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Modulo 2

Dimensionamento di una rete di distribuzione

di fluidi

Prof. Ing. Cesare Saccani

Prof. Ing. Augusto Bianchini

Dott. Ing. Marco Pellegrini

Dott. Ing. Michele Gambuti

Department of Industrial Engineering (DIN) - University of Bologna

Corso di Impianti Meccanici – Laurea Triennale

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Perdite di carico

Cavitazione

Agenda

Dimensionamento di una rete idrica

Dispersioni termiche

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Perdite di carico

Equazione di Darcy-Weisbach per il calcolo delle perdite distribuite lungo un condotto:

Δp = perdita di carico lungo il condotto [Pa]

ρ = densità del fluido all’interno del condotto [kg/m3]

λ = fattore d’attrito

l = lunghezza del condotto [m]

D = diametro equivalente del condotto (diametro interno) [m]

v = velocità del fluido all’interno del condotto [m/s]

𝚫𝐩

𝝆= 𝛌

𝐥

𝐃

𝐯𝟐

𝟐

Il fattore d’attrito λ è ricavabile dal diagramma nella slide seguente, realizzato grazie alle esperienze di

Nikuradse e di altri:

λ viene fornito in funzione del numero di Reynolds :

Re =𝜌 v d

μ, μ = viscosità dinamica del fluido [Pa s]

Sul diagramma si distinguono tre diversi regimi di moto:

1) Regime di moto laminare dove vale la relazione λ =64

Re

2) Regime di transizione

3) Regime di moto turbolento dove il fattore λ risulta costante e viene fornito in funzione della scabrezza

relativa del tubo ε/D

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Perdite di carico

Arpa di Nikuradse

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Perdite di carico

Diagramma per il calcolo della scabrezza

relativa media dei seguenti materiali:

da1 a 3: acciaio variamente lavorato;

da 2 a 4: calcestruzzo variamente lavorato;

da 3 a 6: legno più o meno grezzo;

5: ghisa;

7: ferro galvanizzato;

8: ghisa bitumata;

9: tubo in ferro saldato;

10: tubo in ferro trafilato.

Tratto da:

A. Cocchi, ‘‘ Termofisica per ingegneri’’,

Ed. Libreria Editoriale Petroni 1974, pag. 375-376

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Perdite di carico

Esistono comunque alcune espressioni che con diverso grado di approssimazione

descrivono l’andamento di λ:

Per regime laminare: λ =64

Re

Per tubi lisci: λ = 0,0032 + 0,221Re−0,237 per 105 ≤ Re ≤ 2 ∙ 107

λ = 0,316Re−0,25 per Re < 105

Oppure per l’intero campo: λ =1

2 log Re λ−0,8

2⩝ Re

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Perdite di carico

In caso di fluidi incomprimibili, le perdite di carico si esprimono come:

Δp = λl

D

v2

2𝜌 = λ

l

D

16

2

Q2

π2 D4 𝜌 =8 λQ2l 𝜌

π2D5

essendo Q =v πD2

4→ v =

4 Q

π D2

In caso di fluidi comprimibili, le perdite di carico si esprimono come:

Δp = λl

D

v2

2𝜌m = λ

l

D

16

2

G2

π2 D4

𝜌m

𝜌m2 =

8 λG2l

π2𝜌m D5

essendo: G =v πD2

4𝜌m , 𝜌m = densità media → v =

4 G

𝜌m π D2

Facendo riferimento alla densità media 𝜌m, ovvero se sono note la densità iniziale e

finale del trasporto, il diametro del condotto rimane l’unica variabile da cui dipendono

le perdite di carico, essendo la portata un dato di progetto.

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Perdite di carico

Calcolo delle perdite di carico concentrate lungo un condotto

Δp = perdita di carico concentrata [Pa]

ρ = densità del fluido [kg/m3]

v = velocità del fluido [m/s]

ξ = coefficiente di perdita

𝚫𝐩

𝝆= ξ

𝐯𝟐

𝟐

Valori indicativi per il coefficiente ξ:

In questo caso, per analogia a quello delle

perdite distribuite, si utilizza un coefficiente di

perdita di carico ξ che lega la caduta di

pressione al quadrato della velocità del fluido.

