Quantum Erasure - liceolocarno.ch · stanziate di 100nm, e la lunghezza d’onda di de Broglie del...

Lavoro Di Maturita

Fisica quantistica

Quantum Erasure

Autore:Moreno Colombo

Docente responsabile:Prof. Christian Ferrari

Liceo Cantonale Di Locarno, Anno 2011

.

Anyone who is not shocked by quantum theory has not understood it.

Niels Bohr

Ringraziamenti

La realizzazione del lavoro che vi apprestate a leggere e stata possibilesoprattutto grazie al prof. Christian Ferrari, che ha contribuito adavvicinarmi allo strano mondo della fisica quantistica. I miei rin-graziamenti vanno quindi a lui, che con la sua grande competenzain materia ha sempre saputo darmi importanti suggerimenti e aiuti.Ci tengo anche a ringraziare mio fratello Simone, che e riuscito adaiutarmi a risolvere alcuni problemi sorti durante la realizzazione diquesto lavoro.

Indice

1 Interferenze quantistiche 1

1.1 Gli elementi della fisica classica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 I quanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Alcune interferenze quantistiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3.1 Interferenza di neutroni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3.2 Interferenza di molecole di carbonio 60 . . . . . . . . . . . 6

1.4 L’interferometro di Mach-Zehnder . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4.1 Prima esperienza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4.2 Seconda esperienza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4.3 Interferometro di Mach-Zehnder . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Interferenza a una particella 13

2.1 Principi della fisica quantistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 L’interferometro di Mach-Zehnder . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3 Which-way detector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3 Which-way entangler 18

3.1 Which-way entangler con fotoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.1.1 Esperienza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.1.2 Descrizione dell’esperienza . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

INDICE iv

3.1.3 Conclusione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.2 Which-way entangler con atomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2.1 Esperienza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21


3.2.3 Conclusione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.3 Entanglement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4 Quantum eraser 24

4.1 Quantum eraser con fotoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.1.1 Esperienza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24


4.1.3 Conclusione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.2 Quantum eraser con atomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.2.1 Esperienza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28


4.2.3 Conclusione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5 Conclusione 31

A Basi matematiche 32

A.1 Il campo dei numeri complessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

A.2 Lo spazio di Hilbert Cn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

A.3 Prodotto tensoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

B Polarizzazione 36

Bibliografia 38

Capitolo 1

Interferenze quantistiche

Questo primo capitolo e atto ad avvicinare il lettore al mondo delle interfe-

renze quantistiche a una particella, un fenomeno straordinario della fisicaquantistica. Sfrutteremo alcune esperienze svolte nel passato e ne osserveremo leconclusioni totalmente controintuitive. Per cominciare e pero bene comprenderedi cosa si sta parlando quando si sente nominare la fisica quantistica.

1.1 Gli elementi della fisica classica

Per arrivare a parlare della fisica quantistica, dobbiamo prima vedere alcuniaspetti di quella classica. Per la fisica classica, fino alla fine del XIX secolo, sipuo descrivere tutto cio che accade grazie a due tipi di concetti. Il primo e ilpunto materiale. Un punto materiale modellizza un qualsiasi oggetto come unoggetto puntiforme, ovvero senza estensione, avente una massa. Il modello delpunto materiale e la base di tutta la meccanica classica, permette di sviluppareil concetto di traiettoria e l’idea di forza, di descrivere il moto, sia sul nostropianeta che nello spazio.

Per spiegare alcuni movimenti particolari di materia, come le onde sull’acqua oil suono nell’aria, si usa la nozione di onda. Invece di descrivere il movimentodi ciascuno degli atomi dell’aria o dell’acqua, l’onda permette di descrivere sem-plicemente il movimento di questi nel loro insieme. Grazie al concetto di ondasi sviluppera poi l’elettromagnetismo con le sue onde elettromagnetiche (luce,onde radio, raggi X). Abbiamo visto che le onde sonore si propagano nell’aria,ma qual’e il mezzo di propagazione delle onde elettromagnetiche? Si ipotizza al-lora un mezzo nel quale le onde elettromagnetiche si propagano: il famoso etere.Per far sı che tutto funzioni, bisogna dotare questo mezzo di proprieta estremee contraddittorie: deve essere molto rigido per spiegare l’altissima velocita della

GLI ELEMENTI DELLA FISICA CLASSICA 2

luce e allo stesso tempo molto morbido per occupare tutti gli spazi fra la mate-ria. Si finisce per rinunciare all’etere, dicendo che le onde elettromagnetiche sonocomposte da un campo elettrico e da uno magnetico, oscillanti su piani tra loroortogonali, e a loro volta ortogonali alla direzione di propagazione dell’onda. Mache cos’e un campo?

Facciamo un salto indietro nel tempo.

E il 1687 e Newton pubblica i Philosophiae Naturalis Principia Mathematica,nei quali descrive la legge della gravitazione universale e solleva un importanteproblema: quello dell’interazione fra corpi. Infatti il fisico inglese formula lasua teoria, secondo la quale l’intensita della forza di gravita varia come l’inversodel quadrato della distanza, ma non sa spiegare quale sia la natura della forzache agisce a distanza fra due corpi, e lo ammette, scrivendo la famosa fraseHypotheses non fingo (Non formulo ipotesi). Quando due corpi sono incontatto, e facile capire perche uno ha un influsso sull’altro, mentre se sonoseparati (dal vuoto nel caso della Terra e della Luna!), come fa uno a modificaredelle proprieta dell’altro?

Per risolvere questo enigma , nel XIX secolo nasce il concetto di campo. Lafisica classica e composta principalmente da questi due concetti: le particelle(idealizzate come punti materiali) e i campi. Se le particelle rappresentano glielementi della materia, i campi servono da mediatori per le loro interazioni. Eallora perche la Terra ha un’influenza sulla Luna, che le ruota attorno? Semplice,perche la Terra genera un campo gravitazionale attorno a se. L’azione non equindi piu a distanza, ma e locale; infatti e il campo gravitazionale terrestre afare una forza sulla Luna, non la Terra direttamente.

Prima di arrivare a parlare dei quanti, vediamo le differenze fra campi e particelleper quanto riguarda la loro quantita e la loro spazialita.

Le particelle possono essere contate, dunque la loro quantita e discreta. AlloUn insieme dielementi isolatie dettodiscreto,mentre infinitielementi senzaspazi vuoti trauno e l’altroformano uninsiemecontinuo.

stesso modo, occupano nello spazio dei punti ben precisi e separati fra loro; sonoquindi discrete anche dal punto di vista della spazialita.

I campi, al contrario delle particelle, sono continui sia sul piano della spazia-lita che su quello della quantita. Infatti l’intensita di un campo puo assumerequalsiasi valore, e come abbiamo visto prima, il campo tende per definizione adoccupare tutto lo spazio.

Riassumiamo il tutto nella Tabella 1.1

I QUANTI 3

Quantita Spazialita

Particella discreta discreta

Campo continua continua

Tabella 1.1: Quantita e spazialita degli elementi classici.

1.2 I quanti

La teoria dei quanti ha preso vita quando Max Planck, nel 1900, durante lesue ricerche sulla radiazione del corpo nero, avanzo l’ipotesi che la radiazione nonviene emessa sotto forma di onda continua, ma di pacchetti discreti detti quanta,o quanti.

