Problemas Resueltos Potencial

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  • 5/28/2018 Problemas Resueltos Potencial

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    PROBLEM S RESUELTOS DE POTENCI L ELECTRICO

    1

    Problema 01

    Una lmina no conductora infinita tiene una densidad de carga 225 /nC m sobre un lado. Qu distanciase encuentran separadas dos superficies equipotenciales cuyos potenciales difieren en 25 V.

    Solucin.

    En la figura se muestra la lmina y las dos superficies equipotenciales

    Despreciando el efecto de los bordes y considerando que la intensidad del campo elctrico para un plano infinito

    es uniforme y est dado por0

    ( / 2 )E i . Entonces la diferencia de potencial ser

    0

    . .( )2

    dV E ds i dxi

    r r rr

    0

    0 0

    0

    2

    ( )2 2

    2

    B

    A

    B x

    A x

    B A B A

    A B

    dV dx

    V V V x x x

    V V x

    Entonces la separacin entre las equipotenciales es

    12 2 2

    0

    9 2

    3

    2 ( ) 2(8,85.10 / )(25 )

    25.10 /

    17,7.10

    A BV V C Nm V xC m

    x m

    Problema 02

    Una partcula tiene una masa de m1= 3.10-3kgy una carga q1=8,0 C.Una segunda partcula tiene una masade m2= 6.10-3kgy la misma carga. Las dos partculas estn inicialmente en reposo separadas cierta distancia yentonces soltadas. Debido a la repulsin electrosttica las partculas se separan, y cuando dicha separacin entreellas es de 10 cm, la velocidad de la partcula es 125 m/s. Encuentre la separacin inicial entre las partculas.

  • 5/28/2018 Problemas Resueltos Potencial

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    PROBLEM S RESUELTOS DE POTENCI L ELECTRICO

    2

    Solucin

    La fuerza que acta sobre las dos partculas es la fuerza elctrica y sta es conservativa. Por lo tanto, la energatotal (cintica ms potencial elctrica) se conserva cuando las partculas se separan. En suma, la fuerza externaneta que acta sobre el sistema de dos partculas es nula (las fuerzas elctricas que se ejercen las partculas entres son fuerzas internas). As el momento lineal del sistema tambin se conserva. Entonces podemos utilizar laconservacin de la energa y la conservacin del momento lineal para encontrar la separacin inicial.

    Aplicando la conservacin de energa se tiene

    2 2 2 21 2 1 21 1, 2 2, 1 1, 2 2,

    2

    1 1 1 1

    2 2 2 2

    i f

    i i f f

    i

    E E

    kq q kq qm v m v m v m v

    r r

    Resolviendo esta ecuacin para determinar

    y teniendo en cuenta que v1,i= v2,i= 0, se tiene

    2 2

    1 1, 2 2,

    1 2

    1 1 1 1 1

    2 2f f

    i f

    m v m vr r kq q

    (a)

    Aplicando la conservacin del momento lineal para encontrar la relacin entre las velocidades finales se tiene

    1 1, 2 2, 1 1, 2 2,

    1 1, 2 2,

    3

    12, 1, 3

    2

    0

    3.10(125 / )

    6.10

    i fsistema sistema

    i i f f

    f f

    f f

    p p

    m v m v m v m v

    m v m v

    m kgv v m s

    m kg

    2,

    62, 5 /f

    v m s (b)

    Remplazando (b) en (a) y simplificando se tiene

    2 23 32

    9 6

    1 1 1 1 13.10 125 3.10 62,5

    0,1 2 29.10 8.10ir

    2

    1 1,41.10r m

    Problema 03

    El potencial elctrico en la superficie de una esfera uniformemente cargada es 450 V. En un punto fuera de la

    esfera a una distancia radial de 20 cm desde su superficie, el potencial elctrico es 150 V. Asumiendo que elpotencial para puntos muy alejados de la esfera es cero. Cul es el radio de la esfera, y cul es la carga de laesfera?.

    Solucin

    SeaRel radio de la esfera y Qsu carga. Podemos expresar el potencial de las dos ubicaciones dadas y resolverlas ecuaciones simultneamente para determinarRy Q

    El potencial en la superficie de la esfera es

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    PROBLEM S RESUELTOS DE POTENCI L ELECTRICO

    3

    450RkQ

    V VR

    (a)

    El potencial a una distancia de 20 cm de la superficie ser

    1500,20r

    kQ kQ

    V VR R m (b)

    Dividiendo las dos ecuaciones anteriores se tiene

    450

    150

    0,20

    10

    kQVR

    kQ V

    R m

    R cm

    Al remplazar este valor en (a) se tiene

    9 2 2

    450 (0,10 )5

    9.10 . /

    V mQ nC

    N m C

    Problema 04

    Encuentre el cambio en la energa potencial elctrica cuando dos protones inicialmente separados 0,100 nm seapartan hasta estar completamente separados.

    Solucin

    Asumimos que un protn esta fijo y el otro se va a mover en el campo del primer protn

    El cambio en la energa potencial elctrica est dado por

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    PROBLEM S RESUELTOS DE POTENCI L ELECTRICO

    4

    2

    2

    2

    2 9 2 2 19 2

    9

    0

    18

    . .( )

    1

    9.10 . / (1, 6.10 )4 0,1.10

    2,3.10

    PP P

    R R

    P PR

    R

    P

    kqU q E ds q i dri

    r

    drU kq kq

    r r

    q N m C C UR

    U J

    r r rr

    Note que ( ) ( )U U U r . Es habitual considerar ( ) 0U de tal manera que podemos decir que la energa

    potencial de los protones fue 18( ) 2,3.10U R J . Estos protones originalmente tienen una alta energa potencial

    por ello ellos tienden a separarse cuando se les da la oportunidad.

