Repetition kärnfysik

Egenskaper hos kärnan

• Massa• Radie (ev. deformationsparameter)• Relativ förekomst• Sönderfallssätt (,,), halveringstid t1/2• Reaktionssätt• Tvärsnitt , spinn, magnetiskt/elektriskt dipolmoment

Naturens fyra fundamentala växelverkningar

• Gravitation 6 ∙10‐39

Kvarkar, bygger upp ”elementarpartiklar”. Bl a upp‐kvark, ned‐kvark med tredjedels elementarladdningar:

• Svag växelverkan 10‐6

• Elektromagnetisk 1/137• Stark växelverkan 1(kärnkraft – nuclear force)

proton:    ↑+2/3 ↑+2/3 ↓‐1/3 ger q = 1

neutron:  ↑+2/3 ↓‐1/3 ↓‐1/3 ger q = 0

Experiment för att kartlägga kärnors egenskaper

Kärnan består av p+ och n. Hur fördelas de? Vi har elektrisk Coulomb/repulsion/attraktion. En mätning ger den s k laddningsradien, dvs protonernas fördelning.

Den starka kraften är ett ”lim” med kort räckvidd som håller ihop protoner och neutroner. Fördelningen av n och p, nukleonerna ges av potentialradien.

Elektronerna påverkas inte av stark växelverkan, endast Coulombspridning. Antag att elektroner med 100 MeV i energi skjuts mot ett material. Elektronens deBroglie‐våglängd ges av  = h/p, vilket ger att  < 10 fm, alltså storleksordningen på en kärna. 

Elektronen kan beskrivas med eik∙r; p =  kger en interferens mot protonernas laddning.

kin

kut

Tolkning: hård kärna, konstant densitet, ”suddigt” ytskikt.

Neutronernas fördelning då?

Man måste göra spridningsförsök med partiklar som växelverkar starkt, t ex ‐partiklar.

Bekymret blir att de också växelverkar med Coulombrepulsion mot protonernas laddning i kärnan! Detta måste man korrigera för, dvs man tar hänsyn till det s k Rutherford‐tvärsnittet.

Slutresultatet blir att protoner och neutroner är lika fördelade, ”blandade” och kärnans radie ges av R = R0 ∙ , R0 =1.23fmKärnan är kompakt med en densitet avN = 2∙1011 kg/cm3.

Bindningsenergi

Molekyler sitter ihop, atomkärnan binder elektroner som får en viss bindningsenergi, liksom komponenterna i kärnan och även nukliderna med sina kvarkar.

Exempel. Nukliden deuterium (tungt väte) består av en proton och en neutron. Bindningsenergin är 2.2 MeV, och vilomassan 2u motsvarar ca 2000 MeV/c2. Bindningsenergins andel av massan blir här 0.1%. För tyngre kärnor växer kvoten upp till 0.8%.

Bindningsenergin brukar man definiera som den energi man behöver tillföra ett system för att bryta upp det i sina beståndsdelar så att man får fria komponenter. Bindningsenergin representerar en del av systemets massa genom E = mc2.

Modellering av kärnans massaKalla nuklidens massa M(Z,A), den är alltså mindre än summan av komponenterna: Zprotoner och N neutroner.

Alternativt kan man använda begreppet massexcess (massdefect i Krane) M(Z,A)‐A ∙ c2 ,    c2 = 931.5 MeV/u

Vad blir bindningsenergin? B = (37 ∙ 1.007825 + 45 ∙ 1.008665 ‐ 81.918209) [u] ∙ 931.5 [MeV/u] == 709 MeV 

Vi har också separationsenergier för neutroner och protoner Sn resp Sp

Bindningsenergin per nukleon: 709/82 = 8.6 MeV/nukleon.

Man inför begreppet massdefekt:m = Z∙M(1H) + N∙M(n) ‐M(Z,A)

Bindningsenergi B = m ∙ c2

T ex för 82Rb med M(Z,A)=81.918195 u (se Krane, Appendix C) ger 81.918195 ‐82) ∙ 931.5 [u ∙MeV/u]= ‐76.16 MeV

Plottar man bindningsenergin/  nukleon som funktion av masstalet får man följande bild:

Man noterar att B/A ungefär är 8 MeV/nukleon för en stor del av nukliderna.

