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Estadistica para los procesos de inferencia

Estadstica

Prueba de hiptesis

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

H0: m=50

H1: m=52

Pruebas de Hiptesis

Introduccin

La experiencia sobre el comportamiento de algn ndice de un proceso, o la exigencia del cumplimiento de alguna norma nos lleva a realizar proposiciones sobre el valor de algn parmetro estadstico.

Estas proposiciones se deben contrastar con la realidad (mediante el muestreo de datos) para tomar una decisin entre aceptar o rechazar la proposicin

Estas proposiciones se denominan Hiptesis y el procedimiento para decidir si se aceptan o se rechazan se denomina Prueba de Hiptesis

Una prueba de hiptesis es una herramienta de anlisis de datos que puede en general formar parte de un experimento comparativo ms completo

Qu es una hiptesis?

Una creencia sobre los parmetros de la poblacin:

Media

Varianza

Proporcin/Tasa

Si queremos contrastarla, debe establecerse antes del anlisis.

Dicha creencia puede ser o no ser verdadera

Creo que el porcentaje de enfermos ser el 5%

Contrastando una hiptesis

Creo que la edad media es 17 aos...

Son demasiados...

Gran diferencia!

Rechazo la hiptesis

Muestra aleatoria

Pruebas de Hiptesis

Introduccin

Una hiptesis Estadstica es un proposicin sobre los parmetros de una poblacin o sobre la distribucin de probabilidad de una variable aleatoria

Ejemplo: Se tiene inters en la rapidez de combustin de un agente propulsor para los sistemas de salida de emergencia en aeronaves. (esta rapidez es una variable aleatoria con alguna distribucin de probabilidad). Especialmente interesa la rapidez de combustin promedio (que es un parmetro (m) de dicha distribucin). De manera ms especfica, interesa decidir si esta rapidez promedio es o no 50 cm/seg.

El planteamiento formal de la situacin se realiza en trminos de una Hiptesis Nula (que es la proposicin que se quiere poner a prueba) y una Hiptesis Alternativa, la cual se aceptar si se rechaza la hiptesis nula:

Hiptesis Nula: H0: m = 50 cm/seg

Hiptesis Alternativa:H1: m 50 cm/seg

En el ejemplo se tiene una Hiptesis Alternativa Bilateral, ya que se verifica para valores de m a ambos lados de 50 cm/seg.

Identificacin de hiptesis

Hiptesis nula Ho

La que contrastamos

Los datos pueden refutarla

No debera ser rechazada sin una buena razn.

Hiptesis Alternativa H1

Niega a H0

Los datos pueden mostrar evidencia a favor

No debera ser aceptada sin una gran evidencia a favor.

Pruebas de Hiptesis

En ocasiones interesa una Hiptesis Alternativa Unilateral, Por ejemplo:

H0: m = 50 cm/seg H0: m = 50 cm/seg

H1: m < 50 cm/seg H1: m > 50 cm/seg

De donde puede surgir una Hiptesis Nula sobre un parmetro?

Cul sera el inters dependiendo del origen de la hiptesis?

Origen: Experiencia, pruebas pasadas o conocimiento del proceso. Inters: averiguar si ha cambiado el parmetro

Origen: Alguna teora o modelo sobre el funcionamiento del proceso. Inters: Verificar la valids de dicha teora

Origen: Especificaciones de diseo, obligaciones contractuales, normas a cumplir o solicitudes del cliente. Inters: probar el cumplimiento o incumplimiento de las especificaciones.

La verdad o falsedad de la hiptesis NO puede conocerse con total seguridad a menos que pueda examinarse toda la poblacin

Quin es H0?

Problema: La altura media o promedio de los estudiantes de la UNT es 1.60 m?

Solucin:

Traducir a lenguaje estadstico:

Establecer su opuesto:

Seleccionar la hiptesis nula

Quin es H0?

Problema: El tiempo de vida promedio de una determinada pieza usada en el ensamblaje de una marca de computadoras es de 20,000 horas.

Solucin:




Quin es H0?

Problema: El porcentaje de personas atacadas por cierta epidemia es una ciudad grande, no es mayor del 10%.

Solucin:




Pruebas de Hiptesis

Procedimiento General para la prueba de una hiptesis

Tomar un muestra aleatoria

Calcular un estadstico basado en la muestra

Usar el estadstico y sus propiedades para tomar una decisin sobre la Hiptesis Nula

Ejercicios:

Durante los ltimos semestres, el profesor de Estadstica de una universidad ha registrado que el rendimiento medio de sus alumnos es de 14 puntos. Este ao le ha tocado 40 alumnos sobresalientes porque su rendimiento medio ha sido 17 puntos y el profesor les proclama como superiores a todos los alumnos que ha tenido en la fecha.