I quanti sono discreti nella loro quantita, infatti sono una quantita di energiafinita. Non e pero possibile localizzarli in un punto preciso, visto che i quantitendono ad occupare tutto lo spazio, la loro spazialita e dunque continua. Iquanti dunque, mostrano una certa analogia con le particelle per cio che riguardala quantita, ma anche con i campi riguardo la loro spazialita. Ci si e dunqueaccorti che le onde elettromagnetiche non sono veramente delle onde, perche nonposseggono una continuita sul piano della quantita. Pero, questi granelli di luce,chiamati in seguito fotoni, non sono nemmeno particelle classiche, visto che laloro spazialita e continua. Aggiorniamo la tabella precedente per mostrare ledifferenze fra quanti, campi e particelle (vedi Tabella 1.2).

Quantita Spazialita

Particella discreta discreta

Campo continua continua

Quanto discreta continua

Tabella 1.2: Confronto fra particelle, campi e quanti.

Quando si scopre che anche l’elettrone, che si pensava fosse una particella classica,presenta una continuita spaziale, si dice che anch’esso, come il fotone, e unquanto.

Alla struttura dualista delle onde (o dei campi) e delle particelle succede unastruttura composta dal solo concetto di quanto della teoria quantistica. All’inizio

ALCUNE INTERFERENZE QUANTISTICHE 4

della teoria quantistica si parlava di dualita onda-particella descrivendo i quanti.Si pensava infatti che i quanti fossero allo stesso tempo particelle e onde, manon e possibile che lo stesso oggetto sia due cose differenti, quasi opposte, allostesso tempo. Dopo qualche anno ci si decide dunque a trarre la conclusione chei quanti non sono ne onde ne particelle, anche se in alcune condizioni possonocomportarsi similmente alle onde o alle particelle.

1.3 Alcune interferenze quantistiche

Nel 1920 si compiono esperienze di interferenza con dei quanti (elettroni), e siscopre che il loro comportamento e simile a quello dei raggi X. Questa e una cosasorprendente, visto che fino a poco prima le interferenze e la diffrazione eranofenomeni puramente ondulatori. Ma non e ancora la cosa piu strabiliante.

Per i ricercatori diventa importante provare le medesime esperienze in modoche i risultati sperimentali possano essere confrontati con quelli teorici, e chenell’apparato sperimentale sia presente un quanto alla volta. Vediamo diseguito alcune esperienze di interferenze quantistiche a una particella.

1.3.1 Interferenza di neutroni

In un reattore nucleare avviene la fissione di atomi di uranio 235 e vengonoprodotti i neutroni che sono guidati verso l’apparecchio sperimentale. Sappiamoche la quantita di moto dei neutroni vale p =

√2mkBT . Utilizzando la relazione

che stabilisce la lunghezza d’onda di de Broglie troviamo la lunghezza d’ondaassociata al neutrone, che vale

λ =h√

2mkBT

Nell’esperienza i neutroni vengono raffreddati a circa 25K, in modo che la lorolunghezza d’onda aumenti e valga circa λ ≈ 19 A. I neutroni sono inviati nel-l’interferometro (I nella figura) e poi sono rilevati sulla schermo (S). I risultatisperimentali dell’esperienza di interferenza da doppia fenditura coincidono conquelli teorici ottenuti grazie alla conoscenza di λ, a = 22µm e d = 104µm. Ilrisultato e mostrato nella Figura 1.2.


S

n

I

d

D = 5m

Figura 1.1: Interferometro per neutroni.

Figura 1.2: Interferenza di neutroni da doppia fenditura. La linea continua rappresenta il risultato

teorico.[6]

Dobbiamo notare che tra questa esperienza di interferenza e quelle clas-

siche c’e una differenza molto importante:

• nelle esperienze classiche, la figura di interferenza si ottiene facendo passaremolti fotoni alla volta nell’apparecchio, l’interferenza si spiega grazie alprincipio di sovrapposizione delle onde ed e istantanea;

• in questa esperienza, e in tutte quelle della fisica quantistica, la figura diinterferenza e costruita dopo l’esperienza, sovrapponendo i punti d’impat-to di ciascun neutrone; infatti l’esperienza e costruita in modo che sullaschermo arrivi un solo neutrone alla volta. Questo fenomeno si chia-ma interferenza a una particella. Contrariamente al caso classico, allora,questo tipo di interferenza non e instantaneo, basti pensare che per ottenerei risultati dell’esperienza di interferenza ci sono volute 210 ore [3].


Figura 1.3: Sovrapponendo i punti d’impatto dei quanti, si ottiene una figura d’interferenza

(esperienza realizzata con fotoni).[7]

1.3.2 Interferenza di molecole di carbonio 60

Nel 1999 un gruppo di ricercatori di Vienna ha compiuto un’esperienza per ve-dere se e possibile avere degli effetti di interferenza quantistica anche utilizzandograndi molecole. Usarono delle molecole di carbonio 60 (C60), detto fullerene,che e circa 720 volte piu pesante del neutrone.

Figura 1.4: Composizione del fullerene (C60).[9]

L’interferometro e formato da un reticolo con fenditure di larghezza 50 nm e di-stanziate di 100 nm, e la lunghezza d’onda di de Broglie del fullerene e 2.5 pm.

Anche nel caso di grandi molecole si osserva l’interferenza, e si puo vedere dairisultati sperimentali che coincide con il calcolo teorico.

L’INTERFEROMETRO DI MACH-ZEHNDER 7

S

n

I

Figura 1.5: Interferometro usato per l’esperienza col C60.

Figura 1.6: Interferenza di molecole di C60.[10]

1.4 L’interferometro di Mach-Zehnder

Un modello semplice per comprendere meglio le interferenze quantistiche e l’in-terferometro di Mach-Zehnder. Prima di arrivare all’interferenza quantistica verae propria vediamo come funziona, facendo diverse piccole esperienze atte a com-prendere bene proprio il funzionamento dell’interferometro. In questa sezioneci occuperemo soprattutto dei risultati stupefacenti dell’esperienza, in contrastocon la fisica classica.


1.4.1 Prima esperienza

L’esperienza consiste nell’inviare una alla volta una grande quantita di particelleUno specchiosemitrasparente(BS), separa unfascio diparticelle in dueparti.

su uno specchio semitrasparente, questo riflette o lascia passare le particellein modo aleatorio. Nel nostro caso, la particella che lo raggiunge viene trasmessao riflessa con una probabilita di 1

2. Due detettori posti dopo il separatore indicano

quale delle due vie e stata presa (T=trasmessa o R=riflessa).

S

BS

T

R

Figura 1.7: Esperienza che mostra il funzionamento di uno specchio semitrasparente.

Ci accorgiamo di due cose interessanti:

• i due detettori collocati ai due lati del BS non si attivano mai contempora-neamente, cio vuol dire che ogni particella viene o riflessa o trasmessa,ma non fa entrambe le cose nello stesso momento.

• ciascuno dei due detettori riceve esattamente la meta delle particelle inviateinizialmente.


1.4.2 Seconda esperienza

Per familiarizzarsi un po’ di piu con gli specchi separatori, puo essere utile com-plicare un po’ la prima esperienza. Questa volta, a ciascuna uscita del primo BSpiazzeremo un altro specchio separatore. In questo caso sara quindi necessariomettere quattro detettori invece dei due della prima esperienza. Ogni detettore ciindichera che percorso e stato preso da ogni particella. Ci sono quattro possibilitragitti:

• TT, ovvero trasmessa da entrambi gli specchi;

• TR, trasmessa dal primo specchio e riflessa dal secondo;

• RT, riflessa dal primo specchio e trasmessa dal secondo;

• RR, riflessa da entrambi gli specchi.

