Predicados y cuantificadores autora elsa guédez
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Lógica Elaborado por Elsa Guédez Predicados y Cuantificadores by Elsa Guédez is licensed under a Creative Commons Reconocimiento-NoComercial-CompartirIgual 4.0 Internacional License. Predicados y Cuantificadores Área: Lógica Dirigido a: estudiantes universitarios Edad: 16 años.
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Lógica: Predicados y Cuantificadores
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Lógica
Elaborado por Elsa Guédez
Predicados y Cuantificadores by Elsa Guédez is licensed under a Creative Commons
Reconocimiento-NoComercial-CompartirIgual 4.0 Internacional License.
Predicados
y
Cuantificadores
Área: Lógica
Dirigido a: estudiantes universitarios
Edad: 16 años.
Lógica
Elaborado por Elsa Guédez
Predicados y Cuantificadores by Elsa Guédez is licensed under a Creative Commons
Reconocimiento-NoComercial-CompartirIgual 4.0 Internacional License.
Introducción
La lógica de predicados es utilizada para expresar el significado de un
amplio alcance de proposiciones en matemáticas y ciencias de
cómputos.de manera que nos permite razonar y explorar relaciones entre
los objetos.
Considérese el Predicado como una propiedad ó característica del sujeto.
Los predicados son usados en muchas aplicaciones de lógica matemática,
tales como aritmética y algebra. De igual forma, las aplicaciones de la
lógica en las ciencias computacionales tiene un sistema de lógica que
puede ser formulado dentro del cálculo de predicados.
Elaborado por Elsa Guédez
Lógica Básica
Objetivos
Generales:
Conocer en la Lógica proposicional que son los
Predicados y los Cuantificadores.
Específicos:
Identificar qué es un predicado
Utilizar los diferentes tipos de Cuantificadores de
acuerdo al enunciado
Integrando el uso de predicados y cuantificadores en
actividades.
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Lógica Básica
Duración: Única sesión (1 hora y 50 minutos):Inicio:
Revisión de conocimientos previos (10 minutos):
El estudiante deberá identificar sobre ejemplificaciones específicas
los términos y conceptos indicados.
Desarrollo (1 hora y media):
Reconocer qué es un predicado.
Identificar los diferentes tipos de cuantificadores.
Ejemplificar diferentes situaciones que muestren predicados y
cuantificadores.
Utilizar predicados y cuantificadores en enunciados establecidos.
Cierre (10 minutos):
Incentivar al estudiante a la creación de enunciados en los que se
pueden utilizar predicados y cuantificadores.
Elaborado por Elsa Guédez
Lógica Básica
Revisión de conocimientos
Para dar inicio es necesario iniciar recordar algunos términos
utilizados en la asignatura:
Proposiciones
Proposiciones verdaderas
Proposiciones falsas
Variable
Conjunto
Conjunto Universal
Pertenencia ()
Tablas de verdad
Negación de una proposición
Conectivos
Elaborado por Elsa Guédez
Lógica Básica
“El Orinoco es un rio venezolano”
“El Arauca es un rio venezolano”
“El Nilo es un rio venezolano”
“El Mississippi es un rio venezolano”
“El Guaire es un rio venezolano”
“El Obi es un rio venezolano”
PREDICADOS Y CUANTIFICADORES
Para las siguientes proposiciones:
Elaborado por Elsa Guédez
Lógica Básica
De manera general, para expresar lo que dicen
esas proposiciones se puede utilizar una variable
que indica el nombre del rio.
Obteniéndose:
“x es un rio venezolano”
Este enunciado utiliza la variable “x” .
Recuerde que si esta variable es sustituida por el nombre de un rio se
convierte en proposición.
Cuando esto ocurre a este tipo de enunciado se le denomina PREDICADO.
PREDICADOS Y CUANTIFICADORES
Elaborado por Elsa Guédez
Lógica Básica
En Lógica, al igual que en Matemática, la letra que se
utilizó par representar de forma genérica los nombres de
los ríos se denomina variable.
Cada uno de los nombres que puede ser sustituido en
lugar de la variable se denomina constante.
El predicado anterior se puede representar como:
P(x): x es un rio venezolano
Las variables a utilizar, comúnmente son x, y, z.
PREDICADOS Y CUANTIFICADORES
Elaborado por Elsa Guédez
Lógica Básica
Cada una de las constantes (los nombres de los ríos)
que se pueden utilizar para sustituir por la variable x para
que tenga sentido (sea proposición) se denomina
Dominio del predicado.
En este caso se tiene que el dominio del predicado es
{Todos los ríos del mundo}.
Este equivale, en el tema de Conjuntos, a hablar del
Conjunto Universal.
PREDICADOS Y CUANTIFICADORES
Elaborado por Elsa Guédez
Lógica Básica
Cada una de las constantes (los nombres de los ríos)
que se pueden utilizar para sustituir por la variable x
para que sea proposición verdadera se denomina
Dominio de verdad del predicado.
En este caso se tiene que el dominio de verdad del
predicado es
{El Orinoco, El Arauca, El Apure, El Guaire, …}
PREDICADOS Y CUANTIFICADORES
Elaborado por Elsa Guédez
Lógica Básica
En otras palabras, se tiene que:
un predicado es un enunciado que
tiene variable y que al sustituir esa
variable por una constante se
transforma en una proposición.
