1

PROPUESTA PARA LA ENSEANZA DEL CONCEPTO DE VARIABLE EN ALGEBRA, UNA APLICACIN USANDO EXCEL Y GEOGEBRA.

GERMAN RAFAEL MADRIGAL PATARROYO

UNIVERSIDAD AUTONOMA DE COLOMBIAINSTITUTO SUPERIOR DE POSGRADOSMAESTRIA EN DIDACTICA DE LAS CIENCIAS COHORTE 72014

PROPUESTA PARA LA ENSEANZA DEL CONCEPTO DE VARIABLE EN ALGEBRA, UNA APLICACIN USANDO EXCEL Y GEOGEBRA.

Por: Germn R. Madrigal P.Maestra en Didctica de las CienciasUniversidad Autnoma de Colombia.

RESUMENEn este trabajo se pretende hacer una descripcin sobre el tema de investigacin el cual tiene como propsito presentar una propuesta para la enseanza del concepto de variable en algebra, basado en un marco terico de algunos estudios realizados al respecto, con una aplicacin de actividades usando una hoja de clculo como Excel y un software gratuito grafico como Geogebra, la cual permitir analizar la interpretacin del concepto de variable en un grupo de estudiantes de secundaria, grado once, divididos en dos grupos, en primer lugar cuando unos usan mtodos tradicional con lpiz y papel y posteriormente comparndola con una tcnica apoyada en software, aplicada al segundo grupo, para ello se aplica un cuestionario de lgebra elemental a un nmero de 40 estudiantes de secundaria, se aplica el test de Kchemann, se divide el grupo aleatoriamente, se aplican actividades en lpiz y papel a un grupo y actividades en Excel y Geogebra al otro, se recogen y analizan los datos, se presentan resultados, partiendo desde un enfoque constructivista tratando de interpretar el problema con una metodologa de tipo cualitativo utilizada para el abordaje de las realidades subjetiva e intersubjetiva como objetos legtimos de conocimiento cientfico; el estudio de la vida cotidiana, Sandoval,(2008) y tambin utilizando procesos de tipo cuantitativo, haciendo un proceso de triangulacin, proyectar resultados y conclusiones. Todo en el marco del proyecto de Investigacin para el seminario de similar nombre de la Maestra.

Abstract

This paper aims to provide a description of the research topic which aims to present a proposal for teaching the concept of variable in algebra, based on a theoretical framework of some studies performed with an implementation of activities using a Excel spreadsheet as a free software and graphic as Geogebra, which will analyze the interpretation of the concept of variable in a group of high school students, eleven grade, divided into two groups, first when some use traditional methods and pencil paper and then comparing it to a software-supported technique, applied to the second group, this applies to elementary algebra a questionnaire to a number of 40 high school students apply Kchemann test, the group was divided randomly applied activities pencil and paper to a group and activities in Excel and Geogebra to another, collect and analyze data, present results, starting from a constructivist trying to interpret the problem with a qualitative methodology used for addressing "the subjective and intersubjective realities as legitimate objects of scientific knowledge, the study of everyday life" Sandoval (2008) and also using a quantitative process, by a process of triangulation, project results and conclusions. All in the context of the research project to the seminar similar name of the Master.

PALABRAS CLAVE: Didctica, lgebra, variable, TICs, Constructivista, Cualitativo, Triangulacin. ANTECEDENTES Y JUSTIFICACIN

Una de las grandes dificultades que se encuentran los estudiantes de secundaria, radica principalmente, cuando pasan de la aritmtica de los grados primarios al algebra en segundo ao de bachillerato, en el caso colombiano, el uso y significado de los smbolos, mediante los cuales en lgebra se puede encontrar la posibilidad de representar en una sola letra un conjunto de valores, para que su manejo se haga de forma ms sencilla, as mismo relacionar estas letras con el concepto de variable, presenta una confusin, por lo que hay investigaciones que se han centrado en las dificultades del trnsito del pensamiento del nio de la aritmtica al lgebra (Chevallard, 1984, 1989; Kieran, 1989, citado en Madrigal, G. 2008), Para Kaput, (1995), tanto la aritmtica como el lgebra dan soporte formal al razonamiento cuantitativo, es decir, a las operaciones mentales que subyacen a la operatividad numrica, citado en Esquinas, A. Ma. , 2009)

