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GUIA N2. CALCULO I.INGENIERIA.

La Recta. ) ( 3 8) Demostrar1.- Los vertices de un cuadr ilatero son los puntos ( 1,3 ), ( 7,3 ), (9,8 Y , .que el cuadrilatero es un paralelogramo.

2.- Demostrar que los puntos A( 1,1+2.J3 ), B( .J3).J3) y C( 2.J3 -1,-1 ) son colineales.(Nousar pendiente).

3.- Determinar un punto sobre el eje X euya distancia a ( 1,3 ) sea 2 J3 .puntos bay que cumplan con esta condici6n ?

4.- Dados los puntos A( 1,0 ) y B( -5,1 ), determinar el punto medio de AB .5.- Determinar la ecuaci6n de cada recta L, indican do su forma:a) y b) Y c) y5 4

(, Cuantos

LL

2 3 5-t---"":"'-__X

d) e) f) L4

3 - 4 1

6.- Grafiear, no punto a punto, cad a una de las siguientes ecuaciones:3x y x + 3 t:a) - + - = 1 b) -- = -3 c) y = 3x --v55 3 Y + 57.- La suma de los segmentos que una recta determina sobre los ejes coordenados es iguala 3.Determinar Ia ecuaci6n de la recta sabiendo que contiene al punto (2,10).8.- Determinar "m" y "n" para que la recta (m + 2n - 3) x + (2m - n + 1 ) Y+ 6m + 9 =0

sea paralela al eje X e intersecte al eje Y en -3.9.- Hallar la ecuaci6n de la recta que pasa por Ia intersecci6n de: 3x - 4y = 0 Y2x - 5y + 7 = 0 y forma con los ejes coordenados, un triangulo de area 8.

10.- Demostrar que las reetas 3x - 5y + 7 = 0 , 2x + 3y - 8 = 0 y 6x - 7y + 8 = 0 sonconcurrentes.11.- Determinar el angulo obtuso "a" entre las rectas 5x + 3y - 8 = 0 e y = x - 2.12. -Dos rectas de pendientes negativas, pasan por el origen formando un angulo de 45.Si sus pendientes estan en Ia raz6n 6:1,determinar las ecuaciones de las rectas.13.- Sean Lj: ax - 4y + 4 = 0 y L2 : bx - ay - 2 = O.Determinar "a" y"b" sabiendo que el

producto de sus pendientes es -2 y que la interseccion de L } con el eje X es iguala 8 veces la intersecci6n de L 2 con el mismo eje.

14.- Si las bases de un trapecio estan sobre las reetas 4x - 3y + 10= 0 Y 8x - 6y + 30=0, determinar la altura del trapecio.

15.- Desde el punto ( -4,1 ) se traza una perpendicular a la recta 3x - 4y + 6 = O.Determinarla distancia de (-6,-8) a dicha perpendicular.

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La Circunferencia:1.- Determinar la ecuaci6n de la circunferencia sabiendo que:a) C( -1,3) y pasa por ( 4,1 ).

b) Pasa por ( 0,4 ), ( 1,2) y ( 3,2 ).c) Es circunscrita al triangulo cuyos lados estan sobre L I : 3x + 2y = 13i,x-2y+l=O y L3 :x+2y=3.

d) C( 0,-2 ) y es tangente a 5x - 12y + 2 = O .e) r = 5 Y cuyo centro es el punto de intersecciou de las rectas 3x - 2y - 24 = 02x+7y+9=O.

2 .- Una circunferencia pasa por A( -3,3) y B ( 1,4) Y su centro esta sobre la recta3x - 2y - 23 = O . Hallar su ecuaci6n.

3.- Reducir la ecu acion dada a la forma ordinaria y determinar si representa 0 no una cir-cunferencia. En caso afirmativo hallar su centro y radio:a) 2X2+ 2y2 - 6x + lO y + 7 = 0 b) 4x2+4y2 + 28x - 8y + 53 = 0c) 16x 2 + 16y2 - 64x + 8y + 177 = O.

4.- Demostrar que las circunferenciasx2 + y2 - 8x -lOy + 25 = 0 son tangentes.5.- Una circunferencia de radio 5 es tangente a la recta 3x - 4y - 1 = 0 en el punto (3,2).Determinar su ecuacion.6.- Hallar la ecuacion de la circunferencia que pas a por ( 1,4 ) Y es tangente a la circunfe-

rencia x 2 + y2 + 6x + 2y + 5 = 0 en el punto (-2,1).7.- Desde A(-2,-1) se traza una tangente a la circunferencia

x2 + y2 - 6x - 4y - 3 = 0 .Si Des el punto de contacto, hallar la longitud del segmentoA D .

