C1.

Propozicija 2.12. Za podskup S verteks algebre V vrijedi

S = span{u(1)n1 ...u(r)nr 1 | r N, u

(1), ..., u(r) S, n1, ..., nr Z}.

Denicija 2.13. Neka je S skup generatora verteks algebre V . Ako vrijedi

V = span{u(1)n1 ...u(r)nr 1 | r N, u

(1), ..., u(r) S, n1, ..., nr Z

Denicija 2.16. Neka je V = (V, Y,1) verteks algebra. V -modulom nazivamo ureenipar (W,YW ), pri emu je W vektorski prostor sa linearnim preslikavanjem

YW ( , x) : V (End W )[[x, x1]]

v 7 YW (v, x) =nZ

vnxn1,

takvim da za sve u, v V i w W

unw = 0 za dovoljno velikin,

ili, ekvivalentnoYW (u, x)w W ((x));

YW (1, x) = IdW ;

x10

(x1 x2x0

)YW (u, x1)YW (v, x2) x10

(x2 x1x0

)YW (v, x2)YW (u, x1)

= x12

(x1 x0x2

)YW (Y (u, x0)v, x2)

(Jacobijev identitet).

Vidimo da su aksiomi modula za verteks algebru analogni odgovarajuim aksiomimaverteks algebre. Jedini koji nema pandana je aksiom kreacije, logino jer je YW (v, x)1 Wa v V .

Verteks algebra V je oito V -modul i naziva se adjungirani modul, kao u teoriji Liejevihalgebri.

Svojstvo derivacije vrijedi ali uz ogranienja. Naime, vrijedi formula

YW (Dv, x) =d

dxYW (v, x), v V,

ali problem je u izrazu [D, Y (v, x)]. Naime, D End V je kanonski deniran sa Dv =v21, ali nije jasno to bi bio D EndW .

Denicija 2.17. V -modul (W,YW , d) je ureena trojka takva da je (W,YW ) V -modul,d EndW endomorzam takav da za v V

[d, YW (v, x)] = YW (Dv, x) =d

dxYW (v, x).

Ako je V algebra verteks operatora i (W,YW ) modul za verteks algebru V , lako se vidida ba L(1) = LW (1) ispunjava ulogu derivacije na W .

Denicija 2.18. Vektorski prostor W je modul za algebru verteks operatora V ako jemodul za verteks algebru (V, Y,1) i ako vrijedi

W =hC

W(h),

pri emu su W(h) = {w W |L(0)w = hw} teinski potprostori, uz uvjete da su W(h)konano dimenzionalni, te da postoji M R takav da W(h) = 0 za Reh < M .

13

Prirodno se denira pojam homomorzma modula verteks algebre i modula za algebruverteks operatora.

Denicija 2.19. Neka su (W1, Y1) i (W2, Y2) moduli za verteks algebru V . HomomorzamV -modula je linearno preslikavanje : W1 W2 takvo da

(Y1(v, x)w) = Y2(v, x)(w) za v V, w W1

ili, zapisano u terminima komponenti

(v(1)n w) = v(2)n (w) za v V, w W1, n Z.

Prostor V -homomorzama iz W1 u W2 oznaavamo sa HomV (W1,W2).

Ako je V algebra verteks operatora i (W1, Y1) i (W2, Y2) Vmoduli, V -homomorzam je kompatibilan s graduacijama:

((W1)(h)) (W2)(h).

Izomorzam, endomorzam i automorzam se deniraju na standardan nain. Algebraendomorzama V -modula W se oznaava EndV (W ).

Denicija 2.20. Neka je W V -modul i neka je U potprostor od W . U je podmodul odW ako je (U, Y|U) V -modul.

Neka je T podskup od W . Najmanji podmodul koji sadri T nazivamo podmodulgeneriran skupom T i oznaavamo T .

Vrijedi analogon karakterizacije verteks podalgebre generirane skupom.

Propozicija 2.21. Neka je W V -modul i T W . Tada

(1)T = SpanC{v(1)n1 . . . v

(r)nr w| r N, v

(1), ..., v(r) V, n1, ..., nr Z, w T},

(2)T = SpanC{vnw| v V,w T, n Z}.

Drugi dio propozicije ustvari kae da se kompozicija verteks operatora u podmodulumoe zapisati kao linearna kombinacija verteks operatora iz tog podmodula.

Koncept operatora ispreplitanja i pravila fuzije je generalizacija pojma tenzorskogprodukta modula ([21], [30]).

Denicija 2.22. Neka suM1,M2,M3 tri V -modula. Operator ispreplitanja tipa(

M3

M1,M2

)je linearno preslikavanje

I(, x) : M1 (Hom(M2,M3)){x},

u 7 I(u, x) =C

ux1

koji ispunjava sljedee uvjete

(i1) Za svaki u M1, v M2, C, u+nv = 0 za n Z dovoljno velik.

(i2) I(L(1)u, x)v = ddxI(u, x)v za u M1, v M2.

14

(i3) Za a V ,u M1, v M2 vrijedi Jacobijev identitet

x10

(x1 x2x0

)Y (a, x1)I(u, x2)v x10

(x2 x1x0

)I(u, x2)Y (a, x1)v

= x12

(x1 x0x2

)I(Y (a, x0)u, x2)v

.

Oznaimo sa I(

M3

M1,M2

)vektorski prostor svih operatora ispreplitanja tipa

(M3

M1,M2

). Di-

menzija tog vektorskog prostora naziva se pravilo fuzije za taj tip.

2.3 Konstrukcija verteks-algebri

U ovom poglavlju izlaemo denicije i rezultate potrebne za Teorem o generirajuimpoljima. Taj teorem je vaan alat u konstrukciji primjera verteks algebri. Ideja konstruk-cije je da se za odreene formalne redove potencija, slabe verteks operatore

a(x) =nZ

anxn1,

odrede dovoljni uvjeti da bi oni generirali neku verteks algebru, odnosno algebru verteksoperatora. Pratimo izlaganje iz [29].

Denicija 2.23. Neka je W vektorski prostor. Slabi verteks operator na W je formalnired potencija

a(x) =nZ

anxn1 Hom(W,W ((x))).

Prostor Hom(W,W ((x))) slabih verteks operatora oznaavamo sa E(W ).Neka je d EndV . Slabi verteks operator na paru (W,d) je slabi verteks operator na

W takav da[d, a(x)] = a(x) =

d

dxa(x)

Prostor slabih verteks operatora na paru (W,d) oznaavamo sa E(W,d).

Preslikavanje denirano formulom

a(x)nb(x) = Resx1((x1 x)na(x1)b(x) (x+ x1)nb(x)a(x1))

ima za rezultat slabi verteks operator ([29]) pa moemo denirati preslikavanje

YE(, x0) (End E(W )[[x0, x10 ]]

a(x) 7 YE(a(x), x0) =nZ

a(x)nxn10

Problem nastaje jer ne mora vrijediti

YE(a(x), x0) Hom (E(W ), E(W ))((x0)),

pa ni Jacobijev identitet nije deniran.

15

Denicija 2.24. Slabi verteks operatori a(x) i b(x) na W su meusobno lokalni akopostoji k N0 takav da

(x1 x2)k[a(x1), b(x2)] = 0.

Slabi verteks operator koji je meusobno lokalan sam sa sobom nazivamo verteks operator.

Teorem 2.25. ([29], Theorem 5.5.18.) Neka je S E(W ) skup meusobno lokalnihverteks operatora na W . Tada se S moe uloiti u verteks podalgebru od E(W ), odnosnoslaba verteks podalgebra S generirana sa S je verteks algebra kojoj je W vjeran modul.Vrijedi

S = SpanC{a(1)(x)n1 ...a(r)(x)nr1|a(i)(x) S, ni Z, i = 1, ...r, r 0}

Teorem 2.26. ([29], Theorem 5.7.1.) Neka je V vektorski prostor sa istaknutim vek-torom 1 i linearnim operatorom d takvim da d1 = 0. Neka je dan T V i preslikavanje

Y0 : T Hom(V, V ((x)))

a 7 Y0(a, x) =nZ

anxn1

takvo da vrijedi Y0(a, x)1 V [[x]] i a11 = a,

[d, Y0(a, x)] =d

dxY0(a, x);

za a, b T postoji prirodan broj k takav da

(x1 x2)k[Y0(a, x1), Y0(b, x2)] = 0;

i v je linearno generiran vektorima

a(1)n1 ...a(r)nr 1,

za r 0, a(i) T , ni Z.Tada se Y0 moe na jednistven nain proiriti do linearnog preslikavanja

Y (, x) : V Hom(V, V ((x)))

takvog da je (V, Y,1) verteks algebra. Y je zadan relacijom

Y ((1)n1 ...a(r)nr 1, x) = a

(1)(x)n1 ...a(r)(x)nr1V

pri emu za a T , a(x) = Y0(a, x). Operator d na V zadovoljava aksiom derivacije. Uzoznaku

T (x) = {a(x)|a T}

izomorzam verteks algebri : T (x) V dan je formulom

(x) 7 Resxx1(x)1.

16

Teorem 2.27. ([29] Theorem 5.7.4) U uvjetima prethodnog teorema, neka je V res-tringiran modul za Virasorovu algebru centralnog naboja l tako da vrijedi L(1) = d iL(2)1 T , tako da koecijenti od Y0(L(2)1, x) odgovaraju danoj reprezentaciji Vira-sorove algebre na V :

Y0(L(2)1, x) = LV (x) =nZ

L(n)xn2.

Pretpostavimo da za svaki a T postoji m Z takav da

[L(0), a(x)] = ma(x) + xa(x),

odnosno[L(0), an] = (m n 1)an, zan Z.

Tada se Y0 moe proiriti na jedinstven nain do linearnog preslikavanja Y sa V uHom(V, V ((x))), tako da (V, Y,1, L(2)1) ima strukturu algebre verteks operatora (bezzahtjeva na graduaciju).

2.4 Zhuova algebra

Ponavljamo konstrukciju Y. Zhua, koji je u svojoj disertaciji [39] pokazao da kvocijentverteks algebre V po odreenom idealu O(V ), uz pogodno deniran produkt, ima struk-turu asocijativne algebre. Znaaj te algebre proizlazi iz Teorema 2.31 i 2.32 koji problemklasikacije ireducibilnih modula za verteks algebru transformira u problem klasikacijeireducibilnih modula za asocijativnu algebru.

Denicija 2.28. Neka je V algebra verteks operatora. Deniramo bilinearna preslikava-nja

: V V V

: V V V.

