Presentaci on 7 Visualizaci on de Arm onicos Esf ericos ...

Armonicos Esfericos Armonicos Zonales Armonicos Sectoriales Armonicos Teserales Dependencia Radial Comentarios Finales Anexo

513335 Geofısica de la Tierra SolidaPresentacion 7

Visualizacion de Armonicos EsfericosVersion 1.0

513335 GTS Presentacion 7. Matt Miller 1 / 11


Potencial gravitacional representado por armonicos esfericos

La parte no-rotacional del potencial gravitacional terrestre, medida en susuperficie o afuera, cumpla la ecuacion de Laplace (∇2U = 0) y puede estarrepresentado por los armonicos esfericos:

U(r , θ, φ) =∞∑`=0

∑m=0

{r `(

1r

)(`+1)

}[Am

` cos(mφ) + Bm` sin(mφ)]Pm

` (cos θ) (1)

Para el potencial gravitacional en el marco rotacional (que representa unaobservacion encima la superficie de la Tierra, por ejemplo) hay que agregar alpotencial el termino − 1

2r 2 sin2 θω2.

Cada armonico es del grado `, orden m y, para la Tierra, elegimos la funcionradial donde U → 0 cuando r →∞.

Pm` (cos θ) son los polinomios de Legendre, y Am

` , Bm` son las coeficientes en la

expansion armonica. Estas coeficientes estan determinadas por comparacioncon datos actuales en un problema inverso (otro curso).



Los armonicos zonales (m = 0)Los armonicos zonales, con m = 0, estan definidos por

U0` =

1

r (`+1)

[A0

`

]P0` (cos θ) (2)

Estos armonicos no tienen dependencia de longitud (φ). Noten que lascoeficientes B0

` no tienen relevancia ... ¿por que?



Los armonicos zonales (m = 0)

En esta visualizacion areas rojas representan U > 0, areas azules representanU < 0 y las areas blancas representan U ' 0. Las lıneas nodales del armonicoestan entre las areas rojas y azules y correspondan al U = 0.

`,m : 0, 0 1, 0 2, 0 3, 0 4, 0

I Para ` = 0 y m = 0 la “masa puntual” se representa por la coeficiente A00.

I A01 = 0 para el campo gravitacional terrestre ... ¿por que? (Pista: miren a

la simetrıa del armonico ` = 0, m = 1).

I Para ` = 2 y m = 0 el “bulto ecuatorial” se representa por la coeficienteA0

2.

I La coeficiente A04 representa una configuracion mas complicada, los

cambios al “bulto ecuatorial” al primer orden.

I U = 0 en ` paralelos de latitud.



Los armonicos zonales (m = 0)

Recordando que

U0` =

1

r (`+1)

[A0

`

]P0` (cos θ) (2)

calculamos las contribuciones al potencial de las coeficientes A00 y A0

2:

U00 =

1

r

[A0

0

]P0

0 (cos θ) =A0

0

r(3)

U02 =

1

r 3

[A0

2

]P0

2 (cos θ) =A0

2

r 3

1

2

(3 cos2 θ − 1

)(4)

Se puede comparar con la ecuacion (10) de la presentacion 5, en que elpotencial gravitacional fue calculado al primer orden para la Tierra:

U(P) = −GM

r︸︷︷︸masa puntual

+GJ2Ma2

r 3

[3

2cos2 θ − 1

2

]︸︷︷︸correccion por el “bulto ecuatorial”

Podemos ver que A00 = −GM, y que A0

2 = GJ2Ma2.



Los armonicos sectoriales (` = m,m 6= 0)

Umm =

1

r (m+1)[Am

m cos(mφ) + Bmm sin(mφ)]Pm

m (cos θ) (5)

I El polinomio de Legendre Pmm (cos θ) es proporcional al sinm θ que es cero

en los polos (θ = 0, θ = π) y positivo entremedio.

