PRILOG MODELIRANJU KOEFICIJENTA OTPORA …repozitorij.fsb.hr/2083/1/06_12_2012_Disertacija.pdf ·...
Transcript of PRILOG MODELIRANJU KOEFICIJENTA OTPORA …repozitorij.fsb.hr/2083/1/06_12_2012_Disertacija.pdf ·...
-
FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE
Radoslav Korbar
PRILOG MODELIRANJU KOEFICIJENTA
OTPORA TRENJA U NESTACIONARNOM
STRUJANJU FLUIDA U CIJEVIMA
DOKTORSKI RAD
Zagreb, 2012.
-
FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING AND NAVAL
ARCHITECTURE
Radoslav Korbar
CONTRIBUTION TO MODELING OF FRICTION
COEFFICIENT FOR TRANSIENT FLOW IN PIPES
DOCTORAL THESIS
Zagreb, 2012
-
FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE
RADOSLAV KORBAR
PRILOG MODELIRANJU KOEFICIJENTA
OTPORA TRENJA U NESTACIONARNOM
STRUJANJU FLUIDA U CIJEVIMA
DOKTORSKI RAD
Mentor: ZDRAVKO VIRAG
Zagreb, 2012
-
FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING AND NAVAL
ARCHITECTURE
Radoslav Korbar
CONTRIBUTION TO MODELING OF FRICTION
COEFFICIENT FOR TRANSIENT FLOW IN PIPES
DOCTORAL THESIS
Supervisor: Zdravko Virag
Zagreb, 2012
-
PODACI ZA BIBLIOGRAFSKU KARTICU:
UDK: 532.51
Kljune rijei: Hidrauliki udar; Nestacionarno strujanje; Strujanje u cijevi;
Dvodimenzijski model; Trenje; Proraunske metode
Znanstveno podruje: TEHNIKE ZNANOSTI
Znanstveno polje: Druge temeljne tehnike znanosti
Institucija u kojoj je rad izraen: Fakultet strojarstva i brodogradnje, Zagreb
Mentor rada: Prof. dr. sc. Zdravko Virag, dipl. ing.
Broj stranica: 140
Broj slika: 67
Broj tablica: 5
Broj koritenih bibliografskih jedinica: 58
Datum obrane: 18.07.2012.
Povjerenstvo:
1. Prof. dr. sc. Zdravko Virag, dipl. ing.,
Fakultet strojarstva i brodogradnje, Zagreb
2. Prof. dr. sc. Mario avar, dipl. ing.,
Fakultet strojarstva i brodogradnje, Zagreb
3. Prof. dr. sc. Veljko Filipan, dipl. ing.,
Fakultet kemijskog inenjerstva i tehnologije, Zagreb
Institucija u kojoj je rad pohranjen: Fakultet strojarstva i brodogradnje, Zagreb
-
Zahvaljujem mentoru, prof. dr. sc. Zdravku Viragu na mnotvu
korisnih savjeta, a posebno na nesebinom trudu, portvovnosti i
dobroj volji kojom je uvijek spremno priskakao u pomo kad su
se u radu pojavile potekoe.
Posebnu zahvalnost dugujem prof. dr. sc. Mariju avaru na
zdunoj pomoi i podrci, te naroito na potpori i optimizmu u
trenucima kad bi se inilo da se s radom ulo u slijepu ulicu.
-
1
SADRAJ
Sadraj....................................................................................................................................... 1
Predgovor.................................................................................................................................. 4
Saetak....................................................................................................................................... 5
Summary ................................................................................................................................... 5
Klju ne rijei ............................................................................................................................ 6
Keywords................................................................................................................................... 6
Popis oznaka ............................................................................................................................. 7
Popis slika................................................................................................................................ 11
Popis tablica ............................................................................................................................ 14
1. Uvod................................................................................................................................. 15
Cilj i hipoteza rada................................................................................................................. 17
2. Pregled postojeih modela i metoda ............................................................................. 18
2.1 Modeli hidraulikog udara osnovne jednadbe i pretpostavke ............................. 18
2.1.1. 2D i kvazi-2D modeli ........................................................................................ 19
2.1.2. 1D modeli.......................................................................................................... 23
2.2 Modeli trenja za klasini 1D model hidraulikog udara ..........................................25
2.2.1. Kvazi-stacionarni model................................................................................... 27
2.2.2. Izrazi za korekciju kvazi-stacionarnog modela koji se baziraju na trenutnoj
akceleraciji ....................................................................................................... 28
2.2.3. Analitiki izrazi za korekciju kvazi-stacionarnog modela................................ 30
2.3 Modeli trenja za kvazi-2D model modeli turbulencije.......................................... 35
2.4 Stabilnost strujanja ................................................................................................... 36
2.5 Pretpostavka 'zamrznute' i kvazi-stacionarne turbulencije....................................... 37
2.6 Numeriko rjeavanje 1D modela, numerike sheme.............................................. 38
-
2
2.7 Numeriko rjeavanje kvazi-2D modela, numerike sheme.................................... 40
3. Predloeni model i metoda rjeavanja ......................................................................... 42
3.1 Metoda karakteristika............................................................................................... 42
3.1.1. Openito............................................................................................................ 42
3.1.2. Primjena MK na aksijalno simetrian model strujanja.................................... 47
3.2 Postojei kvazi-2D modeli ....................................................................................... 53
3.2.1. Matematiki modeli .......................................................................................... 54
3.2.2. Diskretizacija.................................................................................................... 55
3.3 Predloeni matematiki model i metoda rjeavanja................................................. 58
3.3.1. Predloeni matematiki model.......................................................................... 58
3.3.2. Jednadba za brzinu ......................................................................................... 60
3.3.3. Jednadba za tlak.............................................................................................. 61
3.3.4. Usporedba s metodom Vardy i Hwang............................................................. 62
3.3.5. Predloena diskretizacija i metoda rjeavanja................................................. 68
3.4 Rubni i poetni uvjeti ............................................................................................... 70
3.4.1. Rubni uvjeti....................................................................................................... 70
3.4.2. Poetni uvjeti .................................................................................................... 73
3.5 Model turbulencije za hidrauliki glatke cijevi........................................................ 74
3.6 Rjeavanje 3-dijagonalnog sustava jednadbi.......................................................... 80
4. Rezultati .......................................................................................................................... 82
4.1 Simuliranje i odravanje stacionarnog strujanja...................................................... 82
4.1.1. Laminarno strujanje ......................................................................................... 83
4.1.2. Turbulentno strujanje, glatke cijevi..................................................................84
4.2 Hidrauliki udar........................................................................................................ 89
4.2.1. Hidrauliki udar u laminarnom reimu............................................................ 91
4.2.2. Hidrauliki udar u turbulentnom reimu hidrauliki glatka cijev............... 105
5. Analiza rezultata .......................................................................................................... 118
6. Zaklju ak ...................................................................................................................... 122
Literatura.............................................................................................................................. 123
Prilog 1: Jednadbe kontinuiteta i koliine gibanja.......................................................... 129
-
3
ivotopis................................................................................................................................ 133
Curriculum vitae .................................................................................................................. 134
-
4
PREDGOVOR
Istraivanje nestacionarnog strujanja u cijevima i cijevnim mreama ve ima duu tradiciju na
Fakultetu strojarstva i brodogradnje Sveuilita u Zagrebu. Iz tog podruja napisano je niz
znanstvenih radova, te vei broj magistarskih radova i doktorskih disertacija. U ovom
trenutku u tijeku su projekti koji obuhvaaju istraivanja nestacionarnog strujanja u krvnim
ilama [1], [2] kao i model hidraulikog tuka i s njim povezan hidrauliki udar [3].
Potreba da se istrae i kvalitetnije rijee problemi trenja prilikom hidraulikog udara prisutna
je u svim institucijama koje istrauju hidrauliki udar ili pulzirajue strujanje, pa je tako ve
due prisutna i na ovom Fakultetu.
Kvazi-2D modeli predstavljaju najtonije modele koji se praktiki koriste za simulaciju
hidraulikog udara. Zbog sloenosti, najee se koriste za verifikaciju jednostavnijih (1D)
modela. Kao poetak istraivanja trenja, ovdje se predlae novi kvazi-2D model. Predloena
metoda rjeavanja trebala bi spadati u red najtonijih metoda. No istovremeno brzina
rjeavanja trebala bi biti toliko velika da metodu svrsta u jednu od najbrih.
Daljnja istraivanja mogla bi zatim ii u dva smjera. Prvi smjer vezan je uz potrebu za
kvalitetnim jednostavnim (1D) modelom, pa bi predloena metoda mogla posluiti u
istraivanju koje bi konano rezultiralo s takvim jednim modelom, kao i za njegovu
verifikaciju.
Drugi smjer vezan je uz nestabilnost koja je uoena u nestacionarnom strujanju. Zbog te
nestabilnosti modeli koji se danas koriste ne daju dovoljno tona rjeenja u svim potrebnim
reimima strujanja. Temeljito istraivanje uzroka tih pogreaka tek predstoji. U cilju
iznalaenja tonijih modela i temeljitog razumijevanja fizike pri hidraulikom udaru, morat e
se sve vie imbenika uzimati u obzir, a sve manje njih zanemarivati. U tom smislu e se u
buduim istraivanjima moda ak morati odustati i od pretpostavke osne simetrije strujanja u
cijevi.
-
5
SAETAK
U proraunima nestacionarnog strujanja u cijevi sve ee je potrebno precizno odreivanje
trenja fluida, to uvjetuje da se uz 1D modele strujanja koriste i toniji kvazi-2D modeli. Za
proraun hidraulikog udara najee se koriste 2D modeli Vardy i Hwang (koji je toniji i
pouzdaniji) i Pezzinga (koji zahtijeva manje raunanja). Ovdje je predloen novi kvazi-2D
model koji posjeduje tonost metode Vardy i Hwang i brzinu raunanja metode Pezzinga.
Ujedno je ponuena i originalna numerika metoda koja je u osnovi metoda karakteristika, ali
ima i neke elemente metode konanih volumena.
Najprije se daje pregled postojeih modela za proraun hidraulikog udara od sloenijih
prema jednostavnijima uz postupno uvoenje pretpostavki. Zatim je sustavno izloena metoda
karakteristika za viedimenzijske situacije. Koristei se karakteristinim jednadbama,
detaljnom analitikom usporedbom predloene metode i metode Vardy i Hwang pokazuje se
da obje metode moraju davati iste rezultate pod uvjetom da se koristi potpuno implicitna
shema interpolacije za radijalnu brzinu. Na kraju su rezultati predloene metode usporeeni s
eksperimentalnim rezultatima za sluaj laminarnog i turbulentnog strujanja, kao i s
rezultatima prorauna pomou metode Vardy i Hwang za te iste strujne situacije. U svim tim
usporedbama predloena metoda pokazuje izvrsno poklapanje rezultata.
SUMMARY
Pipe flow transient calculations demand increasingly precise friction models. Therefore, more
accurate quasi-2D flow models are used in addition to simpler 1D models. The most
commonly used quasi-2D models for water hammer calculations are those of Vardy and
Hwang (more accurate and reliable) and Pezzinga (demands less calculation steps). Here a
new quasi-2D model is proposed that combines the accuracy of Vardy and Hwang method
and the calculation speed of Pezzingas method. Furthermore, an original numerical method is
offered. The method essentially relies on the method of characteristics, but it also comprises
some finite volume method features.