Semi‐empiriska massformelnMan kan nu försöka modellera B/A med så enkel modell som möjligt, laddad vätskedroppe med ytspäning:

Den starka vxl når bara nukleonernas närmsta grannar, ansätt komponent som är proportionell mot volymen, dvs A:    avA

Det blev för högt, man måste ta hänsyn till att nukleonerna vid ytan inte har grannar:‐asA2/3

Coulombrepulsion mellan protoner minskar också bindningsenergin:‐acZ(Z‐1)/A1/3

För lättare kärnor är N och Z ungefär lika, man introducerar en symmetriterm:

‐asym(A‐2Z)2/A

Slutligen tar man hänsyn till att nukleonerna gärna parar ihop sig, man får tre fall:

Z jämn ,N jämn: =  ap/A3/4

Z udda, N udda: = ‐ap/A3/4

A udda = 0

Den semi‐empiriska massformeln:

M(Z,N) = Z M(1H) + NM(n) ‐ B(Z,A)/c2

med

B= avA ‐ asA2/3 ‐ acZ(Z‐1)/A1/3 ‐ asym(A‐2Z)2/A + 

Kärnspinn, paritetVarje nukleon rör sig i en ”bana” i kärnan, och till det hör ett kvantiserat banrörelsemängdsmoment (orbital angular momentum) l.Dessutom har den ett egenspinn betecknat med s. Tillsammans kopplar de till rörelsemängdsmomentet

j = l + s

l

sj

Om kärnpotentialen är central så är l och s rörelsekonstanter.

Totalt kärnspinn:  = j1 + j2 + ..2= ( 1= m,   m=(‐ , ….  ,+ )

j = 1/2, 3/2, 5/2,…ger att udda – A kärna:  halvtaligjämn A kärna:  heltaligt.

Paritet är en egenskap hos vågfunktionen, är den symmetrisk vid spegling i origo: jämn paritet, udda paritet annars.

Läs också i Kvantboken eller kap 2 i Krane. 

MT Extra

Sammanfattning • Kärnans storlek• Ingående komponenter, nuklid, beteckningar, Z, N, A, m, M• Vågfunktioner snarare än massklumpar• Relativistiska samband – när?• 4 fundamentala växelverkningar• Kärnans täthetsfunktion:

Laddningsradie (p+) CoulombväxelverkanPotentialradie (n och p+) Stark växelverkan

R = R0 ∙ , R0 =1.23fmN = 2∙1011 kg/cm3 

• BindningsenergiKärnans massaSemi‐empiriska massformeln

• Rörelsemängdsmoment och paritetj, l, s, I

Segré diagram

neutrontal N

prot

onta

l ZAZXN

Z+1XN‐1A

Z‐1XN+1A

Z‐2XN‐2A‐4

Lagen om radioaktivt sönderfall

• Om man vid tiden t har N(t) radioaktiva kärnor med sönderfallskonstanten , blir ändringen av N under tiden t:

N(t) =  ‐ N(t) . . t• och om t går mot noll:

dN(t) = ‐ N(t) . . dt• Detta är lagen om radioaktivt sönderfall

Lagen om radioaktivt sönderfall

• Lösning av  ekvationen ger:

• där N(0) är antalet kärnorvid t = 0.

N t N 0 e t

Terminologi för sönderfall• Antalet sönderfall/tidsenhet kallas aktiviteten och ges av:

• Vid vanliga sönderfall gäller: 

• Enheten för aktivitet är Becquerel (Bq)• 1 Bq =  1 sönderfall / s 

– (gammal enhet Curie,1Ci = 3.7.1010Bq)

A t N t

dNdt

N t N 0 e t

Seriesönderfall 1(5)

• Ofta förekommande:nuklid A sönderfaller tillen nuklid B,som i sin tur sönderfallertill en nuklid Csom kan vara stabil.

• Denna typ av sönderfall kallas seriesönderfall.

A  B           C

Seriesönderfall 5(5)

• Oftast är NB (0)= 0 vid (t = 0), vilket ger:

• med aktiviteten

N B t N A 0 A B A

e A t e B t

A B t B N B t

Utbyte 1(3)• Kärnan A bestrålas med a• En radioaktiv kärna B bildas med 

sönderfallskonstanten B.• Definition av utbytet U. Antalet bildade 

B‐kärnor/tid

U= na nA x 

na = antalet projektiler/sekundnA= antalet A‐kärnor/volym

x = tjockleken på strålmålet = träffytan (tvärsnitt, cross‐

section)

U=  N 

flödet [cm‐2 s‐1]N = antal atomer = tvärsnitt [cm2]

Utbyte 2(3)

Ändring av antaletB-kärnor/tidsenhet:

dN B t dt

U B N B t

vilket har lösningen(med NB(0) = 0)

N B t U B

1 e B t

‐sönderfall 

• ‐sönderfallet är ett tvåpartikelsönderfall.

