Reporte Final del servicio social Ram rez Gonz alez Sadi...

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE FISICA Y MATEMATICAS

Reporte Final del servicio social

Ramırez Gonzalez Sadi Manuel

Nombre del profesor:Egor Maximenko

MEXICO, D.F.ENERO 2013

Contents

1 Lista de codigos para programasque generan ejercicios 21.1 Funciones creadas en las bibliotecas

de matrices y permutaciones: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Programa que genera ejercicios de funciones 3-lineales alternantes . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Programa que genera ejercicios de funciones 2-lineales alternantes . . . . . . . . . . . . . . 81.4 Programa que genera ejercicios de funciones antisimetricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5 Programa que genera ejercicios del desarrollo del determinante . . . . . . . . . . . . . . . 101.6 Programa que genera ejercicios del desarrollo

del determinante de una matriz cuadrada de dimension 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.7 Programa que genera ejercicios de un sistema

de 3 ecuaciones y la Regla de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.8 Programa que genera ejercicios para calcular el area asociada a un paralelogramo . . . . . 131.9 Programa que genera ejercicios del calculo de una matriz adjunta . . . . . . . . . . . . . . 151.10 Programa que genera ejercicios del calculo

de una matriz adjunta de dimension 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Ejemplo de una tarea conformada porlistas de ejercicios generados por los codigos 17

3 Listas de probemas teoricossobre el tema “permutaciones” 22

4 Listas de probemas teoricossobre el tema “determinantes” 26

5 Resumen sobre las sucesiones definidasmediante recurrencias lineales 345.1 Formula Recursiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.2 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.3 Relaciones recursivas de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.4 Caso I: El polinomio caracterıstico P (t) tiene dos soluciones reales diferentes (∆t > 0) . . 385.5 Caso II: El polinomio caracterıstico P (t) tiene una solucion real de multiplicidad 2 (∆t = 0) 40

6 Resumen sobre los determinantes de las matrices de Toeplitz tridiagonales 426.1 Determinantes de matrices de Toeplitz tridiagonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426.2 Comprobacion de nuestra formula para el caso n=3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466.3 Valores propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Bibliografıa 49

1

1 Lista de codigos para programasque generan ejercicios

A continuacion se presentan los codigos tanto de librerıas como de programas que se es-cribieron para generar ejercicios que componen tareas practicas y despues se muestra unejemplo de la lista de ejercicios:

1.1 Funciones creadas en las bibliotecasde matrices y permutaciones:

def fillrand(self , randgen ):

""" fills the permutation with random integer values from

0 to lenght of permutation """

self._entries = list(range(self._n))

for i in range(self._n):

self._entries[i]= aux[randgen.randint(0, len(aux)-1)]

randgen.shuffle(self._entries)

def cyclic(self):

""" turns a permutation to a cycle on a list """

result =[]

cyc =[]

aux=range(self._n)

j=a=0

while (len(aux)>0):

aux.remove(j)

cyc.append(j)

j=self._entries[j]

if j==a:

result.append(cyc)

if len(aux)>0:

j=aux[0]

cyc =[]

a=j

return result

2

def cyclictex(self):

""" prints a cicle list with some defined notation """

x = self.cyclic ()

a = []

for c in x:

s1 = "\ ".join([str(j + 1) for j in c])

a.append("(" + s1 + ")")

return "\ ".join(a)

def randtuples(self , setspace , numbel ):

""" returns a random tuple of numbel elements

of the set setspace """

tuples=list(itertools.combinations(setspace ,numbel ))

a=random.choice(tuples)

return a

def auxlist(self , varname ):

""" returns a list of n indexed elements """

return ",".join([ varname+"_"+str(c+1) for c in self])

def det2(self):

""" Trying Classes and functions on Python """

return ((self._entries [0][0]* self._entries [1][1])

-(self._entries [1][0]* self._entries [0][1]))

def replacecol(self , p, values ):

""" replaces given values of a column """

b = self.copy()

for i in xrange(b._m):

b._entries[p][i]= values[i]

return b

3

def collist(self):

""" returns a list of column entries """

result=range(self._m)

for i in result:

result[i]=self._entries[i][0]

return result

def cofactor(self , rownum , colnum ):

""" returns a cofactor , given a row and a column """

r=(self._n)-1

aux1=range(self._n)

aux2=range(self._n)

b=Matrix(r,r)

aux1.remove(rownum)

aux2.remove(colnum)

for i in range(r):

for j in range(r):

b._entries[i][j]=self._entries[aux1[i]][ aux2[j]]

return b.det ()*( -1)**( colnum+rownum)

def cofactorsrow(self ,rownum ):

""" returns a list of cofactors along a row"""

return [self.cofactor(rownum ,colnum) for colnum

in range(self._n)]

def cofactorscol(self ,colnum ):

""" returns a list of cofactors along a column """

return [self.cofactor(rownum ,colnum) for rownum

in range(self._n)]

4

def cofactorsrow2(self , rownum ):

""" prints the determinant expanded by a number -row"""

k=0, r=(self._n)-1

aux1=range(self._n)

aux2=range(self._n)

b=Matrix(r,r), result =[]

while k<self._n:

aux1.remove(rownum)

aux2.remove(k)

for i in range(r):

for j in range(r):


aux1.insert(rownum ,rownum)

aux2.insert(k,k)

a=b.det()

s=a*( -1)**(k+rownum)

result.append(s), k+=1

return result

def cofactorscol2(self , colnum ):

""" prints the determinant expanded by a number -column """

k=0, r=(self._n)-1

aux1=range(self._n)

aux2=range(self._n)

b=Matrix(r,r), result =[]

while k<self._n:

aux1.remove(k)

aux2.remove(colnum)

for i in range(r):

for j in range(r):


aux1.insert(k,k)

aux2.insert(colnum ,colnum)

a=b.det()

s=a*( -1)**(k+colnum)

result.append(s)

k+=1

return result

5

def detcolexpansion(self , colnum ):

""" returns the determinant expanded by a column """

aux=self.cofactorscol(colnum)

result =[]

for i in range(self._n):

result.append("("+str((self._entries[i][ colnum ]))

+")"+"("+str(aux[i])+")")

return "+".join(result)

def detrowexpansion(self , rownum ):

""" returns the determinant of a matrix expanded by a row"""

aux=self.cofactorsrow(rownum)

result =[]

for j in range(self._n):

result.append("("+str((self._entries[rownum ][j]))

+")"+"("+str(aux[j])+")")

return "+".join(result)

def matrixadjunt(self):

""" returns the adjunt of a matrix """

k=0, l=0, r=(self._n)-1

aux1=range(self._n)

aux2=range(self._n)

b=Matrix(r,r)

c=self.copy()

while k<self._n:

while l<self._n:

aux1.remove(k)

aux2.remove(l)

for i in range(r):

for j in range(r):


a=b.det()

c._entries[l][k]=a*(( -1)**(k+l+2))

aux1.insert(k,k)

aux2.insert(l,l)

l+=1

l=0

k+=1

return c

6

1.2 Programa que genera ejercicios de funciones 3-lineales alternantes

Este codigo produce un ejercicio (escrito en LATEX) de una funcion que evalua ciertas com-binaciones de elementos de un espacio vectorial y se pide al alumno expresar a la funcionevaluada en una base de dichos elementos, se debe utilizar las propiedades de las funciones3-lineales y alternantes y los determinantes para obtener el resultado

# -*- coding: UTF -8 -*-

from __future__ import print_function

from exercisescreator import *

from matrix import *

from texout import *

class LinAltFunctionCreator(ExercisesCreator ):

title = "Funciones 3-lineales Alternantes"

skills = ["Propiedades de las funciones multilineales

alternantes y Determinantes\n"]

task = "Sea $V$ un espacio vectorial real , sea $f\\ colon V^3

\\to\\bR$ una funci\’on 3-lineal y alternante y " +\

"sean $a ,b,c \\in V$. Exprese a $f( {#E#} , {#F#} , {#G#} )$

en t\’erminos de $f(a,b,c)$.\n"

answer = "\\[\n{#H#}f(a,b,c).\n\\]\n"

def TryToCreateExercise(self):

ed = ExerciseData ()

ed.A = Matrix(3, 3)

ed.A.fillrandint (-10, 10, self.randgen)

ed.B=ed.A.rowasvector (0)

ed.C=ed.A.rowasvector (1)

ed.D=ed.A.rowasvector (2)

ed.E=texlinearcombination(ed.B,["a","b","c"])

ed.F=texlinearcombination(ed.C,["a","b","c"])

ed.G=texlinearcombination(ed.C,["a","b","c"])

ed.H=ed.A.det()

return [abs(ed.H)<80 and abs(ed.H)>15, ed]

LinAltFunctionCreator(todo = "all", filename = "funclinalt2",

nexercises = 10)

7

1.3 Programa que genera ejercicios de funciones 2-lineales alternantes

Este codigo produce un ejercicio (escrito en LATEX) de una funcion que evalua ciertas com-binaciones de elementos de un espacio vectorial y se le pide al alumno expresar a la funcionevaluada en una base de dichos elementos, se debe utilizar las propiedades de las funciones2-lineales y alternantes y los determinantes para obtener el resultado

# -*- coding: UTF -8 -*-





class LinAltFunctionCreator(ExercisesCreator ):

title = "Funciones 2-lineales Alternantes"

skills = ["Propiedades de las funciones multilineales

alternantes y Determinantes\n"]

task = "Sea $V$ un espacio vectorial real , sea $f\\ colon V^2

\\to\\bR$ una funci\’on 2-lineal y alternante y " +\

"sean $a ,b \\in V$. Exprese a $f( {#D#} , {#E#})$ en

t\’erminos de $f(a,b)$.\n"

answer = "\\[\n{#F#}f(a,b).\n\\]\n"



ed.A = Matrix(2, 2)


ed.B=ed.A.rowasvector (0)

ed.C=ed.A.rowasvector (1)

ed.D=texlinearcombination(ed.B,["a","b"])

ed.E=texlinearcombination(ed.C,["a","b"])

ed.F=ed.A.det()

return [abs(ed.F)<80 and abs(ed.F)>15, ed]

LinAltFunctionCreator(todo = "all", filename = "funclinalt1",

nexercises = 10)

8

1.4 Programa que genera ejercicios de funciones antisimetricas

Este codigo produce un ejercicio (escrito en LATEX) que nos expresa a una funcion multilinealarbitraria y se pide al alumno escribirla en cierta forma definida utilizando las propiedadesde las funciones antisimetricas

# -*- coding: UTF -8 -*-





from permut import *

class AntisimetricFunctionCreator(ExercisesCreator ):

title = "Funciones multilineales"

skills = ["Propiedades de las funciones antisim\’etricas"]

task = "Sea $X$ un conjunto , sea $f\\ colon X^6 \\to\\bR$

una funci\’on antisim\’etrica y sean

" +\ "$a_1 ,a_2 ,a_3 ,a_4 ,a_5 ,a_6$ elementos de $X$.

