Universite Paris-Didierot (Paris 7)

Laboratoire Jacques Louis Lions, CNRS, UMR 7598

Habilitation a Diriger des recherches

Regularite, stabilite, ou approximation

d’un ensemble singulier intervenant en

calcul des variations

Antoine Lemenant

Date de soutenance : 02 decembre 2016

Rapporteurs externes :

Guy BouchitteUniversite Toulon

Alessio FigalliETH Zurich

Rapporteur interne :

Thierry De PauwUniversite Paris 7

Jury :

Guy BouchitteUniversite Toulon

Dorin BucurUniversite de Savoie

Antonin ChambolleCNRS, Polytechnique

Guy DavidUniversite Paris-Sud

Thierry De PauwUniversite Paris 7

Alessio FigalliETH Zurich

Simon MasnouUniversite Lyon

Filippo SantambrogioUniversite Paris-Sud

Mur fissure a Grenoble – Juin 2015Photo prise lors de l’ecole d’ete de l’ANR GEOMETRYA

Remerciements

Je souhaite en premier lieu remercier chaleureusement Guy Bouchitte,Thierry De Pauw et Alessio Figalli pour avoir consacre du temps a la lec-ture de mes travaux et accepte d’ecrire un rapport. Je remercie egalementAntonin Chambolle, Guy David, Dorin Bucur, Simon Masnou et Filippo San-tambrogio pour leur presence dans le jury.

Le parcours d’un chercheur depend beaucoup des rencontres qui jalonnentsa route. De nombreuses personnes, tels des guides, ont eu une influence im-portante sur ma facon de travailler : tout d’abord mon directeur de theseGuy David, a qui je dois beaucoup et dont l’accompagnement n’a jamaiscesse, Luigi Ambrosio et Giuseppe Buttazzo, qui m’ont veritablement initieau calcul des variations a l’italienne, Antonin Chambolle, qui m’a toujours sti-mule avec des questions interessantes, Filippo Santambrogio, pour sa passiondebordante des mathematiques et qui m’a oriente vers les maths appliquees,Thierry De Pauw, qui m’a ouvert les yeux sur l’axiome du choix et avec quijamais travail n’est autant synonyme de plaisir. Je les remercie de tout ce qu’ilsm’ont appris.

Une grande partie des travaux de ce memoire n’auraient pas pu voir le joursans l’aide de mes collegues et amis co-auteurs avec qui j’ai eu le plaisir de tra-vailler. Je remercie l’ensemble de mes collaborateurs, et plus particulierementEstibalitz Durand-Cartagena et Pablo Alvarez-Caudevilla pour leur accueiltoujours si chaleureux en Espagne.

Je tiens a remercier tout particulierement Vincent Millot, qui m’a accom-pagne a mes debuts de jeune maıtre de conferences a Paris 7, et dont l’amitien’a cesse de croıtre jusqu’a aujourd’hui.

Je remercie le laboratoire Jacques-Louis Lions qui m’a offert des conditionsde travail ideales. Je dois beaucoup a la bonne ambiance de l’equipe LJLL-P7.Je remercie mes collegues de tous les jours, et plus particulierement Jean-Francois Babadjian, Matthieu Bonnivard, Adina Ciomaga, Michael Goldman,Andrea Grigoriu, Marie Theret, pour leurs discussions au bureau ou autour dela machine a cafe.

Je suis egalement reconnaissant envers tous mes amis et collegues avecqui j’ai eu l’occasion d’echanger des conversations fructueuses ainsi que lepersonnel administratif et technique de l’U.F.R de maths de Paris 7 qui m’abien souvent aide dans differentes taches.

J’etais loin d’imaginer en arrivant a Paris 7 que ma Stratocaster seraitde la partie. Je remercie les membres du groupe Diderock pour ce projetcompletement fou.

Enfin, un grand merci a ma famille pour son soutient constant et pour toutce qu’elle m’apporte au quotidien et bien au dela.

Stay cool, stay groovy,stay tuned, stay experienced...

Jimi Hendrix

Table des matieres

Introduction (francais) 11

Introduction (english) 16

Liste de publications 20

1 Regularite d’un ensemble singulier minimisant la longueur 231.1 Regularite des ensembles presque minimaux . . . . . . . . . . . 241.2 Probleme de compliance optimale . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.3 Probleme de distance moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2 Etude asymptotique au bout d’une fissure 362.1 En mecanique de la rupture 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.1.1 Introduction du modele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.1.2 Taux de restitution d’energie . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.2 En 3D pour les minimiseurs de Mumford-Shah . . . . . . . . . . 412.2.1 Une formule de monotonie en dimensions plus grandes . 422.2.2 Un theoreme de rigidite pour les minimiseurs globaux . . 43

3 Approximation par champ de phase 463.1 Sur une variante d’Ambrosio-Tortorelli . . . . . . . . . . . . . . 473.2 Pour les minimiseurs connexes de la longueur . . . . . . . . . . 48

3.2.1 Approximation du probleme de Steiner . . . . . . . . . . 483.2.2 Etude de la fonctionnelle d’approximation . . . . . . . . 513.2.3 Approximation de Cp et F . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.3 Pour l’energie de Willmore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4 Stabilite d’une EDP par rapport au domaine 574.1 Stabilite pour des problemes de Neumann . . . . . . . . . . . . 584.2 Stabilite quantitative pour le spectre du Laplacien . . . . . . . 594.3 Regularite dans les domaines Reifenberg-plats . . . . . . . . . . 624.4 Mosco-convergence dans des espaces metriques . . . . . . . . . . 63

Bibliographie 64

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Introduction

Ce memoire rassemble certains resultats de regularite, stabilite, ou approxi-mation concernant plusieurs problemes en calcul des variations de type “dis-continuite libre”. Generalement, ces problemes portent sur la minimisationd’une fonctionnelle dont le terme principal et le plus delicat a apprehenderest, le plus souvent, la mesure de Hausdorff HN−1 d’un certain ensemblesingulier. La fonctionnelle de Mumford-Shah etant l’un des exemples emble-matiques, d’autres problemes similaires issus de certains modeles physiquessont egalement etudies. En outre on proposera une approximation dite “parchamp de phase” pour ces problemes, ayant pour but d’obtenir une energie plusreguliere qui permet, entre autres, d’etablir une methode numerique. Dans unederniere partie nous aborderons la stabilite d’une EDP par rapport au domaine.Cette fois-ci “l’ensemble singulier” concerne est le bord du domaine, supposenon lisse.

Les techniques employees pour l’etude de ces problemes sont multiples et denatures differentes. Par exemple, il est souvent question d’une solution d’EDPdefinie dans le complementaire d’un certain “ensemble singulier”, qui lui estlie. Il faut alors melanger les techniques d’analyse-EDP avec la theorie dela mesure geometrique pour apprehender a la fois l’ensemble singulier et lafonction definie dans son complementaire. La plupart du temps, les problemesetudies viennent du calcul des variations, c’est a dire que l’on travaille surun minimiseur. Une grande partie du travail consiste a construire de bonscompetiteurs pour obtenir des estimations interessantes. Aussi, la regularitede depart de l’ensemble etudie est en general extremement faible, de sorte queles outils de theorie de la mesure geometrique s’averent tres utiles pour pouvoircommencer a travailler avec des objets bien definis.

Dans ce memoire, le cadre de travail est assez souvent la dimension 2,ou deja la difficulte de certains problemes est immense ; a titre d’exemple,la celebre conjecture de Mumford-Shah en dimension 2 est toujours ouverteactuellement. Cependant, certains resultats de ce memoire sont obtenus en di-mension quelconque et meme plus : certains problemes ont ouverts des pistesqui sortent du cadre euclidien et de la dimension finie, que ce soit tant du cotegeometrique que tu cote analytique. Par exemple dans la section 4.4 nous ver-rons un theoreme de stabilite pour l’espace de Newton N1,p (une generalisationde l’espace de Sobolev dans les espaces metriques), ou encore, la section 1.1ou nous aborderons la regularite des presque-minimiseurs de longueur dans lesespaces de Banach.

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Dans la suite nous passons en revue les differents chapitres de ce memoire.

1. Regularite pour les minimiseurs connexes de la longueur. Lechapitre 1 est consacre a l’etude de la regularite des minimiseurs de troisproblemes en dimension 2, ou le terme principal est la minimisation de H1(K)sur des ensembles K compact connexes. Le probleme de ce type le plus connuest le probleme dit “de Steiner”, qui peut etre vu comme la version 1D duprobleme de Plateau. Il s’agit de chercher le connexe de longueur minimalcontenant un certain nombre de points donnes au depart. Pour ce probleme,nous presenterons une etude dans un cadre plus abstrait d’espace de Banach.L’un des buts de ce travail est d’etudier a quel point la norme ambiante,non euclidienne, influe sur la regularite des minimiseurs, ou plus generalementdes presque minimiseurs. Dans un travail en collaboration avec T. De Pauwet V. Millot, nous mettons en evidence une condition de Dini sur la jauged’uniforme convexite de la norme ambiante, garantissant la regularite C1 despresque-minimiseurs de H1.

Les deux autres problemes sont des variantes du probleme de Steiner dansun cadre euclidien, pour lesquels la theorie classique de la regularite ne s’ap-plique pas. Le premier de ce type est le probleme de distance moyenne. C’estun probleme purement geometrique, ou l’on cherche un compact connexe delongueur H1 prescrite, qui soient en “distance moyenne” le plus proche possiblede tout le monde, la moyenne etant prise sur une densite donnee au depart. Ceprobleme lie au transport optimal, a d’interessant qu’il admet des minimiseursnon reguliers, c’est a dire pas mieux que Lipschitz. Il a ete en effet prouve parD. Slepcev dans [Sle14] l’existence de minimiseurs non C1. Afin d’illustrer plusencore la non regularite de ce probleme, dans un travail en collaboration avecE. Mainini on propose une variante ou l’on minimise sur des convexes, et pourlaquelle tout convexe donne peut etre minimiseur.

Un article de F. Santambrogio et P. Tilli montre l’existence de blow-upunique en chaque point, ce qui induit l’existence de tangente a droite a gaucheen dehors des points triples et des points terminaux. Dans [a1] nous avonsapprofondi legerement ce resultat : les minimiseurs ont, localement en dehorsdes points triples et des points terminaux, la meme regularite que les graphesdes fonctions convexes, c’est a dire les tangentes a droite et a gauche existent,mais de plus admettent des limites a droite et a gauche. En particulier l’en-semble est C1 dans tout voisinage qui ne contient aucun point angulaire, horsdes points triples et points terminaux. L’exemple de D. Slepcev montre que ceresultat de regularite est optimal.

Un autre probleme lie avec le probleme de distance moyenne, est la mi-nimisation, sur les compacts connexes, de la p-Compliance de Ω \ K avecpenalisation en H1(K). Ce probleme Γ-converge vers le probleme de distancemoyenne lorsque p → +∞. Contrairement au probleme de distance moyenne,pour l’energie de compliance les minimiseurs sont plus reguliers. Nous mon-trons que, dans le cas ou p = 2, tout minimiseur est un union finie d’arcsC1. L’une des difficulte du probleme est sa nature de Min-Max qui le renddifferent d’autres problemes de minimisation a “discontinuite libre” plus stan-

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dard. L’un des outils que nous exploitons pour contourner cette difficulte est laformulation duale, qui le transforme en un probleme de minimisation de typeMumford-Shah, et permet par exemple d’etablir les limites de blow-up.

2. Etude asymptotique au bout d’une fissure. Si les principauxresultats du chapitre precedent concernaient plutot l’etude aux points “interieurs”de l’ensemble singulier, le chapitre 2 quant a lui concerne l’etude au “bout”d’une fissure, en dimension 2 mais egalement en dimension 3.

La premiere partie concerne un travail en collaboration avec J.-F.Babadjianet A. Chambolle ou nous etudions les notions de “taux de restitution d’energie”et de “facteur d’intensite des contraintes”, qui interviennent dans certainsmodeles mecaniques de propagation de fissures. Nous considerons la formu-lation variationnelle d’evolution quasi-statique de fissure proposee par Franc-fort et Marigo, basee sur une energie de type Mumford-Shah, et cherchons aidentifier le comportement de la fissure au cours du temps. Ceci nous amenea etudier, pour un temps t fixe, le developpement asymptotique de la solutiond’une certaine EDP elliptique dans un domaine fissure, au voisinage du “boutde la fissure”. Contrairement a la litterature classique des domaines de typepolygonaux (Dauge, Grisvard, Kontratiev, Mazya, entre autres), ici la fissuren’est autre qu’un ensemble ferme, et le “bout de la fissure” est un point ou ladensite de l’ensemble vaut 1/2, c’est a dire un point x tel que H1(B(x, r))/rconverge vers 1 lorsque r tend vers 0. Nous montrons alors que la limite del’energie normalisee de la solution de l’EDP existe, et de plus, le blow-up dela solution converge vers la fameuse fonction “cracktip” C

√r sin(θ/2) en coor-

donnees polaires (r, θ) ∈ R+ × [−π, π]. Ceci est la premiere etape pour etudierensuite la notion de “taux de restitution d’energie”, qui est en quelque sorte laderivee de forme concernant l’ajout d’un petit increment de fissure. On utilisedes techniques de type Γ-convergence pour caracteriser la limite comme etantlui meme un probleme de minimisation. L’etude est faite dans le cas scalaire(anti-plan) mais egalement dans le cas vectoriel (elasticite linearisee 2D) oul’operateur bi-Laplacien intervient par dualite comme un outil bien utile.

La deuxieme partie concerne l’etude des minimiseurs globaux de Mumford-Shah en dimension 3. Ce travail a ete initie dans ma these, et continue plus tardavec comme contribution principale, la caracterisation de tous les minimiseursglobaux contenus dans un demi-plan. On montre que l’unique minimiseur pos-sible est le demi-plan lui meme, a l’aide d’une nouvelle formule de monotonieadaptee aux conditions de Neumann. Ce minimiseur bien particulier (com-munement appele cracktip×R) est l’equivalent 3D de la fonction cracktip duparagraphe precedent. Ce resultat est un pas supplementaire vers la classifi-cation complete des minimiseurs globaux en dimension 3, qui semble hors deportee aujourd’hui. Par ailleurs, bien connaıtre le minimiseur cracktip×R enparticulier, les formules de monotonies associees, les procedes de blow-up endimension 3, est une etape interessante qui pourrait permettre d’evoluer versune meilleure comprehension de la propagation de fissures en dimension 3.

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3. Approximation par champ de phase. Ce chapitre est consacrea l’approximation par “champ de phase” des problemes vus precedemment.En effet, pour les problemes de minimisation faisant intervenir la mesure deHausdorff H1(K), l’une des approches la plus utilisee concernant les methodesnumeriques est de remplacer l’ensemble singulier K par une transition de phasereguliere u, et de remplacer la longueur H1(K) par une energie de type Modica-Mortola, qui par minimisation, induira l’equation d’Allen-Cahn sur u.

L’un des exemples les plus connus etant la fonctionnelle d’Ambrosio-Tortorellipour l’approximation de la fonctionnelle de Mumford-Shah. Cette approxima-tion est egalement utilisee pour faire des simulations numeriques sur la propa-gation de fissures. Dans une premiere partie nous presenterons une variante decette fonctionnelle, concernant un modele en plasticite etudie avec L. Ambrosioet G. Royer-Carfagni.

Dans une deuxieme partie, nous presentons une methode similaire pour lesautres problemes evoques aux chapitres precedents. La principale nouveauteconcernant cette approche, est de pouvoir imposer la contrainte de connexitesur l’ensemble K. Avec F. Santambrogio nous avons propose un terme nouveaupenalisant le fait de ne pas etre connexe. Ceci nous a permis avec M. Bonnivard,de traiter numeriquement les problemes de Steiner, de distance moyenne et deCompliance optimale. Par suite nous avons adapte la methode a l’energie deWillmore avec P. W. Dondl et S. Wojtowytsch.

Enfin, dans un travail en cours avec M. Bonnivard et V. Millot, nousetudions la fonctionnelle d’approximation elle meme, concernant notammentl’existence et la regularite des minimiseurs. Ceci permet d’en deduire un tauxde convergence de la fonctionnelle d’approximation vers la fonctionnelle limite.

4. Stabilite par rapport au domaine. Un outil phare et particuliere-ment utilise en theorie de la regularite est le fameux “argument de compacite”,qui permet d’obtenir l’estimation d’une certaine quantite lorsqu’une autre estsuffisamment petite. Par exemple, obtenir une estimation sur l’energie de Diri-chlet de la solution d’une certaine EDP elliptique au voisinage du bord, lorsquela geometrie du bord est suffisamment plate. Ce type de methode a la base denombreux theoremes de regularite, repose sur un argument de contradictionet passage a la limite, qui necessite donc de savoir que la premiere quantiteest continue lorsque la seconde tend vers zero. Ceci est l’objet principal de cequatrieme chapitre, ou nous etudions de maniere generale la continuite d’uneEDP elliptique avec condition de Neumann le long d’une suite de domaine.