En el mismo texto, Kaput (1995) afirma que la introduccin del lgebra en la escuela como generalizacin de la aritmtica proporciona un anclaje seguro para su aprendizaje significativo. No hay duda de que entender el lgebra sin haber comprendido la aritmtica es realmente imposible Skemp, (1993), pues el lgebra tiene races profundas en la operatividad aritmtica. Como generalizacin de la aritmtica que es, gran parte de las dificultades de aprendizaje que presenta el lgebra se deben a deficiencias en el dominio de la aritmtica. Esta conclusin est avalada por algunos estudios como por ejemplo, J. Novotn y B. Sarrazy (2005) cuando afirman que las dificultades en el enfoque de lgebra se basan en la escasa atencin que se presta a los aspectos estructurales y relacionales de la aritmtica que constituyen la base de lgebra elemental, Esquinas et al, (2009). Del mismo modo, (Linchevski y Livneh, (1999), citados en Esquinas et al, (2009) se refieren al sentido estructural (structure sense) afirmando que las dificultades de aprendizaje de la estructura algebraica se deben, en gran medida, a la falta de comprensin de la estructura en situaciones aritmticas. Esto quiere decir que, para estar en disposicin de aprender lgebra, no es suficiente con comprender la operatividad aritmtica y los algoritmos propios que relacionan los elementos aritmticos, sino que se trata de dar un paso ms y ampliar la visin sobre la aritmtica evaluando las estructuras matemticas comunes a varias situaciones aritmticas diferentes, analizando sus reglas y propiedades as como sus posibilidades manipulativas.

El concepto de variable del smbolo en lgebra frente a lo particular del signo aritmtico supone otro de los elementos ms destacados del conflicto aritmtica-lgebra, all, en este ltimo estn inmersos la conjuncin de dos procesos, uno denominado la generalizacin y otro bien importante la simbolizacin.

La generalizacin , como expresin que permite a partir de un conjunto de situaciones cotidianas, pasar a algn aspecto comn de ellas, tal como lo menciona Mason, (1998), la generalidad es la vida de las matemticas y el algebra es el lenguaje con que se expresa esa generalidad la expresin de la generalidad es pues el centro del pensamiento matemtico y una raz del Algebra (Mason, Graham, Pimm, Goward, citado en Mason, 1998), si un alumno puede expresar matemticamente algo que ha visto, este trabajo ser su algebra, esto es parafraseando a Mason et al, (1998) que la expresin de la generalidad, consiste en ver, decir y registrar patrones y representa una ruta crtica hacia el lgebra.

El otro aspecto, a tener en cuenta es la simbolizacin, que es el paso de la generalizacin a la expresin mediante el uso de smbolos, para representar en forma abreviada lo que el alumno ha visto. Cuando se habla del concepto de variable siempre se incluyen mltiples significados y cada uno de ellos se corresponde con las diferentes formas de enfrentarnos a la generalizacin a la tarea de encontrar trminos generales, para poder llegar a su expresin simblica, es muy difcil para muchos de los estudiantes (Pretexto, (1999)).

En Madrigal, G. (2008) deca el estudiante no ve, aunque es posible que la palabra correcta sea no percibe, el proceso de variacin y en parte de eso no entiende el concepto de variable, dado tambin el tratamiento que como profesor no ha sido claro en la conjuncin de los proceso citados, por ende no es consistente su enseanza del lgebra bsica, de ah que se debe destacar de forma prudente aspectos ms relevantes para un manejo competente del algebra elemental y que han sido destacados en investigaciones de autores como Usiskin, (1988); Bell, (1993); Ursini(1996) citados en Triqueros, (1998), y otros.

Por ello es importante identificar las situaciones de cambio MEN, (2004), que existen en diversas formas unas de tipo cualitativo y otras cuantitativas, sin que necesariamente estn separadas unas de otras. De las formas de tipo cualitativo, se desprenden aquellas donde le estudiante puede identificar las magnitudes y la descripcin de la manera como estas se comportan en distintas situaciones, descripciones como cuando aumenta tal magnitud o disminuye tal otra, para lo cual se pueden utilizar representaciones escritas, es decir utilizando el lenguaje formal, o de forma pictrica, donde los dibujos y grficos son ideales como medios de representacin.

De la forma de tipo cuantitativo, donde las situaciones de cambio se pueden simbolizar mediante Representaciones Geomtricas, este acercamiento se puede modelar mediante programas de Geometra Dinmica, las Representaciones Tabulares, capacidad de producir diferentes medidas de las magnitudes involucradas en la situacin de cambio, til en estos caso el uso de programas como hojas calculo, de acuerdo a patrones previamente establecidos, se pueden establecer Representaciones algebraicas, en un plano de coordenadas cartesianas los datos consignados en tablas se pueden hacer Representaciones Grficas.

OBJETIVO GENERAL

Plantear una propuesta para enseanza del algebra, que aborde especficamente el concepto de variable, que explore las dificultades de los alumnos, que facilite los procesos de comprensin e identificacin del concepto, apoyado en instrumentos de medicin y verificacin, software especifico y tutora docente.

