Propagation of uncertainty in measurements applied to ... · Es por medio del algoritmo de...

Volumen 36 no 1Enero-junio 2018ISSN 0122-3461 (impreso)

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ARTIacuteCULO DE INVESTIGACIOacuteN RESEARCH ARTICLEhttpdxdoiorg1014482inde36110942

Propagacioacuten de las incertidumbres en las mediciones aplicada a la identificacioacuten en el dominio de

la frecuencia de matrices de inercia rigidez y amortiguacioacuten de

sistemas mecaacutenicos

Propagation of uncertainty in measurements applied to

frequency-domain identification of mass stiffness and damping

matrices for mechanical systems

Luis U MedinaSergio E Diacuteaz

Universidad Simoacuten Boliacutevar Venezuela

Doctor en Ingenieriacutea Universidad Simoacuten Boliacutevar (USB) Profesor Ti-tular adscrito a la seccioacuten de Mecaacutenica y Dinaacutemica de Maacutequinas del De-partamento de Mecaacutenica de la usb Miembro del Grupo de Investigacioacuten Dinaacutemica de Sistemas Mecaacutenicos (GID-48) del Decanato de Investigacioacuten y Desarrollo de la USB Imedinausbve

PhD en Ingenieriacutea Mecaacutenica Texas AampM University Profesor Ti-tular adscrito a la seccioacuten de Mecaacutenica y Dinaacutemica de Maacutequinas del De-partamento de Mecaacutenica de la usb Miembro del Grupo de Investigacioacuten Dinaacutemica de Sistemas Mecaacutenicos (GID-48) del Decanato de Investigacioacuten y Desarrollo de la USB sdiazusbve

Correspondencia Luis U Medina Departamento de Mecaacutenica Uni-versidad Simoacuten Boliacutevar Apartado 89000 Caracas 1080-A Venezuela Tel +58-212-90640604061 lmedinausbve

Luis U Medina Sergio E Diacuteaz

120 Ingenieriacutea y Desarrollo Universidad del Norte Vol 36 ndeg 1 119-137 2018ISSN 0122-3461 (impreso)

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ResumenEn la identificacioacuten de sistemas mecaacutenicos la atencioacuten se ha concentrado en formular y evaluar meacutetodos robustos frente a la presencia de me-diciones contaminadas con ldquoruidordquo de modo que se relega el estudio de la influencia de la incertidumbre experimental en los paraacutemetros identificados del sistema Esta investigacioacuten presenta una formulacioacuten general para la estimacioacuten de los errores vinculados con la identificacioacuten de las matrices de inercia rigidez y amortiguacioacuten viscosa de sistemas mecaacutenicos linealizados Se realiza la propagacioacuten de las incertidumbres experimentales a traveacutes de la funcioacuten de respuesta en frecuencia de lo que se obtiene una expresioacuten geneacuterica para el caacutelculo de su incertidum-bre luego de recurrir a propiedades del producto de Kronecker y del caacutelculo matricial Se ilustra la formulacioacuten mediante la caracterizacioacuten experimental de un sistema mecaacutenico simple con el empleo de dos meacutetodos de identificacioacuten miacutenimos cuadrados y variable instrumental La validacioacuten de la metodologiacutea se realiza mediante comparacioacuten de los resultados obtenidos con las desviaciones estaacutendares de las muestras disponibles de cada paraacutemetro identificado La comparacioacuten revela coincidencia en orden de magnitud para la mayoriacutea de las incertidum-bres de los paraacutemetros estimados lo que confirma la consistencia de la formulacioacuten presentada para la propagacioacuten de las incertidumbres experimentales de las mediciones en la identificacioacuten de sistemas

Palabras clave Identificacioacuten de matriz de amortiguacioacuten viscosa identificacioacuten de matriz de inercia identificacioacuten de matriz de rigidez propagacioacuten de incertidumbre experimental

AbstractIn the parameter identification of mechanical systems the accuracy on the parameter estimates is limited since they are obtained by processing the excitation and response system measurements which are inherently linked to experimental errors A general formulation to estimate the un-certainty on the estimated mass stiffness and damping matrices for linear mechanical systems is presented in this article Pursuing applicability the proposed methodology is formulated as an extension of the accepted practice to determine uncertainty propagation for multidimensional measurand The approach can be applied to identification of linear me-chanical systems in frequency domain independently of the algorithm considered for estimating the system parameters The limitations of the proposed formulation are also discussed and an experimental example is provided to illustrate the suggested methodology by means of two identification methods ordinary least squares and instrumental variable methods The comparison of parametersrsquo variability obtained from the propagation of random uncertainties with the one generated by direct computation ie from a sample of estimates of parameters reveals the matching orders of magnitude for most of the uncertainties of the parameter estimates confirming the consistency of the formulation in order to propagate random and systematic measurement uncertainties in the identification of the system parameters

