Problemas de complementariedad lineal. Métodos … · Organización de la plática 1...

Problemas de complementariedad lineal. Metodos

numericos eficientes y aplicaciones practicas.

Jose Luis Morales. ITAM,

L. Feng (UI), V. Linetsky(NU), J. Nocedal(NU),M. Smelyanskiy(INTEL).

SMMyC, Instituto de Geofısica, UNAM.29 de agosto, 2008.

Jose Luis Morales. ITAM, Problemas de complementariedad lineal. Metodos numericos eficientes

Organizacion de la platica

1 Motivacion

2 Estructura de un problema de complementariedad lineal.

3 Descripcion de los algoritmos propuestos.4 Aplicaciones.

Simulacion de cuerpos rıgidos.Derivados financieros. Valuar opciones americanas.

Black-Scholes-Merton. Volatilidad fija.Heston. Volatilidad estocastica.

1 Motivacion

Motivacion

Modelar fuerzas de contacto en simulacion de fenomenosfısicos: a) tiempo de CPU (tiempo real); b) memoria; c)precision (baja-moderada).

Video juegos. INTEL.Desarrollo de protesis articuladas (brazos, manos)

Finanzas. Valuar opciones americanas. Precision alta.Tiempo real.

Ingenierıa quımica. Economıa. Modelos de equilibrio.Ingenierıa mecanica. Friccion. Contacto. 1

Otras aplicaciones. 2

1M. Ferris and J-S. Pang. Engineering and Economic Applications ofComplementarity Problems. SIAM Review, 39(4), pp. 669-713(1997).

2M. Ferris, D Ralph, J-S. Pang, S Scholtes. Complementarity Problems: 40years on. Math. Programming, 101(1), 2004.

Motivacion

El problema

Problema de programacion lineal en forma estandar

minimizar bT v

sujeta a Cv + a = 0, v ≥ 0.

⇐⇒ Condiciones de optimalidad (KKT)

b − CTu − w = 0

Cv + a = 0

v ⊥ w

v ,w ≥ 0.

v variables del problema primal.

u, w variables del problema dual.

Origen del problema

Problema de programacion cuadratica convexa

minimizar bT v +1

sujeta a Cv + a = 0, v ≥ 0

⇐⇒ Condiciones de optimalidad (KKT)

b + Bv − CTu − w = 0

Cv + a = 0

v ⊥ w

v ,w ≥ 0

Formulacion

Au + Cv + a = 0

0 ≤ Du + Bv + b ⊥ v ≥ 0

La matriz[

es de n × n.Caso general (no lineal)

F (u, v) = 0

0 ≤ G (u, v) ⊥ v ≥ 0.

Caracterısticas.

Datos: A, B , C , D, a, b. Incognitas: u, v , w .

1 Complejidad computacional: naturaleza combinatoria!

N = {1, 2, . . . , n}

Conjunto activo en la solucion:

A∗ = {j ∈ N | uj = 0}

2 Metodos numericos con valor practico:Lemke (1965) para ciertas clases de problemas deprogramacion cuadratica.Metodos de punto fijo (1971) en ingenierıa mecanica. SORproyectado.Metodos de suavizamiento (1990).Metodos de puntos interiores (1992).

Caracterısticas.

N = {1, 2, . . . , n}

A∗ = {j ∈ N | uj = 0}

Caracterısticas.

N = {1, 2, . . . , n}

A∗ = {j ∈ N | uj = 0}

Aplicaciones

Etapas principales de una simulacion.

Fraccion de tiempo de CPU para cada etapa.

Estructura de un PCLm.

Matriz del PCLmJDJT + E ,

en donde J es rectangular con renglones que corresponden alas restricciones, y columnas que corresponden a los cuerpos.

D es una matriz diagonal por bloques que incorpora inercia enel modelo fısico.

E es diagonal con entradas positivas.

(JDJT + E )λ = e.

JDJT + E es simetrica positiva definida.

λ es el vector de fuerzas de contacto.

(JDJT + E )λ = e.

Ejemplo. 907 cuerpos; 5 832 restricciones.

0 1000 2000 3000 4000 5000

nz = 176735

Resultados numericos con GSP

nb nc nz(JDJT ) cond(JDJT ) 10−1 10−2

7 18 162 5.83e+01 4 68 45 779 2.92e+03 17 1208 48 868 2.38e+03 17 111

235 1 044 14 211 4.58e+04 61 312449 1 821 28 010 4.22e+04 132 414

907 5 832 176 735 5.11e+07 21 16 785

948 7 344 269 765 9.02e+07 3 123 >50 000966 8 220 368 604 9.19e+07 1 601 39 103976 8 745 373 848 6.45e+07 7 184 >50 000977 9 534 494 118 1.03e+08 1 246 >50 000

Identificacion del conjunto activo.

name k = 2 k = 20 k = 1000 k = 10000

1 3/4 4/42 7/8 7/83 8/10 8/104 12/58 40/58 58/585 156/254 233/254 254/254

6 1 253/1 512 1 301/1 512 1 399/1 512 1 471/1 5127 1 504/1 828 1 523/1 828 1 614/1 828 1 707/1 8288 2 112/2 321 2 106/2 321 2 178/2 321 2 253/2 3219 1 728/2 158 1 743/2 158 1 870/2 158 1 976/2 15810 2 513/2 728 2 495/2 728 2 578/2 728 2 670/2 728

Resultados de comparacion.

name cpu time nz(L) # Chol. fact.