S

TR

TT

RR

RT

Figura 1.8: Apparecchio con tre separatori, che definiscono quattro possibili cammini.

In quali detettori verranno rilevate le particelle?E difficile rispondere a questa domanda senza fare l’esperienza, pero ci sarebberodue possibilita:

• le particelle potrebbero contenere delle informazioni che le fanno comporta-re in un determinato modo quando incontrano un BS, in questo caso metadelle paticelle verrebbe rilevata in TT e l’altra meta in RR, ma nessuna inRT e TR;

• le particelle si comportano in modo casuale quando si trovano di fronte unBS, la probabilita di essere riflessa o trasmessa e quindi uguale indipenden-temente dallo specchio separatore; in ciascuno dei detettori verra rilevatoun quarto delle particelle.


Una volta formulate queste due ipotesi, siamo pronti a verificare quale delle duecorrisponde alla realta, eseguendo l’esperienza.Dopo aver inviato una grande quantita di particelle, si osserva il risultato del-l’esperimento e si scopre che in tutti e quattro i sensori e arrivato esattamenteun quarto delle particelle totali. Da cio si evince che la particella non con-tiene informazioni che fanno sı che venga sempre riflessa o trasmessa; questa sicomporta in modo aleatorio.

1.4.3 Interferometro di Mach-Zehnder

RT o TR

TT o RR

Figura 1.9: Interferometro di Mach-Zehnder.

Uno specchioperfetto e unospecchio cheriflette tutte leparticelle che locolpiscono.

Vediamo ora l’interferometro di Mach-Zehnder equilibrato.L’apparecchio e composto da due specchi semitrasparenti come quelli delle espe-rienze precedenti e da due specchi perfetti, che permettono di reindirizzare leparticelle uscite dal primo BS verso il secondo. In questa maniera, una delle dueuscite del secondo separatore corrisponde ai cammini RT o TR, l’altro corrispon-de ai cammini RR o TT (vedi Figura 1.9).Conoscendo l’esperienza 2, questo interferometro non sembra porre problemi:visto che nel cammino RT era stato rilevato il 25% delle particelle, cosı comenel cammino TR, allora all’uscita RT o TR dell’interferometro ci aspetteremo ditrovare 25% + 25% = 50% delle particelle. Naturalmente, l’altro 50% si troveraall’uscita TT o RR.

Riassumendo:

Previsione : 50% delle particelle verranno captate all’uscita RT o TR, mentrel’altro 50% prendera l’uscita TT o RR.Ora, se si esegue l’esperienza, si nota che questa previsione non si avvera!


Cio che si osserva e insolito:

Osservazione : tutte le particelle vengono rilevate all’uscita RT o TR. Comeci si puo spiegare questa situazione?

Dato che si invia una particella dopo l’altra e impossibile che il risultato siadeterminato da degli scontri fra le particelle, e uno scontro non e sicuramenteavvenuto tra delle mezze particelle, dato che nell’esperienza 1 abbiamo visto chele particelle non sono divisibili.Non possiamo trovare una risposta a questa domanda. Pero si puo eseguire un’al-tra esperienza per potersi avvicinare alla risposta.Nell’esperienza della Figura 1.9, i percorsi che puo prendere la particella sono dilunghezza uguale. Proviamo ora a modificare la lunghezza di uno dei camminicome nella Figura 1.10.

RT o TR

TT o RR

Figura 1.10: Interferometro di Mach-Zehnder con allungamento di un percorso.

Appena la lunghezza dei due percorsi differisce di poco, qualche particella (po-chissime se la differenza di percorso e molto piccola) comincia a prendere ilcammino TT o RR. Piu si aumenta la differenza del percorso, e piu particelle sitroveranno in TT o RR. Quando i due percorsi differiscono di una certa lunghez-za L, tutte le particelle prenderanno l’uscita TT o RR. Se dovessimo continuaread aumentare questa lunghezza, si avrebbe l’effetto inverso, una volta raggiuntauna differenza di percorso di 2L, tutte le particelle si troverebbero in RT o TR,e cosı via se si allunga ancora il percorso.

Questo e un risultato sconvolgente, e viene da chiedersi come e possibile chemodificando uno solo dei due cammini, si riesce a modificare il comportamento


di tutte le particelle? Come hanno fatto le particelle che sono passate dal percorsonon modificato ad accorgersi del mutamento? Eppure e proprio cio che si osserva.

Conclusione : Dobbiamo concludere che ogni particella e informata, nonsi sa come, su tutti i percorsi che potrebbe prendere; come se percorresse en-trambi i cammini, ma abbiamo visto nella prima esperienza che cio non accade.Ora, una cosa ancora piu sconcertante di questa e che, se cerchiamo di scoprirequale percorso e stato preso da una particella, allora lo strano effetto che abbia-mo appena visto scompare, e si ottiene ancora come risultato 50% delle particellein TR o RT e 50% in TT o RR, indipendentemente dalla differenza di percorso.Questo bizzarro comportamento delle particelle ha un nome. Si parla di inter-ferenza a una particella o del fatto che la particella interferisce con se

stessa.

Principio d’indiscernibilita

Gran parte degli studiosi ha rinunciato a spiegare il genere di fenomeni vistinelle ultime esperienze; pero tutti sono d’accordo su un principio che si limita adescrivere cio che si osserva, ovvero il principio d’indiscernibilita. Il principiodice che

Le interferenze appaiono quando una particella puo percorrere piucammini per arrivare allo stesso detettore e quando il suo tragitto eindiscernibile dopo la rilevazione.

Cerchiamo di capire questo principio sulla base di cio che abbiamo visto fin’ora.Nelle prime due esperienze, c’e solo un cammino che porta a ciascun detettore;quindi, una volta rilevata una particella, sappiamo esattamente quale percorsoha seguito.⇒ Il percorso e discernibile, e non si ha nessun fenomeno d’interferenza.Nelle esperienze con l’interferometro di Mach-Zehnder invece, una volta che laparticella e stata rilevata dopo il secondo specchio semitrasparente, non possiamoin alcun modo sapere da quale cammino e passata, dato che per ogni detettoresono possibili due percorsi.⇒ I due percorsi sono indiscernibili, e si notano dei fenomeni di interferenza.Abbiamo anche visto che se nelle esperienze 3 e 4 rileviamo la presenza di unaparticella in uno dei due cammini, l’interferenza sparisce. Questo accade perchei cammini non sono piu indiscernibili.

Capitolo 2

Interferenza a una particella

Vedremo ora in maniera piu approfondita l’interferenza a una particella sul-l’interferometro di Mach-Zehnder, di cui abbiamo gia parlato nel Capitolo 1.4.3;per fare cio utilizzeremo il formalismo di Dirac.

2.1 Principi della fisica quantistica

Per descrivere cio che accade nell’interferometro di Mach-Zehnder necessitiamodi:

1. Una notazione per descrivere “la particella si propaga lungo l’asse x”e “laparticella si propaga lungo l’asse y”, questo corrisponde a descrivere lostato della particella in relazione alla proprieta direzione di propagazione;

2. Una descrizione degli specchi separatori (o beam-splitters) e degli spec-chi perfetti, questo corrisponde a descrivere l’evoluzione dello stato delleparticelle in presenza degli specchi;

Ladifferenzadi percorsoe dettaanche fase.

3. Un modo per descrivere la differenza di percorso, questo corrisponde adescrivere l’evoluzione dello stato delle particelle in presenza di unamodifica del cammino;

4. Una regola che ci permetta di calcolare le probabilita che hanno le particelledi essere rilevate in un rilevatore o nell’altro, ossia nel detettore associatoalla propagazione nella direzione x e quello per la direzione y.