Ce type de resultat est particulierement bien compris et bien documentedans la litterature, dans le cas ou les conditions au bord sont de type Dirichlethomogene. Ils interviennent notamment dans les theoremes d’existence d’uneforme optimale en optimisation de forme. En revanche, le cas du probleme deNeumann est plus delicat et il existe tres peu de resultats positifs le concernant.

Dans ce chapitre nous presentons un theoreme de continuite pour le problemede Neumann dans des domaines ayant un bord uniformement Reifen-berg-plat.Ce type de resultat etait deja sous jacent dans ma these ou il avait ete utile pourle theoreme de regularite principal sur la fonctionnelle de Mumford-Shah, mais

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n’avait pas ete enonce et etudie de maniere systematique. C’est ce que nousavons fait dans des travaux ulterieurs avec E. Milakis et L. Spinolo, qui ontdonne lieu a une condition sur le bord des domaines pour que le probleme deNeumann soit stable, y compris pour des domaines fissures avec “taille de trouuniforme”. De plus, nous avons pousse l’etude jusqu’a montrer des estimationsquantitatives, c’est a dire, pour deux domaines proches et Reifenberg-plats, onpeut majorer la difference de l’energie des solutions du probleme de Neumann,par la mesure de Lebesgue de la difference symetrique des deux domaines.Nous avons par exemple etabli ce type d’inegalite pour les valeurs propres dulaplacien Neumann, et par la meme methode nous avons aussi etabli le memetype d’inegalite pour les valeurs propres Dirichlet.

Dans un travail un peu en marge de ces etudes dans RN , nous avons etudieavec E. Durand-Cartagena, la stabilite du probleme de Neumann dans uncadre d’espace metrique mesure doublant. En effet, ces dernieres annees, denombreux travaux visent a etendre au cadre espace metrique mesure, la notiond’espace de Sobolev classique sur RN , ce qui nous a conduit a considerer notreprobleme de stabilite aussi dans ce cadre plus abstrait. Ici la notion de domaineReifenberg-plat n’est pas evidente a definir, donc nous avons opte pour d’autrestype de suites de domaines, comme une suite de domaine d’extension avecconstante uniforme, ou bien des deformations d’un domaine donne par desapplications quasiconformes.

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Introduction (english)

This report contains some results about stability, regularity, or approxima-tion in several problems of “free discontinuity” type in the calculus of varia-tions. Generally, those problems consist of minimizing a certain kind of energywhere the most important and delicate term is, most frequently, the Hausdorffmeasure HN−1 or a certain singular set. The Mumford-Shah functional is oneof the most known example, some other similar problems coming from mate-rial sciences are also studied. Moreover, we will also introduce some phase-fieldmethod in order to approximate those problems. In a last part we will studythe stability of some PDE with respect to the domain. This time, the “singularset” is the boundary of the domain, that we assume to be non smooth.

The technics employed to study those problems are of different nature. Forinstance, it is ofter the case of the solution of a certain PDE defined in the com-plement of a certain “singular set”, that is linked to it. It is therefore necessaryto mix some PDE methods together with geometric measure theory in orderto take care of the singular set and the function defined in its complement.Most of the time, the studied problems come from the calculus of variations,which means that we work on a minimizer. A big part of the work consists inbuilding some good competitors in order to get interesting estimates. Also, weare usually dealing with doing analysis on sets that are very not smooth fromthe beginning, and the geometric mesure theory is here to fix a well definedframework to start with.

In this report, the framework is usually two dimensional, where the diffi-culty is sometimes already very hard. For instance, the celebrated Mumford-Shah conjecture is two dimensional, and currently still open. However, someresults are stated in any dimensions, and even beyond, for instance in a non-Euclidean setting, infinite dimensional Banach spaces or more generally mea-sured metric spaces.

In the sequel we summarize the different chapters of this report.

1. Regularity for connected minimizers of length. Chapter one is de-voted to regularity issues concerning three different problems, where the mainterm of minimization is the Hausdorff measure H1(K) on compact connec-ted sets K. The most known problem of this type is the so-called Steinerproblem, where one seeks for the connected set of minimal length containingsome given finite number of points. For this problem, and more generally foralmost-minimizers, we will present a study in the more general framework of

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a Banach space. The purpose is to see how the ambiant norm, which is nownon Euclidean, affects the regularity theory for almost minimizing sets. In awork with T. De Pauw and V. Millot we find a condition of Dini-Type on theambiant norm which guarantees the regularity C1

The two other problems are some variants of the Steiner problem, in anEuclidean setting, for which the standard regularity theory does not applydirectly. The first one is the so-called average distance problem. It is purelygeometrical, we seek for a compact connected set of given length, which hasthe property of being the closest to everyone, in average. This problem islinked with optimal transportation and irrigation models and has the interes-ting behavior of admitting non-C1 minimizers. In order to illustrate the non-smoothness of this problem, we propose a variant with E. Mainini, where oneminimize among convex sets. We prove that every convex can be a minimizer.

A paper by F. Santambrogio and P. Tilli shows that the blow-up limitexists and is unique at any point. This provides in particular a right and lefttangent at any point. In [a1] we go a bit further : we prove that minimizershave, locally outside triple points and endpoints, the same regularity of thegraph of a convex function, that is, the right and left tangents exists and aresemi-continuous. In particular, this shows that the absence of corner pointsimplies C1 regularity.

Another problem similar to the average distance problem, is the minimi-sation, among compact connected sets, of the p-Compliance of Ω \ K, withpenalization on the length H1(K). This problem Γ-converges to the averagedistance problem when p → +∞. The minimizers of this problem are moreregular. We prove that, in the case p = 2, every minimizer is the finite unionof smooth arcs. One of the main difficulty is the nature of the problem, ofMin-Max type, which makes it different from other similar ones of “free dis-continuity” type. We exploit the dual formulation to link the problem with theMumford-Shah functional and provides, for instance, a way to characterize theblow-up limits.

2. Asymptotic analysis at a crack-tip. The first part of this chapterconcerns a work done with J.-F. Babadjian and A. Chambolle where we studythe notions of “energy release rate” and “stress intensity factor”, which arisein some mechanical models of crack propagation. We consider the variatio-nal formulation of Francfort and Marigo, based on an energy similar to theMumford-Shah energy. We seek for identifying the behavior of the crack withrespect to time. This leads to studying, for a certain fixed time t, the assymp-totic behavior of the solution of some elliptic PDE in a fractured domain, inthe neighborhood of the tip of the crack. At the opposite of the classical litera-ture in polygonal domains (Dauge, Grisvard, Kontratiev, Mazya, and others),here the crack is merely closed, connected and the tip of the crack is a pointof density 1/2, which means a point x such that H1(B(x, r))/r converges to 1when r converges to 0. We prove that the normalized energy of the solutionexists, and moreover the blow-up limit converges to the famous “cracktip”(C

√r sin(θ/2) in polar coordinates (r, θ) ∈ R+× [−π, π]). This is the first step

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before studying the “energy release rate”, which is in some sense, the shapederivative of the energy, corresponding to add some infinitesimal increment ofcrack at the tip. We use some tools from the Γ-convergence theory in orderto characterize the limit as being itself a minimization problem. The work isdone in the scalar case (anti-plane) but also in the vectorial case (2D linearizedelasticity) where the bi-Laplace operator plays a key role.

The second part is about the global minimizers for the Mumford-Shahfunctional, in dimension 3. This was initiated in my thesis, and continuedlater with the principal contribution of characterizing all the global minimizerswhose singular set in contained in a half-plane. We show that the uniqueminimizer is the half-plane itself. This particular minimizer, called cracktip×R,is the 3D analogue of the cracktip function seen in the previous section. Theresult follows from a new monotonicity formula for energy minimizers withNeumann boundary condition.

3. Phase Field approximation. This chapter is about the approxima-tion by “phase field” of several problems from the previous sections. Indeed,for minimization problems involving the Hausdorff measure H1(K), one of themost convenient method is to replace the singular set K by a smooth transitionof phases u, and replace the length H1(K) by an energy of Modica-Mortolatype, which by minimisation, induces the Allen-Cahn equation on u. One ofthe most famous example of that kind is the Ambrosio-Tortorelli approxima-tion of the Mumford-Shah functional. This approximation is also used in crackpropagation.

In a first part we will present a variant of this functional, concerning amodel in plasticity theory studied with L. Ambrosio et G. Royer-Carfagni.

In a second part, we will present a similar method for some other problemsthat was introduced in the chapters before. The main difficulty is to impose aconnectedness constraint on the set K. With F. Santambrogio we have intro-duced a new term which is able to penalize the fact of not being connected.Using this approach with M. Bonnivard we could perform a numerical methodfor the Steiner problem, the compliance problem, and the average distanceproblem. We have also adapted the method to the Willmore energy with P.W. Dondl et S. Wojtowytsch.

Finally, in a recent work with M. Bonnivard and V. Millot, we study theapproximative functional for the Steiner problem, and more precisely we haveobtained existence and regularity results. This allows us to estimate the rateof convergence of the approximative functional to the limiting one.

4. Stability with respect to the domain. A famous tool in regularitytheory, is the so-called “compactness argument”, which allows to estimate acertain quantity provided that some other is sufficiently small. For instance,estimate the Dirichlet energy of the solution of a certain elliptic PDE near theboundary of a domain, provided that the boundary is flat enough. This type ofmethod used in many regularity results, relies on a contradiction and compact-ness argument, which needs to know that the first quantity is continuous when

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the second converges to zero. This is the subject of this last chapter, wherewe study in general, the continuity of some PDE with Neumann boundarycondition, along a sequence of domains.

This type of results is particularly well-understood in the literature in thecase of Dirichlet boundary condition. They are used for instance to obtainexistence results for some shape optimization problems. But the Neumannproblem is more delicate and almost nothing is known.

In this chapter we state some results about the continuity of the Neumannproblem along a sequence of domain having a uniform Reifenberg-flatnesscondition. We give a condition on the boundary of the domain, of “uniformsize of holes”, including the case of fractured domains, for which the continuityof the Neumann problem does hold. Moreover in this framework we have ob-tained quantitative estimates, like a bound on the difference of two solutionsin two different domains by the Lebesgue measure of the symmetric differenceof the domains. We have done this work for the eigenvalues of the Dirichletand Neumann Laplacian, but it could be applied to many other PDE.

In a last part we present similar results in a metric measured space fra-mework. In the last years, a lot of attention have been given on extendingthe theory of Sobolev spaces in a metric measured framework. This led us toconsider the stability of the Neumann problem, or equivalently the Mosco-convergence of Sobolev spaces, in a metric space framework. In this situation,the Reifenberg-flat condition on the boundary is not clear to be well defined,thus we have considered other situations like a sequence of uniform extensiondomains, of the image of a fixed domain by a quasiconformal mapping.

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Liste de publications

I. Articles presentes dans ce memoire

Regularite d’un ensemble singulier minimisant la lon-

gueur

[a1] Antoine Lemenant. About the regularity of average distance minimizers in R2. J.Convex Anal., 18(4) :949–981, 2011.

[a2] A. Lemenant and E. Mainini. On convex sets that minimize the average distance.ESAIM Control Optim. Calc. Var., 18(4) :1049–1072, 2012.

[a3] A. Chambolle, J. Lamboley, A. Lemenant, and E. Stepanov. Regularity for opti-mal compliance problem. preprint (2015).

[a4] T. De Pauw, A. Lemenant, and V. Millot. On sets minimizing their weightedlength in uniformly convex separable banach spaces. Adv. In Math. (a paraıtre).

Mumford-Shah et Etude asymptotique au bout d’une fis-sure

[a5] A. Chambolle and A. Lemenant. The stress intensity factor for non-smoothfractures in antiplane elasticity. Calc. Var. Partial Differential Equations, 47(3-4) :589–610, 2013.

[a6] J.-F. Babadjian, A. Chambolle, and A. Lemenant. Energy release rate for non-smooth cracks in planar elasticity. J. Ec. polytech. Math., 2 :117–152, 2015.

[a7] A. Lemenant. A rigidity result for global Mumford-Shah minimizers in dimensionthree. J. Math. Pures Appl. (9), 103(4) :1003–1023, 2015.

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Approximation par champ de phase

[a8] L. Ambrosio, A. Lemenant, and G. Royer-Carfagni. A variational model for plasticslip and its regularization via Γ-convergence. J. Elasticity, 110(2) :201–235, 2013.

[a9] A. Lemenant and F. Santambrogio. A Modica-Mortola approximation for theSteiner problem. C. R. Math. Acad. Sci. Paris, 352(5) :451–454, 2014.

[a10] M. Bonnivard, A. Lemenant, and F. Santambrogio. Approximation of lengthminimization problems among compact connected sets. SIAM J. Math. Anal.,47(2) :1489–1529, 2015.

[a11] P. Dondl, A. Lemenant, and S. Wojtowytsch Phase Field models for thin elasticstructures with topological constraint ARMA, 2017 (to appear).

[a12] M. Bonnivard, A. Lemenant, and V. Millot. On a phase field approximation ofthe planar Steiner problem : Existence, regularity, and asymptotic of minimizerspreprint 2016

Stabilite d’une EDP par rapport au domaine

[a13] E. Durand-Cartagena and A. Lemenant. Some stability results under domainvariation for Neumann problems in metric spaces. Ann. Acad. Sci. Fenn. Math.,35(2) :537–563, 2010.

[a14] A. Lemenant and E. Milakis. Quantitative stability for the first Dirichlet eigen-value in Reifenberg flat domains in RN . J. Math. Anal. Appl., 364(2) :522–533,2010.

[a15] A. Lemenant and E. Milakis. A stability result for nonlinear Neumann problemsin Reifenberg flat domains in RN . Publ. Mat., 55(2) :413–432, 2011.

[a16] A. Lemenant, E. Milakis, and L. V. Spinolo. Spectral stability estimates forthe Dirichlet and Neumann Laplacian in rough domains. J. Funct. Anal.,264(9) :2097–2135, 2013.

[a17] A. Lemenant, E. Milakis, and L. V. Spinolo. On the extension property ofReifenberg-flat domains. Ann. Acad. Sci. Fenn. Math., 39(1) :51–71, 2014.

[a18] A. Lemenant and Y. Sire. Boundary regularity for the Poisson equation inReifenberg-flat domains. In Geometric partial differential equations, volume 15of CRM Series, pages 189–209. Ed. Norm., Pisa, 2013.

21

II. Autres travaux

Articles de synthese

[a19] A. Lemenant. A presentation of the average distance minimizing problem. Zap.Nauchn. Sem. S.-Peterburg. Otdel. Mat. Inst. Steklov. (POMI), 390(Teoriya Pred-stavlenii, Dinamicheskie Sistemy, Kombinatornye Metody. XX) :117–146, 308,2011.

[a20] A. Lemenant. Un theoreme de regularite pour les minimiseurs de Mumford-Shahdans R3. In Seminaire : Equations aux Derivees Partielles. 2009–2010, Semin.Equ. Deriv. Partielles, pages Exp. No. XXV, 11. Ecole Polytech., Palaiseau, 2012.

[a21] A. Lemenant. A selective review on Mumford-Shah minimizers. BUMI (a paraıtre)

Articles lies a la these de doctorat

[a22] A. Lemenant. On the homogeneity of global minimizers for the Mumford-Shahfunctional when K is a smooth cone. Rend. Semin. Mat. Univ. Padova, 122 :129–159, 2009.

[a23] A. Lemenant. Energy improvement for energy minimizing functions in the com-plement of generalized Reifenberg-flat sets. Ann. Sc. Norm. Super. Pisa Cl. Sci.(5), 9(2) :351–384, 2010.

[a24] A. Lemenant. Regularity of the singular set for Mumford-Shah minimizers in R3

near a minimal cone. Ann. Sc. Norm. Super. Pisa Cl. Sci. (5), 10(3) :561–609,2011.

Autres articles non presentes dans ce memoire

[a25] P. Alvarez-Caudevilla and A. Lemenant. Asymptotic analysis for some lineareigenvalue problems via gamma-convergence. Adv. Differential Equations, 15(7-8) :649–688, 2010.

[a26] A. Daniilidis, G. David, E. Durand-Cartagena, and A. Lemenant. Rectifiabilityof self-contracted curves in the Euclidean space and applications. J. Geom. Anal.,25(2) :1211–1239, 2015.

[a27] A. Lemenant. Rectifiability of non Euclidean planar self-contracted curvesConfluentes Mathematici., 2016 (to appear).