Exprese a $f({#B#})$ como $f(a_1 ,a_2 ,a_3 ,a_4 ,a_5 ,a_6)$.\n"

answer = "\\[\n{#C#}f(a_1 ,a_2 ,a_3 ,a_4 ,a_5 ,a_6).\n\\]\n"



ed.A = Permutation (6)

ed.A.fillrand(self.randgen)

ed.B=ed.A.auxlist("a")

ed.C=ed.A.sign()

ed.C="+" if ed.A.sign ()== 1 else "-"

return [ed.A.inv()>6, ed]

AntisimetricFunctionCreator(todo = "all", filename = "funcantsim",

nexercises = 10)

9

1.5 Programa que genera ejercicios del desarrollo del determinante

Este codigo produce un ejercicio (escrito en LATEX) que genera una matriz de dimension ny se pide al alumno calcular el determinante utilizando el desarrollo por filas y columnas,el resultado se expresa en forma de sumatoria

# -*- coding: UTF -8 -*-






import itertools

import random

class DetExpRowColCreator(ExercisesCreator ):

title = "Determinantes"

skills = ["Desarrollo del determinante por medio de filas

y columnas."]

task = "Calcule el determinante de $A$=${#A#}$, utilizando

el desarrollo por medio de la fila {#p1#} y la columna {#q1#} "

solution = "\\begin{align *}\n\\det(A)\\amp={#J#}\\\\\n\\amp={#K#}.

\n\\end{align *}"

answer = "\\[\n\\det(A)={# detA #}.\n\\]\n"

n=4


aux=range(self.n)

pairs=list(itertools.combinations(aux ,2))


ed.A = Matrix(self.n, self.n)

ed.A.fillrandint(-6, 6, self.randgen)

ed.detA=ed.A.det()

[ed.p,ed.q]= random.choice(pairs)

ed.p1 = ed.p+1

ed.q1 = ed.q+1

ed.J=ed.A.detrowexpansion(ed.p)

ed.K=ed.A.detcolexpansion(ed.q)

ed.B=ed.A.cofactorsrow(ed.p)

ed.C=ed.A.cofactorscol(ed.q)

detisgood = 5 <= abs(ed.detA) <= 100

cofactorsaregood = max(map(abs , ed.B + ed.C)) <= 2**( self.n+2)

Aisgood = ed.A.countzeros ()<=1

return [detisgood and cofactorsaregood and Aisgood , ed]

DetExpRowColCreator(todo = "all", filename = "detexp_n",

nexercises = 10)

10

1.6 Programa que genera ejercicios del desarrollodel determinante de una matriz cuadrada de dimension 3

Este codigo produce un ejercicio (escrito en LATEX) que genera una matriz de dimension 3y se pide al alumno calcular el determinante utilizando el desarrollo por filas y columnas,el resultado se expresa en forma de sumatoria

# -*- coding: UTF -8 -*-






import itertools

import random

class DetExpRowColCreator(ExercisesCreator ):

title = "Determinantes"

skills = ["Desarrollo del determinante por medio de filas

y columnas."]

task = "Calcule el determinante de $A$=${#A#}$, utilizando

el desarrollo por medio de la fila {#p1#} y la columna {#q1#} "

solution = "\\begin{align *}\n\\det(A)\\amp={#J#}\\\\\n\\amp={#K#}.

\n\\end{align *}\n"

answer = "\\[\n\\det(A)={# detA #}.\n\\]\n"


aux=range (3)

pairs=list(itertools.combinations(aux ,2))


ed.A = Matrix(3, 3)


ed.detA=ed.A.det()

[ed.p,ed.q]= random.choice(pairs)

ed.p1 = ed.p+1

ed.q1 = ed.q+1

ed.J=ed.A.detrowexpansion(ed.p)

ed.K=ed.A.detcolexpansion(ed.q)

ed.B=ed.A.cofactorsrow(ed.p)

ed.C=ed.A.cofactorscol(ed.q)


cofactorsaregood = max(map(abs , ed.B + ed.C)) <= 2**(5)


return [detisgood and cofactorsaregood and Aisgood , ed]

DetExpRowColCreator(todo = "all", filename = "detexp_3",

nexercises = 10)

11

1.7 Programa que genera ejercicios de un sistemade 3 ecuaciones y la Regla de Cramer

Este codigo produce un ejercicio (escrito en LATEX) de un sistema con tres ecuaciones linealesescrito en forma matricial y se pide al alumno que utilice la regla de cramer para hallar lassolucions al sistema

# -*- coding: UTF -8 -*-





from vector import *

class CramersRule(ExercisesCreator ):

title = "Regla de Cramer"

skills = ["Sistemas de ecuaciones lineales y Determinantes\n"]

task = "Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales

escrito de la forma matricial $Ax=b$:\n" +\

"\\[\n{#A#}x={#b#}.\n\\]\n Usando la regla de cramer , encuentre

la soluci\’on \’unica .\n"

answer = "\\[\nx={#B#}\n\\]\n"



ed.A = Matrix(3, 3)


ed.B = Vector (3)

ed.B.fillrandint(-7, 7, self.randgen)

ed.b=ed.A*ed.B

ed.E=ed.A.det()

return [abs(ed.A.det ()) >10 and abs(ed.A.det())<40, ed]

CramersRule(todo = "all", filename = "cramrule_3", nexercises = 10)

12

1.8 Programa que genera ejercicios para calcular el area asociada a un par-alelogramo

Este codigo produce un ejercicio (escrito en LATEX) dibujando un paralelogramo ubicado demanera aleatoria en el espacio con un area perteneciente a un intervalo definido, se le pideal alumno calcular dicha area utilizando vectores y determinantes

# -*- coding: UTF -8 -*-





from vector import *

import itertools

import random

class AreaDetCreator(ExercisesCreator ):

title = "Determinantes como el \’area orientada de un paralelogramo"

skills = ["C\’alculo de Determinantes"]

task = "Sea ABC el tri\’angulo generado por los puntos:

$A$ =({#Ax#},{#Ay#}), $B$ =({#Bx#},{#By#}) y $C$ =({#Cx#},

{#Cy#})\n" +\

"\nI. Calcule el \’area orientada del paralelogramo

generado por los vectores: $\wvec{AB}$ y $\wvec{AC}$.\n"

+\ "\nII. Calcule el \’area orientada del paralelogramo

generado por los vectores: $\wvec{BA}$ y $\wvec{BC}$.\n"

+\ "\nIII. Calcule el \’area del tri\’angulo $ABC$.\n"

+\ "\\ begin{center} \\begin {tikzpicture }[scale =0.5]\n"

+\ "\\ filldraw [very thick ,black ,fill=green]

({#Ax#}, {#Ay#}) -- ({#Bx#}, {#By#}) -- ({#Cx#}, {#Cy#})

-- cycle;" +\ "\\draw[very thin ,gray] (-5.5, -5.5)

grid (5.5, 5.5);" +\ "\\draw[-stealth] (-5.5, 0) --

(5.5, 0) node[right] {$x$};" +\

"\\draw[-stealth] (0, -5.5) -- (0, 5.5) node[above] {$y$};"

+\ "\\node[below] at (5, 0) {$\scriptstyle 5$};"+\

"\\node[left] at (0, 5) {$\scriptstyle 5$};"+\

"\\end {tikzpicture }\\end{center }\n"

solution = "\n$\wvec{AB}={#AB#}$,\\ quad $\wvec{AC}={#AC#}$,

\\ qquad $\wvec{BA}={#BA#}$,\\ quad $\wvec{BC}={#BC#}$.\n"

answer = "\n{#detA#}, \\qquad {#detB#}, \\qquad {#C#}\n"

13


pairs=list(itertools.combinations ([-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4],2))


ed.A=Matrix (2,2)

ed.B=Matrix (2,2)

[ed.Ax,ed.Ay]= random.choice(pairs)

[ed.Bx,ed.By]= random.choice(pairs)