OBJETIVOS ESPECIFICOS

Los objetivos que se persiguen con este trabajo son los siguientes:

Estudiar algunos aspectos cognitivos y habilidades de carcter conceptual ms relevantes, del pensamiento algebraico con alumnos de secundaria. Obtener y aplicar instrumentos de medida como Test, que consideren los elementos implicados en el paso desde el pensamiento aritmtico al algebraico. Estudiar y organizar las dificultades, obstculos y errores que se dan en el aprendizaje del lenguaje algebraico, en un grupo de estudiantes de secundaria. Elaborar una propuesta que facilite el inicio del aprendizaje del lgebra. Constatar la incidencia de una propuesta didctica sobre los procesos, actitudes, conocimientos, participacin, destrezas y el rendimiento de los alumnos. Analizar sobre algunas de las posibles incidencias que pueda ocasionar la utilizacin de software en el aprendizaje del lgebra

Al tratar de dar solucin a estos interrogantes se contribuye de manera significativa con los siguientes aspectos:

Fomentar y apoyar al desarrollo del pensamiento variacional, en los estudiantes de educacin media, mediante una estrategia que incluye tecnologas de la informacin, con base en lo expresado por algunos autores (Bishop 1995, G. Azarquiel 1993, Kaput y Balacheff, 1996, Duval, 1999, entre otros, citados en Madrigal, G, (2008), que dicen que es probable que el estudiante pueda avanzar en un proceso de aprendizaje, mediante la solucin de problemas, teniendo como apoyo herramientas tecnolgicas que involucran observacin y anlisis, algunas destrezas en generalizacin y solucin de problemas de la vida real.Promover la participacin de los alumnos en el desarrollo de actividades matemticas y algebraicas que utilicen TICs. de tal forma que apliquen sus conocimientos en situaciones cotidianas y que a su vez les motive a aprender.Plantear una propuesta con el fin de tratar de innovar en estrategias didcticas, que pueda contribuir en fortalecer procesos de enseanza aprendizaje del algebra. PROBLEMA

Con el transcurrir de los aos en el trabajo del autor como docente y la experiencia adquirida con jvenes de grados octavos a undcimos, incluso con algunos estudiantes de primer ao de universidad, junto con los estudios realizados y los aprendizajes adquiridos en Didctica de la Matemticas, ha ido encontrando una correspondencia entre la relacin funcional y el concepto de variable, citados por algunos autores mencionados aqu, que la mayora de situaciones de variacin y cambio de la vida diaria involucran de manera explcita la consideracin del tiempo, porque entre otras, el cambio y la variacin se presentan cuando una circunstancia dad se transforma con el transcurso del tiempo. El poder identificar el fenmeno de cambio, describirlo, interpretarlo, predecir sus consecuencias cuantificarlo, es probable que contribuya con el desarrollo del pensamiento variacional de los estudiantes. La labor es cmo hacerlo?, cmo medirlo? Y ms importante an, cmo mejorar el proceso de enseanza aprendizaje que involucre, entre otros, el aspecto significativo para el estudiante.

Dado que el lgebra es para los alumnos una asignatura complicada, pero que deben aprender a usarla como una herramienta que les permita continuar con su aprendizaje matemtico, significa tambin, para ellos, un lenguaje complejo, que deben llegar a manejar adecuadamente.

Dice Esquinas et al, (2009) que esta doble funcin del lgebra, como herramienta y como lenguaje, a menudo crea un conflicto en los alumnos que, si no es oportunamente resuelto, puede degenerar en fracaso escolar en el aprendizaje de las matemticas, se debe hacer un adecuado paso de la aritmtica al lgebra para minimizar los obstculos y en el caso de los alumnos del colegio distrital La Gaitana, el anlisis de las dificultades especficas con las que el alumno se encuentra, as como los errores ms frecuentes en las experiencias con el lgebra, puede orientar acerca de la problemtica de la enseanza-aprendizaje del lgebra en la actualidad.

Por lo que esta investigacin involucra una serie de aspectos, encaminados a tratar de resolver las dificultades que presentan los estudiantes de un curso de secundaria del grado once, del colegio distrital La Gaitana tales como la preparacin terica, trabajo de campo para desarrollar una estrategia, que permita, mediante una serie de actividades estimular la comprensin del estudiante, pidindole que resuelva un problema, siguiendo un proceso, en el que involucre un serie de conceptos previos, teniendo apoyo en sistemas de informacin y que en consecuencia el estudiante avance en un proceso de aprendizaje del lgebra.

