Capıtulo 8

Realimentaci on de Estados yObser vadores

La teorıa de sistemas lineales que vimos da la base para la teorıa de control lineal. En este capıtulo introduci-mos los conceptos y tecnicas de control en sistemas descriptos por variables de estado. Solo consideraremossistemas estacionarios.

La teorıa de control lineal involucra la modificacion del comportamiento de un sistema de � entradas, �salidas y � estados��������� ����������������������������������� (8.1)

que llamamos la planta o ecuacion de estados en lazo abierto, mediante la aplicacion de una realimentacionlineal de estados de la forma������� �"!#�����$&%'�������� (8.2)

donde !#���� es el nuevo nombre para la senal de entrada. La matriz % es la ganancia de realimentacion deestados y � la ganancia de precompensacion.

La substitucion de (8.2) en (8.1) da la ecuacion de estados en lazo cerrado��������(�) *$&�+%")�����������,!-��������������������. (8.3)

Es obvio que el sistema a lazo cerrado tambien es lineal y estacionario. La Figura 8.1 representa el esquemade control por realimentacion de estados para un sistema SISO. El control es estatico, pues � depende solo

-

PSfrag replacements

�� ��! ��%

� �/

Figura 8.1: Realimentacion de estados

de valores presentes de los estados � y la referencia ! . Cuando los estados del sistema no pueden medir-se, se recurre a estimarlos mediante un observador de estados, que reconstruye � a partir de medicionesde � y � . La combinacion de un observador y realimentacion de estados es un controlador dinamico porrealimentacion de salida, esquematizado en la Figura 8.2.

En este capıtulo veremos

125

8. Realimentacion de Estados y Observadores Notas de CAUT2 - 126

-

PSfrag replacements �� �

0�

�! �

%

� �/

Observador

Figura 8.2: Realimentacion de salida con observador

1 tecnicas de diseno de % para

– estabilizacion (ubicacion de polos),

– esquemas de regulacion y seguimiento (desempeno y robustez),1 tecnicas de diseno de observadores.

La meta a alcanzar:

saber disenar un sistema de control lineal por realimentacion de salida (vıarealimentacion de estados + observador) para satisfacer especificacionesdeseadas de estabilidad, desempeno y robustez.

En la primera mitad del capıtulo introducimos las tecnicas para sistemas SISO. En la segunda, presen-tamos una tecnica para sistemas MIMO. Veremos otra tecnica (optima) para sistemas MIMO en el capıtuloque sigue.

Panorama del Capıtulo

8.1 Realimentaci on de Estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1278.1.1 Otra receta para calcular 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

8.2 Estabilizaci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1308.3 Regulaci on y Seguimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

8.3.1 Seguimiento Robusto: Accion Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1348.4 Obser vadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

8.4.1 Una primer solucion: Observador a lazo abierto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1368.4.2 Una solucion mejor: Observador a lazo cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1368.4.3 Observador de orden reducido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

8.5 Realimentaci on de estados estimados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1398.5.1 Notas Historicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

8.6 Realimentaci on de estados — caso MIMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1418.6.1 Diseno Cıclico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1428.6.2 Diseno via Ecuacion de Sylvester . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1438.6.3 Diseno Canonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

8.7 Obser vadores — MIMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1458.7.1 Observador MIMO de orden reducido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

8.8 Consideraciones de dise no . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1468.8.1 Dificultades de la realimentacion de ganancia elevada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1468.8.2 Resumen del proceso de diseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

8.9 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1488.10 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

8. Realimentacion de Estados y Observadores Notas de CAUT2 - 127

8.1 Realimentaci on de Estados

Comenzamos con sistemas SISO y el esquema de control de la Figura 8.1, suponiendo por el momento elprecompensador ���43 para simplificar la notacion.

Una propiedad de sistemas lineales esencial en la realimentacion de estados es la de controlabilidad.Nuestra primer observacion importante es que

La controlabilidad de un sistema es invariante con respecto a realimen-tacion de estados.

Teorema 8.1 (Invariancia de la contr olabilidad respecto a realimentaci on). El par �) �$ ��%��5�' , paracualquier vector %7698;: , es controlable si y solo si el par �) <�=�> es controlable.

Demostracion. La matriz de controlabilidad del sistema a lazo abierto (8.1) es? �A@B���C <�+�C EDF���5.=.5.#�C :CGH6 �EIJ�y la matriz de controlabilidad del sistema a lazo cerrado (8.3) es?HK �A@B���5�L *$&��%,5�����) M$&��%, D ���=.5.=.#���) *$&�+%" :�GN6 ��IJ.No es difıcil chequear que

?y? K

estan relacionadas de la forma

?HK � ?OPPPPPQ3R$7%S� $7%T�) U$V��%,5� .5.=.W$7%T�) U$V��%,X:CG D �Y 3 $7%S� .5.=.W$7%T�) U$V��%,X:CG�Z;�Y Y 3 .5.=.W$7%T�) U$V��%,X:CG\[F�...

......

. . ....Y Y Y .5.=. 3

]_^^^^^` :58;:Notar que como % es 3Ta � y � es � ab3 , todas las entradas de la matriz que multiplica a

?son escalares.

Como esta matriz es no singular, el rango de?

es igual al rango de?HK

. Ası (8.1) es controlable si y solo si(8.3) es controlable.

Aunque la controlabilidad es invariante con respecto a la realimentacion de estados, la observabilidad nolo es, como se ve en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 8.1. El sistema��������dc 3feg 3�h �������ic Y 3�h �j�����������lk 3me-n ����� (8.4)

es controlable y observable, ya que las matrices de controlabilidad? �o@�p7qjpEIT�r@Cs D6E6 I , y observabilidadt �lk�uu q n � @ 6 Dv [ I , son no singulares.

El control por realimentacion de estados ��������(!#����w$&@ Z�6 Ix������ en (8.4) lleva al sistema a lazo cerrado�������� c 3feY Y h ������� c Y 3 h �j�����������lk 3me-n �����5. (8.5)

La matriz de controlabilidad de (8.5) es? K � @Cs D6 s I , que es no singular y comprueba que el sistema realimen-

tado es controlable. Sin embargo, la matriz de observabilidad de (8.5) est �y@ 6 D6 D I , que es singular, por lo

que el sistema con esta realimentacion no es observable.

La observabilidad de un sistema no es invariante con respecto a reali-mentacion de estados.

El siguiente ejemplo ilustra lo que puede conseguirse con realimentacion.

8. Realimentacion de Estados y Observadores Notas de CAUT2 - 128

Ejemplo 8.2. La planta�������� c 3 gg 3 h ������� c 3Y h �j����tiene una matriz de evolucion con polinomio caracterısticoz �){|��}�){+$&3-�D>$*~T��{-D>$�e;{�$��T� �){�$U�j��){<��eF5�y, como se ve, autovalores � y $�e , por lo que es inestable. Consideremos un control ����!�$�@x� 6 � D IB� . Elsistema a lazo cerrado queda������ c 3 gg 3 h $ c � 6 � DY Y hF� ��� c 3Y h !� c 3'$�� 6 g $�� Dg 3�h ��� c 3Y h !�.La nueva matriz de evolucion tiene el polinomio caracterısticoz'K �){|�� �){�$&3��&� 6 ��){+$&3-w$ g � g $�� D ��{ D ����� 6 $*e\�{>��� g � D $b� 6 $��\�.Esta claro que las raıces de

z'K �){| o, equivalentemente, los autovalores del sistema a lazo cerrado puedenubicarse en cualquier posicion mediante una eleccion adecuada de � 6 y � D .

Por ejemplo, si los dos autovalores se ubican en $�3E�T��e , el polinomio caracterıstico deseado es �){>��3�$��e\��L{>��3��T�|e\���{ D ��e;{��M� . Igualando � 6 $�3���e yg � D $M� 6 $*����� da � 6 ��� y � D �43#�F� g . Ası la ganancia

de realimentacion %�� @ �"3#�\� g I movera los autovalores de �N��$�e a $�3��S��e .El ejemplo muestra que la realimentacion de estados permite ubicar los autovalores del sistema reali-

mentado en cualquier posicion, y que la ganancia de realimentacion % puede calcularse por substituciondirecta. Sin embargo, el metodo del ejemplo no es practico para mayores dimensiones. Mas aun, no quedaclaro que rol jugo la controlabilidad en esta asignacion de autovalores. Para formular un resultado gene-ral de ubicacion de autovalores recurrimos a la forma canonica del controlador, vista en el Capıtulo 4: Si? �}@��+�C <���5.=.=.��� �:�GN6=��I es no singular, el sistema (8.1) puede llevarse a la forma

���������OPPPPPQY 3 Y �5��� YY Y 3 �5��� Y...

......