Keywords Identification of damping matrix identification of mass matrix identification of stiffness matrix measurement uncertainties system identification uncertainty propagation

PROPAGACIOacuteN DE LAS INCERTIDUMBRES EN LAS MEDICIONES APLICADA A LA IDENTIFICACIOacuteN EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA DE MATRICES DE INERCIA RIGIDEZ Y AMORTIGUACIOacuteN DE SISTEMAS MECAacuteNICOS

121Ingenieriacutea y Desarrollo Universidad del Norte Vol 36 ndeg 1 119-137 2018ISSN 0122-3461 (impreso)2145-9371 (on line)

I INTRODUCCIOacuteN

El tratamiento de la incertidumbre en la identificacioacuten de sistemas es auacuten objeto de estudio Al respecto la literatura teacutecnica reciente es profusa y diversa de modo que evidencia la vigencia del intereacutes en la formulacioacuten y la evaluacioacuten de diferentes meacutetodos de identificacioacuten y contempla la incertidumbre en un contexto estadiacutestico [1]-[3]

La incertidumbre en la identificacioacuten de paraacutemetros de sistemas mecaacutenicos puede tener diferentes fuentes En general la incertidumbre puede ser atri-buida al proceso de generacioacuten del modelo al proceso de medicioacuten requerido para la identificacioacuten o bien a una combinacioacuten de ambas contribuciones de error No suele discriminarse la incertidumbre conforme a sus diversas fuentes la atencioacuten se concentra mayoritariamente en asegurar y demos-trar la robustez de la identificacioacuten ante la presencia de una incertidumbre geneacuterica o total comuacutenmente asumida como un ruido gaussiano

En particular el anaacutelisis modal operacional se ocupa de la incertidumbre vinculada al proceso de medicioacuten cuando es atribuida a la falta de infor-macioacuten medible debido a la limitacioacuten o a la imposibilidad de medir las fuerzas de excitacioacuten ldquoambientalesrdquo asiacute como durante la condicioacuten de ope-racioacuten del sistema mecaacutenico a identificar [4] Aun cuando las mediciones de excitacioacuten y respuesta se puedan obtener una contribucioacuten importante de incertidumbre seguiraacute siendo inherente al proceso de medicioacuten Toda medicioacuten realizada estaraacute vinculada a una incertidumbre cuya cuantificacioacuten debe entenderse como un indicador necesario de la calidad de la medicioacuten realizada En metrologiacutea la metodologiacutea para la caracterizacioacuten y propaga-cioacuten de las incertidumbres experimentales es decir aquellas que derivan del proceso de medicioacuten se encuentra bien establecida e incluso ha sido divulgada promovida y actualizada por diversas asociaciones profesionales y cientiacuteficas reconocidas internacionalmente [5] [6] En conformidad con la revisioacuten bibliograacutefica de rigor resulta escasa la evidencia de la aplicacioacuten de esta metodologiacutea para la caracterizacioacuten de incertidumbre experimental en la identificacioacuten de sistemas Por consiguiente esta investigacioacuten no concentra su atencioacuten en la formulacioacuten o evaluacioacuten comparada de un nuevo meacutetodo de identificacioacuten robusto sino pretende contribuir con el estudio aplicado de la incertidumbre cuyo origen especiacutefico es metroloacutegico y sobre coacutemo tal incertidumbre se propaga en la identificacioacuten de paraacutemetros fiacutesicos de sistemas mecaacutenicos linealizados



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La contribucioacuten del presente trabajo consiste en establecer una formulacioacuten general para el caacutelculo de la incertidumbre de los paraacutemetros fiacutesicos identi-ficados cuando estaacuten disponibles las mediciones de excitacioacuten y respuesta del sistema en el dominio de la frecuencia Se limita esta investigacioacuten a la propagacioacuten de incertidumbre que tiene origen experimental pero contempla fuentes de error sistemaacuteticas y aleatorias en la identificacioacuten de sistemas lineales o linealizados Es por medio del algoritmo de identificacioacuten mediante el cual se propagan las incertidumbres de origen metroloacutegico La forma expliacutecita del algoritmo estaacute sujeta al meacutetodo propuesto para la deter-minacioacuten de los paraacutemetros (e g miacutenimos cuadrados ordinarios variable instrumental y basados en formulacioacuten bayesiana) Si las incertidumbres en las mediciones son conocidas el error experimental en los paraacutemetros seraacute determinado a partir de la propagacioacuten de las incertidumbres en las mediciones de excitacioacuten y respuesta