1. Lo stato di propagazione : noteremo con |x〉 la particella si propagalungo l’asse x e con |y〉 la particella si propaga lungo l’asse y. Questi

PRINCIPI DELLA FISICA QUANTISTICA 14

due stati, ortogonali tra loro per costruzione, costituiscono una base diHprop = C2, lo spazio degli stati di propagazione. Uno stato generale e unacombinazione lineare di |x〉 e |y〉.

2. Evoluzione con gli specchi : cio che compie uno specchio si descrivenel seguente modo:

|x〉 −→√t|x〉+ i

√r|y〉

|y〉 −→√t|y〉+ i

√r|x〉

i numeri t e r sono rispettivamente le probabilita che la particella ha diessere trasmessa o riflessa quando raggiunge uno specchio separatore. Que-ste probabilita devono soddisfare t+ r = 1.Uno specchio perfetto (che riflette completamente le particelle) si descrivequindi nel modo seguente, dato che t = 0 e r = 1:

UnBSequilibrato eun BS chetrasmetteesattamente lametadelle particellee riflette lealtre.

|x〉 −→ i|y〉|y〉 −→ i|x〉

Se consideriamo il BS dell’esperienza vista nel Capitolo 1.4.3, ovvero unBS equilibrato, avremo t = r = 1

2; quindi:

|x〉 −→ 1√2(|x〉+ i|y〉)

|y〉 −→ 1√2(|y〉+ i|x〉)

eiφ

eunnumerocomplesso dimodulo 1.

3. Evoluzione con modifica del percorso : una differenza di camminoall’interno dell’interferometro si traduce in un fattore di fase eiφ inseritonell’espressione matematica rappresentante il percorso modificato. Se e ilcammino x si ottiene

|x〉 −→ eiφ|x〉|y〉 −→ |y〉

Il valore della fase φ e proporzionale alla lunghezza L della differenza dipercorso.

4. Probabilita di detezione : la probabilita che la particella venga rileva-ta nel sensore orientato lungo x, rispettivamente y, corrisponde al moduloal quadrato del numero complesso che moltiplica |x〉, rispettivamente |y〉,cosa che abbiamo gia usato per descrivere la probabilita di trasmissione te di riflessione r nella descrizione dello specchio separatore. Se e dato lostato

|ψ〉 = α|x〉+ β|y〉


si ottiene

Prob(x) = ‖P|x〉|ψ〉‖2 = ‖|x〉〈x||ψ〉‖2 = ‖|x〉‖2‖〈x|ψ〉‖2 = |α|2Prob(y) = ‖P|y〉|ψ〉‖2 = ‖|y〉〈y||ψ〉‖2 = ‖|y〉‖2‖〈y|ψ〉‖2 = |β|2

2.2 L’interferometro di Mach-Zehnder

M

M

faseBS1

BS2

Figura 2.1: Interferometro di Mach-Zehnder.

Il percorso seguito dalla particella partita dal cammino x, ossia nello stato |x〉,si puo descrivere nel seguente modo:

|x〉 BS1→ 1√2(|x〉 + i|y〉)

fase→ 1√2(eiφ|x〉 + i|y〉)

M→ 1√2(eiφi|y〉 − |x〉)

BS2→ 1

2(eiφi|y〉 − eiφ|x〉)− 1

2(|x〉 + i|y〉)

=1

2(−1 − eiφ)|x〉+ 1

2(−1 + eiφ)i|y〉

(∗)= −eiφ/2 cos (φ/2)|x〉+ eiφ/2 sin (φ/2)|y〉

Dove per (∗) e stato utilizzato cosα = 12(eiα + e−iα) e sinα = 1

2i(e−iα − eiα). Si

puo riassumere cio che abbiamo appena visto dicendo che lo stato della particellasi modifica nell’interferometro di Mach-Zehnder nel modo seguente:

|x〉 M−Z→ −eiφ/2 cos (φ/2)|x〉+ eiφ/2 sin (φ/2)|y〉 (⋆)


Infine le probabilita di osservare la particella nei detettori Dx e Dy sono:

Prob(x) = cos2 (φ/2) =1 + cosφ

2

Prob(y) = sin2 (φ/2) =1− cosφ

2

Possiamo notare che:

1. Con φ = 0, come nel risultato sperimentale, tutte le particelle prendonol’uscita x;

2. Variando φ la probabilita di una particella di trovarsi in y aumenta gra-dualmente finche si ottiene Prob(y)= 1 e poi diminuisce ancora.

Figura 2.2: Variazione della probabilita di detezione in funzione di φ. Prob(x), Prob(y)

.

Ed ecco descritta, secondo il formalismo di Dirac, l’esperienza eseguita conl’interferometro di Mach-Zehnder riguardante l’interferenza a una particella.

Si osserva che l’effetto d’interferenza e dovuto al fatto che dopo il primo BSla particella si trova nello stato di sovrapposizione 1√

2(|x〉 + i|y〉), cio coincide

all’esplorazione dei due cammini e produce poi, dopo il ricongiungimento deicammini in BS2, lo stato finale di sovrapposizione (⋆).

WHICH-WAY DETECTOR 17

2.3 Which-way detector

Per poter conoscere il percorso che e stato preso dalla particella, si possono porredei sensori DA e DB (vedi Figura 2.3).

DA

DB

Figura 2.3: Esperienza del which-way detector.

In questo caso, anche se i detettori non modificano in alcun modo lo stato dellaparticella, l’effetto di interferenza quantistica sparisce. Infatti la conoscenza delpercorso coincide con la certezza che la particella si trova ad esempio in DA, intal caso il suo stato non e piu lo stato di sovrapposizione 1√

2(|x〉 + i|y〉) bensı

diventa |x〉, e quindi dopo il secondo BS si ha

|x〉 BS2→ 1√2(|x〉+ i|y〉)

da cui troviamo le probabilita Prob(x) = Prob(y) = 1√2. Analogamente se la

particella e rilevata inDB. La conoscenza del percorso e l’interferenza quantisticasono due aspetti che non possono essere osservati nello stesso momento.

Capitolo 3

Which-way entangler

Come abbiamo visto, nel caso in cui poniamo dei sensori che rilevano direttamen-te la presenza di una particella in un dato cammino, l’interferenza quantisticasparisce. Per conoscere il percorso preso da una particella, senza compiere diret-tamente delle misure sulla stessa, possiamo misurarlo indirettamente, usandoun modello chiamato which-way entangler, nel quale la misura effettiva (nelsenso di conoscerne il risultato) non e necessaria. Sara la semplice possibilita diottenere questa informazione che sara all’origine della perdita delle interferenze.Queste misure si possono effettuare in diversi modi, vedremo di seguito comecompierle nel caso di un fotone prima (sfruttando la sua polarizzazione) e inquello di un atomo poi (sfruttando il suo livello di energia). In questo capitolocercheremo di scoprire se il fatto che la conoscenza del percorso e l’interferenzaquantistica sono eventi complementari e dovuto al modo di misurare il passaggiodi una particella in un dato punto o se e una cosa che avviene indipendentementedal metodo di misura.

3.1 Which-way entangler con fotoni

Vediamo un which-way entangler usato per conoscere il percorso di un fotone, equindi per fare esperienze utilizzando la luce. Alcuni concetti sulla polarizzazionedel fotone sono riportati nell’Capitolo B.