8.-Determinar si las circunferencias dadas se cortan en dos puntos ,son tangentes 0no secortan: x2 + y 2 -8 x-6 y+ 17 =O Y x2 + y 2 -1 8x -4 y+ 6 7= O .

9.-Demostrar que x2 + y2 + 2x - 4y = 0 Y x2 + y2 + 4x + 2y = 0 se cortanortogonalmente.

10.-Hallar el area del trapecio ABeD, siendo: AB el segmento que une los centros de lascircunferencias C[ : x2 + y2 = 4 Y C2: x2 + y2 -12x + 27 = o . DC el segmento tangentea C1 en D C-1 ,.J3 ).BC el segmento paralelo a A D .

l1.-Determinar la ecuaci6n de Ia circunferencia cuyo centro esta en Ia recta 2x+y=O y quees tangente a la recta x+y-l=O en el punto (2,-1).

La Parabola.1. Para cada una de las siguientes

graficarlas : a) y2 = -12xparabolas, determinar sus elementosb) x2 =-16y c) x2 = ~y2

principales y

2. Si el vertice de una parabola esta en el origen, determinar su ecuaci6n dado:7a) F(-4,O) b) F(O,3) c) directriz: y=2 d) directriz: x =-.33.- Una cuerda de Ia parabola y2 - 4x = 0 es un segmento de x-2y+3=0. Determinar su

longitud.4.- Determinar la ecuaci6n de la circunferencia que pasa por el vertlce y los puntosextremos dellado recto de Ia parabola x2 - 4y = O .

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5.- Determinar la ecuacion de la parabola cuyo eje es paralelo al eje X y pasa3por: (- ,-1) , (0,5) , (-6,-7).26.- Determinar la ecuacion de la parabola con vertice (4,-1) ,eje focal y + 1 = 0 y pasa por

(3,-3).7.- Para cad a una de las siguientes parabolas, hallar las coordenadas del vertice y foco,lasecuaciones de la direetriz, eje focal y la longitud dellado recto.a) 4y2 - 48x - 20y =71 b)9x2 + 24x + 72y + 16 = 0 c)4x2 + 48y + 12x = 159

8.- Expresar el angulo agudo que forman las rectas L 1 Y L 2, siendo LIla recta que pasapor el origen y por el vertice de la curva y 2 -12x - 4y + 64 = 0, y L2 la recta que pasapor el origen y por un punto de la curva dada, cuya abscisa es la abscisa del foco de dichacurva y cuya orden ada es menor que O .

199.- Una parabola de eje focal paralelo al eje X, pasa por los puntos A( -1,8 ), B(-,O) Y5C(4,-2). Determinar la abscisa de un punto D, perteneciente a la parabola, si su orden adaes -4.

10.- Dadas las ecuaciones: y = )9 - X2 + 4, x = fY, y = 4, X + Y =1, identificarlas y2 4graficarlas claramente en un mismo sistema de ejes coordenados, achurando Ia regionque elias encierran.

11.- En un mismo sistema de ejes coordenados, graficar e identifiear las ecuaeiones12y + x 2 -72 = 0, _~2 + ~ = 1, y = 3. Aehurar Ia region que elIas encierran ydeterminar los puntos de interseccion referidos a la region.

La Elipse.I.-Para cada una de las siguientes elipses, determinar sus elementos principales ygraficarlas:a) 9x 2+25y2 = 225

2.- Determinar la ecuaci6n de la elipse sabiendo que:a) V(:t 5,0) Y F (4,O ) b) F( 3,0) y pasa por (4,1 )

9c) V Jl,-6), VJ9,-6) y L.L.R.=-2d) F 1 (3,8) , F 2 (3 ,2) y longitud eje menor es igual a 8.

3.- EI punto medio de una cuerda de la elipse x 2 +4y2 - 6x - 8y =3 es ( 5,2 ). Determinarla ecuacion de la cuerda.

4.- Determinar Ia ecuacion de la elipse que cumple las siguientes condiciones: su eje mayormide 10; uno de los extremos del eje mayor es el vertice de y 2 +36x - 2y -179 = 0; yuno de sus focos es el foco de la curva dada.

5.- Sean C 1: y2 = 4y - 4x - 4, C 2 : y2 - 4x - 4y - 4 =O . Determinar Ia ecuacion de laelipse cuyo eje menor es el segmento que une los vertices de C 1 Y C2 y el eje mayor esel segmento que une los puntos de lnterseccion de C 1 Y C2 Obtener las coordenadas delos focos y la longitud del lado recto de la elipse.