. . ....Y Y Y �5��� 3$<� : $<� :�GN6 $<� :CG D �5��� $<� 6]_^^^^^` ������

OPPPPPQYY...Y 3]_^^^^^` �j���������� k � : � :CGN6 � :CG D �5��� � 6 n ������5�

(8.6)

mediante el cambio de coordenadas���� ��� , donde

� GN6 � k � �� D � .5.=.� �:�GN6=� nOPPPPPPPQ� :CGH6 � :CG D .5.=.�� D � 6 3� :CG D � :CGjZ .5.=.�� 6 3 Y

...... .5.=. ...

......� D � 6 .5.=. Y Y Y� 6 3 .5.=. Y Y Y3 Y .5.=. Y Y Y]_^^^^^^^` . (8.7)

La funcion transferencia0� �){| queda dada por0� �){|�� � 6 {|:CGH6w� � D {|:CG D � ���5� � � :{ : �b� 6 { :CGH6 �M� D { :�G D � ����� �M� : � (8.8)

Teorema 8.2 (Asignaci on de auto valores). Si la EE (8.1) es controlable, entonces mediante la realimenta-cion de estados �T�A!�$�%<� , donde % es un vector real constante 3�a � , los autovalores de *$V��% puedenser asignados arbitrariamente, siempre que los autovalores complejos conjugados se asignen en pares.

8. Realimentacion de Estados y Observadores Notas de CAUT2 - 129

Demostracion. Si (8.1) es controlable puede llevarse a la forma (8.6). Denotemos con� y�� las matrices en

(8.6). Ası tenemos que� b�}�E ���GH6 y

��&� ��� . Puede verse tambien que�?�� @ ��,� � ��,�5.=.=.5� � :CGH6 ���I �}��@B���C <�+�=.=.5.��C :CGH6 �EI �A� ? � (8.9)

por lo que ��GH6�� ? �? GH6 y la matriz de la extrema derecha en (8.7) es�?.

La substitucion de��¡�A��� en la realimentacion de estados da����!�$V%<���(!�$V%S� GN6 �� � !�$ �% ����

donde�% �¢%S��GH6 . Puesto que

� *$ �� �%}�4�'�) �$���%,5��GN6 , vemos que �$���% y� *$ �� �% tienen los mismos

autovalores.Ahora, de cualquier conjunto de � autovalores deseados podemos formar el polinomio caracterıstico

deseadoz'K �){|���{ : � �� 6 { :CGN6 � �5��� � �� : . (8.10)

Si elegimos�%��£@ �� : $�� : �=.=.5.#� �� D $&� D � �� 6 $�� 6 I , la ecuacion de estado de lazo cerrado deviene (en las

nuevas coordenadas)

���������OPPPPPQY 3 Y �5��� YY Y 3 �5��� Y...

......

. . ....Y Y Y �5��� 3$ �� : $ �� :�GN6 $ �� :CG D �5��� $ �� 6] ^^^^^` ������

OPPPPPQYY...Y 3] ^^^^^` �j����������lk � : � :CGN6 � :CG D �5��� � 6 n ������5.

Por estar en forma companion, el polinomio caracterıstico de � � ¤$ �� �%7 , y consecuentemente el de �) ¥$¦��%" ,es (8.10). Ası el sistema realimentado tiene los autovalores deseados.

Finalmente, la ganancia de realimentacion en las coordenadas originales es, usando (8.9),%§� �%T�M� �% �?H? GH6 .En lazo cerrado, la funcion transferencia del sistema cambia de (8.8) a0� K �){|�� � 6 {|:CGH6�� � D {|:CG D � ���5� � � :{ : � �� 6 { :CGH6 � �� D { :�G D � ����� � �� : � (8.11)

lo que muestra que si bien hemos movido los polos del sistema, sus ceros han quedado invariantes. Esta esuna propiedad general:

La realimentacion de estados puede mover los polos de una planta pero notiene ningun efecto sobre los ceros.

Esta propiedad explica por que la realimentacion de estados puede alterar la propiedad de observabilidad,ya que uno o mas polos pueden ubicarse mediante realimentacion para cancelar ceros del sistema, lo quevuelve esos modos inobservables.

Resumimos los pasos para calcular % en el siguiente procedimiento:

8. Realimentacion de Estados y Observadores Notas de CAUT2 - 130

Procedimiento para asignaci on de auto valores (via forma canonica)1. Obtener los coeficientes � 6 ��� D �5.=.=.=�C� : del polinomio caracterıstico

z �L{| del sistema a lazo abierto.

2. Formar las matrices de controlabilidad? � @����� ��+�=.5.=.��C �:CGH65��I y

�? � OPPQ�¨|©«ªX¬H¨|©«ª�­w® ® ®¯¨|­ ¨�¬ 6¨|©«ª�­°¨|©«ª�±w® ® ®¯¨;¬ 6 s...... ® ® ®

......

...

¨|­²¨;¬�® ® ® sAs�s¨ ¬ 6 ® ® ® sAs�s6 s ® ® ® sAs�s]_^^`GH6 .

3. Elegir los coeficientes�� 6 � �� D �=.5.=.=� �� : del polinomio caracterıstico deseado

z'K �){| y determinar la ga-nancia de realimentacion en coordenadas de

���%�� @ �� : $*� : �=.=.5.=� �� D $U� D �=.5.=.5� �� 6 $*� 6 IJ.4. Determinar la ganancia de realimentacion en coordenadas originales%�� �% �?³? GH6 .

8.1.1 Otra receta para calcular ´Un metodo alternativo para calcular % involucra la solucion de una ecuacion de Lyapunov (mediante lafuncion MATLAB lyap, por ejemplo). Este metodo, sin embargo, tiene la restriccion de que los autovaloresdeseados no pueden ser ninguno de los autovalores de . Una ventaja del metodo es que se extiendedirectamente al caso MIMO.

Procedimiento para asignaci on de auto valores (via Lyapuno v)Considerar un par �) <�=�> controlable, donde es � a � y � � ab3 . Encontrar un vector real 3Ta � % tal que�) *$V��%, tenga cualquier conjunto de autovalores deseados que no contenga autovalores de .

1. Elegir una matriz � a � cualquiera µ que tenga los autovalores deseados.

2. Elegir un vector 3"a � cualquiera�% tal que � µ � �%7 sea observable.

3. Calcular solucion unica ¶ de la ecuacion de Lyapunov ¶ $ ¶"µ �A� �% .

4. Calcular la ganancia de realimentacion %�� �% ¶ GN6 .Convenientemente, MATLAB tiene la funcion K = place(A,B,P) que calcula % para ubicar los autovaloresen los valores dados en el vector � . Restriccion: no permite repetir autovalores.

8.2 Estabilizaci on

Si una ecuacion de estado es controlable, sus autovalores pueden asignarse arbitrariamente mediante reali-mentacion de estados. Veamos que se puede hacer cuando la ecuacion de estado no es controlable.

Toda ecuacion de estado incontrolable puede llevarse a la formac ��j·� �� �¸ h � c � · � 6 DY � <¹· h c �� ·���¹· h � c �� ·Y h � (8.12)

donde � � · � �� · es controlable. Como la matriz de evolucion en (8.12) es block triangular, los autovalores dela matriz en las coordenadas originales son la union de los autovalores de

� · y� <¹· . La realimentacion de

estados����!�$V%<���(!�$ �% ����(!�$ k �� 6 �� D n c �� ·��\¹· hlleva al sistema a lazo cerradoc �� ·� �� �¸ h �£c � · $ �� · % 6 � 6 D $&� · % DY � <¹· h c �� ·��\¹· h �ic �� ·Y h !�. (8.13)

8. Realimentacion de Estados y Observadores Notas de CAUT2 - 131

Vemos de (8.13) que los autovalores de� <¹· no son afectados por la realimentacion, y por lo tanto no pue-

den modificarse. Por lo tanto, la condicion de controlabilidad de �) <�=�> no solo es suficiente sino tambiennecesaria para asignar todos los autovalores de �) U$V��%" en posiciones deseadas.

Definici on 8.1 (Estabilizabilidad). El sistema (8.12) es estabilizable si� ¹· es Hurwitz1 y el par � � · � �� · es

controlable.

La propiedad de estabilizabilidad es una condicion mas debil que la de controlabilidad para alcanzarestabilidad a lazo cerrado. Es equivalente a pedir que los autovalores no controlables sean estables.

8.3 Regulaci on y Seguimiento

El problema de regulacion se da cuando la referencia es nula !>� Y ; se pretende basicamente que el sistemasea asintoticamente estable y que la respuesta a condiciones iniciales producidas por perturbaciones tiendaa cero.