Za homogeni a V i b V stavimo

a b = Resx(1 + x)wta

x2Y (a, x)b =

i0

(wta

i

)ai2b

a b = Resx(1 + x)wta

xY (a, x)b =

i0

(wta

i

)ai1b

i proirimo na V V V po linearnosti. Oznaimo s O(V ) linearnu ljusku elemenataoblika ab, a s A(V ) kvocjentni prostor V/O(V ). Za a V projekciju u A(V ) oznaavamos [a].

Teorem 2.29. [39] (A(V ), ) je asocijativna algebra.

Propozicija 2.30. [21] Neka je J ideal od V takav da 1 / J , / J . Tada je asocijativnaalgebra A(V/J) izomorfna algebri A(V )/A(J), pri emu je A(J) slika od J u A(V ).

Za homogeni a V deniramo o(a) = awta1 i proirimo na V po linearnosti.

17

Teorem 2.31. [39] (a) Neka je M = n=0M(n) Z+-graduirani slabi V -modul. Tada jeM(0) A(V )-modul s djelovanjem

[a].v = o(a)v,

za sve a V i v M(0).(b) Neka je U A(V )-modul. Tada postoji Z+-graduirani slabi V -modul M takav da suA(V )-moduli M(0) i U izomorfni.

Teorem 2.32. [39] Postoji bijektivna korespondencija izmeu klasa ekvivalencije iredu-cibilnih A(V )-modula i klasa ekvivalencije ireducibilnih Z+-graduiranih slabih V -modula.

Navodimo i rezultat Abea o generatorima Zhuove algebre.

Propozicija 2.33. ([2] Proposition 2.5.) Neka je V algebra verteks operatora i Sskup koji jako generira V . Tada je A(V ) kao asocijativna algebra generirana skupom{[a]| a S}.

Ove rezultate emo koristiti pri odreivanju Zhuove algebre A(MW1+c ) i potom zaodreivanje parametrizacije za A(LW1+1 ).

18

Poglavlje 3

Verteks algebra W1+

U ovom poglavlju prvo ponavljamo konstrukciju verteks algebre W1+ iz [19] kojanam je potrebna u nastavku radnje. Uz to i dajemo nove dokaze o strukturi Zhuovealgebre i precizan izvod nekih formula za singularne vektore iz [25].

Prvo navodimo denicije Liejevih algebri D i gl i njihove generalizirane Vermaovemodule. Navodimo deniciju homomorzam

0 : D gl

koji na glmodulima inducira strukturu Dmodula. 0 se proiruje analitiki do izo-morzma

: DO gl,gdje je DO analitiko proirenje od D. Ova konstrukcija je izuzetno vana jer se iz njemoe dokazati da su ireducibilni kvazikonani gl-moduli ujedno i ireducibilni kvazikonaniDmoduli.

Za ilustraciju, na primjeru poznatih formula singularnih vektora za gl rekonstruiramosingularne vektore za D za male centralne naboje. Zatim deniramo skup slabih verteksoperatora za koje se vidi da su meusobno lokalni, tj. da ispunjavaju uvjete Teorema ogenerirajuim poljima. Time generalizirani Vermaov modul za D dobiva strukturu ver-teks algebre. Naposljetku razmatramo neke primjere Zhuovih algebri pridruenih W1+verteks algebrama.

3.1 Liejeva algebra DDenicija 3.1. Deniramo graduirani vektorski prostor

D = SpanC{Jkm : m Z, k Z0},

pri emu su Jkm = tk+mkt (diferencijalni operatori na krunici u varijabli t), a teinezadane relacijama wt Jkm = m.

Propozicija 3.2. Uz komutator deniran formulom

[Jkm, Jln] =

max(k,l)i=1

((l

i

)[k +m]i

(k

i

)[l + n]i

)Jk+lim+n ,

pri emu je [x]i = x (x 1) ... (x i+ 1) (silazni produkt ili silazna potencija), D imastrukturu graduirane Liejeve algebre, gdje je wt Jkm = m.

19

Radi urednijeg zapisa, ponekad emo koristiti oznaku Ak,lm,n(i) za koecijent(li

)[k +

m]i (ki

)[l + n]i.

Neka je D = tt. Operatori Lkm = tmDk tvore alternativnu bazu za D. Vrijediformula Jkm = tm[D]k. U terminima potencija od t i formalnih polinoma f i g u Dvrijedi formula za komutator

[tmf(D), tng(D)] = tm+n(f(D + n)g(D) f(D)g(D +m)).

Propozicija 3.3. Uz 2-kociklus deniran formulom

(trf(D), tsg(D)) =

1j=r

f(j)g(j + r), r = s 0

(tsg(D), trf(D)), r = s < 00, inae

D = D CC je (do na izomorzam jedinstveno) centralno proirenje od D.

Ovo centralno proirenje prvi put se pojavilo u lanku [24] a dokaz jedinstvenosticentralnog proirenja se moe nai u [18] ili [31].

Vrijede relacije za kociklus

(f(t)kt , g(t)lt) =

k!l!

(k + l + 1)!Rest=0f

(l+1)(t)g(k)(t)dt,

(Jkm, Jln) = m,n

k!l!

(k + l + 1)![k +m]l+1[l m]k.

Uz teine wtLkm = wtJkm = m, wtC = 0, centralno proirenje D = D CC ima

Z-graduacijuD =

mZ

Dm.

Pri tome je Dm = SpanC{Jkm : k Z0}, Dm = Dm za m 6= 0 i D0 = D0 CC.

D sadri Heisenbergovu algebru generiranu sa L0m = J0m,m Z

[L0m, L0n] = [J

0m, J

0n] = m,nmC

i dvije parametrizirane familije Virasorovih algebri V ir(), C, generirane sa

L+m() = L1m + (m+ 1)L

0m,

Lm() = L1m + (m+ (1m))L0m.

pa je relacija za komutator u tim Virasorovim algebrama

[Lm(), Ln ()] = (m n)Lm+n() + m,n

mm3

6(1 6 + 62)C.

Vidimo da je centralni element od V ir() skalirani centralni element od D, tj. cen-tralni naboji su povezani relacijom

C = (12 122 2)CD.

20

Za = 0 dobivamo L+m(0) = L1m = J

1m i C0 = 2CD.

Liejeva algebra D ima trokutastu dekompoziciju

D = D+ D0 D,

pri emu D =jN

Dj.

Za funkcional D0 i centralni naboj c C deniramo Vermaov modul najveeteine

MD(c, ) = U(D)U(D0D+) Cv,

gdje je Cv jednodimenzionalni (lijevi) U(D0 D+)-modul, sa djelovanjima deniranimana sljedei nain

Cv = cv,

hv = (h)v, h D0,

D+v = 0.

Postoji jedinstven ireducibilan kvocijent LD(c, ) Vermaovog modula MD(c, ).Iz Poincar-Birkho-Wittovog teorema i univerzalnosti modula slijedi

Propozicija 3.4. Baza modula MD(c, ) je

{rj=1

Jkjmjv : r Z0, kj Z0, mj Z, (mj, kj) (mj+1, kj+1)}.

Pri tom tvrdnja vrijedi za bilo koji ureaj na skupu Z2, mi uzimamo

(mi, ki) < (mj, kj) ((mi > mj) ili (mi = mj i ki < kj)).

Vermaov modulMD(c, ) nije kvazikonaan jer bazu za (MD(c, ))(n) ine svi (r

j=1 Jkjmj)v

iz baze za MD(c, ) takvi da jer

j=1mj = n. Treba nam dodatna struktura.

Denicija 3.5. Podalgebru p Z-graduirane Liejeve algebre g nazivamo parabolikompodalgebrom ako sadri Borelovu podalgebru g0 + g+.

Propozicija 3.6. Deniramo

P = SpanC{Jkm : m+ k 0},

P = P CC.

P je parabolika podalgebra od D.

Dokaz. Prvo dokaimo zatvorenost na komutator. Iz formule za komutator vidimo da jeP = [P ,P ] generirana elementima((

l

i

)[k +m]i

(k

i

)[l + n]i

)Jk+lim+n ,

gdje jek, l Z0, i,m, n Z, k +m 0, l + n 0, max(k, l) i.

21

Vidimo da ako element Jk+lim+n nije sadran u P , vrijedi i > k + m i i > l + n pa su[k +m]i = [l+ n]i = 0, odnosno koecijent mu je 0. Dakle komutator dva elementa od Pje linearna kombinacija elemenata iz P , odnosno P P .P je parabolika tj. sadri D0 jer Jkm D0 povlai m 0 pa je m+ k 0.

Ako je najvea teina = 0, tada D0+D+modul Cv0 moemo proiriti do Pmoduladjelovanjem P v0 = 0. Inducirani modul

MD(c, P) = U(D)U(P) Cv0.

je kvocijent Vermaovog modula MD(c, 0) i naziva se generalizirani Vermaov modul.

Navodimo sada vanu karakterizaciju kvazikonanih modula.

Teorem 3.7. ([25], Theorem 4.2) LD(c, ) je kvazikonaan modul ako i samo ako seformalni red

(x) =n=0

xn

n!(Ln0 )

moe zapisati u obliku

(x) =

mi=1 x

nieix

ex 1, m, ni Z+, i C.

22

3.2 Liejeva algebra gl

Denicija 3.8. Neka je gl vektorski prostor beskonanih matrica A = (ai,j)i,jZ sa ko-nano mnogo nenul dijagonala. Drugim rijeima, za svaki A = (ai,j)i,jZ iz gl postojikonaan podskup S Z takav da j i / S povlai ai,j = 0.

Matrini produkt elemenata od gl je tada dobro deniran upravo zbog uvjeta nadijagonale. Sa Ei,j oznaimo matricu koja na koordinatama (i, j) ima 1 a drugdje 0. Iakoformalni zapis

A =i,jZ

i,jEi,j

nije konaan pa nije linearna kombinacija, jednoznano opisuje elemente od gl.

Propozicija 3.9. gl uz operaciju matrinog produkta ima strukturu asocijativne algebre.Uz komutator

[A,B] = AB BA

i Z-graduaciju zadanu sa wtEi,j = j i, gl ima strukturu Z-graduirane Liejeve algebre.

Dokaz. Antisimetrinost se direktno vidi. Za A =

a,bZ a,bEa,b, B =

c,dZ c,dEc,d teC =

p,qZ p,qEp,q vrijedi

[[A,B], C] =

a,b,c,d,p,qZ

a,bc,dp,q[[b,cEa,d a,dEc,b], Ep,q] =

a,b,c,d,p,qZ

a,bc,dp,q(b,cd,pEa,q b,ca,qEp,d a,db,pEc,q + a,dq,cEp,b) =

a,b,c,d,u,vZ

(u,bb,dd,v a,bb,vu,a a,bu,ab,v + a,vc,au,c)Eu,v.

