Zufallsbewegungen

Random Walk

G. Sutmann

Research Centre Jülich (FZJ)John von Neumann Institute for Computing (NIC)Central Institute for Applied Mathematics (ZAM)D - 52425 Jülich

http://www.fz-juelich.de/zam/ZAMPeople/sutmann(ZAM Raum 126, Tel. 02461/61-6746e-mail: g.sutmann@fz-juelich.de)

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Zufall in der Physik?

• Wie bereit gesehen können Zufallskomponenten einige Informationen auch über deterministische Systeme liefern:– Bspw. Auswertung von Integralen mit bestimmten Wert

• Andererseits gibt es Systeme, die inhärent stochastische Elemente beinhalten– Zufallsbewegungen durch ungeregelte Stöße

• Welche Aussagen kann man dann über zufällige Ereignisse machen?

• Die einfachste (und intuitivste) Darstellung von Zufallsbewegungen sind die Random Walks

Was sind Random Walks ?• Sehr einfache Vorstellung:

– Starte bei einem beliebigen Anfangspunkt x0

– Gehe in eine beliebige Richtung mit einer zufälligen Schrittweite dx– Die Frage ist dann: wie weit kommt man eigentlich nach n

Schritten?

x0

xn

Random Walks

• In der statistischen Physik werden Random Walks sehr häufig angewandt, z.B.– Diffusion von Partikeln in Flüssigkeiten und Festkörpern– Strukturbildung in komplexen Systemen– Modellierung von Chemische Reaktionen in komplexen Systemen

• Eigenschaften sind sehr gut untersucht

Random Walks (cont‘d)• Ansatz: Führe „sehr viele“ Simulationen mit gleicher Schrittanzahl

n aus und messe das Verschiebungsquadrat

• Ergebnis:

– D.h. die Standardabweichung ist

• D.h. die Unsicherheit über zukünftige Entwicklungen nimmt mit der Wurzel der Schritte zu.

Random Walk (cont‘d)

• Grund für das Wurzelverhalten– Der Endabstand ergibt sich als Summe der Einzelschritte– Random Walk kann also als vektorieller Prozeß aufgefaßt werden

#

• Die Dimension des Problems ist noch nicht berücksichtigt

• Ergebnis für das mittlere Verschiebungsquadrat bleiben aber auch in höheren Dimensionen erhalten

– Immer proportional zur Anzahl der durchgeführten Schritte– Eigenschaft von selbstähnlichen Systemen– Statistische Eigenschaften sind auf jedem Detaillierungsgrad dieselben– Jede Schrittweite läßt sich auffassen als End-zu-End-Vektor eines Random

Walk mit kleinerer Schrittweite– Jeder Endvektor läßt sich auffassen als Schrittweite eines gröberen

Random Walks #

Random Walk (cont‘d)

• Die statistische Verteilung des End-zu-End-Vektors ist normalverteilt (für große n)– Folgt aus dem zentralen Grenzwertsatz – Die Wahrscheinlichkeitsdichte ist daher

Random Walk (cont‘d)• Bisher war nur angenommen worden, daß die Zufallsbewegungen

„irgendwie“ zufällig sind• Die Verteilung der Entfernungen war normalverteilt mit

• Ist das immer so?• Was passiert, wenn man Schrittweiten nimmt, die verschiedenen

Verteilungen genügen?

• Beispiele: Zufallszahlen gezogen aus– Bernoulli-Verteilung– Gleichverteilung– Normalverteilung

• Jedes mal wird eine Normalverteilung angenommen!

Random Walk (cont‘d)• Ziehe Zufallszahlen aus einer Cauchy-Verteilung

• Verteilung für größere Zeiten bleibt eine Cauchyverteilung!