    Problema 05

    Una gota esfrica de agua lleva una carga de 30 tiene un potencial de 500 Ven su superficie (con V = 0enel infinito). (a) Cul es el radio de la gota?. Si dos gotas con la misma carga y radios iguales se combinan paraformar una sola gota, Cul el potencial de la superficie de la nueva gota?.

    Solucin

    (a) Consideremos a la gota como un conductor, de tal manera que el potencial est dado por9 129.10 (30.10 )

    500

    54

    kQ kQV R

    R V

    R mm

    (b) Cuando se combinan dos gotas, la gota nueva tiene otro radio, el mismo que se determina a partir dela conservacin de la masa0

    3 3

    1

    1

    2

    4 42

    3 3

    2 54 2 76, 37

    M m

    R R

    R R mm

    El potencial de la nueva gota ser

    0

    3 31

    1/ 3

    1

    2

    4 423 3

    (2 )

    M m

    R R

    R R

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    PROBLEM S RESUELTOS DE POTENCI L ELECTRICO

    5

    11 01/3 1/3

    1

    1 1/3

    1

    (2 ) 2

    (2 ) (2 )

    2(500 )

    (2 )

    793,7

    kQ k qV V

    R R

    V V

    V V

    Problema 06

    Encuentre la diferencia de potencial entre la parte superior (P) y el centro de la base (O) de un cono de radio ay altura a, el cual lleva una densidad de carga sobre el rea lateral.

    Solucin

    Debido a la geometra el ngulo del cono es 45. Para encontrar el potencial primero dividamos a la superficielateral en rebanadas de radioxa una profundidadz(desde el vrtice del cono). Por ser el ngulo de 45 el radio

    xes igual a la alturaz. La longitud del elemento diferencial a lo largo de la pendiente es 2dS dz y el areadel pequeo elemento diferencial es 2 ( 2 )dA z dz . Por lo tanto la contribucin del elemento diferencial al

    potencial es

    2 2

    (2 2 )

    ( )

    k zdz dV

    z a z

    La diferencia de potencial entre los puntos P y O se determina integrando la ecuacin anterior, es decir

    2 200

    0

    2 2

    4 ( )

    2ln

    2 2

    o

    P

    V z a

    V z

    O P

    zdzdV

    z a z

    a a aV V

    a a

    Problema 07

    El potencial elctrico (V) como una funcin de la distancia es graficado en la figura. Determine la magnitud delcampo elctrico en las regiones (a) A a B; (b) B a C y (c) C a D.

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    PROBLEM S RESUELTOS DE POTENCI L ELECTRICO

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    Solucin

    El campo elctrico entre puntos en el espacio es proporcional a la diferencia de potencial entre puntos divididapor la distancia entre ellos. Esto es

    VEx

    Parte (a). Campo entre A y B

    1

    5, 0 50 /

    0, 2 0, 0

    V V VE V m

    x m m

    Parte (b). Campo entre B y C

    2

    3, 0 5, 010 /

    0, 4 0, 2

    V V VE V m

    x m m

    Parte (b). Campo entre B y C

    3

    1,0 3,05 /

    0,8 0, 4

    V V VE V m

    x m m

    Problema 08

    Un campo elctrico uniforme de magnitud 325 V/mest dirigido en direccin negativa de lasycomo se muestraen la figura. Las coordenadas del punto A son (- 0,2 m; -0,3 m)y las coordenadas del punto B es (-0,4 m; -0,5 m). Determine la diferencia de potencial: (a) utilizando la trayectoria ACB, (b) utilizando latrayectoria recta AB y (c) Cul punto est a mayor potencial?.

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    PROBLEM S RESUELTOS DE POTENCI L ELECTRICO

    7

    Solucin

    Parte (a) Diferencia de potencial para el trayecto ACB

    . .

    ( ).( ) ( ).( )

    ( ) 0(325 / )(0,8 ) 260

    B C B

    A A C

    C B

    B AA C

    B A C A

    B A

    dV E ds E ds

    V V Ej dsj Ej dsi

    V V E s sV V N C m V

    r rr r

    r r r r

    Parte (b) Diferencia de potencial para el trayecto AB

    .

    ( ).( )

    ( )

    (325 / )(0, 8 ) 260

    B B

    A A

    B

    B AA

    B

    B A B AA

    B A

    dV E ds

    V V Ej dxi dyj

    V V E dy E y y

    V V N C m V

    r r

    r r r

    Problema 09

    Con una barra plstico se ha formado un aro de radio R. ste tiene una carga +Qdistribuida uniformemente alo largo de un cuarto de circunferencia y una carga negativa -6Q ha sido distribuida a lo largo del resto delanillo. Considerando a V = 0en el infinito, determine el potencial elctrico: (a) en el centro del anillo y (b) enun punto O, el cual est sobre el eje del anillo a una distanciazdel centro.