Es condicioacuten necesaria para la metodologiacutea propuesta la disponibilidad de muestras de mediciones repetidas de excitacioacuten y respuesta del sistema ob-jeto de estudio aspecto que en la praacutectica no representa limitacioacuten alguna dado que mediciones repetidas suelen realizarse en todo procedimiento regular de identificacioacuten de sistemas La formulacioacuten aborda el problema de estimacioacuten de incertidumbre de los paraacutemetros del sistema al considerarlo un problema de propagacioacuten de incertidumbre para varios mensurandos (esto es problema multidimensional [5]) Se recurre a fundamentos de estadiacutestica multivariada [7] para la determinacioacuten de incertidumbre en los paraacutemetros del sistema

II METODOLOGIacuteA

Para sistemas mecaacutenicos linealizados es conocida que la relacioacuten entre la respuesta medida en el punto i del sistema mecaacutenico Xi y la respectiva excitacioacuten Fj medida y aplicada en el punto j del mismo sistema estaacute dada en el dominio de la frecuencia mediante la funcioacuten de respuesta en frecuencia (FRF) Hij [8]

Xi(ω) = Hij(ω)Fj(ω) (1)

Esta relacioacuten debe extenderse para el conjunto de excitaciones y correspon-dientes respuestas para todos los puntos de medicioacuten seleccionados en la estructura o sistema



X(ω) = H(ω)F(ω) (2)

Siendo H(ω) una matriz ntimesn con n denotando los grados de libertad asociados a los puntos de medicioacuten seleccionados para la identificacioacuten del sistema

La estimacioacuten del error en el caacutelculo de la FRF puede hallarse a partir de la aplicacioacuten del diferencial a la definicioacuten de la FRF [9] [10] esto es

(3)

La expresioacuten anterior puede desarrollarse al ser vectorizada mediante el operador vec( ) [11]

(4)

Empleando la nomenclatura ( )Xx vec= ( )Ff vec= y ( )Hh vec= la variabi-lidad de la FRF vectorizada vendraacute dada por HE hhpartpart reconociendo a E como el operador esperanza y a ( )H como la matriz hermitiana De forma que al invocar propiedades del producto de Kronecker [9] definido con la tiacutepica simbologiacutea otimes asiacute como propiedades del caacutelculo matricial resulta [12]

(5)

Los errores de las mediciones de las matrices de excitacioacuten y respuesta pue-den discriminarse en dos claras contribuciones las de origen sistemaacutetico asociadas a los transductores y la instrumentacioacuten empleados y aquellas de origen aleatorio atribuidas al procedimiento del registro de la medicioacuten En la praacutectica la medicioacuten de la excitacioacuten y las respectivas respuestas del sistema mecaacutenico bajo ensayo se efectuacutean de forma tiacutepica mediante transductores independientes (e g celda de carga en martillo de impacto calibrado para la excitacioacuten y aceleroacutemetros instalados superficialmente en el sistema mecaacutenico a identificar para la medicioacuten de las respuestas) Los transductores en las mediciones de excitacioacuten y respuestas se calibran de forma independiente con lo cual la correlacioacuten de errores sistemaacuteticos atribuible a un procedimiento comuacuten de calibracioacuten se descarta [13] No obstante en la instrumentacioacuten tiacutepica para la identificacioacuten de sistemas mecaacutenicos la eventual correlacioacuten entre tales errores puede provenir de la



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etapa comuacuten de conversioacuten analoacutegica-digital que con la instrumentacioacuten adecuada y moderna (es decir analizador de espectro) para el registro y procesamiento inmediato (esto es in situ) de las mediciones presenta una contribucioacuten de error despreciable frente a las contribuciones de error sistemaacuteticas de los transductores utilizados Bajo este argumento se consi-dera que los errores en las mediciones de respuesta y excitacioacuten no estaacuten correlacionados y la variabilidad de la FRF se reduce a [12]

(6)

En la ecuacioacuten previa la nomenclatura ( ) denota conjugada de la matriz Si

hU define a la incertidumbre o estimacioacuten de la variabilidad de la FRF (es decir H

h E hhU partpartasymp ) entonces a partir de la expresioacuten anterior puede obtenerse [12]

(7)

La incertidumbre en la medicioacuten de respuestaxU puede ser discriminada

en dos contribuciones de errores

xxx SBU += (8)

La contribucioacuten xS representa la estimacioacuten a la covarianza de la muestra de mediciones repetidas de respuesta de tamantildeo N y calculada seguacuten

(9)