Cikliko uvrtavanje povlai da je koecijent uz Eu,v u [[A,B], C]+[[B,C], A]+[[C,A], B],lijevoj strani Jacobijevog identiteta upravo

a,b,c,dZ

(u,bb,dd,v a,bb,vu,a a,bu,ab,v + a,vc,au,c + u,bb,dd,v

a,bb,vu,a a,bu,ab,v + a,vc,au,c + u,bb,dd,v a,bb,vu,aa,bu,ab,v + a,vc,au,c) = 0.

Matrice koje imaju samo jednu netrivijalnu dijagonalu moemo zapisati kao

A =iZ

iEi,i+a, B =jZ

jEj,j+b

pa vrijedi[A,B] =

iZ

(ii+a i+bi)Ei,i+a+b,

odnosno struktura Liejeve algebre je konzistentna sa graduacijom.

23

Zbog Z-graduacije vrijedi trokutasta dekompozicija

gl =

(jZ>0

glj

) gl0

(jZ0

glj

) gl0

(jZ 0 j} se vidi da je parabolika podalgebra od gl jersadri gl+ gl0 i zatvorena je na komutator. Neka 0 najvea teina takva da 0(Ej,j) = 0za svaki j i 0(K) = c. Imamo generalizirani Vermaov modul

Mgl(c, p) = U(gl)U(p) Cv0 .

Veza izmeu D i gl je uspostavljena u [25]:

Teorem 3.11. Preslikavanje 0 : D gl denirano relacijama

0(tmf(D)) =

jZ

f(j)Ejm,j, f C[x],

0(C) = K

je homomorzam Liejevih algebri. 0 se prirodno proiruje na homomorzam : DO gl, pri emu je

DO = SpanC{tmf(D)|f(x) O},

O skup holomorfnih funkcija. je izomorzam.

24

Dokaz. je surjektivan zbog injenice da za svaki diskretan skup argumenata (u naemsluaju Z) i zadanih vrijednosti postoji holomorfna funkcija koja u zadanim tokamapoprima zadane vrijednosti.

Teorem 3.12. inducira strukturu D-modula na gl-modulima. tovie, vrijedi (P) p, pa je

MD(c,P)Mgl(c, p)

izomorzam D modula.

Denicija 3.13. Neka je g Zgraduirana Liejeva algebra. Za vektor v 6= 0 u gmoduluV najvee teine kaemo da je singularan ako g+v = 0.

Modul najvee teine V je ireducibilan ako i samo ako su jedini singularani vektorioni kolinearni sa vektorom najvee teine.

Propozicija 3.14. Singularan vektor za gl u Mgl(c, p) je ujedno i singularan vektor za

D.

Dokaz slijedi koritenjem homomorzma .

25

3.3 Konstrukcija nekih singularnih vektora za gl

U [25] su opisani singularni vektori za gl kad je c Z+:

Propozicija 3.15. Za c Z+ singularni vektor za gl u Mgl(c, p) dan formulom vc =Ec+11,0 1, a ireducibilni modul najvee teine je kvocijent

Lgl(c, p) = Mgl(c, p)/(U(gl)Ec+11,0 1).

Promotrimo analitiku fukciju

f(x) =sin(x)

x=i=0

(1)n(x)2n

(2n+ 1)!=s=1

(1 x2

s2).

Vrijedi (t1f(D)) = E1,0, pa singularni vektor iz Propozicije 3.15 moemo zapisati kao((t1f(D))c+1)1.

U kvazikonanom DO modulu, vektor tmg(D)1 moemo zapisati kao tmg(D)1 gdje jeg(x) holomorfna funkcija, a g(x) polinom.

Oito je t1f(D)1 = t11. Za centralni naboj c = 1 raunamo

(t1f(D))21 = t1f(D)t1f(D)1 = t1f(D)t11 = (t1t1f(D) + [t1f(D), t1])1 =

((t1)2 + t2(f(D 1) f(D)))1

Na nivou 2 vrijedi relacija t2[D]21 = t2D(D 1)1 = J221 = 0.Direktnim raunom se dobije

t2(f(D 1) f(D))1 = t2(2D 1)1.

Uvrtavanjem u prethodni raun dobivamo

(t1f(D))21 = ((t1)2 + t2(2D 1))1 = ((J01)2 + J02 2J12)1.

Do na skalar 1 isti rezultat emo kasnije dobiti direktnim raunom.

Ponovimo istu priu za c = 2.

(t1f(D))31 = t1f(D)(t1f(D))21.

Uvrtavanje (t1f(D))21 = ((t1)2 + t2(2D 1))1 i koritenje komutacijske relacije uDO daje

((t1)3 + 3t1t2(2D 1) t3(2Df(D 2) 2f(D 1) 2f(D)(D 2) 2))1.

Slino kao u prethodnom sluaju dobivamo

t3(2Df(D 2) 2f(D 1) 2f(D)(D 2) 2))1 = t3(6[D]2 6D + 2)1,

pa zakljuujemo

v2 = ((J01)3 3J01J02 + 6J01J12 6J23 + 6J13 2J03)1.

26

3.4 Konstrukcija verteks algebre W1+Propozicija 3.16. [19] Vektorima iz MW1+c = MD(c,P) oblika Jkk11 pridruimo slabeverteks operatore Svi Jk(x), k Z0 su meusobno lokalni.

Dokaz. Raunamo komutator polja Jk(x1) i J l(x2) pomou komutacijskih relacija u D:

[Jk(x1), Jl(x2)] =

i0,m,nZ

((l

i

)[k +m]i

(k

i

)[l + n]i

)Jk+lim+n x

km11 x

ln12

+m,nZ

cm,nk!l!

(k + l + 1)![k +m]l+1[l m]kxkm11 xl+m12 .

Oznaimo prvu sumu sa I, drugu sa II. Raspis prve sume pomou komutacijskih relacijau D nam daje

I =

i0,m,nZ

(l

i

)[k +m]iJ

k+lim+n x

klmn+i12 x

ki+m2 x

km11

i0,m,nZ

(k

i

)[l + n]iJ

k+lim+n x

klmn1+i1 x

l+ni1 x

ln12 =

i

(l

i

)m+n

Jk+lim+n xklmn1+i2

m

[k +m]ixk+mi2 x

km11

i

(k

i

)m+n

Jk+lim+n xklmn1+i1

m

[l + n]ixl+ni1 x

ln12 =

i0

(l

i

)Jk+li(x2)

(

x2

)ix12

(x2x1

)i0

(k

i

)Jk+li(x1)

(

x1

)ix11

(x2x1

).

Sad Propozicija 2.1 povlai da je

I =k+li=0

((1)i

(l

i

)Jk+li(x2)

(k

i

)Jk+li(x1)

)(

x2

)ix11

(x1x2

).

Druga suma, ona koja proizlazi iz 2-kociklusa, iznosi

II =ck!l!

(k + l + 1)!

mZ

[k +m]l+1[l m]kxkm11 xk+m(l+k+1)2 =

ck!l!

(k + l + 1)!

mZ

(1)k[k +m]k+l+1(

x2

)k+l+1x11

(x1x2

),

pa vrijedi relacija

[Jk(x1), Jl(x2)] =

k+li=0

((1)i

(l

i

)Jk+li(x2)

(k

i

)Jk+li(x1)

)(

x2

)ix11

(x1x2

)

+(1)k k!l!c(k + l + 1)!

(

x2

)k+l+1x11

(x1x2

)Koristei relaciju (x1 x2)m( x1 )

nx12 (x1x2

) = 0 za m > n iz Propozicije 2.2 vidimo damnoenjem komutatora sa (x1 x2)k+l+2 postiemo lokalnost.

27

Teorem 3.17. (MW1+c , Y,1, ()), pri emu 1 = 1 v0, () = (J12 + J02)1, jealgebra verteks operatora. Pri tome je jako generirana poljima Jk(x), k Z0 uz

Y (Jkk11, x) =mZ

Jkmxkm1 = Jk(x)

koji se jedinstveno proiruje na

Y (, x) : MW1+c (EndMW1+c )[[x, x1]].

Korolar 3.18. Svaki modul iz kategorije O je modul za MW1+c . Posebno, svaki ireduci-bilni modul najvee teine je modul za MW1+c .

Zhuova algebra

Rezultat o strukturi Zhuove algebre A(MW1+c ) iskazan je u [19] ali dokaz nije prezen-tiran. Zbog potpunosti izlaganja dokaz navodimo ovdje.

Teorem 3.19. A(MW1+c ) je polinomijalna algebra u beskonano varijabli, tj izomorfnasa C[x0, x1, ..., xn, ...].

Dokaz. Zbog 2.33 znamo da je A(MW1+c ) generirana sa [Jkk11]. Preostaje nam dokazati

komutativnost Zhuove algebre. Koristei formulu

[a b b a] = Resx(1 + x)wt a1Y (a, x)b+O(V )

i komutatorsku relaciju za D, vidimo da je

[[Jkk11], [Jll11]] = [J

kk11] [J ll11] [J ll11] [Jkk11] =

= [Jkk11 J ll11 J ll11 Jkk11] = Resx(1 + x)kJk(x)J ll11 +O(V ) =i=0

(k

i

)JkikJ

ll11 +O(V ) =

i=0

(k

i

)[Jkik, J

ll1]1 +O(V ) =

ki=0

(k

i

) k+lj=0

(

(l

j

)[i]j

(k

j

)[1]j)Jk+ljikl11 +O(V ).

To je linearna kombinacija elemenata oblika [Jk+ljikl11] = [Jk

m1]. Ako je k + m 0,

element Jk

m1 je trivijalan, pa je i njegova projekcija u Zhuovu algebru takoer trivijalna.U protivnom, p = k m 1 0 pa koristei poznate relacije

Jk

m1 =1

(k m 1)!Dk

m1Jk

k11

[(L(0) + L(1))a] = [(L(0) +D)a] = 0

vidimo da je

[Jk

m1] = (1)p(k + p

p

)[Jk

k11],

odnosno

[[Jkk11], [Jll11]] =

k+li=0

i[Jii11],

28

za neke koecijente i, i = 0, . . . , k + l. Linearnu kombinaciju elemenata oblika [Jk

m1]smo sveli na linearnu kombinaciju elemenata oblika [J ii11], koji su generatori Zhuovealgebre.

Ako je neki s netrivijalan, deniramo na generatorima jednodimenzionalnu reprezen-taciju asocijativne algebre A(MW1+c )

([J ii11]) = i,s, i Z+, (1) = 1.