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Δp = perdita di carico concentrata [Pa]

ρ = densità del fluido [kg/m3]

v = velocità del fluido [m/s]

ξ = coefficiente di perdita

λ = fattore d’attrito

leq = lunghezza equivalente dell’accidentalità [m]

D = diametro equivalente (diametro interno) [m]

Perdite di carico

Lunghezza equivalente

In alternativa al coefficiente di perdita ξ, si può associare ad ogni accidentalità una

lunghezza di condotto equivalente.

𝚫𝐩

𝝆= ξ

𝐯𝟐

𝟐

𝚫𝐩

𝝆= 𝛌

𝐥𝐞𝐪

𝐃

𝐯𝟐

𝟐oppure

ξ = 𝛌𝐥𝐞𝐪

𝐃

Dove ξ è proporzionale a λ ed alla lunghezza del condotto, espressa in numero di diametri.

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Perdite di carico

11/49

Perdite di carico

Cavitazione

Agenda



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La cavitazione è un fenomeno che consistente nella formazione di bolle di vapore (’’cavità’’) a seguito

dell’abbassamento locale della pressione sino a raggiungere la tensione di vapore.

Il collasso delle bolle da cavitazione sulla girante della pompa, genera un urto meccanico molto intenso

e provoca una notevole perdita di efficienza, emissione di rumore e danneggiamento dei componenti.

Si vuole quindi evitare di raggiungere la pressione di saturazione prima dell’imbocco della girante.

Con riferimento alla figura a fianco, scrivendo l’equazione

energetica del moto dei fluidi tra la sezione di ingresso nella

girante e quella rappresentata dal pelo libero, si ha:

C2 − Ca2

2+ g z − za + Rc + Ra +

p − pa

𝜌= 0

J

kg

Dove Rc rappresenta le perdite subite dal fluido nell’arrivare alla

pompa (imputabili quindi all’impianto), mentre Ra (a: accidentali)

rappresenta la parte delle perdite interne alla pompa che il fluido

subisce tra la sezione di ingresso nella pompa e quella di ingresso

nella girante.

Posto h = z – za e trascurando Ca si ottiene:

C2

2+ g h + Rc + Ra +

p − pa

𝜌= 0

Cavitazione

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Si ha pertanto all’ingresso della girante una depressione tanto più

elevata, quanto più elevati sono: il dislivello, le perdite, l’energia

cinetica del liquido. La pressione p del liquido non deve

abbassarsi sotto il valore ps (pressione di saturazione).

pa

𝜌−

1 + c ps

𝜌− g h − Rc > Ra +

C2

2

dove c è un coefficiente di sicurezza (circa 0,3÷0,5).

A sinistra appaiono solo termini dipendenti dall’impianto, mentre a

destra quelli dipendenti dalla pompa. L’impiantista sa a che quota

installa la pompa (quindi conosce pa), a che temperatura lavora (e

quindi ps), il dislivello che deve vincere h, la portata Q e le

caratteristiche della condotta (e quindi Rc). Non conosce invece il

termine:

Ra +C2

2NPSH = (Ra +

C2

2) / g

che prende il nome di indice di cavitazione o NPSH (Net Positive Suction Head) e lo chiede al costruttore

della pompa.

Cavitazione

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Cata

log

o d

i u

na

po

mp

aCavitazione

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NPSH

Trascurando la pressione di saturazione e le perdite

nel condotto si ha:

pa

𝜌 g− h > NPSH [m]

Esempi:

1) Q = 100 m3/h NPSH ≃ 3 m

Posso installare la pompa a non più di 7 metri

d’altezza dal pelo libero del bacino da cui sto

pescando. Infatti:

h <pa

𝜌 g− NPSH =

101300

1000 ∙ 9,81− 3 ≃ 7 m

2) Q = 380 m3/h NPSH ≃ 10 m

La pompa va installata allo stesso livello del pelo

libero (in realtà, servono ulteriori 1÷1,5 m di battente

per tutelarsi dalla cavitazione. La pompa andrebbe

quindi installata sottobattente).