22

Chapitre 1

Regularite d’un ensemble singulier mi-nimisant la longueur

Ce chapitre est consacre a l’etude de la regularite des minimiseurs dequelques problemes de type

minK∈K

H1(K) + E(Ω \K), (1.0.1)

ou K est l’ensemble des K ⊂ Ω ⊂ R2 compacts connexes, et E est une certaineenergie, le plus souvent liee a une EDP. dans Ω \K.

Lorsque E est une energie “d’ordre superieure a r”, c’est a dire qui secomporte comme Cr1+ε pour des deformations locales d’un minimiseur K dansBr, alors K rentre dans la theorie classique des “presque minimiseurs” de lalongueur et on peut conclure que K est localement C1,α, ou une union finied’arcs C1,α.

Le premier travail qui est expose dans ce chapitre concerne justement uneextension de cette theorie de la regularite “classique”, dans un cadre non eu-clidien. Nous discuterons en effet des hypotheses optimales qui garantissentla regularite pour un presque minimiseur, en fonction de la norme ambianteet en fonction de l’exces de minimalite qui se comporte generalement commerh(r) avec une certaine jauge h qui tend vers zero a une certaine vitesse. Cetravail est l’etape tres preliminaire au vaste programme d’etudier la regularitedes presque-minimiseurs (par exemple une solution du probleme de Plateau)dans un contexte non euclidien.

Ensuite, nous verrons deux problemes du type (1.0.1) ou la theorie classiquene s’applique pas directement. L’une des difficulte majeure est de montrer quel’energie E en question se comporte bien comme un terme en Cr1+ε pour lesdeformations locales dans Br. Mais par exemple si E(Ω \K) est l’energie as-sociee a la solution d’une certaine EDP, il est en general difficile d’obtenir detelles estimations sans rien connaıtre a priori concernant la regularite de K.C’est le cas pour l’energie de compliance (Section 1.2.4), qui est d’autant plusdifficile a analyser qu’elle est de nature non locale, ce qui distingue ce problemeparmi d’autres plus classiques. En effet, la contrainte de connexite sur K per-met de considerer une optimisation opposee a d’habitude, ou l’on maximisel’energie au lieu de la minimiser, ce qui peut paraıtre un peu deroutant. L’un

23

des outils utilise est une formulation duale pour etablir des estimations localeset se ramener a des techniques plus standard.

Concernant le probleme de distance moyenne (Section 1.3), l’analyse estde nature encore differente car justement E(Ω \ K) est d’ordre exactementCr pour les deformations dans une boule Br, et pas mieux. La theorie dela regularite classique ne s’applique donc pas, et pour cause, les minimiseursne sont en general pas C1. En revanche il est possible, par des argumentsd’analyse convexe propres au probleme considere, de montrer un resultat faiblede regularite sur la continuite a droite et a gauche des tangentes a droite et agauche, qui est d’ailleurs le mieux que l’on puisse esperer pour ce probleme enterme de regularite.

1.1 Regularite des ensembles presque minimaux

Si X est un espace metrique, on designe par H1 la mesure de Hausdorffde dimension 1 sur X et par K l’ensemble des compacts connexes de X . Unensemble K ∈ K est presque minimal, de jauge h dans l’ouvert U ⊂ X , s’ilexiste r0 > 0 tel que pour toute boule B ⊂ U de rayon r ≤ r0 et pour toutcompetiteur L ∈ K tel que L \B = K \B on ait

H1(K ∩ B) ≤ (1 + h(r))H1(L ∩ B).

Par exemple si w : RN → R est une fonction Holderienne minoree par uneconstante strictement positive, alors les minimiseurs de

Γ 7→∫

Γ

w(x)dH1(x)

sont des presque minimiseurs de H1 avec une jauge Crα ou α depend de laclasse Holder de w.

Dans un cadre euclidien, la theorie de la regularite pour les ensemblespresque minimaux est bien comprise. Il est “bien connu” que si h(r) = Crα

alors tout ensemble h-presque minimal est, localement dans U , une union finiede courbes de classe C1,α/2.

Les ensembles presque minimaux sont en effet lies a des cas particuliers1-dimensionels d’objet plus generaux introduits en theorie geometrique de lamesure par Almgren dans le but d’etudier le probleme de Plateau. L’etude dela dimension 1 dans une norme quelconque est donc le premier pas vers unetheorie de la regularite dans un cadre non euclidien pour certains problemesde type Plateau.

En realite, toujours dans le cadre euclidien, une condition suffisante pourqu’un ensemble h-presque minimal soit, localement dans U , une union finie decourbes de classe C1, est la condition d’integrabilite de type Dini suivante

∫ r0

0

√h(t)

tdt < +∞. (1.1.1)

24

On obtient alors un controle de l’oscillation des tangentes par f(r) =∫ r

0

√h(t)

tdt.

A notre connaissance, le fait que (1.1.1) soit egalement necessaire n’estpas connu. Une construction classique permet d’obtenir une double spiralelogarithmique, non differentiable en l’origine, qui est presque minimale pourune certaine fonction jauge h qui ne verifie pas (1.1.1). En poussant un peula construction, on peut meme montrer que, etant donnee une jauge h(r) quiverifie

∫ r0

0

h(t)

tdt = +∞ (1.1.2)

la double spirale logarithmique basee sur r 7→ eiθ(r) avec θ(r) =∫ 1

rh(r)r

estnon differentiable en l’origine, tout en etant h-presque minimale. Reste donca reduire la marge entre les conditions (1.1.1) et (1.1.2).

Dans l’article [a4] nous etudions la regularite des presque minimiseurs deH1, dans un espace de Banach uniformement convexe. Rappelons qu’une normeest uniformement convexe si pour tout ε > 0 il existe δ > 0 tel que

‖x− y‖ ≥ ε ⇒∥∥∥∥x+ y

2

∥∥∥∥ ≤ 1− δ.

On note alors

δX(ε) = inf

1−

∥∥∥∥x+ y

2

∥∥∥∥ : x, y ∈ E, max‖x‖, ‖y‖ ≤ 1 et ‖x− y‖ ≥ ε

la jauge d’uniforme convexite associee a X . La jauge δX etant monotone, onpeut l’inverser par la formule

δ−1X (t) = supε > 0 : δX(ε) ≤ t.

Nous avons obtenu le resultat suivant.

Theoreme 1. (T. De Pauw, A. Lemenant, V. Millot [a4]) Soit X un espacede Banach uniformement convexe et K ∈ K un ensemble h-presque minimaldans l’ouvert U ⊂ X. Si

∫ r0

0

δ−1X (h(t))

tdt < +∞ (1.1.3)

alors K est une courbe de classe C1 au voisinage de tout point de densite 1

(i.e. tel que limr→0

1

2rH1(Br ∩K) = 1), c’est a dire en dehors d’un ensemble de

mesure H1 nulle.

Par exemple dans le cas euclidien, nous avons δX(ε) = Cε2 de sorte que lacondition (1.1.3) n’est autre que (1.1.1).

Une question naturelle est ensuite de savoir a quel point la condition (1.1.3)est optimale. Pour aller dans ce sens, nous etudions le cas ou la condition (1.1.3)n’est pas necessairement verifiee et obtenons l’enonce suivant.

25

Theoreme 2. (T. De Pauw, A. Lemenant, V. Millot [a4]) Soit X l’espace deBanach R2 muni d’une norme uniformement convexe ‖ · ‖ telle que x 7→ ‖x‖soit de classe C2. Soit K ∈ K un ensemble presque minimal dans U ⊂ Xassocie a une jauge h verifiant (1.1.1). Soit x0 ∈ K ∩ U un point de densite 1

(i.e. tel que limr→0

1

2rH1(Br ∩K) = 1). Alors il existe une boule B ⊂ U telle que

K ∩B soit une courbe differentiable partout.

La difference majeure entre le theoreme 1 et le theoreme 2, est le fait quedans le theoreme 2 la norme est uniformement convexe mais ne satisfait pasnecessairement la condition (1.1.3). Et pourtant, on en deduit quand meme unecertaine regularite de l’ensemble presque minimal, a savoir, la differentiabilitepartout.

Le theoreme 2 semble indiquer que, dans l’optique d’exhiber un contre-exemple demontrant l’eventuelle optimalite de la condition (1.1.3), on devrachercher a construire une courbe differentiable mais non-C1 qui soit presqueminimale avec jauge h(t) verifiant (1.1.1) pour une certaine norme ambiante deR

2 uniformement convexe ne satisfaisant pas (1.1.3). La construction eventuelled’une telle courbe est encore une question ouverte a l’heure actuelle.

Dans le meme article nous avons aussi demontre l’existence d’ensemblespresque minimaux en dimension infinie. Ceci resulte de l’existence d’un mini-miseur pour le probleme de Steiner “pondere” suivant.

Theoreme 3. (T. De Pauw, A. Lemenant, V. Millot [a4]) Soit X un espace deBanach qui est le dual d’un espace separable et soit F ⊂ X un ensemble fini.Soit ω : X → (0,+∞] une fonction faiblement semie-continue inferieurementtelle que infX ω > 0. Soit CF l’ensemble des compacts connexes de X contenantF . Alors il existe une solution au probleme

infC∈ CF

∫

C

ω(x) dH1(x).

La difficulte pour etablir le theoreme 3 etant le manque de compacite lo-cal de l’espace ambiant. Pour palier ce manque, nous utilisons une idee dejapresente dans [AK00] concernant l’existence de courant minimiseur de massedans un cadre d’espace metrique, qui repose sur un theoreme du a M. Gromov[Gro83] de plongements isometriques d’ensembles equi-compact dans un memeespace compact. Il faut ensuite montrer la semi-continuite inferieure de notreenergie le long de cette suite minimisante.

1.2 Probleme de compliance optimale

Si Ω ⊂ R2 et f ∈ L∞(Ω), l’energie de compliance d’une membrane attachee

a ∂Ω soumise a la force verticale f est 12

∫Ωuf dx, ou u est l’unique solution

dans H10(Ω) du probleme −∆u = f in Ω.

26

Le probleme a discontinuite libre suivant est introduit dans [BS07], etegalement etudie dans [Til12, a3]. Notons K l’ensemble des compacts connexesde Ω. Pour tout Σ ∈ K on note uΣ l’unique solution de

minu∈H1

0 (Ω\Σ)

(1

2

∫

Ω

|∇u|2 dx−∫

Ω

uf dx

). (1.2.1)

La fonction uΣ verifie alors l’equation

−∆u = f dans Ω \ Σu = 0 sur ∂Ω ∪ Σ

On note C(Σ) l’energie de compliance associee a Σ et definie par

C(Σ) =1

2

∫

Ω

|∇uΣ|2 dx =1

2

∫

Ω

uΣf dx.

Ensuite, λ > 0 etant fixe, on minimise

minΣ

(C(Σ) + λH1(Σ)

), (1.2.2)

ou le minimum est pris sur tous les Σ ∈ K.L’interpretation du probleme (1.2.2) donnee dans [BS07] est la suivante :

l’ensemble Σ represente un trait de colle qui fixe une membrane sur Ω. Leminimiseur Σ cherche donc a coller du mieux possible la membre soumise ala force f , tout en consommant le moins de colle possible (a cause du termepenalisant λH1(Σ)).

L’une des difficulte majeure du probleme (1.2.2) reside dans sa nature detype min-max. En effet, la solution uΣ minimise lui meme l’energie dans (1.2.1),et une integration par parties montre que

minu∈H1

0 (Ω\Σ)

(1

2

∫

Ω

|∇u|2 dx−∫

Ω

uf dx

)= −1

2

∫

Ω

uΣf = −C(Σ). (1.2.3)

Ainsi, le probleme (1.2.2) s’ecrit

minΣ∈K

maxu∈H1

0 (Ω\Σ)

(∫

Ω

uf dx− 1

2

∫

Ω

|∇u|2 dx)+ λH1(Σ). (1.2.4)

Ce caractere min-max entraine que l’energie C(Σ) est non locale : l’energieassociee a une deformation locale de Σ dans une boule depend d’une solu-tion calculee globalement dans tout Ω. Ceci complique un peu l’etude de laregularite pour les minimiseurs.

Il est donc naturel d’introduire la quantite suivante. Etant donne une bouleB(x, r) centree sur un minimiseur Σ

ω(x, r) = max C(Σ′) ; Σ′Σ ⊂ B(x, r) .

27

En etudiant les proprietes de ω(x, r), un lemme de monotonie, et des tech-niques classiques de regularite pour les problemes de type discontinuite libre,nous avons obtenu que tout minimiseur Σ pour le probleme (1.2.4) est locale-ment une courbe de classe C1,α en dehors d’un ensemble H1-negligeable. Parsuite, il est possible de completer ce resultat en etudiant les limites de blow-up,aboutissant au resultat suivant.

Theoreme 4 (A. Chambolle, J. Lamboley, A. Lemenant, E. Stepanov [a3]).Soit Ω ⊂ R2 un domaine C1 et Σ un minimiseur du probleme (1.2.4). Alors Σest une union finie de courbes de classe C1,α dans Ω, se joignant au plus parnombre de 3 avec des angles de 120 degres, qui touchent eventuellement ∂Ωtangentiellement.

On peut penser que l’expression (1.2.4) ressemble a une version “Dirichlet”du probleme de Mumford-Shah. En realite, les deux problemes sont intimementlies. Il est en effet (presque !) possible de passer de l’un a l’autre par dualite.Cette dualite permet de contourner le probleme du min-max et d’obtenir unproblem min-min, donc local. Montrons le formellement.

Pour tout u ∈ H10 (Ω \ Σ) et Φ ∈ L2(Ω,R2), on peut ecrire

∫

Ω

|∇u2| =

∫

Ω

|∇u− Φ|2 + 2

∫

Ω

〈∇u,Φ〉 −∫

Ω

|Φ|2

≥ 2

∫

Ω

〈∇u,Φ〉 −∫

Ω

|Φ|2 (1.2.5)

et puisqu’il y a egalite pour Φ = ∇u on obtient la fameuse transformee deLegendre ∫

Ω

|∇u2| = supΦ∈L2

(2

∫

Ω

〈∇u,Φ〉 −∫

Ω

|Φ|2).

Par suite, le probleme (1.2.1) peut s’ecrire sous la forme

infu∈H1

0 (Ω\Σ)

(supΦ∈L2

(∫

Ω

〈∇u,Φ〉 − 1

2

∫

Ω

|Φ|2)−∫

Ω

uf dx

).

Il n’est pas difficile de voir que l’ inf et le sup peuvent s’echanger, ce quiconduit a

supΦ∈L2

infu∈H1

0 (Ω\Σ)

(∫

Ω

〈∇u,Φ〉 − 1

2

∫

Ω

|Φ|2 −∫

Ω

uf dx

)

= supΦ∈L2

infu∈H1

0 (Ω\Σ)

(∫

Ω

u(divΦ− f)− 1

2

∫

Ω

|Φ|2),

ou nous avons utilise une integration par parties dans Ω \ Σ et le fait queu = 0 sur ∂Ω∪Σ pour obtenir la derniere egalite. L’infimum dans l’expression

28

precedente est −∞, sauf si div Φ = f dans Ω \ Σ. En conclusion nous avonsobtenu que

minu∈H1

0 (Ω\Σ)

(1

2

∫

Ω

|∇u|2 dx−∫

Ω

uf dx

)= −min

1

2

∫

Ω

|Φ|2 dx ; div Φ = f in Ω \ Σ.

Si nous definissons

D :=Φ ∈ L2(Ω); div Φ = f in Ω \ Σ

,

etB := (Φ,Σ) ; Σ compact connexe et Φ ∈ D,

alors le probleme de compliance (1.2.4) se reduit a

min(Φ,Σ)∈B

∫

Ω

|Φ|2 dx+ λH1(Σ). (1.2.6)

Jusqu’a present, tout peut se justifier rigoureusement et a d’ailleurs eteaussi utilise dans [a10] (voir Section 3.1). Pour aller plus loin, nous souhaitonsidentifier Φ comme un gradient. Pour ce faire, nous resolvons dans un premiertemps le probleme de Dirichlet

−∆g = f dans Ω

g = 0 sur ∂Ω

et appelons g la solution, qui depend de Ω et de f . Ainsi, le champ de vec-teur Φ + ∇g est a divergence nulle dans Ω \ Σ. Si le theoreme de De Rhams’appliquait, on pourrait en deduire que

Φ +∇g = ∇ΨT ,

pour un certain Ψ. Mais ceci est vrai uniquement sous des hypotheses topo-logiques sur Ω \ Σ (par exemple simplement connexe), qui n’est pas vrai engeneral. Supposons quand meme que cette hypothese soit satisfaite. Alors notreprobleme devient le probleme de type Mumford-Shah suivant

min(u,Σ)

∫

Ω

|∇u−G|2 + λH1(Σ),

ou G = ∇gT depend des donnees du probleme (Ω et f), et ou le minimum estpris sur tous les Σ ∈ K et u ∈ W 1,2(Ω \ Σ).