Primjenimo li reprezentaciju na relaciju za komutator [[Jkk11], [Jll11]], dobijemo da

je lijeva strana jednaka

([Jkk11])([Jll11]) ([J ll11])([Jkk11]).

Ukoliko k 6= s, ([Jkk11]) = 0 i komutator je jednak 0. Ako je k = l = s imamo istizakljuak zbog [[Jkk11], [J

kk11]] = 0. S druge strane,

k+li=0

i([Jii11]) = s 6= 0.

Time smo doli do kontradikcije, odnosno za proizvoljne k, l, generatori [Jkk11] i [Jll11]

komutiraju, pa je tada i asocijativna algebra A(MW1+c ) komutativna.

3.5 Primjer c=1

Odredimo singularne vektore za D uMW1+c za neke male centralne naboje. Singularanvektor generira ideal u verteks algebri, koji je u korespodenciji sa idealom u Zhuovojalgebri.

Singularne vektore za D raunamo direktno po deniciji, za razliku od Toke 3.3, gdjesmo ih rekonstruirali iz singularnih za gl pomou homomorzma .

Na konformnoj teini 2 (centralni naboj c = 1) singularni vektor traimo u obliku

v = (AJ12 +BJ02 + C(J

01)

2)1, A,B,C C.

JkmJ121 = (J

12J

km +

k+1i=0

((1

i

)[k +m]i

(k

i

)[1]i

)Jk+1im2 + m,2[1]k)1,

JkmJ021 = (J

02J

km

ki=1

(k

i

)[2]iJkim2 + m,2(k + 2)[1]k)1,

Jkm(J01)

21 = ((J01)2Jkm +

k1i=1

kij=1

(k

i

)[1]i

(k ij

)[1]jJkijm2 + 2m,1[1]kJ01

2m,2k[1]k 2ki=1

(k

i

)[1]iJ01Jkim1)1.

29

U raunu esto koristimo relaciju [1]k = (1)kk! (kad je mogue kraenje s odgovaraju-im nazivnikom binomnog koecijenta).

Jkmv je vektor na nivou 2 m. U sluaju m > 2 takav vektor ne postoji, odnosnoJkmv = 0. m = 2 daje jednadbu

Jk2 v = (A[1]k +B(k + 2)[1]k Ck[1]k)1.

To mora vrijediti za svaki k Z0 pa dobijemo sustav jednadbi

A+ 2B = 0,

B C = 0,

ije je (jedno) rjeenje A = 2, B = C = 1. Singularni vektor mora biti oblika v =(2J12 J02 (J01)2)1. Uvrtavanje m = 1 daje

Jk1 v = (2k,0 + (1 k,0)[2]k 2[1]k (1 k.0)(k 1)[1]k)J011 = 0.

Izraunajmo svojstvene vrijednosti od Jk0 .

Jk0 v = (2([k 1] [1]k)J12 + [k > 0][2]kJ02 k[k > 1][2]k1J12

[k 2](k 1)[1]kJ02 + [k 3](k 2)[1]kJ12 + 2[k > 0][1]k(J01)2)1

= (1 + k,0)2[1]kv.

Za centralni naboj c = 2 traimo singularni vektor na nivou 6 oblika

v = (AJ23 +BJ13 + CJ

03 +DJ

01J

12 + EJ

01J

02 + F (J

01)

3)1,

A,B,C,D,E, F C. Komutacijske relacije daju formule

JkmJ231 = (J

23J

km +

k+2i=1

((2

i

)[k +m]i

(k

i

)[1]i

)Jk+2im3 + 4m,3[1]k)1,

JkmJ131 = (J

13J

km +

k+1i=1

((1

i

)[k +m]i

(k

i

)[2]i

)Jk+1im3 + 2m,3(k + 3)[1]k)1,

JkmJ031 = (J

03J

km

ki=1

(k

i

)[3]iJkim3 + m,3(k + 2)(k + 3)[1]k)1,

JkmJ01J

121 = (J

01J

12J

km +

k+1i=1

((1

i

)[k +m]i

(k

i

)[1]i

)J01J

k+1im2

+2m,2[1]kJ01 ki=1

(k

i

)[1]iJ12Jkim1

k1i=1

(k

i

)[1]i

ki+1j=1((

1

j

)[k +m i 1]j

(k ij

)[1]j

)Jkij+1m3 2m,3k[1]k + 2m,1[1]kJ12)1,

30

JkmJ01J

021 = (J

01J

02J

km

ki=1

(k

i

)[2]iJ01Jkim2 + 2m,2(k + 2)[1]kJ01

ki=1

(k

i

)[1]iJ02Jkim1 +

k1i=1

kij=1

(k

i

)[1]i

(k ij

)[2]jJkijm3 m,3k(k + 3)[1]k

+2m,1[1]kJ02)1,

Jkm(J01)

31 = ((J01)3Jkm + 6m,1[1]k(J01)2 3

ki=1

(k

i

)[1]i(J01)2Jkim1

6m,2k[1]kJ01 + 3k1i=1

kij=1

(k

i

)[1]i

(k ij

)[1]jJ01J

kijm2

k2i=1

ki1j=1

kijl=1

[1]k[1]kijl

Jkijlm3 + m,3k(k 1)[1]k)1.

Za m > 3 su svi pribrojnici u gornjim izrazima 0 pa vrijedi Jkmv = 0. Za m = 3 dobijese izraz

Jk3 v = (4A[1]k + 2B(k + 3)[1]k + C(k + 2)(k + 3)[1]k 2Dk[1]k

E(k2 + 3k)[1]k + Fk(k 1)[1]k)1.

Da bi to bilo jednako 0 za svaki k Z>0, moraju vrijediti jednadbe

4A+ 6B + 6C = 0,

2B + 5C 2D 3E F = 0,

C E + F = 0.

Trebamo jo dvije jednadbe da bi mogli izraunati vektor v. Uvrtavamo m = 2:

Jk2 v = (2Ak,0 + 2Bk,0 C[k > 0][3]k +D(2 [k > 0])[1]k+

+E(2(k + 2) + [k > 1]k + 2

2(k 1))[1]k + F (6k[1]k [k > 2]

(k 1

2

)[1]k))J011.

Uvrtavanja k = 0 i k = 1 daju jo dvije jednadbe

2A+ 2B + 2D + 4E = 0,

3C D 6E + 6F = 0.

Do na skalar jedino netrivijalno rjeenje sustava je estorka (6,6, 2,6, 3, 1), pa singu-laran vektor moe biti samo

v = (6J23 6J13 + 2J03 6J01J12 + 3J01J02 + 1(J01)3)1.

Provjera za m = 2, k = 2 te za m = 1 daju da D+ zaista ponitava vektor v.

31

Raunamo svojstvene vrijednosti od Jk0 , k Z0. To najlake odredimo usporeiva-njem koecijenata uz (J01)

3 u v i Jk0 v. Rezultat je

Jk0 v = 3(k,0 1)[1]kv.

Opiimo Zhuovu algebru A(LW1+c ) za c = 1. Imamo homomorzam

xi 7 [J ii11]

sa C[x0, x1, . . . , xn, . . .] u A(LW1+c ). Singularni vektor vs = (2J12 J02 (J01)2)1 enam dati dodatne relacije.

[J021] = [DJ011] = x0

[J011]2 = Resx(x

1 + 1)i0

(1

i

)[J0i1J

011]x

i = [(J01)21]

pa imamo2x1 + x0 x20 = 0

odnosno x1 = 12 [x0]2. Projekcijom elemenata

J21vs = 6J23 2J01J12 + 2J01J02 + 2J03 4J13

iJ32vs = 8J

34 18J24 + 24J14 12J04 6J01J23 + 12J01J13 12J01J03

u Zhuovu algebru dobiju se relacije x2 = 13 [x0]3 i x3 =14[x0]4. Matematikom indukcijom

po k dokazujemo tvrdnju xk = 1k+1 [x0]k+1.Bazu imamo. Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za sve prirodne brojeve manje ili

jednake k.

Jk+1k vs = 2(k + 2)Jk+1k2 2

k+1i=2

(k + 1

i

)[1]iJk+2ik2 +

k+1i=1

(k + 1

i

)[2]iJk+1ik2

ki=1

(k + 1

i

)[1]i

k+1ij=1

(k + 1 i

j

)[1]jJk+1ijk2 + 2

k+1i=1

(k + 1

i

)[1]iJ01Jk+1ik1

Pogodnim grupiranjem i svoenjem na isti indeks sumacije pojednostavimo srednje trisume

2k+1i=1

[k + 1]i(k + 1 i)(1)iJk+1ik2 +k+1i=1

[k + 1]i(i+ 1)(1)iJk+1ik2

k+1i=1

[k + 1]i(1)i(i 1)Jk+1ik2 = 2k+1i=1

[k + 1]i(1)i(k + 2 i)Jk+1ik2

Tada vrijedi relacija:

Jk+1k vs = 2(k+ 2)Jk+1k2 + 2

k+1i=1

[k+ 1]i(1)i(k+ 2 i)Jk+1ik2 + 2k+1i=1

[k+ 1]i(1)iJ01Jk+1ik1

32

Projekcijom u Zhuovu algebru i koritenjem relacija [Jk

m1] = (1)p(k+pp

)[Jk

k11] i[J01J

k

k11] = [J011] [Jk

k11] vidimo da u Zhuovoj algebri vrijedi relacija

(k + 2)xk+1 = k+1i=1

(k + 1

i

)[k + 1]i(k + 2 i)xk+1i +

k+1i=1

(k

i 1

)[k + 1]ix0xk+1i

Sada koristimo pretpostavku indukcije xk+1i = 1k+2i [x0]k+2i i binomnu formulu zasilazne potencije

[a+ b]n =ni=0

(n

i

)[a]i[b]ni

pa vrijedi

(k + 2)xk+1 = k+1i=1

(k + 1

i

)[k + 1]i[x0]k+2i +

k+1i=1

(k

i 1

)[k + 1]ik + 2 i

x0[x0]k+2i

= [x0]k+2 k+1i=0

(k + 1

i

)[k + 1]i[x0 1]k+1ix0 +

ki=0

(k

i

)[k + 1]i(k + 2 i)

k + 2 ix20[x0 1]ki

= [x0]k+2 x0[x0 + k]k+1 + x20[x0 + k]k = [x0]k+2.

33

Poglavlje 4

Verteks algebra W

U ovom poglavlju konstruirat emo verteks algebruMW2c . Polazimo od Liejeve algebreW = D(1), podalgebre od D = W1+ generirane operatorima tkt , k 1. Potomza vakuum modul MW2c , pomou teorema o generirajuim poljima, dokazujemo da jestverteks algebra. Pratimo osnovne konstrukcije iz [28].

