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Diapositivas de relaciones binarias

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Relaciones Binarias 1Producto CartesianoEl producto cartesiano de dos conjuntos A y B, denotado A B, es el conjunto de todos los posibles pares ordenados cuyo primer componente es un elemento de A y el segundo componente es un elemento de B.

A B = { (x,y) / x A ^ y B }

2Producto CartesianoEjemplo: Si A = { a , b , c } y B = { 1 , 2 } AxB = { (a,1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2) }

Note que A tiene 3 elementos B tiene 2 elementos A x B tiene 6 elementos.

3Producto CartesianoEjemplo: A = { corazn, trbol, coco, espada } B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 } A x B = { (corazn, 1), (corazn,2),,(corazn,12), (trbol,1), (trbol,2), ,(trbol,12), ,(espada,12) }

Note que A tiene 4 elementos B tiene 12 elementos A x B tiene 48 elementos (todas las cartas del mazo)

4Producto CartesianoRepresentacin en forma de TablaEjemplo: A = { , } B = { , , }

5Producto CartesianoRepresentacin en forma de Diagrama de VennEjemplo: A = { , } B = { , , }

6Producto Cartesiano

Ejemplo: A = { , } B = { , , }

7Relacin entre elementos de conjuntos Hay casos en que no todos los pares ordenados de un producto cartesiano de dos conjuntos responden a una condicin dada.

8Relacin entre elementos de conjuntos Se llama relacin entre los conjuntos A y B a un subconjunto del producto cartesiano A x B. Este puede estar formado por un solo par ordenado, varios o todos los que forman parte de A x B.

9RelacionesDado el siguiente diagrama que relaciona los elementos de A con los de B

b est relacionado con 13 es el correspondiente de d10Conjuntos de salida y de llegada de un relacinA es el conjunto de salida y B es el conjunto de llegada

11Dominio de una relacin Dom(R) = x / xA (x,y) R

Dom(R) = {b, c, d}

12Imagen de una relacin Im(R) = y / yB (x,y) R

Im(R) = {1, 3, 4}

13NotacinSi R es una relacin entre A y B , la expresin x R y significa que (x,y) R , o sea, que x est relacionado con y por la relacin R.

Ej: b R 1 porque (b,1) R

14Relacin definida en un conjuntoCuando los conjuntos de partida y de llegada de una relacin R son el mismo conjunto A, decimos que R es una relacin definida en A, o, simplemente, una relacin en A.

Una relacin R en A es entonces un subconjunto de A2 = A x A15Relacin definida en un conjuntoEjemplo: Sea H = { x / x es un ser humano} y R la relacin es madre de R es una relacin en H. Por qu?Como Ana es la madre de Luis, decimos que el par (Ana,Luis) R.Note que los pares que verifiquen R son un subconjunto de H x H.16Representacin de una relacinSea A = { a , b , c , d} y R = { (a, b), (a, c), (b, c), (c, c), (c, d), (d, c) }

Para poder construir el grafo dirigido A debe contener un nmero finito de elementosLos vrtices del grafo son los elementos A y las aristas dirigidas representan los elementos de R17Representacin de una relacinSea A = { a , b , c , d} y R = { (a, b), (a, c), (b, c), (c, c), (c, d), (d, c) } R puede representarse como matriz donde 1 indica que hay relacin y 0 que no hay relacin

18Propiedades de las relaciones definidas en un conjuntoSi establecemos una relacin entre los elementos de un mismo conjunto, existen cinco propiedades fundamentales que pueden cumplirse en esa relacinPropiedad reflexivaPropiedad simtricaPropiedad asimtricaPropiedad antisimtricaPropiedad transitiva19Propiedad reflexiva

La propiedad reflexiva dice que todos los elementos de un conjunto estn relacionados con si mismo

R es reflexiva si para todo x A, el par (x,x) R20Propiedad simtrica

La propiedad simtrica dice que si un elemento est relacionado con otro, ste segundo tambin est relacionado con el primeroR es simtrica si siempre que un par (x,y) R, el par (y,x) tambin pertenece a R

21Propiedad SimtricaEjemploDado A = {3, 4, 2} decir si las siguientes relaciones en A2 son simtricas

R = {(2, 3), (3, 4), (4, 3), (3, 2), (4, 4)}

S = {(3, 2), (4, 3), (2, 2), (3, 4)}22Propiedad asimtricaUna relacin es asimtrica si ningn par ordenado de la relacin cumple la propiedad simtrica.

23Propiedad antisimtricaUna relacin es antisimtrica cuando slo cumplen la propiedad simtrica los pares de elementos iguales y no la cumplen los pares formados por distintos elementos.

24Propiedad antisimtricaEjemploDado A = {2, 4, 6} decir si las siguientes relaciones en A2 son antisimtricas

R = {(2, 2), (4, 4)}S = {(2, 4)} T ={(4, 6), (2, 2), (6, 4), (4, 2)}25Propiedad transitivaLa propiedad transitiva dice que si un elemento est relacionado con otro y ste est a su vez relacionado con un tercero, el primer elemento est relacionado con el tercero.R es transitiva si x , y ,z , (x,y) R (y,z) R (x,z) R

26Propiedad transitivaEjemploDado A = {2, 4, 6, 3} decir si las siguientes relaciones en A2 son transitivas

R = {(2, 2), (2, 3), (4, 6), (6, 2), (4, 2), (4, 3), (6, 3)}

S = {(2, 2), (4, 4), (4, 2), (2, 6), (6, 4), (6, 2)}27