-
6
First an overview of existing models is given, that goes from complex models towards simpler
ones, and introduces assumptions progressively. Then a detailed description is given of the
method of characteristics for multidimensional situations. Applying characteristic equations, a
detailed analytical comparison of the proposed and the Vardy and Hwang method shows that
both methods must give the same results, provided that a fully implicit interpolation scheme is
used for radial velocities. Finally the proposed method results are compared to the
experimental ones for situations of laminar and turbulent flow, as well as to the Vardy and
Hwang method results for the same flow situations. Results of the proposed method show
excellent agreement in all these comparisons.
KLJU NE RIJEI
Hidrauliki udar; Nestacionarno strujanje; Strujanje u cijevi; Dvodimenzijski model; Trenje;
Proraunske metode.
KEYWORDS
Water hammer; Transients; Pipe flow; Two-dimensional models; Friction; Computational
methods.
-
7
POPIS OZNAKA
A koeficijent teinske funkcije W, s-0,5
aj komponenta vektora brzine kretanja vala u smjeru njegovog prostiranja; koeficijent 3-
dijagonalnog sustava jednadbi, m/s
aijk koeficijenti PDJ
ijk koeficijenti PDJ zapisanih za svojstvene varijable wi
B koeficijent teinske funkcije W, s-1
b debljina graninog sloja dvoslojnog modela turbulencije, m
bj koeficijent 3-dijagonalnog sustava jednadbi
CA koeficijent 5-zonskog modela turbulencije (CA=0,19)
CB koeficijent 5-zonskog modela turbulencije (CB=0,011)
CC koeficijent 5-zonskog modela turbulencije (0,05 CC0,07)
Cm koeficijent 5-zonskog modela turbulencije (Cm=0,077)
c brzina zvuka, m/s
cj koeficijent 3-dijagonalnog sustava jednadbi
D promjer cijevi, m
dj slobodni lanovi 3-dijagonalnog sustava jednadbi
E istoni vor (i,j+1 ,n) iz kojeg se pomou MK raunaju nove vrijednosti funkcija
E Youngov modul elastinosti cijevi, Pa
Ef volumenski modul elastinosti fluida, Pa
e(j)i jedinini (bazni) vektor u smjeru koordinatne osi xj
f specifina masena sila, N/kg
f karakteristina frekvencija vala, Hz
g konstanta gravitacije, m/s2
H piezometarska visina, m
i imaginarna jedinica 1
i Cartesijev indeks; indeks radijalnog koraka
j Cartesijev indeks; indeks aksijalnog koraka
K matrica za odreivanje svojstvenih vektora sustava PDJ u smjeru vektora i
K koeficijent 5-zonskog modela turbulencije (K=0,41)
k Cartesijev indeks; koeficijent doprinosa trenja uslijed akceleracije fluida
-
8
kr ekvivalentna visina hrapavosti, m
ku broj PDJ
L -1 matrica komponenti svojstvenih vektora
L duljina cijevi, m
l i komponenta svojstvenog vektora
Ma Machov broj
Nr broj podjela po osi r
Nx broj podjela po osi x
n indeks vremenskog koraka
ni komponenta gradijenta na karakteristinu hiper povrinu S(i)
P vor (i,j,n+1) u kojem se pomou MK raunaju nove vrijednosti funkcija
P tlak (1D polje tlaka P = P(t,x) ), Pa
P0 konstantni tlak u spremniku, Pa
p tlak (polje tlaka p = p(t,xi) ), Pa
pj koeficijenti za izraunavanje 3-dijagonalnog sustava jednadbi
Q volumenski protok fluida kroz cijev, m3/s
q kvocijent geometrijskog niza
qi izvorski lanovi PDJ; protok kroz povrinu x=const i-tog elementa po r; koeficijenti za
izraunavanje 3-dijagonalnog sustava jednadbi
iq~ izvorski lanovi PDJ zapisanih za svojstvene varijable wi
R polumjer cijevi, m
Re Reynoldsov broj
Re0 Reynoldsov broj u stacionarnom strujanju
R* bezdimenzijski polumjer cijevi (R* = Ru*/)
r radijalna koordinata, m
S popreni presjek cijevi, m2
S(xi,t)=S(i) karakteristina hiper povrina
s kompleksna varijabla
s(j)i proireni izvorski lan prikladan za metodu karakteristika
Td karakteristino vrijeme difuzije u radijalnom smjeru (Td = R2/), s
t vrijeme, s
U srednja protona brzina, m/s
U0 srednja protona brzina u stacionarnom strujanju, m/s
-
9
u aksijalna komponenta brzine, m/s
uc brzina u jezgri dvoslojnog modela turbulencije, m/s
uj nepoznate funkcije (rjeenja) PDJ
ju amplitude rjeenja PDJ
u* karakteristina brzina turbulentnog gr. sloja brzina trenja, m/s
v brzina, m/s
v radijalna komponenta brzine, m/s
vi'vj' dvojna korelacija turbulentnih pulsacija brzine, m2/s2
W matrica svojstvenih varijabli; zapadni vor (i,j1,n) iz kojeg se pomou MK raunaju
nove vrijednosti funkcija
W teinska funkcija
W' Laplaceov transformat teinske funkcije
w cirkularna komponenta brzine, m/s
wi svojstvene varijable
x aksijalna koordinata, m
xi koordinata Cartesijevog sustava, m
y udaljenost od stjenke (y = Rr), m
y* bezdimenzijska udaljenost od stjenke (y* = yu*/)
z koordinata ija je os usmjerena vertikalno uvis (suprotno od gravitacije), m
koeficijent dvoslojnog modela turbulencije, m-1
bezdimenzijska znaajka utjecaja trenja u hidraulikom udaru
P gubitak tlaka pri strujanju u cijevi, Pa
r radijalni korak, m
S povrina jednog elementa pri x = const, m2
t vremenski korak, s
x aksijalni korak, m
debljina stjenke cijevi, m
ij Kroneckerov simbol
faktor za odabir eksplicitne odn. implicitne sheme za v (01)
bezdimenzijsko vrijeme simulacije (ctsimulacije/L)
supstitucijska varijabla za analitiku integraciju profila brzine
polarna koordinata
-
10
faktor za odabir eksplicitne odn. implicitne sheme za u (01)
koeficijent teinske funkcije W
i komponenta vektora valnog broja tj. gradijenta povrine S(xi,t=const), m-1
dijagonalna matrica svojstvenih vrijednosti
Darcyjev koeficijent stacionarnog trenja pri strujanju u cijevi; svojstvena vrijednost
MT vrijednost koeficijenta trenja proraunata koritenjem modela turbulencije
dinamiki koeficijent viskoznosti fluida, Pas
ef dinamiki koeficijent efektivne viskoznosti (ef = + T), Pas
T dinamiki koeficijent turbulentne viskoznosti, Pas
v koeficijent volumenske viskoznosti, Pas
1, 2, 3 proizvoljne konstante svojstvenih vektora (odabrano 1=2=3=1)
kinematiki koeficijent viskoznosti fluida, m2/s
c ef na rubu graninog sloja dvoslojnog modela turbulencije, m2/s
ef kinematiki koeficijent efektivne viskoznosti, m2/s
w ef na stjenci u dvoslojnom modelu turbulencije, m2/s
k nezavisne varijable PDJ
gustoa fluida, kg/m3
dio tenzora naprezanja (blizak devijatorskom dijelu), Pa
tenzor naprezanja, Pa
koeficijent dvoslojnog modela turbulencije
tangencijalno naprezanje; bezdimenzijsko vrijeme za teinsku funkciju W, Pa
c tangencijalno naprezanje na rubu graninog sloja dvoslojnog modela turbulencije, Pa
w tangencijalno naprezanje na stjenci, Pa
w' Laplaceov transformat tangencijalnog naprezanja na stjenci
ws tangencijalno naprezanje na stjenci u stacionarnom strujanju, Pa
wu nestacionarni doprinos tangencijalnom naprezanju na stjenci, Pa
karakteristina kruna frekvencija, Hz
-
11
POPIS SLIKA
Sl. 2.1 Profili brzine pri hidraulikom udaru [4] 28
Sl. 2.2 Tijek piezometarske visine pri hidraulikom udaru, eksperiment i modeli [4] 29
Sl. 2.3 Stacionarni profil brzine i efektivne viskoznosti [17] 32
Sl. 3.1 Machov konus i svojstvena ravnina za 2D situaciju 45
Sl. 3.2 Machov konus i karakteristike za kvazi-2D model 53
Sl. 3.3 Reetka diskretizacije za predloenu metodu i metodu Vardy i Hwang, uz r=const 56
Sl. 3.4 Prostorna reetka za metodu Vardy i Hwang 63
Sl. 3.5 Rubni uvjeti i prostorne oznake vorova za obje metode 65
Sl. 3.6 Prostorna reetka za predloenu metodu 69
Sl. 3.7 Definiranje rubova podruja i rubnih vorova 71
Sl. 3.8 Aproksimacija koeficijenta Cc 76
Sl. 3.9 Kinematiki koeficijent efektivne viskoznosti ef odabranog modela turbulencije;
provjera implementacije modela 77
Sl. 3.10 Kinematiki koeficijent efektivne viskoznosti ef odabranog modela turbulencije u
blizini stjenke; provjera implementacije modela 78
Sl. 3.11 Proraunate vrijednosti efektivne viskoznosti do simetrale cijevi za Re=4000 79
Sl. 3.12 Proraunate vrijednosti efektivne viskoznosti do simetrale cijevi za Re=23000 79
Sl. 3.13 Proraunate vrijednosti efektivne viskoznosti do simetrale cijevi za Re=110000 80
Sl. 3.14 Proraunate vrijednosti efektivne viskoznosti do simetrale cijevi za Re=1100000 80
Sl. 4.1 Postizanje i odravanje laminarnog profila brzine 83
Sl. 4.2 Koeficijent trenja prema Colebrookovom izrazu i MT dobiven integracijom modela
turbulencije na mrei od 30 elemenata, te njegovo odstupanje () od , za vrijednosti
Reynoldsovog br.: 4000 (q=1,05), 23000 (q=1,08) i 110000 (q=1,15) 85
Sl. 4.3 Koeficijent trenja prema Colebrookovom izrazu i MT dobiven integracijom modela
turbulencije na mrei od 60 elemenata, te njegovo odstupanje () od , za vrijednosti
Reynoldsovog br.: 4000 (q=1,05), 23000 (q=1,08), 110000 (q=1,1) i 1100000
(q=1,15) 85
Sl. 4.4 Koeficijent trenja prema Colebrookovom izrazu i MT dobiven integracijom modela
turbulencije na mrei od 100 elemenata, te njegovo odstupanje () od , za
-
12
vrijednosti Reynoldsovog br.: 4000 (q=1,05), 23000 (q=1,08), 110000 (q=1,1) i
1100000 (q=1,1) 86
Sl. 4.5 Usporedba profila brzine pri Re=4.000 dobivenih numerikom integracijom modela
turbulencije na mreama s 30, 60 i 100 elemenata u radijalnom smjeru (q=1,05 za
sve tri mree) s eksperimentalno dobivenim profilom [57] 87
Sl. 4.6 Usporedba profila brzine pri Re=23.000 dobivenih numerikom integracijom
modela turbulencije na mreama s 30, 60 i 100 elemenata u radijalnom smjeru
(q=1,08 za sve tri mree) s eksperimentalno dobivenim profilom [57] 87
Sl. 4.7 Usporedba profila brzine pri Re=110.000 dobivenih numerikom integracijom
modela turbulencije na mreama s 30 (q=1,15), 60 (q=1,1) i 100 (q=1,1) elemenata u