Qu hiptesis planteara?

Regin crtica y nivel de significacin

Regin crtica

Valores improbables si...

Es conocida antes de realizar el experimento: resultados experimentales que refutaran H0

Nivel de significacin: a

Nmero pequeo: 1% , 5%

Fijado de antemano por el investigador

Es la probabilidad de rechazar H0 cuando es cierta

No rechazo H0

Reg. Crit.

Reg. Crit.

a=5%

H0: m=40

Contrastes: unilateral y bilateral

La posicin de la regin crtica depende de la hiptesis alternativa

Unilateral

Unilateral

Bilateral

H1: m20

H1: m20

Pruebas de Hiptesis

Hiptesis Unilaterales

H0: m=50 cm/seg

H1: m50

Pruebas de Hiptesis

Hiptesis Unilaterales

Ejemplo: Un embotellador de refresco desea estar seguro de que las botellas que usa tienen en promedio un valor que supera el mnimo de presin de estallamiento de 200 psi. El embotellador puede formular una prueba de hiptesis de dos maneras:

Con el planteamiento (1) Como el rechazo de H0 es una conclusin fuerte, esto obliga al fabricante a demostrar (aportar evidencia) de que las botellas soportan mayor presin que 200 psi

H0: m=200 psiH0: m=200 psi

H1: m>200 psiH1: m200 psiH1: m51.5, se acepta H1

_

_

_

_

48.5 50 51.5

Regin Crtica Regin de aceptacin Regin Crtica

Se acepta H1 Se acepta H0 Se acepta H1

m 50 m = 50 m 50

Valores Crticos

Ejemplo 1: Se juzga a un individuo por la presunta comisin de un delito

H0: Hiptesis nula

Es inocente

H1: Hiptesis alternativa

Es culpable

Los datos pueden refutarla

La que se acepta si las pruebas no indican lo contrario

Rechazarla por error tiene graves consecuencias

Riesgos al tomar decisiones

No debera ser aceptada sin una gran evidencia a favor.

Rechazarla por error tiene consecuencias graves

Ejemplo 2: Se cree que un nuevo tratamiento ofrece buenos resultados

Ejemplo 3: Parece que hay una incidencia de enfermedad ms alta de lo normal

H0: Hiptesis nula

(Ej.1) Es inocente

(Ej.2) El nuevo tratamiento no tiene efecto

(Ej.3) No hay nada que destacar

H1: Hiptesis alternativa

(Ej.1) Es culpable

(Ej.2) El nuevo tratamiento es til

(Ej. 3) Hay una situacin anormal

Riesgos al contrastar hiptesis

No especulativa

Especulativa

Tipos de error al tomar una decisin
RealidadInocenteCulpableveredictoInocenteOKErrorMenos graveCulpableErrorMuy graveOK

Pruebas de Hiptesis

Errores Tipo I y Tipo II

El procedimiento anterior puede llevarnos a una de dos conclusiones errneas:

Error Tipo I.- Se rechaza H0 cuando sta es verdadera

En el ejemplo se cometer un error de tipo I cuando m=50, pero x para la muestra considerada cae en la regin crtica

Y se cometer un error de tipo II cuando m 50 pero x para la muestra considerada cae en la regin de aceptacin

Error Tipo II.- Se acepta H0 cuando sta es falsa

_

_
Condicin realDecisinH0 verdaderaH0 falsaRechazar H0Error Tipo IokAceptar H0okError Tipo II

Establecimiento del procedimiento para una prueba de hiptesis

1.- Formular la hiptesis nula Ho y la alternativa H1, de acuerdo al problema.

2.- Escoger un nivel de significancia o riesgo a.

3.- Elegir la estadstica de prueba apropiada, cuya distribucin por muestreo sea conocida en el supuesto de que Ho es cierta.

4.- Con base a a y H1, determinar el valor (o valores) crticos y con ellos se establece la regin de aceptacin y rechazo.

5.- Calcular los valores de la prueba estadstica a partir de una muestra aleatoria de tamao n, Ho y reemplazarlos en la estadstica de prueba elegida en el paso 3, para hallar el valor experimental.

6.- Tomar la decisin de aceptar Ho si el valor experimental cae en la regin de aceptacin y rechazarla si dicho valor cae en la regin crtica o de rechazo.

7.- Opcional: si se rechaza Ho, se puede hallar un intervalo de confianza para el parmetro de inters.