    Solucin

    Parte (b).Debido a que la parte (a) es un caso particular de (b) entonces comenzamos con la ltima para ello

    dividimos a la distribucin en elementos de carga dqde longitud ds, entonces el potencial ser

    2 2 2 2

    ( ) ( )

    ( ) ( )

    ds dsdqdV k k k

    r r r

    R d R ddV k k

    R z R z

    r r r

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    PROBLEM S RESUELTOS DE POTENCI L ELECTRICO

    8

    El campo total se obtiene integrando la ecuacin anterior, esto es

    / 2 2

    2 2 2 20 / 2

    0 0

    2 2 2 2

    0 0

    2 2 2 2

    0 0

    2 2 2 2

    0 0

    2 20

    4 4

    2( )22

    4 4

    3( )

    2 24 4

    6

    32 / 4 6 / 4( )

    2 24 4

    4

    R RV d d

    R z R z

    RRV

    R z R z

    R RV

    R z R z

    Q QR R

    R RV

    R z R z

    QV

    R z

    2 20

    6

    4

    Q

    R z

    2 2

    0

    5

    4

    QV

    R z

    Parte (a). El potencial en el centro del anillo ser

    2 2 2 2

    0 0

    0

    5 5

    4 4 0

    5

    4o

    Q QV

    R z R

    QV

    R

    Problema 10

    Un disco de radio R tiene una densidad de carga superficial dada por = . Donde es una constante yres la distancia desde el centro del disco. Encuentre: (a) la carga total sobre el disco. (b) una expresin para el

    potencial elctrico a una distanciaxdesde el centro del disco sobre el eje que pase a travs del centro del discoy es perpendicular a su plano.

    Solucin

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    PROBLEM S RESUELTOS DE POTENCI L ELECTRICO

    9

    Podemos encontrar Q mediante integracin de la carga sobre un anillo de radio ry espesor drdesde r = 0hastar = Ry el potencial en el eje del disco mediante integracin de la expresin del potencial en el eje de un anillode carga entre los mismos lmites.

    Parte (a). La expresin para la carga de un anillo de radio ry espesor drest dada por

    0

    0

    (2 ) (2 )

    2

    Rdq dA rdr rdr r

    dq Rdr

    La carga total del anillo se obtiene integrando la expresin anterior, esto es

    00

    2

    0

    2

    2

    R

    Q dq R dr

    Q R

    El potencial producido por dqen el punto P es

    0

    2 2

    2 RdrdqdV k k r r x

    r

    El potencial neto en P se obtiene integrando la ecuacin anterior

    2 2

    0

    0

    ln2

    R R R xV

    x

    Problema 11

    Las tres placas conductoras mostradas en la figura est, cada una separadas por una distancia b. Si las cargassobre las dos placas extremas son como se muestra en la figura. Determine la diferencia de potencial entrelas placas extremas

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    PROBLEM S RESUELTOS DE POTENCI L ELECTRICO

    10

    Solucin

    Debido a que las placas son conductoras en la placa CD se inducen cargas en el lado B y +en el lado C.

    Adems usando la ley de Gauss se determina el campo entre las lminas AB y CD, esto es

    0

    0 0

    . enc

    SG

    QE ndA

    AE A E

    r r

    La diferencia de potencial entre A y B es

    0 0

    . ( ).( )

    ( )

    B B B

    A A A

    B A B A

    dV E ds Ei dxi

    V V x x d

    r r rr

    (1)

    La diferencia de potencial entre C y D es

    0 0

    . ( ).( )

    ( )

    D D D

    C C C

    D C D C

    dV E ds Ei dxi

    V V x x d

    r

    r rr

    Debido a que la placa central es conductora, el campo en su interior es cero y como tal todos los puntos estnal mismo potencial por tanto = . Entonces se tiene

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    PROBLEM S RESUELTOS DE POTENCI L ELECTRICO

    11

    0

    D BV V d

    (2)

    Sumando las ecuaciones se tiene

    0 0

    0

    2

    D A

    D A

    V V d d

    V V d

    Problema 12

    Una pequea esfera de 3,2 gde masa cuelga de un hilo de seda entre dos placas conductoras paralelas verticalesseparadas 5 cm. La carga en la esfera es 5,8 C. Qu diferencia de potencial entre las placas har que el hiloforme un ngulo de = 30con la vertical.

    Solucin

    Debido a que la carga +qse desva hacia la derecha, entonces el campo electico entre las placas debe estardirigido hacia la derecha, por ello la placa izquierda es positiva y la derecha negativa. Entonces la diferencia de

    potencial ser

    . ( ).( )B B B

    A A A

    B A

    dV E ds Ei dxi

    V V Ed

    r r rr

    A BV V Ed (a)

    En la figura Se muestra el DCL de la carga, sobre ella actan el Peso (mg); la tensin en el hilo (T) y la fuerza

    elctrica debido al campo ( eF qE ).

    Aplicando las ecuaciones de equilibrio segn los ejes mostrados se tiene

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    PROBLEM S RESUELTOS DE POTENCI L ELECTRICO

    12

    00 cos30x

    F T mg

    0cos30

    mgT (b)

    0

    0 30xF qE Tsen (c)Remplazando (b) en (c) se tiene

    030qE mgtg (d)

    Remplazando la ecuacin (a) en (d), resulta

    0

    0 3 2 0

    6

    30

    30 3,2,10 (9,8)(5.10 ) 30

    5,8.10156

    Vq mgtg

    d

    mgdtg tg V

    qV V

    Problema 13

    Se tiene dos anillos finos de alambre de radio R, cuyos ejes coinciden. Sus cargas son iguales a qyq. Determinela diferencia de potencial entre sus centros, siendo la distancia entre ellos igual a d.

    Solucin

    En la figura se muestra a ambos anillos

    En el ejemplo se demostr que el potencial para un anillo en puntos sobre su eje es

    2 2

    kqV

    R z

    El potencial en el punto Oes la suma de los potenciales del anillo +qy del anilloq. es decir

    ' , ' , '

    '2 2

    O q O q O

    O

    V V V

    kq kqV

    RR z

  • 5/28/2018 Problemas Resueltos Potencial

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    PROBLEM S RESUELTOS DE POTENCI L ELECTRICO

    13

    El potencial en el punto O es la suma de los potenciales del anillo +qy del anilloq. es decir

    , ,O q O q OV V V

    2 2O

    kq kqV

    R R z

    La diferencia de potencial entre sus centros ser.