3.1.1 Esperienza

Per cercare di scoprire il percorso imboccato da ciascun fotone, compiamo l’e-sperienza illustrata di seguito (Figura 3.1) con l’interferometro di Mach-Zehnder.

WHICH-WAY ENTANGLER CON FOTONI 19

Abbiamo un interferometro di Mach-Zehnder, come nel Capitolo 1.4.3, su unodei percorsi aggiungiamo pero un rotatore di polarizzazione, in modo che sipotranno distinguere i percorsi presi dai fotoni. Infatti, se un fotone passa daltragitto sul quale e stato piazzato il rotatore di polarizzazione, alla fine avra unapolarizzazione diversa da quella iniziale.

Rotatore di polarizzazione α

Figura 3.1: Interferometro di Mach-Zehnder con rotatore di polarizzazione.

3.1.2 Descrizione dell’esperienza

Descriviamo il percorso di un fotone tenendo conto anche della polarizzazionedello stesso. Possiamo scrivere lo stato iniziale del fotone con polarizzazioneorizzontale come

|ψin〉 = |x〉 ⊗ |H〉con |x〉: direzione di propagazione (asse x) e|H〉: polarizzazione (orizzontale).Vediamo ora l’evoluzione dello stato del fotone nell’apparecchio:

|x〉 ⊗ |H〉 BS1→ 1√2(|x〉 + i|y〉)⊗ |H〉

M→ 1√2(i|y〉 − |x〉)⊗ |H〉

α→ 1√2(i|y〉 ⊗ |α〉 − |x〉 ⊗ |H〉)

BS2→ 1

2[i|y〉 ⊗ (|α〉 − |H〉) − |x〉 ⊗ (|α〉+ |H〉)]

=1

2[−|x〉(|⊗〉α + |H〉) + i|y〉 ⊗ (|α〉 − |H〉)]

WHICH-WAY ENTANGLER CON FOTONI 20

E otteniamo quindi che

Prob(x) = ‖P|x〉|ψout〉‖2 = ‖|x〉〈x| ⊗ I|ψout〉‖2 =1

4‖|x〉 ⊗ (|α〉+ |H〉)‖2 =

=1

4‖|α〉+ |H〉‖2 = 1

4(2 + 2 cosα) =

1

2(1 + cosα)

Prob(y) = ‖P|y〉|ψout〉‖2 = ‖|y〉〈y| ⊗ I|ψout〉‖2 =1

4‖|y〉 ⊗ (|α〉 − |H〉)‖2 =

=1

4‖|α〉 − |H〉‖2 = 1

4(2− 2 cosα) =

1

2(1− cosα)

Si definisce la visibilita delle frange d’interferenza come

V =Prob(x)− Prob(y)

Prob(x) + Prob(y)= cosα

e si nota che V = 1 quando α = 0, ossia |α〉 = |H〉 e V = 0 quando α = π2, ossia

|α〉 = |V 〉.

3.1.3 Conclusione

Gli stati |H〉 e |V 〉 sono perfettamente distinguibili e la misura della pola-rizzazione permette di risalire alla traiettoria del fotone.Vediamo che, se α = π/2, |α〉 = |V 〉 = |π/2〉, allora

Prob(x) = Prob(y) =1

2

e la visibilita e nulla, dunque le interferenze quantistiche sono completamente

perse.

Se invece α = 0, |α〉 = |H〉 = |0〉, allora

Prob(x) = 1 e Prob(y) = 0

e la visibilita e 1, le interferenze sono quelle gia trovate nel Capitolo 2.2.

Notiamo che non e possibile conoscere con certezza il percorso intrapreso dalfotone e allo stesso tempo dove arriva. Infatti, se conosciamo con certezza cheha una polarizzazione |V 〉 oppure |H〉, l’interferenza quantistica sparisce com-pletamente. Se invece sappiamo con certezza che il fotone arriva all’uscita TR oRT (interferenza), non potremo sapere il percorso preso da esso.Nel caso α 6= π

2, l’interferenza sara solo parziale e la visibilita compresa tra 0 e

1.

WHICH-WAY ENTANGLER CON ATOMI 21

Anche in questo caso si puo dire che i concetti di interferenza quantistica e cono-scenza del percorso sono complementari, cio non dipende quindi dal metododi misura del cammino intrapreso. Si puo quindi enunciare il principio di

complementarieta come segue:

In determinate situazioni, due o piu informazioni non possono inalcun modo essere conosciute contemporaneamente; o se ne conosceuna, o si conosce l’altra. Queste informazioni sono dette comple-

mentari.

3.2 Which-way entangler con atomi

Siccome la polarizzazione e una caratteristica specifica della luce, il modello delwhich-way entangler con la polarizzazione visto precedentemente, non funzionacon tutte le particelle. Vediamo ora un metodo che funziona nel caso di atomi.

3.2.1 Esperienza

Prendiamo come base l’interferometro visto nel Capitolo 2.3, ma con una piccolamodifica: i sensori DA e DB non rilevano direttamente il passaggio di una par-ticella, ma fanno sı che questa emetta un fotone quando li attraversa, e rilevanoil fotone emesso.Per fare cio, la particella viene emessa dalla sorgente in uno stato eccitato,quando questa attraversa uno dei due sensori DA o DB, viene rilassata al suostato fondamentale, tramite l’emissione di un fotone.

DA

DB

Figura 3.2: Which-way entangler con particelle.

WHICH-WAY ENTANGLER CON ATOMI 22


Notiamo lo stato del fotone emesso come |A〉 o |B〉, a dipendenza dal sensore chel’ha rilevato, |0〉 significa che il fotone non e ancora stato emesso.Lo stato |e〉 sta ad indicare che la particella si trova nel suo stato eccitato,mentra |g〉 significa che e nel suo stato fondamentale. Descriviamo l’evoluzionedello stato della particella. Lo stato iniziale sara

|ψin〉 = |x〉 ⊗ |0〉 ⊗ |e〉

|x〉 ⊗ |0〉 ⊗ |e〉 BS1→ 1√2(|x〉+ i|y〉)⊗ |0〉 ⊗ |e〉

DA,B→ 1√2(|x〉 ⊗ |A〉+ i|y〉 ⊗ |B〉)⊗ |g〉

M→ 1√2(i|y〉 ⊗ |A〉 − |x〉 ⊗ |B〉)⊗ |g〉

BS2→ 1

2[(i|y〉 − |x〉)⊗ |A〉 − (|x〉+ i|y〉)⊗ |B〉]⊗ |g〉

=1

2[i|y〉 ⊗ (|A〉 − |B〉)− |x〉 ⊗ (|A〉+ |B〉)]⊗ |g〉

E otteniamo quindi che

Prob(x) =1

4‖|A〉+ |B〉‖2 = 1

4(1 + 1) =

1

2

Prob(x) =1

4‖|A〉 − |B〉‖2 = 1

4(1 + 1) =

1

2

3.2.3 Conclusione

Come nel caso del which-way entangler con la polarizzazione, anche qui il percor-so e perfettamente conosciuto, e la figura d’interferenza sparisce completamente.Anche in questo caso si puo parlare di complementarieta: dal momento che siconosce esattamente il percorso preso dalla particella, l’interferenza sparisce, ese si vuole avere l’interferenza, bisogna rinunciare a conoscere il percorso dellaparticella.

ENTANGLEMENT 23

3.3 Entanglement

Nelle esperienze del which-way entangler abbiamo visto chel’interferenza vienedistrutta ogniqualvolta e possibile differenziare i percorsi presi dalle particelle; nelcaso del fotone quando la sua polarizzazione viene diversificata nei due differenticammini, mentre in quello dell’atomo quando il fotone emesso viene rilevato,permettendo di risalire al punto nel quale si e rilassato l’atomo.

