Proj Ponte Palitos

7/28/2019 Proj Ponte Palitos

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UNIVERSIDADEESTADUALDECAMPINAS

FACULDADEDEENGENHARIAMECNICA

ESTUDO DE PONTE ARTICULADA DO TIPO WARREN MODIFICADA UTILIZANDO PALITOS DEPICOL

EM423RESISTNCIADOSMATERIAIS

TURMAB

PROFESSOR:ROBERTOASSUMPO

GRUPO:

RA: NOME:

032009 DANIEL NASCIMENTO DUPLAT

032240 DIEGO TALLIA GIOSA

035027 NATHAN BARROSO FONTE BOA

035032 NELSON LUCAS FAGUNDES E SOUZA

024766 NUNO FERRARI ARROIO SRGIO

SEGUNDOSEMESTREDE2008


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SUMRIO

1) Introduo: ..................................................................................................................... 32) Objetivo: ........................................................................................................................ 33) Por que o triangulo estvel? ........................................................................................ 33.1) Como funciona um SAP? .......................................................................................... 63.2) Classificao de um SAP quanto a sua estaticidade: ............................................... 103.2.1) Estaticidade externa: ............................................................................................ 103.2.2) Estaticidade Interna: ............................................................................................. 103.3) Terminologia: ........................................................................................................... 103.4) Tipos de sistemas articulados planos: ...................................................................... 114) Mtodos de Resoluo:................................................................................................ 124.1) Mtodo dos equilbrios dos ns: .............................................................................. 124.2) Mtodo de Ritter ...................................................................................................... 135) Construo: .................................................................................................................. 145.1) Concretizao dos ns rotulados: ............................................................................ 156) Materiais e Mtodos: ................................................................................................... 196.1) Anlise de uma trelia Warren Modificada: ............................................................ 196.2) N D: ........................................................................................................................ 206.3) Soluo Alternativa: .............................................................................................. 216.4) Material: .................................................................................................................. 22

6.5) Construo da ponte de palitos .......................................................................... 237) Exemplos: .................................................................................................................. 248) Concluso: ................................................................................................................. 319) Referncias................................................................................................................ 33


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ESTUDODEPONTEARTICULADADOTIPOWARRENMODIFICADAUTILIZANDOPALITOSDEPICOL

1) INTRODUO:

Sem dvida que em muitos aspectos a histria da construo de pontes a histria da civilizao. Atravs dela

podemos medir uma parte importante do progresso de um povo.

Franklin D. Roosevelt

Um sistema articulado plano (SAP) rgido definido como sendo um sistema de

barras rgidas coplanares ligadas entre si (por extremidades rotuladas) e com o exterior

de modo a formar um sistema estvel. Na prtica, este tipo de estrutura usualmente

chamado de trelia. Na anlise destas estruturas, adotam-se, em geral, as seguintes

hipteses simplificadoras:

As articulaes das extremidades das barras no tm atrito;

As cargas da estrutura so caracterizadas por foras aplicadas apenas nos ns (de

um modo geral o peso prprio destas estruturas consideravelmente inferior s

cargas a que esto sujeitas pelo que desprezado).

A estabilidade de um SAP garante que ele no ter qualquer movimento livre

segundo qualquer direo. Para tal, o sistema de barras que constitui o SAP , em

geral, formado por associaes de tringulos contguos dado esta figura geomtrica ser

invariavelmente estvel e rgida.

2) OBJETIVO:

Construo e o teste de carga de uma ponte treliada, utilizando palitos de picol

e cola. A construo da ponte dever ser precedida da anlise estrutural de algumas

opes possveis de tipos de pontes.

3) POR QUE O TRIANGULO ESTVEL?

Atravs de princpios geomtricos (lei dos senos) possvel verificar que o

triangulo a nica forma polidrica que no pode alterar sua forma sem igualmente

alterar o comprimento dos seus lados. Portanto, um SAP rgido formado por um

triangulo no sofrer qualquer deslocamento por ao do seu peso ou por ao de

outras foras exteriores, ao contrrio do que acontece com outras formas geomtricas.


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Figura 1: Configurao estvel de uma trelia formato de um tringulo.

Figura 2: Configurao instvel quadrado.

Figura 3: Configurao instvel pentgono.

