PYTHAGORE ! VOUS AVEZ DIT THEOREME DE PYTHAGORE. ACTIVITE PREPARATOIRE.
QCM Chapitre 2 : Racine carr´ee et th´eor`eme de Pythagore
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Transcript of QCM Chapitre 2 : Racine carr´ee et th´eor`eme de Pythagore
JP SPRIET
2 Exercice 1 : Racine carree d’un nombre positif. 5
3 Exercice 2 : carres et operations 6
4 Exercice 3 : Methodes du cours 7
5 Exercice 4 : Methodes du cours 8
6 Exercice 5 : Exemple d’application 9
7 Exercice 6 : Exemple d’application 10
8 Exercice 7 : Exemple d’application 11
9 Exercice 8 : Exemple d’application 12
Solutions du Quizz 13
Mode d’emploi :
Avant toute chose, il faut absolument cliquer sur ”Debut QCM” : Debut QCM
Puis repondre aux questions.
Enfin, cliquer sur ”Fin QCM” : Fin QCM pour connatre son score.
On peut alors cliquer sur ”Ans” pour voir s’afficher la reponse (en maintenant la touche majuscule (shift), et en cliquant sur ”Ans” on atteint la solution detaillee qui est placee a la fin du document)
1. Rappels de cours
Definition : Si x est un nombre positif fixe, on appelle racine carree de x, et on note √
x l’unique nombre positif dont le carre est x.
On a les proprietes suivantes :
√ x ≥ 0
√ x× y =
√ x×√y
)2 = x
√ (x2) = x
Definition : Si x est un nombre carre de x, et on note x2 le nombre egal a x× x. On a les proprietes suivantes :
x2 est un nombre positif.
Attention! en general, (x + y)2 6= x2 + y2
2. Exercice 1 : Racine carree d’un nombre positif.
Debut QCM Par quoi doit-on remplacer ? pour que l’egalite soit vraie ?
1. √
169 = ?
3. Exercice 2 : carres et operations
Debut QCM Par quoi doit-on remplacer ? pour que l’egalite soit vraie ?
1. 112 = ?
Debut QCM
1. Dans un triangle MNP je veux demontrer qu’il est rectangle en P . Je dois calculer
MN2 et MP 2 + NP 2 MP 2 et MN2 + NP 2 NP 2 et MN2 + MP 2
2. S’il y a egalite entre les deux resultats, j’utilise alors
une demonstration par l’absurde
la reciproque du theoreme de Pythagore
le theoreme de Pythagore
3. Si par contre j’obtiens deux resultats differents, j’utilise alors
une demonstration par l’absurde
le theoreme de Pythagore
Fin QCM
Debut QCM
1. Dans un triangle DEF je veux demontrer qu’il est rectangle en F . Je dois calculer
EF 2 et DE2 + DF 2 DE2 et DF 2 + EF 2 DF 2 et DE2 + EF 2
2. S’il y a egalite entre les deux resultats, j’utilise alors
la reciproque du theoreme de Pythagore
une demonstration par l’absurde
le theoreme de Pythagore
3. Si par contre j’obtiens deux resultats differents, j’utilise alors
la reciproque du theoreme de Pythagore
une demonstration par l’absurde
le theoreme de Pythagore
Par hypothese, le triangle DEF est rectangle en F .
Debut QCM
1. Dans le triangle DEF , je connais FD = 4cm et FE = 8cm. Alors DE2 =
82 − 42 (4 + 8)2 42 + 82
2. Dans le triangle DEF , je connais FD = 4cm et DE = 8cm. Alors EF = √
48 √
Debut QCM
1. Dans le triangle MNP , je connais MN = 6cm et NP = 8cm et MP = 10cm. Le triangle est :
rectangle en N d’apres le theoreme de Pythagore
rectangle en N d’apres la reciproque du theoreme de Pythagore
n’est pas rectangle en N
2. Dans le triangle MNP , je connais MN = 5cm et NP = 7cm et MP = 12cm. Le triangle est :
rectangle en N d’apres le theoreme de Pythagore
rectangle en N d’apres la reciproque du theoreme de Pythagore
n’est pas rectangle en N
Fin QCM
8. Exercice 7 : Exemple d’application
Dans le triangle ABC, je connais AC = 2cm et BC = 1cm et AB = 3cm.
