PROBLEMARIO FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS

Lic. Albero Rodríguez M. Página 1

PROBLEMARIO FUNDAMENTOS

MATEMÁTICOS

1.0 EXPONENTES Y RADICALES

Simplifica las siguientes expresiones aplicando la ley de

los exponentes.

3 31 2 2 2 3

2 13 1 2 4

2 31 3 1 2 4 3

1 13 3 1 1 32 2

31 2

23 2

1]

2 ]

3 ] 2 2 3 2

24 ] 2 2

5 ]

x y x y s o l x

x y x y s o l x y

x y x y s o l x y

ba b a b s o l

a

x y

x y

3 2

31 3 2 5 3

2 1 24 3 3

2 2

2 2

1

1

1

6 ]

1 17 ]

3 1 3

18 ]

1

39 ]

s o lx y

x y z x ys o l

zx y z

a as o l

a a

a b a bs o l

a b a b

a

1 2

2

65 93 5

23 52

1 12 3 4 24 8

5 733 4

5 43 34

5564

312 2

6 3

1 4 2

1 0 ]

1 1]

1 2 ]

1 3 ]

bs o l

a a

x y s o l x y

x y x y s o l x y

x y ys o l

x y x

x y

x y

34

23

32 4 4

3 3

1 25 2 2

1 23 4 3 1 3

5 2

22 4 2

3 82 2

1 64

1 4 ]

4

11 5 ] 2

6 4

31 6 ]

33

xs o l

y

x y

s o lx

x y

x y x y s o lx y

x y ys o l

xx y

Racionaliza las siguientes expresiones:

3 21] 4 2 5

1 + 2

5 2 32 ] 2 3

4 3

2 5 2 1 0 73]

32 5

7 2 54 ]

7 5

s o l

s o l

s o l

s o l

1 7 3 3 5

2

2 3 5 1 9 7 1 05 ]

32 2 5

1 9 9 5 2 7 6 36 ]

25 2 4 3

3 2 9 6 2 17 ]

57 2 6 3

4 3 3 78 ]

2 3 3 7

s o l

s o l

s o l

6 2 1 2 9

1 7s o l

5 2 6 3 1 4 9 69 ]

54 2 3 3

9 3 3 2 1 6 3 3 21 0 ]

1 06 6

3 5 2 5 21 1]

45 1

2 31 2 ]

3 1

s o l

s o l

s o l

3 5

2

2 31 3] 5 2 6

2 3

11 4 ]

1

2 21 5 ]

2 2

1 6 ]

s o l

s o l

a as o l

a a

xs o l

x

a b a b

a b a b

2 2

2 2

1 11 7 ]

1 1

31 8 ]

2 3 5

3 51 9 ]

2 3 5

6 3 22 0 ]

6 3 2

s o l

x xs o l

x x

s o l

s o l

s o l



1.1 OPERACIONES CON EXPRESIONES

ALGEBRAICAS

Realiza las siguientes operaciones simplificando el resultado

a su mínima expresión

2

2 3 2 2 3 3 2

2 3 2

2 2 2 2 2

2 2

1 2 2 1 2

2 2 2

1]

2 ]

3 ]

4 ]

15

3 2 2

1 1. 5

6 2

3 3 2 52 3

2 5 3 2

7 7.

2 5

1 33 5 4

2 2

.

15

2

x x x x x

z yx y z y z x z y y z x

s o l z x y y z

a b a c c a b a a b

s o l b a a c

y y y y y y y

s o l

x y x

2 2 2

2 3 2 3 2 25 ]

3 1 3

2 2 2

.

5 3 2 3

3 2 5 2

.

c c z x y z c

s o l

x y x a z x x y z a

s o l

2 - 2

2

1 3 2 3 2

2 2 2 1

3

1 2 1

22 2 2 2

2 2

6 ]

7 ]

8 ]

9 ]

1 0 ]

5 3 .

6 1 0

5 4 .

.

18 .

4

y

m n

x x x

y y

m

y

y

a b a b c s o l

a b c a b s o l

x y x y s o l

x y x s o l

x y a a

a y x x

2

2 25 2 y 2

1

2 21 2 n

22 2 3

2

1 1]

1 2 ]

1 3 ]

1 4 ]

1 5 ]

.

3 .

3 3 .

8 3 2 .

3 5 .

3

x

n

n n

s o l

x y x y xs o l

y y y

x y x ys o l

x y y x

x y y x a s o l

x x s o l

y

3 2

5 6 2 .y y s o l

4 2 4

2 -22 1

24 1 2

-122 1 1

2 24 1 2

2 2

1 6 ]

1 7 ]

1 8 ]

1 9 ]

2 0 ]

2 1]

4 3 3 2 6 5 .

2 3 1 2 .

2 3 2 .

3 2 2 .

2 3 2 .

3 2

x x x x so l

x x x so l

x y x y so l

x y x y so l

x y x y so l

x x

4 3 2 2

2 2 ]

.

3 2 .

so l

x x y x y y x y so l

2 5 2 4 2

1 2

2

2 2

2

5 2 2

2 3 ]

2 4 ]

2 5 ]

2 6 ]

2 7 ]

2 8 ]

2 9 ]

3 5 3 .

2 2 .

2 0 5 .

6 2 2 .

1 5 8 2 2 2 3 .

5 1 2 5 2 5 .

1

x m

x y a x x y s o l

a a a s o l

x x x s o l

x x y y y x s o l

x y x y y x s o l

x x x x x s o l

x x

2 23 0 ]

.

1 5 1 1 1 .

6 3 6 6 3 2

s o l

a a b b a b s o l

22

22

24 2

24 3

3 1]

3 2 ]

3 3 ]

3 4 ]

2 3 5 .

6 5 2 .

9 3 3 .

2 3 7 2 3 .

x x a so l

x x a so l

x x x x so l

x x x x so l

2 2

2 2 2

2

2

2

2

3 5 ]

3 6 ]

3 7 ]

3 8 ]

3 9 ]

4 0 ]

4 1]

3 12 4 2 5

2 2

3 1 1 3 23 2 2 3

2 4 5 5 3

.

.

.

.

.

.

A

s i A x x B x x

C x x D x x E x x

A B D C S o l

A B C S o l

A E B S o l

B S o l

A B C S o l

A E D B S o l

A B B C S

2

4 2 ]

.

2 .E

o l

A B S o l



4 3] 3

4 4 ] 3

4 5 ] 2

2 .

.

.

A B C S o l

A B S o l

A B A C S o l

1.2 FACTORIZACIÓN

Factoriza las siguientes expresiones algebraicas utilizando el

método apropiado para cada una

2

4 4

2 2 2

2 2

2 2

3

1]

2 ]

3 ] 3 2 2

4 ]

5 ] 3

6 ]

7 ] 2

8 ] 6 9 2 1 1 4

9 ] 4

.

2 2 4 .

3 .

.

2 6 .

3 1 2 .

5 1 5 6 .

.

a

a x

m n n x

x

a

a x

a

m n n x m x

a m

a b a x b x so l

b x a y b y so l

m x so l

x x y y so l

b b x a x so l

a x so l

x a y b y b x so l

so l

2

3 2

2 2 2

2

2 4

2 4

8 4

1 0 ] 2 0 5

1 1]

1 2 ] 3

1 3 ]

1 4 ] 1 6 4 0

1 5 ] 3 6 1 2

1 6 ]

1 2 3 .

2 8 .

1 .

7 3 7 .

2 5 1 0 .

2 5 .

.