Observando-se as barras que formam um SAP rgido, verifica-se que por terem as

suas extremidades articuladas e apenas serem carregadas nos seus ns, obedecem

definio de biela. Segundo [3], biela pode ser definida como barra destinada a

transmitir movimento entre duas peas articuladas em suas extremidades, segundo

eixos paralelos. Como tal, as barras de um SAP apenas tero esforos segundo o seu

eixo e com dois sentidos possveis. Caso os esforos sejam orientados para o exterior

da barra, diz-se que esta est em trao e caso sejam orientados para o interior da

barra, diz-se que esta est em compresso.


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Em termos de conveno de sinais, usual admitir que uma barra tracionada est

sujeita a um esforo positivo, enquanto que uma barra comprimida, a um esforo

negativo. Esta conveno no deve, no entanto, interferir com a conveno de sinais

arbitrada para a definio das equaes de equilbrio que permitem resolver a

estrutura.

Figura 4: Conveno de sinais para trao (+) e compresso (-).

Quando uma fora exercida pontualmente sobre um n de um elemento

triangular, ela se distribui pelas barras que formam os lados do triangulo at atingir um

equilbrio em cada n entre as foras de cada barra que convergem nesse n. Devido

ao fato das diversas barras serem bielas, o seu equilbrio corresponde a terem esforos

apenas segundo o seu eixo, no sendo necessrio qualquer elemento adicional para

garantir a sua estabilidade (o que explica porque a maioria dos telhados de edifcios

triangular).

Figura 5: Distribuio de foras pela trelia a partir das foras aplicadas em cada n das bielas.

Apesar da forma triangular ser incondicionalmente estvel, um SAP poder, no

entanto, ser formado por conjuntos isoladamente estveis e conjuntos isoladamente

instveis criteriosamente dispostos, de modo a formar um conjunto global estvel.

A estrutura representada na Figura 6 formada por figuras que, isoladamente,

no so elementos estveis. No entanto, tm os seus movimentos impedidos devido ao

contato com os tringulos contguos que so elementos estveis. A estrutura global

formada, deste modo, ento estvel.


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Figura 6: Estrutura formada por elementos instveis que apresenta estabilidade global.

3.1) COMO FUNCIONA UM SAP?Considere-se a viga fixa por uma de suas extremidades representada na Figura 7

e sujeita a uma fora P

que representa o seu peso:

Figura 7: Viga fixa por uma de suas extremidades

As reaes de apoio desta estrutura so:

Figura 8

Se o momento de reao no apoio for substitudo por um binrio, obtm-se:


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Figura 9

Em que:

F d M P L = = (1)

Subdividindo, em seguida, a reao de apoio vertical em duas foras verticais com

o valor 2P

e somando cada uma dessas foras com uma das foras F

, obtm-se naparte superior do apoio uma nova fora T

inclinada que traciona a viga e na parte

interior uma nova fora C

inclinada que a comprime.

Figura 10

Considerando que as reaes de apoio da viga so ento as foras C

e T

,

possvel simplificar a viga original substituindo a viga cheia por uma sria de barras

rgidas que formam um SAP como representado em seguida:

Figura 11: Viga original representada por uma srie de barras rgidas formando um SAP.

Determinando as foras que ficam sujeitas s diversas barras, verifica-se que as

barras em azul esto em trao e as barras em vermelho, em compresso. Por outro

lado, as barras que permanecem em preto tm esforos nulos e so, portanto,desnecessrias (para o carregamento considerado). A direo das barras consideradas


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nesse SAP no tem que ser paralela s foras de compresso e trao que se

desenvolvem no apoio, dado que os esforos desenvolvidos na viga simplificada

estaro restringidos s diversas barras do SAP.

Figura 12: SAP equivalente com detalhe para as barras que esto sujeitas a trao (em azul) e a compresso(em vermelho), bem como as barras que no esto sujeitas a foras (em preto).

possvel descobrir, tambm se uma barra est em compresso ou em trao

sem calcular o SAP. Considere-se o seguinte SAP sujeito ao carregamento

representado:

Figura 13: SAP sujeito a um carregamento nos seus ns centrais.

