Quantum Computing - Curs 1

Introducere

Andreea Arusoaie

October 5, 2020

Informatii utile

• Referinte:I M. A. Nielsen and I.L. Chuang, Quantum Computation and

Quantum Information, 2nd ed. Cambridge University Press, 2010.I C. Bernhardt, Quantum Computing for everyone, Massachusetts

Institute of Technology, 2019.I P. Kaye, R. Laflamme, and M. Mosca, An introduction to Quantum

Computing, Oxford University Press, 2007.

• Pagina cursului:

https://profs.info.uaic.ro/~andreea.arusoaie/QC.html

Informatii utile

• Referinte:I M. A. Nielsen and I.L. Chuang, Quantum Computation and

Quantum Information, 2nd ed. Cambridge University Press, 2010.I C. Bernhardt, Quantum Computing for everyone, Massachusetts

Institute of Technology, 2019.I P. Kaye, R. Laflamme, and M. Mosca, An introduction to Quantum

Computing, Oxford University Press, 2007.

• Pagina cursului:

https://profs.info.uaic.ro/~andreea.arusoaie/QC.html

Modalitatea de evaluare

Nota finala va fi alcatuita din:

I 60% - Test scris ın saptamana 8;

I 40% - Rezolvarea si prezentarea a doua teme asignate la laborator;

Formula de calcul a notei finale este urmatoarea:

N = 0.60 ∗ E + 0.2 ∗ (T1 + T2)

unde

I E - nota la examenul scris;

I T1, T2 - Punctajele obtinute la cele doua teme (maxim 10p pentrufiecare tema);

Modalitatea de evaluare

Nota finala va fi alcatuita din:

I 60% - Test scris ın saptamana 8;

I 40% - Rezolvarea si prezentarea a doua teme asignate la laborator;

Formula de calcul a notei finale este urmatoarea:

N = 0.60 ∗ E + 0.2 ∗ (T1 + T2)

unde

I E - nota la examenul scris;

I T1, T2 - Punctajele obtinute la cele doua teme (maxim 10p pentrufiecare tema);

Obiectivele disciplinei

Obiectivul general:

• Introducerea unor notiuni preliminare de calcul cuantic.

Obiective specifice:

• Prezentarea unor notiuni de baza din calculul cuantic.

• Identificarea unor probleme ce pot fi rezolvate cu ajutorul calcululuicuantic.

• Proiectarea de circuite cuantice.

• Familiarizarea cu un limbaj specific pentru calculul cuantic.

Obiectivele disciplinei

Obiectivul general:

• Introducerea unor notiuni preliminare de calcul cuantic.

Obiective specifice:

• Prezentarea unor notiuni de baza din calculul cuantic.

• Identificarea unor probleme ce pot fi rezolvate cu ajutorul calcululuicuantic.

• Proiectarea de circuite cuantice.

• Familiarizarea cu un limbaj specific pentru calculul cuantic.

Continutul cursului

1. Fundamente Matematice: Spatii vectoriale, operatori liniari, baze,norme, etc.

2. Elemente de Mecanica cuantica: Qubits, Superposition,Measurement, Entanglement

3. Circuite Cuantice: Porti elementare, circuite, paralelism cuantic

4. Algoritmi cuantici cunoscuti:

- Algoritmul lui Deutsch-Jozsa- Algoritmul lui Simon- Transformata Fourier: Phase estimation- Algoritmul de Order finding- Algoritmul lui Shor- Hidden Subgroup Problem

Ce este calculul cuantic?

• Calculul cuantic: studiaza procesele informatice care pot fi realizateutilizand fenomenele mecanicii cuantice precum superpozitia sientanglement-ul pentru efectua calcule si a manipula date.

Ce este calculul cuantic?

• Calculul cuantic: studiaza procesele informatice care pot fi realizateutilizand fenomenele mecanicii cuantice precum superpozitia sientanglement-ul pentru efectua calcule si a manipula date.

De la fizica clasica la fizica cuantica

• Mecanica clasica: - secolul XVII - Newton, Leibniz, Maxwell

→ Descrie miscarea obiectelor macroscopice.→ Obiectele au proprietati bine definite, independente de cum sunt

masurate

• Mecanica cuantica: - secolul XX - Plank, Einstein, Bohn,Schrodinger, Heisenberg

→ Studiaza este miscarea particulelor materiale la scara atomica→ A aparut ca rezultat al unui efort colectiv de a ıntelege fenomene

care ın fizica cuantica nu aveau explicatii→ Este una dintre cele mai bune teorii, nefiind contrazisa de nici un

experiment→ Proprietati ”mai ciudate”: superpozitie, interferenta, entanglement

Mecanica cuantica

I Mecanica cuantica se aplica tuturor fenomenelor din natura, oricarear fi ele.