3) Q = 410 m3/h NPSH ≃ 12 m

La pompa va installata almeno 2 metri sotto il

battente.

Cavitazione

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Caratteristica della pompa centrifuga e variazione

del numero di giri

Un inverter è un convertitore statico di potenza che,

modulando la frequenza, modula la potenza elettrica

fornita al motore e quindi regola il numero di giri della

girante.

Senza inverter, per avere una piccola portata, dovrei

inserire un grosso strozzamento nel circuito (e quindi

perdite)

Il campo di funzionamento evidenziato a fianco va da

50Hz (curva 100%) a 12,5 Hz (curva 25%).

(Mentre la portata è proporzionale al n°giri, la

prevalenza è proporzionale al quadrato del n°giri)

Cavitazione

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Perdite di carico

Cavitazione

Agenda



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Dimensionamento di una rete idrica con metodo del ramo principale

Dati di progetto:

– Portata richiesta dall’utenza

– Assonometrico e P&I della rete di distribuzione

(lunghezza, curve, valvole, …)

Il criterio per determinare la velocità all’interno dei condotti è quello riferito all’economicità

dell’intero impianto: a velocità piccole corrispondono tubi grandi e perdite di carico piccole (e

cioè tubazioni costose, pompa e motore elettrico più economici, consumo di energia elettrica

minore); viceversa a grandi velocità corrispondono tubazioni più piccole e maggiori perdite di

carico. Valutando l’andamento di questi parametri al variare della velocità si individuano quindi

le condizioni economicamente ottimali.

Obiettivi:

– Scegliere la pompa e il motore elettrico.

– Determinare le perdite di carico della condotta,

la conseguente velocità dell’acqua, ovvero il

diametro della tubazione.

F = filtro

P = pompa

VM = valvola manuale di intercettazione

VNR = valvola di non ritorno

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Perdite di carico concentrate:

∆pc= ξv2

2𝜌 Pa (perdita di carico su una singola accidentalità)

∆pc,tot= σj ξj

vj2

2𝜌 Pa (perdita di carico concentrate totali)

Perdite di carico totali:

∆ptot= ∆pd,tot + ∆pc,tot= iRi 𝑙i +

jξj

vj2

2𝜌 Pa

Potenza elettrica assorbita:

P =∆ptot∙ Q

η[kW] → Si sceglie il motore elettrico commerciale di taglia immediatamente superiore.

η = ηpompa ∙ ηmeccanico ∙ ηmotore elettrico ∙ ηausiliari (rendimento totale)

Perdite di carico distribuite:

R =∆pd

𝑙= λ

𝜌

D

v2

2

Pa

m(perdita di carico distribuita per unità di lunghezza)

∆pd,tot= σi Ri𝑙i Pa (perdite di carico distribuite totali)

li = lunghezza del tratto i-esimo con perdite di carico distribuite Ri.


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Dimensionamento economico:

Si sceglie la velocità di attraversamento delle tubazioni in maniera tale da minimizzare il costo

totale annuo dell’impianto. Questo è dato dai costi fissi di investimento ammortizzabili

moltiplicati per il tasso di ammortamento (anche se l’esborso avviene subito, il costo va ripartito

sui diversi anni e quindi, moltiplicando i costi per t, si ricavano i costi relativi all’esercizio

corrente) sommati al costo dell’energia elettrica annua spesa.