    '2 2 2 2

    '2 2 2 2

    0

    '2 2

    0

    2 2

    4

    2

    O O

    O O

    O O

    kq kq kq kqV V

    R RR z R z

    kq qV V

    R z R z

    qV V

    R z

    Problema 14

    Se tiene un hilo recto y muy largo, cargado con una densidad lineal de carga 0, 40 /C m . Determine la

    diferencia de potencial en los puntos A y B si el punto B dista 2,0 veces ms del hilo, que el A.

    Solucin

    En la figura se muestra el hilo recto y muy largo conjuntamente con una superficie gaussiana cilndrica quepermite evaluar el campo producido por el hilo

    0 0,

    0

    . 2

    2

    enc

    S G

    Q LE ndA E rL

    E

    r

    r r

    Como el campo solo depende de la distancia ral alambre, la diferencia de potencial entre los puntos A y B ser

    0

    0

    2

    2

    B

    A

    B r

    A r

    dV Edr dr r

    drdV

    r

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    PROBLEM S RESUELTOS DE POTENCI L ELECTRICO

    14

    0 0

    ln ln2 2

    B AB A

    A A

    r rV V

    r r

    0

    ln2

    A BV V

    Remplazando valores se tiene

    6

    12 2 2

    0,40.10ln 2

    2 (8,85.10 / . )

    5,0

    A B

    A B

    CV V

    C N m

    V V kV

    Problema 15

    Halle el potencial elctrico en el centro de una semiesfera de radioR, cargada con una densidad superficial decarga

    Solucin

    Para determinar el potencial de la distribucin de carga en O, se divide a sta en anillos de radioycon un espesor = como se muestra en la figura

    El potencial del elemento diferencial ser

    0 0 0

    0

    (2 ) ( cos )( )

    4 4 2

    cos2

    dq yds R Rd dV

    R R R

    R

    dV d

    El potencial neto en el punto O se obtiene integrando la expresin anterior

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    PROBLEM S RESUELTOS DE POTENCI L ELECTRICO

    15

    / 2 / 2

    000 0

    0

    cos2 2

    2

    R RV d sen

    RV

    Problema 16

    Dos hilos finos y paralelos que distan lse cargan uniformemente hasta la densidad lineal y. Determine elpotencial elctrico a la distancia r >> lbajo un ngulo al vector p como se muestra en la figura.

    Solucin.

    En la figura se muestra el punto P donde se hallaV

    En el problema N 10 se ha demostrado que el potencial para un alambre infinito est dado por

    2 ln r

    V ka

    Donde el potencial cero se considera en un punto de referencia = .

    El potencial debido al alambre que transporta una densidad +, ser

    2 ln a

    V kr

    El potencial debido al alambre que transporta una densidad -, ser

  • 5/28/2018 Problemas Resueltos Potencial

    16/36

    PROBLEM S RESUELTOS DE POTENCI L ELECTRICO

    16

    2 ln a

    V kr

    El potencial total en el punto P ser

    2 ln 2 ln

    2 ln ln 2 ln

    a aV V V k k r r

    rV k r r k

    r

    Haciendo uso de la ley de cosenos se tiene

    2

    2 2

    2

    2 2

    2 cos2 2

    2 cos2 2

    l lr r r

    l lr r r

    El potencial se escribe ahora en la forma

    2

    2

    2

    2

    2 cos2 2

    2 ln

    2 cos2 2

    l lr r

    V kl l

    r r

    1/ 2

    2

    2

    1/ 22

    2

    1 cos4

    2 ln

    1 cos4

    l l

    r rV k

    l l

    r r

    Teniendo en cuenta que para r >> l,

    0, se tiene

    1/ 2 1/ 2

    2 ln 1 cos ln 1 cosl l

    V kr r

    ln 1 cos ln 1 cosl l

    V kr r

    Usando la relacin2 3

    ln(1 ) ..........2 3

    z zz z

  • 5/28/2018 Problemas Resueltos Potencial

    17/36

    PROBLEM S RESUELTOS DE POTENCI L ELECTRICO

    17

    2

    ln 1 cos cos cos .....

    ln 1 cos cos

    l l l

    r r r

    l l

    r r

    Remplazando este desarrollo en la ecuacin para el potencial total se tiene.

    0

    2cos cos cos

    cos2

    l l k l V k

    r r r

    lV

    r

    Problema 17

    Dos anillos coaxiales finos de alambre de radios R cada uno se encuentran a una pequea distancia luno deotro (l

  • 5/28/2018 Problemas Resueltos Potencial

    18/36

    PROBLEM S RESUELTOS DE POTENCI L ELECTRICO

    18

    1/ 2 1/22 2

    2 2 2 2

    1/2 1/ 22 2

    2 2 2 2

    4 4

    4 4

    l lx R xl x R xl

    V kql l

    x R xl x R xl

    1/ 2 1/ 22 2

    2 2 2 2 2 2 2 22 2

    1/ 2 1/ 22 22 2

    2 2 2 2 2 2 2 2

    1 14( ) 4(

    1 14( ) 4( )

    lx l lx l

    x R x R x R x RkQ x RV

    x R lx l lx l

    x R x R x R x R

    SiR >>l, entonces2

    2 24( )

    l

    x Rentonces se tiene

    1/ 2 1/ 2

    2 2 2 2 2 2

    1/ 22 2 3/ 2

    2

    2 2

    1 1( )

    ( )1 ( )

    lx lx

    kQ x R x R x RV x R lx

    x R

    Usando el binomio de newton tenemos

    2 2 2 2 2 2

    1/22 2 3/ 2

    2

    2 2

    1 11 ( ) ... 1 ( ) ...

