Rectas - Geometría Analítica
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Matemática II
Profesor:Profesor: Jaime Valdivia Palomino
pjavaldi
H
N
A
R
O
Z
D
E
TeoremaTeorema de Pitágoras
Cateto ‘a”
Cateto ‘b”
Hipotenusa ‘c”
C2= a2 + b2a2= c2 - b2
b2= c2 - a2
Distancia entre dos Puntos
(0,12) A
(5,0) B
dAB = √ 52 + 122
A (2, 4 )
B (6,1)
dAB = √ ( - )2 + ( - )2
Distancia entre dos Puntos
dAB = √ ( - ( ))2 + ( - ( ))2 dAB =
A (-2, 4 ) A (X1, Y1 )
B (3, -1 ) B (X2, Y2 )
Ecuaciones de la RectaEcuaciones de la RectaLogro de Sesión: Calcular la ecuación de una
recta en diferentes tipos de ejercicios.
¿Qué significan estas señales de tránsito?
L1
L2
0 x
y
Pendiente de una recta l
¿Cuál de las rectas está más inclinada?
¿Cómo medimos esa inclinación?
Cuando se tienen dos puntos cualesquiera de una recta (x1, y1) y (x2 ,y2 ),
(x2 , y2)
(x1 , y1)
y2 – y1
x2 – x1
m = y 2 – y 1x2 – x1
•La pendiente queda determinada por el cociente entre la diferencia de las ordenada y la diferencia de las abscisas de los mismos puntos, es decir:
Ejemplo 1
Calcule la pendiente de la recta que pasa por los puntos ( 7 , 2 ) y ( 9 , 14)
Identificamos los valores de x1 , y1 , x2 , y 2
x1 y1 x2y2
Reemplazamos estos valores en
la fórmula
m = y 2 – y 1 =x2 – x1
14 – 2
9 – 7 =
122 = 6
Ejemplo 2
Calcule la pendiente de la recta que pasa por los puntos ( -5 , 1 ) y ( 9 , -3)
Identificamos los valores de x1 , y1 , x2 , y 2
x1 y1 x2 y2
Reemplazamos estos valores en
la fórmula
m = y 2 – y 1 =x2 – x1
-3 – 1
9 – (-5) =
-414 = -2
7
m1 = m2
Rectas paralelas
Dos rectas no verticales l1 y l2 cuyas pendientes son m1 y m2 , son paralelas (l1 // l2) si y sólo si tienen la misma pendiente.
Es decir:
m1 . m2 = -1
Dos rectas no verticales l1 y l2 cuyas pendientes son m1 y m2 , son perpendiculares (l1 ⊥l2) si y sólo si el producto de sus pendientes es -1.
Es decir:
Rectas perpendiculares
Conclusiones
Si m>0 la recta l es creciente Si m<0 la recta l es decreciente Toda recta horizontal tiene m = 0 Las rectas verticales no tienen
pendiente definida.
Ángulo entre dos rectas
Si L1 y l2 son dos rectas que se cortan con pendientes
m1 y m2 , y si θ es el ángulo entre L1 y l2
θ
α1α2
Tg (θ ) = m2 - m1
1 + m1 . m2
Ecuación de Recta (Dados 2 puntos )
P (x,y)
P1 (x1, y1)
P2 (x2 , y2 )
Dado :
Punto : P1 (x1, y1 )
P2 (x2, y2 )
Pto genérico: P(x, y )
Ec:y – y1 = m(x – x1)
Ec:y – y1 = Y2 -Y1 (x – x1)
X2 - X1
m = Y2 -Y1
X2 - X1
Ecuación de Recta (Punto - Pendiente )
Dado :
Pendiente: m
Punto : P1 (x1, y1 )
Pto genérico: P(x, y )
Ec:
y – y1 = m(x – x1)
m
1
P (x,y)
P1 (x1, y2 )
Ecuación de Recta (Pendiente e intercepto con el eje de Ordenadas)
(0,b)bm
1
P (x,y)
Dado :
Pendiente: m
Intercepto: b
Pto genérico: P(x, y )
Ec: y = mx + b
0: =++ CByAxL
d
( )11; yxP
22
11),(BA
CByAxLPd
+
++=
0: 11 =++ CByAxL0: 22 =++ CByAxL
d
22
21
BA
CCd
+
−=
Ejercicios
Determine la pendiente e intersección con y de las siguientes rectas:
2. 4x + 6y +5 = 0
3. 2y = 6 + 3x
4. 3y = 8 – 2x
5. 3y – 2x = 10