El reconocimiento explcito de la importancia de utilizar la tecnologa en los procesos de aprendizaje de las matemticas induce a analizar las caractersticas de las tareas o problemas que se deben disear e implementar durante el desarrollo de la instruccin. En el que se plantea, como una actividad el uso del software en el proceso de enseanza aprendizaje del lgebra, siendo un instrumento de mediacin en el proceso de enseanza aprendizaje, con un enfoque meramente constructivista, puesto que se da como en el proceso que ocurre en quien aprende, debido a su propia accin en un contexto y su interaccin con el profesor y los dems, enlazando una serie de actividades que permitan manejar conjuntamente procesos de generalizacin, que puedan inducir en los estudiantes una nocin del concepto de variable, y por ende a visualizar procesos de variacin que pueden ser representados grficamente a travs de una herramienta visual.

MARCO TEORICO

El referente terico que sustenta esta propuesta comienza en un principio con los enfoques y estudios de autores como Tres usos de la variable o modelo 3UV Trigueros y Ursini, (1998); El estudio de las letras usadas por los estudiantes Kchemann, (1981); El uso de la tecnologa en el estudio de la Matemtica, Kaput y Balacheff, (1996); sobre aspectos de la generalizacin, Rutas y Races del lgebra, Mason, et al (1999), ejemplos especficos del grupo Pretexto (1996) y del grupo Azarquiel (1993), documentos del Ministerio de Educacin Nacional (1998- 1999 y 2004), estndares de la Asociacin Americana de Profesores de Matemticas, NTCM (2000) entre otros.

Se comienza realizando un repaso histrico de las peculiaridades del pensamiento matemtico para terminar con un anlisis de la situacin actual de esta ciencia y su importante papel en la sociedad, se presenta en primera instancia, un breve pasaje introductorio de la historia del concepto moderno de variable, desde los tiempos de la prehistoria Babilnica, hasta algunos conceptos expresados por Vite, Descartes, Fermat, Newton, Leibniz y Euler, acerca del concepto de funcin, hasta la poca moderna, teniendo en cuenta los escritos de autores como Kuchemann, 1981, Duval, 1998, Mason et al, (1998) Usiskin, Ursini y Trigueros. Entre otros autores que han presentado a la comunidad educativa algunos trabajos sobre el concepto moderno de variable y el uso por medio de una relacin funcional, como corazn de la teora.

Se incluye un aporte acerca de la cognicin situada o conocimiento situado, tal como lo menciona Vigotsky(1999), como un proceso de construccin de conocimiento mediado por un instrumento, ya sea material o simblico, dentro del contexto especfico del estudiante, es decir su entorno social y cultural no puede ser desligado del proceso de enseanza aprendizaje, o como dice Moreno, (1999), la accin cognitiva necesita de un medio para expresarse, de otra manera sera imposible, simblico como la lengua escrita y material como el lpiz y papel.

No podra tener valor este trabajo sino estuviera apoyado en la psicologa sobre teoras del aprendizaje, ya que muchos supuestos de las que estn vigentes han perdido su validez debido a avances en distintas ciencias y en la incorporacin creciente de las nuevas tecnologas de la informacin y la comunicacin en el aprendizaje escolar.

Pero resumiendo, Fogarty (1999) ha hecho una elaboracin sinttica sobre lo que ha denominado los arquitectos del intelecto. Arquitectos que han postulado las condiciones para que el aprendizaje ocurra naturalmente y con sentido. En su concepto, desde la perspectiva de la pedagoga constructivista, esos arquitectos han sido: Dewey, Piaget, Vygotsky, Feuerstein, Gardner, y Diamond. Los maestros son tambin arquitectos del intelecto, cuando su trabajo se apoya en esos autores.

Dewey valora las experiencias del aprendizaje diario; Piaget el aprendizaje por descubrimiento, Las interacciones del alumnollevan a cambios estructurales sobre cmo piensa acerca de algo; En Vigotsky predomina la interaccin social y la internalizacin que lleva a aprendizajes profundos, bien importante aqu, su razonamiento que denomino de Zona de desarrollo Prximo; El aprendizaje mediado por las experiencias son el fundamento de Fuerstein; lleva su concepcin a examinar la manera como el aula afecta la metacognicin del alumno. Gardner concibe la inteligencia como un constructo multidimensional; el potencial humano es la capacidad de resolver problemas en un contexto cultural, con muchas de las ocho inteligencias en operacin; como dice Fogarty, (1999): Hoy el reto frente a la promocin del aprendizaje es ms impreciso pero a la vez importante para los maestros; les corresponde disear experiencias de aprendizaje con el cerebro en mente . Por lo que encajando estas teoras, especficamente lo mencionado de Piaget y Vigotsky se sustenta esta investigacin.