Napomena: Verteks algebru MW1+c pridruenu Liejevoj algebri W1+ smo konstru-irali na analogan nain. Uoimo da je indeks koji se odnosi na centralni naboj drugaijiiako W W1+ i W1+ imaju isti centralni naboj kao Liejeve algebre. Naime, indeks2c u MW2c se odnosi na Virasorovu podalgebru sadranu u W. Dok W1+ sadri(beskonanu) parametriziranu potfamiliju Virasorovih algebri V ir+() centralnog naboja

c = (122 + 12 2)c,

W sadri samo V ir+(0), centralni naboj Virasorove podalgebre je jednoznano odreenc0 = 2c.

4.1 Liejeva algebra D(1)

Propozicija 4.1. Potprostor

D(1) = SpanC{Jkm : m Z, k Z1} CC

od D je Liejeva podalgebra od D.

Dokaz. Iz relacije za komutator

[Jkm, Jln] =

max(k,l)i=1

((l

i

)[k +m]i

(k

i

)[l + n]i

)Jk+lim+n + (J

km, J

ln)C

vidimo da je komutator proizvoljna dva generatora od D(1) ponovo sadran u D(1). Naime,svi lanovi u linearnoj kombinaciji s desne strane su ili Jk+lim+n ili centralni element. Uprvom sluaju stupanj operatora deriviranja je k+li k+lmax(k, l) min(k, l) 1,odnosno Jk+lim+n D(1).

D(1) nasljeuje graduaciju i trokutastu dekompoziciju od D.

D(1) =mZ+

D(1)m D(1)0

mZ+

D(1)m = D(1)+ D

(1)0 D

(1)

34

Deniramo Vermaov modul za teinu D(1)0 i centralni naboj c C

MD(1)(c, ) = U(D(1)

)U(D(1)0 D

(1)+ )

Cv,

Cv = cv,

hv = (h)v, h D(1)0 ,

D(1)+ v = 0.Denirani modul nije kvazikonaan. Naime svaki homogeni podmodul (MD(1)(c, ))m

sadri linearno nezavisne vektore Jkm1, k Z1, m Z0, a takvih ima beskonanomnogo.

Promatramo paraboliku podalgebru

P(1) = SpanC{Jkm : m+ k 0, k 1}.

Za = 0 imamo generalizirani Vermaov modul, tj. vakuum modul

MW2c = U(D(1))U(D(1)0 P(1)) Cv0,

Cv0 = cv0,

P(1)v0 = 0.Uoimo prirodno ulaganje koje proizlazi iz D(1) D

MW2c MW1+c .

Poincar-Birkho-Witt teorem daje opis baze:

Propozicija 4.2. Baza modula MW2c je

{(rj=1

Jkjmj)v : r Z0, mj Z, kj Z1, mj + kj < 0, (mj, kj) (mj+1, kj+1)}.

Pri tom koristimo isti ureaj na skupu indeksa kao kod modula za W1+,

(mi, ki) < (mj, kj) ((mi > mj) ili (mi = mj i ki < kj)).

4.2 Liejeva algebra glo

Sjetimo se homomorzma 0 : D gl i izomorzma : DO gl iz Teorema 3.11.Gledamo restrikciju |D(1) i deniramo

glo = Im(|D(1)).

Tada je glo podalgebra Liejeve algebre gl i vrijedi sljedei rezultat.

Lema 4.3. Za i, j Z vrijedi

Ei,j glo j 6= 0.

35

Dokaz. Dokaz jednostavno slijedi iz sljedee formule:

0(tmDf(D)) =

jZ

(j)f(j)Ejm,j.

Zbog eksplicitne realizacije iz Poglavlja 9, deniramo sljedee generatore:

Ei,j := jEi,j, C1 := 2C.

Liejeva algebra glo ima trokutastu dekompoziciju koja je nasljeena iz trokutaste dekom-pozicije od gl. Tonije

glo = (glo) (glo)0 (glo)+gdje je

(glo) = gl glo, (glo)0 = glo gl0.

Posebno Cartanova podalgebra je razapeta s Ei,i, i 6= 0 i C1.Analogno kao i za Liejevu algebru gl uvode se pojmovi Vermaovog modula, modula

najvee teine, kvazikonanog modula te ireducibilnog modula najvee teine.Za o ((glo)0) oznaimo s L(o, glo, l) pripadni ireducibilan modul najvee teine

o centralnog naboja l.Strukturna teorije ovih modula, kao i veza s kvazikonanim D(1)modulima razvijena

je u lanku V. G. Kaca i J. Liberatia [22] i analogna je teorije iz lanka V. G. Kacai A. Radula [25]. Posebno iz tih rezultata slijedi da je svaki ireduciblini kvazikonaniglomodul ujedno i ireducibilan kvazkonani D(1)modul.

4.3 Konstrukcija verteks algebre WPropozicija 4.4. [19] Vektorima iz MW2c = MD(1)(c,P) oblika Jkk11 pridruimo slabeverteks operatore

Jkk11 7 Jk(x) =mZ

Jkmxkm1.

Polja Jk(x), k Z1 su meusobno lokalna.

Dokaz. Koecijenti verteks operatora zadovoljavaju iste komutatorske relacije kao i oni uMW1+c , pa je dokaz isti. Vrijedi relacija

[Jk(x1), Jl(x2)] =

k+li=0

((1)i

(l

i

)Jk+li(x2)

(k

i

)Jk+li(x1)

)(

x2)ix11 (

x1x2

)

+(1)k k!l!c(k + l + 1)!

(

x2)k+l+1x11 (

x1x2

)

Zbog Propozicije 2.2 (x1 x2)m( x1 )nx12 (

x1x2

) = 0 za m > n vidimo da mnoenjemkomutatora sa (x1 x2)k+l+2 postiemo lokalnost.

Uoimo da D(1) sadri i Virasorovu algebru V ir+() za = 0. Tada je vakuum modulMW2c ujedno i restringirani modul za Virasorovu algebru i vrijedi

36

Teorem 4.5. (MW2c , Y,1, J121) je algebra verteks operatora jako generirana poljima

Jk(x), k Z1 gdje je

Y (, x) : MW2c (EndMW2c )[[x, x1]]

jedinstveno proirenje od

Y (Jkk11, x) =mZ

Jkmxkm1 = Jk(x).

Propozicija 4.6. Verteks algebra MW2c je generirana poljima J1(x) i J2(x), odnosno

MW2c = J121, J231.

Dokaz. Tvrdnju dokazujemo matematikom indukcijom. Zbog

J21J231 = 4J

341 2J241,

slijedi baza indukcije, tj.J341 J121, J231.

Pretpostavimo da je za neki n, Jnn11 J121, J231. Tada

J21Jnn11 = (n+ 2)J

n+1n21 2Jnn21,

i time smo pokazali da je i Jn+1n21 sadran u J121, J231.

Korolar 4.7. Svaki D(1)modul iz kategorije O centralnog naboja c je modul za MW2c .Posebno, svaki ireducibilni D(1)modul najvee teine je modul za MW2c .

37

Poglavlje 5

Singularni vektori u MW2

U ovom poglavlju eksplicitno konstruiramo singularni vektor na nivou 4 u univerzalnojverteksalgebri MW2 . Precizno opisujemo najvee teine podmodula najvee teine pod-modula generiranog tim singularnim vektorom. Dokazujemo da je kvocijent univerzalneverteksalgebre MW2 po idealu generiranim tim singularnim vektorom jako generiran sdva vektora. Ovi rezultati e nam biti vani za kasniju identikaciju tog kvocijenta.

Teorem 5.1. MW2c na nivou 4 ima singularan vektor

vs = (J34 J24 + J14 (J12)2)1

i to samo za c = 1. Na nivoima 2 i 3 nema singularnih vektora.

Dokaz. Vektor na nivou 4 je razapet vektorima baze J341, J241, J

141 i (J

12)

21. Singu-larni vektor, ako postoji, mora biti oblika

vs = (AJ34 +BJ

24 + CJ

14 +D(J

12)

2)1,

A,B,C,D C.Da bi bio singularan, mora vrijediti D(1)+ vs = 0, tj. Jkmvs = 0, za sve m > 0. Imamo

relacije:

JkmJ34 = J

34J

km +

max(k,3)i=1

((3

i

)[k +m]i

(k

i

)[1]i

)Jk+3im4 + 6cm,4[1]k,

JkmJ24 = J

24J

km +

max(k,2)i=1

((2

i

)[k +m]i

(k

i

)[2]i

)Jk+2im4 + 2(k + 4)cm,4[1]k,

JkmJ14 = J

14J

km +

ki=1

((1

i

)[k +m]i

(k

i

)[3]i

)Jk+1im4 +

(k + 4)(k + 3)

2cm,4[1]k,

Jkm(J12)

2 = (J12)2Jkm + 2(k +m)J

12J

km2 2

ki=1

(k

i

)[1]iJ12Jk+1im2 + 2cm,2[1]kJ12+

+ki=1

((1

i

)[k +m]i

(k

i

)[1]i

) k+i1j=1

((1

j

)[k +m 1 i]j

(k + 1 i

j

)[1]j

)

38

Jk+2ijm4 + cm,4k2 + 3k + 8

2[1]k.

Jasno je Jkmvs = 0, za svaki m > 4. Za m = 4 netrivijalni su samo lanovi dobiveni izkociklusa. Da bi oni bili nula, za svaki prirodan k mora vrijediti

6A+ 2B(k + 4) + Ck2 + 7k + 12

2+D

k2 + 3k + 8

2= 0.

Usporeivanjem koecijenata uz potencije od k dobijemo sustav

6A+ 8B + 6C + 4D = 0,

2B +7

2C +

3

2D = 0,

C

2+D

2= 0,

ije je rjeenje (A,A,A,A), tj.

vs = (J34 J24 + J14 (J12)2)1.

Preostaje pokazati da Jkm, m {1, 2, 3} ponitavaju vs. Koristei gornje formule vidimoda Jk3 vs sadri samo lanove J

k11 1 i J

k211 koji su u kvocijentnom modulu 0.

U sluaju m = 2J12vs = (2c 2)J121

pa slijedi da centralni naboj nuno mora biti c = 1. Uoimo J20vs = 4vs i induktivnopokaimo Jk2 vs = 0 za sve cijele k 1. Bazu imamo. Pretpostavimo da tvrdnja J i2vs = 0vrijedi za sve i k. Slijedi

0 = J20Jk2 vs =

max(k,2)i=1

A2,k0,2(i)Jk+2i2 vs+J

k2 J

20vs = (4Jk+12 +

max(k,2)i=2

A2,k0,2(i)Jk+2i2 4Jk2 )vs.