ZA XN Z2

A4YN224He2 Q

Alfa‐emission beror på Coulombrepulsion som växer som Z2, medan bindningsstyrkan (stark vxlv) växer med A.Därför blir tyngre kärnor ‐instabila. Det är en spontan effekt.

Varför just ?

Ex; 232U t1/2 = 70 år. Vad blir energivinsten vid emission av olika partiklar?

MeVn ‐7.26H ‐6.122H ‐10.73He ‐9.924He +5.416Li ‐3.79

Kärnor tyngre än A =190, och många mellan 150 och 190 är ‐instabila!

‐sönderfall 

T MY

M MYQ

TY M

M MYQ

och även rekylkärnans:

-partiklarnas energi är välbestämd:

Q = ( minitial‐mfinal ) c2Allmänt gäller för Q‐värdet:

Elektriska fältet =  +Q

Arbetet att föra en laddning q mot Q:

14

∙

Coulombpotentialenmed qQ = zZe2

Kärnpotential

Halveringstiden för ‐sönderfall

• Samband mellan halveringstid och ‐energi.

–Geiger‐Nuttals lag:

log(T1/2)  = k1 +  k2 . E‐1/2

där k1 och k2 är konstanter (bl.a. Z‐beroende)

Kärnpotential

Kvantmekanisk tunneleffekt!

Sammanfattning alfasönderfall

• Diskret spektrum• Halveringstid starkt beroende av Z, (barriärens höjd, tjocklek)

• tunneleffekt

‐sönderfall

• Elektronens energispektrum– kontinuerlig energifördelning – från 0 till en övre gräns max. – Inget linje‐spektrum som för

‐partiklar.• max‐energin motsvarar

masskillnaden mellan moder‐ och dotter‐nukliden.

Antal

Typer av ‐sönderfall

• Varje typ av ‐sönderfall ändrarladdningen på nukliden  en enhet

• Nukliden flyttas successivt motminimum av mass‐parabeln föraktuellt A.

• I ‐söderfallet är det s.k.leptontalet konserverat. antalet leptoner före och efter sönderfallet skall vara det samma.

• Då får man:

• Alternativt:

Q = MX MY c2

Q TY T T Tmax

-- sönderfall

Q X

Y

AZ

Z+1A

+‐ sönderfall

Lägg till Z elektroner på båda sidor för att få atommassorna:

Q = mX Z me mY me Z me c2

p n e e

Elementär process:

Q = mX mY me c2

Q‐värdet ges av (obs kärnmassor, Y har Z‐1)

• Då får man:

• Alternativt:

Q

X

Y

A Z

A Z-1

2m ce 2

Q = MX MY 2 me c2

Q Tmax

+- sönderfall

Alternativt:

Q = mX me mY c2 - Be K

Q = mX Zme mY Z1 me c2 - Be K

Q = MX MY c2 - Be K

Q T

Elektroninfångning (EC)Q‐värdet ges av (obs kärnmassor, Y har Z‐1)

Lägg till Z‐1 elektroner på båda sidor för att få atommassorna:

•Då får man:

Deexcitation av kärnor

• Vid ‐ och ‐sönderfall lämnas ofta restkärnani ett exciterat tillstånd.

• Överskottsenergi kan avges på två sätt:– ‐emission– inre konversion

partikelemission

Grund-tillstånd

XAZ

Tröskel för

bundna exciterade tillstånd

‐emission• Vid ‐emission utsänds överskottsenergin i form av elektromagnetisk strålning.

• Kvantats energi blir: E = Ei ‐ Ef – TR(ekyl)

• Rörelsemängd: pR=p=E/c

• Detta ger: Ei ‐ Ef = E•(1+ E /mc2)

• Rekylenergin i allmänhet försumbar: E = Ei ‐ Ef

‐emission

• Normala halveringstider är 10‐10 ‐ 10‐15 s.

• Vid ‐övergångar ändras även spinn och paritet för nukliden. 

• Storleken på spinnändringen är avgörande för livstiden för tillståndet.