Es indispensable tambin, tener en cuenta que existen dos enfoques bsicos en la investigacin:a. El cuantitativoutiliza la recoleccin y el anlisis de datos para contestar preguntas de investigacin y probar hiptesis establecidas previamente y confa en la medicin numrica, el conteo y frecuentemente en el uso de la estadstica para establecer con exactitud patrones de comportamiento de una poblacin (Hernndez, (2003).b. El cualitativo por lo comn, se utiliza primero para descubrir y refinar preguntas de investigacin. A veces,perono necesariamente,se prueban hiptesis. Con frecuencia se basa en mtodos de recoleccin de datos sin medicin numrica, como las descripciones y las observaciones(Hernndez et al, 2003)

A partir de esto y otros estudios, como La Investigacin Cualitativa de Sandoval C, (1996), esta investigacin tiene un enfoque mixto (cualitativo y cuantitativo), tiene dos aspectos bsicos de actividad. Partiendo del hecho que el investigador desea alcanzar unos objetivos, orientados hacia la solucin de un problema: los dos centros fundamentales de actividad consisten en:

a. Recoger toda la informacin necesaria y suficiente para alcanzar esos objetivos, o solucionar ese problema, yb. Estructurar esa informacin en un todo coherente y lgico, es decir, ideando una estructura lgica, un modelo o una teora que integre esa informacinPodra decirse que ambos enfoques usan fases similares y relacionadas entre s:

Observacin y evaluacin de fenmenosEstablecimiento de ideas como producto de la observacin y evaluacin.Pruebas que demuestren el fundamento de dichas ideas.Revisin de ideas con base en las pruebas recogidas.Proposicin de nuevas observaciones para cimentar las ideas originales o generar otras.

Debe incluirse en este marco lo que segn L. Cohen y L. Manion (1980), denomina la triangulacin como el uso de de dos o ms mtodos en la recogida de informacin, a propsito del estudio de un fragmento de la conducta humana. Es una prctica que se describe muy a menudo, Se le llama tambin aproximacin por mtodos mltiples, que contrasta con la aproximacin nica, ms vulnerable.

Por analoga, la triangulacin en ciencias humanas intenta alcanzar la riqueza y complejidad de la conducta humana estudindola bajo ms de un punto de vista, utilizando, por ejemplo a la vez d mtodos cuantitativos y cualitativos. Los resultados de una investigacin pueden ser productos artificiales del mtodo utilizado. La ventaja de la triangulacin est en que la utilizacin de mtodos contrastados reduce considerablemente las probabilidades de los hallazgos se atribuyan al mtodo. Por consiguiente, hace posible el aumento de la confianza en los resultados, recordemos que la triangulacin puede utilizar y combinar tcnicas normativas e interpretativas, L. Cohen y L. Manion distinguen varios tipos de triangulacin en la investigacin, espacial, temporal, de nivel, de mtodo, de observadores, de fuentes o interna, esta propuesta acoge lo que L. Cohen y L. Manion dicen acerca de la triangulacin es particularmente apropiada en educacin. Seala su pertinencia muy especial en la clarificacin de un fenmeno complejo y complementan explicando que la utilizacin de una aproximacin con varios mtodos dara una imagen muy distinta: combinado, con la ayuda de diversos mtodos, la medida de criterios de rendimiento escolar y de los factores ms subjetivos (medida de actitudes, entrevista, observacin), se obtendra una visin ms realista de las dos clases.

Los autores antes citados sealan tambin el inters de la triangulacin en una aproximacin que habitualmente da a lugar a una imagen limitada y frecuentemente distorsionada. Segn dichos autores, la primera tarea del investigador es decidir qu tipo de informacin desea tratar. Por lo que a continuacin, tiene que escoger los mtodos ms apropiados para obtener estas informaciones.

Tomando los aspectos tericos antes mencionados, como base, as como la bsqueda indeclinable de otros aspectos, la orientacin del tutor del seminario Proyectos de Investigacin II y la interaccin colaborativa con los colegas investigadores enfrascados en tareas similares, cree el autor se sustenta esta investigacin sobre una base solida, para tratar de alcanzar un resultado que responda al objetivo general antes citado.

METODOLOGA Y TIPO DE INVESTIGACION

La investigacin se pretende llevar a cabo en el Colegio Distrital La Gaitana de la ciudad de Bogot ubicado en la localidad Once (11), Suba con una muestra nica de estudiantes de grado once cuyas edades oscilan entre los 15 18 aos de edad, en unos estratos socioeconmico dos y tres, el lapso de tiempo no puede ser mayor a dos meses, entre la induccin, exploracin, aplicacin de instrumentos, recoleccin de informacin, en el anlisis de resultados y conclusiones, de forma similar el periodo de tiempo no debe sobrepasar, el mes adicional.

Dado que se investiga un problema educativo dentro de su contexto real, puesto que entrenara al estudiante para buscar soluciones lgicas a un problema matemtico, llevndolo a desarrollar habilidades matemticas y a tomar decisiones, para este trabajo se considerara una metodologa de Investigacin orientada desde el paradigma constructivista, desde un enfoque mixto cualitativo cuantitativo, que por su contexto se identifica ms frecuentemente con los estudio de casos.