PREDICADOS Y CUANTIFICADORES
Lógica Básica
Elaborado por Violeta Guédez
Definición: Cuantificador Universal:
Su símbolo es y se lee “para todo” (todo, para cada,
cada uno, para cada cual, …)
Ejemplo:
Para simbolizar el enunciado “Todos son imparciales”,
haciendo uso de los predicados y del cuantificador
universal.
x U, x es imparcial
donde el conjunto universal es U={Las personas}
Nota: siempre debe indicar el conjunto Universal para el predicado que utilice.
Cuantificadores y su simbolización
Lógica Básica
Elaborado por Violeta Guédez
Definición: Cuantificador existencial:
Su símbolo es y se lee “existe” (alguno, existe al
menos uno, algunos, algunas, …)
Ejemplo:
Para simbolizar el enunciado “Algunos estudiantes de
Lógica lograron aprobar el segundo parcial”, haciendo uso
de los predicados y del cuantificador existencial.
x U/ x aprobó el segundo parcial
donde el conjunto universal es
U={los estudiantes del curso de Lógica}
Nota: siempre debe indicar el conjunto Universal para el predicado que utilice.
Operaciones con conjuntos
Lógica Básica
Elaborado por Violeta Guédez
Negación con cuantificadores
~ [ x : P(x) ] es equivalente a x / ~ P(x)
Cuando negamos una proposición con un cuantificador
universal, cambiamos éste por uno existencial y negamos
el predicado
~ [ x / P(x) ] es equivalente a x : ~ P(x) )
Cuando negamos una proposición con un cuantificador
existencial, cambiamos éste por uno universal y negamos
el predicado.
Elaborado por Elsa Guédez
Lógica Básica
Para negar proposiciones cuantificadas que tienen más de
un predicado:
Tomando la proposición cuantificada “Todos los matemáticos
son excéntricos” en el dominio de los seres humanos.
Si llamamos M(x): “x es matemático” y E(x) : “x es excéntrico”,
se puede simbolizar la proposición como: x / M(x) E(x)
Su negación sería:
~ [ x : M(x) E(x)] x / ~ [M(x) E(x)] x / M(x) E(x)
En lenguaje coloquial sería: “x es matemático y x no es
excéntrico”
Elaborado por Elsa Guédez
Lógica Básica
Para negar proposiciones cuantificadas que tienen más de
un predicado:
Tomando la proposición cuantificada “Algunos no fueron a la fiesta
y faltaron a la reunión” en el dominio de los seres humanos.
Si llamamos F(x): “x fue a la fiesta” y R(x): “x faltó a la reunión”, se
puede simbolizar la proposición como: x / ~ F(x) R(x)
Y su negación~ [ x / ~ F(x) R(x)] x / ~ [~ F(x) R(x)] x / F(x) ~ R(x)
En lenguaje coloquial sería: “Todos fueron a la fiesta o no faltaron a
la reunión”
Elaborado por Elsa Guédez
Lógica Básica
Formas derivadas para condicionales con
cuantificadores
Definiciones:
Para los predicados P(x), Q(x) definidos en un universo dado, y la
proposición cuantificada en forma universal x [P(x) Q(x) ]
definimos:
La recíproca de x [P(x) Q(x) ] , es x [Q(x) P(x) ]
La inversa de x [P(x) Q(x) ] ,es: x [~P(x) ~Q(x) ]
La contrarrecíproca de
x [P(x) Q(x) ] , es: x [~Q(x) ~P(x) ]
Lógica Básica
Elaborado por Violeta Guédez
Ejercicio 1:
Simbolice cada uno de los siguientes enunciados
utilizando los predicados y cuantificadores que requiera.
Todos los hombres son mortales
Algunos estudiantes del curso FBMM02, lograron aprobar
el segundo parcial.
Algunos animales son sucios
Todos los miembros de esta comisión han sido estafados.
Algunos no son indiferentes al cambio
Nadie acepta con alegría un desastre
Cada uno necesita un mínimo de alimentos
Todo el mundo no cuenta con sentido común
A nadie le gusta la derrota
Todo tiene su historia
Lógica Básica
Elaborado por Violeta Guédez
Ejercicio 2:
Dada la proposición cuantificada: “Todos los
artesanos son artistas”.
Definiendo los predicados
P(x): x es artesano y Q(x): x es artista.
Indique cómo se escribe en la forma condicional y sus
formas derivadas.
Niegue la forma condicional que obtuvo.
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Elaborado por Violeta Guédez
Ejercicio 3:
Llene la Tabla de valor de verdad de acuerdo al
predicado Q(x): x + 1 > 2x.
El dominio son los números enteros.
Q(x) x + 1 > 2x
Q(0)
Q(-1)
x: Q(x)
x/ Q(x)
Q(1)
Q(2)
x/ ~Q(x)
Lógica Básica
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Actividad para la casa:
Enuncie cinco (5) situaciones que evidencien la
presencia de los diferentes tipos de cuantificadores.
Escriba cada uno de estos enunciados en forma
simbólica.
Reescriba los mismos enunciados pero en forma
de negación (tanto en palabras como de manera
simbólica).
Lógica Básica
Elaborado por Violeta Guédez
Bibliografía:
Antón, A. & Casañ, P. (1998). Lógica matemática:
Teoría y práctica. II. Lógica de predicados.
Valencia, Nau Llibres.
Barrière, E. & Claverol, M. (2006). Introducció a la
lògica. Ed. Univ. Politècnica de Catalunya.
Deaño. A. (1974). Introducción a la Lógica Formal.
Madrid, Alianza, 1999.
Garrido, M., & Valdés, L. M. (1989). Lógica y
lenguaje. Madrid, Tecnos.
http://www.videosdematematicas.com/pordonativos/
node/1074
Lógica Básica
Elaborado por Violeta Guédez
Por su atención
Gracias!