Possiamo notare che la caratteristica dello stato del fotone riguardante la suapolarizzazione ci fornisce informazioni anche sul percorso preso dallo stesso eviceversa, mentre il fotone liberato dall’atomo contiene informazioni riguardantial cammino intrapreso dall’atomo e viceversa.

In entrambi i casi si parla di stato intrecciato : nel primo fra polarizzazione edirezione di propagazione, mentre nel secondo fra atomo e fotone.

Cio significa che nei casi:

1. non possiamo piu scrivere lo stato semplicemente come

|ψ〉 = |direzione〉 ⊗ |polarizzazione〉

ma dobbiamo tener conto del fatto che la polarizzazione dipende dalla dire-zione di propagazione, e viceversa. Infatti in

α→ la direzione di propagazionee la polarizzazione sono nello stato di sovrapposizione degli stati |x〉 ⊗ |H〉e |y〉 ⊗ |α〉;

2. come nel primo caso non possiamo scrivere lo stato come

|ψ〉 = |atomo〉 ⊗ |fotone〉

ma dobbiamo tener conto del fatto che lo stato della particella dipende da

quello del fotone, e viceversa. Infatti inDA,B→ il fotone e la particella sono

nello stato di sovrapposizione degli stati |x〉 ⊗ |A〉 ⊗ |g〉 e |y〉 ⊗ |B〉 ⊗ |g〉.

Questo fenomeno e chiamato entanglement quantistico e gli stati combina-zione lineare citati sono detti stati entangled (o stati intrecciati).

Capitolo 4

Quantum eraser

Abbiamo visto che la conoscenza del percorso preso dalla particella e l’effettod’interferenza quantistica sono due fenomeni complementari, e dunque la co-noscenza totale del percorso ottenuta mediante l’uso del which-way entanglerfa sı che l’interferenza non si manifesti. Vediamo ora come cancellare le in-formazioni concernenti il cammino intrapreso dalla particella con un’ulterioreestensione dell’interferometro di Mach-Zehnder, chiamata quantum eraser, ogomma quantistica. Anche in questo capitolo vedremo l’esperienza del quantumeraser nei due casi precedenti, ovvero con i fotoni e con gli atomi.

4.1 Quantum eraser con fotoni

4.1.1 Esperienza

L’apparecchio di Mach-Zehnder e uguale a quello utilizzato per conoscere il per-corso di ogni singolo fotone, tranne per il fatto che bisogna aggiungere dei po-larizzatori dopo ciascuna uscita del secondo beam-splitter, con un angolo dipolarizzazione β uguale per entrambe le uscite. In questo modo e possibile can-cellare le informazioni sul percorso seguito da ogni fotone, infatti tutti quelliche attraversano il polarizzatore hanno una polarizzazione |β〉, uguale all’assepreferenziale di questo, tutti i fotoni con polarizzazione |β⊥〉 saranno assorbiti oriflessi dal polarizzatore.

QUANTUM ERASER CON FOTONI 25


Polarizzatore β

Figura 4.1: Esperienza del quantum eraser con polarizzazione.


Descriviamo il percorso del fotone e l’evoluzione del suo stato. Lo stato inizialedel fotone e |ψin〉 = |x〉 ⊗ |H〉. Visto che con α = π

2l’interferenza sparisce

completamente, fissiamo l’angolo del rotatore di polarizzazione α = π2, e quindi

la sua azione sara |H〉 α→ |V 〉.

|x〉 ⊗ |H〉 BS1→ 1√2(|x〉 + i|y〉)⊗ |H〉

M→ 1√2(i|y〉 − |x〉)⊗ |H〉

α→ 1√2(i|y〉 ⊗ |V 〉 − |x〉 ⊗ |H〉)

BS2→ 1

2

[

(i|y〉 − |x〉)⊗ |V 〉 − (|x〉+ i|y〉)⊗ |H〉]

E fino a qui e tutto uguale all’esperienza del which-way entangler, ora bisognadescrivere l’azione del polarizzatore, che agisce da filtro: piu l’angolo di pola-rizzazione (α) del fotone e diverso dall’angolo (β) del polarizzatore, e meno ela probabilita che un fotone passi. Con Prob(α ⊥ β) = 0 e Prob(α ‖ β) = 1.Visto che nel nostro caso le due polarizzazioni sono |V 〉 e |H〉, le probabilita chepassino dal filtro polarizzatore e quindi che cambino la loro polarizzazione in |β〉e

Prob(V ) = sin2(β)

Prob(H) = cos2(β)


e dunque l’azione del polarizzatore e

|V 〉 β→ sin(β)|β〉|H〉 β→ cos(β)|β〉

Otteniamo quindi

β→ 1

2[(i|y〉 − |x〉)⊗ (sin(β)|β〉) − (|x〉+ i|y〉)⊗ (cos(β)|β〉)]

=1

2

[

− (sin β + cos β)⊗ |x〉 + i(sin β − cos β)|y〉]

⊗ |β〉

E troviamo le probabilita

Prob(x) = |12(sin β + cos β)|2‖|x〉‖2‖|β〉‖2 = 1

4(1 + 2 cos β sin β)

Prob(y) = |12(sin β − cos β)|2‖|y〉‖2‖|β〉‖2 = 1

4(1− 2 cosβ sin β)

Osserviamo che le probabilita che calcoliamo sono condizionate al fatto che ifotoni oltrepassano il polarizzatore β. Poiche in ogni caso la meta di essi eassorbita, la somma delle probabilita sara 1

2e solo condizionandola al passaggio

si otterra 1.

4.1.3 Conclusione

Se il polarizzatore e in posizione orizzontale (β = 0) oppure verticale (β = π2)

Prob(x) = Prob(y) =1

4

e quindi non abbiamo l’interferenza. Questo accade perche e ancora possibilesapere che percorso e stato preso da ogni fotone che e arrivato al detettore (1

2

viene assorbito o riflesso dal polarizzatore), infatti se β = 0, passano solo i fotonipolarizzati |H〉, e viceversa se β = π

2.

Se invece ci avviciniamo al valore dove passa lo stesso numero di fotoni conpolarizzazioni |H〉 e |V 〉, ossia β = π

4, vediamo che il fenomeno di interferenza

aumenta, fino a essere completa quando l’informazione sul cammino intrapresoe cancellata completamente.

Prob(x) =1

4(1 + 2 cos(π

4) sin(π

4)) =

1

2

Prob(y) =1

4(1− 2 cos(π

4) sin(π

4)) = 0


Si ricorda che la probabilita e Prob(x)= 12perche l’altra meta dei fotoni viene

assorbita o riflessa dal polarizzatore e quindi non raggiunge alcuna uscita; se sicalcola Prob(x) condizionalmente solo sui fotoni che oltrepassano il polarizzatore,si ottiene

Prob(x|passato) = 1

Prob(y|passato) = 0

Si noti che la stessa esperienza puo essere compiuta mettendo i sensori prima delquantum eraser, in modo che essi lascino passare i fotoni dopo aver rilevato illoro passaggio e la polarizzazione venga cambiata dopo il rilevamento.

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

Dx

Dy


Polarizzatore β

Figura 4.2: Esperienza del delayed choice quantum eraser.

Anche in questo caso il fenomeno di interferenza ricompare, come se i fotonisapessero che c’e il quantum eraser sul loro percorso gia prima di passare dalsensore. Questa esperienza e chiamata delayed choice quantum eraser.