Debut QCM
1. Le triangle est :
rectangle en A rectangle en C n’est pas rectangle 2. La demonstration de cette propriete se fera en utilisant :
le theoreme de Pythagore
une demonstration par l’absurde
Fin QCM
9. Exercice 8 : Exemple d’application
Dans le triangle ABC, je connais AC = 5cm et BC = 12cm et AB = 13cm.
Debut QCM
1. Le triangle est :
rectangle en A rectangle en C n’est pas rectangle 2. La demonstration de cette propriete se fera en utilisant :
le theoreme de Pythagore
une demonstration par l’absurde
Fin QCM
169 = 13. Retour au questionnaire.
Fermer
Quiter
Reponse : On cherche le nombre (positif) ? tel que 13 soit sa racine carree. On a donc ? = 132 = 169. Retour au questionnaire.
Fermer
Quiter
Reponse : √
122 = √
144 = 12 car le seul nombre positif dont le carre est 144 est 12. Retour au questionnaire.
Fermer
Quiter
Reponse : √
9 = 3 puisque 3 est le seul nombre positif dont le carre est 9. Retour au questionnaire.
Fermer
Quiter
Reponse : D’apres le cours, on a les regles de calcul suivantes : √
18 = √
Fermer
Quiter
Reponse : On a 52 = 5×5 = 25 et (−5)2 = 25 puisque (−5)2 = (−5)×(−5) = +25 = 25. Donc 52 = (−5)2
Retour au questionnaire.
Fermer
Quiter
Reponse : Si je veux montrer que MNP est rectangle en P alors necessairement l’hy- pothenuse est [MN ]. Je dois donc calculer MN2 et MP 2 + NP 2.
Retour au questionnaire.
Fermer
Quiter
Reponse : Si MN2 = MP 2+NP 2 alors d’apres la reciproque du theoreme de Pythagore, le triangle MNP est rectangle en P . Retour au questionnaire.
Fermer
Quiter
Reponse : Si MN2 6= MP 2 + NP 2 alors en supposant par l’absurde que le triangle MNP est rectangle en P , alors en utilisant le theoreme de Pythagore j’obtiens que MN2 = MP 2 + NP 2 ; donc une contradiction.
En conclusion, le triangle MNP n’est pas rectangle en P . Retour au questionnaire.
Fermer
Quiter
Reponse : Si je veux montrer que DEF est rectangle en F alors necessairement l’hy- pothenuse est [DE]. Je dois donc calculer DE2 et DF 2 + EF 2.
Retour au questionnaire.
Fermer
Quiter
Reponse : Si DE2 = DF 2 +EF 2 alors d’apres la reciproque du theoreme de Pythagore, le triangle DEF est rectangle en F . Retour au questionnaire.
Fermer
Quiter
Reponse : Si DE2 6= DF 2 + EF 2 alors en supposant par l’absurde que le triangle DEF est rectangle en F , alors en utilisant le theoreme de Pythagore j’obtiens que DE2 = DF 2 + EF 2 ; donc une contradiction.
En conclusion, le triangle DEF n’est pas rectangle en F . Retour au questionnaire.
Fermer
Quiter
Reponse : En utilisant l’enonce, on sait que le triangle DEF est rectangle en F . D’apres le theoreme de Pythagore, on a donc
DE2 = FD2 + FE2 = 42 + 82
Retour au questionnaire.
Fermer
Quiter
Reponse : En utilisant l’enonce, on sait que le triangle DEF est rectangle en F . D’apres le theoreme de Pythagore, on a donc
DE2 = EF 2 + DF 2
Et donc 82 = EF 2 + 42
Donc EF 2 = 82 − 42 = 64− 16 = 48
Donc EF =
Fermer
Quiter
Reponse : Je calcule MP 2 = 102 = 100 et MN2 + NP 2 = 62 + 82 = 36 + 64 = 100 Donc MP 2 = MN2 + NP 2. D’apres la reciproque du theoreme de Pythagore, le triangle MNP est donc rectangle
en N . Retour au questionnaire.
Fermer
Quiter
Reponse : Je calcule MP 2 = 122 = 144 et MN2 + NP 2 = 52 + 72 = 25 + 49 = 74 Donc MP 2 6= MN2 + NP 2.
Alors si on suppose (par l’absurde) que le triangle MNP est rectangle en N , alors en utilisant le theoreme de Pythagore j’obtiens que MP 2 = MN2 + NP 2 ; donc une contradiction.
