Problemas de Series y Transformadas de Fourier MMF II: Grupo I ...

37

Transcript of Problemas de Series y Transformadas de Fourier MMF II: Grupo I ...

Page 1: Problemas de Series y Transformadas de Fourier MMF II: Grupo I ...

������������ ��������������������� ����! "�#���� ��� �����%$���&������

'('()(*+*-,�.�/-021435*-687�9;:"<>=@?BADCFE-G;:IHJ�K L E"9;ADM�N�:PO@E"9RQSA

TUV���W�XB

Y[Z .]\_^!\`/-a@bdcde!a@e!\_f gh = h =57�9;:ji K ADklEjQl=�=m=�=m=�=m=�=�=m=�=m=�=m=�=�=m=�=m=�=m=�=�=m=�=m=�=m=�=�=m= n

g Z]o apfq\`/-cd\�rD/-cds[3[^!3[tvu\`rD/-cdwjaWe!\W)23[02/-cd\`/ xy = h =�z4:jC L AD9;{jADCF|}~E��@�@C`G;�FE K OPA K E�QSAD9;} A�OPA��@:j�@9;} AD9�=m=�=�=m=�=m=�=m=�=�=m=��y = y =�z4:jC L AD9;{jADCF|}~E��@C@} <�:j9;k�A�OPA K E�QSAD9;} A�OPA��@:j�@9;} AD9�=�=�=m=�=m=�=m=�=�=m=��y = n@=57�9;:ji K ADklEjQl=�=m=�=m=�=m=�=�=m=�=m=�=m=�=�=m=�=m=�=m=�=�=m=�=m=�=m=�=�=m= �

x Z]� 1�bdcdwja@wjcd3[^!\_f�apbda�/-\_fq3[bd0!wjc`u3[^�e!\W���]��f �n@= h =5�2E�Aq|�FEj|} H:jC]OPA�:jCFO@EjQ�=�=�=m=�=m=�=m=�=�=m=�=m=�=m=�=�=m=�=m=�=m=�=�=m= �

n@= h = h =�7�9;:ji K ADklEjQ�=�=m=�=�=m=�=m=�=m=�=�=m=�=m=�=m=�=�=m=�=m=�=m=�=�=m= �n@= y =5�2E�Aq|�FEj|} H:jC]OPA K |DE K :j9�=�=�=m=�=m=�=m=�=�=m=�=m=�=m=�=�=m=�=m=�=m=�=�=m= �

n@= y = h =�7�9;:ji K ADklEjQ�=�=m=�=�=m=�=m=�=m=�=�=m=�=m=�=m=�=�=m=�=m=�=m=�=�=m= hjhn@= n@=5� K �@9;:ji K ADklE�OPA���} 9;}~|R� K AG�ADC�OP:`QBOP} k�ADCFQS} :jC@AqQ�=m=�=�=m=�=m=�=m=�=�=m= hjh

n@= n@= h =�� K �@9;:ji K ADklE�OPA���} 9;}~|R� K AGBADC�A K |�FEjOP9REjOP:v=�=m=�=m=�=m=�=�=m= hjhn@= n@= y =�� K �@9;:ji K ADklE�OPA���} 9;}~|R� K AGBADC�A K | H� 9R|� K :�=�=�=m=�=m=�=m=�=�=m= h nn@= n@= n@=�7�9;:ji K ADklEjQ�=�=m=�=�=m=�=m=�=m=�=�=m=�=m=�=m=�=�=m=�=m=�=m=�=�=m= h �

n@= �F=5�4|�FEj|} H:jC]OPA K G;A K HAD{j9RE-<�:�=�=m=�=m=�=m=�=�=m=�=m=�=m=�=�=m=�=m=�=m=�=�=m= h ��2Z ��3[bdcd^!3[t�cd3[f�3F/+rq3[s[3[^!a@bd\_f YP��F= h =��_}~Q>G;ADklEjQ�:j9SG;:j{j:jCFE K AqQ�=�=�=m=�=m=�=m=�=�=m=�=m=�=m=�=�=m=�=m=�=m=�=�=m= hq �F= y =5�V:`Q¡�[: K } C@:jk�} :`Q�:j9SG;:j{j:jCFE K AqQ¢=m=�=m=�=�=m=�=m=�=m=�=�=m=�=m=�=m=�=�=m= h �

£¤Z]o 3[f�143[bdcd^!3[t�cd3[f�3F/+rq3[s[3[^!a@bd\_f�wjbjua@fqcdwj3[f YP¥�P= h =5�2E�Aq|�FEj|} H:jC]OP} <�AD9;ADCF|}~E K �@} �[AD9;{jAD:jk HAG;9;}~|DE@=�=m=�=m=�=�=m=�=m=�=m=�=�=m= h ��P= y =5�V:`Q�7�: K } C@:jk�} :`Q�OPA�¦�AD9;k�} G;Aj6F�2E"{j�@AD9;9;A�§]¨`Ej|:ji@}©=ª=�=m=�=m=�=m=�=�=m= yPh

�P= y = h =�7�E"9 HE"k�AG;9;:`Q¡7�9;} CF|} �FE K AqQD=�=m=�=�=m=�=m=�=m=�=�=m=�=m=�=m=�=�=m= yPh�P= y = y =�?BAD�@9;AqQSADC`GREj|} H:jC��@} �[AD9;{jAD:jk HAG;9;}~|DE@=«=m=�=m=�=�=m=�=m=�=m=�=�=m= yjy�P= y = n@=(z¡EjQS:`Q¡�FE"9SG;}~|� K E"9;AqQD=�=�=m=�=m=�=�=m=�=m=�=m=�=�=m=�=m=�=m=�=�=m= y n�P= y = �F=(¬�G;9REjQ�|DE"9REj|­G;AD9 H� Q>G;}~|DEjQD=[=m=�=m=�=�=m=�=m=�=m=�=�=m=�=m=�=m=�=�=m= y �

�P= n@=57�9;:ji K ADklEjQl=�=m=�=m=�=m=�=�=m=�=m=�=m=�=�=m=�=m=�=m=�=�=m=�=m=�=m=�=�=m= y ��P= �F= J � K }~|DEj|} :jC@AqQ�=m=�=m=�=m=�=�=m=�=m=�=m=�=�=m=�=m=�=m=�=�=m=�=m=�=m=�=�=m= y �

�VZ]® /-a@^!fq¯°3F/-t�a@e!a@flcd^±rq\_sF/-a@bd\_f x[²  = h =5�2E#G;9RE"CFQ><�:j9;klEjO@E#OPA��@:j�@9;} AD9³=m=�=m=�=�=m=�=m=�=m=�=�=m=�=m=�=m=�=�=m=�nj´

  = h = h =�7�9;:j�@} AqO@EjOPAqQ�OPA K E�µ29RE"CFQ><�:j9;klEjO@E#OPA��@:j�@9;} AD9�=�=m=�=m=�=�=m=�n h  = h = y =�7�9;:ji K ADklEjQ�=�=m=�=�=m=�=m=�=m=�=�=m=�=m=�=m=�=�=m=�=m=�=m=�=�=m=�n y

  = y =5�2E#G;9RE"CFQ><�:j9;klEjO@E#OPA��2E"� K Ej|A�=m=�=m=�=�=m=�=m=�=m=�=�=m=�=m=�=m=�=�=m=�njn  = n@=57�9;:ji K ADklEjQl=�=m=�=m=�=m=�=�=m=�=m=�=m=�=�=m=�=m=�=m=�=�=m=�=m=�=m=�=�=m=�n"�

¶P·_·`¸�¹;º_º`»"¼[½`»j¾¡¿°¼±À�¿>»@À`ºPÁ+¾P»"Â@Ãj·@Ä_ºPÅj½`Ã@À"»@À!¿°¶P·-Ƥ½

h

Page 2: Problemas de Series y Transformadas de Fourier MMF II: Grupo I ...

Ç#È É ������ ��D��� �����

�]\`Ê�^!cdwjc`u3[^ Y[ZdYÌˤÍ�Î-ÏdÐRÍ�ÑÒFÍ�ÒPÓ�Í­Ô©ÕFÖjÐÏd×�Ø-ÍRÐÙÚ×-Û­ÏdÖ-Ü`Ý�Í­Ô�ÒPÓ�Í­Ô©ÕFÖjÐÏd×lÍÒFÐÜRÞß ÎjÍR×�Ô­Ï�ÎjÖ-àÎj×+Ô�Îj×+ÔmÍÜ ÍálÍÓFÙÚ×+Ô�ÐÒFÖ-Ü Í­ÔDÑÒPÏdÍÛ;Ö�â2ãSä�å�Ý«Í;æjÏ~Ô­ÙÚÍ�ÒPÓ]Ó�ÞÒPálÍÛ;×�ÎjÍÓ±×-á�ÏçÓ±ÖjÎj×�Õ±Û;×qÎ-ÒFÐÙÚ×Í­ÔDÐRÖ-Ü Ö-Û�è�ÑÒFÍ�ÎjÍÓ±×-ÙÚÖ-Û;Íál×+Ô¡ÕF×-Û#é�â2ãSä@ê�ÙÚÖ-Ü!ÑÒFÍëjì%í Ö-Û;ÖlÙÚ×qÎj×+Ô�â2ãSä�å�Ý�îmé�â2ãSä@ê�ï(é�ä±ãSâ±ê ìð_ì%í Ö-Û;ÖlÙÚ×qÎj×+Ô�â2ãSä±ã;ñ�å�Ý�î�é�â�ò5ä±ã;ñ_ê�ï(é�â2ã;ñ_êVòóé�ä±ã;ñ_ê ìô`ì%í Ö-Û;ÖlÙÚ×qÎj×+Ô�â2ãSä�å�Ý(è#õ�å�ö�î4é©õ@â2ãSä@ê4ïªõ2é�â2ãSä@ê÷[ì%í Ö-Û;ÖlÙÚ×qÎj×�â�å�Ý�î4â5øï ´ î4é�â2ãSâ±ê�ù ´ è�Ô­Ï�é�â2ãSâ±ê¡ï ´ î¡ÍÓFÙÚ×-Ó±ÐRÍ­Ô�â�ï ´ ì�]\`Ê�^!cdwjc`u3[^ Y[Z gûú Ó�Í­Ô©ÕFÖjÐÏd×�Ø-ÍRÐÙÚ×-Û­ÏdÖ-ÜVü�ÔDÍýÎjÍÓ±×-á�ÏçÓ±Ö�Í­Ô©ÕFÖjÐÏd×WÓ±×-Û­álÖjÎj×]Ô­Ï2ÕFÖ-Û;ÖÙÚ×qÎj×ýâªåþÝ�Í;æjÏ~Ô­ÙÚÍýÒPÓ�Ó�ÞÒPálÍÛ;×WÛ;ÍRÖ-Ü�ÎjÍÓ±×-á�ÏçÓ±ÖjÎj×pÓ±×-Û­álÖWèpÑÒFÍ�ÎjÍÓ±×-ÙÚÖ-Û;Íál×+Ô�ÕF×-Ûÿ â ÿ ÑÒFÍ�ÐÒPá�Õ±Ü Í�ÐR×-Ó�Ü Ö+Ô#ÐR×-Ó±Î-ÏdÐÏd×-ӱͭÔëjì%í Ö-Û;ÖlÙÚ×qÎj×�â�å]ümî ÿ â ÿ�� ´ è ÿ â ÿ ï ´ ÍÓFÙÚ×-Ó±ÐRÍ­ÔBâ]ï ´ ìð_ì%í Ö-Û;ÖlÙÚ×qÎj×�â�å]üvè#õ�å�ö�î ÿ õ@â ÿ ï�� õ�� ÿ â ÿ îô`ì%í Ö-Û;ÖlÙÚ×qÎj×+Ô�â2ãSä�å]üIÔDÍ�Ù©ÏdÍÓ±Í�Ü Ö]ÎjÍ­Ô­Ï �"ÒFÖ-Ü ÎjÖjÎ�Ù©Û­ÏdÖ-Ó��"ÒPÜ Ö-Û

ÿ â�ò5ä ÿ���ÿ â ÿ ò ÿ ä ÿ � h ��]\`Ê�^!cdwjc`u3[^ Y[Z x�� ÖjÎj×lÒPÓWØ-ÍRÐÙÚ×-Û�âWå]ü ÎjÍ���ÓFÏçÛ;Íál×+Ô�Ü Ö�ÔDÍÛ­ÏdÍ�ÎjÍ��2×-ÒPÛ­ÏdÍÛ�Û;Í­Ô©ÕFÍRÐÙÚ×Ö-ܤԭÏ~Ô­ÙÚÍálÖ������������� ÖlÜ ÖlÔDÍÛ­ÏdÍ

� � ï �!�����#" �$���±ã � y%�Îj×-Ó±ÎjÍ#Ü ×+Ô#ÐR×qÍ��¡ÐÏdÍÓFÙÚÍ­Ô�ØqÏdÍÓ±ÍÓ ÎjÖjÎj×+ÔBÕF×-Û�Ü Ö+Ô#Í;æ­Õ±Û;Í­Ô­Ïd×-ӱͭÔ

" �lï é�â2ã&���Fêÿ ��� ÿ(' ã*),+ � h � n �

�]\`Ê�^!cdwjc`u3[^ Y[Z � � ÖjÎjÖ -Wå]ü�ÔDÍ�Î-ÏdÐRÍ�è�ÒPÓ±Ö�Ô­ÒFÐRÍ­Ô­Ï@Þ×-Ó � �±î!ÔDÍ�Î-ÏdÐRÍ#ÑÒFÍ � � ÐR×-ÓFØ-ÍÛ.�`ÍÍÓ�Ó±×-Û­álÖ�Ö/-�Ô­Ï

K H� k�%0 � ÿ -21 � � ÿ ' ï ´ � � �® \_3F/-\_t�a Y[Zç£�ˤÍRÖ4ü3��ÍÜjÔ­Ò54RÍ­Ô©ÕFÖjÐÏd×�Ü ÏçÓ±ÍRÖ-ÜPÎjÍ!ü6�`ÍÓ±ÍÛ;ÖjÎj×�ÕF×-Û4Ü ×+Ô�Ø-ÍRÐÙÚ×-Û;Í­Ô7��8�+ã&� ' 99 ã&���,�jî+på;:4î�Ï ì Í ì î!ü3��Í­Ô�Ü Ö�ÍÓFØ-×-Ü Ø-ÍÓFÙÚÍ�Ü ÏçÓ±ÍRÖ-Ü �_�FE"C � �8�-ã&� ' 99 ã&��� �Dì=< ÓFÙÚ×-Ó±ÐRÍ­Ô

k H� C>&?@8A � � â21CB$� � ' ïD� � âE� � ' 1 �!F �8G " ' F ÿ � F ÿ 'Îj×-Ó±ÎjÍ " F ÔD×-ÓWÜ ×+Ô#ÐR×qÍ��¡ÐÏdÍÓFÙÚÍ­Ô�ÎjÍ���ÓFÏdÎj×+Ô�ÍÓIH ôKJ è�ÔDÍ#Ö-Ü ÐRÖ-Ó#LqÖ]ÐÒFÖ-Ó±Îj×MB�Í­Ô�Ü Ö�Ô­ÒPálÖÕFÖ-Û;ÐÏdÖ-Ü�ÎjÍ#Ü Ö�ÔDÍÛ­ÏdÍ�ÎjÍ��2×-ÒPÛ­ÏdÍÛ�H ð(J

B�ï � � � ï �!F ��� " F � F y

Page 3: Problemas de Series y Transformadas de Fourier MMF II: Grupo I ...

NPOQNPOSRUT$V7W�XZY\[^]P_�m/-35`�bd\_t�a Y[ZdY � Íá�ÒFÍ­Ô­Ù©Û;ÖýÑÒFÍ#ÍÓpÍÜ!Í­Ô©ÕFÖjÐÏd×]ÎjÍ�Ü Ö+Ô7aRÒPÓ±ÐÏd×-ӱͭÔ#ÐR×-ÓFÙ©ÏçÓFÒFÖ+Ô�ÎjÍ���ÓFÏçàÎjÖ+Ô�ÍÓUb c[ã&dfe

é.-[ãZg@ê�ïihkjl - � â � g � â �Zm âÎjÍ���Ó±Í�ÒPÓ�Õ±Û;×qÎ-ÒFÐÙÚ×�Í­ÔDÐRÖ-Ü Ö-Û ì�m/-35`�bd\_t�a Y[Z gn� Íá�ÒFÍ­Ô­Ù©Û;ÖBÜ ÖmÎjÍ­Ô­Ï �"ÒFÖ-Ü ÎjÖjÎ�ÎjÍ�o�Ö-ÒFÐ&p_è-à°Ë¤Ð&p�q4Ö-ÛfL3� é.-[ãZg@ê9� ' � é.-[ã&-¤êérg±ãZg@êè�ÑÒFÍ�Ü ÖlÏ �"ÒFÖ-Ü ÎjÖjÎýÔ�Þ×-Ü ×ýÙ©ÏdÍÓ±Í�Ü Ò%�`Ö-Û�Ô­Ï\- � â � ïts=g � â �Dìo�×-á�Õ±Û­ÒFÍu4RÖ+îBÒPÙ©ÏçÜ Ï LqÖ-Ó±Îj×�Ü ×�Ö-ÓFÙÚÍÛ­Ïd×-ÛRî�ÑÒFÍýÍ�aÍRÐÙ©ÏçØ-Ö-álÍÓFÙÚÍ�ÍÓ�Ý�î ÿ - ÿ ïwv é.-[ã&-¤êÎjÍ���Ó±Í�ÒPÓ±Ö�Ó±×-Û­álÖ ì�m/-35`�bd\_t�a Y[Z x�� Íá�ÒFÍ­Ô­Ù©Û;Ö�Ü ÖlÎjÍ­Ô­Ï �"ÒFÖ-Ü ÎjÖjÎýÎjÍ�x�Í­ÔRÔDÍÜ �!F �8G " ' F ÿ � F ÿ ' �«ÿ â ÿ ' î�Îj×-Ó±ÎjÍ" F ÔD×-Ó�Ü ×+Ô�ÐR×qÍ��¡ÐÏdÍÓFÙÚÍ­Ô�ÎjÍ �2×-ÒPÛ­ÏdÍÛ#ÎjÍ�- ì

ú ÔDÖ-Ó±Îj×�Ü ×�Ö-ÓFÙÚÍÛ­Ïd×-Û�Õ±Û­ÒFÍu4RÖ�ÑÒFÍlÜ Ö�ÔDÍÛ­ÏdÍ]ÎjÍy�2×-ÒPÛ­ÏdÍÛ�ÐR×-ÓFØ-ÍÛ.�`Í]ÍÓ�Ó±×-Û­álÖ�Ô­ÏBèÔ�Þ×-Ü ×lÔ­ÏEz ����8G � " �\� ' ÿ � F ÿ ' ï ÿ â ÿ ' ì={ ÖýÏ �"ÒFÖ-Ü ÎjÖjÎ�Ö-ÓFÙÚÍÛ­Ïd×-Û�ÔDÍ�ÎjÍÓ±×-á�ÏçÓ±Ö�ÏdÎjÍÓFÙ©ÏdÎjÖjÎ�×Ï �"ÒFÖ-Ü ÎjÖjÎ�ÎjÍ í Ö-ÛRÔDÍØ-Ö-Ü ì�m/-35`�bd\_t�a Y[Z � í Û­ÒFÍu4RÖ�ÑÒFÍ�Ô­Ï4ÙÚ×qÎj×#â å�Ýi|óümî!â�ï �!F ��� é�â2ã&� F êÿ � F ÿ(' � F îBÍÓFÙÚ×-Ó±ÐRÍ­Ô�ÔDÍÙ©ÏdÍÓ±Í�ÕFÖ-Û;ÖlÙÚ×qÎj×�â�å]Ý}|�üIÜ ÖýÏ �"ÒFÖ-Ü ÎjÖjÎ�ÎjÍ í Ö-ÛRÔDÍØ-Ö-Ü ìí Û­ÒFÍu4RÖ�ÑÒFÍ�Ô­Ï!Í­Ô�ÐÏdÍÛ­ÙÚÖ�Ü Ö#Ï �"ÒFÖ-Ü ÎjÖjÎlÎjÍ í Ö-ÛRÔDÍØ-Ö-ܱè#é�â2ã&� F ê�ï ´ ÕFÖ-Û;Ö#ÙÚ×qÎj×�~�å;:ÍÓFÙÚ×-Ó±ÐRÍ­Ô�â�ï ´ ì

�lÈ � ��!����������(�#������� T������XB ��%$���&������

�]\`Ê�^!cdwjc`u3[^óg ZdY � ÖjÎjÖ�ÒPÓ±Ö�aRÒPÓ±ÐÏ@Þ×-Ó�ÎjÍýÐÒFÖjÎ-Û;ÖjÎj×�ÏçÓFÙÚÍ��"Û;Ö%4Ü Ílè�ÕFÍÛ­Ï@Þ×jÎ-ÏdÐRÖ�- � â � ÍÓb 1���ãQ� � ÎjÍ���ÓFÏçÛ;Íál×+Ô�Ü Ö�ÔDÍÛ­ÏdÍ�Ù©Û­Ï �`×-Ó±×-áªÞÍÙ©Û­ÏdÐRÖ]ÎjÍ �2×-ÒPÛ­ÏdÍÛ¡ÕF×-Û� � â � ï c�Gy ò �!����� c�� |:`Q � +¤â � òkdK� QS} C � +¤â � ã � � �

Îj×-Ó±ÎjÍ#Ü ×+Ô#ÐR×qÍ��¡ÐÏdÍÓFÙÚÍ­Ô�ØqÏdÍÓ±ÍÓ ÎjÖjÎj×+ÔBÕF×-Û�Ü Ö+Ô#Í;æ­Õ±Û;Í­Ô­Ïd×-ӱͭÔc��lï h� hI�� � - � â � |:`Q � +¤â �Zm â2ã�dK�lï h� hI�� � - � â � QS} C � +¤â �Zm â2ã �  ��

ÕFÖ-Û;ÖM+ � ´ ì=� Ü ÖlÔ­ÒPálÖ� � � â � ï c�Gy ò �!F ��� c F |:`Q � ~_â � òkd F QS} C � ~_â �

Ü Ö�ÎjÍÓ±×-á�ÏçÓ±Ö-Û;Íál×+Ô�Ô­ÒPálÖ�ÕFÖ-Û;ÐÏdÖ-Ü�ÎjÍ#Ü Ö�ÔDÍÛ­ÏdÍ ì

n

Page 4: Problemas de Series y Transformadas de Fourier MMF II: Grupo I ...