La contribucioacuten Bx se refiere a la estimacioacuten de HBBE xx partpart y representa la

estimacioacuten del error mdashde origen sistemaacuteticomdash de la medicioacuten de respuesta Bxpart Puede estar basado en la calibracioacuten del sistema de instrumentacioacuten

empleado realizada de forma previa a la identificacioacuten o seguacuten informa-cioacuten suministrada por el proveedor de los transductores e instrumentacioacuten utilizada De forma general este teacutermino incluye otras estimaciones de contribuciones de error no asociadas a la variabilidad estimada a partir de las mediciones repetidas Por extensioacuten la incertidumbre asociada con la medicioacuten de la excitacioacuten fU puede discriminarse de forma similar a las definidas para la respuesta tal como se sugiere en la ecuacioacuten 8



El resultado mostrado en la ecuacioacuten 7 expresa el caacutelculo de la incertidumbre en la FRF como producto de la propagacioacuten de las incertidumbres en las mediciones de respuesta y excitacioacuten Esta expresioacuten variacutea al considerar un estimador de la FRF distinto al formulado en el presente desarrollo el cual corresponde al caso de una excitacioacuten determiniacutestica [14] No obstante es posible obtener expresiones similares utilizando el mismo anaacutelisis de sensitividad para otro estimador de frf formulado

A Estimacioacuten de la incertidumbre de la rigidez dinaacutemica

De acuerdo con la formulacioacuten de la identificacioacuten de las matrices de iner-cia rigidez y amortiguacioacuten viscosa equivalentes puede ser conveniente propagar la incertidumbre experimental del reciacuteproco de la frf la rigidez dinaacutemica denotada como D(ω)

Para un sistema lineal la rigidez dinaacutemica expresada como funcioacuten de las matrices de inercia amortiguacioacuten y rigidez la rigidez dinaacutemica corres-ponde a [8]

(10)

La estimacioacuten de la variabilidad de la rigidez dinaacutemica Hd E ddU partpartasymp puede

hallarse al realizar un anaacutelisis de sensitividad similar al desarrollado para la FRF y a partir de la relacioacuten entre la rigidez dinaacutemica y la FRF (veacutease [12])

(11)

Por simplicidad en la notacioacuten en la expresioacuten previa no se presenta de forma expliacutecita la dependencia de las matrices respecto a la frecuencia

El resultado sentildealado por la ecuacioacuten 11 indica que la incertidumbre vin-culada a la rigidez dinaacutemica puede obtenerse al propagar la incertidumbre de la FRF hU Esta incertidumbre es tambieacuten funcioacuten de la frecuencia w

Tal como se ha referido previamente la necesidad de calcular dU estaacute sujeta a la formulacioacuten para estimar las matrices de inercia rigidez y amortiguacioacuten si se plantea el caacutelculo de tales matrices en funcioacuten de la rigidez dinaacutemica o



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de manera anaacuteloga en teacuterminos de 1minusH En la siguiente seccioacuten se extiende el anaacutelisis de sensitividad para la determinacioacuten de las incertidumbres de los paraacutemetros del sistema

B Estimacioacuten de la incertidumbre en los paraacutemetros del sistema

El problema de estimacioacuten de las matrices de inercia amortiguacioacuten y rigidez para un sistema linealizado en el dominio de la frecuencia puede generalizarse como se plantea a continuacioacuten

(12)

La funcioacuten F(ω h) corresponde a la expresioacuten expliacutecita (o algoritmo uti-lizado) para el caacutelculo de las matrices del sistema La variable ω denota el vector que agrupa el conjunto de k frecuencias para las cuales se han medido las respectivas funciones de respuesta en frecuencia del sistema

( )ωH expresada en su forma vectorizada h en la ecuacioacuten 12

Para la estimacioacuten de la variabilidad en los paraacutemetros identificados con-tenidos en la matriz de paraacutemetros P se requiere la forma vectorial dada por la ecuacioacuten 12 esto es

p = f(ω h) (13)

En la expresioacuten anterior se ha utilizando la siguiente nomenclatura para las formas vectoriales p = vec(PT) y F(ω h) = vec (F(ω h)T)

Mediante desarrollo en serie de Taylor de primer orden puede determinarse la sensitividad de los paraacutemetros estimados a los errores en frecuencia y a los errores de la FRF

(14)

La aproximacioacuten dada por la ecuacioacuten 14 se realiza respecto a las medicio-nes promedios de FRF obtenidas para las k frecuencias seleccionadas esto



es ω0 =[ω1 ω2 ωk]T) Acotando que siendo vaacutelida la linealizacioacuten de la

dinaacutemica del sistema entonces ho= h(ω0)

La variabilidad del vector de paraacutemetros p resulta al estimar la esperanza del producto Tpp∆∆

(15)