En exploitant cette dualite “localement”, nous avons pu identifier les limitesde blow-up des minimiseurs en faisant le lien, par dualite, avec les minimseursglobaux connexes de A. Bonnet [Bon96]. Ceci nous a conduit au Theoreme 4.

29

1.3 Probleme de distance moyenne

Soit Ω ⊂ R2 un ouvert borne, ℓ0 > 0 une constante, et µ une mesure de

probabilite sur Ω. Le probleme de distance moyenne est le suivant :

minΣ∈A

F(Σ) :=

∫

Ω

dist(x,Σ) dµ(x) (1.3.1)

ou l’infimum est pris sur Kℓ0, ensemble des compacts connexes Σ ⊂ Ω satisfai-sant la contrainte H1(Σ) ≤ ℓ0. Ce probleme aussi appele probleme “d’irriga-tion”, existe egalement sous la forme penalisee

minΣ∈K

H1(Σ) + F(Σ), (1.3.2)

qui est un exemple de probleme du type de (1.0.1). Les problemes contraintset penalises sont bien sur lies. Leur equivalence globale est un probleme diffi-cile mais l’equivalence “a l’ordre 1” est vraie [a1, Proposition 35]. En ce quiconcerne la theorie de la regularite, le probleme (1.3.2) est en general plussimple.

A l’origine il a ete introduit dans [BOS02] puis dans [BS03] dans une formu-lation plus generale liee au transport optimal. En effet, il est possible d’ecrireun probleme de transport entre deux mesures µ+ et µ− equivalent a (1.3.1)pour lequel la solution resout l’equation de Monge-Kantorovitch avec Σ comme“region de Dirichlet libre”.

Une autre facon de voir apparaıtre le probleme (1.3.2), est de prendre lalimite p → +∞ du probleme de p-Compliance. C’est a dire, si l’on change leLaplacien standard avec le p-Laplacien dans le probleme (1.2.4) de la sectionprecedente, alors la Γ-limite lorsque p → +∞ est donnee par le probleme dedistance moyenne (1.3.2).

Un interpretation possible du Probleme (1.3.1) est la suivante. On peutconsiderer Σ comme une ressource de longueur finie, (par exemple de l’eau dansdes tuyaux) que l’on souhaite disposer dans Ω de facon a ce que le cout moyendes personnes vivant dans Ω voulant atteindre la ressource, est optimal, comptetenu de la densite de population donnee par µ. Nous renvoyons a [BS03, Ste06,PS04, BOS02, BPSS09] pour d’autres interpretations du Probleme (1.3.1).

L’etude de la regularite des minimiseurs pour le Probleme (1.3.1) est unelongue histoire. Tout d’abord, l’article pionier [BS03] contient une etude topo-logique. Il est montre qu’un minimiseur Σ n’a pas de boucle (image homeomorphiqued’un cercle), et consiste en une union finie de courbes (Lipschitz) se joignantavec les angles de 120.

La regularite d’ordre superieure est plus delicate. Un ingredient principaldans l’etude de la distance moyenne est la mesure image de µ par l’applicationπΣ de projection au point le plus proche dans Σ. Plus precisement, si µ necharge pas le “Ridge set” de Σ (ce qui est le cas par exemple si µ est regulierepar rapport a Lebesgue), alors il est possible de choisir une selection mesurable

30

de la multifonction πΣ, c’est a dire une application πΣ : Ω → Σ telle qued(x,Σ) = d(x, πΣ(x)). Alors on peut considerer ψ definie par

ψ(A) := µ((πΣ)−1(A)), pour tout Borelien A ⊂ Ω. (1.3.3)

En d’autre termes, ψ = πΣ♯µ. Cette mesure ψ est supportee sur Σ et dependdonc de Σ lui meme. La mesure ψ est en realite reliee a la courbure de Σ,comme nous le verrons plus tard.

Afin de mettre en evidence la difficulte du probleme de regularite des mini-miseurs de la distance moyenne (sous forme penalisee par la longueur (1.3.2)),essayons de controler son defaut de minimalite pour faire le lien avec les presqueminimiseurs de longueur.

Si L est un competiteur pour Σ dans la boule B de rayon r > 0 alors onobtient

H1(Σ ∩ B) ≤ H1(L ∩B) + (F(L)− F(Σ)) .

Maintenant, essayons d’estimer F(L) − F(Σ) en terme de r. Puisque L = Σen dehors de B = B(x, r), nous obtenons

F(L)− F(Σ) =

∫

π−1Σ

(B(x,r))

(dist(x, L)− dist(x,Σ))dµ(x)

≤ rψ(B(x, r)), (1.3.4)

ou nous avons utilise l’estimation de base dist(x, L)−dist(x,Σ) ≤ r. En conclu-sion, le defaut de minimalite de Σ en tant presque minimiseur de longueur,depend du comportement de ψ(B(x, r)), qui en general n’est pas equivalenta Crα quand r → 0. Par exemple si des Σ contient un “coin”, et si µ est lamesure de Lebesgue, alors ψ(B(x, r)) ne tend meme pas vers 0 ce qui n’est pasexclus a priori.

Il y a tout de meme un cas particulier ou ψ(B(x, r)) ≤ Cr, c’est celui ou lediametre de π−1

Σ (B(x, r)) est suffisamment petit, par exemple si x est un pointtriple. Ceci a ete demontre dans [ST05].

En effet, dans [ST05], F. Santambrogio and P. Tilli ont obtenu deux resultatsimportants. Le premier concerne l’etude des blow-up de Σ. Ils ont montre quela suite de blow-up Σr := 1

r(Σ ∩ B(x, r) − x) converge dans B(0, 1) quand

r → 0, et la limite peut etre un rayon (x est un point terminal), un diametre(x est un point ordinaire), 3 rayons qui forment un angle de 120(x est unpoint triple), ou deux rayons qui forment un angle different de 180 (x est unpoint angulaire).

Σ0(x) =rayonx point terminalψ(x) > 0

Σ0(x) =diametrex point platψ(x) = 0

Σ0(x) =coinx point angulaire

ψ(x) > 0

Σ0(x) =tripodx point tripleψ(x) = 0

31

Le deuxieme resultat est une condition suffisante pour avoir de la regulariteC1,1 au voisinage d’un point x ∈ Σ, en fonction du diametre des points qui sontprojetes sur Σ∩B(x, r). Puisque cette condition est satisfaite au voisinage detout point triple, ils ont obtenu que Σ est une union de trois courbes C1,1 auvoisinage de tout point triple.

Le resultat que nous presentons ci apres, concerne la regularite de Σ en de-hors des points triples. Nous avons montre que Σ est localement, aussi regulierque le graphe d’une fonction convexe. C’est a dire que Σ est localement ungraphe, et qu’il admet une tangente a droite et a gauche, et que celles-ci ad-mettent des limites a gauche et a droite.

Plus precisement, pour une parametrisation donnee γ d’un morceau d’arcsimple Γ ⊂ Σ, grace a l’existence des limites de blow-up on peut definir lestangentes a gauche et a droite suivantes en tout point x ∈ Γ,

TR(x) := x+ R+. lim

h→0+

γ(t0 + h)− γ(t0)

h

TL(x) := x+ R+. lim

h→0+

γ(t0 − h)− γ(t0)

h

Alors nous avons de theoreme suivant.

Theoreme 5. ([a1]) Soit Γ ⊂ Σ un arc simple. Alors les tangentes a droite eta gauche x 7→ TR(x) et x 7→ TL(x) admettent des limites a gauche et a droitequi sont

limy→y0y<γy0

TL(y) = TL(y0) et limy→y0y>γy0

TR(y) = TR(y0).

ainsi que

limy→y0y>γy0

TL(y) = TR(y0) et limy→y0y<γy0

TR(y) = TL(y0).

Un corollaire interessant, qui est en realite le veritable but du Theoreme5, est un resultat de regularite C1 en dehors des points angulaires. C’est adire qu’on passe de “differentiable partout” a C1, ce qui constitue une petiteavancee supplementaire.

Corollaire 6. ([a1]) Supposons que Γ ⊂ Σ soit un ouvert relatif de Σ necontenant aucun point angulaire, ni de points triples. Alors Γ est localementune courbe C1.

Plus tard dans [Sle14], Slepcev a demontre qu’il existait un minimiseurcontenant un point angulaire (pour une mesure µ absolument continue parrapport a la mesure de Lebesgue). De ce fait, le Theoreme 5 ne peut pas etreameliore.

La strategie de preuve pour le Theoreme 5 est totalement differente de lapreuve classique de regularite pour les presque minimiseurs de longueur. L’idee

32

est d’utiliser d’une part la regularite locale C1,1 (d’apres [ST05]) lorsque lediametre des rayons de transport est petit, et d’autre part le fait que Σ restecoince en dehors de grand cercles pour controler l’oscilation des tangenteslorsque le diametre des rayons de transport est grand. La difficulte etant deconcilier ces deux arguments pour les faire fonctionner ensemble.

Par suite nous exploitons aussi l’equation premiere d’Euler-Lagrange afind’obtenir des estimations de type BV sur la courbe. Dans [BMS09], G. But-tazzo E. Mainini et E. Stepanov on calcule l’equation premiere pour la fonc-tionnelle penalisee.

F(Σ) + λH1(Σ).

Soit Φε : R2 → R2 un groupe a un parametre de diffeomorphismes definipar

Φε := Id + εX, (1.3.5)

ou X ∈ C∞0 (R2;R2). Soit Σε := Φε(Σ). Alors

d

dεdist(x,Σε)

∣∣∣∣ε=0

= 〈∇dist(x,Σ),X(πΣ(x))〉 =⟨πΣ(x)− x

|πΣ(x)− x| ,X(πΣ(x))

⟩.

(1.3.6)ce qui conduit a

d

dε

[∫

Ω

dist(x,Σε) dµ(x)

] ∣∣∣∣ε=0

=

∫

Ω

⟨∇dist(x,Σ),X(πΣ(x))

⟩dµ(x).

Dans [a1] on montre l’existence d’un λ0 pour lequel l’equation d’Euler pourle probleme penalise est aussi satisfaite pour le probleme contraint. La methodeetait deja connue de F. Santambrogio and P. Tilli [ST05], elle consiste a estimerle gain et la perte dans la fonction distance moyenne lors de l’ajout ou du retrait(respectivement) d’un morceau d’ensemble localement au voisinage d’un pointterminal du minimiseur, et d’estimer le resultat en fonction de la longueur dumorceau en question. On peut meme obtenir une valeur precise pour λ0, quicorrespond en quelque sorte a une “derivee de forme”, dependant de la massetotale se projetant sur un point terminal.

Toujours dans [a1], a l’aide d’une estimation sur le “tilt” (controle de l’oscil-lation des tangentes dans une boule par rapport a une droite fixee) on montreque le minimiseur est localement, en dehors des points triples, un graphe. Enappliquant l’equation d’Euler sur ce graphe on obtient le resultat suivant.

Proposition 7. ([a1]) Pour tout point x ∈ Σ qui n’est ni un point terminal, niun point triple, il existe r > 0, une droite π ⊂ R

2 contenant x et une fonction5-Lipschitz f : π → π⊥ telle que

Σ ∩ B(x, r/4) = (x, f(x)), x ∈ π ∩ B(x, r/4), et

∫

π∩B(x, r16

)

|f ′(t)|2dt ≤ Crψ(B(x, r))2.

33

De plus, f ′ satisfait l’equation de “courbure”

− d

dt

(f ′

√1 + |f ′|2

)= ψ0

sur B(x, r16) ∩ π. Ici d

dtest la derivee au sens des distributions, et ψ0 est une

mesure verifiant|ψ0| ≤ (p πΣ)♯µ

ou p : R2 → π est la projection sur π.

Un autre resultat interessant concernant le probleme de distance moyenne,est celui de P. Tilli [Til10], qui demontre que toute courbe injective C1,1 estun minimiseur dans son propre ε-voisinage (pour la mesure de Lebesgue). Lapreuve est tres elegante et se fait en quelques lignes seulement.

C’est ce travail qui a inspire l’etude d’une variante, ou l’on minimise nonplus sur les connexes, mais cette fois sur les convexes. C’est a dire, etantdonnes des constantes λ1, λ2 ∈ [0,+∞), un domaine Ω ⊂ R2 et une mesure µ,on considere

minK⊂Ω,K convex

F(K) + λ1V ol(K) + λ2Per(K), (1.3.7)

ou F est toujours la meme fonctionnelle de distance moyenne que celle definieen (1.3.1).

Ici les constantes λ1 et λ2 peuvent eventuellement etre nulles (mais pastoutes les deux), ce qui change la penalisation et par consequent la nature duprobleme.

Une instance interessante du probleme est celle de la double penalisationen volume et perimetre. Dans ce cas, nous pouvons appliquer l’argument deTilli [Til10] pour demontrer que tout convexe est minimiseur.

Theoreme 8. (A. Lemenant, E. Mainini [a2]) Soit µ = L2. Soit K0 ⊂ R2 unensemble convexe tel que Per(K0) = ℓ et V ol(K0) = V . Alors pour tout T > 0,K0 est minimiseur de F dans la classe des convexes K tels que Per(K) = ℓet V ol(K) = V , pour Ω = ΩT := dist(x,K0) < T.

L’une des motivations pour le theoreme 8 est d’exhiber un probleme d’op-timisation de forme pour lequel les minimiseurs sont peu reguliers.

Dans le meme article, nous calculons la derivee d’ordre deux de la fonc-tionnelle de distance moyenne. Meme si celle-ci s’applique aussi dans le casd’une courbe, avec les memes notations que precedemment, voici le resultatseulement dans le cas ou K est convexe

d2

dε2F(Kε)

∣∣∣∣ε=0

=

∫

Ω\K

(|Xτ (π

Σ(x))|22|x−πΣ(x)| −

(〈x−πΣ(x),∇X(πΣ(x))⊗f1〉 − 〈f1,X(πΣ(x))〉

)2

2|x− πΣ(x)| (1− 2〈x− πΣ(x), f2〉)

)dµ(x).

34

ou Kε = Φε(K), Φ est comme dans (1.3.5), et f1 et f2 sont definies par

f1 := f ′(tx), f2 :=1

2f ′′(tx),

ou f est une parametrisation du bord de K par longueur d’arc, et tx est telque f(tx) = x.

Ce calcul est interessant en soi, mais permet egalement de demontrer letheoreme suivant, dont la preuve repose sur un argument d’ordre 2.

Theoreme 9. (A. Lemenant, E. Mainini [a2]) Un polygone n’est jamais mi-nimiseur pour le probleme (1.3.7) si λ1 = 0 ou λ2 = 0.

35

Chapitre 2

Etude asymptotique au bout d’une fis-sure

2.1 En mecanique de la rupture 2D

La fonctionnelle de Mumford-Shah est utilisee dans certains modeles d’evo-lution de fissure en elasticite linearisee. Il est alors interessant d’etudier lecomportement de cette fissure au cours du temps. Cela revient a etudier lasolution d’une EDP au point terminal d’une fissure, qui en general est tres peureguliere (typiquement, un compact connexe dont le blow-up en l’origine estun segment).

2.1.1 Introduction du modele

Selon la theorie de Griffith, la propagation d’une fissure dans un solideelastique est gouvernee par la competition entre l’energie pour produire une fis-sure, qui est proportionnelle a sa longueur, et le gain correspondant de l’energiepotentielle. Une formulation variationnelle de cette idee due a Francfort etMarigo [FM98] est basee sur l’evolution quasi-statique d’une energie de typeMumford-Shah.

Si Ω ⊂ RN (typiquement N = 3, ou N = 2) est la configuration de referenced’un object elastique soumis au deplacement u : Ω → RN avec donnee u = gsur ∂Ω, l’energie elastique est donnee par

1

2

∫

Ω

Ae(u) : e(u) dx, (2.1.1)

ou e(u) = 12(Du + DuT ) est le gradient symetrise u, la notation “ : ” est le

produit scalaire entre matrices, et A est le tenseur d’ordre quatre de Hook

Ae = λTr(e)Id+ 2µe.

Les constantes λ > 0 et µ > 0 designent les coefficients de Lame, et lesminimiseurs de cette energie de “type Dirichlet” (2.1.1) sont solutions d’une

36

equation elliptique appelee systeme de Lame. Pour une fissure donnee K ⊂ Ω,la valeur

E(K, g) := minu∈LD(Ω\K);u=g on ∂Ω

1

2

∫

Ω

Ae(u) : e(u) dx, (2.1.2)

sera appelee “energie” du systeme (l’espace LD designe les u ∈ L2 tels quee(u) ∈ L2).

