PRIMITIVA DI UNA FUNZIONE. INTEGRALE INDEFINITO....
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PRIMITIVA DI UNA FUNZIONE. INTEGRALE INDEFINITO.
INTEGRALI IMMEDIATI O RICONDUCIBILI AD IMMEDIATI. METODI DI INTEGRAZIONE.
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DEF. Una funzione F(x) si dice primitiva di una funzione y = f(x) definita nell’intervallo [a;b] se
1) F(x) è derivabile in [a;b] 2) F ’(x) = f(x) (la sua derivata è f(x))
Attenzione!!! La primitiva di una funzione non è unica!!!
.......
12xy
21
xy
2xy
3xy
2
2
2
2
+=
−=
−=
+=
x2y =
Operatore derivata
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Osservazione: Se una funzione ammette primitive, allora ammette infinite primitive del tipo F(x) + c, con c numero reale, (differiscono tutte per una costante). Infatti (F(x) + c)’ = F’(x) = f(x), in quanto la derivata di una costante è nulla. Inoltre: se F(x) e G(x) sono primitive di f(x), allora
[F(x)-G(x)]’= F’(x)-G’(x) = f(x) – f(x) = 0, ossia F(x) – G(x) = costante Le funzioni y = F(x) + c sono tutte e sole le primitive della funzione y = f(x) e rappresentano tutte le funzioni ottenute dalla primitiva y = F(x) mediante traslazioni verticali.
Primitive di 2x3y =
5xy
3xy
21
xy
2xy
xy
3
3
3
3
3
−=
−=
−=
+=
=
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La primitiva che si ottiene con c = 0 è detta primitiva fondamentale.
DEFINIZIONE DI INTEGRALE INDEFINITO Si chiama integrale indefinito della funzione y = f(x) e si indica con il simbolo
∫ dx)x(f l’insieme di tutte le infinite primitive F(x) + c della funzione f(x), dove c è
un numero reale qualunque.
∫ += c)x(Fdx)x(f tale che )x(f)'c)x(F( =+
f (x) è detta FUNZIONE INTEGRANDA x è detta VARIABILE d’INTEGRAZIONE Teorema. Se una funzione y = f(x) è continua in [a;b] allora è integrabile.
y = F(x)
F’(x) = f(x)
derivazione
integrazione
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Ricordiamo le derivate
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INTEGRALI INDEFINITI IMMEDIATI
1) ∫ −−∈α++α
=+α
α }1{R,c1
xdxx
1
In particolare:
∫ += cxdx ∫ += c2x
xdx2
cx32
dxx 3 +=∫
2) ∫ += c|x|lndxx1
3) ∫ += caaln
1dxa xx
In particolare: ∫ += cedxe xx
4) ∫ +−= cxcosdxsenx 5) ∫ += csenxdxxcos
6) ∫ += ctgxdxxcos
12
7) ∫ +−= cgxcotdxxsen
12
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8) ∫ +−=+=−
cxarccoscxarcsindxx1
12
9)∫ +=+
carctgxdxx1
12
PROPRIETA’ DEGLI INTEGRALI INDEFINITI
1) ∫ ∫⋅=⋅ dx)x(fkdx)x(fk
2) ∫ ∫ ∫+=+ dx)x(gdx)x(fdx)]x(g)x(f[
3) ∫ ∫∫ +=⋅+⋅ dx)x(ghdx)x(fkdx)]x(gh)x(fk[
NOTA: Non esistono proprietà degli integrali su prodotti o quozienti, pertanto tali casi andranno analizzati mediante opportuni metodi risolutivi.
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Esempi:
• ∫ ∫ ∫ ++=++=+=+ csenxxcsenx3x
3xdxcosdxx3dx)xcosx3( 33
22
• ∫ ∫ +−=+−=++−
== −+−
− cx1
cxc12
xdxxdx
x
1 112
22
• cx2c
21
xc
121
xdx)x(dx
x1 2
11
2
1
2
1
+=+=++−
==+−
−∫ ∫
• ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ =+=+=
+=+dx
x1
2xdx3dxx2
xdx3dxx2
x3dxx
2x3 2
c|x|ln22x
32
++=
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• ∫ ∫ ∫ =−
++
=
−+
+dx
x1
15dx
x1
13dx
x1
5
x1
32222
cxarcsin5arctgx3 ++=
• ctgx5xcos4dxxcos
5senx4
2+−−=
−∫
• ∫ ++=
+ c|x|ln3e6dxx3
e6 xx
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INTEGRALI INDEFINITI DI FUNZIONI LA CUI PRIMITIVA E’ UNA FUNZIONE COMPOSTA
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Esempi.