Zbog pretpostavke indukcije

(

max(k,2)i=2

A2,k0,2(i)Jk+2i2 4Jk2 )vs = 0

pa je i 4Jk+12 vs = 0 odnosno Jk+12 vs = 0.Analogno zbog J11vs = 0 i J

20vs = 4vs induktivno slijedi Jk1 vs = 0 za sve cijele k 1.

Time smo pokazali da vs = (J34J24+J14(J12)2)1 jest singularan vektor za vakuummodul. Direktno vidimo da na nivoima 2 i 3 ne moe postojati singularan vektor:

Jk2 J121 = c

k!

(k + 1)![k + 2]2[1]k1 6= 0,

Jk3 (J13 + J

23)1 = c((k + 3) + 2)1 6= 0.

Metodu iz prethodnog dokaza, iz dijela gdje dokazujemo Jk11 = Jk21 = 0, korisno je

zapisati kao lemu, jer e i kasnije biti korisna za provjeru singularnosti vektora na veimnivoima.

39

Lema 5.2. Neka je v MW2c takav da J20v = v i Jkmv = 0 za neki C, m Z\{0},k Z0. Tada je i Jk+1m v = 0.

Dokaz.

0 = J20Jkmv = ((2k 2(k +m))Jk+1m + (k2 k [k +m]2)Jkm + JkmJ20 )v =

= 2mJk+1m v + Jkmv = 2mJk+1m v,

odnosno Jk+1m v = 0.

Vrijedi rezultat o najveim teinama

Propozicija 5.3. Za singularni vektor iz Teorema 5.1 vrijedi

Jk0 vs = 2(k,1 [1]k)vs, k Z1.

Dokaz. Rezultat J20vs = 4vs imamo u dokazu prethodnog teorema. Lako se vidi iJ10vs = 4vs, J

30vs = 12vs. Induktivna metoda kao u Teoremu 5.1 ne funkcionira jer svi J

k0

meusobno komutiraju. Raunamo za k > 3:

Jk0 vs = (k+3i=1

(

(3

i

)[k]i

(k

i

)[1]i)Jk+3i4

k+2i=1

(

(2

i

)[k]i

(k

i

)[2]i)Jk+2i4 +

+ki=1

(

(1

i

)[k]i

(k

i

)[3]i)Jk+1i4

ki=1

(

(1

i

)[k]i

(k

i

)[1]i)

k+1ij=1

(

(1

j

)[k + 1 i]j

(k + 1 i

j

)[1]j)Jk+2ji4 2

ki=1

(

(1

i

)[k]i

(k

i

)[1]i)J12Jk+1i2 )1.

Vidimo da je Jk0 vs zaista na nivou 4. Izraunamo koecijente uz vektore PBW bazena nivou 4. Najjednostavniji je koecijent uz (J12)

21:

2ki=1

(

(1

i

)[k]i

(k

i

)[1]i)k+1i,i = 2(k,1 [1]k).

Za k > 3 koecijent uz J341 je

J341Jk0 vs = ([1]k) (k[2]k1) + ((k

2

)[3]k2)

k2i=1

(i,1k (k

i

)[1]i)

(ki,2[k + 1 i]k1i (k + 1 ik 1 i

)[1]k1i) = [1]k(1 k

k2 k4

(k2 3

2

k2i=1

k + 1 i2

)) = 2[1]k = 2(k,1 [1]k).

Slino se provjeri da su i koecijenti uz J241 i J141 takoer 2(k,1 [1]k).

40

Propozicija 5.4. Ideal vs u MW2 sadri vektor

= (22J16 + 9J12J24 2J12J14 9

2(J23)

2 9J13J23 + 8(J13)2 + 4(J12)3)1.

Drugim rijeima, u kvocijentnom modulu LW2 = MW2 /vs vrijedi relacija

(22J16 + 9J12J24 2J12J14 9

2(J23)

2 9J13J23 + 8(J13)2 + 4(J12)3)1 = 0.

Dokaz. Plan dokaza je da djelovanjem pogodnom linearnom kombinacijom operatora J32,(J21)

2, J11J21, (J

11)

2, J20 na vs pokaemo da ideal vs sadri . Takoer koristimorelaciju koja slijedi iz singularnog vektora, J341 = (J

24 J14 + (J12)2)1. Raunamo

djelovanja navedenih operatora:

J21vs = (5J45 8J35 + 10J25 8J15 6J12J23 + 4J12J13)1,

(J21)2vs = (30J

56 66J46 + 128J36 156J26 + 88J16 24J12J34 + 32J12J2424J12J14 18(J23)2 8(J13)2 + 24J13J23)1,

J11J21vs = (5J

46 16J36 + 30J26 32J16 6J13J23 6J12J24 + 4(J13)2

+8J12J14)1,

J32vs = (6J56 14J46 + 26J36 36J26 + 36J16 8J12J34 + 12J12J24

12J12J14)1,(J11)

2vs = (2J36 6J26 + 14J16 4J12J14 2(J13)2)1.

Usporeivanjem i eliminacijom vodeih lanova dobijemo

((J21)2 5J32)vs = (4J46 2J36 + 24J26 92J16 + 16J12J34 28J12J24

+36J12J14 + 24J

13J

23 18(J23)2 8(J13)2)1,

(4J11J21 + 5((J21)2 5J32))vs = (54J36 332J16 + 80J12J34 116J12J24+148J12J

14 + 144J

13J

23 90(J23)2 56(J13)2)1,

Eliminacijom J361 pomou (J11)

2vs dobijemo vektor

= (27(J11)2 4J11J21 + 5(J21)2 25J32)vs= (162J26764J16+80J12J34116J12J24+256J12J1490(J23)2+144J13J232(J13)2)1= (162J26764J1636J12J24 +176J12J14 +80(J12)390(J23)2 +144J13J23(J13)2)1,

J20 = (980J46 + 2688J36 6432J26 + 10704J16 768J12J34 + 2744J12J243584J12J14 + 864(J23)2 888J13J23 + 24(J23)2)1,

Pomou relacije za ((J21)2 5J32)vs eliminiramo lan J461

(245((J21)2 5J32) + J20 (27(J11)2 4J11J21 + 5(J21)2 25J32))vs

= (2198J36 552J26 11836J16 + 3152J21J34 4116J12J24 + 5236J12J143546(J23)2 + 4992J13J23 1936(J13)2)1

41

Kombiniranjem sa (J11)21, iz prethodnog rezultata eliminiramo lan J361 i dobijemo

da je vektor

= (6042J26 29420J16 + 3152J12J34 4116J12J24 + 9632J12J14 3546(J23)2

+4992J13J23 + 262(J

13)

2)1,

po konstrukciji takoer sadran u idealu generiranom singularnim vektorom vs.Eliminacijom vodeih koecijenata u i dobijemo da je vektor

1136(22J16 + 4J12J34 + 5J12J24 + 2J12J14 9

2(J23)

2 9J13J23 + 8(J13)2)1 =

= 1136(22J16 + 9J12J24 2J12J14 9

2(J23)

2 9J13J23 + 8(J13)2 + 4(J12)3)1

sadran u vs, pa onda i vs.

Korolar 5.5. LW2 = MW2 /vs ima strukturu algebre verteks operatora.

Budui da se u literaturi slovom L esto oznaava ireducibilni modul najvee teine,oznaka L nam sugerira da nam je taj kvocijent zasad samo kandidat za ireducibilan modul.

Teorem 5.6. Kvocijentna verteks algebra LW2 je jako generirana poljima J1(x) i J2(x).

Dokaz. Pokaimo prvo da se svi vektori oblika Jkm1, k + m < 0 mogu prikazati, odnosnojako generirati, pomou komponenti dva navedena polja. Uoimo da prikazivost Jkk11pomou J1 i J2, pomou derivacije povlai i prikazivost Jkm1, m < k 1. Bazu mate-matike indukcije imamo iz singularnog vektora vs (koji je u kvocijentu 0), tj.

J341 = (J24 J14 + (J12)2)1.

Pretpostavimo da su za sve i = 1, . . . , k, takve da k 3, m + i < 0, J im prikazivipomou polja J1 i J2. Djelujemo operatorom Jk1k+2 na gornju relaciju. Desna strana je

Jk1k+2(J24 J14 + (J12)2)1 = (

k+1i=1

Ak1,2k+2,4(i)Jk+1ik2

k1i=1

Ak1,1k+2,4(i)Jkik2+

2J12

k1i=1

Ak1,1k+2,2(i)Jkik +

k1i=1

kij=1

Ak1,1k+2,2(i)Aki,1k,2(j)J

k+1ijk2 )1

S druge strane gornji izraz je jednak izrazu

Jk1k+2J341 =

k+2i=1

(3i,1 (k 1i

)[1]i)Jk+2ik2 .

U prvoj jednadbi svi J lm1 imaju superindeks l k, pa su po pretpostavci indukcijeprikazivi pomou J1 i J2. U drugoj jednadbi je slina situacija, jedina je iznimka lanJk+21k2 1. Njegov koecijent je 3 (k 1)[1]1 = k + 2 dakle netrivijalan. Dakle vektorJk+21k2 1 je linearna kombinacija vektora manjeg superindeksa, koji su po pretpostavciprikazivi pomou polja J1 i J2, pa isto moemo zakljuiti i za njega.

U sljedeem poglavlju povezat emo ove rezultate s W -algebrom W2,3, c = 2.

42

Poglavlje 6

Verteks algebra W sa centralnimnabojem -2 i W2,3algebra

U ovom poglavlju konstruiramo izomorzam verteks algebri LW2 iW2,3 sa centralnimnabojem 2. W. Wang je u lanku [36] dao fermionsku realizaciju od W2,3 sa centralnimnabojem 2 i klasicirao njene ireducibilne module. Identicirao je singularne vektorena nivou 6 u univerzalnoj verteks-algebri pridruenoj W2,3.

Mi emo ovdje napraviti novi pristup verteksalgebri W2,3. Realizirat emo W2,3 sacentralnim nabojem 2 kao kvocijent univerzalne verteks algebre pridruene W s cen-tralnim nabojem 2. Ta verteks algebra ima netrivijalan ideal generiran singularnimvektorom na nivou 4. Prvo pokazujemo da je kvocijent univerzalne verteks-algebre pri-druene W po tom idealu Walgebra tipa W2,3. Nadalje pokazujemo da su i Wangovisingularni vektori za W2,3 nula u kvocijentu. Na taj nain identiciramo na kvocijentalgebre W s W2,3algebrom iz Wangovog lanka. Ove identikacija je nova.