��OQNPO���V�����Y=T$�7Y\���8�Z]��������$�3]PXy�3Y�XZ]�_�Y=T5�ZY��3Y���V��3T5�ZY=T�]\`Ê�^!cdwjc`u3[^óg Z gn� ÏçÛ;Íál×+ÔlÑÒFÍ�ÒPÓ±Ö�aRÒPÓ±ÐÏ@Þ×-Ó�- � â � ÐÒPá�Õ±Ü ÍlÜ Ö+ÔýÐR×-Ó±Î-ÏdÐÏd×-ӱͭÔ�ÎjÍ � ÏçàÛ­ÏdÐ&p_Ü ÍÙ�ÍÓpÍÜVÏçÓFÙÚÍÛ­Ø-Ö-Ü × � 1���ãQ� � Ô­Ï��ëjì�{ Ö�aRÒPÓ±ÐÏ@Þ×-Ó -�Í­Ô­Ù±ÞÖ�ÒPÓFÏ a×-Û­álÍálÍÓFÙÚÍ#ÖjÐR×-ÙÚÖjÎjÖ�ÍÓ � 1���ãQ� �&¡ ×#ÔDÍRÖ+î�Ô­Ï�Í;æjÏ~Ô­ÙÚÍmÒPÓ±Ö

ÐR×-Ó@Ô­ÙÚÖ-ÓFÙÚÍ¡ÕF×+Ô­ÏçÙ©ÏçØ-Ö£¢�ÙÚÖ-Ü!ÑÒFÍ£� - � â � � � ¢ ÕFÖ-Û;ÖlÙÚ×qÎj×�â�å � 1���ãQ� �ð_ì�{ ÖMaRÒPÓ±ÐÏ@Þ×-ÓC-ªÔ�Þ×-Ü ×WÙ©ÏdÍÓ±ÍýÒPÓ�Ó�ÞÒPálÍÛ;×M��ÓFÏçÙÚ×WÎjÍ�Õ±ÒPÓFÙÚ×+ÔýÎjÍ�Î-Ï~ÔDÐR×-ÓFÙ©ÏçÓFÒPÏdÎjÖjÎ�è

ÙÚ×qÎj×+Ô#ÍÜçÜ ×+Ô�ÎjÍ�Ó±Ö-Ù©ÒPÛ;Ö-Ü Í&LqÖ�ÍØqÏçÙÚÖ%4Ü Í­îBÍ­Ô#ÎjÍRÐÏçÛ9�K H� k¤ 0�G - � â5G31C¥ � ï K H� k¤ 0�G - � â5G�òk¥ � 㦥�ù ´ ã�)±â5G�å � 1���ãQ� �

ô`ì�{ Ö3aRÒPÓ±ÐÏ@Þ×-Ó;- � â � Ù©ÏdÍÓ±Í�ÒPÓWÓ�ÞÒPálÍÛ;×���ÓFÏçÙÚ×ýÎjÍ�Í;æjÙ©Û;Íál×+Ô�Í­Ô­Ù©Û­ÏdÐÙÚ×+Ô ì® \_3F/-\_t�a g Z x Ë[Ï!ÒPÓ±Ö§aRÒPÓ±ÐÏ@Þ×-Ó�ÐÒPá�Õ±Ü Í�ÐR×-Ó�Ü Ö+Ô�ÐR×-Ó±Î-ÏdÐÏd×-ӱͭÔ�ÎjÍ � ÏçÛ­ÏdÐ&p_Ü ÍÙ�ÍÓ�ÍÜ[ÏçÓFàÙÚÍÛ­Ø-Ö-Ü × � 1���ãQ� � ÍÓFÙÚ×-Ó±ÐRÍ­Ô]ÍÓóÐÒFÖ-Ü ÑÒPÏdÍÛ�Õ±ÒPÓFÙÚ× ÎjÍWÍ­ÔDÍ]ÏçÓFÙÚÍÛ­Ø-Ö-Ü ×5ÍÓóÑÒFÍy- � â � ÔDÍRÖÐR×-ÓFÙ©ÏçÓFÒFÖ ÞÍ­Ô­ÙÚÖ�ÔDÍmÕ±ÒFÍRÎjÍ]ÎjÍ­ÔDÖ-Û­Û;×-ÜçÜ Ö-Û�ÍÓ�Ü Ö�ÔDÍÛ­ÏdÍ]ÎjÍy�2×-ÒPÛ­ÏdÍÛ¨HZ© J îmÎj×-Ó±ÎjÍýÜ ×+Ô]ÐR×qÍ���àÐÏdÍÓFÙÚÍ­Ô�ØqÏdÍÓ±ÍÓ ÎjÖjÎj×ýÕF×-Û�HQª Jjì§� ÎjÍá�ÞÖ+ÔRî�Ü ÖWÔDÍÛ­ÏdÍ�ÐR×-ÓFØ-ÍÛ.�`Í�ÍÓ ÐRÖjÎjÖýÕ±ÒPÓFÙÚ×ýâ(Ö�Ü ÖÔDÍá�Ï~Ô­ÒPálÖ5ÎjÍ�Ü ×+Ô�ÜRÞß á�ÏçÙÚÍ­Ô�Ü Ö-ÙÚÍÛ;Ö-Ü Í­ÔRî#×pÔDÍRÖýÕFÖ-Û;Ö ÙÚ×qÎj×�â«å � 1���ãQ� � èýÕFÖ-Û;Ö¨¥Wù ´ÙÚÍÓ±Íál×+Ô9�

K H� k« 0 � � � � â � ï K H� k¤ 0�G - � â21C¥ � òk- � â�òI¥ �y ã

è�ÍÓ�Ü ×+Ô#Í;æjÙ©Û;Íál×+ÔmÜ Ö�ÔDÍÛ­ÏdÍ#Ù©ÏdÍÓ±ÎjÍ�Ö K H� k¤ 0�G - � 1��ýòI¥ � òk- � ��1C¥ �y ì¬�C]G;AD:j9;ADklE#k�ADC@:`Q�{jADC@AD9RE K �[AD9;:lOPA�{j9RE"C��PG;} K }~O@EjO�AqQ�A K QS} {j�@} ADC`G;A® \_3F/-\_t�a g Z �(Ë[Ï�- Ù©ÏdÍÓ±Í�ÎjÍÛ­ÏçØ-ÖjÎjÖýÐR×-ÓFÙ©ÏçÓFÒFÖ#ÍÓ;b 1���ãQ�,e�è�- � 1�� � ït- � � � î�Í;æ_ÐRÍ°Õ±ÙÚ×ÑÒPÏ L4ÞÖ�ÍÓ�ÒPÓWÓ�ÞÒPálÍÛ;×���ÓFÏçÙÚ×�ÎjÍ�Õ±ÒPÓFÙÚ×+ÔRî¡ÍÓFÙÚ×-Ó±ÐRÍ­ÔRî

K H� k�%0 �®­ �$- � â5G � ï - � â5G-ò � òk- � â5G%1 �y ã*)±â5G�åCb 1���ãQ�,e ��O.��O���V�����Y=T$�7Y\���8�Z]^�����Z¯&V7T5[^Yn�3Y�XZ]�_�Y=T5�ZY��3Y���V��3T5�ZY=T�]\`Ê�^!cdwjc`u3[^óg Zç£ � ÏçÛ;Íál×+ÔmÑÒFÍ�Ü Ö#ÔDÍÛ­ÏdÍ�ÎjÍ��2×-ÒPÛ­ÏdÍÛ�ÐR×-ÓFØ-ÍÛ.�`Í4Õ±ÒPÓFÙ©ÒFÖ-Ü álÍÓFÙÚÍmÖ -�ÍÓâ5G]Ô­Ï4Ü ÖlÔ­ÒFÐRÍ­Ô­Ï@Þ×-Ó�ÎjÍ#Ô­Ò_ÔmÔ­ÒPálÖ+Ô�ÕFÖ-Û;ÐÏdÖ-Ü Í­Ô ­ �$- � â � ÐR×-ÓFØ-ÍÛ.�`Í�Õ±ÒPÓFÙ©ÒFÖ-Ü álÍÓFÙÚÍ�Öy- � â �ÍÓ]â5G�åkb 1���ãQ�,e©îBÍ­Ô�ÎjÍRÐÏçÛRî¡Ô­Ï±ÕFÖ-Û;Ö�ÙÚ×qÎj×£¥�ù ´ Í;æjÏ~Ô­ÙÚÍ#ÒPÓ�° åU:vÙÚÖ-Ü�ÑÒFÍBÕFÖ-Û;Ö�ÙÚ×qÎj×+pù}° � - � â5G � 1 ­ �$- � â5G � ��±}¥ Ë[Ï ­ �5- � â � ÐR×-ÓFØ-ÍÛ.�`Í�Õ±ÒPÓFÙ©ÒFÖ-Ü álÍÓFÙÚÍ�ÕFÖ-Û;Ö]ÙÚ×qÎj×�â5å � c[ã&d � ÍÓFÙÚ×-Ó±ÐRÍ­Ô�Î-ÏçÛ;Íál×+ÔlÑÒFÍ�Ü ÖÔDÍÛ­ÏdÍ�ÎjÍ��2×-ÒPÛ­ÏdÍÛ�ÐR×-ÓFØ-ÍÛ.�`Í�Õ±ÒPÓFÙ©ÒFÖ-Ü álÍÓFÙÚÍ�ÍÓ � c[ã&d � èmÜ ×�ÎjÍÓ±×-ÙÚÖ-Û;Íál×+Ô!ÕF×-Û§-�21,²�- ì�V:#E"C`G;AD9;} :j9¡QSA��@�@AqOPA�AqQ;|9;} i@} 9¡|:jk�:�QS} {j�@A � -� 1,²�- QS}[�FE"9REmG;:POP: ¥�ù ´�§l|DEjO@E

â�å � c[ã&d � A(³P}~Q>G;A��@C ° å¨: � ADC�{jADC@AD9RE K OPAD�[ADCFOP} ADC`G;A#OPA â § ¥ � GRE K\´ �@A��FE"9RE�G;:POP:+pù}° � - � â � 1 ­ �$- � â � �#±}¥ �]\`Ê�^!cdwjc`u3[^óg Z~� � ÏçÛ;Íál×+ÔlÑÒFÍlÜ Ö]ÔDÍÛ­ÏdÍ�ÎjÍ£�2×-ÒPÛ­ÏdÍÛýÐR×-ÓFØ-ÍÛ.�`ÍlÒPÓFÏ a×-Û­álÍálÍÓFÙÚÍ�Ö2-ÍÓ � c[ã&d � |^b 1���ãQ�,e©î¡è]Ü ×�ÎjÍÓ±×-ÙÚÖ-Û;Íál×+Ô�ÕF×-Û -�;µ¶-2î4Ô­ÏVÕFÖ-Û;Ö�ÙÚ×qÎj×y¥�ù ´ Í;æjÏ~Ô­ÙÚÍ�ÒPÓ° å;:·H°ÏçÓ±ÎjÍ°ÕFÍÓ±Î-ÏdÍÓFÙÚÍ�ÎjÍ�â J ÙÚÖ-Ü!ÑÒFÍ�ÕFÖ-Û;ÖlÙÚ×qÎj×M+pù6°�èlÙÚ×qÎj×�âWå � c[ã&d �� - � â � 1 ­ �$- � â � �#±}¥

Page 5: Problemas de Series y Transformadas de Fourier MMF II: Grupo I ...

�!} {j�@9RE h � z4:jC L AD9;{jADCF|}~E�C@:��@C@} <�:j9;k�A � } M ´ �@} AD9RO@E � §ý�@C@} <�:j9;k�A � OPAD9;Aq|R�FE �® \_3F/-\_t�a g Z � ˤÍRÖ3- � ö¹¸² öÌÒPÓ±ÖPaRÒPÓ±ÐÏ@Þ×-Ó y ��à ÕFÍÛ­Ï@Þ×jÎ-ÏdÐRÖ�ÐR×-ÓFÙ©ÏçÓFÒFÖmè�ÐR×-Ó]ÎjÍÛ­ÏçØ-ÖjÎjÖÐR×-ÓFÙ©ÏçÓFÒFÖýÍÓ�b 1���ãQ�,e ì=< ÓFÙÚ×-Ó±ÐRÍ­Ôëjì�{ Ö#ÔDÍÛ­ÏdÍ#ÎjÍ��2×-ÒPÛ­ÏdÍÛ�ÎjÍ�-,º�ÔDÍ�×%4Ù©ÏdÍÓ±Í#ÎjÍÛ­ÏçØ-Ö-Ó±Îj×ýÙFÞÍÛ­á�ÏçÓ±×lÖ�ÙFÞÍÛ­á�ÏçÓ±×�Ü Ö#ÔDÍÛ­ÏdÍHZ© J ÎjÍ�- ìð_ì �!F ��� � c F �Dòi� d F ��±óò » ìô`ì�{ Ö�ÔDÍÛ­ÏdÍ�ÎjÍ��2×-ÒPÛ­ÏdÍÛ2HZ© J ÐR×-ÓFØ-ÍÛ.�`Í�ÒPÓFÏ a×-Û­álÍálÍÓFÙÚÍ�Ö/-þÍÓ�b 1���ãQ�,e ì÷[ì�{ Ö�ÔDÍÛ­ÏdÍ�ÎjÍ��2×-ÒPÛ­ÏdÍÛ�ÔDÍ¡Õ±ÒFÍRÎjÍ#ÏçÓFÙÚÍ��"Û;Ö-ÛmÙFÞÍÛ­á�ÏçÓ±×�ÖlÙFÞÍÛ­á�ÏçÓ±× ì��O.¼�OSRUT$V7W�XZY\[^]P_�m/-35`�bd\_t�apg ZdY < Ó±ÐÒFÍÓFÙ©Û;ÖWÜ Ö�ÔDÍÛ­ÏdÍWÎjÍ �2×-ÒPÛ­ÏdÍÛ�ÎjÍ�Ü Ö+Ô�Ô­Ï �"ÒPÏdÍÓFÙÚÍ­Ô�aRÒPÓ±ÐÏd×-ӱͭÔ�Í;æjàÙÚÍÓ±Î-Ï_ÞÍÓ±Îj×-Ü Ö+Ô�Îjͧa×-Û­álÖmÕFÍÛ­Ï@Þ×jÎ-ÏdÐRÖ�ÖlÙÚ×qÎj×�ÍÜ!;½DÍ#Û;ÍRÖ-Ü �h = - � â � ïÀ¿ÂÁ QS}V´ ±�⨱6�

´ QS} 1���±�⨱ ´y = - � â � ï�� âE� ADC b 1���ãQ�,en@= - � â � ïtc`â ADC b 1���ãQ�,e�F= - � â � ïtc`â ' ADC b 1���ãQ�,e�P= - � â � ïtc`â ' ADC b ´ ã y �,e  = - � â � ïtÃÄ%Å ADC b 1���ãQ�,e�_= - � â � ï�� QS} C âE� ADC b 1���ãQ�,eÆ = - � â � ï |:`QS� â ADC b 1���ãQ�,e�@= - � â � ï QS} C@� â ADC b 1���ãQ�,ez4:jk�:lE"� K }~|DEj|} H:jC]OPA K :lE"C`G;AD9;} :j9�k#�@AqQ>G;9RE ´ �@A�!����� h+ ' ï � '  ã �!����� � 1 h � ��Ç��+ ' ï � 'h+y ã �!����� h� y +�1 h � ' ï � 'Æ

Page 6: Problemas de Series y Transformadas de Fourier MMF II: Grupo I ...

�m/-35`�bd\_t�apg Z gn� Íá�ÒFÍ­Ô­Ù©Û;Ö�ÑÒFÍ�Ô­Ï2ÍÜ+ÕFÍÛ­Ïd×qÎj×�ÎjÍ�Ü Ö7aRÒPÓ±ÐÏ@Þ×-Ó�Í­ÔPÈ(ÍÓFÙÚ×-Ó±ÐRÍ­Ô�Ü ÖmÔDÍÛ­ÏdÍÎjÍ��2×-ÒPÛ­ÏdÍÛ�ÔDÍ#Í­ÔDÐÛ­Ï�4RÍ#álÍRÎ-ÏdÖ-ÓFÙÚÍ�Ü Ö�a�Þ×-Û­á�ÒPÜ Öc�G

y ò�!F ��� c F |:`Q y �\~_âÈ òkd F QS} C y �\~_âÈ ã

Îj×-Ó±ÎjÍ

c F ï yÈ hIÉG - � â � |:`Q y �\~_âÈ m â2ãÊd F ï yÈ hIÉG - � â � QS} C y �\~_âÈ m â z4:jk�:lE"� K }~|DEj|} H:jC]|DE K |� K E K EjQBQSAD9;} AqQBOPA��@:j�@9;} AD9�OPA K EjQ¡<��@CF|} :jC@AqQ

h = - � â � ïÀ¿ÂÁ QS}V´ ±�⨱6È3Ë y´ QS} È3Ë y ±�⨱6È

y = - � â � ïtc`â ADC b ´ ãQÈ�e�m/-35`�bd\_t�apg Z x Ë[ÒqÕF×-Ó��`Ö-ál×+ÔBÑÒFÍ�Ü ×+ÔBÐR×qÍ��¡ÐÏdÍÓFÙÚÍ­Ô�ÎjÍ��2×-ÒPÛ­ÏdÍÛBÎjÍBÒPÓ±Ö�aRÒPÓ±ÐÏ@Þ×-Ó£- � â �ØqÏdÍÓ±ÍÓ�ÎjÖjÎj×+Ô�ÕF×-Û�Ü Ö+Ô�Ô­ÒFÐRÍ­Ô­Ïd×-Ó±Í­Ô � c�� � ��è � dK� � � ì7Ì o�Ò�ÞÖ-Ü Í­Ô�ÔD×-Ó5Ü ×+ÔýÐR×qÍ��¡ÐÏdÍÓFÙÚÍ­ÔýÎjÍÜ Ö3aRÒPÓ±ÐÏ@Þ×-ÓpÙ©Û;Ö+Ô­Ü ÖjÎjÖjÎjÖ£- � â�òkÍ � î�Í�å�ö�Îz4:jk�:5E"� K }~|DEj|} H:jCþ|DE K |� K E K :`Qý|:_A(Ï[|} ADC`G;AqQlOPAW�@:j�@9;} AD9 - � â � ïÐ� |:`Q âE� �FQ;E"CFOP: A K9;AqQS� K GREjOP:�OPA K �@9;:ji K ADklE�E"C`G;AD9;} :j9q=¬�CFE�|: K Aq|D|} H:jC�k HEjQ�A(³P�FE"�FQ>G;} L E�OPA��@9;:ji K ADklEjQ�QSAB�@�@AqOPA�ADCF|:jC`G;9RE"9�ADC K :`Q K } i@9;:`Q �h =ÒÑ­=,Ñ­=V�=Ñ J �P¦�Ó(H¬#6 J ==Ó�=8Ô�¬�Ñ J ?�z¡¦�¬�Ó�68Ñ HE@==Õ�=\Õ J Ñ�§UÕ�=V7�==Õ�¬���¬�Ö J z¡¦�6×WE-G;ADk HE-G;}~|DE��_�@�[AD9;} :j9;AqQD=27�9;:ji K ADklEjQ�?BAqQS�@AG;:`Q � J C`G;} ØÚ��ADk�}~OP: L }~|R� � Ö�: K ÑQÑQÑ­=� �_AD9;} AqQ#§�z HE K |� K :�OP} <�AD9;ADCF|}~E K �FE"9RE�<��@CF|} :jC@AqQ�OPA L E"9;}~EjQ L E"9;}~E"i K AqQ � � ¬�?��@�±6

h �j�j� � =y =ÙÔ�=�����רÑ>��¬�Ö�Ñ;z¡¦�6 ©%Ú%Ú%Ú]Õ±Û;×%4Ü ÍálÖ+ÔWÎjÍ � Ó�ÞÖ-Ü Ï~Ô­Ï~Ô Û�Ö-ÙÚÍá�ÞÖ-Ù©ÏdÐR× � 7�E"9RE"C@} CP<�:F6

h � Æ ´ � =n@=8��=q�#=Ó ¬���?�Ñ�HJ µ��P�7Ö#6 J =+�#= Ó ¬�µþHJ �F¬�Ö#6uÖ#=uÑ­="z¡¦��4¨`��¬�Ö5§ ×5=uÑ­=-�P¦ J Ô�¬�Ø

N3Ñ>N�6+7�9;:ji K ADklEjQ2OPA J C HE K }~QS}~Q�×WE-G;ADk HE-G;}~|: � ÑÚC`G;AD{j9RE K AqQ¤§��_AD9;} AqQ � ×�} 9QØÚ?B�@i@}ÝÜC@:`QD6h �j� y%� =

 

Page 7: Problemas de Series y Transformadas de Fourier MMF II: Grupo I ...

ÞýÈ ßÙà �D�XB �X��������� �� �����!���D&�X�� T��� ���ánâ ���

¼�OQNPOäãM]^Y\�8�3]P�8�=åV��·�3Y�V����3]P_��C�AqQ>G;A�E"�FE"9SGREjOP: L E"k�:`Q�Em�FQ;E"9 K EjQ�QSAD9;} AqQ�OPA��@:j�@9;} AD9��FE"9REm9;AqQS: K L AD9 K EmAq|�FEj|} H:jC

OPA�:jCFO@EjQ¡�@C@}~OP} k�ADCFQS} :jCFE Kçæ 'æ�è '$é � â2ã è � ïtc 'æ 'æâ '$é � â2ã

è � ã|:jC K EjQB|:jCFOP}~|} :jC@AqQBOPA�|:jC`G;:j9;C@:

é � ´ ã è � ï é � ��ã è � ï ´ ã � � �§ K EjQB|:jCFOP}~|} :jC@AqQ¡} C@}~|}~E K AqQ

é � â2ã ´ � ïi- � â � ãææ�è é � â2ã ´ � ï}g � â � � Æ��

�4Q>GREWAq|�FEj|} H:jCV6!|:jC@:P|}~O@E�|:jk�:WAq|�FEj|} H:jC�OPA�:jCFO@EjQD6!k�:POPA K } MqEWA K k�: L } k�} ADC`G;:�OPA�@CFE�:jCFO@E��@C@}~OP} k�ADCFQS} :jCFE K � �[:j9BAZê>ADk�� K :lA K QS:jC@}~OP: � =¬�QS�FE K k�ADC`G;A#�FE"9REl9;AqQS: K L AD9�AqQ>G;A#�@9;:ji K ADklE�QSA#�FQ;EýA K k HAG;:POP:�OPA�QSAD�FE"9REj|} H:jC�OPAL E"9;}~E"i K AqQ � é � â2ã è � ï¹ë � â � È � è � ã ë � â � øì ´ ã*È � è � øì ´ ã´ �@A�E K QS�FQ>G;} G;�@} 9BADC K E�Aq|�FEj|} H:jC]:j9;} {j} CFE K C@:`QBO@Eë � â � È º º � è � ïtc ' ë º º � â � È � è � ãîí ë º º � â �ë � â � ï hc ' È º º �

è �È � è � ï�1�õVãOP:jCFOPA õ�å�ö 6@}©= Aj= 6PG;ADC@ADk�:`Q K EjQ�Aq|�FEj|} :jC@AqQ �ë º º � â � ò�õ$ë � â � ï ´ ã ë � ´ � ï¹ë � � � ï ´ ã � � �§ È º º � è � òIc ' õ$È � è � ï ´ � h ´ �7�:j9BQSADCF|} K K ADM�EjQS�@k�} 9;ADk�:`Q c�ï h =�2E]QS: K �F|} H:jC�{jADC@AD9RE K OPA � � � OPAD�[ADCFOPAýOPA K�L E K :j9�OPA õ =2�4Q�< HEj|} K |:jk��@9;:jiFE"9 ´ �@A

QS: K E"k�ADC`G;A�QSA¡G;} ADC@ADClQS: K �F|} :jC@AqQ!C@:�C_� K EjQ�QS} õ�ù ´@="��C�AqQ>G;AB|DEjQS: K EmQS: K �F|} H:jC�{jADC@AD9RE KAqQ ë � â � ï¹s |:`Q�ï õ@â�ò®ð QS} C�ï õFâ2ã´ �@A�ê>�@C`G;:lE K EjQB|:jCFOP}~|} :jC@AqQBOPA�|:jC`G;:j9;C@:��FE"9RE ë C@:`QBO@E"C K EjQBQS: K �F|} :jC@AqQë�� � â � ï QS} C +¤â2ã�õ � ïªõ5�ýï}+ ' ��C]AqQ>G;A�|DEjQS:��FE"9RE È :jiPG;ADC@ADk�:`Q � c�ï h �È º º � è � ò®+ ' È � è � ï ´ ãñfò,óKô�ó�õ#öø÷uù.ú�û�ü�÷7ü�ý�öø÷(ûøþ7ö ú�û�ÿ����������������/öø÷(û�ü�÷ ����������������.ó�Zó������������ ó�þ7ö ú�û��;÷uÿ�� ó ������������ ���!� Zó������������ ����"ó��$#

Page 8: Problemas de Series y Transformadas de Fourier MMF II: Grupo I ...