    ( ) 2 2

    ( )1 ( )

    lx lx

    kQ x R x R x RV

    x R lx

    x R

    Simplificando resulta

    2 2 2 2 2 2

    1/ 22 2 3/ 2

    2

    2 2

    2 2 3/ 2

    0

    1 1( ) ( )

    ( ) 2 2

    ( )1 ( )

    4 ( )

    lx lx

    kQ x R x R x RVx R lx

    x R

    ql xV

    x R

    Problema 18

    Una carga lineal uniforme = 1 /est arreglada en forma de un cuadrado de 6 m de lado, como se muestraen la figura. Determine: (a) El potencial en el punto (0, 0,5 )(b) en el centro del cuadrado; (c) el trabajonecesario para trasladar una carga de 600 desde el punto P hasta el centro del cuadrado.

  • 5/28/2018 Problemas Resueltos Potencial

    19/36

    PROBLEM S RESUELTOS DE POTENCI L ELECTRICO

    19

    Solucin

    Parte (a)El potencial en el punto P debido al elemento diferencial de carga dq = dxes

    2 234 34

    kdq k dxdV

    x x

    El potencial debido a este lado del cuadrado ser la suma (integracin) del potencial diferencial

    3

    23 34

    8,89

    P

    p

    dxV k

    x

    V V

    El potencial debido al cuadrado completo en P ser

    , 4 4(8,89 ) 35,56

    tot P P V V V V

    Parte (b)El potencial en el punto O debido a un lado es

    3

    23 9

    15,84

    O

    O

    dxV k

    x

    V V

    El potencial debido al cuadrado completo en O ser

    , 4 4(15, 84 ) 63, 36tot O P V V V V

    Parte (c)El trabajo es

    , ,

    6

    3

    ( )

    600.10 (63,36 35,56)

    16,68.10

    P O movil tot O tot P

    P O

    P O

    W q V V

    W

    W J

    Problema 19

    Un anillo cargado uniformemente con una carga total de 100C y un radio de 10 cmyace en el planoxyconsu centro en el origen. Una regla de metro tiene una carga puntual de 10C en el extremo marcado con el O y

  • 5/28/2018 Problemas Resueltos Potencial

    20/36

    PROBLEM S RESUELTOS DE POTENCI L ELECTRICO

    20

    una carga puntual de 20C en el extremo marcado con 100 cm. Qu trabajo hay que realizara para transportarla regla de metro desde una distancia muy grande hasta una posicin a lo largo del ejezcon el extremo marcadocon O enz = 0,2 my el otro extremo enz = 1,2 m.

    Solucin

    En la figura se muestra al anillo y a la regla con las cargas puntuales en su posicin final.

    El trabajo realizado para traer la regla con las cargas desde un punto muy alejado y colocarlo en dichaconfiguracin es

    1 22 2 2 2

    9 6 6 9 6 6

    2 2 2 2

    0,1 0,2 0,1 1,2

    9.10 (10.10 )(100.10 ) 9.10 (20.10 )(100.10 )

    0,1 0,2 0,1 1,2

    55,19

    anillo anilloP mov P

    P

    P

    kq kqW q V q q

    W

    W J

    Problema 20

    Una carga lineal de longitudL (m) y densidad de carga uniforme C/m, est situada paralelamente a una lminainfinita la que lleva una densidad superficial C/m2, tal como se indica en la figura. Determine el trabajonecesario para girar la carga lineal un ngulo de 90 hasta situarla sobre el eje z

    Solucin

    Se ha demostrado que el campo elctrico para una distribucin plana infinita es

  • 5/28/2018 Problemas Resueltos Potencial

    21/36

    PROBLEM S RESUELTOS DE POTENCI L ELECTRICO

    21

    02 n

    E e

    r r

    El potencial elctrico ser

    1

    0 0

    0

    0

    0

    . ( ).( )2 2

    2

    ( )2

    2

    f

    i

    V z

    V z

    f i i

    dV E ds k dzk dz

    dV dz

    V V z z

    V cte z

    r rr r

    El trabajo del campo elctrico para traslada el elemento de carga = desde el punto inicial al final, est

    dado por la ecuacin

    ( )i f i f dW dq V V

    Al girar la carga lineal, el elemento de carga = situado a una distanciaydel origen, pasa del potencial = ()al potencial = () = ( + )

    0

    00

    2

    0

    ( )2

    2

    4

    i f i f

    a

    i f

    i f

    dW V V dy ydy

    W ydy

    aW

    Problema 21

    Una distribucin de carga con simetra esfrica cuya densidad est dada por () = C/m3para , y() = 0para , siendo kuna constante. La carga total contenida en la esfera de radioResQ. Determine:(a) el valor d la constante k en funcin de Qy R; (b) la intensidad de campo elctrico en puntos interiores yexteriores de la esfera, y (c) el potencial en la superficie V(R)y el potencial en el origen V(0).