En conclusion, le triangle MNP n’est pas rectangle en N . Retour au questionnaire.
Fermer
Quiter
Reponse : Le plus grand cote du triangle est AB. Donc si le triangle est rectangle, ce ne peut-etre
qu’en C. Je calcule AB2 = 32 = 9 et AC2 + BC2 = 22 + 12 = 4 + 1 = 5 Donc AB2 6= AC2 + BC2. Alors si on suppose (par l’absurde) que le triangle ABC est rectangle en C, alors en
utilisant le theoreme de Pythagore j’obtiens que AB2 = AC2 + BC2 ; donc une contradic- tion.
En conclusion, le triangle ABC n’est pas rectangle en C. Retour au questionnaire.
Fermer
Quiter
Reponse : Le plus grand cote du triangle est AB. Donc si le triangle est rectangle, ce ne peut-etre
qu’en C. Je calcule AB2 = 32 = 9 et AC2 + BC2 = 22 + 12 = 4 + 1 = 5 Donc AB2 6= AC2 + BC2. Alors si on suppose (par l’absurde) que le triangle ABC est rectangle en C, alors en
utilisant le theoreme de Pythagore j’obtiens que AB2 = AC2 + BC2 ; donc une contradic- tion.
En conclusion, le triangle ABC n’est pas rectangle en C. Retour au questionnaire.
Fermer
Quiter
Reponse : Le plus grand cote du triangle est AB. Donc si le triangle est rectangle, ce ne peut-etre
qu’en C. Je calcule AB2 = 132 = 169 et AC2 + BC2 = 52 + 122 = 25 + 144 = 169 Donc AB2 = AC2 + BC2. D’apres la reciproque du theoreme de Pythagore, le triangle ABC est donc rectangle
en C. Retour au questionnaire.
Fermer
Quiter
Reponse : Le plus grand cote du triangle est AB. Donc si le triangle est rectangle, ce ne peut-etre
qu’en C. Je calcule AB2 = 132 = 169 et AC2 + BC2 = 52 + 122 = 25 + 144 = 169 Donc AB2 = AC2 + BC2. D’apres la reciproque du theoreme de Pythagore, le triangle ABC est donc rectangle
en C. Retour au questionnaire.
Exercice 2 : carrés et opérations
Exercice 3 : Méthodes du cours
Exercice 4 : Méthodes du cours
Exercice 5 : Exemple d'application
Exercice 6 : Exemple d'application
Exercice 7 : Exemple d'application
Exercice 8 : Exemple d'application
2 Exercice 1 : Racine carree d’un nombre positif. 5
3 Exercice 2 : carres et operations 6
4 Exercice 3 : Methodes du cours 7
5 Exercice 4 : Methodes du cours 8
6 Exercice 5 : Exemple d’application 9
7 Exercice 6 : Exemple d’application 10
8 Exercice 7 : Exemple d’application 11
9 Exercice 8 : Exemple d’application 12
Solutions du Quizz 13
Mode d’emploi :
Avant toute chose, il faut absolument cliquer sur ”Debut QCM” : Debut QCM
Puis repondre aux questions.
Enfin, cliquer sur ”Fin QCM” : Fin QCM pour connatre son score.
On peut alors cliquer sur ”Ans” pour voir s’afficher la reponse (en maintenant la touche majuscule (shift), et en cliquant sur ”Ans” on atteint la solution detaillee qui est placee a la fin du document)
1. Rappels de cours
Definition : Si x est un nombre positif fixe, on appelle racine carree de x, et on note √
x l’unique nombre positif dont le carre est x.
On a les proprietes suivantes :
√ x ≥ 0
√ x× y =
√ x×√y
)2 = x
√ (x2) = x
Definition : Si x est un nombre carre de x, et on note x2 le nombre egal a x× x. On a les proprietes suivantes :
x2 est un nombre positif.
Attention! en general, (x + y)2 6= x2 + y2
2. Exercice 1 : Racine carree d’un nombre positif.
Debut QCM Par quoi doit-on remplacer ? pour que l’egalite soit vraie ?
1. √
169 = ?
3. Exercice 2 : carres et operations
Debut QCM Par quoi doit-on remplacer ? pour que l’egalite soit vraie ?
1. 112 = ?