[ed.Cx,ed.Cy]= random.choice(pairs)

ed.AB=Vector (2)

ed.AB[0]=ed.Bx -ed.Ax

ed.AB[1]=ed.By -ed.Ay

ed.AC=Vector (2)

ed.AC[0]=ed.Cx -ed.Ax

ed.AC[1]=ed.Cy -ed.Ay

ed.BA=Vector (2)

ed.BA[0]=ed.Ax -ed.Bx

ed.BA[1]=ed.Ay -ed.By

ed.BC=Vector (2)

ed.BC[0]=ed.Cx -ed.Bx

ed.BC[1]=ed.Cy -ed.By

ed.A.replacecol (0,ed.AB)

ed.A.replacecol (1,ed.AC)

ed.B.replacecol (0,ed.BA)

ed.B.replacecol (1,ed.BC)

ed.detA=ed.A.det()

ed.detB=ed.B.det()

ed.C=abs(ed.detA )/2

Vectorsaregood = (ed.AB [0]!=ed.AC [0]!=ed.BC[0])


DetAisgood = 30 <= abs(ed.detA) <= 50

return [Vectorsaregood and Aisgood and DetAisgood , ed]

AreaDetCreator(todo = "all", filename = "areadet", nexercises = 10)

14

1.9 Programa que genera ejercicios del calculo de una matriz adjunta

”””Este codigo produce un ejercicio (escrito en LATEX) con una matriz aleatoria de di-mension n, y se pide al alumno calcular su matriz adjunta, su determinante y se pideverificar que se cumple una identidad entre las matrices ”””

# -*- coding: UTF -8 -*-






class MatrixAdjuntCreator(ExercisesCreator ):

title = "Matriz Adjunta y Determinantes"

skills = ["Determinantes , Adjunta de una Matriz."]

task = "Sea A=${#A#}$.\n\n \\ \\\n\nCalcule la matriz adjunta

de A y su determinante y compruebe que se satisface " +\

"la ecuaci\’on: $adj(A)*A=det(A)*I$ , donde I es la matriz

identidad .\n"

solution = "\\[\n\\det(A)*I={#D#}.\n\\]\n"

answer = "\\[\n\\det(A)={# detA#}, \\ \\ \\ adj(A)={#C#}.

\\ \n\\]\n"

n=4



ed.A = Matrix(self.n, self.n)


ed.detA=ed.A.det()

ed.C=ed.A.matrixadjunt ()

ed.D=ed.A*ed.C

detisgood = 5 <= abs(ed.detA) <= 2**( self.n+3)


return [detisgood and Aisgood , ed]

MatrixAdjuntCreator(todo = "all", filename = "adjmatrix_n",

nexercises = 10)

15

1.10 Programa que genera ejercicios del calculode una matriz adjunta de dimension 3

”””Este codigo produce un ejercicio (escrito en LATEX) con una matriz aleatoria de di-mension 3 y se pide al alumno calcular su matriz adjunta, su determinante y se pide verificarque se cumple una identidad entre las matrices ”””

# -*- coding: UTF -8 -*-






class MatrixAdjuntCreator(ExercisesCreator ):

title = "Matriz Adjunta y Determinantes"

skills = ["Determinantes , Adjunta de una Matriz."]

task = "Sea A=${#A#}$.\n\n \\ \\\n\nCalcule la matriz adjunta

de A y su determinante y compruebe que se satisface " +\

"la ecuaci\’on: $adj(A)*A=det(A)*I$ , donde I es la matriz

identidad .\n"

solution = "\\[\n\\det(A)*I={#D#}.\n\\]\n"

answer = "\\[\n\\det(A)={# detA#}, \\ \\ \\ adj(A)={#C#}.

\\ \n\\]\n"



ed.A = Matrix(3, 3)


ed.detA=ed.A.det()

ed.C=ed.A.matrixadjunt ()

ed.D=ed.A*ed.C



return [detisgood and Aisgood , ed]

MatrixAdjuntCreator(todo = "all", filename = "adjmatrix_3",

nexercises = 10)

16

2 Ejemplo de una tarea conformada porlistas de ejercicios generados por los codigos

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II. Tarea 7. Variante α.

Permutaciones.

Nombre: Calificacion (%):

Esta tarea vale 11% de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1%.Dadas las permutaciones ϕ, ψ, χ, calcule los productos ϕψ, ψχ, (ϕψ)χ, ϕ(ψχ). Despues de cada multi-plicacion compruebe que el signo del producto es igual al producto de los signos.

ϕ =

(1 2 3 4 5 63 4 2 1 5 6

), ψ =

(1 2 3 4 5 63 4 5 2 1 6

), χ =

(1 2 3 4 5 64 1 6 2 3 5

).

Ejercicio 2. 1%.Calcule los productos ϕψ y ψϕ. Despues de cada multiplicacion compruebe que el signo del producto esigual al producto de los signos.

ϕ =

(1 2 3 4 5 6 77 5 2 6 3 4 1

), ψ =

(1 2 3 4 5 6 74 3 6 7 2 1 5

).

Ejercicio 3. 1%.Calcule ϕ−1, ψ−1, ψ−1ϕ−1, ϕψ, (ϕψ)−1. Despues de cada operacion haga la comprobacion de los signos.

ϕ =

(1 2 3 4 5 65 2 6 3 1 4

), ψ =

(1 2 3 4 5 64 2 6 1 3 5

).

Ejercicio 4. 1%.Escriba las transposiciones τ3,4 y τ2,7 en forma explıcita y calcule los productos ϕτ3,4, τ3,4ϕ, ϕτ2,7, τ2,7ϕ,donde

ϕ =

(1 2 3 4 5 6 75 6 3 1 7 2 4

).

17

Ejercicio 5. 1%.Calcule inv(ϕ) y escriba todos los pares ordenados (ϕ(i), ϕ(j)) tales que i, j ∈ {1, . . . , 6}, i < j y ϕ(i) >ϕ(j), donde

ϕ =

(1 2 3 4 5 62 5 3 6 4 1

).

Haga lo mismo para la permutacion ψ = ϕτ2,3, luego para la permutacion χ = ϕτ4,5.

Ejercicio 6. 1%.Calcule inv(ϕ). Calcule ϕτp,p+1 e inv(ϕτp,p+1) para todo p ∈ {1, . . . , 6}.

ϕ =

(1 2 3 4 5 6 77 3 2 4 6 1 5

).

Ejercicio 7. 1%.Calcule inv(ϕ) y factorice ϕ en un producto de transposiciones simples que contenga precisamente inv(ϕ)factores. Haga la comprobacion.

ϕ =

(1 2 3 4 5 63 5 2 1 6 4

).

Ejercicio 8. 1%.Haga la tarea del ejercicio anterior para la siguiente permutacion ϕ.

ϕ =

(1 2 3 4 5 6 75 1 7 3 4 2 6

).

Ejercicio 9. 1%.Escriba en el orden lexicografico todas las permutaciones que pertenecen a S4, Calcule sus signos yencuentre el conjunto A4.

Ejercicio 10. 2%.Calcule todos los productos ϕψ, donde ϕ ∈ A4 y ψ es la permutacion dada. Escriba los signos de estosproductos. Puede usar los resultados del ejercicio anterior.

ψ =

(1 2 3 41 2 4 3

).

18

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra III. Tarea 1. Variante α.

Determinantes.

Nombre: Calificacion (%):

Esta tarea vale 15% de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 0.5%.Sea X un conjunto, sea f : X6 → R una funcion antisimetrica y sean a1, a2, a3, a4, a5, a6 elementos de X.Exprese a f(a5, a4, a2, a6, a1, a3) como f(a1, a2, a3, a4, a5, a6).

Ejercicio 2. 0.5%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V 2 → R una funcion bilineal alternante y sean a, b ∈ V . Expresea f(8a+ 3b, 2a− 2b) en terminos de f(a, b).

Ejercicio 3. 1%.Sea V un espacio vectorial real, sea f : V 3 → R una funcion 3-lineal alternante y sean a, b, c ∈ V . Expresea f(6a+ 5b+ c,−6a+ 5b+ 6c,−a− 3b− 2c) en terminos de f(a, b, c).

Ejercicio 4. 1%.El polinomio f(x) esta definido como el siguiente determinante. Calcule el coeficiente de x4 en el polinomiof(x). Se recomienda recordar la definicion del determinante a traves de permutaciones y encontrar lossumandos del determinante que contienen a la potencia x4.

f(x) = det

−x −3 2 −3x−x −3 0 −2x

1 −2x 2 22 2 x 3

.

Ejercicio 5. 1%.Calcule el determinante de la matriz A usando operaciones elementales con renglones y la expansion porcofactores a lo largo de columnas casi nulos. Luego calcule el determinante de la matriz transpuesta A>

usando operaciones elementales con renglones y la expansion por cofactores a lo largo de columnas casinulos.

A =

5 −4 −5 −3−7 6 4 −7−2 6 2 −4

3 4 0 2

.

19

Ejercicio 6. 1%.Calcule el determinante de la matriz A de dos maneras diferentes:

1. Expandiendo por cofactores a lo largo del renglon 3.

2. Expandiendo por cofactores a lo largo de la columna 2.

A =

−6 −4 4−5 0 3

4 2 −1

.Ejercicio 7. 2%.Calcule la matriz AB y los determinantes de las matrices A, B y AB. Verifique que se cumple la igualdaddet(AB) = det(A) det(B).

A =

3 3 0 −23 4 1 −21 1 4 −1−3 −2 −1 2

, B =

0 −4 −3 −13 4 3 2−4 −1 3 1

1 −3 1 2

.Ejercicio 8. 1%.Calcule la matriz adjunta clasica adj(A) de la matriz A, calcule det(A) y compruebe que se cumple laigualdad adj(A)A = det(A)I3. Escriba la matriz A−1.

