8/18/2019 Regresie Polinomiala

1/5

 APROXIMAREA FUNC Ț  IILOR

11

3. Regresie polinomială 

Problema 

Se cunoaște un set de n  perechi de valori ( )ii   y x ,  cu ni   L1= . Se caută polinomul de

gradul m  care aproximează cel mai bine legătura dintre valorile date.

Polinomul de gradul m  este de forma:

m

m   xa xa xaa y   ⋅++⋅+⋅+=   L2

210  

Principiul metodei

Se determină  coeficien\ii polinomului de regresie prin rezolvarea sistem de 1+m  

ecuații cu 1+m  necunoscute care are matricea extinsă:

( )

( )

( )

 

 

 

 

⋅

⋅

⋅

∑∑∑∑∑

∑∑

∑ ∑

∑∑

∑∑∑

∑∑∑

∑∑

⋅++

+

+

n

i

m

i

nm

i

nm

i

nm

i

nm

i

n

ii

nm

i

n n

ii

m

i

n

i

nm

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

 y x x x x x

 y x x

 y x x

 y x

 x x x

 x x x

 x xn

11

2

1

2

1

1

1

1

2

1

2

1 1

1

11

1

4

1

3

1

2

1

3

1

2

1

1

2

1

LLLLL

L

L

L

 

Se calculează coeficientul de corelare:

S 

S S c   r 

−=  

unde:

8/18/2019 Regresie Polinomiala

2/5

 APROXIMAREA FUNC Ț  IILOR

22

( )∑=

⋅−−⋅−⋅−−=

n

i

m

imiiir    xa xa xaa yS 1

22

210   L  

( )∑=

−=

n

i

i   y yS 

1

2

 

n

 y

 y

n

i

i∑=

=1  

Coeficientul de corelare are valori cuprinse în intervalul [ ]10L  și arat` gradul dedependen\` [ntre variabilele  x  ]i  y . Valorile extreme au următoarele semnifica\ii:

1=c  arată  că exist` o corelare perfect` [ntre puncte, iar 0=c  arată  că nu exist` nicio

corelare [ntre puncte. Coeficientul de corelar e trebuie să  aibe o valoare c@t mai

apropiat` de 1.

Exemplu de calcul

Problemă:

Fie următoarea funcție dată sub formă tabelară:

x -1 0 1 2

y 1 0 1 4

Se determină polinomul de regresie de gradul 2 și coeficientul de corelare.

Rezolvare:

 Numărul perechilor de valori ( )ii   y x , :

4=n  

Se caută polinomul de gradul 2 este de forma:

2

210   xa xaa y   ⋅+⋅+=  

8/18/2019 Regresie Polinomiala

3/5

 APROXIMAREA FUNC Ț  IILOR

33

Se determină  coeficien\ii polinomului de regresie ( 0a , 1a , 2a ) prin rezolvarea

sistemului de 3 ecuații cu 3 necunoscute care are matricea extinsă:

( )

( )

⋅

⋅

∑∑∑∑

∑∑∑∑

∑∑∑

n

ii

n

i

n

i

n

i

n

ii

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

 y x x x x

 y x x x x

 y x xn

1

2

1

4

1

3

1

2

11

3

1

2

1

11

2

1

 

Calculul sumelor :

221011

=+++−=∑=

n

i

i x  

6210)1( 2222

1

2=+++−=∑

=

n

i

i x  

8210)1( 3333

1

3=+++−=∑

=

n

i

i x  

18210)1( 4444

1

4=+++−=∑

=

n

i

i x  

641011

=+++=∑=

n

i

i y  

84211001)1(1

=⋅+⋅+⋅+⋅−=⋅∑=

n

i

ii   y x  

184211001)1( 2222

1

2=⋅+⋅+⋅+⋅−=⋅∑

=

n

i

ii   y x  

Matricea extinsă a sistemului de ecuații:

( )

( )

=

⋅

⋅

∑∑∑∑

∑∑∑∑

∑∑∑

181886

8862

6624

1

2

1

4

1

3

1

2

11

3

1

2

1

11

2

1

n

ii

n

i

n

i

n

i

n

ii

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

n

i

 y x x x x

 y x x x x

 y x xn

 

8/18/2019 Regresie Polinomiala

4/5

 APROXIMAREA FUNC Ț  IILOR

44

Rezolvarea sistemului de ecuații prin metoda eliminării parțiale:

o   Itera ț ia 1: pivot = 4 (primul element de pe diagonala principală) 

3636200

2020200

6624

 

o   Itera ț ia 2: pivot = 20 (al doilea element de pe diagonala principală) 

32032000

2020200

6624

 

o  Calculul necunoscutelor (coeficienții polinomului de regresie):

1320

3202   ==a  

020

120201   =⋅−

=a  

02

061660   =

⋅−⋅−=a  

Polinomul de regresie de gradul 2:

222

210 100   x x x xa xaa y   =⋅+⋅+=⋅+⋅+=  

Calculul coeficientului de corelare:

( )   ( ) ( ) ( ) ( )   =−+−+−+−−=⋅−⋅−−= ∑=

2222

1

222222

210 241100)1(1n

i

iiir    xa xaa yS   

( ) ( )   =−+−+ 2222 2411 0

5,14

61===

∑=

n

 y

 y

n

i

i

 

8/18/2019 Regresie Polinomiala

5/5

 APROXIMAREA FUNC Ț  IILOR

55

( )   ( ) ( ) ( ) ( ) 75,25,145,115,105,11 22221

2

=−+−+−+−=−= ∑=

n

i

i   y yS   

1

75,2

075,2=

−=

−=

S 

S S c   r   

⇒   corelare perfect`; polinomul de regresie trece prin puncte

Soluția problemei:

Polinomul de regresie este: 2 x y  =  cu coeficientul de corelare: 1=c