𝒄𝒕𝒐𝒕 = 𝒄𝒕 + 𝒄𝒑 + 𝒄𝒎 ∙ 𝒕 + 𝒄𝒆 [€]

ct = costo delle tubazioni [€]

cp = costo della pompa [€]

cm = costo del motore elettrico [€]

t = tasso di ammortamento annuo

ce = costo annuo di energia elettrica [€]

ve = velocità economica [m/s]

𝒄𝒆 = 𝐏 𝐧 𝒄𝒌𝑾𝒉 [€]

P = Potenza assorbita dal motore [kW]

n = ore di funzionamento annuo [h/anno]

ckWh = costo del kWh [€/kWh]


ve

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Velocità consigliate

Esistono valori consigliati di velocità. Questi dipendono sia dal materiale che dal

diametro della tubazione.

Allontanandosi dai valori di riferimento, si incontrano inconvenienti quali rumorosità e

vibrazione dei condotti (mettendo in vibrazione un condotto in pressione, si rischia di

entrare nel campo della sollecitazione a fatica).

Velocità consigliata per tubi d’acqua

(dipendenza dal materiale)

Ferro: tubazioni principali 1,5 ÷ 2,5 m/s

tubazioni secondarie 0,5 ÷ 1,5 m/s

tubazioni derivazioni 0,2 ÷ 0,7 m/s

Materiale polimerico: 1,5 ÷ 1,6 m/s


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Stima semplificata delle perdite di carico:

Un dimensionamento di massima può essere effettuato supponendo la perdita di

carico concentrata pari al 20% del totale.

∆pc= 0,2 ∆ptot → ∆pd= 0,8 ∆ptot → ∆𝐩𝐭𝐨𝐭= 𝟏, 𝟐𝟓 ∆𝐩𝐝

Si stimano perdite di carico totali maggiorando del 25% le perdite di carico distribuite.

Bisognerà comunque verificare l’ipotesi di partenza che Δptot sia effettivamente uguale

a Δpc+ Δpd iterando il calcolo fino ad un’approssimazione ritenuta sufficiente.

Se ad esempio Δptot > Δpc+ Δpd , considero Δpc > 0,2 Δptot.


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Dimensionamento di una rete idrica a più rami

Il metodo di dimensionamento a cui viene fatto

riferimento è il metodo del ramo principale.

Si individua il ramo avente maggiori perdite di carico

AD (ramo principale). Lo si dimensiona come già

visto, trascurando il resto della rete.

Si trova quindi una velocità ottimale per il ramo

principale e il diametro dei tratti di condotta (del ramo

principale) in funzione della portata. Ad ogni nodo,

infatti, la portata di progetto diminuisce perché

ripartita su altre derivazioni.

Successivamente, si dimensionano i rami secondari imputando ad essi una perdita di

carico uguale a quella del restante tratto del ramo principale (partendo dal nodo comune):

ad esempio il tratto BE si calcola ammettendo per esso una perdita di carico ∆pBE= ∆pBD.

Se le velocità trovate sono troppo elevate si inserisce uno valvola di regolazione o uno

strozzamento.


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Perdite di carico

Cavitazione

Agenda



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Dispersioni termicheDispersioni termiche

Conduzione (mezzo stazionario): Q = −λ Sdt

ds[W]

λ = coefficiente di conduzione [W/(mK)]

S = superficie di scambio [m2]

t = temperatura [K]

s = spessore [m]

Per lunghezza unitaria del tubo, vale:

Q = −λ ∙ 2 π r ∙ 1 ∙dt

dr→ −

dr

r=

2 π λ

Qdt → − r1

r2 dr

r= t1

t2 λ 2 π

Qdt → ln

r2

r1=

2 π λ

Qt1 − t2

𝐐𝐥𝐧

𝐫𝟐𝐫𝟏

𝟐 𝛑 𝛌= 𝐭𝟏 − 𝐭𝟐 , 𝐑 =

𝐥𝐧𝐫𝟐𝐫𝟏

𝟐 𝛑 𝛌[K/W] resistenza termica

Per lunghezza unitaria del tubo e considerando lo

scambio con l’ambiente esterno a temperatura ta, vale:

Q = 2 π r2 α t2 − ta → R =1

2 π 𝑟2 α[K/W]

Considerazioni analoghe valgono per la convezione interna.