A =

1 −3 −5−3 0 2

2 1 −2

.Ejercicio 9. 2%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion. −5 −6 −4

5 3 −35 4 −2

x =

−5−5−7

.Ejercicio 10. 2%.Dados los puntos xk y los valores yk, k ∈ {0, 1, 2}, escriba el sistema de ecuaciones lineales que debensatisfacer los coeficientes del polinomio P (x) = a0+a1x+a2x

2 para que se cumplan las igualdades P (xk) =yk, k ∈ {0, 1, 2}. Calcule el determinante de la matriz del sistema con la formula de Vandermonde.Resuelva el sistema con la regla de Cramer. Escriba el polinomio P (x) y comprueba las igualdadesP (xk) = yk, k ∈ {0, 1, 2}.

x0 = 1, x1 = 2, x2 = 5,

y0 = 5, y1 = 8, y2 = 29.

Ejercicio 11. 1.5%.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con la regla de Cramer. Haga la comprobacion.[

−2− 3 i −1 + 2 i4 + 3 i 3− i

]x =

[−11 + 4 i−1− 4 i

].

20

Ejercicio 12. 0.5%.Saque las coordenadas de los puntos A,B,C del dibujo y calcule:

• el area orientada del paralelogramo generado por−−→AB y

−→AC;

• el area orientada del paralelogramo generado por−−→BA y

−−→BC;

• el area del triangulo ABC.

5

5

x

y

A

B

C

Ejercicio 13. 1%.Dados los puntos P,Q,R, S del espacio cartesiano, calcule:

• el volumen orientado del paralelepıpedo generado por−−→PQ,

−→PR,

−→PS;

• el volumen orientado del paralelepıpedo generado por−−→QP ,

−−→QR,

−→QS;

• el volumen de la piramide PQRS.

P =

−643

, Q =

2−3−1

, R =

−40−3

, S =

6−1

6

.

21

3 Listas de probemas teoricossobre el tema “permutaciones”

Permutaciones - Problemas teoricos

1. Escriba la definicion de permutacion.

Composicion de permutaciones

2. Escriba la tabla de multiplicacion en S3.

3. Sea ψ ∈ Sn. Definamos la funcion f : Sn → Sn mediante la regla:

∀ϕ ∈ Sn f(ϕ) = ϕψ.

Demuestre que f es una biyeccion.

4. Sea ψ ∈ Sn. Definamos la funcion f : Sn → Sn mediante la regla:

∀ϕ ∈ Sn f(ϕ) = ψϕ.


5. Definamos la funcion f : Sn → Sn mediante la regla:

∀ϕ ∈ Sn f(ϕ) = ϕ−1.


Transposiciones

6. Definicion de transposicion. Sean p, q ∈ {1, . . . , n}, p 6= q. La transposicion τp,q de p y q es lapermutacion del conjunto {1, . . . , n} que intercambia los elementos p y q y queda inmovibles todos losdemas elementos. Escriba la regla de correspondencia de τp,q de manera formal.

7. Multplicacion por una transposicion por la derecha. Sea

ϕ =

(1 2 . . . n− 1 na1 a2 . . . an−1 an

),

sean p, q ∈ {1, . . . , n}, p 6= q y sea ψ = ϕτp,q. Explique como obtener la lista ψ(1), . . . , ψ(n) de la listaa1, . . . , an.

8. Multiplicacion por una transposicion por la izquierda. Sea

ϕ =

(1 2 . . . n− 1 na1 a2 . . . an−1 an

),

sean p, q ∈ {1, . . . , n}, p 6= q y sea ψ = τp,qϕ. Explique como obtener la lista ψ(1), . . . , ψ(n) de la listaa1, . . . , an.

22

Numero de inversiones

Definicion (numero de inversiones de una permutacion). Sea ϕ ∈ Sn. Entonces

inv(ϕ) := #{

(i, j) ∈ {1, . . . , n}2 : i < j, ϕ(i) > ϕ(j)}.

Recordando que ϕ es una biyeccion y haciendo el cambio de variables a = ϕ(j), b = ϕ(i) podemos escribirla definicion de inv(ϕ) de otra manera:

inv(ϕ) = #{

(a, b) ∈ {1, . . . , n}2 : a < b, ϕ−1(a) > ϕ−1(b)}.

9. Calcule el numero de inversiones inv(ϕ) en la permutacion ϕ ∈ Sn definida mediante la regla ϕ(i) =n+ 1− i, esto es,

ϕ =

(1 2 . . . n− 1 nn n− 1 . . . 2 1

).

Cambio del numero de inversiones de una permutacional multiplicar por una transposicion simple

10. Sea ϕ ∈ Sn y sea p ∈ {1, . . . , n− 1} tal que ϕ(p) < ϕ(p+ 1). Demuestre que

inv(ϕτp,p+1) = inv(ϕ) + 1.

11. Sea ϕ ∈ Sn y sea p ∈ {1, . . . , n− 1} tal que ϕ(p) > ϕ(p+ 1). Demuestre que

inv(ϕτp,p+1) = inv(ϕ)− 1.

12. Calcule inv(ϕτp,p+1), donde p ∈ {1, . . . , n− 1} y ϕ es la permutacion del Problema 9:

ϕ =

(1 2 . . . n− 1 nn n− 1 . . . 2 1

).

Descomposicion de una permutacionun un producto de transposiciones simples

13. Sea ϕ ∈ Sn una permutacion tal que inv(ϕ) 6= 0. Demuestre que existe un ındice k ∈ {1, . . . , n− 1}tal que ϕ(k) > ϕ(k + 1).

14. Sea ϕ ∈ Sn y sea k = inv(ϕ). Demuestre que ϕ se puede descomponer en un producto de ktransposiciones simples.

15. Dada la permutacion ϕ, calcule inv(ϕ) y descomponga ϕ en inv(ϕ) transposiciones simples.

ϕ =

(1 2 3 4 53 4 1 5 2

).

23

Signo de una permutacion

16. Escriba la definicion del signo de una permutacion.

17. Signo del producto. Sean ϕ,ψ ∈ Sn. Demuestre que

sign(ϕψ) = sign(ϕ) sign(ψ).

18. Signo de la permutacion inversa. Sea ϕ ∈ Sn. Demuestre que

sign(ϕ−1) = sign(ϕ).

19. Sea ϕ ∈ Sn, ϕ = ψ1 · · ·ψk, donde ψ1, . . . , ψk son transposiciones (no necesariamente simples).Demuestre que sign(ϕ) = (−1)k.

Grupo alternado

Definicion del grupo alternado. An := {ϕ ∈ Sn : sign(ϕ) = 1}.

20. Muestre las siguientes propiedades de An:

1. Si ϕ,ψ ∈ An, entonces ϕψ ∈ An.

2. e ∈ An.

3. Si ϕ ∈ An, entonces ϕ−1 ∈ An.

Estas propiedades significan que An es un subgrupo de Sn.

21. Sea n > 2 y sea ψ ∈ Sn una permutacion impar. Se considera el mapeo Λ: An → Sn, definidomediante la regla

Λ(ϕ) := ϕψ ∀ϕ ∈ An.

Muestre que Λ es inyectivo y que su imagen es Sn \An.

Funciones simetricas y antisimetricas

Notacion. Sea f : Xn → F una funcion de n argumentos y sea ϕ ∈ Sn. Entonces la funcion ϕf : Xn → Fse define mediante la siguiente regla:

(ϕf)(x1, . . . , xn) = f(xϕ(1), . . . , xϕ(n)).

En otras palabras, la funcion ϕf se obtiene de la funcion f al aplicar a los argumentos de f la permutacionϕ.

22. Sea f : Xn → F una funcion de n argumentos y sean ϕ,ψ ∈ Sn. Demuestre que

(ϕψ)f = ϕ(ψf).

24

23. Criterio de que una funcion es simetrica. Sea f : Xn → F una funcion de n argumentos.Demuestre que las siguientes condiciones son equivalentes:

(a) τp,p+1f = f para todo p ∈ {1, . . . , n− 1}.

(b) τp,qf = f para todos p, q ∈ {1, . . . , n}, p 6= q.

(c) ϕf = f para toda ϕ ∈ Sn.

24. Criterio de que una funcion es antisimetrica. Sea f : Xn → F una funcion de n argumentos.Demuestre que las siguientes condiciones son equivalentes:

(a) τp,p+1f = −f para todo p ∈ {1, . . . , n− 1}.

(b) τp,qf = −f para todos p, q ∈ {1, . . . , n}, p 6= q.

(c) ϕf = sign(ϕ)f para toda ϕ ∈ Sn.

25. De un ejemplo de una funcion antisimetrica f : R3 → R que no sea constante cero.

26. Sea f : X5 → R una funcion antisimetrica. Exprese f(x4, x2, x1, x5, x3) a traves de f(x1, x2, x3, x4, x5).

27. Sea f : X2 → R una funcion de dos argumentos. Demuestre que existe un unico par de funciones(g, h) tales que g : X2 → R, h : X2 → R, g es simetrica, h es antisimetrica:

g(y, x) = g(x, y) ∀x, y ∈ X; h(y, x) = −h(x, y) ∀x, y ∈ X.

25

4 Listas de probemas teoricossobre el tema “determinantes”

Determinantes - Problemas teoricos

Definicion de la funcion determinante

Definicion (determinante). Sea A ∈Mn(F). Entonces det(A) se define de la siguiente manera:

det(A) :=∑ϕ∈Sn

sign(ϕ)

n∏i=1

Ai,ϕ(i). (1)

28. De la formula general (1) deduzca la formula para el determinante de orden 2.

29. De la formula general (1) deduzca la formula para el determinante de orden 3.

30. Lema: correspondencia entre permutaciones y sus inversas. Demuestre que la funciong : Sn → Sn definida mediante la formula g(ϕ) = ϕ−1 es biyectiva.

31. Teorema: Determinante de la matriz transpuesta. Sea A ∈Mn(F). Demuestre que

det(At) = det(A).