En este estudio del lenguaje algebraico se aborda el problema desde una perspectiva, donde el conocimiento algebraico puede ser representado bajo diferentes registros semiticos, aceptando que las operaciones de cambio entre ellos constituye una operacin cognitiva bsica, que permite analizar las dificultades, obstculos y errores conceptuales y encontrar procedimientos adecuados para corregirlos, y que la naturaleza abstracta del lenguaje algebraico debe ser entendida como un proceso caracterizado por diferentes etapas, reflejadas en los diferentes estadios de desarrollo que se dan en los sistemas de representacin cognitivos, que se caracterizan como estadios semitico, estructural y autnomo, Godino, J, (2002) . Es en este desarrollo donde debemos entender la construccin del conocimiento conceptual y procedimental del lgebra.En conclusin se pretende elaborar una investigacin mixta tanto cualitativa como cuantitativa de tipo exploratorio, descriptivo, en un estudio de casos, siguiendo los parmetros citados en Sandoval(2002), basada en un diagnostico en el contexto del grupo de estudiantes, mediante la aplicacin de instrumentos, que permita explorar sobre los conceptos previos de ellos, mediante encuesta y Test de Kchemann, hacer la interpretacin de datos recolectadas en el grupo de participantes determinado, desarrollo de actividades programadas y recoleccin de informacin con respecto a ellas, efectuar un proceso de Estadstica Descriptiva bsica para la tabulacin y anlisis de la informacin, a partir de ello sacar conclusiones encaminadas a resolver el problema objeto , en esta investigacin el docente se involucra en un proceso de trabajo con el estudiante, con el fin de plantear una estrategia didctica que permita a los estudiantes de un grupo de secundaria, desarrollar sus conceptos de algebra, especialmente el relacionado con el de variable usando herramientas tecnolgicas, lo cual podra(y no es objeto de medir en esta investigacin) contribuir con el desarrollo del pensamiento variacional, en los estudiantes de educacin media a partir de situaciones de observacin, descripcin, prediccin, verificacin del fenmeno de variacin, elaborar algunas situaciones de cambio, modelarlas y explicarlas.FASES DEL PROYECTO

Este proyecto est dividido en 6 fases distribuidas de la siguiente manera:

FASE PREPARATORIA

En esta etapa se consolida la metodologa para desarrollar la estrategia didctica hacer una revisin de trabajos anteriores sobre: las dificultades observadas en los estudiantes en la transicin de la aritmtica al lgebra; iniciacin al lgebra, la resolucin de problemas en la enseanza del lgebra; el uso de computadores en la enseanza del lgebra, planeacin y diseo de instrumentos; por otra parte se hace un breve estudio de la metodologa de resolucin de problemas de Polya, se aplica Test de Kchemann, se revisa el modelo 3UV de Ursini y Trigueros, y seleccin del grupo o muestra de estudiantes (40 estudiantes).

FASE I Aplicacin de encuesta y Test de Kchemann

Antes de cualquier trabajo con los alumnos, con la perspectiva de utilizar el computador como herramienta de aprendizaje, se dise una encuesta de tal manera que permitiera saber, las posibilidades de los estudiantes con la tenencia y uso del computador, que tanto de su tiempo lo usan, en que lo usan, si tiene acceso a Internet o no, los programas que manejan y que tanto consideran ellos al computador como una herramienta esencial en el aprendizaje de las matemticas y especialmente en el lgebra como este caso, sobre la necesidad de instalacin e induccin de Geogebra entre otros aspectos.

El uso del concepto de variable en matemticas, especialmente a partir del grado 8 y hasta el grado 11, parece ser un elemento considerado como de uso comn, suficientemente explicado e incluso entendido por parte de los estudiantes, sin embargo, parte de las dificultades que los alumnos tienen, provienen de que el algebra enseada por el profesor en cada grado, no desarrolla este concepto asociado al uso de las letras.

Uno de los contextos es el que desarrolla Kchemann (1981), donde describe seis categoras diferentes de interpretacin y uso de las letras por parte de los alumnos.

a) Letras evaluadas, Esta categora aplica para las respuestas que le dan los estudiantes, donde a las letras le asignan un valor numrico desde el principiob) Letras ignoradas. En esta categora, los estudiantes ignoran las letras, a lo sumo reconocen que existen pero no les determinan un significado.c) Letras como objeto. Aqu las letras son vistas como un objeto concreto (lados, nmero de lpices) pero eliminan el significado abstracto de las letras.d) Letras como incgnitas especficas. Para esta categora los alumnos consideran las letras como un nmero desconocido, pero especfico y sobre el que pueden efectuar operaciones directamente.e) Letras como nmeros generalizados. En esta categora los alumnos ven las letras como un signo, que puede tomar varios valores numricos.f) Letras como variables. En esta categora las letras son consideradas como un conjunto de valores, los cuales no tienen un valor especfico y aparece una relacin permanente entre dos conjuntos de valores.