K �@AD{j: È8� � è � ï Á � |:`Q + è ò&%�� QS} C + è ã§W�[:j9�GRE"C`G;:��@CFE�QS: K �F|} H:jC OPA�C_�@AqQ>G;9RE]Aq|�FEj|} H:jC |:jC K EjQ�|:jCFOP}~|} :jC@AqQmOPAý|:jC`G;:j9;C@:� � � QSAD9 HE é � � â2ã è � ï � Á � |:`Q + è ò&%�� QS} C + è � QS} C +¤â z4:jk�: K E�Aq|�FEj|} H:jC�OPA�:jCFO@EjQBAqQ K } C@AqE K §]�@:jk�:j{ HADC@AqE#ADC`G;:jCF|AqQ�QS��QS: K �F|} H:jC�{jADC@AD9RE KQSAD9 HE�OPA K E#<�:j9;klE

é � â2ã è � ï �!����� é � � â2ãè � ï �!����� � Á � |:`Q +

èò&%�� QS} C + è � QS} C +¤â � hjh �

7�E"9RE�ADCF|:jC`G;9RE"9 K :`Qý|:_A(Ï[|} ADC`G;AqQl} CFOPAG;AD9;k�} CFEjOP:`Q Á � § %�� QS�@�[:jCFOP9;ADk�:`Q ´ �@A -§ g QS:jC K :�QS�#Ï[|} ADC`G;ADk�ADC`G;Aýi@�@ADCFEjQ � �[:j9#AZê>ADk�� K :�|DEjQS} ØÚ|:jC`G;} C_�FE"k�ADC`G;AlOPAD9;} L E"i K AqQADC b ´ ãQ�,e � § L E"k�:`Q�EýA(³_G;ADCFOPAD9 K EjQ�ElG;:POP:]A K } C`G;AD9 L E K : b 1���ãQ�,e OPA#<�:j9;klEl} k��FE"9q6±AqQOPAq|} 9�OPA�<�:j9;klE ´ �@A - § g QSAqE"Cl<��@CF|} :jC@AqQ4} k��FE"9;AqQD=_��C`G;:jCF|AqQ��[:POPADk�:`Q¡OPAqQ;E"9;9;: K K E"9ADC�QSAD9;} A]OPA]�@:j�@9;} AD9�E"k#iFEjQ�<��@CF|} :jC@AqQ#§5EjOPADk HEjQ K EjQ�|:j9;9;AqQS�[:jCFOP} ADC`G;AqQ�QSAD9;} AqQ#QS:jCE"iFQS: K �PGRE §��@C@} <�:j9;k�ADk�ADC`G;A�|:jC L AD9;{jADC`G;AqQD=4�_}mE"�@:j9REp�FQ;E"k�:`Q K EjQ K EjQý|:jCFOP}~|} :jC@AqQ} C@}~|}~E K AqQ � Æ�� :jiPG;ADC@ADk�:`Q '

é � â2ã ´ � ït- � â � ï �!����� Á � QS} C +¤â2ãææ�è é � â2ã ´ � ï}g � â � ï �!����� +'%�� QS} C +¤â2ãOP:jCFOPA

Á �ýï y� h �G - � â � QS} C +¤â m â2ã %��ýï y+8� h �G g � â � QS} C +¤â m â � h+y%�Ö�AqE"k�:`Q��@C�AZê>ADk�� K :F=��_�@�[:jC@{`E"k�:`Q ´ �@AýA K �[AD9QÏ K } C@}~|}~E K OPA��@CFEW|�@AD9RO@E L } ADC@A

O@EjOP:��[:j9 K E#<��@CF|} H:jC - � â � ïts2â � �¨1pâ �§ ´ �@A�} C@}~|}~E K k�ADC`G;A�AqQ>G HEpADC�9;AD�[:`QS:F6�AqQlOPAq|} 9q6 g � â � ï ´@=���C`G;:jCF|AqQ��FQ;E"CFOP: � h+y%�G;ADC@ADk�:`Q %��ýï ´��FE"9RE#G;:POP: +på;: §

Á �lï y� hI�G - � â � QS} C +¤â m â�ï � s � h ò � 1 h � ��Ç�� �+'((� ã

§��[:j9�GRE"C`G;: K E�QS: K �F|} H:jC]AqQ

é � â2ã è � ï Æ s� �!����� h� y +�1 h � ( |:`Q � y +�1 h � + è QS} C � y +�1 h � â )�* ����ó���� ����� ó+������� � ������� �§ö-,�,fû.���/�������!��������� 0����.�1"���.ô+� � ó�� �1"���.ô+� � ó ����������2�.ó3�§ú�#

Æ

Page 9: Problemas de Series y Transformadas de Fourier MMF II: Grupo I ...

x ZdY[ZdY[Z �m/-35`�bd\_t�a@f¬�Q;E"CFOP:lQSAD�FE"9REj|} H:jC�OPA L E"9;}~E"i K AqQ¡9;AqQS: K L AD9¡A K �@9;:ji K ADklE45555556 5555557æ 'æ�è '$é � â2ã è � ï

æ 'æâ '$é � â2ã

è � ãé � ´ ã è � ï é � ��ã è � ï ´ ãé � â2ã ´ � ïi- � â � ã

ææ�è é � â2ã ´ � ï6g � â � ��C K :`QBQS} {j�@} ADC`G;AqQB|DEjQS:`Q �h = z4�FE"CFOP:�A K �[AD9QÏ K } C@}~|}~E K OPA��@CFEl|�@AD9RO@E L } ADC@A�O@EjOP:��[:j9 K E#<��@CF|} H:jC

- � â � ï 4556 557 Á âc ´ � â � cÁ � �¨1pâ ���1Cc c � â � ��㧠´ �@A�} C@}~|}~E K k�ADC`G;AmAqQ>G HE�ADC�9;AD�[:`QS:F6_AqQ�OPAq|} 9q6 g � â � ï ´@=

y = z4�FE"CFOP:�A K �[AD9QÏ K } C@}~|}~E K OPA��@CFEl|�@AD9RO@E L } ADC@A�O@EjOP:��[:j9 K E#<��@CF|} H:jC- � â � ï |:`Q â y 㧠´ �@A�} C@}~|}~E K k�ADC`G;AmAqQ>G HE�ADC�9;AD�[:`QS:F6_AqQ�OPAq|} 9q6 g � â � ï ´@=

n@= z4�FE"CFOP:lA K �[AD9QÏ K } C@}~|}~E K § K E L A K :P|}~O@EjO]} C@}~|}~E K OPA K El|�@AD9RO@E L } ADC@A#O@EjOP:l�[:j9K EjQ¡<��@CF|} :jC@AqQ

- � â � ï 45556 5557 â ´ � â � � 8 ã�� � 8 � â � ( �8 ã�;1pâ ( �8 � â � � § g � â � ï ´

�F= z4�FE"CFOP:lA K �[AD9QÏ K } C@}~|}~E K § K E L A K :P|}~O@EjO]} C@}~|}~E K OPA K El|�@AD9RO@E L } ADC@A#O@EjOP:l�[:j9K EjQ¡<��@CF|} :jC@AqQ - � â � ï ´@6

g � â � ï 456 57 9 Gqâc ´ � â � c9 G � �;1pâ ��;1Cc c � â � ��ã¼�O.��OäãM]^Y\�8�3]P�8�=åV��·�3Y\Xy�,]PXZV7Tz4:jCFQS}~OPAD9;ADk�:`Q�E"�@:j9RE K E�Aq|�FEj|} H:jC]OPA K |DE K :j9ææ�è é � â2ã è � ïtc '

æ 'æâ '$é � â2ã

è � ã|:jC K EjQB|:jCFOP}~|} :jC@AqQBOPA�|:jC`G;:j9;C@:

é � ´ ã è � ï é � ��ã è � ï ´ ã � h n ��

Page 10: Problemas de Series y Transformadas de Fourier MMF II: Grupo I ...

§ K E�|:jCFOP}~|} H:jC]} C@}~|}~E K é � â2ã ´ � ït- � â � � h � �N��@A L E"k�ADC`G;Am�FQ;E"9;ADk�:`Q¡A K k HAG;:POP:�OPA�QSAD�FE"9REj|} H:jC]OPA L E"9;}~E"i K AqQ �é � â2ã è � ï¹ë � â � È � è � ã ë � â � øì ´ ã*È � è � øì ´ ã´ �@A�E K QS�FQ>G;} G;�@} 9BADC K E�Aq|�FEj|} H:jC]:j9;} {j} CFE K C@:`QBO@Eë � â � È º � è � ïtc ' ë º º � â � È � è � ãîí ë º º � â �ë � â � ï hc ' È º �

è �È � è � ï�1�õVãOP:jCFOPA õ�å�ö 6@}©= Aj= 6PG;ADC@ADk�:`Q K EjQ�Aq|�FEj|} :jC@AqQë º º � â � ò�õ$ë � â � ï ´ ã ë � ´ � ï¹ë � � � ï ´ ã � h � �§ È º � è � 1Cc ' õ$È � è � ï ´ � hq ���2ElQS: K �F|} H:jC�{jADC@AD9RE K OPA � h � � OPAD�[ADCFOPA#OPA K2L E K :j9�OPA õ =±�4Q�< HEj|} K |:jk��@9;:jiFE"9 ´ �@A

QS: K E"k�ADC`G;A�QSA¡G;} ADC@ADClQS: K �F|} :jC@AqQ!C@:�C_� K EjQ�QS} õ�ù ´@="��C�AqQ>G;AB|DEjQS: K EmQS: K �F|} H:jC�{jADC@AD9RE KAqQ ë � â � ï¹s |:`Q�ï õ@â�ò®ð QS} C�ï õFâ2ã´ �@A�ê>�@C`G;:lE K EjQB|:jCFOP}~|} :jC@AqQBOPA�|:jC`G;:j9;C@:��FE"9RE ë C@:`QBO@E"C K EjQBQS: K �F|} :jC@AqQë�� � â � ï QS} C +¤â2ã�õ � ïªõ5�ýï}+ ' ��C]AqQ>G;A�|DEjQS:��FE"9RE È :jiPG;ADC@ADk�:`QÈ º � è � òIc ' + ' È � è � ï ´ ãK �@AD{j: È8� � è � ïtà � l�: � :�;§W�[:j9�GRE"C`G;:��@CFE�QS: K �F|} H:jC OPA�C_�@AqQ>G;9RE]Aq|�FEj|} H:jC |:jC K EjQ�|:jCFOP}~|} :jC@AqQmOPAý|:jC`G;:j9;C@:� h n � QSAD9 HE é � � â2ã è � ï Á �#à � l�: � :�; QS} C +¤â z4:jk�: K ElAq|�FEj|} H:jC�OPA K |DE K :j9�AqQ K } C@AqE K §]�@:jk�:j{ HADC@AqE#ADC`G;:jCF|AqQ�QS�WQS: K �F|} H:jC�{jADC@AD9RE KQSAD9 HE�OPA K E#<�:j9;klE

é � â2ã è � ï �!����� é � � â2ãè � ï �!����� Á �$à � l�: � :�; QS} C +¤â � h � �

7�E"9RE ADCF|:jC`G;9RE"9 K :`Q�|:_A(Ï[|} ADC`G;AqQ�} CFOPAG;AD9;k�} CFEjOP:`Q Á � QS�@�[:jCFOP9;ADk�:`Q ´ �@A - AqQ K :QS�#Ï[|} ADC`G;ADk�ADC`G;AWi@�@ADCFE � �[:j9�AZê>ADk�� K :�|DEjQS} ØÚ|:jC`G;} C_�FE"k�ADC`G;A�OPAD9;} L E"i K A�ADC b ´ ãQ�,e � §L E"k�:`QýE A(³_G;ADCFOPAD9 K EjQýE G;:POP:5A K } C`G;AD9 L E K : b 1���ãQ�,e OPA�<�:j9;klE } k��FE"9q6�AqQ�OPAq|} 9�OPA<�:j9;klE ´ �@A - § g QSAqE"C�<��@CF|} :jC@AqQ�} k��FE"9;AqQD=���C`G;:jCF|AqQ�OPAqQ;E"9;9;: K K E"k�:`Q�ADCþQSAD9;} A�OPA�@:j�@9;} AD9 - §ý�FQ;E"k�:`Q K EjQ K EjQB|:jCFOP}~|} :jC@AqQ¡} C@}~|}~E K AqQ � h � � :jiPG;ADC@ADk�:`Q

é � â2ã ´ � ït- � â � ï �!����� Á � QS} C +¤â2ãh ´

Page 11: Problemas de Series y Transformadas de Fourier MMF II: Grupo I ...

OP:jCFOPA Á �ýï y� hI�G - � â � QS} C +¤â m â � huÆ��Ö�AqE"k�:`Q��@C�AZê>ADk�� K :F=¤�_�@�[:jC@{`E"k�:`Q ´ �@A K E�OP}~Q>G;9;} i@�F|} H:jCW} C@}~|}~E K OPA K ElG;ADk��[AD9REØG;�@9REýAqQ��@C@} <�:j9;k�Aj6±}©= Aj= 6 - � â � ï�È,G =¤��C`G;:jCF|AqQD6F�FQ;E"CFOP: � huÆ�� G;ADC@ADk�:`Q %���ï ´ý�FE"9REG;:POP: +på¨: §

Á �ýï y� hI�G - � â � QS} C +¤â m â�ï y È,G � h ò � 1 h � ��Ç�� ��8+ ã

EjQ H� ´ �@A K E�QS: K �F|} H:jC�AqQé � â2ã è � ï � È,G� �!����� h

y +�1 h à � l�:�< ' � � ��= :�; QS} C � y +�1 h � â x Z g ZdY[Z �m/-35`�bd\_t�a@f¬�Q;E"CFOP:lQSAD�FE"9REj|} H:jC�OPA L E"9;}~E"i K AqQ¡9;AqQS: K L AD9¡A K �@9;:ji K ADklE4555556 555557

ææ�è é � â2ã è � ïtc 'æ 'æâ '$é � â2ã

è � ãé � ´ ã è � ï é � ��ã è � ï ´ ãé � â2ã ´ � ïi- � â �

��C K :`QBQS} {j�@} ADC`G;AqQB|DEjQS:`Q �h = z4�FE"CFOP: - � â � ï |:`Q7Å' 6y = z4�FE"CFOP: - � â � ïts2â � �¨1pâ � 6n@= z4�FE"CFOP: - � â � ï¹ð � â21 � ' � =¼�O.¼�O?>¨X£��T$V7W�XZY\[^]D�3YA@t�ZT5�Q�CB�XZY8�CY\� �3V�_k���Q[^Y\��_��ZV��3Y\_Ö�E"k�:`QBE"�@:j9RE#El|:jCFQS}~OPAD9RE"9¡A K �@9;:ji K ADklE�OPA���} 9;}~|R� K AG�i@}~OP} k�ADCFQS} :jCFE K =x Z x ZdY[Z ��b41!/-35`�bd\_t�a�e!\��]c�/-cdw�D!bd\`rl\_^þ\_b�wj0!a@e2/-a@e!3z4:jk�ADC@MqE"9;ADk�:`Q49;AqQS: K L } ADCFOP:��@9;:ji K ADklE�OPA���} 9;}~|R� K AG�ADC�A K |�FEjOP9REjOP: �4555556 555557

æ 'æä '$é � â2ãSä � ò

æ 'æâ '$é � â2ãSä � ï ´ ãé � ´ ãSä � ï é � ��ãSä � ï ´ ãé � â2ã ´ � ïi- � â � ã é � â2ãQ� � ï}g � â � ã¬�Q;E"CFOP:lQSAD�FE"9REj|} H:jC�OPA L E"9;}~E"i K AqQ4G;ADC@ADk�:`Që º º � â ��E � ä � ò®ë � â ��E º º � ä � ï ´ í ëUº º � â �ë � â � ò E º º � ä �E � ä � ï ´hjh

Page 12: Problemas de Series y Transformadas de Fourier MMF II: Grupo I ...

´ �@A�QSA�|:jC L } AD9SG;A�ADC ëUº º � â �ë � â � ï�1�õVã E º º � ä �E � ä � ïªõ �2E�|:jCFOP}~|} H:jC�OPA�|:jC`G;:j9;C@: é � ´ ãSä � ï é � ��ãSä � ï ´�} k�� K }~|DE ë � ´ � ï}ë � � � ï ´@6 K �@AD{j:ë�� � â � ï QS} C +¤â2ã õ � ïóõ5�ýï¹+ ' �V�@AD{j:��FE"9RE E G;ADC@ADk�:`Q K E��4��¬E º º � ä � 1�+ ' E � ä � ï ´ í E � � ä � ï " � QSADC@� +¤ä�ò m � |:`QS� +¤ä±ã§ K E�QS: K �F|} H:jC]OPA K E��4��7þAqQ

é � â2ãSä � ï �!����� � " � QSADC@� � +¤ä � ò m � |:`QS� � +¤ä �Q� QS} C +¤â 7�E"9RE�ADCF|:jC`G;9RE"9 K EjQ�QS�F|AqQS} :jC@AqQ � " � � � § � m � � � �FQ;E"k�:`Q K EjQ�|:jCFOP}~|} :jC@AqQ�OPA#|:jC#ØG;:j9;C@:�ADC ä

é � â2ã ´ � ïi- � â � ï �!����� m � QS} C +¤â í m �lï y� h �G - � â � QS} C +¤â m â2ãé � â2ãQ� � ï6g � â � ï �!����� � " � QSADC@� � +8� � ò m � |:`QS� � +8� �Q� QS} C +¤â í

" � QSADC@� � +8� � ò m � |:`QS� � +8� � ï y� hI�G g � â � QS} C +¤â m â � ïidK�±ãOPA�OP:jCFOPA�G;ADC@ADk�:`Q

" �ýï dK�/1 m � |:`QS� � +8� �QSADC@� � +8� � ï y� QSADC@� � +8� � hI�G b g � â � 1®- � â � |:`QS� � +8� � e QS} C +¤â m â Ö�AqE"k�:`Q�OP:`Q�AZê>ADk�� K :`Q � h � - � â � ï QS} C â 6 g � â � ï ´@=��C`G;:jCF|AqQ m �lï h § m �5ï ´��FE"9RE�G;:POP: + � y = J OPADk HEjQD= dK� ï ´�§��[:j9�GRE"C`G;:

G;ADC@ADk�:`Q " ��ïD1 |:"G;� � 6 " �ýï ´��FE"9RE#G;:POP: + � y 6 K �@AD{j: K E�QS: K �F|} H:jC�OPA K �@9;:ji K ADklEOPA���} 9;}~|R� K AGBAqQ é � â2ãSä � ï |:`QS� � ä�ò®� � QS} C âQSADC@� � z4:jk�:�QSAD{j�@CFOP:�AZê>ADk�� K :�|:jCFQS}~OPAD9;ADk�:`QýA K |DEjQS:�|�FE"CFOP: - � â � ï%â � �61óâ � §g � â � ï ´@6 ´ �@AmC@:`QBO@E@6 +Wï h ã y ã n ã 99 6m ' � � ��ï Æ� y +�1 h � ((� ã m ' �lï ´ " ' � � �Bï�1 Æ |:"G;� � y +�1 h � �� y +�1 h � ((� ã " ' �ýï ´

�4QBOPAq|} 9

é � â2ãSä � ï Æ� �!�����+F |:`QS� � y +�1 h � ä� y +�1 h � ( 1 QSADC@� � y +�1 h � ä |:"G;� � y +�1 h � �� y +�1 h � ((� G QS} C � y +�1 h � â h+y

Page 13: Problemas de Series y Transformadas de Fourier MMF II: Grupo I ...

x Z x Z g Z ��b41!/-35`�bd\_t�a�e!\��]c�/-cdw�D!bd\`rl\_^þ\_b�wFuH /-wj0!bd3?BAqQS: K L E"k�:`Q�E"�@:j9RE#A K �@9;:ji K ADklE�OPA���} 9;}~|R� K AGBADC�A K | H� 9R|� K : �456 57

æ 'æ�I '5é � I ã�J � ò hI ææ�I é � I ã�J � ò hI ' æ 'æ J '$é � I ã�J � ï ´ ãé � h ã�J � ïi- � J � ãOP:jCFOPA�QSA�QS:ji@9;ADADC`G;} ADCFOPA ´ �@A é � I ã�J � AqQ2�@CFE�<��@CF|} H:jC�|:jC`G;} C_�FE�§�Ej|:"GREjO@EB�FE"9RE I � h 6´ � J�± y � 6@§ýAqQ y � Ø°�[AD9;} H:`OP}~|DE#ADC J =�_} {j�@} ADCFOP:�A K AqQ ´ �@ADklE�OPApQSAD�FE"9REj|} H:jCóOPA L E"9;}~E"i K AqQ ´ �@Ap�@ADk�:`Q��FQ;EjOP:��FEjQ>GRE

E"�@:j9RE�G;ADC@ADk�:`Q ´ �@A�QS} é � I ã�J � ïLK � I �NM � J � ´ �@AM º º � J � ò�õ M � J � ï ´ ã I ' K º º � I � ò I K º � I � 15õCK � I � ï ´ ã�[:j9mGRE"C`G;:F62|:jk�: M �FE�OPAýQSAD9 y � �[AD9;} H:`OP}~|DE�OPAqOP�F|} k�:`Q ´ �@A õ � ïvõ5� ïÀ+ ' 6 + ï´ ã h ã y ã 99 6@§ M � J � ïPO c�G`ã +�ï ´c�� |:`Q +.J�òkdK� QS} C +.J@ãÙ+�å¨:�_�FQ>G;} G;�@§jADCFOP:lA K¤L E K :j9�OPA õ ADC K E�Aq|�FEj|} H:jC]�FE"9RE K G;ADC@ADk�:`Q �O I ' K�º º � I � ò I K�º � I � ï ´ ã +Wï ´I ' K�º º � I � ò I K�º � I � 1�+ ' K � I � ï ´ ã +på¨:|�@§`E�QS: K �F|} H:jC�AqQ ( O K � I � ï Á K :j{ I ò&%ýã +Wï ´K � I � ï Á I � ò&% I � � ãÒ+på¨: ã

�[AD9;:m|:jk�: é �FE�OPABQSAD9�Ej|:"GREjO@EBADC � I � � h OPAqOP�F|} k�:`Q ´ �@A %�ï ´@6 K �@AD{j: K E�QS: K �F|} H:jCADCIAqQ K � I � ï I � 6 +Wï ´ ã h ã y ã 99 ´ �@A�ê>�@C`G;:l|:jC M C@:`QBO@E

é � è ã�J � ï �!���8GI � � c�� |:`Q +.J�òkdK� QS} C +.J �

´ �@A�9;ADAqQ;|9;} i@} 9;ADk�:`Q4ADC K E�<�:j9;klEé � è ã�J � ï c�Gy ò �!�����

I � � c�� |:`Q +.J�òkdK� QS} C +.J ��_}¤�FQ;E"k�:`Q K E�|:jCFOP}~|} H:jC�OPA�|:jC`G;:j9;C@:�ADC

Iï h G;ADC@ADk�:`Q

é � h ã�J � ïi- � J � ï c�Gy ò �!����� c�� |:`Q +.J�òkdK� QS} C +.J@ãAqQBOPAq|} 9 K :`QB|:_A(Ï[|} ADC`G;AqQ c�� § dK� QS:jC K :`QB|:_A(Ï[|} ADC`G;AqQBOPA K E�QSAD9;} A�OPA��@:j�@9;} AD9BOPA - =z4:jk�:ýAZê>ADk�� K : L AqE"k�:`Q�A K �@9;:ji K ADklE�OPA���} 9;}~|R� K AG�ADC�A K | H� 9R|� K :ý|:jC K EjQ�|:jCFOP} Ø

|} :jC@AqQBOPA�|:jC`G;:j9;C@: - � J � ïÀ¿ h ´ � Jy±6�1 h 1���±QJy± ´ 6@§ - � J � ï |:`Q R' =S�T�� ��������� ô+���$����.óU��ó����Zô�ó��V�������V���uôW"�2�.ó�� ó����X������������"ó�� ���,ó��������$#�YC�����'��������Z������ ó�� ó����Zô�ó�������/� � ����!�����"ó��[���!� ����!�����"ó��[���/T���� ���-\�ò.�����]�^�#h n

Page 14: Problemas de Series y Transformadas de Fourier MMF II: Grupo I ...

��C]A K �@9;} k�AD9�|DEjQS:F6P�@�@AqQ>G;: ´ �@A K E�QSAD9;} A�OPA��@:j�@9;} AD9�OPA - AqQ- � J � ï �� F QS} C J�ò QS} C�n Jn òL_�_�_+ò QS} C � y +ýò h � Jy +ýò h òL_�_�_ G ãG;ADC@ADk�:`Q

é � I ã�J � ï �� F I QS} C J�ò I ( QS} C�n Jn òL_�_�_+ò I ' ��Ç�� QS} C � y +ýò h � Jy +ýò h òL_�_�_ G ã��C]A K QSAD{j�@CFOP:l|DEjQS:l|�FE"CFOP: - � J � ï |:`Q R' G;ADC@ADk�:`Q ´ �@AhI�� � |:`Q

Jy QS} C +.J m J�ï ´ ãîhI�� � |:`Q

Jy QS} C +.J m J#ï � � 1 h � ��Ç��� + ' 1 h ã

EjQ H� ´ �@A|:`Q J y ï y� ò �� �!����� � 1 h � ��Ç��� + ' 1 h |:`Q +.J@ã

§��[:j9�GRE"C`G;: K E�QS: K �F|} H:jC]AqQ

é � I ã�J � ï ��a` hy ò �!����� � 1 h � ��Ç��I �

� + ' 1 h |:`Q +.J�b x Z x Z x Z �m/-35`�bd\_t�a@f¬�Q;E"CFOP:�QSAD�FE"9REj|} H:jC#OPA L E"9;}~E"i K AqQ!9;AqQS: K L AD9!A K �@9;:ji K ADklE�OPAB��} 9;}~|R� K AG�ADC�A K |�FEjOP9REjOP: �4555556 555557

æ 'æä '$é � â2ãSä � ò

æ 'æâ '$é � â2ãSä � ï ´ ãé � ´ ãSä � ï é � ��ãSä � ï ´ ãé � â2ã ´ � ïi- � â � ã é � â2ãQ� � ï}g � â � ã

ADC K :`QBQS} {j�@} ADC`G;AqQB|DEjQS:`Qh = - � â � ï QSADCBn â 6 g � â � ï ´y = - � â � ï 45556 5557 s2â2ã ´ � â � � 8s � � ' 1pâ � ã � 8 � â � ( �8s � â 1�� � ã ( �8 � â � � 6 g � â � ï ´n@= - � â � ï â � �;1pâ � 6 g � â � ïcO s2â2ã ´ � â � � 's � �;1pâ � ã � ' � â � � ¬�Q;E"CFOP:lQSAD�FE"9REj|} H:jC]OPA L E"9;}~E"i K AqQ�9;AqQS: K L AD9¡A K �@9;:ji K ADklE�OPA���} 9;}~|R� K AG�ADC]A K | H� 9R|� K :456 57

æ 'æ�I '5é � I ã�J � ò hI ææ�I é � I ã�J � ò hI ' æ 'æ J '$é � I ã�J � ï ´ ãé � h ã�J � ïi- � J �QS} ADCFOP: é � I ã�J � �@CFEl<��@CF|} H:jC�|:jC`G;} C_�FEý§�Ej|:"GREjO@E�ADC�A K | H� 9R|� K :ýOPA(ÏFC@}~OP:]�[:j9 I � h 6´ � J�± y � 6@§ y � Ø°�[AD9;} H:`OP}~|DE#ADC J �FE"9RE K :`QBQS} {j�@} ADC`G;AqQB|DEjQS:`Q

h �

Page 15: Problemas de Series y Transformadas de Fourier MMF II: Grupo I ...

h = - � J � ïÀ¿ h ´ � J�±k�´ 1���±QJy± ´ 6

y = - � J � ïÀ¿ '� J ´ � J�±k�'� � �;1dJ � 1���±QJy± ´ 6n@= - � J � ï |:`Q R( =¼�Ofe3O?>¨�8�3]P�8�=åV��·�3Y\X/�#Y\X,åY=�7T$]E¯&V¬�Q;E"CFOP:lQSAD�FE"9REj|} H:jC�OPA L E"9;}~E"i K AqQ¡9;AqQS: K L AD9¡A K �@9;:ji K ADklE45555556 5555557

æ 'æ�è '$é � â2ã è � òææ�è é � â2ã è � ò é � â2ã è � ïtc '