radijalnom smjeru s eksperimentalno dobivenim profilom [57] 88
Sl. 4.8 Usporedba profila brzine pri Re=1.100.000 dobivenih numerikom integracijom
modela turbulencije na mreama s 60 (q=1,15), 100 (q=1,1) i 150 (q=1,1) elemenata
u radijalnom smjeru s eksperimentalno dobivenim profilom [57] 88
Sl. 4.9 Shema ureaja za ispitivanje hidraulikog udara [58] 89
Sl. 4.10 Tijek promjene tlaka kod ventila proraunat pomou dvije mree 92
Sl. 4.11 Proraunati i izmjereni [58] tijek promjene tlaka kod ventila 92
Sl. 4.12 Tijek promjene tlaka kod ventila proraunat pomou predloene metode i metode
Vardy i Hwang [9] 93
Sl. 4.13 Proraunati i izmjereni [58] tijek promjene tlaka na sredini duljine cijevi 93
Sl. 4.14 Tijek promjene tlaka na sredini duljine cijevi proraunat pomou predloene metode
i metode Vardy i Hwang [9] 94
Sl. 4.15 Tijek srednje brzine kod spremnika proraunat pomou predloene metode 95
Sl. 4.16 Tijek srednje brzine na sredini duljine cijevi proraunat pomou predloene metode95
Sl. 4.17 Tijek sminog naprezanja na sredini duljine cijevi proraunat pomou dvije mree 96
Sl. 4.18 Tijek sminog naprezanja na sredini duljine cijevi proraunat pomou predloene
metode i metode Vardy i Hwang [9] 97
Sl. 4.19 Tijek koeficijenta trenja, nestacionarnog (odreen iz sminog naprezanja w) i kvazi-
stacionarnog (odreen prema vrijednosti Re) 98
Sl. 4.20 Profil brzine na sredini duljine cijevi u trenutku tc/L = 4 proraunat pomou etiri
razliite mree 99
Sl. 4.21 Profili brzine na sredini duljine cijevi 'ubrzo' nakon prolaska prva dva poremeaja,
proraunati prema predloenoj metodi i prema metodi Vardy i Hwang [9] 100
Sl. 4.22 Razvoj profila brzine na sredini duljine cijevi nakon prolaska prvog poremeaja 101
-
13
Sl. 4.23 Razvoj profila brzine na sredini duljine cijevi nakon prolaska drugog i treeg
poremeaja 101
Sl. 4.24 Profili brzine na sredini duljine cijevi neposredno nakon prolaska (prva etiri)
poremeaja 102
Sl. 4.25 Raspored tlaka du cijevi u prvoj periodi (tc/L=01) prikazan u svakom etvrtom
vremenskom koraku 103
Sl. 4.26 Raspored tlaka du cijevi u prvoj periodi (tc/L=01) prikazan u svakom
vremenskom koraku 103
Sl. 4.27 Raspored tlaka du cijevi u prvoj periodi (tc/L=01) u zavisnosti od pozicije x i
vremena t 104
Sl. 4.28 Raspored srednje brzine du cijevi u prvoj periodi (tc/L=01) prikazan u svakom
etvrtom vremenskom koraku 104
Sl. 4.29 Raspored srednje brzine du cijevi u prvoj periodi (tc/L=01) prikazan u svakom
vremenskom koraku 105
Sl. 4.30 Tijek promjene tlaka kod ventila proraunat pomou dvije mree 106
Sl. 4.31 Proraunati i izmjereni [58] tijek promjene tlaka kod ventila 106
Sl. 4.32 Tijek promjene tlaka kod ventila proraunat pomou predloene metode i metode
Vardy i Hwang [9] 107
Sl. 4.33 Proraunati i izmjereni [58] tijek promjene tlaka na sredini duljine cijevi 107
Sl. 4.34 Tijek promjene tlaka na sredini duljine cijevi proraunat pomou predloene metode
i metode Vardy i Hwang [9] 108
Sl. 4.35 Tijek srednje brzine kod spremnika proraunat pomou predloene metode 108
Sl. 4.36 Tijek srednje brzine na sredini duljine cijevi proraunat pomou predloene metode109
Sl. 4.37 Tijek sminog naprezanja na sredini duljine cijevi proraunat pomou dvije mree109
Sl. 4.38 Tijek sminog naprezanja na sredini duljine cijevi proraunat pomou predloene
metode i metode Vardy i Hwang [9] 110
Sl. 4.39 Tijek koeficijenta trenja, nestacionarnog (odreen iz sminog naprezanja w) i kvazi-
stacionarnog (odreen prema vrijednosti Re) 111
Sl. 4.40 Jedan profil brzine na sredini duljine cijevi proraunat pomou tri razliite mree 111
Sl. 4.41 Profili brzine na sredini duljine cijevi 'ubrzo' nakon prolaska prva dva poremeaja,
proraunati prema predloenoj metodi i prema metodi Vardy i Hwang [9] 112
Sl. 4.42 Razvoj profila brzine na sredini duljine cijevi nakon prolaska prvog poremeaja 113
Sl. 4.43 Razvoj profila brzine na sredini duljine cijevi nakon prolaska prvog poremeaja
detalj A sa prethodne slike 113
-
14
Sl. 4.44 Profili brzine na sredini duljine cijevi neposredno nakon prolaska (prva etiri)
poremeaja 114
Sl. 4.45 Raspored tlaka du cijevi u prvoj periodi (tc/L=01) prikazan u svakom drugom
vremenskom koraku 114
Sl. 4.46 Raspored tlaka du cijevi u prvoj periodi (tc/L=01) u zavisnosti od udaljenosti x i
vremena t 115
Sl. 4.47 Raspored tlaka u blizini stjenke du cijevi u prvoj periodi (tc/L=01) prikazan u
svakom vremenskom koraku 115
Sl. 4.48 Raspored tlaka u blizini stjenke du cijevi u prvoj periodi (tc/L=01) proraunat
pomou mree sa 100 elemenata u aksijalnom smjeru 116
Sl. 4.49 Raspored srednje brzine du cijevi u prvoj periodi (tc/L=01) prikazan u svakom
drugom vremenskom koraku 117
Sl. 4.50 Raspored srednje brzine u blizini simetrale du cijevi u prvoj periodi (tc/L=01)
prikazan u svakom vremenskom koraku 117
POPIS TABLICA
Tablica 3.1 Broj jednadbi predloene metode 66
Tablica 3.2 Broj nepoznanica predloene metode 66
Tablica 3.3 Broj jednadbi metode Vardy i Hwang (moguih i *iskoritenih) 67
Tablica 3.4 Broj nepoznanica metode Vardy i Hwang 68
Tablica 4.1 Podaci o eksperimentima hidraulikog udara [58] 90
-
15
1. UVOD
Potreba da se razumije nestacionarno strujanje fluida javila se u pradavno vrijeme s pojavom
prvih sustava za navodnjavanje i opskrbu vodom. Meutim, ozbiljan napredak sustavnog
razumijevanja zakonitosti strujanja fluida dogodio se tek u dvadesetom stoljeu, kao
posljedica snanog razvoja matematikog aparata, a kasnije razvoja digitalnih raunala. Prva
ozbiljnija istraivanja nestacionarnog strujanja vezana su uz probleme koji su se pojavili u
cjevovodima i vodnim turbinama hidroelektrana, a koristio se model neviskoznog fluida.
U dananje vrijeme, zbog razvitka tehnologije problemi nestacionarnog strujanja fluida
postaju sve znaajniji u irokom podruju primjene, od cjevovoda za transport i opskrbu
fluida do ubrizgavanja goriva u automobilske motore [4]. Pri tome je najee potrebno
obraunati i gubitke energije, tj. uzeti u obzir trenje. Osim trenja, uzima se prema potrebi u
obzir i elastinost materijala cijevi i/ili pojava kavitacije (koja naroito utjee pri zagaivanju
pitke vode [5], [6]), a posebnu kategoriju problema donosi simulacija dinamikog ponaanja
cijevnih mrea (npr. za detekciju puknua cijevi [7]). Iako se naglo zatvaranje ventila
izbjegava, a hidrauliki udar koji time nastaje se ne doputa i dogaa se iznimno, ipak
prouavanje priguenja oscilacija pri takvom udaru ima praktini znaaj. Naime, saznanja o
takvom priguenju mogu biti od koristi i u drugim oscilatornim strujanjima. Utjecaj trenja
bitan je npr. prilikom simulacije cijevnih mrea, kavitacije, dugotrajnijih simulacija, zatim
ako su bitni amplituda i oblik valova (kao u eljeznikim tunelima [8]), ili kad je potrebno
odrediti maksimalno smino naprezanje (kao u analizi kvalitete pitke vode).
Donedavno nestacionarno trenje nije bilo dovoljno istraeno, pa se nije uzimalo u obzir ili se
koristio kvazi-stacionarni model (Darcy-Weisbachov obrazac). Danas se za simulaciju pojava
izazvanih hidraulikim udarom preteno koriste 1D ili kvazi-2D modeli nestacionarnog
strujanja. U okviru 1D modela koriste se modeli trenja na bazi trenutne brzine i akceleracije
ili sloeniji modeli s integralom konvolucije (s teinskom funkcijom). U kvazi-2D modelima
pretpostavlja se 1D polje tlaka i 2D polje brzine. Promjena brzine u poprenom smjeru rauna
se prvenstveno za odreivanje trenja. Za turbulentno strujanje koriste se uglavnom algebarski
kvazi-stacionarni modeli turbulencije.
Pri odabiru modela hidraulikog udara znaajnu ulogu ima kriterij ekonominosti prorauna,
odn. nastojanje da se proraun obavi u to kraem vremenu i uz koritenje to manje
-
16
raunalnih resursa, pa se modele u pravilu nastoji maksimalno pojednostaviti. Toniji (2D)
modeli esto se koriste za verifikaciju novih 1D modela ili za bolje razumijevanje fizikalne
pozadine pojave, a rjee za komercijalnu simulaciju. Od potreba zadatka, ali i od parametara
ispitivane pojave zavisi da li e rezultati dobiveni pomou ovih modela biti zadovoljavajui ili
ne.
U ovom radu se za hidrauliki udar primjenjuje originalni kvazi-2D model koji se rjeava
pomou takoer originalne varijante numerike metode karakteristika. Numerika metoda
nastala je integracijom karakteristinih jednadbi po poprenoj povrini elementa, pa ima i
neka svojstva metode konanih volumena. Korak mree u uzdunom smjeru odabire se tako
da se egzaktno zadovoljava kriterij Lewy-Couranta, to znai da je metoda na samoj granici
stabilnosti. Zbog stabilnosti se za interpolaciju brzine koristi ista implicitna shema. U
praktinom smislu proraun je jednostavan i vrlo brz; zasebno se uvijek rjeava samo sustav
jednadbi za jedan popreni presjek. Sustav tih jednadbi je 3-dijagonalni, to omoguava
primjenu brzog Thomasovog algoritma (TDMA).
Predloeni model analitiki je usporeen s jednim od najtonijih suvremenih modela,
modelom Vardy i Hwang [9]. Pokazuje se da se predloeni model dobiva analitikom
manipulacijom modela Vardy i Hwang, a takoer i algebarskom manipulacijom tog modela
zapisanog u diskretiziranoj formi, ali uz uvjet da se koristi potpuno implicitna shema za
radijalnu brzinu. Meutim u okviru predloenog modela nije potrebno rjeavati jednadbe za
radijalnu brzinu, ime se potreban broj raunskih operacija prepolavlja.
U okviru rada izraen je kompjuterski program za rjeavanje ovako definiranog modela.