Il existe un cas particulier nomme “anti-plan”, pour lequel l’energie (2.1.1)redonne exactement l’energie de Dirichlet classique. Ceci se produit dans lecas ou le domaine est un cylindre Ω × R, avec Ω ⊂ R

2, et en supposant lafissure invariante verticalement. Sous ces hypotheses, le probleme se reduit aun probleme scalaire purement 2D, et l’energie en jeu se resume a l’energie deMumford-Shah classique. Il est donc souvent utile de reduire l’etude a ce casparticulier comme premiere approche aux problemes des fissures, pour lequelles outils developpes pour la fonctionnelle de Mumford-Shah peuvent servir ets’appliquer directement.

Mais une autre reelle difference avec le probleme de Mumford-Shah residedans le fait que la progression de la fissure est un probleme d’evolution quidepend du temps.

Pour simplifier, nous nous restreignons au cas de la dimension N = 2. L’ideede Francfort et Marigo est de considerer, pour une charge exterieure donneedependant du temps g(t) sur ∂Ω, l’evolution quasi-statique de l’energie de typeMumford-Shah suivante

1

2

∫

Ω\KAe(u) : e(u) dx+ κH1(K), (2.1.3)

ou κ > 0 est une constante.La fonctionnelle (2.1.3) ressemble a une simple variante de la fonctionnelle

de Mumford-Shah, mais ce n’est qu’une simple analogie qui peut etre trom-peuse. En effet, la plupart des resultats attendus a propos des minimiseursde cette fonctionnelle sont difficiles et toujours ouverts a ce jour. A commen-cer par l’existence d’un minimiseur, au sens fort. Il n’y a pas d’analogue autheoreme de De Giorgi-Carriero-Leaci [DGCL89] pour cette fonctionnelle. Iln’existe pas non plus de resultat de regularite quel qu’il soit.

La construction du processus evolutif est la suivante : d’abord on discretisele temps par 0 < t1 < · · · < tk < tk0. Puis, on construit (uk, Kk) par recurrence.Si le couple est deja construit au temps k, alors (uk+1, Kk+1) est la solution duprobleme

min(u,K);K⊇Kk; u=g(tk+1) sur ∂Ω

1

2

∫

Ω\KAe(u) : e(u) dx+ κH1(K)

. (2.1.4)

Puis, on fait tendre maxk |tk − tk+1| vers zero et on passe a la limite. Cecidonne un couple dependant du temps (u(t), K(t)) qui satisfait les criteres im-poses par Griffith’s, qui se trouvent etre les conditions d’optimalite associes a

37

cette construction variationelle. La premiere justification rigoureuse de cetteconstruction a ete donnee par Dal Maso et Toader [DMT02] dans le cadresimple 2D anti-plan, puis etendue dans differentes directions par d’autres au-teurs [Cha03, DMFT05, FL03, BG12].

Bien que le veritable objet d’etude se trouve etre l’evolution de la fissuredependant du temps K(t), certains resultats interessants sont obtenus a tempsfixe t0. Ainsi, les outils classiques provenant de la theorie sur la fonctionnelle deMumford-Shah se revelent assez utiles. La question generale etant la suivante :etant donne une pre-fissure K(t0) au temps t0, comment devrait se comporterl’evolution de la fissure dans le future proche de t0 ? est-ce continu en temps ?par ou la fissure devrait progresser ? et dans quelle direction ?

Des exemples de quantites physiques liees a ces questions sont par exemplele “taux de restitution d’energie” et le “facteur d’intensite des contraintes”, quisont l’objet de nombreux articles, dont [a5, a6] que nous presentons ci dessous.

Enfin, il existe aussi des variantes de (2.1.4) plus compliquees, comme parexemple remplacer H1(K) par

∫Kf(|u+ − u−|)dH1 pour une certaine fonc-

tion f avec un profil bien particulier, qui permettent l’etude d’autres modelesmecaniques tels que la plasticite. Des approximations par “champ de phase”sont egalement interessantes a etudier comme par exemple celle proposee par[a8] qui a ete utilisee plus tard dans [Iur13] pour des modeles d’endommage-ment (voir aussi [Bab11]).

2.1.2 Taux de restitution d’energie

Au cours de l’evolution quasistatique, la fissure K(t) est en equilibre entout temps, ce qui implique que l’energie totale ne peut etre diminuee autemps t0 par l’ajout d’une fissure supplementaire. Plus precisement, pour toutK ⊇ K(t0) tel que K(t0)∪K est connexe, et pour tout u satisfaisant u = g(t0)sur ∂Ω \ (K(t0) ∪K), on doit avoir

E(K(t0), g(t0)) + κH1(K(t0)) ≤∫

Ω\(K(t0)∪K)

Ae(u) : e(u) dx+ κH1(K).

En ce sens, la propagation de la fissure depend de la force exterieure g, et unecondition necessaire pour que celle-ci apparaisse, est que la limite du premierordre de l’energie elastique

lim suph→0+

E(K(t0 + h), g(t0 + h))− E(K(t0), g(t0))

h, (2.1.5)

soit superieure a κ. La limite en (2.1.5) peut s’interpreter comme etant le tauxde restitution d’energie le long du chemin de fissure, et fait l’objet de plusieurstravaux recents [CGP08, CFM10, CFM09, KKT10, LT11]. En particulier onpeut voir la limite dans (2.1.5) comme une Γ-limite, celle-ci etant la limite devaleurs minimales.

Une autre quantite interessante est le facteur d’intensite des contraintes :si K est une demi-droite (pour simplifier), et si u est le minimiseur de l’energie

38

elastique associee, dans le cas scalaire u est une fonction harmonique (plusgeneralement satisfait une E.D.P. elliptique) avec condition de Neumann surK, donc peut etre decomposee en harmoniques spheriques dans le domaineconique R2 \ K. La premiere fonction non constante dans ce developpementest de la forme C

√r sin(θ/2). C’est aussi la fonction la plus singuliere (donc

d’energie la plus grande). Maintenant si K n’est plus une demi-droite maisconverge assymptotiquement vers une demi-droite aux petites echelles, alorsune version normalisee du blow-up de u converge vers une fonction du typeC√r sin(θ/2). La constante C en facteur est ce que nous appelons le facteur

d’intensite des contraintes. Le but de l’article [a5] est de justifier de faconrigoureuse ces faits.

Tout d’abord, remarquons que la constante C est reliee a la quantite sui-vante

limr→0

1

r

∫

Br\K|∇u|2 dx, (2.1.6)

sous reserve que celle-ci existe. En un certain sens cette constante quantifiele gain en terme d’energie pour un petit increment de au bout de la fissure.L’existence de la limite dans (2.1.6) (dans le cas scalaire) decoule d’un ar-gument de monotonie du a Bonnet [Bon96]. Ceci est la premiere etape pourmontrer la convergence du blow-up de u vers la fonction C

√r sin(θ/2), lorsque

K est seulement compact, connexe, avec densite 1/2 au bout. Ceci fait l’objetde l’article [a5] dont voici un enonce precis.

Dans le cas scalaire, le probleme de minimisation decrit dans (2.1.2) devientsimplement

min

(µ

2

∫

Ω\K(t0)

(A∇u) · ∇u dx), (2.1.7)

ou le minimum est pris sur toutes les fonctions u ∈ H1(Ω\K(t0),R) satisfaisantu = g(t0) sur ∂Ω \K(t0).

Theoreme 10. (A. Chambolle, A. Lemenant [a5]) Soit K := K(t0) ⊂ Ω ⊂ R2

un compact connexe et u la solution du probleme (2.1.7) pour des coefficientsα-holderien A : Ω → S2×2. Supposons que x0 ∈ K ∩ Ω est un point de densite1/2, c’est a dire,

lim supr→0

H1(K ∩B(x0, r))

2r=

1

2

et que A(x0) = Id (pour simplifier). Alors la limite

limr→0

1

r

∫

B(x0,r)\K(A∇u) · ∇u dx (2.1.8)

existe, et est finie. De plus en notant C0 la valeur de cette limite et considerantRr une certaine famille de rotation, et en posant

g(r, θ) := u(0) +

√2C0

πsin(θ/2), (r, θ) ∈ [0, 1]× [−π, π],

39

alors la suite de blow-up ur := r−12u(rRr(x − x0)) converge vers g et ∇ur

converge vers ∇g tous deux fortement dans L2(B(0, 1)) pour r → 0.

Par suite, nous avons effectue un travail similaire dans dans le cas vectoriel[a6], avec la difference majeure que dans ce cas, la monotonie de l’energienormalisee n’est pas connue. Par consequent, tout est demontre “a sous suitepres” et l’existence d’une vraie limite n’est pas sure.

En revanche, a extraction de sous suite pres, le taux de restitution d’energiepeut etre identifie comme un probleme de minimisation dans l’espace entier.Ceci a d’abord ete demontre dans [CFM10], en faisant l’hypothese que Kest exactement un segment pres de l’origine, tandis que dans [a6] dans avonsgeneralise ce resultat a des cas plus singuliers, c’est a dire des fissures com-pactes, connexes, avec densite 1/2 a l’origine.

Notons par K(Ω) l’ensemble des compacts connexes de Ω.

Theoreme 11. (J.-F. Babadjian, A. Chambolle, A. Lemenant [a6]) Soit K ∈K(Ω) une prefissure avec densite 1/2 a l’origine (i.e. 1

rH1(K∩Br(0)) →

r→01) et

soit (Γε)ε>0 une suite d’increments de fissure dans K(Ω) telle que supεH1(Γε) <∞, et Γε → Γ au sens de Hausdorff dans Ω. Soit E(K, g) comme defini en(2.1.2), et soit uK le minimiseur de E(K, g). On note egalement Σ0 la demi-droite a gauche sur l’axe des abscisses et soit uΣ0

la fonction 1/2-homogenequi intervient a la limite du blow-up de uK, a rotation et sous-suite pres. Cettelimite existe. Plus precisement, pour toute suite (εn) ց 0+ , il existe une sous-suite (εk) ≡ (εnk

) ց 0+ et une rotation R ∈ SO(2) telle que uj − uj convergevers u(0) + uΣ0

, et

limk→∞

1

εk

(E(K ∪ εkΓεk , g)−E(K, g)

)= F(Γ) (2.1.9)

ou F est definie par

F(Γ) := minw∈LD(R2\(Σ0∪R(Γ)))

12

∫

R2

Ae(w) : e(w) dx+

∫

BR

Ae(uΣ0) : e(w) dx

−∫

∂BR

Ae(uΣ0) : (w ⊙ ν)dH1

, (2.1.10)

et R > 0 est n’importe quel rayon verifiant Γ ⊂ BR.

Une question naturelle qui intervient ensuite est d’etudier les minimiseursde (2.1.10), parmi tous les Γ satisfaisant H1(Γ \ Σ0) ≤ ℓ, c’est a dire cherchera identifier l’ensemble qui donnerait lieu a un taux de restitution d’energiemaximal. Ceci peut etre fait pour le cas scalaire au moins. Dans ce cas, lafonctionnelle F se reduit a

J (Γ) := minu∈H1(R2\(Σ0∪Γ))

12

∫

R2

|∇u|2 dx+∫

BR

〈∇(uΣ0),∇u〉 dx

−∫

∂BR

uΣ0

∂u

∂νdH1

. (2.1.11)

Alors on a :

40

Proposition 12.J ([0, ℓ]) = min

Γ ;H1(Γ\Σ0)≤ℓJ (Γ).

La preuve repose sur le fait que la fonction cracktip est un minimiseur globalde Mumford-Shah [BD01], et d’une astuce due a Guy David (voir [a21]).

2.2 En 3D pour les minimiseurs de Mumford-

Shah

Comme nous l’avons mentionne precedemment, la fonction cracktip (en co-ordonnees polaires :

√r2π

sin(θ/2)) est un minimiseur global de Mumford-Shahdans R2, et ceci a permis de comprendre un peu mieux le taux de restitutiond’energie en mecanique de la rupture (2D). En dimension superieure, tres peude choses sont connues. Dans ce chapitre nous etudions une situation un peuanalogue en dimension 3, a savoir la fonction cracktip×R dont l’ensemble sin-gulier est un demi-plan. Rappelons d’abord la definition precise de minimiseurglobal.

Soit A l’ensemble des couples (u,K) tels que K ⊂ RN est ferme et u ∈H1(B(0, R) \K) pour tout R > 0. Soit B ⊂ RN une boule. On dit que (v,K)est un competiteur pour (u,K) dans la boule B si u = v dans RN \ B d’unepart, si K \ B = L \ B d’autre part, et si de plus la condition topologiquesuivante est satisfaite : pour tout couple de points x, y ∈ R

N \K tels que x ety se trouvent dans des composantes connexes differentes de RN \K, alors x ety se trouvent aussi dans des composantes connexes differentes de RN \ L.

Definition 13. Un minimiseur global de Mumford-Shah dans RN est un couple(u,K) ∈ A est tel que pour tout couple competiteur (v, L) ∈ A pour (u,K)dans la boule B on ait

∫

B\K|∇u|2 dx+HN−1(K ∩B) ≤

∫

B\L|∇v|2 dx+HN−1(L ∩ B).

La liste des minimiseurs globaux de Mumford-Shah en dimension 2 estconnue dans le cas ou K est connexe : K est alors une droite ou un “pro-pulseur” (trois demi-droites se joignant en formant des angles egaux et u estalors localement constante), ou bien une demie-droite et u la fonction cracktip.Cette classification est due a Bonnet [Bon96] et repose sur le fait que, si (u,K)est un minimiseur global de Mumford-Shah dans R2 et si K est connexe, alorspour tout x ∈ K la fonction

r 7→ 1

r

∫

B(x,r)\K|∇u|2 dx

est croissante. Une facon de demontrer la celebre conjecture de Mumford-Shah,serait d’obtenir la meme classification sans supposer que K soit connexe.

41

Il n’existe pas de monotonie de l’energie analogue en dimension superieure,sauf dans un cas particulier qui fera l’objet de la section suivante.

Une question naturelle est de determiner la liste possible des minimiseursglobaux de Mumford-Shah en dimension 3. Sur cette question, le peu de chosesque nous savons est resume ci dessous.

Soit (u,K) un minimiseur global de Mumford-Shah dans R3. Alors :

1. si u est localement constante, alors K est un cone minimal de type P

(un plan), Y (3 demi plan se joignant avec angles egaux) ou T (cone surles arretes d’un tetraedre regulier).

2. le couple (u,K) ou K est un demi-plan et u est la fonction cracktip×R,(c’est a dire la fonction cracktip constante verticalement), est un mi-nimseur global de Mumford-Shah.

3. siK est un demi-plan, alors u est forcement, a constante pres, la fonctioncracktip× R.

4. si u n’est pas localement constante et si K est un cone suffisammentregulier, alors la restriction de u a S

N−1 \K est une fonction propre duLaplacien Neumann pour la valeur propre 3/4.

5. siK est un cone et intersecte la sphere en formant des domaines convexesstrictement inclus dans des demi-spheres, alorsK est un cone de de typeP, Y, ou T.

6. si K est inclus dans un demi-plan, alors c’est forcement le demi-plantout entier.

Le point 1. a ete demontre par G. David dans [Dav09]. Les points 2 a5 proviennent de ma these [a28]. Dans la suite nous developperons le point6. qui a ete demontre plus recemment dans [a7], et qui fait l’objet des deuxprochaines sections.

2.2.1 Une formule de monotonie en dimensions plus grandes

L’un des outils majeurs au coeur de la classification des minimiseurs glo-baux de Mumford-Shah en dimension 2 et du theoreme de Bonnet [Bon96],est la formule de monotonie pour l’energie de Dirichlet. Malheureusemnet, iln’existe pas de monotonie aussi generale connue en dimension superieure. Enrevanche, dans le cas particulier ou l’ensemble singulier est inclus dans un cone,on peut demontrer une certaine formule de monotonie [a7]. C’est ce que nouspresentons dans cette section.

Definition 14. Si N ≥ 3, un ensemble ferme K ⊂ RN sera appele “cone de

Neumann” si les trois proprietes suivantes sont satisfaites :

1. K est un cone.

2. K ∩ SN−1 est (N − 2)-rectifiable et HN−2(K ∩ SN−1) < +∞.

3. L’injection W 1,2(SN−1 \K) → L2(SN−1) est compacte.

42

Il est facile de voir qu’un hyperplan dans RN contenant l’origine, ou un

demi-plan, sont des cones de Neumann. De plus, lorsque K est un cone de Neu-mann, alors le Laplacien-Neumann admet un spectre discret. Nous noteronsλ1(S

2 \ K) la premiere non nulle. C’est aussi le cas pour n’importe quel en-semble K contenu dans un cone de Neumann, car l’injectionW 1,2(SN−1\K) →L2(SN−1) reste compacte.