1 8 8

a x

a

a

a

x

a

a

a m n m n so l

b x b y a y so l

a a so l

b x a x a b so l

a so l

x so l

a so l

a

2 4 2

1 0 5

1 7 ] 1

1 8 ] 4 0 0

1 .

1 4 4 9 .

1 4 0 .x

so l

x y x y so l

x so l

2 2

2

4 4 2 2

4 2

22

2

1 9 ]

2 0 ] 1

2 1]

2 2 ]

2 3 ] 3

2 4 ]

1 .

4

2 1 .

3 9

1 .

4

1 2 5 1 .

2 5 3 6 3

2 .

+ 7 6 .

x

x

x

x

a

a

y x y s o l

y s o l

y x y s o l

x s o l

a b a b s o l

a s o l

2

4 2

2 5 ] 1 2 8

2 6 ]

.

+ 5 4 .

x x

x

s o l

x s o l

6 3

2 2

4 2 2

2

2

2

2

2 7 ]

2 8 ]

2 9 ]

3 0 ]

3 1] 3 0 1 3

3 2 ] 1 3 1 4

3 3 ]

6 7 .

5 6 .

+ 7 6 0 .

5 3 6 .

.

.

1 5 5 4

x

m

x

x

m m

x x

x

x s o l

m n n s o l

a x a s o l

x s o l

s o l

s o l

x

2

2

2

2

2

2

2

3 4 ]

3 5 ] 1 2

3 6 ] 7

3 7 ] 2 3

3 8 ] 5

3 9 ] 6

4 0 ] 4

.

1 5 5 6 .

1 3 3 5 .

6 2 .

5 .

1 3 6 .

6 5 .

1 5 9

x

x

x

x

x

x

a

s o l

x s o l

x s o l

x s o l

x s o l

x s o l

x s o l

x

24 1] 1 2

.

3 5 1 3 .x

s o l

x s o l

2

6 3

2 2

2 2

4 8

2 2

2 4

4 2 ]

4 3 ] 7

4 4 ] 3 0

4 5 ] 2 1

4 6 ] 5 7

4 7 ] 6

4 8 ] 1 5 2

4 9

4 4 7 3 5 .

3 1 1 0 .

1 3 3 .

2 9 7 2 .

6 .

1 5 .

8 .

x

x

x

x

x

a

x

x so l

x so l

x y y so l

x y y so l

x so l

a x x so l

x so l

8 4

2

] 6 2 5

5 0 ] 1 6 4 1 5

5 .

.

x

a a

x so l

so l

Factoriza las siguientes expresiones completando el trinomio

cuadrado perfecto

2 4

2 4

2 2 4 4

2 2 2

4 4 2 2

4 2

2 4

4

5 1] 4

5 2 ]

5 3 ] 5 4

5 4 ] 9

5 5 ]

5 6 ]

5 7 ] 6

5 8 ] 8 1

.

+ 1 .

4 9 2 5 .

1 2 .

3 y .

6 + 1 .

+ 1 .

x

y

x

x

x

x

y

x

y s o l

y s o l

y y x s o l

x y s o l

y x s o l

x s o l

y s o l

2

4 2 2 4

4 2

5 9 ]

6 0 ] 9

1 2 y .

y .

2 3 + 1 4 4 .

x

x

s o l

x y s o l

x s o l



1.3 PRODUCTOS NOTABLES

Desarrolla correctamente los siguientes productos notables

22

22 23

32 2

1 2 3 2

3 3 2 4 4 4

5 3 6 1 3

7 2 3 8 7 3

x x y x y x y

y x a a

x x x

x x x x

32 2

2

3 3

3

1 1 39 1 0

3 6 2

1 1 1 2 6 4

2 21 3 1 4 6 8

3 5

1 5 1 6 3 5 5 32 5

a m m a

yx x

y

x y y x x x

x y x x

x yx y y x

2 3

2

22 2

2

22

1 7 1 8 2 5

1 9 3 2 3 2 2 0 2 3

2 1 5 8 2 2 2 7

22 3 2 4 3 5

2

32 5

4 2

x x yx

a b

x y x y x y y

x x x y x y

xx x

x

x y x

y

3

22

3

2

22 2

1 2 6

2

2 7 3 1 2 8 4 2

2 9 1 0 2 3 0 3 3

13 1 3 2 3 9

4

33 3 3 4

2

x a

x x x x

x x x y x

x y x y x y

a yx

b x

3 1 0y x y

2

32

1 33 5 3 6 1 2 3

2 2

2 33 7 1 2 5 3 8

3 9 3 1 0 4 0 4 5

x x x

a yx x

y a

x y x y x x

1.4 DIVISIÓN SINTÉTICA

Utiliza el método de división sintética para factorizar los

siguientes polinomios

3 2

3 2

3

4 2

4 2

5 3 2

5 3 2

1 3 4 1 2 .

2 2 1 8 9 .

3 7 6 .

4 1 5 1 0 2 4 .

5 2 2 7 5 .

6 2 1 1 6 1 0 8 1 4 4 .

7 2 3 6 1 1 2 9 6 .

8 6

x x x so l

x x x so l

x x so l

x x x so l

x x so l

x x x x so l

x x x x so l

x

3 2

5 3 2

5 4

6 4 2

3 2

3 2

3 2

4 3

2 3 9 1 8 .

9 2 5 2 5 .

1 0 2 8 3 1 2 .

1 1 4 1 1 8 4 1 4 4 .

1 2 2 2 .

1 3 6 3 2 .

1 4 6 2 3 9 1 8 .

1 5 2 1 3

x x so l

x x x so l

x x x so l

x x x so l

x x x so l

x x so l

x x x so l

x x x

2

1 4 2 4 .x so l

3 2

3 2

1 6 ] 4 5 .

1 7 ] 5 3 9 0 .

x x x so l

x x x so l

3 2

3 2

3 2

4 3 2

4 3 2

3 2

4

1 8 ] 7 4 1 2 .

1 9 ] 2 2 .

2 0 ] 6 1 2 8 .

2 1] 9 2 3 3 3 6 .

2 2 ] 5 6 4 8 .

2 3 ] 5 1 3 7 .

2 4 ] 2

y y y s o l

y y y s o l

x x x s o l

x x x x s o l

x x x x s o l

x x x s o l

x

3 2

6 5 4 3

4 3 2

5 4 3 2

4 2

1 5 .

2 5 ] 2 2 .

2 6 ] 3 8 1 2 1 6 .

2 7 ] 9 9 .

2 8 ] 2 1 2 0 .