Tonost metode testirana je usporedbom rezultata predloene metode s eksperimentalnim
rezultatima za laminarni i turbulentni sluaj strujanja. Takoer je izvrena usporedba s
rezultatima metode Vardy i Hwang. Zbog ove posljednje usporedbe, koriten je u okviru ovog
istraivanja isti algebarski model turbulencije s pet zona kakav se primjenjuje u toj metodi.
Poklapanje rezultata predloene metode s eksperimentalnim i proraunskim rezultatima
pokazalo se izuzetno dobro u svim situacijama.
-
17
CILJ I HIPOTEZA RADA
CILJ RADA
Cilj rada je stvaranje novog kvazi-dvodimenzijskog modela i metode za proraun
nestacionarnog strujanja u cijevi. Model e imati dvodimenzijsku jednadbu za aksijalnu
brzinu i integralnu (jednodimenzijsku) jednadbu za tlak, zbog ega se gubi potreba za
odreivanjem radijalne komponente brzine. Metoda e se bazirati na metodi karakteristika uz
uvoenje elemenata metode konanih volumena.
HIPOTEZA RADA
Novopredloeni model i numerika metoda, koji e se temeljiti na metodi karakteristika, e
davati tonije rezultate i/ili imati krae vrijeme prorauna nestacionarnog strujanja od
postojeih dvodimenzijskih modela. Predloena metoda e biti dovoljno brza da se moe
koristiti u praktinoj primjeni umjesto jednostavnijih i netonijih jednodimenzijskih modela.
-
18
2. PREGLED POSTOJEIH MODELA I METODA
Ovdje su rezimirani aktualni modeli i metode za raunanje hidraulikog udara slabo stlaivog
fluida. Pri tome je posebna pozornost posveena nainu uzimanja u obzir utjecaja trenja u
fluidu. Nisu uzeti u obzir kavitacija i odvajanja stupca fluida, niti ravanja i sloenije cijevne
geometrije (cijevnih mrea). Oni modeli koji su stekli veu popularnost i zastupljenost
detaljno su objanjeni.
Modeli i njihove osnovne matematike jednadbe najprije su po kategorijama navedeni
redoslijedom od sloenijih prema jednostavnijima, kako bi se mogao pratiti i sagledati
redoslijed uvoenja pretpostavki i ogranienja. U nastavku, redoslijedom od jednostavnijih
prema sloenijima, ti modeli su razraeni detaljnije. Prihvaena je sljedea osnovna podjela
aktualnih modela
a) Jednodimenzijski (1D) modeli
idealni modeli (bez trenja)
kvazi-stacionarni model trenja
modeli s korekcijom na bazi trenutne akceleracije
modeli s analitikom korekcijom
b) Dvodimenzijski (2D) i kvazi dvodimenzijski modeli
2.1 Modeli hidrauli kog udara osnovne jednadbe i pretpostavke
Osnovne jednadbe strujanja Newtonovskog fluida su
jednadba kontinuiteta
0=
+j
j
x
v
Dt
D (2.1)
-
19
jednadba koliine gibanja
j
ji
ii
i
xx
pf
Dt
Dv
+= , (2.2)
+
+
= ''32
ijj
i
i
j
jk
kjivji vvx
v
x
v
xx
v . (2.3)
Tenzor turbulentnih naprezanja esto se modelira pomou turbulentne viskoznosti T, (v.
odjeljak o modelima turbulencije) tj. putem izraza
+
=j
i
i
jTij x
v
x
vvv '' , (2.4)
ef = + T (2.5)
2.1.1. 2D i kvazi-2D modeli
Prijelazom na cilindarski koordinatni sustav (koordinatne osi x, r, , komponente brzine u, v,
w) i zanemarujui lanove iji utjecaj nije znaajan odn. uvoenjem sljedeih pretpostavki:
v=0;
032 =
k
kji
j x
v
x ;
aksijalna simetrija obzirom na os x ( 0=
);
v=w=0;
osnovne jednadbe poprimaju sljedeu formu:
jednadba kontinuiteta
0)(11 =
+
+
+
+
r
rv
rx
u
rv
xu
t
, (2.6)
x-komponenta jednadbe koliine gibanja
r
r
rxx
pf
r
uv
x
uu
t
u rxxxx
++
=
+
+
)(111
, (2.7)
-
20
r-komponenta jednadbe koliine gibanja
rr
r
rxr
pf
r
vv
x
vu
t
v rrxrr
+
+
=
+
+
)(111
, (2.8)
pri emu
''2 uux
uxx
= , (2.9)
''vux
v
r
uxrrx
+
== , (2.10)
''2 vvr
vrr
= , (2.11)
''2 wwr
v = , (2.12)
odn. ukoliko se koristi model turbulentne viskoznosti
x
uefxx
= 2 , (2.13)
+
==
x
v
r
uefxrrx , (2.14)
r
vefrr
= 2 . (2.15)
r
vef 2= . (2.16)
Uvode se daljnje relacije i pretpostavke odn. pojednostavljenja:
xx= rr= xr=0, rx=rx (tangencijalno naprezanje komponenta tenzora naprezanja);
0=
x
v
r ;
1D model tlaka tlak P nije funkcija od r-koordinate, tj. P=P(t,x), pa vie nije potrebno
rjeavati r-komponentu jednadbe koliine gibanja, ovom pretpostavkom 2D model
postaje kvazi-2D model;
-
21
brzina napredovanja tlanog poremeaja (brzina zvuka)
ddP
c = , (2.17)
dakle Dt
DP
cDt
D2
1= (napomena: u 1D modelima koristi se openitiji izraz za brzinu
napredovanja tlanog poremeaja, v. nie);
x
zgfi
= , tj. masena gravitacijska sila se tretira jednodimenzijski, z=x3 je geodetska
visina;
piezometarska visina
zg
PH +=
0, (2.18)
gdje je 0=const poetna gustoa fluida; nadalje
;1
2220
x
zu
c
g
Dt
DH
c
g
x
zu
Dt
DH
c
g
Dt
D
=
=
0=x
zu , tj. ovdje se unutar jednadbe kontinuiteta zanemaruje dio (v. [10]) konvektivne
promjene gustoe; inae se obino u toj jednadbi zanemaruje kompletna konvektivna
promjena gustoe, odn. uzima se t
H
Dt
DH
= ;
i dobivaju se sljedee jednadbe koje se esto koriste kao polazne jednadbe za kvazi-2D
modele
jednadba kontinuiteta
0)(1
2 =+
+
+
r
rv
rx
u
x
Hu
t
H
c
g, (2.19)
x-komponenta jednadbe koliine gibanja
r
r
rx
Hg
r
uv
x
uu
t
u rx
+=
+
+
)(1
, (2.20)
-
22
pri emu
''vur
urx
= , (2.21)
ili uz koritenje modela turbulentne viskoznosti
r
uefrx
= . (2.22)
Ghidaoui et al. [4] pokazali su usporedbom reda veliine pojedinih lanova da je u sluaju
Ma
-
23
dobiva se pojednostavljeni kvazi-2D model koji je uveo Pezzinga [11]:
jednadba kontinuiteta
02
=+
x
Q
gS
c
t
H, (2.25)
x-komponenta jednadbe koliine gibanja
r
r
rx
Hg
t
u rx
=+
)(1
. (2.26)
Ovakvo uklanjanje radijalnih brzina iz modela u nekim situacijama uzrokuje nefizikalne
oscilacije.
Silva-Araya i Chaudry [12] Ohmi et al. [13] takoer su integrirali kvazi-2D jednadbu
koliine gibanja, ali samo za odreivanje korekcije nestacionarnog sminog naprezanja wu u
okviru modela koji se dalje svodi na 1D model.
Wood i Funk [14] takoer su numeriki integrirali kvazi-2D jednadbu koliine gibanja i na
taj nain odreivali profile brzina.
2.1.2. 1D modeli
Za laminarno strujanje vrijedi:
r
urx
= , =const;
pa se u tom sluaju x-komponenta jednadbe koliine gibanja moe zapisati u formi
)(111
2
2
tfx
P
t
u
r
u
rr
u
=
=
+
. (2.27)
Ovdje su prisutne derivacije brzine u samo po koordinati r i vremenu t, pa je integraciju ove
jednadbe mogue provesti u svakom presjeku nezavisno od koordinate x. Zielke [15] je
izvrio takvu analitiku integraciju, ime je dobiven popularni 1D analitiki model.
Vardy et al. [16] su na analogni nain sainili model prikladan za nestacionarno turbulentno
strujanje u glatkim cijevima pri niskim Reynoldsovim brojevima. Vardy i Brown [17] su
-
24
kasnije taj model proirili i na sluajeve turbulentnog strujanja u glatkim cijevima pri visokim
Reynoldsovim brojevima, te [18] na turbulentno strujanje u potpuno hrapavim cijevima.
isti 1D model dobiva se uvoenjem srednje brzine:
=S
dSuS
txU1
),( .
Uzimajui osim toga u obzir da vrijedi
DrDr
r
rwrxwrx 4
2
)(1 =
=
, (2.28)
gdje w oznaava smino naprezanje na stjenci cijevi, dobivaju se klasine jednadbe
hidraulikog udara:
jednadba kontinuiteta
02
=+
x
U
g
c
t
H , (2.29)
x-komponenta jednadbe koliine gibanja
04 =+
+
Dx
Hg
t
U w
. (2.30)
Isti izrazi mogu se dobiti odn. vrijede i kad se dopusti promjena presjeka cijevi S uslijed
elastine deformacije cijevi (v. npr. [10]). Meutim, tada se brzina napredovanja tlanog
poremeaja definira sljedeim openitijim izrazom:
DEEdP
dS
SdP
d
c f +=+=2
1, (2.31)
pri emu su E Youngov modul elastinosti cijevi, Ef volumenski modul elastinosti fluida, a
je debljina stjenke cijevi.
-
25
Kad se u gornjem modelu zanemari trenje, dobiva se tradicionalni Allievijev model
hidraulikog udara:
jednadba kontinuiteta
02
=+
x
U
g
c
t
H , (2.32)
x-komponenta jednadbe koliine gibanja
0=+
x
Hg
t
U . (2.33)
Integracijom Allijevijevih jednadbi po pominom kontrolnom volumenu, koji obuhvaa
frontu hidraulikog udara po cijelom poprenom presjeku cijevi i uz koritenje Leibnizovog
pravila moe se dobiti izraz ukovskog za visinu prvog tlanog udara
g
UcH
= . (2.34)
2.2 Modeli trenja za klasini 1D model hidraulikog udara
Poetkom dvadesetog stoljea ukovski je postavio najpoznatiju jednadbu nestacionarnog
strujanja koja se ponekad naziva osnovnom jednadbom hidraulikog udara.
g
UcH
= . (2.35)
Dobivena je uz pretpostavku neviskoznog fluida i zanemarivo male brzine strujanja u odnosu
na brzinu zvuka.
Otprilike u isto vrijeme Allievi je pokazao da je opravdano zanemariti konvektivne lanove u
jednadbama i postavio opu teoriju hidraulikog udara. Allievijev idealni model obuhvaa
jednadbu kontinuiteta
02
=+
x
U
g
c
t
H , (2.36)
-
26
x-komponentu jednadbe koliine gibanja
0=+
x
Hg
t
U . (2.37)
Nakon to je jo uzeto u obzir i trenje na stjenci cijevi, polovicom dvadesetog stoljea
openito su prihvaene sljedee klasine jednadbe jednodimenzijskog (1D) modela
hidraulikog udara:
jednadba kontinuiteta
02
=+
x
U
g
c
t
H , (2.38)
x-komponenta jednadbe koliine gibanja
04 =+
+
Dx
Hg
t
U w
. (2.39)
Te jednadbe vrijede za jednodimenzijsko strujanje (aksijalno simetrino strujanje uz
dominantnu komponentu brzine u smjeru osi) stlaivog fluida u elastinoj cijevi uz relativno
malu vrijednost Machovog broja.