• Weiterhin gilt

• Warum ist das so?– Im zentralen Grenzwertsatz wird gefordert, daß der Mittelwert aus

der Verteilung und die Standardabweichungen (bzw. Varianz) existieren und endlich sind

Random Walk (cont‘d)• Cauchy Verteilung ist ein Spezialfall der Levy Verteilungen (μ=1)

– Die Levy Verteilung ist durch eine einfache Form der charakteristischen Funktion definiert

– Die Verteilung in Abhängigkeit von x bekommt man durch Fouriertrnsformation

• Gauß Verteilung wird angenommen für μ=2• Dabei steuert der Parameter μ>0 die Form der Verteilung• Die asymptotische Form ist dabei

– In Analogie zu Wechselwirkungspotentialen steuert μ das Konvergenzverhalten und somit die Existenz der Momente

– Für μ < 2 divergiert das 2. Moment, d.h. die Varianz existiert nicht– Für μ ≤ 1 divergiert auch das 1. Moment, d.h. selbst der Mittelwert existiert nicht

mehr!

Random Walks• Vergleich zwischen Cauchy- und Gauß-Walk

Random Walks• Vergleich zwischen Cauchy- und Gauß-Walk

Random Walks• Vergleich zwischen Cauchy- und Gauß-Walk

Random Walks• Wozu kann man die Random Walks nun einsetzen?

• Lösung von partiellen Differentialgleichungen durch RWs– 1.) Diskretisierung der DGl. Und Anwendung von finiten Differenzen

Lösung durch RW (ähnlich wie bei der Mitelwert-Integrations-Methode)

– 2.) Suche einen dynamischen Prozeß (physikalisch, chemisch, biologisch, ...), der auf diese DGl führt und simuliere diesen Prozeß

Bsp.: Wärmetransportgleichung -> Brownsche Bewegung

• Reine Simulation von Systemen, für die keine geeigneten DGl‘sexistieren– Self awoiding RW (SARW)– Anomale Diffusion

Diffusions-Konvektions-Prozesse

• Beispiel: - Bewegung von Positronen durch einen Festkörper- Kosmische Strahlung durch interstellare Materie

• Man kann dabei drei grundlegende Prozesse unterscheiden, die die Wahrscheinlichkeit bestimmen ein Teilchen an x zu finden– Diffusion: ungeregelte Bewegung– Konvektion: gerichtete Bewegung, die i.a. durch Temperatur oder

Dichtegradienten erzeugt wird– Annihilation: Auslöschung der Teilchen durch Zerstörung

(Absorption oder Materie/Antimaterie Zerstrahlung) oder durch Änderung der Eigenschaften (chemische Reaktionen)

– Erzeugung: Spontane Erzeugung von Teilchen (Erzeugung von Neutronen bei Kernspaltung)

Diffusion-Konvektion• Die ortsabhängige Dichteänderung aufgrund dieser Prozesse

kann dann allgemein geschrieben werden als

– DiffusionDiffusionsstrom durch Dichtegradienten und lokalen Diffusionskoeffizienten

– Driftmit v als lokale Driftgeschwindigkeit der Teilchen

– Annihilation:

– Erzeugung: Quellfunktion S(x,t)

Diffusion Konvektion

• Im Falle der Temperatur resultiert daraus die allgemeine Form der Wärmeleitungsgleichung

– ρ = Dichte– Cp = spezifische Wärme– k = Wärmeleitkoeffizient

Diffusion Konvektion• Modellierung durch Random Walks

– Teilchen bewegen sich mit Wahrscheinlichkeiten q=w+ nach rechts und (1-q)=w- nach links

– Wenn q = ½ und x0=x(t=0) = 0, so ist der Erwartungswert der Bewegung bei Null

– Die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen an einem Ort x zu einer Zeit t zu finden ist (Mastergleichung)

#

– Und nach einigen Umformungen erhält man daraus

mit

Diffusion Konvektion• Der Startpunkt für einen RW kann beliebig sein

• Für viele Teilchen, die an verschiedenen Startpunkten x0beginnen, muß man mit einer bedingten Wahrscheinlichkeit rechnen