I (P1): Un sistem cuantic se poate afla ın mai multe stari, ın acelasitimp.

Superpozitia cuantica - proprietatea unei particule de a exista simultan ınuna sau mai multe stari.

Mecanica cuantica

I Mecanica cuantica se aplica tuturor fenomenelor din natura, oricarear fi ele.

I (P1): Un sistem cuantic se poate afla ın mai multe stari, ın acelasitimp.

Superpozitia cuantica - proprietatea unei particule de a exista simultan ınuna sau mai multe stari.

Mecanica cuantica

I Mecanica cuantica se aplica tuturor fenomenelor din natura, oricarear fi ele.

I (P1): Un sistem cuantic se poate afla ın mai multe stari, ın acelasitimp.

Superpozitia cuantica - proprietatea unei particule de a exista simultan ınuna sau mai multe stari.

Superpozitia cuantica - Exemple

Spre exemplu, electronul are o orientare specifica (spin), totusi nu potispune ın ce directie se roteste pana nu ıl observi.

Figure: Photo credit:Northwestern University

Inainte de observare, electronul se poate misca ın orice directie si avandorice orientare, toate ın acelasi timp. Asta pentru ca, ınainte sa observispin-ul electronului, fiecare optiune este posibila.

Superpozitia cuantica - Pisica lui Schrodinger - 1935

Experiment : Incui o pisica ıntr-o cutie de otel si umpli cutia cu un gazletal care are 50% sanse sa omoare pisica ın urmatoarea ora. Asteptam oora, apoi deschidem cutia.

Pisica este moarta sau vie?

Superpozitia cuantica - Pisica lui Schrodinger - 1935

Mecanica cuantica

I (P2): O stare de superpozitie cuantica evolueaza continuu.

I (P3): Daca masuram o stare de superpozitie cuantica, aceasta seschimba si poate deveni o stare clasica.

Entanglement-ul (Inseparabilitatea cuantica) - este un fenomen cuantic ıncare starile cuantice ale mai multor obiecte sau particule elementarediferite sunt “cuplate” ıntre ele.

I Double split experiment - Seminar

Quote:

I Niels Bohr: “Everything we call real is made of things that cannotbe regarded as real. If quantum mechanics hasn’t profoundlyshocked you, you haven’t understood it yet.”

Mecanica cuantica

I (P2): O stare de superpozitie cuantica evolueaza continuu.

I (P3): Daca masuram o stare de superpozitie cuantica, aceasta seschimba si poate deveni o stare clasica.

Entanglement-ul (Inseparabilitatea cuantica) - este un fenomen cuantic ıncare starile cuantice ale mai multor obiecte sau particule elementarediferite sunt “cuplate” ıntre ele.

I Double split experiment - Seminar

Quote:

I Niels Bohr: “Everything we call real is made of things that cannotbe regarded as real. If quantum mechanics hasn’t profoundlyshocked you, you haven’t understood it yet.”

Mecanica cuantica

I (P2): O stare de superpozitie cuantica evolueaza continuu.

I (P3): Daca masuram o stare de superpozitie cuantica, aceasta seschimba si poate deveni o stare clasica.

Entanglement-ul (Inseparabilitatea cuantica) - este un fenomen cuantic ıncare starile cuantice ale mai multor obiecte sau particule elementarediferite sunt “cuplate” ıntre ele.

I Double split experiment - Seminar

Quote:

I Niels Bohr: “Everything we call real is made of things that cannotbe regarded as real. If quantum mechanics hasn’t profoundlyshocked you, you haven’t understood it yet.”

De ce este util calculul cuantic?

De ce este util calculul cuantic?

I Utilizand fenomenele cuantice vom putea sa rezolvam probleme cenu pot fi rezolvabile cu ajutorul calculatorului clasic.

I Viteza de calcul

I Dispozitivele devin din ce ın ce mai mici

1975 - Moore: Numarul de tranzistori necesar ıntr-un circuitintegrat se dubleaza la fiecare doi ani.2019 - Neven: Puterea de calcul la fiecare noua imbunatatire aprocesoarelor cuantice de la Google creste cu rata exponentiala: 22n.

I The world is quantum.

Calculatoarele cuantice

• Calculatoarele clasice sunt proiectate utlizand fizica clasica.