Convezione (tra una superficie e un fluido in movimento): Q = α S ∆t [W]α = coefficiente di convezione [W/(m2 K)]

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Isolamento di un condotto

L’isolamento di una condotto è molto importante per evitare le dispersioni di calore, o evitare la

formazione di ghiaccio all’interno delle tubazioni.

Q Ri = ti − t1

Q Rt = t1 − t2

Q Ris = t2 − t3

Q Re = t3 − ta

i = interna

t = tubo

is = isolante

e = esterna

Sommando i contributi si ha:

Q1

2 π r1αi+

lnr2r1

2 π λt+

lnr3r2

2 π λi+

1

2 π r3αe= ti − ta


I test per il calcolo della conducibilità di un materiale sono normati dalla EN ISO 8497

[relativa a manufatti a forma cilindrica (tubi)]

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Dispersioni termicheTIPI DI ISOLANTI PER TUBAZIONI:

•Elastomero espanso usato tra -40°C e 150°C (1)

•Lana di vetro e di roccia (temperature di fusione 1000°C) usate tra 100 e 450 °C

•Fibre vegetali: fibre di cellulosa, di legno etc da - 20°C e 100°C (igroscopiche)

•Per tubazioni lunghe si applicano in sito con fascette elementi prefabbricati di corpi isolanti

(coppelle 2 e 3).

•Poliuretano espanso ricoperto da PVC (4), da 0 a 250 °C. Il poliuretano spesso viene inserito

direttamente in loco.

I fogli di alluminio facilitano i lavori

di manutenzione riducendo le

quantità di polveri rilasciate

32

4

1

29/49


Andamento del coefficiente di conduzione

termica λ in funzione della temperatura di

esercizio

Andamento del coefficiente di conduzione

termica λ della lana di vetro in funzione della

densità del materiale

Conduttività termica λ W/mK

Densità dell’isolante, kg/m3

λ non dipende dalla geometria del corpo ma

solo dalla temperatura e dalla densità

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Tabella caratteristica lana di vetro

Vediamo come da 50°C a 250°C il coefficiente può

anche raddoppiare il proprio valore

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LANA DI VETRO

LANA DI ROCCIA

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metodo della piastra calda con anello di guardia in

accordo alle norme ISO 8302, UNI EN 12667metodo radiale secondo UNI EN ISO 8497

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COEFFICIENTE DI CONVEZIONE 𝜶

𝛼 dipende in prima analisi dal numero di Nusselt, secondo la seguente dipendenza:

α = Nu∗λf

D

A sua volta il numero di Nusselt dipende dal regime di moto del fluido, se laminare o

turbolento.

Nella convezione forzata il regime di moto viene stabilito dal numero di Reynolds:

Re = wDρ /µ

se Re < 2100 si ha moto laminare

se 2100 < Re < 3100 siamo in regime di transizione

se Re > 3100 si ha moto turbolento

w = velocità media nella sezione del condotto (m/s)

ρ =densità del fluido (kg/m³)

µ = viscosità dinamica (kg/ms)

Nu= Numero di Nusselt (adimensionale)

λf= coeff. Di conduzione termica W/mk

D= diametro equivalente (m);

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Ed il Numero di Nusselt viene calcolato come:

Nu = a (Re)b (Pr)c

Con Pr = ʋ/β² ʋ = viscosità cinematica (m²/s)

β² = diffusività termica (m²/s)

Nella convezione naturale invece Nu dipende dal numero di Grashof, definito come:

Gr = g β D3 (Ts - Tf ) /ν²

E viene calcolato attraverso la seguente formulazione:

Nu = C (Gr)a (Pr)b C,a e b = coefficienti sperimentali in funzione del materiale,

del diametro e di Grashof


a,b e c = coefficienti sperimentali in funzione del materiale, del

diametro e di Reynolds

Pr= numero di Prandt

g= accelerazione di gravità (m/s2 )