Imagine agora que uma barra deste sistema rgido era retirada:

Figura 14: SAP sem uma das suas barras superiores

Ao ser removida uma das barras, o sistema estrutural inicialmente rgido passa a

ter algum movimento no restringido o que o torna potencialmente instvel

(dependendo do carregamento). Imaginando como se deformaria essa nova estrutura

para o carregamento representado possvel determinar a que tipo de esforo estaria

sujeita a barra que foi eliminada.


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Figura 15

Observando-se esta nova estrutura possvel concluir que existem dois corpos

rgidos ligados na rtula central, estando o corpo da esquerda ligado ao exterior atravs

dum apoio simples e o corpo da direita atravs de um apoio duplo. A ao do

carregamento exterior tende a mover a estrutura para baixo o que provoca uma rotao

do corpo da direita em torno do apoio duplo ao mesmo tempo que move a rtula de

ligao entre os dois corpos para baixo. De forma a compatibilizar esse movimento, o

corpo da esquerda tem de rodar em torno do apoio simples, mas adicionalmente ter

de se movimentar segundo a direo horizontal para a direita (movimento permitido

pelo apoio simples). Como resultado final, importante observar que a distncia

horizontal entre os dois pontos que formavam a barra eliminada foi reduzida, o que

indica que a barra existente teria de impedir esse movimento de aproximao, ficando,

portanto, comprimida.

No exemplo seguinte, pode-se aplicar o mesmo raciocnio.

a)

b)


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10

c)

Figura 16

Verifica-se, desta forma, que sendo um SAP constitudo por um conjunto de

barras lineares rotuladas nas extremidades, ligadas entre si e ao exterior de modo a

formar um conjunto estvel e apenas sujeitas a esforos de compresso ou de trao,

ele , ainda, definido de modo a que se lhe for removida alguma barra, a estruturaresultante poder se tornar instvel.

3.2) CLASSIFICAO DE UM SAP QUANTO A SUA ESTATICIDADE:

3.2.1) ESTATICIDADE EXTERNA:

Considerando que a corresponde ao nmero de reaes de apoio da estrutura; b

ao nmero de barras e n ao nmero de ns que a constituem, a estrutura ser, em

termos globais:

Hiposttica se 2n a b> + ;

Isosttica se 2n a b= + ;

Hiperesttica se 2n a b< + ;

3.2.2) ESTATICIDADE INTERNA:

Adicionalmente possvel definir uma nova condio quanto estaticidade da

estrutura mas agora apenas considerando a sua parte interior. Assim, a parte interna da

estrutura ser:

Hiposttica se 2 3b n< ;

Isosttica se 2 3b n= ;

Hiperesttica se 2 3b n> ;

3.3) TERMINOLOGIA:

Apresentam-se na figura abaixo alguns dos elementos que constituem um SAP

comum e sua respectiva terminologia.


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Figura 17

3.4) TIPOS DE SISTEMAS ARTICULADOS PLANOS:

Apresentam-se em seguida alguns tipos de sistema articulados planos:

a) Trelia Pratt b) Trelia Pratt Triangular

c) Trelia Warren d) Trelia Baltimore

e) Trelia Howe f) Trelia Howe triangular

g) Trelia K h) Trelia Fink


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i) Trelia em tesoura j) Trelia de cobertura do tipo shed

Figura 18

4) MTODOS DE RESOLUO:

4.1) MTODO DOS EQUILBRIOS DOS NS:

Aps o clculo das reaes de apoio da estrutura, este mtodo permite determinar

os esforos em todas as barras que constituem o SAP atravs do equilbrio sucessivo

de cada um dos seus ns carregado pelas foras exteriores, reaes ou foras

interiores (esforos) das barras que nele convergem.

O equilbrio de cada n assegurado apenas por 2 equaes de equilbrio

(equilbrio de foras concorrente e coplanares):

0xF = (2)

0yF = (3)

O mtodo desenvolve-se, ento, de acordo com os seguintes passos:

Clculo das reaes de apoio do SAP;

Subdiviso do SAP nas suas vrias barras e nos seus vrios ns. Como cada barra

uma biela, apenas estar sujeita a um esforo constante segundo o seu eixo cujo

sentido deve ser inicialmente arbitrado;

Definio do equilbrio de cada n, estando cada n sujeito a uma fora de cadabarra que nele concorre, s reaes de apoio que nele igualmente concorrem e s

foras exteriores diretamente aplicadas no n.