Denicija 6.1. W2,3 je univerzalna verteks algebra generirana poljima

L(z) =nZ

L(n)zn2, W (z) =nZ

W (n)zn3

takvima da su ispunjene relacije

[L(m), L(n)] = (m n)L(m+ n) +c

12(m3 m)m,n,

[L(m),W (n)] = (2m n)W (m+ n),

[W (m),W (n)] = (m n)(

1

15(m+ n+ 3)(m+ n+ 2) 1

6(m+ 2)(n+ 2)

)L(m+ n) + (m n)m+n +

c

360[m+ 2]5m,n,

pri emu je c C centralni naboj, = 16/(22 + 5c) i

m =n2

L(n)L(m n) +n>2

L(m n)L(n) 310

[m+ 3]2L(m)

43

Univerzalna verteks-algebra W2,3 postoji generiki. Njena egzistencija je diskutiranau zikalnim lancima [38]. Eksplicitan matematiki dokaz egzistencije ove univrzalneverteksalgebre dan je u lanku A. De Solea i V. G. Kaca [16]. Njihova konstrukcijakoristi nelinearne konformne algebre. Zbog svega toga je gornja denicija korektna.

Verteks algebru W2,3 generiraju vektori W (3)1 i L(2)1. W (n)1 = L(m)1 = 0,za sve n > 3, m > 2. Ponekad nam je korisno koristiti pomaknutu indeksacijuLn = (L(2)1)n = L(n 1), Wn = (W (3)1)n = W (n 2).Teorem 6.2 ([36], Lema 2.1). 1) Ne postoji singularan vektor u (W2,3)n, n < 6.

2) Postoje dva linearno nezavisna singularna vektora u (W2,3)6,

vs = (3

2W 23

19

36L23

8

9L32

14

9L2L4 +

44

9L6)1

vs = (9

2W6 + 9L3W3 6L2W4)1

3)

vs =27

98W0vs, vs =

1

36W0v

s

4)

W0(6vs 98

27vs) = 6(vs

98

27vs).

elimo imitirati Propoziciju 2.7, tj. pokazati da su pomou konano mnogo netrivi-jalnih (i beskonano mnogo trivijalnih) relacija za djelovanja

LnL, LnW , WnW

zadane relacije W2,3 algebre.Teorem 6.3. Ako je verteks algebra V generirana poljima

L(z) =nZ

L(n)zn2 i W (z) =nZ

W (n)zn3

takvima da su ispunjene relacije

W0W = W (2)W (3)1 = (10

3L(5) + 8

3L(2)L(3))1

W1W = (L(4) +8

3L(2)2)1, W2W = L(3)1, W3W = 2L(2)1,

W4W = 0, W5W =c

31, WnW = 0, zan 6,

L0L =1

2L, L1L = DL, L2L = 0, L3L =

c

21, LnL = 0, zan 4,

L0W = DW, L1W = 3W , LnW = 0, zan 2,tada postoji homomorzam verteks algebri W2,3 V , deniran sa

W (z) 7 W (z),

L(z) 7 L(z).

44

Dokaz. Teorem dokazujemo direktno, uvrtavanjem u relacije W2,3 algebre.

W0W = W (2)W (3)1 = (2

5L(5) + 4

3(L(2)L(3) + L(3)L(2))

125L(5))1 = (2L(5) + 8

3L(2)L(3) 4

3L(5))1 =

= (103L(5) + 8

3L(2)L(3))1,

W1W = W (1)W (3)1 = (2(1

15(4 + 3)(4 + 2) 1

6(1))L(4)

+24

3((L(2))2 3

10[1]2L(4)))1 = (L(4) +

8

3L(2)2)1.

W2W = W (0)W (3)1 = (3(1

15 0 (1) 1

6 2 (1))L(3)

+4

3 3 (0 3

10[0]5L(3)))1 = L(3)1,

W3W = W (1)W (3)1 = (4(1

15 0 (1) 1

6 3 (1))L(2)

+4

3 4 (0 3

10[1]5L(2)))1 = 2L(2)1,

W4W = W (2)W (3)1 = (5(1

15 1 2 1

6 4 (1))L(1)

+4

3 5 ( 3

10[2]5L(1)))1 = L(1)1 = 0,

W5W = W (3)W (3)1 = (6(1

15 2 3 1

6 5 (1))L(0)

+4

3 6 ( 3

10[3]5L(0)) +

c

360 5!)1 = c

31

Sada promatramo sluaj za centralni naboj c = 2 da bismo uspostavili vezu sa LW2 .

Teorem 6.4. Preslikavanje :W2,3 LW2 denirano sa

L(n) 7 J1n, W (n) 7

2

3(J2n +

n+ 2

2J1n),

odnosno

L(x) 7 J1(x), W (x) 7

2

3(J2(x) 1

2DJ1(x))

je homomorzam verteks algebri.

45

Dokaz. Prve dvije relacije iz denicije algebre W2,3 provjerimo direktno

[L(m), L(n)] = [J1m, J1n] = ((m+ 1) (n+ 1))J1+11m+n + cm,n

[m+ 1]2[1m]13!

= (m n)L(m+ n) + m,n(mm3)

6

[L(m),W (n)] = [J1m,

2

3(J2n +

n+ 2

2J1n)] =

2

3([J1m, J

2n] +

n+ 2

2[J1m, J

1n]) =

2

3((2(m+ 1) (n+ 2))J2m+n + [m+ 1]2J1m+n + cm,n

2

24[m+ 1]3(2m)+

n+ 2

2((m n)J1m+n + cm,n

1

6(mm3))) =

2

3((2m n)J2m+n

+m+ n+ 2

2(2m n)J1m+n) = (2m n)W (m+ n).

Zbog Teorema 6.3 dovoljno je provjeriti da vrijede relacije iz tog teorema da bi slijedilarelacija za komutator [W (m),W (n)] iz denicije W2,3 verteks algebre.

W0W = W (2)W (3)1 =

2

3J22

2

3(J23

1

2J13)1 =

2

3(2J35 4J25 + 3J15)1 =

2

3(2(2J25 4J15 + 2J12J13) 4J25 + 3J15)1 =

(10

3J15 +

8

3J12J

13)1.

W1W = W (1)W (3)1 =2

3(J21 +

1

2J11)(J

23

1

2J13)1 =

2

3(4J34 4J24

+5

2J14)1 =

2

3(3

2J14 + 4(J

12)

2)1 = (L(4) + 83L(2)2)1.

W2W = W (0)W (3)1 =2

3(J20 + J

10 )(J

23

1

2J13)1 =

2

3

3

2J131 = L(3)1.

W3W = W (1)W (3)1 =2

3(J21 +

3

2J11 )(J

23

1

2J13)1 = 2J

121 = 2L(2)1.

W4W = W (2)W (3)1 =2

3(J22 + 2J

12 )(J

23

1

2J13)1 = 0.

W5W = W (3)W (3)1 =2

3(J23 +

5

2J13 )(J

23

1

2J13)1 =

231.

46

Ve smo izraunali u Propoziciji 5.4 da je vektor

= (22J16 + 9J12J24 2J12J14 9

2(J23)

2 9J13J23 + 8(J13)2 + 4(J12)3)1

sadran u idealu generiranom singularnim vektorom vs = (J34 J24 + J14 (J12)2)1,odnosno = 0 u LW2 . Zapiimo u terminima L(n) = J

1n i W (n) =

23(J2n +

n+22J1n):

(22J16 + 9J12J24 2J12J14 9

2(J23)

2 9J13J23 + 8(J13)2 + 4(J12)3)1

= 22L6 + 9L2(

3

2W4 + L4) 2L2L4 + 4L32

9

2(

3

2W3 +

1

2L3)

2

9L3(

3

2W3 +

1

2L3) + 8L

23

= 22L6 +19

8L23 + 4L

32

27

4W 23 + 7L2L4

3

2(27

4W6 +

27

2L3W3 9L2W4)

Teorem 6.5. Neka su

vs = (3

2W 23

19

36L23

8

9L32

14

9L2L4 +

44

9L6)1

vs = (9

2W6 + 9L3W3 6L2W4)1

linearno nezavisni singularni vektori iz Teorema 6.2. Vrijedi (vs) = (vs) = 0, odnosnovs, vs Ker.

Dokaz. Gornjim raunom je pokazano

0 = = 92

(vs) +3

2(vs).

Teorem 6.2 takoer sadri formule vs =2798W0vs, vs =

136W0v

s koje povezuju dva singularna

vektora. Stoga

0 = W0(9

2(vs) +

3

2(vs)) =

9 9854

(vs) + 54(vs)

. Determinanta sustava je 9 49/6 81 6= 0 pa je nuno (vs) = (vs) = 0.

Teorem 6.6. LW2,3 =W2,3/vs, vs je izomorfna sa LW2 .

Dokaz. Injektivnost slijedi iz Teorema 6.5, a surjektivnost iz injenice da je LW2 jakogenerirana poljima J1(z) i J2(z) (Teorem 5.6).

47

Poglavlje 7

Singularni vektori za W do nivoa 10za openit centralni naboj

U ovom poglavlju klasiciramo centralne naboje za koje postoji singularni vektor uMW2c za D(1) do nivoa 10. Dajemo eksplicitne formule za singularne vektore za u sluaje-vima c {1, 2, 3, 4}. Pomou eksplicitnih formula za te singularne vektore dokazujemoda je pripadni kvocijent jako generiran Virasorovim vektorom i primarnim vektorimateine 3, 4, 5 u sluajevima c {1, 2}. Ti rezultati e nam biti vani u sljedeim poglav-ljima.