El problema de seguimiento (o del servomecanismo) se da cuando se pretende que la salida reproduzcaasintoticamente (que tienda a) la referencia !-���� . Es comun que la referencia sea un valor constante !-���'�º �)»���¼ Y . El problema de regulacion es un caso particular del de seguimiento con º � Y .

Si el sistema es controlable, sabemos que podemos asignar los autovalores del lazo cerrado calculando% para obtener la matriz de evolucion �$���% . La respuesta del sistema realimentado entonces esta dadapor �E������}�<½�¾ q G p Kj¿ÁÀ ��� Y  ���àÀs ½;¾ q G p Kj¿ ¾ À G�Ä ¿ ��!#�LÅ °Æ�ÅN.Ası, el problema de regulacion ( !-����Ç Y ) queda resuelto si % se calcula para que M$���% sea Hurwitz, yaque entonces�E������}�<½ ¾ q G p Kj¿ÁÀ ��� Y ÀBÈ+É$�$j$�Ê Y para toda condicion inicial ��� Y �.

Para el problema de seguimiento de referencia constante !-���¡� º�Ë� Y , ademas de que &$(��% seaHurwitz, requerimos una condicion en la ganancia de precompensacion � , para que �E��� ÀBÈ�É$9$�$�Ê º ,���������<½ ¾ q G p Kj¿ÁÀ ��� Y Ì Í9Î ÏÐ ÑFÒ$9$�$�Ê s �S�,�&�  Às ½ ¾ q G p Kj¿ ¾ À G�Ä ¿ �+Æ�Å � º ÀBÈ+É$�$�$�Ê ºÓ �Ô És �<½;¾ q G p Kj¿�Õ �+Æ�Ö�� 3Ó �,�<�){\×N$U ¦����%, GN6 �TØØ Ù)Ú s � 3Ó ���}$ 3�<�) �$V��%, GN6 � � (8.14)

Como �<�){\×N$* Ô����%,XGN6#� es la funcion transferencia a lazo cerrado0��K �){|�� � 6 { :CGH6 � �5��� � � :{ : � �� 6 { :CGH6 � �5��� � �� :la condicion (8.14) es equivalente a �&� �� : � � : . Obviamente, es condicion necesaria que � : Ë� Y .Regulaci on: Es necesario que �) <�=�' sea controlable. Se requiere entonces1 disenar % para que todos los autovalores de U$&�+% tengan parte real negativa.

Seguimiento de referencias constantes: Necesitamos �) <�=�> controlable y � : ��Û Ü Ý Ù È s �<�L{\×j$Þ �XGH65� Ë� Y .Se requiere entonces1 disenar % para que todos los autovalores de U$&�+% tengan parte real negativa,1 disenar ���}$�3-�;�<�) ¦$V��%, GN6 � .

1Tiene todos sus autovalores con parte real negativa.

8. Realimentacion de Estados y Observadores Notas de CAUT2 - 132

La condicion de controlabilidad del par �) <�5�' puede relajarse a la de estabilizabilidad. La restriccionestara en que no habra entonces control total de la velocidad de convergencia del error. Si hubiera modos nocontrolables muy cercanos al eje ��ß , la respuesta podrıa ser demasiado lenta u oscilatoria para considerarla regulacion y seguimiento satisfactorios.

Ejemplo 8.3 (Seguimiento de referencia constante). En el segundo ejemplo de la clase pasada calcula-mos la ganancia de realimentacion %�� @ �N�=3#�\� g I que asigna los autovalores a lazo cerrado del sistema�������� � c 3 gg 3 h $ c 3Y h k � 6 � D n � ������� c 3Y h !-���en $�3S����e . Supongamos que el sistema tiene la salida ��������à@«3�� Y IB����� , que se pretende que sigaasintoticamente referencias constantes. La funcion transferencia del sistema a lazo cerrado resulta0��K �){|�� {�$&3{ D �be;{'�M�Como

0� K � Y ��}$�3-�-� Ë�43 , �E��� tendera a $ º �-� para una referencia constante !-����� º .Incorporamos precompensacion redisenando �j������ �,!-����$&%<����� , con�&� $<�H.La Figuras 8.3 y 8.4 muestran la respuesta del sistema a lazo cerrado a un escalon unitario en !-��� sin y

con precompensacion. La funcion transferencia del sistema a lazo cerrado con precompensador resulta0��K �){|�� $<�F{'�M�{ D �be;{'�M� � 0��K � Y E�43�á������ À�È�É$9$�$�Ê º .

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

Figura 8.3: Respuesta sin precompensacion

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1.0

-0.6

-0.2

0.2

0.6

1.0

1.4

Figura 8.4: Respuesta precompensada

Ejemplo 8.4 (Efecto de incer tidumbres en el modelo). Retomemos el sistema anterior, pero supongamosque existe un error en el modelo usado para el diseno de control y la planta real tiene una matriz de evolucion M�� s �b E� c 3 gg 3 h � c Y $ Y . �Y . � Y h

La transferencia desde ã a � no estara precompensada, y por lo tanto se originara un error estaticoproporcional al valor de � : ã � �� : . Otra vez, se conserva la estabilidad pero se pierde el seguimiento. es decirque los autovalores a lazo abierto estan en @ �N. �\ä��N�5$�e¯. ��ä��;I , en vez de @ �N��$�e|I . La funcion transferencia delsistema real compensado con la ganancias % y � calculadas en base al modelo nominal es ahoraå0� K �){|�� $<�F{>�b�{ D �be;{'�b�³. Y � g;gy, aunque la estabilidad se ha conservado, la propiedad de seguimiento se ha perdido. Este esquema decontrol no tiene desempeno robusto; requiere conocer la planta con exactitud.

Ejemplo 8.5 (Efecto de per turbaciones a la entrada de la planta). Sea ahora el mismo sistema, con elmodelo correcto, pero con una perturbacion constante ã � Y . � a la entrada de la planta, como se muestraen la Figura 8.7. La Figura 8.6 muestra la respuesta del sistema perturbado.

8. Realimentacion de Estados y Observadores Notas de CAUT2 - 133

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-0.9

-0.7

-0.5

-0.3

-0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0.9

1.1

Figura 8.5: Respuesta del sistema con incerti-dumbre

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-0.9

-0.5

-0.1

0.3

0.7

1.1

1.5

Figura 8.6: Respuesta del sistema con perturba-cion de entrada.

-

PSfrag replacements

�� �ã�! ��%

� �/

Figura 8.7: Sistema con perturbacion a la entrada

8. Realimentacion de Estados y Observadores Notas de CAUT2 - 134

8.3.1 Seguimiento Robusto: Acci on Integral

Introducimos un esquema robusto de seguimiento de referencias constantes con propiedades de rechazode perturbaciones de entrada constantes. El esquema se basa en aumentar la planta agregando un nuevoestado ��æ que integra el error de seguimiento,�� æ �}!�$����(!�$V�����como se muestra en la Figura 8.8.

- -

-

PSfrag replacements

�� ��|æ ã�! �

%�5æ

� �//

Figura 8.8: Esquema de seguimiento robusto

La EE del sistema original con perturbacion de entrada es����� ��������+��� ã�Ô�(����.de modo que el sistema aumentado a lazo abierto quedac �� �� æCh � c Y$,� Y h c �� æCh � c � Y h �9�+� ã  � c Y 3 h !��� k � Y n c ���æCh .La realimentacion de estados ���($�@ K¥çÁè I\@�éé è I da el sistema a lazo cerrado de la Figura 8.8c �� �� æCh �dc *$V��% $7���5æ$,� Y h c �� æ�h �ic � Y h ã ��c Y 3 h ! (8.15)��� k � Y n c ���æ h .La idea entonces es disenar @�%+���5æCI para que la matriz de evolucion k q G p K G p çÁèG u s n en (8.15) sea Hurwitz. Enparticular, la estabilizacion de �|æ implıcitamente produce el seguimiento deseado, ya queÛ Ü ÝÀBÈ+É �� æ ������ Y á Û Ü ÝÀ�È�É ��������!�.

Cabe preguntarse si el sistema aumentado sera controlable. . .

Teorema 8.3 (Contr olabilidad de la planta aumentada con un integrador). Si �) <�5�' es controlable ysi0� �){|Þ�o�<�){\×�$� �XGN65� no tiene ceros en {&� Y , los autovalores de la matriz de evolucion aumentadak q G p K G p ç èG u s n en (8.15) pueden asignarse arbitrariamente seleccionando la matriz de realimentacion @B%���� æ I .

Demostracion. Ver Chen (1999, p. 244-245).

En terminos de polos y ceros: si la planta tuviera un cero en {b� Y , su conexion en cascada con elintegrador de � æ producirıa una cancelacion polo-cero inestable y harıa que la planta aumentada sea nocontrolable.