El teacutermino L (∆ω ∆h) agrupa al siguiente desarrollo

(17)

En la ecuacioacuten 17 el operador herm(∙) corresponde a herm(A)= (A+AH)2 siendo A una matriz cuadrada

En concordancia con el contexto estaacutendar de propagacioacuten de incertidumbre experimental [5] los denominados ldquocoeficientes de sensitividadrdquo corres-ponden a y que pueden ser determinados de forma numeacuterica

Por consiguiente la matriz de incertidumbre de los paraacutemetros Tp E ppU ∆∆asymp

puede calcularse mediante

(18)

El teacutermino Uhω define la estimacioacuten de la matriz de correlacioacuten entre los errores de frecuencia y los de las FRF medidas Su estimacioacuten estaacute limitada a la informacioacuten con la cual se cuente sobre los errores de frecuencia y los de las FRF medidas En la praacutectica se esperariacutea que solo exista correlacioacuten



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entre errores de frecuencia y los de la FRF estimada en la misma componente frecuencial Esto es se asume que no existe correlacioacuten entre el error vincu-lado a la componente frecuencia ωj y el error asociado a H(ωk) con ωj ne ωk

En el caso de la frecuencia medida la resolucioacuten en frecuencia del disposi-tivo empleado (e g analizador de espectro) para el registro de los spectra de excitacioacuten y respuesta constituye una referencia para la estimacioacuten del error sistemaacutetico vinculado con cada componente de frecuencia Para la matriz de incertidumbres Uh se tiene que si la excitacioacuten es aplicada de forma no permanente y en distintos puntos del sistema mecaacutenico (e g mediante martillo de impacto instrumentado) resulta razonable considerar que no existe correlacioacuten entre los errores asociados a cada componente de las frf estimadas [15]

La matriz Up no solo contiene las estimaciones de los errores vinculados a las matrices de inercia amortiguacioacuten y rigidez determinadas sino tam-bieacuten las correlaciones entre tales errores Por definicioacuten de la variabilidad de cantidades vectoriales [7] la matriz Up es simeacutetrica Su estructura luce como se indica a continuacioacuten

(19)

Al ser de intereacutes las estimaciones de los errores de cada paraacutemetro identifi-cado entonces las incertidumbres de cada valor de inercia amortiguacioacuten y rigidez estaacuten presentes en la diagonal de la matriz Up esto es

(20)

En la expresioacuten anterior In y 0n identifican a las matrices identidad y nula respectivamente cada una de orden nxn Finalmente las estimaciones de variabilidad de las matrices de paraacutemetros identificadas vienen dadas por

(21)



(22)

(23)

En las ecuaciones antes presentadas las matrices de los paraacutemetros iden-tificados han sido vectorizadas esto es m=vec(M) c=vec(C) y k=vec(K)

En la siguiente seccioacuten se ilustra la aplicacioacuten de la formulacioacuten general propuesta al emplear un modelo experimental caracterizado mediante dos meacutetodos de identificacioacuten

III MONTAJE EXPERIMENTAL

La Fig 1 corresponde al banco experimental e instrumentacioacuten utilizada Los componentes empleados para la configuracioacuten del sistema mecaacutenico se identifican en la sentildealada figura

Figura 1 Montaje experimental



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El montaje experimental consiste en un arreglo de vigas (a y b en la figura) de seccioacuten rectangular vinculadas entre siacute y a un bastidor o marco riacutegido Cada viga estaacute articulada en uno de sus extremos al bastidor (c y d) vinculadas entre siacute mediante un resorte (e) ligero y flexible Dos amortiguadores viscosos (f y g) vinculan a cada viga al bastidor del banco Ademaacutes un resorte (h) une a la viga superior (a) al referido bastidor tal como se muestra en la Fig 1

La respuesta del sistema se registra mediante dos aceleroacutemetros piezoeleacutec-tricos (1 y 2) fijados magneacuteticamente localizados cada uno en puntos de medicioacuten sobre las vigas

La masa incorporada al sistema por cada aceleroacutemetro junto con su res-pectiva base para la fijacioacuten magneacutetica es menor al 005 de la masa de la viga maacutes liviana

La excitacioacuten al sistema la produce un martillo de impacto calibrado (3) utilizado para producir impactos sobre las mismas posiciones longitudinales en las cuales se ubican cada uno de los aceleroacutemetros en las respectivas vigas Detalles de las incertidumbres de origen sistemaacutetico vinculadas a la instrumentacioacuten empleada se encuentran disponibles en [12]

Para asegurar una desviacioacuten tiacutepica no superior al 5 del valor promedio tanto en amplitud como en fase fue necesario realizar un total de 10 medi-ciones (es decir 10 excitaciones con sus correspondientes respuestas) las cuales se obtuvieron para cada configuracioacuten de excitacioacuten