• Stora spinnändringar ger långa livstider.

Inre konversion (IC)

• Ett alternativ till ‐emission är s.k. inre konversion. 

• Växelverkan mellan elektron från atomhöljet och multipolfält i kärnan.– Excitationsenergin överförs till elektronen som emitteras.

• Elektronens energi blir: Te = Eexc ‐ Be ‐ TR

Strålnings växelverkan med materia

• Strålnings växelverkan med materia Alfa‐ och betastrålning  (KF3) Alfa‐ och betastrålning  (KF3) Gammaspektroskopi   (KF2, KF1)n Inducerad aktivitet      (KF1)

• Strålnings växelverkan med levande materiados, dosekvivalentgränsvärden, biologiska effekter

• Detektorergas‐ Inducerad aktivitetscintillations‐ Gammaspektroskopihalvledar‐ Alfa‐ och betastrålning, Gamma‐

spektroskopi

tunga partiklar ...

Den maximala kinetiska energi, T, en partikel kan överföra till en obunden elektron i en kollision ges klassiskt av:

Tmax = 4 . T .me/M

Den helt dominerande processen är växelverkan med de atomära elektronerna i materialet genom kollisioner.

Konsekvens: ‐många kollisioner med en liten energiförlust i varje‐rätlinjig rörelse‐statistisk process, likartad räckvidd

Räckvidd

Ett ‐partikelexperiment. I är antalet registrerade ‐partiklar efter en absorbator medan I0 är antalet registrerade utan absorbator. Medelräckvidden Rm och den extrapolerade räckvidden Re är utmärkta.

Räckvidd

Energi-Räckvidds relationer beräknade för olika slags laddade partiklar i Si. Det lineära uppförandet i log-log plottenindikerar en relation av formenlog(R) = A+B.log(E),där B nästan är partikel-oberoende.

Energiförlusten som funktion av penetrations-djupet i materia för en -partikel.BRAGG KURVAN!

E

x

dE/dxEnergi som funktion av inträngning

dx

Stopping power (energiförlust)

Ivm

vmZNez

dxdE

k

20

20

42 2ln4

Definition: S = - dE/dx

Bethe-Blocks formel därze = partikelns laddningN = antal atomer/cm3 i absorbatornZ = absorbatorns atomnummerme= elektronens vilomassav = partikelns hastighetI = medelexcitationspotentialen

),(2

2

vZfvz

dxdE

f(Z,v) varierar långsamt

Växelverkan med elektronerTvå principiella skillnader jämfört med tunga partiklars växelverkan:

cv=

22118

121

212122ln

22

20

20

4

12ln4

med

fdär

fI

Evmvm

ZNedxdE

k

Kollisionsförluster:

1. Maximalt överförda energin är Ee/22. Energiförlust genom bromsstrålning

Växelverkan medelektroner

Totala energiförlusten ges av:

skTot dxdE

dxdE

dxdE

Strålningsförluster:

342ln4

1371

20

420

4

cmE

cmeZZEN

dxdE

s

Växelverkan medelektroner

Den elektron energi där strålnings-förlusterna är lika med kollisions-förlusterna benäms den kritiska energin.

-växelverkan

• Fotoelektrisk effekt• Compton spridning• Parproduktion

En foton kan inte växelverka med materia på samma sätt som en laddad partikel, utan de typer av växelverkan som äger rum är följande:

Fotoelektrisk effekt

Beräknat tvärsnitt för fotoelektriska effekten i bly.

F ~ Z5 . E-7/2

Comptonspridning

p = pe + p’

E + m0c2 = Ee +E’ vilket ger:E’ = EEm0c2 . (1-cos()))

C ~ Z . E-1

Kinematisk illustration av Comptonspridning

Parbildning

Tröskelenergi:

E > 2 . m 0c2 = 1.022 M eV

F ~ Z2 . f(E )

Schematisk bild över parbildningsprocessen.