32. Lema sobre las permutaciones distintas de la permutacion identidad. Sea ϕ ∈ Sn, ϕ 6= e.Entonces existe un ındice i ∈ {2, . . . , n} tal que ϕ(i) < i.

33. Teorema: Determinante de una matriz triangular superior. Sea A ∈ utn(F). Demuestre que

det(A) =

n∏i=1

Ai,i.

34. Corolario: Determinante de una matriz triangular inferior. Sea A ∈ ltn(F). Demuestre que

det(A) =

n∏i=1

Ai,i.

35. El polinomio f esta definido como el siguiente determinante. Escriba las permutaciones que corre-sponden a los miembros (sumandos) del determinante que contienen x4 y calcule el coeficiente de x4 enel polinomio f .

f(x) = det

x 3 −1 2x4 1 2x 3−x 2 3 5x7 7x 1 2

.

26

Funciones polilineales alternantes

Definicion (funcion polilineal). Sea V un espacio vectorial sobre un campo F y sea f : V k → F unafuncion. Se dice que f es polilineal si f es lineal con respecto a cada uno de sus k argumentos. Tambiense usan los terminos multilineal y k-lineal.

Definicion (funcion alternante). Sea f : Xn → F una funcion de n argumentos. Se dice que f esalternante (alternada, alterna) si f se anula siempre que al menos dos de sus argumentos coinciden. Demanera formal: si i, j ∈ {1, . . . , n}, i 6= j, x1, . . . , xn ∈ X y xi = xj , entonces f(x1, . . . , xn) = 0.

36. Para cada una de las siguientes funciones f : (R2)2 → R determine si esta funcion es bilineal alternanteo no:

1. f

([ab

],

[cd

]):= ab− cd.

2. f

([ab

],

[cd

]):= ad− bc.

3. f

([ab

],

[cd

]):= a.

4. f

([ab

],

[cd

]):= 0.

5. f

([ab

],

[cd

]):= 1.

37. Sea V un espacio vectorial real, sea f : V 3 → R una funcion 3-lineal alternante y sean a, b, c ∈ V .Exprese f(a+ 2b− c, 5a+ c, 2b+ c) a traves de f(a, b, c).

38. Sea V un EV/F y sea f : V k → F una funcion polilineal alternante. Sean v1, . . . , vk−1 ∈ V ,α1, . . . , αk−1 ∈ F. Demuestre que

f

v1, . . . , vk−1, k−1∑j=1

αjvj

= 0.

39. Sea V un EV/F y sea f : V k → F una funcion polilineal alternante. Sean v1, . . . , vk ∈ V vectoreslinealmente dependientes. Demuestre que

f(v1, . . . , vk) = 0.

40. Sea V un espacio vectorial sobre un campo F y sea f : V → F una funcion que cumple con lassiguientes propiedades:

1. f(u+ µv, v) = f(u, v) para todos u, v ∈ V y todo µ ∈ F.

2. f(αu, v) = αf(u, v) para todos u, v ∈ V y todo α ∈ V .

3. f(v, u+ µv) = f(v, u) para todos u, v ∈ V y todo µ ∈ F.

4. f(u, αv) = αf(u, v) para todos u, v ∈ V y todo α ∈ V .

5. f(v, v) = 0 para todo v ∈ V .

Demuestre que f es aditiva con respecto a cada uno de sus argumentos y, por consecuencia, f es unafuncion bilineal alternante.

27

Determinante como una funcion polilineal alternante

41. Definicion (determinante como funcion de los renglones de la matriz). Definamos la funcionD : (Fn)n → F de la siguiente manera. Para todos a1, . . . , an ∈ Fn pongamos D(a1, . . . , an) = det(A),donde A es la matriz formada de los renglones a1, . . . , an, esto es,

Ai,j := (ai)j .

42. Demuestre que D es una funcion polilineal.

43. Demuestre que D es una funcion alternante.

44. Expresion de una funcion polilineal alternante a traves de la funcion determinante. SeaV un espacio vectorial de dimension n sobre un campo F, sea B = (b1, . . . , bn) una base de V y seaf : V n → F una funcion n-lineal alternante. Demuestre que para todos a1, . . . , an ∈ V

f(a1, . . . , an) = det(A)f(b1, . . . , bn)

donde A es la matriz formada por las columnas de coordenadas de los vectores a1, . . . , an con respecto ala base B:

A =[(a1)B . . . (an)B

].

45. Determinante es la unica funcion polilineal alternante de los renglones de la matriz quetoma valor uno en la matriz identidad. Sea f : Mn(F) → F. Supongamos que f es una funcionn-lineal alternante de los renglones de la matriz y cumple con la condicion f(In) = 1. Demuestre quef = det.

46. Determinante del producto de matrices. Sean A,B ∈Mn(F). Demuestre que

det(AB) = det(A) det(B).

47. Determinante de una matriz triangular superior por bloques. Sean A ∈ Mm(F), B ∈Mm,n(F), C ∈Mn(F). Demuestre que

det

[A B

0n,m C

]= det(A) det(C).

28

Expansion del determinante por cofactoresa lo largo de una fila o columna

48. Lema: encaje canonico de Sn−1 en Sn. Consideremos la funcion g : Sn−1 → Sn definidamediante la siguiente regla:

(g(ϕ))(i) =

{ϕ(i), i ∈ {1, . . . , n− 1},n, i = n.

Demuestre que g esta bien definida, es decir, g(ϕ) ∈ Sn para toda ϕ ∈ Sn−1. Demuestre que g esinyectiva. Calcule la imagen (el conjunto de los valores) de la funcion g.

49. Lema: determinante de una matriz con el ultimo renglon casi nulo. Sea A ∈ Mn(F)una matriz tal que An,j = 0 para todo j ∈ {1, . . . , n}. Denotemos por B a la submatriz de la matriz Aubicada en los primeros n− 1 renglones y las primeras n− 1 columnas:

B = A{1,...,n−1},{1,...,n−1}.

Demuestre quedet(A) = An,n det(B).

50. Lema: determinante de una matriz con un renglon casi nulo. Sea A ∈Mn(F) una matriz ysean p, q ∈ {1, . . . , n} tales que Ap,j = 0 para todos j ∈ {1, . . . , n}\{q}. Denotemos por B a la submatrizde la matriz A ubicada en los renglones {1, . . . , n} \ {p} y las columnas {1, . . . , n} \ {q}:

B = A{1,...,n}\{p},{1,...,n}\{q}.

Demuestre quedet(A) = Ap,q(−1)p+q det(B).

51. Notacion (cofactores). Sea A ∈ Mn(F) y sean p, q ∈ {1, . . . , n}. Denotemos por Cof(A, p, q) aldeterminante de la matriz que se obtiene de la matriz A al quitar el p-esimo renglon y la q-esima columna.

52. Teorema: expansion de un determinante a lo largo de un renglon. Sea A ∈ Mn(F) y seap ∈ {1, . . . , n}. Demuestre que

det(A) =

n∑j=1

Ap,j Cof(A, p, j).

29

Calculo de algunos determinantes del n-esimo orden

En cada uno de los siguientes problemas hay que calcular el determinante D4 y escribir una formulageneral para Dn. Sugerencia: aplicando operaciones elementales transforme la matriz a una matriztriangular. Haga las operaciones elementales de tal manera que el procedimiento se pueda generalizarnaturalmente a cualquier orden n.

53. D4 =

∣∣∣∣∣∣∣∣a a a aa b a aa a b aa a a b

∣∣∣∣∣∣∣∣.

54. D4 =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1 1a2 b2 a2 a2a3 a3 b3 a3a4 a4 a4 a4

∣∣∣∣∣∣∣∣.

55. D4 =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 + x1 x2 x3 x4x1 1 + x2 x3 x4x1 x2 1 + x3 x4x1 x2 x3 1 + x4

∣∣∣∣∣∣∣∣.

56. D4 =

∣∣∣∣∣∣∣∣7 2 2 22 7 2 22 2 7 22 2 2 7

∣∣∣∣∣∣∣∣.

57. D4 =

∣∣∣∣∣∣∣∣b a a aa b a aa a b aa a a b

∣∣∣∣∣∣∣∣.

58. D4 =

∣∣∣∣∣∣∣∣a0 a1 a2 a3−x x 0 00 −x x 00 0 −x x

∣∣∣∣∣∣∣∣.

59. D4 =

∣∣∣∣∣∣∣∣a1 + x x x xx a2 + x x xx x a3 + x xx x x a4 + x

∣∣∣∣∣∣∣∣.60. Dn = detAn, donde An =

[min{i, j}

]ni,j=1

.

61. Dn = detAn, donde An =[max{i, j}

]ni,j=1

.

62. Dn = detAn, donde An =[|i− j|

]ni,j=1

.

30

Matriz adjunta clasica

63. Definicion (matriz adjunta clasica de una matriz cuadrada). Sea A ∈ Mn(F). Entonces lamatriz adjunta clasica de A es la matriz n × n cuya (i, j)-esima entrada es el (j, i)-esimo cofactor de lamatriz A:

adj(A) :=[Cof(A, j, i)

]ni,j=1

.

64. Teorema: Propiedad principal de la matriz adjunta clasica. Sea A ∈ Mn(F). Demuestreque

A adj(A) = det(A) In, adj(A)A = det(A) In.

65. Sea A ∈ Mn(F) una matriz no invertible. Demuestre que cualquier columna de su matriz adjuntaclasica adj(A) es solucion de la ecuacion Ax = 0n.

Criterio de la invertibilidad de una matrizen terminos de su determinante

66. Si el determinante de una matriz es cero, entonces la matriz no es invertible. SeaA ∈Mn(F) tal que det(A) = 0. Demuestre que A no es invertible.