æ 'æâ '$é � â2ã

è � ãé � ´ ã è � ï é � ��ã è � ï ´ ãé � â2ã ´ � ïi- � â � ã

ææ�è é � â2ã ´ � ï ´ ��C K :`QBQS} {j�@} ADC`G;AqQB|DEjQS:`Q �h = z4�FE"CFOP: - � â � ïts2â � �¨1pâ � 6y = z4�FE"CFOP: - � â � ïPO s2â2ã ´ � â � � 's � �¨1pâ � ã � ' � â � � ¬�CFE�|: K Aq|D|} H:jC�k HEjQ�A(³P�FE"�FQ>G;} L E�OPA��@9;:ji K ADklEjQ�QSAB�@�@AqOPA�ADCF|:jC`G;9RE"9�ADC K :`Q K } i@9;:`Q �h =8N�E"{ K A�?�= Ó�=`§��PE!g���= Ô�= �¤ÒPÓ±ÎjÖ-álÍÓFÙÚ×+Ô�ÎjÍ�ÍRÐÒFÖjÐÏd×-ӱͭÔ�Î-Ï aÍÛ;ÍÓ±ÐÏdÖ-Ü Í­Ô =[7�AqE"9RQS:jC

�4OP�F|DEj|} H:jCV=y =ÙÔ¡�FO@E�h}Ô�= ×5= 6��PE"klE"9RQ�h_} J = J = 6Bµ�} ê>:jC@: L�J = N�6 í Û;×%4Ü ÍálÖ+Ô ÎjÍpÜ Ö aFÞß Ô­ÏdÐRÖ�álÖ-à

ÙÚÍá�ÞÖ-Ù©ÏdÐRÖ ì ��C y G;:jk�:`Q

h �

Page 16: Problemas de Series y Transformadas de Fourier MMF II: Grupo I ...

i È �Ì���D�D����� ��#�û�#�����/�#���� ����e3OQNPOkj��Q_%�#Y\[^]P_®V7T#�#V7�7V��3]PXZY\_��C�EjOPA K E"C`G;A�EjQS�@k�} 9;ADk�:`Q ´ �@A ü AqQ��@C�AqQS�FEj|} :mC@:j9;klEjOP:�|:jC K E�C@:j9;klEmOPA(ÏFC@}~O@E

�[:j9BA K �@9;:POP�F|­G;:�AqQ;|DE K E"9 ÿ � ÿ � ï(é.�2ã&�±ê =¬�C�|:jCê>�@C`G;:;ÏFC@} G;:�OPA L Aq|­G;:j9;AqQ ����,� «����� QSAýOPADC@:jk�} CFE K } C@AqE K k�ADC`G;Aý} CFOPAD�[ADC#ØOP} ADC`G;A�QS} K E�Aq|�FEj|} H:jC sP�9�8��òIs ' � ' òL_�_�_-òIs��$���ýï ´ ãG;} ADC@A�|:jk�: H�@C@}~|DE�QS: K �F|} H:jC K E#G;9;} L }~E K sP�BïA_�_�__ïts��lï ´@=¬�Cþ|:jCê>�@C`G;:5} C#ÏFC@} G;:5OPA L Aq|­G;:j9;AqQ ����,������� AqQ K } C@AqE K k�ADC`G;A�} CFOPAD�[ADCFOP} ADC`G;AWQS}|�FE Kø´ �@} AD9�QS�@iFQS}~Q>G;ADklE/ÏFC@} G;:lAqQ K } C@AqE K k�ADC`G;Am} CFOPAD�[ADCFOP} ADC`G;Aj=��} 9;ADk�:`Q ´ �@A ������������ AqQ��@C�QS}~Q>G;ADklE�:j9SG;:j{j:jCFE K OP:`QBE�OP:`Q�QS}

é.���¤ã&��lmê�ïnm9�po l ÿ ��� ÿ ' ãç),+�ã�qûå¨: � h � �7�:j9�AZê>ADk�� K :F6�A K QS}~Q>G;ADklE5OPA�<��@CF|} :jC@AqQ � h �[rk� QS} C +¤â2ã |:`Q +¤â=������� AqQl�@C QS}~Q>G;ADklE:j9SG;:j{j:jCFE K OP:`QBE�OP:`QB9;AqQS�[Aq|­G;:�E K �@9;:POP�F|­G;:�AqQ;|DE K E"9

é.-[ãZg@ê�ïnh �� � - � â � g � â �Zm â J QS�@k�} 9;ADk�:`Q ´ �@A�A K QS}~Q>G;ADklE#OPA�<��@CF|} :jC@AqQ ������ �� AqQ K } C@AqE K k�ADC`G;A�} CFOPAD�[ADCFOP} ADC#ØG;Aj=F��A(ÏFCFE"k�:`QBE�|:jC`G;} C_�FEj|} H:jC]A K QS}~Q>G;ADklE�OPAm<��@CF|} :jC@AqQ �1sP�5� � OPA�<�:j9;klE ´ �@As���ït�8�-ãts ' ïi� ' òIs ' o ��s��-ãusP�ýït���#ò � � �!F ��� s��po F s F ãOP:jCFOPA K EjQ4|:jCFQ>GRE"C`G;AqQ s��po F 6 +på;: 6 ~lï h ã 99 ãQ+£1 h QS:jC�GRE K AqQ ´ �@A s F AqQ4:j9SG;:j{j:jCFE KE#G;:POP:`Q K :`Q L Aq|­G;:j9;AqQ �Vv 6xw ï h ã y ã 99 ã&~/1 h 6@E"C`G;AD9;} :j9;AqQD=� K �@9;:P|AqQS:BE"C`G;AD9;} :j9¤QSA�OPADC@:jk�} CFE��@9;:P|AqQS:BOPA�:j9SG;:j{j:jCFE K } MqEj|} H:jC�OPA�Õ�9RE"k£Ø>�P|R�@k�}~O_Gq=×�AqOP}~E"C`G;A��@C�QSADCF|} K K :�| HE K |� K :��[:POPADk�:`Q¡|:jk��@9;:jiFE"9 ´ �@A sP� QSA��@�@AqOPA�AqQ;|9;} i@} 9¡OPA K E

QS} {j�@} ADC`G;A�<�:j9;klE

sP�lï hy � � �{zzzzzzzzzé.�8�-ã&�8�ê é.�8�-ã&� ' ê|_�_�_ é.�8�-ã&��� � �Dê �8�é.� ' ã&�8�ê é.� ' ã&� ' ê|_�_�_ é.� ' ã&��� � �Dê � '=== === = = = === ===é.���¤ã&�8�ê é.���¤ã&� ' ê}_�_�_ é.���¤ã&��� � �Dê*��� zzzzzzzzz

ã � y ´ �OP:jCFOPA y � QS:jC K :`QBOPAG;AD9;k�} CFE"C`G;AqQBOPA/Õ�9RE"k

y �ýï zzzzzzzzzé.�8�-ã&�8�ê é.�8�-ã&� ' ê~_�_�_ é.�8�-ã&��� � �Dê é.�8�-ã&���@êé.� ' ã&�8�ê é.� ' ã&� ' ê~_�_�_ é.� ' ã&��� � �Dê é.� ' ã&���@ê=== === = = = === ===é.���¤ã&�8�ê é.���¤ã&� ' ê�_�_�_ é.���¤ã&��� � �Dê é.���¤ã&���@ê zzzzzzzzz

hq 

Page 17: Problemas de Series y Transformadas de Fourier MMF II: Grupo I ...

J OPADk HEjQD6P�FE"9RE�|DEjO@E + G;ADC@ADk�:`QsP�lïi����ò � � �!F ��� s��po F � F ã��A K :�E"C`G;AD9;} :j9�OPAqOP�F|} k�:`Q ´ �@A sP� AqQ�:j9SG;:j{j:jCFE K E s F 6 ~�ï h ã y ã 99 ãQ+�1 h =× HEjQ�E H�@CV6K :`Q sP� QS:jC]�@CW|:jCê>�@C`G;: K } C@AqE K k�ADC`G;A�} CFOPAD�[ADCFOP} ADC`G;A#OPA ü QS}V§]Q H: K :ýQS} K :`Q y �pøï ´@6�FE"9RE�G;:POP: +på;: =e3O.��OäãMV�_I� V�XQ�Q�3V�[À�ZV�_CV7T#�#V7�7V��3]PXZY\_� K AZê>ADk�� K :�k HEjQ4QSADCF|} K K :�OPA K �@9;:P|AqQS:�E"C`G;AD9;} :j9�AqQ4|�FE"CFOP:mG;ADC@ADk�:`Q�A K AqQS�FEj|} :�OPAK EjQ¡<��@CF|} :jC@AqQ�OPA�|�FEjOP9REjOP:�} C`G;AD{j9RE"i K AmADC � c[ã&d � |:jC]�[AqQS:{� � â � ù ´@6P}©= Aj= 6

hkjl � - � â � � ' � � â �Zm â ±t» ��CýAqQ>G;A�AqQS�FEj|} :�A K �@9;:POP�F|­G;:#AqQ;|DE K E"9¡OPAmOP:`Q�<��@CF|} :jC@AqQ - § g QSAmOPA(ÏFC@A�k�AqOP}~E"C`G;A K E} C`G;AD{j9RE K

é.-[ãZg@ê�ïih jl - � â � g � â � � � â �Zm â2ã � yPh �§ K E�C@:j9;klE�OPA - L ADCFOP9 HE�O@EjO@E��[:j9 � � -P� �jï�v é.-[ã&-¤ê =��A(ÏFC@} 9;ADk�:`Q K :`Q�k�:jk�ADC`G;:`Q�� � OPA�� � â � k�AqOP}~E"C`G;A

h jl â F � � â �Zm â�ï � F ~lï ´ ã h ã y ã 99� � yjy%���C�EjOPA K E"C`G;A�EjQS�@k�} 9;ADk�:`Q ´ �@AmG;:POP:`Q K :`Q�k�:jk�ADC`G;:`QBQS:jC ÏFC@} G;:`QD=�]\`Ê�^!cdwjc`u3[^ �2ZdY � ÖjÎjÖ�ÒPÓ±Ö�Ô­ÒFÐRÍ­Ô­Ï@Þ×-ÓWÎjÍ�ÕF×-Ü ÏçÓ±×-á�Ïd×+Ô �-� � � �±î�Î-ÏçÛ;Íál×+Ô�ÑÒFÍ �-� � � �pÍ­ÔÒPÓ±Ö#Ô­ÒFÐRÍ­Ô­Ï@Þ×-ÓpÎjÍ¡ÕF×-Ü ÏçÓ±×-á�Ïd×+Ô�×-Û­ÙÚ×f�`×-Ó±Ö-Ü Í­Ô�H©Ë í���J ÐR×-ÓWÛ;Í­Ô©ÕFÍRÐÙÚ×ýÖlé�_ ã�_ ê�Ô­Ï!ÔDÍ#ÐÒPá�Õ±Ü ÍÑÒFÍu�ëjì � ��Í­Ô�ÒPÓ�ÕF×-Ü ÏçÓ±×-á�Ïd×]ÎjÍ��"Û;ÖjÎj×M+�îð_ì é � �±ã � l�ê�ï ´ ã�q øï}+�î±ÕFÖ-Û;ÖýÙÚ×qÎj× +�ã�q�ï ´ ã h ã y ã 99 îô`ì é � �±ã � �Fê�øï ´ î[ÕFÖ-Û;ÖýÙÚ×qÎj× +Wï ´ ã h ã y ã 99 ì� K QS} {j�@} ADC`G;A�G;AD:j9;ADklE#AqQB�@CFE�|:jCFQSAq|�@ADCF|}~E�OP} 9;Aq|­GRE�OPA K E�OPA(ÏFC@}~|} H:jC�E"C`G;AD9;} :j9

® \_3F/-\_t�a �2Z g ˤÍRÖ �-� � � � ÒPÓ±Ö�Ô­ÒFÐRÍ­Ô­Ï@Þ×-ÓþÎjÍ�ÕF×-Ü ÏçÓ±×-á�Ïd×+Ô]ÙÚÖ-Ü�ÑÒFÍ {j9REjOP: �-� � � ï +H©Ô­ÒFÐRÍ­Ô­Ï@Þ×-Ó�Ó±×-Û­álÖ-Ü Jjì\{ Ö+ÔmÔ­Ï �"ÒPÏdÍÓFÙÚÍ­Ô�ÖZ��Û­álÖjÐÏd×-ӱͭÔ�ÔD×-Ó ÍRÑÒPÏçØ-Ö-Ü ÍÓFÙÚÍ­Ô9�ëjì �-� � � ��Í­ÔmÒPÓ±Ö�Ë í�� Û;Í­Ô©ÕFÍRÐÙÚ×�Ö-Ü_Õ±Û;×qÎ-ÒFÐÙÚ×]Í­ÔDÐRÖ-Ü Ö-Û#é�_ ã�_ ê ìð_ì é¾��ã � �Fê�ï ´ î[ÕFÖ-Û;ÖýÙÚ×qÎj×�ÕF×-Ü ÏçÓ±×-á�Ïd×/�ªÎjÍ��"Û;ÖjÎj×�qÒ±6+�î

é¾��ã � �Fê�øï ´ î�Ô­Ï8�ªÍ­Ô�ÒPÓ�ÕF×-Ü ÏçÓ±×-á�Ïd×�ÎjÍ��"Û;ÖjÎj×M+ ìô`ì é�â l ã � �Fê�ïn�2�pm9�po l�î¡Îj×-Ó±ÎjÍ��2�Wøï ´ î.q�ï ´ ã h ã 99 ãQ+ ìz4:jk�:ý|:jCFQSAq|�@ADCF|}~EýOPA K �@9;:P|AqQS:ýOPA#:j9SG;:j{j:jCFE K } MqEj|} H:jC]OPAyÕ�9RE"k£Ø>�P|R�@k�}~O_G�E"� K } Ø

|DEjOP:lE K EjQ��[:"G;ADCF|}~EjQ �qâ F � F1� G G;ADC@ADk�:`Q ´ �@Ah �

Page 18: Problemas de Series y Transformadas de Fourier MMF II: Grupo I ...

® \_3F/-\_t�a �2Z x ˤÍRÖ£sÌÜ Ö�álÍRÎ-ÏdÎjÖ�Ö+ÔD×qÐÏdÖjÎjÖWÖýÜ ÖýÔ­ÒFÐRÍ­Ô­Ï@Þ×-Ó � � � � � ì ú Ó±ÖlÔ­ÒFÐRÍ­Ô­Ï@Þ×-Ó�ÎjÍÕF×-Ü ÏçÓ±×-á�Ïd×+Ô �-� � � �pÔDÍÛ�ÞÖlÒPÓ±Ö�Ë í�� Ô­Ï�è�Ô�Þ×-Ü ×lÔ­Ï

y �ýï zzzzzzzzz� G � � _�_�_ � �� � � ' _�_�_ � ��Ç��ììì ììì ì ì ì ììì� � � ��Ç��~_�_�_ � ' � zzzzzzzzz

øï ´ ã ),+ � ´ � ÎjÍá�ÞÖ+ÔRî�ÍÜ�ÐR×qÍ��¡ÐÏdÍÓFÙÚÍ�Õ±Û­ÏçÓ±ÐÏ ÕFÖ-Ü�c�� �-� � � â � ï c��_â � òa_�_�_ � ØqÏdÍÓ±ÍpÎjÖjÎj×�ÕF×-ÛWÜ Öa�Þ×-Û­á�ÒPÜ Ö/c��lïL�2� y � � �uË y � ì�4Q�< HEj|} K |:jk��@9;:jiFE"9 ´ �@A�A K �@9;:P|AqQS:#OPA Õ�9RE"k£Ø>�P|R�@k�}~O_G�OPAqQ;|9;} G;:�E"C`G;AD9;} :j9;k�ADC`G;A�C@:`Q|:jCFOP�F|A�E K ElQS} {j�@} ADC`G;AmA(³P�@9;AqQS} H:jC��FE"9RE K :`Q��[: K } C@:jk�} :`Q�k H:jC@}~|:`Q � �� � � â � ï hy � � � zzzzzzzzzzz

� G � ��_�_�_ � �� � � ' _�_�_ � ��Ç��=== === = = = ===� � � � � ��_�_�_ � ' � � �h â _�_�_ â �

zzzzzzzzzzzã y � � ì h ã +Wï ´ ã h ã y ã 99�

µ!E"k#i@} HADClAqQ4A L }~OPADC`G;A�OPA K E�< H:j9;k#� K E�E"C`G;AD9;} :j9 ´ �@A K E#QS�F|AqQS} H:jC �-� � � � AqQ4�@CFE��P7�¬�ק ´ �@A�EjOPADk HEjQ�AqQ>G HE�|:jk��@�@AqQ>GRE��[:j9B�[: K } C@:jk�} :`QB|:jC�|:_A(Ï[|} ADC`G;AqQ�9;AqE K AqQD=® \_3F/-\_t�a �2Z �(ˤÍRÖ �-� � � �ªÒPÓ±Ö�Ô­ÒFÐRÍ­Ô­Ï@Þ×-ÓÌÎjÍ�ÕF×-Ü ÏçÓ±×-á�Ïd×+Ô�×-Û­ÙÚ×f�`×-Ó±Ö-Ü Í­Ô�ÐR×-Ó Û;Í­Ô©ÕFÍRÐàÙÚ×�Ö-Ü�Õ±Û;×qÎ-ÒFÐÙÚ×�Í­ÔDÐRÖ-Ü Ö-Û�é>ãRê ì�< ÓFÙÚ×-Ó±ÐRÍ­Ô�Ü Ö5Ë í�� �-� � � ��ÔDÖ-Ù©Ï~Ô¾aÖjÐRÍ�ÒPÓ±Ö5Û;ÍÜ ÖjÐÏ@Þ×-Ó(ÎjÍÛ;ÍRÐÒPÛ­Û;ÍÓ±ÐÏdÖ�ÖlÙ©Û;Í­ÔmÙFÞÍÛ­á�ÏçÓ±×+Ô#ÎjÍ�Ü Ö�a×-Û­álÖ%�

â � � � â � ïts�� � ��Ç�� � â � ò®ð�� � � � â � ò��#� � � � � � â � � y n �Îj×-Ó±ÎjÍ#Ü ×+Ô#ÐR×qÍ��¡ÐÏdÍÓFÙÚÍ­Ô3s��[î\ð��[î�è[�#�pÔDÍ�Í;æ­Õ±Û;Í­ÔDÖ-ÓWálÍRÎ-ÏdÖ-ÓFÙÚÍ#Ü Ö+Ô7a�Þ×-Û­á�ÒPÜ Ö+Ô9�

s��ýï é�â � �¤ã � ��Ç��Dêÿ�� ��Ç�� ÿ(' ã¦ð��lï é�â � �¤ã � �@ê

ÿ�� � ÿ(' ãt�#�ýï é�â � �¤ã � � � �Dêÿ�� � � � ÿ(' � y � �Õ�ADC@AD9RE K k�ADC`G;AýQSA�QS�@A K Al} k��[:jC@AD9 ´ �@A � � � � â � ï ´�§ � G � â � ï h 6!|:jC K : ´ �@Aý�@CFE�P7�¬ ´ �@AqO@EýOPAG;AD9;k�} CFEjO@E�OPA�<�:j9;klE H�@C@}~|DEý|:jC@:P|}~O@EjQ K EjQ�QS�F|AqQS} :jC@AqQ � s�� � � 6 � ð�� � �§ � �#� � � =¬�G;9RE�<�:j9;klE�OPA�|DE K |� K E"9 K :`QB|:_A(Ï[|} ADC`G;AqQ � y � � AqQ�k�AqOP}~E"C`G;A K EjQ�A(³P�@9;AqQS} :jC@AqQs��ýï c��c���Ç�� ã ð��ýï dK�c�� 1 dK��Ç��c���Ç�� ãu�#�lï " �/1Cs�� " ��Ç��c�� � � 1 dK�c�� � � ð��±ã � y � �

OP:jCFOPA c�� 6 dK� § " � QS:jC K :`QB|:_A(Ï[|} ADC`G;AqQBOPA K OPAqQ;E"9;9;: K K :� � � â � ï¹c��_â � òkdK�`â � � � ò " �Pâ � � ' òL_�_�_ ��A K EjQ�A(³P�@9;AqQS} :jC@AqQ�E"C`G;AD9;} :j9;AqQ4§ � y � � QSA�OPAqOP�F|A ´ �@A �#�lïts�� � � ÿ�� � ÿ ' Ë ÿ�� � � � ÿ ' =z4:jk�:p�@C |:j9;: K E"9;} :pOPA � y n � QSA�:jiPG;} ADC@A K E |:jC@:P|}~O@E�< H:j9;k#� K EpOPApz4�@9;}~Q>G;:�g±A K Ø

��E"9;i[:j�#³]|�@§`E��@9;�@ADiFE�QSA�OPAZêSEl|:jk�:�AZê>AD9R|}~|} :F=huÆ

Page 19: Problemas de Series y Transformadas de Fourier MMF II: Grupo I ...

® \_3F/-\_t�a �2Zç£�Ë[Ï �-� � � �WÍ­Ô�ÒPÓ±ÖmÔ­ÒFÐRÍ­Ô­Ï@Þ×-Ó�ÎjÍ�ÕF×-Ü ÏçÓ±×-á�Ïd×+Ôm×-Û­ÙÚ×f�`×-Ó±Ö-Ü Í­ÔmÑÒFÍBÔDÖ-Ù©Ï~Ô¾aÖjÐRÍÜ ÖlÛ;ÍÜ ÖjÐÏ@Þ×-Ó5ÎjÍ#Û;ÍRÐÒPÛ­Û;ÍÓ±ÐÏdÖ�ÖlÙ©Û;Í­ÔmÙFÞÍÛ­á�ÏçÓ±×+Ô�H ð`ôKJjì\< ÓFÙÚ×-Ó±ÐRÍ­Ô�ÔDÍ�ÐÒPá�Õ±Ü Í�ÑÒFÍu�

ÓmAD9 � � â2ãSä � � ï �!l��8G � l � â � � l � ä �ÿ�� l ÿ('ï s��ÿ�� � ÿ(' � ��Ç�� � â � � � � ä � 1 � ��Ç�� � ä � � � � â �â21pä ã + � h � y" ��

�_}��FEj|ADk�:`Q]G;ADCFOPAD9 ä ² â 6�:jiPG;ADC@ADk�:`Q K E�< H:j9;k#� K E ÐR×-Ó1�¡ÒFÍÓFÙÚÍ OPA�z4�@9;}~Q>G;:�g±A K Ø��E"9;i[:j�#³ �ÓmAD9 � � â2ãSâ � ì �!l��8G � 'l � â �m 'l ï s��m '� b � º��Ç�� � â � � � � â � 1 � ��Ç�� � â � � º� � â � e + � h � y � ��m/-3F143[fqcdwjc`u3[^ �2Z~� { ×+Ô�ÕF×-Ü ÏçÓ±×-á�Ïd×+ÔlÓ�ÞÒFÐÜ ÍR×+Ô�ÔDÖ-Ù©Ï~Ô¾aÖjÐRÍÓ�Ü Ö]Ô­Ï �"ÒPÏdÍÓFÙÚÍ�Õ±Û;×;Õ±ÏdÍRÎjÖjÎ 9;A(Ø�@9;:POP�F|­G;:j9RE

é � � â � ã ÓmAD9 � � â2ãSä � ê4ï�� � ä � ã*)p� � â � å���� � y�Æ���lÈ � �#� à ���D�D����� ��#���#�����/�#���� ����ûX�� T ����XB�#���OQNPOäãM]^Y\�8�3]P�8�=åV��·���Z¯&Y=T$Y\���8�Z]PX�B��Z� Y=T$�7Y=V�[ åY8�#T5�Q�,]�ON��@AqQ>G;9;:ý:ji#ê>AG;} L :�QSAD9 HElAqQ>G;�FOP}~E"9 K :`Q��[: K } C@:jk�} :`Q�:j9SG;:j{j:jCFE K AqQB| K HEjQS}~|:`Q�OPA(ÏFC@}~OP:`Q

QS:ji@9;A�A K AZê>A�9;AqE K@K :`Q¡|�FE K AqQ L E"k�:`Q4E�OPA(ÏFC@} 9�|:jk�: K EjQ4QS: K �F|} :jC@AqQ��[: K } C H:jk�}~|DEjQ4OPA K EQS} {j�@} ADC`G;A��4��¬ � � â � ä º º ò�� � â � ä º ò�õ@älï ´ ã � y � �OP:jCFOPA

�§ � QS:jC5�[: K } C@:jk�} :`Q�OPA�{j9REjOP:`Q�E K :�k HEjQ y § h 6V9;AqQS�[Aq|­G;} L E"k�ADC`G;Aj=!�4Q>GRE

Aq|�FEj|} H:jC � y � � �FQS�FE K k�ADC`G;A]QSA�OPADC@:jk�} CFE ÍRÐÒFÖjÐÏ@Þ×-ÓªÎ-Ï aÍÛ;ÍÓ±ÐÏdÖ-Ü�p_Ï ÕFÍÛ.�`ÍR×-áªÞÍÙ©Û­ÏdÐRÖ §QS�FQ�QS: K �F|} :jC@AqQ ä |�@k�� K ADC�|:jC K Eý�@9;:j�@} AqO@EjO¤6[|:jC@:P|}~O@El|:jk�: Õ±Û;×;Õ±ÏdÍRÎjÖjÎ�ÎjÍMp_Ï ÕFÍÛ­à�`ÍR×-álÍÙ©Û­ÏdÐÏdÎjÖjÎ � Ë[Ϥä�Í­ÔmÒPÓ±Ö�ÔD×-Ü ÒFÐÏ@Þ×-Ó ÎjÍ H ð$�KJ Ô­Ò_Ô k à±ÞÍ­Ô­ÏçálÖ+Ô�ÎjÍÛ­ÏçØ-ÖjÎjÖ+Ô�ä < l�= ì äxlÔDÖ-Ù©Ï~Ô¾aÖjÐRÍÓpÒPÓ±ÖýÍRÐÒFÖjÐÏ@Þ×-Ó5ÎjÍÜVá�Ï~Ô­ál×ýÙ©Ï ÕF× =® \_3F/-\_t�a £¤ZdYªË[Ϥä5Í­ÔmÒPÓ±Ö�ÔD×-Ü ÒFÐÏ@Þ×-Ó ÎjÍ2H ð$�KJ Ô­Ò_Ô k à±ÞÍ­Ô­ÏçálÖ+Ô#ÎjÍÛ­ÏçØ-ÖjÎjÖ+Ô�ä < l�= ì äxlÔDÖ-Ù©Ï~Ô¾aÖjÐRÍÓpÜ Ö�ÍRÐÒFÖjÐÏ@Þ×-Ó � � â � ä#º ºl ò���l � â � ä#ºl ò � l�äxlÌï ´ ã��l � â � ïL� � â � ò�q � º � â � ã � lÌïªõ�ò l � �! � �8G � º� � â � ïóõ�ò�q�� º � â � ò l < l � ��=' � º º � â � � nj´ ��2E��@9;:j�@} AqO@EjOlOPA��@} �[AD9;{jAD:jk�AG;9;}~|}~O@EjO�AqQ4AqQ4k#�@§�} k��[:j9SGRE"C`G;A��@�@AqQ4C@:`Q��[AD9;k�} G;A

ADCF|:jC`G;9RE"9��@CFEý< H:j9;k#� K ElA(³P� K H� |} GREl�FE"9RE K :`Q��[: K } C@:jk�} :`Q ´ �@A�Q;E-G;}~Q><dEj|ADC K EýAq|�FEj|} H:jC� y � � =_7�E"9REmA K K :#�FQS�FE K k�ADC`G;A�QSA�AqQ;|9;} i[ADC � y � � § � nj´ � ADC�QS�l<�:j9;klE Ô­ÏçáªÞÍÙ©Û­ÏdÐRÖý×lÖ-ÒPÙÚ×-àÐR×-Ó9½­Ò%�`ÖjÎjÖ �b � � â � � � â � ä º e º ò�õ � � â � äýï ´ ã�b � � â � � l � â � ä ºl e º ò � l � l � â � äxl�ï ´ ã � n h �

h �

Page 20: Problemas de Series y Transformadas de Fourier MMF II: Grupo I ...