Por exemplo, considere-se o seguinte SAP sujeito ao carregamento e s reaes

de apoio representados.


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a) b)

Figura 19

A subdiviso da estrutura nas suas vrias barras e nos seus vrios ns

corresponde figura a seguir representada onde se identificam, igualmente, os

esforos das diversas barras cujos sentidos, de trao ou de compresso, so

arbitrrios.

A determinao dos esforos 1N , 2N e 3N passa, ento, pela definio de 2

equaes de equilbrio em cada n ( )0, 0x yF F= = .

Aps a determinao das reaes de apoio, verifica-se que nesta estrutura

apenas subsistem 3 incgnitas ( 1N , 2N e 3N ) para o clculo das quais apenas 3

equaes de equilbrio so necessrias, sendo que o equilbrio dos ns A, B e C

permite definir um total de 6 equaes de equilbrio, verifica-se que neste caso no

seria necessrio realizar o equilbrio de todos os ns para resolver a estrutura.

4.2) MTODO DE RITTER

Este mtodo (tambm conhecido como Mtodo das Sees) consiste numprocesso que permite determinar os esforos em algumas barras, previamente

escolhidas do SAP sem a necessidade de efetuar os sucessivos equilbrios dos ns da

estrutura. Para tal, o mtodo pressupe a realizao de cortes na estrutura definido

uma seo contnua no necessariamente retilnea e que atinja, em geral, apenas 3

barras no concorrentes no mesmo n e nunca cortando mais do que uma vez a

mesma barra. Estando o SAP em equilbrio esttico em relao ao seu carregamento

exterior, tambm estar em equilbrio qualquer parte desse sistema. Ao cortar a


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estrutura, o equilbrio de qualquer uma das 2 partes resultantes do corte definido

entre as foras exteriores e os esforos internos das barras seccionadas.

Teorema: Um corpo rgido em repouso submetido a foras coplanares estar em

equilbrio se, e somente se, as seguintes condies forem satisfeitas:

1. A soma algbrica das projees das foras sobre um eixo L no plano das foras

nula.

2. As foras no produzem momentos em relao a dois pontos separados A e Bque

esto no plano das foras sobre uma linha que no perpendicular ao eixo L.

Ou seja, este pode ser equacionado da seguinte forma:

0LF = (4)

0AM = (5)

0BM = (6)

Tal que L denota o eixo sobre o qual todas as foras so projetadas, e A e Bidentificam

dois pontos separados que esto no plano das foras numa linha AB que no

perpendicular a L. A prova para este teorema pode ser encontrada em [1].

5) CONSTRUO:As matrias-primas das pontes variam de acordo com os materiais disponveis, as

funes a serem preenchidas e sobretudo o estgio de desenvolvimento dos meios de

produo no grupamento humano ou sociedade em que a obra projetada. Dependem

tambm no s desses elementos, mas igualmente dos padres estticos de cada

cultura, poca ou regio, os resultados alcanveis em termos de segurana, utilidade

e beleza.

O ferro s comeou a predominar como material no sculo XIX, simultaneamente

ao desenvolvimento do transporte ferrovirio na Europa e nos Estados Unidos. No final

do sculo, a construo de pontes passou a ter no ao a principal matria-prima, a que

se acrescentou a descoberta do cimento armado, de importncia enorme para a

engenharia nas dcadas seguintes. Entre 1882 e 1889 ergueu-se em Forth, na

Esccia, a grande ponte Firth, em viga de cantilver. Dessa poca em diante, acelerou-

se o desenvolvimento da engenharia e da construo de pontes, com o domnio

cientfico da resistncia dos materiais e o concurso de novas tcnicas, como o concreto


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protendido, no qual as barras de ao so previamente distendidas para comprimir os

outros materiais e lhes dar, assim, maior elasticidade e resistncia.

Tornou-se depois comum a combinao do ao com o concreto armado (ou o

protendido) na execuo de uma mesma obra, sobretudo quando esta, por suas

grandes dimenses e caractersticas variveis -- como na altura e na extenso dos

vos -- requer uma distribuio mais diversificada das propriedades de rigidez,

flexibilidade e peso dos materiais. o caso da ponte Presidente Costa e Silva,

conhecida como ponte Rio-Niteri, no Rio de Janeiro, com 13.900m e trs vos

centrais, o maior deles com 300m. do tipo de viga composta de seo retangular.