D= diametro equivalente (m)

Ts= temperatura della parete (K)

Tf = temperatura del fluido (K)

ʋ = viscosità cinematica (m²/s)

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Riportiamo alcuni valori caratteristici dell’aria in funzione della temperatura

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𝛼 dipende quindi dal tipo di fluido e di moto. Riportiamo di seguito alcuni range di valori

caratteristici per alcuni fluidi maggiormente utilizzati e l’andamento del coefficiente

convettivo dell’aria in funzione della sue velocità.

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Recipiente a pareti piane

Come esempio, calcoliamo l’abbassamento medio di temperatura di un fluido contenuto

all’interno di un serbatoio nel tempo θ.

dQ = λS

st − ta dθ [ J ]

dQ = −M c dt = −M c d t − ta [ J ]

M = massa del fluido [kg]

c = calore specifico del fluido [J/(kgK)]

λS

st − ta dθ = −M c d(t − ta) [prendiamo ta= cost ]

−d t − ta

t − ta=

λ S

s M cdθ →

−(ln(tf−ta) − ln(ti−ta) ) =λ S

s M cθ → ln

ti − ta

tf − ta=

λ S

s M cθ

tf = ta + ti − ta 𝑒 −λ S

s M c θ [°C] i = iniziale

f = finale


න𝑡

𝑖−𝑡𝑎

𝑡𝑓

−𝑡𝑎

−d t − ta

t − ta= න

𝟎

𝜽λ S

s M cdθ

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Variazione di temperatura di un fluido attraverso una condotta

Nell’ipotesi che il fluido ceda calore, vale:

dQ =2 π λ

lnreri

t − tp d𝑙 = 2 π re α tp − ta d𝑙 [W]

dQ =t − ta

lnreri

2 π λ+

12 π re α

d𝑙 =t − ta

𝑅d𝑙 [W]

Inoltre, essendo G la portata in massa di fluido che attraversa la condotta, il calore ceduto dal

fluido nel tratto dl, vale:

dQ = −G c dt [W] → dQ = −G c d t − ta [W]

−d t−ta

t−ta=

1

𝑅

𝑑𝑙

𝐺 𝑐→ ln

t1−ta

t2−ta=

𝑙

𝑅 𝐺 𝑐→ t2 = ta + t1 − ta 𝑒 −

𝑙

R G c [°C]


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Dispersioni termicheAccumulatore termico

Prendiamo un accumulatore di altezza 1 m e raggio 0,5 m contenente 800 litri di acqua a 80 °C

ed una Te esterna di 20°C, rivestito con 1 cm di lana di vetro. Considerando trascurabile lo

spessore del metallo, quanto tempo impiegherà l’acqua a raffreddarsi fino a 50°C?

𝑄 = 𝑄1 +𝑄22 + 𝑄21 [W] con 𝑄22 = 𝑄21

𝑄1 =2𝜋ℎ 𝑇 − 𝑇𝑒

1riαi

+ln

reri

λ+

1reαe

𝑄2 =2𝜋ri

2 𝑇 − 𝑇𝑒

1αi

+𝑠λ

+1

αe

Coefficienti lana di vetro (ipotizzati fissi)

Coefficiente di conduzione λ 0,04 [W/mK]

Coefficiente di convezione con acqua αi 200 [W/m2K]

Coefficiente di convezione con aria αe 10 [W/m2K]

re

ri

ℎ

𝑄22

𝑄21

𝑄1

1

𝑅=

2𝜋ℎ

1

riαi+

lnreri

λ+

1

reαe

+2𝜋ri

2

1

αi+

0,01

λ+

1

αe

= 13,38 [W/K]

R= 0,074 [K/W]

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−𝑄dθ = McldT dθ =−MclRdT

𝑇 − 𝑇𝑒න

0

θ

dθ = න𝑇

0−𝑇𝑒

𝑇 −𝑇𝑒

−MRcl

d(T − Te)