OP:jCFOPA[�ý§�� l QS:jC�<��@CF|} :jC@AqQ�OPA�QS} k�AG;9;} MqEj|} H:jC ´ �@A�Q;E-G;}~Q><dEj|ADC K EjQ�Aq|�FEj|} :jC@AqQ�OP} <�A(Ø9;ADCF|}~E K AqQ�OPA��@9;} k�AD9B:j9ROPADC � |:jC@:P|}~O@EjQB|:jk�:�Aq|�FEj|} :jC@AqQBOPA�7�AqE"9RQS:jC � �b � � â � � � â � e º ïL� � â � � � â � ã b � � â � � l � â � e º ï���l � â � � l � â � z4:jC@:P|}~O@E��lADCF|:jC`G;9RE"k�:`QD6_�PG;} K } MqE"CFOP: K EjQ�Aq|�FEj|} :jC@AqQBE"C`G;AD9;} :j9;AqQD6 ´ �@A� l � â � ï � l � â � � � â � � n y%�® \_3F/-\_t�a £¤Z g Ë[Ï4ÕFÖ-Û;Ö ÙÚ×qÎj× ~ªå�:nrk� ´ �jî �$ºVòn~ � º º¾Ë y øï ´ î#ÍÓFÙÚ×-Ó±ÐRÍ­Ô�ÕFÖ-Û;Ö Ü Ö+ÔÔD×-Ü ÒFÐÏd×-ӱͭԡÕF×-Ü ÏçÓ�Þ×-á�ÏdÐRÖ+Ô�ÎjÍ�Ü Ö�ÍRÐÒFÖjÐÏ@Þ×-ÓkH ô Ú J ÔDÍ�Ù©ÏdÍÓ±Í�Ü Ö�Ô­Ï �"ÒPÏdÍÓFÙÚÍ�a�Þ×-Û­á�ÒPÜ Ö�ÎjÍ���×-àÎ-Û­Ï �"ÒFÍ­Ô9� � < l�=� � â � ï Á ��l�%��� l � â � m � � lm â � � l b � � � â � e°ã %��ýï � < ��=�Á ��� ã � njn �

Á ��lÌï Á l � õ � � �u��� A ï +/�� +;1dq � � l � ��F �8G b � º ò ñ) � +ýòk~£1 h � � º º e � n"� �� ÎjÍá�ÞÖ+ÔRî�ÍÜ!Ö-ÒPÙÚ×-Ø-Ö-Ü ×-Û�õ5��ÎjÍ2H ð$�KJ Í­Ô

õ ì õ5�lï�1�+.� º 1 + � +�1 h �y� º º � n`� �

z4�FE"CFOP: q�ï ´ K E�< H:j9;k#� K E � njn � QSAm|:jC L } AD9SG;A�ADC K E a�Þ×-Û­á�ÒPÜ Ö�ÎjÍ���×qÎ-Û­Ï �"ÒFÍ­Ô �FE"9RE K :`Q�[: K } C@:jk�} :`QB| K HEjQS}~|:`Q� � � â � ï %��� � â � m �m â � b � � � â � � � â � e°ã¦+Wï ´ ã h ã y ã � � n  ���_}[} k��[:jC@ADk�:`Q4�@CFEjQ¡QSADCF|} K K EjQ¡|:jCFOP}~|} :jC@AqQ4EjOP}~|} :jCFE K AqQ4QSA�G;} ADC@A ´ �@A K EjQ¡QS: K �F|} :�Ø

C@AqQBOPA � y � � QS:jC]:j9SG;:j{j:jCFE K AqQ¡OP:`QBElOP:`Q �® \_3F/-\_t�a £¤Z x Ë[ÒqÕF×-Ó��`Ö-ál×+ÔWÑÒFÍlâ F � � â � � � â � zzz Å � l o j

ï ´ î¡ÕFÖ-Û;Ö ÙÚ×qÎj× ~ � ´ ì�< ÓFàÙÚ×-Ó±ÐRÍ­Ô�Ü Ö+Ô�ÔD×-Ü ÒFÐÏd×-ӱͭÔBÕF×-Ü ÏçÓ�Þ×-á�ÏdÐRÖ+Ô � ��ÎjÍ�Ü Ö�ÍRÐÒFÖjÐÏ@Þ×-Ó}H ð$�KJ ÐR×-Ó@Ô­Ù©ÏçÙ©ÒPèjÍÓpÒPÓ±ÖlË í��Û;Í­Ô©ÕFÍRÐÙÚ×�Ö�Ü Ö�aRÒPÓ±ÐÏ@Þ×-Ó�ÕFÍ­ÔD× � ÎjÍ���ÓFÏdÎjÖ�ÕF×-Û#Ü Ö�ÍRÐÒFÖjÐÏ@Þ×-Ó®b � � â � � � â � erº�ï � � â � � � â � î�×ÔDÍRÖ+î�ÔDÍ#ÐÒPá�Õ±Ü Í�ÑÒFÍu�

h jl � � � â � � l � â � � � â �Zm âWïnm9��l m '� ã � n_� �Îj×-Ó±ÎjÍ�m9��l�Í­Ô�ÍÜVÔ[Þß á�4R×-Ü ×]ÎjÍ�¡#Û;×-Ó±ÍRÐ�¢jÍÛ�è m � Ü ÖlÓ±×-Û­álÖ�ÎjÍ#Ü ×+Ô¡ÕF×-Ü ÏçÓ±×-á�Ïd×+Ô � � ì£ 3F/-3[bdaP/-cd3 £¤Z ��Ë[Ï �-� � � ��Í­Ô�ÒPÓ±Ö3aÖ-á�ÏçÜ ÏdÖ�ÎjÍBÕF×-Ü ÏçÓ±×-á�Ïd×+Ô�×-Û­ÙÚ×f�`×-Ó±Ö-Ü Í­Ô#Û;Í­Ô©ÕFÍRÐÙÚ×�Ö �ÍÓFÙÚ×-Ó±ÐRÍ­Ô4ÕFÖ-Û;ÖýÙÚ×qÎj×/~�奤mî ´ � ~ � +�1 h ÔDÍ�Ù©ÏdÍÓ±Í�ÑÒFÍ�h jl â F � � � â � � � â �Zm â�ï ´ ì7�E"9RE¡|DE K |� K E"9 m '� 6D�[:POPADk�:`Q¤�PG;} K } MqE"9 K E¡< H:j9;k#� K E�OPA4?B:POP9;} {j�@AqQ ´ �@Aj6DQS�FQ>G;} G;�@§ HADCFOP:�Ø

K E�ADC � n_� � A�} C`G;AD{j9RE"CFOP:��[:j9B�FE"9SG;AqQD6PC@:`QBO@E �m '� ïn%�� � 1 h � � +/� c���h jl � � � â � � � â �Zm â � n Æ��

7�E"9RE�|DE K |� K E"9 K :`Q�|:_A(Ï[|} ADC`G;AqQ��@9;} CF|} �FE K AqQ c�� § dK� 6FC@Aq|AqQ;E"9;} :`Q��FE"9RE�ADCF|:jC`G;9RE"9K :`Q�|:_A(Ï[|} ADC`G;AqQ�OPA K E�?�?�µBµ � y n � �[:POPADk�:`Q¡�FQ;E"9 K E�< H:j9;k#� K E�OPAm?B:POP9;} {j�@AqQ¡�FE"9RE K E

y ´

Page 21: Problemas de Series y Transformadas de Fourier MMF II: Grupo I ...

+/1 h Ø HAqQS} klE�OPAD9;} L EjO@E�OPA � � � � < � � ��=� � â � ï Á ��� � ��%��p�9� � � � â � 6 OPA�OP:jCFOPA�:jiPG;ADC@ADk�:`QK E�} {j�FE K O@EjO � � < � � ��=� � â � ï¹+/� c��_â�ò � +�1 h � � dK�lï Á ��� � ��%��p�9� � � � â � �V�@AD{j:F6

c��lï %�� Á ���+/� ïL%�� � � ��F �8G b � º ò ñ) � +�òk~/1 h � � º º e°ã dK�lï +.�9� � � � ´ �� º� � � c�� � nj� ���A K E�< H:j9;k#� K E�OPA ?B:POP9;} {j�@AqQ�QSA OPAqOP�F|ADCª�@CFEþQSAD9;} ApOPA5|:jCFQSAq|�@ADCF|}~EjQýk#�@§

} C`G;AD9;AqQ;E"C`G;AqQh = � AqQ��@C��[: K } C@:jk�} :lOPA�{j9REjOP:�A(³@Ej|­GRE"k�ADC`G;Am�@C@:F=y =8µ2:jklE"CFOP: q�ï h ADC K E#< H:j9;k#� K E � njn � QSA�OPAqOP�F|A ´ �@A� º� � â � ï 1�õ5�V%��¦%�� � � ¦� � � � � â � ã � �`´ �

OP:jCFOPA ¦� � � � OPADC@:"GRE�E K �[: K } C@:jk�} :�:j9SG;:j{j:jCFE K 9;AqQS�[Aq|­G;: E K E�<��@CF|} H:jCÌ�[AqQS:� � � â � ï � � â � � � â � =n@= �_}±AqQ;|9;} i@} k�:`Q K E�< H:j9;k#� K E � njn � �FE"9RE�A K �[: K } C@:jk�} :�OPAm{j9REjOP: +�ò h :jiPG;ADC@ADk�:`Q

�@CFE#< H:j9;k#� K E�OPA�OP} <�AD9;ADCF|}~Ej|} H:jC� � â � � º� � â � ï õ5�+.� º�¨§ �9� � â � � � � â � 1 %��%���Ç�� � ��Ç�� � â ��© � � h �OPA K El|�FE K QSA�OPAqOP�F|A��@CFE�9;A K Ej|} H:jC�OPAmAqQ>G;9;�F|­G;�@9RE� � â � � º� � â � ï Üs�� � ��Ç�� � â � ò Üð�� � � � â � ò Ü�#� � � � � � â � ã + � ´ ã � � y%�OP:jCFOPAÜs��ýï õ5�+.� º� § s��V� º� 1 %��%���Ç�� © ã Üð��ýï õ5�+.� º� b ð��p� º� ò��9� � ´ � e`ã Ü�#�lï õ5�$�#�+ � �`n �

�F= �_}!OPA(ÏFC@} k�:`Q�ª � � â � 쬫'­A1®p¯ < Å =��Ç�� 6[ADC`G;:jCF|AqQ K :`QB�[: K } C@:jk�} :`Q�:j9SG;:j{j:jCFE K AqQ�k H:jC@} Ø|:`Q � � � â � ïþâ � ò¥_�_�_ 6jQS: K �F|} :jC@AqQ!OPA K E�Aq|�FEj|} H:jC � y � � 6"Q;E-G;}~Q><dEj|ADC K EmQS} {j�@} ADC`G;A9;A K Ej|} H:jC]OPA�AqQ>G;9;�F|­G;�@9RE �� � � â � ï ª ��ò&m9� ª � � ��òI¥&� ª � � ' � �j� ���O.��OäãMV�_IR;V�XQ�Q�3V�[À�ZV�_C�3Y±°iY=T5[À�Ý�#Y�²�ãM]E���3Y=T$T$Y ³µ´§]P�,V7W��(O

£¤Z g ZdY[Z ��aP/�ua@t�\`rD/-3[fl�m/-cd^!wjc�1�a@bd\_f Zz4:jk�ADC@MqE"9;ADk�:`Q�AqQ;|9;} i@} ADCFOP: K :`Q��@9;} CF|} �FE K AqQ��FE"9 HE"k�AG;9;:`QmOPA K EjQ#QS�F|AqQS} :jC@AqQ�OPA

�[: K } C@:jk�} :`QB:j9SG;:j{j:jCFE K AqQ�k H:jC@}~|:`Q�| K HEjQS}~|:`QD6PAqQ�OPAq|} 9q6@GRE K AqQ ´ �@A#QS�W|:_A(Ï[|} ADC`G;A��@9;} C#Ø|} �FE K c��þï h 6�}©= Aj= 6 � � � â � ï�â � òndK�_â � � � ò¶_�_�_ =�H�4Q>G;:`Q�QSA]�@�@AqOPADCþ| K EjQS} Ï[|DE"9#ADCG;9;AqQ�{j9RE"CFOPAqQ�<dE"k�} K }~EjQ�ADC�<��@CF|} H:jC OPA K {j9REjOP: OPA K �[: K } C@:jk�} :

� � � QS} ADk��@9;A�AqQ��@C�[: K } C@:jk�} :�OPA�{j9REjOP: h � =[z4�FE"CFOP: � AqQ��@C]�[: K } C@:jk�} :lOPAm{j9REjOP:�|AD9;: K :`Q¡�[: K } C@:jk�} :`Q

yPh

Page 22: Problemas de Series y Transformadas de Fourier MMF II: Grupo I ...

z4�FEjOP9;: h � z K EjQS} Ï[|DEj|} H:jC]OPA K EjQ��P7�¬�z K HEjQS}~|DEjQD=� � � â � · � � â � ¸ Ä� � â � � Ä o ¹� � â �� � â � h â h 1pâ '� � â � 1 y â 1Bâ�òIs�ò h 1 � s�ò®ð]ò y%� â�ò®ð¨1Csõ5� y + + + � +ýòIs�ò®ð]ò h �� � â � à � Å : â,Ä5à � Å � h 1pâ � Ä � h ò5â � ¹s5ùn1 h s4ãQð5ùi1 h� � � â � à � Å : â ��Ç Ä5à � Å � h 1pâ � ��Ç Ä � h ò5â � ��ÇX¹

|:j9;9;AqQS�[:jCFOP} ADC`G;AqQ�QSA�OPADC@:jk�} CFE"C í ×-Ü ÏçÓ±×-á�Ïd×+Ô�ÎjÍ�º#ÍÛ­á�ÏçÙÚÍ · � � â � 6V|�FE"CFOP: � AqQ�OPA{j9REjOP: h 6 í ×-Ü ÏçÓ±×-á�Ïd×+Ô�ÎjÍ { Ö9�"ÒFÍÛ­Û;Í ¸ Ä� � â � §�|�FE"CFOP: � AqQ�OPA�{j9REjOP: y 6 í ×-Ü ÏçÓ±×-á�Ïd×+ÔÎjͼ»PÖjÐR×%4Ï � Ä o ¹� � â � 6@9;AqQS�[Aq|­G;} L E"k�ADC`G;Aj=P��C K EjQ4GRE"i K EjQ h § y AqQ>G HE"C]9;AD�@9;AqQSADC`GREjOP:`Q K :`Q�@9;} CF|} �FE K AqQB�FE"9 HE"k�AG;9;:`Q�OPA#OP}~|R�FEjQ�<dE"k�} K }~EjQD6FADC K EjQ�|�FE K AqQ � c � � OPADC@:"GREýE K Q H� k#i[: K :OPA�7�:P|R�@�FE"k�k�AD9� c � G�ï h ã � c � F ïtc � cmò h � _x_�_ � cmòk~£1 h � ã3~lï h ã y ã n ã � � �_� �£¤Z g Z g Z�½ \`1!/-\_fq\_^±rqa@wjc`u3[^LD!c�14\`/-s[\_3[tvu\`rD/-cdwja Z

��A K E�< H:j9;k#� K EmOPA�?B:POP9;} {j�@AqQD6-:��FQ;E"CFOP:mA K k HAG;:POP:�OPA K EjQ�QSAD9;} AqQ�OPAB�[:"G;ADCF|}~EjQD6� njn � QSA��@�@AqOPA�:jiPG;ADC@AD9 K E�9;AD�@9;AqQSADC`GREj|} H:jC�OPA K :`Q4�[: K } C@:jk�} :`Q�OPAm¦�AD9;k�} G;Aj6P�2E"{j�@AD9;9;A§ý¨`Ej|:ji@}[ADCýG HAD9;k�} C@:`Q¡OPA K E�<��@CF|} H:jC��@} �[AD9;{jAD:jk HAG;9;}~|DE�OPA ÕmE"�FQ;Q '�¾ � OPA(ÏFC@}~O@E#ADC�A K|DEjQS:�k HEjQ�{jADC@AD9RE K OPA�<�:j9;klE �¿ � > F c$�-ãfc ' ã ãfc ¿d9�+ã&d ' ã ã&d > zzzz

â G ï �!F �8G � c$� � F � c ' � F _x_�_ � c ¿ � F� d9� � F � d ' � F _x_�_ � d > � F â F~X� � �  ����A�AqQ>GRE�klE"C@AD9RE�ADCF|:jC`G;9RE"k�:`Q ´ �@A �· ' l � â � ï � 1 h � l F hy G l � � � F 1+q�' zzzz

â ' G ã· ' l�Ç�� � â � ï � 1 h � l F n y G l â�� � � F 1+q(' zzzzâ ' G ã � �P� �

¸ Ä� � â � ï � 1 h � �VÀ � +ýòIs�ò h �À � s�ò h � � � � F 1�+s�ò h zzzzâ G ã � � Æ��� Ä o ¹� � â � ï y � � s�ò h � �� +�òIs�ò®ð]ò h � � ' � � F 1�+�ãQ+lòIs�ò®ð]ò hs�ò h zzzzh 1pây G � �`� �

yjy

Page 23: Problemas de Series y Transformadas de Fourier MMF II: Grupo I ...

z4�FEjOP9;: y � 7�E"9 HE"k�AG;9;:`Q¡OPA K EjQ��P7�¬�× H:jC@}~|DEjQ � c��lï h � =ÁXÂÄÃÆÅÄÇ È[ÂÄÃÆÅÄÇ É'Ê ÃÆÅÄÇ Á�ÊpË Ì ÃÆÅÄÇÍ Â Ã�Î+Ï�Ç ÂÐ Â Ã�Î+Ï�Ç Â Ã�Î+Ï�Ç ÂÃÆÑ�Ò¥Ó�ÒÕÔ�ÒdÏ�Ç�ÂÖ Â × Î�Ñ'ÃÆÑ�Ò¥Ó'Ç Ñ'ÃÆÓ�ÎØÔ.ÇÐ Ñ�Ò¥Ó�ÒÕÔÙ ) Ñ.Ú Û ÜÐ Â Ý ÃÆÑ�Ò¥Ó�Ò�Ï�Ç�Ñ.Ú Ð ÊxÞVÌ!Þ ) Â Þ ñ Ñ.Ú Ý ÃÆÑ�Ò¥Ó�Ò�Ï�Ç Ý ÃÆÑ�ÒÕÔ¼Ò�Ï�ÇÝ ÃÆÑ�ÒÕÓ{ÒÕÔ¼Ò�Ï�ÇNà РÑ�ÒÕÓ{Ò�Ô�Ò�Ï�ÇNÃÆÑ�Ò¥Ó�ÒÕÔ¼Ò�Ï�Ç )ÂÓ.Â Ï Ï ÏÔVÂ × Ð Ñ�Ò¥Ó�Ò�Ï Ô ) ÎØÓ )à РÑ�Ò¥Ó{Ò�Ô.ÇNà РÑ�Ò Ð Ò¥Ó{Ò�Ô.Çß Â Ñ Ð Ñ'ÃÆÑ�Ò¥Ó'Ç à Ñ'ÃÆÑ�Ò¥Ó'ÇNÃÆÑ�ÒÕÔ.ÇNÃÆÑ�Ò¥Ó�ÒÕÔ.Çà РÑ�Ò¥Ó�ÒÕÔ{ÎáÏ�ÇNà РÑ�ÒÕÓ{ÒÕÔ.Ç ) à РÑ�Ò¥Ó�ÒÕÔ¼Ò�Ï�ÇâÓ.Â × × Î�ÑâÔVÂ × Ñ Ð ÃÆÓ�Î�Ô.Ç�Ñ'ÃÆÑ�Ò¥Ó�ÒÕÔ¼Ò�Ï�Çà РÑ�Ò¥Ó{Ò�Ô.ÇNà РÑ�Ò Ð Ò¥Ó{Ò�Ô.Çâß Â Ñ Ñ'ÃÆÑ�Ò¥Ó'Ç à Ñ'ÃÆÑ�Ò¥Ó'ÇNÃÆÑ�ÒÕÔ.ÇNÃÆÑ�Ò¥Ó�ÒÕÔ.ÇNÃÆÑ�Ò¥Ó�ÒÕÔ¼Ò�Ï�Çà РÑ�Ò¥Ó�ÒÕÔ{ÎáÏ�ÇNà РÑ�ÒÕÓ{ÒÕÔ.Ç ) à РÑ�Ò¥Ó�ÒÕÔ¼Ò�Ï�Çã Â × Ñ Ð Ñ'ÃÆÓ�ÎØÔ.Çà РÑ�Ò¥Ó{Ò�Ô.ÇNà РÑ�Ò Ð Ò¥Ó{Ò�Ô.Çä Â × × Î à Ñ'ÃÆÑ�ÎáÏ�ÇNÃÆÑ�Ò¥Ó'ÇNÃÆÑ�ÒÕÔ.Çà РÑ�ÒÕÓ{ÒÕÔ{ÎáÏ�ÇNà РÑ�Ò¥Ó{Ò�Ô.Ç ) à РÑ�Ò¥Ó�ÒÕÔ¼Ò�Ï�Ç£¤Z g Z x Z £ a@fq3[f�1�aP/+rqcdwj0!bdaP/-\_f Zh =8�V:`Q¡�[: K } C@:jk�} :`QBOPA��VAD{jADCFOP9;A � � � â � ï � G�o G� � â � =y =8�V:`Q¡�[: K } C@:jk�} :`QBOPA�z4�@ADi_§PQS�@A L OPA��@9;} k�AD9RE#AqQS�[Aq|} A È8� � â � �È8� � â � ï � � ñ) o � ñ)� � â � ï h

y � � � |:`Q b + E"9R|D|:`Q � â � e n@=8�V:`Q¡�[: K } C@:jk�} :`QBOPA�z4�@ADi_§PQS�@A L OPA�QSAD{j�@CFO@E#AqQS�[Aq|} A�å � � â � �å � � â � ï � ñ) o ñ)� � â � ï h

y � QSADC b � +�ò h � E"9R|D|:`Q � â � eQSADC b E"9R|D|:`Q � â � e �F=8�V:`Q¡�[: K } C@:jk�} :`QBOPA/Õ�AD{jADC_iFE"�@AD9+æ �� � â � �æ[ç � � â � ï � ç � ñ) o ç � ñ)� � â � ãt��ùn1 ñ)

y n

Page 24: Problemas de Series y Transformadas de Fourier MMF II: Grupo I ...