x x s o l

x x x x s o l

x x x x s o l

x x x x s o l

x x x s o l



1.5 SIMPLIFICACIÓN Y OPERACIÓN DE

FRACCIONES ALGEBRAICAS

Realiza las operaciones indicadas, simplificando a su mínima

expresión el resultado

2 3

2 2

2

2

2 2 2 2

4 6 2 11 2 1

2 2 1 1

2 3 53 1 4 2

1 1

2 2 3 5 1 05 6

5 2 5 2 5

a a a xa x

a a x x x x

a x a x xx

a x a x x x

x x x x x

x y x y x y x x x

2 2

2 2 2 2 4

2 2 2 2

2 2 2

2

2

2

2 2 2

3 2

2

2 2 27 8

1 1 1

2 29

2

3 1 8 41 0

2 4 2 4 4 2 2

2 2 4 5 11 1

2 5 0 3 3 3 1 5

1 1 3 21 2

1 1

5 51 3

2 6 2 6

x y x y x y x x x

x y x y x y x x x

x y y x x y y x y y

x x y x x y x

x x x

x x x x

a a a a

a a a

x x

x x x x x x x

x x x x

x x x

2 2

3 2

2

2

1

5

241 4

1 2 1 1 1 1 11 5

4 9 7 7

2 3 4 7 11 6

3 2 6 3

x

x

x yx y x y x y

x y x y x y x y

x x x x x

x x x

x

x x x x x

2

2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 2

1 71

5 4 3 4 3 21 8

2 1 1 6 2 7 3 3 1 8 2 1

3 6 11 9

2 1 1 5 3 1 0 3 5

2 8 4 4 42 0

3 4 6 8 1

2 3 2 5 12 1

2 1 2 9 4 3 4 4

a aa a a

b b

x x x

x x x x x x x

x x x x x

x x x x x

x x x x x

x x x x x

x x

x x x x x x x

2 2

2 2

4 1 2 1 0 1 62 2 1

7 6 7 8

x x x x

x x x x

2 2

2 2

2 2

2 2

2

2 2

2 2

2 2

2 2

1 2 1 3 3 3 6 3 12 3

3 5 2 9 6 8 3 1

4 5 8 1 2 82 4

3 1 0 2 1 5

4 4 3 4 52 5

4 2 2 2

2 3 1 2 1 3 6 42 6

2 5 3 2 1 1 1 2 6

2 1 82 1 7 8 2 7 62 7

2 9 9 4 9 2

x x x x x

x x x x x

x x x x x

x x x x x

x

x x x x

x x x x x

x x x x x

x xx x x x

x x x x

3 4 1x x

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

3 2 6 1 6 52 8

5 4 2 0 8

2 7 1 1 1 22 9

7 1 2 2 1 5 4 1

4 1 0 1 4 3 23 0

2 8 2 2 4 2 6

1 0 2 1 1 0 1 6 83 1

9 1 4 2 1 5 5

4 2 1 1 4 4 8 33 2

3 2 8 4 3 2 6

x x x x x

x x x x x

x x

x x x x x x

x x

x x x x x x

x x x x x

x x x x x

x x x x x

x x x x x

2

2 2

2 2

2

2

5 3 2 63 3

2 2 9 6 4 6

3 8 4 3 23 4 1

4 5 6 4 7 3

2 13 5 1

1 2

3 6 1

x

x x x x x

x x x x

x x x x

x x xx x

x xx x

y x y

Simplifica las siguientes fracciones algebraicas

2

34

33 7 3 8

1 51 54

44

13 9 2 4 0

2 b1 1

11

114 1 1 4 2

11

1

aa x

a xb x

b xb x

b x

a ba

a b aa a b

b

a a

a ba

a bx a bx

a bx a ba

x a b



2

124 3 2 4 4

14

11

1114 5 1 4 6

1 1 1 2 11

11 11

1 14 7 1 4 8 1

1 2 32

13 1

x yxx

y xx y

x y yx

x

x

xxx x

x

x x

x

x

xxx

x xx

x

2

2

2 23

3

22

5

4

2 2

11 14 9

2 2

1 1

1

2 2 11

5 0 1 2 1

1

3 1

14 25 1

1 3 2 1

2 4

1

5 2

21

1 115 3

2 2 22

1

2

5 4 1 3

5 5

a a

a

a a

a a

a aa a

a a a

a a

x x

x x

x x x

x x

a

a a b bb a

b b a b

a a b

x

x xx

xx

x

a b b

a b a

a b b

a a b

x y

x y

2

42

12 25 6

4

x y

xx y

x y x y y x y

x x y

a a

a x a xa x

a a a

a x a x

1.6 ECUACIONES LINEALES DE UNA

VARIABLE

Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado con una

variable.

1 2 4 7 1 9 . 2

2 2 3 1 1 1 8 . 3

53 5 2 3 0 .

2

4 2 1 1 2 3 2 0 . 4

5 4 3 3 2 6 7 2 5 2 . 1

x S o l x

x x S o l x

x x x x S o l x

x x x x S o l x

x x x x S o l x

2

6 2 3 3 2 6 2 3 3 . 3

7 2 3 2 5 2 1 0 . 2

38 + 6 . 6

2 3

2 39 + 4 . 3

5 2

4 1 2 11 0 + 1

3 4

x x x x S o l x

x x x S o l x

x xS o l x

x xS o l x

x x

1 .

2

2 1 2 11 1 + . 2

3 2 3

3 1 2 31 2 1 . 3

2 3

7 5 3 3 11 3 . 4

1 2 4 3

3 4 1 11 4 . 2

8 3 4

31 5

S o l x

x xS o l x

x xS o l x

x xS o l x

x xS o l x

1 5 2 1 . 1 3

4 7 1 4

3 8 71 6 . 1

3 2 3

2 1 3 51 7 . 5

3 5

x xS o l x

x x xS o l x

x xx S o l x

3

3 2 1 11 8 .

4 3 6 3

1 9 5 1 9 5 1 . 2 0

2 0 9 1 4 3 1 0 . 1 5

2 1 4 4 2 1 . 5

2 2 7 5 2 9

x x xS o l x

x x S o l x

x x S o l x

x x x S o l x

x

. 2S o l x



2

2

3

2 3 9 5 3 1 . 1

2 4 2 1 9 . 5

2 5 1 5 7 1 1 2 . 4

2 6 7 7 . 9

2 7 3

x x S o l x

x x x S o l x

x S o l x

x x S o l x

x

5 3 1 4 9 . 1 0

2 8 5 1 3 5 2 6 . 2

2 9 5 3 1 5 0 . 8

3 0 1 3 1 3 4 2 . 9

x S o l x

x x S o l x

x x S o l x

x x S o l x

1.7 ECUACIONES CUADRÁTICAS DE UNA

VARIABLE

Simplifica las siguientes expresiones y resuelve las

ecuaciones cuadráticas resultantes de la simplificación,

2

1 2

2

1 2

1 2

1 22

1

3 11 . 3

5 2 1 0 2

2 3 5 . 6 1 56 2

5 13 1 . 1 1 1 1 1 1

2

1 5 1 1 54 1 . 1 5

8 5 15 3 .

3 5 1

x xS o l x x

x xx S o l x x

S o l x xx x

xS o l x x

x x

x xS o l x

x x

2

1 2

1 2

1 22

1 01

7

1 1 16 . 4 1

2 1 6

2 3 27 1 . 5 1 8

5 1 0

1 0 5 31 3 38 5 . 1 0

4

x

S o l x xx x

x xS o l x x

x

xxS o l x x

x x

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

2

1 2

2

1

9 4 1 5 . 2 1 2

1 0 2 1 3 7 . 5 1 0

1 1 5 1 3 4 . 1 1 3

41 2 2 5 1 . 4

9

1 3 2 1 3 3 . 1 6 1

1 4 7 1 4 0 . 2 2

1 5 1 3 3 0 0 .

x x s o l x x

x x x s o l x x

x x s o l x x

x x s o l x x

x x s o l x x

x s o l x i x i

x x s o l x

2

2

1 2

2

1 2

3 1 0

1 6 1 2 3 2 0 . 4 8

1 7 4 2 1 0 . 7 3

x

x x s o l x x

x x s o l x x

2

1 2

2

1 2

2

1 2

2

1 2

2

1 2

2

1 2

2

1 8 2 2 4 0 . 4 6

1 9 7 4 4 0 . 4 1 1

2 0 4 6 0 0 . 6 1 0

2 1 6 0 1 7 0 . 1 2 5

2 2 1 0 2 1 0 . 7 3

2 3 8 1 2 0 . 2 6

2 4 1 3 3 6 0

x x s o l x x

x x s o l x x

x x s o l x x

x x s o l x x

x x s o l x x

x x s o l x x

x x s o l

1 2

. 4 9x x

2

1 22 5 6 2 7 0 . 9 3x x so l x x

2

1 2

2

1 2

2 6 8 2 0 0 . 2 1 0

2 7 9 3 6 0 . 3 1 2

x x s o l x x

x x s o l x x

2

1 2

2

1 2

2

1 2

2

1 2

2

1 2

2

1 2

2

1

1 12 8 6 1 .