Prema [4] utjecaj sminog naprezanja na stjenci cijevi w poveava se s poveanjem
vrijednosti bezdimenzijske znaajke
cL
T
D
L d +=2
Ma , (2.40)
gdje je sa oznaeno bezdimenzijsko vrijeme simulacije (omjer vremena simulacije i
vremena L/c etvrtine ciklusa), je koeficijent stacionarnog viskoznog trenja u cijevi, a
Td = R2/ je karakteristino vrijeme difuzije u radijalnom smjeru. Prema tome utjecaj trenja
znaajan je u sluajevima kad vrijeme simulacije znatno premauje periodu ciklusa (velik ),
ili je cijev relativno velike duljine L odn. malog promjera D, ili je koeficijent trenja relativno
velik, ili kad je karakteristino vrijeme radijalne difuzije Td vee od vremena L/c putovanja
poremeaja u jednom smjeru. Poznato je da se kod relativno kratkog vremena simulacije
(mali ) zadovoljavajui rezultat dobiva uz koritenje bilo kojeg modela trenja. Praktini
zadaci kod kojih je modeliranje trenja od bitnog znaaja ukljuuju analizu i sintezu
cjevovodnih mrea i regulacije nestacionarnog strujanja; simulaciju opskrbe pitke vode s
ciljem izbjegavanja zagaenja; izradu programa za obradu mjernih podataka u svrhu
-
27
kalibracije parametara, dijagnostike i otkrivanje proputanja; modeliranje kavitacije i
odvajanja stupca kapljevine.
2.2.1. Kvazi-stacionarni model
U stacionarnom strujanju pad tlaka uslijed trenja u cijevi rauna se prema Darcy-
Weisbachovom obrascu
2
2U
D
LP = . (2.41)
Iz uvjeta ravnotee sila na element fluida u stacionarnom strujanja slijedi izraz za smino
naprezanje na stjenci cijevi
84
2
UU
DL
DP
w
=
= . (2.42)
U kvazi-stacionarnom modelu pretpostavlja se da gornji izraz u svakom asu vrijedi i za
sluaj nestacionarnog strujanja, pri emu je U trenutna srednja brzina strujanja. Ta
pretpostavka daje zadovoljavajue rezultate jedino u sluaju vrlo sporih nestacionarnosti.
Kod hidraulikog udara vremenske promjene su brze, a srednja brzina strujanja nakon npr.
trenutnog zatvaranja ventila jednaka je nuli. Meutim, potpuno suprotno rezultatu koji daje
stacionarni model trenja, smino naprezanje je maksimalno upravo odmah nakon prolaska
fronte vala. Naime pri prolasku tlane fronte brzina fluida smanjuje se u svim tokama
presjeka otprilike za isti iznos. Zato se upravo u blizini stjenke javljaju najvee brzine (u tom
podruju mijenja se i smjer brzine), to zajedno s uvjetom lijepljenja rezultira maksimalnim
gradijentom brzine u blizini stjenke.
-
28
Sl. 2.1 Profili brzine pri hidraulikom udaru [4]
Zato se izraz za smino naprezanje na stjenci cijevi zapisuje kao zbroj kvazi-stacionarnog
naprezanja ws i nestacionarnog doprinosa naprezanju wu
)()()( ttt wuwsw += . (2.43)
Za razliku od ovog modela, preostali 1D modeli trenja uzimaju u obzir ovu korekciju wu, a
razlikuju se upravo po modelu tog doprinosa.
2.2.2. Izrazi za korekciju kvazi-stacionarnog modela koji se baziraju na trenutnoj
akceleraciji
Eksperiment [19] pokazao je da wu poprima pozitivnu vrijednost pri ubrzanju strujanja, a
negativnu vrijednost pri usporenju strujanja. Daily et al. [19] predloili su relaciju
t
UDkwu
=4 . (2.44)
Koeficijent k openito zavisi od pozicije x i vremena t, pa se priguivanje oscilacija koje daje
ovaj model relativno loe poklapa s eksperimentom (v. Sl. 2.2).
Brunone et al. [20] predlau sljedeu modifikaciju
=
x
Uc
t
UDkwu 4
. (2.45)
-
29
Ovaj poznati model jednostavan je za koritenje, a dobiva se zadovoljavajue priguenje
oscilacija nakon hidraulikog udara (v. Sl. 2.2). Zato se od svih modela trenja na bazi
akceleracije ovaj model najee koristi. Potrebno je odabrati adekvatnu vrijednost samo
jednog parametra koeficijenta k. Bergant et al. [21] dobili su najbolje rezultate pri
vrijednostima k izmeu 0,033 i 0,085. Brunone et al. [20] koristili su vrijednost k=0,04.
Sl. 2.2 Tijek piezometarske visine pri hidraulikom udaru, eksperiment i modeli [4]
Takoer su sugerirali da se k odabere prema izrazu
21 11k
HH ii += , (2.46)
pri emu su Hi i Hi-1 maksimalne vrijednosti piezometarske visine u dva konsekutivna titraja.
Nekoliko autora predloilo je manje modifikacije ovog modela, kao npr. Pezzinga [22]
=
x
Uc
x
UU
t
UDkwu sign4
, (2.47)
-
30
i Bergant et al. [21]
( )
=
x
UcU
t
UDkwu sign4
. (2.48)
Osim spomenute modifikacije, Pezzinga [22] je odredio vrijednost koeficijenta k za vlastiti
model i za model Brunone et al. [20] na bazi rezultata sloenijeg kvazi-2D modela Pezzinga
[11]. Dimenzijskom analizom dobio je i varirao sljedee tri bezdimenzijske znaajke o kojima
ovisi vrijednost koeficijenta k: poetni Reynoldsov broj (Re0=U0D/), relativnu ekvivalentnu
hrapavost kr/D i karakteristini parametar cjevovoda y0
0
0
00
42 DcU
L
c
U
D
L
cU
gHy wsf
=== , (2.49)
pri emu Hf oznaava linijski gubitak, a ws smino naprezanje na stjenci; oboje u poetnom
stacionarnom strujanju. Pokazalo se da se vrijednosti k za oba modela ne razlikuju. Meutim,
1D model rjeavao se pomou dvije numerike metode, metodom karakteristika (MK) i
metodom konanih diferencija (MKD), a rezultat (dobiveni k) je zavisio od primijenjene
numerike metode. Rezultat je takoer zavisio i od vremena simulacije (broja oscilatornih
ciklusa). Prema tome, mogue je da koeficijent k zavisi od odabranog vremena promatranja
pojave, ali s druge strane potrebna je temeljitija eksperimentalna verifikacija kako 1D tako i
kvazi-2D modela.
Vardy i Brown [23] ponudili su teorijski izraz za odreivanje koeficijenta k. Pri tome se
pretpostavlja da se koeficijent turbulentne viskoznosti ne mijenja s vremenom i da ima
raspodjelu istu kao kod stacionarnog strujanja. Zato je pouzdanost takvog modela upitna.
2.2.3. Analitiki izrazi za korekciju kvazi-stacionarnog modela
Ovi modeli esto se nazivaju modelima s teinskom funkcijom. Koritenje te funkcije
(integral konvolucije), zahtijeva da se uzmu u obzir podaci od poetka pojave pa sve do danog
trenutka.
Modeli iz ove kategorije baziraju se na analitikom rjeenju Zielke [15] paralelnog osno-
simetrinog strujanja. Integrirajui uzdunu (x) komponentnu jednadbe koliine gibanja
)(111
2
2
tfx
P
t
u
r
u
rr
u
=
=
+
, (2.50)
-
31
po podruju poprenog presjeka cijevi pomou Laplaceove transformacije, dobije se za sluaj
laminarnog strujanja u cijevi (=64/Re=64/DU) sljedei izraz za korekciju sminog
naprezanja na stjenci cijevi koji sadri integral konvolucije
dUtWD
tt
wu )()(4
)(0
= . (2.51)
Teinska funkcija W(t) za sluaj 0,02 glasi
22222 17,9598214,7959511,619848,417245,13562)( ++++= eeeeetW , (2.52)
dok za sluaj
-
32
turbulentnog strujanja u glatkim cijevima pri visokim Reynoldsovim brojevima, te [18] na
turbulentno strujanje u potpuno hrapavim cijevima. Radi se dakle o modelima koji pokrivaju
sve sluajeve strujanja u glatkim cijevima od laminarnog do razvijenog turbulentnog.
Model Vardy i Brown [17] dobiva se integracijom dvoslojnog (jezgra i granini sloj) modela
paralelnog osno-simetrinog turbulentnog strujanja po podruju poprenog presjeka cijevi.
Primijenjeni dvoslojni model (Sl. 2.3) primjeren je i prilagoen stacionarnom strujanju u
cijevi. Pretpostavlja se da je u jezgri cijevi brzina stacionarnog strujanja konstantna u=uc, a
efektivna viskoznost ef beskonano velika.
Sl. 2.3 Stacionarni profil brzine i efektivne viskoznosti [17]
Uz pretpostavku da je srednja brzina u graninom sloju jednaka uc/2, pomou jednadbe
kontinuiteta za stacionarno strujanje dobiva se sljedei izraz za srednju brzinu strujanja U0
2
20
21
R
b
R
b
u
U
c
+ , (2.55)
gdje b oznaava debljinu graninog sloja, a R polumjer cijevi (R=D/2). U sluaju relativno
velikih Reynoldsovih brojeva (npr. Re0>400) moe se staviti Uuc.
Primjereno stacionarnom strujanju, u graninom sloju pretpostavlja se linearni profil efektivne
viskoznosti
)1( ywef += , (2.56)
-
33
pri emu su w viskoznost na stjenci (w=), a y je poprena koordinata (granini sloj se tretira
kao ravninski uz koritenje Cartesijevog koordinatnog sustava). Da se izbjegne koritenje
koeficijenta smjera , uvodi se oznaka
)1( bc
w += , (2.57)
pri emu je c efektivna viskoznost na rubu graninog sloja (c=ef pri y=b).
Uzduna komponentna jednadba koliine gibanja za granini sloj glasi
)(1
tfx
zg
x
P
t
u
y
u
y ef=
+
=
, (2.58)
a za jezgru cijevi
)(21
bRx
zg
x
P
t
u cc
++
=
, (2.59)
gdje c oznaava tangencijalno naprezanje na rubu jezgre cijevi.