8. Realimentacion de Estados y Observadores Notas de CAUT2 - 135

Propiedades de seguimiento y rechazo de per turbaciones. Intercambiando el orden de los sumadoresdonde entran ã y $7%<� en la Figura 8.8 obtenemos el diagrama de bloques de la Figura 8.9, donde0�� �){|�� ��,�){|�ê �){| � �<�){\×N$* ¦����%" GN6 ���con�ê �){|���ë;ì5í��L{\× $U Ô���+%" . La respuesta del sistema en dominio { es entonces:0�w�){|�� ç è ¹î ¾ Ù ¿Ù ¹ï ¾ Ù ¿3�� çÁè ¹î ¾ Ù ¿Ù ¹ï ¾ Ù ¿ 0!-�){| �

¹î ¾ Ù ¿¹ï ¾ Ù ¿3�� çÁè ¹î ¾ Ù ¿Ù ¹ï ¾ Ù ¿ 0ã �){|� �5æ ��,�){|{ �ê �L{|���� æ ��,�){| 0!#�L{|�� { ��,�){|{ �ê �){|��&� æ ��,�){| 0ã �){|5.

-

PSfrag replacements 0�� �){|ç èÙ! �ã

Figura 8.9: DB equivalente.

Si la referencia y la perturbacion de entrada son constantes, !-����� º , ã ����+�ñð , entonces0!=�){|�� º �-{ y0ã �L{|��(ð;��{ , y la salida del sistema a lazo cerrado es0�w�){|�� �5æ ��,�){|{ �ê �L{|����5æ ��,�){| º{ � ��,�){|{ �ê �){|��&�5æ ��,�L{| ðj.

Finalmente, usando el Teorema del valor final, valido pues el lazo cerrado es estable, y la hipotesis de que��,� Y Ë� Y , obtenemos queÛ Ü ÝÀBÈ+É �E������lÛ Ü ÝÙ È s { 0�E�){|� � æ ��,� Y Y"� �ê � Y ��&�5æ ��,� Y º � Y"� ��"� Y Y7� �ê � Y ��&�5æ ��,� Y ðj.�43 � º � Y"� ð7� º .El sistema rechazara perturbaciones constantes y seguira referencias constantes — ambas de valor nonecesariamente conocido — aun frente a incertidumbres de modelado de la planta, siempre que el lazocerrado permanezca estable.

8.4 Obser vadores

El control con realimentacion de estados asume la disponibilidad de las variables de estado. Este puede noser el caso en la practica, ya sea porque ciertos estados no son medibles, o es muy difıcil o muy caro medir-los. Para implementar una realimentacion de estados, entonces, debemos disenar un dispositivo dinamico,llamado observador o estimador de estados, cuya salida sea una estima del vector de estados. En estaseccion introducimos observadores de orden completo, donde el observador tiene el mismo orden que laplanta — es decir, estimamos todo el vector de estados. Denotamos con

0������ a la estima de ������ .Consideramos entonces el sistema��������� ����������������������������������� (8.16)

donde <�=� y � son conocidas, y la entrada �j���� y salida ����� son medibles, aunque no el estado ������ . Elproblema es estimar ����� de esta informacion.

8. Realimentacion de Estados y Observadores Notas de CAUT2 - 136

8.4.1 Una primer soluci on: Obser vador a lazo abier to

Conociendo y � , podemos duplicar la ecuacion de estados original construyendo el sistema�0�������� 0����������������5. (8.17)

Este sistema podrıa construirse en forma electronica con amplificadores operacionales, o, discretizado, me-diante un programa en una computadora y una placa de entradas/salidas, como podrıa ser un PLC moderno.

Esta duplicacion es un observador a lazo abierto (Figura 8.10). Si los sistemas (8.16) y (8.17) tuvieranlas mismas condiciones iniciales, entonces para toda entrada ����� tendrıamos que

0�������V��������J»E�>¼ Y .PSfrag replacements

��

��

�

� 0�

� �

�

�

�/

/

Figura 8.10: Observador en lazo abierto

El problema se reduce entonces a estimar el estado inicial. Si el sistema es observable, su estado inicial��� Y puede computarse a partir de ����� e ����� sobre cualquier intervalo, digamos @ Y �#� 6 I . Con ��� Y calculamos����� D , � D ¼ � 6 , y ası poniendo0����� D ��&����� D y obtenemos

0��������V�����)»E��¼ � D .En conclusion: si el sistema es observable podemos usar un observador en lazo abierto para estimar el

vector de estados. Sin embargo, el observador en lazo abierto tiene las siguientes importantes desventajas:

1. Hay que calcular el estado inicial cada vez que usemos el estimador.

2. Si la matriz tuviera autovalores con parte real positiva, entonces la menor diferencia entre ����� s y0����� s para algun � s harıa que el error de estimacionå����� � ������w$ 0����� crezca con el tiempo.

8.4.2 Una soluci on mejor: Obser vador a lazo cerrado

Notemos que aunque ambas ������ e ������ estan disponibles, solo hemos usado la informacion de ����� paraconstruir el observador a lazo abierto. Usamos entonces �E���� para mejorar el diseno anterior introduciendouna correccion proporcional al error de estimacion en la salidaå�w�����}�<�ò�������$ 0�����X5.Inyectamos en el diseno anterior la senal de correccion ó �ô�������$�� 0������C , donde ó es una matriz � a�3 de

ganancia constante. Ası, si no hay error, no se hace correccion, pero si hay error, un diseno apropiado de ópodra hacer que el error de estimacion tienda asintoticamente a cero. El esquema obtenido (Figura 8.11) sellama observador a lazo cerrado, observador asintotico, o simplemente observador. La Figura 8.12 muestrael mismo esquema en forma simplificada.

De la Figura 8.11, las ecuaciones del observador son�0�������� 0������������������ ó �ô�E����w$ ¸ 0�����X�}�) *$ ó �� 0� ��������������� ó �����5. (8.18)

Definamos el error de estimacion������V������w$ 0�����5.

8. Realimentacion de Estados y Observadores Notas de CAUT2 - 137

-

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��

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�

�

0�

� �

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� �

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Figura 8.11: Observador en lazo cerrado

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0�

� �

*$ ó �ó

�

� �

/

/

Figura 8.12: Observador en lazo cerrado

8. Realimentacion de Estados y Observadores Notas de CAUT2 - 138

Veamos que condiciones debe cumplir ó para queå������ tienda asintoticamente a cero. Derivando

å����� ysubstituyendo (8.16) y (8.18), obtenemos�å������� �������w$ �0������� ������������������$V�L *$ ó �� 0� ���E$&�+�j�����$ ó ��������}�) *$ ó ��)�����w$��) U$ ó �� 0������}�) *$ ó �� å� ���5. (8.19)

La ecuacion (8.19) gobierna la dinamica del error de estimacion. Si todos los autovalores de �) b$ ó �� sepudieran asignar de forma que tengan parte real menor que, digamos, $'Ö , con Ö¢õ Y , entonces el errorde estimacion en todos los estados decrecerıa a una velocidad mayor o igual a ½|G Õ�À . Ası, aunque hubieraun error grande en los estados iniciales, el estado estimado

0������ podra aproximarse al estado real �����rapidamente.

Teorema 8.4 (Asignaci on de Auto valores en Obser vadores). Dado el par �) <���� , todos los autovalores de�) U$ ó �� pueden asignarse arbitrariamente seleccionando un vector real ó si y solo si �) <���� es observable.

Demostracion. Recurriendo a la dualidad control/observacion, el par �) <���� es observable si y solo si �L �ö�����öNes controlable. Si �) �ö�����ö° es controlable todos los autovalores de �) �ö¤$M��ö�%, pueden asignarse arbitraria-mente mediante una eleccion adecuada de % . La transpuesta de �) �ö�$&��ö�%" es �L b$�%�ö��� y por lo tantoó �A%�ö .

Ası, los mismos procedimientos usados para calcular la matriz de realimentacion de estados % sirvenpara calcular la matriz ó del observador. Resumimos el procedimiento dual al de la ecuacion de Sylvester.Consideramos el sistema � -dimensional SISO��������� ����������������������������������. (8.20)

Procedimiento de dise no de obser vador

1. Elegir una matriz Hurwitz � a � cualquiera µ que no tenga autovalores en comun con los de .

2. Elegir un vector � a*3 cualquiera ó tal que � µ � ó sea controlable.

3. Calcular la solucion unica ¶ , no singular, de la ecuacion de Sylvester ¶ U$ µ�¶ � ó � .

4. Entonces la ecuacion de estados�÷N����� µ ÷N����� ¶ ��������� ó �����0������� ¶ GH6 ÷N���� (8.21)

genera una estima asintotica de ������ .Definamos el error como

å�¡��÷�$ ¶ � . Ası, de ¶ M� µ�¶ � ó � obtenemos�å������� �÷°����w$ ¶ ��������� µ ÷N����w� ¶ �+�j����� ó �������w$ ¶ �������$ ¶ �������� µ ÷N����� ó ��������w$V� µ�¶ � ó ��)������� µ �L÷�$ ¶ �����X�� µ å�����5.Como µ es Hurwitz, el error debe tender asintoticamente a cero.