5.1) CONCRETIZAO DOS NS ROTULADOS:

Consoante o material do SAP (concreto armado, ao ou madeira, por exemplo) a

concretizao dos ns rotulados realizada atravs de tcnicas distintas. No caso de

estruturas metlicas, os ns podem ser realizados soldando ou parafusando as barras

a uma chapa comum, chapa Gousset(Figura 20 e Figura 21) ou ento fazendo passar

um parafuso de grandes dimenses atravs das barras (Figura 22, Figura 23 e Figura

24).

Figura 20


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Figura 21

Figura 22

Figura 23


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Figura 24

Figura 25

No caso de estruturas de madeira, existem igualmente diversas opes para a

concretizao dos ns, como por exemplo parafusando as barras a uma chapa Gousset

exterior (Figura 25) ou embutida nas barras (Figura 26) ou ainda ligando as barras que

convergem num n atravs de chapas metlicas denteadas prensadas (Figura 27). Em

estruturas de concreto, (Figura 28), no existem geralmente sinais exteriores de


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qualquer medida especfica com vista concretizao das rtulas nos ns das barras

havendo, portanto, continuidade total entre as diversas barras da estrutura. No entanto,

podero em certos casos existir medidas especiais ao nvel da definio das armaduras

dessas barras que conduzem formao de rtulas.

Como se pode observar pela descrio das tcnicas geralmente usadas na

realizao dos ns, a idealizao dos ns das barras de um SAP como sendo

perfeitamente articulados , na prtica, difcil de concretizar. Na realidade existe nos

ns destas estruturas alguma capacidade de impedir a sua rotao ao contrrio do que

admitido pelas rtulas idealizadas no clculo. No entanto, essa capacidade de

impedir a rotao , na anlise, desprezada ou por ser bastante baixa quando

comparada com a indeformabilidade axial das barras (em particular nas estruturas de

concreto armado ou nas ligaes metlicas soldadas) ou, ainda, em certos casos,devido ao fato da sua quantificao ser bastante complexa (em particular nas ligaes

parafusadas ou com chapas denteadas nas estruturas de madeira).

Figura 26

Figura 27


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Figura 28

6) MATERIAIS E MTODOS:

Para a construo da ponte com palitos de picol, escolheu-se o modelo de trelia

Warren Modificada. Este pode ser observado na Figura 29.

Figura 29: Ponte treliada do tipo Warren Modificada.

6.1) ANLISE DE UMA TRELIA WARREN MODIFICADA:

Para se determinar as foras nos membros de uma Trelia Warren modificada,conforme apresentada na Figura 30a, pode-se proceder da seguinte forma:

a) b) CorteFigura 30: Trelia Warren Modificada

20ft 20ft

10ft10ft 10ft10ft

2000 lb 4000 lb

HC E GA

B F

D

2000 lb 4000 lb

xH yA

xA

y x


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Primeiramente, identifica-se os membros para os quais as foras so exigidas

desenhando-se duas linhas curtas atravs de cada membro da Figura 30a. Por

inspeo, observa-se que BC um membro no solicitado (como FG).

Do diagrama de corpo livre de toda a trelia (Figura 30b), determina-se as reaes

nos ns A e Husando equilbrio de corpo rgido:

0x xF A= = (7)

2000 4000 0y y yF A H= + = (8)

40 10 2000 20 4000 0A yM H= = (9)

Resolvendo as equaes (7)-(9), pode-se determinar:

[ ]2500 lbyH = (10)

[ ]3500 lbyA = (11)

Aplicando o mtodo dos ns para determinar a fora no membro DE, procede-se

da seguinte forma:

6.2) N D:

A partir do diagrama de corpo livre da Figura 31a, a equao de equilbrio para asprojees das foras verticais fornece:

[ ]4000 lbDET = (12)

Assim, o membro DEest em compresso.