Integracijom ovih jednadbi za sluaj stacionarnog strujanja i uz pretpostavku da za
stacionarno strujanje vrijede sljedei izrazi za efektivnu viskoznost c na rubu graninog sloja
[27]:
07,0=Ruc
; 208
1Uu ws
== , (2.60)
i za koeficijent trenja u glatkim cijevima (Nikuradse)
8,0)log(21
0 = Re , (2.61)
dobiju se za stacionarno strujanje sljedei izrazi za odreivanje i b
12,100 )(0366,0)02,3log2)((0124,0 ReRe += , (2.62)
ln116
00
=U
u
R
b cRe
, (2.63)
koji se koriste kao vaei za sluaj nestacionarnog strujanja, a takoer se dobije i sljedei
izraz za stacionarni dio sminog naprezanja na stjenci cijevi
-
34
+
++
=b
bRucwws
1
ln2
11
11
ln1
2
ln1
. (2.64)
Jednadbe koliine gibanja za nestacionarno strujanje u graninom sloju i jezgri se nakon toga
podvrgavaju Laplaceovoj transformaciji. Jednadba za granini sloj se pomou supstitucije
)1(2
ys
w
+= , (2.65)
(s je kompleksna varijabla) prevodi u Besselovu jednadbu nultog reda kakvu je dobio i
Zielke [15], pa se zatim integrira. Uzevi u obzir i transformat jednadbe za jezgru, kao
konani rezultat dobije se Laplaceov transformat sminog naprezanja uz stjenku cijevi w' od
kojeg se zatim oduzima transformat stacionarnog dijela ws', pa na taj nain preostaje
transformat nestacionarnog doprinosa sminog naprezanja uz stjenku wu'. Inverznom
transformacijom dobiva se izraz
dUtWD
tt
wu )()(4
)(0
= , (2.66)
koji sadri teinsku funkciju W(t), a po obliku je identian s Zielkeovim [15] izrazom. Radi
pojednostavljenja, transformat teinske funkcije W'(s) se najprije zamjenjuje priblinim
izrazom Wa'(s), ijom inverznom transformacijom se dobije teinska funkcija u sljedeem
obliku
tBtAtW /)exp()( = , (2.67)
4D
A = , (2.68)
2054,0
DB
Re= , (2.69)
= 05,0
0
3,14log
Re . (2.70)
Slino kao to je Trikha [24] uveo aproksimaciju teinske funkcije za model Zielke [15] i time
izbjegao potrebu da se memoriraju sve vrijednosti brzine od poetnog asa, tako su i Ghidaoui
i Mansour [28] predloili aproksimativni izraz za teinsku funkciju modela Vardy i Brown
[17]. Ako se koristi taj izraz, potrebno je memorirati samo vrijednosti brzina iz prethodnog
vremenskog koraka.
-
35
Pokazuje se da za sluaj konstantne akceleracije u modelu Vardy i Brown [17] nestacionarni
dio sminog naprezanja wu dolazi u zasienje (maksimum), ako konstantna akceleracija traje
dulje od minimalnog vremena tmin=3,323. Tada wu zavisi uglavnom od vrijednosti te
akceleracije, tako da tada ovaj model i izrazi koji se baziraju na trenutnoj akceleraciji npr.
[20] daju podjednake vrijednosti wu. Vrijeme tmin skrauje se poveanjem Reynoldsovog broja
(teinska funkcija W tada ima znatne vrijednosti samo u blizini vremena t=0), pa izrazi koji se
baziraju na trenutnoj akceleraciji daju najbolje rezultate kada se pri visokim Reynoldsovim
brojevima akceleracija mijenja polako (neko vrijeme je priblino konstantna).
2.3 Modeli trenja za kvazi-2D model modeli turbulencije
U kvazi-2D modelima trenje u laminarnom strujanju uzima se u obzir pomou odgovarajueg
lana Navier-Stokesove jednadbe (odn. koristei Newtonov zakon viskoznosti). Za
turbulentno strujanje koristi se nekoliko modela turbulencije.
Iskustvo pokazuje da se ve pomou vrlo jednostavnih profila brzine turbulentnog strujanja
dobivaju zadovoljavajui rezultati u pogledu osnovnih karakteristika nestacionarnog strujanja.
S druge strane profili brzine ne nalikuju profilima stacionarnog strujanja, a razlikovanje
laminarnog i turbulentnog reima oteano je injenicom da se turbulencija javlja samo u fazi
usporavanja strujanja, dok prilikom ubrzavanja dolazi do relaminarizacije.
Za Reynoldsova naprezanja uglavnom su se koristili algebarski modeli, npr. Vardy i Hwang
[9], Pezzinga [11], Silva-Araya i Chaudry [12], Silva-Araya i Chaudry [29], Ohmi et al. [13]
dok su se sofisticiraniji modeli poput - modela koristili rjee. Rezultati dobiveni -
modelom i algebarskim modelima nisu se bitnije razlikovali.
Metoda koju su razvili Vardy i Hwang [9] koristi se 5-zonskim algebarskim modelom
turbulencije koji su za nestacionarno strujanje razvili Kita et al. [30]. Zone su sljedee:
laminarni podsloj, dvije prijelazne zone, zona logaritamskog zakona i jezgra. Upotreba ovog
modela za sluaj nestacionarnog strujanja ponekad stvara potekoe jer u nestacionarnom
strujanju turbulencija ne zavisi samo od sminog naprezanja na stjenci cijevi w, kao to
predvia ovaj model turbulencije.
Metoda koju je razvio Pezzinga [11] koristi algebarski model turbulencije s dvije zone To su
laminarni podsloj i turbulentna zona u kojoj se koristi Prandtlova hipoteza puta mijeanja.
-
36
Iako ta hipoteza uzima u obzir i profil brzine, koeficijenti i izraz za put mijeanja baziraju se
na stacionarnom strujanju.
Ghidaoui et al. [31] ustanovili su da ova dva modela daju priblino jednake rezultate za sluaj
nestacionarnog strujanja u cijevi, kao i da piezometarska visina H ne zavisi od raspodjele
turbulentne viskoznosti u jezgri cijevi.
Valjanost Reynoldsovih jednadbi za sluaj nestacionarnog strujanja je upitna jer, za
pouzdano vremensko osrednjavanje, karakteristino vrijeme za turbulenciju mora biti znatno
krae od karakteristinog vremena nestacionarne pojave, a to nije uvijek mogue. Moda e
se zato u budunosti u veoj mjeri koristiti metoda simulacije velikih vrtloga.
2.4 Stabilnost strujanja
Suprotno tadanjim oekivanjima, eksperimenti koje je izvrio Shuy [32] pokazali su da se
smino naprezanje uz stjenku poveava pri usporavanju strujanja i smanjuje pri ubrzavanju.
Shuy pretpostavlja da pri ubrzavanju turbulentnog strujanja dolazi do relaminarizacije.
Eksperimenti koje su proveli Das i Arakeri [33] pokazali su da nestacionarno strujanje postaje
nestabilno kad se prijee kritina vrijednost Reynoldsovog broja i karakteristinog vremena.
Nestabilnosti u eksperimentu pokuali su objasniti koristei kvazi-stacionarnu analizu
stabilnosti linearnih sustava. Sa smanjenjem protoka toka infleksije u profilima brzine koji
imaju recirkulaciju udaljava se od stjenke, ime se smanjuje stabilnost strujanja. Istovremeno
Reynoldsov broj se smanjuje, poveavajui time stabilnost strujanja. Pojava nestabilnosti
zavisit e o tome koji od ova dva suprotna utjecaja prevlada. Nestabilnost se oituje u
nastanku spiralnih vrtloga koji se naglo raspadaju u turbulenciju.
Brunone et al. [34] snimali su profile brzine u nestacionarnom turbulentnom strujanju u cijevi
i ustanovili da se nakon prolaska fronte tlanog udara natrano strujanja javlja naizmjenino
odn. periodiki u gornjem i u donjem dijelu cijevi, ime se znatno naruava aksijalna
simetrija.
Kvazi-stacionarna linearna analiza koju su nainili Ghidaoui i Kolyshkin [35], tako da su
nestacionarne profile brzina s recirkulacijom podvrgli trodimenzionalnim perturbacijama,
pokazuje da, zavisno od Reynoldsovog broja i bezdimenzijskog vremena, nestacionarno
-
37
strujanje u cijevi moe biti unutar stabilne ili nestabilne domene. Dobili su krivulje neutralne
ravnotee na granici tih dviju domena. To su krivulje na kojima se poremeaji ne poveavaju
niti smanjuju. Krivulje neutralne ravnotee predstavljaju parove kritinih vrijednosti
Reynoldsovog broja i vremena. Takoer se pokazalo da je najnestabilniji asimetrini modus
uz azimutni valni broj jednak jedinici. Eksperimenti koje je izvrio Shuy [32] bili su prvi
eksperimenti izvreni unutar nestabilne domene. Strujanje se stabilizira ako se u okolici toke
infleksije profila brzine gradijent brzine s vremenom smanjuje. Taj gradijent poveava se npr.
znatnim smanjivanjem protoka. Takoer, destabilizirajue djeluje i udaljavanje toke
infleksije od stjenke cijevi. Nestabilnost se pojavljuje relativno brzo, a izmeu ostalog
naruava aksijalnu simetriju profila brzine, mijenja strukturu i intenzitet turbulencije.
Suvremeni 2D modeli nestacionarnog strujanja nisu u stanju simulirati takvu nestabilnost
strujanja.
Ghidaoui et al. [31] provjeravali su rezultate dva poznata kvazi-2D modela. Pokazalo se da se
u podruju u kojem se oekuje nestabilnost i spiralni vrtlozi rezultati dobiveni tim modelima
do 100% razlikuju od eksperimentalnih rezultata.
2.5 Pretpostavka 'zamrznute' i kvazi-stacionarne turbulencije
U modelima sminog naprezanja koji se baziraju na analitikom rjeenju pomou integrala
konvolucije, Vardy et al. [16], Vardy i Brown [17] pretpostavili su da raspodjela turbulentne
viskoznosti stacionarnog strujanja ostaje ista, vremenski nepromjenljiva ('zamrznuta'), za
vrijeme nestacionarnog strujanja. U svojim 2D modelima Vardy i Hwang [9], Pezzinga [11],
Silva-Araya i Chaudry [12] pretpostavljaju da u nestacionarnom strujanju vrijede izrazi za
turbulentnu viskoznost stacionarnog strujanja (pretpostavka kvazi-stacionarne turbulentne
viskoznosti). Predloena metoda koristi kvazi-stacionarni model turbulencije po uzoru na
metodu Vardy i Hwang.
Ghidaoui et al. [31], Greenblatt i Moss [36], He i Jackson [37] izvjetavaju da nakon prolaska
fronte vala dolazi do kanjenja promjene turbulencije izazvane tim valom. Jednoliki pomak
cijelog profila brzine prilikom prolaska vala ima za posljedicu nepromjenljivost gradijenta
brzine neposredno nakon prolaska vala. Tada se jedino mijenja gradijent uz stjenku cijevi to
dovodi do nastanka vrtlone povrine u tom podruju. S vremenom, nakon prolaska fronte, ti
vrtlozi se difuzijom prenose prema jezgri cijevi, pa u sve veoj mjeri utjeu na gradijent
-
38
brzine, intenzitet i strukturu turbulencije u prijelaznoj zoni graninog sloja. He i Jackson [37]
predloili su nain za procjenu ovog kanjenja.
Ghidaoui et al. [31] kao kriterij opravdanosti pretpostavke kvazi-stacionarne turbulentnosti
predlau omjere karakteristinih vremena radijalne difuzije i vremena propagacije vala.
Prihvatljivim su oznaili situacije u kojima je jedno od vremena znatno vee od drugog, dok
je pretpostavka upitna u situacijama gdje su ta vremena istog reda veliine.
U ovom radu primjenjuje se pretpostavka 'zamrznute' turbulencije.
2.6 Numeriko rjeavanje 1D modela, numerike sheme
Metoda karakteristika (MK) najprikladnija je i najee koritena numerika metoda za
rjeavanje 1D modela nestacionarnog strujanja u cijevima. Osim ove metode, u manjoj mjeri
jo su se koristile metoda konanih diferencija (MKD), metoda konanih volumena (MKV) i
valna metoda. Metoda konanih elemenata za sada nije koritena u komercijalnim
programima.