    Solucin

  • 5/28/2018 Problemas Resueltos Potencial

    22/36

    PROBLEM S RESUELTOS DE POTENCI L ELECTRICO

    22

    Parte (a). Se divide a la distribucin volumtrica en elementos de carga en forma de cascaras esfricas de radiory espesor dr, entonces la carga de este elemento diferencial ser

    2 3

    3

    0

    4

    ( ) (4 ) 4

    4R

    dq r dV Ar r dr Ar dr

    Q A r dr

    Q AR

    Despejando el valor de la constante A se tiene

    3

    QA

    R

    Parte (b). Campo para puntos exteriores

    La ley de Gauss nos da

    2

    0 0,

    2

    0

    . (4 )

    4

    enc

    S G

    Q QE ndA E r

    QE

    r

    r r

    Campo para puntos interiores

    La ley de Gauss nos da

  • 5/28/2018 Problemas Resueltos Potencial

    23/36

    PROBLEM S RESUELTOS DE POTENCI L ELECTRICO

    23

    42 3

    00 0,

    2

    4

    0

    4

    . (4 )

    4

    renc

    S G

    Q

    Q RE ndA E r r dr

    QrE

    R

    r r

    Parte (c). Potencial para puntos exteriores

    2

    0

    2

    0 0

    4

    4 4

    V r

    V

    QdV Edr dr

    r

    Q QdV r dr V

    r

    El potencial en la superficie es

    0

    ( )4

    QV R

    R

    Potencial para puntos interiores

    2

    4

    0

    2

    4

    0

    3

    40

    3

    3

    0 0

    3

    3

    0

    4

    4

    4 3

    1

    4 4 3 3

    412

    R

    V r

    V R

    r

    RR

    QrdV Edr dr

    R

    QdV r dr

    R

    Q rV V

    R

    Q Q rV

    R R R

    Q rV

    R R

    El potencial en el centro de la esfera es (r = 0)

    0

    (0)3

    QV

    R

    Problema 22

    Una corteza conductora esfrica de radio interno by radio externo c rodea concntricamente una pequea esferametlica de radio a

  • 5/28/2018 Problemas Resueltos Potencial

    24/36

    PROBLEM S RESUELTOS DE POTENCI L ELECTRICO

    24

    En la figura se muestra al sistema

    Primero se halla el campo elctrico usando la ley de Gauss

    Campo para < <

    2

    0 0,

    0

    . (4 )

    4

    enc

    S G

    Q QE ndA E r

    QE

    r r

    Campo para < <

    2

    0 0,

    0

    . (4 )

    00

    4

    enc

    S G

    Q Q QE ndA E r

    E

    r r

    Campo para >

    2

    0 0,

    0

    3. (4 )

    2

    4

    enc

    S G

    Q Q Q Q QE ndA E r

    QE

    r r

    Potencial elctrico para puntos exteriores

  • 5/28/2018 Problemas Resueltos Potencial

    25/36

    PROBLEM S RESUELTOS DE POTENCI L ELECTRICO

    25

    2

    0

    2

    0

    0 0

    2

    4

    2

    4

    2 1 204 4

    V r

    V

    r

    QdV Edr dr

    r

    QdV r dr

    Q QV Vr r

    El potencial en la superficie del cascaron es

    0

    2

    4C

    QV

    c

    Debido a que el campo en el interior del cascarn es nulo, el potencial permanece constante, entonces

    0

    2

    4b

    QV

    c

    Potencial elctrico para < <

    2

    0

    2

    0

    4

    4

    a

    b

    V a

    V b

    QdV Edr dr

    r

    QdV r dr

    0 0

    0 0 0

    1 1 1

    4 42 1 1 1 1 2

    4 4 4

    a

    a b a b

    b

    a

    Q QV V V V

    r a bQ Q Q

    Vc a b a b c

    Problema 23

    A la distancia rde un filamento largo, cargado con la densidad lineal de carga , se encuentra un dipolo, cuyomomento dipolar elctrico es . Determine la fuerza que acta sobre el dipolo, si el vector se orienta: (a) alo largo del filamento; (b) a lo largo del radio vector .

    Solucin

    Parte (a)En la figura se muestra al alambre y el dipolo

  • 5/28/2018 Problemas Resueltos Potencial

    26/36

    PROBLEM S RESUELTOS DE POTENCI L ELECTRICO

    26

    El campo elctrico para una lnea cargada uniformemente a una distancia res

    02E

    r

    Fuerza sobre la carga positiva

    02

    F qE q ir

    r r r

    La fuerza sobre la carga negativa es

    02

    F qE q ir

    r r r

    La fuerza resultante sobre el dipolo es

    0 02 2

    0

    R

    R

    q qF F F i i

    r r

    F

    r r r r r

    r

    Parte (b)En la figura se muestra al alambre y el dipolo

    La fuerza sobreqes

    02 ( )

    qF qE i

    r a

    r r r

    La fuerza sobre +qes

  • 5/28/2018 Problemas Resueltos Potencial

    27/36

    PROBLEM S RESUELTOS DE POTENCI L ELECTRICO

    27

    02 ( )

    qF qE i

    r a

    r r r

    La fuerza resultante sobre el dipolo es

    0 0

    0 0

    2 ( ) 2 ( )

    1 1 2

    2 2 ( )( )

    R

    R

    q qF F F i ir a r a

    q q aF i i

    r a r a r a r a

    r r r r r

    r r r

    Debido a r >> a,entonces se tiene

    2

    0

    20

    2

    2 1 1

    2

    R

    R

    qaF i

    a ar

    r r

    p

    F r

    r r

    rr

    Problema 24

    Sobre un plano conductor ilimitado cuelga, de un hilo elstico aislante de rigidez K, una pequea bola. Una vezque la bola se carg sta descendixcm, y su distancia hasta el plano conductor lleg a ser igual a l. Determinela carga de la bola.

    Solucin

    En la figura se muestra la disposicin de los elementos segn el enunciado.