Debut QCM
1. Dans un triangle MNP je veux demontrer qu’il est rectangle en P . Je dois calculer
MN2 et MP 2 + NP 2 MP 2 et MN2 + NP 2 NP 2 et MN2 + MP 2
2. S’il y a egalite entre les deux resultats, j’utilise alors
une demonstration par l’absurde
la reciproque du theoreme de Pythagore
le theoreme de Pythagore
3. Si par contre j’obtiens deux resultats differents, j’utilise alors
une demonstration par l’absurde
le theoreme de Pythagore
Fin QCM
Debut QCM
1. Dans un triangle DEF je veux demontrer qu’il est rectangle en F . Je dois calculer
EF 2 et DE2 + DF 2 DE2 et DF 2 + EF 2 DF 2 et DE2 + EF 2
2. S’il y a egalite entre les deux resultats, j’utilise alors
la reciproque du theoreme de Pythagore
une demonstration par l’absurde
le theoreme de Pythagore
3. Si par contre j’obtiens deux resultats differents, j’utilise alors
la reciproque du theoreme de Pythagore
une demonstration par l’absurde
le theoreme de Pythagore
Par hypothese, le triangle DEF est rectangle en F .
Debut QCM
1. Dans le triangle DEF , je connais FD = 4cm et FE = 8cm. Alors DE2 =
82 − 42 (4 + 8)2 42 + 82
2. Dans le triangle DEF , je connais FD = 4cm et DE = 8cm. Alors EF = √
48 √
Debut QCM
1. Dans le triangle MNP , je connais MN = 6cm et NP = 8cm et MP = 10cm. Le triangle est :
rectangle en N d’apres le theoreme de Pythagore
rectangle en N d’apres la reciproque du theoreme de Pythagore
n’est pas rectangle en N
2. Dans le triangle MNP , je connais MN = 5cm et NP = 7cm et MP = 12cm. Le triangle est :
rectangle en N d’apres le theoreme de Pythagore
rectangle en N d’apres la reciproque du theoreme de Pythagore
n’est pas rectangle en N
Fin QCM
8. Exercice 7 : Exemple d’application
Dans le triangle ABC, je connais AC = 2cm et BC = 1cm et AB = 3cm.
Debut QCM
1. Le triangle est :
rectangle en A rectangle en C n’est pas rectangle 2. La demonstration de cette propriete se fera en utilisant :
le theoreme de Pythagore
une demonstration par l’absurde
Fin QCM
9. Exercice 8 : Exemple d’application
Dans le triangle ABC, je connais AC = 5cm et BC = 12cm et AB = 13cm.
Debut QCM
1. Le triangle est :
rectangle en A rectangle en C n’est pas rectangle 2. La demonstration de cette propriete se fera en utilisant :
le theoreme de Pythagore
une demonstration par l’absurde
Fin QCM
169 = 13. Retour au questionnaire.
Fermer
Quiter
Reponse : On cherche le nombre (positif) ? tel que 13 soit sa racine carree. On a donc ? = 132 = 169. Retour au questionnaire.
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Reponse : √
122 = √
144 = 12 car le seul nombre positif dont le carre est 144 est 12. Retour au questionnaire.
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Reponse : √
9 = 3 puisque 3 est le seul nombre positif dont le carre est 9. Retour au questionnaire.
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Reponse : D’apres le cours, on a les regles de calcul suivantes : √
18 = √
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Reponse : On a 52 = 5×5 = 25 et (−5)2 = 25 puisque (−5)2 = (−5)×(−5) = +25 = 25. Donc 52 = (−5)2
Retour au questionnaire.
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Reponse : Si je veux montrer que MNP est rectangle en P alors necessairement l’hy- pothenuse est [MN ]. Je dois donc calculer MN2 et MP 2 + NP 2.
Retour au questionnaire.
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Reponse : Si MN2 = MP 2+NP 2 alors d’apres la reciproque du theoreme de Pythagore, le triangle MNP est rectangle en P . Retour au questionnaire.
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Reponse : Si MN2 6= MP 2 + NP 2 alors en supposant par l’absurde que le triangle MNP est rectangle en P , alors en utilisant le theoreme de Pythagore j’obtiens que MN2 = MP 2 + NP 2 ; donc une contradiction.
En conclusion, le triangle MNP n’est pas rectangle en P . Retour au questionnaire.