� c9
)5x(c
3)5x(
31
dx)5x(x331
dx)5x(x3333
232232 ++=++⋅=+=+ ∫∫
� ∫ ∫ ∫ +−=−−== c|xcos|lndxxcos
senxdx
xcossenx
tgxdx
� ∫ ∫ ∫ +=+
=+
=+
c)x2(arctg21
dx)x2(1
221
dx)x2(1
1dx
x41
1222
� ∫∫ +−+=−+
+=−+
+c|3x2x|ln
21
dx3x2x
2x221
dx3x2x
1x 222
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Esercizi.
� ∫ ∫ ∫ ∫ +==⋅=⋅=+
c2ln
24dx24dx
2
24dx
2
44dx
8
4 xx
x3
x4
x3
x2
x
x21
� ∫ ∫∫ ++=+=+=+ c
23
)1x(21
dx)1x(x221
dx)1x(xdx1xx2
32
2
122
122
= c)1x(31 32 ++
� ∫ +−= c)xcos(lndxx
)x(lnsen
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� ∫ ∫ ++=+
+=+
+c)x4x(tg
21
dx)x4x(cos
4x221
dx)x4x(cos
2x 22222
� ∫ ∫ +=+
=+
c)e(arctgdx)e(1
edx
e1
e x2x
x
x2
x
� ∫ ∫ +=−
=−
c)e(arcsendx)e(1
edx
e1
e x2x
x
x2
x
� ∫ ∫ ∫ =
+
=
+=
+dx
x43
1
1161
dxx
163
116
1dx
x316
1222
∫ +=+=
+
⋅= cx43
arctg12
3cx
43
arctg34
1dx
x43
1
43
34
161
2
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INTEGRAZIONE DELLE FUNZIONI RAZIONALI FRATTE
1° CASO: IL NUMERATORE È RICONDUCIBILE ALLA DERIVATA DEL DENOMINATORE
∫ =−−+
−+dx
1x4x3x2
2x3x323
2 a meno della costante 2 il numeratore è la
derivata del denominatore
∫ =−−+
−+= dx1x4x3x2
4x6x621
23
2 RICORDO: ∫ += c|)x(f|lndx
)x(f)x('f
c|1x4x3x2|ln21 23 +−−+=
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2° CASO: IL DENOMINATORE E’ DI PRIMO GRADO
∫ +++
dx1x2
1x5x2 2 (Esame 19/06/12)
Effettuo la divisione tra polinomi:
Ricordo: )x(B)x(R
)x(Q)x(B)x(A +=
1x21
2x1x2
1x5x2 2
+−+=
+++
∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ =+
−+=+
−+=+
++dx
1x22
21
dx2xdxdx1x2
1dx2xdxdx
1x21x5x2 2
c|1x2|ln21
x2x21 2 ++−+=
2x2 + 5x +1 2x + 1 -2x2 - x x+2 // 4x +1 -4x -2 // -1
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3° CASO: IL DENOMINATORE E’ DI SECONDO GRADO (e non posso ricondurmi al primo caso in maniera immediata) - sottocaso 1: 0>∆ (si riconduce ad integrali di tipo logaritmo)
∫++
−dx
6x5x
1x2
1) Calcolo il discriminante 012425ac4b2 >=−=−=∆ 2) Scompongo il polinomio al denominatore nella forma
)xx)(xx(acbxax 212 −−=++ con x1 e x2 radici o zeri dell’equazione
associata.
2
15x
±−= 3x1 −= 2x2 −= )2x)(3x(6x5x2 ++=++
3) Riscrivo la frazione algebrica nella forma 21 xx
B)xx(a
A)x(G)x(F
−+
−=
In questo caso 2x
B3x
A
6x5x
1x2 +
++
=++
−
Angela Donatiello 18
4) Cerco i parametri A e B in modo che sia verificata l’uguaglianza:
)2x)(3x()3x(B)2x(A
6x5x
1x2 ++
+++=++
−
)2x)(3x(B3BxA2Ax
6x5x
1x2 ++
+++=++
−
)2x)(3x(
B3A2x)BA(
6x5x
1x2 ++
+++=++
− tale uguaglianza è vera se e solo se
−==
⇒
−=−=
⇒
−=+=+
3B
4A
3B
B1A
1B3A2
1BA
Pertanto: 2x
33x
4
6x5x
1x2 +
−+
=++
−
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5) Riscrivo l’integrale che ora si riconduce a due integrali quasi immediati di tipo logaritmo
∫ ∫ ∫∫ +−
+=
+
−+
=++
−dx
2x3
dx3x
4dx
2x3
3x4
dx6x5x
1x2