8.4.3 Obser vador de orden reducido

Si el par �) <���� es observable, usando la matriz no singular

t � OPPPQ��� ...�� �:�GN6] ^^^`

8. Realimentacion de Estados y Observadores Notas de CAUT2 - 139

como cambio de base llevamos la matriz a una forma companion donde

� b� t t GN6 �OPPPPPQY 3 .=.5. Y Y...

.... . .

......Y Y .=.5. 3 YY Y .=.5. Y 3$<� : $<� :CGH6 .=.5.r$<� D $<� 6] ^^^^^`��M�(� t GN6 �lk 3 Y .=.5. Y Y n .

(8.22)

En estas coordenadas la salida queda como el primer estado, y ası, no es necesario construir un observadorpara estimar todo el estado, sino solamente los � $&3 restantes. Este observador es de orden reducido.

Procedimiento de dise no de obser vador de orden reducido

1. Elegir una matriz Hurwitz � � $b3#Ea�� � $b3# cualquiera µ que no tenga autovalores en comun con los de .

2. Elegir un vector � � $�3->a�3 cualquiera ó tal que � µ � ó sea controlable.

3. Calcular la solucion unica ¶ , no singular, de la ecuacion de Sylvester ¶ *$ µ�¶ � ó � . Notar que ¶ esuna matriz � � $�3->a � .

4. Entonces la ecuacion de estados de orden � $�3�÷N����� µ ÷N����� ¶ ��������� ó �����0������� c �¶ h GN6 c � ÷ hgenera una estima asintotica de ������ .

El diseno de observadores via la resolucion de la ecuacion de Sylvester es conveniente porque el mismoprocedimiento sirve para observadores completos y reducidos y, como veremos, tambien para sistemasMIMO.

8.5 Realimentaci on de estados estimados

Consideremos nuevamente la planta��������� ����������������������������������.Si �) <�=�> es controlable, la realimentacion de estados ���d!+$(%'� asignara los autovalores de �) &$}�+%"en cualquier posicion deseada. Si las variables de estado no estan disponibles para la realimentacion pe-ro �) <���� es observable, podemos construir un observador de orden completo o reducido con autovaloresarbitrarios. Discutimos aquı solo el caso de observador completo�0�������}�) *$ ó �� 0� ��������������� ó �����5.La estima

0����� se aproximara asintoticamente a ����� a una velocidad determinada por la eleccion de ó .Como

0����� converge a ����� , es natural aplicar la realimentacion de estados a la estima0�������������(!-���w$V% 0��������

como se muestra en la Figura 8.13. La conexion controlador-observador, es efectivamente un controladordinamico que realimenta la salida.

Tres dudas basicas surgen frente a la conexion controlador-observador:

1. Los autovalores de Ô$*��% se obtienen de ���(!�$M%<� . ¿Seguiremos teniendo los mismos autovalorescon ���(!�$&% 0� ?

8. Realimentacion de Estados y Observadores Notas de CAUT2 - 140

-

PSfrag replacements

��

��

�

�

0�

�! �

*$ ó �ó%

�

��

/

/

Figura 8.13: Realimentacion de estados estimados

2. ¿Afectara la conexion a los autovalores del observador?

3. ¿Cual sera el efecto del observador en la funcion transferencia a lazo cerrado?

Para contestar a estas preguntas recurrimos a las EE que describe el sistema completo (juntando las delsistema y las del observador y con ���(!�$&% 0� ):c �� �0�³h � c $7�+%ó � *$ ó �*$V��% h c � 0� h � c �� h !�Ô� k � Y n c � 0� h .Consideremos la transformacion de equivalenciac � å� h � c ��¥$ 0� h � c × Y×ø$7× h c � 0� h � � c � 0� h . (8.23)

Notemos que � GH6 � � . La transformacion (8.23) lleva al sistema controlador-observador a la formac �� �å�³h � c U$&�+% �+%Y U$ ó � h c � å� h � c � Y h !�Ô��k � Y n c � å�jh .Como la matriz de evolucion es block-triangular, los autovalores del sistema completo son la union de losautovalores de &$}�+% y &$ ó � . Esto implica que el estimador no afecta la realimentacion de estadosoriginal; tampoco son afectados los autovalores del observador por la realimentacion de estados.

Propiedad de separaci on de contr ol y obser vaci on: Los disenos del control porrealimentacion de estados y el observador pueden realizarse en forma independiente.

Finalmente, notemos que la EEc �� �å� h � c U$&�+% �+%Y U$ ó � h c � å� h � c � Y h !�Ô��k � Y n c � å� hevidencia los modos controlables y los no controlables. Ası, vemos que los modos del error de estimacionå������ son no controlables, por lo que no apareceran en la funcion transferencia del sistema completo, quequeda determinada por la ecuacion de estados de orden reducido����}�) U$V��%"L�¥����!���(����� � es decir:

0� �){|��}�<�){\×N$U ¦����%, GN6 ��.

8. Realimentacion de Estados y Observadores Notas de CAUT2 - 141

8.5.1 Notas Hist oricas

Rudolph E. Kalman, considerado uno de los investigadores mas influ-

R.E. Kalman (1930-)

yentes en teorıa de control, fue el lıder en el desarrollo de una teorıa rigu-rosa de sistemas de control durante los anos 1960’s. Sus contribucionesincluyen las nociones de variable de estados, controlabilidad, observabili-dad, control por realimentacion de estados, y el principio de superposicionde control y observacion.

Durante 1960-1961, desarrollo, junto a Richard Bucy, el estimadoroptimo hoy conocido como “filtro de Kalman”, ampliamente usado ensistemas de navegacion, radares, y sonares, y tambien en campos tandiversos como procesamiento de datos sısmicos, plantas nucleares, ins-trumentacion y econometrıa.

Nacido en Budapest, Hungrıa, Kalman estudio en el MIT, y recibio su

D.G. Luenberger

doctorado de la Columbia University (1957). Hoy es profesor emerito deestudios de postgrado de la University of Florida, y ad personam chair delSwiss Federal Institute of Technology en Zurich, Suiza.2

El concepto de observadores puede atribuirse a David G. Luenberger,que lo desarrollo como resultado de su tesis doctoral (Stanford University,1963). Su trabajo incluıa los aspectos basicos de observadores, inclu-yendo observadores de orden reducido y transformaciones canonicas.

Actualmente, David Luenberger es profesor en el departamento desistemas economicos, de ingenierıa y investigacion operacional de la Uni-versidad de Stanford.

8.6 Realimentaci on de estados — caso MIMO

Si el sistema considerado����� ��S���+����(���tiene � entradas, la ganancia de realimentacion de estados % en �¥�¢$7%'� tiene � a � elementos; es decir,hay un “exceso” de grados de libertad, ya que en principio solo necesitamos � ganancias para asignar �autovalores a lazo cerrado del sistema.

En el caso de una sola entrada, existe una unica solucion % para una dada configuracion de autovaloresa lazo cerrado elegida. En el caso multi-entrada la ganancia % que da los autovalores a lazo cerrado elegidosno es unica ¿Cual elegir entonces? Este “exceso” de grados de libertad puede llegar a ser un problema sino esta claro como aprovecharlo. Existen varias formas de atacar el problema de eleccion de % en el casomulti-entrada, entre ellas:

1. Diseno cıclico. Reduce el problema a uno de una entrada y aplica las tecnicas conocidas.

2. Diseno vıa ecuacion de Sylvester. Extiende el metodo de la ecuacion de Sylvester a multi-entrada.

3. Diseno canonico. Extiende la formula de Bass-Gura usando la forma canonica multi-entrada del con-trolador.

4. Diseno optimo. Calcula la matriz % en forma optima.

Desarrollaremos los tres primeros. El diseno optimo, que es una forma sistematica de utilizar todos losgrados de libertad disponibles, lo trataremos en el capıtulo siguiente.

MATLAB la funcion K = place(A,B,P) es valida en el caso multi-entrada, y permite asignar los autova-lores especificados en P, inclusive repitiendo autovalores un numero maximo de veces igual al numero deentradas.

Antes de entrar en los metodos de diseno, vale remarcar que los resultados de controlabilidad y asig-nabilidad de autovalores se extienden al caso multivariable. Los resumimos en los siguiente teoremas; laspruebas siguen de cerca el caso SISO y no las repetimos.