£¤Z g Z �2Z�è rD/-a@flwjaP/-a@w"rq\`/PuH fDrqcdwja@f Zz4:jk�:m|:jCFQSAq|�@ADCF|}~EmOPA K EjQ!< H:j9;k#� K EjQ�E"C`G;AD9;} :j9;AqQ!�[:POPADk�:`Q�:jiPG;ADC@AD9 K :`Q L E K :j9;AqQ

OPA K :`Q��[: K } C@:jk�} :`Q�ADC K :`Q�A(³_G;9;ADk�:`QBOPA K } C`G;AD9 L E K :�OPA�:j9SG;:j{j:jCFE K }~O@EjO¤=· ' l � ´ � ï � 1 h � l � y q � �y ' l qd� ã · ' l�Ç��Bï ´ ã ¸ Ä� � ´ � ï � 1 h � �VÀ � +ýòIs�ò h �À � s�ò h � ã� Ä o ¹� � h � ï y � � s�ò h � �� +ýòIs�ò®ð]ò h � � ã � Ä o ¹� � 1 h � ï � 1 h � � y � � ð]ò h � �� +ýòIs�ò®ð]ò h � � � �"´ �¬BG;} K } MqE"CFOP: K E]< H:j9;k#� K E � �`´ � ADCF|:jC`G;9RE"k�:`Q K EjQmAq|�FEj|} :jC@AqQ ��é ï h ã y ã n ã 6 + ï

´ ã h ã y ã � �� · � � â �Q� <ëê = ï +/�� +�1 é � � · � � ê � â � ã � ¸ Ä� � â �Q� <ëê = ï +/�� +;1 é � � ¸ Ä Ç ê� � ê � â � ã � � h ��-� Ä o ¹� � â �Q� <ëê = ï +/�� +�1 é � � � Ä Ç ê o ¹�Ç ê� � ê � â � ã � � y%�

OP:jCFOPA �-� � � â �Q��<ëê = OPADC@:"GRE K E é 1 HAqQS} klE�OPAD9;} L EjO@E�OPA � � � â � =��} 9;Aq|­GRE"k�ADC`G;A�Em�FE"9SG;} 94OPA K EjQ�|:j9;9;AqQS�[:jCFOP} ADC`G;AqQ��4��¬�Q�QSAB�@�@AqOPA��@9;:jiFE"9 ´ �@A K :`Q

�[: K } C@:jk�} :`Q�OPA�¦�AD9;k�} G;A�§�Õ�AD{jADC_iFE"�@AD94QSA�9;A K Ej|} :jCFE"C�|:jC K :`Q4OPA�¦�AD9;k�} G;A�§�¨`Ej|:ji@}©69;AqQS�[Aq|­G;} L E"k�ADC`G;Amk�AqOP}~E"C`G;A K EjQBQS} {j�@} ADC`G;AqQ�9;A K Ej|} :jC@AqQ �· ' l � â � ï ¸ � ñ)l � â ' � ã · ' l�Ç�� � â � ïþâ ¸ ñ)l � â ' � ãæ ç ' l � â � ï � ç � ñ) o ç � ñ)' l � â � ï h

y l � ç � ñ) o � ñ)l � y â ' 1 h � ãæ ç ' l�Ç�� � â � ï � ç � ñ) o ç � ñ)' l�Ç�� � â � ï hy l â � ç � ñ) o ñ)l � y â ' 1 h �

� �"n �J OPADk HEjQD6FOPA K E�< H:j9;k#� K ElOPA�?B:POP9;} {j�@AqQ�QSA��@�@AqOPA�ADCF|:jC`G;9RE"9 K ElQS} {j�@} ADC`G;A��@9;:j�@} AqO@EjOOPA�QS} k�AG;9 H� E#�FE"9RE K :`Q��[: K } C@:jk�} :`QBOPA�¨`Ej|:ji@} �� ¹Äo Ä� � 1Bâ � ï � 1 h � � � Ä o ¹� � â � � �-� ���O.¼�OSRUT$V7W�XZY\[^]P_�m/-35`�bd\_t�a £¤ZdY í Û;×%4RÖ-ÛmÙÚ×qÎjÖ+ÔmÜ Ö+Ô4Õ±Û;×;Õ±ÏdÍRÎjÖjÎjÍ­Ô�ÎjÍ�Ü ×+Ô4ÕF×-Ü ÏçÓ±×-á�Ïd×+Ô#ÐÜjÞÖ+Ô­ÏdÐR×+Ô#ÍÓFÒPálÍàÛ;ÖjÎjÖ+Ô�ÍÓpÍÜ!Ö;ÕFÖ-Û­ÙÚÖjÎj×;© ì ð_ì�m/-35`�bd\_t�a £¤Z g í Û;×%4RÖ-Û�Ü Ö�×-Û­ÙÚ×f�`×-Ó±Ö-Ü ÏdÎjÖjÎ�ÎjÍ#Ü Ö+Ô�~,1þÞÍ­Ô­ÏçálÖ+Ô�ÎjÍÛ­ÏçØ-ÖjÎjÖ+Ô�ÎjÍ#Ü ×+Ô¡ÕF×-Ü ÏçàÓ±×-á�Ïd×+Ô�p_Ï ÕFÍÛ.�`ÍR×-áªÞÍÙ©Û­ÏdÐR×+Ô�ä F ì � < F =� î¡Í­Ô#ÎjÍRÐÏçÛRî

h jl � < F =� � â � � < F =l � â � � F � â �Zm â�ïnm9��l m ' F � � �j� ��m/-35`�bd\_t�a £¤Z x í Û­ÒFÍu4RÖ ÑÒFÍ]Ü ×+Ô�ÕF×-Ü ÏçÓ±×-á�Ïd×+Ô�Ó�ÞÒFÐÜ ÍR×+ÔýÔDÖ-Ù©Ï~Ô¾aÖjÐRÍÓ Ü ÖlÕ±Û;×;Õ±ÏdÍRÎjÖjÎ 9;A(Ø�@9;:POP�F|­G;:j9RE H ð$ìKJ�m/-35`�bd\_t�a £¤Z � � ÕFÖ-Û­Ù©ÏçÛ�ÎjÍ�Ü Ö�ÍRÐÒFÖjÐÏ@Þ×-Ó5ÎjÍ í ÍRÖ-ÛRÔD×-Ó5ÎjÍá�ÒFÍ­Ô­Ù©Û;Ö�ÍÜ¤Ô­Ï �"ÒPÏdÍÓFÙÚÍ

y �

Page 25: Problemas de Series y Transformadas de Fourier MMF II: Grupo I ...

íUî�ïCð�îxñ�òLóXô2ó ˤÍRÖ � åÕõ ì ˤÍ#ÎjÍ���Ó±ÍÓ�Ü ×+Ô k�:jk�ADC`G;:`Q�{jADC@AD9RE K } MqEjOP:`Q ÐR×-ál×ö ê o ÷ � ñ � ïnhkjl � � 1 ñ � ÷ � ê � � �Zm � � �  ��Ë[Ï�ÔDÍ�ÐÒPá�Õ±Ü Í�Ü Ö�ÐR×-Ó±Î-ÏdÐÏ@Þ×-Ó�ÎjÍ�aRÛ;×-ÓFÙÚÍÛ;Ö� � � � � ê � � � � � 1 ñ � ÷ zzzz

jl ï ´ ã ) � � ´ ã � �`� �ÍÓFÙÚ×-Ó±ÐRÍ­Ô�Ü ×+Ô�ál×-álÍÓFÙÚ×+Ô§�`ÍÓ±ÍÛ;Ö-Ü Ï LqÖjÎj×+Ô�Ø-ÍÛ­Ï �¡ÐRÖ-Ó�Ü Ö�Ô­Ï �"ÒPÏdÍÓFÙÚÍ�Û;ÍÜ ÖjÐÏ@Þ×-ÓWÎjÍ�Û;ÍRÐÒPÛ­Û;ÍÓFàÐÏdÖ]ÖlÙ©Û;Í­ÔmÙFÞÍÛ­á�ÏçÓ±×+Ô� � � ñ � ö ê o ÷ � � � ñ � ò}b � ê � ñ � ò � � º � ñ � e ö ê o ÷ � ñ � ò F � ºê ò hy � � º º G ö ê o ÷Ç�� � ñ � ï ´ � � Æ��ú ÔDÖ-Ó±Îj×�Ü ×mÖ-ÓFÙÚÍÛ­Ïd×-ÛRîVÍÓ±ÐÒFÍÓFÙ©Û;ÖBÒPÓ±Ö�Û;ÍÜ ÖjÐÏ@Þ×-Ó�ÎjÍ¡Û;ÍRÐÒPÛ­Û;ÍÓ±ÐÏdÖ�ÕFÖ-Û;Ö�Ü ×+Ô4ál×-álÍÓFÙÚ×+Ôö � � ï ö G�o � � ´ � ÎjÍpÜ ×+ÔlÕF×-Ü ÏçÓ±×-á�Ïd×+Ô�ÎjÍ�»PÖjÐR×%4Ï~î { Ö9�"ÒFÍÛ­Û;Ípèdº#ÍÛ­á�ÏçÙÚÍ ì ú ÔDÖ-Ó±Îj×�Ü Ö

Û;ÍÜ ÖjÐÏ@Þ×-Ó�ÎjÍ�Û;ÍRÐÒPÛ­Û;ÍÓ±ÐÏdÖ�ÍÓ±ÐÒFÍÓFÙ©Û;ÖýÜ ×+Ô#ál×-álÍÓFÙÚ×+Ô�ÎjÍ�Ü ×+ÔBÕF×-Ü ÏçÓ±×-á�Ïd×+ÔýÎjÍ { Ö9�"ÒFÍÛ­Û;Í輺#ÍÛ­á�ÏçÙÚÍ ì

ú Ó�ÐRÖ+ÔD×lÎjÍ�Í­Ô©ÕFÍRÐÏdÖ-ܤÛ;ÍÜ ÍØ-Ö-Ó±ÐÏdÖ�ÔD×-Ó�Ü ×+Ô�ÕF×-Ü ÏçÓ±×-á�Ïd×+Ô�ÎjÍ{ø�Í��`ÍÓ,4RÖ-ÒFÍÛmÑÒFÍ�ÐR×-Û­Û;Í­Ô­àÕF×-Ó±ÎjÍÓ�Ö-Ü�ÐRÖ+ÔD×£s�ïið ïn��1 h Ë yFì=< Ó±ÐR×-ÓFÙ©Û;Ö-Û�Ü Ö�Û;ÍÜ ÖjÐÏ@Þ×-Ó�ÎjÍ�Û;ÍRÐÒPÛ­Û;ÍÓ±ÐÏdÖmÕFÖ-Û;Ö�Ü ×+Ôál×-álÍÓFÙÚ×+Ô ö � � ï ö G�o � � ´ � ÍÓ�Í­Ô­ÙÚÍýÐRÖ+ÔD×]è]Û;Í­Ô­ÒmÞÍÜ Ø-ÍÜ Ö ìE� ÕFÖ-Û­Ù©ÏçÛlÎjÍÌÞÍ­Ô­ÙÚÖ�ÍÓ±ÐÒFÍÓFÙ©Û;ÖÜ ×+Ô�ál×-álÍÓFÙÚ×+Ô�ÎjÍ�Ü ×+Ô�ÕF×-Ü ÏçÓ±×-á�Ïd×+Ô�ÎjÍ { Í��`ÍÓ±Î-Û;Í � � � â � ï � G�o G� � â � î�Ü ×+Ô�ÕF×-Ü ÏçÓ±×-á�Ïd×+Ô�ÎjÍo\p@Íu4è+Ôfp@ÍØ]ÎjÍBÕ±Û­ÏçálÍÛ;Ö]Í­Ô©ÕFÍRÐÏdÍ�È8� � â � ï � � ñ) o � ñ)� � â � èýÜ ×+Ô�ÕF×-Ü ÏçÓ±×-á�Ïd×+Ô�ÎjÍ o\p@Íu4è+Ô­àp@ÍØýÎjÍ�ÔDÍ��"ÒPÓ±ÎjÖ�Í­Ô©ÕFÍRÐÏdÍ å � � â � ï � ñ) o ñ)� � â � î4Û;Í­Ô©ÕFÍRÐÙ©ÏçØ-Ö-álÍÓFÙÚÍ ì�m/-35`�bd\_t�a £¤Zç£ � ÖjÎjÖ�ÒPÓ±ÖýÔ­ÒFÐRÍ­Ô­Ï@Þ×-Ó5Ó�ÞÒPálÍÛ­ÏdÐRÖ � Á � � ��è]ÒPÓ±ÖýÔ­ÒFÐRÍ­Ô­Ï@Þ×-Ó�ÎjÍ�ÕF×-Ü ÏçÓ±×-àá�Ïd×+Ô �-� � � ��ÍÓ±ÐR×-ÓFÙ©Û;Ö-Û�ÒPÓ±Ö�aRÒPÓ±ÐÏ@Þ×-Ó¥ù � â2ã è � ÙÚÖ-Ü!ÑÒFÍ­îù � â2ã è � ï �!���8G Á � � � � â � è � � �"� �Ë[Ï¡Í;æjÏ~Ô­ÙÚÍ#ÙÚÖ-Ü%aRÒPÓ±ÐÏ@Þ×-Ó@îBÎ-ÏdÐ&p@Ö�aRÒPÓ±ÐÏ@Þ×-Ó�ÔDÍ�ÎjÍÓ±×-á�ÏçÓ±Ö�aRÒPÓ±ÐÏ@Þ×-Ó¨�`ÍÓ±ÍÛ;Ö-Ù©Û­Ï L�ÎjÍ�Ü ÖlÔ­ÒFÐRÍàÔ­Ï@Þ×-Ó �-� � � � ì� Íá�ÒFÍ­Ô­Ù©Û;Ö�ÑÒFÍýÜ ÖMaRÒPÓ±ÐÏ@Þ×-Ó��`ÍÓ±ÍÛ;Ö-Ù©Û[Þß LmÕFÖ-Û;ÖWÜ ×+Ô�ÕF×-Ü ÏçÓ±×-á�Ïd×+Ô]ÎjÍ�º#ÍÛ­á�ÏçÙÚÍýØqÏdÍÓ±ÍÎjÖjÎjÖmÕF×-Û �!���8G y �+/� · � � â � è � ïtà ' Å ; � ;f: ã �   ´ �� Íá�ÒFÍ­Ô­Ù©Û;Ö#ÑÒFÍ�Ü Ö�aRÒPÓ±ÐÏ@Þ×-Óy�`ÍÓ±ÍÛ;Ö-Ù©Û[Þß L�ÕFÖ-Û;Ö�Ü ×+Ô�ÕF×-Ü ÏçÓ±×-á�Ïd×+ÔmÎjÍ { Ö9�"ÒFÍÛ­Û;Í�ØqÏdÍÓ±ÍmÎjÖjÎjÖÕF×-Û �!���8G � 1 h � �+/� ¸ Ä� � â � è � ï à ��úëû¯�ü ú� h 1 è � Ä Ç�� ˤÍRÖ-ÓóÜ ×+Ô�ÕF×-Ü ÏçÓ±×-á�Ïd×+Ô ÎjÍ&ø�Í��`ÍÓ,4RÖ-ÒFÍÛ ö ç� � â � � ï � ç � ñ) o ç � ñ)� � â � ÑÒFÍ�ÔD×-ÓªÒPÓÌÐRÖ+ÔD×ÕFÖ-Û­Ù©ÏdÐÒPÜ Ö-Û�ÎjÍ�Ü ×+Ô¡ÕF×-Ü ÏçÓ±×-á�Ïd×+Ô�ÎjÍ�»PÖjÐR×%4Ï ì2í Û­ÒFÍu4RÖ�ÑÒFÍ�ÍÓpÍ­Ô­ÙÚÍ�ÐRÖ+ÔD×

h� h 1 y â è ò è ' � ç ï �!���8G y � � � � �+/� ö ç� � â � è � ã �  @h �Îj×-Ó±ÎjÍ � � � ��Í­Ô�ÍÜ2Ô[Þß á�4R×-Ü ×�ÎjÍ í ×qÐRÐ&p@Ö-álÍÛ ì o�×-ál×�ÐRÖ+ÔD×+ÔBÕFÖ-Û­Ù©ÏdÐÒPÜ Ö-Û;Í­Ô�ÎjÍRÎ-ÒFÐÏçÛ#Ü Ö�ÎjÍÜ ×+Ô�ÕF×-Ü ÏçÓ±×-á�Ïd×+ÔmÎjÍMo\p@Íu4èjÐ&p@ÍØ�ÎjÍ�Õ±Û­ÏçálÍÛ;Ö#èmÔDÍ��"ÒPÓ±ÎjÖ#Í­Ô©ÕFÍRÐÏdÍ�è�Ü Ö�ÎjÍ�Ü ×+Ô!ÕF×-Ü ÏçÓ±×-á�Ïd×+ÔÎjÍ { Í��`ÍÓ±Î-Û;Í ì

y �

Page 26: Problemas de Series y Transformadas de Fourier MMF II: Grupo I ...

�m/-35`�bd\_t�a £¤Z~� í Û­ÒFÍu4RÖlÜ Ö+Ô�Û;ÍÜ ÖjÐÏd×-ӱͭÔ� Ä o ¹�Ç��� � � � â � ï � y +ýòIs�ò®ð � � h 1 â �y + � s]ò®+ � m � Ä o ¹�m â � â � ò � y +ýòIs�ò®ð �y � s]ò®+ � � Ä o ¹� � â � ã �  `y%�� Ä Ç���o ¹� � � � â � ï � y +ýòIs�ò®ð � � â�ò h �y + � ð�ò®+ � m � Ä o ¹�m â � â � 1 � y +ýòIs�ò®ð �y � ð�ò®+ � � Ä o ¹� � â � �   n �

�m/-35`�bd\_t�a £¤Z � { ×+Ô!ÕF×-Ü ÏçÓ±×-á�Ïd×+Ô�Ó�ÞÒFÐÜ ÍR×+Ô ÓmAD9 � � � � â2ãSä � ÔDÍ�ÎjÍ���Ó±ÍÓ�álÍRÎ-ÏdÖ-ÓFÙÚÍ�Ü Ö�Í;æjàÕ±Û;Í­Ô­Ï@Þ×-Ó ÓmAD9 � � � � â2ãSä � ï � � �!l��8G � l � â � � l � ä �m 'l ú ÔDÖ-Ó±Îj×�Ü Ö�a�Þ×-Û­á�ÒPÜ Ö ÎjÍ6o\p_Û­Ï~Ô­ÙÚ×�ý�ÍÜ à � Ö-Û94R×-Òjæ"î�Ü ×+Ô�Ø-Ö-Ü ×-Û;Í­Ô5ÍÓ�Ü ×+Ô Í;æjÙ©Û;Íál×+ÔWè�Ü Ö+Ôa�Þ×-Û­á�ÒPÜ Ö+Ô�ÎjÍ�Î-Ï aÍÛ;ÍÓ±ÐÏdÖjÐÏ@Þ×-Ó@î2Õ±Û­ÒFÍu4RÖlÜ Ö+Ô�Ô­Ï �"ÒPÏdÍÓFÙÚÍ­Ô7a�Þ×-Û­á�ÒPÜ Ö+Ô9�þWÿ ÞÒFÐÜ ÍR×+Ô�ÎjÍ#Ü ×+Ô¡ÕF×-Ü ÏçÓ±×-á�Ïd×+Ô�ÎjÍ�º#ÍÛ­á�ÏçÙÚÍu�ÓmAD9��' l � � � â2ã ´ � ï � 1 h � l � �ï � � qÂ1 h � � ¸ ñ)l � � � â ' � ï � 1 h � l � �

y ï � � qw1 h � � · º' l � â �â ã

ÓmAD9��' l � â2ã ´ � ï � 1 h � lï � � q � � ¸ ñ)l � â ' � ï � 1 h � lï � � q � � · ' l � â �â ã

ÓmAD9��' l � � � ´ ã ´ � ï � y qÂ1 h � �y ' l � ' ï � � qÂ1 h � � ' ã ÓmAD9�� ' l � ´ ã ´ � ï � y qvò h � �

y ' l ï �[qd� ' þWÿ ÞÒFÐÜ ÍR×+Ô�ÎjÍ#Ü ×+Ô¡ÕF×-Ü ÏçÓ±×-á�Ïd×+Ô�ÎjÍ { Ö9�"ÒFÍÛ­Û;Íu�ÓmAD9��� � � � â2ã ´ � ï � 1 h � � � �À � s�ò h � +/� � ¸ Ä� � º � â � ã ÓmAD9��� � � � ´ ã ´ � ï � s�ò h � �À � s�ò y%� � +�1 h � � þWÿ ÞÒFÐÜ ÍR×+Ô�ÎjÍ#Ü ×+Ô¡ÕF×-Ü ÏçÓ±×-á�Ïd×+Ô�Îjͼ»PÖjÐR×%4Ï��ÓmAD9�� o Ä o ¹� � � � â2ã91 h � ï�� Ä o ¹��� Å � Ä � ��o ¹� � â � ï¹+� Ä o ¹� � Ä o ¹�Ç��� � � � â � ã �   � �ÓmAD9 � o Ä o ¹� � � � â2ã h � ï � 1 h � ��Ç�� � ¹Äo Ä��� Å � Ä o ¹ � �� � â � ï}+ � 1 h � ��Ç�� � ¹Äo Ä� � Ä Ç���o ¹� � � � â � ã �   � �Îj×-Ó±ÎjÍBÕF×-Û��$Ä o ¹� è�� ¹Äo Ä� ÎjÍÓ±×-ÙÚÖ-Û;Íál×+Ô�Ü Ö+Ô#ÐRÖ-ÓFÙ©ÏdÎjÖjÎjÍ­Ô

� ¹Äo Ä� ï � 1 h � � � ��À � y +ýòIs�ò®ð �y Ä ÇX¹�Ç=� +/� À � s�ò®+ � À � ð]ò h � ã � ¹Äo Ä� � 1 h � � � ��À � y +ýòIs�ò®ð �

y Ä ÇX¹�Ç=� +/� À � s�ò h � À � ð]ò®+ � ú ÔDÖ-Ó±ÎjרHQª ÷J àKHQª�© J ÙÚÍÓ±Íál×+Ô

ÓmAD9 � o Ä o ¹� � � � 1 h ã91 h � ï À � ð]ò®+�ò h � À � s�ò®ð�ò®+�ò h �y Ä ÇX¹�Ç�� � +�1 h � � À � ð]ò h � À � ð]ò y%� À � s�ò®+ � ã

ÓmAD9 � o Ä o ¹� � � � 1 h ã h � ï � 1 h � � � ��À � s�ò®ð�ò®+�ò h �y Ä ÇX¹�Ç�� � +�1 h � � À � ð]ò h � À � s�ò h �

ú Ù©ÏçÜ Ï LqÖ-Ó±Îj×lÜ Ö�Û;ÍÜ ÖjÐÏ@Þ×-ÓpÎjÍmÔ­ÏçálÍÙ©Û[Þß Ö�ÕFÖ-Û;Ö�Ü ×+Ô4ÕF×-Ü ÏçÓ±×-á�Ïd×+Ô#ÎjÍ�»PÖjÐR×%4Ï�ÎjÍá�ÒFÍ­Ô­Ù©Û;ÖlÑÒFÍÓmAD9 � o Ä o ¹� � � � h ã h � ï ÓmAD9 � o ¹Äo Ä� � � � 1 h ã91 h � y" 

Page 27: Problemas de Series y Transformadas de Fourier MMF II: Grupo I ...