La primera configuracioacuten para las mediciones corresponde a las obtenidas mediante impacto en el punto donde se ubica el aceleroacutemetro 1 mientras que la segunda configuracioacuten resultoacute al aplicar el impacto en la posicioacuten del aceleroacutemetro 2

Tanto las respuestas como las correspondientes excitaciones fueron proce-sadas por un analizador de espectro (esto es 4 en Fig 1) de cuatro canales

El registro de las mediciones de excitacioacuten y respuestas se realizoacute al confi-gurar una ventana de tiempo rectangular de duracioacuten de ocho segundos suficiente para la captura total de las respuestas subamortiguadas del sistema medidas en los dos puntos indicados



IV RESULTADOS

Con el objeto de validar la formulacioacuten planteada mediante la identificacioacuten del montaje experimental descrito solo se contemploacute la propagacioacuten de incertidumbres de origen aleatorio calculadas a partir de las mediciones de excitacioacuten y respuesta Por consiguiente para efectos comparativos las incertidumbres asociadas a los paraacutemetros identificados se obtuvieron mediante (1) la propagacioacuten de las incertidumbres a traveacutes de la formula-cioacuten previamente descrita que seraacute denotada como ldquoMeacutetodo Propagadordquo y (2) la estimacioacuten directa de las desviaciones estaacutendar obtenidas de la muestra de paraacutemetros identificados al procesar cada par de mediciones de excitacioacuten y respuesta repetidas A fin de diferenciarlo de los resulta-dos obtenidos mediante el ldquoMeacutetodo Propagadordquo este uacuteltimo conjunto de valores de incertidumbres seraacute denotado como ldquoMeacutetodo Directordquo En este meacutetodo se procesoacute una muestra de 10 mediciones repetidas lo que generoacute muestras mdashde igual tamantildeomdash de estimaciones de matrices de inercia rigidez y amortiguacioacuten

A Estimacioacuten de paraacutemetros e incertidumbres asociadas

Los respectivos spectra promedios son el resultado del procesamiento del conjunto de mediciones repetidas de excitacioacuten y respuestas en un rango de frecuencia igual a 3 a 155 Hz utilizando una resolucioacuten igual a 00625 Hz Se realizoacute la identificacioacuten del montaje experimental mediante dos meacutetodos de identificacioacuten miacutenimos cuadrados ordinarios y variable instrumental

Las figuras 2 y 3 muestran la comparacioacuten graacutefica entre las amplitudes y fases de la matriz FRF media o promedio (ldquomeanrdquo en las figuras 2 y 3) y las estimadas seguacuten miacutenimos cuadrados ordinarios (ldquolsmrdquo en las figuras 2 y 3) y variable instrumental (ldquoivmrdquo en las figuras 2 y 3)

Debido a la sensitividad inherente del meacutetodo de miacutenimos cuadrados or-dinarios a la configuracioacuten de los puntos seleccionados para el ajuste fue necesario ensayar diferentes arreglos de puntos seleccionados en las frf medidas con el propoacutesito de realizar el ajuste hasta obtener el resultado mostrado en las respectivas graacuteficas De la comparacioacuten graacutefica se evidencia una convergencia satisfactoria a los valores promedios de las FRF medidas para ambos meacutetodos



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Los resultados de los paraacutemetros estimados se resumen en las tablas 1 y 2 ordenados de acuerdo con el meacutetodo de identificacioacuten utilizado

Figura 2 Amplitudes de frf media y de las estimadas seguacuten lsm e ivm

Figura 3 Fases de frf media y de las estimadas seguacuten lsm e ivm



La Tabla 1 reporta los resultados obtenidos cuando el meacutetodo de identifi-cacioacuten empleado es el de miacutenimos cuadrados ordinarios

Tabla 1 Incertidumbres en los paraacutemetros (miacutenimos cuadrados ordinarios)

Para el caso del ldquoMeacutetodo Directordquo las matrices de inercia rigidez y amor-tiguacioacuten reportadas corresponden a los valores medios estimados a partir de la muestra de matrices identificadas a partir del procesamiento de las mediciones repetidas de excitacioacuten y respuesta

Para el ldquoMeacutetodo Propagadordquo las matrices de los sentildealados paraacutemetros fueron determinadas utilizando las frf promedios

Si bien deben esperarse diferencias entre las estimaciones de incertidum-bres arrojadas por cada meacutetodo puede observarse que para la mayoriacutea de los paraacutemetros estimados el orden de magnitud de las incertidumbres obtenidas es el mismo