a) b)Figura 31

Para calcular as foras nos membros BD, BEe CE, pode-se notar que estes so

cortados por uma seo vertical passada entre os ns Be D. A parte isolada da trelia,

x

y

DBT

DFT

DET

4000 lb

B

E

4000 lb

xH

DBT D

60

ECT

EBT

20 ft

17,32 ft

10 ft

corte

2500 lb

T


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mostrada na Figura 31b escolhida como corpo livre. Assim, pelas equaes de

equilbrio para a parte isolada, encontra-se:

( )cos 60 0x DB EB BCF T T T = = (13)

( )sin 60 4000 2500 0y EBF T= + = (14)

17,32 20 2500 0E DBM T= + = (15)

As equaes (13)(15) fornecem:

[ ]2887 lbDBT = (16)

[ ]1732 lbEBT = (17)

[ ]2021 lbECT = (18)

Como DBT negativo, o membro DBest em compresso; os membros EBe EC

esto em trao.

possvel obter a mesma soluo de outra forma:

6.3) SOLUO ALTERNATIVA:

Observa-se que as foras DBT , EBT e ECT podem ser determinadas usando-se oMtodo de Ritter (pg. 13, 4.2):

10 4000 30 2500 17,32 0B ECM T= + = (19)

17,32 20 2500 0E DBM T= + = (20)

( )sin 60 4000 2500 0y EBF T= + = (21)

Onde os subscritos B e E nas equaes de momento se referem aos ns B e Erespectivamente. Obtm-se, ento:

[ ]2887 lbDBT = (22)

[ ]1732 lbEBT = (23)

[ ]2021 lbECT = (24)

Verificando a soma das foras na direo x:

( )sin 30 2887 2021 1732 0,5 0x DB EC EBF T T T = = = (25)


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Pode-se observar que este mtodo apresenta vantagem sobre o anterior, uma vez

que as foras ,DB EBT T e ECT so determinadas independentemente, por meio de

equaes nicas. Assim, a soluo de um conjunto de equaes simultneas evitada.

Alm disso, como as foras ,DB EBT T e ECT so determinadas independentemente, a

equao xF pode ser usada como verificao dos valores obtidos.

Quando se aplicou o mtodo das sees para encontrar as foras nos membros

BD, BEe CE, separou-se a trelia em duas partes com um corte vertical. Em geral, o

processo de separar uma trelia em duas partes no exige o uso de um corte reto.

Qualquer seo fletida ou curva pode ser passada atravs de uma trelia para separ-

la em duas partes. Contudo, no devem ser cortados mais do que trs membros com

foras desconhecidas por nenhuma linha de seo. Alm disso, qualquer parte de umatrelia pode ser escolhida como corpo livre para anlise pelo mtodo das sees.

Nesse caso, a poro da trelia direta do corte foi usada, entretanto, a poro

esquerda poderia ter sido usada para obter resultados equivalentes.

6.4) MATERIAL:

As dimenses dos palitos so (aproximadamente):

115 mm de comprimento;

2 mm de espessura;

8,4 mm de largura.

Os dados a seguir foram extrados da referncia [4]:

Resistncia trao do palito de 90 kgf. ou 882,9 N (mdia extrada de 8 palitos

testados);

Resistncia compresso de um palito de 11.0mm de comprimento de 4,9 kgf. ou

48,07 N (mdia de 11 palitos), resultando numa tenso normal mdia de ruptura de2,86 MPa.

Resistncia compresso de uma composio formada por dois palitos de 110mm

de comprimento colados (dimenso final da composio 110 mm X 4 mm X 8,4 mm)

de 27 kgf. ou 264,87 N (mdia de 5 composies), resultando numa tenso normal

mdia de ruptura de 7,88 MPa.

Para palitos de dimenses diferentes das testadas, observa-se a carga crtica de

Euler (Pc) mostrada na equao (26) e na Figura 32.


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23

22c

EIP

L= (26)

E o mdulo de elasticidade da madeira que constitui o palito [ ]( )7350 MPaE= ;

3

12

bhI = o menor momento de inrcia ( 45, 6 mm

para um palito e 444,8 mm

para a composio de dois palitos be hso, respectivamente o maior e menor

lado da seo transversal da barra);

L o comprimento da barra.