��Ofe3O��}��XQ�Q�,]P�8�ZV��3Y\_�2E�Aq|�FEj|} H:jCl�@} �[AD9;{jAD:jk HAG;9;}~|DEm{jADC@AD9RE K } MqEjO@EmAqQ4�@CFE#Aq|�FEj|} H:jC K } C@AqE K OPA�QSAD{j�@CFOP:

:j9ROPADC�OPA K E#<�:j9;klE

é º º � ñ � ò��� � ñ �� � ñ � é º � ñ � ò�� � � ñ �� '�� ñ � é � ñ � ï ´ ã �  j ��QS} ADCFOP: �� � ñ � �@C �[: K } C@:jk�} :WOPA�{j9REjOP:�E K :�k HEjQm�@C@:�§ � � ñ � § �� � ñ � �[: K } C@:jk�} :`Q�OPA{j9REjOP:�E K :�k HEjQBOP:`QD=

¦�E"{`E"k�:`Q4A K |DE"k#i@} : é � ñ � ïi� � ñ � ä � ñ � 6ä º º � ñ � ò F y ��º � ñ �� � ñ � ò��� � ñ �� � ñ � G ä º � ñ � ò F ��º º � ñ �� � ñ � ò ��º � ñ � �� � ñ �� � ñ � � � ñ � ò�� � � ñ �� '%� ñ � G ä � ñ � ï ´

� K :ji#ê>AG;} L :�OPA K |DE"k#i@} :]AqQ�|:jC L AD9SG;} 9 ´ �@Al9;AD�@9;AqQSADC`GRE K E�|:jk��[:jC@ADC`G;A�9REjOP}~E K OPA K EAq|�FEj|} H:jClOPA��P|R�@9;:POP} C@{jAD9��FE"9RE�A K HE-G;:jk�:�OPA��@}~OP9 H:j{jADC@: K EmAq|�FEj|} H:jC�E"C`G;AD9;} :j9�ADCl�@CFEk HEjQ�QSADCF|} K K E�� :��[:j9 K :�k�ADC@:`Q�k�ADC@:`Q�|:jk�� K }~|DEjO@E�� ´ �@A �  j �� 6±EjQ H� ´ �@A�E K k�ADC@:`QOPADi[ADk�:`Q¡G;ADC@AD9

y ��º � ñ �� � ñ � ò �� � ñ �� � ñ � ï � � ñ �� � ñ � ã : ��º � ñ �� � ñ � ï � � ñ � 1 �� � ñ �y� � ñ � ï � � ñ �� � ñ � ã �   � �

QS} ADCFOP: � �@C �[: K } C@:jk�} :�OPAW{j9REjOP:5E K :5k HEjQý�@C@:�§j6��[:j9ýGRE"C`G;:F6 � �[: K } C@:jk�} :�OPA{j9REjOP:#E K :�k HEjQ4�@C@:F=P�V:�E"C`G;AD9;} :j9�G;9RE"CFQ><�:j9;klE�C_�@AqQ>G;9RE�Aq|�FEj|} H:jCý:j9;} {j} CFE K �  j �� ADC K EQS} {j�@} ADC`G;A

ä º º � ñ � ò � � ñ �� � ñ � ä º � ñ � ò � � ñ �� '�� ñ � ä � ñ � ï ´ ã� � ñ � ï �� � ñ � ò y � � ñ � ã� � ñ � ï � � � ñ � ò®� ' � ñ � ò®�7b �� � ñ � 1 � º � ñ � ePò®�=º � ñ � � � ñ � �  %Æ��

z4:jk�:�AqQ��@C��[: K } C@:jk�} : OPA�{j9REjOP:pOP:`QlE K : QS�@k�:F6�} k��[:jC@{`E"k�:`Q ´ �@A�QSAqE��@9;:�Ø

�[:j9R|} :jCFE K E K �@9;:j�@} :�6VAqQ�OPAq|} 9 ´ �@A � � ñ � ïIõ � � ñ � =!� K K :]AqQm�[:`QS} i K Al�@�@AqQ � G;} ADC@A

OP:`QB|:_A(Ï[|} ADC`G;AqQ�} CFOPAG;AD9;k�} CFEjOP:`Q�� K :`QB|:_A(Ï[|} ADC`G;AqQBOPA K �[: K } C@:jk�} : � �¢§ õ AqQB�@CFE|:jCFQ>GRE"C`G;AýE�OPAG;AD9;k�} CFE"9q6 K : ´ �@AýC@:`Q�|:jCFOP�F|A�E]G;9;AqQ�Aq|�FEj|} :jC@AqQ��óE K } {j�FE K E"9 K :`Q|:_A(Ï[|} ADC`G;AqQýOPA � § � � |:jC�G;9;AqQý} CF| H:j{jC@} GREjQD=4¦�Aq|R�@:5AqQ>G;:F64C_�@AqQ>G;9RE Aq|�FEj|} H:jC QSAG;9RE"CFQ><�:j9;klE#ADC K E�Aq|�FEj|} H:jC]�@} �[AD9;{jAD:jk HAG;9;}~|DE� � ñ � ä º º ò�� � ñ � ä º ò�õ@äýï ´ �   � �7�EjQSADk�:`Q¡E�|DE K |� K E"9 � § õ =±z4:jk�: � ïªõ � � ñ � 6@ADC`G;:jCF|AqQ

� � � ñ � ò®� ' � ñ � ò®�7b �� � ñ � 1 � º � ñ � ePò®� º � ñ � � � ñ � ïóõ � � ñ � ã:F6PA ´ �@} L E K ADC`G;ADk�ADC`G;Aj6� ' � ñ � òtb �� � ñ � 1 � � ñ � eø� � ñ � ò}� � � � ñ � 1}b õ�1�� º � ñ � e � � ñ � �mï ´ �_�@�[:jC@{`E"k�:`Q ´ �@A ~ýïÌõ21�� º � ñ � AqQ�|:jC@:P|}~OP:F6PADC`G;:jCF|AqQ�G;ADC@ADk�:`QB�@CFE�Aq|�FEj|} H:jC�OPAQSAD{j�@CFOP:�:j9ROPADC]�FE"9RE � � ñ � 6 K �@AD{j:

� � ñ � ï � º � ñ � 1 �� � ñ �y � � F � º � ñ � 1 �� � ñ �y G ' 1 � � � ñ � òk~ � � ñ � ã � �-´ �y �

Page 28: Problemas de Series y Transformadas de Fourier MMF II: Grupo I ...

�[AD9;: � � ñ � �FEýOPA#QSAD9��@C��[: K } C@:jk�} :ýOPA�{j9REjOP:lE K :�QS�@k�:l�@C@:F6F�[:j9BGRE"C`G;:lA K �[: K } C@:�Øk�} : F � º � ñ � 1 �� � ñ �y G ' 1 � � � ñ � òC~ � � ñ � �FE�OPAmQSAD9��@C]|�FEjOP9REjOP:#�[AD9S<�Aq|­G;:F6_AqQ�OPAq|} 9�QS�OP}~Q;|9;} k�} CFE"C`G;A�OPADi[A#QSAD9�|AD9;:F6 K : ´ �@A�C@:`Q�|:jCFOP�F|A�E��@CFE�Aq|�FEj|} H:jC��FE"9RE�ADCF|:jC`G;9RE"9~ =`� K ~ ADCF|:jC`G;9REjOP: K :#QS�FQ>G;} G;�@} k�:`Q�ADC � �-´ � §�:jiPG;ADC@ADk�:`Q � � ñ � 6jA K |�FE K C@:`Q4|:jCFOP�F|AOP} 9;Aq|­GRE"k�ADC`G;A�E õ]ï}�=º � ñ � òk~ =¬�i L }~E"k�ADC`G;A�A K k HAG;:POP:lE"C`G;AD9;} :j9BO@ElOP}~Q>G;} C`GREjQBQS: K �F|} :jC@AqQ�ADC]<��@CF|} H:jC�OPA K ~ ´ �@A

AqQ;|:�êSE"k�:`Q¡§�OPA K |:jC L ADC@} :�OPA�QS} {jC@:`Q¡ADC � �-´ � =z4:jk�:#AZê>ADk�� K :lE"� K } ´ �@ADk�:`Q K E�G HAq|C@}~|DE�E"C`G;AD9;} :j9�E K |DEjQS:�OPA K :`Q;|} K EjOP:j9�E"9;k H:jC@}~|:

|� HE"C`G;}~|:F=

7�E"9SG;} k�:`Q¡OPA K E�Aq|�FEj|} H:jC�OPA#�P|9��:`OP} C@{jAD9��FE"9RE#A K :`Q;|} K EjOP:j9�E"9;k H:jC@}~|:� º º ��� � ò � � 1 � ' � � ��� � ï ´ ã´ �@A�:ji L }~E"k�ADC`G;A#AqQ�OPA K G;} �[: �  j �� |:jC �� ��� � ï ´@6 � ��� � ï h § � � ��� � ï � 1 � ' =V7�E"9RE� ��� � 6 � �-´ � C@:`QBO@E � ��� � ï � v ��' ò � ~£1 � � z4:jk�:�A K �[: K } C@:jk�} : � ' ò � ~M1 � � �FE�OPA�QSAD9��@C�|�FEjOP9REjOP:#�[AD9S<�Aq|­G;:F6PADC`G;:jCF|AqQ ~lï �§j6@�[:j9�GRE"C`G;:F6 � ��� � ï � â 6 K �@AD{j:� ��� � ï â2ã �=º ��� � ï h ã õ�ï � ò h ã � ��� � ï y â2ã� ��� � ï�1Bâ2ã �=º ��� � ï�1 h ã õ�ï � 1 h ã � ��� � ï�1 y â2ã´ �@A�C@:`QB|:jCFOP�F|ADC�E K EjQ�Aq|�FEj|} :jC@AqQä º º ��� � ò y � ä º ��� � ò � h ò � � ä ��� � ï ´ ã ä º º ��� � 1 y � ä º ��� � ò � h 1 � � ä ��� � ï ´ ã

9;AqQS�[Aq|­G;} L E"k�ADC`G;Aj=¤��C�|DEjO@E�|DEjQS: K Eý<��@CF|} H:jC � ��� � AqQ K E�QS: K �F|} H:jC�OPA K EjQ�Aq|�FEj|} :jC@AqQ��º¾Ë��]ï � § ��º¾Ë��]ï�1 � 6 ´ �@A�|:jCFOP�F|ADC�E K EjQ¡<��@CF|} :jC@AqQ� ��� � ï¹Ã"! :$# ' ã § � ��� � ïtà � ! :$# ' ã9;AqQS�[Aq|­G;} L E"k�ADC`G;Aj=B�!} CFE K k�ADC`G;Aj6 K E�Aq|�FEj|} H:jC ä#º º ��� � 1 y � ä#º ��� � ò � h 1 � � ä ��� � ï ´|:j9;9;AqQS�[:jCFOPAýE K E�Aq|�FEj|} H:jC �@} �[AD9;{jAD:jk HAG;9;}~|DE�OPA K :`Q��[: K } C@:jk�} :`Q#OPA�¦�AD9;k�} G;Aj6!�[:j9GRE"C`G;: G;ADC@ADk�:`Q � 1 h ï y + 6 +vï ´ ã h ã y ã 99 § K EjQ�QS: K �F|} :jC@AqQ�C@:j9;klE K } MqEjO@EjQlOPAC_�@AqQ>G;9RE�Aq|�FEj|} H:jC�:j9;} {j} CFE K QSAD9 HE"C� ��� � ï¹°/�#à � ! :%# ' · � ��� � ã � ï y +ýò h ã +Wï ´ ã h ã y ã 99K � � h �7�E"9RE#|DE K |� K E"9 °/� C@:"GRE"k�:`Q ´ �@A

h �� � � � â � � � â �Qm â�ït° '� h �� � · '� ��� � à � ! : m � ït° '� m '� ã m '� ï ï �=+/�y � ã

K �@AD{j: °/�lï � y �ï �8+/� =�4Q[< HEj|} KjL AD9 ´ �@A K E�:"G;9RE�Aq|�FEj|} H:jC�G;} ADC@A4|:jk�:BQS: K �F|} :jC@AqQ K :`Q¤�[: K } C@:jk�} :`Q · � � 1Bâ � 6

�[:j9 K : ´ �@AýQS�FQ#QS: K �F|} :jC@AqQ&� ��� � ïÂà ! :$# ' · � � 1 � � C@:WQS:jC�OPAý|�FEjOP9REjOP:�} C`G;AD{j9RE"i K Ay�Æ

Page 29: Problemas de Series y Transformadas de Fourier MMF II: Grupo I ...

'

' (

��

'''''''

'

((( 88

) GGG

� '� 8

oooÅÅÅ

***

�!} {j�@9RE y � �4Q>GREjOP:m<��@CFO@E"k�ADC`GRE K � C@AD{j9;: � §�A(³@|} GREjOP:`Q +Wï h ã y � {j9;}~QSAqQ � OPA K :`Q;|} K EjOP:j9E"9;k H:jC@}~|:F=

ADC ö 6±§��[:j9�GRE"C`G;:]C@:ýG;} ADC@ADCpQSADC`G;}~OP:�< H� QS}~|:F=[��A�AqQ>GREl<�:j9;klE K EjQ H�@C@}~|DEjQ�QS: K �F|} :jC@AqQAqQ>GREj|} :jCFE"9;}~EjQ¡OPA K :`Q;|} K EjOP:j9�E"9;k H:jC@}~|:�QS:jC K EjQ4<��@CF|} :jC@AqQ � � h � E"C`G;AD9;} :j9;AqQD=�!} CFE K k�ADC`G;Aj6�k�ADCF|} :jC@ADk�:`Q ´ �@A K EjQ�E"�PG;:"<��@CF|} :jC@AqQ�OPA K :`Q;|} K EjOP:j9�OPA(ÏFC@ADC��@CFE

iFEjQSA�:j9SG;:j{j:jCFE K |:jk�� K AGRE�ADC�A K AqQS�FEj|} :#OPA K EjQ�<��@CF|} :jC@AqQ¡OPAm|�FEjOP9REjOP:�} C`G;AD{j9RE"i K A�§�[:j9�GRE"C`G;: K EjQ��[:POPADk�:`QB�FQ;E"9��FE"9RE�OPAqQ;E"9;9;: K K E"9¡ADC K E�k�}~QSklE�|�FE K � ´ �@} AD9¡<��@CF|} H:jC�OPAAqQ>G;A�AqQS�FEj|} :F=

�,+q\`/-wjcdwjcd32,8¬�Q;E"CFOP:�A K k HAG;:POP:lE"C`G;AD9;} :j9�9;AqQS�@A K L A K E��4��¬1 hy hI ' mm I F I ' m ¾ �I �m I G ò F.- � - ò h �y

I ' 1 hI ò0/ G ¾ � I � ï ´ ã´ �@A49;AD�@9;AqQSADC`GRE K E�|:jk��[:jC@ADC`G;A49REjOP}~E K OPA K E�Aq|�FEj|} H:jC�OPAB�P|R�@9;:POP} C@{jAD9V�FE"9REBA K HE-G;:jk�:OPA4�@}~OP9 H:j{jADC@:F=q7�E"9RE�A K K :�QSA¡OPADi[A¡�FEj|AD92A K |DE"k#i@} : ¾ � I � ïnK � I � Ë I ´ �@A K EBG;9RE"CFQ><�:j9;klEADC��@CFE��4��¬«OPA K E#<�:j9;klEK º º � I � ò § y F /óò hI G 1 - � - ò h �I ' © K � I � ï ´ ã:lQSAqE@6@OPA K E#<�:j9;klE �  j �� |:jC� � I � ï I ã � � � I � ï y / I ' ò y I 1 - � - ò h � × HEjQBOPAGRE K K AqQBQS:ji@9;A�AqQ>G;AmG;ADklE�QSA��@�@AqOPADC�ADCF|:jC`G;9RE"9¡ADC �h =8?�=�HJ�K L E"9;ADM(ØÚN�:PO@E"9RQSAj=�7�: K } C@:jk�} :`Q#�@} �[AD9;{jADk HAG;9;}~|:`Q�§ ´ Ø°�[: K } C@:jk�} :`QD=P×�:jC@:�Ø

{j9RE-< H� EjQ2OPA K �_ADk�} CFE"9;} : ×WE-G;ADk HE-G;}~|:21�ÕmE"9R| H� E�OPA3ÕmE K OPAqE"C@:31jN H�@k�AD9;: y"  ="7�9;ADC#ØQ;EjQ�¬�C@} L AD9RQS} GRE"9;}~EjQ�OPA&4±E"9RE"{j:jMqE@6�4±E"9RE"{j:jMqE@6 y ´j´jn@=

y = J =[�¡=[N�} h_} <�:j9;: L §�Ö#=�Ô�=�¬ L E"9;: L 6[�_�[Aq|}~E K �@�@CF|­G;} :jCFQ�:"<7×WE-G;�@ADklE-G;}~|DE K 7��_§�ØQS}~|DQD=$Ô¡} 9Nh_�5�E"�FQSAD9�Ö�AD9 K E"{F6#Ô�EjQS} K AqE@6 h � Æ%Æ =

y �

Page 30: Problemas de Series y Transformadas de Fourier MMF II: Grupo I ...

6ýÈ ���� ����! "�#���� ��� ����D�£��3�#�� ����7�OQNPOäãM]��#T$]P��_�¯&V7T5[^]P�3]^�3Y���V��3T5�ZY=T�_AqE - �@CFE#<��@CF|} H:jC�|�FE Kø´ �@} AD9RE@6PC@:�C@Aq|AqQ;E"9;}~E"k�ADC`G;A��[AD9;} H:`OP}~|DE@=�_}2C@:`QB9;AqQ>G;9;} C@{j} k�:`Q�E K } C`G;AD9 L E K : b 1 - ã - e�|óö �[:POPADk�:`Q�QS�@�[:jC@AD9 ´ �@A K E�<��@CF|} H:jCAqQ��[AD9;} H:`OP}~|DE�OPA��[AD9;} :POP: y - §�ADC`G;:jCF|AqQD6@QS} - AqQ K :lQS�#Ï[|} ADC`G;ADk�ADC`G;A�i@�@ADCFE@6- � â � ï �!F � � � " � 8 F ã - � Ã

� 9;: Å ã 8 F ï ~��- ã ~�奤�ãOP:jCFOPA

" � 8 F ã - � ï hy - h=<� < - � â � Ã �

� 9;: Å m â ��A(ÏFCFE"k�:`Q K E�QS} {j�@} ADC`G;A�<��@CF|} H:jCV6@ADC�|DEjQS: ´ �@A�A(³P}~Q>GRE 8

" � 8 � ï hy � h �� � - � â � à �

� 9 Å m â N H:"G;AqQSA ´ �@A

K H� k< 0 � -� " � 8 F ã - � ï " � 8 F � ¬�Q;E"CFOP: K :lE"C`G;AD9;} :j9�AqQ¡< HEj|} KVL AD9 ´ �@AK H� k< 0 �

�!F � � � " � 8 F ã - � Ã� 9;: Å � - ïih

�� � " � 8 � Ã� 9 Å m 8 ã

�[:j9�GRE"C`G;:F6@QS} - AqQBQS�#Ï[|} ADC`G;ADk�ADC`G;A�i@�@ADCFE#G;ADC@ADk�:`Q ´ �@A- � â � ïnh �� � " � 8 � Ã� 9 Å m 8 ã " � 8 � ï h

y � h �� � - � â � à �� 9 Å m â2ã

:F6PA ´ �@} L E K ADC`G;ADk�ADC`G;Aj6- � â � ï hy � h �� � F h �� � - � â � à � 9 Å m â G à � � 9 Å m 83

�V:�E"C`G;AD9;} :j9�AqQD6"�[:j9�GRE"C`G;:F6-�@CýE"C HE K :j{j:�OPA K EmQSAD9;} ABOPA��@:j�@9;} AD9 L HE K }~OP:m�FE"9RE�<��@CF|} :jC@AqQOPA(ÏFC@}~O@EjQBQS:ji@9;A�G;:POP: ö =�]\`Ê�^!cdwjc`u3[^ �VZdY � ÖjÎjÖ�ÒPÓ±Ö�aRÒPÓ±ÐÏ@Þ×-Ó�- � ö¹¸² õ4î�ÎjÍ���ÓFÏçÛ;Íál×+Ô�Ô­Ò]Ù©Û;Ö-Ó@Ô¾a×-Û­álÖjÎjÖ�ÎjÍ�2×-ÒPÛ­ÏdÍÛ#ÑÒFÍ�ÎjÍÓ±×-ÙÚÖ-Û;Íál×+Ô�ÕF×-Û?>-þ×�@;b -5e�ÖlÜ Ö3aRÒPÓ±ÐÏ@Þ×-Ó

>- � õ � ï�@;b -5e � õ � � ï hy � h �� � - � â � à �

� � Å m â � � y%�7�:j9�|:jk�:POP}~O@EjO]OPA(ÏFC@} 9;ADk�:`Q¡GRE"k#i@} HADC K E#G;9RE"CFQ><�:j9;klEj|} H:jC@;b -5e � õ � � ï h

y � h �� � - � â � Ã� � Å m â � �-n �

E"C`G;Aj6PiFEê>:l|} AD9SGREjQB|:jCFOP}~|} :jC@AqQ�QS:ji@9;A - 6 y � @;b -5e AqQ K E�} C L AD9RQ;E�OPA @;b -5e 6@}©= Aj= 6- � â � ï y � @;bA>-$e � â � ã @;b -5e � � ï y � @;bA>-$e BDC ���-��� �����FE��������%G��.ó�� �1���&ô+��������� ������Z����%G�� �����IHEÿ��ë# ��# ÿJELK2M=ñ&ö H�û�#nj´

Page 31: Problemas de Series y Transformadas de Fourier MMF II: Grupo I ...

�]\`Ê�^!cdwjc`u3[^ �VZ g � Ü Ö;aRÒPÓ±ÐÏ@Þ×-Ó ¾ � õ � ï �N>- � õ � � î�ÔDÍpÜ Í5ÎjÍÓ±×-á�ÏçÓ±Ö Í­Ô©ÕFÍRÐÙ©Û;×þÎjÍ Ü ÖaRÒPÓ±ÐÏ@Þ×-Ó;- ìo \_t�a �VZ x ˤÍRÖM- � ö¹¸² õ4î�-Wå ¸ � � ö � î4Ï ì Í ì î,O ö � - � â � � m âU±óò » ì8< ÓFÙÚ×-Ó±ÐRÍ­Ôëjì�< æjÏ~Ô­ÙÚÍ�Ü ÖýÙ©Û;Ö+Ô¾a×-Û­álÖjÎjÖ=>- � õ � HP@;b -5e � õ ��J î¤ÕFÖ-Û;ÖýÙÚ×qÎj×#õ�å�ö ìð_ì QS�@�� ? ö �A>- � õ � � � h

y � h ö � - � â � � m â ìô`ì�{ Ö3aRÒPÓ±ÐÏ@Þ×-ÓQ>- � õ � Í­Ô#ÐR×-ÓFÙ©ÏçÓFÒFÖýÍÓ]ö ì÷[ì K H� kR � R 0 � >- � õ � ï ´ o \_t�a �VZ ��ˤÍRÖM- � ö¹¸² õ4îmÐR×-ÓFÙ©ÏçÓFÒFÖlè�ÐRÖ+Ô­Ï4ÐR×-ÓFÙ©ÏçÓFÒFÖ-álÍÓFÙÚÍ#ÎjÍÛ­ÏçØ-Ö%4Ü ÍlÍÓ]ö ìëjì Ë[Ï�-,º � â � Í­Ô¡Ö%4­ÔD×-Ü ÒPÙÚÖ-álÍÓFÙÚÍ¡ÏçÓFÙÚÍ��"Û;Ö%4Ü ÍBÍÓmö�î¤ÍÓFÙÚ×-Ó±ÐRÍ­Ô4Í;æjÏ~Ô­ÙÚÍ�ÍÜ K H� k R Å R 0 � - � â �Dìð_ì Ë[Ï¡Ö-á�4RÖ+Ô�aRÒPÓ±ÐÏd×-ӱͭÔ�-,º � â � èy- � â � ÔD×-Ó5Ö%4­ÔD×-Ü ÒPÙÚÖ-álÍÓFÙÚÍ#ÏçÓFÙÚÍ��"Û;Ö%4Ü Í­Ô�ÍÓ]ö�îBÍÓFà

ÙÚ×-Ó±ÐRÍ­Ô K H� k R Å R 0 � - � â � ï ´ ì® \_3F/-\_t�a �VZç£ o�×-ÓFØ-ÍÛ.�`ÍÓ±ÐÏdÖ�Õ±ÒPÓFÙ©ÒFÖ-Ü2ÎjÍ�Ü ÖýÏçÓFÙÚÍ��"Û;Ö-Ü!ÎjÍ��2×-ÒPÛ­ÏdÍÛˤÍRÖU- � ö ¸²|õ%ÐR×-ÓFÙ©ÏçÓFÒFÖ5è�ÐRÖ+Ô­ÏçàSÐR×-ÓFÙ©ÏçÓFÒFÖ-álÍÓFÙÚÍpÎjÍÛ­ÏçØ-Ö%4Ü Í5ÍÓ�ö ì�< ÓFÙÚ×-Ó±ÐRÍ­Ô�Ü ÖÏçÓFÙÚÍ��"Û;Ö-Ü!ÎjÍ��2×-ÒPÛ­ÏdÍÛ#ÐR×-ÓFØ-ÍÛ.�`Í�Ö/-P�

- � â � ïnhö

>- � õ � à � � Å m õ Syí @;bA>-$e � â � ïi- � â � Syí @;b _ e¤ï�@;b _ e � � �VZdY[ZdY[Z �m/-3F1�cd\_e!a@e!\_fle!\�bda ® /-a@^!fq¯°3F/-t�a@e!ape!\W)23[02/-cd\`/��C�EjOPA K E"C`G;A�OPA(ÏFC@} 9;ADk�:`Q¡A K :j�[AD9REjOP:j9BOPAmG;9REjQ K Ej|} H:jC �"T�"T�- � â � ïi- � â�òkÍ � ã Í�åÕõ � �+� �

�m/-3F143[fqcdwjc`u3[^ �VZ~� ëjì�{ Ö�Ù©Û;Ö-Ó@Ô¾a×-Û­álÖjÎjÖýÎjÍ��2×-ÒPÛ­ÏdÍÛ�Í­Ô�Ü ÏçÓ±ÍRÖ-Ü �PÕFÖ-Û;Ö�ÙÚ×qÎjÖ+Ô�-[ãZg�å¸ � � ö � î\s4ãQð5åÕõ4î@;b sE-lò®ð8g�e � õ � ï¹s5@;b -5e � õ � ò®ðU@;b g�e � õ � òIsV>- � õ � ò®ð >g � õ � ð_ìXW�"T�- � õ � ï�@;b �"T�-5e � õ � ïY>- � õ � à � ��Tô`ì Z-,à � Å T � õ � ïL� � T,>- � õ � ïY>- � õ�1®Í �Dì÷[ì @;b s � � - � â8Ës � e � õ � ï�@;b -5e � s�õ � ï[>- � s�õ �Dì�m/-3F143[fqcdwjc`u3[^ �VZ � ˤÍRÖC- å ö < F = � ö � ÙÚÖ-Ü�ÑÒFͨ-[ã&- º ã 99 ã&- < F = ÔD×-Ó(Ö%4­ÔD×-Ü ÒPÙÚÖ-álÍÓFÙÚÍÏçÓFÙÚÍ��"Û;Ö%4Ü Í­Ô ì\< ÓFÙÚ×-Ó±ÐRÍ­Ôëjì @;b - < ��= e � õ � ï ��\ õ � � @;b -5e � õ � î\+�ï ´ ã h ã 99 ã&~ ìð_ì @;b -5e � õ � ïY>- � õ � ïQ] F hõ F G ì

n h

Page 32: Problemas de Series y Transformadas de Fourier MMF II: Grupo I ...