Teorem 7.1. Verteks algebra MW2c na nivoima 5, 7, 9 nema singularnih vektora. Nanivou 6 ima singularan vektor samo ako je centralni naboj c {2,1}. Za c = 2

vs = (3

2J56 3J46 + 5J36 6J26 + 6J16 3J12J34 + 3J12J24 3J12J14

+(J12)3)1,

a za c = 1

vs = (1

12J56 +

16J46 + J

36 J26 + J12J34 J12J24 (J23)2 + J13J23)1.

Na nivou 8 ima singularan vektor samo za c = 3:

vs = (54J18 + 78J28 90J38 + 60J48 27J58 + 9J68 3J78 + 24J12J16

24J12J26 + 20J12J36 12J12J46 + 6J12J56 + 3J14J14 6J12J12J146J14J24 + 3J24J24 + 6J12J12J24 + 6J14J34 6J24J34 + 3J34J34

6J12J12J34 + J12J12J12J12)1

Na nivou 10 ima singularan vektor samo za c = 4:

vs = (15120J110 15120J210 + 9180J310 4140J410 + 1494J510 450J610

+120J710 30J810 +15

2J910 270J12J18 + 390J12J28 450J12J38 + 300J12J48

135J12J58 + 45J12J68 15J12J78 60J14J16 + 60J24J16 60J34J16+60(J12)

2J16 + 60J14J

26 60J24J26 + 60J34J26 60(J12)2J26 50J14J36

48

+50J24J36 50J34J36 + 50(J12)2J36 + 30J14J46 30J24J46 + 30J34J46

30(J12)2J46 15J14J56 + 15J24J56 15J34J56 + 15(J12)2J56 + 15J12(J14)2

10(J12)3J14 30J12J14J24 + 15J12(J24)2 + 10(J12)3J24 + 30J12J14J3430J12J24J34 + 15J12(J34)2 10(J12)3J34 + (J12)5)1

Dokaz. Djelovanjem operatora J11 ,J21 i J

15 na openit vektor vs = (a1J

45 +a2J

35 +a3J

25 +

a4J15 + a5J

12J

23 + a6J

12J

13)1 sa nivoa 5 dobijemo sustav 6 jednadbi koji je ranga 6 pa

nema netrivijalnih rjeenja:12a1 + 8a2 = 0

6a2 + 7a3 + 3a5 = 0

2a3 + 6a4 + 6a6 = 0

6a6 = 0

20a4 + 34a6 = 0

24a1 36a2 30a3 20a4 14a5 28a6 = 0.

Dakle, nema ni singularnog vektora na nivou 5, bez obzira na centralni naboj c.

Vektor na nivou 6 mora biti oblika vs = (a1J56 + a2J46 + a3J

36 + a4J

26 + a5J

16 +

a6J12J

34 +a7J

12J

24 +a8J

12J

14 +a9(J

12)

3 +a10(J23)

2 +a11J13J

23 +a12(J

13)

2)1, za nekekompleksne ai, i = 1, .., 12.

Djelovanjem operatorima J11 , J21 i J

31 dobijemo sustav od 18 jednadbi koji je ranga

10. Zapisane su one meusobno nezavisne

20a1 + 10a2 = 0

12a2 + 9a3 + 3a6 + 10a10 = 0

6a3 + 8a4 + 6a7 8a10 = 0

2a4 + 7a5 + 9a8 3a9 4a10 2a11 4a12 = 0

6a6 + 6a7 + 4a10 + 4a11 = 0

2a7 + 5a8 + 9a10 + 2a11 + 8a12 = 0

60a1 + 30a2 + 15a3 + 25a6 + 40a10 = 0

24a2 + 6a3 + 14a4 12a6 + 30a7 40a10 + 14a11 = 0

6a3 14a4 + 13a5 34a7 + 35a8 + 15a9 + 40a10 14a11 + 28a12 = 0

60a8 + 180a9 + 48a12 = 0.

Dva linearno nezavisna rjeenja tog sustava su

(3

2,3, 5,6, 6,3, 3,3, 1, 0, 0, 0)

i(

1

12,16, 1,1, 0, 1,1, 0, 0,1, 1, 0).

49

Drugim rijeima, singularni vektor, ako postoji, mora biti u linearnoj ljusci vektora

vs,2 = (3

2J56 3J46 + 5J36 6J26 + 6J16 3J12J34 + 3J12J24 3J12J14 + (J12)3)1,

vs,1 = (1

12J56 +

16J46 + J

36 J26 + J12J34 J12J24 (J23)2 + J13J23)1.

Djelovanje operatorima Jkm za m = 5 ili m > 6 oito ponitava gornje vektore, jerMW2c nema vektora na nivou 1. Ve imamo J

11vs,2 = J

11vs,1 = 0. Direktnim raunom se

vidiJ20vs,2 = 6vs,2, J12vs,2 = (3c 6)(J34 J24 + J14 (J12)2)1,

J13vs,2 = J14vs,2 = J

16vs,2 = 0.

Da bi J12 ponitavao vs,2 mora biti c = 2. Zbog Leme 5.2 vidimo D(1)+ vs,2 = 0, tj. vs,2

zaista jest singularni vektor za c = 2.Razmotrimo sad drugog kandidata za singularni vektor, vs,1. Vrijede relacije

J12vs,1 = (c+ 1)(J34 + J24), J13vs,1 = 2(c+ 1)J13,

J14vs,1 = 4(c+ 1)J12, J

16vs,1 = 0.

Da bi vs,1 bio singularan, zbog gornjih jednakosti mora biti c = 1. Zbog Leme 5.2vidimo da je vs,1 singularan za centralni naboj c = 1.

Eventualni trei singularni vektor v bi morao biti oblika vs,2 + vs,1. Djelovanjemoperatorima J13 i J

12 vidimo = = 0.

Za singularne vektore na viim nivoima imitiramo ovu proceduru. Za vektor v nanivou n znamo da je oblika

v =

ivi,

gdje su vi = (r

j=1 Jkjmj)1 vektori PBW baze iz Propozicije 4.2 takvi da

m1 + +mr = n.

Na v djelujemo operatorima Jkm za 'male' m = 1, . . . , n, k Z>0 i koristei komutacijskerelacije u D(1) dobijemo sustav jednadbi Ax = 0 po koecijentima x = (i). Ukolikoje prostor rjeenja dimenzije vee od 1, uzmemo novi operator Jk+1m . Komutacijskimrelacijama iz nunog uvjeta singularnosti Jk+1m v = 0 dobijemo novi sustav A

x = 0, takoda retke matrice A koji su linearno nezavisni sa retcima od A 'dodamo' sustavu Ax = 0.Ukoliko Jk+1m v = 0 nije producirao nijednu jednadbu linearno nezavisnu sa Ax = 0,prelazimo na uvjet J1m+1v = 0.

Budui da je za nivoe vee od 5 rije o velikim sustavima jednadbi koristimo softverza svoenje uvjeta Jkmv = 0 na sustav jednadbi A

x = 0.Ukoliko u nekom koraku dobijemo da je defekt d(A) = 0, zakljuujemo da singularni

vektor ne postoji, i to je sluaj na nivoima 7 i 9. Ako dobijemo d(A) = 1 dobili smovektor v koji ispunjava nune uvjete singularnosti, ponitavaju ga neki od operatora Jkm,m > 0. Da bi provjerili da ga ponitavaju svi takvi Jkm, dovoljna nam je provjera da jev svojstveni vektor za J20 te da ga ponitavaju J

1m, m = 1, . . . , n. Time smo u uvjetima

Leme 5.2 i v jest singularan vektor. Na ovaj nain dobijemo preostale singularne vektoreiz teorema.

Teorem 7.2. LW2c = MW2c /vs je jako generirana poljima J1(z), J2(z), J3(z) i J4(z),

za c {1, 2}.

50

Dokaz. Postupamo kao kod Teorema 5.6.Ako je Jkk11 jako generiran sa J

1(z), J2(z), J3(z) i J4(z), pomou derivacije zaklju-ujemo da je i svaki Jkm1, m < k 1 prikaziv na taj nain, pa onda i svi monomi oblika(r

i=1 Jkimi

)1, ki k.Baza matematike indukcije, odnosno prikazivost vektora J561, slijedi iz singularnih

vektora vs,c,

J561 =2

3(3J46 5J36 + 6J26 6J16 + 3J12J34 3J12J24 + 3J12J14 (J12)3)1,

za c = 2, odnosno

J561 = 12(1

6J46 J36 + J26 J12J34 + J12J24 + (J23)2 J13J23)1.

za c = 1.Pretpostavimo da su za sve i k, J im1 prikazivi pomou dana 4 polja. Vektor Jk3k+4vs,c

je sadran u idealu generiranom singularnim vektorom, odnosno iznosi 0 u kvocijentu.Naprimjer za c = 2 imamo

Jk3k+4(J56 2J46 +

10

3J36 4J26 + 4J16 2J12J34 + 2J12J24

2J12J14 2

3(J12)

3)1 = 0.

Zbog komutacijskih relacija u D(1) od prvog monoma dobijemo

Jk3k+4J561 =

max{k3,5}i=1

((5

i

)[1]i

(k 3i

)[1]i

)Jk+2ik2 1

pa je jedini lan koji ima superindeks vei od k onaj vodei, tj. Jk+21k2 1 i njegov koecijentje 5 + (k 3) = k + 2 6= 0. Svi ostali lanovi su manjeg superindeksa, po pretpostavciindukcije prikazivi pomou J1(z), J2(z), J3(z) i J4(z). Ostali monomi u izrazu Jk3k+4vs,csu oblika

Jk3k+4(ri=1

Jkimi)1,

pri emu su svi ki 4, tovie,r

i=1 ki 4. To znai da komutiranjem nadesno operatoraJk3k+4 koji anihilira vakuum, moemo dobiti operator superindeksa najvie

k 3 +

ki r k.

Induktivna pretpostavka povlai da su monomi Jk3k+4(r

i=1 Jkimi

)1 jako generirani poljimaJ l(z), l = 1, 2, 3, 4, pa pa je i Jk+1k21 jako generiran sa ta 4 polja.

51

Poglavlje 8

Primarni vektori u W

Motivirani rezultatima iz prethodnog poglavlja klasiciramo primarne vektore u verteksalgebri MW2c koji imaju konformne teine 3, 4, 5.

Budui da je MW2c algebra verteks operatora (teorem 4.5), tada je ona i modul zaVirasorovu algebru V ir+() centralnog naboja 2c za = 0. U tom sluaju nas zanimajusingularni vektori u MW2c za Virasorovu algebru. Takvi vektori se nazivaju primarnimvektorima i zbog uvjeta singularnosti moraju ispunjavati

L(n)v = 0, za sve n 1.

Na nivou 3, primarni vektor w3, ako postoji, mora biti oblika

w3 = (J23 + J

13)1

za neke kompleksne skalare i . Ovaj vektor je oito anihiliran sa svakim L(n), n 2.Preostaje iz uvjeta da djelovanje operatora L(1) anihilira w3 odrediti skalare i .

L(1)w3 = J11 (J

23 + J

13)1 = ((5J

22 + 2J

12) + (4J

12))1 = (2 + 4)J

121

Vidimo da e to biti 0 ako i samo ako = 2, pa

w3 = (J23 +

12J13)1

zaista jest primarni vektor.Uoimo da smo ovaj vektor ve koristili u Teoremu 6.4 za konstrukciju homomorzma

W2,3 LW2c za centralni naboj 2.Sad elimo slinim pristupom povezati verteks algebru W2,3,4,5 i LW2c . W2,3,4,5 je

generirana sa 3 primarna vektora konformni