En el meacutetodo de identificacioacuten de variable instrumental los paraacutemetros identificados y sus incertidumbres asociadas se muestran en la Tabla 2



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Tabla 2 Incertidumbres en los paraacutemetros (meacutetodo de variable instrumental)

Los paraacutemetros del sistema seguacuten los meacutetodos ldquoDirectordquo y ldquoPropagadordquo se estimaron siguiendo el mismo procedimiento descrito al utilizar como estrategia de identificacioacuten el meacutetodo de miacutenimos cuadrados Similar a los resultados presentados para el meacutetodo de miacutenimos cuadrados la mayoriacutea de las incertidumbres dadas por el ldquoMeacutetodo Directordquo y por el ldquoMeacutetodo Propagadordquo resultan ser de igual orden de magnitud

Puede inferirse que la formulacioacuten no depende de la estrategia de identifica-cioacuten luego de verificar su aplicacioacuten para un meacutetodo de identificacioacuten directo (miacutenimos cuadrados ordinarios) y otro iterativo (variable instrumental) No obstante debe enfatizarse que lo anterior estaacute sujeto a que las incertidumbres vinculadas a las mediciones sean ldquopequentildeasrdquo de modo que la linealizacioacuten produzca resultados como los obtenidos en esta validacioacuten experimental

La comparacioacuten de los resultados entre los dos meacutetodos aplicados tambieacuten revela queacute incertidumbres son de similar magnitud las cuales junto con los valores estimados de los paraacutemetros confirman la convergencia a la misma solucioacuten

Aunque las incertidumbres sistemaacuteticas asociadas a las mediciones no son propagadas su inclusioacuten no representa inconveniente alguno en la formulacioacuten Es la disponibilidad de tales incertidumbres lo que puede representar una limitacioacuten para su inclusioacuten y por ende su propagacioacuten en el caacutelculo de la incertidumbre resultante en los paraacutemetros



Por otra parte si bien es cierto que la repeticioacuten de mediciones es una praacutectica comuacuten y recomendada en cualquier identificacioacuten experimental de sistemas usualmente suelen registrarse solo los valores promedios de las FRF medidas lo que limita la disponibilidad de la estimacioacuten de la va-riabilidad de tales FRF medidas

V CONCLUSIONES

La formulacioacuten presentada en este trabajo permite estimar las incertidum-bres de los paraacutemetros identificados a partir de la discriminacioacuten de las contribuciones de incertidumbres de origen metroloacutegico en sistemaacuteticas y aleatorias conforme al anaacutelisis general de propagacioacuten de incertidumbre experimental en metrologiacutea El objeto de esta investigacioacuten se concentroacute en el empleo de la informacioacuten disponible sobre incertidumbre en las medicio-nes de excitaciones y respuestas a fin de cuantificar sus contribuciones en la incertidumbre final de las matrices de inercia rigidez y amortiguacioacuten viscosa en un sistema mecaacutenico linealizado

Se han obtenido expresiones generales (y compactas) para determinar la incertidumbre asociada tanto a la matriz de funcioacuten de respuesta en frecuencia como su reciacuteproco (rigidez dinaacutemica) Aunque las expresiones obtenidas se limitan a la definicioacuten de la matriz de funcioacuten de respuesta en frecuencia cuando la excitacioacuten es determiniacutestica la metodologiacutea es la misma si se proponen otros estimadores de FRF

El valor agregado de la formulacioacuten expuesta proviene de la posibilidad de incluir la incertidumbre asociada a la instrumentacioacuten empleada (incertidum-bre de origen sistemaacutetica) y por ende su propagacioacuten y contribucioacuten en el caacutelculo de la incertidumbre de los paraacutemetros del sistema La formulacioacuten estaacute basada en la praacutectica aceptada y recomendada para la propagacioacuten de incertidumbre experimental en metrologiacutea la cual resulta de utilidad inmediata al investigador que no necesariamente estaacute familiarizado con otras teacutecnicas de anaacutelisis estocaacutestico para el estudio de variabilidad

La evaluacioacuten experimental reveloacute la consistencia de la formulacioacuten pro-puesta para la propagacioacuten de incertidumbres estimadas en funcioacuten de la dispersioacuten de las mediciones procesadas Las incertidumbres sistemaacuteticas vinculadas a las mediciones realizadas aunque no fueron contempladas en esta evaluacioacuten seriacutean propagadas a traveacutes de los mismos coeficientes



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de sensitividad determinados para la propagacioacuten de las incertidumbres de origen aleatorio

Independiente del tipo de incertidumbre propagada la mayor limitacioacuten de la formulacioacuten estaacute en el modelo del sistema a identificar se asume lineal o linealizable en las condiciones de operacioacuten para las cuales se realiza la identificacioacuten

