Reliability analysis in engineering applications · Sannolikhet är ett tal som beskriver chansen...

Structural Engineering - Lund University 1

Reliability analysis in engineering applications

• Sannolikhetsteorins grunder• Fördelningar och stokastiska variabler• Extremvärdesfördelningar• Simulering

Fredrik Carlsson


Sannolikhetsteorins grunderDEFINITIONER

Låt oss tänka oss ett kast med en tärning!

Utfallsrum (sample space): S ={1, 2, 3, 4, 5, 6}

Utfall (sample point): Ett utfall, s i utfalls rummet S, s Є S, tex. s=2

Händelse (event): En händelse, A är en delmängd av utfallsrummet. tex. A>4


Sannolikhetsteorins grunderDEFINITIONER

Sannolikhet är ett tal som beskriver chansen att en händelse inträffar.

Tex. vad är sannolikheten, P, att med en tärning slå en sexa?

P(Att med en tärning slå en sexa)=P(A)=1/6

Tex. vad är sannolikheten, P att med en tärning slåmer än 4?

P( A>4)=2/6=1/3


Sannolikhetsteorins grunderVenn-diagram

Utfallsrummet Grundmängden

Händelsen A; A inträffar

Delmängden, A

Komplementära händelsen Ac till

A; A inträffar inte

KomplementetAc till A

A

AcA


Sannolikhetsteorins grunderVenn-diagram

Unionshändelsen A U B; A eller B

eller båda inträffarUnionen A U B

Snitthändelsen A ∩ B; både A och B inträffar

A och B är oförenliga

händelser, A och B kan inte

inträffa samtidigt

A och B är disjunkta (Mutually

excluding)

A B

Snittet A ∩ B; A B

BA


Sannolikhetsteorins grunder

Mer om sannolikhet:

Låt A vara en händelse i utfallsrummet S.

0 ≤ P(A) ≤ 1

P(S) = 1A s


Sannolikhetsteorins grunder

AB

Betrakta två disjunkta händelser A och B, sannolikheten att någon av händelserna inträffar är unionen av de båda händelserna.

P(A U B)=P(A)+P(B)

Det innebär att: A ∩ B = Ø

Ø är den tomma mängden (omöjlig händelse P(A ∩ B) = 0


Sannolikhetsteorins grunderBetrakta två händelser A och B, sannolikheten att någon av händelserna inträffar är unionen av de båda händelserna.

P(A U B)=P(A)+P(B)- P(A ∩ B)

A B


Sannolikhetsteorins grunderOberoende och beroende händelser

A och B är oberoende om:P(A ∩ B) =P(A)*P(B)

P(A ∩ B) ≠P(A)*P(B)

A och B är beroende om:


Sannolikhetsteorins grunderExempel: Kast med en tärning

Är A och B oberoende?

A = {Att slå ett jämt tal} = {2, 4, 6}

B = { Att slå en 2 eller 3 } = { 2, 3}


Sannolikhetsteorins grunderExempel: Kast med en tärning

Är A och B oberoende om P(1,3,4,5,6)=0,15 och P(2)=0,25?

A = {Att slå ett jämt tal} = {2, 4, 6}

B = {Att slå en 2 eller 3} = {2, 3}


Sannolikhetsteorins grunderExempel: Räddningsstation

Vid en räddningsstation har man observerat att sannolikheten för att få ett SOS larm under en

speciell dag är 0,15. Antag att larmen är oberoende händelser. Betrakta en vecka och beräkna följande

sannolikheter?

P(Ett larm under måndagen)

P(Ett larm på måndagen och tisdagen)

P(Exakt ett larm under veckan)

P (Exakt tre larm under veckan)


Sannolikhetsteorins grunderMöjlighet: MÅN TIS ONS TORS FRE LÖR SÖN

1 1 2 32 1 2 33 1 2 34 1 2 35 1 2 36 1 2 37 1 2 38 1 2 39 1 2 310 1 2 311 1 2 312 1 2 313 1 2 314 1 2 315 1 2 316 1 2 317 1 2 318 1 2 319 1 2 320 1 2 321 1 2 322 1 2 323 1 2 324 1 2 325 1 2 326 1 2 327 1 2 328 1 2 329 1 2 330 1 2 331 1 2 332 1 2 333 1 2 334 1 2 335 1 2 3



Sannolikhetsteorins grunderBinomialfördelningen

Låt oss anta att vi gör ett n antal oberoende försök. Varje försök har sannolikheten p att

lyckas. En viktig frågeställning är, vad är sannolikheten att lyckas med P(K=k) försök av n

gjorda försök.


Sannolikhetsteorins grunderBinomialfördelningen

( ) knkk pp

kn

pkKP −−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=== 1)(

)!(!!

knkn

kn

−⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

n: antal försökp: sannolikheten att lyckask: antalet lyckade försökP(K=k): sannolikheten för k lyckade försök


Sannolikhetsteorins grunderFortsättning: Räddningsstationen

Vid en räddningsstation har man observerat att sannolikheten för att få ett SOS larm under en

speciell dag är 0,15. Antag att larmen är oberoende händelser. Betrakta en vecka och beräkna följande

sannolikheter?

P(Exakt ett larm under veckan)



Sannolikhetsteorins grunderBetingad sannolikhet:

Låt oss betrakta två händelser: A och B

Sannolikheten att B inträffar givet att A har

inträffat betecknas P(B|A)

P(B|A) = P(A∩B) / P(A)


Sannolikhetsteorins grunderExempel: Betingad sannolikhet.

Penna: 1 2 3 4 5 6 7 8

Färg: R R R S S S S S

Hårdhet: H H M H H H M M

A={Röd penna väljes}

B={Det är en hård penna}


Sannolikhetsteorins grunderPenna: 1 2 3 4 5 6 7 8

Färg: R R R S S S S S

Hårdhet: H H M H H H M M

P(A)=3/8

P(B)=5/8

Vad är sannolikheten att välja en röd hård penna P(A∩B)?

Vad är sannolikheten att välja en hård penna givet att den är röd P(B|A)?


Sannolikhetsteorins grunderOm A och B är oberoende händelser:

P(B|A)=P(A∩B)/P(A)=(P(A)*P(B))/P(A)=P(B)

Kunskapen om sannolikheten att A inträffar påverkar inte sannolikheten att B inträffar


Sannolikhetsteorins grunderKast med en tärning, där N är antalet prickar:

Vad är sannolikheten att N<3 då vi vet att N är udda?


Sannolikhetsteorins grunderSatsen om: Total sannolikhet

S

A1

A2 A4

A3

A1……A4 är partitioner av S, dvs.

P(A1 U A2 U A3 U A4)=P(A1)+ P(A2)+ P(A3)+ P(A4)=1


Sannolikhetsteorins grunderSatsen om: Total sannolikhet

S

A1

A2 A4

A3

B

P(B)=P(BIA1)P(A1)+ P(BIA2)P(A2)+ P(BIA3)P(A3)+ P(BIA4)P(A4)


Sannolikhetsteorins grunderBestäm sannolikheten för händelsen B, att ett elavbrott

sker under en dag.

Under ett normalår stormar det 20 dagar och det är åska 2 dagar.

Från tidigare erfarenheter vet man att sannolikheten för elavbrott vid storm är 0,1, vid

åska 0,2 och en vanlig dag 0,01.

Reliability analysis in engineering applications · Sannolikhet är ett tal som beskriver chansen...

Documents

Transcript of Reliability analysis in engineering applications · Sannolikhet är ett tal som beskriver chansen...