2Nota historica extraıda de un artıculo de Eduardo Sontag en el SIAM News, 6/94.

8. Realimentacion de Estados y Observadores Notas de CAUT2 - 142

Teorema 8.5 (Contr olabilidad y realimentaci on — MIMO). El par �) �$���%+�=�> , para cualquier matriz real� a � % , es controlable si y solo si �) <�=�> es controlable.

Teorema 8.6 (Asignabilidad de auto valores — MIMO). Todos los autovalores de �) �$Ã�+%" pueden asignar-se arbitrariamente (siempre y cuando los autovalores complejos conjugados se asignen en pares) eligiendola matriz constante real % si y solo si �) <�=�> es controlable.

8.6.1 Diseno Cıclico

En este metodo transformamos el problema multi-entrada en uno de una entrada y despues aplicamos losmetodos de asignacion de autovalores del caso SISO.

Definici on 8.2 (Matriz Cıclica). Una matriz se dice cıclica si su polinomio caracterıstico es igual a supolinomio mınimo.

Recordemos:1 Toda matriz satisface su polinomio caracterısticoz �Jù ���ë;ì5í��)ùE×N$� ��� Y , por el Teorema de Cayley-

Hamilton.1 El polinomio mınimo de una matriz es el polinomio de mınimo orden ú �Jù  para el que ú �L ��� Y .1 El polinomio mınimo de una matriz es igual al caracterıstico si y solo si hay un y solo un bloque deJordan asociado a cada autovalor distinto de .

Ejemplo 8.6.

6 � OPPQ ù 6 Y Y YY ù D 3 YY Y ù D 3Y Y Y ù D] ^^` D � OPPQ ù 6 Y Y YY ù D 3 YY Y ù D YY Y Y ù D

] ^^`La matriz 6 es cıclica: ù 6 tiene solo un bloque de Jordan de orden 1 y ù D solo uno de orden 3. La matriz Dno es cıclica: ù 6 tiene un bloque de Jordan de orden 1 pero ù D tiene dos, uno de orden 2 y uno de orden 1.

Teorema 8.7 (Contr olabilidad con � entradas á contr olabilidad con 3 entrada). Si el sistema de orden �con � entradas �) <�5�' es controlable y si es cıclica, entonces para casi cualquier vector � a¦3�û , el sistemade 1 entrada �) <�5�'û� es controlable.

No probamos formalmente este resultado pero mostramos su validez intuitivamente. Como la controlabi-lidad es invariante bajo transformacion de coordenadas, asumimos en forma de Jordan. Para ver la ideabasica consideremos el ejemplo siguiente:

M� OPPPPQe 3 Y Y YY e 3 Y YY Y e Y YY Y Y $�3 3Y Y Y Y $�3

]_^^^^` �&� OPPPPQY 3Y Y3me� g3 Y]_^^^^` �>û��A� c�ü 6ü D h �

OPPPPQýý� ý�]_^^^^` . (8.24)

Hay solo un bloque de Jordan asociado a cada autovalor; por lo tanto es cıclica. La condicion para que�) <�=�> sea controlable en estas coordenadas es que la tercera y ultima fila de � sean distintas de cero.Las condiciones necesarias y suficientes para que el par de una entrada �) <�5�'û< sea controlable son � Ë�

y � Ë� Y en (8.24). Como�M� ü 6 �be ü D � y � � ü 6entonces � o � es cero si y solo si ü 6 � Y o ü 6 � ü D �}$�e . Ası, cualquier û que no tenga ü 6 � Y o ü 6 � $�e ü D vaa hacer �) <�=�>û+ controlable.

El vector û�þÞÿ D puede asumir cualquier valor en ÿ D que no este en la union de las dos lıneas mostradasen la Figura 8.14. La probabilidad de que un û elegido aleatoriamente caiga sobre estas lıneas es nula, ypor lo tanto, para casi todo û el par �) <�=�>û+ sera controlable.

8. Realimentacion de Estados y Observadores Notas de CAUT2 - 143

PSfrag replacements

3 3e

e ü 6ü D

ü 6 � Y ü 6 � $�e ü DFigura 8.14: ÿ D

La condicion de que sea cıclica es esencial. Por ejemplo, el par M��� D 6 ss D ssEs D�� �&��� D 6s D6 s �es controlable, puesto que las filas e y

gde � son linealmente independientes. Sin embargo, no hay ningunû tal que �) <�5�'û� sea controlable (dos bloques de Jordan asociados al mismo autovalor y una sola entrada).

Si todos los autovalores de son distintos, entonces hay solo un bloque de Jordan asociado a cada uno,y por lo tanto la matriz es cıclica.

Teorema 8.8 (Cıclica por realimentaci on). Si �) <�=�> es controlable, entonces para casi toda matriz � a �real constante % , la matriz �L U$&�+%" tiene autovalores distintos y, por lo tanto, es cıclica.

No es difıcil ver que la probabilidad de que, eligiendo % al azar, los autovalores de y �) �$Þ�+%" coincidanes nula. Este resultado, junto con el anterior, nos da el procedimiento para asignar los autovalores de�) U$V��%" en los lugares deseados.

Procedimiento de asignaci on de auto valores por dise no cıclico1. Si no es cıclica, introducir ��� ã $M% 6 � tal que

� � Ô$*��% 6 sea cıclica. Como �) <�5�' es controlable,tambien lo es � � <�5�' .

2. Elegir una û�þ�ÿ��-8�6 tal que � � <�=�>û< sea controlable.

3. Introducir ã �(!³$¥û�% D � , donde % D þÞÿ�6X8F: sea tal que los autovalores de� �$Þ�'û,% D sean los deseados.

4. La realimentacion final es ���}!�$V�9% 6 �Vû,% D )� .En MATLAB, partiendo de matrices A,B y autovalores a lazo cerrado deseados en el vector P:

>> (n,p) = size(B);>> K1 = rand(p,n);>> V = rand(p,1);>> K2 = place(A-B*K1,BV,P);>> K = K1 + V*K2;

8.6.2 Diseno via Ecuaci on de Sylvester

El metodo de diseno via la solucion de una ecuacion de Sylvester se extiende al caso multi-entrada. Sea unsistema controlable de orden � y � entradas �) <�=�> . El problema es encontrar una matriz � a � real constante% tal que �) �$}��%, tenga cualquier conjunto de autovalores deseados siempre que no contenga ningunautovalor de .

8. Realimentacion de Estados y Observadores Notas de CAUT2 - 144

- -PSfrag replacements

� �

% 6û�% D

/�! ����

Figura 8.15: Realimentacion por diseno cıclico

Procedimiento de asignaci on de auto valores por dise no vıa ecuaci on de Sylvester1. Elegir una matriz � a �¥µ con el conjunto de autovalores deseados — que no contenga ninguno de .

2. Elegir una matriz � a � arbitraria�% tal que � µ � �%7 sea observable.

3. Hallar la unica solucion ¶ en la ecuacion de Sylvester ¶ $ ¶"µ �A� �% .

4. Si ¶ es singular, elegir una�% distinta y repetir el proceso. Si ¶ es no singular, %(� �% ¶ GH6 , y �) U$&��%"

tiene el conjunto de autovalores deseados.

Si ¶ es no singular, la ecuacion de Sylvester y % ¶ � �% implican�) �$&��%, ¶ � ¶"µ o U$V��%�� ¶"µ�¶ GH6y ası �$ ��% y µ son similares y tienen los mismos autovalores. A diferencia del caso SISO, donde ¶es siempre no singular, en el caso MIMO ¶ puede ser singular aun cuando �L ��5�' es controlable y � µ � �%7observable.

8.6.3 Diseno Canonico

Este diseno extiende a MIMO el procedimiento que seguimos para derivar la formula de Bass-Gura en SISO.La derivacion es complicada, pero como realmente muestra la esencia de la realimentacion de estados, lopresentamos para un ejemplo.

La idea es llevar al sistema a la forma canonica multientrada del controlador. Supongamos que tenemosun sistema de orden 6, 2 entradas y 2 salidas, es decir, �þ�ÿ��=8�� , ��þÞÿ��58 D , y �&þ�ÿ D 8� .