3 2

3 52 9 4 4 1 5 .

2 2

43 0 3 1 2 5 . 3

3

2 23 1 9 4 1 2 .

3 3

3 33 2 4 1 2 9 0 .

2 2

13 3 2 3 2 0 . 2

2

3 4 4 3 1 .

x x s o l x x

x x s o l x x

x x s o l x x

x x s o l x x

x x s o l x x

x x s o l x x

x x s o l x

2

2

1 2

2

1 2

2

1 2

11

4

13 5 6 3 5 6 . 6

6

3 23 6 6 6 5 .

2 3

1 13 7 4 4 1 0 .

2 2

x

x x s o l x x

x x s o l x x

x x s o l x x

1 2

4 2

2 2

1 2

1 2

2 2

1 2

4 2

3 8 3(3 2 ) ( 4 )( 4 ) . 2 1 1

3 9 1 0 9 0 . 1 3

14 0 ( 2 3) ( 5 ) 2 3 . 7

3

64 1 3 5 . 1 6

3

1 14 2 2 5 ( 2 ) ( 7 ) 8 1 . 2

4

4 3 1 6 2 2 5 0

x x x s o l x x

x x s o l

x x s o l x x

x s o l x x

x

x x s o l x x

x x

6 3

3 3

1 2

. 3 5

4 4 7 8 0 . 1 , 2

4 5 ( 4 ) ( 3 ) 3 4 3 . 3 4

4 6 3 2 1 2 0 . 4

s o l i

x x s o l

x x s o l x x

x x x s o l



1 2

4 2

4 2

44 7 5 . 1 1 6

4 8 3 3 6 0 . 2 3

4 9 6 5 0 . 1 5

x so l x x

x

x x so l

x x so l

1 2

1 2

1 2

2

1 2

5 0 ( 2 )( 2 ) 7 ( 1) 2 1 . 9 2

5 1 3 1 5 1 6 1 . 0 5

1 3 3 1 35 2 4 . 2

2 8

5 3 3( 5 ) . 6 1 56 2

x x x so l x x

x x x so l x x

x so l x xx

x xx so l x x

1.8 DESIGUALDADES

Encuentra el conjunto solución para las siguientes

desigualdades:

1) 3 2 6 . 1, 2

1 72 ) 5 6 1 1 . ,

5

3 ) 3 2 5 8 . 5 ,

574 ) 0 . ,

27 2

2 1 4 1 15 ) 1 2 . 4 ,

3 2

6 ) 2 1 5 . , 3

x x x s o l

x s o l

x x s o l

s o lx

xs o l

x s o l

2 ,

3 77 ) 1 6 . 3 ,1

4

7 3 58 ) 1 . , 3

2 3

9 ) 2 7 1 6 . 2 ,

41 0 ) 1 2 5 3 7 . , 3

5

1 31 1) 2 5 8 7 . , ,

2 5 5

4 5 11 2 )

9

xs o l

xs o l

x s o l

x s o l

x s o l

x x

2 7

1 . 0 ,4

s o l

2

2

71 3) 1 .

2 3

11 4 ) 2 9 4 0 . . 4 ,

2

11 5 ) 3 5 2 0 . 2 ,

3

3 2 2 71 6 ) 0 . ,

2 7 3 2

s o lx

x x s o l

x x s o l

xs o l

x

2

2

1 7 ) 7 1 0 0 . , 2 5 ,

31 8 ) 2 3 . 1,

2

11 9 ) 2 . , 5 3,

3

12 0 ) 3 8 7 . ,

2

x x s o l

x x s o l

xs o l

x

x x s o l

2 1) 3 2 6 .

2 2 ) 1 2 1 .

32 3) 1 .

2

x x x so l

x so l

xso l

2 4 ) 5 4 1 7 .

2 5 ) 0 1 5 .

2 6 ) 5 2 7 .

2 7 ) 4 0 .

2 8 ) 9 8 .

2 9 ) 7 2 3 .

3 0 ) 5 2 9 4

x s o l

x s o l

x s o l

x s o l

x s o l

x s o l

x

.

2 33 1) 2 .

5

s o l

xs o l

2

2

3 2 ) 3 5 1 0 .

43 3 ) 0 .

9

3 4 ) 2 7 3 1 0 .

3 5 ) 2 1 .

3 6 ) 0 4 1 2 .

3 7 ) 3 1 1 4 1 .

3 8 ) 2 9 7 0

x s o l

s o lx

x x s o l

x s o l

x s o l

x s o l

x x s

.

3 23 9 ) .

9 2

4 0 ) 2 1 0 .

o l

s o lx x

x s o l

2

3 2

1 1 14 1) 1 1 . ,

2 3 5

4 2 ) 1 0 . 1,1

4 3 ) 1 2 0 . 0 ,1 2 ,

4 4 ) 2 0 . 0 , )

1 54 5 ) . , 5 ,

5 4 3

x x s o l

x s o l

x x x s o l

x x x s o l

xs o l

x

1

4 6 ) . 1, 0 1 ,x so lx



29

4 7 ) 0 . 3, 1 3 ,1

xso l

x

23

2

4 8) 2 3 0 . 0 ,2

4 9 ) 2 6 0 . , 6 2 ,

x x x so l

x x x so l

1 4

5 0 ) 0 , 1, 2 6 ,1 6

so lx x

2

2 65 1) 0 . , 1 3, 5

6 5

1 3 55 2 ) 2 . ,

2 2 2

1 5 35 3) 2 1 . ,

4 8 8

xso l

x x

x so l

x so l

8

5 4 ) 5 1 9 . , 2 ,5

x so l

2

2

2 85 5 ) 0 .

8 7

3 55 6 ) 0 .

2 6

5 7 ) 7 4 0 .

xs o l

x x

s o lx x

x x s o l

1.9 TEOREMA DEL BINOMIO

Desarrolla los siguientes binomios utilizando el teorema del

binomio:

6 7 4

55 42 2

4

5 5 3

56 5

2 3

5

2

1 2 3 3 5

4 5 2 63

7 8 2 92

1 1 11 0 3 1 1 1 2 2

11 3 1 4

x y x y x y

xy x y x y

xx y x y y

x x xx xx

x x

x

7 62 3

75 6

2 2

1 5 2

11 6 1 7 1 8 5

2

y x y

x y x x y x y

Encuentra los términos indicados en la expansión de la

expresión.

2 45 5

2 5

2 03 2

1 51

1 9 p rim ero s tre s te rm in o s d e 3

2 0 p rim ero s tre s te rm in o s d e 5

2 1 ú ltim o s tre s te rm in o s d e 4 3

c c

x x

z z

1 23

72

92

8

1 02 3

8

2 2 ú lt im o s t re s te rm in o s d e 2

32 3 s e x to te rm in o d e

4

2 4 q u in to te rm in o d e 3

2 5 s e p tim o te rm in o d e 43

2 6 c u a rto te rm in o d e 3

2 7 q u in to te rm in o d e

s t

c

c

x y

uv

x y

x y

1.10 FRACCIONES PARCIALES

Realiza la descomposición de las siguientes fracciones en

fracciones parciales:;

2

2

2

2

8 1 3 51 . +

2 3 2 3

2 92 .