67. Expresion de la matriz inversa a traves de la matriz adjunta clasica. Sea A ∈ Mn(F) talque det(A) 6= 0. Pongamos

B :=1

det(A)adj(A).

Demuestre que AB = In y BA = In.

Resumiendo los dos problemas anteriores obtenemos el siguiente criterio:

68. Criterio de la invertibilidad de una matriz en terminos de su determinante. Sea A ∈Mn(F). Demuestre que A es invertible si y solo si det(A) 6= 0.

69. Sea A una matriz de orden 2:

A =

[A1,1 A1,2

A2,1 A2,2

].

¿Cuando es invertible la matriz A? En el caso si A es invertible calcule A−1 a traves de adj(A).

70. Sea α ∈ R y sea

A =

[cos(α) − sen(α)sen(α) cos(α)

].

Demuestre que A es invertible, calcule adj(A) y A−1.

71. Sea A ∈M3(F) una matriz triangular superior de orden 3:

A =

A1,1 A1,2 A1,3

0 A2,2 A2,3

0 0 A3,3

.¿Cuando es invertible la matriz A? En el caso si A es invertible calcule A−1 a traves de adj(A).

31

72. Tarea adicional. Sea A ∈ Mn(F) una matriz triangular superior. Demuestre que adj(A) tambienes triangular superior y calcule sus elementos diagonales.

73. Descripcion de las matrices que son divisores de cero. Sea A ∈ Mn(F). Demuestre que lassiguientes condiciones son equivalentes:

• Existe una matriz B ∈Mn(F) distinta de 0n,n tal que AB = 0n,n.

• det(A) = 0.

Nota: Una matriz A ∈Mn(F) se llama divisor derecho de cero si cumple con (a) y es distinta de 0n,n.

Regla de Cramer

74. Enuncie y demuestre la regla de Cramer.

Rango y menores de una matriz

75. Sea A ∈ Mm,n(F). Demuestre que en A hay menores no nulos de ordenes 1, 2, . . . , r(A). En otraspalabras, demuestre que para todo k ∈ {1, . . . , r(A)} en la matriz A hay un menor no nulo de orden k.

Determinante de Vandermonde y su aplicacion a la interpolacion polinomial

76. Notacion (matriz de Vandermonde). Sean α1, . . . , αn ∈ F. Denotemos por V (α1, . . . , αn) a lasiguiente matriz:

V (α1, . . . , αn) :=[αj−1i

]ni,j=1

.

Por ejemplo,

V (α1, α2, α3) =

1 α1 α21

1 α2 α22

1 α3 α23

.77. Recursion para el determinante de Vandermonde, n = 4. Sean α1, . . . , α4 ∈ F. Demuestreque

detV (α1, α2, α3, α4) = (α4 − α1)(α4 − α2)(α4 − α3) detV (α1, α2, α3).

78. Recursion para el determinante de Vandermonde. Sean α1, . . . , αn ∈ F. Demuestre que

detV (α1, . . . , αn) =

(n−1∏i=1

(αn − αi)

)V (α1, . . . , αn−1).

79. Formula para el determinante de Vandermonde. Sean α1, . . . , αn ∈ F. Demuestre que

detV (α1, . . . , αn) =∏

i,j∈{1,...,n}i<j

(αj − αi).

32

80. Corolario: determinante de Vandermonde generado por numeros diferentes por pareses no nulo. Sean α1, . . . , αn ∈ F numeros diferentes por pares, esto es, para todos i, j ∈ {1, . . . , n} sii 6= j, entonces αi 6= αj . Demuestre que

detV (α1, . . . , αn) 6= 0.

81. Existencia y unicidad del polinomio interpolante. Sean α1, . . . , αn ∈ F numeros diferentespor pares y sean β1, . . . , βn ∈ F. Demuestre que existe un unico polinomio P ∈ P()n− 1(F):

P (z) =

n−1∑j=0

cjzj ,

tal que∀k ∈ {1, . . . , n} P (αk) = βk.

33

5 Resumen sobre las sucesiones definidasmediante recurrencias lineales

Abstract

Este documento indica como hallar una regla de correspondencia para obtener el valor de untermino arbitrario xn en una relacion recursiva lineal de segundo orden con coeficientes constantessin la necesidad de conocer los valores previos inmediatos.

5.1 Formula Recursiva

Introduciremos un metodo para escribir a un termino general xn de una sucesion de numeros que siguenun patron determinado.

Este metodo al cual se le llama “formula recursiva”, expresa un termino arbitrario xn como una funcionque usa al menos el ultimo o los ultimos terminos anteriores al cual se quiere encontrar el valor (lo cuala veces puede ser muy restringido).

Una formula recursiva consta de dos partes:

• Un valor inicial, al menos x0 ( a veces tambien x1).

• Una ecuacion para xn como funcion de xn−1 (o xn+1 en funcion de xn).

5.2 Ejemplos

1. Una formula recursiva con la que hemos estado familiarizados es la sucesion de Fibonacci, donde cadatermino en la sucesion a partir de x2 es la suma de los dos anteriores, es decir:

x0 = 1;

x1 = 1;

x2 = 2;

x3 = 3;

x4 = 5;

...

La ecuacion para xn en funcion de los terminos anteriores es: xn+1 = xn + xn−1.

34

2. Si es conocida la formula recursiva, se puede generar la sucesion, por ejemplo, dados x0 = 6 yxn+1 = xn + 5, la sucesion generada por la formula es:

x1 = x0 + 5 = 6 + 5 = 6 + 5(1) = 11;

x2 = x1 + 5 = 11 + 5 = 6 + 5(1) + 5 = 6 + 5(2) = 16;

x3 = x2 + 5 = 16 + 5 = 6 + 5(2) + 5 = 6 + 5(3) = 21;

...

Pudimos haber escrito a la formula como xn = 5n+6, ya que es una relacion de recurrencia de primerorden que utiliza solamente el termino anterior inmediato y se anade una diferencia constante.

Si quisieramos obtener a x10, necesitarıamos conocer a x9, x8, ...

3. Dada la siguiente formula recursiva: xn+1 = xn + 3n; x1 = 1, hallaremos los siguientes cuatroterminos de la sucesion y luego trataremos de hallar coeficientes explıcitos a, b, c para expresar a xn comoan2 + bn+ c.

x2 = 1 + 3(1) = 4;

x3 = 4 + 3(2) = 10;

x4 = 10 + 3(3) = 19;

x5 = 19 + 3(4) = 31.

La sucesion generada es: x1 = 1; x2 = 4; x3 = 10; x4 = 19; x5 = 31; ...Ahora, necesitamos encontrar los valores de a, b, c tales que xn = an2 + bn + c para cualquier numeronatural n, en este caso hallaremos los valores usando un metodo muy particular.

Se debe cumplir lo siguiente:

x2 = a(2)2 + b(2) + c = 4;

x3 = a(3)2 + b(3) + c = 10;

x4 = a(4)2 + b(4) + c = 19.

Tenemos un sistema de 3 ecuaciones con 3 incognitas, usando la regla de Cramer encontraremos los val-ores de a, b y c.

Escribimos en forma matricial (Ax = b) al sistema de ecuaciones:

4 2 19 3 116 4 1

abc

=

41019

.

35

Ahora las correspondientes matrices A1, A2 y A3 son:

A1 =

4 2 110 3 119 4 1

, A2 =

4 4 19 10 116 19 1

, A3 =

4 2 49 3 1016 4 19

,

a = |A1||A| = −3

−2 = 32, b = |A2|

|A| = 3−2 = −3

2, c = |A3|

|A| = −2−2 = 1.

Finalmente, xn = 32n2 − 3

2n + 1 es la formula explıcita.

4. Dada la formula recursiva xn+1 = xn + 2n, con x1 = 3, determinaremos a los primeros cuatroterminos de la sucesion.

x2 = x1 + 2(1) = 5;

x3 = x2 + 2(2) = 9;

x4 = x3 + 2(3) = 15;

x5 = x4 + 2(4) = 23.

La sucesion generada es: x1 = 3; x2 = 5; x3 = 9; x4 = 15; x5 = 23; ...

5. Hallemos los siguientes 4 terminos de la sucesion dada por: xn+1 = xn+xn−1 +3; x1 = 1, x2 = 2.

x3 = x2 + x1 + 3 = 6;

x4 = x3 + x2 + 3 = 11;

x5 = x4 + x3 + 3 = 20;

x6 = x5 + x4 + 3 = 34.

Hallar el valor del termino x30 no es facil y esto es una gran desventaja para las formulas recursivas.

A continuacion mostraremos las formulas explıcitas deducidas por un metodo basado en algebra linealpara conocer al valor xn sin la necesidad de cacular los terminos anteriores inmediatos.

36

5.3 Relaciones recursivas de segundo orden

Una relacion recursiva lineal de segundo orden con coeficientes constantes es una expresion definida paratodo numero natural positivo de la forma: xn+2 = axn+1 + bxn, donde a, b son numeros reales no nulosy para los que estan dados dos valores iniciales reales x0 y x1.

Esta expresion nos permite obtener una sucesion de numeros reales.

Tiene el inconveniente de que para conocer el valor de la funcion en un numero natural ”k” arbitrario(xk) hay que conocer cuando menos los dos anteriores. Es por eso que deseamos hallar una regla decorrespondencia que nos indique como calcular el n-esimo valor sin conocer los valores previos inmediatos.