6.- En un mismo sistema de coordenadas graficar claramente: y = 4, x = 2 J Y , x = 0,

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y ~ ~ achurando el area de la region que elias encierran. Determinar lospuntos de lnterseccion correspondientes a la region.

7.- Una circunferencia con centro en el origen es tangente a una elipse de tal manera quesus focos se encuentran sobre la circunferencia. Determinar su excentricidad.

La Hiperbola.1.- Para cada una de las siguientes hiperbolas determinar sus elementos principales ygraficarlas:

a) 9y2-4x2 = 36 b) 4x2-9y2 + 3 2x + 3 6y = -64c) 3x2_y2 + 30x + 78 =0 d) x2_9y2 - 4x + 36y - 41 =

2.- Determinar la ecuacion de cada hiperbola sabiendo que:4a) V( 5,0) y F(7,O) b) V( O, 7) y e = - c) V( O, 4) y pas a por (-2,5)3d) Ejes de la hiperbola son los ejes coordenados y pasa por ( 4,2 ) y ( -6,7 ).

3e) VI (-1,3), V2 (3,3) y e =- 1 ) C( 2,-2), V( 0,-2 ) YL.L.R. =8.23.- Hallar el angulo agudo formado por las asintotas de la curva:9x 2 - Y 2 - 36x - 2Y + 44 = 0

4.-Los focos de una hiperbola son ( 4,-2 ) Y ( 4,-S ) Y la longitud de su eje transverso es 4.Determinar la ecuacion de la hiperbola, la L.L.R. y su excentricidad.x2 y25.- Sea - - - = 1 . Determinar las ecuaciones de las rectas perpendiculares a cada una de16 9sus asintotas y que pasan por su foco derecho.

6.- Determinar la ecuaclon de la hlperbola cuyas asintotas son 4x - 3y = Y 4x + 3y - 24 =0,Yuno de sus focos esta sobre la recta y = 9.7.-Determinar el area del trlangulo formado por y = 6 Y las asintoyas de4y2_24y+36=9x2 -36x.S.-Sea 5x 2+ 9y2 -3 0x-3 6y+ 36= O. Hallar las ecuaciones de las asintotas de la

hiperbola que pasa por ( 3,7 ) Y cuyos vertices coinciden eon los extremos de uno de loslados rectos de la eurva dada.9.- Hallar la ecuacion de la hiperbola, en la forma ordinaria, cuyas asintotas son las rectas

2x + y - 3 = 0, 2x - Y - 1 = 0, y que pasa por el foeo de y2 +Sx -12y -12 = O.10.- Determinar el valor de "k", para que la ecuacion 2x2_ky2 + 2y - 2 = 0 represente dos

rectas que se intersecten.

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Respuestas a los ejercicios dados1 .- La Linea Recta:7) 2 x - Y + 6 = 0 ; 5x - 2y + 10 = 09) 9x - 4y - 24 = 0 ; x - 4y + 8 = 012) x + 3y = 0 , 2x + y = 0 v x + 2y = 0 , 3x + y = 0

8) m =7 ; n =-211)a = arctag( -4)13) a = 2 ; b = -8

14) altura = 1n.-La Circunferencia:

15) d = 7

l)a) (x+l)2 +(y_3)2 =29 b) 2X2 +2y2 -8x-15y+28 = 0c) 4X2+4y2_23x+2y+13=O ( 2 2 ) 2d)x2 +(y+2)2 = 1 3 e)(x-6)2 +(y+3)2 =25

( 1 7 ) 2 6292)(x-2)2 + Y+2 =47)J18 lO)A = 21132

In.-La Parabola:2)a) y2 = -16x b) x2 = 12y c) x2 = -8y 2 - 28d) y =-x3

5)y2 +8x-2y-15 = 0

6)(y + 1)2 = -4(x - 4)9

8)arctag- 8 9)x=~5 11) (0,6) ; (6,3) ; (-6,3)IV.-La Elipse:3) x + 2y - 9 =0 4) ~ + (y _1)2 = 125 95) (x + 1)2 + (y - 2) 2 = 1 r: t:F(-1,2+~3); F'(-1,2-~3) L.L.R.=l4

( 2 . J 3 \6) A I o , - J ; B(O,4)\_ 3V.-La Hiperbola:

C(4) D( 7) e = F24; 2,1) 2

33)arctg- 44) (y+5)2 _ (X_4)2 =1

4 53e=-2 L.L.R. = 5

5) 4x + 3y - 20 = 0 ; 4x-3y-20=0 6) ( y - 4 r16 7) A=68) 5J2x - 3y + 6 - sJ2 = 0; 5.J2x + 3y - 6 - s - I i = 0 9) 4(x -1 y11 (y-1Y =111

110) k = -2