FASE II DISEO E IMPLEMENTACIN DE ACTIVIDADES

Las actividades desarrolladas con los alumnos estn divididas en tres fases: Fase uno (Identificada con la letra E) la cual es una etapa de conocimiento y manejo del software Excel, con ejercicios de manejo de celdas, filas, columnas, operaciones, conceptos de operaciones algebraicas, aplicaciones de conceptos geomtricos como rea y permetro. La fase dos (Identificada con la letra G), en esta parte se experimentan procesos de generalizacin utilizando papel y lpiz, as como un trabajo con Excel en la formulacin de expresiones que permitan hallar el nmero de cuadros, triangulo, baldosas la frmula para hallar determinado nmero de figura. Finalmente la Fase tres (identificada con la letra V), en la cual se aplican ejercicios que involucran eventos de variacin, se induce a los estudiantes en el manejo de Geogebra, como software de Geometra el cual pueda ayudarlos en la percepcin del manejo del cambio.

FASE III RECOLECCIN Y ANALISIS DE LA INFORMACIN

Efectuando una revisin del desempeo de los alumnos en cada una de las preguntas del Test de Kchemann se tiene en cuenta la categorizacin expresada por Socas (1996, pg. 85) mediante la cual, las preguntas del test aplicado a los estudiantes, se han dividido en 4 grupos, de acuerdo con la complejidad de cada pregunta y de la naturaleza de los elementos que intervienen en cada tema, conteniendo las seis categoras de interpretacin de las letras.

Adicionalmente se analiza haciendo un proceso de tabulacin y de uso de estadstica descriptiva bsica, la encuesta previamente aplicada a cada uno de los estudiantes, acerca de cmo se desenvuelven en cada uno de los temas del modelo 3uv. FASE IV EVALUACIN

Con este trabajo se pretende conseguir dos primeros objetivos: por un lado que el alumno realice un estudio de la materia y por otro obtener una pequea evaluacin terica de la asimilacin del concepto de variable.

Un objetivo posterior es involucrar al estudiante en el uso de herramientas informticas para desarrollar conceptos en ella, finalmente hacer un estudio exploratorio descriptivo y de correlacin entre lo que hacen unos estudiantes siguiendo un mtodo tradicional y lo que se consigue con otro grupo de estudiantes a los que se les aplica esta metodologa.

FASE V CONCLUSIONES

A la vista de los pro y los contra la utilizacin de programas como stos en la enseanza de las Matemticas, hemos implementado una estrategia que intenta incorporar en un paradigmas educativo: resolucin de problemas, aprendizaje colaborativo, la adquisicin de aprendizajes significativos por parte del estudiante investigacin, la experimentacin y bsqueda de ayudas didcticas con ayuda software y el uso de Internet.

Se espera con todo este trabajo, dar una respuesta al problema de la investigacin y responder a las preguntas asociadas a el, que se hacen en un apartado anterior, acerca del desarrollo del pensamiento variacional sobre cmo hacerlo? y cmo medirlo? ms importante an, se espera mejorar el proceso de enseanza aprendizaje con actividades que sean significativas para el estudiante.

A nivel personal del autor, fortalecer procesos de investigacin, metodologa de la investigacin, responder a las nuevas tendencias pedaggicas incorporando elementos e innovando en la prctica educativa, dentro de un proceso de asimilacin y apropiacin de conocimiento adquirido en la academia.

FUENTES BIBLIOGRAFICAS

AGUDELO VALDERRAMA Cecilia, 2000, Una innovacin curricular que enfoca el proceso de transicin entre el trabajo aritmtico y el algebraico.

AMBROSIO ALVARADO Jeannete, 2006 Tesis, Director Dra Mara Trigueros Gaisman, Uso de un modelo terico para el estudio de la comprensin para el estudio de la comprensin del concepto de parmetro en el lgebra.

BALACHEFF, N, KAPUT, J. 1996. Computer Based Enviroment en Mathematics International Handbook of Mathematics Education. Bishop et al (eds). Kluwer Academis Prees. Pags 469-501.

BOYER B, 1986.Historia De la Matemtica, Editorial Alianza, Madrid

COVADONGA, Escandn Martnez, Historia del concepto de la funcin, traduccin 22-02-2007

GRUPO AZARQUIEL, 1993. Ideas y actividades para ensear algebra, pg. 129, Editorial Sntesis.

GRUPO PRETEXTO, 1993 La transicin aritmtica lgebra Editorial Sntesis.

HOHENWARTER Markus y PREINER Judith, 2007, Ayuda para GeoGebra, Manual Oficial de la Versin 3.0 www.geogebra.org.