T − Te

θ = −MRcl𝑙𝑛T−Te

T0−Te

= −800 ∗ 4186 ∗ 0,074𝑙𝑛50−20

80−20= 𝟏𝟕𝟏𝟕𝟔𝟗 [𝒔]

T

θ [s]

80 °C

20 °C


M= massa acqua in

kg/m3

cl= calore specifico

acqua [J/(kgK)]

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Costo del calore disperso: CQ = g cc [€]

η =Q

ki g→ g =

Q

η ki

Q =2 π λ

lnReRi

ti − te → g =2 π λ

lnReRi

∆t

ηki→ CQ =

2 π λ

lnReRi

∆t

ηkicc =

A

lnReRi

Valutazioni economiche relative all’isolamento di un condotto

Il costo dell’isolante per unità di lunghezza per una tubazione, è proporzionale al volume:

Ci = 1 ∙ π Re2 − Ri

2 ci r [€]ci = costo dell’isolante per unità di volume

r = tasso ammortamento annuo

g = portata di combustibile

cc = costo unitario del combustibile

η = rendimento stagionale

ki = potere calorifico inferiore


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Costo totale: CT = π ci r Re2 − Ri

2 + A

lnReRi

[€]

dCT

dRe= 0 → 2 π ci r Re −

𝐴

Re ln2ReRi

= 0 → B Re −𝐴

Re ln2ReRi

= 0

Si divide per Ri e si pone Re/Ri=X: BRe

Ri−

A

Ri2

ReRi

ln2ReRi

= 0 → X2 ln2 X =A

B Ri2

Da risolvere per

tentativi (il secondo

membro è noto)

Eu

ro/a

nn

o


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Stillicidio

È necessario verificare che non si abbia un gocciolamento costante

e continuo a seguito di condensazione sulla parete del tubo del vapor

d’acqua presente in aria.

La temperatura di parete esterna tp va confrontata con il punto di

rugiada tsat. Se risulta tp< tsat , occorre aumentare il diametro

dell’isolante, rinunciando ad avere il diametro economico.

Infatti l’isolante costantemente bagnato potrebbe andare incontro a

un processo di degradamento molto rapido.

Q =2 π λ

lnReRi

tp − ti = 2 π α Re ta − tp

ta − tp

tp − ti=

λ

α Re lnReRi

Si fissa tp e si ricava Re (o viceversa)


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Dispersioni termicheStillicidio

Una condotta da DN100 da 4” in acciaio, con diametro interno pari a 100 mm e diametro

esterno pari a 114 mm, percorsa internamente durante tutto l’anno da un fluido freddo a 7°C,

si trova in un ambiente chiuso a temperatura Ta= 30°C e grado igrometrico φ= 0,65.

Si prevede l’utilizzo di un isolante in lana di vetro con conducibilità λi= 0,04 W/m*K e si

supponga che il coefficiente di convezione termica all’esterno dell’isolante sia pari a 𝛂𝐞 = 10

W/m2*K, mentre quello interno 𝛂𝐢 = 300 W/m2*K Trovare lo spessore minimo di isolante

necessario per evitare la condensa. Ipotizziamo inoltre λtubo= 17 W/m*K

r1

r2

re

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METODO GRAFICO PER IL CALCOLO DELLA Tsat ATTRAVERSO DIAGRAMMA

PSICOMETRICOTbsecco = 30°C

φ = 0,65

La temperatura di rugiada

è la temperatura alla

quale l’aria raggiunge le

condizioni di saturazione

(U.R.=100%). Su ogni

elemento che si trova ad

una temperatura appena

inferiore alla temperatura

di rugiada si forma

condensa

Partendo dal punto A

quindi ci muoviamo sulla

linea a tiolo costante fino

ad incontrare φ=1, da li

quindi scendiamo

trovando la Tsat= 22,6 °C

A

Asse delle ordinate (US): Titolo g/kg

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Q1

2 π r1αi+

lnr2r1

2 π λt+

lnrer2

2 π λi+

1

2 π reαe= Ti − Ta


𝑝𝑠𝑎𝑡 𝑇 = exp 16,6536 −4030,183

𝑇a+235

= 4,25 kPa

𝑇𝑠𝑎𝑡= Calcolata mediante approssimazione di Magnus-Tetens = 237,7∗[

17,27∗𝑇

237,7+𝑇+ln(φ)]