    Para resolver el problema usamos el mtodo de imgenes, es decir al colocar la carga +qcerca del plano loselectrones libres de ste se redistribuyen quedando el plano cargado con carga de signo contrario a la cargainductora +q. La lneas de fuerza salen de la carga positiva y terminan e el plano conductor. El plano conductorse comporta como una superficie equipotencial, debido a la simetra de las lneas de fuerza podemosIMAGINAR que las lneas convergen en donde se encuentra la carga imagen q, tal que = .

  • 5/28/2018 Problemas Resueltos Potencial

    28/36

    PROBLEM S RESUELTOS DE POTENCI L ELECTRICO

    28

    Ahora el sistema inicial se reduce a la interaccin entre dos cargas puntuales para ello se traza el DCL de labola con carga +qen donde se observa que sobre ella actan la fuerza elstica ( = )y la fuerza elctrica( = 4 (2)

    ), observe que el peso se desprecia

    Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene

    2

    2

    0

    0

    0

    4 (2 )

    4

    v e sF F F

    qKx

    l

    q l Kx

    Problema 25

    A la distancia lde un plano conductor ilimitado se encuentra una carga puntual q. Qu trabajo se necesitarealizar contra las fuerzas elctricas para separar lentamente esta carga a una gran distancia del plano?.

    Solucin

    En la figura se muestra el plano infinito conjuntamente con la carga +q. Adems se usa el mtodo de imgenespara evaluar el problema, es decir a una distanciaxest qy a la izquierda la carga imagen q = - qa una distanciaidnticax.

  • 5/28/2018 Problemas Resueltos Potencial

    29/36

    PROBLEM S RESUELTOS DE POTENCI L ELECTRICO

    29

    La fuerza elctrica entre la carga +qy la carga imagen ser

    2 2

    2 2

    0 04 (2 ) 16

    e

    q qF i i

    x x

    r r r

    El trabajo necesario ser

    2

    2

    0

    2 22

    0 0

    2

    0

    . .16

    1

    16 16

    16

    i el l

    il

    l

    i

    qW F ds i dxi

    x

    q qW x dx

    x

    qW

    l

    r r rr

    El trabajo hecho por un agente externo es

    2

    ,

    016agen i campo

    qW W

    l

    Problema 26

    Las carga puntuales +qy qse sitan a la distancia luna de la otra y a unas distancias idnticas l/2de unmismo lado de un plano conductor ilimitado. Determine el mdulo del vector fuerza sobre la carga positiva +q.

    Solucin

    En la figura se muestra la ubicacin de las cargas y el plano infinito

    Las cargas imagen se muestra en la figura

  • 5/28/2018 Problemas Resueltos Potencial

    30/36

    PROBLEM S RESUELTOS DE POTENCI L ELECTRICO

    30

    La fuerzas elctricas sobre +q sern

    2

    1 2

    04

    qF i

    l

    r r

    2

    2 204

    qF j

    l

    r r

    2

    2 2

    04

    qF j

    l

    r r

    2 2

    3 2 2

    0 0

    2 2

    3 2 2

    0 0

    2 2

    3 2 2 2 2

    0 0

    cos4 ( 2) 4 ( 2)

    4 ( 2) 2 4 ( 2) 2

    4 (2 ) 2 4 (2 ) 2

    q qF i sen j

    l l

    q l q l F i j

    l l l l

    q qF i j

    l l

    r r r

    r r r

    r r r

    La fuerza elctrica resultante es

    2

    2

    0

    21 ( )

    4 4R

    qF i j

    l

    r r r

    El mdulo de la resultante ser

    2

    2

    0

    (2 2 1)8

    R

    qF

    l

    r

    Problema 27

    Entre dos semiplanos conductores mutuamente perpendiculares se encuentra una carga puntual +q, distante unadistancia lde ambos. Determine la fuerza elctrica que acta sobre la carga

    Solucin

    En la figura se muestra la ubicacin de la carga y los planos

  • 5/28/2018 Problemas Resueltos Potencial

    31/36

    PROBLEM S RESUELTOS DE POTENCI L ELECTRICO

    31

    La carga +qinduce cargas en los planos de tal manera que estos se comportan como superficies equipotenciales,entonces se traza las cargas imgenes como se muestra en la figura.

    La fuerzas elctricas sobre +q sern

    2

    1 2

    04 (2 )

    qF i

    l

    r r

    2

    1 2

    04 (2 )

    qF j

    l

    r r

    2 2

    3 2 20 0

    cos4 (2 ) 4 ( 2)

    q qF i sen j

    l l

    r r r

    2 2

    3 2 2

    0 0

    2 2

    3 2 2 2 2

    0 0

    2 2

    4 ( 8) 8 4 ( 8) 8

    2 2

    4 (8 ) 8 4 (8 ) 8

    q l q l F i j

    l l l l

    q qF i j

    l l

    r r r

    r r r

    La fuerza elctrica resultante es

    2

    2

    0

    1 8 ( )16 8

    R

    qF i j

    l

    r r r

    El mdulo de la resultante ser

  • 5/28/2018 Problemas Resueltos Potencial

    32/36

    PROBLEM S RESUELTOS DE POTENCI L ELECTRICO

    32

    2

    2

    0

    (2 2 1)32

    R

    qF

    l

    r

    Problema 28

    Una carga puntual +qse encuentra a la distancia lde un plano conductor ilimitado. Determine la densidadsuperficial de cargas, inducidas en el plano, en funcin de la distancia rdesde la base de la perpendicular bajadade la carga al plano.

    Solucin

    En la figura se muestra al plano, la carga +qy la carga imagen correspondiente, y un punto arbitrario del espacioen donde se halla el potencial.