KAPUT, James. 1992, Technology and mathematics educations. Handbook of Research on Mathematics. Grouws D, (eds). Maxwell Macmillian International. Pgs 515-555.

MADRIGAL G, 2008 Tesis no publicada, Una propuesta didctica apoyada en tics, una experiencia de Investigacin Accin, Facultad de educacin, EEM,Universidad Distrital, 2008.

MASON John, Graham Alan, David Pimm, Norman Grower, 1992, Rutas hacia el - Races del algebra, traduccin Cecilia Agudelo Valderrama, UPTC.

MINISTERIO DE EDUCACIN NACIONAL. Lineamientos curriculares para el rea de matemticas. Santaf de Bogot, 1998, p 131.

MINISTERIO DE EDUCACIN NACIONAL. Nuevas tecnologas y currculo de matemticas. Santaf de Bogot, 1999.

MINISTERIO DE EDUCACIN NACIONAL. Pensamiento Variacional y Tecnologas computaciones. 2004.

MORENO, Luis. 2004 Instrumentos Matemticos computacionales. En seminario nacional de formacin de docentes: uso de nuevas tecnologas en el aula de matemticas. Ministerio de Educacin Nacional.

SANDOVAL C, Carlos, Investigacin Cualitativa, 2002, Universidad Pedaggica Nacional, ICFES, Mdulo cuatro. TRIGUEROS Maria y URSINI Sonia, 2002. Approaching the study of algebra trough the concept of variable.

USISKIN Zalman 1996, Conceptos de la enseanza del lgebra y el uso de las variables, traduccin de Patricia Forero U, distrital.

Tesis doctorales revisadas.

David Arnau Vera; La enseanza de la resolucin algebraica de problemas en el entorno de la hoja de clculo, UNIVERSITAT DE VALNCIA, FACULTAT DE MATEMTIQUES, Valencia, Espaa, 2010

Ana Mara Esquinas Sancho; Dificultades de Aprendizaje del Lenguaje Algebraico: del Smbolo a la Formalizacin Algebraica: Aplicacin A La Prctica Docente, UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID, Madrid Espaa, 2009.

Jos Mara Sordo Juanena, Estudio de una estrategia didctica basada en las nuevas tecnologas para la enseanza de La geometra, UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID, Madrid Espaa, 2005

M de las Mercedes Palarea Medina UNIVERSIDAD DE LA LAGUNA La adquisicin del lenguaje algebraico y la deteccin de errores comunes cometidos en lgebra por alumnos de 12 a 14 aos Director: D. Martn M. Socas Robayna Departamento de Anlisis Matemtico Universidad de la Laguna Mexico, 1998.

Ortega Pulido Pedro, La enseanza del lgebra Lineal mediante sistemas informticos de clculo algebraico, UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID, Espaa.pag 61 y 62, 2002

Artculos

Jos Antonio Jurez Lpez, Dificultades en la interpretacin del concepto de variable en profesores de matemticas de secundaria: un anlisis mediante el modelo 3UV, Revista NUMEROS, Volumen 76, marzo de 2011, pginas 83103, Centro de Investigacin en Matemtica Educativa. Universidad Autnoma de Guerrero, Mxico

Encarnacin Castro y Marta Molina, Desarrollo de Pensamiento Relacional mediante trabajo con igualdades numricas en aritmtica bsica, Revista Educacin Matemtica, vol. 19, nm. 2, agosto de 2007, pp. 67-94.

Jose A, Barreto, Universidad de Texas, articulo basado en el libro de Morris Kline (1994): El fracaso de la matemtica moderna. Por qu Juanito no sabe sumar?. Siglo XXI Editores. 15. Edicin

Pere Marqus Graells, Tecnologas de la Informacin y la Comunicacin (TIC) aplicadas a la educacin Algunas de sus lneas de investigacin Universitat Autnoma de Barcelona. Departament de Pedagogia Aplicada 08193 Bellaterra (Barcelona). Spain, 1998.

Lina Morales Peral, Jos Luis Daz Gmez; Concepto De Variable: Dificultades De Su Uso A Nivel, Universitario Departamento de Matemticas Universidad de Sonora, Mxico, reporte de tesis, diciembre de 2003

Damore Bruno, Godino J. El enfoque ontosemitico como un desarrollo de la teora antropolgica de la Didctica de las matemticas, Revista Latinoamericana de Investigacin Matemtica, numero 002 volumen 10, Mxico, 2007.

WEBGRAFIAwww.tdx.comwww.nctm.org/resources/high.aspxwww.eduteka.orgwww.revistacyd.com.ar/presentaciones/santillanawww.mineducacion.gov.co/documentoswww.geogebra.org/cms/www.fuac.edu.cowww.udistrital.edu.co