17,27 −[17,27∗𝑇

237,7+𝑇+ln(φ)]

= 22,68 °𝐶

Esplicitiamo quindi la quantità di calore dispersa dal tubo:

Analizziamo i vari contributi: ln

r2r1

2 π λt≪

lnrer2

2 π λiin quanto 𝛌𝐭/𝛌𝐢 = 𝟒𝟐𝟓

1

2 π r1αi≪

1

2 π reαein quanto 𝛂𝐢/𝛂𝐞= 30

Otteniamo quindi:

Qln

rer2

2 π λi+

1


(Tale rapporto risulta

alto in quanto

abbiamo un liquido in

movimento all’interno

mentre all’esterno

aria ferma)

METODO ANALITICO per la Tsat

48/49

Imponiamo la condizione Te =Tsat = 22,68 °𝐶

re𝑙𝑛re

0,057=

0,04∗(22,68 − T1′)

αe(30 − 22,68)


𝑐𝑎𝑙𝑐𝑜𝑙𝑖𝑎𝑚𝑜 𝑇1′ = 𝑇𝑒 −𝑄

𝐥𝐧𝐫𝐞𝐫𝟐

𝟐 𝛑 𝛌𝒊

= 𝑇𝑒 −Ti−Ta

lnrer2

2 π λi+

1

2 π reαe

1

𝐥𝐧𝐫𝐞𝐫𝟐

𝟐 𝛑 𝛌𝐢

re𝑙𝑛re

0,057=

0,04∗(22,68 −22,68 −7 − 30

lnre

0,0572 π 0,04

+1

2 π re10

1

lnre

0,0572 π 0,04

)

10(30 − 22,68)

Otteniamo una equazione con unica incognita re risolvendola per tentativi otteniamo che

re deve essere almeno 0,16 m

Q =2 π λi

lnrer2

Te − T1′ = 2 π αe re Ta − Te

Ta − Te

Te − T1′=

λ

αe re lnrer2

Andiamo a calcolare re :

[In quanto Q =2 π λ

i

lnrer2

Te − T1′ ]

E lo inseriamo

nell’ugualianza ottenendo:

49/49

Dispersioni termicheConsiderazioni generali:

Analizziamo i due fattori predominanti nel calcolo di Q, ovvero la resistenza dell’isolante e quella

esterna:

Qln

rer2

2 π λi+

1


Risolante= ln

rer2

2 π λi=

ln0,16

0,057

2 π 0,04= 4,11 [K/W]

Resterna= 1

2 π reαe=

1

2 π 0,16∗10= 0,1 [K/W]

Non considerare l’apporto della resistenza esterna equivale quindi ad un errore di circa il

2,5%, tale valore può oscillare però, in caso di diametri di isolante minori, fino al 30%.

Inoltre la conducibilità termica varia in funzione delle temperature e della densità del materiale.

In caso quindi di abbassamento o di innalzamento della temperatura del fluido, la conducibilità

del materiale varia e di conseguenza la resistenza termica. Tali considerazioni devono essere

calcolate in fase di progettazione.

Modulo 2

Dimensionamento di una rete di distribuzione

di fluidi

Prof. Ing. Cesare Saccani

Prof. Ing. Augusto Bianchini

Dott. Ing. Marco Pellegrini

Dott. Ing. Michele Gambuti

Department of Industrial Engineering (DIN) - University of Bologna

Corso di Impianti Meccanici – Laurea Triennale

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