    El potencial electrosttico en el punto P ser

    0 0 0

    1 1

    4 4 4

    q q qV

    r r r r

    2 2 2 2 2 20

    1 14 ( ) ( )

    qVx l y z x l y z

    La densidad superficial es

    0 0 0

    0

    yz x

    x

    VE

    x

    2 2 2 1/ 2 2 2 2 1/ 2

    0 (( ) ) (( ) )

    yz q x l y z x l y z

    x

    0 2 2 2 3/ 2 2 2 2 3/ 2

    0(( ) ) (( ) )

    yz

    x

    x l x lq

    x l y z x l y z

    Remplazandox = 0

  • 5/28/2018 Problemas Resueltos Potencial

    33/36

    PROBLEM S RESUELTOS DE POTENCI L ELECTRICO

    33

    2 2 2 3/2 2 2 2 3/2

    2 2 3/2

    4 ( ) ( )

    2 ( )

    yz

    yz

    q l l

    l y z l y z

    q l

    l r

    Problema 29

    Un hilo fino de longitud ilimitada tiene una carga por unidad de longitud y se sita paralelamente a un planoconductor infinito. la distancia entre el hilo y el plano es igual a l. Determine: (a) el mdulo del vector de lafuerza que acta por unidad de longitud del hilo; (b) La distribucin de la densidad superficial de carga ()en el plano, dondexes la distancia hasta el plano perpendicular a la superficie conductora y que pasa a travsdel hilo.

    Solucin

    En la figura se muestra las dos distribuciones de carga

    Para determinar la fuerza se usa el mtodo de imgenes, para esto el plano se considera como una superficieequipotencial. Entonces la fuerza que la carga ejerce sobre la placa es del mismo valor pero de sentidocontrario a la fuerza que la placa (o la imagen q) ejerce sobre la carga

    Parte (a)Fuerza entre la carga imagen y la carga +. Para ello determinamos el campo elctrico por lacarga imagen en el punto de ubicacin de la carga lineal positiva

    0 02 2 (2 )

    E i ir l

    r r r

    0

    2

    0

    2 (2 )

    4

    F L il

    Fi

    L l

    r r

    r

    r

  • 5/28/2018 Problemas Resueltos Potencial

    34/36

    PROBLEM S RESUELTOS DE POTENCI L ELECTRICO

    34

    Parte (b) Para determinar la densidad superficial de carga se determina primero el potencial en un puntoarbitrario

    0

    2 22 2 2 2

    0

    (ln ln )2

    ln( ) ln2

    V r r

    V x l y z x l y z

    La densidad de carga superficial es

    0 0 0

    0

    2 2 2 1/2 2 2 2 1/ 2

    0

    0

    2 2 2 2 2 2

    0

    ln[( ) ] ln[( ) ]2

    ( ) ( )

    2 [( ) ] [( ) ]

    yz x

    x

    yz

    yz

    x

    VE

    x

    x l y z x l y zx

    x l x l

    x l y z x l y z

    2 2 2 2 2 2

    2 2

    2 ( ) ( )

    ( )

    yz

    yz

    l l

    l y z l y z

    l

    l r

    Problema 30

    Un anillo de alambre fino de radio R tiene una carga q. El anillo se sita paralelamente a un plano conductorilimitado a la distancia l, determine el potencial y la intensidad de campo elctrico en el centro del anillo.

    Solucin

    En la figura se muestra las distribuciones conjuntamente con la carga imagen que en este caso es un anillo quelleva una cargaq.

    Primero determinamos el potencial en el centro del anillo positivo en este caso el plano es sustituido por lacarga imagen.

    2 2 20

    11

    44 21

    O

    kq kq qV

    R RR l l

    R

  • 5/28/2018 Problemas Resueltos Potencial

    35/36

    PROBLEM S RESUELTOS DE POTENCI L ELECTRICO

    35

    El campo elctrico ser

    1/ 22

    0

    3/ 22

    0

    3/ 22

    0

    21 1

    4

    1 21 44 2

    21

    2

    V q lE

    l R l R

    q lE lR R

    ql lE

    R R

    Problema 31.

    El eje de las xes el eje de simetra de un anillo estacionario uniformemente cargado de radio Ry de carga Q,vase la figura. Inicialmente en el centro del anillo se ubica una carga puntual Qde masaM. Cuando sta esdesplazada ligeramente, la carga puntual se acelera a lo largo del ejexhacia el infinito. Demuestre que la rapidezfinal de la carga puntual es = ( )/.

    Solucin

    Primero se determina el potencial elctrico en cualquier punto P sobre el eje x. Para esto se divide la distribucin enelementos de carga dq, tal como se muestra en la figura y est dado por

    2

    Qdq dS ds

    R

    El potencial en P debido a la distribucin es

    2 20 0 0

    2

    4 4 4

    QdS

    dq dS RdVr r R x

  • 5/28/2018 Problemas Resueltos Potencial

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    PROBLEM S RESUELTOS DE POTENCI L ELECTRICO

    36

    El potencial neto se obtiene integrando la ecuacin anterior, es decir

    2 2 2 20

    0 0

    2 2 (2 )4 4

    S

    x

    Q Q

    R RV dS RR x R x

    2 2

    04

    x

    Q

    V R x

    El potencial en el centro del anillo ser

    ( 0)

    04x

    QV

    R

    Debido a que la fuerza elctrica es una fuerza conservativa, entonces, se aplica la conservacin de la energa para determinarla inquietud solicitada en el enunciado, esto es

    , ,

    2 2

    2 2

    0 0

    22

    0

    2

    0

    1 1

    2 2

    1 1

    2 2

    10 (0)

    4 2

    2

    i e i f e f

    i i f f

    T U T U

    Mv QV Mv QV

    Mv QV Mv QV

    QMv Q

    R

    Qv

    MR