U MK najee se koristi fiksna reetka. U cjevovodnim sustavima ona zahtijeva istovjetan
vremenski korak za sve dionice. Obzirom da dionice cjevovoda imaju razliite duljine, a neki
puta i razliite brzine zvuka, uz istovjetan vremenski korak u principu nije mogue potpuno
zadovoljiti Courantov kriterij. Ovaj problem rjeava se interpolacijom, pri emu se koristi niz
interpolacijskih tehnika odn. shema.
Wiggert i Sundquist [38] koristili su interpolacijsku shemu u kojoj kombiniraju prostornu
linearnu interpolaciju i implicitnu shemu. Goldberg i Wylie [39] razvili su shemu eksplicitnog
diferenciranja u kojoj su koristili rjeenja iz veeg broja ranijih vremenskih koraka. Lai [40] je
u svojoj vie-modusnoj shemi kombinirao eksplicitnu shemu i interpolaciju ili ekstrapolaciju
po prostoru s klasinom linearnom interpolacijom u prostoru i vremenu. Zavisno od veliine
vremenskog i prostornog koraka, kao i od broja koritenih prethodnih vremenskih koraka, ova
shema moe funkcionirati kao jedna ili druga ili proizvoljna kombinacija obje sheme. Time se
korisniku prua potpuna fleksibilnost. Yang i Hsu [41] takoer koriste eksplicitnu shemu u
kojoj koriste podatke iz veeg broja ranijih vremenskih koraka. Zatim koriste metodu Holly-
Preissmann za interpolaciju u prostoru ili u vremenu. Sibertheros et al. [42] uspjeno su
primijenili spline metodu u jednostavnim problemima i cjevovodima, dok se u sloenijim
-
39
situacijama javlja problem definiranja rubnih uvjeta za spline. Radi ubrzanja prorauna i
smanjenja koritenja raunala Karney i Ghidaoui [43] razvili su sloeni algoritam koji se
moe koristiti za inicijalni proraun. Njihov hibridni pristup koristi interpolaciju du
karakteristike, interpolaciju iz najblie toke i metodu prilagodbe putanje vala.
Valna metoda koju su primijenili Wood et al. [44] nalikuje MK, ali poremeajne funkcije
moraju po odsjecima biti konstantne. To povlai da se radi o shemi prvog reda tonosti u
prostoru i vremenu. Takoer i trenje se mora aproksimirati funkcijama konstantnim po
odsjecima. To u rjeenju izaziva nefizikalne oscilacije male amplitude. Problem predstavlja i
injenica da nije rijeen nain na koji bi se u shemu ukljuio integral konvolucije (teinska
funkcija).
Pokuaj da se pomou MKD i implicitne sheme centralnih diferencija na raun stabilnosti
implicitnih shema omogue vei vremenski koraci esto ne daje zadovoljavajue rezultate, jer
implicitne sheme iskrivljuju propagaciju vala i nisu posebno pogodne za raunanje
propagacije valova. Takoer, implicitna metoda zahtijeva rjeavanje relativno velikih sustava
jednadbi. Zato se za numeriko rjeavanje hiperbolikih jednadbi preteno koriste
eksplicitne sheme. Chaudhry i Hussaini [45] primijenili su tri eksplicitne MKD-sheme drugog
reda tonosti po prostoru i vremenu (sheme MacCormak, Lambda i Gabutti) za jednadbe
hidraulikog udara. Pokazalo se da ove metode daju bolje rezultate nego MK sa shemom
prvog reda tonosti, ali se u profilu vala pojavljuju sumnjive oscilacije.
MKV se nije esto koristila za rjeavanje problema hidraulikog udara. Guinot [46], Hwang i
Chung [47] rjeavali su model hidraulikog udara bez difuzije (bez trenja). Oni rjeavaju
Riemannov problem i koriste Godunove sheme. Guinot [46] koristei Godunovu shemu prvog
reda tonosti dobiva metodu nalik MK s prostornom linearnom interpolacijom. Hwang i
Chung [47] koriste metodu drugog reda tonosti. Pri tome su kao nepoznanicu umjesto
piezometarske visine odabrali gustou, to zahtjeva da se definira veza piezometarske visine i
gustoe, te izaziva probleme pri definiranju rubnih uvjeta.
-
40
2.7 Numeriko rjeavanje kvazi-2D modela, numerike sheme
Osnovne jednadbe kvazi-2D modela
jednadba kontinuiteta
0)(1
2 =+
+
+
r
rv
rx
u
x
Hu
t
H
c
g , (2.71)
x-komponenta jednadbe koliine gibanja
r
r
rx
Hg
r
uv
x
uu
t
u rx
+=
+
+
)(1
, (2.72)
predstavljaju sustav hiperbolikih-parabolikih parcijalnih diferencijalnih jednadbi. Uz
zanemarivanje konvektivnih lanova, Vardy i Hwang [9] ovaj model rjeavaju na hibridni
nain hiperbolini dio pomou MK, a parabolini dio pomou MKD. Taj nain je u suglasju
s fizikalnom pozadinom hidraulikog udara, jer se MK koristi za proraun valnog dijela
jednadbi, a centralne diferencije za difuzijski dio. Takoer, iako su radijalni maseni protoci
relativno mali, njihovo ukljuenje u jednadbu kontinuiteta ima opravdanje u tonosti,
stabilnosti i fizikalnoj korektnosti. Koritenje MK openito omoguava istraivaima da
koriste analize, metode, interpolacijske sheme i iskustva razliitih 1D MK modela.
Karakteristini oblik ovih jednadbi je
r
r
rg
c
r
rv
rg
c
dt
du
g
c
dt
dH rx
=
)(1)(12
, (2.73)
du karakteristika
cdt
dx = . (2.74)
Diskretizacijom ovog sustava Vardy i Hwang [9] dobili su 5-dijagonalni sustav 2Nr2Nr
jednadbi, gdje je Nr broj podjela u radijalnom smjeru. Za rjeavanje tog sustava potrebno je
vrijeme centralnog procesora reda veliine Nr3. Zhao i Ghidaoui [48] taj sustav su sveli na
dva 3-dijagonalna sustava NrNr jednadbi ime se vrijeme centralnog procesora svelo na
red veliine Nr.
-
41
Pezzinga [11] odreuje tlak rjeavanjem jednadbe kontinuiteta koristei eksplicitnu MKD
shemu. Nakon toga odreuje profile brzine rjeavanjem jednadbe koliine gibanja, pri emu
koristi implicitnu MKD shemu. Na kraju se ukupni protok rauna integracijom brzine po
povrini presjeka cijevi. Proraun je brz jer su jednadbe kontinuiteta i koliine gibanja
razdvojene pa se rjeavaju zasebno, a radijalna diskretizacija jednadbe koliine gibanja
dovodi do 3-dijagonalne matrice. Naalost raunanje protoka integracijom brzine neki puta
uzrokuje nefizikalne oscilacije proraunatog tlaka. Da bi se oscilacije izbjegle, potrebna je
fina diskretizacija u radijalnom smjeru.
Ohmi et al. [13] rjeavanjem 1D modela odreuje tlak i srednju brzinu. U nastavku, dobiveni
gradijent tlaka koristi se u kvazi-2D jednadbi koliine gibanja za odreivanje profila brzine.
Profil brzine se nakon toga koristi za raunanje tangencijalnog naprezanja na stjenci cijevi
potrebnog u 1D modelu.
Slina je i metoda koju koriste Silva-Araya i Chaudhry [12], [29]. Nakon to se izrauna
profil brzine, on se koristi za raunanje protoka i disipacije energije. Iz te disipacije dobije se
omjer disipacija, na temelju kojeg se odreuje korekcija lana s trenjem u 1D jednadbi.
Korigirani 1D model rjeava se za tlak i protok. Zatim se korigira gradijent tlaka i proraun se
ponavlja sve dok se dovoljno ne smanji razlika protoka dobivenog integracijom profila brzine
i onog dobivenog 1D modelom.
-
42
3. PREDLOENI MODEL I METODA RJEAVANJA
3.1 Metoda karakteristika
Primjena metode karakteristika za situacije 2D i 3D strujanja fluida opisana je u Hirsch [49],
[50], a primjer uspjene realizacije na katedri za Mehaniku fluida FSB-a Zagreb dan je u
avar [51], avar et al. [52], [53], [54]. Metoda karakteristika primjenjuje se za parcijalne
diferencijalne jednadbe (PDJ) kojima se opisuju pojave dominantno konvektivnog odn.
valnog karaktera, tj. za PDJ prvog reda hiperbolikog tipa. Za primjenu metode karakteristika,
fizikalni model treba prikazati u obliku sustava PDJ prvog reda (vie derivacije u principu se
obraunavaju putem izvorskog lana).
U odlomku 3.1 daje se opi prikaz metode karakteristika prikladan za 2D i 3D modele (tj.
prikladan i za daljnji rad). Metoda e se primijeniti na primjer potpunog 2D modela, tj. na
sluaj aksijalne simetrije strujanja slabo stlaivog fluida. Kasnije e se potpuni 2D model
reducirati na kvazi-2D model kakav se razmatra u ovom radu.
3.1.1. Openito
Sustav PDJ zapisuje se kao sustav ku jednadbi (i = 1,ku) oblika
ik
jijk q
ua =
, (3.1)
u ku nepoznatih funkcija uj (dakle j = 1,ku). k oznaava nezavisnu varijablu (k = 1,kx+1, kx je
broj prostornih koordinata xk), aijk je koeficijent, a qi je izvorski lan.
Homogeni dio gornjeg sustava ima valno rjeenje oblika
)( llnjj euui= , (3.2)
pri emu ju oznaava amplitudu, i= 1 , nl je komponenta vektora. Oito je da je rjeenje uj
konstantno kada je skalarni produkt nll konstantan.
-
43
Za nestacionarne sustave uobiajeno je posebno izraziti vremensku koordinatu t i vremenske
promjene. Tada je i=xi, (i = 1,kx; kx je broj prostornih koordinata xk); txk
=+1 , pa se sustav
(3.1) zapisuje u obliku
ik
jijk
i qx
ua
t
u =
+
, (i,j = 1,ku; k = 1,kx), (3.3)
gdje je koeficijent aijk element Jacobijeve matrice.
