Instituto Federal do Piauí – IFPI Curso: Licenciatura em Matemática Disciplina: Cálculo de funções de Várias Variáveis Professor: Ezequias M. Esteves Aluno(a):.........................................................................................................................

Lista de Exercícios

1)Encontrar a divergência e o rotacional do campo vetorial dado:

a) f⃗ ( x , y , z )=(2x+4 z , y−z ,3 x− yz)

b) f⃗ ( x , y , z )=(x2+ y2 , x2− y2)

c) f⃗ ( x , y , z )=(x2, y2 , z2)

d) f⃗ ( x , y , z )=(ex cosy , ex seny )

e) f⃗ ( x , y , z )=( − y√x2+ y2

, xx2+ y2 )

2) Verifique se os seguintes campos vetoriais são conservativos em algum domínio. Em caso afirmativo, encontrar uma função potencial.

a) f⃗ ( x , y , z )=2 x i⃗+5 yz j⃗+x2 y2 z2 k⃗

b) f⃗ ( x , y , z )=(1+ ysenx ) i⃗+(1−cosx)

c) f⃗ ( x , y , z )=ln (xy ) i⃗+ln ( yz) j⃗+ ln (z )k⃗

d) f⃗ ( x , y , z )=(10 xz+ ysen(xy )) i⃗+ xsen(xy ) j⃗+5x2 k⃗

e) f⃗ ( x , y , z )=ex i⃗+2ey j⃗+3ez k⃗

3) Calcule as integrais curvilíneas no caminho indicado:

a¿∫C

❑

(3 y−√z )ds ,ondeC é oarcode parábola z= y2 , x=1de A (1,0,0 )a B(1,2,4)

4) Calcular o trabalho realizado pela força f⃗ ( x , y , z )=2 i⃗+ x j⃗+z k⃗ para deslocar uma partícula ao longo de C, onde C é mostrado na Figura abaixo.(QUESTAO 6 CALCULO C – CAP 5 PAG253)

5) O campo de velocidade de um fluido em movimento é dado por v⃗ ( x , y )=(2 x ,− y ). Calcular a circulação do fluido ao redor da curva fechada C=C 1∪C2∪C3 representada na Figura abaixo: (QUESTAO 34 CALCULO C – CAP 5 PAG257)

y

2

3

1 3x

y

2

3 x

6) Num domínio conexo U, se um campo f⃗ é conservativo, isto é, se existe uma função

potencial u tal que f⃗=∇u , temos que ∫C

❑

f⃗ . d r⃗=u (b )−u (a) para qualquer caminho C em U,

unindo o ponto A ao ponto B. Use este fato para encontrar os valores das integrais curvilíneas abaixo. Primeiro verifique se o campo é conservativo

a) f⃗ ( x , y , z )=( yz , xz , xy+1) ao longo da elipse x2+ y2

4=9, no sentido anti-horário, do

ponto A(3,0) ao B(0,6);

b) f⃗ ( x , y , z )=( yz , xz , xy+1 ) , ao longo do caminho fechado formado pelas curvas

y=x2e x= y2 , no sentido anti-horário.

7) Use o Teorema de Green para encontrar as integrais curvilíneas.

(QUESTAO 1 CALCULO C – CAP 5.8 PAG287)

a) ∮C

❑

[x2dx+ (4 x+ y )dy¿]¿, ao longo do triângulo de vértices A(0,0), B(1,2) e C(2,0) no sentido

anti-horário.

(QUESTAO 2 CALCULO C – CAP 5.8 PAG287)

b) ∮C

❑

[(lnx−2 y )¿dx+(2x+ex)dy ] ,¿ ao longo da elipse x2+ y2

9=1 no sentido horário.

(QUESTAO 12 CALCULO C – CAP 5.8 PAG288)

8) Calcule a área da elipse com coordenadas paramétricas x=6cosθ , y=2 senθ

(QUESTAO 11 a) CALCULO C – CAP 5.8 PAG287)

9) Determine a área entre as elipses 4 x2+ y2=4e x2

9+ y

2

4=1

10) Faça um texto relatando sobre sua aprendizagem e ponderando críticas a respeito do curso ministrado e da metodologia do professor. Sua resposta , nesta questão, não interferirá na sua nota.

Bom Trabalho!