Voici maintenant un exemple d’enonce concernant la monotonie de l’energie.On appelle minimiseur local d’energie dans RN \K, une fonction u qui mini-mise localement

∫RN\K |∇u|2dx dans R

N \ K. Cette fonction est harmonique

dans RN \K avec condition de type Neumann sur K, c’est a dire avec deriveenormale nulle sur K, au sens faible.

Lemme 15. ([a7]) Soit K ⊂ RN un ensemble ferme et γ > 0 satisfaisant leshypotheses suivantes

1. K est contenu dans un cone de Neumann.

2. ∂Br \K est connexe pour presque tout r > 0.

3. Pour presque tout r > 0, la premiere valeur propre du Laplacien-Beltrami-Neumann sur ∂Br \K satisfait λ1(∂Br \K) ≥ γ/r2.

Alors pour tout minimiseur local d’energie u dans RN \K on a

ϕ : r 7→ 1

rα

∫

Br

|∇u|2|x|N−2

dx (2.2.1)

est croissante, ou α est defini par

α = α(N, γ) =√(N − 2)2 + 4γ − (N − 2).

De plus, si ϕ(r) est constante (non nulle) sur un intervalle [a, b] alors pourpresque tout r ∈ [a, b] la valeur γ/r2 est la premiere valeur propre de l’operateurNeumann-Laplace-Beltrami sur ∂Br \K et la restriction de u sur ∂Br \Kestune fonction propre.

2.2.2 Un theoreme de rigidite pour les minimiseurs glo-baux

En guise d’application de notre nouvelle formule de monotonie, nous avonsobtenu un resultat qui repond partiellement a la question suivante posee parG. David [Dav05] :

“Si (u,K) est un minimseur global de Mumford-Shah dans R3 avec K nonvide, et si K est inclus dans un plan, alors ca doit etre un plan ou un

demi-plan.”

En realite, cette question m’a ete posee pendant ma these et voici ce quej’ai obtenu dix ans plus tard.

43

Theoreme 16. ([a7]) Soit (u,K) un minimiseur global reduit de Mumford-Shah dans R3 avec K contenu dans un demi-plan, en touchant sa tranche.Alors K est le demi-plan tout entier.

Elements de preuve. On peut sans perte de generalite supposer que l’origineest situee sur la tranche du demi-plan, et contenue dans K. Il est connu quela premiere valeur propre (Neumann) sur la sphere privee d’un demi-equateurvaut 3/4. Grace a la propriete de monotonie de la valeur propre par rapportau fait d’enlever un ensemble de capacite nulle, on en deduit que nous sommesexactement dans les conditions d’application du Lemme 15 avec γ = 3/4 carK est contenu dans un demi-plan. Ainsi,

ϕ(r) :=1

r

∫

Br\K

|∇u|2|x|N−2

est croissante, et les limites en 0 et en +∞ existent, notons les par f0 et f∞.Il est facile de voir que f0 et f∞ sont finies, grace a une estimation classiquedes minimiseurs de Mumford-Shah, donc f0 ≤ f∞ < +∞.

On peut egalement montrer que f0 > 0. En effet, sinon, pour r > 0 assezpetit on aurait

1

rN−1

∫

Br\K|∇u|2 ≤ 1

r

∫

Br\K

|∇u|2|x|N−2

≤ ε0,

ou ε0 est celui du theoreme principal dans [a24]. Mais alors K ∩ Bcr devraitetre l’image d’un cone minimal mais une application C1 contenant 0 en soninterieur, ce qui contredit le fait que 0 se trouve sur la tranche du demi-plancontenant K. On en deduit donc que f0 > 0.

Maintenant nous considerons des limites de blow-in et blow-up. On com-mence par le blow-up. Soit uk := 1√

rku(rkx) et Kk := 1

rkK avec rk → 0.

On peut alors extraire une sous-suite telle que (uk, Kk) converge vers (u0, K0)en un certains sens que nous ne precisons pas ici, et (u0, K0) est encore unminimiseur global (reduit) de Mumford-Shah avec K0 qui satisfait encore leshypotheses 1, 2, et 3 du theoreme 15. De plus, pour tout R > 0 et k ∈ N on a

1

R

∫

BR

|∇uk|2|x|N−2

dx =1

rkR

∫

BrkR

|∇u|2|x|N−2

dx −→k→+∞

f0. (2.2.2)

D’autre part, on sait que ∇uk converge vers ∇u0 dans L2(BM) pour toutM > 0. Il est en realite possible de montrer la convergence, plus forte, suivante

∫

BR

|∇uk|2|x|N−2

dx −→k→+∞

∫

BR

|∇u0|2|x|N−2

dx. (2.2.3)

En retournant a (2.2.2), on obtient

1

R

∫

BR

|∇u0|2|x|N−2

dx = f0, ∀R > 0.

44

Mais puisque f0 6= 0, La conclusion du lemme 15 nous dit que λ1(∂BR \K0) =3/4 pour presque tout R > 0, et il s’en suit que K0 est un demi-plan, et doncu0 est Cracktip× R, a constante additive pres.

Enfin, en raisonnant de maniere analogue pour u∞ on conclue que u∞ estaussi la fonction

√2r/π sin(θ/2), comme u0, donc f0 = f∞. Mais par monoto-

nie on en deduit que ϕ(r) est constant sur (0,+∞), donc K est forcement undemi-plan.

Malheureusement, la technique utilisee ne permet pas pour l’instant derepondre totalement a la question, et ceci masque sans doute un probleme,en realite, plus profond. Le fait est que lorsque K est inclus dans un demi-plan, on controle la premiere valeur propre non nulle du Laplacien-Neumannsur la sphere privee de K, avec la bonne constante (i.e. 3/4). Ceci conduit ala monotonie de l’energie normalisee avec la bonne puissance (i.e. rN−1). Enrevanche, si K est un inclus dans un plan, le controle de cette valeur propren’est plus possible, ce qui ne permet pas d’utiliser la formule de monotonie.

45

Chapitre 3

Approximation par champ de phase

Dans ce chapitre, on s’interesse a l’approximation “par champ de phase”des problemes evoques dans les chapitres precedents, entre autres. La mo-tivation principale d’une telle approximation est de pouvoir en deduire unemethode numerique, mais pas seulement. En effet, la fonctionnelle d’approxi-mation est parfois interessante pour elle meme, comme dans le paragraphe 3.1ou la fonctionnelle est utilisee dans un modele de plasticite.

De surcroıt, l’origine meme de la methode par champ de phase provientde certains modeles de transitions de phase introduits en premier lieu par desphysiciens. Notamment, le modele de Cahn est Hilliard est souvent le plus cite,ou deux phases differentes d’un meme liquide sont contenues dans un recipientΩ, representes par une fonction ϕ : Ω → [0, 1]. L’ensemble ϕ = 1 est le lieude la premiere phase pure, l’ensemble ϕ = 0 de la seconde, et l’ensembleϕ ∈]0, 1[ est la region de “transition”, ou le liquide est ni purement en phase1, ni purement en phase 0. Dans la version la plus simple du modele de Cahnet Hilliard, cette region de transition tend a minimiser l’energie suivante

MMε(ϕ) := ε

∫

Ω

|∇ϕ|2 dx+ 1

ε

∫

Ω

ϕ2(1− ϕ)2 dx,

sous la contrainte∫Ωϕ = c, ou c > 0 est une constante fixee.

Dans un travail initie par Modica [Mod87] puis formalise par Modica etMortola [MM77] en terme de Γ-convergence (voir [DM93] pour la definition),la limite lorsque ε converge vers zero des minimiseurs deMMε consistent en lesphases pures ϕ : Ω → 0, 1 qui sont dans BV (Ω) et minimisent (a constantemultiplicatif pres)

Per(ϕ = 1) = HN−1(∂∗ϕ = 1). (3.0.1)

Il est donc interessant, au niveau numerique, de considerer l’energie MMε

de type “elliptique” (donc facile a implementer), en lieu et place du terme plussingulier HN−1. Le theoreme de Modica et Mortola garantie qu’elle en est unebonne approximation. Cette idee a ete utilisee par exemple en optimisation deforme pour un probleme de partition optimale [Oud11, BBO10].

En revanche, la fonctionnelle MMε n’est a priori utile que pour approcherdes perimetres. Or dans les problemes mentionnes dans les sections precedentes,

46

la quantite a minimiser est H1(K) ou K est un ensemble connexe, qui n’estpas forcement le perimetre d’un ensemble.

Dans un article celebre [AT92], Ambrosio et Tortorelli ont propose unefonctionnelle pour approcher la fonctionnelle de Mumford-Shah. Rappelonsque la fonctionnelle de Mumford-Shah s’ecrit

MS(u,K) =

∫

Ω\K|∇u|2 dx+

∫

Ω\K|u− g|2 dx+H1(K),

ou Ω ⊂ R2, K ⊂ Ω est ferme, u ∈ W 1,2(Ω \ K) et g ∈ L∞(Ω) est donnee.

Dans ce probleme, K est considere comme l’ensemble de saut de la fonctionu. En s’inspirant de Modica et Mortola, Ambrosio et Tortorelli ont proposel’approximation suivante de MS,

ATε(u, ϕ) =

∫

Ω\Kϕ2|∇u|2 dx+

∫

Ω\K|u− g|2 dx

+ε

∫

Ω

|∇ϕ|2 dx+ 1

4ε

∫

Ω

(ϕ− 1)2 dx. (3.0.2)

C’est a dire que K est represente par une fonction de phase ϕ : Ω → [0, 1] qui,par minimisation, souhaite s’annuler la ou u est singuliere, mais souhaite aussivaloir 1 presque partout a cause du dernier terme. La transition est penaliseepar le terme en |∇ϕ|2 qui contribue comme la longueurH1 a la limite. Ambrosioet Tortorelli ont en effet demontre la Γ-convergence de ATε vers MS lorsqueε tend vers 0 (et ceci est vrai quelle que soit la dimension).

Numeriquement, cette fonctionnelle a ete utilisee en segmentation d’imageet en propagation de fracture ([MI13]). Une approche similaire a aussi ete miseau point pour le transport branche ([San10, OS11]).

3.1 Sur une variante d’Ambrosio-Tortorelli

Dans un travail en collaboration avec L. Ambrosio et G. Royer-Carfagni[a8], nous avons etudie la variante suivante de la fonctionnelle de Mumford-Shah,

MS(u,K) :=

∫

Ω\K|∇u|2dx+

∫

Ω\K(g−u)2dx+HN−1(K)+σ0

∫

K

|u+−u−|dHN−1,

et son approximation de type Ambrosio-Tortoreli suivante

Πε(u, ϕ) := ATε(u, ϕ) + σ0

∫

Ω

(1− ϕ)2|∇u|dx, (3.1.1)

ou ATε est definie en (3.0.2).

Theoreme 17. (L. Ambrosio, A. Lemenant, G. Royer Carfagni [a8]) La fonc-

tionnelle Πε Γ-converge vers MS pour la topologie L2.

47

Ce resultat repose pour grande partie sur la Γ convergence de ATε versMS. Le travail consiste a demonter que, dans ce processus de Γ-convergence,le dernier terme dans (3.1.1) converge vers le terme de saut σ0

∫K|u+−u−|dH1.

La preuve est plutot astucieuse et moins facile qu’il n’y paraıt au premier abord(notamment pour la liminf).

L’introduction des fonctionnelles MS et Πε est motivee par certains modelesde plasticite comme explique dans [a8], bien qu’elles soient plutot de type“fracture” a cause du terme HN−1(K). Ce terme est justifie physiquementdans [a8] par un premier regime “elastique” ou la formation d’une fissure selocalise dans une certaine region avant d’entrer dans un regime plastique fai-sant intervenir le terme σ0

∫K|u+−u−|dH1. Ce phenomene semble se produire

experimentalement. Au niveau mathematique, le terme HN−1(K) est essentielpour garantir l’existence de minimiseurs.

3.2 Pour les minimiseurs connexes de la lon-

gueur

Nous arrivons maintenant a l’approximation par “champ de phase” pour lesproblemes du chapitre 1, comme annonce en debut de chapitre. En particulier,le plus simple d’entre eux, le probleme de Steiner.

3.2.1 Approximation du probleme de Steiner

Etant donnes des points D := xi ⊂ R2 en nombre fini, le probleme deSteiner consiste a minimiser

minH1(K) ; K ⊂ R

2 compact, connexe, et contenant D. (3.2.1)

Nous savons qu’il existe un minimiseur, il n’est pas forcement unique, et il estconstitue d’un graphe compose de segments se joignant par 2 (eventuellementsur un point de D) ou part 3, auquel cas en formant des angles de 120 degres.En revanche, le calcul d’un minimum est un probleme complexe, faisant partiede la liste des problemes (NP)-complets de Karp, [Kar72]. Nous renvoyons a[GP68] pour l’historique du probleme et a [PS13] pour les derniers resultatsmathematiques a son propos.

C’est pourquoi nous avons propose une methode d’approximation par unefonctionnelle elliptique a la maniere de Modica-Mortola ou Ambrosio-Tortorelli,mais avec un terme nouveau permettant de gerer la contrainte de connexite surles minimiseurs. Pour ce faire, nous ajoutons un terme dans la fonctionnellede Modica-Mortola, reposant sur la distance geodesique dϕ, definie ainsi. SoitΩ ⊂ R2. Pour ϕ ∈ C0(Ω) on definit

dϕ(x, y) := inf

∫

γ

ϕ(x)dH1(x); γ courbe connectant x et y

. (3.2.2)

48

Etant donne une fonction ϕ, la distance dϕ peut etre traitee numeriquementpar l’algorithme de “fast marching” (voir [Set99]). Il est meme possible decalculer a la fois dϕ et son gradient par rapport a ϕ (voir [BCPS10]), ce quiest tout a fait utile pour minimiser une fonctionnelle en ϕ faisant intervenirdes valeurs de dϕ. Notre methode pour approcher le probleme de Steiner estde minimiser la fonctionnelle suivante

1

4ε

∫

Ω

(1− ϕ)2dx+ ε

∫

Ω

|∇ϕ|2dx+ 1

cε

N∑

i=1

dϕ(xi, x1), (3.2.3)

ou cε → 0 de facon arbitraire. Les deux premier termes sont les termes detype Modica-Mortola qui approchent la longueur H1 de meme facon que dansAmbrosio-Tortorelli [AT92]. Le dernier terme est de type nouveau, et inciteϕ a s’annuler sur une ensemble connexe contenant les points xi. Le point cleetant que lorsque

N∑

i=1

dϕ(xi, x1) = 0,

alors l’ensemble ϕ = 0 doit etre connexe et contenir les xi. Notre methodeest en realite plus generale et permet de traiter un terme de type

∫

Ω

dϕ(x, x0)dµ,

qui conduit a un probleme de Steiner plus general ou les points xi sontremplaces par le support d’une mesure µ.

Theoreme 18. (A. Lemenant, F. Santambrogio [a9]) Soit xii=1...N un en-semble fini de points de R2 et Ω un ouvert contenant l’enveloppe convexe desxi. Soit ϕε une suite de minimiseurs de (3.2.3). Soit εn → 0 une suite telleque la famille de fonctions 1-Lipschitz dϕεn

(·, x0) converge uniformement dansΩ vers une fonction d. Alors l’ensemble d = 0 est connexe et est solution duprobleme de Steiner associe aux points xi.

49

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

3.122e-03

5.943e-01Phi

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

3.122e-03

5.943e-01Phi

Simulation numerique d’une connection de 3 et 4 points par methode champde phase (code de M. Bonnivard).

50

3.2.2 Etude de la fonctionnelle d’approximation

Dans un travail en cours avec M. Bonnivard et V. Millot [a12], nous etudionsla fonctionnelle approximante de Steiner (3.2.3) a ε > 0 fixe. Plus precisement,afin d’enlever la contrainte 0 ≤ ϕ ≤ 1 sur la phase ϕ nous avons introduit lavariante suivante. Soit Ω ⊂ R2 convexe et xii=1..k ⊂ Ω des points donnes.On pose

U =u ∈ H1(Ω), u = 1 sur ∂Ω

.

et on definit pour ε, δε, cε ∈ (0, 1) la fonctionnelle Fε : U → R par

Fε(u) = ε

∫

Ω

|∇u|2 dx+ 1

4ε

∫

Ω

(u− 1)2 dx+1

cε

∑

1≤i≤k

du2+δε(xi, x1).