QUANTUM ERASER CON ATOMI 28

4.2 Quantum eraser con atomi

Anche nel caso in cui facciamo l’esperienza del which-way entangler usando delleparticelle diverse dai fotoni possiamo cancellare semplicemente le informazionisul cammino percorso da queste.

4.2.1 Esperienza

Come per il caso della polarizzazione, anche in questo caso l’esperienza del quan-tum eraser e una semplice estensione dell’interferometro di Mach-Zehnder giautilizzato per l’esperimento del which-way entangler.

Abbiamo bisogno di un quantum eraser che ci permetta di cancellare le informa-zioni sul cammino intrapreso da ogni atomo. Per fare cio bisogna fare in modoche il fotone emesso dall’atomo quando passa dallo stato eccitato |e〉 a quello fon-damentale |g〉 venga assorbito, in modo che non possa essere rilevato il camminodal quale e partito. L’esperienza prevede di collocare un’ulteriore particella ε inun punto fra i sensori, come nella figura. ε sara il nostro quantum eraser.

c

c

DA

DB ε

Figura 4.3: Esperienza del quantum eraser con particelle.

Nel caso in cui il fotone emesso e assorbito dal quantum eraser, l’informazionesul percorso e completamente persa, e secondo le previsioni dovrebbe verificarsiun’interferenza quantistica.



La descrizione dell’esperienza e molto simile al caso del which-way entangler. Ciserve pero una notazione per descrivere lo stato del quantum eraser ε. Noteremo|ε〉 il quantum eraser nel suo stato eccitato (ha assorbito il fotone) e |γ〉 il quantumeraser nel suo stato fondamentale. Consideriamo l’evoluzione del sistema il cuistato iniziale e

|ψin〉 = |x〉 ⊗ |0〉 ⊗ |e〉 ⊗ |γ〉Se facciamo in modo che il fotone emesso non raggiunga il quantum eraser bloc-cando il percorso c, otteniamo lo stesso risultato dell’esperienza del which-wayentangler

|x〉 ⊗ |0〉 ⊗ |e〉 ⊗ |γ〉 BS1→ 1√2(|x〉+ i|y〉)⊗ |0〉 ⊗ |e〉 ⊗ |γ〉

DA,B→ 1√2(|x〉 ⊗ |A〉+ i|y〉 ⊗ |B〉)⊗ |g〉 ⊗ |γ〉

M→ 1√2(i|y〉 ⊗ |A〉 − |x〉 ⊗ |B〉)⊗ |g〉 ⊗ |γ〉

BS2→ 1

2[i|y〉 ⊗ (|A〉 − |B〉)− |x〉 ⊗ (|A〉+ |B〉)]⊗ |g〉 ⊗ |γ〉

e quindi

Prob(x)=Prob(y) =1

2(⋆)

Se invece lasciamo aperto il cammino c, il fotone viene assorbito dalla particellasoltanto in alcuni casi, ha quindi una certa probabilita di essere assorbito. Senon viene assorbito otteniamo lo stesso risultato di (⋆). Se invece il fotone vieneassorbito sappiamo che il primo pezzo del percorso e uguale a prima

|x〉 ⊗ |0〉 ⊗ |e〉 ⊗ |γ〉 BS1→ 1√2(|x〉+ i|y〉)⊗ |0〉 ⊗ |e〉 ⊗ |γ〉

InDA,B→ il fotone viene assorbito dal quantum eraser, quindi sappiamo che

DA,B→ 1√2(|x〉+ i|y〉)⊗ |0〉 ⊗ |g〉 ⊗ |ε〉

M→ 1√2(i|y〉 − |x〉)⊗ |0〉 ⊗ |g〉 ⊗ |ε〉

BS2→ 1

2[i|y〉 − |x〉 − |x〉 − i|y〉]⊗ |0〉 ⊗ |g〉 ⊗ |ε〉

= −|x〉 ⊗ |0〉 ⊗ |g〉 ⊗ |ε〉

E dunque si puo trovare la probabilita che la particella esca in x e y nel caso incui il fotone venga assorbito dal quantum eraser.


Le probabilita Prob(x) e Prob(y) sono quindi sostituite dalle probabilita condi-zionali Prob(x|abs) e Prob(y|abs).Otteniamo

Prob(x|abs) = | − 1|2‖|x〉‖2‖|0〉‖2‖|g〉‖2‖|ε〉‖2 = 1

Prob(y|abs) = 0

4.2.3 Conclusione

Vediamo che la cancellazione delle informazioni riguardanti il percorso della par-ticella restaurano completamente il fenomeno di interferenza quantistica nell’in-terferometro di Mach-Zehnder. Possiamo dunque confermare che le informazioniriguardanti il percorso e quelle riguardanti l’interferenza sono complementari.

Osserviamo pero che le interferenze si osservano solo sul sottoinsieme delle parti-celle per le quali il fotone e stato assorbito dal quantum eraser, cosa che abbiamoespresso calcolando le probabilita condizionali.

Capitolo 5

Conclusione

Durante il mio lavoro, ho mostrato delle semplici esperienze con lo scopo dicomprendere meglio le interferenze quantistiche a una particella, le loro differenzerispetto alle interferenze classiche e alcuni loro comportamenti bizzarri.

Inizialmente abbiamo parlato delle interferenze quantistiche in generale, e abbia-mo visto che un’interferenza quantistica appare solo quando una particella arrivaa un certo punto dove puo scegliere due percorsi differenti per arrivare a un de-tettore, cammini che devono essere indiscernibili dopo la rilevazione (principiodi indiscernibilita).

Inoltre abbiamo visto che l’informazione sul cammino intrapreso dalla particellaquantistica e ottenuta sfruttando l’entanglement sussistente fra la stessa e undetettore presente sul percorso. La conoscenza del percorso fa sparire l’inter-ferenza quantistica, dunque l’entanglement fra questi due elementi modifica lostato della particella, che ora e correlato con quello del detettore, essendo in unostato intrecciato.

Uno dei punti che spero di aver sottolineato col mio lavoro, e il fatto che l’inter-ferenza quantistica puo essere ripristinata mediante un quantum eraser, unostrumento che disintreccia gli stati della particella e del detettore. In questo modosi ottiene dunque il cancellamento di ogni informazione sul cammino preso dallaparticella quantistica (si perdono le informazioni which-way), e l’interferen-za riappare, ma solo condizionatamente ad alcune caratteristiche dell’esperienza(trasmissione di fotoni nel primo caso o assorbimento del fotone nel secondo). Sipuo dunque concludere che, come ripetuto gia piu volte, le informazioni riguar-danti il percorso della particella e quelle riguardanti l’uscita presa dalla particella,ossia gli effetti d’interferenza, sono due proprieta complementari.

Appendice A

Basi matematiche

Per poter capire a fondo i dettagli di calcolo di questo lavoro, e necessario averedelle conoscenze base in matematica. In questo capitolo verranno introdottialcuni concetti fondamentali.

A.1 Il campo dei numeri complessi

Nel campo dei numeri reali R, l’equazione

x2 + 1 = 0

non possiede soluzioni. Per trovare una soluzione a questa equazione, si puoestendere R.Questa estensione e possibile, e possiamo trovare una soluzione al problema dellaforma a+

√−1b con a, b ∈ R (nel caso di x2+1 = 0, la soluzione si ha con a = 0,

b = 1).