6 0.50/0.22 216 080/114 864 17/77 1.02/0.45 406 152/218 522 18/88 2.40/0.63 797 989/398 821 16/79 1.79/0.66 646 929/341 911 19/910 4.67/0.87 1 222 209/604 892 17/6

JL Morales, J Nocedal and M Smelyanskiy.An Algorithm for the Fast Solution of Symmetric Linear ComplementarityProblems (2007). Report 2007/5 Optimization Technology Center,Northwestern University, June 2007. Revised version, August 2008.

Por aparecer en Numerische Mathematik.

Resultados de comparacion.

name cpu time nz(L) # Chol. fact.

6 0.50/0.22 216 080/114 864 17/77 1.02/0.45 406 152/218 522 18/88 2.40/0.63 797 989/398 821 16/79 1.79/0.66 646 929/341 911 19/910 4.67/0.87 1 222 209/604 892 17/6

JL Morales, J Nocedal and M Smelyanskiy.An Algorithm for the Fast Solution of Symmetric Linear ComplementarityProblems (2007). Report 2007/5 Optimization Technology Center,Northwestern University, June 2007. Revised version, August 2008.

Por aparecer en Numerische Mathematik.

Comportamiento del error con respecto al tiempo de CPU.

0 1 2 3 4 5 6−14

CPU time in seconds

log 10

||)∞

Problem number 10

IPMPGS(5)+SMrPGS

Opciones americanas

Considerar una opcion Americana (put) con precio de ejercicio K ytiempo de madurez T .Si la opcion se ejerce cuando el precio del subyacente es S ,entonces el el poseedor de la opcion recibe

Ψ(S) = (K − S)+ = max(K − S , 0).

Opciones americanas

Ψ(S) = (K − S)+ = max(K − S , 0).

Opciones americanas

Ψ(S) = (K − S)+ = max(K − S , 0).

Si V (t,S) es el precio de la opcion al tiempo t cuando el preciodel subyacente es S . Entonces V resuelve la siguiente desigualdad

variacional diferencial parcial

2σ2S2 ∂2V

∂S2+ (r − q)S

∂S− rV

[V − Ψ] = 0,

t ∈ [0,T ), S ∈ (0,∞)

sujeta a la condicion de terminacion

V (T ,S) = Ψ(S), S ∈ (0,∞),

en donde r is la tasa de interes libre de riesgo; q es el dividendoque paga el subyacente; σ2 es la volatilidad.

Si V (t,S) es el precio de la opcion al tiempo t cuando el preciodel subyacente es S . Entonces V resuelve la siguiente desigualdad

variacional diferencial parcial

2σ2S2 ∂2V

∂S2+ (r − q)S

∂S− rV

[V − Ψ] = 0,

t ∈ [0,T ), S ∈ (0,∞)

sujeta a la condicion de terminacion

V (T ,S) = Ψ(S), S ∈ (0,∞),

en donde r is la tasa de interes libre de riesgo; q es el dividendoque paga el subyacente; σ2 es la volatilidad.

Discretizacion.

Discretizacion temporal: metodo de Euler implıcito. Dividir [0,T ]en N intervalos de longitud k = T/N. Discretizacion espacial:MEF.Denotando a u(tn) por u

(v − un)⊤ · [(M + kA)un − Mu

n−1 + kF] ≥ 0, ∀v ≥ 0,

u0 = 0, u

n ≥ 0, 1 ≤ n ≤ N.

equivalente al problema de complementariedad lineal

(un)⊤ · [(M + kA)un − Mun−1 + kF] = 0,

(M + kA)un − Mun−1 + kF ≥ 0,

u0 = 0, u

n ≥ 0, 1 ≤ n ≤ N.

Discretizacion.

(v − un)⊤ · [(M + kA)un − Mu

n−1 + kF] ≥ 0, ∀v ≥ 0,

u0 = 0, u

n ≥ 0, 1 ≤ n ≤ N.

(un)⊤ · [(M + kA)un − Mun−1 + kF] = 0,

(M + kA)un − Mun−1 + kF ≥ 0,

u0 = 0, u

n ≥ 0, 1 ≤ n ≤ N.

Discretizacion.

(v − un)⊤ · [(M + kA)un − Mu

n−1 + kF] ≥ 0, ∀v ≥ 0,

u0 = 0, u

n ≥ 0, 1 ≤ n ≤ N.

(un)⊤ · [(M + kA)un − Mun−1 + kF] = 0,

(M + kA)un − Mun−1 + kF ≥ 0,

u0 = 0, u

n ≥ 0, 1 ≤ n ≤ N.

Resultados con opciones americanas

PCL estructuralmente simetricos.

Black-Scholes-Merton. Volatilidad fija. 10-100 veces masrapido GSP + MS. Cada PCL 2 000 × 2 000. 1 000 pasos detiempo. CPU: segundos en Laptop.

Heston. Volatilidad estocastica. 4 veces mas rapido enescenarios favorables para GSP. Cada PCL 50 000 × 50 000.300 pasos de tiempo. CPU: minutos en Laptop.

L Feng, V Linetsky, JL Morales and J NocedalPricing American Options with LCP based methods. En preparacion.

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