• 1982 Feynman, Benioff

- Putem construi calculatoare care sa se bazeze pe mecanica cuantica?- Cum putem utiliza acele efecte stranii pentru a efectua calcule ın

mod eficient?

• 1985 Deutsch a construit o masina Turing cuantica

• 1994 Shor a proiectat un algoritm cuantic pentru factorizare.

Ce este un calculator cuantic?

I Utilizeaza qubiti, care sunt,particule subatomice, caelectronii, fotonii.

I Opereaza prin controlulcomportamentului acestorparticule.

I Computerele cuantice folosescqubiti in locul tranzistorilor,care pot avea simultan maimulte pozitii(0, 1 sau osuperpozitie de 0,1).

I Viteza de calcul este si de miide ori mai mare decat cel maibun calculator clasic disponibil.

Figure: Calculator cuantic

Bit vs. Qubit

• Bit (en. binary digit)

- este unitatea de masura pentru cantitatea de informatie- calculatorul face calcule manipuland bitii cu ajutorul portilor logice.- un computer clasic are memorie alcatuita din biti, unde fiecare bit

contine 0 sau 1

• Qubit( sau bit cuantic)

- este unitatea de masura pentru cantitatea de informatie cuantica- calculatorul face calcule manipuland bitii cu ajutorul portilor logice.- este reprezentat printr-o superpozitie de stari:

α|0〉+ β|1〉

Bit vs. Qubit

• Bit (en. binary digit)

- este unitatea de masura pentru cantitatea de informatie- calculatorul face calcule manipuland bitii cu ajutorul portilor logice.- un computer clasic are memorie alcatuita din biti, unde fiecare bit

contine 0 sau 1

• Qubit( sau bit cuantic)

- este unitatea de masura pentru cantitatea de informatie cuantica- calculatorul face calcule manipuland bitii cu ajutorul portilor logice.- este reprezentat printr-o superpozitie de stari:

α|0〉+ β|1〉

Bit vs. Qubit

Bit Qubit

Bit vs. Qubit

Bit Qubit

Superpozitie si entanglement

Superpozitie

• Un qubit ın superpozitie este ın una dintre cele doua stari |0〉 sau |1〉ın acelasi timp.

• In cazul calculatoarelor clasice, electronii nu pot ocupa acelasi spatiuın acelasi moment.

Entanglement

• Entanglement-ul este un fenomen cuantic ce spune ca sistemelecuantice prezinta corelatii ıntre stari aflate in superpozitie.

• Daca ne imaginam doi qubiti, fiecare ın starea |0〉+ |1〉. Putem lega(“entangla”) acesti doi qubiti astfel ıncat masurarea unui qubit safie mereu corelata cu masurarea celuilalt qubit.

Calcul clasic vs. Calcul cuantic

• Calcul clasic

- un registru clasic cu n biti codeaza o singura stare- pot verifica in orice moment starea bitului ın memorie- bitii pot fi clonati (copiati)- nu exista corelatie la distanta (entanglement) ıntre biti- porti logice universale: NAND sau NOR

• Calcul cuantic

- un registru cu n qubiti codeaza o superpozitie de 2n stari- putem masura qubitul obtinand |0〉 sau |1〉- nu putem clona o stare cuantica- exista entanglement ıntre qubiti- porti logice universale: CNOT, porti pentru un qubit

Aplicatii ale calculului cuantic

I Calculul cuantic are aplicatii ın criptografie.

I Modelarea unor baze de date foarte mari. In fiecare zi producem 2.5exabytes de informatii.

I In rezolvarea de probleme care sunt imposibil de rezolvat de uncalculator clasic, sau care ar putea fi rezolvate de un calculatorclasic, ınsa ıntr-un timp exagerat de mare (milioane de ani).

I Google’s Image search

I Teleportare

I Corectarea erorilor si detectarea de erori.

Aplicatii: Problema comis-voiajorului

Data fiind o lista de orase si distantele ıntre fiecare doua orase, care estecel mai scurt traseu posibil care viziteaza fiecare oras o singura data si seıntoarce la orasul de origine?

Wiki: Cea mai scurta bucla posibila careconecteazatoate punctele rosii

I problema NP - complexa

I Clasic: N-orase ⇒ (N − 1)!/2 - drumuri

I Rezolvarea utilizand calculul cuantic - cateva minute

Quantum computing tools

I IBM Quantum Experience -https://www.ibm.com/quantum-computing/

I Google Quantum Playground -http://www.quantumplayground.net

I D-Wave - https://www.dwavesys.com/quantum-computing

I Qiskit - https://qiskit.org/

I Q# programming language -https://docs.microsoft.com/en-us/quantum/

I Cirq - https://en.wikipedia.org/wiki/Cirq

Experimentul celor doua fante

Double slit experiment

Experimentul celor doua fante - Double slit experiment

I S-a observat ca particulele se comporta asemanator unor unde, ınsa,cand sunt masurate, acestea se comporta diferit.