Prueba de Hiptesis sobre una media poblacional

Caso A: Cuando la varianza poblacional es conocida y el tamao de la muestra es grande o se sabe que la poblacin tiene una distribucin normal, la estadstica de prueba es:

Pruebas de Hiptesis

Prueba de hiptesis sobre la media, varianza conocida

Entonces, para una a dada podemos establecer las siguientes regiones de aceptacin y crtica:

-za/2 za/2 Z

a/2 a/2

Regin de aceptacin

regin crtica regin crtica

Conclusiones:

Rechazar H0 si: z < -za/2 o z > za/2

No rechazar H0 si: - za/2 z za/2

Pruebas de Hiptesis


UMSNH - FIE

Ejemplo: Se ilustrarn los 8 pasos del procedimiento general para el ejemplo del combustible slido para sistemas de escape de aeronaves. En este caso se conoce s=2 cm/seg, se desea probar si la media m es de 50 cm/seg. Se selecciona una muestra aleatoria de tamao N=25, obteniendo x=51.3 cm/seg. Se especifica un nivel de sginificancia a=0.05 A qu conclusiones se debe llegar?

El parmetro de inters es m (rapidez promedio de combustin)

H0: m = 50 cm/seg

H1: m 50 cm/seg

a = 0.05

_

Pruebas de Hiptesis


UMSNH - FIE

5) La estadstica de prueba es

6) Rechazar H0 si z>1.96 o si z 1.96, se rechaza H0: m = 50 cm/seg con un nivel de significancia a = 0.05

8) Es decir, Se concluye que en base a una muestra de 25 mediciones la rapidez promedio de combustin es diferente de 50 cm/seg, de hecho, existe evidencia fuerte de que sta es mayor.

Pruebas de Hiptesis

Valores P

Una manera de notificar los resultados de una prueba de hiptesis es establecer si la hiptesis nula fue o no rechazada con un nivel especificado a de significancia

Una alternativa es especificar el nivel de significancia a ms pequeo que conduce al rechazo de la hiptesis nula. A este se le llama el Valor P

Este valor P slo depende de la muestra tomada, es decir, para una muestra y un estadstico calculado se puede obtener su valor P y comparar con un a especificado. Entonces, si P m0F(z0)Prueba de cola inferior: H0:m=m0, H1:m < m0

Si se usa el enfoque del valor P el paso 6 del procedimiento general de prueba de hiptesis ya no es necesario.

Ejemplo 1:

De acuerdo a las normas establecidas en una prueba de aptitud acadmica, las personas que han concluido sus estudios secundarios deban tener un promedio de 76.7 puntos. Si se sabe por una investigacin anterior sobre el caso, que la desviacin estndar fue de 8.6 puntos y si 45 personas que concluyeron estudios secundarios son elegidas aleatoriamente y alcanzan un promedio de 73.2, pruebe la hiptesis de que el promedio ha disminuido.

Z=-2.33

Zoz0.05 = 1.645

Sustituyendo los datos, obtenemos z=(121-112)/(12.8)1/2=2.52

Conclusin: Puesto que z = 2.52 > 1.645 se rechaza H0 con un nivel de significancia a=0.05 concluyndose el nuevo ingrediente s disminuye el tiempo de secado.

Alternativamente puede calcularse un valor P =1-F(2.52) = 0.0059, es decir, se rechazar H0 para cualquier nivel de significancia a0.0059

Prueba de Hiptesis sobre una media poblacional

Caso B: Cuando no se conoce la varianza poblacional es conocida y el tamao de la muestra es pequea.

T(n-1)

Haga clic para modificar el estilo de texto del patrn

Segundo nivel

Tercer nivel

Cuarto nivel

Quinto nivel

Prueba de Hiptesis sobre la media, varianza desconocida

Si la poblacin tiene una distribucin Normal con media m y varianza s2 desconocidas pudiera utilizarse el estadstico S2 y el procedimiento descrito anteriormente para varianza conocida (esto es vlido para N grande), pero si la muestra es pequea, tendremos que usar el estadstico siguiente,

el cual tiene una distribucin t con N-1 grados de libertad,

As, para la prueba de Hiptesis bilateral

H0: m = m0

H1: m m0

Se rechazar H0 si t>ta/2,N-1 o si t

p

10

.

0

:

0

p

H

14

:

1

>

m

H

14

:

0

m

H

n

x

Z

s

m

-

=

0

N

/

X

Z

0

__

-

=

25

.

3

25

2/

50

3

.

51

Z

=

-

=

7

.

76

:

1

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