c|2x|ln3|3x|ln4 ++−+= - sottocaso 2: 0=∆ (si riconduce ad integrali di tipo logaritmo e di tipo potenza)
∫++
+dx
9x6x
5x2
1) Calcolo il discriminante 03636ac4b2 =−=−=∆ 2) Scompongo il polinomio al denominatore nella forma
21
2 )xx(acbxax −=++
In questo caso 22 )3x(9x6x +=++
Angela Donatiello 20
3) Riscrivo la frazione algebrica nella forma 2
11 )xx(
B)xx(a
A)x(G)x(F
−+
−=
In questo caso: 22 )3x(
B)3x(
A
9x6x
5x
++
+=
+++
4) Cerco i parametri A e B in modo che sia verificata l’uguaglianza:
22 )3x(
B)3x(
A
9x6x
5x
++
+=
+++
22 )3x(
B)3x(A
9x6x
5x
+++=
+++
22 )3x(
BA3Ax
9x6x
5x
+++=
+++
tale uguaglianza è vera se e solo se
=−==
⇒
=+=
235B
1A
5BA3
1A
Angela Donatiello 21
Pertanto: 22 )3x(
2)3x(
1
9x6x
5x
++
+=
+++
5) Riscrivo l’integrale che ora si riconduce a due integrali quasi immediati di
tipo logaritmo e di tipo potenza
∫ ∫ ∫∫−++
+=
++
+=
+++
dx)3x(2dx3x
1dx
)3x(
2)3x(
1dx
9x6x
5x 222
c3x
2|3x|lnc
12)3x(
2|3x|ln12
++
−+=++−
+⋅++=+−
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- sottocaso 3: 0<∆
a) il numeratore è di grado zero
∫++
dxcbxax
12
0a ≠
E’ necessario effettuare il completamento del quadrato dei primi due termini al denominatore e poi ricondurre all’integrale immediato la cui primitiva è arcotangente.
∫++
dx1xx
12
• Calcolo il discriminante 0341 <−=−=∆ • Si cerca di ricondurre l’integrale al modello
∫ +=+
ck
)x(farctg
k1
dx)]x(f[k
)x('f22
Angela Donatiello 23
• Bisogna riguardare i due termini x2 e x rispettivamente come il quadrato di x e come il doppio prodotto del primo termine x per un secondo termine e sommare e sottrarre il termine mancante per completare il quadrato di binomio.
43
21
x141
41
xx1xx2
22 +
+=+−++=++
• ∫ ∫ ++
=+
+=
++c
2321
xarctg
23
1dx
43
21
x
1dx
1xx
122
c3
1x2arctg
32 ++=
b) Il numeratore è un polinomio di primo grado e il denominatore di secondo con discriminante negativo
∫ =++
+dx
1xx
3x2
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• Calcolo il discriminante 0341 <−=−=∆ • Trasformo il numeratore in modo da vederlo come somma di due parti, una
che costituisce la derivata del denominatore e l’altra che ci permetterà di ricondurci all’arcotangente come nel caso precedente.
∫ ∫∫ =++
+=++
+=++
+dx
1xx
6x221
dx1xx
)3x(221
dx1xx
3x222
∫ ∫ ∫ =++
+++
+=++++= dx
1xx
521
dx1xx
1x221
dx1xx
51x221
222
Il primo integrale si è riconduce ad integrali di tipo logaritmo, mentre il secondo è integrabile come arcotangente (caso precedente)
c3
1x2arctg
32
25
|1xx|ln21 2 ++⋅+++=
c3
1x2arctg
35
)1xxln(21 2 +++++=
Angela Donatiello 25
Metodo di integrazione per sostituzione
∫ dx)x(f
1) Si pone x = g(t) (continua e invertibile) oppure t = g -1 (x) 2) Si calcola il differenziale dt)t('gdx =
3) Si sostituisce dt)t('g))t(g(fdx)x(f ⋅=∫
4) Si scrive prima il risultato dell’integrale nella variabile t e successivamente nella variabile x.
Esempi.