Primero buscamos columnas linealmente independientes en? �A@B���C <�+�=.=.5.-�C �|��Ien orden de izquierda a derecha. Supongamos que los ındices de controlabilidad son � 6 ��� y � D �§e .3

Entonces existe una matriz no singular � tal que el cambio de coordenadas��4�²��� transformara el

sistema a la forma canonica multi-entrada del controlador

�����OPPPPPPPPQ$<� 66�6 $<� 66 D $<� 66LZ $<� 66Á[3 Y Y YY 3 Y YY Y 3 Y

$<� 6 D 6 $<� 6 D�DY YY YY Y$<� D 6�6 $<� D 6 D $<� D 6LZ $<� D 6Á[Y Y Y Y $<� DD 6 $<� DD�D3 Y]_^^^^^^^^` ����

OPPPPPPPPQ3�ð 6 DY YY YY YY 3Y Y

]_^^^^^^^^` ��Ô� c � 66�6 � 6�6 D � 66ÁZ � 66Á[ � 6 D 6 � 6 D�D� D 6�6 � D 6 D � D 6ÁZ � D 6Á[ � D�D 6 � DD�D h ��

3Es decir, en las columnas LI de � hay 4 de la entrada 1, y 2 de la entrada 2.

8. Realimentacion de Estados y Observadores Notas de CAUT2 - 145

Ahora, de cualquier conjunto de 6 autovalores deseados podemos formar el polinomioz K �){|�� �){ [ � �� 666 { Z � �� 66 D {-D�� �� 66LZ {<� �� 66Á[ ��){-D�� �� DD 6 {<� �� D�DD 5.Eligiendo

�% como�%§� c 3Rð 6 DY 3 h GH6 c �� 6�66 $*� 6�66 �� 6�6 D $*� 66 D �� 6�6ÁZ $*� 66LZ �� 6�6 [ $*� 66Á[ $<� 6 D 6 $<� 6 DD�� D 66 $*� D 66 �� D 6 D $*� D 6 D �� D 6ÁZ $*� D 6LZ �� D 6 [ $*� D 6Á[ �� DD 6 $*� DD 6 �� DD�D $*� DD�D hse puede verificar facilmente que

� U$ �� �%§�OPPPPPPPPQ$ �� 6�66 $ �� 6�6 D $ �� 6�6ÁZ $ �� 6�6 [3 Y Y YY 3 Y YY Y 3 Y

Y YY YY YY Y$ �� D 66 $ �� D 6 D $ �� D 6ÁZ $ �� D 6 [Y Y Y Y $ �� D�D 6 $ �� D�DD3 Y] ^^^^^^^^`

Como � � ¡$ �� �%, es triangular en bloques, para cualesquiera�� D 6�� ���³�A3��Xe³� g ��� , su polinomio caracterıstico es

igual al producto de los polinomios caracterısticos de los bloques diagonales de ordenes � y e . Como estosbloques estan en forma companion, el polinomio caracterıstico de � � Ô$ �� �%7 es igual al deseado. Finalmente%§� �%S� ubica los autovalores de �$&��% en las posiciones deseadas.

8.7 Obser vadores — MIMO

Todo lo que discutimos sobre observadores en el caso SISO vale para el caso MIMO; para el sistema de �estados, � entradas y � salidas����� ����������(���el problema de observacion consiste en usar la entrada � y la salida medida � para obtener una estimaasintotica

0� del estado del sistema � . Como en el caso SISO, el observador esta dado por las ecuaciones�0���(�) *$ ó �� 0�T�����+� ó ��.Este es un observador de orden completo. Definiendo el error de estimacion como en el caso SISO,å����� � ������w$ 0�����5�llegamos a que la dinamica del error esta dada por�å���(�) *$ ó �� å��.Si el par �) <���� es observable, entonces los autovalores de �) �$ ó �� pueden asignarse arbitrariamente pormedio de una eleccion adecuada de ó . Ası, la velocidad de convergencia de la estima

0� al estado actual �puede hacerse tan rapida como se quiera.4

Los mismos metodos vistos para calcular % y asignar los autovalores de V$���% pueden usarse paracalcular ó y asignar los autovalores de �$ ó � . Por ejemplo, en MATLAB, dados los autovalores deseados enel vector � , usamos

>> L = place(A’,C’,P)’;

4Sin embargo, esto no necesariamente implica que el error pueda reducirse arbitrariamente. Puede mostrarse que ceros y polosde la planta con parte real positiva imponen una limitacion a la mınima “energıa” del error, �������������! ��"���! $#� , lograble eligiendo % . Haycasos en que no puede reducirse a cero.

8. Realimentacion de Estados y Observadores Notas de CAUT2 - 146

8.7.1 Obser vador MIMO de orden reducido

Presentamos el procedimiento de Chen (1999) via ecuacion de Sylvester.

Procedimiento de dise no de obser vador MIMO de orden reducidoSea el par �) <���� observable, donde �þ�ÿT:58;: y ��þÞÿ'&�8;: . Asumimos que el rango de � es � (es decir, todaslas salidas son l.i.).

1. Elegir una matriz Hurwitz cualquiera µ þ�ÿ ¾ :�G�& ¿ 8 ¾ :�G�& ¿ que no tenga autovalores en comun con los de .

2. Elegir una matriz cualquiera ó þÞÿ ¾ :�G�& ¿ 8(& tal que � µ � ó sea controlable.

3. Calcular la solucion unica ¶ þÞÿ ¾ :CG)& ¿ 8F: de la ecuacion ¶ U$ µ�¶ � ó � .

4. Si la matriz �¢� k5uö n þ�ÿS:�8F: es singular, volver al paso 2 y repetir el proceso. Si � es no singular,entonces la EE�÷N����� µ ÷N����� ¶ ��������� ó �����0������� c �¶ h GN6 c � ÷ hgenera una estima asintotica de ������ .

8.8 Consideraciones de dise no

Sabiendo ya como asignar autovalores a lazo cerrado por realimentacion de estados, y como disenar unobservador en caso de que no todos los estados sean medibles, resta decidir donde colocar estos autovalo-res. Damos ahora algunas pautas a tener en cuenta en esta eleccion. Recordemos que dado el polinomiocaracterıstico deseadoz K �){|���{ : � �� 6 { :CGN6 � �5��� � �� : 3;.la formula de Bass-Gura daba la ganancia de realimentacion (SISO)

%§� OPPPQ�� : $*� :

...�� D $*� D�� 6 $*� 6] ^^^`ö OPPPPPPPQ� :�GN6 � :CG D .=.5.d� D � 6 3� :�G D � :CG�Z .=.5.d� 6 3 Y

...... .=.5. ...

......� D � 6 .=.5. Y Y Y� 6 3 .=.5. Y Y Y3 Y .=.5. Y Y Y] ^^^^^^^`GN6? GH6 � (8.25)

donde? � @��+�C <���5.=.5.|�� �GN65��I es la matriz de controlabilidad del sistema.

Notamos de (8.25) que % sera mayor en magnitud (norma):1 cuanto mas se desplacen los autovalores respecto de las posiciones de lazo abierto (mayores diferen-cias entre � � y

�� � ),1 cuanto mas cerca de ser singular este?

(cuanto menos controlable sea el sistema, mayor esfuerzollevara controlarlo).

8.8.1 Dificultades de la realimentaci on de ganancia elevada

Si se desea estabilizar el sistema, habra necesariamente que mover autovalores al lado izquierdo del planocomplejo. Sin embargo, moverlos excesivamente a la izquierda implicara usar una % elevada. Una % elevadatendera a hacer saturar los actuadores, trayendo efectos indeseados en el desempeno del sistema.

Es claro que si bien la estabilidad es un punto esencial en el diseno, no es el unico; existen tambienrequerimientos de velocidad de respuesta, sobrevalor, etc. Como discutieramos anteriormente, la velocidaddel sistema queda definida por su “ancho de banda”, definido como la frecuencia a partir de la cual lamagnitud de la respuesta en frecuencia del sistema comienza a decaer significativamente (3 dB).

8. Realimentacion de Estados y Observadores Notas de CAUT2 - 147

En terminos de autovalores, el ancho de banda queda determinado por los autovalores dominantes, esdecir, aquellos cuya parte real es mas cercana al origen (los de transitorios de decaimiento mas lento). Ası,el mover los autovalores excesivamente a la izquierda implica tambien un lazo cerrado de gran ancho debanda, que puede amplificar incertidumbres en el modelo y perturbaciones de alta frecuencia. Remarcamosque ademas, si los autovalores a lazo cerrado se situan a distancias desparejas del origen, el esfuerzo decontrol no sera eficientemente distribuido, lo que implica desperdicio de energıa.

Resumiendo, para una eleccion razonable de los autovalores:1 Elegir el ancho de banda suficientemente grande como para alcanzar los requerimientos de velocidadde respuesta deseados.1 No excederse en el ancho de banda — ojo a los efectos de ceros de fase no mınima (subvalor excesivo),y el ruido y la incertidumbre de modelado en alta frecuencia.1 Ubicar los autovalores a distancias aproximadamente uniformes del origen para un uso eficiente delesfuerzo de control.

Una configuracion de autovalores comun que satisface estos lineamientos es la de Butterworth, originariade teorıa de filtrado. La configuracion Butterworth se define por 2 parametros: la frecuencia de corte ß s y elorden � . La ubicacion de los autovalores queda definida por las raıces de la ecuacion� {ß s � D ç � �X$�3# ç+* 6 .