4 1

3 4 5 43 .

6 24 1 2

5 1 24 .

4

4 1 5 1 2 3 15 . +

1 2 3 1 2 3

1 9 26

xs o l

x x x x

xs o l

x x

xs o l

x xx x

xs o l

x x

x xs o l

x x x x x x

x x

2

3 2

0 .

2 5

4 5 1 5 3 2 17 . +

5 14 5

s o lx x x

x xs o l

x x xx x x

2

3 7 1 18 .

1 5 6

xso l

x x x

2 2

2

2

2 3 2 59 . +

11 1

5 41 0 .

2

xso l

xx x

xso l

x x

2

3 2 2

2

2 2 3 2 4 22 5 2 5 5

2 2

1 9 5 0 2 5 7 5 4 01 1 . +

3 53 5

1 01 2 .

1 0 2 5

61 3 .

2 1 22 2 1 2

x xs o l

x xx x x

xs o l

x x

xs o l

x xx x x

2

2 2

21 4 .

1 1

x xso l

x x



3 2

3 3

3 2

3

2

22

2

2

2

3

3 1 1 1 6 5 5 2 31 5 .

11 1

4 3 5 21 6 .

2

6 2 3 41 7 .

1 11 1

2 11 8 .

4 2 1

9 3 8 41 9 .

2

x x xs o l

x xx x x

x x xs o l

x x

x x xs o l

x xx x

x xs o l

x x

x xs o l

x x

2

3 2

4 2

4 3 2

3 2 2

3

3 2

5 3

2

2 2 4 32 0 .

2 2 6 5 1 3 12 1 . 2

11 1

2 2 .3 9 2 7

x

x x

x x xs o l

x x

x x x x xs o l x

xx x x x

xs o l

x x x

3 2

2

5 4 3 2

3 2

3 2 22

38 4

2 33 2

4 4 4 2 2 32 3 . 2 3

1 2 12 1

5 7 4 1 22 4 .

3

1 1 1 12 5

1 2 4 1 5 1 6 2 1 0 4

1 1 1 1 12 6 .

1 6 1 6 282 4 2

3 2 1 3 12 7 .

8 4 24

x

x x xs o l x

x xx x

x x x x xs o l

x x

s o lx x x x x x

xs o l

x xxx x x

xs o l

x x xx x

2

4x

2

2

2 8 .4 5

2 9 .

1

xso l

x x

xso l

x

27 1 1

3 0 .2 1 4

x xso l

x x x

2.0 PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

Exprese el logaritmo dado en términos de logaritmos de x,

y, z,

2 3 2 2

3 5 41) lo g 2 ) ln 3 ) ln

a

x y x y x z

z z y

2 2

3 34 5 3 2

4 ) lo g 5 ) lo g 6 ) lna a

y x x yx

z yz z

5

3 23

3

5

3 23

3

23 3 5 5

2 3

7 ) lo g 8 ) ln 9 ) ln

1 0 ) ln 1 1) lo g l2 ) ln

1 3) lo g 1 4 ) ln 1 5 ) ln

a

a

a

x zx y z x y z

y

x zx y z x y z

y

z x x y x z

z yy

Escriba la expresión dada como un solo logaritmo

2 3 3

3

4 2

2 2

11 7 5 lo g lo g 3 4 3 lo g 5 1

2

1 8 lo g 2 lo g 3 lo g

11 9 2 lo g 3 lo g lo g

2

2 0 3 ln 1 ln 1 ln

12 1 ln 2 1 ln ln =

2

2 2 ln 4 ln 2 ln =

2 3 3 l

x x x

xy x x y

y

yy x y

x

x x x

x x x y

z x x

n ln 1 3 ln =x y x

2.1 ECUACIONES EXPONENCIALES Y

LOGARÍTMICAS

Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas y

exponenciales.

1 0

9

2

5

6

1 lo g 4 2 . 1 3

32 lo g . 2 7

2

1 13 lo g 2 . ,

5 5

4 lo g 2

x s o l x

x s o l x

x s o l x

6 6

3 3

73 lo g 1 2 lo g 3 .

2

5 2 lo g 3 lo g 5 . 5 5

x s o l x

x s o l x

2 2 2

5 5 5

2

1 0 1 0

5 5 5

6 36 lo g lo g 1 3 lo g 4 .

6 4

17 lo g lo g 6 lo g 9 . 3 6

2

8 lo g lo g . 1

1 39 lo g 2 3 lo g 2 lo g - 2 .

2 2

x x so l x

x x so l x

x x so l x

x x so l x

2

2 2 2

1 0 lo g 5 4 . 2 1x so l x



4

8

4 4

3 3 3

3 11 1 lo g .

2 8

21 2 lo g 5 . 9

3

1 3 lo g 1 2 lo g 3 2 .

1 4 2 lo g 3 lo g 1 3 lo g 2

x s o l x

x s o l x

x x s o l x

x x s

4

5

. 1

11 5 lo g 1 .

2

1 61 6 2 6 . lo g / lo g 2

3

x

o l x

x s o l x

s o l x

5 3 2 1

4

4 1 3

3 3 21 7 2 = 3 . lo g / lo g

8 9

1 8 ln 1 ln 1 .

1 9 3 5 . 2 .5 4

2 0 3 = 2

x x

x

x x

s o l x

x x s o l x

s o l x

s o

2 3 2

2

. 1 .1 6

2 1 4 = 5 . 6 .3 4

2 2 lo g 1 lo g 3 . 5

2 3 lo g 5 1 2 lo g 2 3 . 1 .5 4

2 4 lo g 4 lo g 2 3 lo g 2 . 2

12 5 lo g 4 lo g 3 1 0 lo g .

x x

l x

s o l x

x x s o l x

x x s o l x

x x x s o l x

x x s o l xx

2

2 6 lo g lo g 2 . 2

1 0 1 02 7 . lo g 1

2

x x

x so l x

y so l x y y

2

3 3

2

2 2

2

5 5

1 0 1 0 1 12 8 . lo g

2 11 0 1 0

2 9 2 lo g 1 0 lo g 4 .

3 0 2 lo g 6 4 lo g .

3 1 8 lo g 2 lo g 3 .

3 2 lo g 5 1 2 lo g 2 3 .

3 3 6 l

x x

x x

yy s o l x

y

x x s o l x

x s o l x

x s o l x

x x s o l x

2

6 6

3 3

4

o g lo g .

3 4 2 lo g 3 lo g 1 3 lo g 2 .

13 4 lo g 1 .

2

z z s o l x

x x s o l x

x s o l x

81

4 4

1 61

92 2

3 5 lo g 2 3 lo g 2 1 .

3 6 2 lo g 3 lo g 2 .

3 7 lo g 2 4 lo g 2 1 .

3 8 3 lo g 3 lo g 4 2 lo g 3 .

x

x x

x

x x

so l x

so l x

so l x

so l x

4 1-3

5

3 9 3 2 .

5 54 0 3 .

2

x x

x

so l x

so l x

2

2 1

3 x + 2 2 -1

1

4 4

2 1

4 1 1 2 5 .

1 14 2 1 6 .

2 8

3 2 74 3 2 7 .

9 9

5 4 84 4 .

8 3 4

x x

x

x x

x x

so l x

so l x

so l x

so l x

2

6 1

1

1

23 2 2

2

34 5 .

4

3 1 64 6 1 .

8 9

4 7 7 3 3 .