• Für viele Teilchen wird man die Dichteverteilung betrachten, d.h. für t=0

• Zu einer späteren Zeit wird man daher haben

Diffusion Konvektoin

• Differenzieren liefert dann #

• Es gilt somit dieselbe DGl. Für die Teilchendichte wie für die Wahrscheinlichkeitsdichte

Diffusion Konvektion• In mehreren Dimensionen sieht die Mastergleichung ähnlich aus

• Wiederum durch Taylorentwicklung der rechten Seite erhält man(wenn w+ = w- = ½ )

•

• Damit gilt aber auch wieder

Diffusion Konvektion• Die Lösung der Differentialgleichung kann mit einem RW

durchgeführt werden

• Lasse N Teilchen aus einer Startverteilung ρ(x0,t0) (gibt man sich vor, Anfangswertproblem) mit einem RW laufen

• Schrittweite wird so gewählt, dass gilt

Diffusionskonstante D wird dabei vorgegeben

Diffusion Konvektion• Die Lösung der DGl, d.h. die Dichte ρ(x,t) am Ort x zur Zeit t kann

durch ein Histogramm Verfahren gefunden werden

• Approximation: Lösung eigentlich nur „exakt“, wenn dt -> 0 (Diskretisierungsfehler)

• Bemerkung: die Relation zwischen DGl und dem RW ist nicht eindeutig. RWs mit anderen Verteilungen können ebenfalls gegen die Lösung konvergieren– Zentraler Grenzwertsatz

– Man kann auch andere Schrittweiten nehmen

Diffusion Konvektion• Man kann auch nicht konstante Schritweiten im RW nehmen

• Der Diffusionskoeffizient kann dann bestimmt werden über

#

Random Walk mit Absorption• Hierbei wird eine Auslöschung der Walker unterwegs erlaubt

– Bedeutet, dass von vielen Walkern nur wenige sehr weit kommen– D.h. man kann jedem Walker auch ein entsprechendes Gewicht

geben

– Die Wahrscheinlichkeiten nach rechts (w+) oder nach links (w-) zu laufen, müssen modifiziert werden

mit γ der Auslöschwahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit

– Der Formalismus kann leicht erweitert werdenNeue Mastergleichung

Random Walk mit Absorption• Taylor Entwicklung der Mastergleichung liefert #

mit

• Die Überlebenswahrscheinlichkeit für die nächsten N Schritte von einem Zeitpunkt aus ist

• D.h. die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen bei (x,t) zu finden wird entsprechend gewichtet

da dt gegen Null strebt

Random Walk mit Absorption• Der Formalismus ist einfach auf ein ortsabhängiges γ erweiterbar

• Ebenso gilt weiterhin für die Dichte

• Macht die Beschreibung von chemischen Reaktionen, Elektron-Positron-Annihilation, Strahlungsabsorption etc. möglich

Random Walk mit Absorption• Offensichtliches Problem ist nur, dass für die Zeit t=O(γ-1) kaum

noch Walker überleben und daher keine Verteilungsfunktion mehr konstruierbar ist

• Die Überlebenswahrscheinlichkeit pro Schritt ist d.h. für einen bestimmten Pfad λ gilt

• Eine Möglichkeit für solche Simulationen eine bessere Statistik zu bekommen ist die Methode des „survival biasing“

Survival biasing• Dabei werden

– Teilchen nicht gelöscht in dem Walk– In die Histogramme werden nicht Integers geschrieben (also nicht

eine 1 für Vorkommen am Ort x), sondern die Wahrscheinlichkeiten wλ bis dort gekommen zu sein

– D.h. die Anzahl der Ereignisse, die für das Histogramm gezählt werden, ist immer die gleiche

Survival biasing• Bsp. Für Walker mit Decay, γ = 0.2

Survival biasing• Bsp. Für Walker mit Decay, γ = 0.2

Survival biasing• Bsp. Für Walker mit Decay, γ = 0.2

Survival biasing• Bsp. Für Walker mit Decay, γ = 0.2

Survival biasing• Bsp. Für Walker mit Decay, γ = 0.2