Figura 32: Carga crtica de Euler

6.5) CONSTRUO DA PONTE DE PALITOS

Conhecidas as caractersticas do material a ser utilizado, decidiu-se por construir

a ponte com palitos de picol do tipo Warren Modificada utilizando barras constitudas

por 3 palitos colados, formando barras com as dimenses apresentadas na Figura 33.

Figura 33

115mm

6mm

8,4mm


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A partir de cada barra, construiu-se 15 tringulos eqilteros em cada lado da

ponte. Cada tringulo apresentava uma barra vertical que ligava o ponto mdio da base

at o vrtice mais alto desta, conforme mostrado na Figura 34.

Figura 34: Esquemtico da Ponte Treliada do tipo Warren Modificada

A ponte construda pode ser observada na Figura 35.

a) b)

Figura 35: Modelo de Ponte treliada do tipo Warren Modificada construdo com palitos de picol.

No modelo final construdo, foram utilizados 338 palitos de picol. Seu

comprimento final de 96cm, altura de 11,5cm e largura de 13,5cm.

7) EXEMPLOS:

Apresentam-se em seguida algumas imagens de sistemas articulados planos.

Embora alguns destes exemplos possam estar englobados numa estrutura

tridimensional, o seu clculo foi efetuado considerando o sistema articulado como uma

estrutura plana apenas sujeita a cargas no seu plano.


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Figura 36


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8) CONCLUSO:

Atravs deste trabalho, foi possvel verificar como funciona o processo deconstruo de uma ponte, bem como os conceitos fsicos e matemticos envolvidos.

Tecnologia de grande relevncia no desenvolvimento de uma regio, a construo de

pontes realizada pelo ser humano h sculos. Desde tempos remotos que o Homem

necessita de ultrapassar obstculos em busca de alimento ou abrigo. As primeiras

pontes tero surgido de forma natural pela queda de troncos sobre os rios, processo

prontamente imitado pelo Homem, surgindo ento pontes feitas de troncos de rvores

ou pranchas e, eventualmente, de pedras, usando suportes muito simples e travesmestras.

Com o surgimento da idade do bronze e a predominncia da vida sedentria,

tornou-se mais importante a construo de estruturas duradouras, nomeadamente,

pontes de lajes de pedra. Das pontes em arco h vestgios desde cerca de 4000 a.C.

na Mesopotmia e no Egito, e, mais tarde, na Prsia e na Grcia(cerca de 500 a.C.).

A mais antiga estrutura chegada aos nossos dias uma ponte de pedra, em arco,

situada no Rio Meles, na regio de Esmirna, na Turquia, e datada do sc. IX a.C.Sofreu um grande impulso pela engenharia com fins militares, a construo de uma


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ponte permite integrar determinada regio a outra, facilitando a vida daqueles que se

utilizam desta. Podem ligar regies cortadas por vales ou rios, sendo ento, conhecidas

pelo prprio nome, ou ento regies em grandes cidades ou estados, recebendo o

nome de viadutos.

A construo de um modelo de ponte utilizando palitos de picol, apesar de um

processo aparentemente simples, agrega uma imensa gama de conhecimentos, haja

vista necessitar de um estudo detalhado das propriedades do material (no caso,

madeira), bem como analisar as vantagens e desvantagens da geometria a ser

empregada. Esse mesmo estudo feito no projeto de uma ponte real, de forma que

aspectos relevantes so confrontados com questes econmicas, ou seja, necessrio

construir uma ponte durvel, que atenda s necessidades da regio e que custe o

mnimo possvel.


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9) REFERNCIAS

[1] SCHMIDT, Richard J., BORESI, Arthur P. Formulaes alternativas do equilbrio

de Foras Coplanares In: Esttica. Ed. Thomson Pioneira, So Paulo, 2003, p. 160

163;

[2] ____________Trelias In: Esttica. Ed. Thomson Pioneira, So Paulo, 2003, p.

263 284;

[3] BIELA. In: Larousse Cultural. Dicionrio da Lngua Portuguesa. 1. Ed. So Paulo:

Nova Cultural, 1992, p. 137.

[4] Home Page da PET Engenharia Civil concurso de estruturas -

http://www.petcivil.ufjf.br/pdf/dadosprojeto.pdf - acessado em 5 de novembro de

2008.

Proj Ponte Palitos

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