� ∫ =+
dxx1
1 pongo tdt2dxtxxt 2 =⇒=⇒=
∫ ∫ +=⋅
+= dt
t1t2
tdt2t1
1 effettuo la divisione tra polinomi
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Quindi ricordo che
)x(B)x(R
)x(Q)x(B)x(A +=
1t
22
1tt2
+−=
+
∫ ∫ ∫ =++−=+
−=
+
−= c|1t|ln2t2dtt1
12dt2dt
1t2
2
c)1xln(2x2c|1x|ln2x2 ++−=++−=
� ∫ =+dx
xe1 x
pongo tdt2dxtxxt 2 =⇒=⇒=
( )∫ ∫ ∫ ∫ =++=+=+=⋅+= ce2t2dte2dt2dte22tdt2te1 ttt
t
ce2x2 x ++=
2t t+1
2 -2t-2
-2
Angela Donatiello 27
� ∫+
+dx
1e
eex2
xx2 pongo dt
t1
dxtlnxet x =⇒=⇒=
∫ ∫ ∫ ∫∫∫+
++
=+
+=⋅++=⋅
++=
++
dt1t
1dt
1t
tdt
1t
1tdt
t1
1t
)1t(tdt
t1
1t
ttdx
1e
ee22222
2
x2
xx2
∫ ∫ =+++=+
++
= c)t(arctg)1tln(21
dt1t
1dt
1t
t221 2
22
c)e(arctg)1eln(21 xx2 +++=
� =−∫ dx1ex pongo 1et1et x2x −=⇒−=
)1tln(x1te 22x +=⇒+=
dt1t
t2dx
2 +=
Angela Donatiello 28
∫∫∫∫+
=+
=+
⋅=− dt1t
t2dt
1t
t2dt
1t
t2tdx1e
2
2
2
2
2x
devo riscrivere il numeratore in modo da poter spezzare la frazione riconducendo ad integrali immediati
∫ ∫ ∫ +−=+
−++=
+−+= c)t(arctg2t2dt
1t
12dt
1t
1t2dt
1t
11t2
22
2
2
2
c)1e(arctg21e2 xx +−−−=
� Un particolare integrale risolubile con sostituzione
∫ − dxx1 2 pongo sentx = nell’intervallo
ππ−2
;2
in
modo che la funzione seno risulti invertibile )xarcsin(t =
dttcosdx = con 0tcos > nell’intervallo considerato
Angela Donatiello 29
Sostituisco =⋅=⋅−=− ∫∫∫ dttcostcosdttcostsen1dxx1 222
Nell’intervallo di invertibilità della funzione seno, il coseno è sempre positivo, pertanto
∫ ∫ ∫+==⋅= dt
2t2cos1
dttcosdttcostcos 2
Attenzione: Abbiamo applicato la formula di bisezione del coseno
2t2cos1
tcos2cos1
2cos
+±=⇒α+±=α
ma 0tcos > quindi
2t2cos1
tcos2
t2cos1tcos 2 +=⇒
+=
Pertanto, ritornando all’integrale,
∫ ∫ ∫ ∫ ++=⋅+=+= ct2sen41
2t
dtt2cos221
21
dt21
dt2
t2cosdt
21
ctcossent241
2t +⋅+=
formula di duplicazione del seno: αα=α cossen22sen
Angela Donatiello 30
Inoltre: sentx = quindi )xarcsin(t = e 22 x1tsen1tcos −=−=
Quindi: cx1x21
xarcsin21
dxx1 22 +−+=−∫
Generalizzando tale integrale e svolgendo un procedimento analogo con la posizione asentx = si ottiene che:
cxax21
ax
arcsin2a
dxxa 222
22 +−+=−∫
Esempio.
cx9x21
3x
arcsin29
dxx9 22 +−+=−∫
Angela Donatiello 31
Metodo di integrazione per parti Si considerino due funzioni f(x) e g(x) derivabili con derivata continua in un intervallo [a;b]. Se si considera la derivata del loro prodotto si ottiene:
)x('g)x(f)x(g)x('f)]'x(g)x(f[ +=⋅ Integrando ambo i membri si ha che:
dx])x('g)x(f)x(g)x('f[dx)]'x(g)x(f[ ∫∫ +=⋅
dx)x('g)x(fdx)x(g)x('fdx)]'x(g)x(f[ ∫ ∫∫ +=⋅
Isoliamo ∫ dx)x('g)x(f si ottiene la formula di integrazione per parti
∫ ∫−= dx)x(g)x('f)x(g)x(fdx)x('g)x(f
Angela Donatiello 32
Tale formula è utile nel caso in cui si possa pensare la funzione integranda come composta di due fattori, un fattore finito e un fattore differenziale. Di norma si seguono le seguenti indicazioni:
Angela Donatiello 33
� ∫ dxxlnx considero
2x
gx'g
x1
'fxlnf
2=⇒=
=⇒=
c21
xln2x
c2x
21
xln2x
dxxx1
21
cxln2x
dxxlnx222
22
+
−=+−=⋅−+= ∫∫
� ∫ dxxsenx considero xcosgsenx'g
1'fxf
−=⇒==⇒=
∫∫ ++−=−−−= csenxxcosxdxxcosxcosxdxxsenx
Angela Donatiello 34
Esercizi svolti in aula
� ∫+−
−dx
3x2x
1x22
� ∫ xdxlnx3 dxxcos∫
� ∫ + dx)e1ln(e xx2 (Esame 19/07/12)
� ∫ + dxarctgx)1x2( ∫+− dxe)1x( 1x2
� dxsenxex ∫
� ∫ +−
dx3x
2x ∫ ++ 3x2)2x(
dx
Esercizi consigliati per esercitazioni
� ∫ + dx4xlnx
� ∫ dx)xcos(ln
(Si suggerisce di svolgere gli integrali indefiniti di riepilogo presenti su un buon libro di scuole superiori)