On s’interesse au probleme

minu∈U

Fε(u). (3.2.4)

Pour ce faire, nous pouvons re-ecrire le probleme sous forme de doubleminimisation. En effet, pour a, b ∈ Ω, a 6= b, on definit P(a, b) la famille detoutes les courbes de Ω allant de a vers b, c’est a dire

P(a, b) :=γ ∈ Lip

([0, 1]; Ω

): γ(0) = a et γ(1) = b

,

ou Γγ := γ([0, 1]).Soit x0, x1, . . . , xk ∈ Ω des points donnes et

P(x0, x1, . . . , xk) := γ = (γi)1≤i≤k : γi ∈ P(xi, x0) .

On munit P(x0, x1, . . . , xk) de la topologie de l’uniforme convergence. On no-tera aussi Γγ =

⋃i,j Γγi,j .

Pour γ = (γi)1≤i≤k ∈ P(x0, x1, . . . , xk), on definit la fonctionnelle Eε(·,γ) :U → [0,∞) par

Eε(u,γ) := ε

∫

Ω

|∇u|2 dx+ 1

4ε

∫

Ω

(u− 1)2 dx+1

cε

k∑

i=1

∫

Γγi

(u2 + δε) dH1 ,

ou ε, cε, δε > 0. Maintenant nous pouvons definir la longueur “diffuse” γ ∈P(x0, x1, . . . , xk) par

Lε(γ) := infu∈U

Eε(u,γ) . (3.2.5)

Ainsi, le probleme (3.2.4) peut se reformuler de la facon suivante :

minγ∈P(x0,x1,...,xk)

Lε(γ). (3.2.6)

Dans [a12] nous montrons l’existence et la regularite des minimiseurs.

51

Theoreme 19. (M. Bonnivard, A. Lemenant, V. Millot [a12]) Il existe unminimiseur pour le probleme (3.2.11) (et donc pour le probleme (3.2.4) aussi).

La methode de preuve consiste a se ramener aux courbes de P(x0, x1, . . . , xk)qui sont Alhfors-regulieres. Comme souvent, c’est donc un resultat de regularitequi demontre l’existence !

Plus precisement, pour un K ⊂ R2 on note

Al(K) := sup

H1(K ∩Br(x)

)

r: x ∈ K , r > 0

.

Puis, pour Λ > 0 on definit la nouvelle classe de courbes

PΛ(x0, x1, . . . , xk) := γ ∈ P(x0, x1, . . . , xk) : Al(Γγ) ≤ Λ.

On montre dans [a12] qu’il existe Λ0 > 0 tel que le probleme (3.2.11) estequivalent a

minγ∈PΛ0

(x0,x1,...,xk)Lε(γ). (3.2.7)

Or la propriete Al(Γγ) ≤ Λ0 est tres adequate pour notre probleme, carelle garantie le fait que la mesure H1|Γγ

appartienne a (W 1,p)′, et donc leminimiseur u de Eε(·,γ) pour un γ satisfaisant Al(Γγ) ≤ Λ0 existe, et de plusu verifiant l’equation

−ε2∆u+ 1

4(u− 1) = − ε

cεuH1|Γγ

dans Ω

appartient a C0,1/2(Ω). Ceci procure une borne C0,1/2 sur u qui fournit lacompacite d’une suite minimisante uγn

et permet d’obtenir l’existence d’unminimiseur. Une chose amusante etant que, une fois que u est Holderienne,nous pouvons en deduire que les courbes geodesiques sont C1,α localement endehors des points d’attache, grace aux resultats du premier chapitre sur lesensembles presque-minimaux.

Cette nouvelle formulation du probleme permet aussi d’enoncer le resultatprincipal de [a9] en terme de Γ-convergence, au sens ou la famille de fonction-nelles Lε Γ-converge vers la fonctionnelle H1.

De plus, la regularite Holder obtenue sur u nous permet de demontrer, enquelque sorte, un resultat de consistence du schema numerique utilise. Plusprecisement, soit F h

ε l’approximation aux differences finies de Fε, sur une grillecarree de pas h. Nous souhaitons montrer que si h = hε converge vers 0 suf-fisamment vite par rapport a ε > 0, alors les minimiseurs “discrets” de F hε

ε

convergent vers les minimiseurs de la fonctionnelle limite de Fε. Pour cela nousutilisons le lemme general (et facile a demontrer) suivant

Lemme 20. Soit X un espace metrique et soit Xh ⊂ X un sous espace indexepar h > 0. Supposons que Fε : X → R ∪ +∞ et F h

ε : Xh → R ∪ +∞admettent des minimiseurs de plus satisfont les deux conditions suivantes :

52

1. Pour tout v ∈ Xh on a |F hε (v)− Fε(v)| ≤ C(ε, h)

2. Pour tout ε > 0 et pour tout minimiseur uε de Fε il existe uhε ∈ Xh telque Fε(u

hε ) ≤ Fε(uε) + C(ε, h).

Alors, si C(ε, hε) → 0 pour hε, si uε ∈ Xhεest une suite de minimiseur de

F hεε , alors c’est une suite de quasiminimiseurs de Fε, au sens ou

F hε

ε −minFε → 0.

En particulier, si Fε →Γ F alors toute suite convergente de minimiseurs uεpour F hε

ε converge vers un minimiseur de F .

L’etude theorique sur la regularite des minimiseurs de Fε, et notamment lesestimations Holderiennes, permet notamment d’obtenir les estimations necessairespour pouvoir appliquer le Lemme et montrer ainsi la consistance du schema.

3.2.3 Approximation de Cp et FLa methode utilisee pour le probleme de Steiner permet aussi l’approxi-

mation des deux autres problemes vus precedemment, a savoir le probleme decompliance optimale (voir Section 1.2.4) ainsi que de la distance moyenne (voirSection 1.3).

Rappelons queK := K ⊂ Ω; ferme, connexe,

et notons egalement

Ap :=(K, v) : K ∈ K, v ∈ Lq(Ω);− div v = f in Ω\K and v·nΩ = 0 sur ∂Ω\K

,

ou q est l’exposant conjugue de p. On considere d’abord le probleme de p-compliance suivant. Pour toutK ∈ K on note uK , l’unique solution du probleme

min

∫

Ω

(1p|∇u|p − uf

)dx ; u ∈ W 1,p

K (Ω)

. (3.2.8)

En particulier, en notant ∆pu = div(|∇u|p−2∇u) le p-Laplacien, uK est solutionde

−∆pu = f dans Ω \Ku = 0 sur K∂u∂n

= 0 sur ∂Ω \KLe probleme de p-Compliance optimale considere ici s’ecrit alors

minK∈K

Cp(K) :=p− 1

p

∫

Ω

uKf dx+ ΛH1(K). (3.2.9)

On remarque que c’est un probleme de type min-max (minimisation en K d’unmax en u), et que pour p = 2 on retrouve le probleme de la Section 1.2.4.

53

Par dualite, le Probleme (3.2.9) est equivalent a

inf(K,v)∈Ap

1

q

∫

Ω

|v|qdx+ ΛH1(K)

. (3.2.10)

Dans le cas particulier ou q = 1, on trouve le probleme dual au probleme dedistance moyenne de la section 1.3, a savoir,

min

∫

Ω

dist(x,K)f(x)dx+ ΛH1(K) ; K ∈ K, (3.2.11)

qui est maintenant de type min-min.Pour approcher le Probleme (3.2.10) on considere la famille de fonction-

nelles

Fε(v, ϕ, y) =1

q

∫

Ω

|v|qdx+ Λ( 1

4ε

∫

Ω

(1− ϕ)2dx+ ε

∫

Ω

|∇ϕ|2dx)

+1√ε

∫

Ω

dϕ(x, y)d∣∣div v + f

∣∣(x) + | div v|(Ω)

Chaque terme de Fε se justifie de la facon suivante : le premier termeest la fonctionnelle originale sur v, les deuxieme et troisieme sont ceux detype Modica-Mortola, le quatrieme est celui qui force ϕ a s’annuler sur unconnexe contenant le support de | div v+ f |, et finalement le dernier terme estici simplement pour garantir la compacite dans l’espace des mesures pour unesuite d’energie bornee. Ce terme ne disparait pas a la limite, mais ne perturbeen rien la minimisation (les minimiseurs de la fonctionnelle limite avec ou sansce terme sont les memes).

Plus precisement, la Γ-limite de Fε est la fonctionnelle

F0(v, ϕ, y) =1

q

∫

Ω

|v|q + |divv|(Ω) +H1C(v),

si ϕ = 1 a.e. et y ∈ supp(divv+f), et +∞ sinon. Ici la notation H1C(v) designe

H1(K), ou K est le connexe de longueur minimal contenant le support dedivv+ f . Il n’est pas trop difficile de voir que la minimisation de F0 revient aumeme avec ou sans le terme |divv|(Ω). Ainsi, minimiser F0 en v est equivalentau probleme (3.2.10), lui meme equivalent au probleme (3.2.9). Le principalresultat de [a10] est le suivant.

Theoreme 21 (M. Bonnivard, A. Lemenant, F. Santambrogio [a10]). La fonc-tionnelle Fε Γ-converge vers F0 lorsque ε→ 0.

3.3 Pour l’energie de Willmore

Dans un travail en collaboration avec P. Dondl et S. Wojtowytsch, nousavons utilise une approche similaire pour contraindre la connexite dans l’energiede Willmore, qui rappelons-le s’ecrit

W(Σ) :=

∫

Σ

H(x)2dHN−1,

54

ou H(x) designe la courbure moyenne. Cette energie est beaucoup etudiee etutilisee notamment en biologie cellulaire concernant la modelisation de mem-brane fine telles que, par exemple, des cellules sanguines.

L’approximation par champ de phase de l’energie de Willmore, analogue al’approximation de Modica-Mortola pour le perimetre, est un probleme bienconnu. Il existe en effet une conjecture celebre de De Giorgi a ce sujet [DG91],mais c’est une version legerement modifiee de cette conjecture, due Roger etSchatzle [RS06], qui semble mieux fonctionner. La fonctionnelle de Roger etSchatzle est la suivante :

Wε(u) =1

c0

∫

Ω

1

ε

(ε∆u− 1

εW ′(u)

)2

dx,

ou W le fameux potentiel double puit W (s) = 14(s2 − 1)2. Cette fonctionnelle

Γ-converge vers l’energie de Willmore, d’apres [RS06] et [BP93], sous reserved’une hypothese de regularite C2 de la surface limite.

Dans l’optique d’approcher le probleme de minimisation de l’energie deWillmore avec contrainte de connexite (et a perimetre fixe S > 0), nous avonsconsidere la fonctionnelle suivante de type suivant :

Wε(u) + ε−σ(Sε(u)− S) + ε−κCε(u),

avec 1 < σ < 4, et κ > 1,

Sε(u) =1

c0

∫

Ω

ε

2|∇u|2 + 1

εW (u)dx

la fonctionnelle de Modica-Mortola et ou Cε est le terme qui force la connexite.Plus precisement, on considere la fonction

dF (u)(x, y) = min

∫

K

F (u)dH1

∣∣∣∣K connexe, x, y ∈ K

.

qui est ensuite integree sur l’ensemble ou la phase u est proche de zero,c’est a dire

Cε(u) =1

ε2

∫

Ω

∫

Ω

φ(u(x))φ(u(y))dF (u)(x, y) dxdy ,

ou φ ∈ Cc(−1, 1) est une sorte de troncature, i.e.

φ ≥ 0 , φ > 0 = (ρ1, ρ2) ⊂ (−1, 1) ,

∫ 1

−1

φ(u)du > 0

et F ∈ C0,1(R) est choisi pour etre non nul lorsque φ s’annule, c’est a dire :

F ≥ 0 , F ≡ 0 on [ρ1, ρ2] , F (−1), F (1) > 0 .

L’idee etant que, si φ(uε) > 0 = ρ1 < uε < ρ2 est connexe, alors onpeut trouver deux points x, y ∈ Ω tels que φ(uǫ(x))φ(uε(y)) > 0 de sorte quedF (uε)(x, y) = 0 et Cε est donc nul.

55

Theoreme 22. (P. Dondl, A. Lemenant, S. Wojtowytsch [a11]) Soit n = 2, 3,S > 0, Ω ⊂ Rn et E ⊂ Ω tel que ∂E ∈ C2 tel que Hn−1(∂E) = S. Alors

Γ− limǫ→0

Eǫ(1E − 1Ec) =

W(∂E) si ∂E est connexe

∞ sinon

Dans l’enonce du theoreme 22 nous avons utilise la notation de [RS06]pour Γ − limǫ→0 Eǫ(1E − 1Ec) qui veut dire que les inegalites de Γ−limsup etΓ−liminf sont satisfaites au point particulier 1E − 1Ec . On peut remarquerqu’une partie du resultat decoule deja de [RS06], c’est a dire que la partieenergetique Wε(u) converge bien vers W(∂E), en particulier, il n’y a rien ademontrer pour la Γ-limsup. La difficulte du theoreme est de montrer quele nouveau terme supplementaire Cε est capable de forcer la connexite dansl’inegalite de liminf, donnant ainsi +∞ dans le cas ouE n’est pas connexe. Pourcela il faut montrer que le fait que uε soit “petite” sur une courbe en dehors dusupport de la mesure limite, est suffisant pour faire exploser l’energie totale.

La fonctionnelle Wε donne d’assez bons resultats au niveau numerique.

Courbe confinee dans un disque minimisant l’energie de Willmore a longueurfixee (code : P. Dondl et S. Wojtowytsch).

56

Chapitre 4

Stabilite d’une EDP par rapport au do-maine

Les domaines Reifenberg-plat sont des ouverts dont le bord est un ensembleReifenberg-plat (au sens “faible”), du nom de celui qui les a introduits pour lapremiere fois dans [Rei60]. Plus precisement, ce sont des ouverts tels que pourtout x ∈ ∂Ω et pour tout r < r0 il existe un hyperplan P (x, r) tel que

1

rsup

y∈∂Ω∩B(x,r)

d(y, P (x, r)) ≤ δ. (4.0.1)

Cette classe d’ouverts est tres interessante car la geometrie est suffisammentsous controle pour pouvoir faire de l’analyse fine, mais la regularite du bordreste tres faible (au mieux seulement localement Holder), ce qui permet souventde generaliser des resultats connus uniquement pour des ouverts localementLipschitz.

La notion de Reifenberg-platitude apparait dans de nombreux travaux,principalement en theorie de la mesure geometrique. Historiquement, Rei-fenberg a introduit cette notion dans le cadre de sa theorie d’existence etregularite pour le probleme de Plateau dans les annees 60. En effet, mon-trer qu’un ensemble est Reifenberg-plat est une bonne premiere etape avantde pouvoir montrer plus de regularite. Reifenberg a en effet montre qu’etreReifenberg-plat implique etre localement l’image bi-Holderienne d’un disque.C’est la premiere etape pour, ensuite, tenter de montrer de la regularite C1

(par exemple lorsque l’on est la solution d’un probleme de type Plateau). C’estcette approche qui a inspire recemment G. David [Dav96, Dav10] pour son tra-vail sur la regularite des ensembles minimaux de dimension 2 dans RN , et quirepose entre autres sur la parametrisation obtenue par G. David, T. De Pauwet T. Toro dans [DDPT08]. Ces resultats ont aussi permis l’elaboration dutheoreme de regularite sur la fonctionnelle de Mumford-Shah en dimension 3contenu dans [a28, a24].

Bien apres Reifenberg, la notion de domaine Reifenberg-plat (i.e. ensembleouvert dont le bord est Reifenberg-plat) est apparue dans un tout autre re-gistre, celui de l’etude de la mesure harmonique (voir Kenig et Toro [KT97,KT99, KT03] et Toro [Tor97, Tor08]). Enfin, il s’est avere qu’etudier des EDP

57

dans des domaines Reifenberg-plat etait fort productif, comme par exemple lemontre les travaux de Byun, Wang and Zhou [BW08a, BW08b, BWZ07], ouMilakis and Toro [MT10]. C’est dans ce cadre que s’inscrit les resultats de cechapitre, notamment des resultats de stabilite.

En effet, les domaines Reifenberg-plat etant des domaines d’extension pourl’espace de Sobolev H1 [a17], il est facile de voir qu’une equation elliptiqueavec condition de type Neumann au bord, est stable le long d’une suite de telsdomaines qui convergent pour la distance de Hausdorff. Le travail que nousavons effectue consiste a generaliser cette propriete en relaxant la definition deReifenberg-plat de facon a autoriser des “trous” dans le bord (notamment per-met le cas de domaines fissures), et enfin a rendre “quantitatif” la convergence.Cela fonctionne a la fois pour le probleme de Dirichlet et pour le probleme deNeumann. Nous avons traite plus en detail le cas des valeurs propres du La-placien, mais bien d’autres problemes elliptiques pourraient etre etudies de lameme facon avec des techniques similaires.