-växelverkan

Relativ betydelse av de tre typerna av-växelverkan med materia

Neutroners växelverkanmed materia

Typer av växelverkan en neutron kan genomgå:

• 1. Elastisk spridning (t ex mot väte, vatten)• 2. Oelastisk spridning (excitation av kärna)• 3. Neutroninfångning (kärnreaktion)

Joniserande fotonstrålning• Den infallande strålningens energi

överförs huvudsakligen tillatomära elektroner

++ +

+ ++

- -- -

-Jonisation och excitation av atomer och molekylerlängs elektronspåret

Biologisk effekt

Processer

Biologiska effekterAkuta skadorSena skador

Kemiska reaktionerFria radikaler

Fysikaliska processerJonisationer och excitationer

Tidsförlopp

10-18 - 10-12 s

10-12 - 102 s

Veckor,månader,

år

http://www.graylab.ac.uk/radbiol/

Viktiga enheter

Aktivitet, Bequerel (Bq) = antal sönderfall per sekundTidigare Curie (1 Ci = 3.7 ∙1010Bq)

Absorberad dos, Gray, (Gy) = J/kgTidigare enhet rad: 100 rad = 1Gy

Dosekvivalent, H Sievert, (Sv)Tidigare rem, 1 rem = 0.01 Sv

Viktfaktorn QTabell 7-1. Viktsfaktorer för olika strålslag. Strålslag Energi Q Fotoner Alla energier 1 Elektroner Alla energier 1 Neutroner <10 keV 5 10 keV100 keV 10 100 keV2 MeV 20 2 MeV20 MeV 10 >20 MeV 5 Protoner >2 MeV 5 Alfapartiklar Alla energier 20 Fissionsfragment, tunga kärnor Alla energier 20

Energispektrum

Fotoelektriskaeffekten

Comptonspridning

Parbildning

”litendetektor”(= normal)

Ge(Li)‐spektrum från 1719 keV gamma från 28Al.

Neutronen

• Elektriskt neutral• Vilomassa = 1.008665 u (>mp)• Halveringstid t1/2=10.6 min.• Fermion

Neutroner klassificeras efter En

• Högenergetiska Neutroner >10 MeV• Snabba Neutroner 1 - 10 MeV• Intermediära Neutroner 1 keV - 1 MeV• Långsamma Neutroner

Resonans Neutroner 1 - 100 eVEpitermiska Neutroner < 1 eVTermiska neutroner 0.025 eV(Kalla neutroner 1 km/s)

NeutronproduktionNeutroner framställs genom någon typ av kärnreaktion:

• -inducerad reaktion• spontan fission• accelerator• reaktor

Neutroners växelverkan

Dominerande växelverkan mellan neutroner och absorbator är den starka växelverkan. De viktigaste typerna är:

• Elastisk spridning (n,n)• Ineleastisk spridning (n,n’)• Absorption (n,a)

Spridningstvärsnittet s= n,n + n,n’

Nedbromsning av neutroner

Neutroner som rör sig i en absorbator bromsas ner till dess att:

• neutronen absorberas eller att:

• neutronen blir termisk (jämvikt)

Detektion av neutroner

• Neutronen ej EM vxv detektorer måste utnyttja växelverkan med atomkärnor.

• En laddad reaktionsprodukt detekteras

Fission

• Fission är en energetiskt tillåten process för många kärnor (jfr. -sönderfallet).

• Coulombbarriären hindrar fissionen (jfr. -sönderfallet).

Bindningsenergi

Om man jämför bindnings-energierna för tunga element med element av ungefär halva massan, t.ex. i Weißäckers semiempiriska massformel, ser man att den tillgängliga energin/nukleon är nästan 1 MeV.

Enligt droppmodellen (semi‐empiriska massformeln)

Två väsentliga parametrar för att beskriva kärnans energitillstånd är ytenergin och Coulombenergin

= ZMH+ NMn -a1A + a2A2/3 + a3Z2/A1/3 + ...

Teori för fissionVid deformation ökar ytan och därmed ytenergin, medan Coulombenergin minskar.

Vid små deformationer ökar normalt ytenergin mer än Coulombenergin minskar, men om deformationen blir tillräckligt stor blir minskningen i Coulombenergi starkast och deformationen fortsätter till kärnan delar sig.

Fissionsenergi

En typisk fissionsreaktion är bestrålning av 235U med termiska neutroner.

n + 235U 236U* 140Xe + 94Sr + 2n +

Från Weißäckers massformel fås:

Q = 140 . 8.3 + 94 . 8.6 - 235 . 7.5 = 208 MeV

vilket är en typisk energimängd som frigörs vid fission.

Fissions-produkter

Massfördelningen av fissionsprodukterna har visat sig vara asymmetrisk för 233U, 235U och 239Pu.

Varför gör man så här då?

BWR (kokarreaktor)

PWR (tryckvattenreaktor)