Dada una relacion recursiva de segundo orden con coeficientes constantes reales no nulos a, b, y valoresiniciales reales x0 = c, x1 = d, xn+2 = axn+1 + bxn, escribimos a las siguientes ecuaciones:

xn+1 = xn+1

axn+1 + bxn = xn+2

Las escribimos en la forma matricial: Ayn = yn+1, donde

A =

(0 1b a

), yn =

(xnxn+1

), yn+1 =

(xn+1

xn+2

).

Ademas se cumple lo siguiente:

Ayn = yn+1

Ayn−1 = yn

...

Ay1 = y2

Ay0 = y1

Y sustituyendo los valores de y1, y2, ..., se tiene:

y3 = Ay2 = A(Ay1) = A2y1 = A3y0

y4 = Ay3 = A(A2y1) = A3y1 = A4y0

...

yn = An−1y1 = Any0

Conocemos a los valores iniciales x0 y x1, es decir,

y0 =

(x0x1

)=

(cd

).

37

Nuestro problema radica en calcular la n-esima potencia de la matriz A, pero si podemos diagonalizara esta matriz, se escribira de la forma PDP−1, con D una matriz diagonal y la ventaja de trabajar conlas matrices diagonales es la facilidad del calculo de potencias, es decir, Ap = PDpP−1, pues si D es lasiguiente matriz:

D =

d1 0 ... 00 d2 ... 0...0 0 ... dn

, Dp =

dp1 0 ... 00 dp2 ... 0...0 0 ... dpn

.

Nos enfocaremos en diagonalizar a la matriz A, vamos a calcular sus valores y vectores propios.Dada una matriz A, su polinomio caracterıstico es: P (t) = det(A − tI), y los valores propios de A sonlas raıces de P (t).

P (t) = det(A− tI) =

∣∣∣∣ −t 1b a− t

∣∣∣∣ = t2 − at− b = 0.

Para resolver la identidad: t2 − at− b = 0, existen 3 casos posibles:

1) Existan dos soluciones reales distintas, cuando el discriminante de la ecuacion es positivo.2) Exista una solucion real de multiplicidad 2, cuando el discriminante es igual a cero.3) Dos raıces complejas, ocurre cuando el discriminante es negativo.

Recordemos que si una ecuacion de segundo grado esta dada por: ax2 + bx + c, su discriminnte sedefine como: ∆ := b2 − 4ac.

En P (t) el discriminante es: ∆t = a2 + 4b. Analizaremos solo los primeros dos casos.

5.4 Caso I: El polinomio caracterıstico P (t) tiene dos soluciones reales difer-entes (∆t > 0)

En este caso las soluciones estan dadas por:

t1 =a+√

∆t

2, t2 =

a−√

∆t

2.

Luego los valores propios de P (t) son t1 y t2.

Necesitamos conocer los vectores propios de A.

El Teorema de Cayley-Hamilton asegura que una matriz cuadrada satisface su propio polinomio car-acterıstico, es decir, si λ1, λ2, ... , λn son los valores propios de una matriz H y si (H − λ1I)(H −λ2I)...(H − λnI) = 0 entonces los vectores columna de (H − λ2I)(H − λ3I)...(H − λnI) son vectorespropios de λ1.

38

Se tiene lo siguiente:

A− t1I =

(−t1 1b a− t1

), A− t2I =

(−t2 1b a− t2

).

Ademas:

a− t1 = a−

(a+√

∆t

2

)=a−√

∆t

2= t2,

a− t2 = a−

(a−√

∆t

2

)=a+√

∆t

2= t1,

t1t2 =

(a+√

∆t

2

)(a−√

∆t

2

)=a2 − (a2 + 4b)

4= −b.

Ası:

(A− t1I)(A− t2I) =

(−t1 1b t2

)(−t2 1b t1

)=

(t1t2 + b −t1 + t1−t2b+ t2b b+ t1t2

)=

(0 00 0

).

Y como (A − t1I)(A − t2I) = 0, las columnas de (A − t2I) y (A − t1I) son vectores propios de losvalores propios t1 y t2 respectivamente.

Se puede comprobar facimente que:

A

(1t1

)= t1

(1t1

), A

(1t2

)= t2

(1t2

).

Con los vectores propios construimos a la matriz P la cual es invertible:

P =

(1 1t1 t2

), adj(P ) =

(t2 −t1−1 1

), |P | = t2 − t1, P−1 =

1

t2 − t1

(t2 −1−t1 1

).

Y finalmente obtenemos a la matriz diagonal D = P−1AP :

D = P−1AP =1

t2 − t1

(t2 −1−t1 1

)(0 1b a

)(1 1t1 t2

)=

1

t2 − t1

(t2 −1−t1 1

)(t1 t2t21 t22

)=

1

t2 − t1

(t1(t2 − t1) 0

0 t2(t2 − t1)

)=

(t1 00 t2

).

Luego:

Dn =

(tn1 00 tn2

).

39

Calculamos a la matriz An = PDnP−1

An = PDnP−1 =

(1 1t1 t2

)(tn1 00 tn2

)[1

t2 − t1

(t2 −1−t1 1

)]=

1

t2 − t1

(tn1 tn2tn+11 tn+1

2

)(t2 −1−t1 1

)=

1

t2 − t1

(tn1 t2 − tn2 t1 tn2 − tn1

tn+11 t2 − tn+1

2 t1 tn+12 − tn+1

1

).

Es posible ahora obtener a yn:

yn =

(xnxn+1

)= Any0 = (PDnP−1)y0 =

1

t2 − t1

(tn1 t2 − tn2 t1 tn2 − tn1

tn+11 t2 − tn+1

2 t1 tn+12 − tn+1

1

)(x0x1

).

Y tenemos en particular al valor de xn como funcion de los valores iniciales de x0 y x1,

xn =x0(tn1 t2 − tn2 t1) + x1(tn2 − tn1 )

t2 − t1.

5.5 Caso II: El polinomio caracterıstico P (t) tiene una solucion real de mul-tiplicidad 2 (∆t = 0)

En este caso la unica solucion esta dada por:

t =a

2

En este caso, la matriz A tiene un solo valor propio que es t.

Tambien se cumple (A− tI)(A− tI) = 0.

(A− tI)(A− tI) =

(−t 1b a− t

)(−t 1b a− t

)=

(b+ t2 a− 2t

(a− t)b− tb (a− t)2 + b

)=

(b− b t− ttb− tb −b+ b

)=

(0 00 0

)(Teniendo en cuenta que a− t = t y t2 = −b).

Luego un vector propio para A es:

v =

(1t

)=

(1a/2

)En caso de que la matriz A no es diagonalizable, usaremos su forma de Jordan, obteniendo otro vector

w tal que Aw = tw + v, es decir, una solucion de la ecuacion (A− tI)w = v.

(A− tI)w =

(−t 1b a− t

)(xy

)=

(−tx+ ybx+ ty

)

40

Y queremos que (A− tI)w = v, entonces:(−tx+ ybx+ ty

)=

(1t

)Tenemos un sistema de ecuaciones donde las soluciones serıan de la forma:(

zz(1 + a

2 )

)=

(z

z(1 + t)

)Y ası el vector w es solucion a nuestro sistema, con

w =

(1

1 + t

)Con los vectores v, w construimos a la matriz P , para luego hallar el bloque de Jordan de la matriz

A.Calculamos:

B = P−1AP =

(1 + t −1−t 1

)(0 1b a

)(1 1t 1 + t

)=

(−b 1− tb t

)(1 1t 1 + t

)=

(t 10 t

).

La forma de Jordan de la matriz A, resulto ser una matriz triangular y una ventaja de estas matriceses la facilidad del calculo de sus potencias. Tenemos:

Bn =

(tn ntn−1

0 tn

)Ahora, calculamos a la matriz An:

An = PBnP−1 =

(1 1t 1 + t

)(tn ntn−1

0 tn

)(1 + t −1−t 1

)=

(tn tn−1(n+ t)tn+1 tn(n+ 1 + t)

)(1 + t −1−t 1

)=

(tn(1− n) ntn−1

−ntn+1 tn(n+ 1)

)Y finalmente calculamos a yn = Any0, en particular calculamos a xn:

yn =

(xnxn+1

)=

(tn(1− n) ntn−1

−ntn+1 tn(n+ 1)

)(x0x1

)

xn = x0tn + ntn(

2x1a− x0).

El ultimo caso es cuando el polinomio caracterıstico tiene dos raıces complejas o cuando el determi-nante es negativo pero el procedimiento es similar que la ocasion donde las raıces son reales y diferentes(o el determinante es positivo), entonces senalando esta situacion, lo omitiremos.

41

6 Resumen sobre los determinantes de las matrices de Toeplitztridiagonales

Abstract

Este documento muestra un metodo para calcular los determinantes de las matrices tridiagonalesde Toeplitz utilizando una regla de correspondencia previamente obtenida con las relaciones de recur-rencia. Tambien muestra el procedimiento para calcular los valores propios de una matriz tridiagonalde Toeplitz muy particular que servira para resolver el caso general de este problema.

6.1 Determinantes de matrices de Toeplitz tridiagonales

Definicion. Una matriz de Toeplitz es aquella en la que cada diagonal descendente de izquierda aderecha es constante. Es decir, si cada elemento de la matriz de Toeplitz A es denotado por Ai,j , en-tonces Ai,j = Ai+1,j+1.

A =

a0 a−1 a−2 a−3 ... a−n+1

a1 a0 a−1 a−2 ... a−n+2

a2 a1 a0 a−1 ... a−n+3

... ...an−2 an−3 ... a0 a−1an−1 an−2 an−3 ... a1 a0

.

Ası una matriz tridiagonal de Toeplitz T , se puede definir como una matriz con tres diagonales de valorconstante y las demas entradas nulas, es decir:

T =

a c 0 0 ... 0b a c 0 ... 00 b a c ... 0... ...0 0 ... b a c0 0 ... 0 b a

.