1 14 8 9 .

9 8 1

14 9 2

2

x

x

x x

x

x x

e s o l x

s o l x

s o l x

s o l x

1

2

2 1

12 .

8

15 0 3 9 .

3

x

x

x x

s o l x

s o l x

2.2 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

Demostrar las siguientes identidades

2

2

2

2 2 2 2

2 2 2 2

22

2

1 s e c c s c c o t ta n 2 c o s c s c

1 c o s2 2 c s c 1

3 s e c c s c s e c c s c

s e c c o s ta n4

ta n s e c

1 c o s5 2 c s c

1 c o s

6 ta n ta n

1 ta n7 c s c

ta n

t t t t t t

yy

s e n y

x x x

x x

t s e n tt

s e n t t

x s e n x x s e n x

vv

v

2

1 18 4 ta n s e c

1 1

1 19 2 c s c

1 c o s 1 c o s

1 c s c1 0 c o t c o s

s e c

s e n x s e n xx x

s e n x s e n x

yy y

co t tan

1 1 csc sec

co ssen



2

c o t 11 2 c o t

1 ta n

1 s e c1 3 c s c

ta n

c o s1 4 s e c ta n

1

11 5 c s c c o t

c s c c o t

ta n 1 c o s1 6

s e c 1 c o s

xx

x

s e n

s e n

y y

y y

x x

x x

1 se c

1 7 c sc

ta n

xx

se n x x

2 2 2

2 2 2

2

1 8 c s c c o t1 c o s

1 c s c1 9 s e c

c o t c o s

2 0 c o s s e c 1

2 1 s e c ta n

c s c2 2 c o t

s e c

2 3 c o s s e c 1

2 4 c o s 2 c o s 1

c o s2 5 1

c s c s e c

12 6 1 1

s e c

c o s2 7 1 ta n

c o s

s e n tt t

t

s e n

xx

x

x x s e n x

x s e n x x

s e n x x

x x

s e n x s e n xx

s e n x xx

x

2

2

2

2 8 c o s c o t c s c

2 9 c s c c o t c o s

s e c 13 0

s e c

s e n x x x x

s e n

xs e n x

x

2.3 APLICACIONES DE LAS FUNCIONES

TRIGONOMÉTRICAS

Resuelve los

siguientes problemas

aplicando las funciones

trigonométricas si:

1] Resolver el triángulo rectángulo si el

35 10 74 .5A y c

2] Resolver el triángulo en el cual un cateto

2 5 .3 6 5 8 3 0a y A

3] Resolver el triángulo en donde 15 .25 32 .5b y c

4] Resolver el triángulo si A = 38°16’ y a = 25.38 cm

5] Resolver el triángulo si A = 30°40’ y c = 56.27 cm

6] Resolver el triángulo si a = 27.7 m y c = 36.4 m

7] Si en un triángulo A = 52°30’ y el cateto b = 5.427

cm

8] Si A = 61°40’ y c = 371.4 m (hipotenusa), determinar

los demás elementos y su superficie

9] Si los datos son a = 52.7 y b = 65.3 m; determinar los

valores de los elementos restantes y la superficie

10] A 87.5 m de la base de una torre el ángulo de

elevación a su cúspide es de 37°20´ ; calcular la altura de la

torre, si la altura del aparato con que se midió el ángulo es

de 1.50 m

11] A 75 m de la base de una antena el ángulo de

elevación a su parte más alta es de 34°20´´; calcular la

altura de esta torre si la altura del aparato con el que se

midió el ángulo es de 1.5 m

12] Calcular el ángulo de elevación del sol en el momento

en que un árbol 32.5 m de altura proyecta una sombra de 75

m.



13] ¿Qué altura alcanzara sobre su muro una escalera

de 5 m de largo, si forma con el piso un ángulo de

65°0´´; ?

14] ¿Qué ángulo forma con el piso el pie de una

escalera de 7 m de largo, si dista de la base de un muro

2.5 m?

2.4 TEOREMA DE PITÁGORAS

Encuentra el valor de x en las siguientes figuras:

Resuelve los siguientes problemas:

11] Calcular la altura de un triangulo isósceles, si su

base mide 60 cm y cada una de los lados iguales

mide 50 cm.

12] ¿Cuánto mide la diagonal de un rectángulo de 28

m de largo y 21 m de ancho?

13] ¿A qué altura llega una escalera de 10 m de largo

en un muro vertical, si su pie esta a 3 m del muro?

14] Un terreno rectangular de 4000 m de largo por

3000 m de ancho tiene en medio una colina que no

permite una medición directa. ¿Cuál es la longitud de la

diagonal?

15] Para sostener la torre de la antena de una

estación de radio de 72 m de altura se desea poner

tirantes de 120 m para darles mayor estabilidad: si se

proyecta tender los tirantes desde la parte más alta de

la torre, ¿a qué distancia del pie de ésta deben

construirse las bases de concreto para fijar dichos

tirantes?

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)



3.0 ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA

POR DOS PUNTOS.

Encuentra la ecuación general de la recta que pasa por los

puntos:

1 1, 4 3,1 . 3 4 1 3 0

2 2 , 3 3,1 . 2 7 0

1 13 4 , 2 ,1 . 3 2 0

2 2

2 1 1 3 5 14 , 5 , 3 . 0

3 2 3 2 2

5 3, 5 2 , 2 . 7 5 4 0

1 16 ,

2 2

A B s o l x y

A B s o l x y

A B s o l y x

A B s o l y x

A B s o l x y

A

9 1 34 , 6 . 1 0

2 2

1 3 1 5 7 9 97 3, , 4 . 0

2 4 4 2 8

B s o l y x

A B s o l y x

4 1 1 3 1 9 1 18 , 3, 4 . 0

5 3 3 5 5

9 2 , 5 7 , 3 . 8 9 2 9 0

1 0 2 , 1 3, 2 . 3 2 1 2 5 0

1 1 7 ,1 1 2 , 7 . 4 9 7 1 0

A B s o l x y

A B s o l x y

A B s o l y x

A B s o l x y

1 2 1 2 , 3 4 , 5 . 8 1 6 4 8 0

1 3 5 .3, 4 .2 2 ,1 5 .2 7 .3 3 .1 0

1 4 1, 3 5 ,1 1 6 8 2 6 0

1 3 1 9 5 6 11 5 , 4 2 , 0

2 4 4 2 8

1 6 1 1, 5 2 , 7 2 9 6 7 0

1 7 5 , 9 3, 7

A B s o l x y

A B s o l x y

A B s o l y x

A B s o l x y

A B s o l x y

A B

1 6 8 8 0

1 8 3, 7 5 , 2 1 2 8 8 2 8 0

3 1 7 1 31 9 2 , , 1, 2 3 0

5 5 5

1 1 9 5 5 92 0 , 5 3, 0

2 2 2 2 4

2 1 3, 2 2 1, 7 2 4 9 2 1 0

2 2 9 , 6 4 , 9

s o l x y

A B s o l x y

A B s o l x y

A B s o l x y

A B s o l y x

A B

5 7 1 3 1 5 0s o l y x

3.1 ECUACIÓN DE LA RECTA PARALELAS

Y PERPENDICULARES:

Obtenga una ecuación para las rectas que satisfaga las

condiciones dadas.

1 A tra v é s d e 7 , 3 , p e rp e n d ic u la r a la re c ta c o n

e c u a c ió n 2 5 8 . 5 2 2 9 0

2 A tra v é s d e 4 , 8 , p e rp e n d ic u la r a la re c ta q u e

p a s a p o r lo s p u n to s 5 , 1

A

x y s o l x y

A

B

y 2 , 3 ,

.