Proacuteximos trabajos pueden orientarse a la aplicacioacuten de la metodologiacutea en la identificacioacuten de paraacutemetros modales (frecuencias naturales coeficientes de amortiguacioacuten y constantes modales) esto es otra alternativa para la caracterizacioacuten dinaacutemica de sistemas mecaacutenicos Tambieacuten puede extenderse este procedimiento al tratamiento de incertidumbres experimentales en el contexto del anaacutelisis modal operacional es decir en meacutetodos de identifi-cacioacuten de sistemas sin la medicioacuten expliacutecita de la excitacioacuten

Finalmente con el desarrollo y la divulgacioacuten de este trabajo se pretende enfatizar la necesidad de integrar el anaacutelisis metroloacutegico de incertidumbre experimental con la identificacioacuten de sistemas Es una vinculacioacuten que seguacuten la evidencia de la literatura teacutecnica disponible ha sido tratada de forma escasa o difusa en el aacuterea de identificacioacuten robusta

Agradecimientos

Los autores manifiestan su reconocimiento al apoyo brindado por el Laboratorio de Dinaacutemica de Maacutequinas de la Universidad Simoacuten Boliacutevar para la realizacioacuten de esta investigacioacuten

REFERENCIAS

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ResumenEn la identificacioacuten de sistemas mecaacutenicos la atencioacuten se ha concentrado en formular y evaluar meacutetodos robustos frente a la presencia de me-diciones contaminadas con ldquoruidordquo de modo que se relega el estudio de la influencia de la incertidumbre experimental en los paraacutemetros identificados del sistema Esta investigacioacuten presenta una formulacioacuten general para la estimacioacuten de los errores vinculados con la identificacioacuten de las matrices de inercia rigidez y amortiguacioacuten viscosa de sistemas mecaacutenicos linealizados Se realiza la propagacioacuten de las incertidumbres experimentales a traveacutes de la funcioacuten de respuesta en frecuencia de lo que se obtiene una expresioacuten geneacuterica para el caacutelculo de su incertidum-bre luego de recurrir a propiedades del producto de Kronecker y del caacutelculo matricial Se ilustra la formulacioacuten mediante la caracterizacioacuten experimental de un sistema mecaacutenico simple con el empleo de dos meacutetodos de identificacioacuten miacutenimos cuadrados y variable instrumental La validacioacuten de la metodologiacutea se realiza mediante comparacioacuten de los resultados obtenidos con las desviaciones estaacutendares de las muestras disponibles de cada paraacutemetro identificado La comparacioacuten revela coincidencia en orden de magnitud para la mayoriacutea de las incertidum-bres de los paraacutemetros estimados lo que confirma la consistencia de la formulacioacuten presentada para la propagacioacuten de las incertidumbres experimentales de las mediciones en la identificacioacuten de sistemas

Palabras clave Identificacioacuten de matriz de amortiguacioacuten viscosa identificacioacuten de matriz de inercia identificacioacuten de matriz de rigidez propagacioacuten de incertidumbre experimental

AbstractIn the parameter identification of mechanical systems the accuracy on the parameter estimates is limited since they are obtained by processing the excitation and response system measurements which are inherently linked to experimental errors A general formulation to estimate the un-certainty on the estimated mass stiffness and damping matrices for linear mechanical systems is presented in this article Pursuing applicability the proposed methodology is formulated as an extension of the accepted practice to determine uncertainty propagation for multidimensional measurand The approach can be applied to identification of linear me-chanical systems in frequency domain independently of the algorithm considered for estimating the system parameters The limitations of the proposed formulation are also discussed and an experimental example is provided to illustrate the suggested methodology by means of two identification methods ordinary least squares and instrumental variable methods The comparison of parametersrsquo variability obtained from the propagation of random uncertainties with the one generated by direct computation ie from a sample of estimates of parameters reveals the matching orders of magnitude for most of the uncertainties of the parameter estimates confirming the consistency of the formulation in order to propagate random and systematic measurement uncertainties in the identification of the system parameters

Keywords Identification of damping matrix identification of mass matrix identification of stiffness matrix measurement uncertainties system identification uncertainty propagation



I INTRODUCCIOacuteN






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II METODOLOGIacuteA






X(ω) = H(ω)F(ω) (2)



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IV RESULTADOS








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V CONCLUSIONES







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Agradecimientos


REFERENCIAS




















I INTRODUCCIOacuteN






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II METODOLOGIacuteA






X(ω) = H(ω)F(ω) (2)



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II METODOLOGIacuteA






X(ω) = H(ω)F(ω) (2)



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X(ω) = H(ω)F(ω) (2)



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