Rjeenje homogenog sustava (3.2) obino se zapisuje u obliku
)( txjjiieuu = i , (3.4)
pri emu je karakteristina kruna frekvencija vala (=2f, f je karakteristina frekvencija
vala), a i je vektor valnog broja ija apsolutna vrijednost je
2= , (3.5)
gdje je valna duljina. Takoer vrijedi relacija
=iia , (3.6)
pri emu ai oznaava vektor brzine kretanja vala u smjeru njegovog prostiranja, pa u sluaju
kolinearnosti vektora ai i i vrijedi
=a , (3.7)
i
2 i
ia = . (3.8)
Nadalje, ako S(i)=S(xi,t)=const oznaava svojstvenu hiper povrinu odn. povrinu fronte vala,
tada za hiper prostor (koji ukljuuje vrijeme t kao jednu od dimenzija i) vrijedi
neS
Sgrad jj
ii
=
= )()()(
)( , (3.9)
tj. gradijent-vektor ni normalan je na hiper povrinu S(i), dok za fiziki prostor vrijedi
=
= jxj
iix ex
txStxSgrad )()(
),(),( , (t=const) (3.10)
-
44
tj. gradijent-vektor i normalan je na pod-povrinu koja nastaje presijecanjem S(xi,t) ravninom
t=const. Oito je da vrijedi relacija
==
t
i nt
txS ),(, (3.11)
pri emu nt oznaava komponentu vektora ni u smjeru koordinatne osi t, kao i da se rjeenje
(3.2) alternativno moe zapisati u obliku
)()(
tt
Sx
x
S
jtx
jn
jj
kkkkkk eueueuu
+
===i
ii . (3.12)
Pri tome e vrijednost uj biti konstantna u smjeru okomitom na nj (tj. kad je unutranji produkt
nkk=0), a to znai tangencijalno na povrinu S(i)=const orijentiranu gradijentom nj. Gornji
izraz je rjeenje homogenog sustava PDJ
0=
+
k
jijk
i
x
ua
t
u, (i,j = 1,ku; k = 1,kx), (3.13)
pa se njegovim uvrtenjem u taj sustav, nakon dijeljenja s )(i txkke i dobiva
0)( =
+
=+ jijk
kijjijkkij uax
S
t
Sua . (3.14)
Ovaj sustav jednadbi moe imati rjeenja razliita od trivijalnog rjeenja ( 0 =ju ) jedino u
sluaju kad je determinanta sustava jednaka nuli
0detdet =+
=+ ijk
kijijkkij ax
S
t
Sa . (3.15)
Iz tog uvjeta odreuje se karakteristina kruna frekvencija . Za svaki odabrani smjer i,
jednadba e imati kx ne-trivijalnih rjeenja (i), ((i), i=1,kx). Vidljivo je da ona zapravo
predstavljaju svojstvene (eigen) vrijednosti matrice kaijk. Ako se jednadba podijeli s ,
dobiva se jednadba za odreivanje karakteristine brzine prostiranja vala a u smjeru normale
na svojstvenu povrinu S(xi, t)=const. odn. u smjeru gradijenta na tu povrinu.
0detdet =+=+ ijkkijijkkij aaa
. (3.16)
Za proizvoljni smjer i0 = i/ svojstvene povrine postoji kx svojstvenih vrijednosti
(i) = a(i) = (i)/ (a(i), i=1,kx).
-
45
Anvelopa svih svojstvenim povrina (orijentiranih svim smjerovima i) tvori Machov konus.
Obzirom na toku vrha konusa, Machov konus u prolosti omeuje zonu ovisnosti, a u
budunosti zonu utjecaja te toke. Svojstvena povrina dodiruje Machov konus po liniji koja
se naziva karakteristika (bikarakteristika u smjeru vektora bi). Machov konus, te svojstvena
povrina i karakteristika za odabrani smjer i0 prikazani su na sl. 3.1 Ako se u jednadbu
svojstvene povrine ixi t = 0 odabere t=1, usporedbom s definicijom brzine ai dobiva se
xi=ai.
Sl. 3.1 Machov konus i svojstvena ravnina za 2D situaciju
Izrazom
)()()( mi
mkijk
mj lal
= , (3.17)
(ne sumira se po indeksu u zagradi, tj. u ovom sluaju po m) definiran je lijevi svojstveni
(eigen) vektor l(m)i koji odgovara svojstvenoj vrijednosti (m).
Ako se sve svojstvene vrijednosti zapiu u obliku dijagonalne matrice
[ ] [ ]mnmmn )(== , (3.18)
x 1
x 2
t
b
1
a
-
46
i uvede oznaka za matricu
[ ]
==k
ijkij aKK , (3.19)
mogue je izraz za jedan svojstveni vektor (3.17) matrino zapisati za sve svojstvene vektore
11 = LKL , (3.20)
gdje l i(m) svojstveni vektor predstavlja m-ti redak matrice L -1. Dijagonalizacija matrice K
provodi se tako da se gornja jednadba pomnoi matricom L s lijeve strane, pa se dobije
1= LLK . (3.21)
Ako se osnovni sustav PDJ pomnoi svojstvenim vektorom s lijeve strane
im
ik
jijk
mi
imi qlx
ual
t
ul )()()( =
+
, (3.22)
dobiva se jednadba kompatibilnosti. Zapisom ove jednadbe za sve svojstvene vektore
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] mimk
pjpnjmnkim
mim qx
ua
t
u 1111 =
+
LLLLL , (3.23)
omoguava se prijelaz na svojstvene varijable wi
ik
jijk
i qx
wa
t
w ~~ =
+
, (3.24)
pri emu su uvedene oznake
[ ] [ ]njmnkimijk aa LL 1~ = , (3.25) [ ] mimi qq 1~ = L , (3.26)
ki
ki ulw )(= , (3.27)
a simbol oznaava odgovarajuu (vremensku ili prostornu) promjenu. Treba naglasiti da
dobivene karakteristine varijable wi zavise od odabranog smjera propagacije i.
Ukoliko se odabere vektor i u smjeru koordinatne osi xj,
i=e(j)
i, (3.28)
pri emu je e(j)i jedinini (bazni) vektor u smjeru koordinatne osi xj, jednadba svojstvene
povrine kroz ishodite ixi t = 0 daje jednadbu karakteristike za taj smjer
-
47
x(j) = (m)t = a(m)t, (3.29)
pri emu indeks m oznaava razne svojstvene vrijednosti za taj smjer. Deriviranjem ove
jednadbe po vremenu t dobiva se uobiajeni zapis dane karakteristike
)()( mj adt
dx= . (3.30)
Du ove karakteristike moe se jednadba (3.24) izraena pomou svojstvenih varijabli
zapisati u obliku
)(
)(
)()(
)(
)()()(m
ij
imij
j
mi
mi
mi s
x
wa
t
w
dt
dx
x
w
t
w
dt
dw =+
=
+
= , (3.31)
pri emu su preostali lanovi jednadbe prebaeni u novi izvorski lan s(j)i.
3.1.2. Primjena MK na aksijalno simetrian model strujanja
Osnovne jednadbe aksijalno simetrinog modela za slabo stlaivi fluid
Brzina napredovanja tlanog poremeaja (brzina zvuka)
ddp
c = , (3.32)
dakle Dt
Dp
cDt
D2
1= ;
Pretpostavlja se da vrijedi Boussinesqova hipoteza, tj. Reynoldsova naprezanja izraavaju se
pomou koeficijenta turbulentne viskoznosti T, a ukupna naprezanja modeliraju se pomou
koeficijenta efektivne (ukupne) viskoznosti ef = +T.
Osnovne jednadbe strujanja za aksijalno simetrinu situaciju zapisane u cilindarskom
koordinatnom sustavu (koordinatne osi x, r komponente brzine u, v):
jednadba kontinuiteta
0)(22 =
+
+
+
+
r
rv
r
c
x
uc
r
pv
x
pu
t
p , (3.33)
-
48
x-komponenta jednadbe koliine gibanja
+
+
+
=
+
+
x
v
r
ur
rrx
u
xx
pf
r
uv
x
uu
t
uefefx
12
1 , (3.34)
r-komponenta jednadbe koliine gibanja
2
221
r
v
r
vr
rrr
u
x
v
xr
pf
r
vv
x
vu
t
v efefefr
+
+
+
=
+
+
, (3.35)
Model zapisan u karakteristinom obliku
Za dvodimenzijski (kx=2) model definiran jednadbama (3.33)(3.35) vektor nezavisnih
varijabli glasi
[ ]
=
r
xxk , (3.36)
pa se model sukladno jednadbi (3.3) moe zapisati u obliku
ij
ijj
iji q
r
ua
x
ua
t
u =
+
+
21 , (3.37)
pri emu su (uz i,j = 1,ku; ku=3)
[ ]
=v
u
p
u j , (3.38)
[ ]
=u
u
cu
aij00
01
02
1
, (3.39)
[ ]
=v
v
cv
aij01
00
0 2
2
, (3.40)
-
49
[ ]
+
+
+
+
+
+
=
2
2
22
12
r
v
r
vr
rrr
u
x
v
xf
x
v
r
ur
rrx
u
xf
r
vc
q
efefefr
efefxi
. (3.41)
Kad se uvede oznaka 0i=i/ za jedinini vektor normale, svojstvene vrijednosti raunaju se
iz uvjeta
( ) 0det)det( 0 == ijkijka IK , (3.42) pri emu
++
+=
)(000
)(000
0202)(00
0
0m
rxr
mrxx
rxm
rx
vu
vu
ccvu
IK , (3.43)
gdje su uvaeni smjerovi koordinatnih osi 1=x; 2=r. Odabire se normala i=0i (tj. =1) u
smjeru koordinatne osi u smjeru osi cijevi i=(1,0) tj. x=1; r=0, tako da gornji izraz postaje
=
)(
)(
2)(
00
01
0
m
m
m
u
u
cu
IK , (3.44)
pa svojstvene vrijednosti (m) moraju zadovoljavati uvjet
[ ] 0)()()det( 22)()( == cuu mm IK , (3.45) koji ima sljedea 3 rjeenja
(1) = u+c, (3.46)
(2) = uc, (3.47)
(3) = u. (3.48)
Linije karakteristika (bikarakteristike) dobivaju se iz uvjeta
0ixi (m)t = 0, (3.49)
pa se uvrtenjem gornjih svojstvenih vrijednosti (m) dobiva
x(1) = (u+c)t , (3.50)
x(2) = (uc)t , (3.51)
x(3) = ut . (3.52)
-
50
Svojstveni vektori l(m)i odreuju se rjeavanjem singularnog sustava jednadbi
[ ] ( ) 0)(0)()( == jimkjikmjjimj all IK , (3.53)
[ ] 000
01
0
)(
)(
2)(
)(3
)(2
)(1 =
m
m
m
mmm
u
u
cu
lll
. (3.54)
Uvrtavanjem svake od 3 svojstvene vrijednosti (m) (m=1,3) dobivaju se odgovarajua 3
svojstvena vektora
l(1)i = 1(1, c, 0), (3.55)
l(2)i = 2(1, c, 0), (3.56)
l(3)i = 3(0, 0, 1), (3.57)
gdje 1, 2, 3, oznaavaju proizvoljne konstante za koje se odabire vrijednost 1=2=3=1.
Ovi vektori tvore matricu
=
100
01
011 c
c
L , (3.58)
s determinantom
det(L-1) = 2c, (3.59)
i inverznom matricom
=
100
02
1
2
1
02
1
2
1
cc L , (3.60)
Odgovarajue svojstvene varijable odreuju se prema izrazu
==
v
u
p
c
c
100
01
011 ULW , (3.61)
-
51
i glase
+
=v
ucp
ucp
W . (3.62)
Transformirane Jacobijeve matrice su
[ ]
==
100
02
1
2
1
02
1
2
1
00
01
0
100
01
01~
2
11
1 ccu
u
cu
c
c
aa mnij
LL , (3.63)
+
=u
cu
cu
aij00
00
00~
1 , (3.64)
[ ]
==
100
02
1
2
1
02
1
2
1
01
00
0
100
01
01~
2
21
2 ccv
v
cv
c
c
aa mnij
LL , (3.65)
=
v
cv
cv
aij
2
1
2
10
0~ 2
2
2 . (3.66)
Transformirani izvorski lanovi glase
[ ] [ ]
==
3
2
11
100
01
01~
q
q
q
c
c
qq ji
L , (3.67)
[ ]
+
=
3
21
21
~
q
cqq
cqq
qi
. (3.68)
Zapis modela pomou karakteristinih varijabli
ik
jijk
i qx
wa
t
w ~~ =
+
, (3.69)
-
52
u raspisanom obliku glasi
- du karakteristike C+: x(1) = ct vrijedi
2121 )()( cqq
r
vc
r
ucv
r
pv
x
uccu
x
pcu
t
uc
t
p
dt
dw x ++
=
++
++
+
= , (3.70)
- du karakteristike C: x(2) = ct vrijedi
2122 )()( cqq
r
vc
r
ucv
r
pv
x
uccu
x
pcu
t
uc
t
p