I La funcion longitudinal es una oscilacion que tiene lıneas nodales (U = 0)cuando [Am

m cos(mφ) + Bmm sin(mφ)] = 0, o

sin(mφ)

cos(mφ)= −Am

m

Bmm

=⇒ tan(mφ) = cte. (6)

I ¿Cuantas soluciones a la ecuacion (6) existen en el rango 0 6 φ < 2π?¿U = 0 en cuantos meridianos de longitud?

`,m : 1, 1 2, 2 3, 3 4, 4 5, 5



Los armonicos teserales (` 6= m,m 6= 0)

Um` =

1

r (`+1)[Am

` cos(mφ) + Bm` sin(mφ)]Pm

` (cos θ) (7)

I Lıneas nodales (U = 0) existen en 2m meridianos de longitud y (`−m)paralelos de latitud.

I ` entrega la cantidad total de lıneas, m determina la distribucion de laslıneas sobre meridianos y paralelos.

I Con ` y m mayores, el detalle de U que se puede representar es mas fino.`,m : 2, 1 3, 2 5, 1 5, 4 8, 5

I Sumando sobre armonicos mas y mas finos entrega una mejoraproximacion al potencial gravitacion terrestre actual, pero solo sirveagregar mas complejidad si existe suficiente cobertura de datos.

I ¿Como se puede conseguir una muy buena cobertura de datos?



La dependencia radial

I La condicion de borde U → 0 cuando r →∞ para las mediciones afuerade la superficie terrestre implica que la parte radial para los armonicosesfericos es 1

r (`+1) .

I Para grados (`) mayores, U decae rapidamente a cero cuando aumenta ladistancia r .

I Entonces, la detalle mas fino del campo gravitacional de la Tierrasolamente se puede percibir cerca de su superficie.

I A una distancia grande de un planeta, ` = 0 domina y el campogravitacional es como si fuese una masa puntual.



Comentarios finales sobre los armonicos esfericos

Considerando la gravedad de la Tierra:

I Una expansion armonica hasta ` = 36 considera estructuras con unalongitud de onda λ > 1000km.

I Entonces, armonicos esfericos estan utiles para una cobertura global demediciones con alta resolucion: Datos de satelites (por ejemplo, GRACE).

I Armonicos esfericos representan la parte irrotacional del potencialgravitacional (para la solucion completa, hay que agregar el termino quecontiene ω).

I Para los datos locales de gravedad, es mejor usar representacion cartesianay un campo de referencia, o una medicion de una estacion base, para elvalor de |gref |.



Lectura adicional

I Apuntes del curso, Capıtulo 2. Seccion 2.4.

I NASA GRACE Mission - Mission Overview.

I Codigo Python, la visualizacion de armonicos esfericos.


https://www.nasa.gov/mission_pages/Grace/overview/index.html

https://scipython.com/book/chapter-8-scipy/examples/visualizing-the-spherical-harmonics/


Preguntas practicas

U(P) = −GM

r︸︷︷︸masa puntual

+GJ2Ma2

r 3

[3

2cos2 θ − 1

2

]︸︷︷︸correccion por el “bulto ecuatorial”

−1

2r 2 sin2 θω2︸︷︷︸rotacion

2. (a) Trate de escribir U(r , θ), de la ecuacion (5) en las presentacion 5, enterminos de los armonicos esfericos (encontrar valores para Am

l y Bml ), para:

(i) un planeta que no gira que tiene una distribucion de masa con simetrıarotacional (es decir, el momento de inercia por cualquier eje en el planoecuatorial es el mismo; pero el momento de inercia alrededor del eje de giro esdistinto).(ii) un planeta que no gira que tiene una distribucion de masa con simetrıaesferica.(iii) un planeta, con una distribucion de masa con simetrıa esferica, girando a ωconstante.

(b) Use su conocimiento de armonicos esfericos para explicar la diferencia entrelas respuestas de a(i), a(ii) y a(iii).


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