L’insieme dei numeri della forma

a+√−1b a, b ∈ R

forma il campo dei numeri complessi, notato C. Per comodita notiamoi ≡

√−1, dunque

C = {z = a+ ib | a, b ∈ R}

IL CAMPO DEI NUMERI COMPLESSI 33

Definizione 1 Sia z = a+ ib un numero complesso, il numero a ∈ R si chiamaparte reale di z, notato Re z = a; mentre il numero b ∈ R si chiama parte

immaginaria di z, e si nota Im z = b.

Definizione 2 L’applicazione in C che ad ogni numero z = a + ib associa ilnumero z = a− ib, si chiama coniugazione complessa.

Definizione 3 Il modulo di un numero complesso z ∈ C, notato |z|, e definitocome |z| =

√zz.

Gli spazi vettoriali C e R2 sono isomorfi :

ψ : C → R2

a+ ib = z 7→ ψ(z) = (a, b).

Introduciamo il piano complesso, dove sull’asse orizzontale e rappresentata laparte reale del numero complesso z e sull’asse verticale e rappresentata la parteimmaginaria. Come si vede dalla figura, il numero complesso z 6= 0 puo essere

Im(z)

Re(z)

ψ(z)

θ

r

Figura A.1: Rappresentazione di z sul piano complesso.

descritto con un numero positivo r (distanza tra 0 e ψ(z)) e un angolo θ chiamatoargomento (misurato partendo dal primo vettore della base canonica di R2).Il numero z si puo scrivere come

z = a+ ib oppure z = r(cos θ + i sin θ) = reiθ

dovea = r cos θ e b = r sin θ

e

r =√a2 + b2 = |z| e θ = arctan

b

a∩]− π, π[= arg z se a < 0

LO SPAZIO DI HILBERT CN 34

A.2 Lo spazio di Hilbert Cn

Definizione 4 Lo spazio vettoriale Cn sul campo dei numeri complessi C,

munito di un prodotto scalare

Cn × C

n → C

(|ψ〉, |ϕ〉) 7→ 〈ψ|ϕ〉

e chiamato spazio di Hilbert Cn, notato anche H.I vettori su uno spazio di Hilbert, notati |ψ〉, si chiamano ket e rappresentanofisicamente una proprieta di un sistema.

Definizione 5 La norma indotta dal prodotto scalare 〈·|·〉 e l’applicazione

Cn → R+

ψ 7→ ‖ψ‖ =√

〈ψ|ψ〉

e soddisfa le proprieta seguenti:

1. ‖|ψ〉+ |ϕ〉‖ ≤ ‖|ψ〉‖+ ‖|ϕ〉‖ ∀|ψ〉, |ϕ〉 ∈ Cn (disuguaglianza triangolare)

2. ‖λ|ψ〉‖ = |λ|‖|ψ〉‖ ∀λ ∈ C, |ψ〉 ∈ Cn

3. ‖|ψ〉‖ = 0 ⇔ |ψ〉 = |0〉

Definizione 6 Due vettori |ψ〉, |ϕ〉 sono detti ortogonali se

〈ψ|ϕ〉 = 0

Definizione 7 Il proiettore ortogonale sul vettore normalizzato |ϕ〉 e l’ope-ratore

P|ϕ〉 = |ϕ〉〈ϕ|che soddisfa la proprieta di idempotenza (P ◦ P = P ) e che a |ψ〉 associa unvettore con direzione |ϕ〉 e lunghezza 〈ϕ|ψ〉.

A.3 Prodotto tensoriale

Definizione 8 Per poter creare uno spazio di Hilbert adatto a descrivere piuproprieta di una particella o piu particelle con una proprieta, si usa il prodottotensoriale ⊗. Lo spazio di Hilbert cosı costruito usando gli spazi H1 e H2 sinota H1 ⊗H2.

PRODOTTO TENSORIALE 35

Definizione 9 Il prodotto scalare fra due elementi |ψ〉1 ⊗ |ψ〉2,|ϕ〉1 ⊗ |ϕ〉2 ∈ H1 ⊗H2 e definito come

(|ψ〉1 ⊗ |ψ〉2, |ϕ〉1 ⊗ |ϕ〉2)H1⊗H2= 〈ψ1|ϕ1〉H1

〈ψ2|ϕ2〉H2

dove 〈·|·〉Hie il prodotto scalare in Hi. Ne deriva quindi la norma

‖|ψ〉1 ⊗ |ψ〉2‖H1⊗H2= ‖|ψ〉1‖H1

‖|ψ〉2‖H2

Appendice B

Polarizzazione

La luce consiste in un campo elettrico ~E e in uno magnetico ~B tra loro ortogonali,che possono oscillare in qualsiasi direzione perpendicolare alla direzione di propa-gazione. La polarizzazione della luce indica la direzione dell’oscillazione del

Figura B.1: La polarizzazione e la direzione di oscillazionedel campo elettrico.[11]

Visto che lapolarizzazione edefinita comeuna direzione, ivettori ~e e −~edescrivono lastessapolarizzazione.

campo elettrico. Matematicamente, una direzione puo essere descritta mediantel’uso di un vettore. Si ha quindi la possibilita di descrivere la polarizzazione

con un vettore ~e ∈ R2, composizione dei vettori di base ~eH (orizzontale) e ~eV(verticale), con { ~eH , ~eV } ∈ R2.La polarizzazione di angolo α rispetto a ~eH e descritta da

~eα = cos(α) ~eH + sin(α) ~eV

Conoscendo la polarizzazione di un fascio di luce polarizzato, si puo risalire allapolarizzazione del fotone, visto che e uguale per tutti i fotoni componenti il

37

fascio. Lo stato di un fotone di un’onda elettromagnetica di polarizzazione ~eαsara descritto dal vettore

|α〉 = cos(α)|H〉+ sin(α)|V 〉

dove |H〉 e |V 〉 sono gli stati detti di polarizzazione orizzontale e verticale, cheformano una base di Hpol = C2, lo spazio degli stati di polarizzazione.

Ci sono diversi modi per misurare la polarizzazione del fotone, vediamone alcuni:

• Un polarizzatore e un materiale con un struttura cristallina con un assepreferenziale, che agisce da filtro per i fotoni. Abbiamo visto che la pola-rizzazione e rappresentata da un vettore, il polarizzatore ne trasmette lacomponente parallela al suo asse e riflette o assorbe quella perpendicolare.

• Un polarizing beam splitter e un materiale che permette di separarei fotoni con polarizzazione diversa. Esso e simile agli specchi semitra-sparenti dell’interferometro di Mach-Zehnder, ma trasmette i fotoni conpolarizzazione |α〉 e riflette quelli con polarizzazione |α⊥〉.

• Un rotatore di polarizzazione e un materiale che permette di ruotarela polarizzazione del fotone che lo attraversa di un angolo −α.

Bibliografia

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[4] V. Scarani, Initiation a la physique quantique: La matiere et sesphenomenes, Vuibert, 2003.

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[8] Immagine di copertina: http://www.condmat.uni-oldenburg.de/teaching.html

[9] http://it.wikipedia.org/wiki/File:Fullerene-C60.png

[10] http://www.mineman.eu/continui/fullerene.html

[11] http://mysite.du.edu/~lconyers/SERDP/Figure5.htm

http://www.condmat.uni-oldenburg.de/teaching.html

http://it.wikipedia.org/wiki/File:Fullerene-C60.png

http://www.mineman.eu/continui/fullerene.html

http://mysite.du.edu/~lconyers/SERDP/Figure5.htm

Quantum Erasure - liceolocarno.ch · stanziate di 100nm, e la lunghezza d’onda di de Broglie del...

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