�m/-3F143[fqcdwjc`u3[^ �VZP^«Ë[ÒqÕF×-Ó��`Ö-ál×+Ô�ÑÒFÍ2-«è]â F - � â � ÔD×-ÓªÖ%4­ÔD×-Ü ÒPÙÚÖ-álÍÓFÙÚÍ�ÏçÓFÙÚÍ��"Û;Ö%4Ü Í­ÔÍÓ]ö ì=< ÓFÙÚ×-Ó±ÐRÍ­Ôëjì @;b - < ��= e � õ � ï W- < F = � õ � å ö F � õ �Dìð_ì >- < ��= � õ � ï m � @;b -5em õ F � õ � ï � 1 \ � F Wâ � - � õ � ï � 1 \ � F @;b â � -5e � õ � î8),+�ï ´ ã h ã 99 ~ ìJ OPADk HEjQD6@QSA�G;} ADC@A h

ö- � â � >g � â �Zm â�ïnh ö >- � â � g � â �Zm â2ã � �"� �

OPA�OP:jCFOPA�QSA�OPAqOP�F|A K E��@9;:j�@} AqO@EjOhö- � â � g � â �Zm â�ïnh

ö>- � â � >g � â �Qm â í�h

ö� - � â � � ' m â�ïnh

ö�N>- � â � � ' m â � �  ��

�VZdY[Z g Z �m/-35`�bd\_t�a@f�m/-35`�bd\_t�a �VZdY < Ó±ÐR×-ÓFÙ©Û;Ö-Û�Ü Ö+ÔlÙ©Û;Ö-Ó@Ô¾a×-Û­álÖjÎjÖ+Ô�ÎjÍ£�2×-ÒPÛ­ÏdÍÛýÎjÍlÜ Ö+Ô�Ô­Ï �"ÒPÏdÍÓFÙÚÍ­Ô�aRÒPÓFàÐÏd×-Ó±Í­Ô ìh = - � ö¹¸² ö 6 - � â � ï^¿ à � l Å@ã â�ù ´ ã

´ ã â � ´ 6 cýù ´@=y = g � ö¹¸² ö 6 g � â � ï¹Ã � l R Å R 6 cýù ´@=n@= Í � ö¹¸² ö 6 Í � â � ïtà � Å :$# '�F=87�9;�@ADiFE ´ �@Am�FE"9RE Í l � õ �Í l � õ � ï ö à � l�: Å : ã`_ Í l � õ � ï�@;b Í l e � õ � ï ö

y c ï � à � � :$#�< 8 l�: = � �j� ��P= é < � ö¹¸² ö 6 é < � â � ï^¿ h ã � âE� � - ã´ ã � âE�_ù - =

  =ba � ö¹¸² ö 6�a � â � ïÀ¿ à � l Å QS} C dèã âWù ´ ã

´ ã â � ´ 6 cýù ´@=�_= ä � ö¹¸² ö 6 ä � â � ïÀ¿ à � l Å |:`Q d è ãûâWù ´ ã

´ ã â � ´ 6 cýù ´@=�m/-35`�bd\_t�a �VZ gn� ÖjÎjÖpÎj×+Ô3aRÒPÓ±ÐÏd×-ӱͭÔ/-Ìèyg Ö%4­ÔD×-Ü ÒPÙÚÖ-álÍÓFÙÚÍýÏçÓFÙÚÍ��"Û;Ö%4Ü Í­Ô�ÔDÍ]ÎjÍ���Ó±ÍÜ Ö�ÐR×-ÓFØ-×-Ü ÒFÐÏ@Þ×-Ó � -dc7g � � â � álÍRÎ-ÏdÖ-ÓFÙÚÍ�Ü Ö]Í;æ­Õ±Û;Í­Ô­Ï@Þ×-Ó� -ec7g � � â � ïnh ö - � ñ � g � â�1 ñ �Zm ñ#ïnh ö - � â21 ñ � g � ñ �Zm ñ < ÓFÙÚ×-Ó±ÐRÍ­Ôf@;b -ec7g�e � õ � ïQ@;b -5e � õ � @;b g�e � õ � ïY>- � õ � >g � õ �Dìí Û;×%4RÖ-Û�ÖjÎjÍá�ÞÖ+ÔRî�ÑÒFÍ�ÔA@;b -�g�e � õ � ï � >-dc > g � � õ �Dì�m/-35`�bd\_t�a �VZ x ú ÔDÖ-Ó±Îj×lÜ ÖhgPÛ;Ö-Ó@Ô¾a×-Û­álÖjÎjÖ]ÎjÍ �2×-ÒPÛ­ÏdÍÛ�Û;Í­ÔD×-Ü Ø-ÍÛ�Ü Ö+Ô < � íæ ' éæ�è ' ï¹c '

æ ' éæ â ' ã é � â2ã ´ � ït- � â � ãæ éæ�è � â2ã ´ � ï}g � â � ã âWå�ömã

è æ éæ�è ï¹c 'æ ' éæ â ' ã é � â2ã ´ � ït- � â � ã�â�å�ö

n y

Page 33: Problemas de Series y Transformadas de Fourier MMF II: Grupo I ...

7�O.��OäãM]��#T$]P��_�¯&V7T5[^]P�3]^�3Y�ãM]E��XZ]P�,Y�]\`Ê�^!cdwjc`u3[^ �VZ~¥(ˤÍRÖM-�ÒPÓ±Ö�aRÒPÓ±ÐÏ@Þ×-ÓpÎjÍ���ÓFÏdÎjÖ]ÍÓUb ´ ãK» �Dì8{ ÖlÙ©Û;Ö-Ó@Ô¾a×-Û­álÖjÎjÖ�ÎjÍ { Ö-àÕ±Ü ÖjÐRÍ�i\b -5eB×V@;b � e è � Í­Ô�Ü ÖlÙ©Û;Ö-Ó@Ô¾a×-Û­álÖjÎjÖýÏçÓFÙÚÍ��"Û;Ö-Ü

@;b � e è � ï�i\b -5e � è � ïih �G à � ; Å - � â �Zm â2ã � � Æ��Îj×-Ó±ÎjÍ#Ü ÖlÏçÓFÙÚÍ��"Û;Ö-ܤÔDÍ�ÍÓFÙ©ÏdÍÓ±ÎjÍ�ÍÓ ÍܤÔDÍÓFÙ©ÏdÎj×lÏçá�Õ±Û;×;Õ±Ïd×+î�×�ÔDÍRÖ

h �G à � ; Å - � â �Zm â�ï K H� kj 0 � h jG à � ; Å - � â �Zm â �]\`Ê�^!cdwjc`u3[^ �VZdY ²n� ÏçÛ;Íál×+Ô�ÑÒFÍ�ÒPÓ±ÖPaRÒPÓ±ÐÏ@Þ×-Ó�- Í­Ô�ÎjÍm×-Û;ÎjÍÓ�Í;æ­ÕF×-Ó±ÍÓ±ÐÏdÖ-Ü@Ô­Ï!Í;æjÏ~Ô­ÙÚÍÓÎj×+Ô�ÐR×-Ó@Ô­ÙÚÖ-ÓFÙÚÍ­ÔmÓ±×�Ó±Í��`Ö-Ù©ÏçØ-Ö+Ô " è/¢�ÙÚÖ-Ü Í­Ô#ÑÒFÍ£� - � â � � � ¢�ÃJk�Å�ÕFÖ-Û;ÖlÙÚ×qÎj×�â � ´ ì® \_3F/-\_t�a �VZdY[YªË[Ï�-vÍ­Ô�ÒPÓ±Ö2aRÒPÓ±ÐÏ@Þ×-Ó«ÐR×-ÓFÙ©ÏçÓFÒFÖ�Ö5Ù©Û;×uLq×+ÔpÎjÍ ×-Û;ÎjÍÓ«Í;æ­ÕF×-Ó±ÍÓ±ÐÏdÖ-ÜÍÓFÙÚ×-Ó±ÐRÍ­Ô3-�Ù©ÏdÍÓ±Í�Ù©Û;Ö-Ó@Ô¾a×-Û­álÖjÎjÖ�ÎjÍ { Ö;Õ±Ü ÖjÐRÍBÕFÖ-Û;ÖýÙÚ×qÎj× è Ô­Ò(�¡ÐÏdÍÓFÙÚÍálÍÓFÙÚÍ3�"Û;Ö-Ó±ÎjÍ ì��C K E�QS} {j�@} ADC`G;AlGRE"i K E�} CF| K �@} k�:`Q#E K {j�@CFEjQ#OPA K EjQ�G;9RE"CFQ><�:j9;klEjO@EjQ�OPA��2E"� K Ej|Aýk HEjQ|:jk#�@C@AqQ¡} CF| K �@}~O@E K E�OPA K E#<��@CF|} H:jC]AqQ;|DE K H:jCml k � � � OPA(ÏFC@}~O@E�|:jk�: h QS} âWåCb ´ ã " e §�´ADC�A K 9;AqQ>G;:F=

- � â � @;b � e è � ïQi\b -5e � è �" " èâ � +/�è ��Ç��à l Å hè 1Cc 6

èù}c

QSADC � c`â � cè ' òIc '|:`Q � c`â �

èè ' òIc 'QSADC@� � c`â � cè ' 1Cc ' 6

èù6c

|:`QS� � c`â �èè ' 1Cc ' 6

èù6c

â � � # ' n � è 6 èù ´

l k � â � Ã � k ;è 6èù ´

z4�FEjOP9;:ln � µ29RE"CFQ><�:j9;klEjO@EjQ¡OPA��2E"� K Ej|AmOPA�E K {j�@CFEjQ4<��@CF|} :jC@AqQ�m/-3F143[fqcdwjc`u3[^ �VZdY g Ë[Ï@;b � e è � ïQi\b -5e � è � ÍÓFÙÚ×-Ó±ÐRÍ­Ô

njn

Page 34: Problemas de Series y Transformadas de Fourier MMF II: Grupo I ...

ëjì i\b -,º e � è � ï è i\b -5e � è � 1;- � ´ � ï è @;b � e è � 1;- � ´ � è�ÍÓ2�`ÍÓ±ÍÛ;Ö-Ü3i\b - < ��= e � è � ï è � @;b � e è � 1z � � �F �8G è F - < � � F � ��= � ´ �ð_ì i\b à l Å%- � â � e � è � ïQ@;b � e è 1Cc �ô`ì i\b â,- � â � e � è � ï�1�@;b º e � è � è�ÍÓ;�`ÍÓ±ÍÛ;Ö-Ü îVi\b â � - � â � e � è � ï � 1 h � � @;b o � + � � è �Dì÷[ì i\b l k � â � - � â 1 " � eVï¹Ã � k ; @;b � e è �Dì© ì i\b � -ec7g � � â � e � è � ï�i\b - � â � e � è � _pi\b g � â � e � è �Dì7�O.¼�OSRUT$V7W�XZY\[^]P_�m/-35`�bd\_t�a �VZ � o�Ö-Ü ÐÒPÜ Ö�Ü Ö+Ô�Ù©Û;Ö-Ó@Ô¾a×-Û­álÖjÎjÖ+Ô5ÎjÍ { Ö;Õ±Ü ÖjÐRÍ�ÎjÍpÜ Ö+Ô£aRÒPÓ±ÐÏd×-Ó±Í­Ô ÎjÍ Ü ÖÙÚÖ%4Ü Ö;ª ì ð_ì�m/-35`�bd\_t�a �VZç£Âo�Ö-Ü ÐÒPÜ Ö�Ü Ö+Ô4Ù©Û;Ö-Ó@Ô¾a×-Û­álÖjÎjÖ+ÔBÎjÍ { Ö;Õ±Ü ÖjÐRÍ�ÎjÍ¡Ü Ö+Ô�aRÒPÓ±ÐÏd×-ӱͭÔ2â |:`Q � a â �è�â QSADC � a â �Dì ú ÔDÖ-Ó±Îj×lÜ ×]Ö-ÓFÙÚÍÛ­Ïd×-Û#ÍÓ±ÐÒFÍÓFÙ©Û;Ö�Ü ÖlÙ©Û;Ö-Ó@Ô¾a×-Û­álÖjÎjÖ�ÎjÍ�Ü Ö+Ô7aRÒPÓ±ÐÏd×-ӱͭÔè '� è ' ò a ' � ' ã h� è ' ò a ' � '�m/-35`�bd\_t�a �VZ~� ú ÔDÖ-Ó±Îj×�Ü ×+Ô�Û;Í­Ô­ÒPÜ ÙÚÖjÎj×+Ô�ÎjÍÜ`Õ±Û;×%4Ü ÍálÖýÖ-ÓFÙÚÍÛ­Ïd×-Û�ÍÓ±ÐÒFÍÓFÙ©Û;Ö+î�Ò_ÔDÖ-Ó±Îj×Ü ÖlÙ©Û;Ö-Ó@Ô¾a×-Û­álÖjÎjÖ�ÎjÍ { Ö;Õ±Ü ÖjÐRÍ#Ü Ö�ÔD×-Ü ÒFÐÏ@Þ×-Ó5ÎjÍ�Ü Ö < � �

ä º º ò a ' älïi- G QSADC � a â � ã ä � ´ � ïþä º � ´ � ï ´ �m/-35`�bd\_t�a �VZ �ûú ÔDÖlÜ ÖlÙ©Û;Ö-Ó@Ô¾a×-Û­álÖjÎjÖ]ÎjÍ { Ö;Õ±Ü ÖjÐRÍBÕFÖ-Û;ÖlÛ;Í­ÔD×-Ü Ø-ÍÛ�Ü Ö+Ô < � � Ôh = ä º º 1 � ä º ò � ä�ï ´@6 ä � ´ � ï h 6 ä º � ´ � ï ´@6y = ä#º º#1 � ä#º`ò � ä�ï ´@6 ä � ´ � ï ´@6 ä#º � ´ � ï h 6n@= ä#º º`ò5älï â�à Š6 ä � ´ � ï ä#º � ´ � ï ´@6�F= ä#º º`ò y ä#º`ò � ä�ï n à � Å QSADC â 6 ä � ´ � ï ´@6 ä#º � ´ � ï h 6�P= ä#º º`ò y ä#º`ò5älï�b h 1 l � # ' � â � e QSADC � y â � 6 ä � ´ � ï h 6 ä#º � ´ � ï ´@6  = ä#º º`ò n ä#º`ò y ä�ï l � # ' � â � à ( Å 6 ä � ´ � ï h 6 ä#º � ´ � ï h =�m/-35`�bd\_t�a �VZP^ { Ö < � � âFä#º º"ò�ä#º-ò�âFälï ´ î!ÔDÍ#ÐR×-Ó±×qÐRÍ�ÐR×-ál×ýÍRÐÒFÖjÐÏ@Þ×-ÓpÎjÍ�x�Í­ÔRÔDÍÜÎjÍ�×-Û;ÎjÍÓ®Ú ì2í Û­ÒFÍu4RÖ]ÑÒFÍ�Ô­ÏUq � è � Í­Ô�Ü ÖýÙ©Û;Ö-Ó@Ô¾a×-Û­álÖjÎjÖ�ÎjÍ { Ö;Õ±Ü ÖjÐRÍlÎjÍ#Ü ÖlÔD×-Ü ÒFÐÏ@Þ×-Ó�ÎjÍÍ­Ô­ÙÚÖ < � � ÐR×-Ó�ä � ´ � ï h î±Õ±Û­ÒFÍu4RÖ�ÑÒFÍ�ÍÓFÙÚ×-Ó±ÐRÍ­ÔfqþÔDÖ-Ù©Ï~Ô¾aÖjÐRÍ#Ü Ö < � �� è ' ò h � q º � è � ò è q � è � ï ´ í Û­ÒFÍu4RÖ�ÑÒFÍ�Ü Ö�ÔD×-Ü ÒFÐÏ@Þ×-Ó5ÎjÍ�Ü Ö < � � Ö-ÓFÙÚÍÛ­Ïd×-ÛmÔDÍ�Õ±ÒFÍRÎjÍ�Í;æ­Õ±Û;Í­ÔDÖ-Û�ÍÓ�ÔDÍÛ­ÏdÍ�ÐR×-ál×

q � è � ï " �!���8G � 1 h � � � y + � �y ' � � +/� � ' hè ' ��Ç�� � ÕFÖ-Û­Ù©ÏçÛ�ÎjÍ�Ü ×�Ö-ÓFÙÚÍÛ­Ïd×-Û�ÎjÍRÎ-ÒFÐRÍ�Ü Ö�aRÒPÓ±ÐÏ@Þ×-Ó�ä � â � ÔD×-Ü ÒFÐÏ@Þ×-Ó5ÎjÍ�Ü Ö < � � ÎjÍ�x�Í­ÔRÔDÍÜ ìn"�

Page 35: Problemas de Series y Transformadas de Fourier MMF II: Grupo I ...

�m/-35`�bd\_t�asr;g Zç£ 1!rq3[fJth =8��EjO@E��@CFE#<��@CF|} H:jC - OPA��[AD9;} :POP: y � 6FOPA(ÏFC@A�QS��QSAD9;} A�OPA��@:j�@9;} AD9q=y = �_AqE K E�<��@CF|} H:jC y � �[AD9;} H:`OP}~|DE - � â � ï |:`Q â8Ë y =�z¡E K |� K E�QS��QSAD9;} A�OPA]�@:j�@9;} AD9­Uu � â � =n@=wvq�4Q ­Uu � â � ït- � â � �FE"9RE�G;:POP: âWåCb 1���ãQ�,e =F¨j�FQ>G;} Ï[|DE#G;��9;AqQS�@�@AqQ>GRE3x�F=Ù¬BG;} K } MqE"CFOP:lQS}VAqQ�C@Aq|AqQ;E"9;} : K :`QBE"�FE"9SGREjOP:`Q¡E"C`G;AD9;} :j9;AqQ¡9;AqQS�@A K L A K E��4��7 �ææ�è é � â2ã è � ï

æ 'æâ '$é � â2ã

è � ãé � ´ ã è � ï é � ��ã è � ï ´ ã é � â2ã ´ � ï |:`Q â8Ë y �m/-35`�bd\_t�asr;g�1!rq3[fJth =8��A(ÏFC@A K EBG;9RE"CFQ><�:j9;klEjO@EBOPA¡�@:j�@9;} AD9 >- � 8 � OPA4�@CFE�<��@CF|} H:jC - � â � E"iFQS: K �PGRE"k�ADC`G;A

} C`G;AD{j9RE"i K A�ADC ö =y =8��CF|�@ADC`G;9RE K E#G;9RE"CFQ><�:j9;klEjO@E�OPA��@:j�@9;} AD9�OPA K E#<��@CF|} H:jC â�à � Å : =n@=8��ADk#�@AqQ>G;9RE ´ �@A�QS} - AqQ + L Aq|AqQ�OPAD9;} L E"i K A�§WQS�FQ + OPAD9;} L EjO@EjQ�QS:jCpE"iFQS: K �PGREØ

k�ADC`G;Am} C`G;AD{j9RE"i K AqQ¡ADC ö ADC`G;:jCF|AqQ W- < ��= � 8 � ï ��\y8 � � >- � 8 � =

n`�

Page 36: Problemas de Series y Transformadas de Fourier MMF II: Grupo I ...

�2E�QSAD9;} A�G;9;} {j:jC@:jk HAG;9;}~|DE#OPA��@:j�@9;} AD9�AqQ>G HE�OPA(ÏFC@}~O@E��[:j9� � â � ï c�Gy ò �!����� c�� |:`Q � +¤â � òkdK� QS} C � +¤â � ã

OP:jCFOPA K :`QB|:_A(Ï[|} ADC`G;AqQ L } ADC@ADC�O@EjOP:`Q��[:j9 K EjQ�A(³P�@9;AqQS} :jC@AqQc��lï h� h �� � - � â � |:`Q � +¤â �Zm â2ãîdK�lï h� h �� � - � â � QS} C � +¤â �Zm â2ã�FE"9RE + � ´@=

��C]C_�@AqQ>G;9;:�AZê>ADk�� K :- � â � ï^¿ â21 y 1�� � â ± ´

â�ò y ´ � ⨱6�AqQ��@CFE�<��@CF|} H:jC�} k��FE"9B�[:j9�GRE"C`G;: c��lï ´��FE"9RE�G;:POP: + � ´@= J OPADk HEjQD6dK�lï h� hI�� � - � â � QS} C � +¤â �Zm â�ï

y� hI�G � â¤ò y%� QS} C � +¤â �Zm â�ï � � h 1 � 1 h � � � 1 y � � 1 h � �+ �V�@AD{j: � � â � ï �!����� � � h 1 � 1 h � � � 1 y � � 1 h � �+ QS} C +¤â J OPADk HEjQ � � â � øït- � â � ADC â]ï ´�§`E ´ �@A - C@:#AqQ4|:jC`G;} C_�FE�ADC�OP}~|R�@:��@�@C`G;:F6_OPA��@Aq|R�@:ADC�´ � � â � G;} ADCFOPA�E�´�k�} ADC`G;9REjQ ´ �@A - � ´ � ï y =?BAqQS: K L E"k�:`Q�E"�@:j9RE K E�Aq|�FEj|} H:jC�OPA K |DE K :j9ææ�è é � â2ã è � ïtc '

æ 'æâ '$é � â2ã

è � ã|:jC K EjQB|:jCFOP}~|} :jC@AqQBOPA�|:jC`G;:j9;C@:

é � ´ ã è � ï é � ��ã è � ï ´ 㧠K E�|:jCFOP}~|} H:jC]} C@}~|}~E K é � â2ã ´ � ït- � â � N��@A L E"k�ADC`G;Am�FQ;E"9;ADk�:`Q¡A K k HAG;:POP:�OPA�QSAD�FE"9REj|} H:jC]OPA L E"9;}~E"i K AqQ �é � â2ã è � ï¹ë � â � È � è � ã ë � â � øì ´ ã*È � è � øì ´ ã´ �@A�E K QS�FQ>G;} G;�@} 9BADC K E�Aq|�FEj|} H:jC]:j9;} {j} CFE K C@:`QBO@Eë � â � È º � è � ïtc ' ë º º � â � È � è � ãîí ëUº º � â �ë � â � ï hc ' È�º �

è �È � è � ï�1�õVãOP:jCFOPA õ�å�ö 6@}©= Aj= 6PG;ADC@ADk�:`Q K EjQ�Aq|�FEj|} :jC@AqQë º º � â � ò�õ$ë � â � ï ´ ã ë � ´ � ï¹ë � � � ï ´ ã§ È º � è � 1Cc ' õ$È � è � ï ´

n  

Page 37: Problemas de Series y Transformadas de Fourier MMF II: Grupo I ...

�2ElQS: K �F|} H:jC�{jADC@AD9RE K OPA � h � � OPAD�[ADCFOPA#OPA K2L E K :j9�OPA õ =±�4Q�< HEj|} K |:jk��@9;:jiFE"9 ´ �@AQS: K E"k�ADC`G;A�QSA¡G;} ADC@ADClQS: K �F|} :jC@AqQ!C@:�C_� K EjQ�QS} õ�ù ´@="��C�AqQ>G;AB|DEjQS: K EmQS: K �F|} H:jC�{jADC@AD9RE KAqQ ë � â � ï¹s |:`Q�ï õ@â�ò®ð QS} C�ï õFâ2ã´ �@A�ê>�@C`G;:lE K EjQB|:jCFOP}~|} :jC@AqQBOPA�|:jC`G;:j9;C@:��FE"9RE ë C@:`QBO@E"C K EjQBQS: K �F|} :jC@AqQë�� � â � ï QS} C +¤â2ã�õ � ïªõ5�ýï}+ ' ��C]AqQ>G;A�|DEjQS:��FE"9RE È :jiPG;ADC@ADk�:`QÈ º � è � òIc ' + ' È � è � ï ´ ãK �@AD{j: È8� � è � ïtà � l : � : ;§W�[:j9�GRE"C`G;:��@CFE�QS: K �F|} H:jC OPA�C_�@AqQ>G;9RE]Aq|�FEj|} H:jC |:jC K EjQ�|:jCFOP}~|} :jC@AqQmOPAý|:jC`G;:j9;C@:� h n � QSAD9 HE é � � â2ã è � ï Á �#à � l�: � :�; QS} C +¤â z4:jk�: K ElAq|�FEj|} H:jC�OPA K |DE K :j9�AqQ K } C@AqE K §]�@:jk�:j{ HADC@AqE#ADC`G;:jCF|AqQ�QS�WQS: K �F|} H:jC�{jADC@AD9RE KQSAD9 HE�OPA K E#<�:j9;klE

é � â2ã è � ï �!����� é � � â2ãè � ï �!����� Á �$à � l�: � :�; QS} C +¤â

7�E"9RE ADCF|:jC`G;9RE"9 K :`Q�|:_A(Ï[|} ADC`G;AqQ�} CFOPAG;AD9;k�} CFEjOP:`Q Á � QS�@�[:jCFOP9;ADk�:`Q ´ �@A - AqQ K :QS�#Ï[|} ADC`G;ADk�ADC`G;AWi@�@ADCFE � �[:j9�AZê>ADk�� K :�|DEjQS} ØÚ|:jC`G;} C_�FE"k�ADC`G;A�OPAD9;} L E"i K A�ADC b ´ ãQ�,e � §L E"k�:`QýE A(³_G;ADCFOPAD9 K EjQýE G;:POP:5A K } C`G;AD9 L E K : b 1���ãQ�,e OPA�<�:j9;klE } k��FE"9q6�AqQ�OPAq|} 9�OPA<�:j9;klE ´ �@A - § g QSAqE"C�<��@CF|} :jC@AqQ�} k��FE"9;AqQD=���C`G;:jCF|AqQ�OPAqQ;E"9;9;: K K E"k�:`Q�ADCþQSAD9;} A�OPA�@:j�@9;} AD9 - §ý�FQ;E"k�:`Q K EjQ K EjQB|:jCFOP}~|} :jC@AqQ¡} C@}~|}~E K AqQ � h � � :jiPG;ADC@ADk�:`Q

é � â2ã ´ � ït- � â � ï �!����� Á � QS} C +¤â2ãOP:jCFOPA Á �ýï y� hI�G - � â � QS} C +¤â m â �4QBOPAq|} 9q6 Á �ýïtdK� 6 K �@AD{j:

é � â2ã è � ï �!����� � � h 1 � 1 h � � � 1 y � � 1 h � �+ à � l�: � :�; QS} C +¤â

n_