3 A tra v é s d e 7 , 2 , p a ra le la a la re c ta q u e p a s a

p o r lo s p u n to s 0 , 4 y 6 , 6 , .5 3 4 1 0

3 14 A tra v é s d e , , p a ra le la a la re c t a q u e

4 2

c o n e c u a c ió n

C

s o l

A

B C s o l x y

P

x

3 1 .

5 O b te n g a la s e c u a c io n e s d e la s a ltu r a s d e l t r iá n g u lo

c o n v é r t ic e s 3 , 2 , 5 , 4 , 3 , 8

. 6 9 0 ; 4 4 0 ; 3 5 5 0

6 A tra v é s d e 4 ,1 0 , p a ra le la a la re c ta q u e p a s a

p o r

y s o l

A B C

s o l x y x y x y

A

lo s p u n to s 0 , 5 y 8 , 8 ,

.1 3 8 1 3 2 0

3 17 A tra v é s d e , , p a ra le la a la re c t a c o n

2 4

e c u a c ió n 2 4 5 .

B C

s o l x y

P

x y s o l

8 A tra v é s d e 5 , 7 , p a ra le la a la re c ta c o n

e c u a c ió n 6 3 4 0 . 2 3 0

9 H a lla r la e c u a c ió n d e la re c ta q u e p a sa p o r

e l p u n to 1, 3 , q u e e s p e rp e n d ic u la r a la

P

x y s o l x y

re c ta

3 4 1 1 0 .

1 0 H a lla r la e c u a c ió n d e la re c ta q u e p a sa p o r

e l p u n to 7 , 2 , q u e e s p a ra le la a la re c ta

3 5 1 1 0 .

x y s o l

x y so l

Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto

3, 4 y que sea normal a la siguientes ecuaciones

1 1 2 5 1 0 0 1 2 2 3 4

1 3 3 5 0 1 4 6 1 2

1 5 5 2 0 6 1 6 9 4 0

x y y x

x y x y

x y x y

Encuentre una ecuación de la recta que sea ortogonal a

las ecuaciones dadas y que pase por el punto 2 , 5

1 7 3 1 1 0 1 2 5 2 3 0

1 3 4 7 0 1 4 7 3 2 1 0

1 5 8 1 5 1 3 0 1 6 6 1 0

1 7 6 9 0 1 8 4 4 0

x y x y

x y x y

x y x y

x y x y



3.2 ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA

Y CÓNICAS EN SU FORMA CANÓNICA

Encuentra la ecuación del lugar geométrico de acuerdo a las

condiciones establecidas:

2 2

2

2 2

2 2

1 C e n tro 6 , 2 q u e s e a ta n g e n te a la re c ta 3

. 1 2 4 3 1 0

2 F o c o 2 , 0 y d ire c tr iz 2

. 8

3 V e rt ic e s 8 , 0 , F o c o s 5 , 0

. 16 4 3 9

4 0 , 4 , y 0 , 1

. 1 5 1 5

5 0 , 4 ,

c x

s o l x y x y

x

s o l y x

V

x ys o l

F V

s o l y x

F

2 2

y d ire c tr iz 4

.

6 C e n tro 3 , 4 Y ra d io 2

. 6 8 2 1 0

7 V é rt ic e 0 , 7 y fo c o s 0 , 2

.

8 o c o s 8 , 0 y V e r t ic e s 5 ,0

,

y

s o l

C

s o l x y x y

V

s o l

F

s o l

2 2

2

2 2

9 é rt ic e 0 , 5 lo n g itu d d e l e je m e n o r 3

4. 1

9 2 5

1 0 e n tro 5 , 0 ra d io 5

.

1 1 o c o 6 , 4 y d ire c tr iz 2

. 3 6 1 2 2 4 0

1 2 e n tro 1, 5 y 4

. 2 1 0 1 0 0

1 3 o c o 5 , 0

V V

x ys o l

C c r

s o l

F y

s o l x x y

C c r

s o l x y x y

F

2 2

2 2

y 3 , 0

. 19 1 6

1 4 o c o 0 , 3 y 0 , 2

.

1 5 o c o 3 , 2 y d ire c tr iz 1

.

1 7 e n tro 0 , 3 y 2

. 6 5 0

v

x ys o l

F v

s o l

F y

s o l

C c r

s o l x y y

2 2

2 2

1 8 e rtic e 0 , 6 p a sa p o r e l p u n to 3, 2

8. 1

8 1 3 6

1 9 o c o 0 , 5 lo n g itu d d e l e je c o n ju g a d o 4

. 12 1 4

2 0 4 , 0 y p a sa p o r e l p u n to 8 , 2

.

2 1 C o n 3, 5 e je p a ra le lo a l e je y

V c

x yso l

F

y xso l

V P

so l

V x

p a sa p o r e l

p u n to 5 , 9

.

A

so l

3.3 ECUACIÓN GENERAL DE LAS

CÓNICAS

Encuentra los elementos de las cónicas o de la

circunferencia si se da la ecuación general :

2 2

2

2

2 2

2 2

2 2

2 2

2

2

1 4 4 1 5 0

.

2 4 0 9 7 4

.

3 4 2

7 9. 2 , 2 2 ,

4 2

4 4 2 5 1

1 2 1. , 0 , 0

2 1 0

5 3 3

. 0 , 3 0 , 2 3

6 1 6 3 6 1

.

7 1 4 4 6 0

.

8 8 1 6 1 0

.

9

x y x y

s o l

y x x

s o l

y x x

s o l v f y

x y

s o l v f

x y

s o l v f y x

x y

s o l

x y x

s o l

y x x

s o l

x

2

2 2

2 2

1 0 8 0

. 5 , 4 4 1

1 0 4 9 3 2 3 6 6 4 0

. 4 , 2 , 1, 2 , 7 , 2 4 5 , 2 4 , 4 4 , 0

1 1 2 2 3 0 4 3 0

.

y x y

s o l c r

x y x y

s o l c v f e je m e n o r

x y x y

s o l



2 2

2 2

2 2

2 2

2

1 2 2 5 1 6 2 5 0 3 2 1 0 9 0

2 0 5 5. 5 ,1 5 2 5 ,1 5 ,1 1 5

2 4

1 3 9 1 6 5 4 3 2 4 7 0

. 3,1 7 ,1 , 1,1 3 7 ,1 3, 4 3, 2

1 4 2 0

.

1 5 4 4 8 8 7 0

1. 1,1

2

1 6 4 2 4 0

x y x y

s o l c v f y x

x y x y


x y y

s o l

x y x y

s o l c r

y y x

s o

2

2 2

2 2

2 2

7 9. 4 , 2 , 2

2 2

1 7 1 4 4 4 5 0

.

1 8 4 1 2 1 6 1 6 0

.

1 9 4 4 0 4 6 0 0

1. 2 , 5 , 2 , 2 , 2 , 8 , 2 , 5 3 5 , 5 2

2

2 0 2 2 8 7 0

.

l v f x

y y x

s o l

y x y x

s o l

y x y x

s o l c v f y x

x y x

s o l

2 2

2 2

2

2 2

2 2

2 0 2 2 8 7 0

.

2 1 3 3 3 2 1 0

1 1 1. ,

2 3 6

2 2 4 4 0 1 0 6 0

9 7 9 8. 5 , 6 5 ,

1 6 1 6

2 3 4 9 2 4 1 8 9 0

.