Experiment: Imaginati-va ca aveti un zid cu doua fante si ca aruncati unnumar de mingi ın zid.

Figure: Source: Youtube

Experimentul celor doua fante - Double slit experiment

Repetam experimentul, dar ın loc de minge, vom utiliza water waves.

Experimentul celor doua fante - Double slit experimentRepetam acum experimentrul si vom lansa electroni catre fante. Vomobtine un pattern de interferenta asemanator unor unde.

Figure: Source: Wikipedia

Daca trecem lumina de la un laser verde prin doua fante cu latime de0.4mm, iar distanta dintre fante este 0.1 mm, obtinem: (Wikipedia)

Experimentul celor doua fante - Double slit experimentRepetam acum experimentrul si vom lansa electroni catre fante. Vomobtine un pattern de interferenta asemanator unor unde.

Figure: Source: Wikipedia

Daca trecem lumina de la un laser verde prin doua fante cu latime de0.4mm, iar distanta dintre fante este 0.1 mm, obtinem: (Wikipedia)

Experimentul celor doua fante - Double slit experiment

Simularea numerica a experimentului celor doua fante pentru electroni.(Claus Jonsson’s -1961). Sursa: Wikipedia

Interpretarea Copenhagen

Mecanica cuantica se aplica individual particulelor, ınsa undele cedescriu particulele se modifica ın timpul masuratorilor.

Altfel spus, au loc urmatoarele proprietati:

I Exisa mereu o unda ce descrie proprietatile unei particule;

I Este imposibil ca toate proprietatile unei particule sa fie sigure.Unele sunt “sigure”, altele sunt “nesigure”;

I Daca masuram o proprietate “sigura”, atunci vei obtine ceea ceasteptai;

I Daca masori o proprietate “nesigura” , atunci vei obtine cevarandom. → wave function collapse

Interpretarea Copenhagen

Mecanica cuantica se aplica individual particulelor, ınsa undele cedescriu particulele se modifica ın timpul masuratorilor.

Altfel spus, au loc urmatoarele proprietati:

I Exisa mereu o unda ce descrie proprietatile unei particule;

I Este imposibil ca toate proprietatile unei particule sa fie sigure.Unele sunt “sigure”, altele sunt “nesigure”;

I Daca masuram o proprietate “sigura”, atunci vei obtine ceea ceasteptai;

I Daca masori o proprietate “nesigura” , atunci vei obtine cevarandom. → wave function collapse

Qubitul

O stare a unui qubit este descrisa printr-o combinatie liniara de |0〉 si |1〉:

|ψ〉 := α|0〉+ β|1〉

unde α si β sunt numere complexe ce satisfac urmatoarea relatie denormare:

|α|2 + |β|2 = 1.

Qubitul

Un qubit poate fi vizualizat si ca un vector unitate ın plan, ınsa, ıngeneral, α si β sunt numere complexe.

Masurarea qubitului

Daca am dori sa masuram starea

α|0〉+ β|1〉

obtinem starea |0〉 cu probabilitatea |α|2 si |1〉 cu probabilitatea |β|2.

Dupa masurare, sistemul se afla ın stare masurata!

Daca ıncercam sa mai masuram o data, vom obtine aceeasi valoare.

Prin urmare putem extrage doar un singur bit de informatie din stareaunui qubit.

Masurarea qubitului

Daca masuram starileα|0〉+ β|1〉 si α|0〉 − β|1〉vom obtine aceleasi proba-bilitati pentru |0〉 si |1〉.

Totusi, avem au stari distinctece se comporta diferit.

Reprezentarea pe sfera lui Bloch a unui qubit

• O stare a unui bit clasic ar trebui safie fie la “Polul Nord” sau fie la “PolulSud” al sferei.

• O stare a unui bit cuantic poate fireprezentata de orice punct de pesuprafata sferei.

Daca vom considera starea

|ψ〉 = α|0〉+ β|1〉

undeα = cos

θ

2,

β = e iφ sinθ

2,

atunci exista o corespondenta bijectiva ıntrequbitii de forma |ψ〉 si punctele de pe sferaunitate din R3, unde θ si ψ sunt coordonatelesferice ale unui punct.

Sfera lui Blochhttps://en.wikipedia.org/wiki/Qubit