4.1 Stabilite pour des problemes de Neumann

Dans un travail en commun avec E. Milakis [a15] nous montrons que lessolutions du probleme

−div a(x,∇uk) + b(x, uk) = 0 dans Ωk

a(x,∇uk) · ν = 0 sur ∂Ωk

(4.1.1)

convergent vers la solution du probleme analogue dans Ω, lorsque Ωk convergevers Ω pour la distance de Hausdorff, et si les Ωk ont un bord Reifenberg platsavec “taille de trou uniforme”. Ce resultat est le premier d’une serie de resultatsa propos de stabilite d’operateurs elliptiques par rapport au domaine, et utilisela notion de “Mosco-convergence” des espaces de Sobolev. Contrairement auprobleme de Dirichlet qui est tres bien etudie et pour lequel tout se passe bien,le Probleme de Neumann est, par nature, beaucoup plus difficile a apprehenderet tres peu de resultats analogues existent dans la litterature.

La definition de “taille de trou uniforme” est naturelle bien qu’un peutechnique a enoncer. Pour tout domaine Reifenberg-plat et pour toute bouleB(x, r) centree sur ∂Ω avec r < r0 on peu definir des points a+(x, r) et a−(x, r)dans chaque composante connexe de B(x, r)\P (x, r) le plus loin possible deP (x, r). On dit alors qu’un domaine (δ, r0)-Reifenberg-plat possede une taillede trou uniforme de constante C si pour tout point x du bord et pour toutr < r0 tel que ∂Ω ∩B(x, r) ne separe pas a+(x, r) et a−(x, r), on peut trouverune boule B(y, t) centree sur P (x, 2r) qui ne rencontre pas ∂Ω et telle quet > Cr. Voici maintenant notre Theoreme.

58

∂Ω

b

b

a+(x, r)

a−(x, r)

P (x, 2r)

B(x, t)

Theoreme 23. (A. Lemenant, E. Milakis, [a15]) Soit C0 > 0 et Ωkk∈N, Ωdes domaines (δ, r0)-Reifenberg plats avec δ < 10−3C−1

0 , ayant tous une taillede trou uniforme de constante C0, et tels que Ωc

k converge vers Ωc pour ladistance de Hausdorff. Alors le probleme de Neumann (4.1.1) est stable le longde la suite Ωk.

En guise d’application nous avons obtenu des estimees au bord pour lessolutions du probleme (4.1.1) qui devraient nous aider pour la regularite desminimiseurs de Mumford-Shah avec terme non lineaire.

4.2 Stabilite quantitative pour le spectre du

Laplacien

A la suite du travail precedent, nous avons pousse plus loin l’etude afind’etablir des estimations quantitatives de stabilite pour le spectre du Laplacien,c’est a dire nous obtenons des inegalites du type

|λk(Ωa)− λk(Ωb)| ≤ C|ΩaΩb|αN

ou les λk(Ωa) designent les valeurs propres de −∆ dans l’ouvert Ωa.Les domaines consideres sont des domaines Reifenberg-plat au sens fort,

c’est a dire que pour tout x ∈ ∂Ω et pour tout r < r0 il existe un hyperplanP (x, r) tel que (a comparer avec (4.0.1))

1

r

(sup

y∈∂Ω∩B(x,r)

d(y, P (x, r)) + supy∈P (x,r)∩B(x,r)

d(y, ∂Ω ∩ B(x, r))

)≤ δ.

Dans [Rei60] Reifenberg demontre le celebre theoreme du “disque topo-logique” qui dit que, si ε est suffisamment petit, le bord de tout domaine(ε, r0)-Reifenberg-plat est l’image bi-Holder d’un disque. De plus, tout domaineLipschitz avec constante suffisemment petite est Reifenberg-plat. D’un autrecote, le flocon de neige de Koch construit a partir d’un angle suffisammentpetit est Reifenberg-flat (voir Toro [Tor97]) mais n’est pas Lipschitz.

59

Dans un premier article [a17], nous montrons que les domaines Reifenberg-plats sont des domaines d’extension. Plus precisement, nous avons le theoremesuivant.

Theoreme 24. (A. Lemenant, E. Milakis, L. Spinolo [a17]) Tout domaine(1/600, r0)-Reifenberg plat est automatiquement (1/450, r0/7)-Jones plat.

En effet, dans un article celebre [Jon81], Jones introduit la notion de do-maine δ-plat (dont nous preferons ne pas donner la definition ici pour ne pasalourdir l’expose), et demontre que tout domaine δ-plat au sens de Jones estun domaine d’extension. C’est a dire qu’il existe un operateur borne

E : W 1,p(Ω) →W 1,p(RN )

tel que E(u) ≡ u sur Ω.Ceci prouve que les domaines δ-Reifenberg-plats avec δ ≤ 1/600 sont des

domaines d’extension (la condition δ ≤ 1/600 n’est pas vraiment restrictive,la plupart du temps δ est bien plus petit). Par consequent, le Theoreme deRellich s’applique et permet de voir que le Laplacien Neumann dans Ω admetun spectre positif et discret, et les fonctions propres associees sont bornees.

On a donc une suite de valeurs propres de Dirichlet et de Neumann quenous noterons

0 < λ1(Ω) ≤ λ2(Ω) ≤ · · · ≤ λk(Ω) ≤ . . . ↑ +∞

et0 = µ1(Ω) ≤ µ2(Ω) ≤ · · · ≤ µk(Ω) ≤ . . . ↑ +∞,

respectivement. Chaque valeur propre etant repetee autant de fois que sa mul-tiplicite.

La dependance en Ω des valeurs propres λk et µk a ete largement etudiedepuis longtemps, notamment en optimisation de formes (voir par exemple leslivres de Bucur and Buttazzo [BB05], Henrot [Hen06], et Hale [Hal05]).

Notre travail etablit de nouvelles estimations quantitatives, pour les prob-lemes de Dirichlet et de Neumann, de type suivant :

|λk(Ωa)− λk(Ωb)| ≤ CdH(Ωca,Ω

cb)

α

|µk(Ωa)− µk(Ωb)| ≤ Cmax(dH(Ωca,Ω

cb), dH(Ωa,Ωb))

α,(4.2.1)

ou Ωc := RN \ Ω et dH est la distance de Hausdorff, c’est a dire

dH(X, Y ) := maxsupx∈X

d(x, Y ), supy∈Y

d(y,X). (4.2.2)

Par ailleurs, d’apres [a17, Lemme 19], si Ωa et Ωb ⊆ RN sont Reifenberg-

plats, alors la distance de Hausdorff est controlee par la mesure de Lebesguede la difference symetrique, c’est a dire

dH(Ωca,Ω

cb) ≤ C|ΩaΩb|

1N

60

ou C ne depend que de la dimension N et sur les parametres (δ, r0) des do-maines Ωa et Ωb. On en deduit directement une estimation analogue a (4.2.1)

avec |ΩaΩb|1N .

Voici un enonce precis du premier resultat principal, concernant les valeurspropres Dirichlet, qui generalise un premier article en collaboration avec E.Milakis [a14] qui concerne uniquement la premiere valeur propre Dirichlet.

Theoreme 25 (Probleme de Dirichlet). (A. Lemenant, E. Milakis, L. Spinolo,[a16]) Soient B0, D ⊆ RN deux boules telles que B0 ⊆ D et soit (γn)n∈N uneenumeration du spectre du Laplacien Dirichlet dans B0, enfin soit R le rayonde D.

Pour tout α ∈]0, 1[ il existe ε = ε(α) tel que ce qui suit soit vrai. Pourtout n ∈ N, r0 > 0 et L0 > 0 il existe δ0 = δ0(γn, n, α, r0, N, L0, R) et C =C(α, r0, N) tel que pour tous domaines Ωa et Ωb (ε, r0)-Reifenberg-plats dansR

N tels que— B0 ⊆ Ωa ∩ Ωb et Ωa ∪ Ωb ⊆ D ;— L := max(HN−1(∂Ωa),HN−1(∂Ωb)) ≤ L0;— dH(Ω

ca,Ω

cb) ≤ δ0,

alors

|λan − λbn| ≤ Cnγn(1 + γN2n )LdH(Ω

ca,Ω

cb)

α, (4.2.3)

ou λan et λbn sont les valeurs propres Dirichlet du Laplacien dans Ωa et Ωb,respectivement.

Notre theoreme est assez proche des travaux precedents de Burenkov, Lam-berti, Lanza De Cristoforis et collaborateurs (voir [BLLdC52] pour une synthese).Cependant, les techniques employees sont totalement differentes, et de surcroıt,l’hypothese de regularite sur nos domaines est beaucoup plus faible. Il existeegalement un resultat recent Colbois, Girouard and Iversen [CGI13] ou cer-taines inegalite analogues sont demontrees mais avec une approche differente.Dans le meme article, nous avons egalement un enonce concernant les domainesLipschitz dans le meme esprit que ce qui est obtenu Savare et Schimperna[SS02].

Le theoreme analogue pour le cas Neumann est le suivant.

Theoreme 26 (Probleme de Neumann). (A. Lemenant, E. Milakis, L. Spinolo,[a16]) Pour tout α ∈]0, 1[ il existe ε = ε(α) tel que ce qui suit soit vrai. SoitΩa et Ωb deux ouverts, connexes, (ε, r0)-Reifenberg-plats dans R

N tels que— L := max(HN−1(∂Ωa),HN−1(∂Ωb)) ≤ L0;— Ωa et Ωb sont tous deux contenus dans D, de rayon R.

Soient µan et µb

n les valeurs propres du Laplacien Neumann et soit µ∗n :=

maxµan, µ

bn. Pour tout n ∈ N, il existe des constantes δ0 = δ0(µ

∗n, α, r0, n, N,R, L0)

et C = C(N, r0, α, R) telles que, si

maxdH(Ω

ca,Ω

cb), dH(Ωa,Ωb)

≤ δ0,

alors

|µan − µb

n| ≤ Cn(1 +

√µ∗n

)2γ(N)+2L(max(dH(Ω

ca,Ω

cb), dH(Ωa,Ωb))

α, (4.2.4)

61

ou γ(N) = max

N

2,

2

N − 1

.

Dans la suite nous donnons quelques elements de preuve. L’inegalite finalerepose sur un Lemme abstrait, qui permet de se ramener a une estimation desoperateurs de projection entre espaces H1. Plus precisement, voici un enoncedans le cas Dirichlet, qui provient du principe de Min-Max.

Lemme 27. (A. Lemenant, E. Milakis, L. Spinolo, [a16]) Soit Ωa et Ωb deuxdomaines contenus dans D ⊂ RN . Soit n ∈ N et soit Eb

n le n-ieme espacepropre associe au Laplacien Dirichlet dans Ωb. On note P : H1

0 (D) → H10(Ωa)

le projecteur orthogonal. Supposons qu’il existe des constantes A,B > 0, tellesque A > 0, 0 < B < 1 et telles que pour tout u ∈ Eb

n,

‖∇(Pu− u)‖22 ≤ A‖u‖22 (4.2.5)

et‖Pu− u‖22 ≤ B‖u‖22. (4.2.6)

Alors

λan ≤ λbn +A

(1−√B)2

. (4.2.7)

Le lemme precedent se generalise sans probleme a un cadre abstrait despectre associe a un operateur provenant d’une forme quadratique generale.On l’appliquera aussi dans le cas Neumann (mais dans ce cas les espaces detravails et l’operateur P sont plus delicats a definir).

Pour arriver a nos fins, il suffit donc maintenant de controler l’erreur entre uet P (u). Pour cela, il faut montrer la chose suivante : etant donne une fonctionpropre u ∈ H1

0 (Ωb), il existe u ∈ H10 (Ωa) satisfaisant

‖∇u−∇u‖L2(RN ) ≤ C‖∇u‖L2(W ),

ou W est une fine region autour de ∂Ωb. Cette estimation est obtenue en utili-sant des partitions de l’unite et un Lemme de Monotonie sur l’energie norma-lisee de la fonctions propres au bord. C’est ici que l’hypothese Riefenberg-platjoue un role. Pour le probleme de Neumann en revanche, nous utilisons unlemme de compacite car la monotonie n’est pas vraie.

4.3 Regularite dans les domaines Reifenberg-

plats

La preuve de la stabilite du probleme de Dirichlet est intimemment liee ala regularite au bord des solutions d’EDP dans les domaines Reifenberg-plats.Cette remarque est le coeur d’un article en collaboration avec Yannick Sire[a18] ou nous obtenons de la regularite C0,α(Ω) dans les domaines Reifenberg-plat pour le probleme suivant

62

(P1)

−∆u = f dans Ωu = 0 sur ∂Ω

Voici un enonce precis.

Theoreme 28. (A. Lemenant, Y. Sire [a18]) Soit 1 ≤ p, q, p0 < +∞ desexposants qui satisfont 1

p+ 1

q= 1

p0et p0 >

N2. Soit α > 0 un exposant qui

satisfait

α <p0 − N

2

p0. (4.3.1)

Alors il existe ε = ε(N,α) tel que ce qui suit soit vrai. Soit Ω ⊆ RN un domaine(ε, r0)-Reifenberg-plat avec r0 > 0, et soit u ∈ W 1,2

0 (Ω) ∩ C1(Ω) une solutiondu probleme (P1) dans Ω avec u ∈ Lp(Ω) et f ∈ Lq(Ω). Alors

u ∈ C0,α(B(x, r0/12) ∩ Ω) ∀x ∈ Ω.

De plus, ‖u‖C0,α(B(x,r0/12)∩Ω) ≤ C(N, r0, α, p0, ‖u‖p, ‖f‖q).

La preuve repose encore une fois sur un lemme de monotonie pour l’energienormalisee au bord, ainsi que le Lemme de Campanato.

4.4 Mosco-convergence dans des espaces metriques

Les techniques employees dans la section precedente sont si elementairesque nous pouvons les generaliser, dans une certaine mesure, a un cadre plusabstrait d’espace metrique mesure doublant. C’est ce que nous avons fait avecE. Durand-Cartagena dans [a13]. Dans ce contexte, il n’y a pas de notion degradient mais on peut tout de meme definir un “gradient superieur faible”.On peut egalement definir un espace de Sobolev analogue a l’espace W 1,p.Plusieurs notions differentes existent dans la litterature, ici nous travaillonsavec l’espace de Newton N1,p introduit par Shanmugalingam [Sha00]. Sousnos hypotheses, cet espace coıncidera avec les autres espaces existant dans lalitterature (espaces M1,p et H1,p notamment).

Le point de depart de ce travail etait la remarque suivante : en dimension2, la stabilite pour le probleme de Neumann est vraie le long de toute suitede domaines simplement connexes (voir [BV00]). Rappelons egalement que lastabilite pour le probleme de Neumann est equivalent a la converge de l’espaceH1 au sens de Mosco.

Ce qui est interessant dans ce resultat, c’est qu’aucun type de regularitesur le domaine n’est imposee, seulement l’hypothese topologique de simpleconnexite. Pour tenter de generaliser cette propriete en dimensions superieures,et bien plus (contexte d’espace metrique) nous avons considere une suite de do-maines qui sont l’image d’un domaine fixe par des applications quasi-conformes.En effet, l’image d’un domaine simplement connexe etant l’image de la boule

63

unite par une application conforme en dimension 2, nous avons pense quececi etait une extension naturelle. En dimension superieure, pour le cas quasi-conforme, ce n’est pas l’espace H1 qui est stable mais plutot l’espace W 1,p

ou p est l’exposant “conforme”, c’est a dire lie a la dimension (metrique) del’espace.

Plus precisement, on dit que (X, d, µ) est un espace Q-regulier s’il existeC0 telle que pour toute boule B(x, r) contenue dans X on ait

C−10 rQ ≤ µ(B(x, r)) ≤ C0r

Q.

La constante Q est pour ainsi dire, la dimension de l’espace metrique mesure.Notre resultat de stabilite dans les espaces metriques est le suivant.

Theoreme 29. [a13] (E. Durand-Cartagena, A. Lemenant) Soit (X, d, µ) unespace metrique satisfaisant des hypotheses standard (i.e. Q-regulier et admet-tant une inegalite de type p-Poincare avec p < Q) et soit fk : Ωk → Ω unesuite de fonctions K-quasisymmetriques sur un meme domaine Ω ⊂ X avecµ(∂Ω) = 0. Supposons de plus que

∫

Ω

d(f−1k (x), x) dµ −→ 0 et Ωk

dcH−→ Ω. (4.4.1)

Alors l’espace de Newton N1,Q(Ωk) converge vers N1,Q(Ω) au sens de Mosco.De plus si les fk sont bi-Lipschitz (avec meme constante) alors N1,q(Ωk) convergevers N1,q(Ω) pour tout q ≥ p.

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