2 4 2 5 4 2 5 0 1 6 5 4 1 0

. 5 , 2 , 5 , 7 , 5 , 3 , 5 , 2 2 1 , 3, 2 7 , 2

x y x

s o l

x y x y

s o l c r

x x y

s o l v f y

x y x y

s o l

x y x y


2 2

2

2 2

2 5 9 9 1 2 1 6 4 0

.

2 6 2 0 1 0 0 6

.

2 7 2 5 9 1 0 0 5 4 1 0 0

.

x y x y

s o l

y y x

s o l

x y x y

s o l

2

2 8 4 4 4 1 0

.

x x y

so l

4.0 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

2 4 6 4 3 21 . 1, 2 2 . 1, 2

1 2 4

7 1 4 7 4 33 . 3 , 1 4 . 7 ,1

4 1 1 2 3 1 1

4 1 2 4 4 5 65 . 2 ,1 6 . 1, 2

5 1 1 5 2 1

5 7 1 6 2 3 87 . 1, 3 8

2 8 2 6

x y x ys o l s o l

x y x y

x y x ys o l s o l

x y x y

x y x ys o l s o l

x y x y

x y x ys o l

x y

. 1, 23 4 1 1

3 5 1 3 7 3 1 49 . 1, 2 1 0 . 2 , 0

4 2 3 6

5 ( 3 ) (7 8 ) 6 7 3 3 01 1 . 1 ,

7 9 2 ( 1 8 ) 0 8 9 8 9

2 ( 5 ) 4 ( 4 )1 2 . 1, 2

1 0 ( ) 1 1 1 2

3 4 2 ( 2 7 ) 01 3

5 (

s o lx y

x y x ys o l s o l

x y x y

x y x ys o l

x y x y

x y xs o l

y x y x

x y x

. 2 , 31) ( 2 1) 0

1 2 ( 2 ) 8 ( 2 ) 2 (5 6 ) 1 11 4 . ,

2 0 ( 4 ) 1 0 2 4

( 2 ) ( 3 ) 1 41 5 . 2 , 6

( 6 ) ( 9 ) 5 4

s o lx y

x y x y x ys o l

x y

x y y xs o l

y x x y

07 8

1 6 . 7 , 81 3

77 4

2 1

1 7 . 2 , 45 4

2 3 8

x y

so l

x y

x y

so l

x y

1

5 6 3 01 8 . 4 , 5

1 3

3 2 0 1 2

x y

so lx y

3 40

3 41 9 . 6 , 8

4 23

2 5

x y

so lx y

1 4

1 0 52 0 . 7 , 8

4 2

5 1 0

x y

so lx y



6 1 22 1 . 3 , 1

23

3

7

3 16 3 2 42 2 . ,

5 4 2

2 6 1 2

x y x y

s o lx

y

x y y x

s o lx x y

9 4 1 0 6

1 1 12 3 6 8 5 1 . , ,

3 4 51 2 1 2 1 5 1 0

5 3 1 1

12 4 1 0 1 0 . , 2 , 6

51 5 2 7

1

2 5 1

6

x y z

x y z s o l

x y z

x y z

x y z s o l

x y z

x y

y z

z x

. 2 , 3 , 4

2 1

2 6 2 0 . 3 , 2 , 4

2 1 1

8

2 7 2 9 . 6 , 5 , 3

2 2 3

6

2 8 2 5

3 1 0

s o l

x y

y z s o l

x z

y z

x z s o l

y x

x y z

x y z

x y z

. 1, 2 , 3

1 2

2 9 2 7 . 3 , 4 , 5

2 6

s o l

x y z

x y z s o l

x y z

2

3 0 4 . 1,1, 4

2 2 4

2 3 1

3 1 3 2 1 2 . 1, 3, 2

3 2 5

x y z

x y z s o l

x y z

x y z

x y z s o l

x y z

2 2 1 0

3 2 ] 3 2 2 1 . 1, 2 , 3

5 4 3 4

x y z

x y z so l

x y z

2 3 6

3 3] 2 4 2 2 , 2 2 ,

4 3 2 1 4

x y z

x y z a a a

x y z

2 3 5

3 4 ] 3 2 2 5 1, 3, 2

5 3 1 6

x y z

x y z

x y z

2 3 2 2

3 5 ] 2 5 8 6 5 . 2 ,1 2 2 , ,

3 4 5 2 4

x y z w

x y z w so l a b a b a b

x y z w

2 2

3 2 53 6 ] 2 , 1, 1

2 5 3 4

4 6 0

x y z

x y z

x y z

x y z

3 2 5

03 7 ] 3, 2 , 0 , 1

3 2 4

1

x y z

x y t

x y z t

y t

2 1

2 0 3 2 3 23 8 ] , , ,

2 1 5 5 5 5

2 0

x y z w

x y z w

x y z w

x y z w

3 9 ] , , ,2 2 2 2

x y z w a

x y z w b d a c d b c a b

x y z w c

x y z w d

5 4 2 3

2 14 0 ] 1, 1, 1, 1

4 2 1

0

x z t

x y z t

x y z

x y z t

3 2 2

4 1] 4 2 2 8 4 , 2 , 1 0

4

x y z

x y z

x y z

2 4 6 1 2

4 2 ] 2 3 4 1 5 2 , 1, 2

3 4 5 8

x y z

x y z

x y z

3 2 1

4 74 2 ] 0 , 1, 2 ,

2 7 6 5

2 3

x y z

y z

x y z

y z



4.1 SISTEMA DE ECUACIONES NO

LINEALES

Resuelve los siguientes sistemas utilizando el método

apropiado

2

2 2

2 2

2 2

2 2

6 91 . 4 ,1 3, 0

3

42 .

4 5

3 63 . 7 .8 , 4 .9 6 .4 , 2 .2

2 2

4 3 24 .

2 8

15 9 4

3 2 6

y x xs o l y

x y

x ys o l y

y x

x ys o l y

x y

x ys o l y

x y

x y

x y

2 2

2 2

. .7 , 1 .8 2 .5 , .9

16 .1 6 4

2 3 9

17 .4 4

2 6 1 2

s o l y

x y

s o l y

x y

x y

s o l y

x y

2 24 8 3 6

8 . 1, 2 1, 22

x yso l y

y x

2 2

2 2

2

2 2

2 2

4 19 . 5 , 4 4 , 5

9

2 3 11 0 .

2 9

6 81 1 . 5 , 3 2 , 0

2

3 1 21 2 .

1 4

91 3 . 0 , 3 3, 0

3

x ys o l y

x y

x ys o l y

x y

y x xs o l y

x y

x ys o l y

y x

x ys o l y

x y

2

2 2

31 4 . 0 , 3 2 , 1

2 3

1 81 5 .

2 3

x ys o l y

x y

x ys o l y

x y

2 2

3 1 7

1 1 1 1

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

3 2 51 6 . 1, 1 ,

2 1

5 2 21 7 .

1

1 61 8 . 4 , 0 4 , 0

1 6

71 9 .

2 3 1 8

8 4 1 62 0 . 0 , 2 0 , 2

8 3 1 2

x ys o l y

x y

x ys o l y

x y

x ys o l y

x y

x ys o l y

x y

x ys o l y

x y

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

5 2 52 1 .

9

1 32 2 . 3 , 2 3, 2

5

3 2 3 32 3 .

3 1 7

2 5

2 4 . 5 , 0 5 , 0

12 5 5

2 2 72 5

x ys o l y

x y

x ys o l y

x y

x ys o l y

x y

x y

s o l yx y

x y

x

2 2 .

2 2 3s o l y

y

PROBLEMARIO FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS

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