PSfrag replacements ��ß��ß��ß��ß$'ß s ÖÖÖÖ���A3 ����e ��� g �¤�&�

,�-/. ,�-10 ,)-12

Figura 8.16: Configuracion de polos Butterworth para ���43;�Ce³� g ��� .Los polinomios cuyos ceros tienen la configuracion Butterworth son los polinomios de Butterworth. Los

primeros 4 son:� 6 �){|���{<��3� D �){|���{-D��43 e�{<��3� Z �){|���{ Z ��e�{ D ��e;{'�§3� [ �){|���{ [ ��e¯. äH3 g { Z ���Je+� 3 e;�{ D ��e¯. äH3 g {>�§3;.Los filtros de Butterworth, cuyos denominadores son los polinomios de Butterworth, se pueden calcular enMATLAB con la funcion

>> [Num,Den] = butter(N,W0,’s’)

Como veremos en detalle en el ultimo capıtulo, la configuracion Butterworth tiene propiedades de opti-malidad.

8. Realimentacion de Estados y Observadores Notas de CAUT2 - 148

PSfrag replacements

Arquitectura de control

Especificaciones

Modelo matematico

Ganancias de control

Observador

Chequeo de robustez

Simulacion

Construccion y ensayo

¿OK?no

si

Figura 8.17: Proceso de diseno

8.8.2 Resumen del proceso de dise no

8.9 Resumen

Vimos dos metodos para calcular la ganancia de realimentacion de estados % para asignar los autovaloresde la matriz de evolucion *$V��% del lazo cerrado en las raıces de un polinomio caracterıstico deseado:z K �){|���{ : � �� 6 { :CGN6 � �5��� � �� : 3;.El primer metodo usa la formula

%§� OPPPQ�� : $*� :

...�� D $*� D�� 6 $*� 6] ^^^`ö OPPPPPPPQ� :�GN6 � :CG D .=.5.d� D � 6 3� :�G D � :CG�Z .=.5.d� 6 3 Y

...... .=.5. ...

......� D � 6 .=.5. Y Y Y� 6 3 .=.5. Y Y Y3 Y .=.5. Y Y Y] ^^^^^^^`GN6? GH6

que se conoce como Formula de Bass-Gura, donde � 6 ��� D �=.5.=.5�C� : son los coeficientes del polinomio carac-terıstico de , y

? �}@����� <���=.5.=.��C :�GN6 ��I es la matriz de controlabilidad del sistema a lazo abierto.

Funciones utiles en MATLAB1 pol=poly(A) calcula los coeficientes pol=[ 3;�C� 6 ��� D �=.5.=.#��� : ] del polinomio caracterıstico de la matrizA.1 CC=ctrb(A,B) calcula la matriz de controlabilidad

?.1 lop=fliplr(pol) invierte el orden de los coeficientes en el vector pol; o sea lop=[ � : �=.5.=.=��� D ��� 6 �#3 ].1 R=hankel(fliplr(pol(1:n-1))) arma la matriz

5 � OPPQj¨ ©«ªX¬ ¨ ©«ª�­ ® ® ®¯¨ ­ ¨ ¬ 6¨|©«ª�­°¨|©«ª�±w® ® ®¯¨;¬ 6 s...... ® ® ®

......

...

¨ ­ ¨ ¬ ® ® ® s¢s�s¨�¬ 6 ® ® ® s¢s�s6 s ® ® ® s¢s�s] ^^`

8. Realimentacion de Estados y Observadores Notas de CAUT2 - 149

La siguiente secuencia en MATLAB calcula % en la formula de Bass-Gura, de A,B y polK=[ 3;� �� 6 �=.5.=.=� �� : ](polinomio deseado):

>> pol = poly(A);>> n = length(pol);>> R = hankel(fliplr(pol(1:n-1)));>> K = (polK(2:n-1) - pol(2:n-1))*inv(R)*inv(ctrb(A,B));

El segundo metodo resuelve la ecuacion de Lyapunov generalizada (tambien llamada de Sylvester ) ¶ $ ¶"µ �}� �%¤�donde µ es una matriz cualquiera con los autovalores a lazo cerrado deseados (distintos de los de ) y

�% unvector fila arbitrario tal que � µ � �%" sea observable. Entonces%§� �% ¶ GH6 .En MATLAB

>> T = lyap(A,-F,-B*Kbar);>> K = Kbar*inv(T);

Tarea de estudio Ver la justificacion del segundo metodo en Chen (1999, 6 8.2.1, paginas 239-41).

8.10 Ejercicios

Ejercicio 8.1. Calcular un control por realimentacion de estados �¥�¢!>$�%'� para estabilizar el sistema delpendulo invertido dado por las EE

���� OPPQ Y 3 Y YY Y $�3 YY Y Y 3Y Y � Y] ^^` ���

OPPQ Y 3Y$�e] ^^`��� k 3 Y Y Y n �

ubicando los autovalores del lazo cerrado en $�3;. �"�¥� Y . � y $�3'�Ã� . Utilizar los dos procedimientos dados ycomparar las ganancias de realimentacion obtenidas.

Simular la respuesta del sistema realimentado a un escalon unitario en la referencia. Calcular la cotainferior teorica para el subvalor en la respuesta y comparar con los valores observados en la simulacion.¿Cual es el compromiso de diseno si se quisiera hacer la respuesta a lazo cerrado mas rapida?

¿Como se altera la respuesta si se recalcula una % para ubicar uno de los autovalores a lazo cerradosobre el cero estable del sistema?

Ejercicio 8.2. Redisenar el controlador para el sistema del Ejemplo 8.3 incorporando accion integral segun elesquema de la Figura 8.8. Verificar por simulacion las propiedades de robustez y rechazo de perturbacionesdel lazo cerrado introduciendo incertidumbres de modelado y perturbaciones de entrada.

Ejercicio 8.3. ¿Es posible cambiar la funcion de transferencia a lazo abierto0� �){|�� ¾ Ù GH6 ¿ ¾ Ù * D ¿¾ Ù * 6 ¿ ¾ Ù G D ¿ ¾ Ù * Z ¿ a la de lazo cerrado0� ç �){|�� Ù GH6¾ Ù * D ¿ ¾ Ù * Z ¿

mediante realimentacion de estados? ¿Sera el sistema resultante BIBO estable? ¿Y asintoticamente esta-ble? ¿Que puede decirse para0� �){|�� ¾ Ù GH6 ¿ ¾ Ù * D ¿¾ Ù * 6 ¿ ¾ Ù G D ¿ ¾ Ù * Z ¿ al lazo cerrado

0� ç �){|�� 6¾ Ù * Z ¿/7

8. Realimentacion de Estados y Observadores Notas de CAUT2 - 150

Ejercicio 8.4. Encontrar la ganancia % en ���(!¯$�%'� para asignar en $�3 y $�e los autovalores a lazo cerradodel sistema���� c e 3$�3 3�h ��� c 3e�h ��Ô� k 3 3 n ��.Ejercicio 8.5. Disenar un observador de orden completo y uno de orden reducido para estimar los estadosdel sistema del Ejercicio 8.4. Elegir los autovalores de los estimadores dentro del conjunto 8 $ g �5$�e<�S��e�9 .Ejercicio 8.6. Calcular la funcion transferencia de ! a � del sistema a lazo cerrado del Ejercicio 8.4. Repetirel calculo si la realimentacion se aplica al estado estimado con el observador de orden completo disenadoen el Ejercicio 8.5. Repetir pero ahora con la estima obtenida del observador de orden reducido. ¿Son lastres funciones transferencia la misma?

Ejercicio 8.7. Considerar el diseno del control de posicion del motor de corriente continua del ejemplo tutorialen Matlab.

1. Implementar el sistema con controlador en SIMULINK. Simular la respuesta a un escalon en ! , y a unescalon de torque de perturbacion aplicado

Y .«3 segundos mas tarde.

2. Disenar un observador de orden reducido. Asignar los autovalores del observador de modo que noafecten la respuesta especificada para el sistema.

3. Incorporar el observador al modelo SIMULINK y aumentar el valor del momento de inercia del motor enun 20%. Repetir el ensayo de respuesta a un escalon de la referencia y perturbacion de torque. ¿Seconserva el desempeno? ¿Cual es la maxima perturbacion admisible?

Ejercicio 8.8. Para el sistema dado por

M� OPPQ Y 3 Y YY Y 3 Y$ g 3fe ge 3 Y Y] ^^` �&� OPPQ Y YY Y3 eY e

] ^^`encontrar 2 matrices % tales que los autovalores de *$&�+% sean $'�,�S� g y $<���S��� .