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Reponse : Si je veux montrer que DEF est rectangle en F alors necessairement l’hy- pothenuse est [DE]. Je dois donc calculer DE2 et DF 2 + EF 2.
Retour au questionnaire.
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Reponse : Si DE2 = DF 2 +EF 2 alors d’apres la reciproque du theoreme de Pythagore, le triangle DEF est rectangle en F . Retour au questionnaire.
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Reponse : Si DE2 6= DF 2 + EF 2 alors en supposant par l’absurde que le triangle DEF est rectangle en F , alors en utilisant le theoreme de Pythagore j’obtiens que DE2 = DF 2 + EF 2 ; donc une contradiction.
En conclusion, le triangle DEF n’est pas rectangle en F . Retour au questionnaire.
Fermer
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Reponse : En utilisant l’enonce, on sait que le triangle DEF est rectangle en F . D’apres le theoreme de Pythagore, on a donc
DE2 = FD2 + FE2 = 42 + 82
Retour au questionnaire.
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Reponse : En utilisant l’enonce, on sait que le triangle DEF est rectangle en F . D’apres le theoreme de Pythagore, on a donc
DE2 = EF 2 + DF 2
Et donc 82 = EF 2 + 42
Donc EF 2 = 82 − 42 = 64− 16 = 48
Donc EF =
Fermer
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Reponse : Je calcule MP 2 = 102 = 100 et MN2 + NP 2 = 62 + 82 = 36 + 64 = 100 Donc MP 2 = MN2 + NP 2. D’apres la reciproque du theoreme de Pythagore, le triangle MNP est donc rectangle
en N . Retour au questionnaire.
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Reponse : Je calcule MP 2 = 122 = 144 et MN2 + NP 2 = 52 + 72 = 25 + 49 = 74 Donc MP 2 6= MN2 + NP 2.
Alors si on suppose (par l’absurde) que le triangle MNP est rectangle en N , alors en utilisant le theoreme de Pythagore j’obtiens que MP 2 = MN2 + NP 2 ; donc une contradiction.
En conclusion, le triangle MNP n’est pas rectangle en N . Retour au questionnaire.
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Reponse : Le plus grand cote du triangle est AB. Donc si le triangle est rectangle, ce ne peut-etre
qu’en C. Je calcule AB2 = 32 = 9 et AC2 + BC2 = 22 + 12 = 4 + 1 = 5 Donc AB2 6= AC2 + BC2. Alors si on suppose (par l’absurde) que le triangle ABC est rectangle en C, alors en
utilisant le theoreme de Pythagore j’obtiens que AB2 = AC2 + BC2 ; donc une contradic- tion.
En conclusion, le triangle ABC n’est pas rectangle en C. Retour au questionnaire.
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Reponse : Le plus grand cote du triangle est AB. Donc si le triangle est rectangle, ce ne peut-etre
qu’en C. Je calcule AB2 = 32 = 9 et AC2 + BC2 = 22 + 12 = 4 + 1 = 5 Donc AB2 6= AC2 + BC2. Alors si on suppose (par l’absurde) que le triangle ABC est rectangle en C, alors en
utilisant le theoreme de Pythagore j’obtiens que AB2 = AC2 + BC2 ; donc une contradic- tion.
En conclusion, le triangle ABC n’est pas rectangle en C. Retour au questionnaire.
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Reponse : Le plus grand cote du triangle est AB. Donc si le triangle est rectangle, ce ne peut-etre
qu’en C. Je calcule AB2 = 132 = 169 et AC2 + BC2 = 52 + 122 = 25 + 144 = 169 Donc AB2 = AC2 + BC2. D’apres la reciproque du theoreme de Pythagore, le triangle ABC est donc rectangle
en C. Retour au questionnaire.
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Reponse : Le plus grand cote du triangle est AB. Donc si le triangle est rectangle, ce ne peut-etre
qu’en C. Je calcule AB2 = 132 = 169 et AC2 + BC2 = 52 + 122 = 25 + 144 = 169 Donc AB2 = AC2 + BC2. D’apres la reciproque du theoreme de Pythagore, le triangle ABC est donc rectangle
en C. Retour au questionnaire.
Exercice 2 : carrés et opérations
Exercice 3 : Méthodes du cours
Exercice 4 : Méthodes du cours
Exercice 5 : Exemple d'application
Exercice 6 : Exemple d'application
Exercice 7 : Exemple d'application
Exercice 8 : Exemple d'application