Queremos conocer el valor de los determinantes de estas matrices, para ello verificaremos que cumplenrecurrencias cuadraticas y utilizando las formulas obtenidas previamente para conocer el valor de untermino arbitrario de una sucesion definida por relaciones de recurrecia, tendremos una formula efectivapara los determinantes.

42

Definimos la siguiente notacion para ayudar a comprender el problema:

Para todo numero natural k, se definen las matrices:

Ak =

a0 c 0 ... 0 0b a1 c ... 0 00 b a2 ... 0 0... ...0 ... 0 b ak−1 c0 ... 0 0 b ak

, A0 = (a0),

Bk =

b c 0 ... 0 00 a0 c ... 0 00 b a1 ... 0 0... ...0 ... 0 b ak−2 c0 ... 0 0 b ak−1

.

Donde ai = ai+1 para toda i; podemos notar que en cada matriz Bk, se encuentra una submatrizAk−1, con k un numero natural.

Finalmente, la notacion para los determinantes de las matrices Ak, Bk, es:

|Ak| =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a0 c 0 ... 0 0b a1 c ... 0 00 b a2 ... 0 0... ...0 ... 0 b ak−1 c0 ... 0 0 b ak

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣, |A0| = a0,

|Bk| =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

b c 0 ... 0 00 a0 c ... 0 00 b a1 ... 0 0... ...0 ... 0 b ak−2 c0 ... 0 0 b ak−1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣.

Calcular el determinante de estas matrices puede volverse complicado es por eso que verificaremosque los determinantes cumplen una relacion de recurrencia.

43

Los determinantes de las matrices Bk, con k en los naturales, son de la siguiente forma:|Bk| = b|Ak−1|, donde b es el valor constante de la diagonal inferior de la matriz de Toeplitz Ak−1.Desarrollando el determinante por medio de la primer fila, se tiene:

|Bk| =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

b c 0 ... 0 00 a0 c ... 0 00 b a1 ... 0 0... ...0 ... 0 b ak−2 c0 ... 0 0 b ak−1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= b

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a0 c 0 ... 0 0b a1 c ... 0 00 b a2 ... 0 0... ...0 ... 0 b ak−2 c0 ... 0 0 b ak−1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣+ c(0)

= b|Ak−1|

Luego, los determinantes de las matrices tridiagonales de Toeplitz Ak, con k natural,cumplen recur-rencias cuadraticas, es decir, son de la forma:|Ak| = a|Ak−1| − bc|Ak−2|, con a, b, c valores constantes en las diagonales de las matrices.

Para todo numero natural k, desarrollando el determinante por medio de la primer fila, se tiene:

|Ak| =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a0 c 0 ... 0 0b a1 c ... 0 00 b a2 ... 0 0... ...0 ... 0 b ak−1 c0 ... 0 0 b ak

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= a

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a1 c 0 ... 0 0b a2 c ... 0 00 b a2 ... 0 0... ...0 ... 0 b ak−1 c0 ... 0 0 b ak

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣− c

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

b c 0 ... 0 00 a2 c ... 0 00 b a3 ... 0 0... ...0 ... 0 b ak−1 c0 ... 0 0 b ak

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= a|Ak−1| − c|Bk−1| = a|Ak−1| − bc|Ak−2|.

44

Ası la sucesion de determinantes que cumplen la recurrencia cuadratica es la siguiente:

|Ak| = a|Ak−1| − bc|Ak−2|

En el documento previo, obtuvimos el siguiente resultado para relaciones de recurrencia.

Dada una relacion recursiva de segundo orden, xn+2 = axn+1 + bxn, con valores iniciales x0 = c yx1 = d, a, b reales no nulos y n un natural, se escribe al termino xn en funcion de los terminos inicialescomo:

xn =x0(tn1 t2 − tn2 t1) + x1(tn2 − tn1 )

t2 − t1.

Aquı t1 y t2 son las raıces del polinomio caracterıstico dadas por:

t1 =a+√

∆t

2, t2 =

a−√

∆t

2, ∆t = a2 + 4b.

En nuestro caso ( |Ak| = a|Ak−1| − bc|Ak−2| ) el discriminante es: ∆t = a2 − 4bc.

Finalmente la formula recursiva para determinantes de matrices de Toeplitz es dada por:

|Ak| =|A0|(tk1t2 − tk2t1) + |A1|(tk2 − tk1)

t2 − t1, |A0| = a, |A1| = a2 − bc.

Como se cumple que: t1t2 = bc y t1 + t2 = a, la ecuacion nos queda de esta manera:

|Ak| =|A0|(tk1t2 − tk2t1) + |A1|(tk2 − tk1)

t2 − t1

=(t1 + t2)(tk1t2 − tk2t1) + ((t1 + t2)2 − t1t2)(tk2 − tk1)

t2 − t1

=tk+12 − tk+1

1

t2 − t1

45

6.2 Comprobacion de nuestra formula para el caso n=3

Calcularemos el determinante de la matriz A2 utilizando nuestra formula obtenida y mediante el calculodirecto del determinante.

|A2| =|A0|(t21t2 − t22t1) + |A1|(t22 − t21)

t2 − t1

Se cumplen las siguientes propiedades: t1t2 = bc y t1 + t2 = a, por tanto

|A2| =a(−t1t2(t2 − t1)) + (a2 − bc)(t2 − t1)(t2 + t1)

t2 − t1= a(−t1t2) + (a2 − bc)(t2 + t1)

= −abc+ a3 − abc = a3 − 2abc

Calculando el determinante de A2, por cualquier metodo se obtiene:

|A2| =

∣∣∣∣∣∣a c 0b a c0 b a

∣∣∣∣∣∣ = a3 − 2abc

Lo cual verifica el resultado.

46

6.3 Valores propios

Analizaremos un caso muy particular de una matriz tridiagonal de Toeplitz, ya que el caso general sereduce a este. Obtendremos los valores propios de una matriz tridiagonal utilizando nuestra formula derecurrencia para los determinantes.

Sea An la siguiente matriz tridiagonal de Toeplitz:

An =

0 u2 0 ... 0 01 0 u2 ... 0 00 1 0 ... 0 0... ...0 0 0 ... 0 u2

0 0 0 ... 1 0

Donde u puede ser un numero complejo.

Ahora, consideremos la siguientes matrices de Toeplitz Bn y Cn = uBn, donde Bn posee el mismodeterminante que la matriz An y la matriz Cn es similar a la matriz Bn por tanto los valores propios dela matriz Bn seran u-veces los de la matriz Cn.

Bn =

0 u 0 ... 0 0u 0 u ... 0 00 u 0 ... 0 0... ...0 0 0 ... 0 u0 0 0 ... u 0

, Cn =

0 1 0 ... 0 01 0 1 ... 0 00 1 0 ... 0 0... ...0 0 0 ... 0 10 0 0 ... 1 0

.

Por ello trabajaremos con la matriz Cn y calcularemos sus valores propios:

Definimos a Jn = det(Cn − λI). Ası los ceros de Jn son los valores propios que buscamos.

La formula de recurrencia que obtuvimos para los determinantes de las matrices de Toeplitz estaexpresada en terminos de las soluciones del polinomio caracterıstico y estas a la vez estan en funcion delos valores de las diagonales y la constante en la diagonal principal de la matriz Cn − λI es −λ.

Queremos que: Jn = det(Cn − λI) =tn+12 −tn+1

1

t2−t1 = 0, con:

t1 =−λ+

√λ2 − 4

2, t2 =

−λ−√λ2 − 4

2.

Con las propiedades siguientes: t1t2 = 1 y a los valores propios en funcion de las raices: λ = t2 − t1.

Luego tenemos la siguiente ecuacion:

tn+12 − tn+1

1

t2 − t1= 0

47

Donde estamos suponiendo que t2 − t1 6= 0, entonces:(t2t1

)n+1

= 1

Y como t1t2 = 1, t2 = t−11 , luego (t22)n+1 = 1.

Las soluciones para t22 son las raices (n+ 1)-esimas de la unidad.

Sabemos que son: t22 =(ei2πn+1 )k , con k = 1, ..., n.

Entonces, t2 =(eiπn+1 )k y t1 =(e−

iπn+1 )k, con k = 1, ..., n.

Finalmente para cada k = 1, ..., n, hemos encontrado un valor para λ, que son los valores propios dela matriz Cn; los denotaremos por λk.

λk = t2 − t1 = (eiπn+1 )k − (e−

iπn+1 )k

= 2 cos

(kπ

n+ 1

), k = 1, ..., n.

Y los valores propios de la matriz Bn son u-veces los de la matriz Cn, tenemos:

λk = 2u cos

(kπ

n+ 1

), k = 1, ..., n.

Por tanto, dada una matriz tridiagonal de Toeplitz An, con la siguiente forma:

An =

0 u2 0 ... 0 01 0 u2 ... 0 00 1 0 ... 0 0... ...0 0 0 ... 0 u2

0 0 0 ... 1 0

Sus valores propios son:

λk = 2u cos

(kπ

n+ 1

), k = 1, ..., n.

48

References

[1] A. Bottcher, S. Grudsky: Spectral Properties of Banded Toeplitz matrices. SIAM, Philadelphia,2005, 411 pp.ISBN-10: 0898715997. ISBN-13: 978-0898715996.http://dx.doi.org/10.1137/1.9780898717853

[2] Manual de LATEXhttp://www.fceia.unr.edu.ar/lcc/cdrom/Instalaciones/LaTex/latex.html

[3] The Python Tutorialhttp://docs.python.org/2/tutorial/

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Reporte Final del servicio social Ram rez Gonz alez Sadi...

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